APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TELECOMUNICACIONES

CLAUDIA ANGEL MARIÑO

Profesor: Gerardo Castang

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDASFACULTAD TECNOLÓGICA

TEORÍA DE LA INFORMACIÓNBOGOTA D.C.

2010

BIBLIOGRAFÍA

HWEI P., Sue. Análisis de Fourier. 1998

HAYKIN, Simon. Sistemas de Comunicación. Editorial Limusa Wiley 2002

www.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_convolucion

http:/geminis.dma.ulpgc.es/~aplaza/ficheros/ampliación/ficheros/f_fourier.pdf

www2.ing.puc.cl/~iee3552/slides2.pdf

www.Ipi.tel.uva.es/~santi/web/muestreo.pdf

INTRODUCCIÓN

De acuerdo a los contenidos de la asignatura Teoría de la información, es importante que después de ver tan variados temas también se haga una aprehensión de ellos y esto es lo que vamos a ver dentro de este trabajo y del video en general.

Hemos visto que en especial el tema sobre el Teorema del muestreo, ha sido un poco difícil de entender porque todos los conceptos son nuevos y por la relación de este tema con las transformadas de Fourier que también son bastante complejas. Sin embargo, lo que se va a tratar de hacer en este caso es aplicar los temas vistos en la clase y los de estudio particular sobre el teorema del muestreo, específicamente en dos ejercicios explicados en el libro Análisis de Fourier de Hwei Hsu, de forma un poco diferente. A través de la presentación de un video explicando estos ejercicios de forma que sean entendibles para todos.

En el informe se presentaran los conceptos sobre los cuales se partió para el desarrollo del tema y los resultados obtenidos mientras que los ejercicios se desarrollarán en el video. Los ejercicios a desarrollar demuestran que f(t) se puede reproducir a partir del conocimiento de sus muestras a intervalos uniformes y como se puede reconstruir f(t) a partir de las muestras.

OBJETIVOS

- Definir los conceptos de base para la explicación de dos de los ejercicios sobre el Teorema del Muestreo desarrollados en el libro Análisis de Fourier de Hwei Hsu.

- Analizar detenidamente de donde provienen las ecuaciones de ayuda para el desarrollo de estos ejercicios.

- Entender los ejercicios para poder explicarlos de una forma adecuada y en lo posible de fácil entendimiento para los demás.

- Habiendo definido los conceptos y desarrollado los ejercicios tener una idea clara de la funcionalidad del Teorema del muestreo, el Teorema de la Convolución y el Teorema de Nyquist-Shannon.

CONCLUSIONES

- En el proceso de muestreo una señal analógica se convierte en una secuencia de números que normalmente están uniformemente espaciados en el tiempo. Pero para esto, hay que elegir una tasa de muestreo que esté acorde, para que esa serie de números represente de forma única la señal analógica inicial.

- La convolución en un dominio como el del tiempo es equivalente al producto punto en el otro dominio, es decir, el dominio espectral. En el caso del primer ejercicio fue a partir de este teorema aunque en el dominio de la frecuencia que se pudo probar el teorema del muestreo uniforme.

- A partir de ecuaciones particulares, es decir, que provengan de otros ejercicios se puede llegar a encontrar la solución a un problema en el que intervengan las mismas variables.

- Si se toman muestras de una función de banda limitada a intervalos regulares que sean menores de 1/(2fM) segundos, la transformada de Fourier de la frecuencia de muestreo tendrá toda la información de la función de banda limitada.

DEFINICIÓN DE CONCEPTOS

FUNCION DE BANDA LIMITADA

Una función cuya transformada de Fourier se anula fuera de un intervalo se dice que es de banda limitada. Las funciones de banda limitada son importantes en teoría de señales porque las frecuencias de éstas se mueven en una banda de valores. La tasa de muestreo fs = 2W definida para una señal con ancho de banda W se denomina tasa de Nyquist. El teorema de muestreo es la base de la equivalencia entre señales analógicas y digitales.

TEOREMA DEL MUESTREO

Una operación que es básica para diseñar todos los sistemas de modulación de pulsos es el proceso de muestreo, donde una señal analógica se convierte en una secuencia de números que normalmente están uniformemente espaciados en el tiempo. Para que dicho proceso tenga utilidad práctica es necesario elegir la tasa de muestreo adecuadamente de modo que esa secuencia de números identifique de forma única a la señal analógica original. Esta es la esencia del teorema de muestreo.

Se puede enunciar el teorema de muestreo o teorema de Nyquist para señales limitadas en banda de energía finita de dos modos:

• Una señal limitada en banda de energía que no tiene componentes a frecuencias mayores que W Hz se puede representar de forma exacta especificando los valores de la señal en instantes de tiempo separados Ts = 1/ 2W segundos.

• Una señal limitada en banda de energía sin componentes frecuenciales superiores a W Hz se puede recuperar de forma exacta a partir de sus muestras tomadas a una tasa de fs = 2W muestras por segundo.

La tasa de muestreo fs = 2W definida para una señal con ancho de banda W se denomina tasa de Nyquist. El teorema de muestreo es la base de la equivalencia entre señales analógicas y digitales.

El teorema de muestreo se basa en la suposición de que la señal g(t) sea estrictamente limitada en banda. Esto sólo se satisface si g(t) tiene duración infinita. Es decir, una señal estrictamente limitada en banda no puede ser simultáneamente estrictamente limitada en tiempo y viceversa. Sin embargo, se va a poder aplicar en la práctica el teorema de muestreo a señales limitadas temporalmente cuando éstas sean esencialmente limitadas en banda en el sentido de que fuera de la banda de interés el valor que toma el espectro no es relevante. Esto justifica la aplicación práctica del teorema de muestreo.

Cuando la tasa de muestreo fs excede a la de Nyquist 2W, las replicas de g(f) requeridas para la construcción de G(f) están más separadas por lo que no existe ningún problema a la hora de recuperar la señal original g(t) a partir de la señal muestreada g(t) con el procedimiento descrito. Sin embargo, cuando la tasa de muestreo fs es menor que 2W, se puede ver que al construir la señal G(f), las replicas de G(f) aparecen solapadas.

Las altas frecuencias de G(f) se ven reflejadas hacia las bajas frecuencias en G_(f). Este fenómeno se denomina aliasing. Es evidente que comprobar que si la tasa de muestreo fs es menor que la de Nyquist 2W, la señal original g(t) no se puede recuperar de forma exacta a partir de las muestras y, por lo tanto, se pierde información en el proceso de muestreo.

TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN

El Teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al

producto punto (o interno) en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Si f y g son dos funciones cuya convolución se expresa con f *g. (el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). es el operador de la

transformada de Fourier, con lo que y son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente

ALIASING

Es el efecto que causa que señales continuas distintas se tornen indistinguibles cuando se les muestrea digitalmente. Cuando esto sucede, la señal original no puede ser reconstruida de forma unívoca a partir de la señal digital.

El aliasing es un fenómeno propio de la conversión A/D, en el cual la frecuencia de la señal reconstruida es menor que el de la señal original, lo cual ocurre cuando la frecuencia de muestreo es demasiado baja; estos efectos pueden reducirse utilizando filtros.

CRITERIO DE NYQUIST SHANNON

El criterio de Nyquist Shannon también denominado Teorema del muestreo pasabanda, establece que la frecuencia mínima de muestreo necesaria para evitar el aliasing deber ser:

Fs>2Bw

Con:

fs: frecuencia de muestreoBW: Ancho de banda de la señal a muestrearBW= Fmax – Fmin

Para señales con F min = 0, la expresión queda:

Fs>2F max

Que coincide con la aplicación del teorema general del muestreo.

El criterio de Nyquist Shannon redefine el Teorema del Muestreo aplicándolo a un ancho de banda de interés específico, lo que soluciona ciertas dificultades que pueden presentarse al intentar muestrear señales a frecuencias elevadas.

Es posible muestrear a una frecuencia menor que la que impondría Nyquist siempre que se garantice que las repeticiones espectrales no se superponen con el espectro, siempre que BW (ancho de banda de la señal) sea menor a F min.