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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ

CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

2013APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INDUSTRIA ALIMENTARIA

INTEGRANTES:

Aguilar Meneses, Vivel Maccapa Tacca, Luis

INTRODUCCIÓN

El estudio de la matemática, no se basa en el sólo cálculo matemático, sino en

un abordaje profundo y detallado de su aplicación en la industria, hecho éste

que causó gran curiosidad por ahondar en este tema, y más aún dar a conocer a

todos, y en especial a aquellos que consideran a la matemática como netamente

abstracta y sin más aplicación que para efectuar operaciones, que la matemática

es la ciencia más importante, pues en ella se basan las demás ciencias como la

medicina, la biología, quimica, etc.

El objetivo del presente trabajo titulado Aplicacióones de Ecuaciones Diferenciales

en la Industria Alimentaria es un trabajo de investigacion que desarrolla

contenidos matemáticos de manera general y se enfoca en mostrar su aplicación

en la industria de manera detallada, mediante explicaciones teóricas y con

ejemplos prácticos.

Para la presentación del trabajo, se ha dividido en tres capítulos. El PRIMERO

titulado El Problema, se presenta una descripción detallada de la finalidad,

planteamiento del problema justificación, y objetivos del desarrollo de esta

trabajo; EL SEGUNDO, titulado Desarrollo Teórico, desarrolla todos los conceptos

utilizados en la aplicación de ecuaciones diferenciales en la industria alimentaria;

EL TERCERO titulado Desarrollo de la Propuesta, presenta lo que deseamos

abordar: el contenido matemático y su aplicación a la industria

En fin elaborar este trabajo es la muestra de que se existe una aplicación práctica

de ecuaciones diferenciales en la industria alimentaria.

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CAPITULO I

GENERALIDADES

1.1. PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

La aplicación de la matemática aumenta su importancia al ser una ciencia

auxiliar fundamental de otras disciplinas. Por esto, toda persona

debe poseer aunque sea un mínimo de conocimiento de la matemática y su

contenido; aspecto éste muy difícil de encontrar actualmente, pues el

docente contrariamente de enseñar a valorar este conocimiento, mediante

una motivación al estudio de la matemática, se ha dedicado a crear en el

estudiante un temor innecesario hacia la materia, dado que se la presenta

como algo irreal, sin antecedentes y además sin aplicación y utilización en

la vida, excepto de las operaciones matemáticas básicas; por lo que el

individuo considera innecesario profundizar en el conocimiento matemático.

Por este poco interés en la matemática, el estudiante no está consciente de

que en cualquier aspecto de la vida social en el que piense desenvolverse

necesitará un buen dominio de esta ciencia para alcanzar sus metas y

propósitos.

Aplicaciónes de la ecuaciones diferenciales en la industria alimentaria se

persigue básicamente demostrar la aplicación de la matemática y el

cálculo matemático en los aspectos y contenidos de la industria, ya

que son de uso cotidiano, además de concientizar al estudiante de la

utilización de la matemática en la vida.

1.2. OBJETIVOS

1.2.1. OBJETIVO GENERAL

Dar a conocer la utilización y aplicación de ecuaciones diferenciales en problemas

relacionados a la industria alimentaria.

1.2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS

Presentar al estudiante la aplicabilidad de las ecuaciones diferenciales

en la realidad.

Presentar de manera más ilustrativa y demostrativa la aplicabilidad de

la derivada en la industria alimentaria.

1.3. JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA

Los Estudiantes de la carrera de Ingeniería Industrial, frecuentemente se

preguntan ¿Para qué aprender tanto cálculo? , ¿Qué utilización práctica

tiene las ecuaciones diferenciales?, por ejemplo, preguntas a las que no

es fácil encontrar una respuesta que no sea más complicada que la misma

pregunta.

Con el presente trabajo se espera sirva de herramienta para mejorar la

calidad de la aprendizaje de la matemática y a su vez sirva para

demostrarle al estudiante la gran utilidad de la matemática, motivándole

a estudiarle, además de servirle como consulta en sus estudios.

En la búsqueda de esa aplicación de la matemática en la vida, se puede

encontrar fácilmente a la industria alimentaria como campo de aplicación de

la misma.

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APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INDUSTRIA

ALIMENTARIA

PROBLEMA N° 1

Un producto nuevo de cereal se introduce a través de unas campañas de

publicidad a una población de 1 millón de clientes potenciales. La velocidad a la

que la población se entera del producto se supone que es proporcional al número

de personas que todavía no son conscientes del producto. Al final de un año, la

mitad de la población ha oído hablar del producto. ¿Cuántos han oído hablar de él

por el final de 2 años?

SOLUCIÓN:

En primer lugar definimos las variables que forman parte del problema:

x : Es el número en millones de personas (clientes potenciales).

t : Tiempo que han oído hablar del producto.

1−x : Es el número de personas que no han oído de este.

dxdt

: La velocidad a la que la población conoce sobre el producto.

En segundo lugar especificamos la expresión diferencial que describe el problema.

dxdy

=k (1−x) Ecuación Diferencial

Esta ecuación significa que la tasa de cambio de x, es proporcional a la diferencia

entre 1 y x.

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Para resolver la ecuación diferencial:

1. Separamos las variables:

dx=k (1−x )dt→Formadiferencial

dx(1−x )

=kdt

2. Integramos a ambos lados de la igualdad.

∫ dx(1−x)

=∫kdt

−ln (1− x )=kt+C

ln (1−x )=−kt+C→Multiplicando por−1

e ln (1− x)¿e−kt+C→Aplicando exponenciales

1−x=e−kt .C

x=1−e−kt .C

Para el cálculo de la solución particular se debe aplicar las condiciones iniciales

del problema a la solución general, es decir:

x = 0 cuando t = 0

0=1−e−k .0 .C

C=1

Entonces

x=1−e−kt

x = 0.5 cuando t = 1

3

0.5=1−e−k .1

0.5=1−e−k

0.5=e−k

ln 0.5=ln e−k

K=0.693

x=1−e−0.693t

En la solución particular reemplazamos t por 2, esto es el número de años que ha

transcurrido desde la publicación del producto y sobre el cual se va a evaluar el

total de personas que lo conocen hasta el momento.

x=1−e−0.693(2)

X=0.75ó750000 Personas

Al final de dos años las personas que han oído hablar del producto (nuevo cereal)

son 750000.

PROBLEMA N° 2

La demanda y oferta de un producto alimenticio están en miles de unidades por

D = 48 – 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el

precio del bien es 10 unidades, encuentre:

a. El precio en cualquier tiempo t > 0

b. Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.

SOLUCIÓN:

Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:

−2 p (t )+3 p' ( t )+48=p ( t )+4 p' ( t )+30

p' (t )+3 p (t )=18

Solucionando:

4

p (t )=e−∫3dt(∫ e∫

3dt18dt+c )

p (t )=e−3 t(6 e3 t+c)

Aplicando la condición inicial:

p0=10=(6+c )

c=4

Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier

tiempo t:

p (t )=6+4e−3 t

Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si (a1−b1 )(a2−b2 )

>0

entonces había una estabilidad en los precios, y como (a1−b1 )(a2−b2 )

=3 entonces los

precios si son estables, y cuando aplicamos el límite cuando t→∞ ese es el

precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 6.

En la gráfica se puede apreciar mejor este punto:

PROBLEMA N° 3

Suponga que la oferta y la demanda de productos para consumo humano están

dadas en términos de precios p por S = 60 + 2P, D = 120 – 3P, respectivamente,

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la constante de proporcionalidad es K = 4. Escriba la ecuación diferencial para p y

determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0

SOLUCIÓN:

La ecuación diferencial se expresara de la forma:

dpdt

=−4(60+2 p−120+3 p)

dpdt

+20 p=240

Solucionando:

p (t )=e−∫20dt(∫ e∫

20dt240dt+c)

p (t )=e−20 t(12e20t+c)

Aplicando la condición inicial:

p0=8=(12+c )

c=−4

Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier

tiempo t:

p (t )=12−4e−20 t

La grafica de la función es la siguiente:

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Observación: Nótese que según lo estudiado al principio el precio es estable y el

precio de equilibrio es 12, que es el mismo que se obtiene al igualar las

ecuaciones de la oferta y la demanda.

PROBLEMA N° 4

Un productor de conservas de atún para proteger sus utilidades, decide que la

taza a la cual aumentan sus precios debe ser numéricamente igual a un cuarto de

la taza a la cual su inventario decrece además se sabe que la oferta y la demanda,

están determinadas en función del precio por: S=16 p ( t )+10 p ' ( t )+24 (2−e−2t ) y

D=−8 p (t )−2 p' (t )+240 , determine el precio en cualquier instante, si cuando el

tiempo es 0 el precio es 12 unidades.

SOLUCIÓN:

Por lo visto, cuando se desarrolló la teoría de los inventarios:

dpdt

=−αdqdt

dpdt

=−α (S−D)

Donde α es igual a 3:

dpdt

=−14

(16 p (t )+10 p ' ( t )+24 (2−e−2t )+8 p ( t )+2 p' ( t )−240)

dpdt

=−1/ 4(24 p (t )+12 p ' ( t )+24 (−8−e−2 t ))

dpdt

=−6 p ( t )−3 p' (t )+6 (8+e−2t )¿

4dpdt

+6 p ( t )=6 (8+e−2 t )¿

dpdt

+ 64p (t )=6

4(8+e−2 t )¿

Ahora el trabajo consiste en desarrollar la ecuación diferencial:

p (t )=e−∫ 64 dt

(∫ e∫ 64 dt(12+ 6

4e−2t)dt+c)

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p (t )=e−64

t(∫e

64t(12+ 6

4e−2 t)dt+c )

p (t )=e−64

t(∫e

64t12dt+∫ e

64t 64e−2 tdt+c)

p (t )=e−64

t(e

64t8+∫ e

−24

t 64dt+c )

p (t )=e−64

t(e

64t8−e

−24

t3+c )

Aplicando la condición inicial:

12=e−64

(0)(e

64

(0)8−e

−24

(0 )3+c)

12=8−3+c

7=c

El precio en cualquier instante de tiempo queda de la forma:

p (t )=e−64

t(e

64t8−e

−24

t3+7)

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