APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA  ECONOMIA

1. INTRODUCCIÓNLas derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.

En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable.

Tal línea de pensamiento fue posible desde la economía neoclásica, primero con Carnot, y luego con León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall; por ello se conoce a esta innovación analítica como la revolución marginalista.

De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total.

En ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en el contexto de las funciones multivariadas. Mediante las derivadas parciales, es decir estimar las razones de cambio de una variable independiente de una f(x,y) son las derivadas parciales respecto a x o y, manteniendo la(s) otra(s) fija(s). En consecuencia se pueden aplicar las técnicas especiales como derivadas direccionales, gradientes, diferenciales, etc.

NO hay que olvidar que se requiere con frecuencia estimar los niveles donde una función cualesquiera se maximiza (minimiza) -sea cual sea el número involucrado de variables independientes-. De nuevo el cálculo difrencial es de gran ayuda en estas situaciones. También para la búsqueda de la optimización sujeta a restricciones se trata con derivación de las funciones mediante los métodos de los multiplicadores de Lagrange o las condiciones de Kühn-Tucker (esta última para la eventualidad en que la función objetivo que se desea optimizar esté restringida con desigualdades).

Lagrange:

Sea la función objetivo: F(x1,...,xn) s.a: g(x1,...,xn)= C. Donde g es la restricción igualada a una constante C.

f'(x1,...,xn)=tg'(x1,...,xn), donde t= un escalar que multiplica la restricción y que se simboliza con la letra griega lambda.

Kühn-Tucker:

f(x1,...,xn), s.a: g(x1,...,xn) > C, ó g(x1,...,xn) < C

Finalmente la premisa para la diferenciabilidad es la continuidad de las funciones, o sea que auellas no posean saltos. Una de las limitantes cotidianas del desempeño profesional en economía es contar siempre con funciones continuas. Suele ser repetido que los datos existentes se manifiesten en secuencia discreta o discontinua. Sin embargo estoe obstáculo no niega la validez conceptual y técnica de las aplicaciones en economía del cálculo diferencial.

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

3. MARCO TEORICO

3.1  APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN ECONOMIA

Las derivadas en sus distintas presentaciones ( Interpretación geométrica, Razón de cambio, variación Instantánea, etc.,) son un excelente instrumento en Economía, para toma de desiciones, optimización de resultados ( Máximos y Mínimos).

3.1.1 FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA.-

Si x es el numero de Unidades de un bien ; siendo; y el Precio de cada unidad entonces las Funciones de Oferta y demanda pueden representarse por:

Y =  f (x)Donde:, en la practica  x se toma siempre positivo.

Si: f’ > 0 ; la función es de ofertaSi: f < 0; La función es de Demanda.

El punto de intersección de las Funciones de oferta y Demanda se llama punto de equilibrio.

Hallar el punto de equilibrio y las pendientes en ese punto de las funciones de Oferta y Demanda : Respectivamente :

Y = (2008 -8x – x^2) /  16    ; y = (1 x^2)/13

Y = (208 -8x – x^2)/16   x=8 ; y = 5Y = (1 + x^2)/13        -11,5 : y = 10.4

Se tomara únicamente la 1ra solución como punto de equilibrio, ya que : x debería ser positivo.

La pendiente de la demanda en: P(8,5)

Y = (208 -8x – x^2) /16   Y’ = ½ -x/8

Reemplazando x=8 y’(s) = -3/2 <0La pendiente de la oferta en: P(8,5)Y= 0 1 + x^2  / 13   y’(8) = 16/13 >  0

Por la interpretación geométrica de la Derivada, una Derivada  es una Pendiente es una Razón o relación de Variación Instantánea.Por tanto en el anterior  calculo de las pendiente de las funciones de oferta y Demanda, representan las variaciones instantáneas de los Precios Unitarios (y) con respecto al numero de Unidades (x); exactamente en el instante en que: x = 8.

Tomando en Valor absoluto las Pendientes de la Demanda 3/2 ; de la Oferta 16/13, se aprecia que mayor es la variación de la demanda.La variación de una cantidad respecto de otra puede ser descrita, mediante un concepto promedio, o un concepto margina.

El concepto  Promedio , es la variación de una primera cantidad, respecto a un Intervalo limitado de la Segunda cantidad.

El concepto Marginal, es la variación de una Primera Cantidad, respecto a un intervalo tendiente a Cero de una Segunda Cantidad, es decir se trata de una variación Instantánea.Comúnmente la primera cantidad es de un concepto Económico (Costo, Ingreso, etc.), La segunda Cantidad es el numero de unidades.3.1.2  COSTOS

Si el numero de unidades de un bien es . x ; entonces el costo Total puede expresarse como:

A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:

COSTO PROMEDIO:

Cp =  C (x)  / x   = y

COSTO MARGINAL:     

Cm = C ‘ (x) = dy / dx

COSTO PROMEDIO MARGINAL:

Cpm = dy /dx =  xC’(X) – C(x)  / x^2       d/dx * Cp

Ej: Si la función de Costo es Lineal C(x) 0 ax+ b. donde a,b son constantes

Costo Promedio:  Cp  = C(x) / X  =  ax+b / x  = a + b/x

Costo Marginal: Cm = C’(x) = a

Costo promedio Marginal: Cpm = d/dx Cp = - b/x^2

3.1.3 INGRESOS:

Si el Numero de unidades de un bien es x: Siendo la Función de demanda : y = f(x); donde y es el Precio de la unidad demandada, entonces el Ingreso es:

R(x) = xy = x-f(x)

A partir de  esta expresión de ingreso total, se definen los siguientes conceptos:

INGRESO PROMEDIO

Rp = r(x) / x

INGRESO MARGINAL:

Rm = R ‘(x)

Nótese que la expresión de Ingreso promedio carece de mayor importancia puesto que es equivalente a la demanda del bien.

Ejemplo : Una función de Demanda es:  Y = 12 – 4x

El Ingreso :   R(x) = xy = x(12 -4x)

El Ingreso Marginal:   R’ (x) = 12 -8x

Comúnmente se procura maximizar el Ingreso total para ello es suficiente con recurrir a las técnicas de Máximos y mínimos conocidas ( Derivar e igualar a Cero)

Ejemplo: Hallar el Ingreso Marginal y el Ingreso Máximo, que se obtiene de un bien cuya función de demanda es y = 60 -2x

La demanda:  y = 60 – ex

El Ingreso: R(x) = xy = x( 60 – 2x) = 60x – 2x^2

El Ingreso Marginal: R’(x) = 60 – 4x

Maximizando la ecuación de Ingreso Total:

Si.  R8x) = 60x – 2x^2

R’(x) = 60 – 4x = 0 x=15

Rmax. = 60+15 – 2*15^” = 450

En este problema no se verifica que el Punto Critico hallado mediante la derivada igualada a Cero, determina evidentemente a un máximo ya que se supone de acuerdo las condiciones de cada  problema ( de todas maneras la verificación es simple utilizando la segunda derivada)

3.1.4 GANACIAS:

Si x es el numero de Unidades; siendo R(x) el Ingreso Total ; c((x), el costo total; la ganancia entonces es:

G(x) = R(x) – C(x)

Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar  e igualar a cero esto significa :

G’ (x) = R’(x) – C’(x) = 0 r’(x) = C’(x)

Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debe ser igual al Costo Marginal.

Ejemplo

Hallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien cuya ecuación de Costo total es: C(x) = 20 + 14x ; La Demanda que posee el bien es: y= 90-2x

El costo total C(x) = 20 + 14x

La Demanda y = 90-2x

El ingreso Total: R(x) xy = x(90-2x)

La Ganancia: G(x) = R(x) – C(x)= x(90-2x) – (20 + 14 x)= -2x^2 +76x – 20

Maximizando G’(x) = -4x + 76 = 0 x = 19

GMax. = 2+19^2 + 76*19 – 20 = 702

Se supone que las unidades del ingreso ; Costo, Ganancia son unidades monetarias iguales.

Similarmente en el problema se supone que las unidades monetarias de la Demanda y Costo son iguales.

Hasta el momento se ha operado en los distintos problemas, con funciones ya conocidas de Demanda, costo, etc.

Sin embargo en la practica es preciso a veces obtener tales funciones a partir de las situaciones que presenten los problemas, que utilizan a las Derivadas como aplicación económica.

Para obtener las funciones de costo demanda, etc. Es conveniente ordenar datos, que provienen de las condiciones del problema de ser necesario se utilizaran variables auxiliares, que posteriormente dieran ser eliminadas, siguiendo luego pasos equivalentes a los sugeridos en los problemas de Máximos y mínimos. Se obtendrán los resultados pedidos.

Ejemplos:1) Un propietario de 40 departamentos(dep.) puede alquilarlos a 100 $ c/u, sin embargo observa que puede incrementar en 5$ el alquiler por cada vez que alquila un Departamento menos. ¿ cuantos Departamentos debe alquilar para un máximo ingreso?

Reordenando los datos:

Nº Total Dep.    : 40Nº Dep. Alquilados  : xNº Dep. no alquilados: u

Alquiler de 1 dep. originalmente  : 100$Incremento por 1 Dep. no alquilado : 5$Ingreso por u Dep. no alquilados: 5u$Ingreso por alquiler de 1 DEp. : 100 + 5uIngreso por alquiler de x Dep. : x(100+5u)

Reemplazando la ecuación de ingreso es:

R = x((100+5(40-x))= -5x^2 + 300x

R’ = -10x + 300 = 0 x = 30Rmax. = -5*30^2 + 300*30 = 4500$

Nótese que no se alquilan 10 dep. ( u = 10)El alquiler de 1 Dep. es :100 + 5u = 100 + 5*10 = 150$

2. Una entidad bancaria cobra una tarifa de 20$; por cada 1000$ de transacción comercial que efectúa, ofreciendo una rebaja de 0,1$ por cada 1000$ encima del monto de 100000 $. Hallar su máximo Ingreso si:a) La rebaja afecta al monto total de la transacción.b) La rebaja afecta únicamente al monto por encima de 100000$

Reordenando datos:Nº de miles de $ d4e transacción total : xNº de miles de $ encima de 100 mil $ :u

x = u + 100

Tarifa original por mil $  : 20$Rebaja por mil $ encima de 100mil : 0,1 $Rebaja por u miles, encima de 100mil : 0,1u $Tarifa con rebaja:   20 – 0,1u

a) Si la rebaja afecta al monto total de la transacción (x en miles de $); el ingreso es:

R = x(20-0,1u)                                 R’ = - o,2x+30 = 0 x = 150

= x ( 20 – 0,1(x-100)   Rmax. = 0.1*150^2 + 30*150 = 2250 mil= 0,1x^2 + 30x                              =2250000$

b) Si la rebaja afecta únicamente a 1 monto por encima de 100miles de $ ( u en miles de $) ; el ingreso provendrá del monto con tarifa fija, mas el monto con rebaja:R = 100*20 + u(20-0,1u)               R’ = -0,2x + 40 = 0 =0> x=200= 2000 + ( x-100) (20-0,1(x-100) Rmax = -0,1 -0,2x +40 0 0   x=200=  -0,1x^2 + 40 x – 1000                             = 3000 miles de $ = 3000000$

3.2  TASA DE VARIACIÓN MEDIA

INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] =  Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]Solución

T.V.M. [0, 2] =  

3.3. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. LA DERIVADA

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería . 

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir

:

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación

media cuando el incremento de la variable tiende a 0. =Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse

así:

Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para  h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable.

Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función  en x =0 son 1 y –1.

        Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0. Proposición. Toda. función derivable en un punto es continua en dicho punto.El recíproco es falso.

Ejemplo 2.  es continua en 0, pero no es derivable en 0.

Función de Ingreso Marginal

Si I(x) representa la función de ingreso total obtenido cuando se demandan x unidades de cierta

mercancía, entonces el ingreso marginal cuando se producen a unidades está dado por I '(a) , si

ésta existe. La función I '(x) se llama la función de Ingreso Marginal.

La curva de ingreso marginal de la industria muestra en cuánto se incrementa el ingreso total por la

venta de cada unidad adicional, por unidad de tiempo. Es siempre decreciente, dada la curvatura

del ingreso total. Puede ser positiva, negativa o cero.

Función de Utilidad Marginal

La utilidad bruta de una empresa corresponde con la diferencia existente entre ingresos totales y

sus costos totales

U(x) = I(x) − C(x)

Si derivamos con respecto a x

U '(x) = I '(x) − C '(x)

La función así obtenida se define como utilidad marginal.

Note que U '(x) > 0 ⇔ I '(x) > C '(x), lo cual quiere decir que la ganancia es creciente si y sólo si

el ingreso marginal es mayor que el costo marginal (la tasa de cambio del ingreso es mayor que la

tasa de cambio del costo).

Para determinar qué nivel de producción es necesario para obtener la máxima utilidad, se hace

U '(x) = 0 , ya que allí si U '(x) existe, U tendrá un máximo relativo.

Recordemos que el dominio de la función de utilidad es el intervalo [0,d] , donde el valor d >0

está determinado por la ecuación de demanda del artículo. En los extremos del intervalo no habrá

202Notas para el Curso MA-0230 Matemática para Ciencias Económicas I

N. Figueroa & V. Ramírez

ganancia, así que el valor máximo absoluto de U ocurre en un valor de x donde U tiene un valor

máximo relativo.

EJERCICIOS

1) Sea

2

p = 100 − q la función de demanda del producto de un fabricante. Encuentre la razón de

cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q . ¿Qué tan rápido está cambiando el

precio con respecto a q cuando q = 5 ?. Suponga que p está en dólares.

2) Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas

de cierto fertilizante está dado por C(x) = 20000 + 40x dólares y el ingreso obtenido por la venta

de x toneladas está dado por

2 R(x) = 100x − 0.01x . La compañía actualmente produce 3100

toneladas por semana, pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por

semana. Determine la razón de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras

producidas.

3) Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado por

( ) 0.001 0.3 40 1000 3 2 C x = x − x + x + . Determine la razón de cambio promedio por unidad

adicional si se incrementa la producción de 90 a 100 unidades.

4) Sea la función de costo ( ) 0.001 0.3 40 1000 3 2 C x = x − x + x + . Determine el costo marginal como

una función de x . Evalúe el costo marginal cuando la producción esta dada por:

a) x = 50 , b) x = 100 , c) x = 150 .

Ejemplo 5.- Una fábrica que elabora un producto tiene una capacidad de producción de 3.000

unidades al mes. La función de utilidad por producir y vender q unidades mensuales está dada por

2 3

3

1 U(q) 100.000 60.000q 985q q .

Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad mensual.

Solución: Tenemos que conseguir donde se alcanza el máximo absoluto de la función U en el

intervalo 0 . ,3000

Como U es una función continua por ser un polinomio y queremos conseguir el máximo en

un intervalo cerrado podemos aplicar el algoritmo de búsqueda dado en esta sección.

Paso 1.- Primero se calcula los valores críticos. Como la función tiene derivada en todas

partes sólo planteamos 0 U(q) para encontrar los valores críticos.

( ) 60.000 1970 0 2 U q q q . Las soluciones de esta ecuación cuadrática son q 30 y

q 2.000, descartamos la primera por no estar en el intervalo [0,3.000].

8 3.1 Extremos absolutos y puntos críticos

Paso 2.- Evaluamos U en los extremos del intervalo y en el valor crítico 000 q 2. .

0 100.000

3

1 (0) 100.000 60.000 0 985 02 3 U

2 3 2000

3

1 U(2.000) 100.000 60.0002000 985 2000 =4.179.700.000/3

2 3 3000

3

1 U(3.000) 100.000 60.0003000 985 3000 =44.900.000.

Paso 3.- 3

4.179.700.000 U(2.000) es el valor máximo.

En conclusión el nivel de producción en que la utilidad es máxima es 2.000.