Apéndice A

ALEATORIDAD ESPACIALCOMPLETA

Un espacio aleatorizado completo se caracteriza por ausencia de estructu-ra en la data. Es el proceso puntual espacial con ruido blanco. Frecuentementese usa como la hipótesis nula de un test estadístico para determinar si hayestructura espacial en un patrón de puntos dados. Cómo todo proceso tienecomponentes aleatorios en si mismo, el término Aleatorizado espacialmentecompleto es sinónimo de un proceso homogéneo de Poisson.

A.1. Proceso de PoissonSea µ cualquier medida Radon sobre X; es decir, ν(K) < ∞ para

cualquier compacto, K ∈ F -álgebra de Borel. Entonces N es un proceso dePoisson con media µ sí:

1. Para cualquier B ∈ F , P [N(B) ∈ 0, 1, . . . , n] = 1, y para cualquiercolección B1, B2, . . . , Bn ∈ F , disjuntos dos a dos, las variables alea-torias N(B1), N(B2), . . . , N(Bn) son independientes.

2. Para todo s ∈ X,

P [N(ds) = 0] = 1− (µ(ds) + o(µ(ds)))

P [N(ds) = 1] = µ(ds) + o(µ(ds))

1

P [N(ds) > 1] = o(µ(ds))

donde ds es una infinitesima región localizada en s.

De estos postulados, se prueba que N(B) tiene distribución de Poissoncon media µ(B), para todo B ∈ F , es decir,

N(B) =(µ(B))ne−µ(B)

n!

A.2. Proceso homogéneo de PoissonUn proceso homogéneo de Poisson es un caso especial de un proceso de

Poisson, donde µ(β) = λ · ν(β), λ > 0 y β ∈ F -álgebra de Borel (ν(β)volumen de β).λ es conocida como intensidad del proceso de Poisson, y el proceso es llamadoproceso de poisson con intensidad λ.

Definición A.1 Proceso homogéneo de Poisson con intensidad λ se carac-teriza por:

1. El número de eventos en cualquier región acotada A tiene una dis-tribución de Poisson con media λ · ν(β), donde ν(β) es la medida deLebesgue.

2. Dados n eventos en A, éstos son independientes, y se distribuyen uni-formemente en A.

Del postulado 2, se tiene que la desidad condicional de la n-upla (s1, s2, ..., sn)dada N(A) = n, es

f(s1, s2, ..., sn) =1

ν(A)n.

Y de los postulados 1 y 2, la densidad conjunta de n y (s1, s2, ..., sn) estadada por:

f((s1, s2, ..., sn), n) =λne−λν(A)

n!Notese que

∞∑n=0

λne−λν(A)

n!

∫

An

ds1ds2 · · · dsn =∞∑

n=0

(λA)ne−λν(A)

n!= 1

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A.3. Proceso puntual espacialEn palabras sencillas, un proceso puntual espacial viene dado por un con-

junto de n localizaciones en IRp (normalmente 2 o 3 dimensiones), irregular-mente distribuidas en cierta región del espacio y generada por un mecanismoaleatorio.

Denotando la localización de los sucesos como

s1, s2, ..., sn = D,

y su intensidad o marca (vector aleatorio) por

Z(s) = z(s1), z(s2), ..., z(sn)

el proceso puntual se puede escribir como

N = [s, Z(s)] = [si, z(si); i = 1, 2, ..., n]

De manera más formal, los patrones puntuales son mapeos de un espaciode probabilidad (Ω,A, P )1 sobre un dominio D ⊆ IRp, en los que las realiza-ciones son conjuntos de puntos. El comportamiento del fenómeno se suponeestá dado en base a la función de intensidad Z(s), bajo algún mecanismoestocástico. Ejemplo de aplicaciones: Epicentros de terremotos, posición denidos de aves migratorias, posición de burbujas en piezas de metal.

1Cressie, N. , 1993, Stastiscs for spatial data. Pg 619

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Apéndice B

Simulación de Monte Carlo

La simulación de Monte Carlo es una técnica cuantitativa que hace usode la estadística y los ordenadores para imitar, mediante modelos matemá-ticos, el comportamiento aleatorio de sistemas reales no dinámicos (por logeneral, cuando se trata de sistemas cuyo estado va cambiando con el pasodel tiempo, se recurre bien a la simulación de eventos discretos o bien a lasimulación de sistemas continuos). El método de Monte Carlo proporcionasoluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos, yasean estocástico o determinístico, permitiendo la realización de experimentos(simular) con muestreos de números pseudo-aleatorios en una computadora.Es un método estadístico numérico (no determinístico) usado para aproximarexpresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. Ade-más, el método tiene un error absoluto de estimación que decrece en virtuddel teorema del límite central.

En general la simulación Monte Carlo consiste en crear un modelo mate-mático del sistema, proceso o actividad que se quiere analizar, identificandoaquellas variables (inputs del modelo) cuyo comportamiento aleatorio de-termina el comportamiento global del sistema. Una vez identificados dichosinputs o variables aleatorias, se lleva a cabo un experimento que consisteen generar con ayuda del ordenador muestras aleatorias (valores concretos)para dichos inputs, y analizar el comportamiento del sistema ante los valoresgenerados. Tras repetir n veces este experimento, dispondremos de n obser-vaciones sobre el comportamiento del sistema, lo cual nos será de utilidadpara entender el funcionamiento del mismo. Obviamente, el análisis será tan-to más preciso cuanto mayor sea el número n de experimentos que llevemos

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a cabo.

B.1. Método de Monte CarloIntegración en multiples variables

Método de Monte Carlo para calcular la integral de una función lebesgueintegrable sobre una región acotada R ( R ⊆ Jm = [0, 1]m).

El concepto de integral de Lebesgue es una de las generalizaciones clási-cas fundamentales en la evolución del concepto de integral, y las funcionesLebesgue integrables incluyen funciones acotadas y no acotadas que cumplenciertas condiciones de teoría de la medida (Roiden 1963).

En algunos casos particulares, es posible evaluar mediante métodos ana-líticos la integral, sin embargo en la enorme mayoría de los casos, esto noes posible, y es necesario aplicar métodos numéricos. La evaluación de estasintegrales es uno de los problemas clásicos del análisis numérico, que si bienposee ya una amplia literatura, sigue siendo objeto de investigación y de pro-puesta de nuevos métodos para clases particulares de funciones.

Formalmente, consideremos la integral multivariable en el sentido de Le-besgue

ξ(R) =

∫

Rϕ(X)dX

donde ϕ(·) es una función Lebesgue integrable en multiples variables, defini-da en la región R.

Suponga que ϕ(X) = 0 para todo X ∈ Jm/R, esto hace que los valoresde las integrales sobre R y sobre J n coincidan.

Sea X(1), . . . , X(n) una colección de vectores aleatorios independientesdistribuidos uniformemente sobre J n.

Entonces

ξn(R) =1

n

n∑i=1

ϕ(X(i))

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es un estimador insengado de ξ(R) con desviación estándar

[∫R ϕ2(X)dX − ξ2(R)]1/2

n1/2

Siempre que∫R ϕ2(X)dX < ∞, su error es igual a O(1/n−1/2).

B.1.1. Algoritmo del método Monte Carlo

Acontinuación se presente el algoritmo ξn que describe el método estándarde Monte Carlo, estimación de ξ y varianza de ξn, V ar(ξn) = σ2

n, donde

σ2 = V ar(ϕ(X)) =

∫

Rϕ2(X)dX − ξ2(R).

La estimación estándar de σ2 es dada por:

σ2n =

1

n− 1

n∑j=1

[ϕ(X(j))− ξn]2

el cual converge en probabilidad a σ2, esto es,

P [ lımn→∞

σ2n − σ2] = 1.

Y σ2n/n es un estimador insesgado de V ar(ξn) = σ2/n.

El método de Monte Carlo puede emplearse en un cuadro más general, através de la observación que cuando existe la integral de Lebesgue

ξ(R) =

∫

Rϕ(X)dX,

su valor coincide con el de una integral de Lebesgue-Stieltjes∫

R∗k(Z)dF (Z)

donde R∗ es una región incluida en IRm (posiblemente no acotada), y k(·)una función medible (posiblemente no acotada) en R∗, y F (·) es una funciónde distribución en los conjuntos medibles de R∗ (F (R∗) = 1). Al ser Funa función de distribución, puede interpretarse como la esperanza de k(Z),donde Z es un vector aleatorio de dimensión m y distribución F .

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Algoritmo ξn

Propósito: Estimar ξ.

Entrada: Función ϕ(X) : X ∈ Jm, muestra de tamaño n, y nivel de confianza1− δ.

Salida: Estimador puntual insesgado de ξ, V ar(ξn), y el porcentaje 100(1− δ)del intervalo de confianza de ξ,.

Método:

1. j ← 1, S ← 1, y T ← 1.

2. Mientras j ≤ n :

a) i ← 1. Mientras i ≤ m : Generar aleatoriamente X(j)i de la distribu-

ción uniforme U(0, 1); i ← i + 1.

b) Evalua ϕ(X(j)i )

c) Si j > 1, T ← T + (T − 1/j)[ϕ(X(j)i )− S/(j − 1)]2

d) S ← S + ϕ(X(j)i )

e) j ← j + 1

3. Calculo y resumen del estadístico

a) ξn ← S/n.

b) σ2n ← T/(n− 1)

c) V ar(ξn) ← σ2n/n)

d) Calculo del 100(1− δ) porciento del intervalo de confianza por ξ

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