“falsas” - ningapi.ning.com/files/pwx68gfnuucbge1yul7vqt1ozvlnqtw...coinciden en estas medidas...
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Las medidas de la Gran Pirámide de Keops, aunque toda la bibliografía, evidentemente unas copia de
otras, se empeñan en decirnos que mide exactamente 440 x 280 codos, pues bien, estas medidas no
son exactas. Antes de proceder a dar las que considero como correctas, vamos a ver algunas cosas
que con un par de operaciones matemáticas quedan al descubierto como incorrectas o “falsas”.
Si digo esto, es porque, un monumento milenario que en sus medidas es capaz de contener, según
algunas publicaciones, videos, libros, etc. avalados por autores que parece gozan de un “status” o
prestigio académico del que no se puede dudar, desde el número Pi, hasta la velocidad de la luz, la
masa de la tierra y su perímetro, las coordenadas geográficas, la velocidad de rotación de la tierra, el
calendario anual, la precesión de los equinoccios, y un largo legado de deducciones que dejan
boquiabierto al profano, pues a primera vista, parece que los datos de la Pirámide tienen que ser
exactos, o bien todos los demás datos estarán mal calculados, quédese con lo que le parezca más
adecuado.
Vamos a empezar por la más sencilla de las demostraciones, el duplo de la base dividido por la altura
es igual al número Pi, veamos 440 x 2 = 880 dividido entre 280 pues exactamente 3,1428571..., esto
no es el número Pi, pero lo justifican diciendo que esta es una buena aproximación para los egipcios,
pues puede ser, pero no se como pudieron calcular “exactamente” las proporciones de la tierra, la
velocidad de la luz, las coordenadas, y todos los demás supuestos.
Llegados a este punto alguno me dirá porque no utilizo las medidas en “metros” que también dan los
autores. Sencillamente, el resultado tendría que ser el mismo y es más fácil utilizar los codos para el
cálculo. No obstante vamos a complacerles.
Esta universalmente aceptado que el codo tiene una medida de 0,5236067.., pues bien, vamos a ver
cuanto mide la pirámide en metros, como ejercicio puedes hacer las operaciones, 230,38694 de base
y una altura de 146,60987 metros, toda la bibliografía consultada, excepto en algún decimal,
coinciden en estas medidas como las de la Gran Pirámide.
Hay dos grupos de teóricos, los que basan la Pirámide en el número Phi, y el otro en el número Pi,
pero increíblemente los dos grupos terminan aceptando las medida de 440 x 280 codos.
Veamos, Phi es igual raíz cuadrada de cinco más uno, dividido todo entre dos es igual a 1,61803398..
luego dicen que si la base mide 1 la altura es igual raíz cuadrada de Phi y la hipotenusa es el número
Phi, dado que son operaciones matemáticas los tenemos que dar como exactos.
1
Phi Phi
1,618033988750
1,272019649514
RAZON ALTURA / SEMIBASE
1,272019649514
ALTURA 280 CODOS
SEMIBASE 220 CODOS
RAZON 1,272727272727
Phi
Phi
Evidentemente dos razones muy parecidas, podemos decir
iguales, si utilizamos solo los dos o tres primeros decimales.
Pero si trabajamos con todos los decimales, vemos que la
razón no es correcta. Por tanto, la base en codos, o la altura
no son correctas, o bien ambas. Si la base la multiplicamos por
220 para obtener los codos, la altura por 1,272... nos da un
resultado de 279,844, no 280 codos. Esto con ser importante
no es lo más relevante, a continuación veremos lo que dice
Herodoto sobre la Gran Pirámide.
He visto en un documental de una importante
revista, que afirma que la construcción de la
pirámide está basada en el número Phi, dice, que el
doble de la base menos la altura, es igual 314,16,
esto es, 100 veces Pi, evidentemente me imagino
que la altura aceptada para que cuadre será la de
280 codos ya que si operamos con la real da como
resultado otro número diferente. Aceptamos Phi
como principio constructivo, o si pero no, porque la
pirámide tiene otras medidas. Traduciendo los codos
a metros tenemos, base de la pirámide 230,38699..,
altura 146,52838.., luego dos veces la base menos
la altura 314,24559 no 100 veces Pi.
Veamos lo que dice Herodoto sobre la
Pirámide. Si se levanta un cuadrado sobre
su altura, su superficie corresponderá a
cada una las superficies triangulares.
ALTURA 280 CODOS
SUPERFICIE 78.400
SEMIBASE 220
ALTURA 280
HIPOTENUSA 356,089876295297
BASE 440
AREA 78.339,772784965365
Muy parecidas las dos superficies, pero
no iguales, no creo que una civilización
que es capaz de medir la tierra, la
velocidad de la luz y otros fenómenos
astronómicos, pueda cometer estos
errores de cálculo. Si a esto añadimos,
que dando como válidas otras medidas,
a partir de Phi, dan valores idénticos
para las dos superficies, la elección
esta clara, los números 440 x 280 no
son correctos, aunque estén aceptados
universalmente. Luego están los que
dicen que la pirámide tiene ocho caras,
por una fotografía sin ninguna otra
evidencia. Esto empeora las cosas ya
que todas las mediciones “in situ” han
tenido que ser erróneas.
Desde que el genial y erudito Flinders Petrie, que ocupo la primera cátedra de Egiptología en el reino
Unido, y escribió unos 97 libros, uno de los cuales publicado en el año 1988 removió los cimientos de
la arqueología ( The Pyramids and Temples of Gizeh ), todo un clásico, le llaman la Biblia de la
egiptología, con las medidas completas de la Gran Pirámide, interior y exterior, nadie ha vuelto ha
realizar un trabajo de tal envergadura. Todo lo que conocemos se lo debemos a Petrie.
Petrie midió con los aparatos más modernos de la época, eso sí, un poco rudimentarios actualmente,
hay fotos en la que se le ve paseando con una vara de madera calibrada en pulgadas imperiales
británicas, tuvo que hacer la conversión a codos, y todo esto encajarlo para mantener el ángulo de la
pirámide, tal vez, por todo esto tuvo que forzar alguna medida, dado que la pirámide está incompleta,
le falta la cúspide, y al exterior prácticamente todo el revestimiento, si a esto añadimos que lo que
queda está muy deteriorado por el paso de los milenios y las inclemencias del tiempo, pues que la
medición directa exacta, resulta imposible físicamente.
Como británico trabaja con la pulgada imperial
como unidad, y fabrica un codo para que coincida
con su pulgada, veamos un codo equivale a 20,6
pulgadas, por tanto 62 pulgadas no son 3 codos
exactos, el mismo caso se da con la medida de
41 pulgadas que no son 2 codos exactos. Por otra
parte vemos que el codo de Petrie mide en metros
20,6 x 2,54 = 0,523245 medida muy próxima al
codo real que sale por geometría 0,52360679775
pero que Petrie tuvo que adaptar ya que trabaja
con pulgadas, por tanto, a partir de este momento
no considero las referencias totalmente válidas.
Ya hemos visto que desde Petrie, al menos interiormente, nadie ha medido la Pirámide con tanta
exactitud y detalle, aunque si leéis el libro os daréis cuenta de lo farragoso y poco precisos que
resultan algunos pasajes, no hay un solo dibujo, por tanto las referencias de inicio y fin de las
medidas no están bien definidas, tras este paréntesis, continuamos, el exterior ha sido medido por
otros grandes científicos y matemáticos, pero todos, obsesionados con que las medidas de la
Gran Pirámide están relacionadas con el número Pi, y sin atreverse a desautorizar a Petrie han
dado medidas muy similares a 440 x 280 en codos, variando solo unos centímetros sus
mediciones, pero sin tener en cuenta las indicaciones que los sacerdotes le hicieron a Herodoto,
“la superficie del cuadrado levantado con la altura es igual a la superficie de una cara de la
pirámide”. Por tanto si no se cumple esta premisa, las medidas no pueden ser correctas.
En vista de lo anterior, y por estudios posteriores,
he llegado a la conclusión de que las pirámides “NO
SE MIDEN, SE DIBUJAN”.
Desafortunadamente, no hay un solo boceto, dibujo
o jeroglífico, que corrobore esta teoría, y si lo hay, lo
tienen a buen recaudo.
Pero como veremos más adelante, esta teoría
cumple en todos los extremos con lo que apuntó
Herodoto, relaciona a Phi con la Pirámide, y los
trazados son exactos.
Antes de entrar en materia me gustaría hacer una pequeña comprobación con una pirámide que
mide un metro menos de larga y otro menos de alta, aproximadamente, que la “oficial”, y que esta
si cumple con Herodoto.
LA SUPERFICIE DEL CUADRADO
CONSTRUIDO CON LA ALTURA
ES IGUAL A LA DEL TRIANGULO
BASE DE LA PIRAMIDE Y ALTURA
LA APOTEMA DE LA MISMA
AREA CUADRADO TRIANGULO
( Lado ) 2 ( 2b * c ) / 2
21.206,075308841 21.206,075308841
A Altura 145,6230589875
2b Base 228,9635369125
C Apotema 185,2853924544
Los defensores de esta teoría ( medidas de 440 x 280 codos ), defienden en última instancia, que
aunque hay premisas que no se cumplen, estos ligeros errores, unos pocos centímetros en tantos
metros no tienen ninguna relevancia. No he oído disparate mas contundente para pretender
justificar un error, cualquier construcción geométrica debe pasar el filtro de la verificación
matemática para ser considerada exacta. Esta misma teoría la mantienen los que resuelven la
pirámide a partir de un heptágono sin aportar un solo número y engañan a los ingenuos que no se
dan cuenta que una construcción de 230 metros en el terreno, en un papel de 23 centímetros,
cada centímetro equivale a 1.000, esto es igual a 10 metros, por tanto los errores que no puede
detectar la vista, segmentos que no son perpendiculares, triángulos rectángulos que no cumplen
el teorema de Pitágoras, y otros similares, pueden pasar desapercibidos, como lo son en efecto.
Esto también lo tengo resuelto pero como es un caso especial no le dedicaremos más tiempo.
Se puede estar a favor o en contra de una teoría, pero lo mínimo que se debe pedir, es que las
cosas más básicas como las sumas, restas o multiplicaciones sean exactas, no se puede decir
esta es la “buena” y que no cumpla ninguna verificación matemática.
Mediatriz de un segmento: es la recta
que pasa por el punto medio de un
segmento y es perpendicular a éste.
En un triángulo se pueden trazar tres
mediatrices, una por cada lado del
triángulo, las cuales se cortan en un
punto denominado CIRCUNCENTRO.
El circuncentro es el centro de una
circunferencia circunscrita que pasa
por los vértices del triángulo.
Mediante las fórmulas de Herón se
pueden obtener los dos lados ( e - d )
del triángulo y por Pitágoras, el radio. d
e
A
B C a
b c
B - C 228,963536912532
B - G ( d ) 114,481768456266
A - G 145,623058987491
F - G ( e ) 27,811529493745
A - F 117,811529493745
B - F 117,811529493745
A - H 235,623058987491
G - H 90,000000000000
F
G
H
Bisectriz de un ángulo: es la recta que divide a un
ángulo en otros dos ángulos congruentes entre sí.
En un triángulo se pueden trazar tres bisectrices, una
por cada ángulo del triángulo, las cuales se cortan en
un punto denominado INCENTRO.
El incentro es el centro de una circunferencia inscrita
que es tangente a los lados del triángulo.
A - B 228,963536912532
A - D ( d ) 114,481768456266
D - C 145,623058987491
D - E ( e ) 55,623058987491
A - C 185,235392454434
A - F 114,481768456266
F - C 70,753623998168
A - E 127,279220613579
C - E 90,00000000000
A B
C
D
E
F
d
e
Como vemos el Incentro también da lugar a una
medida exacta a partir de unas medidas con
doce decimales. Pero además una de las
partes de la hipotenusa, mide lo mismo que la
semibase 114,481768456266.
.
En su momento explicaremos con detalle de donde proceden estas medidas,
siempre trabajaremos con doce decimales para comprobar la exactitud de
los resultados. Lo primero que salta a la vista es que en estas figuras hay un
segmento que mide 90 metros exactamente, por diferencia de longitudes, y
eso al trabajar con doce decimales no puede ser casual.
Por otra parte ya hemos visto que cumple la premisa de Herodoto, por tanto,
de hay a considerar estas medidas como válidas solo hay un paso. Bueno
alguien puede pensar como unas medidas con doce decimales la podemos
considerar “exactas”, cuando pasemos a explicar el proceso en detalle lo
entenderá.
Soy un defensor de Phi como elemento constructivo de la Gran Pirámide, por
dos motivos, el primero es que se puede dibujar, por tanto, los números
pasan a ser segmentos que se pueden verificar matemáticamente, y que se
ajusta perfectamente a mi teoría de que “LAS PIRAMIDES NO SE MIDEN,
SE DIBUJAN”. Por otra parte este número tiene una serie de propiedades
únicas, que iremos viendo, pero además se puede obtener por cálculo y
gráficamente.
Para empezar, diremos que Phi es igual a 1,618033988750 que su cuadrado
es igual a 2,618033988750, que es lo mismo que ( Phi + 1). Uno dividido
entre Phi es igual 0,618033988750, esto es, ( Phi - 1 ). Su raíz cuadrada es igual a 1,272019649514.
Por cálculo se obtiene a partir de la raíz cuadrada de cinco más uno dividido todo entre dos. A continuación vamos a obtenerlo gráficamente.
A - B 1,000000000000
C - B 0,500000000000
C - D 1,118033988750
C - E 1,118033988750
B - E 0,618033988750
A - E 1,618033988750
A B
D
E C
5 - 1( 2/)PHI =
Una vez resuelto Phi de una forma gráfica
tan sencilla, viene la pregunta inevitable,
conocían el metro los egipcios.
Este es otro problema añadido, cuando pregunto, como los egipcios podían conocer el metro,
necesario para resolver el número Phi y el codo piramidal, siempre me contestan lo mismo, el
metro es un descubrimiento relativamente reciente, al menos implantado a partir de 1875. Pero
los “egipcios” conocían el número Phi y el teorema de Pitágoras, de eso no tengo ninguna duda,
si no es imposible construir la pirámide, por tanto, el conocimiento del metro parece inevitable.
De donde sacaron tales conocimientos, es otra historia, lo único claro es que los tenían.
A partir de este momento basaremos todos los cálculos en la hipótesis de que Phi es el elemento
clave para la construcción de la pirámide, tanto a nivel gráfico como matemático.
En la página siguiente desarrollamos los trazados básicos para obtener las medidas principales.
Una vez confirmado que la Pirámide está construida en base al numero Phi, como habíamos prometido,
vamos a analizar algunas particularidades intrínsecas asociadas a este número extraordinario.
1,618033988750
2,618033988750
0,618033988750
1,618033988750
2,618033988750
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE PHI
PHI = Ф
Ф2 = 1 + Ф
Ф = 1 + 1 / Ф
1 / Ф
Ф2
2,618033988750
4,236067977500
6,854101966250
11,090169943749
Ф2 = 1 + Ф
Ф3 = Ф + Ф2
Ф4 = Ф2 + Ф3
Ф5 = Ф3 + Ф4
Фn = Фn-2 + Фn-1
2,618033988750
4,236067977500
6,854101966250
11,090169943749
17,944271909999
SERIE DE FIBONACCI
Ф2 = 2 + 1 / Ф
Ф3 = 3 + 2 / Ф
Ф4 = 5 + 3 / Ф
Ф5 = 8 + 5 / Ф
Ф6 = 13 + 8 / Ф
Además de éstas, tiene otras muchas propiedades,
pero para no desviarnos del tema, dejamos que
cada uno las investigue por su cuenta, a nosotros
con estas nos vale para probar las propiedades del
número Phi, también llamado áureo.
Una de las propiedades más significativas, tanto
del cuadrado como del inverso, es que conservan
intactos todos sus decimales.
Y otra más para finalizar, al elevar el número Phi a
una serie de potencias sucesivas, tanto el termino
independiente como el divisor de Phi, siguen la
serie de Fibonacci, esto es, el número siguiente es
igual a la suma de los dos números anteriores o
precedentes.
A
B
C
A - B 1,618033988750
C - B 1,000000000000
C - A 1,272019649514
A1,618033988750
1,00
1,272019649514
Hemos visto que fácilmente se halla
1,618033 y a partir de este 1,272019
Está suficientemente claro, no medían con números con decimales,
medían con segmentos geométricos. De esta forma tan sutil podemos
llegar a entender porqué la base de la Pirámide de Keops mide 90
unidades geométricas y la altura otras 90, cada una en su unidad.
Una, 1,618 es el número Phi y la otra, 1,272 es la raíz cuadrada de Phi.
En general, muchas de las medidas, por no decir todas, se generan a
partir de triángulos rectángulos, fáciles de dibujar y fáciles de verificar.
GENERACION DE SEGMENTOS DE MEDICION
SE PARTE DE ALGUN NUMERO ENTERO
EL RESTO ES PURA GEOMETRIA
Los Egipcios utilizaban dos sistemas de medición, uno para las medidas
horizontales y otro para las verticales, pues la cosa parece que tiene
sentido. Pero todavía no ha aparecido el codo egipcio “exactamente” en
ninguna medida exterior , pues es verdad, esta unidad solo es utilizada,
como tal, en el interior de la Gran Pirámide. De esto deducimos que las
medidas en codos dadas por Petrie son una mera suposición.
Evidentemente los que diseñaron las pirámides hacían cosas prodigiosas
sin que conozcamos su significado. A veces incluso nos cuesta descubrir
una medida, no digamos su simbología, o utilidad práctica, hasta la fecha
no lo ha hecho nadie, no hay evidencias concretas, y eso que están
trabajando en el tema especialistas de renombre internacional. De las
mediciones de la hiladas que realizó Fliders Petrie, se deduce que no
hay dos iguales, es más, van disminuyendo de tamaño a medida que se
acercan a la cúspide, pero no siguen un patrón, ya que a intervalos
irregulares hay bloques mucho más grandes que los anteriores. Tampoco
estas medidas están relacionadas exactamente con el codo.
No obstante el codo esta íntimamente relacionado con el número Phi, si
elevamos Phi al cuadrado obtenemos una cantidad igual a Phi mas 1, y
dividiendo todo por 5 nos da exactamente el valor del codo, por tanto
aunque a primera vista el codo como tal no aparece, está implícito en las
medidas múltiplos de Phi.
Vamos a ver la forma gráfica de obtener el codo, y tal vez así podamos
entender mejor como manejaban algunas medidas. Evidentemente hay
medidas que a primera vista no “dicen nada” pero que son múltiplos o
fracciones del codo, por tanto en principio vamos a tratar de esta medida
en profundidad.
A - B 1,000000000000
B - C 0,500000000000
A - C 1,118033988750
A - D 0,894427191000
D - C 0,223606797750
B - D 0,447213595500
C - E 0,100000000000
E - B 0,400000000000
E - F 0,200000000000
F - B 0,200000000000
C - F 0,300000000000
C - G 0,223606797750
F - G 0,523606797750
F - G CODO / CODO REAL
Esta es la forma gráfica más sencilla
que conozco para hallar el codo de la
Gran Pirámide de Keops.
En principio se parte de la recta A - B
igual a la unidad, lo que implica que
también conocían el sistema métrico
decimal.
El resto trazado gráfico y verificar por
Pitágoras.
A B
C
D E
F
G
En realidad el codo es una fracción
de la unidad del sistema métrico
decimal. Se puede dibujar a partir
de una recta que mida la unidad.
En D el ángulo
es recto por
construcción.
Los perímetros de todos los triángulos de la parte superior
numerados del 1 al 9 miden exactamente los mismo, un
codo 0,523606797750. Comprobar por Pitágoras.
Los perímetros de los triángulos inferiores miden un codo,
y un metro piramidal, esto es, el doble del codo, y hay dos
triángulos llamados Isiacos, proporcionales a los números
3,4,5
12
3
4 5
6
78
9
A - B 1,000000000000
B - C 0,500000000000
A - C 1,118033988750
C - D 0,223606797750
D - A 0,894427191000
B - D 0,447213595500
E - F 0,400000000000
F - C 0,200000000000
B - F 0,300000000000
C - E 0,447213595500
B - E 0,400000000000
E - F 0,200000000000
E - C 0,100000000000
E - D 0,200000000000
D - C 0,223606797750
A
B C
D
E
E
F
E - D - C 0,523606797750
B - E - D 1,047213595500
F - E - C 1,047213595500
B - F - E 0,3 - 0,4 - 0,5
B - E - G 0,3 - 0,4 - 0,5
G Dominaban la geometría,
y como se ve, el codo y
el metro son segmentos
que se pueden obtener
gráficamente.
0,523606797750
1,047213595500
A - C 1,118033988750
B - C 0,500000000000
PHI 1,618033988750
1 / PHI 0,618033988750
PHI - 1 0,618033988750
PHI + 1 2,618033988750
( PHI ) 2 2,618033988750
A - B - C 2,618033988750
( A - C ) / 5 0,223606797750
CODO ANTERIOR + 0,30
CODO 0,523606797750
CODO x 2 1,047213595500
METRO 1,047213595500
PHI +1 / METRO 2,500000000000
Además del codo y el metro piramidal, con el triángulo doble
se puede obtener el número Phi, su cuadrado, su inverso y
algunas otras relaciones métricas. Por ejemplo Phi, es igual
a la suma de la hipotenusa más el cateto base.
A
B C
Hay otra serie de relaciones geométricas y
matemáticas, solo es cuestión de coger la
calculadora y descubrirlas. Me pregunto
como lo hicieron los Egipcios.
RESOLUCION GRAFICA DEL CODO Y METRO PIRAMIDAL
A - B 2,618033988750
A - C 1,309016994375
C - B 1,309016994375
C - D 2,618033988750
B - D 2,972050983125
E - B 0,523606797750
E - F 1,047213595500
B - F 1,170820393250
C - E 0,785410119662
A - E 2,094427191000
B - F 1,170820393250
A - F 2,341640786500
F - D 1,756230589875
A - D 2,927050983125
C - G 0,654508497178
A - G 1,463525491562
G - F 0,878115294493
G - D 1,963255491562LA NOMENCLATURA DE CODO Y METRO PIRAMIDAL SE MANTIENEN
PERO COMO SE VE SON CONSTRUCCIONES GRAFICAS SIMPLES
A
B
C D
E F
G
CODO
METRO
1 / 2
SE PARTE DE UNA CIRCUNFERENCIA
DE 2,618033988750 DE DIAMETROCODO X 2 = METRO
1,00
2,00
0,75 3,00
1,50
4,00
4,00
5,00
2,50
1,25 0,90
1,60
1,20
OBTENCION GRAFICA DEL
CODO Y SUS DERIVADOS
PARA LOS MULTIPLOS
DUPLICAR LAS MEDIDAS
TAMBIEN SE PUEDEN SUMAR
SEGMENTOS ADYACENTES
EL METRO PIRAMIDAL SE
OBTIENE CON DOS CIRCULOS
Hemos visto que el codo y sus múltiplos se obtienen de forma gráfica
a partir del número Phi, y matemáticamente, por supuesto, que la
Pirámide en sus medidas exteriores esta relacionada exactamente con
este número, que además, cumple con la premisa de las áreas
laterales y la altura de Herodoto, que su volumen esta relacionado
exactamente con un número de bloques que tienen las mismas
proporciones que las medidas de la base y altura de la pirámide, las
diferencias del Incentro y Circuncentro con la altura de la Pirámide son
exactas, y un largo número de otras, llamadas “coincidencias”, de
doce decimales, verificables matemáticamente, que escapan de la
casualidad y entran de lleno en el cálculo geométrico y matemático.
Hay personas que no admiten que los Egipcios conocían el número
Phi, el teorema de Pitágoras y algunos otros cálculos matemáticos
necesarios para construir la pirámide, su planteamiento, esto es, su
dibujo previo, ya que dada la complejidad de la construcción esto era
totalmente necesario, pero la pirámide está, pero si los Egipcios no
tenían estos conocimientos, quién hizo las pirámides. Como éste, es
otro tema de debate, lo dejamos estar, y nos centramos en el que nos
ocupa, las pirámides no pueden medir 440 x 280 codos, entre otras
cosas, porque esta no es la medida utilizada en el exterior de la
Pirámide, además, aún dando por válido este supuesto, como ya
hemos visto no cumple con Herodoto, ni con ninguna de las otras
deducciones citadas, no tengo claro porque se empeñan en mantener
estos datos como válidos. Con los métodos actuales de medición, este
problema se resolvería en poco tiempo, pero en Egipto, las
mediciones están prohibidas, los permisos son tan especiales, que
nadie los consigue, ¿Por qué será ?.
1 2 3 4
5 6 7
8 9
Radio = 1
0,5
1,25
1,25
AlturaALTURA DE LA PIRAMIDE
1,6180339887 = PHI
El siguiente paso es hallar la base
de la pirámide, para ello trazamos
una tangente a la circunferencia
de radio 1, que a su vez será
perpendicular al radio en el punto
de contacto. Por tanto, con los dos
datos conocidos, altura y radio
determinaremos la base, que nos
permitirá continuar con el proceso.
Esto a efectos de cálculo. La solución
gráfica es mucho mas sencilla, como
veremos a continuación.
Radio = 1
0,5
1,25
1,25
AlturaSEMIBASE DE LA PIRAMIDE
114,4817684563
El procedimiento es sencillo,
conocida la altura, con este segmento
como radio, trazamos el arco BD
hasta que corte la línea base,
el segmento A - D , es la semibase
de la pirámide.
A
C
Semibase
Altura
Radio
1,2720196495AD
1,6180339887AC
1,0000000000AB
B
D
E
Como ya sabemos,
para hallar un dato real,
se multiplica el teórico
por 90, radio real.
Radio = 1
0,5
Altura
1
Base
Hipotenusa
Radio 1,0000000000
Altura 1,6180339887
Base 1,2720196495
Hipotenusa 2,0581710273
Radio 90,0000000000
Altura 145,6230589875
Base 114,4817684563
Hipotenusa 185,2353924544
METODO GRAFICO
PARA DETERMINAR
LA PIARMIDE
Altura 145,6230589875 1,618033988750 90
Base 114,4817684563 1,272019649514 90
Hipotenusa 185,2353924544 2,058171027271 90
EN LA CONSTRUCCION DE LA PIRAMIDE UTILIZAN VARIAS MEDIDAS UNAS PARA LAS HORIZONTALES
OTRAS PARA LAS VERTICALES Y ADEMAS INTERVIENEN LAS OBLICUAS O HIPOTENUSAS PERO
ESTO NO ES TODO LAS HAY RELACIONADAS CON EL CODO Y OTRAS CON EL METRO PIRAMIDAL
ESTO ES SU DOBLE - A PARTIR DE UNOS POCOS EJEMPLOS VEREMOS ESTAS RELACIONES
Base ( a + b ) 70,7536239982 43,7281444581 114,4817684563
Parcial ( a ) 70,7536239982 1,272019649514 55,6230589875
Parcial ( b ) 43,7281444581 1,272019649514 34,3769410125
En ningún caso 90 55,6230589875 34,3769410125 90,0000000000
Parcial ( a ) 70,7536239982 0,786151377757 90,0000000000
Parcial ( b ) 43,7281444581 0,485868271757 90,0000000000
Suma parciales 0,786151377757 0,485868271757 1,272019649514
LO MAS CURIOSO ES QUE ESTOS
RATIOS EN ALGUNOS CASOS
SOLO FUNCIONAN CON LAS
MEDIDAS TOTALES ( VER EJEMPLO )
Son muy complejas las relaciones numéricas de la pirámide, los números
enteros sólo se dan en algunas razones, pero en todos los casos hay
alguna relación con el número Phi o sus derivados, por ejemplo,
1,272019649514 / 0,786151377757 = 1,618033988750
145,6
230589875
90,0
0
90,0
0
185,235924544
114,4817684563
114,481768456370,7536239982
235,6
230589875
145,6230589875 1,618033988750 90
114,4817684563 1,272019649514 90
185,2359245443 2,058171027271 90
235,6230589874 2,618033988750 90
70,7536239982 0,786151377757 90
299,7171609107 3,330190676786 90
2,058171027271 1,618033988750 3,330
DIVISORES DEL TRIANGULO FUNDAMENTAL
ALTURA 145,6230589875
SEMIBASE 114,4817684563
SEMIDIAGONAL 161,9016695953
APOTEMA 185,2353924544
ARISTA 217,7572637746
RESOLUCION GRAFICA DEL ANGULO DE LA PIRAMIDE( La comprobación numérica la desarrollaremos en la pagina siguiente )
1 - Con radio AB trazamos el círculo CD, sobre la perpendicular AC - AD
2 - Por el punto medio de AC ( E ) trazamos un círculo con radio ED - EG - EF
3 - Con centro en A trazamos el circulo FH
4 - Por H trazamos una perpendicular a AH hasta que corte al círculo CD en B
5 - Unimos A con B
6 - Los segmentos AH - AB determinan el ángulo de la pirámide
A
B
C
D
EF G
H
510 49 38
A - B 1,0000000000
A - E 0,5000000000
E - C 0,5000000000
E - D 1,1180339887
E - F 1,1180339887
A - F 0,6180339887
A - H 0,6180339887
H - B 0,7861513778
SENO 0,7861513778
ARCO 0,9045568943
ANGULO 51,8272923730
ANGULO 510 49 38
RESOLUCION NUMERICA DEL ANGULO DE LA PIRAMIDE
Toda la resolución se basa en el Teorema de Pitágoras
y las conocidas fórmulas del seno, arco seno y ángulo.
B
CA
D
EF G
H
Además del ángulo de la pirámide
este trazado resuelve la pendiente
del corredor de entrada en el
triángulo ADE, ángulo 260 33 54
A - D 1,0000000000
A - E 0,5000000000
E - D 1,1180339887
SENO 0,4472135955
ARCO 0,4636476090
ANGULO 26,5650511771
ANGULO 260 33 54
El ángulo que forma la altura con el radio
de tangencia, es el mismo que forman la
tangente con la base de la pirámide.
CA
B
m
n
c
a
b
h
D E
e
CA
B
m
n
c
a
b
h
CA
B
m
n
c
b
h
a
g
k
Angulo A 510 49 38
B
CA
D
EF G
H
Angulo B 380 10 22
Con lo expuesto hasta el momento creo que las medidas de la pirámide son
correctas, tengo realizados otros muchos cálculos que así lo confirman, por
lo tanto, doy por zanjado el asunto.
No obstante y como colofón final vamos a ver cual es el volumen de la
pirámide, y cuantos bloques básicos caben en la misma. Es una curiosidad
pero es un número exacto, que parece imposible al dividir cantidades con
doce decimales.
BASE PIRAMIDE 228,963536912532
SUPERFICIE 52.424,301235496593
ALTURA 145,623058987491
VOLUMEN 2.544.729,037064897790
BASE 1,272019649514
SUPERFICIE 1,618033988750
ALTURA 1,618033988750
VOLUMEN 2,618033988750
NUMERO DE PIEZAS 972.000
Hay otras muchas “coincidencias” pero de doce decimales, por lo tanto
estamos hablando de geometría en estado puro y de matemáticas.
Fernando Güemes Andrés