MATEMÁTICA FINANCIERA

ANUALIDAD Y AMORTIZACIÓN

Concepto de anualidad y aplicaciones principales

Anualidad: Se aplica a problemas financieros en los que existen un conjunto de pagos iguales a

intervalos de tiempo regulares.

Aplicaciones típicas:

Amortización de préstamos en abonos.

Deducción de la tasa de interés en una operación de pagos en abonos

Constitución de fondos de amortización

Definición: Las anualidades son una series de pagos que se realizan para pagar o cancelar una inversión o deuda inicial, los pagos deben ser equivalentes en el tiempo y a una tasa de interés al valor inicial.

Ahora de manera práctica, tómese este ejemplo: P= $ 1000 TEM=0.03 n=1 mes

Si usted se acuerda de capítulos anteriores, recordara que la manera para calcular F es: F=1000(1+0.03)1 =1030 Ahora incorporaremos anualidades en el ejemplo, supóngase que P es un préstamo de $

1000 que deberá ser pagado en dos cuotas mensuales iguales, utilice la misma tasa.

Antes de adentrarnos en formulas y reglas específicas abordaremos un poco de teoría básica

que nos permitirá comprender la mecánica de las anualidades y hará su cálculo mucho más simple.

Primero hay que entender que todos los flujos positivos y los todos los flujos negativos son equivalentes en un periodo de tiempo a una tasa dada de interés.  Esto significa que si

pasamos los dos valores de x al periodo 0 utilizando la tasa de interés serian iguales a 1000. Ahora ¿Cómo avanzamos o retrocedemos utilizando la tasa de interés?

Capitalizar: Añadir intereses (1+i)n

Actualización: Descuento, quitar interés 1/(1+i)n

Muy bien, volviendo al ejemplo, para calcular X, actualicemos sus valores hacia el periodo 0 y formemos una ecuación.

Haciendo algunos cálculos, el valor de x es 522.61 ¿Actualizar los valores hacia el periodo 0 es la única forma de calcular una anualidad?, la

repuesta es no. Llevando los valores hacia el punto 1:

X=522.61 Llevando los valores hacia el punto 2:

X=522.61

TIPOS PRINCIPALES DE ANUALIDADES

Anualidades ordinarias o vencidas cuando el pago correspondiente a un intervalo se hace al final del mismo, por ejemplo, al final del mes. Las anualidades empiezan a pagarse desde el periodo1

Anualidades adelantadas, cuando el pago se hace al inicio del intervalo, por ejemplo al inicio del

mes. Las anualidades empiezan a pagarse desde el periodo 0.

Ambos tipos de anualidades pueden aplicarse en un contexto de certeza, en cuyo caso se les llama

anualidades ciertas o en situaciones caracterizadas por la incertidumbre, en cuyo caso se les

conoce como anualidades contingentes.

Anualidad Diferida: Las anualidades empiezan a pagarse desde del periodo 2 o posterior, hay un periodo de gracia.

VALUACIÓN DE UNIDADES ORDINARIAS

Valor futuro de una anualidad ordinaria

Responde a la pregunta: ¿Cual es el monto o valor futuro de una suma de pagos iguales distribuidos

de manera uniforme a lo largo del tiempo?

El valor futuro de un conjunto de n pagos vencidos de valor R cada uno es:

(1.1.)

R = valor del pago regular.i = tasa de interés para cada uno de los intervalos de tiempo en que se ha dividido el plazo completo.n = número total de intervalos de la operación.

Ejercicios:1. Una persona se ha propuesto depositar $ 320 mensualmente durante 2 años (24 meses) en

una cuenta bancaria que paga el 18 % anual de interés (1.5 % mensual). ¿Cuál será la cantidad acumulada al final de los dos años considerando que el banco capitaliza mensualmente los intereses?

Aplicando (1.1):

(b) Valor presente de la anualidad.

Responde a la pregunta: ¿Cuánto vale hoy un conjunto de n pagos iguales a realizar a intervalos regulares en el futuro?La fórmula que responde a la pregunta es:

1.2.)

(1.2)Ejercicios: Una empresa tiene en su cartera de activos 10 pagarés de $ 200 cada uno y con vencimientos mensuales consecutivos. El primero de ellos vence dentro de un mes. La empresa necesita liquidez y planea venderlos a un banco, el cual ha aceptado la transacción considerando una tasa de interés de referencia del 24% anual (2% mensual). ¿Que cantidad recibirá la empresa si se realiza la operación? En otras palabras, ¿cuál es el valor presente de estos pagarés?Datos: R = 200, i = 0.02, n = 10Aplicando (1.2):

(a) El cálculo del pago regular (R)Responde a la pregunta: ¿Cuántos pagos (o abonos) se deben hacer para alcanzar un determinado valor futuro o valor presente, según sea el caso?Cuando conocemos el valor futuro, el pago regular se calcula como:

(1.3)

Ejercicios: Una empresa tiene una deuda de $ 1,000,000 a pagar en un única exhibición dentro de 10 meses y desea pagar en 10 pagos mensuales iguales a fin de mes. ¿Cuál es el valor del pago mensual si la tasa de interés mensual es del 1% (12% anual)?Datos: Valor futuro (S) = 1,000,000; i = 0.01, n = 10Aplicando (1.3):

La deuda se paga con 10 documentos iguales mensuales de $ 95,582.08Cuando conocemos el valor presente del problema la fórmula para encontrar el valor del pago es:

(1.4)

Ejercicios:4.4 Una persona que tiene disponible la cantidad de $ 1,250,000 desea utilizarlos para asegurarse un ingreso fijo mensual durante los próximos tres años. Con tal propósito, deposita esa cantidad en una cuenta bancaria renovable cada 30 días y una tasa de interés mensual del 0.8% (9.6% anual). Suponiendo que se mantuviera constante la tasa de interés, ¿qué cantidad debería retirar todos los meses para que al final de los tres años la cantidad depositada inicialmente se hubiese agotado por completo?Datos: Valor presente = 1,250,000, número de meses = 36; tasa de interés mensual = 0.8%.Aplicando (1.4):

Si retira $ 40,099.64 cada fin de mes la cuenta bancaria se agota en 3 años.El número de periodos en un problema de anualidadesResponde a la pregunta siguiente: ¿Cuánto tiempo se necesita para alcanzar cierto valor futuro o para agotar cierto valor presente mediante pagos regulares conocidos, dada la tasa de interés?5Si tenemos el valor futuro la fórmula es:Ejemplo:

(1.5)

Un trabajador sabe que en su cuenta de AFORE se le deposita $ 1,000 cada dos meses. Este trabajador se pregunta cuantos años tendrán que pasar para que en su cuenta se haya acumulado la cantidad de $ 800,000 considerando una tasa de interés anual del 18 % (3 % e interés bimestral). La AFORE capitaliza intereses cada dos meses.Datos: R = 1,000; i = 0.03; S = 800,000Aplicando (1.5):

VALUACIÓN DE ANUALIDADES ADELANTADAS

Cuando el pago regular se hace al principio del intervalo, las fórmulas son ligeramente diferentes:El valor futuro de la anualidad adelantada es:Ejercicios:

(1.7)

1.8 Hacer el cálculo del ejemplo 4.1, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.Datos: R = 320, i = 18 % (1.5% mensual), n = 24 (meses), Sa / n = ¿?

El valor presente de una anualidad adelantada se calcula como:

(1.8)

Ejercicios: Hacer el cálculo del ejemplo 4.4, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.Datos: Valor presente = 1,250,000, número de meses = 36; tasa de interés mensual = 0.8%.

AMORTIZACIÓN

Curiosamente, el término tiene dos significados prácticamente opuestos, dependiendo de si se usa

sobre un activo o sobre un pasivo. Cuando hablamos de amortización de un pasivo estamos

hablando de amortizar un préstamo o una hipoteca, por ejemplo, y es este significado el que se usa

más en el día a día. En cambio, cuando hablamos de amortización de un activo normalmente

hablamos de la depreciación de un bien previamente adquirido. Vamos a comentar más en detalle

ambos tipos de amortización.

Algunas formas de amortización son:

Pago de una deuda mediante pagos consecutivos al acreedor.

Extinción gradual en libros de una prima de seguros o bonos.

Reducción al valor en libros de una partida de activo fijo.

Depreciación o agotamiento.

También se puede mencionar que la amortización Se emplea referido a dos ámbitos diferentes casi

opuestos: la amortización de un activo y la amortización de un pasivo. En ambos casos se trata de

un valor, con una duración que se extiende a varios periodos o ejercicios, para cada uno de los

cuales se calculan una amortización, de modo que se reparte ese valor entre todos los periodos en

los que permanece.

CONCEPTOS DE AMORTIZACIÓN

Amortización financiera

Se entiende por amortización, el reembolso gradual de una deuda. La obligación de devolver un

préstamo recibido de un banco es un pasivo, cuyo importe se va reintegrando en varios pagos

diferidos en el tiempo. La parte del capital prestado (o principal) que se cancela en cada uno de esos

pagos es una amortización.

Amortización técnica o económica

Desde un punto de vista económico-contable, los fondos de amortización son aquellos que se crean

para compensar la pérdida de valor o depreciación que experimentan ciertos elementos

patrimoniales. Los fondos de amortización se crean por las dotaciones que se realizan cada año por

un determinado importe, de tal forma que al final de la vida económica del bien amortizado, la

empresa podrá reponerlo con la acumulación de las dotaciones efectuadas.

Desde el punto de vista lingüístico la expresión depreciación es más apropiada para reflejar la

pérdida de valor de los activos materiales (también llamados bienes de uso). Sin embargo, las

normas contables de algunos países eligen la expresión amortización.

CAUSAS DE LA DEPRECIACIÓN

La amortización económica recoge la depreciación de un bien. La amortización es la cuantificación

de la depreciación que sufren los bienes que componen el activo de una empresa. Esta depreciación

puede ser motivada por tres causas:

Depreciación física ocasionada por el simple paso del tiempo, aunque el bien no haya sido

empleado en ninguna actividad productiva.

Depreciación funcional a causa de la utilización del bien.

Depreciación económica, también llamada obsolescencia, motivada por la aparición de

innovaciones tecnológica que hacen que el bien sea ineficiente para el proceso productivo.

Para calcular la cuota de amortización para un periodo determinado existen diferentes métodos:

Existen varios métodos de cálculo de la amortización, de los activos inmovilizados (cuotas fijas,

crecientes, decrecientes,...). Se trata de técnicas aritméticas para repartir un importe determinado, el

valor a amortizar, en varias cuotas, correspondientes a varios periodos.

Vida útil : la vida útil de un activo es el número de años de duración del mismo.

Base de amortización : es la diferencia entre el valor de adquisición del activo y su valor

residual.

Tipo de amortización : es el porcentaje que se aplica sobre la base amortizable para calcular

la amortización anual.

MÉTODOS DE AMORTIZACIÓN

o Amortización constante, lineal o de cuota fija: cada año se asigna la misma cuota de

amortización.

o Amortización degresiva con porcentaje constante sobre el valor pendiente de amortizar.

o Amortización degresiva por suma de dígitos. Se asigna un dígito a cada año de la vida útil,

la cuota anual de amortización será el resultante de aplicar el cociente entre ese dígito y la

suma de todos, al valor amortizable.

o Amortización degresiva por progresión aritmética decreciente.

o Amortización progresiva.

o Amortización variable.

o Amortización acelerada.

o Amortización libre.

La amortización, en principio, cumple la función de garantizar el mantenimiento de la capacidad

productiva de la empresa, pero según el efecto Lohmann Ruchti, en determinados casos la

amortización puede contribuir a incrementar la capacidad productiva de la empresa.

Para que se cumpla este efecto se deben dar los siguientes requisitos:

Debe existir una fase de crecimiento de la empresa que requiera una mayor necesidad de bienes de

equipo. Divisibilidad del equipo productivo. Este incremento de la capacidad de producción se

puede conseguir mediante la adición de nuevos equipos a los ya existentes.

El modelo supone la inexistencia de inflación u obsolescencia tecnológica.

Si se cumplen los anteriores supuestos, los fondos liberados mediante el proceso de amortización

pueden ser dedicados a adquirir nuevas unidades de producción, que permiten la expansión

productiva de la empresa.

Seguro de amortización

El seguro de amortización de préstamos garantiza en caso de fallecimiento o invalidez del

prestatario el importe de la deuda restante.

OTRAS DEFINICIONES DE AMORTIZACIÓN

La amortización es la reducción parcial de los montos de una deuda en un plazo determinado de tiempo. La amortización toma curso cuando un prestatario le paga a su prestamista un monto del dinero prestado en un cierto lapso de tiempo, incluyendo las correspondientes tasas de interés. La deuda puede extinguirse de una sola vez, o bien, hacerlo en forma gradual por medio de pagos parciales por una determinada cantidad de tiempo, la que ha sido previamente establecida.

No sólo es posible comprender la amortización desde el punto de vista anterior. Existen otras definiciones, como por ejemplo, la recuperación de aquellos fondos que se han invertido en el activo de cierta empresa. Por otra parte, es posible definir la amortización como aquella compensación en dinero, equivalente al valor de los medios fundamentales de trabajo, los que podrían tratarse de maquinarias, o todo tipo de instalaciones. El valor mencionado pasa, gradualmente, a aquel producto obtenido, a partir del proceso productivo o a la tarea realizada.

Tomando en cuenta esta última definición, es necesario mencionar que los medios fundamentales de trabajo sufren un constante desgaste, que no es sólo material, ya que su propio valor se va transfiriendo al producto en el que se involucra su trabajo. Por otra parte, como consecuencia de la baja en el precio de la producción de medios de producción análoga, sufren un desgaste moral. Por último, es posible considerar el desgaste de éstos, producto de su envejecimiento a través de los avances científicos y técnicos.

Para poder sobreponerse a estos grandes desgastes de los medios fundamentales de trabajo, cada empresa debe realizar deducciones de amortización, a fin de crear un fondo de amortización; estas deducciones se incluyen en los costes del producto, el que se ve reflejado a la hora de determinar el precio para su venta.

TIPOS DE AMORTIZACIÓN

En la amortización de préstamos la cuota es la cantidad a pagar en la periodicidad pactada (generalmente de manera mensual).

La cuota está conformada por la parte del dinero del préstamos que devolvemos más los intereses correspondientes.

Los tipos de amortización más frecuente son 4:

Cuota constante

Su importe periódico es siempre el mismo (excepto si varía el tipo de interés). Para ello los intereses se van reduciendo a medida que avanza la amortización del capital. Esta es la forma más habitual de amortizar un préstamo hipotecario y la que ofrecen en general las entidades financieras.

Cuota creciente

Su importe periódico aumenta cada año a un porcentaje prefijado. Es una forma inusual porque aun teniendo la ventaja de que se paga menos al principio, la carga aumenta en el futuro y se pagan más intereses.

Cuota decreciente

Se amortiza siempre la misma cantidad de capital de forma que los intereses se van reduciendo progresivamente y la cuota a pagar va descendiendo. El inconveniente es que al principio se paga más.

Cuota fija

Cuando permanece invariable, incluso con modificaciones en el tipo de interés, lo que conlleva el reajuste continuo del plazo. Esta opción resulta interesante cuando se prevén oscilaciones importantes en los tipos de interés.

Ejemplo de cálculo de amortizaciones

Para terminar esta entrada sobre amortizaciones, vamos a ilustrar lo anteriormente expuesto con un ejemplo práctico. A continuación se expone el cuadro de amortización para un caso de compra de una máquina por importe de 6.490 euros (IVA incluido), que adicionalmente requiere un pago de 177 euros (IVA incluido) para su puesta en marcha. La vida útil de la máquina se estima en 5 años, con un valor residual de 500 euros:

Como se puede comprobar, hemos optado por un sistema de amortización constante, ya que la máquina pierde valor todos los años por igual. También hay que tener en cuenta que se ha contemplado la puesta en funcionamiento de la máquina a día 1 enero. Si se hubiese hecho el 1 marzo, el primer año aplicaríamos 10/12 de la cuota anual (10 meses) y llegaríamos al sexto año con 2/12 de la cuota anual (2 meses).

DIFERENCIAS ENTRE ANUALIDADES Y AMORTIZACIÓN

Diferencia 1.

Una Anualidad es una sucesión de pagos, depósitos o retiros, generalmente iguales, que se realizan en períodos regulares de tiempo, con interés compuesto. El nombre de anualidad no implica que las rentas tengan que ser anuales, sino que se da a cualquier secuencia de pagos, iguales o diferentes, a intervalos regulares de tiempo, independientemente que tales pagos sean anuales, semestrales, trimestrales o mensuales.

La amortización es un término económico y contable, referido al proceso de distribución en el tiempo de un valor duradero. Adicionalmente se utiliza como sinónimo de depreciación en cualquiera de sus métodos.

Diferencia 2.

Una anualidad es un producto financiero usado para crecer el dinero para dar al dueño una corriente constante de pagos en el futuro, por ejemplo cuando se retiran o un establecimiento estructurado. Las anualidades pueden ser pagadas por un período del tiempo específico tal como 20 años o durante el tiempo de la vida del dueño de la anualidad. Algunos se pagan en corrientes mensuales, trimestrales o anuales fijas del pago.

La amortización está pagando de deuda en instalaciones regulares sobre un período de tiempo por ejemplo con una hipoteca o préstamo. Con cada pago que usted haga, una porción de su pago se aplica hacia la reducción de su principal y otra porción de su pago se aplica hacia pagar el interés en el préstamo. Puede también ser la deducción de costos capitales sobre un período de tiempo específico (generalmente sobre la vida de activo). La amortización mide la consumición del valor de activos intangibles, tales como una patente o un copyright. Es similar a la depreciación salvo que se utiliza la depreciación al referir a activos tangibles tiene gusto de un edificio, o el equipo y la amortización se utiliza solamente para los activos intangibles.