antenas

Fundamentos de AntenasMARCELO GUARINI

Departamento de Ingeniería EléctricaPontificia Universidad Católica de Chile

1. Introducción• Una antena utiliza el voltaje y la corriente proveniente de una línea de

transmisión para emitir un frente de onda electromagnético (EM) al vacio o aun medio local circundante.

• En vez del voltaje y la corriente de una línea de transmisión, también es posiblealimentar una antena con los campos E y H provenientes de una guía de ondas

• En ambos casos la antena actúa como un transductor que permite igualar(acoplar) la linea de transmisión o la guía de ondas al medio que rodea laantena.

• El proceso de emisión se conoce como radiación y la antena emisora comoantena transmisora.

• Si una antena intercepta un frente de ondas, entonces absorbe una cantidad depotencia del frente, actuando como una antena receptora.

Tipos de antenas

Existen diversos tipos básicos de elementos de antena:• Monopolo• Dipolo• Radiador de bocina• Antena de ranura• Antena espiral• etc.

Estos elementos o antenas básicas también pueden disponerse en arreglos de diversas formas fijas o variables, controlados electrónicamente.Entre los arreglos más directivos se cuentan los utilizados en la radioastronomía, donde se logran aberturas de haz de 0.1°.

Polarización

• La polarización de una antena es la dirección del campo E para una recepciónmáxima, en el caso de una antena receptora, o la dirección del campo E transmitido por la antena.

• En el caso de radiodifusión de AM, las antenas transmisoras son generalmentemonopolos o espiras verticales, por lo tanto su polarización es vertical.

• Las antenas de TV y de radiodifusión de FM normalmente estan polarizadashorizontalmente y generalmente corresponden a arreglos de dipoloshorizontales.

• Las antenas parabólicas, utilizadas para comunicación satelital, pueden emplearpolarización horizontal o vertical.

• La polarización de una antena es la dirección del campo E para una recepciónmáxima, en el caso de una antena receptora, o la dirección del campo E transmitido por la antena.

• En el caso de radiodifusión de AM, las antenas transmisoras son generalmentemonopolos o espiras verticales, por lo tanto su polarización es vertical.

• Las antenas de TV y de radiodifusión de FM normalmente estan polarizadashorizontalmente y generalmente corresponden a arreglos de dipoloshorizontales.

• Las antenas parabólicas, utilizadas para comunicación satelital, pueden emplearpolarización horizontal o vertical.

2. Ganancia y abertura del haz• La ganancia de una antena es una medida de la concentración de la densidad de

potencia del frente de onda radiado en una dirección determinada.• Generalmente la ganancia es comparada con una antena isotrópica. (Aquella

que irradia lo mismo en todas las direcciones y, por lo tanto, tiene una gananciaigual a la unidad)

Existen varias definiciones de ganancia para una antena. Una definición rigurosa es:

(1)G =D

potenciamáxima radiadaángulo sólido unitario

potencia total entregada a la antena4 p

Otra definición, conocida como directividad es:

(2)GD =D

potenciamáxima radiada

ángulo sólido unitario

potencia total radiada

4 p

La ganancia (1) es generalmente menor que la directividad a causa de las pérdidas que ocurren en la antena.Una antena ideal es aquella cuya potencia radiada total está contenida en el ángulo sólido del haz y para la cual las pérdidas en la antena son cero. En este caso, la ganancia y la directividad son iguales y están dadas por

(3)G = GD =4 p

WB

donde WB es el ángulo sólido del haz en estereoradianes medido entre puntos de 3-dB.Para antenas reales con ganancias de moderada a alta, (3) es una buena aproximación.La siguiente figura muestra una antena ideal. Toda la potencia se concentra en un solo haz y la densidad de potencia es uniforme en todo el haz.

2 Antenas.nb

Show@Import@"antenasfig1.jpg"D, AspectRatio Ø 0.45`, ImageSize Ø 72 µ 4D

Figura 1. Concepto de ángulo sólido del haz para una antena ideal

En el caso de la figura el área del haz es

(4)Area del haz = r2 WB = r2p

4qB2

y corresponde a parte de la superficie de una esfera.En general se considera que el centro de la esfera coincide con la antena y el radio es r. De esta forma el área total del haz puede expresarse como

(5)Área del haz = ‡f=0

2 p

‡q=0

HqBê2Lr2 senHqL „q „f = 2 p r2B1 - cos

qB

2F

Si el ángulo de abertura del haz es pequeño, el área cubierta por el haz puede calcularse en forma aproxi-mada utilizando el área de un disco de radio rHqB ê2L. En este caso, el área del haz está dada por

(6)Area del haz = p r2qB

2

2

y WB está dado por

(7)WB = ángulo sólido del haz =área del haz

r2>

p

4qB2

El error cometido al utilizar (5) en lugar de (4) para 0 < qB < 30 ° es menor que 1%.

3. Potencial Magnético Vectorial

3.1 Introducción

En el estudio de los procesos de radiación, generalmente se requiere determinar los campos electromagnéticos a partir de la fuente que los produce. Este procedimiento contrasta con los problemas de síntesis, en los que dados los campos, se requiere determinar la fuente de los induce.El estudio de los procesos de radiación generalmente involucra la solución de integrales muy complejas. Por este motivo, a menudo resulta muy conveniente introducir campos auxiliares. Conocidos como potenciales vectoriales, que permiten simplificar las soluciones analíticas, a expensas de introducir funciones y pasos adicionales.Aunque es posible obtener directamente los campos H y E a partir de la distribución de corriente J en una antena, este procedimiento directo normalmente se evita, pues requiere la solución de integrales muy complejas. La integral que permite obtener el potencial vectorial magnético a partir de la corriente J es generalmente más simple. El paso adicional, para establecer H a partir del potencial vectorial magnético, consiste en diferenciar este último. La diferenciación de cualquier función que presente un buen comportamiento, es un proceso más simple que el de integración.

Antenas.nb 3

En el estudio de los procesos de radiación, generalmente se requiere determinar los campos electromagnéticos a partir de la fuente que los produce. Este procedimiento contrasta con los problemas de síntesis, en los que dados los campos, se requiere determinar la fuente de los induce.El estudio de los procesos de radiación generalmente involucra la solución de integrales muy complejas. Por este motivo, a menudo resulta muy conveniente introducir campos auxiliares. Conocidos como potenciales vectoriales, que permiten simplificar las soluciones analíticas, a expensas de introducir funciones y pasos adicionales.Aunque es posible obtener directamente los campos H y E a partir de la distribución de corriente J en una antena, este procedimiento directo normalmente se evita, pues requiere la solución de integrales muy complejas. La integral que permite obtener el potencial vectorial magnético a partir de la corriente J es generalmente más simple. El paso adicional, para establecer H a partir del potencial vectorial magnético, consiste en diferenciar este último. La diferenciación de cualquier función que presente un buen comportamiento, es un proceso más simple que el de integración.

3.2 Potencial Magnético Vectorial para una Corriente J

Se sabe que el flujo magnético B es solenoidal, es decir, siempre se cumple que “•B = 0. También es sabido que para cualquier campo vectorial A siempre se cumple la siguiente identidad.

(8)“•“ µA = 0

Entonces definiendo B = “ µA, se tiene

(9)H =1

m“ µA

Substituyendo (8) en la ecuación de Maxwell para el rotor de E, se tiene

(10)“ µE = -Â w “ µA ,

que también puede ser escrita

“ µ HE + Â wAL = 0

Consideremos ahora la siguiente identidad vectorial

“ µ H-“fL = 0

en donde f representa un potencial eléctrico escalar arbitrario que es función de la posición. Reem-plazando (11) en (10) permite obtener la siguiente expresión para el campo eléctrico

E = -Â wA - “f

A continuación procedemos a encontrar la ecuación de onda para el potencial magnético vectorial A. Aplicando el rotor a ambos lados de (8) y utilizando la siguiente identidad vectorial

“ µ“ µA = “ H“•AL - “2Apermite obtener la siguiente expresión

“ µ HmHL = “ H“•AL - “2ASi el medio es homogéneo, es posible reescribir (14) como

m “ µH = “ H“•AL - “2ARecordando la ecuación de Maxwell

“ µH = J+Â w !E

e igualando con (15) se tiene

m J+Â w m !E = “ H“•AL-“2ASubstituyendo (12) en (17) se tiene

“2A+w2 m !A = -m J+“ H“•A+Â w m ! fL

En (8) se definió el rotor de A. Debido a que la divergencia de un campo vectorial es independiente de su rotor, se tiene la libertad de poder escoger la primera con el objeto de simplificar (18). Entonces conviene elegir

4 Antenas.nb

En (8) se definió el rotor de A. Debido a que la divergencia de un campo vectorial es independiente de su rotor, se tiene la libertad de poder escoger la primera con el objeto de simplificar (18). Entonces conviene elegir

“•A = -Â w m ! f

de donde se puede despejar la condición de Lorentz

-“•A1

Â w m != f

Reemplazando (19) en (18) se obtiene la ecuación de onda para el potencial magnético vectorial

“2A+k2 A = -m J

donde k2 =w2 m !. Addicionalmente, (12) se puede escribir como

E = -Â wA - “f = -Â wA-Â1

w m !“ H“•AL

De esta forma, una vez conocido A, H se obtiene utilizando (8) y E utilizando (22). E también puede obtenerse de la ecuación de Maxwell (16), correspondiente al rotor de H. El problema entonces con-siste en obtener A a partir de la corriente J, lo que es posible resolviendo (21) utilizando la corriente que circula por la antena. La solución de (21) para el caso de una distribución volumétrica de corriente es

AHx, y, zL =m

4 p‡vJHx ', y ', z 'L

‰-Â k r

r„v '

donde las coordenadas (x', y' ,z'), representan la posición de la fuente y las coordenadas no primas el punto de observación. La distancia entre la fuente y el punto de observación se designa con la letra r. Si J representa una densidad superficial de corriente, la solución para A es

AHx, y, zL =m

4 p‡sJHx ', y ', z 'L

‰-Â k r

r„s '

Si se trata de una corriente que circula por un alambre delgado, la solución se reduce a la integral de línea

AHx, y, zL =m

4 p‡cIHx ', y ', z 'L

‰-Â k r

r„ l '

4. El Dipolo ElementalA continuación se determinará los campos eléctricos y magnéticos para un dipolo elemental, consistente en un trozo muy corto de alambre, para el cual se cumple que d z << l.

Antenas.nb 5


Figura 2. Esquema para determinar el potencial vectorial magnético para un dipolo elemental.

Supondremos que el alambre transporta una corriente sinusoidal, a partir de lo cual determinaremos el potecial magnético vectorial. Una vez obtenido A encontraremos H y utilizando la ecuación de Maxwell del rotor de H obtendremos el campo eléctrico E.Los campos observados en P son campos retardados en el tiempo, ya que fueron producto de una corriente que existió r êv segundos antes. El potencial vectorial magnético en P está dado por

A =m I0 coswIt - r

vM d z

4 p raz

o en forma fasorial

A`z =

m I`0 ‰

- j b r d z

4 p rWb êm

donde w êv = b. Transformando a coordenadas esféricas se tienen las componentes A`r y A

`q

A`r = A

`z cosq =

m I`0 ‰

- j b r d z cosq

4 p r

A`q = -A

`z senq =

-m I`0 ‰

- j b r d z senq

4 p r

A`« = 0

Con estas componentes podemos obtener H` de la siguiente forma:

H`=

1

m“ µ A

`

H`f =

1

m r

!Jr A`qN

! r-!A`r

!q

ya que

6 Antenas.nb

!A`q

!f=!A`r

!f= 0

Entonces

H`f =

I`0 d z

4 p r

!

! rI-‰- j b r senqM -

!

!q

‰- j b r

rcosq

=I`0 d z ‰- j b r senq

4 pjb

r+

1

r2A êm

es el campo total H` para el dipolo elemental.

Para encontrar E` debemos recordar que

“ µH`= j w !E

`

que es lo mismo que

E`=

1

j w !“ µH

`

Reemplazando (33) en (34) se tiene

E`=

1

j w !B

1

r senq

!

!qJH`f senqN ar -

1

r

!

!rJr H

`fN aqF

Por lo tanto

E`r =

I`0 d z ‰- j b r

4 p j w !

1

r senq

!

!qBsen2 q j

b

r+

1

r2F

lo que finalmente queda

E`r =

I`0 d z ‰- j b r cosq

2 p !

1

U r2+

1

j w r3V êm

La componente según q se obtiene en forma similar

E`q =

I`0 d z

4 p j w !-

1

r

!

!rBr senq ‰- j b r j

b

r+

1

r2F

=I`0 d z ‰- j b r senq

4 p j w !-b2

r+ j

b

r2+

1

r3

E`q =

I`0 d z ‰- j b r senq

4 p

m

!jb

r+

1

r2+

1

j b r3V êm

Si sólo se consideran las componentes multiplicadas por 1 ê r , tanto de E` como de H

` se puede observar que

E`qH1 ê rL

H`fH1 ê rL

=m

!W

que corresponde a la impedancia intrínseca del medio.

OBSERVACIÓN• Es muy importante notar que aunque las ecuaciones (33), (35) y (36) contienen

todas las componentes de los campos E` y H

` del dipolo elemental, no todas ellas

corresponden a campos de radiación.• Por definición si suponemos un medio no disipativo, la potencia total radiada no

puede disminuir con la distancia, por lo tanto la densidad de potencia radiada debe variar con 1ë r2 y

Antenas.nb 7

OBSERVACIÓN• Es muy importante notar que aunque las ecuaciones (33), (35) y (36) contienen

todas las componentes de los campos E` y H

` del dipolo elemental, no todas ellas

corresponden a campos de radiación.• Por definición si suponemos un medio no disipativo, la potencia total radiada no

puede disminuir con la distancia, por lo tanto la densidad de potencia radiada debe variar con 1ë r2 y

E`radµ H

`rad = densidad de potencia radiada

= E`qH1 ê rL H

`fH1 ê rL Wëm2

Como

E`rad = E

`qH1 ê rL =

I`0 d z ‰- j b r b senq

4 p r

m

!

y

H`rad = H

`fH1 ê rL =

I`0 d z ‰- j b r b senq

4 p rentonces la densidad promedio de potencia radiada es

P`prom =

1

2E`qH1 ê rL H

`fH1 ê rL =

1

2

I`02Hd zL2 sen2 q m ê! b2

H4 p rL2W ëm2

Sustituyendo b por 2 p êl, la potencia promedio total radiada es

Pprom rad =1

2

I`02Hd zL2 m ê!

4 r2 l2‡f=0

2 p

‡q=0

p

sen3 q r2 „q „f

=p I`02Hd zL2 m ê!

3 l2W

Si definimos la resistencia de radiación como

Pprom rad =1

2I`02

Rrad W

entonces, de la ecuación (23) obtenemos

Rrad =

2 I`02Hd zL2 m

!Ip

3M

I`02l2

=2

3 l2pHd zL2

m

!W

Para el vacío, m0 ê!0 = 120 p, entonces

Rrad = 80p2Hd zL2

l2W

8 Antenas.nb

y

E`q rad

H`f rad

=m0

!0= 120 p = 377 W

Asumiendo el rol de una antena receptora, el dipolo elemental representa un área de recepción eficaz Ae, y la potencia que recibe la antena está dada por

PR = Prec = Ae P`frente de onda incidente Watts

El voltaje inducido en el tramo dz es

V`= E

`Hd zL V

donde E` es la intensidad de campo eléctrico de la onda incidente tangente al elemento de antena dz.

Para un aprovechamiento máximo de la señal de la antena (máxima transferencia de potencia), la conexión a ella debe terminar con una impedancia igual al conjugado de la impedancia de la antena. esto es

ZT = Rrad - j XA = ZA*

donde XA es la reactancia del elemento de antena. La potencia que recibe la terminación es

PR =V` 2

4 Rrad=

E` 2Hd zL2

4 Rrad= Ae P

`prom = Ae

E` 2

m ê!

Entonces, como

Rrad =

23pHd zL2 m

!

l2

de la ecuación (31) se tiene que

Ae =

m

!Hd zL2 l2

4 23pHd zL2 m

!

=3 l2

8 pm2

Es importante señalar que este resultado para Aese obtuvo considerando la carga de la antena igualada a la terminación. Esto significa que Ae es un área eficaz máxima.La directividad del dipolo elemental se obtiene sustituyendo las ecuaciones (20) y (21) en la definición (2)

GD =r2H1 ê2L J E

`qrad H

`frad N

Pprom rad

4 p

GD =

r2

2

I`0

2Hd zL2

H4 pL2m

!J2 pl rN2

p

3I`0

2Hd zL2 m

!

l2 4 p

=3

2

Por lo tanto

Antenas.nb 9

GD

Ae=

3 ê2

H3 ê8 pL l2=

4 p

l2

y

GD =4 p Ae

l2

5. El Dipolo de Media OndaPara deducir los campos E y H correspondientes al dipolo de media onda se sigue el mismo esquema que para el dipolo elemental. De la figura 3, y por comparación con la ecuación (8), se determina la componente z del potencial vectorial magnético A.


Figura 3. Esquema para determinar el potencial vectorial magnético para un dipolo de media onda.

A`z =

m I`0

4 p r‡-lê4

+lê4‰ j b z cos q ‰- j b r cosHb zL „z

=m I`0

4 p rB‰ j pê2 cos q 0 + b sen

p

2- ‰- j pê2 cos q 0 - b sen

p

2F

‰- j b r

b sen2 q

=m I`0 ‰

- j b r cosI p2

cosqM

2 p r b sen2 q

Las componentes en coordenadas esféricas son

A`r =

m I`0 ‰

- j b r cosI p2

cosqM cosq

2 p r b sen2 q

A`q =

-m I`0 ‰

- j b r cosI p2

cosqM senq

2 p r b sen2 q

A`f = 0

H`f y E

`q se obtienen de la misma forma que para el dipolo elemental, luego de desarrollar los términos y

eliminar aquellos que no varían de la forma 1 ê r , obteniéndose

10 Antenas.nb

H`f y E

`q se obtienen de la misma forma que para el dipolo elemental, luego de desarrollar los términos y

eliminar aquellos que no varían de la forma 1 ê r , obteniéndose

H`fradiación =

j I`0 ‰

- j b r cosI p2

cosqM

2 p r senqA êm

y

E`qradiación =

j b I`0 ‰

- j b r cosI p2

cosqM

2 p !w r senqV êm

La densidad de potencia radiada promediada en el tiempo es

P`promHqL =

1

2E`qrad H

`frad =

I`02b cos2I p

2cosqM

8 p2 !w r2 sen2 q

=

I`02 m

!cos2I p

2cosqM

8 p2 r2 sen2 qWëm2

Por lo tanto la potencia promedio radiada es

Prad Promedio = ‡0

2 p

‡0

p

P`promHqL r2 senq „q „f

=

2 p I`02 m

!

8 p2‡0

p cos2 I p2

cosqM

r2 sen2 qr2 senq „q

=

I`02 m

!

4 p‡0

p cos2I p2

cosqM

senq„q W

La integral en (41) no tiene solución analítica conocida, por lo que debe resolverse en forma numérica, obteniéndose:

Prad Promedio =

1.281 m

!I`02

4 p=

1

2I`02

Rrad

Entonces la resistencia de radiación para un dipolo de media onda es

Rrad =2 H1.281L H120 pL

4 p= 73W

La impedancia total de la antena no es sólo Rrad. Existen métodos que permiten determinar la componente reactiva, encontrándose que esta es de alrededor de j 42.5W.Es posible que la antena se vea como una carga resistiva pura, reduciendo la longitud de ella a una medida algo inferiór de l ê2.La directividad del dipolo de l/2 puede calcularse utilizando las ecuaciónes (40), (42) y (2). Además debe considerarse que la máxima potencia radiada por unidad de ángulo sólido es r2P

`promHqL, cuando q = 90 °.

Antenas.nb 11

HGDLlê2 =r2BJ 1

2N

b I`0

2

4 p2 !w r2F

1.281m

!I`0

2

H4 pL2

= 1.64

A continuación se muestran los patrones de radiación del dipolo elemental y del dipolo de l/2. En ambos casos la intensidad de radiación es constante con el ángulo f, teniendo un máximo cuando q = 90 °. En el caso del dipolo de l/2, el campo disminuye más rápido para ángulos inferiores y mayores a 90° que en el dipolo elemental.

In[20]:=

SphericalPlot3DA1.5` Sin@fD2, 8f, 0, p<, 8q, 0.`, p<, PlotPoints Ø 840, 40<E

Out[20]=

Figura 4. Patrón de radiación de un dipolo elemental. (Se muestra sólo la mitad para apreciar la forma en el corte)

In[21]:=

SphericalPlot3DB1.64` CosB 1

2p Cos@fDF

2

Sin@fD2, 8f, 0.01`, p<, 8q, 0.`, p<, PlotPoints Ø 840, 40<F

Out[21]=

Figura 5. Patrón de radiación de un dipolo de media onda. (Se muestra sólo la mitad para apreciar la forma en el corte)

12 Antenas.nb

Figura 5. Patrón de radiación de un dipolo de media onda. (Se muestra sólo la mitad para apreciar la forma en el corte)

Ejemplo 1Utilizando un medidor de intensidad de campo, a 5 Km lineales de distancia de un dipolo de l/2 orien-tado en forma vertical, se mide un campo eléctrico de 230 mV/m. Se sabe que la antena está ubicada en un cerro a 1 Km de altura sobre el nivel del terreno donde se hicieron las mediciones. Si la frecuen-cia de operación es de 450 MHz. determine

a) La longitud del dipolo.b) La corriente que circula por la antena.c) La potencia radiada por la antena.d) La densidad de potencia en el punto de medición.e) La potencia recibida por un dipolo elemental de longitud l/25 también ubicado en forma vertical en el punto de medición

Solución

Datos:

r = 5.0 µ 103;

f = 450.0 µ 106;

h = 1.0 µ 103;

ModuloE = 225. µ 10-6;

Vc = 3.0 µ 108;

(a) l en metros es

l =Vc

f

0.666667

La longitud del dipolo en metros es

LD = l ê 2

0.333333

(b) La distancia hasta el centro de la antena proyectado a la base del cerro es

Clear@DcD

SolveAr2 ã Dc2 + h2, DcE

88Dc Ø -4898.98<, 8Dc Ø 4898.98<<

Dc = 4898.98;

El ángulo q es

Antenas.nb 13

q =p

2- ArcTanB

h

DcF

1.36944

La impedancia característica del medio (aire) es

h = 120. p

376.991

Para calcular la corriente basta resolver

Clear@I0D

SolveBModuloE ==h I0 CosA p

2Cos@qDE

2 p r Sin@qD, I0F

88I0 Ø 0.0193166<<

I0 = 19.32 µ 10-3;

(c) Para determinar la potencia radiada, sabemos que la resistencia de radiación de un dipolo de l/2 es

Rrad = 73.0;

Entonces,

Pradiada =1

2I02 Rrad

0.0136241

Aproximadamente 14 mW.

(d) La densidad de potencia media en Wëm2, en el punto de observación es

DensidadP =h I02 CosA p

2Cos@qDE2

8 p2 r2 Sin@qD2

6.71672 µ 10-11

Aproximadamente 67 mW

(e) El área efectiva del dipolo elemental debe ser corregida por el ángulo q debido a su posición verti-cal, que hace que no esté enfrentada en p/2 con la antena transmisora.

AE =Sin@qD 1.5 l2

4 p

0.0519798

Entonces, la potencia recibida por el dipolo elemental es

Precibida = DensidadP AE

3.49134 µ 10-12

esto es aproximadamente 3.5 pW.

Ejemplo 2

14 Antenas.nb

Ejemplo 2Dos dipolos de 1.5 metros de largo están orientados en forma vertical y separados por 100 Kmts. Uno de ellos transmite al otro a una frecuencia de 100 MHz con una potencia total de 100 Watts. Determine la potencia recibida por el dipolo receptor.

Solución

Primero se debe determinar de que tipo de dipolo se trata. Entonces calculamos la longitud de onda

l =3. µ 108

100. µ 106

3.

Como l = 3 metros, las antenas son dipolos de l ê2. Con esto se determina el área efectiva del dipolo receptor. Esta se obtiene de la fórmula (53). Esta no es una fórmula particular del dipolo elemental, es una fórmula general para cualquier antena, ya que depente de la ganancia que en este caso es 1,64.

Aereceptor =1.64 l2

4 p

1.17456

La potencia recibida se obtiene de la siguiente ecuación, conocida como la ecuación de Friis, donde GD corresponde a la ganancia de la antena transmisora.

Precibida =Ptransmitida GD Aereceptor

4 p r2

Entonces

Precibida =100. µ 1.64 µ Aereceptor

4 p I100 µ 103M2

1.53289 µ 10-9

Es decir aproximadamente 1.5 nano Watts.

Antenas.nb 15

antenas

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