Facultad de IngenieríaDivisión de ciencias básicas

Álgebra Lineal

“Antecedentes históricos Antecedentes históricos del Álgebra Lineal”

Norma Patricia López AcostaProfesora de la Facultad de Ingeniería, UNAM

México, D.F., febrero de 2010México, D.F., febrero de 2010

DefiniciónEl álgebra es la rama de las matemáticas en la cual lasoperaciones aritméticas son generalizadas empleandonúmeros, letras y signos. Al igual que en la aritmética, las

i f d l d l ál b di ióoperaciones fundamentales del álgebra son adición,sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces.

Si bien la palabra "álgebra" viene de la palabra árabe (al‐p g p (Jabr), sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios,quienes desarrollaron un avanzado sistema aritmético conel que fueron capaces de hacer cálculos en una formal b i C l d t i t f dalgebraica. Con el uso de este sistema fueron capaces deaplicar las fórmulas y soluciones para calcular valoresdesconocidos. Este tipo de problemas suelen resolverse hoymediante ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas.y

Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esa época, asícomo la mayoría de los de la India, griegos y chinos

t áti l i il i t d C i tmatemáticos en el primer milenio antes de Cristo,normalmente resolvían este tipo de ecuaciones pormétodos geométricos, tales como los descritos en losdocumentos matemáticos Rhind Papyrus, Sulba Sutras,py , ,Elementos de Euclides, y los Nueve Capítulos sobre el Artede las Matemáticas.

Definición

El álgebra lineal es la rama de las matemáticasque estudia conceptos tales como vectores,matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un V=Dominio

Transformación

W=Codominioenfoque más formal, espacios vectoriales ytransformaciones lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con

V DominioT

W Codominio

V T(v)Es un área activa que tiene conexiones conmuchas áreas dentro y fuera de las matemáticas,como análisis funcional, ecuaciones diferenciales,investigación de operaciones, gráficas por

Imagen de V

computadora, campos de la ingeniería, pormencionar algunas.

Antecedentes históricos

El hombre ha construido modelos que le hanfacilitado la tarea de resolver problemasconcretos. Todo esto con el propósito de favorecersu forma de vida. Muchos de estos problemastienen un carácter lineal, es decir, puedenplantearse mediante ecuaciones lineales concoeficientes en algún campo de números y concoeficientes en algún campo de números y conunas cuantas variables.

La palabra ecuación proviene del latín “aequatio”que significa igualdad. Así, una ecuación es unaigualdad que contiene algunas cantidadesdesconocidas. En particular, una ecuación lineal esuna ecuación de la forma:una ecuación de la forma:

a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = b

donde a1, a2,… , an son los coeficientes; x1, x2,… xnlas variables y b el término constante.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjuntoUn sistema de ecuaciones lineales es un conjuntofinito de ecuaciones lineales.

Antecedentes históricosLos primeros elementos de lo que hoy conocemos comoÁlgebra lineal se han encontrado en el documentomatemático más antiguo que ha llegado hasta nuestrosdías: el papiro Rhind conservado en el British Museumdías: el papiro Rhind, conservado en el British Museumcon algunos fragmentos en el Brooklyn Museum, yconocido también como el Libro de Cálculo, el cual fueescrito por el sacerdote egipcio Ahmés hacia el año 1650a.C.En este valioso documento se consideran las ecuacionesde primer grado, donde la incógnita aparecerepresentada por un “ibis" que significa escarbando en el Papiro Rhindrepresentada por un ibis que significa escarbando en elsuelo, posiblemente por su primogénita aplicación a laagrimensura.

Papiro Rhind

Este problema es del papiro Rhind. Dice:«2/3 sumados y 1/3 restados: hacen 10.Hallar 1/10 de este 10: el resultado es 1: elresto, 9 2/3 de 9, es decir, 6, se añaden;total, 15. Una tercera parte es 5. Era 5 loque se había restado: resto, 10».Traducción: x + 2/3x ‐ 1/3(x + 2/3x) ‐ 10. Enel simbolismo egipcio, las piernas queandaban hacia la izquierda significaban«sumar», a la derecha «restar».

Antecedentes históricosP bl d lPor su parte, los matemáticos chinos durante los

siglos III y IV a.C. continuaron la tradición de losbabilonios y nos legaron los primeros métodosdel pensamiento lineal

Problemas del“Jiuzhang Suanshu”

del pensamiento lineal.

Esta obra Nueve capítulos sobre el ArteMatemático fue compuesta por el hombre deestado y científico Chuan Tsanom en el año 152a.C. y en él se incluyeron sistemáticamente todoslos conocimientos matemáticos de la época.

En el tratado Nueve capítulos sobre el ArteMatemático, publicado durante la Dinastía Han,aparece el siguiente sistema lineal:

así como un método para su resolución, conocidocomo la regla de “fan‐chen", la que en esencia,es el conocido método de eliminación gaussianade nuestros días.

Antecedentes históricosLuego vendrían los aportes de los matemáticosislámicos y europeos, quienes siguieroncultivando el pensamiento lineal. Por ejemplo,Leonardo de Pisa (1180 1250) mejor conocido

Los matemáticos griegos, por su parte, no sepreocuparon por los problemas lineales. Lasolución general de la ecuación de segundogrado aparece en el tratado Los elementos deLeonardo de Pisa (1180‐1250), mejor conocido

como Fibonacci, en su obra Liber Quadratorumpublicada en 1225, estudió el sistema no lineal:

grado aparece en el tratado Los elementos deEuclides.

el cual es una generalización de un problemaque le había propuesto Giovanni da Palermo.

Libros

Génesis de los números complejosDos eventos cruciales en el desarrollo del álgebralineal son: el descubrimiento del sistema de losnúmeros complejos, como una extensión delsistema R y la primera prueba del llamadosistema R y la primera prueba del llamadoteorema fundamental del álgebra, el cual afirmaque cada polinomio no constante concoeficientes complejos tiene al menos una raízcompleja.

El precursor de los números complejos fue eldoctor en medicina astrólogo filosofo ydoctor en medicina, astrólogo, filosofo ymatemático milanés Girolamo Cardano (1501‐1576).

Los casus irreducibilisde Cardano son losnúmeros imaginariosde nuestros díasde nuestros días.

Lenguaje de vectoresHasta el siglo XVIII el álgebra era, esencialmente, elarte de resolver ecuaciones de grado arbitrario. Elmatemático y filosofo francés, y uno de los iniciadoresd l E i l di D'Al b d b l

a11x1+…..+a1nxn = b1de la Enciclopedia, D'Alembert descubre que lassoluciones de un sistema Ax=b forman una variedadlineal. Asimismo, Euler, Lagrange y el propioD'Alembert se dan cuenta que la solución general del

am1x1+…..+amnxn = bmq g

sistema homogéneo Ax = 0 es una combinación linealde algunas soluciones particulares.

D'Alembert LagrangeEuler

Lenguaje de vectoresEn esa época aparecen con Hamilton, Arthur Cayley (1821‐1895) y Hermann GuntherGrassmann (1809‐1877) las nociones de vector y de espacio vectorial, como unaaxiomatización de la idea de “vector" manejada por los estudiosos de la Mecánica desdef d l l d á d d l d l ál b l lfines del siglo XVII. Además, considerado el maestro del álgebra lineal, Grassmannintroduce el producto geométrico y lineal, siendo el primero de éstos equivalente anuestro producto vectorial. Asimismo, introduce las nociones de independencia lineal de

j t d t í d l di ió d i t i l b lun conjunto de vectores, así como de la dimensión de un espacio vectorial, y prueba laclásica identidad:

Para cada par de subespacios U yW de un espacio vectorial.

Hamilton Arthur Cayley Hermann Grassmann

Álgebra de matricesEl primero en usar el término “matriz" fue el matemático inglés James JosephSylvester (1814‐1897) en 1850, quien definió una matriz como un “oblongarrangement of terms" (arreglo cuadrilongo de términos). Sylvester establececontacto con Cayley, quien rápidamente entendería la importancia del concepto dematriz y por el año de 1853 publica una nota en donde aparece por primera vez lainversa de una matriz. Más tarde, en 1858, publica su Memoir on the theory ofmatrices, la cual contiene la primera definición abstracta de matriz. Asimismo, Cayleydesarrolla el álgebra matricial definiendo las operaciones básicas de suma,multiplicación y multiplicación por escalares, así como la inversa de una matrizinvertible.

Álgebra matricial

James Joseph SylvesterCayley

Cardano en su “Ars Magna” muestra una regla para resolver sistemas de dos

Orígenes del determinanteg g p

ecuaciones lineales con dos incógnitas, a la cual llama “regula de modo”, y que enesencia es la conocida regla de cramer para la solución de sistemas de 2×2.

Los inicios de la teoría de determinantes de matrices datan del siglo II a C con losLos inicios de la teoría de determinantes de matrices datan del siglo II a.C. con losmatemáticos chinos. La idea de determinante apareció en Japón y Europa casi almismo tiempo. En Japón, Takakasu Seki Kowa (1642‐1708) fue el primero en publicarun trabajo sobre este tema En 1683 Seki escribió el manuscrito “Método de resolverun trabajo sobre este tema. En 1683 Seki escribió el manuscrito Método de resolverlos problemas disimulados”, en el que sin contar con un término que corresponda a laidea de determinante, introduce los determinantes y proporciona métodos generalespara calcularlos siendo capaz de calcular el determinante de matrices cuadradaspara calcularlos, siendo capaz de calcular el determinante de matrices cuadradashasta de orden 5.

Joseph‐Louis Lagrange (1736‐1813), en un artículo sobre mecánica publicado en1773, menciona por primera vez la interpretación de determinante como unvolumen. En efecto, se demuestra que el tetraedro formado por el origen O(0,0,0) ylos tres puntos M(x,y,z), M1(x1,y1,z1) y M2(x2,y2,z2) tiene volumen:

Este resultado también es atribuido a Grassmann, quien prueba que el determinantedel arreglo: representa el volumen del paralelepípedo determinadodel arreglo: representa el volumen del paralelepípedo determinado

por los tres vectores fila.

Estructuras algebraicasy álgebra de matrices

En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos.Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicacionestanto dentro como fuera de las matemáticas. Las raíces históricas de la teoría de grupos son lateoría de las ecuaciones algebraicas, la teoría de números y la geometría.Siendo todavía estudiante del Louis‐le‐Grand, Galois logró publicar su primer trabajo (unademostración de un teorema sobre fracciones continuas periódicas) y poco después dió con la clavepara resolver un problema que había tenido en jaque a los matemáticos durante más de un siglopara resolver un problema que había tenido en jaque a los matemáticos durante más de un siglo(las condiciones de resolución de ecuaciones polinómicas por radicales). Sin embargo, sus avancesmás notables fueron los relacionados con el desarrollo de una teoría nueva cuyas aplicacionesdesbordaban con mucho los límites de las ecuaciones algebraicas: la teoría de grupos.

Galois

Algunas aplicaciones del algebra lineal

Aplicaciones

•En geometría analítica, los determinantesdesempeñan un papel básico en el cálculo de áreasdesempeñan un papel básico en el cálculo de áreasy volúmenes, y en la formulación de ecuaciones deobjetos geométricos como rectas, círculos elipses,parábolas, planos y esferas.

•Para los vectores existe un gran número deaplicaciones en diversas áreas de lasmatemáticas, la física y la ingeniería. Una de lasprincipales, es la aplicación geométrica de losvectores en la estática y en la ingeniería Perovectores en la estática y en la ingeniería. Perotambién se pueden aplicar para la obtención demejores datos y así obtener graficas más suaves,etc.

Aplicaciones

•Las matrices se emplean en el estudio delas gráficas. La programación sencilla deoperaciones matriciales en computadoraoperaciones matriciales en computadorapermite estudiar el comportamiento degráficas muy grandes. Por ejemplo, en lasredes telefónicas una gráfica puede tenerredes telefónicas una gráfica puede tenerdecenas de miles de nodos.

•En electrónica, la ley de ohm en otras, ypalabras dice que en un gráfico de I enfunción de V se obtiene de una recta quepasa por el origen con pendiente R, todoelemento que no cumpla con esa regla no seles llama óhmicos.

•En teoría de circuitos, o análisis de modeloscircuitales se hace uso de la resolución deecuaciones de n variables y n incógnitas all l é llaplicar el método de mallas o nodos.

Aplicaciones

• El Álgebra lineal tiene muchas aplicaciones en laingeniería civil, por ejemplo en el diseño estructuralg , p j pde edificios en donde cada nodo de la estructura esun valor de la matriz que puede ser de orden nxn.• También se utiliza en la planeación, como eni i í d i t d d d i blingeniería de sistemas en donde cada variable secoloca en un elemento de la matriz.• Tiene aplicaciones en geotecnia y en mecánica defluidos, etc.,

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