anotaciones de un curso de física del estado sólido

Universidad Nacional de Educación a Distancia.

Facultad de Ciencias.

Departamento de Física Fundamental.

Grado en Física

Anotaciones de un curso de

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO

Gustavo Adolfo Pérez Sánchez.

Curso 2015/2016

Al equipo docente. Por tan grata y particular excepción.

i

«Nunca subestimes el placer que le proporcionas al público contándoles algoque ya comprenden»

F.Bloch.

ii

Índice general

Sobre estas Notas 1

1 La Estructura Periódica de los Cristales 2

2 Difracción y la Red Recíproca 7

3 Electrones en un Potencial Periódico. Teorema de Bloch 11

4 El Modelo de Drude-Sommerfeld de los Metales 15

5 Bandas de Energía. Electrones Cuasilibres y Fuertemente Ligados 20

6 Dinámica de los Electrones de Bloch 24

7 Dinámica de la Red 28

8 Propiedades Térmicas de los Sólidos 31

9 Defectos Puntuales de la Red 36

10 Características Fundamentales de los MaterialesSemiconductores y Magnéticos 40

A Constantes Físicas 45

B Tabla Periódica de los Elementos y Parámetros de Interés 46

Referencias 47

iii

Índice general 1

Sobre estas Notas

Anotaciones de un Curso de Física del Estado Sólido, quizás ese sea el título más acertadoque viste al texto a continuación. Unas notas, unos apuntes si se quiere, un resumen delos contenidos de la asignatura Física del Estado Sólido, asignatura que se imparte en elcuarto curso del grado en física de la Universidad Nacional de Educación a Distancia.

Consta de diez capítulos o temas en los que se ha intentado plasmar negro sobre blancolo que en tan sólo la humilde opinión del autor, supone un contenido de relevancia queno debe ser pasado por alto, al menos claro, si la intención del lector, puede que unestudiante, sea la de adquirir un mínimo de conocimientos respecto de esta rama de lafísica. Diez capítulos tal y como está estructurada la asignatura impartida, comenzandocon la estructura periódica de los cristales, pilar fundamental que sostiene en gran medidael resto de conocimientos, pasando por el estudio de la difracción de rayos X, la teoríade bandas (posiblemente el mayor logro de la física del estado sólido), las vibraciones dela red cristalina, las propiedades térmicas y eléctricas de los sólidos, y terminando conlos defectos puntuales de los cristales y las propiedades fundamentales de los cristalessemiconductores, y del magnetismo en los sólidos.

El lector debe tener en cuenta, que no siendo las presentes más que un resumen, y aun-que en la medida de lo posible ha sido concebido con un mínimo de explicaciones y dedesarrollos matemáticos, no es de ninguna manera un texto que pueda servir para el es-tudio completo y profundo de lo que se trata aquí, para ello, se ha incluido al final en lasreferencias, una lista de obras de lectura casi obligada, que en buena medida, han dadoa luz a este... digamos manual de referencia, cajón de sastre del que quizás unicamentepodrá sacarse partido, acudiendo a él con unos conocimientos suficientes y asentados defísica en general y de física del estado sólido en particular.

Estas notas, de un modo excepcional, esperan cumplir con el requerimiento para un fin,un fin que tal vez por antojadas, las abigarradas sendas del destino han querido convertiren dos, la superación de la asignatura en cuestión, y con ello la culminación del plan deestudios. Pues que así sea. Lo cierto es también, que durante su creación, las presentes sehan ido convirtiendo en un placer fascinante, placer que quizás sólo pueden entender yseguramente sentir, esos curiosos del mecanismo último de Dios.

Ojalá sirva este texto a su cometido y sea recibido con aceptación por el lector, si es así,buena parte del objetivo estará cumplido.

UNED. Anotaciones de un curso de Física del Estado Sólido.


1 La Estructura Periódica de los Cristales

Todo sólido cristalino, o cristal sin más, se encuentra en la naturaleza formado por bloquesidénticos repetidos de forma periódica (red) , tales bloques están conformados por átomoso grupos de átomos dispuestos en una estructura tridimensional periódica de largo alcance.1

Una red cristalina es por tanto un conjunto de puntos discretos del espacio con vectorposición dado por:

r = n1a1 + n2a2 + n3a3, (1.1)donde los ni barren todos los enteros y los ai son los llamados vectores base primitivos.Denotaremos por R a todo vector que une cualesquiera dos puntos de red. El conjuntode átomos que se asocia a todos y cada uno de los puntos de red es conocido como baseatómica (a veces también motivo), así, toda estructura cristalina es la combinación dered cristalina + base atómica.

Figura 1.1: Cristal bidimensional descrito como red cristalina más base atómica. Fuente: [5].

-Celda unitaria y celda primitiva: Es el volumen de espacio que por traslacionesen vectores de red cubre todo el espacio y sin solapamientos. Se llama celda unitariaprimitiva si además contiene tan sólo un punto de red, a vece es útil definir celdas noprimitivas llamadas celdas convencionales que preserven las simetrías de la red, simetríatraslacional, rotacional, especular, de inversón, etc. Es evidente que la celda primitivaencierra el menor volumen posible.-Celda de Wigner-Seitz: Una manera de escoger una celda primitiva consiste en trazarlíneas que unan un punto de red con sus vecinos más próximos, posteriormente trazar losplanos mediatices a dichas líneas. La región encerrada por los planos ( un poliedro en 3Do un polígono en 2D) es la celda de Wigner-Seitz. Tal celda es obviamente primitiva ycontiene todas las simetrías de la red.

Figura 1.2: Celda unitaria primitiva de una red cristalina tridimensional. Cada punto de red es com-partido por 8 celdas, hay por tanto un punto de red por celda. Fuente: http://www.upv.es

1No tenemos en cuenta aquí ciertos sólidos llamados amorfos como por ejemplo el vidrio, cuya estruc-tura, si bien presenta cierto orden, éste es tan sólo de corto alcance.


http://www.upv.es/materiales/Fcm/Fcm03/pfcm3_3_4.html


Figura 1.3: Ejemplos de celdas de Wigner-Seitz, bidimensional y tridimensional. Fuente: Wikipedia

-Redes de Bravais: Existen 14 tipos de redes atendiendo a sus simetrías, son las llamadasredes de Bravais mostradas en la figura 1.4 . Estas redes se agrupan a su vez en 7 sistemascristalinos.

Figura 1.4: Sistemas cristalinos y celdas unitarias de las 14 redes de Bravais posibles tridimensionales.La etiqueta P, se corresponde con celda primitiva, las I, F y C son celdas convencionales, la centradaen el cuerpo, la centrada en las caras y la centrada en dos caras respectivamente. Fuente: slideshare.net

-Parámetro de red: Se nombra así a la longitud «a» de la arista de la celda convencional(o primitiva) cúbica (únicamente en sistemas cúbicos donde es a = b = c. Figura 1.4).

-Índice de coordinación IC: Es el número de vecinos más próximos a cada punto dered. Como puede fácilmente comprobarse, por ejemplo en la red cúbica simple o sc, estenúmero es igual a 6, en la cúbica centrada en el cuerpo o bcc es 8, en la cúbica centradaen las caras o fcc es 12, y en la red hexagonal compacta ó hcp es12.

-Direcciones y planos cristalinos: Todo punto de una red queda determinado por las3 coordenadas (x, y, z) referidas al sistema de ejes que definen la base vectorial elegida.Es importante la forma de designar direcciones o planos dentro de un cristal, porquemuchas de las propiedades de los sólidos cristalinos dependen del plano o dirección quese considere. Por ello, resulta de especial interés encontrar una forma cómoda y rápida deidentificar las direcciones y planos cristalinos. La notación empleada se denomina notaciónde índices de Miller.


https://es.wikipedia.org/wiki/Celda_de_Wigner-Seitz

http://es.slideshare.net/AlejandroZambranoValbuena/geometria-en-los-minerales


Las ternas [h k l] de componentes enteras mínimas referidas a la base elegida, definenun vector en una dirección cristalina dada, tales componentes son los llamados índices deMiller del cristal, por convenio, los valores negativos son designados colocando al índice encuestión una línea sobre el mismo. Un plano cristalino es denotado por índices de Miller enla forma (h k l) y tal plano es perpendicular a la dirección [h k l]. La manera de determinarlos índices de Miller de un plano cualquiera, consiste en encontrar los recíprocos de lasintersecciones del plano con los ejes coordenados de la red y reducirlos a enteros mínimos.

Figura 1.5: Algunos planos cristalinos y sus índices de Miller de una red cúbica simple (sc). Sólo semuestra la intersección de los planos con la celda primitiva. Fuente: Wikipedia

-Empaquetamiento Compacto: Las estructuras cristalinas monoespecie de mayorcompacidad, esto es, aquellas que aprovechan al máximo el espacio disponible, son lafcc y la hcp 2. Esto puede verse fácilmente en la figura 1.6 , en la que se apilan, en capasde la forma más compacta posible, esferas rígidas a modo de puntos de red.

2Fué Gauss quien demostró matemáticamente este hecho mediante el apilamiento de esferas rígidas,obtuvo el valor π/3

√2 ≈ 0, 74.


https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%86%E5%8B%92%E6%8C%87%E6%95%B0


Figura 1.6: Empaquetamiento compacto de esferas rígidas. En a) una capa A de esferas se acomodande la forma más compacta posible. En b) una segunda capa B de esferas ocupan la mitad de los inters-ticios dejados por la capa A. Una tercera capa, en c) y d) , puede acomodarse de dos formas distintasrespectivamente, una capa A ubicando las esferas en las mismas posiciones de la primera capa, esta esla estructura hcp; o bien, una capa C ubicando las esferas en el resto de los intersticios dejados por laprimera capa, es esta la estructura fcc. Fuente: slideshare.net

-Factor de empaquetamiento: Se define el factor de empaquetamiento f como:

f =Vesferas

Vcelda, (1.2)

como el cociente entre el volumen ocupado por esferas rígidas en una celda unitaria,Vesferas , y el propio volumen de la celda, Vcelda. Puede demostrarse con facilidad, apartir de su geometría, que para las redes sc, bcc, fcc y hcp, este valor se corresponderespectivamente con 0, 52, 0, 68, 0, 74 y 0, 74 aproximadamente; esto es, los átomos en unared fcc ó hcp ocupan un espacio del 74 % del total disponible.

-Intersticios o huecos: El espacio libre u oquedades dejadas entre átomos de una redcristalina se conoce como intersticios o huecos de estructura. Cada intersticio muestrauna geometría particular en función del numero de vecinos más próximos en contactocon él; así, en la estructura cúbica simple, un hueco hexaédrico (8 vecinos en contacto)se encuentra en el centro de la celda primitiva. En las estructuras compactas fcc y hcp,se demuestra que existen tantos huecos octaédricos (6 vecinos en contacto) y el doble dehuecos tetraédricos (4 vecinos en contacto) que el número de puntos de red por celdaconvencional. Para la fcc en particular, los huecos octaédricos se encuentran ubicados,uno de ellos en el centro de la celda convencional cúbica, y los 3 restantes en el centro delas aristas del cubo, a un 1/4 de hueco por arista; los 8 huecos tetraédricos se ubican en lasposiciones (1/4, 1/4, 1/4) respecto de cada vértice de la celda convencional. Finalmente, enla bcc existen 6 intersticios octaédricos deformados y 12 tetraédricos también deformados.


http://es.slideshare.net/helbert-ok/solidos-cristalinos-10224686


Figura 1.7: Algunos intersticios en estructuras cristalinas cúbicas. Fuente: [5].

Figura 1.8: Algunos ejemplos de estructuras cristalinas. Obsérvese como en el NaCl los iones Na+ seubican en todos los huecos octaédricos mientras los Cl− en las posiciones de red fcc. Fuente: [5]



2 Difracción y la Red Recíproca

-Red Directa: En adelante RD, es el conjunto de todos los {Rn} con vectores baseprimitivos {ai} según (1.1), esto es, el conjunto de vectores que «localiza» en el espacioa todo punto de una red cristalina.-Red Reciproca: En adelante RR, es el conjunto de vectores de onda k cuyas ondasmantienen la periodicidad de la RD, es decir, tales que eik·(r+R) = eik·r. Tales vectorespor tanto han de cumplir k · R = 2πn, n ∈ Z . Es pues el conjunto de vectores escritoscomo:

G = ν1b1 + ν2b2 + ν2b3 ; νi ∈ Z, (2.1)donde los {bj} tales que ai · bj = 2πδij , con δij las deltas de Kronecker, son los vectoresbase primitivos de la RR que en términos de los vectores base primitivos de la RD tienenla forma:

b1 = 2πa2 × a3

a1 · (a2 × a3), b2 = 2π

a3 × a1

a1 · (a2 × a3), b3 = 2π

a1 × a2

a1 · (a2 × a3), (2.2)

y evidentemente cumplen la condición exigida junto con los {ai}.El lector habrá notado que el espacio recíproco de la RR, algebraicamente por definición(salvo factor de 2π), no es más que el dual del espacio directo de la RD, o si se quiere, esel espacio covariante asociado al espacio contravariante de la RD.-Primera Zona de Brillouin (PZB): Se nombra así al volumen contenido en la celdade Wigner-Seitz construida del modo que se expuso en la sección anterior. La PZB es degran importancia en el estudio de la difracción de rayos X por cristales, en la Teoría deBandas, y en general, en el estudio de las propiedades de los sólidos cristalinos. Se defineigualmente una Segunda Zona de Brillouin (SZB), una Tercera Zona de Brillouin (TZB),... construidas en base a los segundos, terceros, ... vecinos próximos.

Figura 2.1: Primeras 4 zonas de Brillouin de una red bidimensional cuadrada. Fuente:http://www.uam.es

Obsérvese en la figura anterior, que todas las zonas de Brillouin cubren la misma área(volumen en una red tridimensional).Las relaciones (2.2) exigen trabajar con vectores base primitivos de la RD para definirbases primitivas de la RR. Para el sistema cúbico, siendo i, j,k los versores en la dirección


http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/alevyyey/pages/fes/brillouin.pdf


de cada arista de la celda cúbica convencional de parámetro a, quedan definidos losvectores base primitivos como:

sc : a1 = ai , a2 = aj , a3 = ak,

bcc : a1 = a2 (−i + j + k) , a2 = a

2 (i − j + k) , a3 = a2 (i + j − k)

fcc : a1 = a2 (j + k) , a2 = a

2 (i+k) , a3 = a2 (i + j).

, (2.3)

Usando las (2.2) con las anteriores, resulta que la RR de una sc, es otra sc de parámetrode red 2π

a ; la RR de una bcc, es una fcc de parámetro 4πa ; y la de una fcc, es una bcc de

parámetro 4πa .

-Funciones periódicas en la red: Supóngase una función n (r) con la periodicidad dela red (por ejemplo la concentración electrónica). Desarrollándola en serie de Fourier,

n (r) =∑K

nKeiK·r, (2.4)

y exigiendo en virtud de la periodicidad que:

n (r + R) =∑K

nKeiK·(r+R) =∑K

nKeiK·r = n (r) =⇒ eiK·R = 1 ; ∀R ∈ RD, (2.5)

los K son entonces vectores de la RR, luego es K = G , y en definitiva,

n (r) =∑G

nGeiG·r ; nG =1

Vcelda

ˆcelda

n (r) e−iG·rdV. (2.6)

-Difracción de rayos X: Sea una onda electromagnética con vector de onda k incidente,ques es dispersada por un cristal con celdas en posiciones de red {Rn} y base atómica dej átomos en posiciones {rj}, la amplitud A de la onda dispersada en la dirección k′ es:

A ∝base∑j

fje−irj·(k′−k)

red∑n

e−iRn·(k′−k), (2.7)

con fj el llamado factor de forma atómico dado por:

fj =

ˆcristal

nj(ρ)e−iρ·Gd3ρ, (2.8)

donde nj(ρ) es concentración electrónica del átomo j de la base en el volumen d3ρ . Sedesprende de inmediato de (2.7) que el máximo de A se alcanza cuando

k′ − k = △k = G, (2.9)

pues el segundo sumatorio de (2.7) , que se extiende a toda la RD frente al primero quees una suma de unos pocos, es quien marca dicho valor. La condición anterior es conocidacomo condición de Laue.



Así pues, los máximos de difracción de una onda electromagnética por un cristal, ocurrenal cumplirse la condición anterior; condición que bajo dispersión elástica (k′ = k), elevandoal cuadrado ambos miembros de △k = G , y cambiando G por −G (lo que no modificala condición), puede escribirse también como:

k · G =1

2G2 (2.10)

-Ecuaciones de Laue: Multiplicando escalarmente ambos miembros de (2.9) por losvectores base primitivos de la RD, se obtienen, en virtud de (2.1):

a1 · △k = 2πν1,

a2 · △k = 2πν2,

a3 · △k = 2πν3,

(2.11)

conocidas como ecuaciones de Laue, geométricamente cada una de ellas representa uncono de generatriz △k en torno al eje dirigido por ai; así, la condición de máximo dedifracción se satisface cuando el vector △k coincide con la línea de intersección de los tresconos, una condición fuerte que sólo se cumple mediante el barrido, bien de longitudesde onda λ de la radiación utilizada (método de Laue) o bien de orientaciones del cristal(método del cristal rotatorio), o mediante el uso de polvo de cristal aprovechando laorientación azarosa de los granos cristalinos (método de Debye-Scherrer).-Planos cristalinos y vectores de la RR: Dado un vector cualquiera G de la RRen dirección [h k l] referida a los vectores base primitivos, es fácil probar que éste, esperpendicular al conjunto de planos del cristal paralelos de la familia {h k l}. Tales planosestán distanciados una longitud dhkl (llamada distancia interplanar) . Se demuestra sindificultad que si Gmın es el vector más corto perpendicular a dichos planos, entonces:

dhkl =2π

Gmın. (2.12)

-Ley de Bragg: Relacionando (2.12) con (2.10), y teniendo en cuenta que k = 2πλ con λ

la longitud de onda de la radiación utilizada, se deduce que:

2dhklsen θhkl = nλ, (2.13)

donde el entero n aparece al tener en cuenta que en (2.10) el vector G = nGmın es unvector de la RR más general, y θhkl es el ángulo entre el vector de onda k y el plano(h k l). La relación anterior es la bien conocida Ley de Bragg para la difracción de rayosX por un cristal. Para las redes sc, sustituyendo dhkl en la ley de Bragg, por su expresiónen función de los vectores base primitivos, se tiene que:

2a√h2 + k2 + l2

sen θhkl = nλ, (2.14)

lo que permite experimentalmente para una muestra cristalina, determinar los índices deMiller de los planos involucrados en los máximos de difracción con ángulo θhkl conocido(planos de Bragg) , para una radiación de longitud de onda λ determinada.



Figura 2.2: Máximo de difracción (en dispersión elástica ) de Laue y equivalencia con la ley de Braggen dispersión elástica. Fuente: http://www.fis.puc.c

-Factor de estructura de la base: Bajo la condición de máximo de difracción de Laue,el segundo sumatorio de (2.7) se reduce obviamente al número de celdas N de la red, Laamplitud dispersada resulta entonces:

A ∝ NSG ; SG =

base∑j

fje−irj·(k′−k). (2.15)

A SG se le denomina factor de estructura de la base y representa una suma interferencialdentro de cada celda del cristal. En bases poliatómicas, algunos máximos de difracciónpermitidos pueden resultar prohibidos o extinguidos por la propia base atómica (SG = 0).Este hecho suministra una relevante información sobre la estructura de la misma, asípues, considerando por ejemplo a la red bcc como una sc con base monoatómica (unátomo en el centro de la celda), se extinguirán las reflexiones de planos (h k l) tales queh+k+ l = impar ; en el caso de una fcc (sc más base triatómica), se extinguirán aquellasreflexiones donde h, k, l tienen distinta paridad.

Finalmente,el factor de forma atómico fj (bajo condición de máximo de difracción) sumi-nistra información acerca de la distribución electrónica del átomo j de la base atómica,obteniéndose diferencias pequeñas respecto de los valores teóricos de los átomos libres.

- Difracción de neutrones y electrones: No sólo los rayos X son utilizados por lastécnicas de difracción por cristales, otras radiaciones sonda como los neutrones y loselectrones pueden ser usadas también con ese fín, su utilidad claro está viene determinadapor las características del experimento y de las propiedades como la carga, energía, etcde las partículas sonda . De este modo, las ondas electromagnéticas interaccionan conlos electrones del cristal, los neutrones lo hacen con los núcleos atómicos y electronesmagnéticos siendo de utilidad en el estudio de cristales magnéticos, y por último loselectrones, que interaccionan fuertemente penetrando poco, y por ello, resultan útiles enel estudio de propiedades superficiales de sólidos y cristales delgados.


http://www.fis.puc.cl/~jmejia/docencia/solidos/cap1c.pdf


3 Electrones en un Potencial Periódico. Teorema deBloch

Estudiaremos al sólido cristalino considerándolo de forma separada como un conjunto deiones inmóviles en sus posiciones de equilibrio, y un conjunto de electrones con movimientoindependiente (aproximación de electrones independientes) debido al potencial periódicocreado por los iones,

U (r + R) = U (r) ; ∀R ∈ RD. (3.1)

La primera consideración queda justificada por la diferencia de masa entre los iones yelectrones, lo que permite hacer independientes sus movimientos, es esta la llamada apro-ximación de Born-Openheimer. Sobre la segunda, la longitud de onda de De Broglie delos electrones (en el modelo de electrones libres) es del mismo orden de magnitud que laperiodicidad de la red.Todo esto reduce nuestro estudio a resolver la ecuación de Schrödinger de un electrón(aproximación monoelectrónica) sometido a un potencial U (r) como el anterior, para locual tenemos el siguiente:-Teorema. (de Bloch): Las funciones de onda de Bloch, soluciones de la ecuación deSchrödinger independiente del tiempo para un electrón bajo el potencial (3.1):

− ~2

2m∇2Ψ(r) + U (r) � (r) = εΨ(r) , (3.2)

son tales que,Ψnk (r) = unk (r) eik·r, (3.3)

con unk (r + R) = unk (r) ; ∀R ∈ RD y n ∈ Z.

Figura 3.1: Representación de una función deBloch. Es una onda plana modulada por una funciónunk con la periodicidad de la RD. Fuente: [1].

Los electrones así descritos son llama-dos electrones de Bloch, puede encontrar-se una demostración del teorema en porejemplo[1].Una forma equivalente de enunciar el teo-rema de Bloch, es decir que los autoestadosdel operador hamiltoniano H, pueden es-cogerse de modo que cada función de ondaΨnk (r) asociada a cada vector de onda ksatisface:

Ψnk (r + R) = eik·rΨnk (r) ; ∀R ∈ RD. (3.4)

Hay que notar que aquí, la cantidad ~k no es el momento lineal del electrón (libre)dado que pΨnk (r) = −i~∇Ψnk (r) = ~kΨnk (r), luego Ψnk (r) no es autofunción deloperador momento p, razón por la que ~k es llamado cuasiimpulso o momento cristalinodel electrón.Las soluciones de la forma (3.3) que cumplen las condiciones de contorno unk (r + R) =unk (r) , surgen de la resolución de la ecuación de Schrödinger en una única celda primitivay que es la ecuación de autovalores siguiente:



H (r)uk (r) =[~2

2m(−i∇+ k) + U (r)

]uk (r) = εkuk (r) . (3.5)

Por tanto, para cada k habrá un conjunto infinito y discreto de autovalores εnk indexadospor n . Debemos esperar además que el espectro de soluciones sea continuo, pues k esparámetro del hamiltoniano, luego simplemente escribiremos εn (k) . Los vectores deonda k siempre pueden reducirse a la PZB, pues tanto las funciones de onda como losautovalores resultan iguales tanto para k como para k + G, ∀G ∈ RR.-Diagrama y relaciones de dispersión de electrones: A tal conjunto εn (k) le lla-maremos diagrama de dispersión de electrones, llamando relación de dispersión a cadaε (k) para cada n. Es usual decir, aunque esto constituye un abuso de lenguaje, que eldiagrama de dispersión de electrones forma una estructura de bandas, y que cada relaciónde dispersión forma la banda de energía n.-Vectores k permitidos: Sin restringir la generalidad, supongamos una red cristalinasc de volumen finito V con Ni celdas a lo largo de cada dirección ai (de los vectoresbase primitivos). El cristal tiene en total N = N1N2N3 celdas primitivas, extendiendo elvolumen V a todo el espacio imponiendo las llamadas condiciones de contorno de Born-Von Karman siguientes a los electrones de Bloch,

Ψnk (r + Niai) = Ψnk (r) ; r ∈ V , i = 1, 2, 3, (3.6)

que aplicadas a las funciones de Bloch,

Ψnk (r + Niai) = eik·NiaiΨnk (r) =⇒ eik·Niai = 1 ; i = 1, 2, 3, (3.7)

de donde se extrae que:

k =m1

N1b1 +

m2

N2b2 +

m3

N3b3 ; mi ∈ Z, (3.8)

con {bi} los vectores base primitivos de la RR. Es esta condición pues, la que debensatisfacer los vectores k . El volumen del espacio recíproco asociado a un k permitidoes trivialmente |△k| = 1

N [b1 · (b2 × b3)] =1N×volumen de la celda primitiva de la RR,

y teniendo en cuenta que el volumen de la celda primitiva de la RR es (2π)3

V/N , resultafinalmente que:

|△k| = (2π)3

V. (3.9)

-Densidad de estados: Para el cálculo de algunas propiedades físicas se realiza unasuma de una función Fn (k) extendida al conjunto de vectores k permitidos. Si Fn (k) esaproximadamente constante en el volumen △k, y si además presenta la periodicidad dela RR, se lleva a cabo la aproximación:

2∑n,k

Fn (k) −→V →∞

2V

(2π)3

ˆCP

Fn (k) dk, (3.10)

donde el 2 proviene de la degeneración de espín electrónico y CP es la celda primitiva dela RR.



Si Fn (k) depende además de n y k a través de εn (k) , se define la densidad de estadoso de niveles Dn (ε) para cada banda n, de modo que:

2∑n,k

Fn (k) =∑n

ˆCP

Fn (ε)Dn (ε) dε, (3.11)

luego por definición es Dn (ε) dε = 2×número de vectores k permitidos en la banda n conenergía entre ε y ε+ dε. Si se consideran Sn (ε) y Sn (ε+ dε) superficies equienergéticascon energía ε y ε+dε respectivamente e inmersas en la CP, el cálculo integral conduce a:

Dn (ε) =2V

(2π)3

ˆSn(ε)

dS

|∇εn (k)|. (3.12)

-Superficie de Fermi y estructura de bandas: Un sistema de N electrones de Blochen el estado fundamental, se construye ocupando los niveles monoelectrónicos εn (k) paratodo n hasta completar el número de electrones del sistema, a ésto suele llamarse condiciónde ocupación o de llenado. En un continuo de energía, el valor εF de energía, tal que,εn (k) < εF para todos los niveles ocupados se denomina energía de Fermi, esto es,aquella que separa (en un continuo) el conjunto de niveles ocupados de los desocupados.La superficie equienergética εn (k) = εF del espacio recíproco se denomina superficie deFermi, y se llama rama n aquella correspondiente a un valor de n determinado.

Figura 3.2: Bandas de energía. La de menor energíaparece provenir de dos relaciones de dispersión dis-tintas con densidades de estado A y B; la de energíasuperior en cambio, proviene de una única relaciónde dispersión. Observe el gap de energía entre lasdensidades B y C. Fuente: [1].

Para ciertos sólidos ocurre que al ocuparlos niveles εn (k) , el valor de energía mí-nimo de aquellos que quedan desocupados,es mayor que el valor máximo de los nive-les ocupados, hay por tanto un intervalode energía prohibido conocido como gap( del inglés) de energía, zanja, o brechade energética. Al proyectar la densidad deestados sobre el eje de energía, se obser-van zonas o intervalos de energía, bandasque corresponden a una o varias relacionesde dispersión (obsérvese en la figura 3.2como las relaciones de dispersión puedensolaparse), y otros intervalos que no co-rresponden a ninguna, los propios gaps deenergía (es esto lo que da sentido al nom-bre de bandas).Se llama banda de valencia, BV, a aquellade niveles de energía más altos ocupadapor electrones en el cero absoluto. En lossólidos aislantes y semiconductores hay un gap de energía justo por encima de la BV ya energías superiores una banda de conducción, BC. Por lo dicho, evidentemente estossólidos no presentan energía de Fermi bien definida ni por tanto superficie de Fermi.La anchura del gap de energía εg, entre la BV y la BC, determina de un modo generalsi el sólido es un semiconductor o aislante 3, si εg ≈ 1 eV será un semiconductor ya

3Se verá en el Capítulo 6 que esto es así únicamente si la BV se encuentra parcialmente ocupada.



que a temperaturas distintas de cero, electrones de la BV pueden por promoción térmicasaltar a la BC, por el contrario, con εg ≈ 10 eV los electrones no pueden superar labrecha energética y el sólido será un aislante. En el caso de los metales que son sólidoscon superficie de Fermi, no tienen BV sino únicamente BC, no hay gap de energía y porconsiguiente son conductores.



4 El Modelo de Drude-Sommerfeld de los Metales

El modelo de Drude aplica la exitosa teoría cinética de los gases para explicar las propie-dades de los metales. Para ello se considera que los electrones de valencia, que son los deconducción, se mueven libremente en el metal y por tanto pueden ser modelados comoun gas clásico, los iones del metal considerados quietos en su posición de equilibrio (redfría), vistos como un fondo de carga positiva cuyo potencial constante puede tomarse co-mo cero (llamado a veces modelo de jalea). El modelo explica algunas de las propiedadesfísicas de los metales como la conductividad eléctrica, conductividad térmica, el efectoHall, propiedades ópticas, entre otras. Mediante argumentos cuánticos se concluye, quesi bien el estudio de la dinámica de los electrones puede ser abordado de un modo pu-ramente clásico, el estudio estadístico desde una perspectiva clásica no resulta adecuado,fué Sommerfeld quien recurrió a la estadística cuántica para tratar a los electrones comoun conjunto de fermiones, como un gas de Fermi (mediante la estadística de Fermi-Diracen lugar de la de Maxwell-Boltzman).El modelo, básicamente supone lo siguiente:

1. Se desprecia la interacción electrón-electrón (aproximación de electrones indepen-diente) y la interacción ión-electrón (aproximación de electrones libres).

2. Existe algún mecanismo de colisión (o scattering) con los iones del metal que terma-liza el sistema. La probabilidad de colisión dentro de un intervalo de tiempo dt esdt/τ, siendo τ el tiempo de relajación, tiempo de colisión o tiempo libre medio. Estetiempo no depende ni de la posición r del electrón ni de su velocidad v. Tras unacolisión el electrón «olvida» su historia anterior por lo que su velocidad de salidaserá aleatoria y solo dependerá en magnitud de la temperatura.

-Ecuación dinámica de los electrones: Supongamos un electrón con momento linealp (t) sometido a una fuerza F (t). De la segunda suposición, en un tiempo dt , el elec-trón tendrá una probabilidad

(1− dt

τ

)de no colisionar. Si no colisiona, su momento tras

el tiempo dt será p (t+ dt) = p (t) + F (t) dt (en primer orden de aproximación). Lacontribución en promedio de los electrones que no han colisionado (subindice nc) será:

⟨pnc (t+ dt)⟩ =(1− dt

τ

)(⟨p (t)⟩+ ⟨F (t)⟩ dt) = ⟨p (t)⟩+ ⟨F (t)⟩ dt− dt

τ⟨p (t)⟩ . (4.1)

La contribución al momento, de los electrones que sí han colisionado, puesto que luego dela colisión su dirección es aleatoria y el número de éstos es dt/τ×número total de electrones,es claramente de orden dos en dt y podemos despreciarla (siguiendo en primer orden deaproximación). En definitiva, haciendo dt → 0 en (4.1) tenemos:⟨

dp (t)

dt

⟩= ⟨F (t)⟩ − 1

τ⟨p (t)⟩ , (4.2)

expresión conocida como ecuación dinámica, y cuya interpretación es inmediata, el efectoneto de las colisiones introducen un término de amortiguamiento 1

τ ⟨p (t)⟩ como si deuna fuerza de rozamiento o de resistencia proporcional a la velocidad de los electrones setratase.



-Conducción de corriente continua. Ley de Ohm: Sometido un metal a un campoeléctrico constante E , de la ecuación dinámica (alcanzado el régimen estacionario) yteniendo en cuenta que el promedio temporal entre colisiones (de los electrones con losiones del metal) es τ , resulta la velocidad límite o de arrastre en promedio,

v =−eEτ

me. (4.3)

De la ley de Ohm, j = σE, con σ la conductividad eléctrica y J el vector densidad decorriente, multiplicando la relación anterior por el número de electrones por unidad devolumen n, y por la carga −e del electrón, se llega a que

j = −nev =ne2Eτ

me=⇒ σ =

ne2τ

me, (4.4)

lo que expresa la relación lineal de la ley de Ohm supuesto que los electrones colisionancon los iones del metal.En general, experimentalmente se comprueba que la conductividad depende de la tempe-ratura, respecto de ésto, para más detalles y aclaraciones, puede dirigirse por ejemplo a[4] o a [1]

Figura 4.1: Esquema del experimento llevado a ca-bo por Hall. Fuente: [5].

-Efecto Hall y magnetorresistividad:Analicemos la influencia de un campomagnético externo sobre la conductividadeléctrica. El montaje experimental típico(Hall 1879) se muestra en la figura 4.1.La componente magnética de la fuerza deLorentz produce una deflección de las tra-yectorias electrónicas que da lugar a unaacumulación de carga en el borde de lamuestra. Como consecuencia aparece en-tonces un campo eléctrico transversal Ey ,que crece al acumularse la carga hasta quecontrarresta la fuerza de Lorentz magnética alcanzándose un régimen estacionario.Nos interesa la cantidad llamada coeficiente Hall, RH ≡ Ey

jxB, y la cantidad llamada mag-

netorresistividad, ρ ≡ Ex

jy. Aplicando la ecuación dinámica, en componentes promediadas

resulta:vx = −Exeτ

me− ωcτvy

vy = −Eyeτme

− ωcτvx

vz = −Ezeτme

,

(4.5)

donde ωc ≡ − eBmc

es la llamada frecuencia ciclotrón o girofrecuencia del electrón. En elrégimen estacionario es vy = 0, luego con j = −nev sustituyendo las relaciones anterioresen las definiciones de coeficiente Hall y magnetoresistividad, se obtiene:

RH = − 1ne ,

ρ = me

ne2τ .(4.6)



Experimentalmente se encuentra que la magnetorresistividad muestra una gran variedadde comportamientos en función del campo magnético aplicado, respecto del coeficienteHall, para los metales nobles y alcalinos, resulta aceptable para los primeros y buenopara los segundos, sin embargo, para el resto de metales es inaceptable, en concretoporque el signo es contrario (salvo que los portadores de carga fueran positivos, pero estoes incompatible con un modelo de electrones libres). Estas discrepancias las resuelve laTeoría de Bandas que tiene en cuenta la interacción del potencial periódico de los ionesdel cristal con los electrones. Refiérase a [1] por ejemplo para profundizar.-Calor específico electrónico: Desde el punto de vista de la estadística clásica deMaxwell-Boltzman, aplicando el teorema de equipartición de la energía, se obtiene, parala contribución de los electrones al calor específico de un metal a volumen constante ypor unidad de volumen: celv = 3

2nkB, que es claramente constante.Desde una perspectiva cuántica, resolviendo la ecuación de Schrödinger independiente deltiempo para un conjunto de N electrones libres en un cubo de arista L , cuyas solucionesson de la forma Ψk (r) ∝ eik·r , imponiendo a éstas condiciones de contorno de Born-vonKarman Ψk (x+ L, y, z) = Ψk (x, y + L, z) = Ψk (x, y, z + L) = Ψk (x, y, z), se deducepara los vectores de onda la condición k = 2π

L n con n = nxi+ nyj+ nzk ; nx, ny, nz ∈ Z.El volumen asociado a los k (volumen en el espacio recíproco) es entonces |△k| = (2π)3

V ,la relación de dispersión para los electrones, en este caso (electrones libres) no es másque ε = ~2k2

2me, lo que implica una superficie de Fermi esférica de radio kF y volumen

43πk

3F . Así, para el vector de onda de Fermi kF , aplicando la condición de ocupación y

considerando el factor 2 de degeneración de espín, tenemos:

N = 243πk

3F

8π3/V

=⇒ kF =(3π2n

)1/3; n =

N

V, (4.7)

con energía de Fermi como εF = ~2kF

2me, temperatura de Fermi dada por kBTF = εF , y

velocidad de Fermi 12mev

2F = εF .

La densidad de estados D (ε) puede obtenerse a partir de la relación de dispersión apli-cando (3.12) , de manera que expresada en función de la energía de Fermi, es:

D (ε) =2V

(2π)3

ˆS

dSdε/dk

=3

2

N

εF

√ε

εF. (4.8)

Figura 4.2: Función de Distribución de Fermi-Diraca T = 0K (línea punteada) y a T > 0K (línea con-tinua). Fuente: [5].

Para la energía promedio del sistema de Nelectrones libres,⟨U (T )⟩ , haciendo uso dela distribución de Fermi-Dirac (figura 4.2)fFD (ε, T ) = 1

eε−µkBT +1

, donde µ es el poten-

cial químico y para la cual en el cero abso-luto es fFD (µ, 0) = 1

2 , fFD (ε < µ, 0) = 1y fFD (ε > µ, 0) = 0, por lo que puede de-cirse que εF = µ (T = 0K). La distribu-ción representa la probabilidad de que elestado ε (k) esté ocupado, por tanto, con-tando con D (ε) , y con ε (k) para electro-nes libres, encontramos a T = 0K que en



el estado fundamental es:

⟨U (T = 0)⟩ =ˆ ∞

0

dεD (ε) εfFD (ε, 0) =

ˆ εF

0

dεD (ε) ε =3

5NεF ,

(4.9)que es 2/5 del valor obtenido mediante la estadística clásica. A T = 0K , la integralanterior no resulta trivial, sin embargo, puede aproximarse mediante la llamada expansiónde Sommerfeld, lo que lleva sin entrar en detalles a:

celv =1

V

(∂

∂T

ˆ ∞

0

dεD (ε) εfFD (ε, T )

)V

≃ π2

2nkB

T

TF=

π2

2nk2B

T

εF, (4.10)

donde se ha tenido en cuenta la expresión de la temperatura de Fermi TF dada anterior-mente. La relación lineal con T , en el resultado anterior, se comprueba excelentementeen el laboratorio, y como cabe esperar se anula para T = 0K , sin embargo, el factorde proporcionalidad resulta muy variable para los distintos metales, incluso para algunosmuy alejado del valor experimental. La medida experimental de celv debe hacerse a muybajas temperaturas para no verse enmascarada por la contribución de la red cristalina,que como se verá más adelante, depende de T 3 cuando T → 0K.

-Otros Resultados del modelo: El modelo arroja otros resultados que al menos merecela pena comentar. Respecto de la conductividad en corriente alterna, se encuentra queσ (ω) = σ0

1−iωτ , donde aquí σ0 es la conductividad de corriente continua ya obtenida ycomo es de esperar σ (ω) → σ0 cuando ω → 0.

Para la contribución electrónica a la conductividad térmica, se obtiene κel =13

⟨v2⟩τcelv ,

donde v es la velocidad de los electrones. Haciendo⟨v2⟩≃ v2F = εF/2me y con (4.10), se

define el llamado número de Lorentz L = κel

σT =π2κ2

B

3e2 que expresa la ley de Wiedemann-Franz y que se constata experimentalmente al menos a altas temperaturas, a bajas tem-peraturas este número desciende dado que el valor de τ térmico y eléctrico dejan de seriguales. Respecto del conocido efecto Seebeck, la potencia termoeléctrica o coeficienteSeebeck bajo el modelo queda como Q = − celv

3ne que concuerda en orden de magnitudexperimentalmente aunque al igual que sucede con el coeficiente Hall el signo a veces esel contrario. 4

Con relación a las propiedades ópticas, para la interacción de una onda electromagnéticade frecuencia ω con un metal, se obtiene para la permitividad eléctrica relativa ε (ω) =

1 +iσ0/ε0ω

1−iωτ . A bajas frecuencias se aproxima como ε (ω) ≃ iσ0

ε0ω, que al ser imaginaria

implica que la onda se atenúa en el metal alcanzando una profundidad de penetraciónδ =

√2ε0c2

σ0ω. A altas frecuencias se aproxima por ε (ω) ≃ 1 − ω2

p

ω2 donde ω2p ≡ σ0/ε0τ

es la llamada frecuencia de plasma, que corresponde a la frecuencia característica deoscilaciones longitudinales de la densidad del gas de electrones cuyo cuanto se llamaplasmón. Para ω < ωp es ε (ω) < 0 y por ende la onda se atenúa en el metal , en cambio siω > ωp , es ε (ω) > 0, y la onda atraviesa el metal; el metal se hace entonces transparentea estas frecuencias que corresponden al extremo ultravioleta, este hecho se ha verificadobastante bien en los metales alcalinos. Por lo general las propiedades ópticas son más

4Al igual que para el coeficiente Hall, esto plantea dudas sobre el signo de los portadores de carga enlos metales.



complejas de lo que el modelo de Drude-Sommerfeld predice, es por tanto nuevamente lateoría de bandas la que arroja resultados y explicaciones más satisfactorias. Respecto deeste último apartado diríjase a [5] por ejemplo para profundizar.



5 Bandas de Energía. Electrones Cuasilibres y Fuer-temente Ligados

-Aproximación de red vacía: Recordando lo visto en el Capítulo 3, supongamos ahoray por simplificar, una red unidimensional, introduzcamos un potencial periódico U (r) tandébil que no afecte a las soluciones del electrón libre (red vacía). La relación de dispersiónpara los mismos es entonces ε (k) ≃ ε0 (k) = ~2k2

2m y dado que ε (k + G) = ε (k) , paratodos los G de la RR, la representación es pues la de la figura 5.1 (Izquierda), llamadarepresentación en zona periódica. Tomando ella el recinto limitado a la PZB, se aprecia laexistencia de infinitas soluciones y se tienen todos los valores posibles de ε0 (k) ; haciendoademás k = kPZB + G, ∀G ∈ RR de la RR, podemos reescribir la relación de dispersióncomo ε0 (kPZB) =

~2(kPZB−G)2m para obtener la llamada representación en zona reducida

(reducida a la PZB), figura 5.1 (Abajo, dcha.). Como se mencionó en el Capítulo 3, losvalores posibles de la energía se clasifican en bandas de energía (recuérdese lo comentadoentonces sobre el abuso de lenguaje); veremos luego como la inclusión de un potencialperiódico no despreciable conduce a la existencia de intervalos prohibidos de energía, losgaps de energía o bandas prohibidas (que son la razón de la clasificación en bandas). Porúltimo, la figura 5.1 (Abajo, izq.) es la llamada representación en zona extendida, en laque cada banda aparece en una zona de Brillouin distinta, fíjese que la n-ésima zona deBrillouin puede ser definida como la zona del espacio recíproco a la que se puede accederdesde el origen atravesando n− 1 planos de Bragg.

Figura 5.1: Relación de dispersión de electrones libres. Arriba: Esquema de zona periódica. Abajo:Esquema de zona reducida (izq.) y esquema de zona extendida (dcha.). Fuente: [5].



-Solución al electrón en un potencial periódico: La función de onda de Bloch deun electrón, sometido a un potencial periódico débil, puede expresarse como el desarrollode Fourier:

Ψk (r) =∑

kuke

ik·r, (5.1)

para todos los k que cumplan las condiciones de contorno. Vamos a encontrar los coefi-cientes uk teniendo en cuenta que la periodicidad del potencial permite representarlo porsu desarrollo de Fourier:

U (r) =∑G

UGeiG.r. (5.2)

Tomaremos aquí UG=0 = 0 como el origen de energía media, y nos limitamos a una redmonoatómica de manera que siempre es posible escoger el origen de coordenadas en elque el potencial presente simetría de inversión, esto es, que U (−r) = U (r) . Sustituida(5.1) y (5.2) en la ecuación de Schrödinger (3.2), resulta que ha de ser:[

ε0 (k)− ε]uk +

∑G

UGuk−G = 0, (5.3)

ecuación que puede reescribirse haciendo el cambio k = kPZB − G, donde G es ciertovector de la RR. Así queda:[

ε0 (kPZB − G)− ε]ukPZB−G +

∑G′

UG′−GukPZB−G′ = 0. (5.4)

La ecuación anterior (sistema de ecuaciones) es conocida como ecuación central. Existenpara cada kPZB una ecuación como la anterior para cada G de la RR, por lo que elproblema se ha convertido en N problemas independientes, uno para cada kPZB . Cadasistema de ecuaciones acopla los ukPZB , ukPZB−G, ukPZB−G′ , ukPZB−G′′ , . . . y cada unocon solución ΨkPZB (r) =

∑GukPZB−Gei(kPZB−G)·r que tiene la forma de función de Bloch .

-Aproximación de electrones cuasilibres: Con el potencial periódico débil y tal queUG ≪ ε0, la ecuación central puede simplificarse considerablemente en ciertas regionesde la PZB:

• Lejos de los planos de Bragg donde∣∣ε0 (kPZB − G0)− ε0 (kPZB − G)

∣∣≫ U, ∀G =G0, el sumatorio de (5.4) puede despreciarse y la solución es la de electrones libres,ε (k) = ε0 (k).

• Cerca de los planos de Bragg y sus intersecciones, para cierto conjunto G1, · · · ,Gm

se verifica: ∣∣ε0 (kPZB − Gi)− ε0 (kPZB − Gj)∣∣ < U ; i = j,∣∣ε0 (kPZB − G)− ε0 (kPZB − Gi)

∣∣≫ U ; ∀G = Gi,(5.5)

y (5.4) se aproxima por:

[ε− ε0 (kPZB − Gi)

]ukPZB−Gi =

m∑j

UGj−GiukPZB−Gj ; i = 1, · · · ,m. (5.6)



Sobre un plano de Bragg aunque lejos de sus intersecciones, en el caso especialmentesencillo m = 2 (degeneración doble), después de algunas manipulaciones, el sistemaanterior arroja para ε la solución:

ε (k) = ε0 (k)± |UG| , (5.7)

con G el vector de la RR asociado al plano de Bragg. Esta sencilla expresión implicade forma inmediata, la existencia de un gap de energía de anchura 2 |UG| sobre losplanos de Bragg. Puede además probarse sin dificultad que ∂ε(k)

∂k = ~2

m

[k − G

2

],

de lo que se extrae que las superficies equienergéticas son perpendiculares a estosplanos.

Figura 5.2: Bandas de energía prohibida o gaps en la representación de zona extendida (izq.) y zonareducida (dcha.). Fuente: [5].

-Aproximación de electrones fuertemente ligados: Se trata ahora de aplicar los mé-todos perturbativos y aproximar el potencial cercano a los puntos de red por un potencialatómico perturbado, para lo cual se escribe el hamiltoniano ^H (r) = Hat (r) +△U (r),donde las autofunciones y energías de Hat (r) son Φn (r) y εn respectivamente, con n ∈ Z.Escogemos por solución una aproximación inicial Ψk (r) =

∑RCk (r)Φ (r − R), con Φ

una combinación lineal de orbitales atómicos degenerados: Φ(r) =∑nbnΦn (r). Haremos

Ck (R) = eik·R de manera que Ψk (r) adquiera la forma de función de Bloch. Aplicandoel hamiltoniano a|Ψk (r) y multiplicando por ⟨Φs (r)|, resulta:

εs ⟨Φs (r)| Ψk (r)⟩+ ⟨Φs (r)|△U (r) |Ψk (r)⟩ = ε (k) ⟨Φs (r)| Ψk (r)⟩ ; s ∈ Z, (5.8)

la relación anterior, después de despejar ε (k) y sustituir Ψk (r) por su expresión, conducea:

ε (k) = εs +

β +∑

R=0

γ (R) eik·r

1 +∑

R =0

α (R) eik·r, (5.9)



donde hemos llamado:

α (R) = ⟨Φs (r)| Φs (r − R)⟩ ,

β = −⟨Φs (r)|△U (r) |Φs (r)⟩ ,

γ (R) = −⟨Φs (r)|△U (r) |Φs (r − R)⟩ .

(5.10)

Dado que para un nivel atómico s es Ψ(r) = Ψ (r) , α (R) = α (R) y γ (R) = γ (R) ;teniendo en cuenta la simetría de inversión R → −R , quedándonos tan sólo con la con-tribución de los vecinos más próximos (aproximación aceptable), R = R0, y despreciandola pequeña contribución de α (R) en el denominador de (5.9). Dicho todo esto, una vezcalculadas las (5.10) y sustituidas en (5.9), se obtiene finalmente:

ε (k) ≃ εs − β − γ (R0)∑R0

cos (k · R0) . (5.11)

Así, cada nivel atómico discreto origina una banda posible de energías que depende dek y cuya anchura viene determinada por γ (R0) , que a su vez es dependiente del gra-do de solapamiento de las funciones de onda de los átomos vecinos pudiendo aparecersolapamiento entre bandas.



6 Dinámica de los Electrones de Bloch

Se propone un modelo semiclásico en el que se presupone que el índice de banda n es unaconstante de movimiento, están prohibidas por tanto las transiciones electrónicas entrebandas. Esto supone que si los electrones son sometidos a campos externos eléctrico ymagnético de amplitudes E y B , uniformes y estáticos con frecuencia ω , debe cumplirseque ~ω ≪ εg,eEa ≪ ε2g/εF, y e~B/m ≪ ε2g/εF , donde εg es la anchura del gap de energía ya es el parámetro de red.Un paquete de ondas de Bloch está constituido por un conjunto de funciones de onda deBloch con vectores de onda k próximos entre sí. Su velocidad de grupo es v = dω/dk yteniendo en cuenta la relación ω = ε/~, encontramos para la velocidad del electrón:

v (k) = 1

~dε (k)dk . (6.1)

La aplicación de una fuerza externa F producirá una evolución temporal de la energía delelectrón, tal que:

dε (k)dt

= F · v (k) = 1

~F · dε (k)

dk , (6.2)

que combinada con dε(k)dt = dε(k)

dkdkdt conduce a:

F = ~dkdt

. (6.3)

La ecuación de movimiento anterior implica que la cantidad ~k se comporta ante unafuerza externa como lo haría el momento lineal o impulso del electrón libre (lo que justificael nombre de cuasiimpulso).-El tensor de masa: La ecuación de movimiento puede reescribirse en la forma máscomún Fuerza = masa × aceleraci �on . Derivando la velocidad del electrón respecto deltiempo, en notación de índices,

ai =dvidt

=d

dt

(1

~dε

dki

)=

1

~∑j

∂

∂kj

(∂ε

ki

)∂kj∂t

=1

~2∑j

∂ε

∂ki∂kjFj ; i, j = 1, 2, 3,

(6.4)en donde se ha omitido por sencillez la dependencia de ε y de vi con k. En el último miem-bro la cantidad definida como M−1

ij ≡ 1~2

∂ε∂ki∂kj

, es llamada tensor de masa, de maneraque:

F = Ma. (6.5)

El tensor de masa evidencia la existencia de anisotropía, es claramente simétrico, y de-pende evidentemente de k a través de ε (k), que a su vez depende del potencial de la red.Si k0 es un vector de onda asociado al extremo de una banda o borde de banda, la energíadel electrón puede aproximarse en torno a k0

5 por

ε ≃ ε (k0) +∑i,j

(ki − k0i)1

2~2M−1

ij |k=k0 (kj − k0j) . (6.6)

5Aproximación por su desarrollo de Taylor hasta segundo orden, teniendo en cuenta además que en elborde de banda es ∂ε

∂k∣∣k=k0

= 0.



Así, el tensor de masa para electrones que se mueven en las cercanías de k0 es constante,esto es, electrones en las cercanías del extremo de banda (obsérvese que la expresiónanterior se asemeja a la bien conocida energía del electrón libre ε0 (k) = ~2k2

2m , cambiandoen este caso la masa del electrón por el tensor de masa). La simetría del tensor de masaasegura su diagonalización 6, de modo que puede escogerse un sistema de ejes principalesrespecto de los cuales las componentes del tensor son M−1

ij ≡ 1m∗

iδij , siendo las m∗

i lasllamadas masas efectivas; . Teniendo en cuenta esto, (6.6) queda como:

ε ≃ ε (k0) +~2 (k1 − k01)

2m∗1

+~2 (k2 − k02)

2m∗2

+~2 (k3 − k03)

2m∗3

, (6.7)

y las superficies equienergéticas son entonces elipsoides de semiejes√

2m∗i [ε−ε0(k)]~ .

-Movimiento en un campo eléctrico uniforme y estático. Huecos: Sucede que lasbandas llenas no conducen, en efecto, de (6.1) resulta j = −e

∑i vi = −e~−1

∑i∂ε/∂ki =

0, dado que la suma se extiende a toda la PZB por la consideración de bandas llenas, ypuesto que ε (k) = ε (−k), los términos del sumatorio se anulan por parejas (k,−k) envirtud de la simetría de inversión de la PZB. Esto parece implicar que hay tantas cargasnegativas (electrones) que se mueven en la dirección −E de un campo externo E aplicado,como «cargas positivas» en la dirección contraria. Así pues, sólidos con un número parde electrones de valencia, siempre que no hubiera solapamiento de bandas en cuyo casoserían conductores, necesariamente serán aislantes.

Consideremos por simplificar una banda casi llena con un sólo electrón vacante con vectorde onda ke, respecto de la vacante se dice que existe un hueco, asociaremos a la bandaun vector de onda kh. El comportamiento de la banda ante la presencia de un campoeléctrico externo E uniforme y estático, queda descrito por:

kh =

[∑PZB

k]− ke = −ke, (6.8)

ya que el sumatorio se anula por la simetría de inversión de la PZB. Como∑

PZB

ε (k) es

constante en el borde de banda, puede tomarse como cero, y para la energía «de banda»se tiene:

εh (kh) =

[∑PZB

ε (k)]− εe (ke) = −εe (ke) . (6.9)

Teniendo en cuenta (6.8) y la relación anterior, es evidente usando (6.1) que vh(kh) =

ve(ke), y con relación a la masa efectiva, de su definición resulta [m∗h (kh)]

−1= [−m∗

e (ke)]−1

.

Lo que viene a decir que el hueco tiene masa efectiva positiva, dado que en el bordede banda, es evidente que la de los electrones es negativa. Aplicando ahora al hueco laecuación (6.3) con campos E y B uniformes y estáticos, obtenemos:

~dkh

dt= eE + evh × B, (6.10)

6Es un hecho bien conocido del álgebra lineal que toda matriz simétrica es diagonalizable, sus auto-vectores son ortogonales entre sí y sus autovalores reales.



de donde se colige que los huecos se comportan como cargas eléctricas positivas con masapositiva.

Por último, puede demostrarse que la conductividad eléctrica en un banda parcialmenteocupada es:

σ =ne2τ

N

∑kM−1 (k) , (6.11)

donde la suma se extiende a todos los estados ocupados. La anterior no es más quela generalización de (4.4) vista en el Capítulo 4, pues para electrones libres resultaM−1 (k) = m−1

e , luego para ellos, (6.11) se reduce a σ =(ne2τ/N

)N1/me = ne2τ/me

como cabe esperar.

-Movimiento en un campo magnético uniforme y estático: Bajo la acción de uncampo magnético B, la fuerza que actúa sobre portadores de carga es qv × B, y por serperpendicular a la velocidad se conserva la energía, en efecto, pues dε

dt =(qv × B) · v = 0.Los electrones se mueven en el espacio fásico (espacio de las k) sobre superficies equie-nergéticas siguiendo trayectorias perpendiculares al campo. Partiendo de (6.3) y descom-poniendo k en sus componentes perpendicular y paralela al campo, para la componenteperpendicular r⊥ en el espacio real, se llega a:

r⊥ (t) = r⊥ (0)− n × ~eB

[k⊥ (t)− k⊥ (0)] , (6.12)

donde n es un versor en la dirección de B. La expresión anterior significa que la proyecciónperpendicular al campo de la órbita en el espacio real, es la misma órbita del espaciofásico girada π/2 rads en torno a la dirección de B y multiplicada por −~/eB. Respecto dela componente de la velocidad paralela al campo, se encuentra que vq = ~−1dε/dkq que noes en general constante.

Dependiendo de la topología de las superficies equienergéticas, pueden haber trayectoriascerradas o abiertas, las primeras se clasifican en órbitas de tipo electrón o de tipo hueco.La frecuencia de estás órbitas es la frecuencia ciclotrón. Se demuestra para ella:

ωc (ε, kq) =2πeB/~2

∂A(ε,kq)/∂ε, (6.13)

donde A (ε, kq) es el área encerrada por la órbita en el espacio fásico.Comparando larelación anterior con la relación para electrones libres, ωc ≡ eB/me, se introduce la masaefectiva ciclotrónica:

m∗ (ε,k q) ≡ eB

ωc (ε, kq)=

~2

2π

∂A (ε, kq)

∂ε, (6.14)

que no debe confundirse con la masa efectiva dado que en este caso es una propiedad detoda la órbita. Cerca de los bordes de bandas, lo que es de interés para semiconductores,respecto de los ejes principales (subíndices 1, 2, 3) del elipsoide de energía constante (6.7)),se demuestra que:

ωc = e

√B2

1m∗1 +B2

2m∗2 +B2

3m∗3

m∗1m

∗2m

∗3

. (6.15)



-La magnetorresistividad y el coeficiente Hall: Para ver el comportamiento delcoeficiente Hall y de la magnetorresistividad debemos estudiar el transporte de corrienteeléctrica bajo la aplicación simultanea de campos externos E y B. Supondremos que Bes lo suficientemente débil, es decir, ωcτ ≪ 1, de manera que el electrón recorra sólo unapequeña porción de su órbita cerrada entre colisiones. Si tenemos que E⊥B, la densidadde corriente puede ser escrita como:

j = σEE + σB (B × E) , (6.16)

donde σE y σB son escalares dependientes de la concentración de portadores de carga,de su tiempo de relajación, de su masa efectiva y del campo magnético. Sean B = Bk yE = Exi + Eyj campos constantes. Se puede escribir j como:

j = =σ (B)E =

σE −BσB 0BσB σE 00 0 1

Ex

Ey

0

. (6.17)

Una vez alcanzado el régimen estacionario es jy = 0, y para la magnetorresistividad ycoeficiente Hall se obtiene:

ρ ≡ Ex

jx=

σE

σ2E + σ2

BB2

; RH ≡ Ey

jxB=

−σB

σ2E + σ2

BB2. (6.18)

Bajo la aproximación simple de electrones cuasilibres, siendo ωc ≡ eB/m∗, se tiene que:

σE =ne2τ/m∗

1 + (ωcτ)2 ; σB =

eτ

m∗σE , (6.19)

que al sustituir en (6.18) resulta:

ρ = m∗

ne2τ ,

RH = − 1ne .

(6.20)

Si las superficies equienergéticas, en concreto la de Femi, son esferas poco deformadas, sepuede llevar a cabo la aproximación:

=σ (B) ≃ ne2τ

m∗

1− 5 (ωcτ)2 −2ωcτ 0

2ωcτ 1− 5 (ωcτ)2

00 0 1

=⇒

ρ (B) ≃ m∗

ne2τ

[1 + (ωcτ)

2]∝ B2,

RH ≃ 1ne

[1 + 3 (ωcτ)

2].

(6.21)

Resulta claro que para B → 0 se obtienen los resultados del electrón libre.Bajo campos magnéticos intensos, ωcτ ≫ 1, la magnetorresistividad muestra una granvariedad de comportamientos dependiendo de la topología de la superficie de Fermi. Encuanto al coeficiente Hall, para campos intensos es válida la expresión de electrones libres,salvo que en este caso, se sustituye la densidad de carga electrónica ne por la densidadde portadores de carga neta (ne − nh), donde nh es la densidad de huecos.



7 Dinámica de la Red

-La cadena monoatómica: Consideremos una red unidimensional con base monoató-mica y parámetro de red a. El modelo de aproximación armónica consiste en suponerque los átomos oscilan acoplados con desplazamiento u (t) en torno a los puntos de red,con vector de posición r (t) = R + u (t) y de forma que u (t) ≪ R0 , donde R0 es la me-nor de las distancias interatómicas, es decir, sus desplazamientos respecto de la posiciónde equilibrio son pequeños frente a las distancias interatómicas. En estas condiciones elpotencial armónico se escribe como:

Uarm =1

2

∑s,l

1

2Cl (us+l − us) , (7.1)

con us el desplazamiento del átomo s (o plano de átomos) respecto de su posición deequilibrio, sa, y Cl la constante de fuerza entre dos átomos separados una distanciala; l ∈ Z. La ecuación de movimiento de cada átomo de masa M es de inmediato:

Md2us

dt2= Fs = −∂Uarm

∂us=∑l

Cl (us+l − us) , (7.2)

que tomando por simplificar sólo los vecinos más próximos, l = ±1, por lo que Cl = C,admite la solución en forma de modo normal con relación de dispersión ω (k):

us = ukei(ksa−ωt) ; ω2 (k) =

4C

Msen2

(1

2ka

). (7.3)

Se observa claramente simetría k → −k y periodicidad en k con período 2π/a, esto es, pe-riodicidad k → k + G, ∀k,G ∈ RR, por lo que en adelante consideraremos los k reducidosa la PZB. La velocidad de grupo vg = dω/dk se anula en k = ±π/a, lo que satisface con-dición de Bragg, luego la onda se refleja internamente generando una onda estacionaria.Para ka ≪ 1 se tiene ω (k) ≃ ka

√C/M, y la velocidad de fase c = ω/k es entonces cons-

tante; así, la relación de dispersión se conoce como rama acústica, siendo c la velocidaddel sonido en el sólido cristalino.-La cadena diatómica: Pongámonos ahora en las mismas condiciones anteriores peroen este caso para una red unidimensional con base diatómica. Los átomos de masasM1y M2 se encuentran a una distancia d en la celda primitiva de parámetro a. Poseendesplazamientos us y vs respecto de sus posiciones de equilibrio sa y s (a+ d). Bajo lasimplificación de vecinos más próximos, las ecuaciones de movimiento son: M1

d2us

dt2 = C (vs − us) + C (vs−1 − us)

M2d2vsdt2 = C (us+1 − vs) + C (us − vs) ,

(7.4)

con soluciones:us = uke

i(ksa−ωt) y vs = vkei(ksa−ωt), (7.5)

y relación de dispersión:

ω2 = CM1 +M2

M1M2

[1±

√1− 4M1M2

(M1 +M2)2 sen2

(1

2ka

)]. (7.6)



Existen ahora dos modos de vibración (±), la solución «+» es la correspondiente a larama acústica, y la solución «−» es la llamada rama óptica, pues sus frecuencias soncercanas a las ópticas. Para la rama acústica los átomos de la celda se mueven en fase, loque quiere decir que la celda oscila como un todo, es básicamente un movimiento entreceldas. Para la rama óptica en cambio, los átomos vibran en oposición de fase, el centrode masas se mantiene inmóvil y el movimiento resultante, es sobre todo en el interior delas celdas.

Si consideráramos una red lineal con base poliatómica de z átomos, nos encontraríamoscon 1 rama acústica y z − 1 ramas ópticas.

-Cristal monoatómico tridimensional: Supongamos en este caso una red tridimen-sional monoatómica. Los átomos tienen posición r (t) = R + u (R, t) y llamamos ϕ alpotencial de interacción entre dos átomos cualesquiera. Bajo la aproximación armónicapodemos aproximar la energía por su serie de Taylor hasta segundo orden:

Uarm =1

4

∑R,R′

[u (R)− u (R′)]Φ [u (R)− u (R′)] , (7.7)

donde Φij = ∂2ϕ/∂xi∂yj, con xi(t) = Ri + ui (R, t) ; i, j = 1, 2, 3. La expresión anteriorpuede ser reescrita como:

Uarm =1

2

∑R,R′

u (R)D (R−R′)u (R′), (7.8)

siendoD (R−R′) = δR,R′

∑R′′

Φ(R − R′′)− Φ(R − R′) , (7.9)

una matriz que contiene las interacciones entre pares de átomos. Con todo lo anterior, laecuación de movimiento resulta:

Md2u (R)

dt2= − ∂Uarm

∂u (R)=∑R′

D (R−R′)u (R′), (7.10)

que tiene por soluciones:u (R, t) = ϵ (k) ei(k·R−ωt), (7.11)

con ϵ (k) el llamado vector polarización. Sustituyendo la solución anterior en la ecuaciónde movimiento se sigue que para la existencia de soluciones, debe cumplirse:

D (k) ϵ (k) = Mω2ϵ (k) con D (k) =∑R

D (R) eik·R. (7.12)

La matriz D (k) anterior es conocida como matriz dinámica, que es real y simétrica.La relación anterior no es más que una ecuación de autovalores, admite por soluciónun conjunto de autovectores ϵi (k) (i = 1, 2, 3) ortogonales entre si, estas soluciones sonllamadas ramas acústicas dado que para ka ≪ 1 se cumple que ωi (k) ≃ ci (k) k. Paraun k dado, cada una de las tres ramas acústicas suele llamarse polarización o modolongitudinal acústico (LA), o bien, modo transversal acústico (TA); esta nomenclatura



es sólo una aproximación, pues en general, las polarizaciones ϵi (k) no tienen por qué serparalelas ni perpendiculares a k. Todas las demás propiedades son idénticas a las de unared unidimensional.

Se demuestra (lo que no es más que una generalización natural de la cadena diatómica)que en el caso de un cristal (red tridimensional) con base de z átomos, existen 3z modospara cada k repartidos en 3 ramas acústicas y 3z− 3 ramas ópticas, se habla entonces demodos LA, TA, LO, TO.

-Modos normales y fonones: El movimiento de los átomos de una cadena monoatómicapuede describirse en términos de las llamadas variables normales. Se define:

ξ (k, t) = 1√N

N∑s=1

us (k, t) e−iksa,

Π(k, t) = M√N

N∑s=1

∂us(t)∂t (k, t) e−iksa.

(7.13)

Multiplicando (7.2) por e−iksa y sumando para todos los valores de s se obtiene:

M ∂ξ(k,t)∂t = Π(k, t)

∂Π(k,t)∂t = −Mω2 (k) ξ (k, t) .

(7.14)

Para cada k, las ecuaciones anteriores son las ecuaciones canónicas de un oscilador armóni-co de masa M y frecuencia ω2 (k) = 2

M

∑l Clsen2 ( 1

2kla), que para vecinos más próximos,

l = ±1,coincide con la relación de dispersión de la cadena monoatómica. Las soluciones(ξ,Π) se conocen como modos normales o propios del cristal, cualquier movimiento de losátomos puede ser descrito por una suma de modos normales que son independientes unosde otros,

us (t) =1√N

∑k∈PZB

ξ (k, t) eiksa, (7.15)

de esta manera, un modo normal es una excitación colectiva caracterizada por un vectorde onda k y una frecuencia ω. La energía de cada uno de los modos normales posiblesestá cuantizada, y su expresión general es:

ε (k) =[np (k) +

1

2

]~ω (k) , (7.16)

donde np (k) = 0, 1, 2, 3, · · · se conoce como número de ocupación, y el subíndice p hacereferencia a cada una de las 3z ramas distintas (para cada k) en el caso general de uncristal con base de z átomos. La cantidad ~ω (k) es el cuanto de energía vibracional yse conoce como fonón (una cuasipartícula), el número de ocupación es pues una medidade cuantos fonones de un tipo hay excitados. Por último, para np (k) = 0 se obtiene lallamada energía del punto cero ε (k) = 1/2~ω (k) de cada modo.



8 Propiedades Térmicas de los Sólidos

-Vectores k permitidos: No por casualidad este apartado lleva el mismo nombre que elcorrespondiente al Capítulo 3( en la página 12). Salvo en lo que concierne a las funcionesde Bloch, son aplicables aquí las mismas ideas y los mismo pasos, en este caso, para losmodos normales u (R, t) = ϵ (k) ei(k·R−ωt). Allí se aplicaron las condiciones de contornode Born-Von Karman para concluir que los vectores k permitidos son de la forma (3.8) yel volumen asociado a dichos vectores es |△k| = (2π)3/V , con V es el volumen del cristal.

-Densidad de modos: Se define la densidad de modos o estados de rama p, Dp (ω) ,como el número de modos por unidad de frecuencia y con frecuencia entre ω y ω + dωreferente a la rama p. Como ya puede intuirse, si el cristal contiene un total de N celdascon base de z átomos, habrán entonces 3zN ramas.

Lo dicho en el párrafo anterior coincide también con el apartado -Densidad de estadosvisto en el Capítulo 3 ( en la página 12), a excepción claro de las diferencias obvias. Aligual que entonces, de la propia definición de densidad de modos y mediante el cálculointegral se llega a:

Dp (ω) =V

8π3

ˆSp(ω)

dS

|∇kω (k)|p, (8.1)

donde Sp (ω) se refiere a la superficie ω (k) = cte de la rama p. Obsérvese, comparandocon (3.12), que aquí desaparece el factor 2 de degeneración de espín por razones evidentes.Finalmente resulta para la densidad de modos D (ω), sumando todas las ramas:

D (ω) =∑p

Dp (ω) . (8.2)

-Modelo de Debye del calor específico: El modelo consiste en aproximar todas lasfrecuencias ωp (k) correspondientes a cada rama, por 3 idénticas e isótropas de la forma:

ω = ck ; 0 < k < kD, (8.3)

donde c, para k → 0, es la velocidad del sonido en el cristal, y kD es el llamado vectorde onda de Debye que se obtiene exigiendo que el número de modos se corresponda conel total 3zN (condición de ocupación),

3zN = 343πk

3D

8π3/V

=⇒ k3D = 6π2n, (8.4)

con n = zN/V es la concentración atómica.

La expresión anterior surge del hecho de que en el modelo, las superficies ω = cte sonesferas de radio k , así, el número de modos con frecuencia entre ω y ω + dω, de (8.1)aplicando las aproximaciones, es :

DD (ω) dω = 3V

8π34πk2dk =⇒ DD (ω) = 3

V

2π

ω2

c3; 0 < ω < ωD, (8.5)

con ωD = ckD la llamada frecuencia de Debye.



Para un oscilador armónico, la probabilidad de que éste se encuentre en un estado deexcitación n de energía εn = (1/2 + n) ~ω y a la temperatura T , viene dada por la dis-tribución de Maxwell-Boltzman Pn ∝ e−εn/kBT ,de forma que el número medio de fononespara un k dado y de rama p, (k, p) , excitados a la temperatura T es:

⟨n⟩ =

∞∑n=0

nPn

∞∑n=0

Pn

=1

e−~ω/kBT − 1, (8.6)

que es justo la distribución de Planck. La energía promedio para el modo (k, p) resultaentonces:

⟨Uk,p⟩ =(1

2+ ⟨nk,p⟩

)~ωp (k) , (8.7)

que en el caso kBT ≫ ~ω, (8.6) conduce a ⟨n⟩ ≃ ~ω/kBT , y se obtiene para el promediode energía, ⟨U⟩ ≃ kBT, es decir, se obtiene el límite clásico.Teniendo en cuenta la expresión anterior, la energía total media es pués:

⟨U⟩ =∑k,p

Uk,p =∑k,p

~ωp (k)e−~ωp(k)/kBT − 1

≃∑p

ˆ ωcorte

0

DD (ω) ~ωe−~ω/kBT − 1

dω, (8.8)

en donde debido a la alta densidad de modos se ha aplicado para k la aproximación∑→´, y se ha omitido la energía del punto cero (por considerarla origen de energías).

A partir de la expresión anterior, para el cálculo de la contribución de la red al calorespecífico a volumen constante y por unidad de volumen credv , analizamos los siguientescasos:

• Altas temperaturas: En este caso es kBT ≫ ~ω, luego se tiene ⟨U⟩ ≃∑

k,p kBT ≃(3zN) kBT dado que el número de modos totales es 3zN . Para credv entonces:

credv ≡ 1

V

∂ ⟨U⟩∂T

= 3nkB. (8.9)

El resultado anterior es justo la ley de Dulong-Petit, esto es, el comportamiento delcalor específico en el límite clásico es constante para todos los sólidos.

• Bajas temperaturas: Para kBT ≪ ~ω, las frecuencias que intervienen son las dela región lineal de las ramas acústicas donde ωp (k) ≃ cpk, por lo que la densidadde modos puede ser aproximada por Dp (ω) ≃ V ω2

/2π2c3p. Con esto, aproximandoe−~ωp(k)/kBT −1 ≃ e−~ω/kBT , y haciendo el cambio x = ~ω/kBT , escribimos finalmente:

⟨U⟩ ≃ V k4BT4

2π2~3

(3∑

p=1

1

c3p

) ˆ ∞

0

x3e−xdx =3V k4BT

4

π2~33∑

p=1

1

c3p. (8.10)

Para un cristal isótropo se tiene que∑3

p=11/c3p = 3/c, derivando la relación anterior

respecto de T y dividiendo por V, el calor específico se expresa como:

credv =36k4BT

3

π2~3c3, (8.11)

expresión que es a veces conocida por ley T 3 del calor específico.



• Temperaturas intermedias: Aquí aplicaremos el modelo de Debye, consistente comoya se sabe, en admitir el espectro lineal (8.3). Por consiguiente, sustituyendo (8.5)en (8.8), dividiendo por V , y derivando respecto de T , se obtiene:

credv =3~2

2π2c3kBT 2

ˆ ωD

0

ω4e−~ω/kBT(e−~ω/kBT − 1

)2 dω. (8.12)

Si se define la temperatura de Debye ΘD, por kBΘD = ~ωD,que representa latemperatura a partir de la cual todos los modos están excitados, esto es, el iniciodel comportamiento clásico. Con dicha temperatura y teniendo en cuenta que de(8.4) es c = ωD/kD = kBΘD/~ 3√

6π2n. En función de ΘD, y con el cambio x = ~ω/kBT ,el calor específico se reescribe como:

credv = 9nkB

(T 3

ΘD

)ˆ ΘD/T

0

x4ex

(ex − 1)2 dx, (8.13)

resultado que está en acuerdo excelente ( 1 − 2%) con los datos obtenidos experi-mentalmente.

-Modelo de Einstein del calor específico: Este modelo fue anterior al de Debye,supone que todos los modos normales oscilan con una misma frecuencia constante ωE . Aaltas temperaturas el modelo conduce a la ley de Dulong-Petit, sin embargo, para el restode temperaturas se desvía de los resultados predichos por el modelo de Debye. A pesar deello, fue el primer modelo capaz de dar una explicación al hecho de que el calor específicocae a cero conforme lo hace la temperatura, lo que supuso una sorpresa en la física clásica,y además, fue el primero en introducir la idea de que las oscilaciones mecánicas de losátomos de un cristal, están cuantizadas del mismo modo que los osciladores de Planck.

Este modelo suele ser útil para tratar las ramas ópticas, pues en muchos casos éstastienen un rango de variación de frecuencia estrecho, por lo que pueden promediarse dichasfrecuencias con el fín de utilizar un valor constante ωE .

-Dilatación Térmica. Efectos anarmónicos: El modelo de aproximación armónicavisto en el capítulo anterior conduce inexorablemente a la ausencia de dilatación térmica,en efecto, supongamos por simplificar un potencial armónico entre dos átomos de la formaU (r) = U0 + c (r − r0)

2 con r la distancia interatómica. Desde la perspectiva clásica, laprobabilidad de que el sistema se encuentre con una separación r a una temperatura Tes P (r) ∝ e−U(r)/kBT . La separación media es entonces:

⟨r⟩ =´∞−∞ re−U(r)/kBT

´∞−∞ e−U(r)/kBT

dr = r0, (8.14)

resultado que no depende de la temperatura y por tanto no muestra dilatación térmicaalguna.

Es necesario pues, añadir al potencial un término de anarmonicidad que de cuenta delo experimentalmente observado. Añadamos al potencial un término tal que U (r) =

U0 + c (r − r0)2 − g (r − r0)

3, la expresión (8.14) no puede ser resuelta analíticamente

con un potencial similar, sin embargo es posible aproximarla si aceptamos que el término



anarmónico es pequeño frente a kBT , en cuyo caso es eg(r−r0)3/kBT≃1+g(r−r0)3/kBT ,y (8.14)arroja:

⟨r⟩ = r0 +3g

4c2kBT. (8.15)

Si la constante g es positiva esta expresión implica que la separación interatómica seincrementa con la temperatura . Tenemos pues un modelo clásico que conduce a unadilatación térmica α ≡ L−1dL/dT = cte, con L la longitud de la muestra. Por supuesto, esun modelo simple en el que no se están teniendo en cuenta efectos más complejos comola anisotropía intrínseca de los cristales.

-Colisiones fonón-fonón. Procesos N y procesos U : En la aproximación armónicalos modos normales son ondas elásticas que viajan sin interacción alguna entre sí, es comosi los fonones tuvieran un recorrido medio libre infinito, no colisionan. La inclusión detérminos anarmónicos en el potencial, desde el punto de vista de la física de partículas,da origen a procesos entre tres fonones que han de conservar la energía y el cuasiimpulso,es decir,

∑~ωi =

∑~ωf y

∑~ki =

∑~kf + ~G, donde los subíndices i, j se refieren

a estado inicial y final respectivamente. Los procesos con G = 0 se denominan procesosN, y conservan tanto la energía como el cuasiimpulso no existiendo por tanto resistenciatérmica. Si por el contrario es G = 0, nos encontramos ante los llamados procesos umklapp(del alemán retroceder) o procesos U, en los que la energía se degrada pues es entoces∑

~ki =∑

~kf perdiéndose direccionalidad.

-Conductividad térmica: La propagación del calor en un cristal sólo puede llevarse acabo mediante las vibraciones de sus átomos, es decir, mediante fonones. Podemos pensarun modelo cinético basado en un gas de fonones similar al utilizado en el modelo deDrude para explicar la contribución electrónica a la conductividad térmica, sin embargo,esto supone tener que justificar que podemos dar al fonón carácter corpuscular, pues éstees tan sólo un cuanto de energía asociado a un modo normal que involucra a todos losátomos del cristal ( una cuasipartícula) y por ende está deslocalizado. Basta con pensarque los modos normales pueden superponerse para conformar un paquete de ondas conextensión △x, en el espacio real, y△k en el espacio recíproco, verificando que △x△k ∼ 1.Debemos exigir que △k esté localizado en el espacio recíproco, o lo que es lo mismo, que△k ≪ kPZB ∼ a−1, con a la distancia interatómica. Esto quiere decir que △x debe sermucho mayor que a, por lo que un modelo como éste sólo sería aplicable en el caso enel que las longitudes características involucradas, como el recorrido libre medio dado porl = cτ (τ es el tiempo de relajación o tiempo libre medio, es simplemente el tiempo entrecolisiones, c es la velocidad del sonido en el cristal.) , sean a su vez mucho mayores que a.

Sin meternos en detalles, básicamente bajo las mismas suposiciones del modelo de Drude(en el Capítulo 4, en la página 15), se demuestra para la contribución de la red a laconductividad térmica, κred, haciendo un balance de flujo, que:

κred =1

3credv c2τ, (8.16)

y como puede verse, la expresión es muy similar a la obtenida para la conductividadtérmica por electrones, κel, mediante el modelo de Drude. Puede consultar por ejemplo[5] para obtener los detalles acerca de este resultado.



-Comportamiento de la conductividad frente a la temperatura: A bajas tempe-raturas, T ≪ ΘD, el recorrido libre medio de fonones l, queda determinado por la purezadel cristal, pues los fonones no tienen la energía suficiente como para sufrir procesos U.Dado que credv ∝ T 3 entonces κred ∝ T 3.

Al subir la temperatura, aunque aún con T ≪ ΘD, comienzan a sufrir procesos U aquellosfonones con frecuencia ω ≃ ωD, y en promedio, su número es ⟨n⟩U ≃ e−ΘD/T . Si aceptamosque el recorrido libre medio es inversamente proporcional al número medio de fonones,esto es, l ∝ ⟨n⟩−1

U , concluimos que κred ≃ T 3e−ΘD/T .

Para T > ΘD, casi la totalidad de fonones sufren procesos U, luego ⟨n⟩U ≃ ⟨n⟩ ≃ kBT/~ω,por lo que l ∝ T−1. Como a esas temperaturas es credv ≃ cte, resulta que κred ∝ T−1.

Estos resultados están en buen acuerdo con lo observado experimentalmente para sólidoscristalinos.

Figura 8.1: Representación aproximada de la contribución de la red a la conductividadtérmica frente a la temperatura.



9 Defectos Puntuales de la Red

Como puede suponerse, no existen cristales perfectos, esto debido a que como en muchasotras ramas de la física, la estructura cristalina pura no es más que una idealización o si sequiere un caso límite. En general los cristales presentan varios tipos de imperfecciones odefectos que afectan a muchas de sus propiedades físicas y mecánicas, y también influyenen algunas propiedades de los materiales a nivel de aplicación en ingeniería tal como lacapacidad de formar aleaciones en frío, la conductividad eléctrica, la corrosión, etc.

Si el defecto en un cristal es del orden del parámetro de red, estaremos hablando dedefecto puntual o de dimensión cero. Si el defecto se extiende a lo largo de una línea delcristal, éste se conoce como defecto lineal o de dimensión uno. Y por último, si el defectose presenta en toda su superficie, hablamos de defecto superficial o de dimensión dos.

Aquí nos centraremos en los defectos puntuales, haciendo hincapié en los cristales iónicos.Existen varios tipos de defectos puntuales:

• Átomos intersticiales: Es un átomo colocado en un lugar que normalmente nole corresponde, ocupando el espacio entre puntos de red o intersticios. Aparecencon más facilidad en redes amplias y poco compactas, y como es lógico, los ionesde menor volumen tienen más facilidad para ocupar intersticios que los de mayorvolumen.

• Vacantes de red: Como indica su nombre, una vacante es la ausencia de un átomoo ión de su posición normal en la red. Si el cristal es covalente, la ausencia de unátomo eléctricamente neutro no produce rotura de la neutralidad de carga de la red,en cambio, en cristales iónicos, se rompe la neutralidad de carga, por lo que estosdefectos suelen aparecer por pares. Se tiene así:

2 Defectos de Schottky: A una vacante de ión positivo le corrresponde otra va-cante de ión negativo, manteniéndose de este modo la neutralidad de carga.Estos defectos suelen aparecer mayormente en los haluros alcalinos.

2 Defectos de Frenkel: Un ión deja su posición de red y ocupa una posiciónintersticial. Claramente se mantiene la neutralidad de carga. Estos defectosaparecen mayormente en los haluros de plata.

Figura 9.1: Defectos de Schottky y de Frenkel en una red bidimensional.



• Átomos extraños: Son átomos distintos a los del cristal que se sitúan en posicio-nes intersticiales o bien ocupando posiciones de red. Por lo general su estructuraelectrónica es importante en el segundo caso y su volumen en el primero.

Debemos esperar un cierto número de defectos puntuales en un cristal en equilibrio térmicoque además aumente con la temperatura. Dependiendo de la energia de formación de losdefectos, predominará un tipo u otro de ellos.El número de defectos que hay en un sólido en equilibrio termodinámico se puede incre-mentar de varias maneras. Uno de ellas es el templado, procedimiento por el que se bajarápidamente la temperatura de un material desde temperaturas elevadas. Otra posibi-lidad es utilizar bombardeo (radiación) con partículas nucleares, tales como protones oneutrones, que pueden desplazar los átomos del cristal por colisión directa o por efectodel calentamiento local. Una tercera posibilidad es la deformación en frío del cristal.-Concentración de defectos: La probabilidad de que en algún lugar de la red hayauna vacante en equilibrio térmico a la temperatura T , viene determinada por el factorde Boltzman e−Ev/kBT , donde Ev es la energía necesaria para llevar un átomo desde ellugar en la red dentro del cristal hasta un lugar en la superficie. Si existen N átomos, elnúmero n de vacantes en equilibrio viene dada por la razón de los lugares vacantes a losocupados,

n

N − n= e

EvKBT . (9.1)

En el caso en que es n ≪ N, la anterior puede aproximarse por:n

N≃ e

EvKBT . (9.2)

En cristales iónicos, la formación de pares de vacantes que mantienen al cristal eléctrica-mente neutro a escala local, mediante un cálculo estadístico obtenemos:

n

N≃ e

Ep2KBT , (9.3)

donde Ep es la energía de formación del par.En el caso de defectos de Frenkel, el número de éstos en equilibrio térmico resulta:

n ≃√NN ′e

− EI2kBT , (9.4)

donde N y N ′son el número de puntos de red y de intersticios respectivamente, y EI laenergía necesaria para llevar un átomo desde un punto de red hasta un intersticio.-Conductividad iónica: Los cristales iónicos deberían ser aislantes por excelencia, puesla promoción térmica de electrones a la BC es prácticamente nula. Aun así presentanuna cierta conductividad que no es producto del movimiento de electrones sino de losiones de la red cristalina, este hecho se ha comprobado experimentalmente comparandoel transporte de carga, con el transporte de masa medido por el material depositado sobrelos electrodos en contacto con el cristal. Estos resultados pueden expresarse en términosde los llamados números de transporte de cada tipo de ión, definidos como la fracción decorriente conducida por los iones negativos o positivos,

t± ≡ σ±

σ+ + σ−, (9.5)



donde queda claro que t+ + t− = 1.

Resulta evidente que la presencia de vacantes incrementa la conductividad iónica, puesla energía necesaria para mover una vacante a través del cristal es mucho menor que lanecesaria para mover un ión de su posición de red en un cristal iónico perfecto.

En la figura 9.2 se muestran los resultados de la conductividad iónica del BrAg para tresmuestras, una de ellas muy pura, y las otras dos con impurezas de CdBr2 a distintasconcentraciones. Como puede verse, la tres muestras coinciden a temperaturas elevadas,aumentando exponencialmente la conductividad hasta cerca del punto de fusión (435 ºC)donde el cristal se vuelve un líquido iónico conductor.

Figura 9.2: Conductividad iónica de tres muestras de BrAg, una muestra pura y dos muestrascon impurezas de CdBr2. Fuente [1].

La región de temperatura elevada se denomina zona intrínseca, ya que como puede verseen la figura, en la región de temperatura baja la conductividad presenta una clara depen-dencia con las impurezas por lo que dicha zona es llamada zona extrínseca. En la zonaintrínseca la conductividad puede expresarse como:

σ = AeE

kBT , (9.6)

donde las constantes A y E dependen del cristal iónico en particular.

En la zona extrínseca se obtiene una pendiente que es casi la mitad de la de la zona in-trínseca y que poco depende del tipo de impureza utilizado, aunque σ sí que depende dela concentración de la misma. Se ha comprobado por ejemplo que para el NaCl con impu-rezas de Ca, la conductividad es proporcional a la concentración de Ca. Puede concluirsepues, que a baja temperatura sólo contribuye a la conductividad una pequeña fracción delos iones del cristal, debiéndose casi exclusivamente a la presencia de impurezas.



-Centros de color: Generalmente los cristales a temperatura ambiente son eléctrica-mente aislantes, y también, son transparentes a la luz. La transparencia es debida a laausencia de transiciones (electrónicas, vibracionales o de cualquier otro tipo) en el espec-tro visible: de 740 nm (7,7 eV) a 360 nm (3,5 eV). Si esto no sucede, el cristal presentacolor al absorber luz, y si esta absorción no es muy acusada, el color que muestra el cristales el de la luz que transmite.

Por ejemplo, los metales no transmiten luz por lo que tampoco la reflejan y presentanbrillo, el diamante puro tiene una brecha energética de 5,4 eV, por lo que es transparente ala luz visible, puede sin embargo colorearse mediante irradiación, lo que produce defectosen la red cristalina. Algunos cristales pueden colorearse añadiendo impurezas que poseanestados excitados en la región del visible, otros mediante irradiación (nuclear, rayos X oγ) lo que produce defectos que originan que electrones o huecos se localicen y aparezcantransiciones a estados excitados en la región visible.

Se llama centros de color o centros F (del alemán farben: color) a los defectos de la redque absorben luz en el espectro óptico (más general que el visible, pues el espectro ópticocontiene al visible). Estos defectos están relacionados con electrones ligados a vacantesde la red cristalina. La carga perdida por la presencia de una vacante de un ión negativo,puede ser neutralizada por uno o varios electrones que quedan ligados por un potencialtotal efectivo positivo, estos electrones presentan un espectro de energías discreto (comoen el caso de un electrón en una caja tridimensional de potencial infinito) que puedegenerar transiciones dando lugar a líneas de absorción óptica. Por lo general estas absor-ciones suelen estar fuera del espectro visible, en los haluros alcalinos por ejemplo, suelenpresentarse en el ultravioleta.

Existen otros centros de color en los haluros alcalinos con propiedades espectroscópicasinteresantes, por ejemplo, dos centros F adyacentes conforman un centro M, si existentres centros F adyacentes, hablamos de un centro R, un centro FA es un centro F en elque uno de los seis iones positivos que rodean a la vacante se cambia por otro ión alcalino(en el KCl por ejemplo se cambia un ión K+ por un ión Ca+).

Figura 9.3: Representación esquemática de centros de color en una red bidimensional. En a) uncentro M , en b) un centro R.



10 Características Fundamentales de los MaterialesSemiconductores y Magnéticos

Semiconductores.

Un semiconductor es un aislante (a T = 0K) con un gap de energía Eg ≈ 1 eV como paraque a temperaturas finitas un cierto número apreciable de electrones pasen de la BV a laBC, permitiendo así la corriente eléctrica.

-Concentración de portadores en equilibrio Térmico: Una propiedad de los semi-conductores que no se observa en los metales, es que la conductividad eléctrica puedealterarse en muchos ordenes de magnitud añadiendo cantidades de otros elementos deno-minados genéricamente como impurezas. Son éstas las que determinan el carácter electróno hueco de la conducción. Toda la electrónica (diodos, transistores, células fotovoltaicas,etc) se fundamenta en esta propiedad conocida como dopado.

Se demuestra que la concentración de electrones, n, en la BC, y de huecos, p, en la BV,de un semiconductor a la temperatura T , viene dada por:

n =

ˆ ∞

εc

Dc (ε) fFD (ε, T ) dε ; p =

ˆ εv

−∞Dv (ε) [1− fFD (ε, T )] dε, (10.1)

donde εc y εv son las energías de borde de la BC y de la BV, y lasDc,v (ε) = (m∗

c,v)3/2

/~2π2√2 |ε− εc,v| 7, son las respectivas densidades de estados con

m∗c,v = 3

√m∗

1m∗2m

∗3, la masa efectiva media geométrica de los autovalores del tensor

de masa de la BC y de la BV 8.

Si el semiconductor verifica que εc − µ, µ − εv ≫ kBT , en cuyo caso se dice que es nodegenerado, se puede hacer uso de la estadística de Maxwell-Boltzman en lugar de la deFermi-Dirac, para obtener:

n = Nc (T ) e−(εc−µ)

kBT ; p = Nv (T ) e−(µ−εv)

kBT , (10.2)

en las que los factores Nc (T ) y Nv (T ) , a veces llamados densidades de estado efectivasde la BC y de la BV respectivamente , marcan las concentraciones de electrones y huecosen el semiconductor no degenerado, y vienen dados por:

Nc,v =

(m∗

c,vkBT

21/3π~2

)3/2

. (10.3)

El producto de las (10.2), np =√NcNve

−εc2kBT , es conocido como ley de acción de masas,

que como puede verse, no depende ya de µ.

-Semiconductores intrínsecos: Así son llamados los semiconductores con un númerodespreciable de impurezas eléctricamente activas, con lo que para ellos es n = p = ni

7Obsérvese que esta densidad no es más que una generalización directa de la obtenida para electroneslibres en una aproximación parabólica en la que m∗ = cte .

8Si contribuyen N bandas de electrones o de huecos, se tendrá(m∗

c,v

)3/2=

∑Ni=1

(m∗

1m∗2m

∗3

)1/2i



(subíndice i de intrínseco). Multiplicando entre si las (10.2) (ley de acción de masas) yjunto con (10.3), para los semiconductores intrínsecos se llega fácilmente a que:

ni =√

NcNve−εc

2kBT ; µ = εv +1

2εg +

3

4kBT ln m∗

v

m∗c

(10.4)

-Semiconductores Dopados: Éstos presentan impurezas sustitucionales eléctricamenteactivas que aportan electrones o huecos, por lo general elementos del grupo V o III a losque se les nombra impurezas dadoras o aceptoras respectivamente, se habla entonces desemiconductores de tipo n o tipo p. La energía de ionización y el radio de las impurezasdadoras o aceptoras (subíndices d y a), se obtiene de las ecuaciones del átomo de hidrógenoadaptadas al medio material:

εd,a =m∗

mek2ε0 ; ad,a =

me

m∗ ka0, (10.5)

con m∗ la masa efectiva del electrón en el medio, k es la permitividad relativa del medio,a0 = ~2

/mee2 es el radio de la primera órbita Bohr, y ε0 = mee

4/2~2 = 13, 6 eV la energía

de ionización del átomo de hidrógeno en su estado fundamental.Las impurezas dadoras entonces «darán» electrones a la BC, mientras que las aceptoras«aceptarán» electrones de la BV (generando huecos). De este modo, tanto las dadorascomo las aceptoras, contribuyen a la conducción creando respectivamente un nuevo nivelenergético εD a una energía εd por debajo de la BC, y un nivel εA a una energía εapor encima de la BV. Mediante la mecánica estadística se deduce fácilmente para laconcentración de impurezas dadoras y aceptoras ionizadas a una temperatura T, que:

N+D =

ND

1 + 2e(µ−εD)/kBT; N−

A =NA

1 + 2e(εA−µ)/kBT, (10.6)

donde ND y NA son las concentraciones totales de las impurezas correspondientes. Laconcentración de electrones y huecos, n (T ) y p (T ) , puede hallarse a partir de la llamadacondición de electroneutralidad n+N−

A = p+N+D , basta para ello con sustituir las (10.1)

y las (10.6) en dichas condiciones, esto permite despejar µ para llevarlo a (10.1) que sinmás arroja las expresiones buscadas; si se trata de semiconductores no degenerados, enlugar de las (10.1) pueden usarse evidentemente las (10.2). Dejando atrás los detallescuantitativos, se observan tres zonas diferenciadas. Para los semiconductores tipo n, atemperaturas muy bajas los electrones de la BC proceden de la ionización de impurezas,esta zona es llamada régimen de ionización, al subir la temperatura, a una temperaturade saturación Ts, todas las impurezas están ya ionizadas, es entonces n ≃ ND y se está enel régimen de saturación. A mayores temperaturas, a partir de la temperatura intrínsecaTi, los electrones procedentes de BV superan a los procedentes de las impurezas, estamosfinalmente en el régimen intrínseco, donde n ≃ ni. Los argumentos son análogos para elcaso de semiconductores tipo p.

-Conductividad eléctrica: La conductividad en semiconductores no degenerados, es lasuma de las contribuciones de electrones en BC y de huecos en la BV. Con τe y τh las me-dias de los tiempos de relajación de los electrones y huecos de las bandas correspondientes,y definiendo las movilidades µn ≡ eτe/m∗

c y µp ≡ eτh/m∗v, resulta para la conductividad:

σ = enµn + epµp. (10.7)



Se observa que a bajas temperaturas las movilidades están gobernadas por las impurezasmientras que a altas temperaturas lo están por fonones según µimp ∝ T 3/2 y µfon = T−3/2.Así pues, en el régimen intrínseco, a altas temperaturas, a partir de la primera de las(10.4), de las (10.3) y de (10.7), se encuentra para la conductividad eléctrica:

σ ∝(T

3/2e−εg/2kBT

)T

−3/2 = e−εg/2kBT , (10.8)

expresión que permite de un modo muy simple, determinar el gap de energía de unsemiconductor mediante medidas sistemáticas de la conductividad en función de la tem-peratura.

Magnetismo.

Se define la magnetización M como el vector momento magnético µ por unidad de volu-men M = 1

V

∑V µ. La relación M = χH, con H un campo magnético externo aplicado

a un medio material, clasifica a dichos medios según el valor del coeficiente χ9 conoci-do como susceptibilidad magnética, así, se habla de materiales diamagnéticos si χ < 0,paramagnéticos si χ > 0 y ferromagnéticos para χ → ∞ en cuyo caso puede existirmagnetización distinta de cero incluso en ausencia de campo magnético.-Diamagnetismo: Todos los cuerpos muestran una contribución diamagnética debidoa los electrones ligados a sus átomos. Los electrones en órbita en torno a los núcleosresponden a un campo magnético aplicado con un momento magnético en sentido opuestoal del campo (por la ley de Lenz). Sin meternos en desarrollos, según un modelo clásico, elmomento diamagnético de una órbita electrónica de radio r perpendicular a una inducciónmagnética B aplicada , viene dado por:

µ = −e2r2B

4me, (10.9)

y para la susceptibilidad de un conjunto de átomos se tiene que:

χ ≃ −µ0nZe2

⟨r2⟩

6me∼ −10−6Z, (10.10)

siendo n la concentración atómica y Z el número atómico. El diamagnetismo lo presentantodos los cuerpos sin excepción, aunque suele verse enmascarado por el paramagnetismoy el ferromagnetismo que son mucho mayores.-Paramagnetismo: Este es debido al momento magnético permanente que muestranalgunos átomos como consecuencia del momento angular de espín ~S y del momentoangular orbital ~L de sus electrones. El momento magnético viene dado por:

µ = −gµBJ, (10.11)

donde ~J = ~ (L + S) es el momento angular total electrónico, µB = e~/2me = 9, 3 ×10−24 J/T es el magnetón de Bohr y g es le factor de Landé.

9En realidad χ es un tensor que da cuenta de la anisotropía de los materiales respecto del magnetismo,aquí sin embargo, la consideraremos un escalar como si con materiales isótropos tratáramos.



En ausencia de campo magnético externo, los momentos atómicos se encuentran orienta-dos al azar resultando una magnetización nula. En presencia de una inducción magnéticaB perpendicular a la órbita electrónica, el momento magnético µ tiene una energía:

U = −µ · B = −gµBJ · B = −gµBJzB ; Jz = −J, J + 1, · · · , J, (10.12)

donde Jz es la componente de J en la dirección de B. Como puede verse, la energía esmínima cuando está orientado según B.

Aplicando la mecánica estadística se encuentra que a la temperatura T la magnetizaciónresulta:

M = ngµBJBJ (x) ; x =gµBJB

kBT, (10.13)

siendo BJ (x) la llamada función de Brillouin (refiérase a [5] por ejemplo) que a tempe-raturas altas o campos bajos (x ≪ 1) , puede aproximarse en primer orden por BJ (x) ≃(J+1)x/3J, y resulta para la susceptibilidad:

χ =M

H≃ µ0M

B=

np2µ2Bµ0

3kBT=

C

T, (10.14)

donde p = g√

J (J + 1) es el número efectivo de magnetones de Bohr y C es la constantede Curie. La relación anterior expresa la llamada Ley de Curie, que por ejemplo, a T =300K, arroja un valor χ ∼ 10−3. A temperaturas bajas o campos altos (x ≫ 1) , sucedeque BJ (x) → 1, se tiene entonces para la magnetización que M = ngµBJ llamadamagnetización de saturación.

-Ferromagnetismo: Según el modelo de Heisemberg, la interacción entre dos átomosi y j de momentos angulares totales ~Si y ~Sj

10 viene dada por la llamada energía deintercambio:

Ui,j = −Ji,jSi · Sj , (10.15)

donde Ji,j es conocida como integral de intercambio, si Ji,j > 0 se tiende al alineamientode espines (ferromagnetismo), por el contrario, si es Ji,j < 0 se tiende al antialineamientode los mismos (antiferromagnetismo).

En presencia de una inducción B la energía de un conjunto de espines resulta:

U = −∑i,j

Ji,jSi · Sj + gµBB∑i

Si. (10.16)

Considerando sólo la interacción de los z vecinos más próximos, es∑

j Ji,j = zJ , lo quejunto con la aproximación de campo medio, en la que la interacción entre Si y Sj esaproximada sustituyendo Sj por su valor medio ⟨Sj⟩ , resulta que el material se comportacomo paramagnético sometido a un campo efectivo Bef ,

Bef = B + λµM ; λ ≡ zJng2µ2

Bµ0. (10.17)

10Es un cambio de notación acostumbrado en el magnetismo el escribir S para el momento angulartotal J, así, se habla de espín sin más.



La magnetización resulta entonces la (10.13) con x = gµBJBef/kBT , y para altas tempe-raturas, (x ≪ 1), la susceptibilidad puede entonces aproximarse por:

χ =M

H≃ µ0

M

B=

C

T − Cλ. (10.18)

Expresión conocida como ley de Curie-Weiss, válida para T > Tc ≡ Cλ , donde Tc es latemperatura de Curie. Para T < Tc se llega a una ecuación implícita para M , que parael caso de espín 1/2 y en ausencia de campo resulta:

M = nµ0 tanh(

M/nµB

T/Tc

). (10.19)

Tc determina pues, la temperatura por debajo de la cual puede haber magnetizaciónespontánea.

-Dominios ferromagnéticos: A temperaturas menores que la temperatura de Curie,todos los espines deberían estar alineados, sin embargo, se observa que éstos se alinean porzonas macroscópicas llamadas dominios con orientaciones distintas. Esto es así fundamen-talmente para minimizar la energía de anisotropía (asociada a la existencia de direccionescristalinas de «fácil» imanación) y a la energía magnetostática asociada a la interacciónmagnética clásica de largo alcance entre los espines.


A Constantes Físicas 45

Apéndice A

A Constantes Físicas

Cuadro A.1: Constantes físicas. Fuente: [4].


B Tabla Periódica de los Elementos y Parámetros de Interés 46

Apéndice B

B Tabla Periódica de los Elementos y Parámetros deInterés

Figura B.1: Tabla periódica de los elementos y parámetro de interés. Aplíquese el zoom para unavisualización adecuada. Fuente: http://fisica.ciencias.uchile.cl


http://fisica.ciencias.uchile.cl/~emenendez/docencia/fissol/tperiod.jpg

Referencias 47

Referencias

[1] Alvarellos. Material Complementario de Física del Estado Sólido. Cuarto curso delGrado en Física (UNED), UNED, Enero 2016.

[2] Brey, Rubia, Rubia. Mecánica Estadística. Cuadernos de la UNED, Madrid, 2001.

[3] Brown. Física de los Sólidos. Editorial Reverté, Barcelona, 1970.

[4] Kittel. Introducción a la Física del Estado Sólido. Editorial Reverté, S.A., Barcelona,1997.

[5] Maza, Mosquira Veira. Física del Estado Sólido. Universidad de Santiago de Compos-tela, Santiago de Compostela, 2008.

[6] Pavlov. Física del Estado Sólido. Editorial MIR, 1989.

[7] Rogan, Gutiérrez, Menéndez. Introducción a la Física de los Sólidos. Universidad deChile.


48


anotaciones de un curso de física del estado sólido

Science