AÑO 2000

No se permite el uso de calculadoras. Cada pregunta mal contestada se penaliza con 1/4 de los puntos que le corresponderán si fuera correcta. Las preguntas no contestadas no puntúan. Inicialmente tienes 30 puntos. Tiempo : 1h15min

Los problemas 1 a 10 valen 3 puntos cada uno.

La nariz del Canguro apunta hacia la señal * en la figura. ¿ En qué dirección apuntará la nariz si gira

630 en sentido horario sin moverse del sitio donde está?

El 80% de una fotografía en blanco y negro es de color negro y el 20% es de color blanco. La foto se amplía tres veces. En la fotografía ampliada, ¿ qué porcentaje de color blanco hay?

A) 20% B) 30% C) 40% D) 60% E) 80%

Si se trazan todas las diagonales de un hexágono regular, ¿ cuántos puntos de intersección entre ellas se determinan, sin contar los vértices del hexágono?

A) 6 B) 7 C) 12 D) 13 E) 15

¿ Cuál de los siguientes es un triángulo isósceles no equilátero?

A) Cualquier triángulo B) Un triángulo rectángulo con ángulos de 30, 60

C) Un triángulo con ángulos de 30, 100 D) Un triángulo con ángulos de 50, 80E) Un triángulo cuyos tres lados son iguales

En una tira de papel de 1 m. de longitud hacemos marcas dividiendo a tira en 4 partes iguales, y , en el mismo lado de la tira, volvemos a hacer marcas dividiéndola en 3 partes iguales. Después de eso, cortamos la tira por todas las marcas que hemos señalado. ¿Cuántas longitudes diferentes tienen los trozos de la tira?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

La suma de 7 números impares consecutivos es 119. El menor de esos números es

A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19

A) A B) B C) C D) D E) E

2

¿Cuál es el máximo número de figuras, como la fig 1, que pueden colocarse, sin solaparse, en el cuadrado de la fig 2?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

3

4

5

6

7

1

En la figura, AD = DC, AB = AC, ABC=75, ADC=50 ¿Cuánto mide el ángulo BAD?

El domador más experto del circo tarda 40 minutos en bañar a un elefante. Su hijo tarda 2 horas en hacer lo mismo. ¿Cuánto tardarán los dos juntos en bañar a los 3 elefantes de la troupe?

A) 30 min. B) 45 min. C) 60 min. D) 90 min E) 100 min.

Si hacemos la operación siguiente, KANGAROO + 10000AROO - 10000KANG , el resultado es

A) AROOAROO B) AROOKANG C) KANGKANG D) KANGAROO E) KAGANROO

Los problemas 11 a 20 valen 4 puntos cada uno.

¿ Cuánto vale el área de la parte oscura?

Algunas de las personas P, Q, R, S, T se saludan entre sí. P saluda a una sola persona, y Q también saluda a una sola persona. R, S, y T saludan, cada una, a dos personas. Se sabe que P saludó a T. ¿Qué saludo no se produjo con seguridad?

A) T con S B) T con R C) Q con R D) Q con T E) Q con S

¿Cuál es el ángulo de un sector circular cuya área es el 15% del área del círculo entero?

A) 15 B) 36 C) 54 D) 90 E) 150

800 escudos valen lo mismo que 100 doblones. 100 escudos valen lo mismo que 250 ochavos. ¿Cuántos doblones valen lo mismo que 100 ochavos?

A) 2 B) 5 C) 10 D) 25 E) 50Mamá compra una caja de terrones de azúcar. María se come la capa superior, que tiene 77 terrones ; después se come la cara lateral, que consta de 55 terrones; y finalmente se come la cara frontal también. ¿ Cuántos terrones quedan en la caja?

A) 203 B) 256 C) 295 D) 300 E) 350

8

A) 30 B) 85 C) 95 D) 125 E) 140

9

11

A) 9 B) 23 C) 18 D) 12 E) 2336

C) 12 D) 15 E) 18

13

14

15

10

12

En una competición de danza los jueces califican a los competidores con puntuaciones enteras. La media de las puntuaciones concedidas a un concursante es 5,625. ¿ Cuál es el menor número de jueces para que esto sea posible?

A) 2 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

Alberto, Benito y Carlos ponen dinero en un juego en la proporción 1:2:3.Después del juego, se reparten el dinero que han puesto en la proporción 4:5:6. ¿ Qué sucedió? A) Alberto y Benito perdieron, Carlos ganó. B) Alberto y Carlos ganaron, Benito perdió. C) Alberto ganó, Carlos perdió y Benito no ganó ni perdió. D) Alberto perdió, Carlos ganó y Benito ni ganó ni perdió E) Ninguna de las anteriores Juana tiene que resolver 40 preguntas. Su madre le ofrece 1/2 euro por cada pregunta que conteste correctamente, pero Juana debe pagar 1 euro por cada contestación incorrecta. Después de contestar a todas las preguntas, Juana recibe 2 euros de su madre. ¿Cuántas preguntas contestó correctamente? A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29

¿Con cuál de los siguientes desarrollos se puede formar un cubo, de modo que dos regiones cualesquiera con una arista común sean del mismo color?

Dentro de tres años (desde ahora) Esteban tendrá tres veces más que los años que tenía hace tres años. Dentro de cuatro años Esteban tendrá xxxxxxx más que los años que tenía hace cuatro años. ¿Qué palabras ocultan las x?

A) ''dos veces'' B) ''tres veces'' C) ''cuatro veces'' D) "cinco veces'' E) ''seis veces''

Los problemas 21 a 30 valen 5 puntos cada uno.

A) ABCDA5

2 B) ABCDA

5

3 C) ABCDA

9

4 D) ABCDA

9

5 E) ABCDA

3

2

Bill tiene una caja con 2000 caramelos de 5 colores. 387 de ellos son blancos, 396 amarillos, 402 rojos, 407 verdes y 408 marrones. Bill decide comérselos de la siguiente manera : aleatoriamente (sin mirar) saca de la caja 3 caramelos. Si los tres son del mismo color, se los come, en caso contrario los devuelve a la caja. Continúa de esta forma a lo largo del día. Por la noche, cuando Bill tiene un empacho considerable, sólo quedan en la caja dos caramelos del mismo color. ¿De qué color son?

A) blancos B) amarillos C) rojos D) verdes E) marrones

La hipotenusa AC de un triángulo rectángulo ABC se divide en 8 partes iguales, mediante 7 segmentos paralelos a BC. Si BC = 10, entonces la suma de las longitudes de esos 7 segmentos es igual a :

A) No se puede saber B) 50 C) 70 D) 35 E) 45

16

19

20

21 Los puntos P, Q, R y S dividen a los lados del rectángulo ABCD en la razón 1 : 2 como se ve en la figura El área APQRS del paralelogramo PQRS es igual a:

22

23

18

17

El Canguro tiene un gran número de bloques en forma de ladrillo que miden 2 cm X 6cm X 1 cm. Quiere usar algunos de ellos para formar un cubo. ¿Cuál es el menor número de bloques que necesita?

A) 6 B) 12 C)18 D) 36 E) 144

Escribimos en orden creciente los números enteros positivos que son iguales al producto de sus divisores positivos (distintos de ellos mismos) . ¿ Cuál es el sexto de esos números?

A) 14 B) 15 C) 21 D) 22 E) 25

La longitud de una pieza mágica rectangular de cuero se reduce a la mitad y su anchura se reduce en una tercera parte después de conceder un deseo a su propietario. Después de 3 deseos tiene un área de 4 cm

2 , y su anchura inicial era 9 cm. ¿ Cuál era su longitud inicial?

A)12cm B) 36 cm C) 4 cm D) 18 cm E) Imposible saberlo

Los 9 puntos de la figura son los vértices de un retículo. ¿Cuál es el mayor número de triángulos que no sean rectángulos y no sean iguales entre sí, que tienen sus vértices en esos puntos?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Nueve fichas de dominó distintas forman la cruz de la figura que está parcialmente cubierta por una servilleta. Las fichas están colocadas según las reglas del juego, es decir, 1 es adyacente al 1, 2 al 2, etc. ¿ Cuántos puntos hay en la casilla negra?

Hallar la última cifra de la representación decimal finita del número 20005

1

A 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 5

24

25

26

28

A) 2 B) 3 C) 4 D) otra respuesta E) Imposible saberlo

29

30

27 ABCD es un cuadrado. Hallar la longitud del segmento EC si AF es 4 y FB es 3.

A) 3,80 B) 3,65 C) 3,85 D) 3,75 E) Imposible saberlo

Los problemas 1 a 10 valen 3 puntos cada uno.

El valor de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )13519971999200120017531 −−−−−−+ •••••••••• KL es:

A)10 20 B) mayor que 2001 C) menor que -2001 D) 0 E) no se puede calcular

Alrededor de una pista de carreras de forma circular hay 5 postes A,B,C,D,E , igualmente espaciados. El corredor comienza en el poste A, dirigiéndose en la dirección del poste B. ¿Por qué poste ha pasado cuando haya recorrido el 65% de la longitud de la pista?

A) A B) B C) C D) D E) E

El valor de ( ) 20011000 225,0 • es igual a:

A) 2 B) 4 C) 24000 D) 42000 E) otra respuesta

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es a+3 , y uno de los catetos, a-3. Si el otro cateto es 18, ¿cuánto vale a?.

A) 20 B) 22 C) 24 D) 27 E) 30

¿Cuál de los siguientes números NO está entre 5 y 6:

A) 2π -1 B) 119 + C) 27 D) 382 − E) 3 200

En una librería, dos libros reducen su precio durante unas rebajas. El libro X, inicialmente con un precio de 10 euros, se rebaja el 10 % y pasa a 9 euros. El libro Y, inicialmente vale también 10 euros, se rebaja el 20 % y vale 8 euros. Después de las rebajas, el librero decide aumentar los precios: el libro X se incrementa en el 10 % y el Y en el 20%. ¿Qué libro es ahora más barato, y cuál es la diferencia entre los precios de los dos libros?

A) X y 0,30 euros B) Y y 0,30 euros C) X y 0,10 eurosD) Y y 0,10 euros E) los dos tienen el mismo precio

La temperatura del aire a 3650m de altitud sobre el nivel del mar es +5ºC,y a 5730 m sobre el nivel del mar, -11ºC. Si la temperatura decrece uniformemente (a velocidad constante) al aumentar la altitud, ¿cuál debe ser la temperatura a 7940 m de altura?

A) -28º C B) -27º C C) -18º C D) -17º C E) -16º C

Usando la función Long Play en mi video, puedo grabar un programa de media hora de duración en 12 minutos de cinta. Tengo una cinta de 4 horas y estoy grabando un festival de música de 24 horas. ¿Cuánto tiempo puedo grabar de festival?

A) 10 horas B) 12 horas C) 8 horas D) todo el festival E) 6h 30 m

1

2

3

4

5

6

7

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AÑO 2001 Nivel 4 (4º de E.S.0.)

------------ Nivel 4 Pag 1/4 ----- --------

Sean a, b, c números reales positivos tales que ab=c, bc=12, b=3c. Entonces el producto abc es igual a

A) 4 B) 36 C) 6 D) 12 E) 24

Los problemas 11 a 20 valen 4 puntos cada uno.

La torre de una catedral da una sombra que mide 4,2 m de largo. A la misma hora, la sombra de un poste de 3 m de altura es de 12 cm de largo. ¿Cuál es la altura de la torre?

A) 95 m B) 100 m C) 105 m D) 110 m E) 120 m

La longitud del lado de un cuadrado se incrementa en un 20%. Entonces el área se incrementa en un

A) 10% B) 20% C) 40% D) 44% E) 48%

Un grupo de 15 personas que inician un negocio desean compartir a partes iguales los gastos, que estiman en una cantidad de P euros. Pero K de las personas se retiran; ¿cuántos euros más tendrán que poner cada una de las personas que se quedan?

A) K15

P−

B) KP15

P−

C) K15225

P−

D) 225K15

PK−

E) K15225

PK−

Si se escribe 71 en forma decimal, que cifra ocupa el lugar 2000 detrás de la coma?

A) 1 B)4 C) 2 D) 8 E) 5

8a2+8b2 es igual a:

A) el doble de la suma de los cuadrados del doble de a y el doble de bB) cuatro veces la suma de los cuadrados de a y de bC) la suma de los cuadrados del doble de a y del doble de bD) la suma de los cuadrados de 4a y de 4bE) cuatro veces la suma de los cuadrados del doble de a y del doble de b.

Un libro de Matemáticas es el 50% más caro que uno de Física. ¿Qué tanto por ciento de descuento habría que hacer en el precio del libro de Matemáticas para que su precio sea igual al de Física ?

A) 50% B) 35% C) 33,333...% D) 25% E) 40%

9

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11

12

13

14

15

16

Sea el triángulo rectángulo ABC. Tomando como diámetro cada lado, exteriormente al triángulo, se construyen sendas semicircunferencias de áreas S1 ,S2, S3 , la última correspondiendo a la hipotenusa. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

A) S1+S2 > S3 B) S1+S2 < S3 C) S1+S2 = S3

D) S1+S2 = 2S3 E) 2(S1+S2 ) = S3

------------ Nivel 4 Pag 2/4 ----- --------

La suma 109

198

143

132

121

1•••••

+++++ L es igual a

A) 21 B)

109 C)

87 D)

43 E) 1

Cuando el agua se hiela, su masa se incrementa en 151 . ¿Cuántos litros de agua se pueden

obtener descongelando un cubo de hielo de 4 dm de arista?

A) 4 B) 16 C) 32 D) 60 E) 64 La aguja minutera de un reloj mide 4 cm de largo. ¿Cuántos metros, aproximadamente, recorre su extremo en 24 horas?

A) 3m B) 4 m C) 6m D) 5 m E) 7 m

Los problemas 21 a 30 valen 5 puntos cada uno.

El concurso Canguro en Europa se celebra desde 1991. Multiplicamos los números 1991×1992× …×2001 .

¿En cuántos ceros termina este producto?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

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20

21

Los puntos A,B,C y D están en un mismo plano, formando los triángulos de la figura. Se tiene CD = BC = 3, y CD es perpendicular a BC; AB =AC y el área del triángulo ABC es 5. ¿Cuál es el área del triángulo ACD?

A) 45 B)

23 C) 2 D)

25 E)

49

22

23

Los números naturales desde 1 hasta 2001 se escriben en la tabla de siete filas que se muestra parcialmente en la figura, siguiendo el orden de la flecha. ¿En qué cuadrado estará el número 2001? A) L 285 B) L 286 C) P 285

D) P 286 E)otra respuesta

En la figura ABCD y BPQD son paralelogramos. AD=3, DQ=1 y BD=4. Entonces la longitud de PX es

A) Depende de lo que mida AB B) 3 C) 38

D) 2,7 E) No puede calcularse con estos datos

------------ Nivel 4 Pag 3/4 ----- --------

Un libro tiene (aparte del prólogo) 213 páginas, y está dividido en 12 capítulos. Algunos de estos tienen 25 páginas, otros tienen 20 y los restantes, 16. ¿Cuántos capítulos tienen 25 páginas?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5

Sea el trapecio rectángulo ABCD; M es el punto medio de la altura AD. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

A) Area (ABM) + Area (MCD) = Area (CMB) B) Area (MDC) = Area (ABM)C) Area (ABCD) = 2.Area(MDC) D) Area (MDC) > Area (ABM)

E) Area(MDC) > Area (ABCD)

Calcular a + b + c, si 3c7

cb5

ba4

a=

−=

−=

−

A) 12 B) 3 C) 9 D) 6 E) 14

30

El área del rectángulo ABCD es 20 cm2. La suma de las áreas de todos los triángulos de la figura es:

A) 20 cm2 B) 40 cm2 C) 60 cm2 D) 70 cm2 E) 80 cm2

24

ABCDEFGH es un paralelepípedo rectángulo cuyas diagonales EC y DF son perpendiculares. El triángulo simétrico de HDG con respecto a EC es:

A) ABE B) FAB C) EFA D) FBC E) otro triángulo

25

26

Nueve fichas diferentes de dominó se colocan como se muestra en la figura, siguiendo las reglas del juego (blanca se empareja con blanca, 1 con 1, etc) . ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de puntos de las 9 fichas?

A) 32 B) 33 C) 28 D) 30 E) 26

28

29

Un triángulo equilátero ABE se construye interiormente al cuadrado ABCD, con AB = 4. El radio del círculo que pasa por C,D y E vale:

A) 32 B) 4 C) 3 D) 5 E) 33

27

------------ Nivel 4 Pag 4/4 ----- --------

------------ Nivel 4 Pag 1/4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen 3 PUNTOS cada una.

¿Cuál es la última cifra del número 1234554321

+ 1

A) 1 B) 5 C) 6 D) 2 E) 0

Un padre tiene 42 años y su hijo 22. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad del padre será el triple de la del hijo?

A) 22 años B) 49 años C) 24 años D) 12 años E) Nunca

Sea n un número entero. ¿Cuál de los siguientes no es nunca divisible por 3?

A) 2n + 1 B) n2

C) n(n+1) D) 6n-1 E) n3 – 2

¿Qué resto aparecerá más veces si dividimos los enteros 1,2,3,...,100 por 11?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) otra respuesta

Un nuevo refresco tiene azúcar, zumo de piña, zumo de naranja y zumo de zanahoria en la proporción 10 : 5 : 3 : 2. ¿Qué porcentaje del refresco representa el zumo de zanahoria?

A) 2% B) 5% C) 8% D) 10% E) 15%

La suma de todas las aristas de un cubo es 36 dm. Para pintar 1 dm2 de su superficie el

Canguro necesita 5 g de pintura. ¿Cuánto necesitará para pintar todas las caras?

A) 540 g B) 360 g C) 270 g D) 250 g E) 180 g

Si un ladrillo se puede equilibrar en una balanza con ¾ de ladrillo y ¾ de kilo, entonces el ladrillo pesa:

A) 2 kg B) 3 kg C) 4 kg D) 5 kg E) 6 kg

¿Cuál de las siguientes es la factorización correcta de 2002?

A) 2x13x3x23 B) 2x7x11x13 C) 2x3x7x11x19 D) 2x7x13x17 E) 2x11x97

La longitud del ecuador es, aproximadamente, 40.000 km. ¿Cuál es la anchura en el ecuador de un huso horario, aproximadamente?

A) 1333 km B) 1666 km C) 1222 km D) 2500 km E) 2332 km

Una máquina de tejer produce 2,5 m2 de alfombra por hora. Para tejer 1 m

2 de alfombra

necesita 2,5 kg de lana. ¿Cuál será el peso total de lana utilizado por esta máquina durante un mes, si trabaja en total 380 horas?

A) 2375 kg B) 950 kg C) 1187 kg D) 1950 kg E) 380 kg

AÑO 2002

Nivel 4 (4º de E.S.0.)

1

2

3

4

5

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10

------------ Nivel 4 Pag 2/4 ----- --------

Las preguntas 11 a 20 valen CUATRO puntos cada una

Un cargamento de naranjas puede ser enviado en cajas que contienen, cada una, 576 naranjas. Si se utilizaran cajas con capacidad para 600 naranjas, necesitaríamos una caja menos. ¿Cuántas naranjas tene el cargamento?

A) 250 B) 2400 C) 11760 D) 15000 E) 14400

El primer elemento de una sucesión numérica es 2, y el segundo es 6. Los demás elementos se forman dividiendo el último elemento obtenido por el anterior. ¿Cuánto vale la suma de los primeros 2001 elementos de la sucesión?

A) 4008 B) 4007 C) 4006 D) 4005 E) 4004

Pregunto a mi tío : “Cuántos años tienes, tío Marcos”. Él contesta: “Tengo la edad que tendrá mi hija Ana cuando yo tenga 61 años”. “Y cuál es la edad de Ana?”. “Ana tiene la edad que yo tenía cuando ella solo tenía 1 año”. ¿Cuál es la edad del tío Marcos?

A) 29 B) 36 C) 41 D) 53 E) 65

Se considera la secuencia 12321232123212321... de 2002 cifras. ¿Cuáles son las tres últimas?

A) 123 B) 212 C) 321 D) 232 E) 312

El punto O es el centro de un hexágono regular y A, B y C son tres vértices consecutivos del mismo. ¿Cuánto vale el área del cuadrilátero ABCO comparada con el área del hexágono?

A) la mitad B) los dos tercios C) la tercera parte D) los dos quintos E) los tres cuartos

?2001

11

4

11.

3

11.

2

11

A) 2002 B) 2001 C) 1001 D) 501 E) 101

Los ciudadanos de la Ciudad Mágica han votado para elegir al alcalde. El Mago Verde ha obtenido el 51% de los votos y el Mago Amarillo el 49%. Los candidatos no votan, pero si cada uno de ellos se hubiera votado a sí mismo, entonces el mago Amarillo habría obtenido

A) el 49% B) 50 % C) más del 50% D) menos del 49%E) Más del 49%, pero menos del 50%.

Durante el proceso de secado, la lana pierde un 20% de su masa y un 10% de su volumen. Durante este proceso, la densidad de la lana, aproximadamente,

A) disminuye un 12 % B) aumenta un 12 % C) disminuye un 11 %D) diminuye un 10% E) aumenta un 11%

El triángulo ABC es isósceles , con AB = BC, y el ángulo B es de 34º. Los triángulos ADC y DEC son también isósceles, con AD = AC y ED = DC. El ángulo DEC mide :

A) 18º B) 34º C) 48º D) 53º30’ E) 73º

11

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------------ Nivel 4 Pag 3/4 ----- --------

Las preguntas 21 a 30 valen CINCO puntos cada una

¿Cuántos enteros positivos menores que 35 son divisibles por un cuadrado perfecto distinto de 1 ?

A) 3 B) 8 C) 9 D) 11 E) 12

¿Cuántos pesos C equilibran el peso B?

A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7

La puntuación promedio de 27 estudiantes en un test es 84. Cuando Ana se agrega al grupo, el promedio pasa a ser 83. ¿Cuál es la puntuación de Ana?

A) 83 B) 68 C) 56 D) 48 E) 0

Sean a, b, c números tales que abc=1.

Entonces el valor de la expresión cac1

1

bcb1

1

aba1

1

es igual a

A) 2 B) 1 C) 2

1 D)

2

3E) depende de los valores de a, b y c.

La base AB de un triángulo isósceles ABC (AC = BC) tiene 8 cm de longitud. La distancia de su centro de gravedad G a la recta AB es 3 cm. ¿Cuánto vale el área del triángulo?

A) 24 cm2

B) 36 cm2

C) 48 cm2

D) 72 cm2

E) 80 cm2

Los números enteros x,y,z,a,b y c son tales que xa, yb, zc son divisibles por 7. Entonces, el resto de la división de xyz – abc por 7 es:

A) 2 B) 5 C) 3 D) 6 E) 0

Los dos cuadrados están adosados. El lado del mayor mide 2 y el lado menos 1 ¿Cuánto mide MN?

A) 2

1 B)

3

1 C)

4

1 D)

3

2 E)

5

2

20

21

22

23

24

25

Si el área de ABC es 1, ¿cuánto vale el área de la parte sombreada?

A) 15

4 B)

15

2 C)

15

7 D)

9

4 E)

6

1

26

27

------------ Nivel 4 Pag 4/4 ----- --------

Un capicúa es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. ¿Cuántos capicúas de 5 cifras son divisibles por 9?

A) 81 B) 90 C) 100 D) 500 E) 1000 La reunión empezó entre las 6 y las 7 de la tarde, y terminó entre las 9 y las 10 de la noche. A la hora de comienzo y a la del final, las agujas horaria y minutera del reloj de la sala han intercambiado sus posiciones. ¿A qué hora terminó la reunión?

A) 9h 33 m 59,16 segundos B) 9h 30 m C) 9h 32m 58,14 segundos D) 9h 34 m 50,02 segundos E) imposible saberlo La suma de dos números es 1 y la suma de sus cuadrados, 2. ¿Cuánto vale la suma de sus cubos?

A) 2

5 B) 3 C) 10 D) –1 E)

8

1

27

28

29

30

------------ Nivel 4 Pag 1/4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen TRES puntos cada una.

2003 minutos después de las 10:00 horas del día 20-03-2003 serán las:

A) 19:00 horas del 21-03-2003 B) 19:23 horas del 21-03-2003C) 19:24 horas del 21-03-2003 D) 9:33 horas del 21-03-2003E) 9:34 horas del 21-03-2003

2003 es un número primo. ¿Cuál de los siguientes números, que también acaban en 3, es primo?

A) 2013 B) 2023 C) 2043 D) 2053 E) 2073

Los científicos dicen que la esperanza de vida aumenta 2 años y medio cada década, y que dentro de 60 años la esperanza será 100 años. Si esto es verdad, ¿cuál es la esperanza de vida hoy?

A) 60 años B) 70 años C) 75 años D) 85 años E) 100

Tomás gasta 1/3 de su dinero el lunes, y 1/4 de lo que le queda el martes. ¿Qué fracción del dinero inicial le queda?

A) 1/12 B) 2/7 C) 1/ 2 D) 5/7 E) 11/12

¿Cuántos cubos perfectos hay entre los números enteros –100 y 100?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 66 E) 67

El número 2/15 + 3 +

2/15 – 3 es igual a

A) 0 B) 2/152 C) 6 D) 3 –

2/15 E) 5 + 2/13

Si el área del triángulo acutángulo ABC es 4

1 AC . BC, entonces el ángulo C es :

A) 60º B) 50º C) 40º D) 30º E) 20º

El número de puntos de intersección de cuatro rectas distintas en el plano nunca puede ser exactamente

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

AÑO 2003

Nivel 4 (4º de E.S.0.)

1

2

3

4

7

El cuadrado de la figura tiene 4 cm de lado. El área de la parte oscura es:

A) 3 cm2 B) 4 cm

2 C)

7

25 cm

2D) (9 – 1) cm

2 E) 52

cm2

9

5

6

8

------------ Nivel 4 Pag 2/4 ----- --------

a,b,c,d son números enteros mayores que 2003. Si se verifica 5

3

d

c

b

a

¿cuánto vale db

ca

?

A) 5

3 B)

10

3 C)

2004

2003 D)

5

6 E) 1

Las preguntas 11 a 20 valen CUATRO puntos cada una. ¿Cuál es la última cifra del número 5

12 + 10

15 + 9

11?

A) 5 B) 6 C) 2 D) 4 E) 3 Veo algunos jerseys que me gustan, al precio de 6,99 euros cada uno. Quiero comprar tres. Varias tiendas los tienen en oferta. ¿Cuál de ellas me hace la oferta más ventajosa para mí? A) Compro 3 y pago 2 B) Pago el 30% menos en cada uno C) Pago 1/3 menos en cada uno D) Pago 1/3 menos por el segundo jersey y 2/3 menos por el tercero E) Me rebajan el precio hasta 2,35 euros cada uno

¿Cuáles de los siguientes paralelepípedos se puede construir con piezas 1x2x4?

A) los cuatro B) ninguno C) II, III y IV D) sólo el II E) III y IV Un cronómetro cuenta tres minutos. El segundero de mi reloj marca entonces 170 (empezó a contar al mismo tiempo que el cronómetro). Entonces, mi reloj, cada hora A) atrasa 3 min 20 segundos B) atrasa 3 minutos 10 segundos C) atrasa 10 segundos D) adelanta 1 min 20 segundos E) adelanta 3 minutos La suma de las cifras de 2003 es 5. ¿Cuántos enteros mayores que 2003 tienen cuatro cifras cuya suma es 5? A) 9 B) 14 C) 18 D) 19 E) 25 En una tienda se marcan los precios de los artículos sin añadir el IVA. Uno de los artículos tiene un anuncio que dice que tiene un descuento del 20% sobre el precio marcado. ¿Qué es más conveniente para el comprador, sumar el IVA al precio original y luego restarle el descuento, o restar el descuento antes de añadir el IVA? A) Sumar el IVA y luego restarle el descuento B) Restar el descuento antes de sumar el IVA C) Los dos métodos dan el mismo resultado final D) Depende de la tasa de IVA que se aplique

E) Depende del precio del artículo

10

11

12

13

14

15

16

------------ Nivel 4 Pag 3/4 ----- --------

Una autopista de 200 km une las ciudades A y C, y pasa por la ciudad B entre ellas. Un coche circula desde A hasta B, a velocidad constante de 110 km/h; luego, sin pararse en B, va de B a C a 90 km/h. ¿Cuál es la velocidad media en el viaje completo? A) 100 km/h B) Menos de 100 km/h C) entre 100 y 200 km/h D) 200 km/h E) Es imposible saberlo sin conocer la distancia entre las ciudades Escribimos unos a continuación de otros los números impares consecutivos desde 2003 hasta 3003, formando así el número 2003200520072009....30013003 ¿Qué cifra ocupa el lugar 2004, contando desde la izquierda? A) 1 B) 3 C) 5 D) 9 E) 0

En una carrera, Juan y Pedro han llegado al mismo tiempo tras recorrer 1 km. La velocidad de Juan se ha mantenido constante. Pedro empezó dos veces más deprisa que Juan, pero después de a segundos, se cansa y durante los restantes b segundos la velocidad de Pedro ha sido la mitad de la de Juan. Entonces,

A) b = a B) b=2a C) a=2b D) a + b = 1 E) 1b2

1

a

2

¿Cuánto vale la suma de las áreas de todos los triángulos cuyos vértices son los de un hexágono regular de área 6? A) 18 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60

Las preguntas 21 a 30 valen CINCO puntos cada una. Un rectángulo de dimensiones 40x70 está dibujado en papel cuadriculado (cuadrícula 1x1). ¿Cuántas casillas son divididas en dos partes por la diagonal del rectángulo? A) 100 B) 90 C) 110 D) 47 E) 28

21

22

17

18

19

20

La figura muestra un pentágono regular ABCDE junto con los tres lados IA, AC, CF de un hexágono regular de vértices ACFGHI . ¿Cuál es la medida del ángulo FCD? A) 36º B) 48º C) 54º D) 60º E) 72º

Los círculos de la figura tienen radios de 3 cm y de 2 cm. El área de la región P es tres veces el área de la región R. Si el área de la

región P es k cm2, ¿cuál es el valor de k?

A) 5/2 B) 7 C) 15/2 D) 8 E) 9

23

------------ Nivel 4 Pag 4/4 ----- --------

Se sabe que un triángulo equilátero T tiene la misma área que un cuadrado S. ¿Cuánto vale el cociente entre las longitudes del lado de T y el lado de S?

A) 4

3 B)

3

4 C)

3

2 D)

21213

2//

E) 2/1

Una de las raíces de la ecuación ax2 + 2x + 3 = 0 es –1. Entonces la otra raíz es

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) –1

Decimos que un número de dos cifras es elegante si satisface la siguiente propiedad : la suma del propio número con el obtenido intercambiando sus cifras es igual al cuadrado de la suma de sus cifras. ¿Cuántos números elegantes hay?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 5 E) 8

Se tamiza arena en un tamiz cuyas mallas tienen un diámetro de 1,5 mm. La arena está compuesta, a partes iguales, por granos de 2mm de diámetro y granos de 1mm de diámetro. Cuando toda la arena ha sido tamizada, ¿qué porcentaje de la masa de arena ha atravesado el tamiz?

A) aproximadamente el 11% B) aproximadamente el 20%C) 25% D) 50% E) no se puede saber

Si bxx

x

12 entonces

124

2

xx

x es igual a :

A) b2

B) b2 + 2b C)

b

b

21

2

D)

b21

b2

E) Es imposible saberlo

24

25

26

27

28

29

30

ABC es un triángulo rectángulo en C. Los puntos X e Y están en los lados AB y AC, respectivamente, de modo que XY es para-lela a BC. Si el área del triángulo AXY es igual al área del trapecio BCYX, ¿cuánto vale el cociente AY/AC?

A) 1/2 B) 21/2

/(21/2

+ 1) C) 1/21/2

D) (21/2

– 1)/21/2

E) 21/2

/31/2

En la figura, DE es la mediatriz de AB, el ángulo ACB es recto y BFD también es recto. ¿Cuánto vale el cociente entre el área del triángulo DEF y la del ABC?

A) 16

1 B)

38

1

. C)

12

1 D)

2136

1/.

E) 9

1

------------ Nivel 4 (-04) Pag 1/4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos cada uno.

¿Cuántos números naturales menores que 100 tienen la suma de sus cifras igual a 9?

A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) 9

Tenemos ladrillos de dimensiones 1x2x3 . ¿Cuántos necesitamos como mínimo para construir un cubo?

A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 60

Olga tiene caramelos en cuatro bolsas de papel. Tiene 10 caramelos en la primera bolsa y k caramelos en cada una de las otras tres. Se come dos caramelos de cada bolsa. ¿Cuántos le quedan?

A) 3k + (10 2) B) 3k 2 + 8 C) 3k + 8 D) 3k + 2 E) 3k 2

Los números a y b son negativos y a < b . ¿Cuál de los números 5a, 3a, 5b, 3b es el mayor?

A) 5a B) 3a C) 5b D) 3b E) Depende de los valores de a y b

El nuevo precio de una bicicleta se ha obtenido multiplicando el antiguo precio por 1,2 . ¿En qué porcentaje ha aumentado el precio?

A ) 1,2 % B ) 2% C ) 20% D ) 120% E ) 12%

Tres caras adyacentes de una caja tienen áreas 7, 14 y 18. El volumen de la caja es

A ) 39 B ) 1764 C ) 42 D ) 256 E ) 126

La suma S de dos números consecutivos de dos cifras es igual al número obtenido permutando las cifras del mayor. La suma de las cifras de S es:

A ) 9 B ) 10 C ) 11 D ) 12 E ) 13

La raíz séptima del número 777 es:

A) 776 B)

767 C)677 D)

1777

E) 77

Una compañía incrementa sus exportaciones en el 1000% en 5 años. Eso quiere decir que, al cabo de esos 5 años, sus exportaciones se multiplicaron por

A) 10 B) 11 C) 100 D) 101 E) 110

AÑO 2004

Nivel 4 (4º de E.S.O.)

1

2

3

4

6

7

9

5

8

------------ Nivel 4 (-04) Pag 2/4 ----- --------

Después de llegar a casa de un viaje de tres días, Víctor comprueba que ha gastado, en promedio, 44 euros al día. El primer día gastó 27 euros, mientras que el segundo gastó 36 euros más que el anterior. ¿cuántos euros gastó el tercer día?

A) 69 B) 63 C) 44 D) 42 E) 35

Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos cada una

La entrada de un concierto es el 60% más barata para los socios que para los que no lo son. ¿Qué porcentaje es más cara esta entrada para los no socios que para los socios?

A) 40% B) 50% C) 60% D) 100% E) 150%

En una tienda de animales exóticos se venden papagayos. Uno grande cuesta el doble que uno pe-queño. Harry ha comprado 5 grandes y 3 pequeños. Potter ha comprado 3 grandes y dos pequeños y ha pagado 205 euros menos que Harry. ¿Cuántos euros cuesta un papagayo grande?

A) 36 B) 41 C) 56 D) 82 E) 94

Dos números naturales a y b cumplen b = 64a . ¿Cuál de las siguientes relaciones es imposible?

A) b=a2B) b=a3

C) b=a4D) b=a5

E) b=a7

Un triángulo rectángulo en A, ABC cumple AB=12, AC=9 . Sea M un punto de la hipotenusa BC tal que CM = 2 MB. Entonces AM mide

A) 73 B) 15 C) 5 D) 70 E) 18

Dos acróbatas del Circo del Sol, Leo y Raf, tienen sus barras de ejercicios a 5m y 14m de altura sobre el suelo, respectivamente. Subidos a esas barras, la distancia entre ellos es de 15m. ¿A qué distancia , en el suelo, están situados los extremos de dichas barras?

A) 9m B) 12m C) 13m D) 15m E) 19m

La familia Canguro decide hacer una piscina de forma exagonal no regular. Para ello, divide en tres partes iguales cada uno de los lados

de un rectángulo 12m9m y une los puntos de trisección (recortando cuatro triángulos iguales de las esquinas). ¿Cuál es el perímetro de la piscina?

A) 34m B) 36m C) 40m D) 42m E) 48m

10

11

12

13

14

15

16

------------ Nivel 4 (-04) Pag 3/4 ----- --------

Un trapecio rectángulo ABCD tiene su base mayor AB de longitud b, su base menor CD de longitud a y su altura AD de longitud a+b. El punto E de la altura AD es tal que AE = a. Entonces el ángulo

CEB mide

A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 90º

¿Cuál es el mayor valor del parámetro k tal que la suma de los cuadrados de las raíces de la

ecuación x2 kx + k = 0 es igual a 3?

A ) 3 B ) 1 C ) 0 D ) 1 E ) 3

En el mercado se venden manzanas desde agosto hasta noviembre. En septiembre las manzanas eran el 20% más baratas que en agosto. En noviembre eran la cuarta parte más caras que en septiembre. Entonces, en noviembre las manzanas eran:

A ) El 10% más caras que en agosto B ) El 5% más caras que en agosto C ) El 4% más baratas que en agosto D ) El 9% más baratas que en agosto E ) Igual de caras que en agosto

En un triángulo equilátero ABC, P y Q son los puntos medios de AB y BC respectivamente. La razón de las áreas de los triángulos APQ y AQC es:

A ) 3

2 B)

5

3 C )

3

1 D )

5

2 E)

2

1

Las preguntas 21 a 30 valen 5 puntos cada una

Si f(x) = x2 7x + k , y f(k) = -9, entonces f ( 1) es

A ) 9 B ) 3 C ) 3 D ) 5 E ) 11

El número cuyas cifras son 62bc427 es múltiplo de 99. Entonces b y c son, respectivamente:

A ) 2 y 4 B ) 3 y 6 C ) 4 y 2 D ) 6 y 3 E ) dos o más de las respuestas anteriores son correctas

A un número de tres cifras le restamos la suma de sus cifras. Al número resultante le restamos la suma de sus cifras, y así, repetimos el proceso 120 veces. El último número obtenido es:

A ) 0 B ) 1 C ) 2 D ) 3 E ) 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? I . Existen triángulos donde dos medianas son perpendiculares. II. Existen triángulos donde son perpendiculares una mediana y la bisectriz exterior, trazadas desde

un mismo vértice. III. Existen triángulos donde son perpendiculares un lado y la mediana trazada desde el vértice de

un ángulo adyacente a dicho lado. IV. Existen triángulos donde son perpendiculares un lado y una bisectriz de un ángulo adyacente a

ese lado

A ) La I B ) La II C ) La III D ) La IV E ) Ninguna

18

20

19

17

21

22

23

24

------------ Nivel 4 (-04) Pag 4/4 ----- --------

El valor del número

668

1

3

1

2

11

2004

20032002

6

54

3

21 es:

A) 668 B) 1336 C) 2002 D) 2003 E) 2004

Un polígono de 6 lados tiene las siguientes propiedades: a) Cada dos lados consecutivos son perpendiculares.b) Todos los lados tienen longitudes distintas.c) Esas longitudes pertenecen al conjunto { 3, 5, 6, 8, 10, 16 }Entonces el área máxima posible del polígono es:

A) 80 B) 96 C) 110 D) 120 E) 105

El número 23 está escrito en el encerado. En 1 minuto lo borramos y lo sustituimos por la suma de los productos de las cifras del número borrado y del número 12. Repetimos el procedimiento cada minuto. En un cuarto de hora, en el encerado aparecerá el número

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

Construimos un cubo grande, con superficie total 96 cm2, con cubos más pequeños de 1cm

3 de

volumen. Si quitamos los cubos pequeños de todas las esquinas del cubo grande, ¿Cuál será el volumen del cuerpo resultante?

A ) 54 cm3

B ) 58 cm3

C ) 60 cm3

D ) 64 cm3

E ) 56 cm3

En el triángulo ABC, los puntos m y N son los puntos medios respectivos de los lados AC y AB, y las medianas BM y CN son perpendiculares. El valor de

22BACA es:

A) 2

BC B) 22

BC C) 32

BC D) 42

BC E) 52

BC

Un vendedor tiene que visitar 7 ciudades, situadas en los vértices y el centro de un exágono regular. Las ciudades están unidas por caminos que son los lados del exágono y las tres diagonales que unen vértices opuestos. Empezando en el vértice A, no puede visitar ninguna ciudad más de una vez. ¿De cuántas maneras distintas puede hacer el recorrido?

A) 12 B ) 18 C) 20 C ) 20 D ) 40 E ) 66

25

27

28

26

29

30

------------ Nivel 4 (-05) Pag 1/4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos cada uno.

El inverso de 52 es:

A) 52 B) 52 C) 25 D) 25 E) 52

1

En la figura , los tres pentágonos son regulares e iguales. la

medida del ángulo marcado es

A) 40º B) 38º C) 36º D) 34º E) 32º

¿Cuál de los siguientes números es el mayor?

A) 3

1

2

1 B)

3

1

2

1 C)

3

1

2

1 D)

3

1:

2

1 E)

2

1:

3

1

Tom y Jerry tienen una bolsa de patatas fritas cada uno. Si Jerry le diera a Tom siete patatas, Tom tendría el doble de las patatas que Jerry. Si Tom le diera a Jerry siete patatas, ambos tendrían el mismo número. ¿Cuántas patatas tienen entre los dos?

A) 21 B) 35 C) 42 D) 77 E) 84

¿Cuál de las siguientes igualdades expresa el hecho de que el número m es el 30% menos que el número k?

A) m = 0,7k B) m=0,3k C) m = k – 0,7 D) m = k – 0,3 E) m = k – 30

Un hotel tiene p pisos y hay h habitaciones en cada piso. Un tercio de las habitaciones son individuales, y el resto dobles. ¿Cuántas camas hay en el hotel?

A)

3

h2

3

hp B)

3

h2.2

3

hph C)

3

h2.2

3

hp D)

3

p2

3

pph E) ph

Ordenar en orden decreciente los números a = 2 45 , b = 3 36 , c = 4 27 , d = 5 18:

A ) c, d, a, b B ) c, a, b, d C ) b, c, a, d D ) b, c, d, a E ) b, d, c, a

Un comerciante compra 15 juguetes por n € y vende cada juguete por n/10 €. ¿Cuánto gana el comerciante al vender cada juguete?

A) 48

n B)

30

n C)

24

n D)

12

nE)

4

n

AÑO 2005

Nivel 4 (4º de E.S.0.)

1

2

3

4

5

6

7

8

------------ Nivel 4 (-05) Pag 2/4 ----- --------

El hijo de Guillermo Tell practica disparando flechas. Una de sus flechas atraviesa las pastas y todas las páginas de un libro. En total hay 148 agujeros. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

A) 74 B) 146 C) 148 D) 292 E) 296

El ángulo interior de un polígono regular es de 150º. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 18

Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos cada una

Durante una tormenta, cae un rayo a 20 km de nosotros. ¿Aproximadamente, cuánto tiempo después de ver el rayo oiremos el trueno?

A) 2 segundos B) 5 seg C). 20 seg D) 30 seg E) 1 minuto

Una persona poco educada le pregunta a una dama cuántos años tiene. La dama le contesta: “Si viviera 100 años, mi edad ahora sería los cuatro tercios de la mitad de los años que me quedarían por vivir”. La edad de la dama es

A) 20 B) 40 C) 50 D) 60 E) 80

¿Cuántos pares ordenados, (a,b), de enteros positivos cumplen la condición de que su m.c.d. es 24 y su mínimo común múltiplo es 2496?

A) 4 B) 6 C) 2 D) 0 E) infinitos

¿Cuál es la medida en grados del ángulo formado por las dos diagonales de dos caras de un cubo, como se muestra en la figura?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 90 E) 120

Una jarra grande contiene agua suficiente para llenar 7 vasos, mientras que una jarra pequeña contiene agua para llenar 4 vasos del mismo tipo. En el café del Canguro Matemático hay 2 jarras grandes más que pequeñas. Entre todas pueden llenar 124 vasos. ¿Cuántas jarras hay en total, entre grandes y pequeñas?

A) 10 B) 12 C) 19 D) 22 E) 31

El menor número natural n tal que n2 – 1 sea el producto de tres números primos distintos, es

A) 22 B) 10 C) 14 D) 11 E) 15

Las caras de una caja ortoédrica tienen áreas de 3 m2 , 4,5 m

2 y 6 m

2 .

El volumen de la caja es

A) 9 m 3

B) 18 m 3

C) 27 m 3

D) 54 m 3

E) 81 m 3

11

9

10

12

13

14

15

16

17

------------ Nivel 4 (-05) Pag 3/4 ----- --------

En la figura, ABCD es un trapecio inscrito en un círculo. El ángulo interior del trapecio de vértice A mide

A) 70º B) 75º C) 80º D) 105º E) No se puede determinar

KLMN es un cuadrado de 6 cm de lado. Dentro de él hay un cuadrado de 2 cm de lado. Ambos cuadrados tienen el mismo centro y sus lados son paralelos. ¿Qué porción del área del cuadrado KLMN es el área de la parte oscura?

A) 7

1 B)

11

2 C)

5

1 D)

9

2 E)

11

3

Cada dos vértices de un cubo se unen por un segmento en el que se marca su punto medio. ¿Cuántos puntos medios distintos, de esos segmentos, se han marcado?

A) 8 B) 12 C) 18 D) 19 E) 27

Las preguntas 21 a 30 valen 5 puntos cada una

La última cifra del producto 202202 22213331 es

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 9

Si a , b , c son tres números reales tales que a < b < c y a 2 > c 2 > b 2 .¿Cuántas de las cinco

desigualdades siguientes

c

1

a

1 ,

22 c

1

a

1 , a < 0 , b < 0, c < 0

son siempre ciertas para dichos números?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

En el triángulo ABC la bisectriz del ángulo B corta al lado AC en

el punto D. Siendo ,

¿cuánto vale la diferencia ?

A) 44º B) 120º C) 24º D) 30º E) imposible determinarlo

El punto O es el centro del círculo de radio 5. Entonces AB vale

A) 5 B) 2.5 C) 10 D) 8 E) 2.10

18

19

20

21

22

23

24

------------ Nivel 4 (-05) Pag 4/4 ----- --------

En la figura, AM es una mediana del triángulo ABC y CH una al-tura. Las longitudes de dos lados del triángulo son 3 cm y 4 cm . Si CP = 2.PH, ¿cuál es de los siguientes valores puede ser la longitud del tercer lado?

A) 3 cm B) 4 cm C) 5 cm D) o bien 3cm, o bien 4cm

E) cualquier número entre 4 cm y 5 cm

El 1-3-2003 una persona muy obesa pesaba el 20% más que lo que pesaba el 1-3-2002. Tras una severa dieta, el 1-3-2004 pesaba el 30% menos que lo que pesaba el 1-3-2003. Pero como le gusta comer bien, el 1-3-2005 pesaba el 25% más que el 1-3-2004. Entonces, el 1-3-2005, el peso de esta persona, respecto al que tenía el 1-3-2002,

A) es el mismo B) aumentó en un 15% C) aumentó un 5%

D) disminuyó un 5% E) disminuyó un 15%

En una caja hay 9 tarjetas numeradas del 1 al 9. Ana y Bárbara sacan al mismo tiempo una tarjeta de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la tarjeta de Ana sea el doble o más que el número de la tarjeta de Bárbara?

A) 18

7 B)

9

4 C)

81

28 D)

18

5 E)

3

1

En la figura, los puntos J y L están en la diagonal AC del cuadrado ABCD de modo que AJ = JL = LC .Los puntos H y F están en la diagonal BD de modo que BD = 6.HD . Entonces, la razón entre el área del cuadrado ABCD y el área del rombo HJFL es

A) 3 B) 3,5 C) 4 cm D) 4,5 E) 5

El círculo pequeño de radio 3 cm gira, sin deslizarse, por la circunferencia del círculo más grande, que tiene de radio 4

cm. Al empezar coinciden el punto A 2 de la circunferencia

pequeña con el punto A 1 de la grande. La longitud recorri-

da por el centro C2 de la circunferencia pequeña hasta que

A 2 vuelva a coincidir por primera vez con el punto A 1 es

A) 18 B) 21 C) 24 D) 36 E) 42

Si se cumplen las condiciones siguientes:

dpcpbpapx

dcba

p2dcba

2222

entonces el valor de x es igual a

A) abcd B) 4

dcba C)

4

dcba 2222 D) dacdbcab E)

4

cdab2

26

25

27

28

29

30

------------ Nivel 4 (-06) Pag 1/4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos cada uno.

Alex y Beni quieren contar los pisos de un rascacielos. Alex empieza a contarlos de arriba abajo y Beni de abajo a arriba. Dejan de contar en el mismo piso; Alex dice que es el 19º (décimo noveno) y Beni el 21º (vigésimo primero). ¿Cuántos pisos tiene el rascacielos?

A) 39 B) 40 C) 41 D) 42 E) 21

En un puesto del mercado hay cestos con huevos. En el primer cesto hay 29 huevos, en el segundo 5, en el tercero 12, en el cuarto 23, en el quinto 14 y en el sexto 6. Algunos cestos tienen sólo huevos de gallina y los demás , sólo huevos de pata. El vendedor piensa: “Si vendo este cesto de huevos de pata, me quedarán el doble de huevos de gallina que de pata”. ¿Cuántos huevos de gallina y cuántos de pata tiene el vendedor?

A) 40 de gallina, 29 de pata B) 28 de gallina y 56 de pata C) 22 de gallina y 44 de pata

D) 29 de gallina y 40 de pata E) 40 de gallina y 49 de pata

Los perímetros de un triángulo equilátero y de un hexágono regular son iguales. ¿Cuál es la razón del área del triángulo a la del hexágono?

A) 3:4 B) 2:3 C) 4:5 D) 5:6 E) 1:2

Dos lados de un triángulo miden 120 cm y 130 cm. ¿Cuál de las siguientes NO PUEDE ser la longitud del tercer lado?

A) 40 cm B) 99 cm C) 100 cm D) 150 cm E) 260 cm

Si a,b,c son tres números tales que a – b = 3 y b – c = 7, ¿Cuánto vale a – c?

A) 1 B) 4 C) 7 D) 10 E) no se puede saber

Arturo tiene 30 monedas. Unas son de 20 céntimos, otras de 50 céntimos y las demás de 1 €. Tiene el doble número de monedas de 20 céntimos que de 50 céntimos. ¿Cuánto dinero tiene, si tiene 6 monedas de 20 céntimos?

A) 20,7 € B) 22,2 € C) 23,7 € D) 24,7 € E) 25,2 €

¿Cuántos números de tres cifras hay que tengan todas sus cifras pares? (0 es cifra par)

A) 125 B) 250 C) 100 D) 500 E) 450

¿Cuántos enteros entre 1 y 100 pueden obtenerse como suma de 9 enteros positivos consecutivos?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

AÑO 2006

Nivel 4 (4º de E.S.O.)

1

2

3

4

5

6

7

8

------------ Nivel 4 (-06) Pag 2/4 ----- --------

Un motorista viaja de la ciudad A a la B, y al mismo tiempo un ciclista viaja de la ciudad B a la A (por la misma carretera). El motorista viaja a 60 km/h, mientras que el ciclista lo hace a 20 km/h. Se cruzan en la carretera hora y media después de su salida (que ha sido simultánea). ¿Qué distancia hay de A a B?

A) 80 km B) 40 km C) 120 km D) 300 km E) 150 km

Un tren atraviesa un túnel de 1320 m de largo. El maquinista comprueba que él ha estado en el túnel 45 segundos exactamente. Después de que él sale del túnel, hasta que el último vagón sale de él han pasado 15 segundos más. ¿Cuál es la longitud del tren?

A) 88m B) 110m C) 220 m D) 440 m E) 550 m

Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos cada una

De un rectángulo, de superficie 24 cm cuadrados, y lados de longitudes enteras, se corta un rectángulo de 2x7 cm, obteniéndose una figura en forma de U. El perímetro de esta figura es:

A) 22 B) 24 C) 26 D)28 E) 30

El Canguro da saltos de 7 m hacia delante y de 3 m hacia atrás. ¿Cuál es el menor número de saltos que debe dar para cubrir exactamente una distancia de 101 m?

A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) es imposible hacer eso

La gráfica de y = 5(x-2)(x+4) corta al eje x en los puntos A y B. La longitud del segmento AB es:

A) 10 B) 30 C) 6 D) 5 E) 4

La primera fila muestra 11 cartas, cada una con dos letras. La segunda fila muestra una reordenación de las cartas- ¿Cuál de las siguientes puede aparecer como segunda fila de las cartas reordenadas así?

M I S S I S S I P P I

K I L I M A N J A R O

P S I S I M I S S P I

A) ANJAMKILIOR B) RLIIMKOJNAA C) JANAMKILIROD) ANMAIKOLIRJ E) RAONJMILIKA

La media de un conjunto de números es 120. Si le sumamos 300 a uno de esos números, la media es 135. ¿Cuántos números hay en el conjunto?

A) 18 B) 20 C) 22 D) 23 E) 24

9

10

12

13

14

15

11

------------ Nivel 4 (-06) Pag 3/4 ----- --------

ABCD es un cuadrado de área a. P, Q y R son los puntos

medios de DA, BC y CD, respectivamente. AQ y BP se cortan en M. El área del cuadrilátero (no convexo) AMBR es

A) (2/3)a B) (3/4)a C) (1/3)a D) (3/5)a E) (3/8)a

Sean a, b, c, d dígitos distintos. ¿Cuál es el valor de a+b, si el cociente dc

ba

es el mayor entero

posible?

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

Hay 32 números dispuestos en círculo. Cada uno de ellos es igual a la suma de los dos que tiene a su derecha y a su izquierda. ¿Cuánto vale la suma de todos los números?

A) 1 B) 0 C) 2 D) 52 E) 712

¿Cuántas parejas de enteros positivos tienen la propiedad de que su máximo común divisor es 24 y su mínimo común múltiplo 2496?

A)5 B) 6 C)2 D) 0 E) infinitos

El número de diagonales de un polígono regular con un número impar de lados es un número primo. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de este polígono?

A) 60º B) 108º C) 120º D) no existe tal polígono E) es imposible calcularlo

Las preguntas 21 a 30 valen 5 puntos cada una

La longitud del lado del cuadrado ABCD es 12 cm. El lado AB se divide en cuatro partes iguales y M es el tercer punto de división, contando desde A. El lado CD se divide en tres partes iguales, y N es el segundo punto de división, contando desde C. El lado DA se divide en dos partes iguales, y P es su punto medio. El área del triángulo MNP, en centímetros cuadrados, es

A) 48 B) 39 C) 36 D) 33 E) 45

El peso del agua contenida en las fresas recién cogidas es el 99% del peso total. El peso del agua contenida en las fresas después de un mes de cogidas es el 98% del peso total, ya que pierden agua. Si cogemos 20 kg de fresas, ¿cuál será su peso total al cabo de un mes?

A) 10 kg B) 12 kg C) 15,5 kg D) 18 kg E) 19 kg

¿Cuál es el máximo número de ángulos menores o iguales que 30º que puede tener un polígono convexo?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 11

17

16

18

19

20

22

21

23

------------ Nivel 4 (-06) Pag 4/4 ----- --------

Hay bolas en cinco cajas. Se realiza la siguiente operación: se pasa 1/5 de las bolas de la primera caja a la segunda; a continuación se pasa 1/5 de las bolas de la segunda caja a la tercera; luego, 1/5 de las bolas de la tercera a la cuarta; 1/5 de las bolas de la cuarta a la quinta, y finalmente, 1/5 de las bolas de la quinta caja a la primera. Después de esto hay 32 bolas en cada caja. ¿Cuántas había al principio en la primera caja?

A) 45 B) 40 C) 35 D) 30 E) 25

En el triángulo PQR, el ángulo P es de k grados y las bisectrices interiores de los ángulos Q y R se cortan en T. La medida en grados del ángulo QTR es:

A) 180 – (k/2) B) 90 + (k/2) C) 90 – (k/2)

D) 60 + k E) 60 – k

Tres hombres, X , Y, Z son sospechosos de ser ladrones; uno de ellos lo es con certeza. Además, la siguiente proposición es falsa: “X no es ladrón; Y y Z lo son”. Entonces, ¿cuál de las siguientes proposiciones es cierta?

A) Y y Z no son ladronesB) Los tres son ladronesC) Al menos uno de entre Y y Z es un ladrónD) Al menos uno de entre Y y Z no es un ladrónE) Si X no es un ladrón, sólo uno de los tres es ladrón.

El 80% de los accidentes suceden al aire libre y el 20% dentro de los edificios. Si el número de accidentes al aire libre se redujera en un 40%, ¿en qué porcentaje disminuiría el número total de accidentes?

A) 68% B) 52% C) 48% D) 40% E) 32%

¿En cuántos ceros termina el producto

1 2 3 … 2004 2005 2006 ?

A) 425 B) 500 C) 601 D) 1000 E) en ninguno

David y Petra acuerdan citarse en un sitio determinado entre las 12h y la 1h. Cada uno esperará al otro un cuarto de hora, y si el otro no llega, se irán. Se supone que cada uno llega al lugar de la cita con igual probabilidad durante ese margen de tiempo de una hora. La probabilidad de que se encuentren es:

A) 16

4 B)

16

5 C)

16

6 D)

16

7 E)

16

10

Bajamos una escalera mecánica en 1 minuto. Si duplicamos nuestra velocidad, bajaremos en 45 segundos. ¿Cuánto tardará la escalera en bajarnos si nos estamos quietos en el escalón inicial?

A) 1 min B) 1min 10 seg C) 1m 20 seg D) 1m 30 seg E) 2 min

30

24

25

26

27

28

29

------------ Nivel 4 (-07) Pag 1/4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos cada uno.

Al dividir A por 2007, el cociente es 1001 y el resto 2006. El valor de A es:

A) 204713 B) 2011013 C) 20074013 D) 20082013 E) 20130013

El área del paralelogramo ABCD es 10. Los puntos M y N son los puntos medios de AD y BC, respectivamente. El área del cuadrilátero MBND es

A) 0,5 B) 2,5 C) 5 D) 10 E) imposible saberlo

El cuadrado pequeño está inscrito en el grande como muestra la figura. Hallar el área del cuadrado pequeño.

A) 16 B) 28 C) 34 D) 36 E) 49

ABC y CDE son triángulos equiláteros iguales situados en un plano. Si el ángulo ACD = 80º, ¿cuánto vale el ángulo ABD?

A) 25º B) 30º C) 35º D) 40º E) 45º

El cuentakilómetros de mi coche marca 15951. Hallar el menor número de kilómetros que han de pasar hasta que vuelva a aparecer un número capicúa:

A) 100 B) 110 C) 710 D) 900 E) 1010

Si la operación significa xy = xy – 2x, el valor de 2 (46) es igual a:

A) 4 B) 16 C) 28 D) 32 E) 36

La media aritmética de 2

1y

3

1,

4

1es:

A) 9

1 B)

3

1 C)

36

13 D)

12

5 E)

24

11

La cifra de las unidades del número 11 2007

+ 14 2008

+ 16 2009

es:

A) 1 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9

AÑO 2007

1

8

5

6

7

2

4

3

------------ Nivel 4 (-07) Pag 2/4 ----- --------

¿Cuál de las siguientes expresiones no tiene sentido definido para TRES números?

A) La diferencia entre su producto y su suma B) El producto de su suma por su productoC) La suma de sus cuadrados D) la diferencia de sus cuadrados E) El cuadrado de su suma.

La solución de la ecuación 20082200722007 22X2X es:

A) 1 B) 2 C) 2

1D) 2 2 E) 2 2008

Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos cada una

Un coro tiene 32 miembros, de los que 12, además, tocan algún instrumento. 8 de esos 12 son hombres. El 60% de las mujeres del coro no tocan ningún instrumento. ¿Cuántas mujeres hay en el coro?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) la respuesta no es única

Una encuesta prueba que 2/3 de los usuarios compran el producto A y 1/3 compran el producto B. Tras una campaña publicitaria de a poyo al producto B una nueva encuesta demuestra que 1/4 de los usuarios que preferían A están ahora comprando B. Ahora se tiene

A) 5/12 de los usuarios compran A, 7/12 compran BB) 1/4 de los usuarios compran A, 3/4 compran BC) 7/12 de los usuarios compran A, 5/12 compran BD) 1/2 de los usuarios compran A, 1/2 compran BE) 1/3 de los usuarios compran A, 2/3 compran B

ABCD es un cuadrado y CDF un triángulo equilátero, con F exterior al cuadrado. La medida del ángulo BAF es:

A) 60º B) 75º C) 85º D) 67º30’ E) otra respuesta

Se tienen 15 números naturales consecutivos, el mayor de los cuales es impar. La suma de los

números pares que hay entre los 15 vale a. Entonces, el menor de los 15 números es

A) 77

a B) a 15 C)

8

aD) 15

15

a E) imposible saberlo

Los segmentos OA y OB, OC y OD se trazan desde el centro O del cuadrado KLMN a sus lados, de modo que, OA es perpendicular a OB y OC es perpendicular a OD (ver figura) Si el lado del cuadrado es 2, el área de la parte sombreada es

A) 1 B) 2 C) 2,5 D) 2,25E) depende de la elección de los puntos B y C

Un entero positivo n tiene 2 divisores, y n+1 tiene 3 divisores. ¿Cuántos divisores tiene n+2?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) depende de n

10

11

9

14

13

15

16

12

------------ Nivel 4 (-07) Pag 3/4 ----- --------

El ángulo agudo del paralelogramo de la figura mide 60º. El radio del círculo es AO = 3 cm. ¿Cuánto vale el área del paralelogramo?

A) 4

39 B)

2

39 C)

4

33 D)

2

33E) 39

El número )16x()8x(2007 es mínimo para el valor de x :

A) x = 6 B) x = 9 C) x = 12 D) x = 15 E) x = 18.

Tres segmentos tienen longitudes 1, k, 2k. Esos segmentos son los lados de un triángulo si y sólo si

A) 1k0 B) 1k3

1 C) k0 D) k

3

1E) k1

Si, para la función cuadrática f(x) = x 2 + 2x + c, cuyo discriminante vale D = 44c, se cumple

0 > f(-1) > f(1), entonces se verifica

A) c < 0, D=0 B) c<0, D<0 C) c>0, D=0 D) c>0, D>0 E) c<0, D>0

Las preguntas 21 a 30 valen 5 puntos cada una

El 15% de los alumnos de la clase son zurdos, todos los demás, son diestros. ¿Cuál es el menor número de alumnos que puede tener la clase para que esto sea posible?

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 100

En la figura, ABCD es un cuadrado de lado uno y los triángulos ABF y DEC son equiláteros, con E y F interiores al cuadrado. La longitud de EF vale:

A) 2

1 B)

2

3C) 2 D) 132 E)

2

3

¿A quién es igual ca1ca 22

A) (c+1)(a+1)(a-1) B) (c-1)(a+1)(a-1) C) (c+1)(a+1) 2

D) (c+1)(a-1) 2 E) (c-1)(a+1) 2

En el trapecio ABCD, la base mayor AB mide 10; la base menor, CD, 6. El punto O es el de intersección de las diagonales y el segmento MN, paralelo a las bases, pasa por O. Entonces, la longitud de MN es:

A) 15 B) 104 C) 4 D) 2

15E) 33

17

18

20

21

23

19

22

24

------------ Nivel 4 (-07) Pag 4/4 ----- --------

Los lados de un triángulo rectángulo son números naturales. Si uno de los catetos mide 99, ¿cuál es, como mínimo, la longitud de la hipotenusa?

A) 451 B) 101 C) 549 D) 885 E) 9801

¿Cuánto vale el producto

11

11

10

11

9

11

8

11

7

11

6

11

5

11

4

11

3

11

2

11 ?

A) 1 B)2 C) 4 D) 5,5 E) 10

El número de manzanas está comprendido entre 100 y 200 (ambos inclusive). Si ponemos 10 manzanas en cada caja, queda 1 manzana. Si ponemos 9 manzanas en cada caja, quedan 5 manzanas. ¿Cuántas manzanas quedarán si ponemos 7 manzanas en cada caja?

A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) 6

Cuando el rectángulo 16x9 de la figura se corta en piezas en la forma indicada, se pueden reunir las piezas para formar un cuadrado. ¿Cuál es el perímetro de ese cuadrado?

A) 50 B) 48 C) 36 D) 40

E) No se puede formar un cuadrado

En un grupo de hombres y mujeres, la edad promedio es 31 años. La edad promedio de los hombres es 35 años y la de las mujeres, 25 años. Entonces, la razón del número de hombres al de mujeres es:

A) 5 : 7 B) 7 : 5 C) 2 : 1 D) 4 : 3 E) 3 : 2

ABCD es un paralelogramo. M y N son los puntos medios de los lados BC y CD, respectivamente. Entonces la razón del área del triángulo AMN a la del paralelogramo es

A) 4

1 B)

3

1 C)

8

3 D)

2

1 E)

8

5

25

26

27

28

29

30

------------ Nivel 4 (-08) Pag 1/4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos cada uno.

ABC es un triángulo isósceles con el ángulo desigual en A, que mide 27 grados. D es el punto simétrico de B con respecto a A. ¿Cuánto mide el ángulo BCD?

A) 135 B) 108 C) 89 D) 90 E) 71

Entre los cinco personajes siguientes, solamente uno no tiene relación con las matemáticas. ¿Cuál es?

A) Arquímedes B) Euclides C) Churchill D) Euler E)Leibniz

Bob quiere cortar 6 listones en 6 trozos cada uno. ¿Cuánto tiempo tardará, si emplea un minuto en cada corte?

A) 36 min B) 30 min C) 32 min D) 35 min E) 6 min

Un número x satisface la condición 2

x

11

1

¿Cuál es el valor de la expresión

x

11

11

1

?

A) 2

3 B)

3

1 C)

3

2D) 4 E)

2

1

El número natural 123456789123456789…. tiene 100 cifras. ¿Cuál es la centésima cifra (la de

las unidades)?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

Escribimos los números 216, 217, 218,…, 684. ¿Qué número de la lista tiene la propiedad siguiente: hay dos veces más números en la lista que son menores que él que los que son mayores que él.

A) 527 B) 528 C) 450 D) 556 E) ninguno de los anteriores

La temperatura en un cierto lugar era 8 grados centígrados. Si sube 12 grados, luego baja 6 y finalmente se incrementa en 1 grado, ¿Cuál es la temperatura final?

A) 27 B) 15 C) 11 D) 1 E) 1

Tenemos 6 puntos en una recta y un séptimo punto fuera de ella. ¿Cuál es el número total de triángulos cuyos vértices son los puntos dados?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

AÑO 2008

Nivel 4 (4º de E.S.0.)

1

8

5

6

7

2

4

3

------------ Nivel 4 (-08) Pag 2/4 ----- --------

Maria tiene una pieza rectangular de papel de 27 cm de largo y 351 cm 2

de superficie. Corta dostriángulos equiláteros tomando como bases los lados más cortos del rectángulo. ¿Cuál es el perímetro de la figura restante?

A) 132 B) 106 C) 80 D) 79 E) 53.

Si N no es ni 0, ni 8, ni -8, ¿Cuántos de estos cuatro números, N8

N5

;

N8

N5

;

N8

N5

;

N:8

N:5

son iguales a 8

5?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E ) 4

Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos cada una

En la figura, el cuadrilátero está dividido por sus diagonales en cuatro partes. El área de tres de ellas se indica en la figura. Hallar el área de la cuarta:

A) 20 B) 22 C) 24 D) 25 E) 26

Juan cree que si un triángulo es isósceles, entonces es acutángulo. ¿Cuál de los triángulos de la figura prueba que está equivocado?

Uno de los siguientes enteros no puede escribirse como el producto de un número primo por dos números compuestos?

A) 2 5 B) 2345 C) 2 3 2 5 D) 612 E) 1000

En un triángulo rectángulo ABC, se trazan la altura BH y la mediana BM desde el vértice B del ángulo recto. Si BM = 2 BH ¿cuánto mide el menor de los ángulos del triángulo?

A) 15º B) 24º C) 30º D) 45º E) imposible de determinar

He elegido un número entre 1 y 15. Si tú me propones un conjunto de números y me preguntas si mi número pertenece a este conjunto, yo debo dar la respuesta correcta (“si” o “no”). ¿Cuál es el menor número de preguntas necesarias para estar seguro de averiguar mi número?

A) 1 B) 2 C)3 D) 4 E) 14

Se da el cuadrilátero ABCD tal que AB = BC = CD y AD = AC = BD. Hallar el menor ángulo del cuadrilátero.

A) 72º B) 60º C) 36º D) 54º E) otra respuesta

10

13

9

15

16

14

11

12

------------ Nivel 4 (-08) Pag 3/4 ----- --------

El mayor número n tal que la suma 1 + 2 + … + n es menor o igual que 2008 es

A) 50 B) 61 C) 62 D) 63 E) 70

ABCD es un rectángulo y PQRS un cuadrado. El área sombreada es la mitad del área del rectángulo ABCD. ¿Cuánto vale la longitud PX?

A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 4

ABDC es un cuadrado, AO=OM=MK=KE y BP=PN=NL=LE . Si OP=3 ¿ cuál es el área del trapecio OPLK ?.

A) 3 cm2 B) 4 cm2 C) 4,5 cm2

D) 5,5 cm2 E) 6 cm2

Dos círculos, cada uno de radio 1, están inscritos en un cuadrado, como se ve en la figura. La diagonal del cuadrado mide

A) 4 B) 2 C) 22 D) 212 E) 24

Las preguntas 21 a 30 valen 5 puntos cada una

Los puntos medios de dos lados de un cuadrado se unen a vértices, como se indica en la figura. ¿Qué fracción del área del cuadrado es el triángulo gris?

A) 40

1 B)

36

1 C)

32

1 D)

25

1 E)

20

1

Si se lee la fecha 21.02 (el 21 de febrero) de derecha a izquierda se obtiene 20.12, que es una posible fecha (20 de diciembre). En cambio 10.09 no tiene esta propiedad (no hay 90 de enero). ¿Cuántas fechas en el año tienen esa propiedad?

A) 183 B) 182 C) 36 D) 35 E) depende del año

17

22

18

19

20

21

------------ Nivel 4 (-08) Pag 4/4 ----- --------

El máximo común divisor de dos enteros positivos m y n es 12, y el mínimo común múltiplo de ellos

es un cuadrado. Entre los cinco números n.m , 3

n,

3

m,

4

n y

4

m, ¿cuántos son cuadrados?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) imposible determinarlo

El cuadrado de la figura, de lado 3, se divide en varias partes como se muestra en la propia figura. ¿Qué porcentaje del área del cuadrado es el área sombreada?

A) 30% B) 33% C) 35% D) 40% E) 50%

Un cuadrado, un círculo y un triángulo equilátero tienen el mismo perímetro. ¿Cuál de las proposiciones siguiente es verdad?

A) todos tienen la misma área B) el de mayor área es el cuadrado

C) el de mayor área es el círculo D) el de mayor área es el triángulo

E) es imposible determinar qué área es mayor

¿Para cuántos valores enteros de n la fracción 16n

15n2

es un número entero ?

A) 3 B) 1 C) 2 D) 4 E) 6

Si U + V = 1 y U 2 + V

2 = 2, entonces U

4 + V

4 vale

A) 4 B) 8 C) 1 D) 3 E) 3,5

El sistema de ecuaciones

1 y a-x 1)(a

1y 1)-(a x a No tiene solución cuando a es igual a:

A) 2

2 B)

2

2C) 1 D) 1 E)

2

1

La suma de dos números es 10; su producto es 20. Hallar la suma de los inversos de ambos números

A) 1 B) 1 C) 2

1 D)

2

1 E) 2

El área de un cuadrado rojo es 64 cm 2

y la de uno azul, 144 cm 2

. ¿Cuál es la razón entre elperímetro del cuadrado rojo y el perímetro del cuadrado azul?

A) 1: 2 B) 2 : 3 C) 3 : 4 D) 4 : 5 E) 4 : 9

23

25

26

27

28

29

24

30

------------ Nivel 4 (-09) Pag 1/4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos cada una.

El valor de la suma 1 1 1 1

15 1 15 2 15 4 15 8

es

A) 1

2 B)

1

3 C)

1

5 D)

1

8 E)

1

15.

Con las cifras 1, 4, 8 (usando cada cifra a lo sumo una vez) es posible formar cuatro cuadrados

perfectos: 21 1 ,

24 2 , 281 9 ,

2841 29 . ¿Cuántos cuadrados perfectos se pueden formar

con las cifras 1, 6, 9?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7.

La longitud de la quebrada ABCD es 22 cm. El perímetro del triángulo ABD es 23,75 cm. ¿Cuántos centímetros más largo es el segmento AD que el CD?

A) 1,25 B) 1,5 C) 1,75 D) 2 E) 2,25

En promedio, se inspira y expira 0,5 litros de aire cada vez que se respira. Se respira unas 16 veces por minuto, es decir, 960 veces por hora. ¿Cuántos litros de aire se respiran en los diez años que van de 2009 a 2018, ambos inclusive?

A) 4 204 800 B) 3 504 000 C) 4 208 256 D) 84 165 120 E) 42 071 040

En la figura se ve un rectángulo formado por 4 filas de 7 puntos cada una. Se ha trazado la diagonal desde el vértice inferior izquierdo al superior derecho; hay 4 puntos sobre ella. Se hace lo mismo con un rectángulo de 22 filas, con 36 puntos en cada una. ¿Cuántos puntos hay en su diagonal?

A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8

El mínimo común múltiplo de dos números es 25 3

47

8 y su máximo común divisor es 2

23

27

2.

Uno de los números es 1764. ¿Cuál es el otro?

A) 223

27

2 B) 223

47

8 C) 243

47

4D) 2

33

27

6E) 2

53

47

8

Para preparar 4 litros de refresco hacen falta 3 litros de agua, 1 litro de concentrado y 500 gramos de azúcar. ¿Cuánto refresco se puede preparar con 14 litros de agua, 5 litros de concentrado y 2 kg de azúcar?

A) 4 litros B) 7 litros C) 11 litros D) 16 litros E) 20 litros

AÑO 2009

3

5

4

6

1

2

7

------------ Nivel 4 (-09) Pag 2/4 ----- --------

¿Cuántos ángulos agudos hay en 5 triángulos obtusángulos?

A) 0 B) 5 C) 10 D) 15 E) eso depende de los triángulos

Si los lados de un rectángulo disminuyen en un 30%. el área del rectángulo disminuye en un

A) 30% B) 45% C) 60% D) 90% E) ninguno de los anteriores

Una fundación obtiene, la mitad de los recursos económicos necesarios para financiar un proyecto, de fondos Europeos; tres octavos de los recursos fueron concedidos por donantes y los 200 euros restantes de los propios recursos de la fundación. ¿Cuántos euros se necesitan en total para el proyecto?

A) 800 € B) 850 € C) 1500 € D) 1600 € E) 1700 €

Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos cada una

Los triángulos equiláteros de la figura, ABC y DEF tienen el

mismo perímetro, 18cm. Se colocan con los lados

paralelos, como se indica. El perímetro del hexágono GHIJKL es

Α) 9 cm Β) 12 cm C) 13 cm

D) 14 cm Ε) 18 cm

Un triángulo isósceles RST se inscribe en un cuadrado, coinci-diendo R con un vértice del cuadrado. ¿Dónde se ha de situar T para que el área de RST sea máxima?

A) en A B) en B C) en C D) en DE) en ninguno de los puntos anteriores

Tres circunferencias 1S , 2S , 3S son tangentes exteriores dos a dos. Sus radios están en progre-

sión geométrica de razón 2. Entonces, el triángulo de vértices en los centros de 1S , 2S , 3S es

A) no existe tal triángulo B) acutángulo C) rectángulo

D) obtusángulo E) imposible saberlo

En el reloj de la bruja, los días completos tienen 12 horas (en lugar de 24), y cada hora se divide en 60 minutos. ¿Qué hora marcará el reloj de la bruja cuando el tuyo (que es un reloj normal) marque las 15h 30m?

А) 15:30 B) 7:30 C) 7:15 D) 7:45 E) 8:45

El primer término de una sucesión es 20. Si un término de la sucesión es t, y t es par, el siguiente término es t/2. Si un término de la sucesión es t, y t es impar, el siguiente término es 3t+1. Por lo tanto, los tres primeros términos de la sucesión son 20; 10; 5. ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 2009 en la sucesión?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8

13

11

10

14

15

8

9

12

------------ Nivel 4 (-09) Pag 3/4 ----- --------

Un lenguaje extraterrestre utiliza 16 letras y todas sus palabras tienen 3 letras. Es imposible encontrar dos palabras con la propiedad de que la última letra de la primera palabra sea la misma que la primera de la segunda. La primera y la última letra son distintas en cada palabra. ¿Cuál es el máximo número de palabras en este lenguaje?

A) 256 B) 512 C) 1024 D) 2048 E) 4096

En el encerado está escrito el número 9. En cada etapa, se borra el número n que está escrito y

se escribe el número k , si existen números enteros positivos a y b tales que ban y

bak . ¿Cuántas etapas transcurren, como mínimo, para que aparezca el número 13 en el

encerado?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) es imposible que aparezca el 13

¿Cuál de las siguientes cifras puede ser la última cifra ( d ) del número primo 19700019d ?

A) 1 B) 3 C) 7 D) 9 E) hay más posibilidades

Se eligen n números, de 1 a 20. Ninguna pareja de los números elegidos es tal que difieran en 5.

¿Cuál es el máximo valor de n ?

A) 5 B) 6 C) 10 D) 11 E) 12

Un cuadrado de papel, de 1 m de lado, tiene un agujero cuadrado en el centro, con lados paralelos a los del primero (ver la figura). Cuando doblamos las cua-tro esquinas de tal forma que los vértices coincidan con el centro del cuadrado, NO obtenemos un cuadrado. Esto sucede

A) Si y sólo si el lado del agujero es mayor que medio metro

B) Si y sólo si el lado del agujero es mayor que 2 m.

C) Si y sólo si el lado del agujero es mayor que2

2m.

D) No sucede nunca. E) siempre

Las preguntas 21 a 30 valen 5 puntos cada una

La figura muestra dos trapecios isósceles inscritos en una circunferencia de radio 5. Cada trapecio tiene la base mayor de 8 cm y la menor de 6 cm. ¿Cuál es la razón entre el área del trapecio de mayor altura y la del trapecio de menor altura?

A) 5 B) 32

5C) 7 D) 34 E) 25

Si a, b, c, d y e son enteros distintos y 1244444 edcba , entonces

a + b + c + d + e es igual a

A) 12 B) 16 C) 17 D) 24 E) 32

¿Cuántos pares ( x; y ) de enteros verifican 2134 xxxy ?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

21

16

17

18

19

22

23

20

------------ Nivel 4 (-09) Pag 4/4 ----- --------

En la fracción ...1263842421

....75153501022551

A tanto el numerador como el denominador

son sumas de 2009 sumandos (y cada sumando tiene tres factores). Todos los sumandos se forman de acuerdo con el modelo que se deduce de los tres primeros, tal como se indica. Si A es el cubo del número racional X, ¿cuál es el valor de X?

A) 2,5 B). 6, 25 C). 15, 625 D) Alrededor de 32 E). Ninguno de los anteriores

¿Para cuántos enteros a entre 1 y 25 el producto a(a+1)(a+2) es múltiplo de 84?

A) para ninguno B) 1 C) 2 D) 4 E) 6

ABCDE es un pentágono regular y ABFG un cuadrado, como se

muestra en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo FCD?

A) 21° B) 24° C) 27° D) 30° E) 45

Pablo ha escrito 4 números naturales en una hoja de papel y Beatriz ha escrito 8 números naturales en otra hoja. Ninguno conoce los números del otro. Pablo afirma que hay dos números en la hoja de Beatriz, cuya suma es divisible por 8. Beatriz afirma que hay dos números en la hoja de Pablo, tales que, o bien su suma, o bien su diferencia, es divisible por 7. ¿Cuál de las dos afirmaciones es correcta?

A) Sólo la de Pablo B) Sólo la de Beatriz C) Ambas son correctasD) Ninguna es correctaE) Sólo la de Pablo, suponiendo que los números de Beatriz son todos distintos

Una casa que ocupa una superficie de 100 m2 mide 25 cm

2 en un modelo a escala. ¿Cuál es el

volumen real de la casa, en m3, si el del modelo es 50 cm

3?

A) 2100 B) 400 C) 200 D) 300 E) 500

¿Para cuántos valores enteros de x es también entero

x 1

x 14

?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5. Dos amigos viven, uno en Europa, y el otro en América, a una distancia de 6.700 Km (medida sobre la superficie de la Tierra, cuyo radio puede suponerse que mide 6.400 Km). En el mismo instante, ellos pueden ver sobre la línea del horizonte, el mismo satélite geoestacionario de órbita baja. El satélite está lo más próximo posible a ambos amigos. ¿Cuál de los siguientes números da la altura aproximada (en Km) del satélite sobre la superficie de la Tierra?

A) 250 B) 500 C) 800 D) 1000 E) 1250

28

29

30

24

25

27

26

------------ Nivel 4 (-2010) Pag 1/4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos cada una.

¿Cuántas ternas (p, q , r) de números primos hay, tales que p = qxr?

A) Ninguna B) 1 C) 3 D) 7 E) Infinitas

A y B van juntos de vacaciones, y acuerdan pagar los gastos mitad y mitad. A ha pagado 124€, pero B ha pagado más. Si llamamos b a la cantidad de euros que ha pagado B, ¿cuántos euros le debe A?

A) 622

bB) b 62 C) b – 31 D) b – 124 E) 124

2

b

¿Cuál es el menor número primo que es igual a la suma de tres números compuestos:

A) 11 B) 13 C) 17 D) 19 E) 23

¿Cuántos de los siguientes números son iguales? 161/2 ; 22 ; 4

16;

4

12; 4

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

¿Cuántos múltiplos de 3 hay entre 2009 y 2099?

A) 30 B) 29 C) 32 D) 31 E) 33

Sea S el conjunto de los enteros que son cuadrados perfectos (es decir, S consta de 1, 4, 9, 16, …. etc). ¿Cuál de las siguientes operaciones, realizada sobre dos elementos de S, da siempre como resultado un elemento de S?

A) Suma B) Producto C) Cociente D) Raíz cuadrada E) Ninguna de las anteriores

Calcular el valor del producto

1 1 1 11 1 1 1

1 2 3 2009

L

A) 2 B) 2009

2010C) 2010 D) 1005 E)

2010

2009

¿Cuál es el valor de 2

14

35

?

A) 19

11 B)

19

29 C)

15

37 D)

5

39 E)

5

43

AÑO 2010

Nivel 4 (4º de E.S.O.)

1

3

2

4

5

6

7

8

------------ Nivel 4 (-2010) Pag 2/4 ----- --------

¿Cuánto vale 210 – 10 2 ?

A) 24 B) 412 C) 924 D) 405 E) Otra respuesta

¿Cuánto mide el ángulo CBA ˆ de la figura?

A) 110º B) 120º C) 135º D) 125º E) 140º

Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos cada una

Los trenes que van de la ciudad A a la ciudad B salen “a las horas en punto” (es decir, a las 7h, las 8h, 9h, etc). Los que van de la ciudad B hacia la ciudad A salen “a las horas y media”, es decir, 7h30, 8h30, etc). El viaje, en cualquiera de los dos sentidos, dura tres horas. Un tren que va de la ciudad A hacia la B, ¿con cuántos trenes en dirección contraria se cruza?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) con ninguno

Se ha cortado un rectángulo en cuatro rectángulos menores como se muestra en la figura. El perímetro de tres de ellos es conocido y está mostrado en la figura : 20, 24 y 32.

¿Cuál es el perímetro del cuarto rectángulo?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

En cada cara de un cubo se escribe un entero positivo diferente; de tal modo que cuando dos caras son adyacentes (comparten una arista), el máximo común divisor de los dos números de las caras es 1. ¿Cuánto vale la menor suma posible de los números en las seis caras del cubo?

A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

ABCD es un paralelogramo de área 8; P, Q, R y S son los puntos medios de sus lados. U y T están en las rectas PS y QR, de tal manera que PS = SU, y QR = RT. ¿Cuánto vale el área de la parte gris?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Si m y n son dos números enteros positivos tales que 75m = n3, ¿Cuál es el menor valor posible de m + n ?

A) 15 B) 30 C) 50 D) 60 E) ) ninguno de los anteriores

10

11

9

12

13

14

15

------------ Nivel 4 (-2010) Pag 3/4 ----- --------

ABCD es un rectángulo y AED un triángulo equilátero. AB = 6 cm, AD = 12

cm y F es el punto medio de AE. Hallar la medida del ángulo BFA ˆ

A) 60º B) 63º C) 67º D) 72º E) 75º

En un paralelogramo, la bisectriz de un ángulo divide a la diagonal (la que no pasa por ese vértice) en la razón 2:5. ¿En qué razón divide al lado del paralelogramo?

A) 2 : 5 B) 2 : 3 C) 5 : 3 D) 5 : 2 E) 1 : 1

Se considera la siguiente tabla numérica

1ª fila 2

2ª fila 4 6

3ª fila 8 10 12

4ª fila 14 16 18 20

….. …… …… …… …..

¿Cuál de los siguientes números estará en la fila nª 60?

A) 3540 B) 3664 C) 3656 D) 3680 E) 3500

Si consideramos los números 2010 20102010 201020102010

; ;2011 20112011 201120112011

a b c

¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

A) a < b < c B) a < c < b C) c< a < b D) c < b < a E) a = b = c

El profesor piensa un número natural y les dice a los alumnos: 1) El número, o termina en 5 o es divisible por 7

2) O es mayor que 20, o termina en 9

3) O es múltiplo de 12 o es menor que 21

¿Qué número ha pensado el profesor?

A) 12 B) 25 C) 49 D) 60 E) 84

Las preguntas 21 a 30 valen 5 puntos cada una

¿En cuántos ceros termina el producto 1990x1992x1994x…x2008x2010?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) más de 5

El círculo de la figura tiene centro A y radio 6. El área interior al círculo,

pero exterior al triángulo es 30 .

¿Cuánto vale x (la medida en grados del ángulo marcado)?

A) 22,5 B) 30 C) 45 D) 60 E) 67,5

16

17

18

19

20

22

21

------------ Nivel 4 (-2010) Pag 4/4 ----- --------

Juana tiene muchas piezas cuadradas, blancas, y Juan muchas piezas grises, cuadradas también; todas del mismo tamaño. Quieren construir un rectángulo con piezas blancas en el interior y grises en los bordes, como en la figura. En un momento dado (que no corresponde a la figura) se dan cuenta que han conseguido construir el mayor rectángulo posible con el mismo número de piezas blancas y grises. ¿Cuántas piezas han puesto en total en ese momento?

A) 30 B) 60 C) 45 D) 72 E) 36

Se han dibujado un cuadrado y un triángulo equilátero con un lado común, de manera que el triángulo es exterior al cuadrado. Se une un vértice del cuadrado a dos del triángulo, como muestra la figura. ¿Cuál es la razón entre el mayor y el menor ángulo del triángulo sombreado?

A) 3 B) 3,5 C) 4 D) 4,5 E) 4,75

El promedio de un conjunto de 2000 números es 2000. Añadimos 2010 nuevos números al conjunto y la media del nuevo conjunto de 4010 números es 2010. ¿Cuál es la media del conjunto de los 2010 números que hemos añadido?

A) menor que 2010 B) 2010 C) mayor que 2010 pero menor que 2020

D) 2020 E) mayor que 2020

En la figura, el rectángulo ABCD tiene un área que es cuatro veces la del triángulo BEC. Si AB = CE, y BE = BC, ¿cuánto vale la razón AB/AD?

A) 2 1 B) 3 2

2C) 2 D) 3 E)

1 5

2

En un torneo local, participan 4 equipos de fútbol-sala: A, B, C, D. Cada equipo juega una sola vez con cada uno de los demás. El equipo A gana al equipo B por 4-1. El equipo D ganó al C. Todos los demás partidos terminaron en empate, pero con un número distinto de goles en cada uno. Se hace la clasificación por el total de goles marcados, y arroja el siguiente resultado: 1ºA, 2º B, 3ºC y 4º D. ¿Cuál fue el total de goles en el partido C contra D?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados los números obtenidos sean las cifras de un cuadrado perfecto de dos cifras?

A) 9

1 B)

9

2 C)

36

7 D)

4

1 E)

21

4

¿Cuántas cifras tiene el número 201010

?

A) 40 B) 34 C) 33 D) 31 E) 30

ABCDEF es un hexágono regular con centro M. Los lados son de longitud 1. ¿Cuál es el área de la zona sombreada?

A) 16

3 B)

48

3310 C)

16

387

D) 16

35 E)

24

334

25

27

29

28

23

24

26

30

------------ Nivel 4 (-2010) Pag 1/4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos cada una.

¿Cuál es el menor divisor de 2011, distinto de 1?

A) 3 B) 7 C) 11 D) 701 E) 2011

Observando el polígono de la figura ¿cuál de las siguientes afirmacio-nes es falsa?

A) Es un pentágono B) Tiene un ángulo agudoC) Dos lados son perpendiculares

D) Tiene dos lados de la misma longitud E) el perímetro es 42

En una retícula, se dibuja un cuadrado ABCD de dimensión 10x10. Los vértices son puntos reticulares. Después se traza otro cuadrado EFGH, cuyos vértices están en los lados de ABCD, y de modo que sus vértices son también puntos reticulares. ¿Cuántos cuadrados EFGH de diferentes tamaños se pueden trazar así?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9

Desde un punto P, interior a un triángulo equilátero, las distancias a sus tres vértices son:

PA = 3 cm, PB = 13 cm y PC = 13 cm La longitud del lado del triángulo es

A) 5 cm B) 6 cm C) 7 cm D) 8 cm E) 9 cm

En un examen, la puntuación media de 6 estudiantes es 68. Después de calificar el examen de un séptimo estudiante, ese promedio sube a 72. ¿Cuál fue la puntuación obtenida por el séptimo estudiante?

A) 72 B) 76 C) 88 D) 96 E) 100

En una plaza hay 100 personas. 50 de ellas son de Italia, 60 son hombres y 90 son vegetarianas. ¿Cuántos hombres italianos y vegetarianos hay, como mínimo, en la plaza?

A) 0 B) 1 C) 10 D) 40 E) 50

¿Cuál de los siguientes números es menor?

A) los32

de 4 B) los43 de 5 C) los

54 de 6 D) los

65 de 7 E) los

76 de 8

2011 es un año especial en el que la suma de las dos primeras cifras es igual que la suma de las dos últimas. ¿Cuántos años, desde el año 1000, han tenido esta propiedad?

A) 35 B) 49 C) 64 D) 81 E) 100

AÑO 2011

Nivel 4 (4º de E.S.O.)

1

3

4

5

7

8

2

6

------------ Nivel 4 (-2010) Pag 2/4 ----- --------

Uniendo vértices del retículo de la figura, ¿qué polígono, de los 5 propuestos, no se puede obtener?

A) Triángulo isósceles B) rectángulo C) rombo

D) hexágono E) cuadrado

¿Cuál es la mayor potencia de 2 que divide a 2552 – 1?

A) 21 B) 28 C) 29 D) 2127 E) 2254

Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos cada una

Matías, el buscador de oro, sabe por su experiencia, que, después de cerner 10 toneladas de grava del arroyo Dorado, consigue 30 gramos de oro. ¿Cuántas toneladas habrá que cerner si quiere obtener 12 gramos de oro?

A) 2,5 B) 3 C) 4 D) 25 E) 40

PA · PB = 60, y 485

PD

PC, ¿cuál es el valor de PC?

A) 5 B) 6 C) 4,5 D) 3 E) 2,5

Lali quiere calcular la altura del árbol de la figura. Para eso, determina el punto A donde la recta que une el vértice del poste con la copa del árbol toca el suelo. Descubre las siguientes relaciones: AB = BD ;

23 AD ; 31

BC

AB. ¿Cuál es la altura del árbol?

A) 9 m B) 39 m C) 29 m D) 212 E) 12

La figura muestra dos cuartos de círculo de radio 1 dentro de un rectángulo que mide 2 x 1: ¿Cuánto mide el área coloreada?

A) 43

B) 4

C) 1 D)23

E) 2

En cada ronda de un torneo de volleyball, los equipos compiten por parejas; el ganador pasa y el que pierde es eliminado (en el volleyball no hay empates). Si el número de equipos es impar, uno de ellos pasa directamente a la ronda siguiente. Se jugaron en total 100 partidos; ¿cuántos equipos comenzaron la competición?

A) 100 B) 101 C) 27 D) 26

E) No hay suficiente información para responder

11

10

9

12

15

13

14

------------ Nivel 4 (-2010) Pag 3/4 ----- --------

Seis rectas se disponen como se indica en la figura:

¿Cuántos trapecios se forman?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

Un estudiante sabe solamente 5 de los 10 temas que entran en su examen, en el que se hacen tres preguntas, de tres temas elegidos al azar de entre los 10. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres preguntas correspondan a temas que el estudiante conoce?

A) 121 B)

21 C)

32 D)

3

21

E)

3

31

¿Cuántas cifras tiene el número 178910 178910 ?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

Sea DE un segmento de longitud 2. ¿Cuántos puntos distintos F del plano hay, de manera que el triángulo DEF sea rectángulo y tenga área 1?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) otra respuesta

¿Cuántos de los números 11, 111, 1111, 111111 y 11111111 son primos?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Las preguntas 21 a 30 valen 5 puntos cada una

Se forma un trapecio uniendo los dos triángulos rectángulos semejantes de la figura ¿Cuál es el área del trapecio?

A)120 B) 192 C) 240 D) 246 E) 296

Representamos por mcd (x,y) al máximo común divisor de x e y. ¿Cuántos pares (x,y) de números enteros positivos satisfacen la ecuación mcd(x,y) + mcd (x+1, y + 1) = x – y?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) infinitos

Matías ha calculado incorrectamente la superficie de un terreno a partir de un mapa a escala 1: n. Él simplemente ha medido el área en el mapa y la ha multiplicado por n. Su colega calcula correctamente el área y encuentra que su resultado es un 125% mas que el de Matías. La escala del mapa es:

A) 1:1,25 B) 1:1,5 C) 1:2 D) 1:2,25 E) 1:5

De las siguientes fracciones continuas, ¿cuál es la mayor? :

A)

1111

11

1

B)

2222

22

2

C)

3333

33

3

D)

4444

44

4

E)

5555

55

5

18

16

17

19

21

22

23

20

24

------------ Nivel 4 (-2010) Pag 4/4 ----- --------

Sea tal que la ecuación no tiene raíces reales. ¿Cuál es el

máximo número posible de raíces reales de la ecuación ?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8

Los ángulos agudos del paralelogramo de la figura miden 60º. El radio del círculo AO = 3 cm. ¿Cuál es el área del paralelogramo?

A) 4

39 B)

239

C) 4

33 D)

233

E) 39

¿Cuál es en metros, aproximadamente, la altura de Pitágoras con su mano levantada sobre el pedestal?

A) 1,5 B) 2 C) 2,6 D) 3 E) 3,3

Para un entero , se designa mediante el mayor número primo menor o igual que n.

¿Cuántos enteros positivos k verifican la ecuación ?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) más de 3

Dos números positivos, p y q, verifican la ecuación . Hallar el valor de p + q:

A) 1 B) 5 C) 9 D) 13 E) 17

El mínimo valor de es:

A) 7 B) 5 C) 3 D) 2 E) otro valor

25

30

29

26

27

28

------------ Nivel 4 (-2013) Pag 1/4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos cada una.

María dibuja seis cuadrados iguales, cada uno de los cuales contiene una parte gris

¿Cuántas de estas partes grises tienen un perímetro igual al perímetro de uno de los cuadrados?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Si 3x = a y ay = 81, el producto xy vale

A) 4 B) 3 C) 12 D) 0 E) 1

¿En cuántos ceros termina el producto 201325x201326x201317?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8

Sean p y q dos números primos tales que p2 + q

2 = 365. ¿Cuánto vale p + q?

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

Si x = 22013 2

2

111

x xx x

− + ++ +

, entonces es igual a

A) -1 B) 1 C) 22013 D) 0 E) 2-2013

En los Juegos Olímpicos de Londres 2012, en la prueba de natación de 100 m estilo libre, el ganadorfue Nathan Adrian en 47,52 segundos; seguido de James Magnussen con 47, 53 segundos. ¿Quédistancia separó al segundo del primero cuando éste llegó a la meta?

A) 2,1 mm B) 2,1 dm C) 2,1 cm D) 2,1 m E) 21 m

Sopla un fuerte viento del Sur. Un avión vuela de Amsterdam a París a 700 km/h. Otro avión hace elrecorrido Paris- Amsterdam (en diferente pasillo aéreo) a 900 km/h. El primer avión hace el trayecto en36 minutos. ¿Cuánto tarda el otro en hacer el suyo?

A) 18 minutos B) 20 minutos C) 25 minutos D) 28 minutos E) 36 minutos

32 jugadores de tenis juegan un torneo. En la primera ronda, 16 de ellos juegan contra los otros 16. Losque pierden son eliminados. En la segunda ronda, 8 ganadores de la primera se enfrentan a los otros 8ganadores de la primera. Los ganadores de esta ronda juegan los cuartos de final, los ganadores lasemifinal y los ganadores, la final. ¿Cuál es el promedio de partidos por cada jugador?

A)32

31B) 1 C)

2

3D)

16

31E) 2

AÑO 2013

Nivel 4 (4º de E.S.0.)

8

7

1

2

3

4

5

6

------------ Nivel 4 (-2013) Pag 2/4 ----- --------

Un tejado rectangular, de 11 m de largo por 6 m de ancho, está cubierto por una capa de nieve de 25cm de altura. ¿Cuántos m

3 de nieve han caído sobre el tejado?

A) 8,25 m3 B) 66 m3 C) 825 m3 D) 1650 m3 E) 16,5 m3

Tal como se indica en la figura, los perímetros de los triángulos ADF, DBE,DEF y FEC son 12, 24, 19 y 24 cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC?

A) 38 B) 41 C) 43 D) 47 E) 49

Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos cada una

En la figura, el ángulo CAD es 11º, AB = OC, y O es elcentro de la circunferencia. Hallar el ángulo COD.

A) 30º B) 33º C) 35º D) 40º E) 45º

En el país X, las placas de matrícula de automóviles se componen de 2 cifras seguidas de 4 letras, enese orden. La primera cifra no puede ser 0 y las cifras y letras pueden repetirse. ¿Cuántas placas hayformadas con las cifras y letras de MATHS 2013?

A) 20 B) 33 C) 1440 D) 7500 E) 10000

El número 2013 tiene la propiedad de que la cifra de sus unidades es igual a la suma de las tresanteriores (decenas, centenas y unidades de mil). En el actual milenio (que empezó en 2001 y terminaráen 3000), ¿cuántos años tienen esta propiedad?

A) 24 B) 36 C) 27 D) 64 E) 48

A y B juegan de la siguiente manera. A dice un entero positivo, a. B dice el mayor divisor b de a (distintode a); a continuación A dice el mayor divisor c de b (diferente de b), y así sucesivamente. Gana elprimero que diga un número primo. ¿Cuál de los siguientes números le permite a A estar seguro deganar el juego?

A) 60 B) 64 C) 72 D) 84 E) Ninguno de los anteriores

Sobre la superficie de un globo terráqueo se han dibujado 10 paralelos y 10 meridianos (semicírculosque van de un polo al otro). ¿En cuántas partes ha quedado dividida la superficie esférica?

A) 81 B) 90 C) 100 D) 110 E) 121

Los enteros m y n verifican (6 – m)(6 + n) = 12. ¿Cuántos valores puede tomar m?

A) 6 B) 7 C) 12 D) 13 E) Ninguno de los anteriores

9

16

13

10

12

14

15

11

------------ Nivel 4 (-2013) Pag 3/4 ----- --------

El logotipo de la compañía GEO es un círculo de color rojo de radio 4 cm con un cuadrado blancoinscrito en el círculo. Aproximadamente, el área coloreada es

A) 18 cm2 B) 16 cm2 C) 14 cm2 D) 9 cm2 E) 5 cm2

En las casillas de un tablero 5 x 5 hay escritos enteros de manera que los números en casillasadyacentes difieren en 1. Se sabe que los números 3 y 11 están escritos en el tablero. ¿Cuántosnúmeros diferentes hay escritos?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

Un cuadrilátero convexo y un triángulo se intersecan. ¿Cuál es el mayor número de lados que puedetener el polígono intersección?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 7

En el mapa de Inglaterra de mi atlas, que está a escala 1: 1 800 000, el punto que representa Oxfordestá a 6 cm del punto que representa Cambridge. ¿Cuál es la distancia de Oxford a Cambridge, con unmargen de error de 10 km?

A) 20 km B) 90 km C) 160 km D) 110 km E) 200 km

Las preguntas 21 a 30 valen 5 puntos cada una

En el salón masculino de una peluquería, el peluquero tarda 12 minutos en cortar el pelo de un chico y20 en cortar el pelo de un adulto. Hoy ha trabajado 8 horas sin descansar, y ha cortado el pelo a, por lomenos, 7 chicos. A lo sumo, ¿a cuántos adultos ha cortado el pelo?

A) 10 B) 17 C) 18 D) 24 E) 40

El cuadrilátero de la figura está dividido por sus diagonales en 4triángulos, tres de los cuales tienen las áreas que para cada uno seindica.¿Cuánto mide el área x del cuarto triángulo ?

A) 6 B) 7 C)7

20D)

5

28E)

4

35

ABC es un triángulo equilátero y AE = BD = AB/3.

La medida del ángulo DFC es

A) 10º B) 15º C) 30º D) 45º E) 60º

17

18

19

20

21

23

22

------------ Nivel 4 (-2013) Pag 4/4 ----- --------

Las estadísticas afirman que 1 de cada 14 personas que han terminado un Máster en Matemáticas, noencuentra trabajo a los 6 meses de haber terminado el Máster. Sea p el porcentaje de personas queobtienen trabajo dentro de los 6 meses después de terminar el Máster en Matemáticas. La cifra de laparte decimal que ocupa el lugar 2013 en el desarrollo decimal de p es

A) 7 B) 1 C) 4 D) 2 E) 5

Se dan los cinco números a1 = 1, a2 = −1, a3 = −1, a4 = 1, a5 = −1. El sexto término de esta sucesiónes el producto de los dos primeros; el séptimo es el producto del segundo por el tercero; el octavo es el

producto del tercero por el cuarto, y así sucesivamente. ¿Cuánto vale la suma a1 + a2+ …+ a2013?

A) −1006 B) −671 C) 0 D) 671 E) 1007

Hay una fila de 2013 loros, que están hablando, uno detrás de otro. El primero dice: El segundo loro es verde. El segundo dice: El tercer loro es verde, ….. El loro número 2011 dice: El loro 2012 es verde. Elloro 2012 dice: El loro 2013 es un hipopótamo azul. El loro 2013 dice: ¡Yo no soy un hipopótamo azul!Se sabe que todos los loros verdes mienten, y que todos los loros que mienten, son verdes. ¿Cuántosloros verdes hay en la fila?

A) 1 B) 2 C) 1006 D) 1007 E) 2013

En una clase de 30 alumnos en un país imaginario, sólo 12 de ellos tienen teléfono móvil. Durante lasvacaciones, los que no tienen teléfono móvil envían postales de felicitación a todos sus compañeros, ylos que sí lo tienen, envían sms de felicitación a quienes lo tienen, y postales a quienes no lo tienen.¿Cuántas postales se han enviado en total?

A) 132 B) 216 C) 522 D) 738 E) 900

¿Cuál es el máximo número de términos que es posible disponer en sucesión, de manera que la sumade tres términos consecutivos cualesquiera sea negativa y la suma de 5 términos consecutivoscualesquiera sea positiva?

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) Es imposible cumplir las condiciones

Llamamos S(n) a la suma de las cifras del número n. Entonces, la suma alternada

(1) (2) (3) (4) (2011) (2012) (2013)S S S S S S S− + − + + − + vale

A) 0 B) 1006 C) 1007 D) 2013 E) −1

Ocho equipos juegan un torneo de volleyball (en cuyos partidos no hay empates), todos contra todos, auna vuelta. Al ver la clasificación final, hay 5 equipos con k victorias cada uno. ¿Cuál es el mayor valorposible de k?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7.

24

28

27

30

25

26

29

------------ Nivel 4 (-2014) Pag 1/4 ----- --------

Las preguntas 1 a 10 valen 3 puntos cada una.

A le dice a B la cifra de las unidades de un número impar de tres cifras. Inmediatamente, B sabe que el número de A no es primo. ¿Cuál es esa cifra?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

La oficina de correos de Cangurolandia solo tiene sellos de 5, 8 y 11 céntimos. ¿Cuál de los siguientes franqueos no puede alcanzarse usando sellos de Cangurolandia?

A) 10 c B) 14 c C) 18 c D) 22 c E) 26 c

Si escribimos 2014 como producto de dos números naturales a y b de dos cifras cada uno, entonces la suma a + b es igual a

A) 21 B) 55 C) 72 D) 91 E) 100

Un litro de limonada tiene el 10 % de extracto de zumo de limón, el 15 % de azúcar y el 75 % de agua. Si se le añade un cuarto de litro de líquido que contiene el 50 % de extracto de zumo de limón y el 50 % de agua, ¿cuál es el porcentaje de azúcar en la mezcla resultante?

A) 12% B) 13 % C) 14 % D) 15 % E) 18 %

¿Cuántas cifras tiene la escritura decimal de 1420 ?

A) 4 B) 9 C) 10 D) 11 E) 14

¿Cuál es el número positivo cuyo inverso es igual a su cuádruplo?

A) 4

1 B)

2

1C) 1 D) 2 E) 4

La lista de los números enteros de tres cifras que son cubos perfectos es: 125, 216, 343, 512 y 729. ¿Cuántos enteros de cuatro cifras no tienen cifras en común con ninguno de los números de la lista anterior?

A) 16 B) 6 C) 8 D) 10 E) No hay enteros que cumplan esa condición

La tarjeta para viajar por Londres durante un día cuesta 7 libras esterlinas. 1 euro equivale a 0,8 libras esterlinas. ¿Cuánto cuesta, en euros, esa tarjeta?

A) 5,6 euros B) 6 euros C) 7,8 euros D) 8 euros E) 8,75 euros

En un círculo de radio uno se inscribe un triángulo equilátero. En éste se inscribe un segundo círculo. ¿Cuánto mide su radio?

A) 3

1 B)

2

1 C)

3

2 D)

4

3E) Ninguno de los anteriores

AÑO 2014

Nivel 4 (4º de E.S.0.)

8

9

7

1

2

3

4

5

6

------------ Nivel 4 (-2014) Pag 2/4 ----- --------

Supongamos que a es inversamente proporcional a b..

Si a=2

1 cuando b =

3

2 , hallar a cuando b=

3

7

A) 5

3 B)

7

4 C)

3

1 D)

5

2 E)

7

1

Las preguntas 11 a 20 valen 4 puntos cada una

A y B juegan de la siguiente manera: A elige un número positivo a; B dice el mayor divisor positivo b de

a, ba. Después A dice el mayor divisor positivo c de b, cb; y así sucesivamente. El primero que dice

“1” gana. ¿Cuál de los siguientes números debe elegir A para ganar el juego?

A) 128 B) 243 C) 1024 D) 2014 E) Ninguno de los anteriores

Las medidas de los ángulos de un pentágono convexo forman una progresión aritmética creciente: A < B < C < D < E. ¿Cuánto mide el ángulo C?

A) 60º B) 72º C) 96º D) 108º E) No puede saberse

En el triángulo ABC, la medida del ángulo A es 45º. Se eligen los puntos P en el lado BC, Q en el lado AB y R en el lado AC de manera que BP = QP y CP = RP. Entonces el ángulo QPR mide:

A) 90º B) 95º C) 100º D) 105º E) depende de la elección de P

En un triángulo rectángulo la bisectriz de uno de los ángulos agudos

divide al lado opuesto en dos segmentos de longitudes 4 y 5. El área

del triángulo es

A) 13,5 B) 36 C) 40 D) 45 E) 54

Un coche de juguete se mueve a velocidad constante de 10 cm/seg. A y B controlan sus movimientos mediante sendos mandos a distancia. El coche comienza a andar en el instante t=0. A partir de ese momento, A pulsa su mando cada 3 segundos y B cada cinco segundos. Cada vez que pulsa A el coche hace un giro de 90º hacia la izquierda y cada vez que pulsa B el coche hace giro de 90º a la derecha. Si el juguete recibe al mismo tiempo dos órdenes distintas, las ignora y continúa en la misma dirección que tenía antes de recibir las órdenes simultáneas. Después de un cierto tiempo, A y B observan que la trayectoria del juguete es un polígono cerrado. ¿Cuál es el área de este polígono?

A) 4800 cm2 B) 5000 cm2 C) 5300 cm2 D) 6000 cm2 E) Otro valor

En el cubo de la figura se consideran los ángulos α, β, γ, δ marcados en ella. ¿Cuánto vale la suma de esos cuatro ángulos?

A) 330º B) 345º C) 360º D) 375º E) 390º

16

13

10

12

15

11

14

------------ Nivel 4 (-2014) Pag 3/4 ----- --------

La pareja de números 54 y 18 tiene la propiedad de que su suma (72) es el doble de su diferencia (36). ¿Cuántos parejas de números enteros positivos, menores que 100, tienen esta propiedad?

A) 1 B) 5 C) 25 D) 33 E) 49

La sucesión, 1, 2, 3, 4 …, de triángulos rectángulos isósceles de la figura, continúa hacia la izquierda de la misma manera que en los cuatro primeros casos mostrados. Si AB = AC = 1.¿cuánto vale la hipotenusa del triángulo que ocupa el lugar 2014?

A) 21006 B) 21006,5 C) 21007 D) 21007,5 E) otra respuesta

Se superponen un círculo y un cuadrado de lado 1, de modo que el área del cuadrado que no está tapada por el círculo es igual al área del círculo que no está tapada por el cuadrado. Calcular el radio del círculo.

A) 1 B)

1 C)

2

1 D) E)

1

Se dan cuatro números. Sumando uno de ellos al promedio de los otros tres, de todas las maneras posibles, se obtienen los números 25, 37, 43 y 51. ¿Cuál es el promedio de los cuatro números dados al principio?

A) 17 B) 19,5 C) 23 D) 23,5 E) 39

Las preguntas 21 a 30 valen 5 puntos cada una

Un canguro escapa después de haber mordido la oreja de su hermana mayor, que le persigue. Ella empieza a saltar tras él cuando el canguro ha dado ya 6 saltos en su carrera. Los saltos de ella son el doble de largos que los de él, pero ella da 4 saltos mientras él da 5. ¿Cuántos saltos da ella para alcanzarlo?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

En el polígono regular ABCDEFGHIJKLMNPQRS (de 18 lados) y centro O, ¿cuánto mide el ángulo KSF?

A) 40º B) 45º C) 50º D) 60º E) 100º

En una clase hay cuatro pares de hermanos gemelos y ningún otro par de hermanos. Cierto día, se reúnen 85 personas en un festival de la escuela (todos los alumnos de esta clase, más sus padres y madres). ¿Cuántos estudiantes hay en esa clase?

A) 29 B) 30 C) 31 D) 34 E) 35

En un test de un alumno, la relación entre respuestas correctas e incorrectas es de 7 : 2. La diferencia entre el número de respuestas correctas y el de incorrectas es 25. ¿Cuántas preguntas tiene el test?

A) 45 B) 35 C) 10 D) 9 E) 90

24

17

19

20

21

23

22

18

------------ Nivel 4 (-2014) Pag 4/4 ----- --------

La fracción 110

101 es la suma de dos fracciones positivas cuyos denominadores son 5 y 22. La diferencia

entre esas dos fracciones es

A) 110

31 B)

110

5 C)

110

21D) 0 E)

110

13

En una competición de tiro la puntuación máxima por tirador es 10 puntos. 10 tiradores obtienen como promedio 9,2 puntos. Cada uno tira exactamente una vez. Miguel obtuvo 8 puntos, y Juan 9. Antonio fue el menos afortunado y no quiere decir cuántos puntos obtuvo. ¿Cuántos puntos, como mínimo, pudo tener?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Se escribe el número 2014 mil veces seguidas:

veces1000

20142014

¿Cuál es el menor número de cifras que hay que borrar para que las que queden sumen 2014?

A) 1000 B) 1007 C) 2014 D) 1493 E) La tarea es imposible

Cuántos triángulos escalenos distintos se pueden formar con segmentos de longitudes 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5cm, 6 cm, 7 cm?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

Si el triángulo PQR tiene lados de longitudes 40, 60 y 80, entonces su altura más corta es k veces su altura más larga. Hallar el valor de k

A) 5

3 B)

9

7 C)

3

1 D)

2

1 E)

8

5

Los números reales x e y verifican 2y3

3y2x

. ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?

A) 3x2

2x3y

B)

2x3

2x2y

C)

2x2

3x2y

D)

3x3

3x2y

E)

2x3

3x2y

28

27

30

25

26

29