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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

ANÁLISIS SECCIONAL DE ELEMENTOS DE

HORMIGÓN ARMADO SOMETIDOS A FATIGA,

INCLUYENDO SECCIONES ENTRE FISURAS

TESIS DOCTORAL

CARLOS ZANUY SÁNCHEZ Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

2008

© Carlos Zanuy Sánchez

ISBN: 978-84-691-2465-9

DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS

CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE

CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

ANÁLISIS SECCIONAL DE ELEMENTOS DE

HORMIGÓN ARMADO SOMETIDOS A FATIGA,

INCLUYENDO SECCIONES ENTRE FISURAS

CARLOS ZANUY SÁNCHEZ Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

DIRECTORES DE TESIS

LUIS ALBAJAR MOLERA Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

PABLO DE LA FUENTE MARTÍN Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

2008

Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politécnica de Madrid, el día ….. de ……………. de 200….

Presidente:

Vocal:

Vocal:

Vocal:

Secretario:

Suplente:

Suplente:

Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el día ….. de …………. de 200…. en la E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la U.P.M.

Calificación: ……………………………………….

EL PRESIDENTE LOS VOCALES

EL SECRETARIO

A mis padres y hermanos

I

Índice Índice ................................................................................................................................. I Resumen ...........................................................................................................................V Abstract..........................................................................................................................VII Agradecimientos............................................................................................................. IX Notación ......................................................................................................................... XI Capítulo 1. Introducción................................................................................................1

1.1. Motivación ....................................................................................................11.2. Objetivos .......................................................................................................31.3. Metodología y organización de la Tesis .........................................................4

Capítulo 2. La fatiga del hormigón: planteamiento del problema ...................................7

2.1. Introducción...................................................................................................72.2. Generalidades de la fatiga ..............................................................................8

2.2.1. Definiciones...........................................................................................82.2.2. Aproximación a la fatiga por medio de la Mecánica de la Fractura .........92.2.3. El proceso de fatiga del hormigón. Conceptos previos..........................11

2.3. Fatiga del hormigón en compresión .............................................................162.3.1. Comportamiento bajo una carga de compresión centrada de amplitudconstante 16 2.3.2. El efecto del gradiente de tensiones ......................................................19

2.4. Fatiga de elementos de hormigón armado ....................................................222.5. Modelos teóricos existentes .........................................................................27

2.5.1. Modelos basados en las curvas S-N......................................................272.5.2. La Mecánica del daño continuo ............................................................302.5.3. Modelos recientes desarrollados en la Universidad del Ruhr (Alemania) 38

2.6. Adherencia entre hormigón y armadura........................................................412.7. Discusión y conclusiones .............................................................................41

Capítulo 3. Propuesta de modelo teórico. Fatiga del hormigón en compresión yaplicación a la sección armada fisurada .......................................................................43

3.1. Introducción.................................................................................................433.2. Objetivos y ámbito de aplicación .................................................................443.3. Antecedentes ...............................................................................................453.4. Modelo del material .....................................................................................46

3.4.1. Modelo de comportamiento estático del hormigón ...............................46

II

3.4.2. Modelo de comportamiento del hormigón bajo carga cíclica ................473.4.3. Procesos variables ................................................................................493.4.4. Ciclos tracción – compresión................................................................513.4.5. Obtención de las leyes de evolución de las variables del modelo duranteel proceso cíclico .................................................................................................52

3.4.5.1. Selección de la curva S-N.............................................................533.4.5.2. Ley de evolución de la deformación (ε - N) ..................................583.4.5.3. Ley de evolución del módulo de deformación (E - N) ...................64

3.5. Análisis seccional ........................................................................................703.5.1. Estrategia de análisis ............................................................................713.5.2. Fatiga de la armadura ...........................................................................75

3.6. Comparación con trabajos experimentales de la literatura ............................763.6.1. Elementos no armados. Estudio de la influencia de la excentricidad de lacarga 76 3.6.2. Columnas de hormigón armado............................................................793.6.3. Vigas de hormigón armado ..................................................................83

3.6.3.1. Vigas de Schläfli (1999) ...............................................................833.6.3.2. Vigas de Johansson (2004) ...........................................................913.6.3.3. Vigas de Lambotte (1963 – 1965).................................................97

3.7. Conclusiones .............................................................................................101 Capítulo 4. Análisis teórico y experimental del tirante de hormigón armado bajo cargarepetida .....................................................................................................................103

4.1. Introducción...............................................................................................1034.2. El hormigón en tracción.............................................................................104

4.2.1. Fenomenología y resultados experimentales.......................................1044.2.2. Comportamiento del hormigón en tracción bajo cargas repetidas........106

4.3. El hormigón armado: estudio del tirante.....................................................1094.3.1. El tirante bajo carga estática ...............................................................109

4.3.1.1. Generalidades.............................................................................1094.3.1.2. Ecuaciones que gobiernan el comportamiento del tirante ............1134.3.1.3. La ley de adherencia hormigón - acero .......................................115

4.4. Modelo analítico ........................................................................................1244.4.1. Planteamiento ....................................................................................1244.4.2. Aplicación..........................................................................................129

4.4.2.1. Un caso de carga estática ............................................................1294.4.2.2. Un caso de carga repetida ...........................................................132

4.5. Modelización mediante elementos finitos...................................................1344.5.1. Planteamiento ....................................................................................1344.5.2. Aplicación..........................................................................................136

4.6. Análisis de la influencia de las distintas variables que intervienen en elproblema de fisuración ..........................................................................................138

4.6.1. Influencia de los parámetros de adherencia.........................................1394.6.2. Influencia de parámetros no relativos a la ley adherencia....................142

4.7. Ensayos de tirantes de hormigón armado sometidos a cargas cíclicas .........1464.7.1. Concepción y objetivos de los ensayos ...............................................1464.7.2. Descripción de los ensayos.................................................................146

III

4.7.3. Análisis de los resultados de los ensayos ............................................153

4.7.3.1. Ensayo E40 ................................................................................1534.7.3.2. Ensayo E32 ................................................................................157

4.7.4. Conclusiones de los ensayos...............................................................1624.8. Conclusiones .............................................................................................163

Capítulo 5. Comportamiento en servicio de elementos de hormigón armado bajo cargarepetida. Flechas y fisuras .........................................................................................165

5.1. Introducción...............................................................................................1655.2. Planteamiento del problema .......................................................................1665.3. Estudio del tramo entre fisuras. Cálculo de flechas y fisuras.......................1715.4. Comparación con resultados experimentales ..............................................1735.5. Conclusiones .............................................................................................176

Capítulo 6. Ensayos de fatiga en vigas de hormigón armado......................................179

6.1. Introducción...............................................................................................1796.2. Objetivos ...................................................................................................1806.3. Descripción de los ensayos ........................................................................181

6.3.1. Generalidades ....................................................................................1816.3.2. Materiales ..........................................................................................1816.3.3. Vigas. Geometría y armaduras ...........................................................1816.3.4. Formato de los ensayos ......................................................................1826.3.5. Instrumentación y control...................................................................184

6.4. Análisis y discusión de los resultados de los ensayos .................................1866.4.1. Ensayos de vigas débilmente armadas (vigas VB1 y VB2) .................186

6.4.1.1. Descripción del desarrollo de los ensayos ...................................1866.4.1.2. Análisis de los ensayos VB1 y VB2............................................191

6.4.2. Ensayo sobre una viga fuertemente armada (viga VA1)......................1946.4.2.1. Descripción del desarrollo del ensayo .........................................1946.4.2.2. Análisis del ensayo VA1 ............................................................197

6.5. Fatiga por cortante en elementos de hormigón armado ...............................2006.5.1. Generalidades ....................................................................................2006.5.2. Análisis de trabajos existentes en la literatura.....................................2006.5.3. Criterios para considerar la fatiga por cortante....................................205

6.6. Análisis de la rotura del ensayo VA1 .........................................................2066.7. Conclusiones .............................................................................................207

Capítulo 7. Recomendaciones prácticas para tener en cuenta la fatiga en elementos dehormigón armado ......................................................................................................209

7.1. Introducción...............................................................................................2097.2. Número de ciclos hasta rotura ....................................................................210

7.2.1. Influencia del gradiente de tensiones ..................................................2107.2.2. Columnas de hormigón armado..........................................................2127.2.3. Vigas de hormigón armado ................................................................214

7.3. Estudio de la deformabilidad......................................................................217 7.4. Conclusiones .............................................................................................219

IV

Capítulo 8. Conclusiones y líneas futuras de investigación ........................................221

8.1. Introducción...............................................................................................2218.2. Síntesis ......................................................................................................2228.3. Conclusiones .............................................................................................223

8.3.1. Fatiga del hormigón en compresión (nivel material) ...........................2238.3.2. Análisis seccional (nivel de la sección fisurada) .................................2248.3.3. Adherencia hormigón – acero (nivel seccional no local) .....................2258.3.4. Estudio de vigas y columnas (nivel estructural) ..................................2268.3.5. Ensayos de vigas de hormigón armado ...............................................2268.3.6. Conclusiones finales. Fatiga de elementos de hormigón armado.........227

8.4. Líneas futuras de investigación ..................................................................230 Chapter 8. Conclusions and future work....................................................................233

8.1. Introduction....................................................................................................2338.2. Synthesis ........................................................................................................2348.3. Conclusions ....................................................................................................234

8.3.1. Fatigue of concrete in compression (material level)..................................2348.3.2. Sectional analysis (cracked section level).................................................2368.3.3. Bond between concrete and reinforcement (non-local section level).........2378.3.4. Beams and columns (structural level).......................................................2388.3.5. Tests on reinforced concrete beams..........................................................2388.3.5. Global conclusions. Fatigue of reinforced concrete elements....................239

8.4. Future work ....................................................................................................241 Bibliografía ...............................................................................................................243

V

Resumen

El efecto de la fatiga sobre elementos de hormigón armado no es normalmente considerado en la fase de diseño estructural. Incluso en los códigos de diseño más avanzados, el tratamiento está basado en el estado estático de tensiones y en el concepto de las curvas S-N, que proporcionan el número de ciclos de carga resistentes.

A pesar de eso, la fatiga del hormigón es un proceso de progresiva microfisuración

del material que conlleva, a nivel macroscópico, un cambio continuo de las propiedades mecánicas. Las losas de tableros de puentes en sentido transversal, las losas de transición entre estribo y terraplén en puentes de carretera, estructuras bajo la acción del oleaje o del viento, son elementos de hormigón armado sometidos a alto número de ciclos donde ya se han publicado problemas de fatiga. La evaluación de la capacidad resistente de estructuras antiguas ante incrementos de cargas y el diseño estructural orientado a toda la vida útil requieren también tener en cuenta los mecanismos de degradación como la fatiga.

La Tesis aborda el estudio de la influencia de las cargas repetidas en el

comportamiento de estructuras de hormigón armado que trabajan fundamentalmente a flexión, tanto en rotura como en servicio. En este tipo de elementos, la fatiga puede tener lugar de tres formas: fatiga del hormigón en compresión, fatiga de la armadura y fatiga de la adherencia hormigón - acero.

Una probeta de hormigón sometida a carga repetida experimenta un continuo

crecimiento de sus deformaciones máximas y permanentes, a la vez que una reducción de su rigidez. Para evaluar la influencia de la fatiga en elementos armados, se ha elaborado un modelo de material para el hormigón, dependiente del número de ciclos, la calidad del material y los niveles entre los que oscila la tensión. Además, para su aplicación al análisis de elementos estructurales, se ha definido un criterio de acumulación de la degradación que tiene en cuenta la degradación en procesos de límites de la tensión variable.

El modelo de material ha sido introducido después en una metodología de análisis

seccional que permite reproducir la evolución de la distribución de tensiones y deformaciones durante la vida a fatiga de un elemento, a la vez que calcular el número de ciclos de carga resistentes. El estudio llevado a cabo muestra que dentro de la sección se desarrolla un proceso de redistribución de tensiones a la vez que aumentan las deformaciones. Esta capacidad redistributiva de elementos armados que trabajan a flexión explica que el modo de fallo por fatiga de vigas sea por rotura frágil de la armadura incluso ante cargas elevadas en las que el fallo por fatiga del hormigón podría ser previsible empleando las actuales metodologías basadas en el estado tensional estático. El análisis realizado en la Tesis muestra que el fallo por fatiga del hormigón es posible en elementos sobre-armados ante cargas máximas elevadas, además de elementos comprimidos como soportes. La fragilidad o no del fallo por fatiga es asimismo estudiada en función del tipo de fallo: por el acero o el hormigón.

VI

El estudio del comportamiento en servicio de elementos ante cargas repetidas ha requerido analizar la influencia de la colaboración de las secciones entre fisuras, efecto tension - stiffening. Para ello, se ha incluido en la metodología de análisis la progresiva reducción de la adherencia entre acero y hormigón a tracción a través de la evolución en las leyes tensión de adherencia – deslizamiento. El acoplamiento de los fenómenos de degradación de los bloques traccionado y comprimido permiten estudiar la evolución de flechas y fisuras en elementos cargados de forma repetida. El estudio es especialmente importante para calcular los valores residuales de estas variables, que son crecientes con el número de ciclos y definen la respuesta en servicio por razones estéticas y de durabilidad.

La Tesis ha contado con dos campañas experimentales, con ensayos de fatiga en

tirantes armados a tracción y de vigas de hormigón armado, ambos ante carga repetida. Los ensayos han confirmado los análisis teóricos y han permitido refinar algunas tendencias.

Las conclusiones alcanzadas permiten evaluar la sensibilidad a fatiga de elementos

de hormigón armado de una forma realista y comprensible. Asimismo, se presentan una serie de diagramas con recomendaciones prácticas en cuanto al número de ciclos resistentes y la forma de fallo por fatiga.

VII

Abstract

The fatigue effect on reinforced concrete elements is not usually considered at the design phase. Even the most advanced codes of practice are based on the static stress state and the well-known concept of S-N curves. These approaches are only focused on the maximum bearable number of load cycles.

In spite of this, fatigue of concrete is a process of progressive microcracking

which leads to the continuous change of the macroscopic mechanical properties. Bridge deck slabs, approach slabs and offshore structures are reinforced concrete members subjected to highly repeated loading where fatigue problems have been already reported. The evaluation of the carrying capacity of older structures under increasing loads, and a lifetime – oriented structural design, need to account for all the degradation mechanisms like fatigue.

The Thesis deals with the response of reinforced concrete elements under bending

fatigue, considering both the serviceability and ultimate behavior. The fatigue influence may take place through three mechanisms: fatigue of concrete in compression, brittle fracture of the reinforcement and fatigue of bond between concrete and steel.

Under uniaxial compression fatigue, concrete exhibits increasing total and residual

strains and decreasing stiffness. To evaluate its influence on structural members, a time – dependent material model for concrete has been proposed. It includes evolution laws for total strains and stiffness as function of the number of cycles, the material properties and the stress levels of the cyclic load. Furthermore, a new accumulation criterion has been introduced in order to account for the degradation under variable stress limits, the so-called equivalent number of cycles.

The material model is then introduced in a sectional algorithm, which enables the

calculation of the stress and strain evolution over the section depth during the fatigue life. The realistic resistant number of cycles is also investigated based on this evolution. The analysis shows that a process of redistribution of stresses develops within the cross-section while strains increase. Moreover, the sectional capacity for redistribution of stresses is shown to be the governing factor of the mode of failure and explains why most experimental results on beams in the literature failed by brittle fracture of the reinforcement. The study concludes that fatigue failure of concrete in compression may take place in over-reinforced beams under maximum relative load levels, as well as in columns. The brittleness of the fatigue failure is also analyzed with regard to the type of failure: due to either concrete or steel.

The study of the serviceability behavior of concrete members under repeated

loading has been carried out accounting for the contribution of sections between cracks, the tension-stiffening effect. For this, the progressive reduction of bond between concrete and the reinforcement along the tension chord is considered through the change of the local bond – slip relations. To study the evolution of crack widths and deflections, both degradation mechanisms of the compression and tension chords are coupled. The

VIII

analysis is particularly interesting for calculating their residual values, since they increase during the fatigue life and define the service state of the structure for aesthetic and durability reasons.

Two experimental campaigns have been performed. On the one hand, two

reinforced concrete ties have been tested under repeated tension. On the other hand, three reinforced concrete beams have been loaded until fatigue failure. The tests have confirmed the theoretical approaches and refined some trends.

The conclusions of the Thesis enable the evaluation of the fatigue sensibility of

reinforced concrete elements in a realistic and understandable way. A series of practical proposals and recommendations have been presented in the form of diagrams showing the resistant number of cycles and the mode of fatigue failure.

IX

Agradecimientos

Una Tesis Doctoral es un trabajo de investigación plasmado de forma individual, en el que sin embargo intervienen un conjunto de personas e instituciones que colaboran en el resultado final. Al menos así ha sido en esta Tesis. Este trabajo se ha desarrollado en el Laboratorio de Estructuras, en el seno del Departamento de Mecánica de Medios continuos y Teoría de Estructuras de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Universidad Politécnica de Madrid).

En primer lugar, agradezco a los Profesores Luis Albajar y Pablo de la Fuente por

haber sido los directores de la Tesis. Su dedicación día a día en esta investigación ha sido la guía hacia la consecución de los objetivos previstos, en un ambiente de colaboración y debate. Su atención, disponibilidad y confianza han sido fuertes estímulos para conseguir el resultado.

En el trabajo diario he contado con el apoyo profesional y personal de los miembros

del Laboratorio de Estructuras. A José Torrico, Maestro del Laboratorio, le debo todo lo que sé sobre experimentación e instrumentación, su afecto y permanente apoyo. A los técnicos del Laboratorio, Isidro García, Miguel Ángel Peña, Miguel Ángel López, su total disponibilidad, amistad y capacidad para hacer fácil lo difícil en el desarrollo de los ensayos.

Siempre que he necesitado ayuda de algún profesor de la Escuela la he tenido. En

particular, agradezco a Avelino Samartín por sus acertados y oportunos consejos; a Alejandro Pérez por su apoyo y ánimo; a Hugo Corres por su esfuerzo en dotar de medios para la investigación al Laboratorio; a José María Goicolea por darme la oportunidad de colaborar en el proyecto de investigación sobre vía en placa; a Jaime Planas por sus consejos para instrumentar fisuras. Además, quiero agradecer la cercanía y el apoyo de todos los profesores con los que he compartido tiempo a diario en el Laboratorio, Rafael Fernández, Juan Moreno, Javier León y Edelmiro Rúa.

Los compañeros doctorandos en el Laboratorio de Estructuras han sido un apoyo

importante durante estos años. Entre todos, un sentimiento de ayuda mutua y compañerismo hacen que el trabajo diario sea más agradable. Agradezco su ayuda a Jorge Pacheco, Sergio Espejo, Miguel Martín, Javier Ezeberry, Ariel Espeche, Patricio Padilla, Fernanda Defant y Tobias Petschke; y a Beatriz Gutiérrez, de Ache.

Agradezco al Profesor Eugen Brühwiler por haberme dado la oportunidad de

realizar una estancia de tres meses en el Laboratorio de Mantenimiento y Seguridad Estructural de la EPFL (Lausana, Suiza) en el año 2007, muy enriquecedora para mi investigación por proporcionarme datos muy valiosos. Hago extensivo el reconocimiento a todo su equipo por el excelente trato recibido.

Durante estos cuatro años he disfrutado del soporte económico proporcionado por el

Programa de la UPM de Ayudas para la realización del doctorado en sus departamentos e institutos, de la convocatoria de 2004. También agradezco las ayudas recibidas por

X

otras instituciones, a Hilti y Alejandro Álvarez por el desinteresado suministro de resina para hacer los ensayos, y a Inneo 21 por la fabricación de los tirantes.

Agradezco de forma especial la colaboración de la Biblioteca de la Escuela de

Caminos por su ayuda en la búsqueda de bibliografía, por el cariño recibido de Conchita García y la eficaz labor de todo el equipo de la biblioteca.

Por último, agradezco a todos aquellos que fuera de la Escuela me han ayudado

durante todos estos años, a toda mi familia, y de forma especial a mis padres y hermanos, por haber propiciado siempre el ambiente de estudio necesario para llegar hasta aquí.

A todos ellos, mi más sincero aprecio y reconocimiento.

XI

Notación Mayúsculas latinas A Área, también es empleado como constante genérica Ac Área de hormigón Aeff Área eficaz del hormigón en tracción Ah Área homogeneizada As Área de armadura longitudinal B Constante genérica Co Tensor de constantes elásticas CD Tensor de constantes elásticas dañadas Cf Coeficiente de la curva S-N de Zhang D Parámetro escalar de daño D Tensor de daño Dc, Dt Daño en compresión, daño en tracción Dc, Dt Tensores de daño en compresión y en tracción Drot Daño en el instante de rotura E Módulo de deformación longitudinal del hormigón Eo Módulo de elasticidad (E/Ec)1-2 Módulo de deformación relativo en el instante en que se pasa de la fase 1 a

la 2 en el proceso de fatiga

2.E

Velocidad de reducción del módulo en la segunda fase del proceso de fatiga

Ec Módulo de deformación tangente en el origen del hormigón EN Módulo de elasticidad en el ciclo N Erot Módulo de deformación en el instante de rotura por fatiga Es Módulo de elasticidad del acero F Fuerza Fmax, Fmin Fuerza máxima, fuerza mínima Fu Fuerza última GF Energía de fractura por unidad de superficie G0 Módulo de deformación transversal Hi Función que vale 0 ó 1 Ib Momento de inercia de la sección bruta Ieq Momento de inercia equivalente Ieq,N Momento de inercia equivalente en el ciclo N Ifis Momento de inercia de la sección fisurada Ifis,N Momento de inercia de la sección fisurada en el ciclo N J(N) Función de crecimiento de la deformación por fatiga K Rigidez de la ley de adherencia Ko Daño inicial KI Factor de intensidad de tensiones en modo I KIC Tenacidad de fractura KI,max, KI,min Factor de intensidad de tensiones bajo carga máxima, y bajo carga mínima K(D) Superficie umbral de daño

XII

L Luz, longitud entre dos puntos M Momento flector Mext Momento flector exterior Meq Momento de equilibrio MCP Momento flector producido por la carga permanente Mfis Momento de fisuración Mfis,N Momento de fisuración en el ciclo N Mmax, Mmin Momento máximo, momento mínimo Ms Momento de rotura por interacción de cortante y flexión Mu Momento último N Número de ciclos de carga. También esfuerzo axil Neq Número de ciclos equivalente Next Axil exterior Nf Número de ciclos de carga hasta rotura Nfis Axil de fisuración Nj Número de ciclos de carga acumulados hasta el paso de tiempo j P Carga Pc Carga que produce la formación de una fisura diagonal Pmax, Pmin Carga máxima, carga mínima Ps Carga última por interacción de flexión y cortante Pu Carga última R Relación entre la tensión mínima y la máxima Smax, Smin Tensión relativa máxima, tensión relativa mínima Smax,lim Tensión máxima por debajo de la cual, la velocidad de reducción de la

rigidez en la segunda fase de fatiga es nula Scd,max, Scd,min Tensión de cálculo relativa máxima, tensión de cálculo relativa mínima Smed Tensión relativa media Sn Superficie normal a un vector de referencia Seff

n Superficie eficaz normal a un vector de referencia T Duración de un ciclo de carga, inverso de la frecuencia Us Perímetro de la armadura V Esfuerzo cortante Vc Cortante que forma una fisura diagonal Vmax, Vmin Cortante máximo y mínimo Vu Cortante último Vu2 Cortante de agotamiento por tracción en el alma W Trabajo, energía Wmon Energía en un proceso de carga monótona Wfat Energía en un proceso de fatiga Y(D) Tasa de energía debida al daño Yc, Yt Tasa de energía debida al daño en compresión, y en tracción Minúsculas latinas a Parámetro de evolución de la ley de adherencia bajo cargas repetidas.

Profundidad de la fisura. También luz de cortante a0 Profundidad inicial de la fisura ac Profundidad crítica de la fisura b Ancho c Parámetro de evolución del área eficaz de hormigón en tracción

XIII

d Canto útil e Excentricidad f Frecuencia fc Resistencia a compresión del hormigón fcd Resistencia de cálculo del hormigón fcd,fat Resistencia de cálculo frente a fatiga del hormigón fck Resistencia característica del hormigón fct Resistencia a tracción del hormigón fct,N Resistencia a tracción del hormigón en el ciclo N fy Límite elástico del acero fu Límite último del acero h Altura, canto de la sección k1, k2, k3 Coeficientes de reducción de la ley de adherencia bajo cargas repetidas kN Incremento del deslizamiento de punta de la ley de adherencia reducida con

respecto al monótono m Parámetro de tension-stiffening lt Longitud de transferencia ltm Longitud de transferencia media m Constante de la ley de Paris n Relación entre el módulo de elasticidad de un material y el de otro elegido

como referencia ni Vector normal unitario p Probabilidad r Recubrimiento mecánico de la armadura s Deslizamiento so Deslizamiento correspondiente al primer ciclo s1 Deslizamiento correspondiente a la tensión de adherencia última s2, s3 Deslizamientos relativos correspondientes a los cambios de forma de la ley

de adherencia s1

red Deslizamiento correspondiente a la tensión de adherencia última de la envolvente reducida

smax, smin Deslizamiento relativo bajo carga máxima y mínima sr Separación entre fisuras srm Separación media entre armaduras t Tiempo v Flecha v0 Flecha instantánea vmax, vmin Flecha bajo carga máxima y mínima vN Flecha en el ciclo N w Abertura de fisura w0 Abertura de fisura instantánea wc Abertura de fisura crítica wfis Abertura de una fisura wmax, wmin Abertura de fisura bajo carga máxima y mínima wN Abertura de fisura en el ciclo N ws Abertura de fisura al nivel del centro de gravedad de la armadura x Abscisa xfis Profundidad de la fibra neutra en la sección fisurada xm Profundidad de la fibra neutra en la sección media

XIV

Mayúsculas griegas ∆a Incremento de la profundidad de la fisura ∆KI Oscilación del factor de intensidad de tensiones ∆L Alargamiento ∆Mbloq Momento flector de bloqueo ∆Ni Esfuerzo axil resultante de las tensiones en el bloque i ∆Nbloq Esfuerzo axil de bloqueo ∆Neq Número de ciclos de carga contenidos en un ciclo ficticio en el método de

los ciclos ficticios ∆Nj Incremento del número de ciclos de carga aplicados en el paso de tiempo j ∆Scd Oscilación de tensión relativa de cálculo en el hormigón ∆x Separación entre nodos en el eje x ∆ε Incremento de deformación ∆εbloq Deformación de bloqueo ∆εTOT Deformación total ∆εunbloq Deformación de desbloqueo ∆σ Oscilación de tensión ∆σbloq Tensión de bloqueo ∆σc Oscilación de tensión en el hormigón ∆σRsk Oscilación de tensión en el acero que hace que cambie la pendiente de la

curva S-N ∆σs Oscilación de tensión en la armadura ∆σTOT Tensión total ∆σunbloq Tensión de desbloqueo Φ Diámetro Ψ Curvatura ΨI, ΨII Curvatura de la sección, en estados I y II Ψfis Curvatura en la sección fisurada Ψm Curvatura media Minúsculas griegas α Parámetro de la envolvente reducida en el método de los ciclos ficticios αc, αt Parámetros de ponderación del daño en compresión y en tracción β Parámetro de la envolvente reducida en el método de los ciclos ficticios βcc(t) Coeficiente de ajuste de la resistencia del hormigón en función de la edad βfat Parámetro de división de la deformación por fatiga en componentes de

daño y plasticidad ε Deformación longitudinal ε1-2 Deformación relativa que indica el cambio entre las fases 1 y 2 del proceso

de fatiga

2

.ε Velocidad de deformación en la segunda fase de un proceso de fatiga ε Tensor de deformaciones ε’ Tensor desviador de deformaciones ε~ Deformación equivalente ε0 Deformación inicial

XV

εc Deformación de pico en la ley de comportamiento del hormigón en compresión

εc, εt Tensores de formación en compresión y en tracción εci, εti Componentes de los tensores de deformación en compresión y tracción εct Deformación correspondiente a la resistencia a tracción del hormigón εd Deformación debida al daño εe Tensor de deformaciones elásticas εel Deformación elástica εel,0 Deformación elástica inicial εfat Deformación debida a la fatiga εf,N Incremento de deformación en el ciclo N con respecto a la deformación

estática εfat,p Tensor de deformaciones plásticas debidas a la fatiga εfat,da, εfat,pl Componentes de la deformación por fatiga debidas al daño y a la

plasticidad εin Deformación inelástica εin

i Componentes inelásticas del tensor de deformaciones εlim Deformación en la que cambia la expresión analítica de la ley de

comportamiento del hormigón en compresión εmax, εmin Deformación bajo carga máxima y mínima en un proceso de fatiga εp Tensor de tensiones plásticas εpl

Deformación plástica εrot Deformación de rotura por fatiga εs Deformación en la armadura εsI, εsII Deformación de la armadura en los estados I y II εs,fis Deformación de la armadura en la fisura εsm Deformación media en la armadura γsd Coeficiente de mayoración de acciones λ Constante elástica de Lamé ηc Coeficiente reductor de tensiones para considerar la redistribución según

MC-90 η Tensor desviador de deformaciones ηel Tensor desviador de deformaciones elásticas νo Coeficiente de Poisson ρ Cuantía de armadura longitudinal ρeff Cuantía de armadura respecto del área eficaz del hormigón en tracción ρΨ Energía interna ρΨe Energía de deformación elástica ρΨd Energía de deformación debida al daño ρΨp Energía de deformación plástica σ Tensión normal σ Tensor de tensiones σ+, σ− Partes positiva y negativa del tensor de tensiones σc Tensión en el hormigón σc,fis Tensión del hormigón en la fisura σi Componentes del tensor de tensiones σmax, σmin Tensión máxima, tensión mínima σs Tensión en el acero

XVI

σs,max, σs,min Tensión en la armadura bajo carga máxima y mínima σs,r Tensión de la armadura en sección fisurada bajo el axil de fisuración σs,fis Tensión de la armadura en sección fisurada bajo el axil solicitante τ Tensión tangencial τf Tensión de adherencia friccional τf

red Tensión de adherencia friccional de la envolvente reducida τmax, τmin Tensión de adherencia bajo carga máxima y mínima τres Tensión tangencial residual negativa τu Tensión de adherencia última τu

red Tensión de adherencia última de la envolvente reducida θ Gradiente de tensiones en una sección transversal ξ Parámetro incluido en la ley de comportamiento del hormigón en

compresión del Código Modelo. También parámetro de interpolación de deformaciones

1

Capítulo 1 Introducción 1.1. Motivación

La tendencia a dar una importancia cada vez mayor a todas las acciones que intervienen durante la vida útil completa de las estructuras ha ido en aumento en las últimas décadas dentro de la Ingeniería Estructural. Ello incluye los efectos dependientes del tiempo. La fatiga del hormigón es, por tanto, un tema de interés creciente, ya que es un proceso de continuo y progresivo deterioro.

La creación de estructuras duraderas, con un correcto comportamiento en servicio y

una suficiente seguridad frente al agotamiento, es el objetivo último de la Ingeniería Estructural. Hoy en día existe un gran número de estructuras civiles en uso que fueron construidas hace muchos siglos (Figura 1. 1). Muchas más no han llegado a la actualidad. En el siglo XXI, un adecuado diseño estructural ha de tener en cuenta todas las fases de la vida del elemento, sus procesos de deterioro, y las medidas necesarias para su mantenimiento y rehabilitación, en caso de ser necesaria.

Figura 1. 1. Puente de Besalú (Gerona), construido en los siglos XI - XII

Las cargas repetidas y la sensibilidad a fatiga son uno de los factores a considerar para prever el comportamiento estructural. Desde principios del siglo XX se estudió la fatiga de los metales, teniendo en las denominadas curvas S-N su resultado más difundido [Paris P. y Erdogan F., 1963]. Estas curvas proporcionan el número de ciclos de carga que resiste un elemento estructural en función de los límites entre los que oscila la tensión. Los estudios relativos al hormigón son más recientes, y muestran un comportamiento frente a fatiga muy diferente al de los metales [Bennett E.W. y Raju N.K., 1969]. En el hormigón se desarrolla un proceso de progresiva microfisuración que hace que las propiedades mecánicas del material se vayan dañando, con carácter irreversible en una fracción importante.

Análisis seccional de elementos de hormigón armado sometidos a fatiga, incluyendo secciones entre fisuras

2

A pesar de su naturaleza diferente como material, las metodologías más extendidas

para la evaluación del hormigón frente a fatiga están basadas en la filosofía de las curvas S-N. La gran dispersión de sus resultados y la incapacidad de dar información en cuanto a deformaciones son grandes desventajas que muestran la insuficiencia de estos modelos.

El efecto que la fatiga del hormigón tiene en elementos de hormigón estructural

muestra resultados interesantes para analizar. Los trabajos experimentales existentes muestran que, incluso ante cargas elevadas en las que la fatiga del hormigón podría ser previsible empleando metodologías del tipo S-N, el fallo típico es debido a la rotura frágil de las armaduras por fatiga. La explicación a este hecho es la gran capacidad redistributiva del hormigón, sobre la que algunos autores han trabajado [Pfanner D., 2002]. No obstante, aunque se evite el fallo por fatiga del hormigón, existe un apreciable incremento de la deformabilidad del elemento estructural, mostrado por el incremento de flechas y fisuras. Este crecimiento es experimentado tanto bajo carga máxima como mínima, lo que indica la irreversibilidad del deterioro. Las losas de tableros de puentes en sentido transversal [Schläfli M. y Brühwiler E., 1998], las losas de transición entre estribo y terraplén en puentes [Pacheco J.A., 2006] o las estructuras marinas [Lenschow R.J., 1985] son componentes de hormigón armado sometidos a cargas repetidas en los que han sido descritos problemas de fatiga. La evaluación de la seguridad de otros elementos ante incrementos de las cargas con respecto a las cuales fueron proyectadas es otro campo de interés donde la fatiga puede ser un aspecto sensible.

La presente Tesis Doctoral tiene como objetivo el desarrollo de una metodología de

cálculo que permita estudiar el proceso que sufren las estructuras de hormigón armado trabajando a flexión bajo cargas repetidas. Se trata de un análisis completo de la vida a fatiga, no sólo dirigido al instante de rotura, que permita obtener la evolución de deformaciones y tensiones, flechas y fisuras, durante la vida de un elemento. La explicación del tipo de fallo por fatiga es una consecuencia de la evolución sufrida por el elemento en cuestión.

El Laboratorio de Estructuras de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de

Caminos, Canales y Puertos de Madrid ha venido trabajando sobre la influencia de las cargas repetidas en elementos armados desde los últimos 10 años. A través de diferentes proyectos de investigación, principalmente experimentales, se ha estudiado el proceso sufrido por diversos elementos armados. El más importante fue el trabajo monográfico dedicado a las losas de transición en puentes de carretera [Pacheco J.A., 2006]. Este estudio mostró la importancia de la fatiga, tanto en rotura como en servicio, a través del incremento de la deformabilidad bajo cargas máxima y mínima y la rotura final por fallo frágil de las armaduras.

En base a todo ello, el desarrollo de una metodología adecuada para considerar la

fatiga del hormigón en elementos estructurales es requerido, y es el hilo conductor de esta Tesis Doctoral.

Capítulo 1. Introducción _

3

1.2. Objetivos

El tema abordado en esta Tesis es la influencia de la fatiga del hormigón en elementos de hormigón estructural. Los objetivos previstos, de una forma más precisa, son los siguientes:

• Revisión de los trabajos existentes sobre el problema de la fatiga en

elementos de hormigón armado, mostrando los puntos débiles y las ventajas aprovechables en el objetivo global de la modelización de este fenómeno.

• Desarrollo de un modelo que tenga en cuenta la fatiga del hormigón en

compresión en función del número de ciclos de carga, la calidad del material y los niveles de la tensión. Este modelo debe reproducir la evolución de las propiedades estáticas del material durante el proceso cíclico.

• Desarrollo de una metodología de cálculo que permita incluir el efecto de la

fatiga del hormigón en el conjunto hormigón – acero. Para ello se ha elegido una estrategia seccional al nivel de la sección fisurada. Dado que en el proceso de fatiga del hormigón los límites de la tensión son variables, se ha introducido un criterio que permita tener en cuenta la acumulación de la degradación con el tiempo. Este criterio supera los problemas de emplear otros como el de Palmgren – Miner, que son inadecuados para el hormigón.

• Estudio de la influencia de las cargas repetidas en el bloque traccionado de

hormigón armado. Para ello se ha desarrollado una metodología que emplea relaciones tensión de adherencia – deslizamiento, ya que se demuestra que la evolución de la calidad de la adherencia es la responsable de la deformabilidad del tirante armado. De esta manera se estudia el tramo del hormigón entre fisuras, su colaboración en tracción (efecto tension-stiffening) y la evolución de las fisuras. Mediante el acoplamiento de la influencia de la degradación de los bloques comprimido y traccionado, se está en condiciones de estudiar el desarrollo de flechas y fisuras en elementos estructurales sometidos a cargas repetidas.

• Comparación entre la investigación teórica y los resultados experimentales

existentes en la literatura, así como los propios que se presentan en esta Tesis. Se han llevado a cabo dos campañas experimentales, una sobre tirantes de hormigón armado y otra sobre vigas armadas, ambas con carga repetida.

• Análisis de diversos casos por medio de la metodología desarrollada, de

manera que se hacen recomendaciones y propuestas de tipo práctico en las que se evalúa la sensibilidad de elementos armados frente a fatiga.

• Exposición de las conclusiones alcanzadas y definición de las líneas de

investigación abiertas para el futuro.


4

1.3. Metodología y organización de la Tesis

La metodología empleada en esta Tesis y su relación con los diferentes capítulos sigue el esquema mostrado en la Figura 1. 2. La Tesis está dividida en ocho capítulos, en los que se van tratando los aspectos indicados en esta figura en niveles ascendentes (material, seccional y estructural).

Después de un análisis de las necesidades y las potencialidades aportadas por los

trabajos disponibles en la literatura, estado del arte del Capítulo 2, se entra de lleno en la modelización del problema que ocupa el cuadrado central de la Figura 1. 2.

En primer lugar, se trata el nivel de estudio del material. El Capítulo 2 presenta el

modelo para el hormigón en compresión bajo fatiga desarrollado en la Tesis. Se trata de un modelo dependiente del tiempo, en el que se tiene en cuenta la evolución de las propiedades mecánicas del material.

Después se pasa al nivel local de la sección. También es en el Capítulo 2 donde se

introduce el algoritmo seccional. En él se aplica al nivel de la sección fisurada el modelo del hormigón y la influencia de la presencia de las armaduras, acoplándolo por medio de las condiciones de compatibilidad y equilibrio.

Estado del arte

Comportamiento del hormigón

Adherencia hormigón - acero

Análisis seccional (tensiones y deformaciones)

Vigas y columnas Tirantes

Ensayos

Recomendaciones prácticas

Conclusiones einvestigación futura

MATERIAL

SECCIÓN

ESTRUCTURA

Nivel de estudio

Figura 1. 2. Esquema de la Tesis Doctoral

Para dar el salto al nivel estructural, es necesario introducir antes la influencia del bloque traccionado. Para ello, en el Capítulo 4 se desarrolla el estudio del tirante de hormigón armado. La adherencia entre el hormigón en tracción y la armadura es estrictamente un estudio a nivel material, y la aplicación en el tirante armado ya entra en el nivel estructural. El análisis del tirante del Capítulo 4 permite obtener la evolución de las variables que inciden en el bloque traccionado.

El salto definitivo al nivel estructural se da en el Capítulo 5. En él se realiza el

acoplamiento de la evolución de los bloques traccionado y comprimido, que interaccionan en los elementos armados que trabajan a flexión. El resultado es la

Capítulo 1. Introducción _

5

obtención de las flechas y la abertura de fisuras de elementos estructurales, como vigas y columnas.

En el Capítulo 6 se refleja la campaña experimental sobre vigas de hormigón

armado sometidas ha fatiga que se ha llevado a cabo. Ello permite profundizar en algunos detalles, como la fase de rotura de una viga, o la respuesta de ésta cuando algunos componentes empiezan a fallar: presencia de barras de la armadura rotas o de daños del hormigón apreciables.

El Capítulo 7 presenta una serie de diagramas obtenidos empleando la metodología

desarrollada en la Tesis a casos generales. Para diferentes tipologías de elementos de hormigón armado, se muestran recomendaciones prácticas para prever los efectos de la fatiga de una manera predictiva y sencilla, que incluyen el modo de fallo por fatiga (si es debido al hormigón o a la armadura) y el número de ciclos hasta rotura en función del nivel de carga y la cuantía de armadura, e información acerca de la ductilidad o fragilidad del fallo.

Finalmente, el Capítulo 8 expone las conclusiones alcanzadas en la Tesis Doctoral y

las líneas de investigación que quedan abiertas para futuros trabajos.


6

7

Capítulo 2 La fatiga del hormigón: planteamiento del problema 2.1. Introducción

Este Capítulo analiza el estado actual del conocimiento relativo a la fatiga del hormigón como material y su influencia en el comportamiento de elementos estructurales de hormigón armado. Se estudian las principales variables afectadas y las limitaciones que presentan las investigaciones existentes, las cuales se intentan resolver en esta Tesis. En la Figura 2. 1 se representa la posición de este Capítulo dentro del esquema global de la Tesis.

Estado del arte





Ensayos



MATERIAL

SECCIÓN

ESTRUCTURA

Nivel de estudio

Figura 2. 1. Esquema general de la Tesis. En negrita la parte correspondiente al Capítulo 2

En el apartado 2.2 se presentan algunas definiciones y aclaraciones generales sobre la fatiga, y se introducen las particularidades que hacen que el comportamiento del hormigón sea sensiblemente diferente al de otros materiales como los metales.

En el apartado 2.3 se hace una revisión del comportamiento en fatiga del hormigón

como material. Se pone especial énfasis en las características mecánicas que se ven modificadas por el efecto de las cargas repetidas, como el aumento de las deformaciones y la reducción de la rigidez. También se analiza la influencia de la excentricidad de la carga.

_ Análisis seccional de elementos de hormigón armado sometidos a fatiga, incluyendo secciones entre fisuras

8

Como continuación, el apartado 2.4 estudia la influencia de la fatiga en elementos

de hormigón armado. En la respuesta de estos elementos tienen lugar conjuntamente los efectos de la fatiga del hormigón y de las armaduras. Se comprueba cómo la gran capacidad redistributiva del hormigón evita en muchos casos la fatiga de este material en compresión, a la vez que crece la deformabilidad del elemento, flechas y fisuras.

En el apartado 2.5 se revisan los modelos teóricos disponibles en la literatura que

abordan la fatiga del hormigón, discutiendo sus ventajas y limitaciones. El apartado 2.6 introduce el efecto de las cargas repetidas en la adherencia entre el hormigón y las armaduras.

Finalmente, en el apartado 2.7 se discuten las conclusiones alcanzadas en el

Capítulo. Se plantean los problemas encontrados, hacia cuya resolución se dirigen los capítulos posteriores. 2.2. Generalidades de la fatiga 2.2.1. Definiciones

La fatiga consiste en el fallo de un elemento estructural por la acción de una carga

repetida de valor inferior a la carga teórica de colapso de esa pieza. Esta definición habitual del término de la fatiga pone de relieve cómo un material puede alcanzar la rotura estando sometido a una acción menor a la cual resiste de forma estática, si ésta se aplica de forma repetida.

Desde comienzos del siglo XX existe preocupación acerca de la fatiga en estructuras

de ingeniería civil, especialmente metálicas. La fatiga es un proceso de progresivo daño interno del material que produce el crecimiento de fisuras subcríticas. En todos los elementos estructurales existe algún defecto, por muy pequeño que sea, que puede ser debido a algún accidente, a la fase constructiva u otro cualquiera. Estos defectos o fisuras tienen una influencia despreciable en el cálculo estructural, y están muy lejos del conocido como defecto crítico, que es el que produce la rotura. Es por ello que a estos defectos se les llama fisuras subcríticas. Sin embargo, el proceso de cargas repetidas produce el crecimiento de estas fisuras, de manera que se puede alcanzar la rotura tras un número elevado de ciclos de carga.

La Figura 2. 2 representa un elemento estructural que está sometido a una fuerza

cíclica que oscila entre los valores Fmax y Fmin, siendo Fmax menor que la fuerza teórica de rotura, Fu. En esta estructura existe una fisura de profundidad inicial a0. A medida que aumenta el número de ciclos de carga, la fisura crece (a = a0 + ∆a) hasta que la profundidad alcanza el valor de la fisura crítica, ac, con lo que se produce la rotura inducida por fatiga.

Capítulo 2. La fatiga del hormigón: planteamiento del problema _

9

Figura 2. 2. Esquema de un cuerpo sometido a una carga cíclica

Tradicionalmente es la Mecánica de la Fractura el ámbito de estudio de la fatiga. Es en este campo donde primero surgió el concepto de las curvas S-N, o de Wöhler. Esta colección de curvas, obtenidas de forma experimental, permite prever el número de ciclos de carga antes de rotura a partir de la oscilación de tensiones al que está sometido un punto, ∆σ = σmax – σmin. La Figura 2. 3 muestra la forma típica de las curvas S-N.

Figura 2. 3. Forma de las curvas S-N

Una forma alternativa de presentar las curvas S-N es mediante los llamados diagramas de Goodman. Como se dibuja en la Figura 2. 4, un diagrama de Goodman expresa los límites tensionales que se pueden aplicar para resistir un determinado número de ciclos.

Figura 2. 4. Diagrama de Goodman para N = 106 ciclos

2.2.2. Aproximación a la fatiga por medio de la Mecánica de la Fractura

Debido a que es la Mecánica de la Fractura el campo tradicional que estudia el fenómeno de la fatiga, se considera útil aquí hacer una introducción siguiendo sus formalismos. En diversos capítulos de la Tesis se hace referencia a ello, y permite en este momento extraer algunas conclusiones aclaratorias.

max

σmin

N = 106


10

En la Figura 2. 5 se considera el detalle de una grieta producida por tracción en una estructura. En la punta de la grieta se produce una acumulación de tensiones que, en régimen elástico y lineal, tienden a infinito. Es por ello que las tensiones no son una variable adecuada para estudiar el estado tensional en la punta de la grieta o establecer un criterio de rotura, y se recurre al factor de intensidad de tensiones. El factor de intensidad de tensiones representa el estado tensional en la punta de la grieta, y se obtiene a partir del primer término del desarrollo en serie de la ley de tensiones en la misma [Elices M., 1998].

Figura 2. 5. Concentración de tensiones en la punta de la grieta

El factor de intensidad de tensiones, KI, tiene la siguiente expresión general: ( )aYaKI πσ= (2. 1)

En la ecuación (2. 1) σ es una tensión relacionada con la solicitación, a es la profundidad de la grieta, e Y(a) es una función dependiente de la geometría. Aunque en la punta de la grieta siempre existe una zona plastificada, en el ámbito de la Mecánica de la Fractura Elástica y Lineal (MFEL), esta zona es tan pequeña que despreciarla no supone un error importante.

El criterio de rotura es que ésta se produce cuando el factor de intensidad de

tensiones alcanza un valor crítico, la tenacidad de fractura, KIC. En MFEL, este criterio es equivalente al habitual de igualar la tensión al límite elástico. La ecuación (2. 2) expresa el criterio de rotura:

ICI KK = (2. 2)

Para el estudio del crecimiento de grietas por fatiga en régimen elástico y lineal se utiliza la ley de Paris [Paris P. y Erdogan F., 1963], que se escribe en la ecuación (2. 3). Según ella, la velocidad de crecimiento de la grieta depende de la oscilación del factor de intensidad de tensiones, ∆KI = KImax – KImin, y de los parámetros A y m. Estos parámetros dependen del material, y en [Elices M., 1998] se pueden encontrar valores particulares.

( )mIKA

dNda

∆= (2. 3)

En el caso de una pieza sometida a una oscilación de tensiones constante ∆σ, la ley de Paris puede integrarse de forma sencilla. Primero se introduce la expresión del factor de intensidad de tensiones de (2. 1) en (2. 3):

( )[ ] ( ) mmmmmYaAaYaA

dNda 2/2/πσπσ ∆=∆= (2. 4)

Si se integra esta ecuación se puede obtener el número de ciclos de rotura por fatiga (ecuaciones (2. 5) y (2. 6)). Los límites de integración de la grieta son la profundidad inicial, a0, y la profundidad crítica, ac (que se obtiene directamente de la ecuación (2. 2) aceptando que se alcanza la rotura frágil cuando el factor de intensidad de tensiones vale KIC).


11

( ) ∫∫ ∆=fc N

mma

amm dNA

Yada

0

2/2/

0

σπ (2. 5)

( ) ∫∆=

ca

ammmmf Ya

daA

N0

2/2/

1σπ

(2. 6)

Si en la ecuación anterior se hace la simplificación de que Y no depende de a, y que la fisura final es mucho mayor que la inicial (ac >> a0), el número de ciclos hasta rotura adquiere una expresión simplificada muy útil para comprender algunas sensibilidades:

( ) ( )mmmmf AYamN

σπ ∆−= −

112/

12/12/

0

(2. 7)

La ecuación (2. 7) proporciona el número de ciclos hasta rotura para una determinada oscilación de tensiones, es decir, es una curva de Wöhler. Claramente se observa que la expresión (2. 7) es en logaritmos la ecuación de una recta de pendiente 1/m, que recuerda a las curvas S-N de los metales.

En general, se puede concluir que la fatiga depende fundamentalmente de las

siguientes variables:

• La oscilación de tensiones, comprobándose a través de las curvas S-N que el número de ciclos resistentes hasta rotura disminuye drásticamente cuando esta oscilación de tensiones aumenta.

• En elementos de comportamiento no lineal como el hormigón, influye

además el nivel máximo de la tensión, difiriendo de la respuesta clásica de los metales expuesta hasta ahora, ya que ante igual amplitud de tensiones, es más desfavorable que los límites de oscilación sean mayores.

• La geometría de la pieza, en la cual se engloban las características del

defecto inicial que crece a medida que aumenta el número de ciclos de carga. La dependencia de la geometría hace que una dificultad importante de las curvas S-N es que existe una diferente para cada detalle estructural.

• El comportamiento del material, ya que es distinta la acumulación del daño

en un material como el acero, en el que buena parte de su respuesta se encuentra en el rango elástico y lineal, que un material fuertemente no lineal como el hormigón.

• El fallo por fatiga de los materiales que cumplen los requisitos de MFEL

(metales) es frágil, con la dificultad de aviso previa que ello conlleva. Todas estas conclusiones hacen necesario un complemento teórico a la obtención de

curvas S-N de forma meramente experimental.

2.2.3. El proceso de fatiga del hormigón. Conceptos previos

La respuesta del hormigón frente a las cargas repetidas es diferente a lo explicado en el apartado 2.2.2, en parte debido a que ya el comportamiento bajo carga monótona es fundamentalmente distinto. El comportamiento mecánico del hormigón es complejo,


12

fuertemente no lineal, y caracterizado por grandes diferencias entre el trabajo a compresión y a tracción [Neville, A. M., 1995].

Aunque en el Capítulo 4 se efectúa un estudio más detallado del comportamiento del

hormigón en tracción, aquí se hace una pequeña introducción necesaria para el estudio del comportamiento en compresión. El trabajo del hormigón en tracción está dominado por la fisuración. En general, el valor de las tensiones de tracción que es capaz de soportar el hormigón es bastante bajo. Al ensayar una probeta sometida a un alargamiento creciente de forma monótona ∆L, se observa que la fuerza necesaria para ello sigue dos fases (Figura 2. 6): en la primera, la tensión (fuerza por unidad de superficie) es creciente hasta que se alcanza la resistencia a tracción fct; después de ella se produce un ablandamiento en las tensiones hasta que la probeta finalmente se parte en dos.

Figura 2. 6. Probeta de hormigón sometida a un alargamiento creciente

La fisura se origina en el punto más débil de la probeta, ya que la heterogeneidad del material hace que la resistencia de cada sección sea distinta. En el Capítulo 4 se profundiza en la respuesta a tracción del hormigón, incluyendo los conceptos de localización y ablandamiento que hacen que las curvas σ – ∆L sean dependientes de la base de medida, pero el esquema de la Figura 2. 6 ya indica que es un material que no cumple el criterio de plastificación a pequeña escala, necesario para seguir la teoría clásica de MFEL. Por la forma de la zona en proceso de fractura, al hormigón se le ha llamado un material cuasifrágil [Bazant Z.P. y Planas J., 1998].

elástico-lineal

ablandamientoendurecimientono lineal

σ σ

endurecimientono linealablandamiento

elástico-lineal elástico-lineal

ablandamientoendurecimientono lineal

σ

MATERIALES FRÁGILES MATERIALES DÚCTILES MATERIALES CUASIFRÁGILES

Figura 2. 7. Tipos de materiales en función de la zona en proceso de fractura, caracterizada por la distribución de tensiones desde la punta de la grieta

La Figura 2. 7 esquematiza los diferentes tipos de material en cuanto a la zona en proceso de fractura. Los materiales cuasifrágiles se caracterizan por una pequeña zona plástica, igual que los materiales frágiles, pero una gran zona total en proceso de

∆L

σ

fct

wc

GF

F

F

L

FA =


13

fractura con tensiones de ablandamiento. En consecuencia, el estudio de la propagación de grietas por fatiga no puede hacerse según las hipótesis de MFEL, apartado 2.2.2.

Figura 2. 8. Respuesta tensión – deformación del hormigón en compresión

La respuesta macroscópica (diagrama tensión - deformación) de una probeta de hormigón sometida a un acortamiento creciente de forma monótona (Figura 2. 8) es una consecuencia de la evolución del material en el micro-nivel. La progresiva microfisuración se debe a concentraciones de tensiones de tracción debidas a la propia heterogeneidad del material, formado por partículas de árido embebidas en una matriz de cemento. La aparición de microgrietas en la dirección perpendicular a la principal de compresión, en la que es cargada la probeta, puede ser debido a [Bazant Z.P. y Planas J., 1998] (Figura 2. 9):

• Existencia de poros con microfisuras (Figura 2. 9a). • Diferencias de rigidez entre las partículas de árido y la pasta de cemento

(Figura 2. 9b).

• Pérdidas de contacto en la interfase árido – pasta (Figura 2. 9c).

• Zonas de deslizamiento en la propia pasta de cemento (Figura 2. 9d).

[Bennett E.W. y Raju N.K., 1969] realizaron en su trabajo un análisis de la distribución de tensiones alrededor de una inclusión rígida y de un poro en una pasta con comportamiento elástico (casos a y c de la Figura 2. 9). Los resultados mostraron la aparición local de altas tensiones de tracción transversales al campo de compresiones causado por la carga externa, lo que indicaría la formación de microfisuras.

Estas microfisuras se van uniendo a medida que aumenta la carga aplicada, hasta

que se alcanza la resistencia a compresión, fc (Figura 2. 8). En caso de que la solicitación sea una deformación impuesta, aparece una rama de ablandamiento que indica la unión de microfisuras en una macrofisura que causa la rotura. La capacidad de ablandamiento del hormigón es muy dependiente del confinamiento del material, que controla la evolución de las microfisuras [Mier J.G.M. van, 1984], [Soliman M.T.M. y Yu C.W., 1967]. La influencia del tamaño de la probeta en la rama de ablandamiento también produce que la respuesta sea más frágil cuanto mayor sea la probeta.

Unión de micro-fisuras con defectosde la matriz

Formación demicrofisuras

Estado inicial:material compacto

Formación de su-perficies de rotura

f c

cε ε

σ


14

Figura 2. 9. Diversos mecanismos de microfisuración del hormigón, Bennett y Raju (1969)

El efecto de las cargas repetidas es el progresivo incremento de la microfisuración en el hormigón. Diferentes estudios de la evolución de las deformaciones, exámenes microscópicos o toma de medidas ultrasónicas han mostrado que la propagación interna de microgrietas se correlaciona con el cambio en el comportamiento macroscópico de la probeta de hormigón. Los trabajos de [Bennett E.W. y Raju N.K., 1969], [Shah S.P. y Chandra S., 1970] así lo confirman.

Globalmente, las probetas sufren una expansión volumétrica tras una fase inicial de

disminución (consolidación). Además, en la última fase de la vida de la probeta, el crecimiento de volumen se acelera. Analizando las deformaciones, se observa que la deformación longitudinal crece durante todo el ensayo. Igualmente lo hace la deformación transversal, que además muestra un incremento muy importante en la segunda fase del ensayo, causando el incremento de volumen de la probeta. En la Figura 2. 10 se muestra un ejemplo.

También en esta figura se representa comparativamente la respuesta de una probeta

de hormigón con otra hecha sólo con la pasta de cemento. La deformación longitudinal de compresión es comparable, pero la probeta de cemento se consolida durante todo el ensayo, lo que se constata también a través de la evolución de la deformación transversal y especialmente en la última fase del ensayo. La clara diferencia en el comportamiento transversal revela que la presencia de áridos es la aceleradora de la microfisuración. El estudio de Bennett y Raju afirma además que, en hormigones normales, las grietas en la adherencia árido – pasta son las más importantes.

(a) (b)

(d)(c)


15

Figura 2. 10. Evolución de deformaciones en un proceso cíclico (probetas de hormigón y cemento) en

función del número de ciclos N relativo a la vida a fatiga Nf, Shah y Chandra (1970)

Como conclusión a estos estudios generales, se puede afirmar:

• El comportamiento del hormigón bajo cargas repetidas conlleva una progresiva microfisuración interna debida a la concentración de tracciones en la dirección perpendicular a la principal de compresión. Además, las grietas iniciales se forman mayoritariamente en la interfase árido – pasta.

• El fallo por fatiga del hormigón es menos frágil que el que sucede bajo la

actuación de una carga monótona, y completamente diferente al de la fatiga de los metales. Es muy importante durante el proceso el crecimiento de la deformación total y remanente.

• Existe una fase final en la vida del hormigón a fatiga en la que el crecimiento

de la deformación aumenta muy rápidamente hasta producirse el fallo.

• La naturaleza de compuesto del hormigón juega un papel relevante en el comportamiento bajo carga repetida, ya que se ha visto la diferencia con la respuesta dada por probetas de pasta de cemento, que reflejan diferentes mecanismos de microfisuración.


16

2.3. Fatiga del hormigón en compresión 2.3.1. Comportamiento bajo una carga de compresión centrada de amplitud

constante

Una gran cantidad de investigaciones experimentales han estudiado el comportamiento del hormigón bajo fatiga en compresión. La mayoría de ellas han tenido como objetivo la obtención del número de ciclos hasta rotura, las conocidas curvas S-N. La conclusión general de que el factor influyente más importante es el nivel máximo de la tensión [CEB, 1988] se observa en la Figura 2. 11, [Holmen J.O., 1979]. La forma habitual de representar las curvas en el hormigón es tensión relativa máxima (Smax = σmax/fc) frente a número de ciclos, dibujando gráficas distintas para diferentes valores de la tensión mínima (Smin = σmin/fc).

Holmen, 1979

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

Número de ciclos, log N

Tens

ión

máx

ima,

Sm

ax

Smin = 0.05

Figura 2. 11. Resultados medios de los ensayos de Holmen (1979), que muestran la forma típica de las

curvas S-N del hormigón: tensión máxima frente a número de ciclos fijando la tensión mínima

Distintos autores han estudiado la influencia de otros parámetros como la frecuencia de la carga, la relación entre tensiones R = σmin / σmax, etc. Un análisis de la sensibilidad de las diferentes propuestas se hace en el apartado 3.4.5.1. En las revisiones del problema hechas por [CEB, 1988], [RILEM Committee 36-RDL, 1984] se concluye que la influencia de la frecuencia de la carga es pequeña para valores entre 1 y 15 Hz y tensión máxima menor que 0.75fc. Con tensiones más altas, la resistencia a fatiga disminuye al bajar la frecuencia.

Variables tales como la relación agua/cemento, el contenido de cemento, las

condiciones de curado o la resistencia del hormigón no influyen mientras las tensiones se expresen por su valor relativo a la resistencia [Petkovic G. et al., 1990], [Zhang B. et al., 1997].

FATIGA DE CICLO BAJO FATIGA DE CICLO ALTO FATIGA DE CICLO SÚPER ALTO

0 10 10 10 10 101010105x10

5x101 2 43 7 865

7

8

Número de ciclos

Estructuras sometidas

a terremotos

Pavimentos de aeropuertos y

puentes

Puentes de autopis-

ta y ferrocarril,

pavimentos de auto-

pistas

Estru

ctur

as so

met

idas

a tr

áfic

o m

asiv

o

Estru

ctur

as m

arin

as

Tabla 2. 1. Clasificación del tipo de carga en función del número de ciclos


17

La formulación más ampliamente difundida es la de [Hsu T.T.C., 1981]. En ella se distingue una expresión diferente para fatiga de ciclo alto y de ciclo bajo1. Además se incluye la influencia de la frecuencia a través de la duración de un ciclo de carga (T = 1/f):

( ) TNRS f log0294.0log556.010662.01max −−−= ; 1000>fN (2. 8)

( ) ( ) TRNRRS f log445.010530.0log779.01133.02.02.1max −−−−−= ; 1000<fN

(2. 9)

La Figura 2. 12 representa las curvas S-N de Hsu. Un problema de las curvas S-N es definir el rango de aplicación de las mismas, ya que tienen importantes limitaciones. El propio Hsu establece algunas para su propuesta: la resistencia del hormigón debe ser menor de 55 MPa, R debe estar entre 0 y 12, y la más interesante: su uso es desaconsejado para Nf > 2 x 107.

Hsu, 1981(f = 5 Hz)

Valores de R:

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

Smax

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

Figura 2. 12. Curvas S-N de Hsu (1981), para diferentes valores de R

La gran dispersión que aparece en los trabajos experimentales es la principal dificultad para sacar conclusiones. Además, la dispersión aumenta a medida que disminuye el nivel máximo de la tensión aplicada, especialmente bajo 0.65fc. Esto incluye el rango habitual de trabajo de las estructuras reales.

Fijándose en la aplicación estructural, las curvas S-N no incluyen información

deformacional, y únicamente están dirigidas al instante de rotura, sin reparar en la física del proceso. El análisis de la evolución del material durante su vida a fatiga muestra resultados muy interesantes. En la Figura 2. 13 se muestra la respuesta típica de una probeta en el plano tensión – deformación. Claramente se observa que la respuesta macroscópica a la progresiva microfisuración del material (explicada en el apartado 2.2.3) viene gobernada por dos aspectos: el crecimiento de la deformación y la reducción de la rigidez.

1 Habitualmente se denomina fatiga de bajo ciclo a la carga repetida de amplitud elevada y rotura con bajo número de ciclos. Incluso la carga puede ser reversible (cambio de signo) y es típica de acciones sísmicas. En cambio, se llama fatiga de alto ciclo a la carga repetida de amplitud moderada y elevado número de ciclos. Es a lo que en general se denomina propiamente fatiga, y es característica de estructuras sometidas a la acción del tráfico o al oleaje. En la Tabla 2. 1 se reproduce la clasificación de [Hsu T.T.C., 1981]. 2 Esto hace referencia a que no se pueden aplicar para procesos de tensiones reversibles tracción – compresión.


18

Figura 2. 13. Evolución del hormigón durante la vida a fatiga bajo compresión centrada de amplitud

constante, Bennett y Raju (1969)

[Mehmel A. y Kern E., 1962] estudiaron la evolución que sufren las curvas tensión – deformación durante la vida a fatiga. Comprobaron que la rama de carga experimenta un cambio en su forma: pasa de estar curvada hacia el eje de deformaciones a orientarse hacia el eje de tensiones. Además, la zona alta de esta curva (próxima a σmax / fc) se rigidiza durante la vida a fatiga, mientras que la parte baja (próxima a tensión nula) sufre una progresiva flexibilización. Sin embargo, la rama de descarga permanece siempre con la misma orientación, hacia el eje de tensiones, acercándose mucho más a una recta.

Las deformaciones totales y remanentes crecen durante toda la vida a fatiga.

Llevada a un gráfico frente al número de ciclos (Figura 2. 14), la deformación sigue tres fases diferentes reflejando los cambios internos del material [Shah S.P. y Chandra S., 1970].

Figura 2. 14. Crecimiento de la deformación por fatiga, según ensayos de Holmen (1979)

En la primera fase de crecimiento de la deformación ésta crece a una velocidad elevada pero decreciente, debido a la formación de microgrietas y al deterioro de la adherencia entre pasta y áridos. La segunda etapa, que es la dominante, se caracteriza por una velocidad de deformación constante por el crecimiento estable de las


19

microfisuras. Finalmente, la deformación crece muy rápido hasta rotura, cuando las microgrietas conforman una macrogrieta.

Generalmente se acepta que la transición entre las fases primera y segunda tiene

lugar entre el 10 y el 20% de la vida a fatiga, mientras que la tercera etapa comienza alrededor del 80% de Nf (ver [Holmen J.O., 1979], por ejemplo). También se observa que la velocidad de crecimiento de la deformación durante la segunda fase es decreciente con la tensión máxima.

Igual que en el estudio de la deformación, es el trabajo de Holmen el que se puede

utilizar de referencia para evaluar la evolución del módulo de deformación. La Figura 2. 15 representa la reducción del módulo secante en descarga durante la vida a fatiga. La división en tres fases recuerda al crecimiento de la deformación. La velocidad de reducción constante en la segunda fase es dependiente del nivel de tensión al que se ve sometida la probeta.

Holmen, 1979 (Smin = 0.05)

Smax:

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0N/Nf

E / E

o

0.950.900.8250.750.675

Figura 2. 15. Evolución del módulo de deformación, según ensayos de Holmen (1979)

La dispersión de los resultados en cuanto a deformación y módulo, igual que en caso de las curvas S-N, también es importante a medida que la tensión máxima disminuye, y que, por tanto, la duración del ensayo aumenta. Otra limitación es la falta de resultados concluyentes con las tensiones más reducidas en las que habitualmente trabaja el hormigón. Muchos ensayos en este rango tensional (0.30 – 0.45fc) fueron parados en la segunda fase después de un número elevado de ciclos, sin proporcionar información sobre la etapa de fallo, [Aas-Jakobsen K., 1970].

Todavía no existe una descripción completa del proceso de fatiga del hormigón a

través de las variables tensión – deformación del material. En la modelización y el estudio de sensibilidad que se realiza en el apartado 3.4 se propone una metodología para ello. 2.3.2. El efecto del gradiente de tensiones

Del conjunto de estudios existentes sobre la fatiga del hormigón, un pequeño número de ellos incluyen ensayos bajo carga excéntrica. En éstos se muestra un incremento del número total de ciclos de rotura. [Ople F.S. y Hulsbos C.L., 1966] ensayaron a fatiga probetas de hormigón en tres grupos de ensayos con diferente excentricidad de la carga (e/h = 0, 1/18 y 1/6). El número de ciclos resistentes es mayor


20

a medida que aumenta la excentricidad, manteniendo constante la tensión en la fibra más solicitada (Figura 2. 16).

Ople y Hulsbos, 1966

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07N

Smax

e / h = 0e / h = 1/18e / h = 1/6

Figura 2. 16. Resultados de Ople y Hulsbos (1966). En ordenadas se representa la tensión en la cara más

solicitada de la sección transversal. En todos los ensayos: Smin = 0.10, fc = 38.6 MPa

Este aumento de la seguridad en cuanto al número de ciclos también fue observado por [Dillmann R.R., 1981], quien además realizó un estudio para explicar el resultado. Debido a la inherente dispersión del problema, el trabajo experimental incluyó un considerable número de ensayos para evitar tomar conclusiones equivocadas.

Dos series de ensayos fueron realizadas, con niveles de carga máxima con relación a

la de rotura, Pmax/Pu, de 0.785 y 0.884. En ambas se mantuvo la excentricidad de la carga en e/h = 1/6 y la fuerza mínima en 0.216Pu. La Figura 2. 17 muestra algunos resultados.

La deformación medida en diferentes fibras de la sección desarrolla las tres fases

características del proceso de fatiga, existiendo una apreciable dispersión de resultados (Figura 2. 17c). Además, se produce una progresiva reducción de la posición de la fibra neutra. La explicación al incremento de la resistencia a fatiga la justifica Dillmann por medio de una redistribución de tensiones. Para ello, desarrolló una segunda campaña experimental de ensayos con deformación impuesta centrada. En ellos midió la tensión necesaria para reproducir la evolución de deformaciones obtenida en los primeros ensayos, y la impuso numéricamente para, cumpliendo compatibilidad y equilibrio, concluir en una distribución de tensiones en la sección.

El proceso redistributivo resultante (Figura 2. 17d) muestra que las fibras que

inicialmente estaban más solicitadas se degradan por la carga repetida, pasando sus tensiones a fibras interiores de hormigón menos dañadas. La transferencia de tensiones dentro de la sección consigue la reducción de la tensión máxima de trabajo y el aumento del número de ciclos que resisten estas fibras. En consecuencia, es la capacidad de redistribución de tensiones del hormigón, en presencia de gradiente, la que aumenta la vida a fatiga.


21

(a)

Dillmann, 1981

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Ciclos, N

P m

ax /

P u

(b)

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

N / Nf

Def

orm

ació

n x

1000

Fibra 6Fibra 4Fibra 2Fibra 1

(c)

0

5

10

15

20

25

30

0 25 50 75 100 125 150

Profundidad (mm)

Tens

ión

(MPa

)

N/Nf = 0.00N/Nf = 0.25N/Nf = 0.50N/Nf = 0.75N/Nf = 1.00

(d)

Figura 2. 17. Trabajo de Dillmann (1981): (a) Forma del ensayo y fibras instrumentadas; (b) Número de ciclos de todos los ensayos; (c) Deformaciones (ensayos con Pmax/Pu = 0.785); (d) Tensiones (ensayos con

Pmax/Pu = 0.785)

En la Figura 2. 18 se han dibujado simultáneamente los resultados de Dillmann y Ople y Hulsbols con excentricidad 1/63. El incremento del número de ciclos resistentes mostrado por los primeros se debe a que el nivel mínimo de la carga es mayor, igual que ocurre en las curvas S-N bajo carga centrada.

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Ciclos, N

P / P

u

Ople y Hulsbos (Pmin/Pu = 0.088)Dillmann (Pmin/Pu = 0.216)

Figura 2. 18. Comparación de resultados de Ople y Hulsbols con Dillmann (e/h = 1/6)

3 Los resultados de Ople y Hulsbos se representan ahora en función de P/Pu en lugar de Smax.

P

P

0.30

0.15 0.10

F.2 F.4 F.6

F.1 e=h/6


22

2.4. Fatiga de elementos de hormigón armado

El efecto favorable del gradiente de tensiones frente a la rotura por fatiga del hormigón también ha sido comprobado en estructuras armadas. En elementos solicitados a flexión pura la capacidad redistributiva de la sección debería ser aún más notable debido a que en la cabeza comprimida la tensión varía desde cero en la fibra neutra hasta su valor máximo en la cara superior, más la contención de la fibra neutra que produce el bloque de tracciones de la armadura.

El fallo por fatiga en elementos armados se ha alcanzado en condiciones de

laboratorio, siendo prácticamente desconocido en estructuras reales. En el estudio de casos del [CEB, 1988] se muestra que, aún sin llegar a producirse la rotura, el progresivo deterioro por fatiga puede jugar un papel importante en el comportamiento de la estructura, con crecimientos muy importantes de deformaciones y fisuras. Incluso se indica la detección de algunas barras de armadura rotas por fatiga en casos reales.

Igualmente se ha señalado que, si bien el comportamiento global de una estructura

no presenta problemas de fatiga, es en elementos secundarios donde pueden aparecer los problemas. Frecuentemente estos elementos secundarios tienen una menor atención en la fase de diseño: juntas de tableros [Ryu H.-K. et al., 2007a], [Ryu H.-K. et al., 2007b], losas de transición [Pacheco J.A., 2006] o losas de tableros en dirección transversal [Schläfli M. y Brühwiler E., 1998].

Los ensayos de laboratorio realizados por [Aas-Jakobsen K. y Lenschow R., 1973]

aportan interesantes resultados en cuanto a la capacidad redistributiva de la sección armada. Se trata de un trabajo encaminado a obtener la respuesta de columnas de hormigón armado frente a la fatiga. La Figura 2. 19 muestra la geometría de las probetas y el formato del ensayo. Durante cada ensayo se mantiene un axil constante, y se aplica un momento variable de forma cíclica.

Figura 2. 19. Geometría y esquema del ensayo de Aas-Jakobsen y Lenschow (1973)

El resultado de los ensayos muestra dos tipos de comportamiento: las columnas con un axil permanente importante (axil reducido mayor que 0.45 en la Figura 2. 20) tienen una escasa capacidad redistributiva seccional, con lo cual se puede producir la rotura por fatiga del hormigón. Así sucedió en el ensayo llamado C12 tras 714 000 ciclos. Los ensayos C10 y C11 se detuvieron antes de la rotura y se ensayaron de forma estática, cuando el crecimiento de deformaciones ya era muy importante.


23

Sin embargo, las columnas con un axil reducido menor de 0.45 mostraron una gran capacidad redistributiva (Figura 2. 20). Aún en los casos con tensión elevada bajo carga máxima, el axil permanente no aportó un bloque comprimido que impidiera la redistribución. Incluso bajo momento máximo, se producía tracción en la parte inferior de la sección, habiendo terminado el ensayo C4 con la rotura por fatiga de la armadura traccionada a los 447 000 ciclos. En el Capítulo 3 se hace una interpretación teórica, con el modelo desarrollado en esta Tesis, de los ensayos de Aas-Jakobsen y Lenschow.

Figura 2. 20. Esquema de esfuerzos en los ensayos de Aas-Jakobsen y Lenschow (1973) y diagrama de interacción. La resistencia media del hormigón es de 25 MPa, y el momento mínimo reducido medio es

de 0.015

Más evidente es la gran capacidad redistributiva que se ha comprobado en los estudios de vigas. El resultado casi sistemático de estos ensayos ha sido la rotura final por fatiga frágil de las barras de la armadura. Así terminaron todos los ensayos del estudio sobre vigas simulando losas de tableros de puentes de la EPFL [Schläfli M., 1999], [Schläfli M. y Brühwiler E., 1998], aunque en ellos la tensión máxima aplicada no superó nunca 0.75fc y la oscilación de tensión en el acero siempre fue importante (Figura 2. 21) debido a que la cuantía de armadura utilizada no era alta (As / bd = 0.68, 1.37 y 1.60%). Uno de los ensayos tuvo la excepcional duración de 130 millones de ciclos hasta que se rompió el acero. Todos los ensayos mostraron no obstante un importante crecimiento de deformaciones y fisuras.

100

1000

1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09log N

∆σ s

(MPa

)

Figura 2. 21. Vida a fatiga de los ensayos de Schläfli (1999). Comparación con la curva S-N del acero


24

Es por tanto sistemático que las vigas solicitadas a fatiga se rompan por la armadura [Chang T.S. y Kesler C.E., 1958] o por los cables de pretensado [Eskola L., 1996]. Cabe preguntarse cuál sería el resultado en elementos fuertemente armados en los que la seguridad por fatiga del acero queda a salvo. En este caso, son [Lambotte H. y Baus R., 1963], [Lambotte H. et al., 1965] quienes han obtenido la rotura por fatiga del hormigón en vigas. Ésta se produce cuando la cara superior de la sección alcanza deformaciones mayores del 3.50/00 y mostrando una violenta explosión de la cabeza comprimida.

La Figura 2. 22 muestra algunos de estos resultados. A pesar de que los aceros

empleados en la armadura son diferentes a los utilizados actualmente, hecho que influye en su sensibilidad a fatiga, el módulo elástico sí es el mismo. Por ello resulta muy interesante estudiar en profundidad los casos en los que la rotura se produce por fatiga del hormigón en compresión, lo cual se lleva acabo en el Capítulo 3.

(a)

Lambotte et al. (1965)Mmin / Mu = 0.25

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

Mm

ax /

Mu

(b)

Lambotte et al. (1965)Mmin / Mu = 0.25

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

Mm

ax /

Mu

ρ = 0.73%ρ = 1.83%ρ = 2.93%

(c)

Figura 2. 22. Resultados de Lambotte et al. (1963 y 1965): (a) Fotografía de la rotura del hormigón en compresión por fatiga; (b) Número de ciclos de sus ensayos; (c) Selección de los ensayos que rompieron

por fatiga del hormigón en compresión

También [Kuryllo A. et al., 1976] ensayaron vigas fuertemente armadas (con una cuantía del 2.1% = As/bd). Aunque, como es regla general, siempre el fallo ocurrió por fatiga de la armadura, los esquemas de las vigas en el instante de la rotura muestran que la cabeza comprimida ya había sufrido una importante degradación, habiendo una zonificación en forma de triángulo del hormigón comprimido más dañado, en los casos en los que la carga máxima es tal que el momento es el 80% del último (Figura 2. 23).


25

Figura 2. 23. Esquemas de rotura en los ensayos a fatiga de Kuryllo et al (1976). Vigas de L x b x h =

2.10 x 0.10 x 0.22 m; As = 2Φ16; fc = 44 MPa

El progresivo deterioro de la deformabilidad del elemento por la acción cíclica conlleva el crecimiento de flechas y fisuras. [Lovegrove J.M. y Din S.E., 1982] indicaron que este incremento es logarítmico y que afecta tanto a las medidas bajo carga máxima como mínima (y remanente). Esto muestra la irreversibilidad en el deterioro de las propiedades del material. En la Figura 2. 24 se dibuja uno de los ensayos de estos autores.


26

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 2. 24. Ensayos de vigas de Lovegrove y El Din (1982): (a) Esquema; (b) Evolución de la flecha; (c) Evolución de la deformación del hormigón; (d) Evolución de la abertura de fisura


27

2.5. Modelos teóricos existentes El estudio teórico de la influencia de la fatiga del hormigón en elementos de

hormigón armado es un campo en el que hoy día abundan las incertidumbres. Debido en parte a que no se han producido graves problemas reales, el tratamiento ha tenido una importancia secundaria frente a otros aspectos de proyecto, utilizando criterios excesivamente simplificados o incluso sin tenerse en cuenta su efecto. 2.5.1. Modelos basados en las curvas S-N

Los procedimientos más abundantes están basados únicamente en el concepto de las curvas S-N, a pesar de que no es lo más adecuado. Como ejemplo de ello, se representan en la Figura 2. 25 los resultados de las vigas de [Schläfli M., 1999] frente a las curvas S-N de [Hsu T.T.C., 1981], utilizando la tensión en la cara superior de la sección. Todas las vigas rompieron por la armadura sin que el hormigón se degradara notablemente, pero está claro que muchas vigas habrían superado ampliamente la vida teórica a fatiga. Un criterio basado en la tensión inicial máxima no tiene en cuenta la reserva de las fibras menos solicitadas, que posibilita la redistribución de tensiones.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09


Tens

ión

máx

ima,

σc /

f c

S min = 0.10S min = 0.25

Figura 2. 25. Comparación de los resultados de los ensayos de Schläfli con las curvas S-N de Hsu

Utilizar un criterio como éste sería muy conservador, además de poco científico, ya que no considera la física del problema. Aún así, es lo más utilizado por las normativas vigentes4.

Otra posibilidad es añadir alguna modificación que considere la redistribución

interna en la sección. Es el caso del Código Modelo MC-90 [CEB - FIP, 1991], claramente el más avanzado en este campo. Las tensiones calculadas se multiplican por un coeficiente reductor ηc en función del gradiente de tensiones (σc1 es la tensión a una distancia no mayor de 30 cm de la cara superior de la sección, y σc2 la tensión máxima, Figura 2. 26):

4 El criterio más habitual de los códigos de diseño es la limitación de la tensión máxima, condición que garantiza un determinado número de ciclos que se considera que cubre la vida de la estructura. Por ejemplo, el Eurocódigo 2 [CEN, 2004] garantiza dos millones de ciclos si se cumple:

cdcd ffminmax 45.05.0 σσ

+≤

La Instrucción española EHE [Comisión Permanente del Hormigón, 1998] simplemente aconseja limitar la tensión máxima según la experimentación y la bibliografía existentes, sin dar valores fijos.


28

2

15.05.1

1

c

cc

σση

−=

(2. 10)

Figura 2. 26. Definición de tensiones para evaluar el gradiente

Con ello las tensiones a introducir en las curvas S-N son las siguientes5:

fatcdcsdcd fS ,maxmax, /ησγ= (2. 11)

fatcdcsdcd fS ,minmin, /ησγ= (2. 12)

min,max, cdcdcd SSS −=∆ (2. 13)

( )c

ckckccfatcd

fftfγ

β 1250

185.0,

−= (2. 14)

Las curvas S-N empleadas por el MC-90 son las de [Petkovic G. et al., 1990]

(Figura 2. 27):

( )( )max,2

min,min,1 181612log cdcdcd SSSN −++= (2. 15)

( )1loglog2.0log 12 −= NNN (2. 16)

cdcd SSNN ∆

−= /

833.0loglog min,23 (2. 17)

a) Si log N1 ≤ 6, entonces Nf = N1. b) Si log N1 > 6 y ∆Scd ≥ 0.3 – 3/8. Scd,min, entonces Nf = N2. c) Si log N1 > 6 y ∆Scd < 0.3 – 3/8. Scd,min, entonces Nf = N3.

5 No se pretende aquí dar una exhaustiva descripción normativa, aunque se considera interesante aclarar los conceptos del MC-90 por ser prácticamente el único código disponible con una cierta aproximación al problema. Al ser la fatiga un Estado Límite Último, se incluye el coeficiente de seguridad de las acciones (γsd = 1.10) y del material (γc = 1.50). La resistencia a fatiga del hormigón se actualiza en función de la edad por el coeficiente βcc(t).

c2

30 cm

σc1


29

Model Code MC90(Petkovic et el., 1990)

Valores de Smin:

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10log N

Smax

0.00.10.20.30.40.5

Figura 2. 27. Curvas S-N de Petkovic et al (1990), utilizadas por el Código Modelo

Las curvas S-N están definidas para procesos con límites constantes de la tensión, por lo que para su empleo en procesos en los que estos límites varían es necesario emplear un criterio de acumulación. En las normativas es habitual recurrir a la regla de Miner, que proviene del campo de los metales, y que se basa en la acumulación lineal del daño de cada bloque de ciclos, Ni, respecto de su vida teórica en un proceso centrado, Nfi. A pesar de su extendida recomendación, su aplicación para el hormigón no es válida por seguir un proceso no lineal [Zhang B. et al., 1997].

∑ ≤ 0.1fi

i

NN (2. 18)

También [Ople F.S. y Hulsbos C.L., 1966] incluyeron el gradiente de tensiones en una formulación basada en las curvas S-N. Lo hicieron a través de un parámetro θ, que es la pendiente de la curva que define la variación de la tensión en el bloque comprimido (normalizada por fc) en la fibra más solicitada de la sección6. El gráfico que permite obtener el número de ciclos hasta rotura se muestra en la Figura 2. 28.

Figura 2. 28. Diagram S-N-θ de Ople y Hulsbos 6 Implícitamente se ve que es necesario utilizar una ley tensión – deformación no lineal en el hormigón, ya que, en caso contrario, el gradiente de tensiones sería el mismo en todo el bloque comprimido. No obstante, en todos los modelos normativos, incluido el MC-90, el cálculo de tensiones se hace con comportamiento lineal del hormigón en compresión, haciendo el análisis al nivel de la sección fisurada. La falta de consideración de la no linealidad del material produce resultados poco fiables ante tensiones altas.


30

Aún suponiendo que dieran buenos resultados7, estos modelos simplificados se fijarían sólo en el instante de fallo. Sin embargo, se ha visto en el apartado 2.4 que durante la vida a fatiga de una estructura existe un progresivo deterioro que causa el incremento de las deformaciones (flechas) y las fisuras. Esto afecta a la respuesta en servicio y en rotura (por ejemplo, puede aumentar procesos de corrosión, así como disminuir la resistencia última al degradarse las propiedades del material) de la estructura. Es por tanto necesario disponer de un modelo de material capaz de reproducir todo el proceso de fatiga. El esquema de la Figura 2. 13 es la referencia que debería guiar la modelización del proceso. 2.5.2. La Mecánica del daño continuo

La Mecánica de Medios Continuos ha recurrido a los modelos de daño para intentar describir el proceso de fatiga. El concepto de daño fue introducido por primera vez por [Kachanov L.M., 1958] para reproducir el comportamiento de metales en fluencia. Los modelos de daño utilizan un conjunto de variables internas que caracterizan al material junto con el tensor de deformaciones (o de tensiones). El objetivo en su aplicación al hormigón es expresar el progresivo deterioro causado por la microfisuración del material.

Un modelo de daño necesita, además de definir la variable o variables de daño, de

dos aspectos fundamentales: una superficie o umbral de daño, y una ley de evolución del daño. A continuación se introducen algunos modelos importantes, primero los que se destinan al comportamiento bajo cargas monótonas, y después las especializaciones para considerar la fatiga.

El modelo más elemental de daño es el que utiliza un escalar D (que toma el valor 0

sin daño y 1 con daño máximo o rotura). Inicialmente este escalar haría referencia a la progresiva pérdida de superficie efectiva del material. [Mazars J., 1981] desarrolló un modelo de elasticidad acoplada con un daño escalar (isótropo) que caracterizaría la rigidez:

( ) εσ 01 ED−= (2. 19)

O en el caso tridimensional: ( ) εCσ :1 0D−= (2. 20)

Donde C0 es el tensor de constantes elásticas de orden 4, y σ y ε los tensores de tensión y deformación respectivamente. Esta teoría estaba orientada a reproducir el comportamiento del hormigón bajo carga monótona, tanto en tracción como en compresión. El modelo se completa con:

• Superficie o umbral de daño:

( ) ( ) 0~ ≤−= DKDf ε (2. 21)

En este caso se utiliza la deformación equivalente en tracciones, definida en (2. 22), como deformación de comparación. Esto indica que la aparición de deformaciones de tracción es la causante del daño. K(D = 0) = K0 sería el valor de la deformación equivalente con la que empieza el daño.

7 Como se ha comentado, no los producen.


31

∑ +=

ii

2~ εε ;

=+ 0

ii

εε

0;0;

<≥

i

i

εε

(2. 22)

• Ley de evolución del daño:

0=·

D ; si f = 0 y .f < 0 ó f < 0

( )+

=.~~ εεFD

· ; si f = 0 y

.f = 0

(2. 23)

La ecuación (2. 23) es la forma general de la ley de daño; particularizando la propuesta de [Mazars J., 1981], la formulación sería:

( ) ( )( )0~

0~11~

KBeAAKD −−

−−= εε

ε (2. 24)

Este modelo simple fue inmediatamente refinado para incluir tanto la formación de microgrietas debidas a tracción como las microgrietas transmitidas por efecto Poisson y que aparecen en compresión. Fue en [Mazars J., 1986] donde se propuso la división del daño como suma ponderada de dos subvariables, de tracción y compresión:

cctt DDD αα += (2. 25)

Los coeficientes de ponderación vendrían dados por la importancia de las componentes de tracción y compresión. Éstas se pueden obtener a partir de las partes positiva y negativa del tensor de tensiones, que se definen descomponiendo este tensor en sus partes positivas y negativas a partir de su expresión en componentes principales:

ct εεε += (2. 26)

( ) +−

++ =−+

= σC1σσε :1 10

0

0

0

0 trEEtνν

( ) −−

−− =−+

= σC1σσε :1 10

0

0

0

0 trEEcνν

(2. 27)

−+ += σσσ (2. 28)

( )∑ +=

i

cititiit H 2~ε

εεεα

( )∑ +=

i

citiciic H 2~ε

εεεα (2. 29)

=01

iH ; si 00

<≥

i

i

εε

(2. 30)

Además, la ecuación (2. 24) se sustituiría por dos ecuaciones de evolución:

( ) ( )( )0~

0~

11~KB

iii ie

AAKD −−−

−= εεε ; i = t, c (2. 31)

Este modelo escalar de daño, isótropo y elástico, planteó un problema importante, ya que era incapaz de reproducir el efecto unilateral del hormigón, es decir, la recuperación de rigidez en procesos con cambio de signo de tensiones (Figura 2. 29a). Para resolverlo fue necesario utilizar dos variables escalares de daño completamente independientes en tracción y en compresión [Mazars J. y Pijaudier-Cabot G., 1989].

Cada una de las variables tendría su superficie umbral de daño y su ley de

evolución:


32

• Superficies de umbral de daño:

( ) ( ) 0,, 00 ≤−= tttt DKYKf Cε ( ) ( ) 0,, 00 ≤−= cccc DKYKf Cε

(2. 32)

• Leyes de evolución del daño: ( )tt YFD = ( )cc YFD =

(2. 33)

Figura 2. 29. (a) Modelo con una variable escalar de daño; (b) Modelo con dos variables escalares de

daño

Las ecuaciones (2. 33) tendrían la misma forma que la (2. 31), aunque en este nivel las ecuaciones se expresan ya por medio de la fuerza de daño, Yi, o tasa de energía debida al daño, en lugar de la deformación equivalente. Ello es más cómodo cuando todo el modelo se inserta en una lógica termodinámica.

La Figura 2. 29b muestra cómo con dos variables de daño se resuelve el problema

del comportamiento unilateral. La energía interna sería la energía de deformación elástica, y a partir de ella se obtendría inmediatamente la tensión y la fuerza de daño:

( ) eee D εεC ::121

0−=Ψ=Ψ ρρ (2. 34)

( ) ( ) ee

D εCε

σ :1 0−=∂Ψ∂

=ρ (2. 35)

( ) eee

:D

Y εCε :21

0=∂

Ψ∂−=

ρ (2. 36)


33

Particularizando para el modelo de dos variables escalares de daño, y descomponiendo el tensor de tensiones en sus partes positiva y negativa de acuerdo a lo comentado hasta ahora:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]+

−+

−=Ψ+Ψ=Ψ +++−+

200

0

:111

21 σσσσσ tr

DE t

ee ννρρρ

( ) ( )( ) ( )[ ]

−+

−+ −−−

200

0

:111 σσσ tr

DE c

νν (2. 37)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]1σσ1σσε −−++ −+−

+−+−

= trDE

trDE ct

000

000

1111

11 νννν (2. 38)

( )t

e

t DY

∂Ψ∂

−=ρ ; ( )

c

e

c DY

∂Ψ∂

−=ρ (2. 39)

En [Mazars J. y Pijaudier-Cabot G., 1989] se hizo una ampliación al modelo para que el crecimiento del daño incluyera tanto la reducción de la rigidez como el incremento de deformaciones permanentes, acoplando plasticidad y daño. En un primer modelo, el daño afectaría sólo a las propiedades elásticas. Termodinámicamente, habría que completar la energía específica incluyendo la matriz de constantes elásticas dañada:

[ ] ( )peeD

pe εεεC +=Ψ+Ψ=Ψ ::21ρρρ (2. 40)

Se trataría en el caso más general de un modelo de anisotropía inducida, debido a que habría un tensor de daño D tal que:

[ ]σDCσC ::: 10

1 −− =D (2. 41)

Para las deformaciones plásticas habría que definir los correspondientes criterios de plastificación y regla de flujo, de acuerdo a las reglas habituales de plasticidad.

La ley constitutiva derivada del potencial sería:

pεσCε += − :1D (2. 42)

El último nivel en cuanto al número de variables de daño [Mazars J. et al., 1992] sería aquel con un tensor de daño superficial de segundo orden D, y un escalar de daño volumétrico d, que afectan respectivamente a las partes desviadora e hidrostática del tensor de deformaciones:

Para el daño superficial (reducción de área efectiva):

• Umbral de daño:

( ) ( ) 0:21

=−++

Dεε Ktr ee (2. 43)

• Ley de evolución: ( )

+= e

dF εD (2. 44)

Para el daño volumétrico:

• Umbral de daño:

( ) 021

=−+

dKveε (2. 45)

• Ley de evolución:


34

( )+

= veFd εδ ;

+= e

ve trεε (2. 46)

Expresiones completas de modelos elasto-plásticos con daño acoplado para el

hormigón se pueden encontrar en [Krätzig W.B. y Pölling R., 2004], [Meschke G. et al., 1998].

Los modelos expuestos hasta este momento sirven para reproducir el

comportamiento del hormigón bajo carga monótona o con descargas y recargas que alcancen siempre la envolvente monótona, pero son incapaces de reproducir el daño debido a cargas de fatiga en las que, por ejemplo, los límites de la tensión sean constantes. En una primera fase, [Papa E., 1993] adaptó el modelo de daño escalar de Mazars para fatiga. Para ello, en la formulación hay que suprimir el concepto de umbral de daño y sustituirlo por un criterio de carga – descarga irreversible, modificando la ley de crecimiento del daño con un parámetro nuevo:

( ) ( )( )

( )( )

+−

−

+

−

+−

−=

..ε

εε

ε ε

ε

~~

1

~1

1~0

0

~0

~0

KBiii

n

KBiii

ii

i

eBAAK

eBAAK

DD (2. 47)

El nuevo parámetro n fue ajustado con resultados experimentales en función de los límites de la tensión:

( ) ( )482145 22min +∆+∆−∆+= SSSSn (2. 48)

A pesar de que los resultados del modelo reproducen la evolución de la deformación máxima, con sus tres fases características, éste es el único resultado correcto ya que no hay deformaciones permanentes y sólo se modifica la rigidez. El comportamiento no es realista, y por supuesto, inaplicable al cálculo estructural (en la Figura 2. 30 se representa cómo el daño es creciente en las fases de recarga e irrecuperable en las descargas que pasan por el origen de coordenadas).

(a)

(b)

Figura 2. 30. Modelo de Papa (1993): (a) Curvas tensión – deformación; (b) Evolución de la deformación total

El modelo es claramente mejorado en la ampliación de [Papa E. y Taliercio A., 1996]. En este caso, se trata de un modelo anisótropo con deformaciones inelásticas en descarga. El hormigón no dañado seguiría la ley constitutiva elástica habitual (en este caso descompuesta en sus componentes hidrostática y desviadora):

{ {'

0

21

0 2εε

η1σ Gktr

+= θ (2. 49)


35

( )0

00 213 ν−

=Ek ; ( )0

00 12 ν+

=EG (2. 50)

La ley del material dañado (2. 52) deriva del potencial (2. 51):

( ) ( ) ( ) ( )[ ]−−−+−=Ψ 2/12/10

20 ..1

23 D1ηD1 elele trGdk θρ

( )[ ]DεDD trtrG eleel θθ −− .20 (2. 51)

( ) ( ) ( ) DD1ηD11σ elelel GGdk θθ 02/12/1

00 2..21 −−−+−= (2. 52)

Como se ve, la deformación volumétrica θel es reemplazada por (1-d)θel, y el tensor desviador de deformaciones ηel por (1-D)1/2.ηel.(1-D)1/2. El modelo está formado por una variable escalar de daño volumétrico d, y un tensor de daño superficial D (reducción de área efectiva).

La aparición de deformaciones inelásticas no se hace a través de una formulación de

plasticidad clásica (función de plastificación y regla de flujo), sino que se da de forma explícita en función de las variables de daño (β y γ son parámetros del material):

−

−−

=d

dD

Dεi

iini 112

1 22

γβ (2. 53)

Para considerar el comportamiento unilateral del hormigón, hay que utilizar dos tensores de daño, para tracción y compresión, con lo que las ecuaciones (2. 51) y (2. 52) se modifican como sigue:

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]+−−+−−=Ψ tt

tt

elele trGdkGk εD1εD1 ...223 2/12/1

02

02

00 θθρ

( ) ( )[ ]cc

cctrG εD1εD1 ... 2/12/1

0 −−+ (2. 54)

( )[ ] ( ) ( )[ ]+−−+−−= 2/12/1

0000 ..22 tt

telel GdkGk D1εD11σ θθ

( ) ( )[ ]2/12/10 ..2 c

ccG D1εD1 −−+

(2. 55)

Las correspondientes fuerzas de daño se derivan inmediatamente del potencial: ( )

t

et

DY

∂Ψ∂

−=ρ ; ( )

c

ec

DY

∂Ψ∂

−=ρ ; ( )

dy

e

∂Ψ∂

−=ρ (2. 56)

Por tanto, ya sólo queda definir las dos partes fundamentales del modelo de daño:

• Superficies de umbral de daño:

( ) 01110

0

0

≤−

−+−=

iBij

iij

ij E

YEY

ADf ; i = c,t; j = 1,2,3 (2. 57)

( ) 01110

0

0

≤−

−+−=

b

d Ey

Eyadf (2. 58)

• Ley de evolución:


36

+

−

−+

−

=i

jBi

ji

Bij

iii

j Y

EY

EY

AE

EY

EY

BAD

i

i

..

2

0

0

00

1

0

0

0

1

; si f = 0 y .f = 0

0=i

jD.

; si f < 0 ó f < 0 y .f < 0

(2. 59)

+

−

−+

−

=..y

Ey

EyaE

Ey

Eyab

db

b

2

0

0

00

1

0

0

0

1

; si fd = 0 y .f d = 0

0=.d ; si fd < 0 ó fd < 0 y

.f d < 0

(2. 60)

Y la ley de evolución de las deformaciones inelásticas:

( ) ( )

−−

−+

−=

dd

DD

DDε c

i

ci

cti

ti

tini 1112

1 222

γββ (2. 61)

Expuesto el modelo con estas variables de daño (ecuaciones (2. 54) a (2. 61)), la ampliación para fatiga se hace de forma similar a lo hecho en [Papa E., 1993], dado en la expresión (2. 47), simplemente con el nuevo parámetro n de la ecuación (2. 48):

( )+

+=i

jij

nij

i

j YFfD..

1 ; 2

0

0

00

1

0

0

0

1

−+

−

=

−

i

i

Bij

i

Bij

iiij

EY

EY

AE

EY

EY

BAF (2. 62)

Figura 2. 31. Modelo de Papa y Taliercio (1996): (a) Evolución de deformaciones; (b) Curvas tensión -

deformación

La Figura 2. 31 recoge los resultados del modelo para un caso de fatiga de hormigón. Tanto la reducción de la rigidez como el crecimiento de deformaciones


37

inelásticas son reproducidos. Sin embargo, las propias conclusiones del trabajo [Papa E. y Taliercio A., 1996] advierten que los resultados no son muy ajustados a las medidas experimentales en procesos que combinan niveles variables de la tensión. Igualmente, la ley de crecimiento de deformaciones inelásticas es termodinámicamente inconsistente.

[Aliche A., 2004] propuso un modelo con un tensor de daño anisótropo, basado en

la formulación termodinámica de [Dragon A. et al., 2000]. El daño se define según el criterio clásico en función del área efectiva de hormigón neta de microfisuras (Figura 2. 32) en una dirección determinada:

n

effnn

n SSSD −

= (2. 63)

Figura 2. 32. Superficie en la que se define el daño

Y el tensor de daño se define en tres dimensiones, por ejemplo en las direcciones principales:

iiiD nnD ⊗= (2. 64)

El potencial termodinámico está compuesto por su parte elástica a la que se añade una componente debida al daño. La expresión para esta componente es la debida a [Dragon A. et al., 2000]:

dde Ψ+=Ψ+Ψ=Ψ ρρρρ εεC ::21

0 (2. 65)

La expresión analítica del potencial utiliza las propiedades elásticas λ y ν. A partir de él se derivan como es habitual las tensiones y las fuerzas de daño (2. 67).

( ) ( ) ( ) ( )DεεDεεDεεεε ..2..:21 2 trtrtrgtrtr βαµλρ +++

+=Ψ (2. 66)

( )ε

σ∂Ψ∂

=eρ ; ( ) ( )

DDY

∂Ψ∂

−=∂

Ψ∂−=

dρρ (2. 67)

La ecuación de la superficie del umbral de daño vendría dada de una forma similar a las explicadas hasta ahora, sin incluir el efecto de la fatiga:

( ) ( )DD Kg

f −= εε ~2

,~ ; ( ) DD trccK 10 −= (2. 68)

Para dar el salto en el que se incluye el efecto de la fatiga, hay que incluir la acumulación de daño y deformación elástica para cada ciclo de carga, y redefinir la evolución del daño. Como en las propuestas de Papa, se reemplaza la existencia de un umbral de daño por un criterio de irreversibilidad en descarga – recarga, y se propone una ley de crecimiento de éste con la misma idea de [Papa E., 1993], [Papa E. y Taliercio A., 1996]:

( ) ( ) ( )++

+

+

++

=

εεε

ε

εεD

.

.

:2

:~

1 trtrckf n

ε (2. 69)

σ

σ

n


38

Los parámetros k y n son los que reproducirían el comportamiento viscoso del material. Este modelo sólo ha sido comprobado y ajustado en ensayos de fatiga uniaxiales de amplitud constante. En la Figura 2. 33 se muestra un ejemplo.

Figura 2. 33. Resultados del modelo de Alliche (2004)

2.5.3. Modelos recientes desarrollados en la Universidad del Ruhr (Alemania)

Los modelos presentados hasta aquí resultan excesivamente complejos para los pobres resultados conseguidos. De hecho, la aplicación de los mismos a elementos estructurales es en general complicada y no fiable. Los estudios recientes realizados en la Universidad del Ruhr en Bochum (Alemania) han supuesto un salto cualitativo y cuantitativo importante, ya que nacen con un objetivo claro de análisis estructural.

Así, [Pfanner D., 2002] ha desarrollado un modelo de daño uniaxial para fatiga del

hormigón. Tal modelo gira alrededor del comportamiento constitutivo monótono del material. Éste recoge la no linealidad mecánica del hormigón, descomponiendo la deformación total en las siguientes partes (Figura 2. 34a):

( )0,eldplelpl εεεεεε ++=+= (2. 70)

( ) 0,0, eldplelin εεεεεε ++=+= (2. 71)

La deformación total se divide, por un lado, en una parte plástica (εpl) y una elástica (εel); y por otro lado, la deformación elástica se descompone en la fracción que tendría lugar sin daño (εel,0) más una parte de daño (εd). A su vez, la suma de la deformación plástica y de daño constituye la deformación inelástica (εin). Cada parte de la deformación se obtiene sencillamente mediante (b es un parámetro del material que los autores consideran constante):

inpl bεε = (2. 72)

( ) ind b εε −= 1 (2. 73)

cel E

σε =0, (2. 74)

( ) cel EDE −

==1

σσε (2. 75)


39

inel

el,0dpl

εε

εεε

Ec1

ε

σ

1

1

cE (1-D)

Ec

(a)

σ

σmax

ε

W fat

W mon

(b)

ε 0 rotε

W fat

W mon

ε

σ

σmax

(c)

Figura 2. 34. Modelo de Pfanner (2004): (a) Comportamiento monótono; (b) Igualdad energética entre un proceso de fatiga y uno de carga estática; (c) Rotura por fatiga

Queda claro que el daño D es un escalar que afecta a la rigidez de la manera indicada en (2. 76), y claramente determinado para cada punto de la curva monótona mediante las relaciones (2. 72) - (2. 75) y la ecuación σ - ε monótona.

cEED −= 1 (2. 76)

Para cargas de fatiga, se propone un criterio energético de evolución del daño. Este criterio permite obtener la variable D por equivalencia con un proceso de carga monótona. Pfanner propone que la energía empleada en un proceso de carga monótona para obtener un determinado daño es la misma que la necesaria para obtener ese mismo daño en un proceso de fatiga. La Figura 2. 34b representa el criterio energético, que también se da en la siguiente ecuación:

( ) ( )NDWDW fatmon ,,, maxσσ = (2. 77)

A partir de este criterio se obtiene fácilmente la deformación de rotura en fatiga (Figura 2. 34c). Una vez conocido el daño, para definir el estado del material tras N ciclos de carga sólo quedaría conocer la deformación total alcanzada tras esos N ciclos. Para ello Pfanner propuso una expresión analítica del tipo de la ecuación (2. 78), que reproduce las tres fases características del proceso (ver por ejemplo la Figura 2. 14), y está basada en resultados experimentales de probetas de hormigón.

0max )( εε NJ= (2. 78)

La aplicación estructural del modelo de material pone de manifiesto el desarrollo de un proceso de redistribución de tensiones que se da en elementos armados, y que se ha explicado en el apartado 2.4. Así, se muestra en la Figura 2. 35 el resultado del modelo en la reproducción de un proceso de fatiga de una columna de hormigón armado [Pfister T. et al., 2003].


40

Figura 2. 35. Resultados teóricos con el modelo de Pfanner (2004)

Recientemente, [Pfister T. et al., 2006] han publicado un modelo de daño elasto-plástico continuo en tres dimensiones que incluye el efecto de la fatiga. La formulación para carga estática utiliza el modelo de [Krätzig W.B. y Pölling R., 2004]. En éste, la componente inelástica del tensor de deformaciones está formada por una fracción plástica y otra de daño. En la parte de plasticidad se sigue un criterio de Drucker – Prager en compresión y uno de Rankine en tracción. Los detalles se pueden ver en el artículo original, así como la reducción de rigidez debida al daño. La ecuación constitutiva monótona tiene la siguiente forma (como se ve, hay una matriz de flexibilidad de daño en tracción, Cda,t, y otra en compresión, Cda,c):

[ ] [ ]pcdatda εεCCCσ −++= :,,0 (2. 79)

Para considerar el efecto de la fatiga incluye:

• Una ley de evolución de la deformación debida a la fatiga (para las tres etapas del proceso):

( )

−+−−+−

==63.219.1971.2476.153.4671.79

/ 2

2

ssss

NNdd

f

fatfat εε.

;;

231

etapaetapas −

(2. 80)

( )( )minmaxminmax21 SSSSs +−= (2. 81)

• Componente de daño por fatiga. La propuesta para cuantificar las partes de daño y plasticidad de la deformación por fatiga es muy sencilla, a través de una constante βfat:

fatfatdafat εβε =, (2. 82)

( ) fatfatplfat εβε −= 1, (2. 83)

( )

−=

=⇒=

fatfat

plfat

fatfat

dafat

fat cte..

..

εβε

εβεβ

1,

,

(2. 84)


41

La ecuación que sustituiría a la monótona (2. 79) sería: [ ] [ ]4434421

e

pfatpfatdacdatda

ε

εεεCCCCσ ,,,,0 : −−+++= (2. 85)

Este modelo recoge la evolución de deformaciones y resulta en una redistribución de tensiones, aunque todavía está en progreso su ajuste a resultados experimentales y la inclusión de mejoras en el efecto de la fatiga, que se ha visto que es muy simplificado por el momento. 2.6. Adherencia entre hormigón y armadura

Las cargas repetidas producen una progresiva reducción de la adherencia entre las barras de la armadura y el hormigón en estructuras armadas, hecho que se muestra exteriormente a través del crecimiento del ancho de fisuras. Este hecho puede incluso provocar el colapso de la pieza por fallo de adherencia. La respuesta frente a la adherencia de un elemento a tracción viene caracterizada por la ley tensión de adherencia – deslizamiento (τ - s), cuyos parámetros dependen fundamentalmente de la geometría de las barras corrugadas y la calidad del hormigón.

En el Capítulo 4 se hace una descripción detallada del fenómeno de la adherencia

y su influencia en la colaboración del hormigón en tracción, efecto tension – stiffening, estudiando su evolución en los procesos de cargas repetidas. Por ejemplo, en [Pochanart S. y Harmon T., 1989] se muestran algunos resultados de cómo evoluciona la ley de adherencia durante estos procesos. Algunos estudios han obtenido curvas S-N para definir el fallo por fatiga de adherencia, como [Rehm G. y Eligehausen R., 1979].

2.7. Discusión y conclusiones

En este Capítulo se ha explicado la manera en la que afecta la aplicación de una

carga repetida a la respuesta de un elemento de hormigón armado. Se ha mostrado que existe un proceso de microfisuración interna del hormigón que produce, en su respuesta macroscópica, el incremento de deformaciones máximas y permanentes, así como la reducción de su rigidez. Este progresivo deterioro es capaz de producir la rotura del hormigón, especialmente ante tensiones altas.

Además, se ha explicado cómo, en elementos sometidos a flexión pura o compuesta,

se produce una redistribución de tensiones al nivel de la sección. Este fenómeno hace que las zonas inicialmente más solicitadas, y que son las más dañadas por la fatiga, transfieran su tensión a zonas menos debilitadas de la sección. La capacidad de redistribución aporta una resistencia adicional muy importante al elemento estructural. Esta diferente capacidad de redistribución ha quedado patente a través de la comparación de los resultados que se obtienen en ensayos de vigas y columnas.

Los métodos actualmente disponibles para el estudio de la fatiga del hormigón y su

influencia estructural son de dos tipos principalmente. Por un lado se encuentran los modelos basados en las curvas S-N, que se fijan únicamente en el instante de fallo, es decir, no proporcionan ningún tipo de información del proceso, no sirviendo para el análisis estructural. Además, no incorporan correctamente la influencia del gradiente de tensiones.


42

Por otra parte, los modelos de daño no están completamente disponibles todavía. Además de necesitar un importante esfuerzo computacional, su aplicación al nivel estructural es complicada. Pero el principal problema es la falta de validación experimental de los mismos.

Hasta ahora no ha habido graves daños estructurales conocidos por la fatiga del

hormigón (salvo el crecimiento de flechas y fisuras), pero el principal problema es que no existe un criterio claro para asegurar que no va a haberlo, sino que se supone que cumpliendo los requisitos normales de proyecto, este asunto queda cubierto. Sí ocurre lo contrario en el acero de las armaduras, siendo las curvas S-N disponibles una buena herramienta para predecir su rotura por fatiga (ver por ejemplo la Figura 2. 21).

43

Capítulo 3 Propuesta de modelo teórico. Fatiga del hormigón en compresión y aplicación a la sección armada fisurada 3.1. Introducción

En este Capítulo se estudia el mecanismo de fatiga del hormigón en compresión. Constituye, junto con el estudio del bloque traccionado en el siguiente Capítulo, la parte más importante de la Tesis. Este Capítulo 3 presenta un modelo original para el hormigón dependiente del tiempo, así como un algoritmo para implementar la respuesta de la sección de hormigón armado y considerar la influencia de las acciones cíclicas en el nivel estructural. La Figura 3. 1 muestra la posición de este Capítulo en el esquema global de la Tesis.

Estado del arte





Ensayos



MATERIAL

SECCIÓN

ESTRUCTURA

Nivel de estudio


El apartado 3.2 indica los objetivos del Capítulo y el ámbito de aplicación de la metodología desarrollada en el mismo. En el punto 3.3 se señalan los antecedentes que han permitido llegar al conocimiento actual del proceso de fatiga del hormigón, y gracias a los cuales se está en condiciones de desarrollar el modelo teórico que se presenta en esta Tesis.


44

El modelo del hormigón en compresión dependiente del número de ciclos se propone en el apartado 3.4. Para ello, se hace un estudio previo de los factores que influyen en la respuesta del material sometido a fatiga, se analizan, y finalmente se presenta la propuesta.

En el apartado 3.5 se da el salto a la aplicación a la sección de hormigón armado. Se

ha desarrollado una metodología seccional que permite estudiar la evolución del estado tensión – deformación de la misma durante el proceso de fatiga. Con ello se estudia la capacidad redistributiva del hormigón en elementos estructurales, responsable del tipo de rotura final y del comportamiento en servicio.

La contrastación del modelo con resultados experimentales existentes de vigas y

columnas se lleva a cabo en el apartado 3.6. Se muestra que el modelo teórico reproduce fiablemente la respuesta de estos elementos.

Finalmente, en el apartado 3.7 se discuten las conclusiones alcanzadas en este

Capítulo. 3.2. Objetivos y ámbito de aplicación

El desarrollo de un modelo para reproducir el comportamiento del hormigón bajo solicitaciones de fatiga es el primer paso para analizar la influencia de este tipo de carga en elementos estructurales. El modelo desarrollado ha de ser lo suficientemente amplio para tener en cuenta los procesos de deterioro explicados en los apartados 2.3 y 2.4.

El objetivo principal es reproducir la respuesta de elementos de hormigón armado

sometidos a tensiones normales, es decir, frente a esfuerzos axil y momento. Para ello se plantea un modelo uniaxial del material. En primer lugar se describe el comportamiento constitutivo elegido para el comportamiento estático del hormigón, que es muy importante porque define el estado tensión – deformación a partir del cual comienza el proceso de fatiga.

A continuación se desarrolla el modelo dependiente del tiempo1 que aquí se

propone. Se plantea una ley de crecimiento de la deformación y de reducción del módulo de deformación en función del número de ciclos. Además, es necesario proponer un criterio de acumulación de la degradación del material que permita aplicar el modelo a procesos de cargas repetidas con límites variables.

Definido el modelo de material, es posible llevar a cabo el análisis seccional junto

con las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad. El análisis se hace en la sección fisurada, es decir, se supone que el hormigón no resiste tensiones de tracción, que son completamente soportadas por la armadura. El estudio del tramo entre fisuras se lleva a cabo en los Capítulos 4 y 5, lo que permite obtener la evolución de flechas y fisuras a nivel estructural.

1 Cuando se habla de tiempo se quiere decir número de ciclos

Capítulo 3: Propuesta de modelo teórico. Fatiga del hormigón en compresión y aplicación a la sección fisurada

45

3.3. Antecedentes

Previamente al desarrollo del modelo que se presenta en el apartado 3.4 se desarrolló una primera aproximación al problema, [Zanuy C. et al., 2007a]. Se trata del llamado método de los ciclos ficticios. En realidad, al modelo desarrollado en esta Tesis se ha llegado tras varias etapas de análisis que han permitido conocer de una forma profunda la fenomenología del problema. En primer lugar, se empleó un modelo de carácter no predictivo [Zanuy C. et al., 2006] hecho ad-hoc para la interpretación de los resultados experimentales de la Tesis Doctoral de [Pacheco J.A., 2006]. Posteriormente se evolucionó hacia un método de carácter predictivo que sirvió para la obtención del Diploma de estudios Avanzados [Zanuy C., 2006]. Su refinamiento es el método de los ciclos ficticios disponible en la revista Engineering Structures [Zanuy C. et al., 2007a].

En el método de los ciclos ficticios, la estrategia de análisis consiste en dividir la

vida a fatiga de una probeta de hormigón en un determinado número de ciclos ficticios (en la Figura 3. 2 se dibuja la reproducción de un ensayo de amplitud constante). Cada uno de estos ciclos ficticios equivale a un número constante de ciclos de carga reales. Un ciclo ficticio está compuesto por una fase de descarga y una de recarga, habiéndose desarrollado ecuaciones tensión – deformación para ambas fases.

(a)

(b)

Figura 3. 2. Esquema del método de los ciclos ficticios: (a) Reproducción de un ensayo de amplitud constante; (b) Resultado en deformaciones

Las ecuaciones tensión – deformación completas se pueden consultar en [Zanuy C. et al., 2007a]. La tasa de degradación del material se consigue a través de la ecuación de recarga. Ésta sigue dos partes, una lineal y otra paralela a la envolvente monótona. El cambio entre estas dos partes se hace en el punto en el que la rama de recarga cruza a la denominada curva inferior del modelo. Ella es la encargada de distribuir la degradación por fatiga en las tres fases características (Figura 3. 2b). Se trata de una metodología que recoge adecuadamente la dependencia del nivel tensional, haciendo prevalecer el crecimiento de la deformación plástica al de la caída de la rigidez del material.

La curva inferior tiene la misma forma que la envolvente de referencia, y está

completamente definida por las coordenadas del punto de máxima tensión (Figura 3. 3). Los parámetros α y β de este punto, así como el número de ciclos reales a los que equivale un ciclo ficticio (∆Neq), son los parámetros que definen completamente el modelo.

ε

σ

σ max

σ min Dominio 1 Dominio 2 Dominio 3

1 ciclo ficticio

Curva inferior

3

1

2

fN / N

εVelocidad constante de deformación Fallo


46

Figura 3. 3. Definición de la curva inferior y procedimiento de recarga

El ajuste de los parámetros se efectuó por comparación con los resultados de ensayos, fundamentalmente los de [Holmen J.O., 1979]. Tanto α como β resultaron dependientes de la tensión máxima Smax. Además, se encontró un umbral para β de 0.55, lo que significa que en procesos de fatiga con tensión máxima menor de 0.55fc se detenía el crecimiento de la deformación, estabilizándose la degradación.

El factor de tiempo viene dado por el parámetro ∆Neq, que se mostró dependiente de

la oscilación de tensiones. Es en este punto en el que existe una falta de objetividad en el salto de la probeta centrada a la aplicación del modelo al análisis seccional. En efecto, en una sección con gradiente de tensiones, cada fibra de hormigón tiene unos límites de oscilación de la tensión diferentes. Por ello a cada una de ellas le correspondería un factor de tiempo diferente, lo cual es lógicamente imposible ya que el mismo número de ciclos se aplica a toda la estructura. La solución adoptada consistió en utilizar el factor de tiempo que se obtendría considerando la fibra más solicitada. Ahí es donde existe la falta de objetividad.

Este es el principal problema del método de los ciclos ficticios. Se trata de un

problema más formal que práctico, y el uso de este método sirvió para estudiar detalladamente el proceso redistributivo y su influencia en el comportamiento global de elementos armados. Su aplicación a la interpretación de los ensayos sobre losas de transición realizados en el Laboratorio de Estructuras de la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid por [Pacheco J.A., 2006] aportó interesantes conclusiones, y la comparación con los resultados experimentales fue buena [Zanuy C. et al., 2007b].

Aunque el método de los ciclos ficticios proporcionó resultados satisfactorios, se ha

implementado el modelo presentado en este Capítulo que solventa completamente estas dificultades teóricas. Los apartados siguientes desarrollan este modelo de material dependiente del tiempo. 3.4. Modelo del material 3.4.1. Modelo de comportamiento estático del hormigón

Antes de formular el modelo de comportamiento del material dependiente del tiempo, es necesario definir el modelo que se emplea para obtener la respuesta del material cuando se le somete a una carga creciente de forma monótona. Este paso previo es indispensable y muy importante, ya que define el estado tensión – deformación del material obtenido tras la primera carga, a partir de la cual comienza el proceso cíclico, y delimita el dominio de deformaciones alcanzable en el proceso cíclico. Debido a que la

Envolvente

Curva inferior

αε c

β c f

cEf c

cε ε

σ

1


47

influencia de la carga cíclica es altamente dependiente de este estado inicial del material, la formulación de respuesta estática adoptada debe ser lo suficientemente aproximada. En ese sentido, debe tenerse en cuenta la no linealidad del material, tal y como se ha indicado en el Capítulo 2 (Figura 2.8).

En lo sucesivo se adopta la ecuación tensión – deformación del hormigón en

compresión utilizada por el Código Modelo MC – 90 [CEB - FIP, 1991], cuyas ecuaciones son:

c

cc

cc

ccc

f

fE

fE

−+

−

=

εεε

εεε

σ21

2

(3. 1)

( ) ccccc

f

1

lim

2

2limlim /

4/2

/1

−

−+

−= ξ

εεεε

εεξ

εεσ (3. 2)

2

lim

lim

2

lim

12

224

+

−

−+

−

=

cc

cc

c

cc

cc

cc

c

fE

fE

fE

εεε

εε

εεε

ε

ξ (3. 3)

En las ecuaciones anteriores, fc es la resistencia a compresión, εc es la deformación correspondiente a esa tensión máxima, Ec es el módulo de deformación tangente en el origen (Figura 3. 4), y ξ es un parámetro auxiliar. Realmente la ecuación (3. 1) es la utilizada, ya que define la rama ascendente, así como la descendente hasta una tensión de 0.50fc. En cierta forma, la parte de ablandamiento quedaría completamente definida mediante la energía de rotura en compresión del material. Sin embargo, el uso de este parámetro no está lo suficientemente extendido como para utilizarlo aquí. Además no es estrictamente necesario ya que la rama de ablandamiento no se utiliza en el trabajo de esta Tesis como tal. Por tanto, se emplea directamente la formulación completa del Código Modelo: la ecuación (3. 2) completa la rama de ablandamiento desde la tensión de 0.50fc. En esta expresión εlim es la deformación correspondiente a esa tensión.

Figura 3. 4. Curva tensión – deformación monótona del hormigón en compresión

3.4.2. Modelo de comportamiento del hormigón bajo carga cíclica

El modelo del hormigón dependiente del tiempo que se plantea en la Tesis tiene que ser capaz de reproducir el comportamiento experimental de este material, el cual se ha explicado en el apartado 2.3. Como se ha visto, durante su vida a fatiga el hormigón

f c

cε ε

σ

1

Ec

cf0.5

ε lim


48

incrementa su deformación máxima. Este crecimiento puede ser descompuesto a través de dos variables: el crecimiento de la deformación remanente y la reducción del módulo de deformación (Figura 2.13).

En adelante, se descarta el uso de un modelo de descarga – recarga ciclo a ciclo.

Ello sería ineficiente e inabordable desde el punto de vista computacional, por lo que la vida a fatiga se divide en bloques de ciclos. Para ello, el modelo dependiente del tiempo se plantea aquí a través de las dos variables fundamentales, deformación y módulo. En un determinado instante de la vida a fatiga del material, se asume que éste se comporta como sigue (Figura 3. 5):

Eσεε ∆

−= max (3. 4)

Con esto se asume un comportamiento de descarga lineal del hormigón dentro de un ciclo (en un instante N/Nf de la vida a fatiga). En la ecuación anterior εmax es la deformación alcanzada tras un determinado número de ciclos de carga, y E es el módulo de deformación, ambos en ese instante de la vida a fatiga del hormigón.

Figura 3. 5. Esquema del modelo teórico del hormigón en compresión. A la izquierda se muestra el

comportamiento del material en un instante determinado N/Nf, cuando se ha alcanzado una deformación máxima εmax según la ley de crecimiento de la deformación indicada en la figura derecha

Las dos variables (εmax, E) son dependientes del número de ciclos, de la carga aplicada y de la calidad del material, como se ve con detalle en el apartado 3.4.5. El modelo dependiente del tiempo propone una ley de evolución de la deformación máxima y del módulo de deformación como siguen:

=

ccf ffNNf minmax

0

max ,, σσε

ε (3. 5)

=

ccfc ffNNg

EE minmax ,, σσ (3. 6)

Como se ve en la Figura 3. 5, la deformación inicial ε0 se obtiene con la formulación

del Código Modelo indicada en el apartado 3.4.1. La deformación de fallo εrot se obtiene mediante el concepto de la curva envolvente [Park Y.J., 1990], que afirma que la envolvente tensión – deformación monótona del hormigón es también la envolvente de rotura bajo carga repetida.

El uso del concepto de la curva envolvente ha sido discutido para los casos de

fatiga. Por ejemplo, en [Pfanner D., 2002] se sugiere que la deformación de rotura en un proceso de fatiga es mayor a la correspondiente a la curva monótona. Se han comparado aquí los resultados de los ensayos de [Awad M.E. y Hilsdorf H.K., 1971], [Holmen J.O.,

0ε

rot ε N/N

ε

E 1

pε

c f

σ min

max σ

σ

ε

ε max

ε min

f

εmax

εmin

εp

ε rot

ε0


49

1979], [Kim J.K. y Kim Y.Y., 1996] con la envolvente utilizada (Figura 3. 6). La gráfica muestra que es conservador utilizar el criterio de la envolvente, sin embargo proporciona una deformación que siempre se encuentra en la tercera fase del proceso de fatiga (Figura 3. 6b). Es por ello que aquí se utiliza este criterio: constituye una herramienta simple y da un resultado suficientemente bueno, teniendo en cuenta que esta fase es muy difícilmente alcanzable en elementos estructurales.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0 1.5 2.0Deformación (ε / εc)

Tens

ión

( σ /

f c)

MC-90Fallo (Holmen)Fallo (Kim)Fallo (Awad y Hilsdorf)

(a)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0 1.5 2.0Deformación (ε / εc)

Tens

ión

( σ /

f c)

MC-90Comienzo 3 fase (Holmen)Comienzo 3 fase (Kim)

(b)

Figura 3. 6. Comparación de la deformación de fallo con la curva envolvente monótona: (a) Comparación de la deformación de rotura; (b) Comparación de la deformación de inicio de la tercera fase

Otra hipótesis que se emplea es suponer que el módulo de deformación del hormigón en el primer ciclo (primera descarga desde la curva monótona) es el módulo de deformación tangente en el origen Ec, independientemente del nivel tensional.

Tal y como se indica en el Capítulo 2, la evolución de la deformación máxima y del

módulo de deformación sigue una curva de tres fases: una primera de velocidad importante pero decreciente, la segunda de velocidad constante, y la última de aumento importante de la velocidad hasta el instante de fallo. En el presente modelo se acepta que los cambios de fases se produce en el 10 y el 80% de la vida a fatiga Nf, tal y como es común en la mayoría de las investigaciones existentes [Holmen J.O., 1979].

Finalmente, debe explicarse el significado del número de ciclos resistentes, Nf.

Como se deduce de las expresiones (3. 5) y (3. 6), este número es importante en la determinación del instante de vida a fatiga relativo (N/Nf) en que se encuentra el material para la posterior aplicación del modelo al análisis estructural, y una curva S-N debe ser utilizada. Desgraciadamente, esto introduce cierta dispersión inherente a las curvas S-N, como se ha comentado en el apartado 2.3.1. El análisis detallado para la selección de una curva S-N adecuada, así como la obtención de las expresiones analíticas de las ecuaciones (3. 5) y (3. 6), se hace en el apartado 3.4.5. 3.4.3. Procesos variables

El apartado 3.4.2 ha explicado los fundamentos del modelo del hormigón dependiente del número de ciclos. Para ello se ha utilizado un proceso de fatiga de límites tensionales constantes (Figura 3. 5). Sin embargo, ya se ha visto en el Capítulo 2 que durante la vida a fatiga de un elemento estructural, la tensión del hormigón oscila entre límites variables aún cuando la carga exterior esté entre límites constantes, bien debido al proceso continuo de redistribución de tensiones que se desarrolla o a cambios en las cargas exteriores. Por lo tanto, la aplicación directa de las ecuaciones sugeridas en


50

el apartado 3.4.2 no es posible, y es necesario proponer un criterio de acumulación de la degradación por fatiga.

Para ello se introduce aquí el concepto del número de ciclos equivalente, Neq. Neq es

el número de ciclos de carga que es necesario aplicar en un proceso de fatiga de límites tensionales constantes (σc,max, σc,min) para alcanzar una determinada deformación total εmax. Puede ser fácilmente calculado a partir de la expresión analítica completa que se abrevia en la ecuación (3. 5). Se trata de un criterio conceptualmente similar al del tiempo equivalente que ha sido utilizado para calcular los efectos diferidos en elementos de hormigón estructural. Su aplicación a casos de fluencia con tensiones variables se puede ver en [Acker P. y Eymard R., 1992], [Acker P. et al., 1989]. También ha sido utilizado con resultados excelentes para la predicción de la relajación de los tendones de pretensado y su aplicación al cálculo de las pérdidas de pretensado en la Escuela de Caminos en los años 80 [Corres H. et al., 1985a], [Corres H. et al., 1985b], [Sánchez-Gálvez V. y Elices M., 1984a], [Sánchez-Gálvez V. y Elices M., 1984b].

Para explicarlo, se supone una probeta de hormigón que se somete inicialmente a N1

ciclos de carga entre (σc,max,1, σc,min,1) y después a N2 ciclos adicionales de carga con límites (σc,max,2, σc,min,2), como se indica en la Figura 3. 7. El concepto del número de ciclos equivalente permite obtener el incremento de deformación que producirían esos nuevos N2 ciclos de carga.

En primer lugar, es instantáneo conocer la deformación máxima alcanzada tras la

primera fase, así como el número de ciclos Neq,1 a los que equivale en un proceso de fatiga entre (σc,max,2, σc,min,2):

2,02min,,2max,,

2

1,1,0

1min,,1max,,

1

11max, ,,,, ε

σσε

σσε

=

=

c

c

c

c

f

eq

c

c

c

c

f ffNN

fffN

Nf (3. 7)

Y mediante el número de ciclos equivalente, el incremento de deformación debido a los N2 ciclos adicionales es:

1max,2,02min,,2max,,

2

21,1max,2max, .,, εε

σσεεε −

+=−=∆

c

c

c

c

f

eq

ffNNN

f (3. 8)

En las dos ecuaciones anteriores, Nf1 y Nf2 son las vidas a fatiga teóricas de dos probetas sometidas a fatiga con límites constantes, los correspondientes a las fases 1 y 2, respectivamente. Los valores ε0,1 y ε0,2 son las deformaciones iniciales teóricas de ambos procesos. Además, Neq,1 es el número de ciclos de carga necesarios para alcanzar una deformación total εmax,1 en un proceso de fatiga con límites tensionales (σc,max,2, σc,min,2).

Figura 3. 7. Proceso cíclico formado por dos fases con límites diferentes de tensión

σσ c,max,1

c,min,1σ σc,max,2

c,min,2σ

N

N1

N2


51

Figura 3. 8. Predicción del incremento de deformación en los N2 ciclos de carga adicionales

La Figura 3. 8 explica gráficamente el procedimiento para el cálculo del incremento de deformación. Se representan las dos curvas de crecimiento de la deformación con límites (σc,max,1, σc,min,1) y (σc,max,2, σc,min,2). El número de ciclos equivalentes viene dado por el punto B, que tiene la misma deformación que el punto A, pero en el proceso 2. A partir de ese punto B se añaden los ciclos adicionales N2, y el incremento de la deformación por fatiga es la distancia CD.

Queda claro que el criterio utilizado es totalmente diferente al criterio de daño de

Palmgren-Miner (apartado 2.5), metodología empírica típica de los metales, que se ha mostrado errónea en su aplicación al hormigón [Zhang B. et al., 1997].

El número de ciclos equivalente también se emplea para obtener el módulo de

deformación correspondiente a un instante determinado en un proceso cíclico de límites variables. Para saber el módulo de deformación del hormigón al final de los N1 + N2 ciclos de la figura, no habría más que utilizarlo en la ecuación (3. 6):

( ) cc

c

c

c

f

eq EffN

NNgNNE .,, 2min,,2max,,

2

21,21

+=+

σσ (3. 9)

Como se observa, en el criterio de acumulación propuesto se ha elegido claramente

la prevalencia de la deformación alcanzada para calcular el número de ciclos equivalentes. Otro criterio podría estar basado en el valor actualizado del módulo de deformación o en una combinación de ambas variables, pero se ha considerado así por ser la deformación el parámetro más importante de la evolución del hormigón durante su vida a fatiga. En el modelo de [Pfanner D., 2002] (descrito en el apartado 2.5.3), el daño afecta directamente a la determinación del módulo de deformación.

3.4.4. Ciclos tracción – compresión

En la parte del modelo explicada hasta ahora, se ha tratado siempre de hormigón comprimido, tanto bajo carga máxima como mínima. En la aplicación del modelo del material al análisis seccional (apartado 3.5), éste se lleva a cabo en la sección fisurada. Esta es la sección más desfavorable, con mayores tensiones, y por tanto con más sensibilidad a la fatiga. Lógicamente, el estudio ha de hacerse en esta sección para analizar la peor situación. Esto conlleva asumir que el hormigón no soporta tensiones de tracción.

N

max,1 ε

ε σ c,max,1 c,min,1, σ( )

)( , σc,min,2c,max,2σ

N1 eq,1N Neq,1 2+N

∆ε

2N

A B C

D


52

Debido a que en el análisis seccional se considera que el hormigón no soporta

tracciones, no se ha formulado un modelo dependiente del tiempo en tracción. Sin embargo, aún queda explicar la propuesta teórica para el caso de cambio de tensiones durante la vida a fatiga.

Por una parte, puede ocurrir que el hormigón pase de compresión a tracción (Figura

3. 9), lo cual es posible durante un proceso redistributivo. En este caso, se asume que el estado tensional del material queda nulo, y que la deformación se reduce a lo largo del eje de deformaciones.

Figura 3. 9. Paso de compresión a tracción

Por otra parte, está el caso en que se pasa de tracción a compresión (Figura 3. 10). Esto se puede dar en una sección sometida a flexión, en la que fibras de hormigón que inicialmente están fisuradas (deformación negativa) lleguen a comprimirse cuando aumenta el tamaño de la cabeza comprimida (cierre de fisuras). En este caso, se acepta que en la compresión de estas fibras el material asciende por la curva envolvente monótona de acuerdo al llamado comportamiento unilateral del hormigón, [Mazars J. et al., 1990]. Adicionalmente, en caso de descarga, ésta sería con el módulo de deformación tangente en el origen (Figura 3. 10).

Figura 3. 10. Paso de tracción a compresión: (A) – (B); y de compresión a tracción (B) – (C)

3.4.5. Obtención de las leyes de evolución de las variables del modelo durante el proceso cíclico

En este apartado se obtienen las expresiones analíticas que definen la evolución de

las variables características del modelo: deformación máxima (ecuación (3. 5)) y módulo de deformación (ecuación (3. 6)). Asimismo, se discute la elección de la curva S-N adecuada para la obtención del número de ciclos de rotura que definen el instante relativo de la vida a fatiga en que se encuentra el material (N/Nf).

f c

cε ε

σ

E

1

σ

ε

cf

(A)

(B)

(C)


53

Para la consecución de estos tres objetivos, se han desarrollado los tres siguientes apartados. Cada uno de ellos se ha estructurado a su vez en tres subapartados a, b y c, de forma que para cada una de las variables estudiadas se hace en cada caso: (a) en primer lugar, una revisión bibliográfica de los trabajos existentes en la literatura científica; (b) a continuación, un análisis crítico de esos resultados; y (c) en tercer lugar, se concluye con las propuestas originales de esta Tesis. 3.4.5.1. Selección de la curva S-N

a) Revisión La primera formulación de las curvas S-N para el hormigón en compresión que tuvo

una cierta difusión fue la de [Aas-Jakobsen K., 1970], en la que el número de ciclos se obtiene a partir de las tensiones máxima y mínima:

−

−=

max

min

max

1

1log

SS

SNβ

(3. 10)

Para el coeficiente β, Aas-Jakobsen propuso un valor de 0.064. Posteriormente otros autores han trabajado con esta misma expresión. Por ejemplo [Tepfers R. y Kutti T., 1979] han sugerido β = 0.0685. Las propuestas del EC-2 ([CEN, 2004], ecuación (3. 11)) o de la norma suiza ([SIA, 1997], ecuación (3. 12)) añaden ligeras variaciones. La formulación de [Zhang B. et al., 1996] es la más sofisticada de esta familia, ya que incluye la influencia de la frecuencia (ecuaciones (3. 13) y (3. 14)).

( )max

max

min

11

14log S

SS

N −−

= (3. 11)

( )maxmin

11

15log SS

N −−

= (3. 12)

( )max

max

min

110807.0

1log SC

SS

N f−

−

= (3. 13)

( ) 796.0920.0249.0 log +⋅= − HzffC (3. 14)

A partir de sus resultados experimentales, [Holmen J.O., 1982] propuso una formulación basada en el modelo de McCall para incluir la probabilidad de ocurrencia del fallo p. Aunque ha tenido bastante difusión, las curvas S-N no son la aportación más importante del trabajo de Holmen. En primer lugar, todos los ensayos tuvieron una tensión máxima siempre superior a 0.60, dando resultados muy grandes la vida a fatiga obtenida para tensiones inferiores a esa. En segundo lugar, las fórmulas sólo son válidas para los siguientes casos particulares: Smin = 0.05: ( )( ) 0596.0033.3

max 1log978.1log pSN −−= − (3. 15)

Smed = 0.50: ( )( ) 0651.0430.4max 1log862.1log pSN −−= − (3. 16)

La propuesta de [Hsu T.T.C., 1981] es, como se ha señalado en el Capítulo 2, la más empleada en la literatura. Distingue una expresión diferente para fatiga de ciclo alto y de ciclo bajo, estableciendo la separación entre ambas en 1000 ciclos. Además la


54

fórmula incluye la influencia de la frecuencia a través de la duración de un ciclo, o período T. La expresión analítica es:

( ) ( )( )maxlog445.01053.02.02.1779.01133.0

1log STRRR

N −−−−−

= ;

N < 1000 (3. 17)

( ) ( )maxlog0294.01556.010662.0

1log STR

N −−−

= ; N ≥ 1000 (3. 18)

Finalmente, hay que destacar la propuesta en tres expresiones de [Petkovic G. et al., 1990]:

( )( )2minminmax1 816121log SSSN ++−= (3. 19)

( )[ ]6log2.01loglog 112 −+= NNN (3. 20)

S

SNN

∆

−=

min

23833.0

loglog (3. 21)

- Si log N1 ≤ 6, entonces N = N1. - Si log N1 > 6 y ∆S ≥ 0.3-3/8Smin, entonces N = N2. - Si log N1 > 6 y ∆S < 0.3-3/8Smin, entonces N = N3. La formulación de Petkovic es la empleada por el Código Modelo MC-90 [CEB -

FIP, 1991]. Además, este trabajo concluyó en que las curvas S-N obtenidas para hormigón normal son también válidas para hormigón de alta resistencia mientras las tensiones se expresen por su valor relativo a la resistencia. Esto ha sido confirmado por otros investigadores como [Do M.-T. et al., 1993], [Kim J.-K. y Kim Y.-Y., 1999], [Lenschow R., 1987].

La Figura 3. 11 muestra comparativamente las curvas S-N más importantes de la

literatura, para diferentes valores de Smin.


55

Smin = 0.0

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09log N

Smax

Aas-Jakobsen, 1970Zhang et al., 1996Hsu, 1981Petkovic et al., 1990 (MC-90)Holmen, 1979 (Smin = 0.05)

(a)

Smin = 0.1

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09log N

Smax


(b)

Smin = 0.2

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09log N

Smax


(c)

Smin = 0.3

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09log N

Smax


(d)

Smin = 0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09log N

Smax


(e)

Smin = 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09log N

Smax


(f)

Figura 3. 11. Estudio comparativo de formulaciones S-N para el hormigón

b) Análisis Una primera observación de la Figura 3. 11 demuestra que la utilización de una u

otra curva S-N puede dar resultados muy diferentes en el objetivo de obtener Nf, especialmente cuando desciende el nivel de la tensión máxima, situándose en el rango habitual de trabajo de las estructuras de hormigón. Con el fin de seleccionar la más


56

adecuada para su uso en la modelización, se han realizado comparaciones de las propuestas más importantes con resultados experimentales de otros autores. Se han empleado los resultados de [Awad M.E. y Hilsdorf H.K., 1971], [Bennett E.W. y Raju N.K., 1969], [Do M.-T. et al., 1993], [Kim J.K. y Kim Y.Y., 1996], [Klausen D., 1978], [Ople F.S. y Hulsbos C.L., 1966]. En las siguientes figuras se representan las comparaciones:

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

log N

S m

ax

Awad y Hilsdorf, 1971Tepfers y Kutti, 1979Hsu, 1981Holmen, 1979Petkovic et al, 1990Zhang et al, 1997

Figura 3. 12. Comparación con Awad y Hilsdorf (1971), fc = 58 MPa, Smin = 0.0

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

S m

ax

Bennett y Raju, 1969Tepfers y Kutti, 1979Hsu, 1981Holmen, 1979 (Smin = 0.05)Petkovic et al, 1990Zhang et al, 1997

Figura 3. 13. Comparación con Bennett y Raju (1969), fc = 41.3 MPa, Smin = 0.035

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

S m

ax

Do et al, 1993Tepfers y Kutti, 1979Hsu, 1981Holmen, 1979Petkovic et al, 1990Zhang et al, 1997

Figura 3. 14. Comparación con Do et al. (1993), fc = 70 y 95 MPa, Smin = 0.05


57

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

S m

ax

Kim y Kim, 1996Tepfers y Kutti, 1979Hsu, 1981Holmen, 1979 (Smin=0.05)Petkovic et al, 1990Zhang et al, 1997

Figura 3. 15. Comparación con Kim y Kim (1996), fc = 26, 52, 84 y 103 MPa, Smin = 0.25

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

S m

ax

Klausen (Smin = 0.05), 1978Tepfers y Kutti, 1979Hsu, 1981Holmen, 1979 (Smin=0.05)Petkovic et al, 1990Zhang et al, 1997

(a)

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

log N

S m

ax


(b)

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

S m

ax


(c)

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

log N

S m

ax


(d)

Figura 3. 16. Comparación con Klausen (1978): (a) Smin = 0.05; (b) Smin = 0.20; (c) Smin = 0.35; (d) Smin = 0.40


58

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

S m

ax

Ople y Hulsbos, 1966Tepfers y Kutti, 1979Hsu, 1981Holmen, 1979 (Smin=0.05)Petkovic et al, 1990Zhang et al, 1997

Figura 3. 17. Comparación con Ople y Hulsbos (1976), fc = 38.6 MPa, Smin = 0.10

De la comparación realizada, resulta claro que la propuesta de Holmen sirve sólo para las condiciones particulares de sus ensayos (Smin = 0.05). Del resto de modelos, en todos los casos, la propuesta de Petkovic et al. proporciona, en general los resultados más conservadores, por lo que parece adecuado que sea la elegida por el Código Modelo.

Además, en todos los ejemplos, el modelo de Hsu aporta valores correspondientes al

comportamiento medio. Esto sucede incluso en el caso en el que la tensión mínima es nula (Figura 3. 12), que es muy importante de cara a la modelización estructural.

c) Propuesta Analizadas las formulaciones existentes, por las razones expuestas en el apartado b)

anterior se considera que la más adecuada para la obtención del número de ciclos resistentes es la de Hsu. Por lo tanto, es la que se utiliza en el modelo numérico desarrollado. 3.4.5.2. Ley de evolución de la deformación (ε - N)

a) Revisión

El estudio de [Holmen J.O., 1979] es la referencia más importante en el estudio de la deformabilidad de probetas de hormigón durante procesos cíclicos. Algunos resultados ya se han reflejado en la Figura 2.14. Además de presentar una gran cantidad de datos experimentales, en su trabajo se proponen expresiones analíticas para describir la deformación máxima. En ellas distingue los ensayos de corta duración de los de larga duración, en la que una parte de la deformación es la debida a fluencia. Las expresiones son las siguientes:

• Ensayos de corta duración:

( )5.0

maxmax0

max 183.1180.31

−+=

fNNS

Sεε ; 10.0≤

fNN (3. 22)

+=

fNN

S667.01110.1

max0

max

εε ; 80.010.0 ≤<

fNN (3. 23)


59

• Ensayos de larga duración:

( ) +

−+=

5.0

maxmaxmax

0max 183.1180.3

fNNSS

Sεε

( ) ( )1854.0146.0413.0 184.1maxmin +++ tLSS ; 10.0≤

fNN

(3. 24)

( ) ( )1854.0146.0413.0667.01110.1 184.1maxmin

max

0max +++

+= tLSS

NN

S f

εε ;

80.010.0 ≤<fN

N (3. 25)

Las ecuaciones anteriores se representan en la Figura 3. 18. En ellas, ε0 es la deformación alcanzada en el primer ciclo, y t es el tiempo de carga.

Holmen, 1979 (corta duración)

Valores de Smax:

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0N / Nf

ε m

ax /

ε o

0.40.50.60.70.80.9

(a)

Holmen, 1979 (larga duración)

Smax = 0.70Smin = 0.10

Valores de Smax:

Valores de t(horas):

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0N / Nf

ε m

ax /

ε o

015241001000

(b)

Figura 3. 18. Curvas de crecimiento de la deformación de Holmen (1979): (a) Corta duración; (b) Larga duración

Otros autores han realizado ensayos adicionales que confirman la tendencia del crecimiento de la deformación en una curva en forma de S, como es el caso de [Alawieh H. et al., 2006], [Awad M.E. y Hilsdorf H.K., 1971], [Breitenbücher R. y Ibuk H., 2006], [Gaede K., 1962], [Klausen D., 1978]. Además, los instantes en los que se produce cambio de fase ocurren aproximadamente en el 10 y el 80% de la vida a fatiga.

Otros ensayos han demostrado, además, que el comportamiento es diferente en

hormigones normales y de alta resistencia [Do M.-T. et al., 1993], [Kim J.K. y Kim Y.Y., 1996], [Petkovic G. et al., 1990]. El HAR es menos flexible, su deformación crece menos desde que su envolvente monótona es más estrecha que la del hormigón normal. La Figura 3. 19 expone algunas comparaciones en las que se observa el distinto comportamiento de probetas con hormigón de diferentes calidades, con respecto a la ley de deformabilidad propuesta por Holmen.


60

Do et al, 1993 (Smax = 0.70, Smin = 0.05)

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0N / Nf

ε max

/ ε o

HolmenDo

(a)

Do et al, 1993 (Smax = 0.75, Smin = 0.05)

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0N / Nf

ε max

/ ε o

HolmenDo

(b)

Figura 3. 19. Comparación de los resultados de Do et al. (1993) con los de Holmen (1979): (a) HAR – 75; (b) HAR – 95. Las líneas discontinuas indican resultados de diferentes ensayos.

Sin embargo, pocos trabajos han desarrollado ensayos en los que la tensión máxima sea relativamente baja. [Aas-Jakobsen K. y Lenschow R., 1973] ensayaron probetas con tensiones de 0.60, 0.45 y 0.30. Aunque los ensayos sólo se llevaron hasta un millón de ciclos, y por tanto no se encontró la rotura, se confirma la forma de la curva en sus fases primera y segunda (Figura 3. 20).

Aas-Jakobsen y Lenschow, 1973(Smin = 0.10)

Valores de Smax:

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 200000 400000 600000 800000 1000000N

ε m

ax (x

100

0)

0.300.450.60

Figura 3. 20. Resultados experimentales de Aas-Jakobsen y Lenschow (1973)

Dentro de las propuestas empíricas, [Pfister T. et al., 2006] han sugerido recientemente la siguiente expresión para obtener la velocidad de deformación en la segunda etapa de fatiga:

( ) 63.219.1971.24/

22 −+−== ss

NNdd

f

fatfat εε.

; ( )2

minmaxminmax

SSSSs +−= (3. 26)

Para poder utilizar esta propuesta como comparación con la de Holmen, es necesario agregar la deformación inicial de la siguiente manera:

( )( ) ( )f

fat

f

fatfat

NNdd

NNdd

/1

//1

0

0max

00

max0max

εε

εεε

εε

εεεε =⇒+=⇒+= (3. 27)

En la Figura 3. 21 se dibuja la velocidad en la segunda fase en comparación con la que se obtiene a parir de las ecuaciones de Holmen a corto plazo. La aportación de Pfister et al. proporciona velocidades muy bajas para tensiones menores a 0.70,


61

adjudicando los autores toda la deformación que se desarrolla en estos rangos de tensiones a la componente de fluencia.

Pfister et al, 2006

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0S max

d(ε/

ε o)

/ d(

N/N

f ) - 2

fase

0.000.050.100.200.30Modelo

Figura 3. 21. Velocidad de deformación en la 2ª fase de fatiga de Pfister et al. (2006) y Holmen (1979)

b) Análisis Al analizar los datos disponibles para estudiar la evolución de la deformación por

fatiga, incluso el trabajo más exhaustivo, que es el de Holmen, presenta algunas deficiencias. En primer lugar, no se propone nada para la tercera y última fase del proceso de fatiga. En segundo lugar, las ecuaciones dadas no definen una función derivable (la pendiente de las fases 1 y 2 no coincide en el punto de intersección, N/Nf = 0.10; ver Figura 3. 18). Sin embargo, se pueden tomar como referencia para proponer una nueva formulación. Se considera la formulación a corto plazo para no mezclar la componente de fluencia que pueda existir, para la que se puede consultar cualquier manual sobre fluencia de hormigón. Aunque la superposición no es inmediata, parece lógico no mezclar ambas componentes en un modelo de fatiga. Para la variable de fluencia habría que incluir, entre otras variables, la influencia de la duración de cada ciclo de carga y la edad del hormigón.

Tomando todos los datos de ensayos de las referencias citadas en el apartado

anterior (en total se incluyen más de 100 ensayos), se comparan ahora con los dos parámetros fundamentales que se extraen del modelo de Holmen. Uno es la deformación correspondiente a 0.10Nf (que se denominará ε1-2 a partir de ahora), y otro

es la velocidad de deformación en la segunda fase ( 2

.ε a partir de ahora). Ambas vienen

normalizadas por la deformación inicial ε0. Los valores que se extraen directamente de la propuesta de Holmen son:

max21

0

max 184.110.0SN

N

f

==

= −ε

εε (3. 28)

( )( ) max

20max 74037.0

//

SNNdd

f

==.εεε (3. 29)

En la Figura 3. 22 se muestran las comparaciones realizadas. Los gráficos muestran que el uso de las expresiones (3. 28) y (3. 29) proporciona resultados bastante aceptables teniendo en cuenta su relativa simplicidad. El intento de obtener un valor empleando mínimos cuadrados con todos los ensayos (Figura 3. 23a) produce un coeficiente de correlación muy bajo debido a la alta dispersión y pocos datos en los casos de tensiones más moderadas. Por otra parte, la posibilidad de introducir la

Componente que correspondería a fluencia según Pfister et al. (2006)


62

influencia de la tensión mínima (Figura 3. 23b) conduciría a velocidades de deformación extremadamente altas.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Smax

ε 1-

2

Holmen c.p.Smin = 0.00Smin = 0.05Smin = 0.10Smin = 0.20Smin = 0.25Smin = 0.35Smin = 0.55Smin = 0.65Smin = 0.80

(a)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Smax

d(ε/

ε o )/d

(N/N

f ) -

Fase

2

Holmen c.p.Smin = 0.00Smin = 0.05Smin = 0.10Smin = 0.20Smin = 0.25Smin = 0.35Smin = 0.65Smin = 0.65Smin = 0.80

(b)

Figura 3. 22. (a) Deformación en el cambio de fases 1 y 2; (b) Velocidad de deformación en la fase 2

y = 0.6126x-2.1427

R2 = 0.3503

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Smax

d(ε/

ε o )/d

(N/N

f ) -

Fase

2

(a)

0.000.05

0.10

0.15

Smin > 0.19

0.19

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Smax

d(ε/

ε o )/d

(N/N

f )

(b)

Figura 3. 23. (a) Ajuste M.C.O. con todos los ensayos; (b) Ajuste M.C.O. incluyendo Smin


63

c) Propuesta

El desarrollo completo de la ecuación (3. 5) que se propone en esta Tesis para definir la evolución de la deformación en un proceso de fatiga está formado por tres ecuaciones, una para cada una de las tres etapas características de la fatiga. Para las fases 1 y 3 se proponen aquí parábolas de segundo orden, y para la segunda fase una expresión lineal. En detalle, las propuestas son las siguientes:

• Primera fase: parábola de orden 2. Debe valer 1.0 en el origen (N/Nf = 0.0), y la

ordenada y la pendiente en el final de la fase (N/Nf = 0.1) son los valores dados en las ecuaciones (3. 28) y (3. 29). Analíticamente:

2

0

max 1

++=

fff NNB

NNA

NN

εε (3. 30)

( ) 221 101100.εε +−= −B (3. 31)

( ) 221 120.εε −−= −A (3. 32)

• Segunda fase: recta. Tiene la pendiente dada por la ecuación (3. 29), y debe pasar

por la ordenada (3. 28) en el instante N/Nf = 0.1. Analíticamente:

−+=

− 1.0221

0

max

ff NN

NN .

εεε

ε (3. 33)

• Tercera fase: parábola de orden 2. En el punto de transición con la fase 2, su

ordenada y derivada vienen condicionadas por la ecuación (3. 33), mientras que en el instante de rotura (N/Nf = 1.0) la deformación vine dada por el criterio de la envolvente (apartado 3.4.2, Figura 3. 6). Analíticamente:

2

2210

max 8.01.0

−+

−+=

−

fff NNC

NN

NN .

εεε

ε (3. 34)

−−= − 221

0

9.025.εε

εε rotC (3. 35)

Finalmente, se ha añadido una limitación a la velocidad de deformación de la

segunda fase de fatiga, de manera que no se supere la deformación de rotura dada por la envolvente. Esta limitación es necesaria dado que los parámetros propuestos se han obtenido de manera independiente unos de otros. Ello se consigue simplemente:

−≤ −21

0

29.0

1 εεεε rot

. (3. 36)

La Figura 3. 24 dibuja cómo queda la propuesta de la evolución de la deformación.


64

0

1

2

3

4

5

6

7

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0N/N f

ε max

/ ε o

0.400.500.600.700.800.90

Figura 3. 24. Ley de evolución de la deformación en un proceso de fatiga (para diferentes valores de

Smax). No depende de la tensión mínima Smin.

3.4.5.3. Ley de evolución del módulo de deformación (E - N)

a) Revisión

Al igual que en el estudio de la evolución de la deformación, es el trabajo de [Holmen J.O., 1979] el más importante en cuanto a resultados experimentales de la reducción del módulo de deformación. Sin embargo, los resultados son más limitados, ya que sólo se aportan los dibujados en la Figura 3. 25. La falta de datos abundantes del módulo de deformación no es tan importante desde que el parámetro fundamental del modelo es la deformación.

Holmen, 1979 (Smin = 0.05)

Smax:

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0N/Nf

E / E

o

0.950.900.8250.750.675

Figura 3. 25. Evolución del módulo de deformación secante en descarga, Holmen (1979)

En cualquier caso, ya se observa que la forma de la curva es similar a la de la deformación, también en tres fases características, siendo los puntos de cambio de fase los mismos. La pendiente en la segunda fase es mayor cuanto mayor es la tensión máxima. Todos los resultados de Holmen corresponden a procesos con Smin = 0.05, pero trabajos de otros autores [Alawieh H. et al., 2006], [Awad M.E. y Hilsdorf H.K., 1971], [Breitenbücher R. y Ibuk H., 2006], [Holmen J.O., 1979], [Mehmel A. y Kern E., 1962] han mostrado dos cuestiones importantes que se discuten en el siguiente punto b). En primer lugar, el nivel de la tensión mínima es importante, y en segundo lugar, parece que existe una tensión máxima límite por debajo de la cual, la pendiente de la segunda fase es horizontal. Algunos gráficos se dan en la Figura 3. 26.


65

Awad y Hilsdorf, 1971(Smin = 0.0)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04N

E / E

o

Smax = 0.95Smax = 0.90Smax = 0.85Smax = 0.80

(a)

Awad y Hilsdorf, 1971(Smax = 0.85)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

N

E / E

o

Smin = 0.00Smin = 0.35Smin = 0.80

(b)

Figura 3. 26. Evolución del módulo de deformación: (a) Awad y Hilsdorf (1971); (b) Breitenbucher y Ibuk (2006)

Por otra parte, [Do M.-T. et al., 1993], [Petkovic G. et al., 1990] han mostrado que, al igual que ocurría con la deformación, el módulo se reduce menos en hormigones de alta resistencia.

b) Análisis Analizando conjuntamente los resultados de los ensayos de los trabajos señalados en

el punto anterior, se pueden alcanzar conclusiones sobre la evolución del módulo de deformación durante el proceso de fatiga. En primer lugar, en la Figura 3. 27 se representan los valores correspondientes a la velocidad de la segunda fase (después se analizan los valores que definen la primera fase). Claramente se observa con los resultados de Smin = 0.05 que la velocidad es creciente con la tensión máxima, existiendo un umbral alrededor de Smax = 0.40 – 0.50. Además, para tensiones mínimas elevadas, la velocidad en la segunda fase se reduce muchísimo. Haciendo un ajuste por M.C.O. (Figura 3. 28), se puede describir la pendiente en esta segunda fase como una recta dependiente de las tensiones máxima y mínima.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Smax

- d(E

/E o )

/ d(

N/N

f ) -

Fas

e 2

Smin = 0.00Smin = 0.05Smin = 0.10Smin = 0.35Smin = 0.72

Figura 3. 27. Valores de la pendiente de la segunda fase de fatiga


66

0.00

0.05 0.10

0.150.20 0.35

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Smax

-d(E

/E c )

/ d(

N/N

f )

Figura 3. 28. Ajuste M.C.O. de la pendiente de la segunda fase de fatiga, para distintos valores de Smin

La expresión analítica para la velocidad de reducción del módulo de deformación que se obtiene es:

( )maxmax,limmax,lim

21

246.0 SSS

E −−

=.

; limmax,max SS > (3. 37)

02 =.E ; limmax,max SS ≤ (3. 38)

En las ecuaciones anteriores se establece un límite para Smin = 0.35. En caso de que

la tensión mínima sea mayor que éste, se ha de utilizar la ecuación con Smin = 0.35. Smax,lim es la tensión límite por debajo de la cual la pendiente es cero, y vale:

minlimmax, 3912.0 SS += (3. 39)

Otro valor importante para modelizar la evolución del módulo, es el valor de éste en

el momento de cambio de fases 1 a 2. En la Figura 3. 29 se representan todos los datos disponibles. Se observa que, para un valor de Smin constante, el módulo se reduce en la primera etapa más cuanto menor es la tensión máxima Smax. Esta reducción es más importante cuanto menor es la tensión mínima Smin, comprobándose que el caso más grave sucede para descarga total. Otro aspecto que se observa es que existe un valor de la tensión mínima por encima del cual la reducción del módulo en la primera fase es muy pequeña (Smin = 0.10). El ajuste por M.C.O. (Figura 3. 30) permite obtener el valor del módulo en este instante a partir de las tensiones máxima y mínima.


67

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Smax

(E/E

o) 1 -

2


Figura 3. 29. Módulo de deformación en el cambio de fases 1 y 2

0.00

0.05

0.10

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Smax

(E/E

o) 1-

2

Figura 3. 30. Ajuste M.C.O. del módulo de deformación en el cambio de fases 1 y 2 para distintos

valores de Smin

La expresión analítica encontrada para el valor del módulo en este instante de la vida a fatiga (N/Nf = 0.10) es la siguiente:

( ) ( ) maxminmin210

19.88388.019.80912.0 SSSEE

−++=

−

; 10.0min <S (3. 40)

93.0210

=

−EE ; 10.0min ≥S (3. 41)

Finalmente, queda por analizar el valor del módulo de deformación en el instante de rotura. Para ello se representan los valores encontrados en los experimentos disponibles en la Figura 3. 31. Se prefiere una formulación basada en la deformación última en lugar de la tensión, para así tener en cuenta la forma de la envolvente de rotura. El ajuste por M.C.O. se lleva a cabo en la Figura 3. 32.


68

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Smax

E rot /

E o


(a)

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

εrot / εc

E rot /

E c


(b)

Figura 3. 31. Valor del módulo de deformación de rotura en función de: (a) La tensión máxima; (b) La deformación última

0.044

0.050

0.0750.100

0.000

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0εrot / εc

E rot /

E c

Figura 3. 32. Ajuste M.C.O. del módulo de deformación en el instante de fallo, para diferentes valores de

la tensión mínima Smin.

Las expresiones analíticas completas son las siguientes:

min0

477.341.0 SEErot += ; 044.0min <S (3. 42)

( ) ( )c

rotrot SSEE

εε

minmin0

608.177758.08221.0464.31 −+−= ;

10.0044.0 min <≤ S (3. 43)

c

rotrot

EE

εε985.03243.2

0

−= ; 10.0min ≥S (3. 44)


69

c) Propuesta El desarrollo completo de la ecuación (3. 6) que se propone en esta Tesis para

definir la evolución del módulo de deformación en un proceso de fatiga está formado por tres ecuaciones, una para cada una de las tres etapas características de la fatiga:

• Primera fase: parábola de orden 2. Debe valer 1.0 en el origen (N/Nf = 0.0), ya que

se asume que el módulo de descarga en el primer ciclo siempre es el módulo de deformación tangente en el origen. La ordenada y la pendiente en el final de la fase (N/Nf = 0.1) son los valores dados por las ecuaciones (3. 40) - (3. 41) y (3. 37) - (3. 38), respectivamente. Analíticamente:

2

1

+

+=

fffc NNP

NNM

NN

EE (3. 45)

210

2 2020−

+−−=

EEEM

. (3. 46)

210

2 10010100−

−+=

EEEP

. (3. 47)

• Segunda fase: recta. Tiene la pendiente dada por la ecuación (3. 37) - (3. 38), y en

el instante N/Nf = 0.10 tiene un valor (3. 40) - (3. 41). Analíticamente:

+=

ffc NNET

NN

EE

2

. (3. 48)

2

210

1.0.E

EET −

=

−

(3. 49)

• Tercera fase: parábola de orden 2. En el punto de transición con la fase 2, su

ordenada y derivada vienen condicionadas por la ecuación (3. 48), mientras que en el instante de rotura (N/Nf = 1.0) el valor es el dado por las ecuaciones (3. 42) - (3. 44). Analíticamente:

2

8.08.0

−+

−+=

fffc NNS

NNRQ

NN

EE (3. 50)

28.0.EAQ += (3. 51)

2.ER = (3. 52)

−−= 225

.EA

EES

c

rot (3. 53)

Una última condición para que las tres fases se desarrollen sin problemas es la

siguiente:

2

21

9.0.E

EE

EE

cc

rot +

≤

−

(3. 54)

En la Figura 3. 33 se dibuja la evolución del módulo de deformación propuesta por el modelo teórico para algunos casos.


70

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0N / Nf

E / E

c

0.900.800.700.600.500.40

(a)

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0N / Nf

E / E

c

0.000.050.100.200.300.35

(b)

Figura 3. 33. Evolución del módulo de deformación: (a) Tensión mínima constante Smin = 0.05 y máxima variando entre Smax = 0.40 – 0.90; (b) Tensión máxima constante Smax = 0.80 y mínima variando entre Smin

= 0.00 – 0.35

3.5. Análisis seccional

En este apartado se utiliza el modelo de material desarrollado en 3.4 para conocer la influencia estructural de la fatiga del hormigón al nivel de la sección. El análisis se realiza al nivel de la sección fisurada, es decir, todo el boque traccionado es soportado por la armadura. Esta es la más desfavorable desde el punto de vista de la fatiga, debido a que es donde las tensiones en el hormigón son mayores, siendo por tanto las más sensibles a fatiga. Igualmente, en elementos armados es la sección donde la oscilación de la tensión en la armadura es más elevada, siendo este el parámetro dominante para determinar la vida a fatiga del acero.

En el análisis seccional se impone la hipótesis de Navier - Bernouilli de que la

deformada de la sección permanece plana y no hay deformación por cortante, así como compatibilidad del acero y del hormigón. El comportamiento del hormigón en compresión es el indicado en el apartado 3.4. Como se estudia ha indicado, se considera que el hormigón no soporta tracciones. Para el acero de la armadura, se adopta un comportamiento bilineal elasto – plástico clásico.

A continuación se explica la estrategia de análisis seccional para tener en cuenta el

efecto del número de ciclos.


71

3.5.1. Estrategia de análisis

El efecto que produce la fatiga durante un determinado número de ciclos en la distribución de tensiones y deformaciones de la sección se implementa aquí a través de una metodología de tres pasos. Esta estrategia es similar a la empleada por [Ghali A. y Favre R., 1994] para el análisis de una sección formada por capas de diferentes hormigones y armaduras ante una deformación impuesta (gradiente térmico, retracción, fluencia, etc.).

El esquema está representado en la Figura 3. 34. Supongamos que la distribución de

tensiones y deformaciones de una sección de hormigón armado es conocida tras un determinado número de ciclos de carga Nj (Figura 3. 34, arriba - izquierda), tanto bajo carga máxima como mínima. Una fibra i de la sección transversal queda definida en ese instante por sus tensiones σi (σi,max, σi,min) y deformaciones εi (εi,max, εi,min). Los subíndices hacen referencia a tensión en el hormigón (c) o en la armadura (s). El objetivo es obtener el cambio en el estado tensión – deformación después de ∆Nj ciclos de carga adicionales.

ε σ

Nj

ε iε i,min i,maxε( , )

ciσci,maxci,min(σ ,σ )

∆σ = 0∆ε

ci( σi∆ε , ) ci∆σ = 0

sσ σs,minσ( , s,max )

f,i

eq,i

NN ,...

Paso 1: crecimiento libre de la deformación

∆ε = −∆ε

∆ε ∆σ

bloq,i

Paso 2: bloqueo de la deformación libre

i∆Nbloqbloq

i∆σ =bloq,i

= - E σNci

f,i

eq,i

N(i , ,...).∆ε i ...

... ∆Nbloq

Paso 3: desbloqueo en la sección armada

∆εunbloq,i

∆σ−∆N

unbloq

bloq

∆εunbloq

∆σunbloq,i

n = E / Ei i ref ∆Mbloq∆σunbloq,s

∆ε

∆ε =TOT

TOT,i

TOT,s∆σ

∆σ +unbloq∆εunbloq ∆σ =TOT ∆σbloq

∆σTOT,i

σ

+ ∆N

ε

iε + ∆ε

σsσ +

ciσ + ∆σ

TOT,s

TOT,i TOT,i

j

Nj + ∆Nj

Figura 3. 34. Esquema del algoritmo seccional en tres pasos


72

Esto es analizado en tres pasos:

• PASO 1: Cada fibra de hormigón experimenta un crecimiento libre de la deformación, como si fuera una pequeña probeta independiente sometida a un proceso de fatiga de límites constantes (σci,max, σci,min) durante ∆Nj ciclos. Este incremento libre de la deformación (∆εi) depende del número de ciclos, las tensiones y la historia, a través de las fórmulas del apartado 3.4, y en particular del criterio de acumulación del apartado 3.4.3:

4444 34444 21max,

min,max,,max

min,max,,max ,,,,

i

c

ci

c

ci

fi

ieq

c

ci

c

ci

fi

jieqi ffN

NffN

NN

ε

σσε

σσεε

−

∆+=∆

(3. 55)

Obviamente, en este primer paso la compatibilidad de deformaciones no se conserva. Además, como es un incremento libre de la deformación, no se generan tensiones. De acuerdo al apartado 3.4.3, Neq,i es el número de ciclos que hay que aplicar en un proceso de fatiga de límites constantes (σci,max, σci,min) para alcanzar una deformación máxima εi,max.

• PASO 2: Se aplica un esfuerzo axil ∆Ni a cada pequeña capa en las que se divide la sección transversal. Este axil debe bloquear completamente la deformación libre desarrollada por cada capa en el paso 1. El axil produce en cada fibra una tensión de bloqueo:

iiibloq E εσ ∆−=∆ , (3. 56)

Ei es el módulo de la fibra i, dependiente del estado tensión – deformación actualizado de la fibra y su historia, de la forma en que se ha indicado en el apartado 3.4. Como se ve, después de los pasos 1 y 2, el incremento de la deformación es nulo, pero el bloque de tensiones resulta en un axil de bloqueo ∆Nbloq. Este esfuerzo debe ser eliminado para verificar el equilibrio seccional.

• PASO 3: En el último paso los esfuerzos de bloqueo resultante del paso 2 son retirados, aplicándolos cambiados de signo a la sección armada (-∆Nbloq va acompañado de un momento ∆Mbloq debido a la excentricidad del bloque de tensiones respecto al centro de gravedad de la sección armada2). Este paso 3 representa un problema de una sección multi-capa sometida a esfuerzos normales. Cada fibra tiene una rigidez diferente Ei, así como la armadura Es.

El efecto de la fatiga debido a los ∆Nj ciclos de carga adicionales se obtiene

sumando los resultados de los tres pasos:

iunbloqiunbloqiiiTOT ,,, εεεεε ∆=∆+∆−∆=∆ (3. 57)

iunbloqiiiunbloqiiiTOT EE ,,, 0 σεσεσ ∆+∆−=∆+∆−=∆ (3. 58)

2 Se trataría del centro de gravedad de la sección homogeneizada, ya que cada capa de hormigón tiene un módulo de deformación Ei diferente en función de la degradación sufrida por fatiga durante el número de ciclos de carga ya aplicado.


73

Como se ve en la Figura 3. 34, la metodología conserva la compatibilidad de deformaciones y produce la redistribución de tensiones en la sección3. El efecto es simulado como si cada fibra estuviera sometida a cortos procesos de fatiga de límites constantes, de duración ∆Nj ciclos. La Figura 3. 35 ilustra la evolución de una fibra de hormigón. En este caso se trataría de una fibra en la que el proceso redistributivo hace que se reduzca su tensión a medida que aumenta su deformación total.

Figura 3. 35. Evolución debida a la fatiga de una fibra de hormigón en la sección armada

El paso del tiempo ∆Nj en cada iteración de cálculo j debe ser cuidadosamente seleccionado para reproducir fielmente la evolución seccional. Un valor del paso del tiempo elevado produciría un resultado erróneo, mientras que pasos demasiados pequeños harían el proceso computacionalmente ineficiente.

A lo largo del canto de la sección, el valor de la relación Neq,i/Nfi es variable, y

representa el estado de fatiga actualizado de cada fibra del hormigón. Antes de cada iteración en el tiempo, la peor fibra de la sección es evaluada (corresponde a la que tiene el valor más elevado de Neq,i/Nfi). Esta fibra es la que se utiliza para obtener ∆Nj como una fracción de su vida total, de forma que haya un número mínimo de pasos de tiempo. En general, se ha utilizado el criterio de que el valor de ∆Nj sea tal que el máximo incremento libre de la deformación en la peor fibra sea menor que un determinado valor, como por ejemplo 5x10-6.

Como se comprueba, las variables del modelo dependen de la tensión máxima y la

mínima. Esto significa que tras cada paso de tiempo es necesario descargar la sección. La descarga se realiza con el módulo de deformación actualizado del hormigón en cada instante, tal y como se representa en la Figura 3. 5 o la Figura 3. 9.

La rotura por fatiga del hormigón se produce, como ya se ha comentado, cuando el

material alcanza la envolvente monótona. Lógicamente este instante se corresponde en la fibra rota con un valor:

0.1=f

eq

NN

(3. 59)

Tanto en la fase de descarga como en el paso 3 de la Figura 3. 34, es necesario resolver una sección de hormigón armado sometida en general a dos esfuerzos (axil y momento). Por tanto, se trata de un sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:

==

ext

ext

MMNN

(3. 60)

3 Incluyendo la dificultad que supone no considerar simplificaciones de sección fisurada con fibra neutra constante.

Evolución por fatiga de i

j∆N ciclosσci,min

ci,maxσ

σ

cf

ε


74

Las dos incógnitas son las que definen el plano de la deformada de la sección (Figura 3. 36). En este caso se han elegido la deformación en la cara superior y la curvatura de la sección (εmax, ψ). El sistema de ecuaciones es resuelto a través del método iterativo de regula – falsi, o método de la cuerda.

La Figura 3. 36 muestra el diagrama de flujo del algoritmo iterativo. Para cada valor

de εmax, se busca la curvatura ψ que verifica el equilibrio de axiles. Integrando las tensiones, se calcula el momento flector resultante, y es comparado con el momento exterior Mext. Si no coinciden se hace una nueva iteración con otro valor de ψ. La selección de los valores extremos de las dos incógnitas ha de hacerse cuidadosamente y, en cualquier caso, la obtención de los momentos Meq(εmax,1) y Meq(εmax,2) para los valores extremos de εmax requiere resolver el equilibrio de axiles también de forma iterativa.

MN

yψ

εmax

yx = εmax

ψε = ψ ( )x - yi i

σ = σ (ε )i i

ó max, 2εε max, 1maxε =

21 óψ = ψ ψ

Continue

no

sí

sí

no

M - M Tolext

extN - N Tol

iM = Σ N . yi

iN ΣN =ψεmaxε = ψ ( ) - yi i

σ = σ (ε )i i

1/(N -N )ext2(N -N ) 2ψψ = ψ 1 (N -N ) 1 ext /(N -N ) +12

N ( )2,ψ ψ21ψψψValores extremos de

1 N ( )

+ ε max, 2 (M -M ) eq,2 ext /(M -M ) eq,2eq,1

eq,2 eq,1/(M -M ) +exteq,1(M -M ) max, 1εmaxε =

M ( )eq ε max, 2max, 1εeq max, 2M ( )max, 1ε , εmaxεValores extremos de

Datos del problema

Figura 3. 36. Regla del flujo del algoritmo numérico


75

3.5.2. Fatiga de la armadura Para evaluar la resistencia a fatiga de la armadura, se introducen en el modelo las

curvas S-N del acero pasivo. Se ha elegido la formulación ampliamente difundida del Código Modelo MC-90 [CEB - FIP, 1991]. La vida a fatiga del acero depende de la oscilación de tensiones. En escala logarítmica, la dependencia del número de ciclos respecto de la amplitud de la tensión es lineal (Figura 3. 37). Se constata la existencia de un nivel de la tensión, ∆σRsk, a partir del cual se reduce la pendiente de la curva. Por ello, a partir de este punto, la resistencia aumenta mucho más rápidamente a medida que se reduce la oscilación de tensiones.

Figura 3. 37. Forma de las curvas S-N para el acero de la armadura

Exponente de la tensión ∆σRsk (MPa)

N* k1 k2 A N* ciclos A 108 ciclos

Barras rectas o dobladas con D ≥ 25 Φ Φ 16 mm 106 5 9 210 125 Φ 40 mm 106 5 9 160 95

Barras dobladas con D < 25 Φ 106 5 9 ** ** Barras soldadas y uniones con conectores mecánicos 107 3 5 50 30 Ambiente marino 107 3 5 65 40 ** Los valores son los de la barra recta multiplicados por un factor de reducción ζ = 0.35 + 0.026 D / Φ

Tabla 3. 1. Parámetros de las curvas S-N para el acero de la armadura (MC-90). Para barras de diámetro entre 16 y 40 mm puede interpolarse entre los valores indicados en la tabla

La Tabla 3. 1 recoge los parámetros de las curvas S-N para el acero de armado. En ella se incluye la influencia del doblado de las barras y del tipo de unión. La soldadura es un proceso claramente perjudicial, ya que fragiliza las barras y se reduce su vida a fatiga de una manera muy notable. En [König G. y Danielewicz I., 1994], [Tilly G.P., 1979] se profundiza en el tipo de unión, de mecanización u otros factores como la calidad del acero.

Como durante la vida a fatiga del elemento armado los límites de oscilación de la

tensión son variables, es necesario introducir un criterio de acumulación del daño por fatiga. Se utiliza el criterio de Palmgren – Miner:

∑=

=j

j fj

j

Nn

D1

(3. 61)

La rotura se produce cuando el daño alcanza el valor 1: 0.1=rotD (3. 62)

En el modelo numérico se evalúa el daño de la armadura en cada paso de tiempo de ∆Nj ciclos de carga.

logN

∆σ Rsk

min σ

∆σlog

f - y

N*

m = k

m = k

1

2


76

3.6. Comparación con trabajos experimentales de la literatura

En este apartado se lleva a cabo la comparación de los resultados del modelo teórico con las medidas experimentales de trabajos disponibles en la literatura científica. En primer lugar, se hace un estudio de probetas de hormigón sometidas a carga repetida no centrada, que sirven para comprobar la influencia del gradiente de tensiones. A continuación, se llevan a cabo comparaciones con elementos armados, tanto columnas como vigas. 3.6.1. Elementos no armados. Estudio de la influencia de la excentricidad de la

carga

El efecto positivo del gradiente de tensiones en el número de ciclos resistentes de probetas de hormigón fue explicado por primera vez a través de la existencia de un proceso redistributivo por [Dillmann R.R., 1981]. Mientras que, como se ha indicado en el Capítulo 2, [Ople F.S. y Hulsbos C.L., 1966] se limitaron a mostrar el hecho a través de curvas S-N, Dillmann realizó mediciones de deformaciones y un análisis teórico para explicar el proceso. El trabajo experimental constó de ensayos sobre probetas de sección rectangular de 0.10 x 0.15 en las que la excentricidad de la carga era e/h = 1/6. Se hicieron dos grupos de ensayos, con nivel de la carga máxima del 78.5 y el 88.4% de la carga de rotura. El nivel de la carga mínima siempre fue el 21.6% de la última. Los detalles se indican en la Tabla 3. 2.

Nombre fc,media (MPa) Pmax (kN) Pmin (kN) Nº ensayos Nf,medio Pu (kN) f (Hz)

Ensayos D 35.99 223.95 61.50 18 688013 285.2 4 Ensayos E 35.99 252.00 61.50 28 36499 285.2 4

Tabla 3. 2. Principales parámetros de los ensayos de Dillmann (1981)

La medida de deformaciones indica la evolución clásica de los procesos de fatiga. Por otra parte, realizó una propuesta de estudio de la evolución de la distribución de tensiones. A partir de la deformación obtenida en distintas fibras en los ensayos excéntricos, llevó a cabo una nueva campaña experimental en la que imponía esta deformación de forma centrada y medía la fuerza necesaria para ello. Esta fuerza la impuso de forma numérica en la sección transversal, y junto a las condiciones de compatibilidad y equilibrio, obtuvo la distribución de tensiones teórica.

Con objeto de estudiar el proceso, se han reproducido los ensayos de Dillmann con

el modelo propuesto en esta Tesis. En la Figura 3. 38 se hace la comparación entre los resultados obtenidos con el modelo en el ensayo D y los del trabajo de Dillmann, mientras que la Figura 3. 39 representa el ensayo E. Aunque la deformación se midió en las cuatro fibras indicadas en la parte (h) de las figuras, sólo se muestra la comparación de dos de ellas puesto que las demás están relacionadas a través de la deformada plana de la sección. En los gráficos de deformaciones se representan los contornos superior e inferior de la nube de puntos obtenida en los 18 ensayos tipo D y los 28 tipo E.

Los resultados en cuanto a deformaciones se encuentran dentro de la nube de

medidas experimentales. Los resultados en cuanto a tensiones muestran que existe un proceso redistributivo que hace que las tensiones en las fibras inicialmente más cargadas se transfieran a la zona interior del bloque comprimido, en donde las fibras están menos degradadas por fatiga. La distribución de tensiones obtenida con el modelo no es tan exagerada como la propuesta por Dillmann, especialmente en el instante de rotura.


77

Fibra 6

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0N / Nf

Def

orm

ació

n (x

100

0)EnsayoModelo

(a)

Fibra 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0N / Nf

Def

orm

ació

n (x

100

0)

EnsayoModelo

(b)

N / Nf = 0.00

0.00

0.05

0.10

0.15

0 5 10 15 20 25 30 35

ModeloPropuesta Dillmann

(c)

N / Nf = 0.25

0.00

0.05

0.10

0.15

0 5 10 15 20 25 30 35


(d)

N / Nf = 0.50

0.00

0.05

0.10

0.15

0 5 10 15 20 25 30 35


(e)

N / Nf = 0.75

0.00

0.05

0.10

0.15

0 5 10 15 20 25 30 35


(f)

N / Nf = 1.00

0.00

0.05

0.10

0.15

0 5 10 15 20 25 30 35


(g)

(h)

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

Cic

los,

N

Media ensayosModelo

(i)

Figura 3. 38. Comparación con los resultados de los ensayos D: (a) – (b) Deformaciones; (c) – (g) Tensiones; (h) Esquema de la probeta y las fibras instrumentadas; (i) Número de ciclos de los 18 ensayos.

P

P

0.30

0.15 0.10

F.2F.4F.6

F.1 e=h/6

Límites superior e inferior de las medidas experimentales Límites superior e inferior de

las medidas experimentales


78

Fibra 6

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0N / Nf

Def

orm

ació

n (x

100

0)EnsayoModelo

(a)

Fibra 2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0N / Nf

Def

orm

ació

n (x

100

0)

EnsayoModelo

(b)

N / Nf = 0.00

0.00

0.05

0.10

0.15

0 5 10 15 20 25 30 35


(c)

N / Nf = 0.25

0.00

0.05

0.10

0.15

0 5 10 15 20 25 30 35


(d)

N / Nf = 0.50

0.00

0.05

0.10

0.15

0 5 10 15 20 25 30 35


(e)

N / Nf = 0.75

0.00

0.05

0.10

0.15

0 5 10 15 20 25 30 35


(f)

N / Nf = 1.00

0.00

0.05

0.10

0.15

0 5 10 15 20 25 30 35


(g)

(h)

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

Cic

los,

N

Media ensayosModelo

(i)

Figura 3. 39. Comparación con los resultados de los ensayos E: (a) – (b) Deformaciones; (c) – (g) Tensiones; (h) Esquema de la probeta y las fibras instrumentadas; (i) Número de ciclos de los 28 ensayos.

P

P

0.30

0.15 0.10

F.2F.4F.6

F.1 e=h/6

Límites superior e inferior de las medidas experimentales

Límites superior e inferior de las medidas experimentales


79

Respecto al número de ciclos resistentes obtenidos con el modelo, resulta un valor que se corresponde con los valores medios de la duración de los ensayos, como se puede ver en la Figura 3. 38i y Figura 3. 39i, aún teniendo en cuenta que existe una gran dispersión de los resultados.

En conclusión, el modelo propuesto en la Tesis muestra que el incremento de

número de ciclos resistentes ante cargas excéntricas es debido a la reserva de resistencia que aportan las fibras de hormigón inicialmente menos solicitadas. Estas fibras soportan las tensiones que le son redistribuidas desde las fibras más degradadas. 3.6.2. Columnas de hormigón armado

[Aas-Jakobsen K. y Lenschow R., 1973] realizaron un programa experimental sobre

columnas cortas de hormigón armado que permite estudiar la importancia de la capacidad redistributiva. El esquema de los ensayos se representa en la Figura 3. 40. Las columnas están sometidas a un esfuerzo axil constante durante todo el ensayo. A través de la fuerza perpendicular dibujada se proporciona una excentricidad a la carga y, por tanto, un momento oscilante entre los niveles máximo y mínimo de la Tabla 3. 3. En esta tabla también se indican los parámetros principales de los ensayos y una breve descripción.

Figura 3. 40. Esquema y diagrama de interacción de los ensayos de Aas-Jakobsen y Lenschow (1973)


80

Columna Descripción fc (MPa) N (kN) Mmax (m.kN) Mmin (m.kN) C1 Usada para probar el mecanismo de

ensayo C2 Cargada de forma estática hasta rotura C3 Después de 1 millón de ciclos, rota de

forma estática 31.3 220.0 15.0 2.0

C4 Se rompió el mecanismo del ensayo a los 447000 ciclos

C5 Rotura por fatiga del acero a los 690000 ciclos 31.8 240.0 19.0 3.0

C6 Cargada de forma estática hasta rotura C7 Después de 1 millón de ciclos, rota de

forma estática 33.6 380.0 16.7 2.0

C8 Después de 2 millones de ciclos, rota de forma estática 32.1 370.0 20.6 2.5

C9 Cargada de forma estática hasta rotura C10 Después de 1 millón de ciclos, rota de

forma estática 33.3 490.0 14.7 2.2

C11 Después de 2 millones de ciclos, rota de forma estática 33.2 510.0 17.7 3.0

C12 Rotura por fatiga del hormigón a los 714000 ciclos 33.2 510.0 20.9 2.4

Tabla 3. 3. Descripción de los ensayos de Aas-Jakobsen y Lenschow (1973)

Los autores midieron la deformación en las armaduras superior e inferior durante la

duración de los ensayos. A continuación se examinan los resultados comparándolos con los obtenidos con el modelo que se propone en esta Tesis. Además se muestra la evolución resultante de la tensión en la cara superior de la sección.

En la Figura 3. 41 se representan los casos C3, C5, C7 y C8, que se corresponden

con los ensayos en los que el axil reducido es menor de 0.45. Este valor hace que la sección tenga suficiente capacidad redistributiva para transferir las tensiones desde la zona más dañada a zonas interiores de la probeta (se puede comprobar de manera bastante clara observando las tensiones obtenidas bajo carga mínima). A la vez que se desarrolla el proceso redistributivo aumentan las deformaciones, haciendo que incluso la armadura inferior se traccione bajo carga máxima. Dentro de este grupo de ensayos se encuentra la columna C5, que finalizó con la rotura por fatiga de la armadura. Esta columna es la que presenta mayor valor de la oscilación de tracciones en el acero, que es además creciente conforme aumenta la deformación con el número de ciclos.


81

Columna C3

Arm. superior

Arm. inferior

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

0.0014

0.0E+00 2.0E+05 4.0E+05 6.0E+05 8.0E+05 1.0E+06

N

Def

orm

ació

n

EnsayoModelo

Columna C30.71

0.15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.0E+00 2.0E+05 4.0E+05 6.0E+05 8.0E+05 1.0E+06

N

Tens

ión

horm

igón

Columna C5

Arm. superior

Arm. inferior

-0.0015

-0.0010

-0.0005

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0E+00 1.0E+05 2.0E+05 3.0E+05 4.0E+05

N

Def

orm

ació

n

EnsayoModelo

Columna C50.94

0.020.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0E+00 1.0E+05 2.0E+05 3.0E+05 4.0E+05

N

Tens

ión

horm

igón

Columna C7

Arm. superior

Arm. inferior

-0.0005

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0E+00 2.0E+05 4.0E+05 6.0E+05 8.0E+05 1.0E+06

N

Def

orm

ació

n

EnsayoModelo

Columna C70.87

0.31

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0E+00 1.0E+05 2.0E+05 3.0E+05 4.0E+05

N

Tens

ión

horm

igón

Columna C8

Arm. superior

Arm. inferior

-0.0010

-0.0005

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0E+00 5.0E+05 1.0E+06 1.5E+06 2.0E+06

N

Def

orm

ació

n

EnsayoModelo

Columna C80.94

0.24

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0E+00 5.0E+05 1.0E+06 1.5E+06 2.0E+06

N

Tens

ión

horm

igón

ModeloSerie4

Figura 3. 41. Estudio de deformaciones y tensiones en los ensayos con axil reducido menor de 0.45


82

Los restantes casos, columnas C10, C11 y C12, tienen un axil permanente superior a 0.45. Las comparaciones se han representado en la Figura 3. 42. El crecimiento de deformaciones es más pronunciado en estas columnas, observando que la velocidad de crecimiento de la que sería la segunda fase del proceso de fatiga es ahora más pronunciada que en las columnas de la Figura 3. 41. Los resultados obtenidos en cuanto a la evolución de tensiones permiten observar que la capacidad redistributiva es mucho menor por el bloque de compresiones que crea el axil permanente. De hecho, la tensión en la cara superior bajo carga mínima no se puede reducir tanto como en las columnas C3 a C8.

Columna C10

Arm. superior

Arm. inferior

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0E+00 2.0E+05 4.0E+05 6.0E+05 8.0E+05 1.0E+06

N

Def

orm

ació

n

EnsayoModelo

Columna C10

0.85

0.42

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0E+00 2.0E+05 4.0E+05 6.0E+05 8.0E+05 1.0E+06

N

Tens

ión

horm

igón

Columna C11

Arm. superior

Arm. inferior

-0.0005

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0E+00 2.0E+05 4.0E+05 6.0E+05 8.0E+05 1.0E+06

N

Def

orm

ació

n

EnsayoModelo

Columna C110.91

0.39

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0E+00 2.0E+05 4.0E+05 6.0E+05 8.0E+05 1.0E+06

N

Tens

ión

horm

igón

Columna C12

Arm. superior

Arm. inferior

-0.0005

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0.0040

0.0E+00 1.0E+05 2.0E+05 3.0E+05 4.0E+05 5.0E+05 6.0E+05

N

Def

orm

ació

n

EnsayoModelo

Columna C120.98

0.25

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0E+00 1.0E+05 2.0E+05 3.0E+05 4.0E+05 5.0E+05

N

Tens

ión

horm

igón

Figura 3. 42. Estudio de deformaciones y tensiones en los ensayos con axil reducido mayor de 0.45


83

En las columnas de la Figura 3. 42, la rotura por fatiga de las armaduras está además evitada porque siempre permanecen comprimidas (sólo aparecen tracciones de muy poco valor en la columna C12). La columna C12 es la que tiene las mayores tensiones iniciales en el hormigón (0.98fc), así como la mayor oscilación entre sus valores máximo y mínimo. Este ensayo terminó con la rotura por fatiga del hormigón comprimido a los 714000 ciclos. Con el modelo teórico aquí desarrollado se ha obtenido la rotura a los 539454 ciclos de carga, lo cual se ajusta bastante bien al resultado del ensayo y además es un poco conservador. Desgraciadamente las deformaciones en este ensayo dejaron de medirse a los 500000 ciclos, lo que impide un análisis más detallado de la fase de fallo. 3.6.3. Vigas de hormigón armado

3.6.3.1. Vigas de Schläfli (1999)

El Laboratorio de Mantenimiento y Seguridad Estructural (IS – MCS) de la École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL, Lausana, Suiza) desarrolló uno de los trabajos experimentales más difundidos en la literatura [Schläfli M., 1999b], [Schläfli M. y Brühwiler E., 1998]. Se ensayaron vigas de poco canto (0.40 x 0.15) simulando el comportamiento en sentido transversal de las losas armadas de tableros de puentes. Estos elementos pueden ser sensibles a los efectos de la fatiga porque están sometidos a un alto número de ciclos de carga debidos a los ejes de los camiones pesados. Además, la carga permanente es mucho más pequeña que la sobrecarga, por lo que la oscilación de tensiones es destacada.

La Figura 3. 43 reproduce la geometría de las vigas, y la forma de aplicación de la

carga por flexión en cuatro puntos. Las piezas no tienen armadura de cortante y la cuantía de la armadura de flexión tenía tres valores, 0.68, 1.37 y 1.60 % (As/bd). El hormigón es de resistencia normal (fc = 35 MPa), y el acero tiene un límite elástico de 490 MPa. La frecuencia de la carga cíclica fue 4.5 Hz. En la Tabla 3. 4 se indican algunos parámetros importantes de los ensayos más significativos, entre los que no se consideran los de los elementos de cuantía más baja debido a que rompieron muy pronto por fatiga de la armadura.

Nombre As ρ (%) Mmax (m.kN) Mmin (m.kN) Mu (m.kN) N

Fat4 6Φ12 1.37 19.83 2.96 37.40 20 417 600 Fat9 7Φ12 1.60 29.65 9.65 43.20 744 900 Fat11 7Φ12 1.60 24.29 8.04 43.20 3 932 200 Fat13 7Φ12 1.60 22.51 7.51 43.20 130 704 300 Fat14 6Φ12 1.37 26.08 8.58 37.40 620 300

Tabla 3. 4. Características principales de los ensayos de Schläfli (1998)

En todos los ensayos la rotura sucedió por fatiga de la armadura, incluso en el

ensayo con tensión inicial en el hormigón más elevada (0.76fc en el ensayo Fat9). Las curvas S-N del Código Modelo MC-90 para el acero de la armadura prevén adecuadamente el instante del fallo (Figura 3. 44). No obstante, existe una mayor dispersión en la parte en que la curva S-N tiene pendiente más pequeña. Esto puede ser debido a que, en casos con oscilación elevada, la tensión máxima del acero también es alta, y es en estos casos en los que la degradación de la adherencia armadura-hormigón es mayor (Capítulo 4). Por tanto, una mayor longitud de la barra se asemeja más a una barra desnuda, que es lo que recoge la curva S-N.


84

Figura 3. 43. Esquema de las vigas de Schläfli (1998), cotas en mm

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09log N

Mm

ax /

Mu

(a)

100

1000

1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09log N

∆σ s

(MPa

)

(b)

Figura 3. 44. Número de ciclos resistentes de las vigas de Schläfli (1998): (a) Diagrama Momento – Número de ciclos; (b) Curva S-N de la armadura

En los ensayos, los autores midieron, en la zona de momento constante, la deformación del hormigón en la cara superior (medidas extensométricas de 100 mm de longitud) y de la armadura (captadores de 20 mm pegados en las barras), ambas bajo carga máxima y mínima. Algunas de las medidas no han sido publicadas [Schläfli M., 1999a] y han sido obtenidas gracias a la cortesía del Profesor Brühwiler4.

En las figuras representadas a continuación se analizan los resultados

experimentales por medio del modelo teórico propuesto en esta Tesis. Para cada uno de los ensayos estudiados se comparan las deformaciones y se expone la evolución de la tensión del hormigón en la cara superior de la sección de centro de vano. También se indica la evolución de la distribución de tensiones en la sección.

4 El análisis de los resultados de los ensayos fue llevado a cabo durante la estancia en el IS – MCS de la EPFL en el año 2007.


85

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08log N

Def

. Hor

mig

ón

ModeloEnsayo

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08log N

Def

. Ace

ro

ModeloEnsayo

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08log N

Tens

ión

Hor

mig

ón

N = 1

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 100

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 1 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 10 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 100 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 1 000 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 10 000 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 20 000 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

Figura 3. 45. Análisis del ensayo Fat4


86

La primera etapa del ensayo Fat4 (20 millones de ciclos) es reproducida (Figura 3. 45). A continuación, las cargas aumentaron un 20% cuando ya se había superado ampliamente la vida teórica de las barras, y la armadura entonces falló por fatiga a los 725000 ciclos. La tensión inicial máxima en el hormigón es moderada, 0.57fc, y la oscilación de tensiones es muy elevada por la reducida fuerza mínima (0.08Mu).

El incremento de la deformación del hormigón es fielmente reproducido, lo cual es

importante ya que crece un 40% bajo carga máxima y un 95% bajo carga mínima respecto de sus valores estáticos. Sin embargo, en el del acero hay una ligera diferencia desde el comienzo, aunque no tanto en cuanto a la velocidad. La redistribución de tensiones originada hace que el hormigón de la cara superior se descomprima bajo carga mínima a los 10 000 ciclos, provocando que la distribución de tensiones tenga una forma picuda. Debido a que la tensión mínima es nula, en esta zona se reduce notablemente el módulo de deformación del hormigón (Figura 3. 33). La diferencia de rigidez entre las zonas superior e inferior de la cabeza comprimida causa una distribución de tensiones que recuerda, por su forma, a la de una sección mixta.

Continuando con el análisis, el ensayo Fat9 es el que tiene una mayor tensión inicial

en el hormigón (0.76fc). A pesar de ello, el incremento de deformación es pequeño (Figura 3. 46). El resultado teórico indica esta misma tendencia. La redistribución de tensiones hace que ésta adquiera una forma trapezoidal. Desgraciadamente la alta oscilación de tensiones en la armadura produce la rotura del acero relativamente pronto, impidiendo profundizar en la evolución experimental del hormigón.

La tensión inicial del hormigón en el ensayo Fat11 es algo más baja (0.65fc) que en

el ensayo anterior. Además la oscilación de tensión en la armadura también es algo menor, lo que hace que el ensayo se prolongue durante mayor número de ciclos, hasta 3.93 millones. El desarrollo de deformaciones en el hormigón es importante, y es adecuadamente reproducido por el modelo teórico (Figura 3. 47). La deformación crece un 20% bajo carga máxima durante el ensayo, y un 30% bajo carga mínima. La redistribución de tensiones es muy importante según los resultados teóricos, siendo al final del ensayo la zona interior de la cabeza de compresión la que soporta mayores tensiones.

El ensayo Fat13 constituye un caso excepcional en la literatura científica debido al

número de ciclos que duró (130 millones). Esta larga duración permite observar un incremento destacable de la deformación del hormigón respecto de sus valores estáticos, del 45% bajo carga máxima y el 97% bajo carga mínima (Figura 3. 48). La tensión inicial del hormigón es moderada (0.60fc), y la redistribución experimentada hace que se reduzca mucho, hasta el 34% al final del ensayo.

Tras un millón de ciclos, el hormigón más degradado se descomprime bajo carga

mínima, haciendo que la forma del bloque de tensiones adquiera el pico interior que también se desarrolla en los ensayos anteriores, aunque de una manera más acentuada.

Similar al desarrollo del ensayo Fat9, la viga Fat14 tiene tensiones iniciales elevadas

(0.72fc), y al igual que en ese ensayo el crecimiento de deformaciones es moderado (13% bajo carga máxima y 26% bajo carga mínima en el hormigón, como se comprueba en la Figura 3. 49). La duración del ensayo es también corta (620 000 ciclos) por la notable oscilación de tensiones en la armadura.


87

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

0.0014

0.0016

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06log N

Def

. Hor

mig

ón

ModeloEnsayo

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06log N

Def

. Ace

ro ModeloEnsayo

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06log N

Tens

ión

Hor

mig

ón

N = 1

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20 30

MaxMin

N = 10

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20 30

MaxMin

N = 100

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20 30

MaxMin

N = 1 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20 30

MaxMin

N = 10 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20 30

MaxMin

N = 100 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20 30

MaxMin

N = 1 000 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20 30

MaxMin



88

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

Def

. Hor

mig

ón

ModeloEnsayo

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

0.0014

0.0016

0.0018

0.0020

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

Def

. Ace

ro ModeloEnsayo

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

Tens

ión

Hor

mig

ón

N = 1

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 100

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 1 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 10 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 100 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 1 000 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 4 000 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin



89

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09log N

Def

. Hor

mig

ón

ModeloEnsayo

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

0.0014

0.0016

0.0018

0.0020

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09log N

Def

. Ace

ro

ModeloEnsayo

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09log N

Tens

ión

Hor

mig

ón

N = 1

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20 30

MaxMin

N = 1 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20 30

MaxMin

N = 10 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20 30

MaxMin

N = 1 00 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20

MaxMin

N = 1 000 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20

MaxMin

N = 10 000 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20

MaxMin

N = 1 00 000 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20

MaxMin

N = 160 000 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 10 20

MaxMin



90

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

0.0014

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06log N

Def

. Hor

mig

ón

ModeloEnsayo

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06log N

Def

. Ace

ro ModeloEnsayo

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06log N

Tens

ión

Hor

mig

ón

N = 1

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 10

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 100

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 1 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 10 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 100 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin

N = 1 000 000

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0 5 10 15 20 25

MaxMin



91

Observando globalmente los resultados de los ensayos de Schläfli, se concluye que aquellos en los que la tensión inicial del hormigón es más elevada, sufren un crecimiento de la deformación más pequeño, aunque también hay que tener en cuenta que han tenido una duración relativamente corta. Esto evita que se pueda estudiar la degradación del hormigón en estados más avanzados de su vida a fatiga. Por otra parte, estos ensayos (Fat4 y Fat9) muestran una menor capacidad redistributiva de la sección.

Un aspecto muy interesante que es recogido por el modelo teórico es lo que ocurre

cuando la redistribución provoca la descompresión del hormigón bajo carga mínima. La reducción del nivel mínimo de la tensión hasta cero provoca una mayor degradación del módulo de deformación, tal y como ha sido propuesto en el desarrollo del modelo teórico en el apartado 3.4.5.3. El hecho de que la cara superior de la sección tenga una rigidez sensiblemente menor a la de la zona interior de la cabeza de compresión causa una distribución de tensiones que recuerda a la desarrollada en estructuras mixtas.

De la comparación realizada, se observa además que la evolución experimental de la

deformación de la cara superior de hormigón es muy bien recogida por el modelo teórico. Sin embargo, existen diferencias en cuanto a la deformación en la armadura. Esta diferencia se debe más a la existente desde el principio, por cuanto que la tasa de crecimiento y la oscilación de la deformación sí son correctamente reproducidas. Esto ya ocurría en las losas ensayadas en [Pacheco J.A., 2006]. Tal y como los propios autores explican en [Schläfli M. y Brühwiler E., 1998], esto puede ser debido a que en elementos de poco canto y muy esbeltos (como es éste el caso) la propia flexión de la barra puede ser importante, y la deformación medida depende del punto de la barra en el que esté pegada la instrumentación, mientras que los resultados teóricos obtenidos se obtienen al nivel del centro de gravedad de la armadura. Los propios autores ya advirtieron que la deformación inicial del acero era entre un 10 y un 20% mayor a la calculada.

3.6.3.2. Vigas de Johansson (2004)

El trabajo experimental de [Johansson U., 2004] también estudia el comportamiento

frente a fatiga de las losas de tableros de puentes en sentido transversal. En total ensayó 5 vigas sometidas a flexión de 4 puntos, con una sección rectangular de 0.80 x 0.20, sin armadura de cortante. La armadura de flexión fue del 0.52, 1.03 y 1.55% (As/bd). Los detalles de los ensayos están en la Tabla 3. 5, y el esquema en la Figura 3. 50. En la tabla se indica el número de ciclos en el que se produjo la primera rotura de una barra, y el número final de ciclos a los que se llevó el ensayo hasta que nuevas barras se rompieron. Las fuerzas del ensayo 2,0C se incrementaron a 341 kN la máxima y 42 kN la mínima a los 429300 ciclos. La frecuencia de la carga se situó entre 0.5 y 0.9 Hz.

Nombre L

(m) fc

(MPa) As ρ

(%) Pmax (kN)

Pmin (kN)

MCP (m.kN)

Mmax (m.kN)

Mmin (m.kN)

Mu (m.kN) N1erfallo Ntotal

Viga 2,5A 2.50 36.4 6Φ12 0.52 143 18 3.72 48.41 9.35 63.80 95 000 99 544 Viga 2,5B 2.50 36.4 12Φ12 1.03 283 35 3.72 92.16 14.66 115.50 70 000 79 567 Viga 2,0A 2.00 34.6 6Φ12 0.52 183 23 2.45 48.20 8.20 63.50 90 000 95 933 Viga 2,0B 2.00 34.6 12Φ12 1.03 265 33 2.45 68.70 10.70 114.60 205 000 292 817 Viga 2,0C 2.00 34.6 10Φ16 1.55 309 39 2.45 79.70 12.20 154.50 500 000 526 119

Tabla 3. 5. Características principales de los ensayos de Johansson (2004)


92

Figura 3. 50. Esquema de los ensayos de Johansson (2004), cotas en mm

Johansson, 2004

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.E+04 1.E+05 1.E+06log N

M m

ax /

M u

(a)

Johansson, 2004

100

1000

1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

∆σ

(MPa

)

(b)

Figura 3. 51. Número de ciclos resistentes de las vigas de Johansson (2004): (a) Diagrama momento – número de ciclos; (b) Curva S – N de la armadura

Todos los ensayos terminaron con la rotura por fatiga de la armadura debido a la elevada oscilación de la tensión en el acero. En todos los casos las descargas son muy fuertes para reproducir el comportamiento de las losas de puentes en sentido transversal, que son elementos sometidos a una carga permanente muy baja. La resistencia a fatiga de las barras se corresponde a la teórica obtenida mediante las curvas S-N del Código Modelo MC-90 (Figura 3. 51), al igual que ocurre con el apartado 3.6.3.1.

Excepto en el ensayo 2,5B, en el que la carga es relativamente alta (tensión inicial

en el hormigón de 0.78fc), las cargas son tales que intentan reproducir el peor estado tensional permitido por las normas de diseño, con tensiones en el hormigón próximas a 0.60fc. En los siguientes gráficos se comparan las deformaciones medidas experimentalmente con los resultados obtenidos con el modelo teórico de esta Tesis.

Las medidas tomadas se corresponden a la deformación en la cara superior de

hormigón (medida con galgas superficiales) y de la armadura (con galgas pegadas en las barras embebidas), ambas en la sección centro de vano y bajo carga máxima. En todo caso, las mayores diferencias se deben más a las existentes desde el ciclo 1, que se originan por las inherentes discrepancias entre el comportamiento estático del hormigón con respecto al teórico empleado. En las vigas 2,5A y 2,5B los autores no midieron la deformación en la armadura, por lo que sólo se representan los resultados teóricos.


93

Las figuras también recogen la evolución de la tensión del hormigón en la cara superior de la sección de centro de vano, bajo carga máxima y mínima, y la distribución de tensiones en el primer ciclo (N = 1) y en el instante de rotura (N = Nf).

Viga 2,5A

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

0.0014

0 20000 40000 60000 80000 100000N

Def

. Hor

mig

ón

ModeloEnsayo

(a)

Viga 2,5A

-0.00239

-0.00239

-0.00238

-0.00238

-0.00237

-0.00237

-0.00236

-0.00236

0 20000 40000 60000 80000 100000N

Def

. Ace

ro

ModeloEnsayo

(b)

N = 1

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.0 0.2 0.4 0.6

Carga MáxCarga Mín

N = Nf

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.0 0.2 0.4 0.6


Viga 2,5A0.56

0.05

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 20000 40000 60000 80000 100000N

Tens

. Hor

mig

ón

Carga Máx.Carga Mín.

(c) (d)

Figura 3. 52. Comparación con el ensayo 2,5A: (a) Deformación hormigón; (b) Deformación armadura; (c) Tensión hormigón; (d) Distribución de la tensión


94

Viga 2,5B

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

0.0014

0.0016

0 20000 40000 60000 80000 100000N

Def

. Hor

mig

ón

ModeloEnsayo

(a)

Viga 2,5B

-0.00244

-0.00242

-0.00240

-0.00238

-0.00236

-0.00234

-0.00232

-0.00230

0 20000 40000 60000 80000 100000N

Def

. Ace

ro

ModeloEnsayo

(b)

N = 1

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8


N = Nf

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8


Viga 2,5B

0.78

0.020.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 20000 40000 60000 80000 100000N

Tens

. Hor

mig

ón


(c) (d)

Figura 3. 53. Comparación con el ensayo 2,5B: (a) Deformación hormigón; (b) Deformación armadura; (c) Tensión hormigón; (d) Distribución de la tensión


95

Viga 2,0A

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0 20000 40000 60000 80000 100000N

Def

. Hor

mig

ón

ModeloEnsayo

(a)

Viga 2,0A

-0.0030

-0.0025

-0.0020

-0.0015

-0.0010

0 20000 40000 60000 80000 100000N

Def

. Ace

ro

ModeloEnsayo

(b)

N = 1

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.0 0.2 0.4 0.6


N = Nf

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.0 0.2 0.4 0.6


Viga 2,0A0.56

0.030.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 20000 40000 60000 80000 100000N

Tens

. Hor

mig

ón


(c) (d)

Figura 3. 54. Comparación con el ensayo 2,0A: (a) Deformación hormigón; (b) Deformación armadura; (c) Tensión hormigón; (d) Distribución de la tensión


96

Viga 2,0B

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000N

Def

. Hor

mig

ón

ModeloEnsayo

(a)

Viga 2,0B

-0.0030

-0.0025

-0.0020

-0.0015

-0.0010

-0.0005

0.0000

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000N

Def

. Ace

ro

ModeloEnsayo

(b)

N = 1

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8


N = Nf

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8


Viga 2,0B0.60

0.0030.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000N

Tens

. Hor

mig

ón


(c) (d)

Figura 3. 55. Comparación con el ensayo 2,0B: (a) Deformación hormigón; (b) Deformación armadura; (c) Tensión hormigón; (d) Distribución de la tensión

Al igual que en los ensayos de Schläfli (apartado 3.6.3.1), la redistribución de tensiones que tiene lugar en la sección reduce su nivel en la cara superior de la sección, haciendo que la seguridad frente a fatiga del hormigón en compresión sea muy grande incluso en el instante de rotura de las barras de acero. Al ser la fuerza mínima muy pequeña, la redistribución origina que muy pronto la cara superior de la sección se descomprima.

La posición de la fibra neutra de la sección desciende durante el proceso cíclico, a

medida que crecen las deformaciones. La reducción del brazo mecánico de la sección provoca el incremento en la tensión de la armadura que se observa también por medio del incremento en su deformación. No obstante, en estos ensayos la tasa de crecimiento de la deformación ha sido pequeña, hecho recogido por el modelo teórico.


97

Viga 2,0C

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

0.0014

0 100000 200000 300000 400000 500000N

Def

. Hor

mig

ón

ModeloEnsayo

(a)

Viga 2,0C

-0.0020

-0.0015

-0.0010

-0.0005

0.0000

0 100000 200000 300000 400000 500000N

Def

. Ace

ro

ModeloEnsayo

(b)

N = 1

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8


N = Nf

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8


Viga 2,0C0.62

0.0020.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 100000 200000 300000 400000 500000N

Tens

. Hor

mig

ón


(c) (d)

Figura 3. 56. Comparación con el ensayo 2,0C: (a) Deformación hormigón; (b) Deformación armadura; (c) Tensión hormigón; (d) Distribución de la tensión

3.6.3.3. Vigas de Lambotte (1963 – 1965)

Finalmente, en este apartado se analizan los ensayos de [Lambotte H. y Baus R.,

1963]. Son interesantes porque en ellos se trata de profundizar en la posibilidad de que se desarrolle una rotura por fatiga del hormigón comprimido en elementos sometidos a flexión pura [Lambotte H. et al., 1965]. De hecho, es el único trabajo encontrado en el que este hecho aparece claramente señalado. Para ello se ensayaron vigas sometidas a flexión en cuatro puntos. Se variaron muchos parámetros tales como la calidad del hormigón, la calidad del acero, la cuantía de armadura longitudinal o el nivel de carga máxima. Todas las vigas tenían la misma geometría, con una sección de b x h = 0.15 x 0.28 m, y en todos los casos la carga mínima fue tal que el momento mínimo solicitante era el 25% del momento estático de rotura.

Una primera fase de los ensayos tuvo como objetivo estudiar el comportamiento

deformacional de vigas de hormigón armado. En esta primera etapa se utilizaron dos tipos de vigas (Figura 3. 57) que se sometieron a cinco millones de ciclos bajo distintos niveles de carga (Tabla 3. 6). Las vigas tipo G tienen una cuantía de armadura baja (0.70%) y rompen por el acero bajo carga estática. Las vigas tipo L tienen una elevada cuantía de acero (3.57%) y rompen por el hormigón bajo carga estática.


98

Nombre fc (MPa) As ρ (%) fy (MPa) Mmax / Mu Mmin / Mu Mu (m.kN) Vigas G 27.0 4 Φ 10 0.70 288 0.5 – 0.8 0.25 21.75 Vigas L 18.3 6 Φ 16 3.57 420 0.5 – 0.7 0.25 53.50

Tabla 3. 6. Principales parámetros de los ensayos de Lambotte et al. (1965)

Viga tipo G

( f y = 288 MPa)

4 Φ 10 6 Φ 16

( f y = 420 MPa)

Viga tipo L

Figura 3. 57. Características de los ensayos de la primera fase de Lambotte et al. (1965), cotas en mm

En la Figura 3. 58 se representan los valores medidos de la deformación del hormigón en la cara superior de la sección y de la curvatura, ambos bajo carga máxima, de los ensayos tipo G de esta primera fase, así como los resultados calculados con la metodología de esta Tesis. En estas vigas, incluso para los niveles relativos de carga más elevados, la tensión máxima en el hormigón es muy baja (0.49fc en el mayor). Por ello, los resultados del modelo muestran un crecimiento muy pequeño de la deformación, menor al que se midió experimentalmente.

Vigas G

0.0000

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

0.0006

0.0007

0.0008

0.0009

0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000N

Def

. Hor

mig

ón

Mmax = 0.8MuMmax = 0.7MuMmax = 0.6MuMmax = 0.5Mu

(a)

Vigas G

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000N

Cru

vatu

ra (m

-1)

Mmax = 0.8MuMmax = 0.7MuMmax = 0.6MuMmax = 0.5Mu

(b)

Figura 3. 58. Vigas tipo G. Las líneas continuas indican los resultados obtenidos con el modelo, y los puntos son medidas experimentales: (a) Deformación del hormigón; (b) Curvatura de la sección

En cambio, las vigas tipo L tienen una tensión en el hormigón mayor, que hace que se desarrolle el mecanismo de degradación del bloque comprimido que causa el consiguiente incremento de deformaciones. La reproducción de los resultados experimentales es realizada correctamente por el modelo teórico (Figura 3. 59). Además, en la Figura 3. 60 se representa la evolución de la distribución de tensiones obtenida para el caso más solicitado (Mmax / Mu = 0.70).


99

Vigas L

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000N

Def

. Hor

mig

ón

Mmax = 0.7MuMmax = 0.6MuMmax = 0.5Mu

(a)

Vigas L

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000N

Cru

vatu

ra (m

-1)

Mmax = 0.7MuMmax = 0.6MuMmax = 0.5Mu

(b)

Figura 3. 59. Vigas tipo L. Las líneas continuas indican los resultados obtenidos con el modelo, y los puntos son medidas experimentales: (a) Deformación del hormigón; (b) Curvatura de la sección

N = 1

203.8

119.8

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28

-5 0 5 10 15 20

MmaxMmin

N = 10

205.7

120.0

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28

-5 0 5 10 15 20

MmaxMmin

N = 100

208.4

120.1

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28

-5 0 5 10 15 20

MmaxMmin

N = 1 000

212.1

120.0

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28

-5 0 5 10 15 20

MmaxMmin

N = 10 000

216.7

119.7

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28

-5 0 5 10 15 20

MmaxMmin

N = 100 000

223.4

118.8

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28

-5 0 5 10 15 20

MmaxMmin

N = 1 000 000

235.8

116.9

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28

-5 0 5 10 15 20

MmaxMmin

N = 5 000 000

257.0

111.8

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28

-5 0 5 10 15 20

MmaxMmin

Figura 3. 60. Evolución de la distribución de tensiones (viga tipo L, Mmax / Mu = 0.70)

La redistribución de tensiones desarrollada muestra resultados muy interesantes. Para este caso, al contrario de lo que pasaba en las vigas de Schläfli, la carga mínima es importante, de manera que la cara superior de la sección no se llega a descomprimir durante el ensayo. Por ello, la reducción del módulo no es tan considerable como en los casos de los apartados anteriores. Gracias a ello, no se producen diferencias tan grandes en cuanto a la rigidez de las distintas fibras de la cabeza comprimida, y la distribución de tensiones no adquiere la forma característica de una sección mixta. Como se puede observar en la Figura 3. 60, la distribución de tensiones se va asimilando a un bloque rectangular.


100

La segunda fase del trabajo experimental tuvo como objetivo la obtención de la rotura por fatiga del bloque comprimido de las vigas, lo cual se consiguió en varias piezas. La Figura 3. 61 indica las principales características de los ensayos más interesantes de esta segunda fase, que son los que tienen una recopilación más detallada de datos en el trabajo original. El hormigón tiene una resistencia media de 27.7 MPa, y las distintas disposiciones de la armadura se indican en la gráfica. Las cargas aplicadas fueron tales que el momento máximo fue el 60 – 90% del último, mientras que el mínimo siempre se mantuvo en el 25% del de rotura.

2 Φ 14

( f y = 420 MPa)

Tipo BIρ = 0.82%

Tipo BIIρ = 2.16%

5 Φ 14

( f y = 420 MPa)

( f y = 350 MPa)

8 Φ 14

Tipo BIII'ρ = 3.52%

5 Φ 14

( f y = 350 MPa)

Tipo BII'ρ = 2.16%

Figura 3. 61. Esquemas de armado de los ensayos de la segunda fase de Lambotte et al. (1965)

El modelo teórico permite la obtención del número de ciclos hasta rotura por el hormigón en fatiga de cada viga. Estos diagramas M – N son similares a la filosofía de las curvas S-N, pero incorporan el mecanismo de degradación del material con el número de ciclos y la evolución realista del estado tensión – deformación. Por lo tanto, suponen un salto cualitativo respecto de los modelos empleados en las normativas actuales, sólo basados en el estado tensional inicial. En el Capítulo 7 se profundiza en la generalización de este tipo de diagramas.

La obtención de las curvas M - N permite investigar acerca del tipo de fallo de

elementos armados. La contrastación con los resultados experimentales del equipo de Lambotte es muy útil para ello. En la Figura 3. 62 se dibuja la comparación de las curvas calculadas mediante el modelo con los resultados de los ensayos. Los puntos rellenos representan rotura del hormigón, y los puntos huecos rotura por la armadura.

Como se ve, los resultados teóricos reproducen adecuadamente los valores medios

de la resistencia del hormigón, mientras que las roturas encontradas en la armadura suceden siempre antes que la rotura teórica predicha en el hormigón.


101

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08log N

M m

ax /

M u

BIBIIBII'BIII'

Figura 3. 62. Diagramas momento – número de ciclos M – N para rotura de hormigón por fatiga, y

resultados de Lambotte et al. (1965). Los puntos rellenos indican fallo por el hormigón, los puntos huecos fallo por la armadura, y las cruces parada sin rotura

Para las piezas con menor porcentaje de armadura (0.82% en las vigas tipo BI), el fallo siempre se produjo por fatiga de las barras, y el número de ciclos resistentes por el hormigón previstos es muy elevado. En el resto de vigas, con cuantías de acero muy elevadas (2.16 y 3.52%), se produjeron roturas por fatiga del hormigón comprimido cuando la carga máxima es del 80 y el 90% de la última. Todos los ensayos con carga menor (60 y 70% de la última) se detuvieron a los cinco millones de ciclos sin rotura ninguna. Como se observa en la Figura 3. 62, la reserva de resistencia del hormigón era todavía muy elevada en ese instante.

3.7. Conclusiones

El Capítulo 3 ha presentado la modelización que se propone en esta Tesis para

considerar los efectos de la fatiga del hormigón. En primer lugar se desarrolla el modelo de material dependiente del tiempo, en el que se introduce la influencia de las cargas repetidas en el hormigón a través de dos variables fundamentales. Esas variables son la deformación bajo carga máxima y el módulo de deformación del material, que se ha visto que son suficientes para considerar el mecanismo de degradación. El ajuste de las variables del modelo tiene en cuenta la calidad del material, los niveles de tensión y el número de ciclos, y en él se han utilizado más de un centenar de resultados experimentales disponibles en la literatura.

Conjuntamente con el modelo de material, se ha presentado un criterio para tener en

cuenta la acumulación de la degradación por fatiga en procesos de límites tensionales variables basado en las deformaciones totales. En realidad, en los elementos estructurales el hormigón se ve sometido siempre a este tipo de procesos, por lo que es fundamental introducir un concepto de acumulación. Tal y como ésta formulado el modelo del hormigón, podría ser incluido en programas de cálculo estructural o de elementos finitos, algo que no era posible con la metodología anterior [Zanuy C. et al., 2007a].

El planteamiento seguido en este Capítulo sigue un camino ortodoxo, es decir,

primero se desarrolla un modelo para el hormigón sometido a procesos de límites de la tensión constantes, después se aplica a probetas sin armar bajo flexión compuesta, y finalmente se extiende a elementos armados sometidos a flexión simple y compuesta.


102

En ello estarían incluidos de forma implícita los elementos pretensados, sin más que añadir los esfuerzos que éste provoca.

Se ha mostrado que es necesaria la consideración de los mecanismos dependientes

del tiempo para reproducir de una manera realista el comportamiento de elementos estructurales. En las comparaciones llevadas a cabo con resultados de ensayos disponibles en la literatura, se ha visto que el modelo recoge el incremento de deformaciones medido. Se ha estudiado que elementos armados se desarrolla un proceso de redistribución de tensiones que cambia la forma de su distribución a lo largo del canto. El proceso redistributivo se ha demostrado como el responsable de que en la mayoría de los trabajos experimentales se termine con la rotura frágil por fatiga de la armadura, incluso en casos para los que podría ser previsible la rotura por el hormigón si se siguen modelos más elementales basados en curvas S-N para este material en compresión.

La contrastación con resultados de ensayos ha mostrado también que la rotura por

fatiga del hormigón comprimido es posible en elementos armados. Por un lado en columnas, donde la capacidad redistributiva puede quedar limitada por el axil solicitante (una fracción importante del mismo suele ser de carácter permanente). Por otro lado, en vigas sobre-armadas puede aparecer esta rotura ante niveles de carga elevados. De todas formas, la posibilidad de fallo frágil de las armaduras debe ser tenida siempre en cuenta. La modelización presentada permite la obtención del número de ciclos de rotura por fatiga de la armadura de una manera más realista que otras metodologías basadas en el estado de tensiones estático, debido a que el proceso redistributivo y la progresiva reducción de la rigidez seccional hacen que la oscilación de tensión en el acero sea variable durante la vida a fatiga.

En cualquier caso, se ha visto que la rotura no es en sí misma el único problema que

plantean las estructuras de hormigón sometidas a cargas repetidas, sino sobre todo el incremento de deformaciones (que da lugar a crecimiento de flechas) y la reducción de la rigidez. Además, una fracción importante de las deformaciones que se desarrollan es de carácter remanente. En las comparaciones realizadas, aparece generalmente una deformación total calculada algo menor a la medida experimentalmente, lo cual es debido a la componente de fluencia. La formulación actual del modelo permitiría incluir esta componente sin grandes dificultades, aunque se sale fuera de los objetivos de esta Tesis. Una propuesta muy simple es, por ejemplo, la que se propone utilizando el criterio de fluencia bajo carga cíclica de [Smerda Z. y Smerda J., 2002].

En el Capítulo siguiente se estudia la influencia de las cargas repetidas en el bloque

traccionado, muy importante sobre todo en cuanto a deformabilidad, lo que permite completar el conjunto de procesos que se dan en elementos armados que trabajan a flexión. Ello permite el cálculo de fisuras y de flechas.

103

Capítulo 4 Análisis teórico y experimental del tirante de hormigón armado bajo carga repetida 4.1. Introducción

El Capítulo 4 estudia la influencia de las cargas repetidas en el comportamiento del tirante de hormigón armado. Tiene como objetivo evaluar el efecto del progresivo deterioro de la adherencia entre las barras de la armadura y el hormigón traccionado, y que experimentalmente se observa a través del continuo crecimiento de las fisuras y las deformaciones. Esto significa que la colaboración del hormigón en tracción entre fisuras, efecto tension – stiffening, se va perdiendo a medida que se aplican ciclos de carga.

El estudio del boque traccionado que se hace en este Capítulo permite, junto al

realizado con respecto al bloque comprimido en el Capítulo 3, abordar la respuesta global de elementos armados sometidos a flexión ante cargas repetidas, como se ve en el esquema de la Figura 4. 1.

Estado del arte





Ensayos



MATERIAL

SECCIÓN

ESTRUCTURA

Nivel de estudio

Figura 4. 1. Esquema general de la Tesis. En negrita las partes correspondientes al Capítulo 4


104

En el apartado 4.2 se hace una revisión del comportamiento del hormigón en tracción bajo cargas repetidas. Este estudio se amplía a elementos armados, es decir, tirantes, en el apartado 4.3.

La modelización propuesta en esta Tesis para abordar el estudio del tirante se

presenta en el apartado 4.4, evaluando el mecanismo de traspaso de tensiones de la armadura al área eficaz de hormigón uniformemente solicitado mediante las tensiones de adherencia, a través de un programa numérico desarrollado al efecto. En el apartado 4.5 se lleva a cabo otra modelización del problema, esta vez mediante el método de los elementos finitos, que permite comprobar la validez de las hipótesis simplificadoras de la primera. La sección 4.6 presenta las conclusiones alcanzadas respecto de la influencia de las diferentes variables que intervienen en el proceso.

También se ha desarrollado una campaña experimental propia sobre tirantes de

hormigón armado sometidos a carga repetida. Se han desarrollado dos ensayos, cuyo análisis se realiza en el apartado 4.7.

Finalmente, el apartado 4.8 resume las conclusiones alcanzadas tras el estudio de

este Capítulo. 4.2. El hormigón en tracción 4.2.1. Fenomenología y resultados experimentales

Como ya se ha indicado en el Capítulo 2, la principal característica del hormigón en tracción es que éste se fisura a tensiones bajas en comparación a su resistencia a compresión. En cualquier manual general de hormigón [Neville, A. M., 1995] se puede comprobar que, al someter una probeta a un alargamiento creciente de forma monótona, la fuerza que es necesario aplicar sigue dos fases diferentes (Figura 4. 2a): en la primera, la tensión (fuerza por unidad de superficie) es creciente hasta que se alcanza la resistencia a tracción fct; y después de ella se produce un ablandamiento en las tensiones hasta que finalmente la probeta se parte en dos.

Este comportamiento global, que se representa mediante la curva tensión –

alargamiento en una longitud de la probeta que engloba a una fisura discreta, se debe a que la fisura se forma en el punto más débil de la probeta. Dada la heterogeneidad del material, la resistencia a tracción es diferente en cada punto de la probeta, y siempre existe un punto en el que ésta es más pequeña. Aún cuando se ha alcanzado la resistencia a tracción, el material es capaz de transmitir unas ciertas tensiones de tracción hasta que la fisura se abre completamente, lo que se representa por medio de la parte descendente de la curva.

Capítulo 4. Análisis teórico y experimental del tirante de hormigón armado bajo carga repetida _

105

(a)

(b)

Figura 4. 2. Comportamiento de una probeta de hormigón sometida a un alargamiento monótono: (a) resultados experimentales, Yankelevsky y Reinhardt (1987); (b) parámetros característicos del material

En la Figura 4. 2b se han representado las principales propiedades del material que caracterizan la respuesta de la probeta en tracción. Ya se ha indicado que fct es la resistencia a tracción. El alargamiento crítico es wc, y el área bajo la curva σ – ∆L es la energía absorbida por unidad de superficie para desarrollar una fisura completa, GF. Estos parámetros son características del material.

Lo más inmediato y deseable para la aplicación estructural sería obtener una ley

tensión – deformación en tracción, sin más que dividir el alargamiento medido entre la altura de la probeta:

LL∆

=ε (4. 1)

El empleo de la ecuación (4. 1) sería posible si el comportamiento del material fuera homogéneo; sin embargo, la fisura se desarrolla en una zona localizada de la probeta, la zona en proceso de fractura. Diferentes modelos de materiales se han empleado para caracterizar esta zona en fractura [Elices M. y Planas J., 1989], sobre lo que no se va a profundizar aquí1. La toma de medidas del alargamiento en diferentes puntos de una probeta durante un ensayo de alargamiento monótono [Gopalaratnam V.S. y Shah S.P., 1985] demuestra que una vez que se alcanza la resistencia a tracción, sólo la zona en proceso de fractura sigue alargándose y ablandándose en tracciones, mientras que el resto de la probeta se descarga disminuyendo su deformación (Figura 4. 3).

1 Para caracterizar la zona en proceso de fractura del hormigón es necesario definir dos aspectos: una función de ablandamiento de tensiones σ = f(w); y un criterio de localización. Hay tres criterios principales: fisura discreta [Hillerborg A. et al., 1976], fisuración en banda [Bazant Z.P. y Oh B.H., 1983], o modelos no locales de localización gradual [Planas J. et al., 1993]. No se profundiza aquí en los diferentes modelos de fractura no lineal del hormigón, puesto que esta Tesis se dirige a elementos armados. En ellos, la fisura está abierta y ha superado al valor crítico wc (generalmente entre 0.15 y 0.25 mm), o se encuentra en la zona baja de la curva de ablandamiento en la que la tensión correspondiente es muy baja. Es decir, la capacidad del hormigón de transmitir tracciones en la fisura es nula o prácticamente nula, y la hipótesis clásica de que todas son soportadas por la armadura es lo más adecuado.

∆L

σfct

w c

GF


106

F

F

L

σ

ctf

GF

cw ∆L

=

=∆Lwc

FG

fct

σ

w

wc

FG

fct

σ

Lx

Ec

/ L

/Lεct

/L ε=

εctε

cE

x L

σ

ctfσ

ctf

cw w

+GF

Figura 4. 3. Explicación de la curva tensión – alargamiento de una probeta de hormigón: el

comportamiento fuera de la zona en proceso de fractura prácticamente es elástico y lineal, mientras que en la zona en proceso de fractura se produce ablandamiento de tensiones. No se puede utilizar una ley de

comportamiento uniforme en toda la probeta

Los resultados aportados por [Gopalaratnam V.S. y Shah S.P., 1985] son muy interesantes; además de la influencia del efecto del tamaño, se obtienen diagramas tensión – deformación a partir de los diagramas medidos tensión – alargamiento colocando galgas en diferentes zonas de la probeta. Las galgas que están fuera de la zona en proceso de fractura se descargan disminuyendo la deformación, mientras que las que están dentro de esta zona se ablandan aumentando la deformación, mostrando claramente el concepto de localización (ver Figura 4. 4). Fuera de la zona en proceso de fractura, un comportamiento elástico y lineal es lo más adecuado, considerando el bajo nivel de tracciones alcanzado tras la fisuración.

Figura 4. 4. Verificación experimental de la localización de deformaciones, Gopalaratnam y Shah (1985)

4.2.2. Comportamiento del hormigón en tracción bajo cargas repetidas

Al hablar del comportamiento del hormigón sometido a cargas repetidas, es necesario hacer una distinción previa del tipo de carga en función del número de ciclos y su amplitud: fatiga de ciclo alto y de ciclo bajo, como ya se ha indicado al tratar el caso de compresiones en la Tabla 2.1. En tracción, y para elementos sin armadura, es interesante profundizar un poco más en función de la tensión (o deformación) máxima alcanzada en el primer ciclo del proceso cíclico [Rotilio J.D., 1998]: solicitaciones


107

cíclicas prepico (son aquellas en las que la probeta no se fisura en la primera carga; se encuadrarían en el ciclo alto) y solicitaciones cíclicas postpico (en el primer ciclo se supera la deformación correspondiente a la resistencia a tracción y aparece la localización de deformaciones y ablandamiento en la zona en proceso de fractura).

Se corresponden las solicitaciones cíclicas postpico a los procesos en los que en la

primera carga la probeta sigue el comportamiento de la Figura 4. 5. Se alcanza en la zona en proceso en fractura del hormigón una tensión correspondiente a la curva de ablandamiento. Este proceso se correspondería con el llamado ciclo bajo. Los estudios en este rango han concluido en general en la verificación del concepto de la curva envolvente, es decir, la curva de ablandamiento obtenida en un ensayo de alargamiento creciente de forma monótona es la envolvente de rotura del proceso cíclico.

Figura 4. 5. Resultados experimentales de una probeta de hormigón bajo carga cíclica, Gopalaratnam y

Shah (1985)

En [Gopalaratnam V.S. y Shah S.P., 1985] (Figura 4. 5), por ejemplo, se comprueba el concepto de la envolvente. Para modelizar este comportamiento, son necesarias las ecuaciones tensión – alargamiento de descarga y recarga, en función del punto de la envolvente. En [Gylltoft K., 1984], [Hordijk D.A., 1991], [Yankelevsky D.Z. y Reinhardt H.W., 1987] se desarrollan algunos modelos conocidos (ver por ejemplo la Figura 4. 6). Gylltoft calificó a su método como de fatiga, aunque según los criterios descritos aquí se encuadraría en el denominado ciclo bajo. Los modelos se pueden clasificar según sean de degradación de la rigidez, de la deformación plástica o mixtos.

La aplicación estructural de estos modelos tiene un interés relativo, puesto que en

elementos de hormigón armado la fisura inicial es generalmente mayor que el valor wc de un modelo de ablandamiento. Simultáneamente, el hormigón entre fisuras se descarga por la rama elástica lineal, y el proceso viene gobernado por la pérdida de adherencia, como se explica en el apartado 4.3.


108

(a) (b)

Figura 4. 6. Modelos de: (a) Hordijk y (b) Gylltoft

Las solicitaciones cíclicas prepico son más interesantes desde el punto de vista de la aplicación a pavimentos o losas pretensadas (como por ejemplo placas ferroviarias), puesto que permite estudiar cómo y cuándo se fisura una estructura de hormigón armado sometida a una carga repetida que aplicada de forma estática no provocaría la fisuración. También es interesante este caso para la aplicación a vigas armadas no fisuradas, donde conviven mecanismos que sufren degradación con diferente tasa temporal (la cabeza comprimida se degrada con alto número de ciclos y el bloque traccionado en un número de ciclos bajo). Experimentalmente, el instante de fisuración se puede representar mediante curvas S-N, como se ve en la Figura 4. 7 [Cornelissen H.A.W. y Reinhardt H.W., 1984].

La ecuación analítica de las curvas S-N se expresa en la ecuación (4. 2), siguiendo a

[CEB, 1988]. El valor de los coeficientes depende de los resultados de cada autor, aunque el Código Modelo MC-90 utiliza la sencilla ecuación (4. 3). La ecuación (4. 4) es la señalada en el trabajo de Cornelissen y Reinhardt:

( ) NRfct

log11max −−= βσ (4. 2)

−=

ctfN max112log σ (4. 3)

ctct ffN minmax 79.252.1481.14log σσ

+−= (4. 4)

Un aspecto interesante es la definición del punto (σ, ε) o (σ, w) de la curva de ablandamiento que corresponde al instante de rotura. En fatiga, realmente es complicado asegurar que se cumple el concepto de que la envolvente monótona en tracción define el fallo [Pfanner D., 2002], aunque por simplicidad se acepta en muchas ocasiones. Tampoco existe una gran diferencia en cuanto a deformaciones debido a los


109

bajos valores de ésta en el rango considerado. Es interesante, no obstante, observar el momento en que se produce el fallo (fisura) y si éste es debido a un aumento gradual de la deformación plástica, el módulo de deformación, o ambos. Respecto a esto, los ensayos realizados por [Cornelissen H.A.W. y Reinhardt H.W., 1984] muestran el crecimiento característico de la deformación total en las tres fases típicas, como en compresión, concluyéndose que la variable que afecta fundamentalmente a este incremento de la deformación total es la deformación inelástica y no el módulo de deformación (Figura 4. 7c).

(a)

(b)

(c)

Figura 4. 7. Curvas S-N para el hormigón en tracción, Cornelissen y Reinhardt (1984): (a) curvas S-N, representándose a través de la tensión máxima en tracción frente al número de ciclos; (b) diagramas de

Goodman para log N = 3, 4, 5 y 6; (c) evolución de deformaciones

4.3. El hormigón armado: estudio del tirante 4.3.1. El tirante bajo carga estática 4.3.1.1. Generalidades

Tal y como se ha indicado, la capacidad tensional del hormigón en tracción es baja, lo que hace que los elementos de hormigón estructural tengan que ser reforzados con armadura de acero. De esta forma, la capacidad de un elemento a tracción se ve mejorada y el conjunto hormigón – acero proporciona un resultado óptimo.


110

A pesar de que en un tirante la capacidad resistente es sobre todo aportada por el acero, la fisuración es un hecho determinante para conocer la respuesta estructural. La fisuración se produce en la sección en la que el hormigón alcanza su resistencia a tracción. Aún fisurado, el hormigón soporta unas ciertas tracciones en el tramo entre dos fisuras, lo que influye decisivamente en la deformabilidad del tirante y se llama el efecto tension – stiffening2. En el desarrollo seguido a continuación se sigue la teoría de König [König G. y Fehling E., 1988].

En la Figura 4. 8 se representa la respuesta general fuerza – alargamiento de un

tirante de hormigón armado. Hasta que no se alcanza en una sección el axil de fisuración, Nfis (punto A), existe perfecta adherencia entre el hormigón y la armadura, comportándose el tirante de forma lineal con la rigidez correspondiente a la sección homogeneizada (fase 1, generalmente llamado estado I). Entre los puntos A y B, aparecen nuevas fisuras en el tirante, situándose unas respecto de otras a una distancia aproximadamente constante. En esta fase de formación de fisuras (fase 2), la rigidez del elemento disminuye hasta que alcanza un mínimo en B. A partir de este momento no aparecen nuevas fisuras, pero las que hay se abren más. Es la fase de fisuración estabilizada, y en ella la ley de comportamiento del tirante es prácticamente paralela a la de la barra desnuda de acero (estado II, sección fisurada). La fase 3 dura hasta que la armadura plastifica, punto C, y empieza la fase 4, que se mantiene hasta la rotura final de la barra.

Figura 4. 8. Comportamiento de un tirante de hormigón armado

Para caracterizar el estado estructural del tirante, hay que conocer la evolución de tensiones y deformaciones de los dos materiales que lo componen durante el proceso de carga. En la fase 1, antes de producirse ninguna fisura, existe adherencia perfecta entre el hormigón (todavía no ha alcanzado fct) y la armadura. En esta fase, la rigidez del tirante es la homogeneizada, ambos materiales están en régimen elástico y no hay deslizamiento relativo hormigón – barra:

( ) =+=+=+=+===

εεεσσεεε

ssccssscccssccsc AEAEAEAEAANNNsc

( )ε

43421hA

scc nAAE += (4. 5)

2 Una parte del efecto tension – stiffening se debe a la rama de ablandamiento de tensiones en la zona en proceso de fractura, tema tratado en el apartado 4.2. Esta parte es en general pequeña y poco importante en elementos armados convencionales, frente a las tracciones que son transferidas de la armadura al hormigón debido a las tensiones tangenciales generadas por deslizamiento relativo. En este trabajo sólo se considera la contribución en tracciones originadas por adherencia – deslizamiento.

N N = .Asσs

L

∆L

N

N fis

III

Fase 1Fase 2

Fase 3Fase 4

∆L

A B

C


111

La ecuación (4. 5) se cumple hasta que se alcanza la resistencia a tracción en el hormigón (σc = fct), punto A de la Figura 4. 8. La aparición de una fisura hace que se desarrolle una zona en la que hormigón y acero deslizan, y en la que aparecen tensiones tangenciales, dejando en esa zona de cumplirse la igualdad de deformaciones (longitud PQ en la Figura 4. 9). La longitud en la que se produce deslizamiento se llama longitud de transferencia, lt. Como se ve, tanto a la izquierda de P como a la derecha de Q, se mantiene compatibilidad de deformaciones, correspondiente al estado I de la Figura 4. 8. La sección de la fisura estaría en estado II, soportando el acero todo el axil.

La situación de la Figura 4. 9 dura muy poco, ya que pronto se forma una nueva

fisura al alcanzar el hormigón en otro punto la resistencia a tracción. En esta fase de formación de fisuras (fase 2 en la Figura 4. 8), la deformación del acero y del hormigón se van separando en todo el tirante, hasta que llega un instante en que no se forman nuevas fisuras y sólo la sección central entre fisuras se mantiene en sección homogeneizada (igual deformación entre hormigón y acero en el punto B de la Figura 4. 8). Si en esta fase de formación por fisuras la solicitación es un alargamiento impuesto, en la curva N-∆L aparecen unos picos característicos que indican cómo van apareciendo nuevas fisuras. En la Figura 4. 10 se representa la situación correspondiente a la fase de formación de fisuras.

Al aumentar la fuerza correspondiente al punto B, ya no se forman fisuras, pero las

que hay se abren más. Es la fase de fisuración estabilizada (Figura 4. 11). Al entrar en esta fase el hormigón y la armadura no cumplen la compatibilidad de deformaciones en toda la longitud del tirante, no habiendo ninguna sección que se comporte como la sección homogeneizada. Sólo existen unos puntos localizados en los que no se produce deslizamiento, que justamente corresponden a la sección central entre fisuras. En la fisura, todo el axil lo soporta la barra de acero, y la colaboración del hormigón entre fisuras se debe a la parte del axil que es transferida a través del mecanismo de adherencia (apartado 4.3.1.2). La separación media entre fisuras oscila entre 1 y 2 veces la longitud de transferencia.

Figura 4. 9. Tirante con una única fisura

x

ε , s cε Fisura

P Q

lt lt

ε =ε cs

ε c

ε s


112

Figura 4. 10. Fase de formación de fisuras

La fase de fisuración estabilizada es la más común en estructuras de hormigón armado. La rama de carga del diagrama N-∆L es prácticamente paralela al estado II. Para calcular el alargamiento del tirante, y también es útil para calcular fisuras, se utiliza la deformación media del acero, εsm (Figura 4. 11). Si se conoce la deformación media del acero, es inmediato conocer el alargamiento a través de la ecuación (4. 6). Aunque sobre su valoración se habla más adelante, es sencillo expresarla como una interpolación entre las deformaciones de los estados I y II, como se hace por ejemplo en [Ghali A. y Favre R., 1994], ecuación (4. 7).

LL smε=∆ (4. 6)

( ) sIIsIsm ξεεξε +−= 1 (4. 7)

Para la modelización del efecto tension – stiffening hay dos vías diferentes que conducen a los mismos resultados: la filosofía europea de rigidizar el acero, asignándole una ecuación constitutiva que recoja toda la gráfica N-∆L de la Figura 4. 8; o considerar que el hormigón es capaz de soportar una cierta cantidad de tracciones en un área eficaz que rodea a la armadura, metodología americana empleada por ejemplo por [Collins M.P. y Mitchell D., 1991].

Figura 4. 11. Fase de fisuración estabilizada

sε

cεs c ε ε =

t,m l t,ml

Fisuras

ε csε ,

x

lt,m lt,m

ε =ε cs

C

BA

L∆

Fase 4Fase 3

Fase 2 Fase 1

III

fis N

N

t,mlt,ml

x ε s

cε

Fisuras

lt,m l t,m

ε c

ε sε sm

N

N fis

I II

ε s,II ε s,I

ε sm


113

4.3.1.2. Ecuaciones que gobiernan el comportamiento del tirante Para estudiar la respuesta del tirante de hormigón armado y las distintas variables

que intervienen, es necesario plantear las ecuaciones analíticas que definen el problema. Para ello se considera una longitud diferencial del tirante (Figura 4. 12), formada por una barra de acero centrada en una zona eficaz de hormigón. En esta área eficaz se asume que la tensión del hormigón es uniforme, y que proviene de la tensión transferida desde la armadura por las tensiones de adherencia.

σc

cσ

σs sσ

σc

cσ σc

cσ

σs

+ d

+ d

+ d

τ

τ

dx

s / 2rm

F

dx

x

Figura 4. 12. Tensiones que actúan en el tirante

El equilibrio en el hormigón y en el acero se expresa:

( )c

scscccc A

Udx

ddxUAd τστσσσ −=⇒=+−+ 0 (4. 8)

( )s

sssssss A

Udx

ddxUAd τστσσσ =⇒=−−+ 0 (4. 9)

En las ecuaciones anteriores, Us es el perímetro de la barra de acero, As y Ac son, respectivamente, el área de acero y eficaz de hormigón. Dividiendo las ecuaciones (4. 8) y (4. 9), se comprueba como la tensión de adherencia movilizada por el deslizamiento relativo entre ambos materiales, τ, es la que produce la transferencia de tensiones de acero a hormigón:

c

s

s

c

AA

dd

−=σσ (4. 10)

La integración de las ecuaciones (4. 8) y (4. 9) permite ver la evolución de las tensiones en la longitud comprendida entre dos fisuras (por simetría se trabaja sólo con la mitad de esta separación, srm/2):

( ) ( ) ∫∫==

−=+==x

sxs

sfiss

x

xs

sss

rm

dxAUdx

AUxx

2/,

0

0 τστσσ (4. 11)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]00 =−−== xxAAxx ss

c

scc σσσσ (4. 12)

El punto de origen (x = 0) es la sección central entre fisuras, única donde no hay deslizamiento relativo entre ambos materiales (ver Figura 4. 11) en la fase de fisuración estabilizada; o en el caso de estar en la fase de formación de fisuras, único punto en el que además se verifica εs = εc (Figura 4. 10). Esquemáticamente, la Figura 4. 13 indica la distribución de las variables del problema. Un interesante análisis del fenómeno de la fisuración basada en estas variables se encuentra en [Balazs G.L., 1993].


114

Figura 4. 13. Distribución de tensiones, deformaciones y deslizamiento en el tirante

El deslizamiento relativo en un punto cualquiera de abscisa x se obtiene integrando la diferencia de deformaciones, (4. 13). La abertura de fisura es la suma del deslizamiento relativo a ambos lados de la fisura. Suponiendo que la separación entre fisuras es constante, la abertura es el doble del deslizamiento relativo en la sección fisurada, ecuación (4. 14).

( ) ( ) ( )[ ]∫=

−=x

xcs dxxxxs

0

εε (4. 13)

( )2/2 rmfis sxsw == (4. 14)

En la Figura 4. 13se observa que desde la fisura, donde la tensión en el acero es máxima y nula en el hormigón, hasta la sección central entre fisuras, aumenta la tensión en el hormigón y se reduce la del acero. En la sección central la colaboración del hormigón es máxima, pero siempre menor que fct, porque sino aparecería otra fisura. La diferencia de deformaciones genera el deslizamiento.

Para resolver las ecuaciones anteriores, se necesitan las ecuaciones constitutivas de

los materiales y de la adherencia barras – hormigón. Para el acero se utiliza un comportamiento clásico bilineal (siendo lo habitual estar en la rama elástica en servicio).

Para el hormigón se considera lo expuesto en 4.2. Al abrirse la grieta se produce la

localización de deformaciones. Esta sección fisurada se ablanda mientras se forma la grieta, y el resto del tirante disminuye su deformación según la rama lineal. Como se ha comentado en el apartado 4.2, la abertura de la fisura en estructuras de hormigón armado es generalmente mayor que la crítica wc de un modelo de ablandamiento. Por ello, la capacidad del hormigón de transmitir tensiones en la fisura es muy baja o nula, y

0.0 0.0

0.0

x

τ

w / 2s

x

No coinciden enfisuración estabilizada x

ε

0.0

0.0

σ

x

rms / 2

< f ct

σ s

σ c

sAN

c/Ecε =

s/Esε = σ s

σ c

sENAs


115

no es necesario utilizar una ecuación de ablandamiento para el hormigón, puesto que en la fisura toda la fuerza la resiste la armadura y se cumple σc = 0 tal y como indica la Figura 4. 13.

Vistas las ecuaciones constitutivas del acero y el hormigón, sólo queda por definir la

ley de tensión de adherencia – deslizamiento, τ – s, lo que trata el apartado siguiente.

4.3.1.3. La ley de adherencia hormigón - acero

El mecanismo de adherencia es el que hace que se transfieran las tensiones entre el hormigón y la armadura a lo largo de la separación entre fisuras. Por lo tanto, la tensión de adherencia movilizada es la responsable de que la colaboración del hormigón, efecto tension – stiffening, sea más o menos importante.

La ley τ – s entre acero y hormigón tiene una forma no lineal, como se representa en

la Figura 4. 14. La tensión tangencial máxima τu es en general dependiente de la calidad del hormigón, y la tensión tangencial friccional, τf, es a su vez una fracción de la máxima. El deslizamiento s1 se corresponde con el final de la rama ascendente. Bajo tensión máxima, hay una zona aproximadamente horizontal, hasta un deslizamiento s2, desde el cual se produce la rama descendente de la adherencia. A partir de un cierto deslizamiento s3, la tensión tangencial que se es capaz de generar es la friccional. Es habitual, por simplicidad, considerar las tres últimas ramas como rectas. Los valores de los deslizamientos característicos dependen de la geometría de la barra de acero (separación entre corrugas, tamaño de éstas, etc.) [Kreller H., 1990].

Figura 4. 14. Forma general de la ley de adherencia

Los valores de los parámetros de la curva τ – s han sido obtenidos de forma experimental por diversos autores, destacando los trabajos desarrollados en la Universidad de Berkeley, [Ciampi V. et al., 1982], [Eligehausen R. et al., 1983]. Mayoritariamente se trata de ensayos de arrancamiento o pull-out. Un aspecto importante es la dependencia de la calidad de la adherencia respecto del confinamiento del hormigón. En la Figura 4. 15 se pueden ver algunos resultados obtenidos (parte a), así como la influencia de crear un confinamiento mediante cercos (parte b).

s

uτ

τf

s1 2s s3


116

(a)

(b)

Figura 4. 15. Leyes de adherencia obtenidas en la Universidad de Berkeley: (a) Curvas τ – s; (b) Influencia del confinamiento

Las dos variables más importantes en la ley de adherencia son, por tanto, el confinamiento y la geometría de las barras. La rama ascendente se expresa a través de una ecuación exponencial, (4. 15). Utilizar un exponente α de 0.4 es lo habitual, aunque hay autores que lo relacionan con la calidad del hormigón, ecuación (4. 16) según [Kreller H., 1990].

α

ττ

=

1ss

u (4. 15)

[ ] 1625.0003.0 += MPafcα (4. 16)

Las recomendaciones para valorar los parámetros de la ley de adherencia se muestran en la Tabla 4. 1 según [Kreller H., 1990], y en la Tabla 4. 2 según el Código Modelo MC-90.

Parámetro Buena adherencia Mala adherencia

τu cfa

28.1/36.0 +Φ= ra , para recubrimiento normal 2/36.0 +Φ= ra , para cercos muy juntos

τf 0.15τu s1 0.25 mm 0.40 mm s2 0.35 mm 0.60 mm s3 1.00 – 2.00 mm 2.50 mm

Tabla 4. 1. Parámetros de la ley de adherencia propuestos por Kreller (1990)

Hormigón no confinado Hormigón confinado Parámetro Buena adherencia Mala

adherencia Buena adherencia Mala

adherencia τu cf2 cf1 cf5.2 cf25.1 τf 0.15τu 0.15τu 0.40τu 0.40τu s1 0.6 mm 0.6 mm 1.0 mm 1.0 mm s2 0.6 mm 0.6 mm 3.0 mm 3.0 mm s3 1.0 mm 2.5 mm Separación corrugas Separación corrugas

Tabla 4. 2. Parámetros de la ley de adherencia propuestos por el Código Modelo MC-90

Realmente, en un elemento armado la calidad de la adherencia depende, a lo largo del contacto barra – hormigón, de la proximidad relativa a la fisura con respecto al diámetro de la barra. Las recomendaciones de [Kreller H., 1990] para tener en cuenta este efecto se reflejan en la Figura 4. 16 y en la Tabla 4. 3.


117

Figura 4. 16. Reducción de las propiedades adherentes según la proximidad a la fisura, Kreller (1990)

Buena adherencia Mala adherencia Ley s2 (mm) s3 (mm) τf /τu s2 (mm) s3 (mm) τf /τu

1 s1 0.05 0.001 s1 0.05 0.001 2 s1 0.15 0.025 s1 0.30 0.025 3 s1 0.30 0.050 s1 0.60 0.050 4 s1 + 0.1 0.55 0.150 s1 + 0.2 1.45 0.150 5 s1 + 0.1 0.75 0.150 s1 + 0.2 1.95 0.150

Tabla 4. 3. Parámetros de la ley de adherencia para considerar la influencia de la proximidad a la fisura, Kreller (1990)

Otro grupo de modelos, entre los que destaca el desarrollado en Zürich por [Marti P. et al., 1998], utilizan una ley de adherencia rígido – plástica. Esto permite la resolución del problema de adherencia (ecuaciones del apartado 4.3.1.2) de una forma analítica sencilla, ya que la tensión tangencial resulta constante en la longitud de deslizamiento. 4.3.2. Comportamiento del tirante bajo carga repetida

Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del tirante son las explicadas en el apartado 4.3.1.2, lógicamente iguales bajo carga repetida o estática (ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y condiciones de contorno). El efecto de la carga repetida influye en el comportamiento constitutivo de las diferentes partes que integran el tirante.

Respecto de la armadura, ya se ha comentado que se adopta el comportamiento

elasto – plástico clásico del acero, siendo lo habitual, en servicio, estar en la rama elástica y lineal. Durante la acción cíclica, no hay pérdida de rigidez ni aparición de deformaciones inelásticas [CEB, 1983].

Sin embargo, es necesario hacer alguna aclaración respecto al comportamiento del

hormigón en tracción. La parte de hormigón entre fisuras se mantiene en la rama elástica y lineal, de acuerdo a lo explicado en los apartados 4.2.1 y 4.3.1.2. Sin embargo, en el hormigón de la zona en proceso de fractura (fisura) habría que emplear alguno de los modelos introducidos en el apartado 4.2.2. Debido a que se considera que en estructuras armadas la fisura está totalmente abierta, no es necesario utilizar un modelo de este tipo. Para los casos en los que la fisura no está totalmente abierta (axil menor al de fisuración), se puede considerar que la fisura está abierta desde el principio a efectos de cálculo, ya que la carga repetida hará que se abra en un número de ciclos relativamente pequeño (apartado 4.7.3). Un aspecto interesante en cuanto al hormigón


118

en la sección fisurada es que éste pueda llegar a recomprimirse, cerrándose la fisura. [Fantilli A.P. y Vallini P., 2002] utilizan el modelo de cierre de fisura de la Figura 4. 17.

Figura 4. 17. Modelo de cierre de fisura

Como consecuencia de estos argumentos, la evolución de la ley τ – s es la principal responsable del proceso evolutivo de la respuesta del tirante. Los trabajos experimentales de la Universidad de Berkeley [Eligehausen R. et al., 1983] indican la degradación que sufre la envolvente de la ley debido a la acción cíclica, aunque la mayoría de sus ensayos estaban destinados a cargas reversibles (en las descargas cambia el signo del deslizamiento relativo), como indica por ejemplo la Figura 4. 18.

Figura 4. 18. Comportamiento τ-s para cargas cíclicas, Eligehausen et al. (1983)

La existencia de una envolvente reducida refleja el desgaste de la adherencia inducida por la carga repetida. Los modelos como el de la Figura 4. 18 son adecuados para carga reversible y bajo número de ciclos, y no directamente para la fatiga, donde el número de ciclos es muy elevado y no hay cambio de signo en el deslizamiento relativo. Un estudio más general comprendería la definición de las ecuaciones de descarga y recarga.

Está generalmente comprobado que la descarga es lineal con un determinado

módulo K, hasta que se alcanza una tensión de adherencia llamada resistencia friccional residual negativa, τres (Figura 4. 19). La recarga más simple sería también lineal con módulo K hasta volver a alcanzar la envolvente. Así es la propuesta del Código Modelo [CEB - FIP, 1991], con un valor K = 200 N/mm3. La resistencia friccional se puede considerar una fracción de la máxima. La Tabla 4. 4 recoge la recopilación de parámetros de carga y descarga de varios autores hecha por [Laurencet P., 2000].


119

Figura 4. 19. Comportamiento simplificado de adherencia para cargas repetidas, Laurencet (2000)

Valores propuestos Autor K = 500 MPa/mm, para τu bajo K = 200 MPa/mm, para τu alto

Edwards y Yannopoulos

τres = 0.15 – 0.25 τu Plaines y Tassios K = 0.5 MPa/mm τres = 0.25 τu, para τu bajo τres = 0.15 τu, para τu alto

Morita y Kaku

K = 400 MPa/mm τres = 0.70 τf

Balazs

K = 260 MPa/mm τres = 0.15 τu

Hawkins

K = ∞ Pochanart K = 440 MPa/mm Moro K = 200 MPa/mm, para hormigón estándar K = 300 MPa/mm, para HAR

Eligehausen

τres = 1.0 MPa para hormigón estándar τres = 3.5 MPa para hormigón de alta resistencia (HAR)

Cowell

τres = 1.0 τf Viwathanatepa K = 200 MPa/mm τres = 0.0 MPa

MC – 90

Tabla 4. 4. Comparación de valores de K y τres, tomado de la clasificación de Laurencet (2000)

El uso de un criterio de carga y recarga tiene que estar acompañado por la ley del progresivo deterioro de la envolvente. La envolvente reducida viene definida por los parámetros característicos que la relacionan con la envolvente monótona:

u

redukτ

τ=1 (4. 17)

1

12 s

skred

= (4. 18)

f

redfk

ττ

=3 (4. 19)


120

Figura 4. 20. Trabajo de Balazs (1991)

El esquema de [Balazs G.L., 1991] indica en la Figura 4. 20 cómo se ve alterada la envolvente, aunque no da un criterio para la evolución de estos parámetros. Una ley de evolución para ellos debería depender de la historia de carga, la amplitud, el número de ciclos, etc. La propuesta de [Sippel T., 1996] ha supuesto un importante salto cualitativo, ya que propone una evolución de la envolvente reducida en función de un solo parámetro. Este parámetro sería sólo el deslizamiento s1:

( )Nred kss += 111 (4. 20)

( ) 11 −+= aN Nk (4. 21)

Figura 4. 21. Envolvente reducida de Sippel (1996) para cargas repetidas

La curva envolvente monótona limita el desplazamiento de la envolvente reducida, de la forma en que se dibuja en la Figura 4. 21. El parámetro a de la ecuación (4. 21) es la pendiente, en escala logarítmica, del deslizamiento frente al número de ciclos. La propuesta de Sippel incluye la influencia del nivel de la tensión en el proceso, y fue obtenida a partir de sus propios resultados experimentales y los de la Universidad de


121

Berkeley. Teniendo siempre en cuenta que la dispersión de los resultados es bastante importante, la formulación propuesta es:

11.0=a , 45.0/ <uττ (4. 22)

05.0/35.0 −= ua ττ , 45.0/ ≥uττ (4. 23)

El Código Modelo hace una propuesta similar para obtener el deslizamiento relativo s en un determinado instante en función del deslizamiento estático s0:

( )Nkss += 10 (4. 24)

( ) 11 107.0 −+= NkN (4. 25)

El deslizamiento relativo puede ser medido durante un ensayo de cargas repetidas. El crecimiento sigue las tres fases características de un proceso de fatiga (Figura 4. 22a). Este crecimiento conlleva el de la abertura de fisura, que se produce tanto bajo carga mínima como máxima [Laurencet P., 2000], [Rotilio J.D., 1998]. En cuanto al aumento del deslizamiento relativo, [Balazs G.L., 1991] propuso un criterio basado en los resultados experimentales para indicar el momento en el que comienza la tercera fase del proceso de fatiga, y por tanto en que se inicia el fallo por fatiga de adherencia: afirma que se entra en esta fase cuando el deslizamiento bajo carga máxima alcanza el valor s1 de la envolvente monótona (Figura 4. 22).

(a)

(b)

Figura 4. 22. Evolución del deslizamiento relativo en un proceso de fatiga: (a) división en las tres fases características; (b) criterio de Balazs (1991) para definir el comienzo de la fase de rotura por fatiga

La progresiva degradación de la ley τ – s a medida que aumenta el número de ciclos hace que sea verdaderamente complicado desarrollar experimentalmente un proceso


122

cíclico de límites de la tensión tangencial constante tal y como el de la Figura 4. 22a. Para ello es necesario realizar ensayos con longitudes de adherencia pequeñas en las que la tensión de adherencia se pueda considerar constante.

Los ensayos de tipo pull-out de [Koch R. y Balazs G.L., 1993] se realizaron con una

distancia adherida de 5Φ, cubriendo niveles de la tensión de la tensión tangencial entre el 20 y el 90% de τu bajo carga máxima (la tensión mínima siempre fue el 10% de la mínima). Para los casos con tensión máxima mayor que 0.70τu siempre se produjo el fallo antes de 2.106 millones de ciclos, siguiendo el deslizamiento una evolución en tres fases como la de la Figura 4. 22a (los puntos B y C de la figura indican los cambios de fase). Para la obtención de un criterio de crecimiento del deslizamiento similar al del Código Modelo (ecuaciones (4. 24) (4. 25)), eliminaron las medidas de la tercera fase de crecimiento del deslizamiento. El valor medio del exponente que resultó fue de 0.131, aunque lo más adecuado hubiera sido incluir la influencia de la tensión máxima (como en (4. 22)-(4. 23)), ya que el valor medio para tensiones menores que 0.70τu fue 0.170.

La incertidumbre de medir la tensión tangencial a lo largo de un tirante armado ha

conllevado la tendencia a realizar ensayos con control del deslizamiento en lugar de la tensión. En la Figura 4. 23 se dibuja la reducción de la tensión de adherencia bajo carga máxima en ensayos cíclicos con ∆s constante.

La Figura 4. 24 presenta las curvas S-N obtenidas por Eligehausen y su equipo en la

Universidad de Berkeley [Ciampi V. et al., 1982], [Rehm G. y Eligehausen R., 1979]. Las longitudes de adherencia hormigón – armadura eran cortas para poder desarrollar un proceso en el que la tensión tangencial sea constante.

Figura 4. 23. Evolución de la tensión de adherencia bajo carga máxima imponiendo el deslizamiento en

un número bajo de ciclos (Eligehausen y otros, Universidad de Berkeley)


123

Figura 4. 24. Curvas S-N en ensayos de adherencia (Eligehausen y otros, Universidad de Berkeley)

[Oh B.H. y Kim S.H., 2007] han publicado una manera muy sencilla de obtener de forma teórica una curva S-N. Se parte de la ecuación que proporciona la evolución del deslizamiento según el número de ciclos en función del deslizamiento en el primer ciclo, muy similar a las expresiones (4. 20)-(4. 21) y (4. 24)-(4. 25):

bNss 0= (4. 26)

098.0=b (4. 27)

El exponente b sería el equivalente al parámetro a empleado en las expresiones anteriores. Si se tiene en cuenta que el deslizamiento en el primer ciclo, s0, es fácilmente obtenido a través de la ley de adherencia (ecuación (4. 15)), se introduce en la expresión (4. 26) la tensión tangencial. Y utilizando el criterio de fallo de rotura por fatiga de [Balazs G.L., 1991], ya comentado, resulta inmediatamente una expresión de la curva S-N (estrictamente, Nf sería el número de ciclos en el que se comienza la tercera fase de fatiga):

bu

b

u

b

f ssN

αα

ττ

ττ

1

max

/1/1

max/1

1

=

=

=

−

(4. 28)

La Figura 4. 25 muestra la comparación de esta ecuación con los resultados experimentales de [Rehm G. y Eligehausen R., 1979].

Figura 4. 25. Comparación de la curva S-N de Oh y Kim (2007) con los ensayos de la Universidad de

Berkeley


124

Basados en el modelo de adherencia rígido – plástico, [Muttoni A. y Fernández Ruiz M., 2007] han propuesto algunas modificaciones para incluir el efecto de las cargas repetidas. Básicamente se trata de afectar a la tensión tangencial de adherencia, que es constante en un modelo de este tipo, de un coeficiente que degrade este valor. El grupo de Muttoni ha empleado que la tensión de adherencia última a tiempo infinito es el 70% de la inicial, sin especificar qué se considera tiempo infinito ni cómo se alcanza ese valor a lo largo de la historia de tensiones. El modelo de adherencia rígido – plástico también ha sido empleado para tener en cuenta otros efectos en la adherencia, como la corrosión ambiental, aunque presenta limitaciones con respecto al empleo de una ley de adherencia exponencial, especialmente en zonas de anclaje [Berto L. et al., In press].

Concluyendo este apartado, el comportamiento en servicio del tirante está

determinado por la fuerte no linealidad de la adherencia hormigón – acero ante cargas cíclicas. El ancho de fisura crece con el número de ciclos en comparación con el calculado bajo carga monótona, tanto bajo la carga máxima como la carga permanente. A pesar de ello, la mayoría de los códigos de diseño utilizan la respuesta bajo carga monótona para el cálculo de fisuras, sin tener en cuenta el número de ciclos ni el nivel de carga máximo. Como ejemplo, en la EHE [Comisión Permanente del Hormigón, 1998] la abertura media de la fisura se calcula3:

44 344 214.0

2

,2

, 1

≥

−==

fiss

sr

s

fissrmsmrmm k

Essw

σσσ

ε (4. 29)

La única mención a la influencia de las cargas repetidas es que k2 debe valer 0.5 en lugar del valor 1.0 empleado para cargas monótonas. Criterios semejantes se consideran en el EC-2 [CEN, 2004] o el MC-90. 4.4. Modelo analítico 4.4.1. Planteamiento

La resolución del problema tiene como objetivo conocer el valor de las variables que intervienen en él a efectos de cuantificar la progresiva pérdida de contribución del hormigón en tracción entre fisuras y el crecimiento de flechas y desplazamientos. En este apartado se explica la metodología desarrollada en esta tesis para resolver el problema. Se considera el tirante de longitud finita con una barra de armadura centrada en un área eficaz de hormigón en el que la tensión es uniforme. Por simetría, el tirante se acota a la mitad de la separación entre fisuras (Figura 4. 12). Las ecuaciones del problema son:

• Ecuaciones de equilibrio. Son las indicadas en las expresiones (4. 8) y (4. 9):

c

sc

AU

dxd τσ

−= ; s

ss

AU

dxd τσ

= (4. 30)

• Ecuación de compatibilidad. Relaciona el deslizamiento con las deformaciones del hormigón y la armadura:

csdxds εε −= (4. 31)

3 En la nueva EHE 2008 se utiliza la misma metodología.


125

• Ecuaciones constitutivas. Como se ha indicado en 4.3, el acero y el hormigón están en régimen elástico y lineal:

ccc E εσ = ; sss E εσ = (4. 32)

Se considera que el hormigón de la fisura no es capaz de soportar tracciones4. La ley de adherencia monótona elegida es la propuesta por el Código Modelo [CEB - FIP, 1991]. Para la rama ascendente utiliza la ecuación (4. 15) con un exponente de 0.4, y para el resto de las ramas se emplean simplificaciones lineales:

4.0

1

=

ss

uττ , para s < s1 (4. 33)

uττ = , para s1 < s < s2 (4. 34)

( )23

2

ssss

fuu −−

−−= ττττ , para s2 < s < s3 (4. 35)

fττ = , para s3 < s (4. 36)

Los valores de las constantes del material se calculan de acuerdo a lo indicado en la Tabla 4. 2.

• Condiciones de contorno. En la sección fisurada, se conoce la tensión en los dos materiales:

sfiss A

N=,σ (4. 37)

0, =fiscσ (4. 38)

Y en la sección central entre fisuras, no hay deslizamiento relativo entre acero y hormigón: ( ) 00 ==xs (4. 39)

La resolución del problema se busca mediante un procedimiento iterativo que de una

manera incremental obtiene la distribución de todas las variables en el tirante. Se trata de una metodología que ha sido empleada ya en [Kreller H., 1990], [Noh S.Y. et al., 2003], [Sippel T., 1996], [Tassios T.P. y Yannopoulos P.J., 1981].

4 Ya se ha explicado por qué no se considera la capacidad de ablandamiento en tracciones del hormigón en la fisura. Ello tiene ventajas prácticas adicionales, ya que no hay que utilizar parámetros como GF o wc cuyo uso no está generalizado en Ingeniería Estructural. Incluso se evita en cierta medida la dependencia de la resistencia a tracción, también difícil de cuantificar en una estructura real.


126

NAs

s nσ

s / 2 = (n-1) ∆xrm

x

σ

= 0.0x

x

s

τ

x

1 2 3 n-2 n-1 n

∆x ∆x ∆x∆x

s

τn

n-1ssn-2

3ss210 = s

fis= w /2

0 = τ1τ2

τ3

τn-2τn-1

sn

s i

i(s )τ iiτ =

σs1σs2 σs3

σs n-2

σs n-1

=

=σs i-1 s iσ - τ isA

Us ∆x

σc

σc1c2σ σc3

c n-2σσc n-1 cnσ

f >ct

ρs i,i-1+ ∆σσc ic i-1σ =

s i,i-1∆σ

∆σ c i,i-1

i-1s = s i - (ε - ε sm i,i-1 sm i,i-1 )

i,i-1∆s

sn

N

∆x

Valor inicial de sn

i = n

i = i - 1

¿i = 1?

no

¿s = 0?1

sí síFin

ns= 2wfis

no

nNuevo valor de s

Figura 4. 26. Esquema del procedimiento de resolución del tirante

El esquema se representa en la Figura 4. 26. El tirante (realmente la mitad de la separación entre fisuras, srm/2) se divide en n nodos, separados por una distancia constante ∆x. Conocido el deslizamiento en el borde de la fisura (sn), se van calculando los valores de las diferentes variables hasta que se recorre el tirante y se obtiene el deslizamiento en la sección entre fisuras (s1), que debe ser 0. Evidentemente, sn es la incógnita del problema y s1 = 0 la condición que hay que verificar.

Las ecuaciones incrementales son las que se dan en la Figura 4. 26. Se parte de un

valor inicial del deslizamiento en el nodo n, en el que ya se saben la tensión en el acero y en el hormigón, porque son las condiciones de contorno del problema. La tensión de adherencia en este nodo se obtiene con la ley de adherencia empleada. Con ello, es inmediato calcular los valores en el nodo n-1:

434211,,

,1,

−∆

− ∆−=

nns

xAU

s

snnsns

σ

τσσ (4. 40)

434211,,

1,,,1,

−∆

−− ∆+=

nnc

c

snnsncnc A

A

σ

σσσ (4. 41)


127

xEE

ss

nncmnnsm

c

ncnc

s

nsnsnn ∆

+

−+

−=

−−

−−−

43421434211,,1,,

221,,1,,

1

εε

σσσσ (4. 42)

Continuando hasta el nodo 1, se obtiene finalmente el deslizamiento en la sección central entre fisuras. Este valor debe ser cero. Si no es así, se hace una nueva iteración con otro valor del deslizamiento en la fisura sn. Para la resolución del problema se ha utilizado un algoritmo de regula – falsi. Los extremos entre los que se busca la solución son: como valor inferior la tolerancia del problema; y como valor superior el deslizamiento correspondiente a la tensión tangencial máxima de la ley de adherencia.

El valor de la separación entre fisuras que se utiliza es el recomendado por el

Código Modelo [CEB - FIP, 1991] para la fase de fisuración estabilizada, es decir, se asume que el mapa de fisuras ya está formado desde el comienzo. Como se comprueba en el apartado 4.7, esta aceptación es adecuada ante cargas repetidas debido a que éstas hacen que en un número muy bajo de ciclos todas las fisuras se abran. La expresión es:

ρ6.332 Φ

=rms (4. 43)

Donde Φ es el diámetro y ρ la cuantía de armadura en el área eficaz. En el caso de que utilizando este valor se alcance la resistencia a tracción en la sección central entre fisuras, se reduce la separación entre las mismas convenientemente.

Para la inclusión del efecto de la carga cíclica, se ha adoptado una metodología

basada en el esquema de la Figura 4. 26 que incluye la progresiva degradación de la ley de adherencia, así como un criterio de descarga – recarga. Ya se ha indicado en el apartado 4.3.2 que si el hormigón y el acero están en régimen elástico y lineal, el efecto cíclico sólo se introduce a través de la ley de adherencia. Por tanto, en cada fase de descarga y recarga, la metodología de la Figura 4. 26 utiliza las ecuaciones adecuadas en el momento en el que se calcula la variación de la tensión de adherencia, ∆τ, a partir del deslizamiento en cada nodo:

( )iii sττ ∆=∆ (4. 44)

Recarga

τ

s

τ

Envolvente monótona

Descarga

Envolvente reducida

Resistencia residual

(a)

(b)

s

Figura 4. 27. Esquema del proceso de descarga y recarga


128

El modelo utilizado es el sugerido por [Pochanart S. y Harmon T., 1989]. El esquema se representa en la Figura 4. 27. En la primera carga se sigue la ley de adherencia monótona, obteniéndose un determinado estado tensional. La descarga se realiza según una rama vertical. En caso de que en la descarga se alcance la resistencia friccional de signo contrario (parte b de la Figura 4. 27), la rama es horizontal y sólo se reduce el deslizamiento. Esta resistencia es aproximadamente el 15% de la tensión tangencial máxima estática (Tabla 4. 4).

La recarga sigue también una rama vertical, pero sólo hasta encontrarse con la

envolvente τ – s. Esta curva es la envolvente reducida correspondiente al número actualizado de ciclos de carga aplicados. Como se ha explicado en el apartado 4.3.2, el modelo de [Sippel T., 1996] es el más adecuado para reproducir la evolución de la envolvente de adherencia, y es la adoptada aquí. Se trata de un modelo en el que crece el valor del deslizamiento correspondiente a la tensión tangencial última, s1. A su vez, la ley monótona hace de envolvente de las envolventes reducidas tal y como se ha representado en la Figura 4. 21. Se repite aquí la ley de evolución:

( )Nred kss += 111 (4. 45)

( ) 11 −+= aN Nk (4. 46)

11.0=a , 45.0/ max <ττ (4. 47)

05.0/35.0 max −= ττa , 45.0/ max ≥ττ (4. 48)

En el trabajo reciente de [Oh B.H. y Kim S.H., 2007] se confirma la validez del modelo utilizado para cargas repetidas. Se ensayaron tirantes con longitud de adherencia barra – hormigón de 2Φ (longitud suficientemente pequeña, con objeto de garantizar un valor sensiblemente constante de la tensión tangencial). La tensión máxima fue el 45, 60 y 75% de la última, y la mínima siempre fue de 0.107 MPa. Se aplicaron 105 ciclos de carga, aunque hubo probetas suficientes para ensayar hasta rotura en forma pull-out cada 10k ciclos. La Figura 4. 28a muestra un resultado típico.

(a)

(b)

Figura 4. 28. (a) Resultados típicos de Oh y Kim (2007); fc = 37 MPa, τu = 23.65 MPa, s1 = 1.04 mm, probeta rectangular de 150 mm de lado, Φ16 mm, τmax / τu = 0.60; se aplicaron 105 ciclos de carga; (b)

Evolución teórica de la envolvente reducida

En todo momento se observa que las curvas τ – s son muy verticales hasta una determinada tensión, que bien podría reproducir la envolvente reducida del tipo de la Figura 4. 21. Una de las conclusiones de [Oh B.H. y Kim S.H., 2007] es que la tensión de adherencia última, τu, no disminuye con el número de ciclos. Sin embargo, esto no es contradictorio con la propuesta empleada en esta Tesis por dos razones. En primer lugar, ningún ensayo supera 105 ciclos, por lo que todavía s1,N no habría crecido tanto


129

como para superar s2 (Figura 4. 28b). En segundo lugar, el hormigón está muy confinado según los autores, lo que garantiza un valor de s2 muy grande (Tabla 4. 2) y difícil de alcanzar por s1,N en pocos ciclos, a la vez que advierte de la mayor sensibilidad a problemas cíclicos en casos no confinados.

Evidentemente, la reproducción ciclo a ciclo en procesos de cargas repetidas es ineficiente, por lo que en la metodología aquí empleada sólo se reproduce una descarga y una recarga cada cierto número de ciclos. Como está comprobado experimentalmente, la degradación de la adherencia por carga repetida sigue una ley exponencial. Por ello, aquí se ha elegido resolver el problema en los ciclos 10k ciclos, siendo k = 1, 2, 3, etc., tanto bajo carga máxima como mínima.

Se ha programado un código en lenguaje VisualBasic y los resultados obtenidos para diferentes casos de carga, geometría y materiales muestran que es suficientemente robusto. La velocidad de convergencia ha sido muy alta para todos los casos investigados. Además, todo el programa resulta en velocidades de cálculo elevadas. Por ejemplo, un tirante de 0.15 x 0.15 m con una barra de 20 mm de diámetro sometido a una carga que oscila entre 110 y 66 kN (oscilación de tensión en la armadura entre 350 y 210 MPa) durante 107 ciclos, con una tolerancia en la solución de 0.00001 mm, es resuelto en 0.906 segundos5.

4.4.2. Aplicación 4.4.2.1. Un caso de carga estática

En primer lugar, se hace una comparación de los resultados bajo carga monótona con el modelo de [Tassios T.P. y Yannopoulos P.J., 1981], para comprobar la validez de la modelización empleada. Se trata de reproducir el estado de un tirante de 90 mm de separación de fisuras (Figura 4. 29); tiene sección rectangular de 76 mm de lado y una barra de 16 mm. Se hace un estudio en el que la ley de adherencia es única en todo el tirante (ley A de la Figura 4. 29), y otro en el que además se incluye un deterioro de la adherencia en los 10 mm próximos a la fisura (transición lineal de la ley A a la ley B de la Figura 4. 29 en estos 10 mm). Se han estudiado tres casos para la fuerza aplicada, de manera que la tensión en la armadura en la fisura sea 50, 200 y 400 MPa.

(a)

Ley A

Ley B

0

2

4

6

8

10

0.0 0.1 0.2 0.3Deslizamiento (mm)

Tens

. de

adhe

renc

ia (M

Pa)

(b)

Figura 4. 29. (a) Geometría del tirante (fc = 30); (b) Leyes de adherencia

5 Trabajando con un ordenador con procesador Pentium IV de 3.2 GHz y 2.00 GHz de memoria RAM.


130

400

200

50

0

2

4

6

8

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

Tens

. adh

eren

cia

(MPa

)

(A)(A+B)

400

200

(50

0

100

200

300

400

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

Tens

. ace

ro (M

Pa)

(A)(A+B)

400

200

50

0.000

0.025

0.050

0.075

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

Des

lizam

ient

o (m

m)

(A)(A+B)

(a) (b)

Figura 4. 30. (a) Resultados de Tassios y Yannopoulos (1981); (b) Resultados propios

La comparación de los valores obtenidos con los de Tassios se muestra en la Figura 4. 30. Como se ve, ambos modelos conducen a los mismos resultados. Una conclusión importante es que, aún utilizando leyes de adherencia diferentes, el deslizamiento es prácticamente el mismo (y por tanto la abertura de fisura). La principal diferencia está


131

en las tensiones de adherencia y, por consiguiente, en la transferencia de tensiones entre hormigón y acero. Cuanto más flexible sea la ley de adherencia, menos tensiones se transmiten al hormigón y menor es su contribución en tracción (tension - stiffening).

Para analizar la influencia de la degradación la calidad de la adherencia en las

proximidades de las fisuras, se ha repetido el problema con las seis leyes recomendadas por [Kreller H., 1990] (Figura 4. 16 y Tabla 4. 3), que se representan en la Figura 4. 31a. Los resultados se muestran en la Figura 4. 31b-e.

0

3

6

9

0.0 0.3 0.6 0.9 1.2Deslizamiento (mm)

Tens

. de

adhe

renc

ia (M

Pa)

ley 1Ley 2Ley 3Ley 4Ley 5Ley 6

(a)

50

200

400

0

100

200

300

400

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

Tens

ión

acer

o (M

Pa)

(b)

50

200

400

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

Tens

ión

horm

igón

(MPa

)

(c)

50

200

400

0

2

4

6

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

Tens

ión

adhe

renc

ia (M

Pa)

(d)

200

400

0.000

0.025

0.050

0.075

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

Des

lizam

ient

o (m

m)

(e)

Figura 4. 31. Resultados del tirante con seis leyes de adherencia: (a) leyes τ - s; (b) – (e) distribución de variables en el tirante

La diferencia en cuanto a deslizamientos es relativamente pequeña (sólo crece 0.0054 mm en la fisura para el caso de 400 MPa), pero es más importante en cuanto a las tensiones transferidas por los valores de la tensión de adherencia. Por tanto, la diferencia de usar o no leyes de adherencia reducida en la proximidad de la fisura es


132

más importante para el cálculo de la contribución del hormigón entre fisuras, y menos para el cálculo de fisuras. 4.4.2.2. Un caso de carga repetida

A la hora de programar el esquema indicado en la Figura 4. 26 para el caso de cargas repetidas, se han considerado las siguientes simplificaciones:

• Se utiliza una ley de adherencia única en todo el tirante, es decir, no se tiene

en cuenta la menor calidad de la adherencia en las proximidades de la fisura. Como se ha visto en el apartado anterior, esta hipótesis está justificada por las pequeñas diferencias en cuanto a los resultados obtenidos en deslizamientos y fisuras.

• Se utiliza la ley de degradación de las ecuaciones (4. 45) - (4. 48), que

depende de la tensión tangencial máxima en cada instante. La distribución de la tensión tangencial no es uniforme en el tirante, por lo que cada punto debería seguir una tasa de degradación propia. Sin embargo, aquí se hace la simplificación de que es la tensión tangencial máxima a lo largo de todo el tirante la que gobierna la adherencia de todos los puntos, es decir, el exponente a es único en cada instante para todo el tirante.

Para estudiar el proceso evolutivo, se analiza la respuesta del tirante de la Figura 4.

29a. El hormigón es de 30 MPa, y la ley de adherencia es la que se viene empleando hasta ahora (Figura 4. 32). La carga máxima es tal que la tensión de la armadura en la fisura es de 400 MPa, y la mínima es el 40% de ésta. El número total de ciclos es 107. En la Figura 4. 33 se representa la distribución de tensiones y el deslizamiento a lo largo del tirante, así como la evolución durante el proceso de cargas repetidas, todo bajo carga máxima.

9.00

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2Deslizamiento (mm)

Tens

ión

de a

dher

enci

a (M

Pa)

Figura 4. 32. Ley τ – s monótona


133

330

340

350

360

370

380

390

400

410

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

σs (

MPa

)log N = 0 log N = 1log N = 2 log N = 3log N = 4 log N = 5log N = 6 log N = 7

(a)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

σc (

MPa

)

log N = 0 log N = 1log N = 2 log N = 3log N = 4 log N = 5log N = 6 log N = 7

(b)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

s (m

m)


(c)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

τ (M

Pa)


(d)

Figura 4. 33. Distribución de variables en el tirante bajo carga máxima, x = 0 es la fisura y x = 4.5 es la sección central entre fisuras. (a) Tensión en la armadura; (b) Tensión en el hormigón; (c) Deslizamiento

relativo; (d) Tensión de adherencia

El deterioro de la calidad de la adherencia con el número de ciclos produce la progresiva reducción de las tensiones tangenciales a la vez que aumenta el deslizamiento relativo entre la armadura y el hormigón. Las menores tensiones tangenciales causan una menor transferencia de tensiones normales del acero al hormigón, con lo que la contribución de este se reduce claramente (menor efecto tension - stiffening).

Una consecuencia clara del mayor deslizamiento relativo es el crecimiento de la

abertura de fisura. En la Figura 4. 34a se observa éste incremento, que se da tanto bajo carga máxima como mínima. Es muy importante la capacidad del modelo implementado en la reproducción de las fisuras bajo carga permanente y su crecimiento. La forma lineal de la curva cuando los ciclos se expresan en forma logarítmica indica que el crecimiento más importante se produce en los primeros 1000 o 10000 ciclos [Koch R. y Balazs G.L., 1993].

Una variable interesante para el cálculo del alargamiento del tirante es la

deformación media de la armadura (ecuación (4. 6)). Con objeto de conocer de una manera sencilla la contribución del hormigón en tracción entre fisuras, se evalúa un parámetro m, que se define como la relación entre la deformación media del acero y la deformación en la fisura:


134

fiss

smm,ε

ε= (4. 49)

Evidentemente, un parámetro m = 0 significa que el hormigón no contribuye nada entre fisuras. La evolución de m con el número de ciclos (Figura 4. 34b) muestra de una forma clara la progresión del desgaste del efecto tension – stiffening en el tirante.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

Fisu

ra, w

(mm

)

Máx.Mín.

(a)

0.90

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

log N

m =

ε sm /

ε fis

(b)

Figura 4. 34. (a) Evolución del ancho de fisura; (b) Evolución del parámetro m

4.5. Modelización mediante elementos finitos 4.5.1. Planteamiento

Este apartado aborda el problema del tirante mediante el método de los elementos finitos. Respecto de la metodología explicada en el apartado 4.4, se pretende en este caso incluir la influencia de la proximidad a la fisura en la ley de adherencia para los problemas de cargas repetidas, así como la importancia de no introducir directamente un área eficaz en el que la distribución de tensión en el hormigón sea uniforme. Además, se introduce la posibilidad de que cada ley evolucione en función de su estado tensional actualizado. Con ello quedarían superadas las dos simplificaciones comentadas al comienzo del apartado 4.4.2.2. El estudio del método de elementos finitos se hace para confirmar la validez del uso de la metodología del apartado anterior, con sus hipótesis simplificadoras.

El modelo numérico se ha llevado a cabo con el programa de elementos finitos

ANSYS6. Se ha desarrollado una modelización en tres dimensiones. La geometría reproducida, como en el apartado anterior, es la mitad de la separación entre fisuras, por lo que las condiciones de contorno son también las mismas (Figura 4. 35).

6 ANSYS, Inc, Pennsylvania, USA.


135

Figura 4. 35. Esquema de un tirante cilíndrico de hormigón armado en tres dimensiones

Se han utilizado dos tipos de elementos finitos dependiendo del comportamiento de la parte representada. Para el hormigón del tirante y el acero de la armadura se utilizan elementos sólidos de 8 nodos con tres grados de libertad por nodo (los tres desplazamientos), mientras que para la adherencia entre hormigón y acero se utilizan muelles no lineales con un grado de libertad por nodo (desplazamiento longitudinal).

Para los elementos sólidos se utiliza un comportamiento del material elástico y

lineal. Los muelles conectan cada punto de la barra A de la barra con un punto B del

hormigón, ambos con las mismas coordenadas aunque en la Figura 4. 36a se representen separados para mayor claridad. El comportamiento de los muelles se describe a través de su curva fuerza – alargamiento. Debido a que los dos nodos tienen las mismas coordenadas inicialmente, su alargamiento es el deslizamiento relativo hormigón – acero. La fuerza se obtiene directamente integrando la tensión tangencial en la superficie de influencia de cada nodo (Figura 4. 36b):

NLONGNDIV2/rsDF πτ= (4. 50)

En la ecuación anterior, NDIV es el número de elementos en el perímetro de la barra

y NLONG el número de elementos longitudinales (Figura 4. 36). Para la inclusión del efecto de las cargas repetidas, se introduce el criterio de

evolución de la envolvente reducida explicado en las ecuaciones (4. 45) - (4. 48) en función del tiempo (número de ciclos). Además, se incluye el criterio de descarga ya explicado.

(a)

(b)

Figura 4. 36. (a) Esquema de los muelles no lineales; (b) Fuerza de los elementos muelles

F

s r /2s r

Fisura

Sección central entre fisuras

B A

B

Aacero

hormigón

/2rs

NLONG NDIV

πD

τ


136

4.5.2. Aplicación Como aplicación se ha resuelto el mismo problema que en el apartado 4.4.2.2, pero

esta vez utilizando las seis leyes de adherencia señaladas en la Figura 4. 31a. De esta manera se puede comprobar la validez del empleo de la metodología de análisis con las hipótesis simplificadoras del apartado 4.4. Los resultados, así como una vista general de la malla de elementos finitos están en la Figura 4. 37.

(a)

330

340

350

360

370

380

390

400

410

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

σs (

MPa

)


(b)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

s (m

m)


(c)

0

1

2

3

4

5

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0x (cm)

τ (M

Pa)


(d)

Figura 4. 37. (a) Malla de elementos finitos, NDIV = 48, NLONG = 10; (b) Evolución de la tensión en la armadura; (c) Evolución del deslizamiento; (d) Evolución de la tensión de adherencia

Claramente se observa la diferencia en la distribución de la tensión de adherencia a lo largo del tirante debido a la menor calidad de ésta en la proximidad a la fisura, respecto a los resultados obtenidos con el modelo del apartado 4.4.2.2. Además, en esta zona la ley τ-s reducida encuentra rápidamente su correspondiente envolvente monótona, que es muy pequeña desde el comienzo (ver leyes 4 – 6 en la Figura 4. 31a). Aún así, el resultado en cuanto a deslizamientos y ancho de fisura es prácticamente igual.

El ancho de fisura se dibuja en la Figura 4. 38, junto con el parámetro m de

colaboración del hormigón en tracción entre fisuras. Éste parámetro es ligeramente superior al que resulta aplicando una única ley de adherencia, debido a las propias diferencias que resultan en la distribución de las tensiones de adherencia.


137

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07log N

Fisu

ra, w

(mm

)

Máx.Mín.

(a)

0.90

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

log N

m =

ε sm /

ε fis

(b)

Figura 4. 38. (a) Evolución del ancho de fisura; (b) Evolución del parámetro m

Un aspecto interesante que resulta de la modelización mediante elementos finitos es

la distribución de las tensiones que son transferidas al hormigón a lo ancho del tirante. En la Figura 4. 39 se dibujan los resultados en tres dimensiones del alargamiento de la barra de acero y su tensión longitudinal, comparando los resultados en el primer ciclo y tras 107 ciclos.

(a)

(b)

N = 1 ciclo N = 107 ciclos

Figura 4. 39. Distribución de variables; en el tirante, la sección de la derecha es la fisura, la de la izquierda es la sección central entre fisuras. (a) Alargamiento de la barra de acero (mm); (b) Tensión en la

armadura (MPa)


138

Por otra parte, la Figura 4. 40 muestra los resultados de la distribución de la tensión de adherencia en la interfaz hormigón – acero y la tensión longitudinal en el hormigón. Aparecen tensiones elevadas de tracción en la zona de hormigón próxima a la barra que ocuparían las corrugas; en la realidad estas tensiones no tienen lugar e indican el desarrollo de pequeñas fisuras inclinadas en el hormigón que contacta con la barra a través de las corrugas [Fernández Ruiz M. et al., 2007].

El reparto transversal de la tensión en el hormigón es muy útil para estudiar otros

aspectos, como el área eficaz. El estudio por elementos finitos sirve para confirmar la validez del empleo de la metodología presentada en el apartado 4.4, por la buena correlación existente en los resultados, especialmente en deslizamientos y fisuras.

(a)

(b)

N = 1 ciclo N = 107 ciclos

Figura 4. 40. Distribución de variables; en el tirante, la sección de la derecha es la fisura, la de la izquierda es la sección central entre fisuras. (a) Tensión de adherencia (kN/m2); (b) Tensión en el

hormigón (kN/m2)

4.6. Análisis de la influencia de las distintas variables que intervienen

en el problema de fisuración

Para analizar la sensibilidad de las distintas variables que intervienen en el problema del tirante de hormigón armado bajo cargas repetidas se ha realizado un análisis paramétrico. Se ha utilizado la modelización presentada en el apartado 4.4. En el análisis se ha hecho una distinción entre los parámetros relativos a la adherencia (los


139

que definen la curva τ-s y su evolución con el número de ciclos) y el resto de parámetros (tales como la calidad del material, la geometría o la carga aplicada). Entre todos los parámetros, existe una importancia decisiva de la influencia de la cuantía de armadura.

Se presentan a continuación las conclusiones alcanzadas en el análisis paramétrico.

Siempre que no se indique lo contrario, los parámetros de referencia que definen el tirante analizado son: está formado por una barra de acero Φ16 centrada en una sección cuadrada de hormigón de 8 cm de lado, la resistencia a compresión del hormigón es fc = 30 MPa y a tracción fct = 2.90 MPa; el axil máximo es 60 kN (σs = 298 MPa) y el mínimo el 60% de éste (36 kN). La separación entre fisuras es de 10 cm. La ley de adherencia estática está caracterizada por los parámetros: τu = 2fc

0.5, s1 = 1.5 mm; s2 = s1 + 2; s3 = 5 mm; τf = 0.15τu, τres = 0.10τu. La ley de evolución de la ley de adherencia sigue la regla de Sippel (ecuaciones (4. 45) - (4. 48)). Los cálculos se han realizado para un millón de ciclos de carga.

4.6.1. Influencia de los parámetros de adherencia

El progresivo desgaste de la adherencia entre hormigón y armaduras durante un proceso cíclico causa el traspaso de las tensiones soportadas por el hormigón entre fisuras al acero y el incremento del deslizamiento relativo entre ambos materiales, con lo cual se degrada la contribución o efecto tension – stiffening y se abren más las fisuras. Del análisis paramétrico respecto de la influencia que en ello tienen los valores que intervienen en la adherencia, se pueden obtener las siguientes conclusiones:

• La influencia de la tensión de adherencia última, τu, se aprecia en la rigidez

de la curva τ-s. El incremento de este valor hace que en el primer ciclo la abertura de fisura sea menor, así como la tensión (y deformación) media del acero, debido a la mayor contribución del hormigón en tracción. Durante el proceso cíclico, la pérdida del efecto tension-stiffening es mayor en términos absolutos empleando una ley de adherencia más flexible, pero en términos relativos lo es para el caso con una ley más rígida. La velocidad de crecimiento del ancho de fisuras depende de la tensión tangencial máxima, que es mayor cuanto más rígida es la ley de adherencia. Por tanto, rigidizar la ley τ-s provoca que inicialmente sea menor la fisura y la deformación media, pero al crecer el número de ciclos la velocidad de degradación de la ley es mayor. En cuanto a la abertura de fisura bajo carga mínima, ésta es mayor en el caso de ley de adherencia más rígida. El resultado comparativo se muestra en la Figura 4. 41.


140

τu = 2.5fc0.5

230

240

250

260

270

280

290

300

310

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00x (cm)

Tens

ión

barr

a (M

Pa)

log N = 0log N = 1log N = 2log N = 3log N = 4log N = 5log N = 6

τu = 1.0fc0.5

230

240

250

260

270

280

290

300

310

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00x (cm)

Tens

ión

barr

a (M

Pa)


τu = 2.5fc0.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00x (cm)

Tens

ión

horm

igón

(MPa

) log N = 0log N = 1log N = 2log N = 3log N = 4log N = 5log N = 6

τu = 1.0fc0.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00x (cm)

Tens

ión

horm

igón

(MPa

)


τu = 2.5fc0.5

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00x (cm)

Tens

ión

adh.

(MPa

)


τu = 1.0fc0.5

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00x (cm)

Tens

ión

adh.

(MPa

)


τu = 2.5fc0.5

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0 1 2 3 4 5 6log N

Anc

ho fi

sura

(mm

)

w max (mm)w min (mm)

τu = 1.0fc0.5

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0 1 2 3 4 5 6log N

Anc

ho fi

sura

(mm

)


Figura 4. 41. Influencia de τu. A la izquierda se usa τu = 2.5fc0.5, y a la derecha τu = 1.0fc

0.5

• La influencia del deslizamiento s1 de la ley de adherencia estática también afecta a la rigidez de esta ley. El uso de un menor valor de s1 hace que en el primer ciclo el ancho de fisura y la deformación media sean menores. Sin


141

embargo, con el número de ciclos la velocidad de crecimiento de deformaciones y fisuras es mayor. Esto es debido a que se ha rigidizado la ley y las tensiones tangenciales iniciales son mayores. Teniendo en cuenta este párrafo y el anterior, se observa que lo favorable para carga estática puede ser desfavorable tras un determinado número de ciclos. La Figura 4. 42 muestra la comparación en abertura de fisuras con dos valores de s1.

s1 = 1 mm

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0 1 2 3 4 5 6log N

Anc

ho fi

sura

(mm

)


s1 = 0.25 mm

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0 1 2 3 4 5 6log N

Anc

ho fi

sura

(mm

)


Figura 4. 42. Influencia de s1. A la izquierda se usa s1 = 1.0 mm, y a la derecha s1 = 0.25 mm

• El valor de la tensión tangencial residual negativa, τres, no influye en el estado del tirante en el primer ciclo bajo carga máxima. Utilizar un valor más elevado de este parámetro produce fisuras y deformaciones medias mayores bajo carga mínima en el primer ciclo. En el proceso cíclico, sin variar el resto de los parámetros, resulta en fisuras y deformaciones también más grandes, como se observa en la Figura 4. 43.

τres = 0.10τu

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0 1 2 3 4 5 6log N

Anc

ho fi

sura

(mm

)


τres = 0.25τu

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0 1 2 3 4 5 6log N

Anc

ho fi

sura

(mm

)


Figura 4. 43. Influencia de τres. A la izquierda τres = 0.10τu, y a la derecha τres = 0.25τu,

• El valor del exponente a que define la caída de la envolvente reducida τ-s (ecuaciones (4. 45) - (4. 48)) es muy influyente en el proceso cíclico. Lógicamente no interviene en el estado del tirante en el primer ciclo, pero el crecimiento de la deformación media, la abertura de fisuras, y la reducción de la tensión soportada por el hormigón se aceleran al crecer el parámetro a. El ajuste de este parámetro es además lo menos investigado en la literatura existente, pero en esta Tesis se asume que el modelo de [Sippel T., 1996] es el más completo.


142

4.6.2. Influencia de parámetros no relativos a la ley adherencia El análisis paramétrico realizado arroja las siguientes conclusiones respecto de la

influencia de las variables que intervienen en la respuesta del tirante armado y que no son relativas directamente a la calidad de la adherencia:

• La influencia de la calidad del hormigón interviene en dos aspectos. Por un

lado, es generalmente admitido que una menor calidad puede producir la aparición de fisuras más próximas entre sí. Esto es debido a que las tensiones traspasadas al hormigón por el mecanismo de adherencia alcancen en una sección intermedia el valor de fct. La menor separación entre fisuras reduce su ancho, como se comenta en los párrafos siguientes. Por otro lado, al cambiar la calidad del hormigón se modifica indirectamente la calidad de la adherencia. En este caso, ocurre lo que se ha explicado en el apartado 4.6.1: se cambia la rigidez de la ley, con la influencia que se ha comentado en dicho párrafo sobre este aspecto. La Figura 4. 44 representa la influencia de la calidad del hormigón, manteniendo constante la separación entre fisuras.

• El uso de un diámetro mayor de las barras de la armadura, manteniendo la cuantía, es claramente desfavorable, tanto bajo carga estática como cíclica. Aparecen mayores aberturas de fisura. Indirectamente una fracción de este efecto es porque también se induce una mayor separación entre fisuras, como se comprueba en la Figura 4. 45, en la que se han empleado dos diámetros diferentes, manteniendo la cuantía a través del cambio en el lado del tirante.


143

fct = 3.50 MPa

240

250

260

270

280

290

300

310

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00x (cm)

Tens

ión

barr

a (M

Pa)


fct = 1.50 MPa

240

250

260

270

280

290

300

310

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00x (cm)

Tens

ión

barr

a (M

Pa)


fct = 3.50 MPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00x (cm)

Tens

ión

horm

igón

(MPa


fct = 1.50 MPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00x (cm)

Tens

ión

horm

igón

(MPa

)


fct = 3.50 MPa

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00x (cm)

Tens

ión

adh.

(MPa

)


fct = 1.50 MPa

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00x (cm)

Tens

ión

adh.

(MPa


fct = 3.50 MPa

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0 1 2 3 4 5 6log N

Anc

ho fi

sura

(mm

)


fct = 1.50 MPa

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0 1 2 3 4 5 6log N

Anc

ho fi

sura

(mm

)


Figura 4. 44. Influencia de fct. A la izquierda fct = 3.50 MPa (fc = 40 MPa), a la derecha fct = 1.50 MPa (fc = 11 MPa)


144

Φ25

240

250

260

270

280

290

300

310

0.00 1.50 3.00 4.50 6.00 7.50x (cm)

Tens

ión

barr

a (M

Pa)


Φ10

240

250

260

270

280

290

300

310

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00x (cm)

Tens

ión

barr

a (M

Pa)


Φ25

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0.00 1.50 3.00 4.50 6.00 7.50x (cm)

Tens

ión

horm

igón

(MPa


Φ10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00x (cm)

Tens

ión

horm

igón

(MPa

)


Φ25

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

0.00 1.50 3.00 4.50 6.00 7.50x (cm)

Tens

ión

adh.

(MPa

)


Φ10

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00x (cm)

Tens

ión

adh.

(MPa


Φ25

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6log N

Anc

ho fi

sura

(mm

)


Φ10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6log N

Anc

ho fi

sura

(mm

)


Figura 4. 45. Influencia del diámetro. A la izquierda Φ25 (lado tirante = 0.125 m), a la derecha Φ10 (lado tirante = 0.050 m)


145

ρ = 0.05

270

275

280

285

290

295

300

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00x (cm)

Tens

ión

barr

a (M

Pa)


ρ = 0.008

80

130

180

230

280

330

0.00 5.00 10.00 15.00x (cm)

Tens

ión

barr

a (M

Pa)


ρ = 0.05

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00x (cm)

Tens

ión

horm

igón

(MPa


ρ = 0.008

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0.00 5.00 10.00 15.00x (cm)

Tens

ión

horm

igón

(MPa


ρ = 0.05

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00x (cm)

Tens

ión

adh.

(MPa

)


ρ = 0.008

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

0.00 5.00 10.00 15.00x (cm)

Tens

ión

adh.

(MPa

)


ρ = 0.05

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

0 1 2 3 4 5 6log N

Anc

ho fi

sura

(mm

)


ρ = 0.008

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0 1 2 3 4 5 6log N

Anc

ho fi

sura

(mm

)


Figura 4. 46. Influencia de la cuantía. A la izquierda ρ = 0.05, a la derecha ρ = 0.008

• El empleo de una mayor cuantía de acero produce, en el primer ciclo, una menor separación de fisuras y abertura de las mismas. El uso de cuantías especialmente bajas hace que el deslizamiento relativo entre hormigón y


146

acero sea especialmente elevado, lo que conlleva altas tensiones de adherencia movilizarlo. Con una envolvente τ-s degradada por el proceso cíclico, estas tensiones relativas elevadas producen que la velocidad de degradación sea considerable. La Figura 4. 46 representa una comparación con dos valores de la cuantía de armadura. Para ello, se ha modificado el área de hormigón, manteniendo el diámetro (perímetro) de la barra constante.

• El valor de la fuerza exterior es importante desde el primer ciclo, a partir del

cual se produce la carga repetida. Cuantas más altas sean las tensiones de adherencia, mayor será la tasa de degradación de la ley de adherencia, que depende fundamentalmente del valor bajo carga máxima. La oscilación de la carga también es importante, especialmente para los valores de las variables bajo carga mínima.

• La separación de fisuras influye desde el primer ciclo. Al aumentar ésta,

crece la deformación media y el ancho de fisura. Seguramente es el parámetro más desfavorable para las fisuras, aunque realmente viene determinado por otras variables que ya han sido comentadas en párrafos anteriores, como la geometría (diámetro, cuantía).

4.7. Ensayos de tirantes de hormigón armado sometidos a cargas

cíclicas 4.7.1. Concepción y objetivos de los ensayos

Para profundizar en el comportamiento del tirante de hormigón armado bajo carga repetida se ha diseñado una campaña experimental. El programa ha incluido dos ensayos en tirantes armados de sección rectangular, con elevada cuantía geométrica de armadura.

Los objetivos que se han perseguido con la realización de los ensayos han sido:

• Estudio de la degradación de la colaboración del hormigón en tracción entre fisuras en procesos cíclicos, evaluando la abertura de fisuras y las deformaciones. Se consideran los estados bajo carga máxima y mínima.

• Estudio de la posibilidad de analizar la influencia de diversos parámetros,

con la modelización numérica presentada en los apartados precedentes, a casos de geometría y comportamiento complejos como son los tirantes ensayados, fijándose en los parámetros críticos.

4.7.2. Descripción de los ensayos

Las probetas tiene la forma que se indica en la Figura 4. 47. Están formadas por un

tirante de hormigón armado de 1.20 m de longitud, que es el objeto de estudio. La sección transversal del tirante es rectangular de 0.26 x 0.20 m. De la parte superior del


147

tirante sobresale una barra corrugada que se une al gato a través del cual se aplica la carga. Las probetas también constan de una pequeña zapata de 0.80 x 0.50 x 0.20 m.7

BARRA DE TRANSMISIÓN

BARRA DE TRANSMISIÓN

BARRA Φ 40(en ensayo E40)

BARRA Φ 32(en ensayo E32)

Figura 4. 47. Geometría de las probetas, cotas en cm

Se han realizado dos ensayos. Para identificarlos de forma sencilla se usa el diámetro de la barra a través de la cual se aplica la carga (Tabla 4. 5). En el ensayo E40 esta barra se ancla antes de la sección de empotramiento del tirante, mientras que en el ensayo E32 la barra penetra hasta la zapata. El detalle de armado de las piezas está en la Figura 4. 48. Además de la barra a través de la que se aplica la carga, el tirante tiene una armadura longitudinal de 4Φ12 + 4Φ16, y una armadura transversal formada por cercos Φ12 cada 0.15 m.

Nombre E32 Probeta con barra de acero de 32 mm E40 Probeta con barra de acero de 40 mm

Tabla 4. 5. Denominación de los ensayos

Se trata de unos tirantes con cierta complejidad en cuanto a geometría y a armadura, que pueden permitir el análisis de las variables críticas que inciden en su

7 La geometría de los ensayos está basada en las probetas de la investigación realizada en el Laboratorio de Estructuras de la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid sobre el comportamiento de uniones prefabricadas a fatiga, financiada por Inneo 21 S.L. Las probetas de los ensayos fueron proporcionadas por esta misma compañía.


148

comportamiento, y que en otros casos más sencillos vienen dados (ley de adherencia, área eficaz de hormigón, armadura, etc).

PLACA 270 x 200 x 10ANCLADA CON 4 Φ 16 DE 0.20

2 Φ 12

2 + 2 Φ 16

3 c Φ 12

3 c Φ 124 c Φ 12

2 Φ 16 + 2 Φ 122 Φ 16 + 2 Φ 12

8 c Φ 12 a 15

BARRA Φ 40

A A

B

B

C C

2 Φ 12

6 c Φ 12

4 c Φ 12

SECCIÓN B - B

4 Φ 16

SECCIÓN C - C

c Φ 12 a 15

4 Φ 16 + 4 Φ 12

SECCIÓN A - A

3 c Φ 12 3 c Φ 124 Φ 16 + 4 Φ 12

4 c Φ 12

Figura 4. 48. Armadura de las probetas, cotas en cm

La calidad del hormigón se evaluó mediante ensayos de resistencia en probetas cilíndricas de 150 x 300 mm, con los resultados de la Tabla 4. 6, que indica las fechas correspondientes. La fecha de realización de los ensayos fue Marzo de 2007 (ensayo E40) y Noviembre de 2007 (ensayo E32). Las armaduras son de acero corrugado B500SD.

Fecha de hormigonado Edad hormigón probeta

cilíndrica

Resistencia (kp/cm2) 14 Diciembre 2006 2 días 200 – 240

7 días 350 – 370 28 días 450 – 520

15 Diciembre 2006 2 días 215 – 265 7 días 355 – 385 28 días 485 – 515

Tabla 4. 6. Resistencia a compresión del hormigón en probetas cilíndricas

En la Figura 4. 49 se muestra la configuración de los ensayos (está dibujado el E40, pero el E32 es igual con la única diferencia del tamaño de esa barra). La carga cíclica de tracción se aplica a través de un gato Servotest con capacidad de carga de 200 kN en tracción y en compresión. Se ha diseñado un mecanismo de adherencia por el que el gato sujeta la barra que sobresale del tirante, mediante resina tipo Hilti HIT-RE 500 que evita el efecto mordaza de otros sistemas de unión, perjudiciales frente a fatiga. A su vez, el gato se une mediante tornillos a dos perfiles metálicos laterales UPN 200 que hacen reacción en las caras superiores de la zapata de la probeta. Se trata por tanto de un sistema auto-equilibrado: la probeta se mantiene en el aire durante el desarrollo del ensayo, y el pórtico exterior simplemente sujeta el peso propio de la probeta y el equipo auxiliar, sin estar sometido a la oscilación cíclica.


149

BARRA Φ 40

VISTA M

DETALLE 1

M 10 (12.9)(A.C.)

M 10 (12.9)(A.C.)

NEOPRENO

CHAPA 138 x 240 x 20PLACA 270 x 200 x 10

6 M16 (12.9)6 M16 (12.9)

DINTEL PÓRTICO

UPN 80(AMBAS CARAS)

UPN 200UPN 200

(a)

DETALLE 1

6 M16 (12.9)

UPN 200

VISTA M

BARRA Φ 40

RESINA

6 M16 (12.9)

(b)

(c)

Figura 4. 49. Formato de los ensayos (cm): (a) Esquema global; (b) Detalles; (c) Imagen general


150

La Tabla 4. 7 indica el nivel de cargas aplicado en los ensayos, así como el número de ciclos teórico de fallo de la armadura obtenido mediante las curvas S-N de acero corrugado propuestas por el Código Modelo MC-90. En el primer ciclo se aplica la carga con una velocidad de 1 kN/seg, en escalones de carga de 50 kN. A continuación el ensayo se lleva a una historia de cargas senoidal entre los límites máximo y mínimo señalados, con una frecuencia de 4 Hz. El criterio seguido es aplicar un millón de ciclos de carga en cada ensayo, salvo que se produzca antes la rotura.

En el ensayo E40 se ha aplicado el millón de ciclos, mientras que en el ensayo E32

se ha producido la rotura por fatiga de la barra de 32 mm a los 691033 ciclos. Además, el ensayo E40 ha contado con una fase previa para estudiar la influencia de aplicar una carga máxima inferior a la que fisura por completo el tirante. Esta fase ha durado 23200 ciclos hasta que el mapa de fisuras se ha formado completamente.

Oscilación de la

fuerza (kN) ENSAYO E40

(Fase 1) Oscilación de tensión

hormigón (MPa) Duración,

número de ciclos 94.0

(20.0 – 134.0) σmax – σmin 2.00 – 0.32 23 200

Oscilación de la


(Fase 2) Oscilación de tensión,

∆σs (MPa) Número de ciclos

resistentes Barra Φ 40 135.29 4 527 027 Sección empotramiento 135.29 4 527 027

170.0

(15.0 – 185.0) Zona tirante 67.62 2.32 x 109

Oscilación de la


Oscilación de tensión,

∆σs (MPa) Número de ciclos

resistentes 160.0

(10.0 – 170.0) Barra Φ 32

Zona tirante 198.99 77.63

336 372 6.71 x 108

Tabla 4. 7. Fuerzas aplicadas en los ensayos y número teórico de ciclos resistentes

Para conseguir los objetivos previstos se han tomado las siguientes medidas:

• Estado deformacional medio del tirante. Se ha medido la deformación media superficial del hormigón en las dos caras frontales del tirante. Se ha llevado a cabo mediante extensómetro mecánico sobre bases de 20 cm entre puntos de medida. El error máximo de este sistema es de 20 µε. La Figura 4. 50a muestra las bases extensométricas. En cada sección se han tomado cuatro medidas para evitar las desviaciones debidas a posibles pequeñas flexiones. El alargamiento del tirante se puede obtener mediante la deformación media del mismo. En la zona de medida se tiene en cuenta la transmisión de tensiones a través de todas las armaduras. Estrictamente no se cumplen las longitudes de anclaje, pero el nivel de tensión en la armadura es muy inferior al límite elástico, por lo que se considera anclado.


151

BARRA Φ 40

Zona no visible, por el perfil UPN 80


BARRA Φ 40

CARA 1 CARA 2

12

3

5

7

9

4

6

8

10

11

13 14

12

1615

1817

2019

(a)

BARRA Φ 40

Zona de aparición de la fisura

Cerco Φ 8

(b)

(c)

Figura 4. 50. (a) Mapa de bases de medidas extensométricas; (b) Localización de la instrumentación en la fisura; (c) LVDT posicionado

• Abertura de fisuras. En cada ensayo se ha instrumentado con detalle una de las fisuras, con el objetivo de obtener perfectamente su evolución durante la vida a fatiga del elemento. Debido a que las fisuras se forman en las secciones en las que se encuentran los cercos, se ha elegido la posición de uno de ellos en la instrumentación (situado a 50 cm de la cara superior del tirante, Figura 4. 50b-c). El ancho de la banda en la que se mide es de 4.5 cm. En los dos ensayos se ha formado la fisura en el punto esperado. Para la


152

medición se han empleado dos LVDT (uno en cada cara)8. Las sujeciones de los captadores se han pegado a la superficie de la barra para no inducir la fisura por su posicionamiento.

• Adicionalmente se cuenta con la célula de carga del gato que mide la fuerza

aplicada y los captadores de desplazamiento (galgas) del cilindro. Estas dos medidas sirven principalmente para el control del ensayo9. La Figura 4. 51 muestra el equipo de control y el gato.

(a)

(b)

Figura 4. 51. Vista del equipo dinámico: (a) Gato; (b) Equipo de control

Las medidas se toman en los ciclos 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 y cada

100 000 ciclos, bajo carga máxima y mínima, y bajo carga nula en algunos casos. El primer ciclo se mide con detalle, al menos cada 50 kN. Las medidas automáticas permiten la obtención de los ciclos de histéresis, mientras que las medidas manuales se toman con el equipo dinámico parado, cargando bajo carga estática.

8 Se trata de dos captadores inductivos de ± 1 mm de desplazamiento máximo, linealidad 0.5%, sensibilidad de 0.0001 mm, capacitados para cargas dinámicas. Cada uno de ellos ocupa un canal del equipo dinámico. 9 A través del programa PCD-2K de Servosis. Cada una de estas dos señales ocupa un canal del equipo diámico.


153

4.7.3. Análisis de los resultados de los ensayos

4.7.3.1. Ensayo E40

El ensayo E40 ha contado con una fase previa en la que los límites de la carga han sido 20/134 kN y ha durado 23200 ciclos, hasta que el mapa de fisuras se ha formado completamente (la Figura 4. 52 indica el mapa de fisuras y ciclo en el que aparecen). Este resultado indica que es adecuado aceptar la hipótesis de que se está en la fase de fisuración estabilizada desde el principio en casos de cargas repetidas. Las fisuras se localizan, además, exactamente en la posición de los cercos. Cuando la separación entre cercos es menor que la separación teórica entre fisuras, se debe adoptar aquel valor en el cálculo.

19 20

17 18

15 16

12

1413

11

10

8

6

4

9

7

5

3

21

CARA 2CARA 1

BARRA Φ 40



BARRA Φ 40

Figura 4. 52. Mapa de fisuras en el ensayo E40. Se indica la posición y el ciclo de aparición de cada una

Tras la primera fase la carga se ha aumentado, oscilando entre los límites 15/185 kN. El ensayo se ha prolongado entonces hasta el millón de ciclos previsto, sin rotura de ninguna barra. El primer ciclo de carga de la segunda fase ha partido del estado deformacional remanente tras la primera. Durante los primeros 200 000 ciclos hubo un cierto crecimiento de la deformabilidad del tirante, pero después quedó completamente estabilizado (Figura 4. 53a y c). Es muy interesante comprobar que si se expresa el número de ciclos en escala logarítmica, tanto la evolución de la deformación media del tirante como la de la abertura de fisura siguen aproximadamente líneas rectas (Figura 4. 53b y d). En la figura aparece el salto debido al cambio en el nivel de la carga.


154

Fase 1

Fase 2

0.0000

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0 200000 400000 600000 800000 1000000Número ciclos, N

Def

orm

ació

n, ε s

m

(a)

Fase 2

Fase 1

0.0000

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06Número ciclos, log N

Def

orm

ació

n, ε s

m

(b)

Fase 2

Fase 1

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0 200000 400000 600000 800000 1000000

Número ciclos, N

Fisu

ra, w

(mm

)

(c)

Fase 2

Fase 1

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Número ciclos, log N

Fisu

ra, w

(mm

)

(d)

Figura 4. 53. Medidas del ensayo E40. En trazo grueso se indican las medidas bajo carga máxima, y en trazo fino las medidas bajo carga mínima: (a) Deformación media del tirante – Número de ciclos; (b) Deformación media del tirante – Logaritmo del número de ciclos; (c) Abertura de fisura – Número de

ciclos; (d) Abertura de fisura – Logaritmo del número de ciclos

Para reproducir estos resultados con el modelo teórico del capítulo 4.4, se han tomado las siguientes consideraciones, con objeto de explicar el comportamiento del tirante durante el ensayo:

• La armadura influye en los resultados a través de dos parámetros, su área y

su perímetro. Respecto del área, se considera que toda la armadura es colaborante en la zona del tirante instrumentada (1Φ40 + 4 Φ16 + 4 Φ12). El perímetro es indicativo de la cantidad de fuerza que se transfiere de la armadura al hormigón. El uso del diámetro total de todas las barras produce malos resultados. Se ha decidido introducir en el modelo el diámetro de la barra Φ40 y sólo la mitad del diámetro de las otras barras, decisión lógica si se tiene en cuenta que estas barras van agrupadas de dos en dos (Figura 4. 54a).

• La ley de adherencia que se ha considerado viene definida por los siguientes

parámetros para la envolvente estática (Figura 4. 54b) y la tensión tangencial residual negativa:

5.090.0 cu f=τ (4. 51)


155

5.11 =s mm (4. 52)

ures ττ 25.0= (4. 53)

La ley de adherencia empleada es más flexible que las sugeridas en la Tabla 4. 2. Ello ha sido necesario para poder reproducir correctamente el ancho de las fisuras medidas. Por otra parte, estos valores están justificados dada la proximidad relativa a las fisuras de todas las secciones del tirante por el gran diámetro de la armadura (la distancia de la sección central entre fisuras a la fisura es menor que tres veces el diámetro máximo, x/Φ < 3 siempre en la terminología de la Figura 4. 16.). La tensión residual negativa de la ecuación (4. 53) está de acuerdo a la recomendación de Morita y Kaku de la Tabla 4. 4.

(a)

6.32

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Deslizamiento (mm)

Tens

. adh

eren

cia

(MPa

)

(b)

Figura 4. 54. (a) Perímetro útil de un grupo de barras 1Φ16 + 1Φ12; (b) Ley de adherencia estática empleada en los cálculos

La ley de variación de la ley de adherencia con el número de ciclos es la de las ecuaciones (4. 22) y (4. 23), ya que son las que se basan en mayor número de datos experimentales.

• El parámetro más complicado sobre el que tomar una decisión ha sido, en

cambio, el área eficaz de hormigón en tracción. Usando el área total del tirante se obtienen fisuras mucho más pequeñas que las medidas. Por otra parte, la Figura 4. 55a indica el área eficaz a emplear en tirantes sugerida por el Código Modelo MC-90. Llevado a la sección del tirante ensayado, daría lugar a la formación de islas de hormigón eficaz alrededor de los grupos de barras.

(a)

1 Φ 16 + 1 Φ 12 1 Φ 40

(b)

Figura 4. 55. (a) Área eficaz en tirantes, MC-90; (b) Conformación del área eficaz alrededor de las barras en el tirante

1 Φ 12

1 Φ 16


156

Debido a la incertidumbre en el valor del área eficaz, se ha hecho un estudio variando este parámetro. La Figura 4. 56a-b muestra la comparación entre la abertura de fisura medida y la calculada empleando el modelo desarrollado. El resto de parámetros utilizados son los que ya han sido indicados en los párrafos de este apartado. Se observa que el resultado del modelo es fielmente reproducido empleando un área eficaz alrededor de 1/4 - 1/3 del área neta de hormigón. Esto implicaría una conformación del área eficaz, por ejemplo, en cuadrados de aproximadamente 6 cm de lado en las esquinas y de 7 cm en el centro del tirante.

Por otra parte, la Figura 4. 56c representa la comparación entre los valores de la

deformación media. En este caso, la sensibilidad con respecto al área eficaz no es tan importante.

Análisis Aeff/AcEnsayo E40

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Número ciclos, log N

Fisu

ra, w

(mm

)

Ensayo1/31/41/5

(a)


0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

0 200000 400000 600000 800000 1000000

Número ciclos, N

Fisu

ra, w

(mm

)

Ensayo1/31/41/5

(b)


0.0000

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06Número ciclos, log N

Def

orm

ació

n, ε s

m

Ensayo'1/3'1/4'1/5

(c)

Figura 4. 56. Comparación entre las medidas del ensayo E40 y los resultados del modelo. En líneas continuas se indican los valores bajo carga máxima, y en discontinua bajo carga mínima. Se analizan

relaciones área eficaz / área hormigón de 1/3, 1/4 y 1/5: (a) Fisura w – Número de ciclos log N; (b) Fisura w – Número de ciclos N; (c) Deformación media εsm– log N

Finalmente, en la Figura 4. 57 se representan las variables medidas en abscisas con la fuerza aplicada en ordenadas. El salto en las gráficas indica el cambio en la fuerza aplicada. La parte (a) de la gráfica indica los ciclos de histéresis en la abertura de la fisura. Claramente se observa que una gran parte de su crecimiento tiene carácter irreversible. Asimismo, se comprueba que no hay un deterioro importante de la rigidez, y por tanto el crecimiento de la fisura se debe principalmente al aumento del deslizamiento permanente entre armadura y hormigón.


157

En la parte (b) se han dibujado las ramas fuerza – deformación media de descarga en

determinados ciclos del ensayo. Como referencia, también están representados los estados I y II estáticos, y los diagramas monótonos fuerza – deformación media del Eurocódigo EC-2 y el Código Modelo MC-90 (se ha considerado una resistencia a tracción del hormigón de 2.0 MPa). El progresivo incremento de la deformación media hace que, bajo carga máxima, la deformación se acerque a la rama correspondiente al estado II. Bajo carga mínima, la deformación mínima es superior a la dada por el estado II, de acuerdo también a los resultados experimentales de [Gómez Navarro M. y Lebet J.-P., 2001]. Esto indica lo que otros autores, como [Muttoni A. y Fernández Ruiz M., 2007], llaman el efecto tension-stiffening negativo, y se debe a que las ramas de descarga – recarga cruzan la rama del estado II.

-20

-15

-10

-5

0-0.10-0.08-0.06-0.04-0.020.00

Fisura, -w (mm)

Fuer

za, -

F (t

)

Inicio fase 1N = 1N = 10N = 100N = 1000N = 10000N = 110000N = 530000N = 950000

(a)

0

50

100

150

200

0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004

Deformación

Fuer

za (k

N)

Estado IEstado IIEC2MC90N = 1N = 23200N = 24200N = 83200N = 153200N = 550200

(b)

Figura 4. 57. Ensayo E40: (a) Diagramas fuerza – fisura; (b) Diagramas fuerza - deformación

4.7.3.2. Ensayo E32

En el ensayo E32 la carga ha oscilado entre los límites 10/170 kN durante todo el ensayo. El mapa de fisuras (Figura 4. 58a) se ha formado completamente en el primer ciclo de carga, estando localizadas las fisuras exactamente en las secciones en las que están dispuestos los cercos. Además, en el ciclo 10 se formó una fisura longitudinal en la zona superior del tirante, en la que se ancla la barra de Φ32, en ambas caras. El ensayo ha durado 691033 ciclos de carga, instante en el que ha roto por fatiga la barra


158

Φ32 en la zona fuera del tirante. Este número supera los ciclos resistentes inicialmente previstos (Tabla 4. 7). Ninguna barra del interior del tirante se ha roto, de acuerdo a lo esperado. La Figura 4. 58c-d muestra dos imágenes de la rotura frágil por fatiga de la barra.

BARRA Φ 32


BARRA Φ 32

CARA 1 CARA 2

12

3

5

7

9

4

6

8

10

11

13 14

12

1615

1817

2019


(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 4. 58. (a) Mapa de fisuras en el ensayo E32 (b) Fisura longitudinal en la cabeza; (c) – (d) Imágenes de la barra rota por fatiga

De forma diferente al ensayo E40, en este caso se ha medido un crecimiento más pronunciado de fisuras y deformaciones durante todo el ensayo (Figura 4. 59). A partir del ciclo 70000 aproximadamente, el ancho de fisura crece con velocidad aproximadamente proporcional con el número de ciclos, pero de forma considerable, tal que la curva no forma una recta cuando el número de ciclos se representa en escala logarítmica.


159

0.0000

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06Número ciclos, N

Def

orm

ació

n, ε s

m

(a)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0 200000 400000 600000 800000

Número ciclos, N

Fisu

ra, w

(mm

)

(b)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Número ciclos, N

Fisu

ra, w

(mm

)

(c)

Figura 4. 59. Medidas del ensayo E32. En trazo grueso se indican las medidas bajo carga máxima, y en trazo fino las medidas bajo carga mínima: (a) Deformación media del tirante – Número de ciclos (log);

(b) Abertura de fisura – Número de ciclos; (d) Abertura de fisura – Logaritmo del número de ciclos

En el análisis numérico se han utilizado los mismos criterios que en el ensayo E40 en cuanto a la armadura (área y perímetro útil) y la ley de adherencia. Sin embargo, el estudio con distintos valores del área eficaz no reproduce adecuadamente el comportamiento medido (Figura 4. 60). El hecho de que la evolución medida del ancho de fisura no siga, aproximadamente, una línea recta respecto al logaritmo del número de ciclos evidencia que existe degradación en algún parámetro que no se tiene en cuenta en el modelo. Como se observa en la gráfica, los resultados calculados sí siguen una tendencia lineal.


160


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Número ciclos, N

Fisu

ra, w

(mm

)Ensayo1/31/41/51/3

(a)


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0 200000 400000 600000 800000

Número ciclos, N

Fisu

ra, w

(mm

)

Ensayo1/31/41/5

(b)

Figura 4. 60. Comparación entre las medidas del ensayo E32 y los resultados del modelo. En líneas continuas se indican los valores bajo carga máxima, y en discontinua bajo carga mínima. Se analizan

relaciones área eficaz / área hormigón de 1/3, 1/4 y 1/5: (a) Fisura w – Número de ciclos log N; (b) Fisura w – Número de ciclos N

Tras un análisis de la influencia de las distintas variables que intervienen en el modelo, se ha llegado a la conclusión que la única que puede hacer que la fisura crezca de una forma como la mostrada experimentalmente es la progresiva degradación del área eficaz de hormigón. Para tenerla en cuenta, se ha elegido una ley de evolución de tipo exponencial con el logaritmo del número de ciclos:

( ) ( ) Neffeff cNANA log1 −== (4. 54)

En el análisis se han estudiado los distintos valores del parámetro c de la ecuación (4. 54), así como dos valores del área eficaz en el primer ciclo (Aeff/Ac = 1.0 y 1/3). Los resultados de la Figura 4. 61a-b indican que la abertura de fisura bajo carga mínima crece mucho más rápidamente que bajo carga máxima si se emplea esta metodología, lo cual no se ajusta a los resultados experimentales.

Una manera encontrada para solucionarlo ha sido mediante la técnica de degradar el

área eficaz sólo en descarga, es decir, bajo carga máxima el área eficaz se mantiene constante y bajo carga mínima se va reduciendo según la ley (4. 54). La Figura 4. 61c-d representa la comparación entre los resultados calculados de esta forma y los ensayos, mostrando mejores ajustes. El resultado que más se aproxima a las medidas experimentales se obtiene empleando un área eficaz de 1/3 del área total de hormigón bajo carga máxima (igual que en el ensayo E40), y un parámetro c = 1.15-1.25 en la ecuación (4. 54) bajo carga mínima (Figura 4. 61c).

Teniendo en cuenta este último criterio, la comparación de la deformación media del

tirante con las medidas del ensayo se indican en la Figura 4. 62. Como se observa, la influencia del valor del área eficaz no es tan importante en deformaciones.


161

Degradación AeffEnsayo E32

Aeff/Ac (N = 1) = 1/3

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Número ciclos, N

Fisu

ra, w

(mm

)Aeff/Aeff (N=1) = 1.15̂ (-logN)Aeff/Aeff (N=1) = 1.35̂ (-logN)Aeff/Aeff (N=1) = 1.55̂ (-logN)

(a)

Degradación AeffEnsayo E32

Aeff/Ac (N=1) = 1

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Número ciclos, N

Fisu

ra, w

(mm

)

Aeff/Aeff (N=1) = 1.15̂ (-logN)Aeff/Aeff (N=1) = 1.35̂ (-logN)Aeff/Aeff (N=1) = 1.55̂ (-logN)

(b)

Degradación Aeff,minEnsayo E32

Aeff/Ac (N = 1) = 1/3

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Número ciclos, N

Fisu

ra, w

(mm

)

Aeff/Aeff (N=1) = 1.15̂ (-logN)Aeff/Aeff (N=1) = 1.20^(-logN)Aeff/Aeff (N=1) = 1.25̂ (-logN)

(c)


Aeff/Ac (N = 1) = 1

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Número ciclos, N

Fisu

ra, w

(mm

)


(d)

Figura 4. 61. Análisis de la evolución del área eficaz. Las líneas rojas indican las medidas experimentales. En línea continua se dibujan los valores bajo carga máxima, y en discontinua bajo carga mínima. Las partes (a) y (b) muestran resultados reduciendo el área eficaz bajo carga máxima y mínima. Las partes (c) y (d) muestran resultados en los que el área eficaz sólo se va reduciendo bajo carga mínima


Aeff/Ac (N = 1) = 1/3

0.0000

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

0.0006

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06Número ciclos, N

Def

orm

ació

n, ε s

m


Figura 4. 62. Comparación de la deformación media del tirante. En rojo se indican las medidas

experimentales. Las líneas continuas indican valores bajo carga máxima, y las discontinuas bajo carga mínima. El área eficaz es 1/3 bajo carga máxima y se va reduciendo bajo carga mínima

Igual que en el apartado anterior para el ensayo E40, en la Figura 4. 63a se representan los ciclos de histéresis fuerza – fisura. El crecimiento de los valores


162

remanentes de la fisura es la componente más importante en la evolución de la abertura, y es debida a la irreversibilidad del deslizamiento relativo hormigón armadura. En este ensayo se observa una ligera reducción de la rigidez.

La comparación de las curvas fuerza - deformación media del tirante con el número

de ciclos se indica en la Figura 4. 63b, en comparación a las curvas estáticas del EC-2 y el MC-90 (tomando fct = 2.0 MPa), así como a las que representan los estados I y II. El progresivo acercamiento a la curva del estado II indica la pérdida de la colaboración del hormigón en tracción entre fisuras. Por otra parte, la rama de cada ciclo atraviesa la recta del estado II, mostrando el efecto tension-stiffening negativo en descarga. A diferencia del ensayo E40, en este E32 hay una reducción más visible de la rigidez a la vez que aumentan las deformaciones permanentes y totales.

-20

-15

-10

-5

0-0.20-0.15-0.10-0.050.00

Fisura, -w (mm)

Fuer

za, -

F (t

)

N = 1N = 2N = 10N = 100N = 1000N = 10000N = 100000N = 380000N = 600000N = 691333

(a)

0

50

100

150

200

0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005

Deformación

Fuer

za (k

N)

Estado IEstado IIEC2MC90N = 1N = 10N = 100N = 1000N = 10000N = 67025N = 405025

(b)

Figura 4. 63. Ensayo E32: (a) Diagramas fuerza – fisura; (b) Diagramas fuerza - deformación

4.7.4. Conclusiones de los ensayos Los ensayos han permitido el estudio de las distintas variables que intervienen en el

comportamiento de un tirante armado sometido a cargas repetidas. Se trata en este caso de unos tirantes complejos en cuanto a geometría, disposición de la armadura, combinación de diámetros de barras, diámetros grandes, o presencia de cercos, en los que se ha analizado el comportamiento de distintos parámetros. Los resultados experimentales han mostrado el crecimiento de deformaciones y fisuras del tirante, tanto


163

bajo carga máxima como mínima. Este crecimiento se ha debido sobre todo a la parte irrecuperable del deslizamiento relativo entre armadura y hormigón en tracción. El crecimiento más importante tiene lugar en los primeros miles de ciclos, mostrando después un incremento estable a una velocidad constante.

El parámetro más complicado de analizar en la respuesta de los tirantes ha sido el

área eficaz de hormigón en tracción, la cual se ha ajustado comparando los resultados numéricos con los experimentales. Posiblemente el uso de diámetros elevados (32 y 40 mm) tiene una incidencia relevante, tanto en el área eficaz como en la ley de adherencia (x/Φ pequeño).

Además, se ha concluido en la recomendación de utilizar la hipótesis de que se está

en la fase de fisuración estabilizada en casos de carga repetida, y que las fisuras tienen lugar en la posición de la armadura transversal cuando ésta es menor que la teórica.

4.8. Conclusiones

El Capítulo 4 ha abordado la influencia de las cargas repetidas en el comportamiento

de tirantes de hormigón armado. Se ha elaborado un modelo numérico que permite incluir el progresivo deterioro de la adherencia entre las barras de la armadura y el hormigón en tracción. De esta manera se puede estudiar la evolución de la colaboración del hormigón en tracción entre fisuras, efecto tension – stiffening. Se ha desarrollado un programa completo para reproducir el tirante, además de emplear una modelización mediante el método de elementos finitos.

El estudio muestra la importancia de tener en cuenta la influencia de las cargas

repetidas para poder reproducir el progresivo crecimiento de la abertura de fisuras y los alargamientos del tirante, tanto bajo carga máxima como mínima. La metodología programada permite superar el uso de métodos basados en el comportamiento monótono del tirante, que no tienen en cuenta la no linealidad en la adherencia hormigón – acero ni la irreversibilidad del proceso. El cálculo de fisuras remanentes, que son determinantes para la durabilidad del elemento estructural, usando metodologías simplificadas produce resultados erróneos que son superados empleando la modelización de este Capítulo.

La calidad de la adherencia juega un papel relevante en la respuesta en fisuración y

deformación, y está afectada por muchas variables: calidad del hormigón, armaduras empleadas o distancia entre fisuras. Su evolución durante un proceso cíclico depende sobre todo de la tensión tangencial máxima aplicada. La obtención de fisuras y deformaciones bajo carga mínima también se lleva a cabo mediante el uso de un criterio de descarga en la ley de adherencia. En este caso, el parámetro más importante es la tensión tangencial residual negativa del modelo.

El estudio experimental desarrollado ha permitido asimismo evaluar la importancia

de otros parámetros, como el área eficaz del hormigón en tracción, el perímetro útil y la disposición de armados complejos. Ha quedado patente la continua reducción del efecto tension – stiffening y la irreversibilidad en el crecimiento de fisuras y deformaciones.


164

165

Capítulo 5 Comportamiento en servicio de elementos de hormigón armado bajo carga repetida. Flechas y fisuras 5.1. Introducción

En el Capítulo 3 se ha estudiado el mecanismo de degradación que sufre el hormigón en compresión sometido a carga repetida y su influencia en el comportamiento local de la sección fisurada. De forma separada, el Capítulo 4 aborda el comportamiento global del tirante armado ante solicitaciones cíclicas. En elementos estructurales reales, ambos fenómenos tienen lugar e interactúan, influyendo en las variables que definen el comportamiento global en servicio, fundamentalmente flechas y fisuras. En este Capítulo se presenta la metodología que permite estudiar ambos fenómenos de forma acoplada. La Figura 5. 1 muestra la posición del Capítulo 5 en el esquema global de la Tesis.

Estado del arte





Ensayos



MATERIAL

SECCIÓN

ESTRUCTURA

Nivel de estudio


El apartado 5.2 introduce el problema y presenta las dificultades que plantean las metodologías disponibles para considerar la influencia de las cargas repetidas en piezas de hormigón armado.


166

La metodología propuesta en esta Tesis se explica en el apartado 5.3 del Capítulo, mostrando cómo se acoplan los algoritmos desarrollados en los dos capítulos anteriores.

En el apartado 5.4 se llevan a cabo algunas comparaciones de los resultados

obtenidos con medidas tomadas de ensayos existentes en la literatura científica. Finalmente, el apartado 5.5 indica las conclusiones alcanzadas tras el estudio

realizado.

5.2. Planteamiento del problema

Las flechas y las fisuras son las variables tradicionalmente empleadas para comprobar el adecuado comportamiento en servicio de las estructuras de hormigón. Las normativas y códigos de diseño limitan habitualmente sus valores máximos a través de los estados límites de servicio, por afectar a la durabilidad y la funcionalidad. Mientras que es habitual considerar la influencia de las acciones dependientes del tiempo (fluencia, retracción, relajación), no lo es tanto tener en cuenta el efecto de las cargas repetidas. En la mayoría de las normativas se emplean coeficientes simplificados para incluir el incremento de flechas o fisuras debido a cargas repetidas [CEB, 1997]. Normalmente estos coeficientes no tienen en cuenta el nivel de cargas, las propiedades mecánicas o geométricas, o el número de repeticiones de la carga.

En los capítulos anteriores, se ha mostrado que las cargas repetidas influyen en la

respuesta de elementos armados, en primer lugar, por la progresiva degradación de la cabeza comprimida (Capítulo 3). Aún cuando no se alcance la rotura por fatiga del hormigón, éste se debilita aumentando sus deformaciones y reduciendo su rigidez. En segundo lugar, también se deteriora la adherencia entre el hormigón en tracción y las barras de la armadura (Capítulo 4), lo que conlleva el crecimiento de deformaciones y fisuras.

En ambos casos, la no-linealidad y la irreversibilidad de los procesos hacen que el

incremento de la deformabilidad sea importante tanto bajo el nivel de la carga máxima como de la mínima. Esto conlleva la necesidad de superar el uso de modelos basados en la respuesta monótona del elemento mediante coeficientes simplificadores para el estudio de flechas y fisuras.

Hasta este momento, la degradación del bloque comprimido y su influencia local en

la sección fisurada y el traccionado se han tratado por separado en los Capítulos 3 y 4. Aquí se unen ambos fenómenos, que interactúan en los elementos estructurales reales como conjunto de secciones fisuradas y o fisuradas, para estudiar las flechas y fisuras.

Para explicar cómo, se parte de la respuesta estática de una viga de hormigón

armado. Sea la viga de la Figura 5. 2 sometida a una carga puntual. Antes de que se alcance en cualquier sección el momento de fisuración (parte (a) de la gráfica), la distribución de curvaturas es inmediata y corresponde a la de la sección sin fisurar (estado I del diagrama momento - curvatura). El cálculo de flechas es inmediato integrando dos veces la ley de curvaturas. El cálculo de fisuras no se hace puesto que no se han abierto.

Capítulo 5. Comportamiento en servicio de elementos de hormigón armado bajo carga repetida. Flechas y fisuras _

167

En el momento en que se alcanza el momento de fisuración en una sección, se abre una fisura (Figura 5. 2b). En esa sección discreta la curvatura es la correspondiente al estado II. A ambos lados de esta fisura la armadura y el hormigón deslizan en la longitud de transferencia. El cálculo de flechas ha de hacerse con la llamada curvatura media, al igual que en el tirante se hablaba de deformaciones medias; y en el cálculo de la abertura de fisura ha de tenerse en cuenta el deslizamiento relativo entre hormigón y acero en la longitud señalada.

Figura 5. 2. Estudio de curvaturas en una viga de hormigón armado: (a) Viga no fisurada; (b) Formación

de fisuras; (c) Fisuración estabilizada; (d) Diagrama momento – curvatura estático

En la fase de fisuración estabilizada del elemento (Figura 5. 2c), existen secciones fisuradas en las que la curvatura es la correspondiente al estado II, mientras que las secciones intermedias tienen una curvatura menor, que es un valor intermedio entre los estados I y II. El cálculo de flechas ha de hacerse integrando dos veces esta ley de curvaturas real. Para ello es más cómodo utilizar una curvatura media, Ψm, cuyo cálculo se explica más adelante. Y el cálculo de fisuras debe realizarse considerando el deslizamiento relativo entre los dos materiales en la separación entre fisuras.

En elementos sometidos a cargas repetidas, el que se ha denominado estado II es

cambiante por la progresiva redistribución de tensiones y el incremento de deformaciones (el incremento de deformaciones debido a la fatiga del hormigón comprimido conlleva el crecimiento de la curvatura de la sección fisurada, que es el estado II). El algoritmo seccional del apartado 3.5 resuelve completamente el problema de la sección fisurada sometida a cargas repetidas, teniendo en cuenta la degradación del bloque comprimido. En un elemento estructural sometido a flexión como el de la Figura 5. 2, sería necesario resolver la sección fisurada con el procedimiento del Capítulo 3 para obtener la curvatura fisurada, que sería el límite correspondiente al estado II.

Por otro lado, al resolver la sección fisurada se desarrolla un proceso redistributivo

que cambia la tensión de la armadura durante el tiempo de vida de la estructura. Para el cálculo del ancho de fisuras hay que tener en cuenta que la tensión en el bloque traccionado es cambiante. En el apartado siguiente se indica el procedimiento empleado para tener en cuenta las cargas repetidas en el cálculo de flechas y fisuras, que permite

Ψ I

(a) (b)

I Ψ

Ψ II

Ψ

m Ψ IIΨ

Ψ I

(c)

Ψ

(d)

Ψ

M I II


168

superar las limitaciones que plantea el uso de los métodos excesivamente simplificados de análisis habituales.

El procedimiento simplificado corriente de cálculo de flechas puede hacerse a dos

niveles [Ghali A. y Favre R., 1994]. El primero está basado en la interpolación de curvaturas entre los estados I y II:

( ) IIIm Ψ+Ψ−=Ψ ξξ1 (5. 1)

El segundo, y más habitual en normativas, está basado en la obtención de curvaturas a través del denominado momento de inercia efectivo, que es una interpolación de las inercias bruta y fisurada. En la siguiente ecuación se indica, como ejemplo, la empleada por la EHE-98, que es la conocida fórmula de Branson:

fisfis

bfis

eq IM

MI

MM

I

−+

=

33

1 (5. 2)

Donde Ib es la inercia bruta, Ifis la fisurada, Mfis el momento de fisuración, y M el momento actuante. El cálculo de la flecha a largo plazo se lleva a cabo multiplicando la flecha instantánea por un factor que tiene en cuenta la reología de los materiales, pero no la repetición de las cargas1. En el empleo de métodos generales paso a paso tampoco es usual introducir el efecto de las cargas repetidas.

Basados en metodologías de inercia equivalente como la de la ecuación (5. 2),

[Balaguru P. y Shah S.P., 1982] introdujeron ciertas modificaciones para considerar el efecto de la fatiga:

NfisNfis

bNfis

Neq IM

MI

MM

I ,

3,

3,

, 1

−+

= (5. 3)

Por un lado, se incluye la reducción de la rigidez debida a las progresivas fisuración y pérdida de adherencia hormigón – acero modificando la resistencia a tracción, que hace que el momento de fisuración dependa del número de ciclos (Mfis):

−=

954.10log1,

Nff ctNct (5. 4)

Y por otro lado se tiene en cuenta la mayor deformabilidad del hormigón comprimido en el cálculo de la inercia fisurada, Ifis,N. Esta inercia se calcula utilizando un módulo de deformación secante equivalente, EN, dependiente de la deformación máxima alcanzada en N ciclos (Figura 5. 3):

Nfc

cN

E

E,

1

max,

max,

εσ

σ

+=

(5. 5)

−+

+= −

c

ccccNf ff

N min,max,3/1

3/1min,max,6, 8.17129

210

σσσσε (5. 6)

1 En la nueva EHE – 2008 se propone una alternativa para el cálculo de flechas diferidas en la que se tienen en cuenta los efectos de la retracción y la fluencia.


169

Figura 5. 3. Modelo de Balaguru y Shah (1982)

Se trata de un método interesante aunque plantea diversas limitaciones. La ley de crecimiento de la deformación por fatiga está basada en formulaciones de fluencia, sin incluir las peculiaridades de la fatiga. Por otro lado, sólo sirve para calcular flechas bajo carga máxima, ya que no hay un criterio de descarga o de evolución de las variables bajo carga mínima. Como con la fórmula de Branson, sólo se recoge un incremento de flecha remanente cuando la descarga sea parcial, pero es un valor que no representa la realidad. Finalmente, sólo fue contrastado con unos pocos ensayos en general de duración menor a 2x105 ciclos.

La mayoría de las propuestas existentes se han limitado, no obstante, a la obtención

de una relación entre la flecha a largo plazo y la inicial, como es el caso de [Lovegrove J.M. y Din S.E., 1982]:

( )NvvN log225.010 += (5. 7)

Estas ecuaciones describen generalmente ensayos particulares y no es fácil extrapolarlos.

Un primer análisis más avanzado en cuanto a la interacción entre los mecanismos de

deterioro de la cabeza comprimida y el bloque traccionado fue presentado en [Zanuy C. et al., 2007b], anterior a esta Tesis. En él se analizaban los resultados experimentales de las losas de hormigón armado ensayadas hasta fatiga en el Laboratorio de Estructuras de la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid. Por medio del modelo teórico de [Zanuy C. et al., 2007a] se resolvió la evolución de la sección fisurada, resultando en el conocido proceso de redistribución de tensiones, acompañado del incremento de deformaciones. Para estudiar la progresiva reducción del efecto tension-stiffening, se hizo un análisis a posteriori. Considerando que la curvatura calculada en la sección fisurada (Ψm) es el límite que no puede ser superado por la curvatura media medida (Ψfis), se estudió la evolución del siguiente parámetro:

fis

m

ΨΨ

=ξ (5. 8)

La Figura 5. 4 indica la evolución de este parámetro para los dos tipos de losa ensayados (la losa superficial es la que se sitúa justo debajo del firme, y la losa profunda es la que tiene un espesor considerable sobre ella y debajo del firme). La denominada losa profunda tiene una vida a fatiga elevada (más de cinco millones de ciclos), pero la degradación del efecto tension – stiffening es muy importante en la primera fase de su vida. Se alcanza el valor 1.0, máximo para el parámetro ξ, muy pronto. El hecho de que en la gráfica se supere este valor al final de la vida a fatiga se debe a la rotura de algunas barras de armadura por fatiga en otras secciones, con el consiguiente incremento de esfuerzos. En la denominada losa superficial, la oscilación de tensión en la armadura es muy elevada, por lo que la vida a fatiga es reducida, menor a 400000 ciclos. En este

σ

ε

E1 E N

σc,max

εf,N


170

número de ciclos no da tiempo a que se pierda toda la colaboración del hormigón en tracción entre fisuras (parte (b) de la gráfica). También hay que tener en cuenta un menor nivel de tensiones tangenciales, factor con gran influencia como ha mostrado el Capítulo 4. Este análisis a posteriori, que dio resultados muy interesantes, es superado por el modelo de esta Tesis, ya que permite el estudio de la respuesta a priori por ser un modelo predictivo que no necesita emplear el coeficiente ξ.

Losa profunda

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ciclos, N / Nf

Pará

met

ro ξ

(a)

Losa superficial

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Ciclos, N / Nf

Pará

met

ro ξ

(b)

Figura 5. 4. Análisis de la evolución del efecto tension – stiffening de las losas de transición, Zanuy et al. (2007a): (a) Losa profunda (ensayos E1 y E4); (b) Losa superficial (ensayos E2 y E3)

En cuanto al cálculo de fisuras, el uso de simplificaciones para incluir el efecto de las cargas repetidas está generalizado. Empleando como ejemplo la ecuación de la EHE-98:

s

s

s

srrmsmrmm E

kssw σσσε

44 344 214.0

2

21

≥

−==

(5. 9)

En ella sólo se considera la variación del parámetro k2 de 1.0 a 0.5 cuando la carga es repetida, independientemente del número de ciclos, la geometría, los materiales y las cargas. Similares criterios usan el Eurocódigo EC-2 y el Código Modelo MC-90. De esta forma no se tiene en cuenta la realidad de cada caso ni el proceso evolutivo, y es erróneo para calcular fisuras bajo carga mínima y fisuras remanentes, ya que está basado en la respuesta monótona mientras la descarga – recarga de la adherencia hormigón – armadura es fuertemente no lineal e irreversible, con fuerte influencia del nivel de carga máximo alcanzado.

Otros métodos empíricos expresan la fisura en relación a su valor inicial, como

[Lovegrove J.M. y Din S.E., 1982]: ( )[ ]NNwwN loglog0227.0382.010 −+= (5. 10)

Para la predicción realista del ancho de fisuras de elementos a flexión bajo cargas repetidas es necesario utilizar relaciones tensión de adherencia – deslizamiento apropiadas, como se ha descrito en el Capítulo 3, considerando su progresivo deterioro. Recientemente [Oh B.H. y Kim S.H., 2007] han resuelto el problema incluyendo estos efectos. Sin embargo, en el modelo global no incluyen la interacción con la degradación de la cabeza comprimida, por lo que la condición de contorno (tensión de la armadura en la fisura) es constante en su modelo.


171

5.3. Estudio del tramo entre fisuras. Cálculo de flechas y fisuras Es bien conocido que para el cálculo de flechas de un elemento a flexión, es

suficiente conocer la ley de curvaturas del mismo e integrarla dos veces, ya que la curvatura es la derivada segunda de la flecha:

2

2

dxvd

=Ψ (5. 11)

Como indica la Figura 5. 2c, la curvatura es variable en el tramo entre fisuras. Aquí se propone el uso de una curvatura media, Ψm, en el tramo entre fisuras. El concepto de esta curvatura media es similar al de la deformación media en el tirante, εsm, que permite calcular el alargamiento de una forma sencilla. En la Figura 5. 5 se representa el tramo entre fisuras de una viga, junto con las curvaturas desarrolladas. Se sustituye el nombre de ΨII por el de Ψfis para utilizar la curvatura en la sección fisurada en lugar de la curvatura en estado II. Esto se hace con el objetivo de distinguir que en procesos cíclicos la curvatura fisurada cambia con el número de ciclos, mientras que el estado II es estático. En todo momento se evita el empleo de la curvatura homogeneizada, al ser éste un valor que no existe en ninguna sección de la pieza fisurada y puede inducir a equívocos.

MN N

M

ΨΨ II

IΨ

Ψ m

fisΨ

Figura 5. 5. Distribución de curvaturas en el tramo entre fisuras. Ninguna sección tiene la curvatura homogeneizada

Aquí se propone la obtención de la curvatura media como una fracción de la curvatura fisurada a lo largo de la separación entre fisuras sr:

fisr

s

m ns

dxr

Ψ=Ψ

=Ψ ∫0 (5. 12)

Para el cálculo del parámetro n se resuelve el tirante equivalente que se desarrolla en el bloque traccionado de la viga. Este tirante tiene un área eficaz de hormigón Ac,eff, y su resolución permite la obtención de la distribución de las diferentes variables dibujadas en la Figura 4.13. De ellas, la que interesa es la deformación en la armadura, εs, ya que a partir de ella se puede calcular la curvatura (Figura 5. 6a) desarrollando la ecuación (5. 12):

fis

fiss

m

sm

xdn

xd −=

−,εε (5. 13)

Para determinar el área eficaz de la zona traccionada se utilizan los criterios habituales (Figura 5. 6b, según MC-90). Despejando el parámetro n de la ecuación (5. 13):


172

mxdxd

xdxd

nm

fis

fiss

sm

m

fis

−−

=−−

=,ε

ε (5. 14)

Donde m es el parámetro definido en la ecuación (4.48). Finalmente, se acepta como hipótesis que la profundidad de la cabeza comprimida es prácticamente igual en la fisura y en la sección media, resultando:

mnxx mfis ≈⇒≈ (5. 15)

Es decir, se acepta que el parámetro m resultante de la resolución del tirante equivalente es el parámetro de interpolación de la curvatura. Este criterio es muy similar al empleado, por ejemplo por [Ghali A. y Favre R., 1994] para interpolar curvaturas en la ecuación (5. 1), pero prescindiendo del valor en la sección homogeneizada.

ε s

Ψdx

(a)

(b)

Figura 5. 6. (a) Deformada de una sección; (b) Área eficaz en tracción (MC-90)

Con la distribución de curvaturas medias a lo largo del elemento, es inmediata la obtención de flechas, integrando. El cálculo de fisuras también se obtiene de la resolución del tirante equivalente. Sin embargo en el tirante se obtiene el ancho de fisura al nivel de la armadura, por lo que para tener en cuenta que la curvatura aumenta esta abertura en la cara inferior del elemento se efectúa la siguiente interpolación lineal:

fis

fiss xd

xhww

−−

= (5. 16)

ws es la fisura al nivel de la armadura. Durante el proceso cíclico varía la distribución de tensiones en la sección fisurada,

por lo que la condición de contorno del tirante equivalente es cambiante (tensión del acero en la fisura). También hay que tener en cuenta el progresivo cambio de la curvatura en esa sección, y la profundidad de la fibra neutra. El método de resolución unifica los algoritmos programados en los Capítulos 3 y 4 de la forma indicada en la Figura 5. 7 para tener en cuenta la evolución del elemento estructural. Para cada paso de tiempo se resuelve en primer lugar la sección fisurada en la que hay un proceso de degradación del hormigón en compresión. Esto se hace mediante la metodología desarrollada en el Capítulo 3, y resulta en el valor de la tensión en la armadura durante toda la vida a fatiga, bajo cargas máxima y mínima. Estos resultados de la sección fisurada proporcionan las condiciones de contorno para resolver el bloque traccionado. Para ello se ha introducido una ampliación en la metodología del tirante del Capítulo 4, de forma que la tensión en la armadura de la sección fisurada se actualiza permanentemente. El resultado del cálculo de este tirante equivalente es la fisura al nivel de la armadura y la deformación media. Finalmente, mediante las ecuaciones (5.


173

12) y (5. 16) se obtienen las curvaturas y la fisura del elemento a flexión. Las flechas se hacen integrando las curvaturas. A continuación se resuelve otro paso de tiempo hasta el número de ciclos deseado, o rotura.

Este proceso está descrito para elementos isostáticos. En elementos hiperestáticos

habría que incluir la redistribución de esfuerzos que produce el hiperestatismo.

N j

Resolución sección fisurada (Capítulo 3)

σ s,fis , Ψ fis fis, x s,fis, σ

Resolución tirante equivalente (Capítulo 4)

, wsm

Ψm , wFlechas y fisuras

j+1N =N j jN+∆

j = j + 1

Figura 5. 7. Diagrama de flujo del problema

5.4. Comparación con resultados experimentales

En este apartado se comparan los resultados experimentales medidos por

[Lovegrove J.M. y Din S.E., 1982] con los obtenidos empleando el modelo del apartado 5.3, en el que se considera la interacción de los mecanismos de degradación por fatiga estudiados en los Capítulos 3 y 4.

En el trabajo experimental se ensayaron unas vigas de hormigón armado sometidas

a flexión en cuatro puntos de forma cíclica. El esquema y la geometría de los elementos se indican en la Figura 5. 8. Para el hormigón de las vigas se ha estimado una resistencia media de 40 MPa, y el acero tiene un límite elástico de 467 MPa (en las barras Φ16) y 435 MPa (en las barra Φ32). Todas las vigas tienen una cuantía de armadura longitudinal del 1.08%, empleando dos disposiciones diferentes (Figura 5. 8 y Tabla 5. 1).

En el trabajo original los autores no proporcionan las cargas aplicadas. Aquí se han

calculado a partir de los valores de la tensión en la armadura calculada en régimen lineal con sección fisurada, que sí se proporciona en la publicación. En la Tabla 5. 1 se indican estos valores.


174

Figura 5. 8. Geometría y esquema de las vigas de Lovegrove y Din (1982). Cotas en mm.

Ensayo Armadura ρ σs,máx (MPa) σs,mín (MPa) Mmáx (m.kN) Mmín (m.kN) Mu (m.kN) L32S2 1Φ32 1.08 379.81 74.00 95.89 18.68 115.90 L32S3 1Φ32 1.08 356.13 74.87 89.91 18.90 115.90 L32S4 1Φ32 1.08 300.96 75.09 75.98 18.96 115.90 L16S2 4Φ16 1.08 298.14 74.39 75.27 18.78 123.90 L16B2 4Φ16 1.08 305.97 76.34 77.25 19.27 123.90

Tabla 5. 1. Parámetros principales de los ensayos de Lovegrove y Din (1982)

Las comparaciones se llevan a cabo con la flecha en la sección centro de vano y con la abertura de fisura. La separación de fisuras se ha calculado con la expresión (4.43) del Código Modelo y el área eficaz se ha evaluado según la Figura 5. 6b. En estos ensayos no se ha producido una degradación importante de la cabeza comprimida según los cálculos realizados. Es por esto que la redistribución de tensiones no causa un incremento muy grande de la tensión en la armadura durante la solicitación cíclica. Se ha obtenido un valor máximo del incremento inferior al 6%. Asimismo ocurre con el incremento de la curvatura en la sección fisurada. En cuanto al parámetro m, que indica la progresiva pérdida de la colaboración del hormigón en tracción entre fisuras, ha evolucionado de 0.89 a 0.93 en los ensayos denominados L32S, de 0.86 a 0.93 en el L16S2, y de 0.77 a 0.88 en el L16B2.

La Figura 5. 9 muestra la comparación de las flechas y las fisuras en los ensayos

L32S, bajo carga máxima. El valor de las fisuras está bastante ajustado, teniendo en cuenta la dificultad de no disponer del dato exacto de la separación entre fisuras a ambos lados de la fisura instrumentada. Su tasa de crecimiento también es adecuadamente reproducida. En cuanto a la flecha, los valores experimentales son ligeramente superiores a los aquí calculados.


175

Vigas tipo L32S

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Número de ciclos, N

Flec

ha (m

m)

L32S2L32S3L32S4

(a)

Vigas tipo L32S

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


Fisu

ra (m

m)

L32S2L32S3L32S4

(b)

Figura 5. 9. Comparación del modelo (líneas discontinuas) y los ensayos tipo L32S de Lovegrove y Din (1982) (líneas continuas): (a) Flecha en centro de vano; (b) Abertura de fisura

En la Figura 5. 10 se hace el estudio comparativo con las vigas denominadas L16. Se pueden hacer los mismos comentarios que los realizados respecto de las vigas L32S, concluyéndose que el resultado del modelo presentado presenta resultados bastante aceptables.

Vigas tipo L16

0

2

4

6

8

10

12

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08Número de ciclos, N

Flec

ha (m

m)

L16B2L16S2

(a)

Vigas tipo L16

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08Número de ciclos, N

Fisu

ra (m

m)

L16B2L16S2

(b)

Figura 5. 10. Comparación del modelo (líneas discontinuas) y los ensayos tipo L16 de Lovegrove y Din (1982) (líneas continuas): (a) Flecha en centro de vano; (b) Abertura de fisura

Para evaluar un caso en el que el crecimiento de la tensión de la armadura en la sección fisurada es importante durante la vida a fatiga, se ha elegido el ensayo denominado Fat13 de [Schläfli M., 1999], que está descrito en el apartado 3.6.3.1 de esta Tesis. Como allí se explicó, este ensayo tuvo una duración de 130 millones de ciclos, en los que da tiempo a un crecimiento muy importante de la deformabilidad de la pieza. En la Figura 5. 11 se muestra la comparación entre la flecha medida en centro de vano y la calculada con la metodología presentada en esta Tesis.

El aumento de la flecha debido a la solicitación cíclica es muy importante, y es

adecuadamente reproducido por el modelo aquí desarrollado. Es de desatacar que el incremento de la tensión en la armadura calculado es del 41% bajo carga máxima y del 83% bajo carga mínima. Asimismo, la curvatura fisurada ha crecido un 20% bajo carga máxima y un 45% bajo carga mínima, según los resultados calculados en sección fisurada.


176

Fat13

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

Número de ciclos, N

Flec

ha (m

m)

ModeloEnsayo

Figura 5. 11. Comparación del modelo y el ensayo Fat13 de Schläfli (1999). Flecha en centro de vano

bajo carga máxima

En cuanto al parámetro m que estudia el progresivo deterioro de la adherencia entre el hormigón en tracción y las barras de la armadura, la Figura 5. 12 muestra el resultado obtenido. La máxima degradación correspondería a m = 1 cuando la curvatura media alcanza a la fisurada. En el ensayo reproducido, aún después de 130 millones de ciclos, el parámetro tiene un valor 0.97 bajo carga máxima.

Evidentemente, bajo carga mínima el parámetro m es mayor que 1.0 (esto es

representativo del denominado tension-stiffening negativo que se ha comentado en el Capítulo 4) y se va progresivamente reduciendo. Esto no indica que la curvatura bajo carga mínima vaya disminuyendo, sino que progresivamente se acerca al valor de la sección fisurada. Por tanto, como la curvatura fisurada va creciendo más que la reducción relativa del parámetro m, la curvatura media bajo carga mínima es creciente.

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09


Pará

met

ro m

Carga máx.Carga mín.

Figura 5. 12. Evolución del parámetro m de tension – stiffening para la viga Fat13 de Schläfli (1999)

5.5. Conclusiones

En este Capítulo 5 se ha estudiado la interacción entre los diferentes mecanismos de degradación debidos a la carga cíclica que tienen lugar en el comportamiento de elementos armados solicitados a flexión. Éstos son la progresiva degradación de la cabeza comprimida de hormigón y el deterioro de la adherencia entre hormigón y armadura en el bloque traccionado.


177

Por un lado, el efecto de la fatiga del hormigón hace que crezcan las deformaciones y se flexibilice la respuesta del elemento. Por otro lado, la pérdida de adherencia hormigón – armadura también incrementa la deformabilidad y provoca el crecimiento de las fisuras. La metodología desarrollada en este capítulo unifica los modelos que en los Capítulos 3 y 4 se han tratado por separado. Los resultados muestran que las flechas y las fisuras crecen durante la vida útil de elementos solicitados a flexión. La comparación con ensayos disponibles en la literatura ha proporcionado buenos resultados, y reproduce de una manera original la interacción de la influencia de la reducción del brazo mecánico por el deterioro del bloque comprimido, que conlleva el aumento de solicitación del tirante, y el progresivo desgaste de la adherencia en el bloque traccionado.

Los estudios realizados en este Capítulo permiten concluir que es necesario tener en

cuenta el efecto de las cargas repetidas para evaluar el comportamiento en servicio de piezas de hormigón armado, ya que el crecimiento experimentado por las flechas y las fisuras respecto de sus valores estáticos puede llegar a ser importante. La metodología presentada en este Capítulo permite además el cálculo de estas variables tanto baja carga máxima como mínima. La importancia de este resultado es mayor en elementos en los que la carga permanente es baja en comparación con la carga total, como placas ferroviarias, losas de transición, losas de tableros de puentes en sentido transversal y elementos sensibles al viento o al oleaje.


178

179

Capítulo 6 Ensayos de fatiga en vigas de hormigón armado 6.1. Introducción

El análisis de los trabajos existentes en el campo experimental sobre la fatiga de vigas de hormigón armado que se ha llevado a cabo en el Capítulo 2 ha mostrado que la inmensa mayoría de ellos terminaron con el fallo frágil de las barras de la armadura. El modelo teórico presentado en el Capítulo 3 ha permitido comprobar que la gran capacidad redistributiva del hormigón es la responsable de que, incluso ante tensiones elevadas iniciales en el hormigón, la rotura por este material no se produzca y termine fallando la armadura. Este proceso de degradación de la cabeza comprimida, junto con el deterioro de la adherencia estudiado en el Capítulo 4, son los responsables del incremento de flechas y fisuras que tiene lugar en las piezas de hormigón armado durante su vida a fatiga, tanto bajo carga máxima como remanentes (Capítulo 5).

Estado del arte





Ensayos



MATERIAL

SECCIÓN

ESTRUCTURA

Nivel de estudio


En este Capítulo 6 se pretende aportar nuevos resultados experimentales que

permitan profundizar en algunos aspectos poco estudiados todavía, como es el comportamiento de elementos de hormigón armado en la fase de rotura por fatiga, es decir, cuando ya se ha producido algún efecto desfavorable debido a la carga repetida.


180

Estos efectos pueden ser la presencia de alguna barra de armadura rota, o el desarrollo de un deterioro importante del hormigón. Asimismo, se lleva a cabo un análisis de los resultados con la metodología presentada en esta Tesis, lo que permite un mayor contraste de la misma. La Figura 6. 1 representa la situación de este Capítulo en el esquema global de la Tesis.

En el apartado 6.2 se presentan los objetivos y condicionantes de la campaña experimental. La descripción de las vigas ensayadas, los materiales, las cargas y la instrumentación se hacen en el apartado 6.3. En el apartado 6.4 se discuten y analizan los resultados de los ensayos, utilizando la metodología presentada en los capítulos anteriores.

El apartado 6.5 presenta un estudio del fenómeno de la fatiga por cortante en

elementos de hormigón armado. Este estudio, no previsto inicialmente, es necesario dado el resultado obtenido por uno de los ensayos realizados. Este ensayo es más detalladamente analizado después en el apartado 6.6.

Finalmente, en el apartado 6.7 se exponen las conclusiones alcanzadas en el

Capítulo. 6.2. Objetivos

Con la realización de los ensayos se pretenden alcanzar los siguientes objetivos:

• Estudio del comportamiento frente a rotura por fatiga de vigas de hormigón armado. En la campaña se han empleado vigas con cuantía de acero baja y alta, y se estudia el progresivo mecanismo de rotura cuando éste se está produciendo. Para ello se han continuado los ensayos aún después de haber fallado alguna barra de la armadura o cuando el hormigón presentaba daños visuales.

• Evaluación del deterioro sufrido por la cabeza comprimida de las vigas durante

su vida a fatiga, a través del crecimiento de las deformaciones bajo carga máxima y mínima, considerando la influencia del nivel de tensión, su oscilación y el gradiente en la sección.

• Estudio de la influencia de la carga repetida en el bloque traccionado, a través de

la evolución de flechas y fisuras. Para ello se ha de considerar la interacción de los mecanismos deterioro de la cabeza comprimida y la adherencia hormigón – armadura.

• Comparación de los resultados experimentales con los obtenidos empleando los

modelos teóricos desarrollados.

Capítulo 6. Ensayos de fatiga en vigas de hormigón armado _

181

6.3. Descripción de los ensayos 6.3.1. Generalidades

El programa experimental incluye tres ensayos de fatiga sobre vigas de hormigón armado. Se trata de tres vigas que estaban disponibles en el Laboratorio de Estructuras de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos de Madrid desde cuatro años antes de la realización de los ensayos1. Todas tienen las mismas dimensiones geométricas y los mismos materiales. El hormigón es de resistencia baja, y hay dos disposiciones de armadura: dos vigas están débilmente armadas (ρ = 0.64%) y otra lo está fuertemente (ρ = 2.51%). Ninguna tiene armadura de cortante. 6.3.2. Materiales

En los tres ensayos realizados se han empleado los mismos materiales. El acero de las armaduras es de calidad B500SD, en barras de diámetros 10, 16 y 20 mm. El hormigón utilizado es de baja resistencia. Las fechas de hormigonado fueron el 16 y 18 de Diciembre de 2003. Los ensayos de resistencia en probetas cilíndricas de 150 x 300 mm dieron un valor medio a 28 días de 21.33 MPa (se ensayaron 6 probetas, siendo la desviación típica de los resultados de 0.32 MPa). El contenido de cemento es de 350 kg/m3, el tamaño máximo del árido es 20 mm, y el asiento del cono de Abrams 3 – 5 cm (consistencia plástica).

Los ensayos de las vigas se han llevado a cabo 4 años después de la fabricación. Se

considera una ganancia de resistencia del hormigón de hasta 25 MPa, y que la respuesta estática sigue un comportamiento blando, con una deformación de pico εc alta (2.8-3.2‰). Las vigas han estado almacenadas de manera que no se han formado flechas diferidas. 6.3.3. Vigas. Geometría y armaduras

Las tres vigas tienen las mismas dimensiones (L x b x h = 5000 x 300 x 300 mm), como se puede ver en la Figura 6. 2 junto a los detalles de las armaduras. Dos vigas están débilmente armadas (vigas tipo B, cuantía ρ = As/bd = 0.64%) y una muy armada (tipo A, ρ = 2.51%).

No tienen armadura de cortante; transversalmente sólo existen unos ganchos Φ8

cada 0.50 m, que desafortunadamente fueron soldados a la armadura longitudinal. Esto limita enormemente la vida a fatiga de las vigas (apartado 3.5.2).

1 Estas vigas fueron fabricadas al mismo tiempo que las losas del trabajo de [Pacheco J.A., 2006]. En cierto modo, esto impone algunos condicionantes a los ensayos: la instrumentación no podía contar con galgas pegadas en la armadura; las vigas eran sin cercos; y se desconocía la presencia de detalles soldados en las barras.


182

6 Φ 20

6 Φ 20

SECCIÓN TRANSVERSAL

4 Φ 20

6 Φ 20

DETALLE 1

DETALLE 1

(a)

DETALLE 1

DETALLE 1SECCIÓN TRANSVERSAL

2 Φ 16

2 Φ 16 + 1 Φ 10

1 Φ 102 Φ 16+ 1 Φ 10

(b)

Figura 6. 2. Geometría y armadura de las vigas (cotas en m): (a) viga tipo A; (b) vigas tipo B

6.3.4. Formato de los ensayos

En los tres ensayos las vigas están solicitadas a flexión en cuatro puntos, de manera que existe una longitud de 1.30 m en la que el momento es constante (esquema en la Figura 6. 3). Esta es una zona amplia para la toma de suficientes medidas de deformaciones.

P / 2 P / 2

P / 2 P / 2

Figura 6. 3. Esquema de aplicación de la carga


183

La carga total se aplica a través de un gato dinámico Servotest con capacidad de carga de 200 kN en tracción y en compresión. El gato aplica la carga sobre un perfil metálico HEB-240, el cual la transmite a la viga de hormigón armado a través de dos puntos de apoyo separados 1.30 m entre ejes. La carga se aplica a través de una superficie de 150 x 300 mm en cada punto por medio de apoyos de neopreno. Todo el esquema de la disposición del ensayo se muestra en la Figura 6. 4.

HEB 240

Rótulas

Apoyos (rodillos metálicos Φ50 mm)

Neopreno 2 x 150 x 150 x 5 mm

Gato

(a)

(b)

(c)

Figura 6. 4. Disposición de los ensayos: (a) Dimensiones geométricas; (b) – (c) Vistas generales

La Tabla 6. 1 indica el valor de la carga aplicada en cada ensayo, así como los esfuerzos. En el cálculo de esfuerzos se ha incluido el peso propio de la viga y de los elementos metálicos accesorios (en total el momento que producen en la sección de centro de vano es 6.31 m.kN). El cálculo de cortante último se ha realizado de dos maneras. En primer lugar, el cortante último Vu2 de agotamiento en secciones fisuradas a flexión (ecuación (6. 1)). En segundo lugar, se ha calculado el cortante último considerando la interacción momento-cortante según el extendido programa de cálculo Response 2000 [Bentz E.C., 2000], introduciendo una resistencia del hormigón a compresión de 25 MPa y a tracción de 1.63 MPa.

( ) bdfV cu

3/12 10018.0 ρξ= (6. 1)

El nombre de los ensayos se debe a la armadura de la viga de cada uno de ellos:

ensayos VB1 y VB2 para las vigas tipo B, y ensayo VA1 para la viga tipo A.


184

Ensayo Pmax

(kN) Pmin (kN)

Mmax (m.kN)

Mmin (m.kN)

Mu (m.kN)

Mmax/ Mu

Mmin/ Mu

Vmax (kN)

Vmin (kN)

Vu*

(kN) f

(Hz) VB1 50.0 5.0 40.06 9.69 57.01 0.703 0.170 25.0 2.5 35.0/64.4 1.5 VB2 50.0 20.0 40.06 19.81 57.01 0.703 0.347 25.0 10.0 35.0/64.4 4.0 VA1 120.0 50.0 87.31 40.06 163.51 0.534 0.245 60.0 25.0 72.0/94.2 2.0

* Los valores indican el obtenido mediante el Response (con interacción) y el Vu2 de la norma española, respectivamente

Tabla 6. 1. Cargas y esfuerzos de los ensayos. Los esfuerzos últimos no incluyen coeficientes de seguridad de los materiales

La fuerza del gato se aplica a una velocidad de 1kN/s durante el primer ciclo del ensayo. En el primer ciclo se hacen escalones de fuerza tanto en la carga como en la descarga, para poder tomar las medidas manuales. Los escalones son de 5 kN inicialmente y de 10 kN una vez que la pieza se ha fisurado.

Tras el primer ciclo se aplica la carga cíclica, de forma senoidal y con la frecuencia

indicada en la Tabla 6. 1. La duración de cada ensayo ha venido determinada por la resistencia a fatiga de cada viga. En la Tabla 6. 2 se resumen el número de ciclos de cada ensayo, el tipo de rotura y la vida teórica esperable según las recomendaciones del Código Modelo MC-90 [CEB - FIP, 1991], que tiene en cuenta la influencia del gradiente de tensiones. Aunque según este criterio la viga VA1 podría haber fallado por fatiga del hormigón en compresión, la presencia de soldadura en la armadura lo habría impedido. De todas formas, la rotura de esta pieza fue por fatiga de cortante, aspecto muy interesante que se estudia con más detalle en el apartado de análisis de resultados.

La Tabla 6. 2 refleja también el número de ciclos en que se produjo el primer fallo y

el colapso total de cada pieza. En los ensayos tipo B el primer fallo fue la rotura de una barra por fatiga. En el ensayo tipo A, este número indica el instante en que se formó una fisura diagonal que llevó al fallo final de la viga.

Ensayo Vida armadura

(MC90) Vida armadura soldada (MC90)

Vida hormigón (MC90)

N1er fallo N final Tipo de fallo

VB1 255 904 59 580 9.72 x 109 50 000 56 596 Fatiga de la armadura VB2 3 301 535 200 982 3.72 x 1013 128 000 166 684 Fatiga de la armadura VA1 120 000 000 748 056 7 025 010 77 000 170 718 Fatiga de cortante

Tabla 6. 2. Número de ciclos de cada ensayo: (a) Columnas 2-4: previsión según MC-90; (b) Columna 5: primer fallo; (c) Columna 6: fallo total de la pieza; (d) Columna 7: tipo de fallo

Finalmente, la Tabla 6. 3 muestra las tensiones más relevantes para el cálculo del número de ciclos teóricos de rotura empleando la metodología del MC-90. Están obtenidas con cálculo lineal en la hipótesis de sección fisurada.

Ensayo σc,max / fc σc,min / fc σs,max (MPa) ∆σs (MPa)

VB1 0.678 0.164 363.81 275.81 VB2 0.678 0.335 363.81 183.90 VA1 0.948 0.435 219.27 118.67

Tabla 6. 3. Tensiones de los ensayos en hipótesis de sección fisurada y comportamiento lineal de los materiales: tensión máxima y mínima del hormigón, tensión máxima de la armadura y oscilación de

tensiones en la armadura

6.3.5. Instrumentación y control

Para conseguir los objetivos propuestos en el apartado 6.2, se han realizado las siguientes mediciones:


185

• Las deformaciones superficiales del hormigón se han medido mediante extensómetro digital (error máximo de 20 µε) sobre bases pegadas en el hormigón, separadas 20 cm entre sí. El mapa de bases se dibuja en la Figura 6. 5, y está formado por tres líneas: cara superior de la viga, línea situada a 5 cm de la cara superior y línea situada a 5 cm de la cara inferior. Estas dos líneas se disponen en ambas caras laterales de la viga. Las bases extensométricas ocupan la zona de momento constante de la viga.

(19)(18)(17)(16)98765

1 2 3 4

11 12 13 1410

(15)

(20) (21) (22) (23) (24)

Figura 6. 5. Posición y numeración de las bases extensométricas. Entre paréntesis los números de la cara

trasera

• Adicionalmente, se mide la deformación del hormigón en la cara superior de la viga en la sección central mediante captador diferencial LVDT (Figura 6. 6a). Éste mide sobre una longitud de 120 mm, tiene una sensibilidad de 0.0001 mm, linealidad del 0.5% y rango de desplazamiento de ± 1 mm. Esta medida ocupa un canal del equipo dinámico de forma que se pueden tomar medidas durante la carga cíclica. En el ensayo VB1 se ha formado una fisura en la cara inferior de una sección dentro de la longitud de medida del captador, mientras que en los ensayos VB2 y VA1 no hay ninguna fisura dentro de esta distancia.

• Una fisura de cada viga se mide mediante un LVDT de las mismas

características que el indicado en el párrafo anterior. La fisura instrumentada está en la zona de momento constante, pegando las sujeciones del captador a 2 cm de cada borde de la fisura (Figura 6. 6b). Debido a que a priori se desconoce la sección en la que se forma la fisura, las sujeciones del captador se colocan después del primer ciclo, una vez fisurada la viga. En el primer ciclo se mide la abertura de la fisura mediante plantilla óptica. Este LVDT ocupa otro canal del equipo dinámico.

• Las flechas se miden mediante otro captador diferencial LVDT colocado de

forma vertical en la cara inferior de la viga, en la sección central (Figura 6. 6c). Éste tiene un rango de 200 mm, linealidad del 0.5% y sensibilidad de 0.01 mm. Ocupa otro canal del equipo dinámico. Su extremo se pega a la viga para que el muelle del captador pueda seguirla en su deformación durante la carga cíclica.

• El equipo dinámico proporciona la fuerza aplicada a través de una célula de

carga, y mide el desplazamiento del cilindro. Esta medida es complementaria a la flecha aunque puede contar con una pequeña componente de distorsión debida a las diferentes uniones del sistema de carga. El control se lleva a cabo a través del programa PCD-2K de Servosis. En total se utilizan 5 canales dinámicos (fuerza y desplazamiento del gato, y los 3 LVDTs de los apartados anteriores.


186

(a)

(b)

(c)

Figura 6. 6. Instrumentos de medida automática: (a) LVDT deformación hormigón; (b) LVDT fisura; (c) LVDT flecha

La toma de medidas se realiza durante la duración completa de los ensayos. Para tomar las medidas extensométricas es necesario detener el ensayo y medir de forma estática. Todas las medidas automáticas se toman sin que se detenga el ensayo, pudiéndose además medir los ciclos de histéresis completos (en general, se ha grabado un ciclo completo cada 100 ciclos de carga), y permitiendo un control ciclo a ciclo del desarrollo de los ensayos y la aparición de incidencias. Se han tomado medidas estáticas, al menos, en los ciclos 1, 10, 100, 1000, 10000, y así progresivamente bajo carga máxima y mínima, así como en los escalones de carga del primer ciclo. Las medidas automáticas han sido más abundantes. 6.4. Análisis y discusión de los resultados de los ensayos 6.4.1. Ensayos de vigas débilmente armadas (vigas VB1 y VB2) 6.4.1.1. Descripción del desarrollo de los ensayos

Los ensayos VB1 y VB2 reproducen el comportamiento de una viga débilmente armada (ρ = 0.64%, es una armadura pequeña pero realista, por ejemplo, de losas de transición en puentes de carretera). El fallo a fatiga típico de estos elementos es debido a la rotura frágil de la armadura, como se ha indicado en el Capítulo 2. En los dos ensayos de este tipo realizados, la carga máxima es tal que la tensión inicial del hormigón es 0.55fc (considerando un comportamiento realista con la no linealidad en compresión). En el ensayo VB1 la carga mínima, que representa la carga permanente, es muy pequeña, por lo que la oscilación de tensión en la armadura es elevada. Ello limita la vida a fatiga de la pieza, y más teniendo en cuenta que la armadura está soldada (Tabla 6. 2). En el ensayo VB2 la carga mínima es mayor, lo que reduce la oscilación de tensión en el acero.


187

En ambas vigas, el comportamiento experimental fue muy parecido. En el primer ciclo se formó completamente el mapa de fisuras de flexión. Sólo en los primeros 20000 ciclos algunas fisuras que ya estaban formadas profundizaron algo más (el mapa de fisuras de la viga VB1 se indica en la Figura 6. 7, y el de la viga VB2 en la Figura 6. 8). En ningún caso aparecieron fisuras diagonales.

ROTURA

CENTROVIGA

CARA INFERIOR

CARA 21

11 1

1

1 1

1

1

1

1 1

1

1

1

12 2

22

R

CARA 1

1: N = 12: N = 20000R: Rotura

1: N = 12: N = 20000R: Rotura

11

1

1 1

1 1

1

1

11

1

1

1 1

1

1

R

R

R

R

CARA 2

CARA 1

Figura 6. 7. Mapa de fisuras de la viga VB1


188

ROTURA

CENTROVIGA

1: N = 12: N = 50000R: Rotura

CARA 2

CARA INFERIOR

CARA 2

CARA 1

1

1

11 1 1 1 1 1

1

11 1 12

2 2

CARA 1

1: N = 12: N = 50000R: Rotura

11

1

1

1

1

1

1 11

1 11

1

2 22

2R

R

R

R

Figura 6. 8. Mapa de fisuras de la viga VB2

El mecanismo de rotura también fue igual en las dos vigas. En primer lugar, tuvo lugar la rotura frágil por fatiga de una de las barras de la armadura. El fallo se detecta por un salto brusco en la abertura de fisura (Figura 6. 9a-b) y la flecha. En ambas piezas, el fallo se produce en una sección bajo uno de los puntos de aplicación de la carga, en el punto de soldadura. En la viga VB1 se rompió una barra Φ16 a los 50000 ciclos, y en la viga VB2 lo hizo la barra Φ10 a los 129000 ciclos.

Rota la primera barra, se mantiene el ensayo hasta que se rompe por fatiga otra

barra, en la misma sección en la que rompió la anterior, y también en el punto de soldadura. En el ensayo VB1 se produjo la rotura de la barra Φ10 a los 56596 ciclos, y en la viga VB2 lo hizo una de las barras Φ16 a los 166684 ciclos. La Figura 6. 9c representa los valores de las roturas con respecto a las curvas S-N del acero.


189

VB1

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0 20000 40000 60000

Número ciclos

Fisu

ra (m

m)

C.MáximaC.Mínima

(a)

VB2

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0 50000 100000 150000 200000

Número ciclos

Fisu

ra (m

m)

C.MáximaC.Mínima

(b)

VB1

VB2

10

100

1000

1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


Tens

ión,

log

∆σ

(MPa

)

Barras aisladasBarras soldadasPrimera rotura

(c)

Figura 6. 9. (a) Evolución de la abertura de fisura en la viga VB1; (b) Evolución de la abertura de fisura en la viga VB2; (c) Número de ciclos de los ensayos VB1-VB2 frente a la curva S-N

Inmediatamente después de esta segunda rotura, cuando sólo queda una barra Φ16

en una esquina de la sección más débil, la fisura atraviesa toda la sección rompiendo el elemento. Las fotografías de la Figura 6. 10 muestran la rotura de la viga VB1, y en la Figura 6. 11 están las correspondientes a la viga VB2. Se observa que cuando sólo resiste una barra Φ16, la fisura en esa cara lateral se inclina, penetrando en la cabeza de compresión por arriba, y ramificándose por abajo. Las imágenes de la cara inferior de la viga en el instante de rotura (parte (c) de las figuras) indican claramente la ramificación de la fisura en la mitad de la cara inferior de las vigas en las que queda la única barra sin romperse. En la parte fuera de la zona de rotura no se desarrolló ninguna fisura inclinada. Todo el detalle de la evolución del ensayo, con las roturas de barras, es obtenido gracias al registro continuo de medidas con el equipo dinámico.


190

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 6. 10. Rotura ensayo VB1: (a) Cara 1; (b) Cara 2; (c) Cara inferior; (d) Vista de las soldaduras; (e) Rotura barra Φ16; (f) Rotura barra Φ10


191

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 6. 11. Rotura ensayo VB2: (a) Cara 1; (b) Cara 2; (c) Cara inferior; (d) Vista de la sección de rotura; (e) Rotura barra Φ16; (f) Rotura barra Φ10

6.4.1.2. Análisis de los ensayos VB1 y VB2 En este apartado se analizan los resultados de los dos ensayos VB1 y VB2 por

medio de los modelos desarrollados en los capítulos precedentes de esta Tesis. En primer lugar se analiza la evolución de deformaciones y tensiones al nivel de la sección. Como se ha indicado en el apartado 6.3.5, para la deformación del hormigón se han empleado dos técnicas de medida, extensómetro y LVDT. Sólo en el caso del ensayo VB1 se formó una fisura dentro de la longitud de medida del LVDT, por lo que ésta medida se considera la correspondiente a la sección fisurada, que es en la que se produce localización de deformaciones más altas. El resto de deformaciones se considera que corresponden a la sección media.

La Figura 6. 12 compara la deformación en la cara de la sección y la curvatura de la

sección, y expone la evolución calculada de la tensión del hormigón en la cara superior, así como de la distribución transversal de tensiones normales, todo bajo las cargas


192

máxima y mínima en el ensayo VB1. Los mismos gráficos correspondientes al ensayo VB2 se dibujan en la Figura 6. 13.

La comparación entre ensayos y modelo es bastante buena, teniendo en cuenta que

una de las medidas del ensayo VB1 refleja la sección fisurada y es correctamente reproducida por los cálculos. En el ensayo VB2 la deformación calculada queda por encima de la medida, si bien ninguna corresponde a la sección fisurada y la curvatura sí es adecuadamente reproducida. Estos comentarios se pueden hacer tanto bajo carga máxima como mínima.

Aunque ambos ensayos han tenido una duración corta hasta la rotura de la primera

barra por fatiga, el modelo recoge adecuadamente el escaso crecimiento experimentado por deformaciones y curvatura. Como se observa en los resultados de tensiones, el proceso redistributivo no ha sido muy importante. Debido a que la tensión máxima del hormigón es inferior a 0.60fc, no hay un deterioro notable de la cabeza comprimida en tan bajo número de ciclos. La diferencia fundamental entre estos dos ensayos está en el nivel de fuerza mínimo. Al ser menor en el ensayo VB1, la oscilación de tensiones es mayor, y la redistribución de tensiones sufrida es más visible. La mayor oscilación de tensiones es también la causante de que la rotura de la armadura por fatiga tenga lugar antes en este ensayo VB1 (apartado 6.4.1.1).

VB1

LVDT

LVDT

Ext

Ext Rotura Φ16

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05


Def

. Hor

mig

ón

EnsayoModelo

(a)

VB1 RoturaΦ16

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05


Cur

vatu

ra (m

-1)

ModeloEnsayo

(b)

N = 1

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.0 0.2 0.4 0.6


N = 100 000

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.0 0.2 0.4 0.6


VB1 RoturaΦ16

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05


Tens

. Hor

mig

ón

(c)

(d)

Figura 6. 12. Ensayo VB1. Comparación de las medidas y el modelo del Capítulo 3. Las líneas continuas indican valores bajo carga máxima, y las líneas discontinuas bajo carga mínima. (a) Deformación

hormigón cara superior; (b) Curvatura; (c) Tensión relativa hormigón cara superior; (d) Distribución de la tensión (relativa)


193

VB2

LVDT

LVDT

Ext

Ext

Rotura Φ10

0.0000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06


Def

. Hor

mig

ón

EnsayoModelo

(a)

VB2 RoturaΦ10

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06


Cur

vatu

ra (m

-1)

ModeloEnsayo

(b)

N = 1

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.0 0.2 0.4 0.6


N = 400 000

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.0 0.2 0.4 0.6


VB2 RoturaΦ10

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06


Tens

. Hor

mig

ón

(c)

(d)

Figura 6. 13. Ensayo VB2. Comparación de las medidas y el modelo del Capítulo 3. Las líneas continuas indican valores bajo carga máxima, y las líneas discontinuas bajo carga mínima. (a) Deformación


Con respecto a la evolución de las flechas y las fisuras, entra en juego en este caso el deterioro sufrido por el bloque traccionado tratado en el Capítulo 4, e incorporado al estudio con la metodología del Capítulo 5. Los parámetros empleados para la ley de adherencia en los cálculos se corresponden a los dados en la Tabla 4.2 (τu = 2fc

0.5, s1 = 1 mm, τres = 0.25τu). El área eficaz de las vigas se corresponde a una altura de 2.5 veces el recubrimiento.

El estudio comparativo entre valores calculados y medidos se lleva a cabo en la

Figura 6. 14. Los valores medidos en ambos ensayos hasta que se rompe la primera barra por fatiga son muy parecidos. Hasta ese momento, la flecha máxima medida con LVDT ha crecido un 19.6% y un 23.5% en los ensayos VB1 y VB2 respectivamente. La abertura de fisura instrumentada es en ese instante de 0.421 y 0.423mm respectivamente. Los crecimientos son mayores, evidentemente, en las medidas bajo carga mínima.

Los resultados calculados con la metodología de esta Tesis dan resultados

adecuados, aunque en los dos ensayos quedan ligeramente por debajo de las medidas. Un parámetro interesante es el que identifica la proximidad de la curvatura media a la sección fisurada (llamado m en el Capítulo 5). Este indicador de la pérdida de la colaboración del hormigón entre fisuras, tension-stiffening, ha pasado de valer 0.930 a 0.947 bajo carga máxima durante el ensayo VB1, y de 1.006 a 1.005 bajo carga mínima,


194

según los cálculos realizados. En el ensayo VB2, ha crecido de 0.913 a 0.946 bajo carga máxima y ha pasado de 1.124 a 1.123 bajo carga mínima.

VB1

LVDT

LVDT

Cil.

Cil.

RoturaΦ16

0

5

10

15

20

25

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05


Flec

ha, v

(mm

)

ModeloEnsayo

(a)

VB2

LVDT

LVDT

Cil.

Cil.

RoturaΦ10

0

5

10

15

20

25

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06


Flec

ha, v

(mm

)

ModeloEnsayo

(b)

VB1Rotura

Φ16

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05


Fisu

ra, w

(mm

)

ModeloEnsayo

(c)

VB2 RoturaΦ10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06


Fisu

ra, w

(mm

)

ModeloEnsayo

(d)

Figura 6. 14. Comparación entre flechas y fisuras. Las líneas continuas indican valores bajo carga máxima, y las líneas discontinuas bajo carga mínima. (a) Flechas ensayo VB1; (b) Flechas ensayo VB2; (c) Fisura ensayo VB1; (d) Fisura ensayo VB2 (el valor mínimo en el ciclo 1 dibujado corresponde a la

fisura con la viga descargada)

6.4.2. Ensayo sobre una viga fuertemente armada (viga VA1)

6.4.2.1. Descripción del desarrollo del ensayo

El ensayo VA1 se hace sobre una viga fuertemente armada (ρ = 2.51 %). La carga máxima aplicada al ensayo es elevada, tal que la tensión inicial en el hormigón alcanza 0.75fc, considerando la no linealidad en compresión. El conocimiento de la existencia de soldadura en la armadura llevó a la aplicación de una carga mínima también elevada, de forma que se retrasara el fallo por fatiga ante este motivo (Tabla 6. 2).

En el primer ciclo de carga se formó el mapa de fisuras de flexión, que tienen una

profundidad moderada debido a la notable altura de la cabeza comprimida (12-13 cm, Figura 6. 16a). No se formó ninguna fisura inclinada, y todas se cerraron completamente al descargar completamente la viga en el primer ciclo. Durante la aplicación de la carga cíclica, aumentaron las flechas y las fisuras, lo cual se analiza en el apartado siguiente. En la Figura 6. 15 se muestra la evolución del mapa de fisuras, y el crecimiento de la fisura instrumentada se indica en la Figura 6. 16b.


195

CENTROVIGA

ROTURA

CARA 2

1: N = 12: N = 250003: N = 77000R: Situación en rotura

CARA INFERIOR

CARA 2

CARA 1

1

2

11

1 1 1 1 1 11

1 1 1 1 11 1 12 2 2 2

3

R R R RR

RR

CARA 1

1: N = 12: N = 250003: N = 77000R: Situación en rotura

1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

11

3

R

R RR

R R

Figura 6. 15. Evolución del mapa de fisuras de la viga VA1

Carga Máxima

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

-2000 -1000 0 1000 2000

N = 1N = 10N = 100N = 1000N = 10000N = 24000N = 53000N = 161500

(a)

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 50000 100000 150000 200000

Número ciclos

Fisu

ra (m

m)

C.MáximaC.Mínima

(b)

Cara superior (y = 0.00)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 500 1000 1500 2000Deformación

Fuer

za (t

) N = 1N = 10N = 100N = 1000N = 10000N = 24000N = 53000N = 161500N = 170718

(c)

RoturaFisura

diagonal

10

100

1000

1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


Tens

ión,

log

∆σ

(MPa

)

Barras aisladasBarras soldadas

(d)

Figura 6. 16. Ensayo VA1: (a) Distribución transversal de la deformación, bajo carga máxima; (b) Evolución de la abertura de fisura; (c) Curvas fuerza – deformación en la cara superior de la sección; (d)

Número de ciclos frente al de rotura del acero


196

A los 77000 ciclos de carga se formó una fisura diagonal bajo uno de los puntos de aplicación de la carga. A pesar de eso, se continuó con el ensayo, y la fisura diagonal siguió penetrando en la cabeza comprimida, a la vez que se iba extendiendo al nivel de la armadura longitudinal en una longitud muy grande. Incluso llega al apoyo de la viga (Figura 6. 17). La rotura se produce finalmente a los 170718 ciclos de carga, por destrucción de la cabeza comprimida en la zona superior de la fisura de cortante. La penetración de la fisura de cortante hace que la profundidad de la cabeza comprimida se reduzca a 7 -9 cm, lo que hace que esté sometida a tensiones muy elevadas. En el lado en el que no se produjo la rotura, no llegaron a formarse fisuras inclinadas

Al contrario de lo sucedido en los ensayos VB1 y VB2, en este ensayo se desarrolló

un crecimiento importante de la deformación del hormigón (Figura 6. 16c), ya incluso antes de que se formara la fisura diagonal. Como se observa en la Figura 6. 16d, el fallo se produjo antes del número de ciclos resistentes de la armadura.

Debido al tipo de rotura experimentado por la viga VA1, en los apartados 6.5 y 6.6

se profundiza en el tema de la fatiga por cortante en elementos de hormigón armado. La Figura 6. 17 muestra algunas imágenes del ensayo VA1.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 6. 17. (a) Vista global de la cara 1 en rotura; (b) Vista global de la cara 2 en rotura; (c) Estado de la fisura diagonal a los 108500 ciclos; (d) Rotura de la cabeza de compresión (e) Cara 1, instante de

rotura; (f) Cara 2, instante de rotura


197

6.4.2.2. Análisis del ensayo VA1

El análisis de la evolución de las variables del ensayo VA1 se ha realizado con la

misma metodología que la señalada en el apartado 6.4.1.2 para las otras dos vigas. El estudio de la influencia de la degradación de la cabeza comprimida se lleva a cabo a través de las gráficas de la Figura 6. 18. En este caso tampoco hay una fisura dentro de la longitud de medida del LVDT. Además se da el hecho llamativo de que la deformación con esta medida empieza a reducirse a los pocos ciclos una vez comenzado el ensayo, lo cual indica un cierto efecto de localización en una zona en torno a la sección fisurada del crecimiento de deformaciones debido a la carga repetida. El crecimiento de la deformación en una zona localizada sería la responsable del incremento global de la deformabilidad de la pieza, en un proceso similar al de localización que se da en tracciones [Hillerborg A. y Markeset G., 1995]: en la sección fisurada se localiza un incremento de deformaciones a la vez que disminuyen las tensiones por la redistribución, mientras que en el resto de secciones entre fisuras se reducen las deformaciones.

El estudio de la deformación localizada del hormigón en este ensayo sí muestra un

crecimiento notable de este valor antes de que aparezca la fisura diagonal que lleva la pieza a la rotura. Este crecimiento es recogido por el cálculo realizado, y es debido a una mayor sensibilidad a la fatiga de la cabeza comprimida ante la elevada tensión inicial del hormigón (0.75fc). El resultado obtenido muestra que se ha desarrollado un proceso redistributivo importante dentro de la sección, que hace que la forma del bloque de compresiones cambie sustancialmente (Figura 6. 18). La Figura 6. 19 muestra la evolución de la cara superior de la sección durante el número de ciclos que dura el ensayo, en el plano σ-ε. Esta figura deja patente cómo el proceso redistributivo hace que crezca la deformación a la vez que evita la rotura por compresión del hormigón reduciendo su tensión. En la comparación, los valores calculados quedan ligeramente por debajo de los medidos.

En el momento de formarse la fisura diagonal, ésta penetra en la cabeza de

compresión y reduce su tamaño (en cierta forma, se acelera la interacción cortante-momento respecto de lo que ocurriría con el mismo nivel de carga en un ensayo estático), por lo que la solicitación debe ser aún mayor y es la responsable de que la rotura final ocurra en esta zona del hormigón. Además, esta zona queda fuera de la parte instrumentada de la viga, por lo que no hay un crecimiento notable en la deformación medida que se muestra en la Figura 6. 18a.


198

VA1

LVDT

LVDT

Ext

Ext

Fisura cortante

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06


Def

. Hor

mig

ónEnsayoModelo

(a)

VA1

Ext

Ext

Fisura cortante

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06


Cur

vatu

ra (m

-1)

ModeloEnsayo

(b)

VA1Fisura

cortante

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06


Tens

. Hor

mig

ón

(c)

N = 1

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.0 0.5 1.0


N = 1 000

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.0 0.5 1.0


N = 100 000

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.0 0.5 1.0


N = 500 000

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.0 0.5 1.0


(d)

Figura 6. 18. Ensayo VA1. Comparación de las medidas y el modelo del Capítulo 3. Las líneas continuas indican valores bajo carga máxima, y las líneas discontinuas bajo carga mínima. (a) Deformación


En el estudio comparativo de flechas y fisuras se han utilizado los mismos criterios explicados para las vigas VB1 y VB2. En este caso (Figura 6. 20a), la flecha calculada es inferior a la medida, auque esta diferencia parece que se debe más a la diferencia en la flecha estática del primer ciclo que a la evolución mostrada durante el proceso cíclico, por cuanto que la tasa de crecimiento es similar, así como la diferencia entre los valores bajo carga máxima y mínima. El parámetro m de tension-stiffening crece de 0.92 a 0.95 bajo carga máxima durante el ensayo, y pasa de 1.006 a 1.005 bajo carga mínima. Estos valores indican que la flecha creció un 3.3% debido a la evolución del bloque traccionado, mientras que la curvatura fisurada creció un 8.3%, es decir, el


199

crecimiento de la flecha en este ensayo fue fundamentalmente debido al efecto local en la sección fisurada producido por fatiga del hormigón en compresión.

Carga máxima

Carga mínima

0

5

10

15

20

25

30

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

Deformación

Tens

ión

(MPa

)

Figura 6. 19. Evolución calculada de la fibra superior de la sección durante el ensayo VA1

La evolución de la abertura de la fisura instrumentada sí es correctamente reproducida por el modelo desarrollado, tal y como muestra la Figura 6. 20b. En esta figura se observa cómo en el primer ciclo la fisura se cerró bajo carga mínima, pero antes de 10 ciclos de carga, ya todas las fisuras quedaban permanentemente abiertas, lo que confirma la conclusión sugerida en el Capítulo 4 de considerar la hipótesis de fisuración estabilizada desde el comienzo.

En los dos siguientes apartados se hace un análisis más profundo del fallo de la viga

VA1, a través del estudio de la fatiga por cortante que ha tenido lugar en él.

VA1

LVDT

LVDT

Cil.

Cil.

Fisura cortante

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06


Flec

ha, v

(mm

)

ModeloEnsayo

(a)

VA1

Fisura cortante

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06


Fisu

ra, w

(mm

)

ModeloEnsayo

(b)

Figura 6. 20. Comparación entre flechas y fisuras en el ensayo VA1. Las líneas continuas indican valores bajo carga máxima, y las líneas discontinuas bajo carga mínima. (a) Flechas (b) Fisura


200

6.5. Fatiga por cortante en elementos de hormigón armado 6.5.1. Generalidades

Si bien esta Tesis tiene como objetivo el estudio de los efectos de la fatiga en elementos de hormigón armado que trabajan principalmente a flexión (simple o compuesta), en estos párrafos se hace un análisis, conciso pero lo más exhaustivo posible, de la fatiga por esfuerzo cortante. La meta principal es que sirva de ayuda para analizar el resultado obtenido en el ensayo VA1.

Si el estudio de la fatiga en vigas sometidas a flexión ha sido poco abundante en la

literatura científica, como se ha visto en los capítulos anteriores, aún lo es más en el caso de la influencia del cortante. A las dificultades propias del fenómeno de la fatiga se unen en este caso los problemas inherentes al cortante y a su interacción con la flexión (discusiones recientes sobre modelos de cortante pueden encontrarse en [Cladera A. y Mari A.R., 2007], [Hernández Montes E. y Gil Martín L.M., 2005]). Estos problemas existen especialmente en elementos sin armadura transversal como es el caso.

El fallo por fatiga de cortante puede llegar a ser alarmante porque es frágil y porque

puede darse en elementos que de forma estática están diseñados para fallar a flexión [RILEM Committee 36-RDL, 1984]. 6.5.2. Análisis de trabajos existentes en la literatura

Los estudios relativos a la fatiga por cortante son pocos, y fundamentalmente de tipo experimental. Los trabajos más relevantes por número de ensayos y parámetros evaluados son los desarrollados por la Universidad de Illinois a finales de la década de los 50 [Chang T.S. y Kesler C.E., 1958a], [Chang T.S. y Kesler C.E., 1958b]. Estas publicaciones se utilizan en este apartado como referencia básica. El estudio aborda el comportamiento frente a fatiga de vigas sin armadura transversal. Los autores advirtieron que, con independencia del fallo que puede exhibir un elemento ante carga estática, la rotura por fatiga puede sobrevenir por: hormigón en compresión, splitting a lo largo de la armadura, cortante o fallo frágil de la armadura longitudinal. El fallo típico por cortante sería como sigue: primero se forma una fisura diagonal por inclinación y coalescencia de fisuras de flexión; esta fisura penetra por arriba en la cabeza de compresión y se extiende por abajo horizontalmente al nivel de la armadura. La rotura final es por compresión cuando la fisura diagonal hace que la cabeza sea muy pequeña para soportar las tensiones solicitantes.

Adicionalmente, en vigas con armadura transversal puede aparecer el fallo por fatiga

de los cercos. Así ocurrió en los 6 ensayos realizados por [Frey R. y Thürlimann B., 1983] en la ETHZ (Zürich, Suiza) en este tipo de elementos, con 74 cercos rotos en total. La rotura por fatiga de los cercos puede verse acelerada por rozamientos con las barras longitudinales o por las zonas de doblado [RILEM Committee 36-RDL, 1984].

Antes de abordar los ensayos por fatiga de Chang y Kesler, se introduce brevemente

su teoría de cortante, en la que se basan para analizar el efecto de las cargas repetidas. Ante carga estática, llaman fallo por cortante puro a aquel que sucede cuando la fisura diagonal atraviesa completamente la pieza y rompe el elemento. Frente a él, el shear-moment es el cortante (más bien momento) por el que la rotura tiene lugar por


201

combinación de cortante y flexión, es decir, el fallo es por flexión en presencia de una fisura diagonal que reduce la cabeza comprimida, lo que rompe el hormigón. El shear-moment es el responsable del fallo estático de la pieza sólo si la carga que hace que aparezca la fisura diagonal es menor. En otro caso la rotura es por cortante puro en cuanto se produce la fisura diagonal.

Las fórmulas estáticas propias de estos autores, obtenidas a partir de 105 ensayos,

42 suyos propios, son (fc en psi, ρ en %, a, b y d en in, Vc en lb y Ms en in.lb): Cortante por el que aparece la fisura diagonal:

( )

+

++= 61.2

42.18.153.0 4.131685.0100562.0190.1/

dadfbdV cc ρ (6. 2)

Momento de rotura, shear-moment:

( )

( )

++

++

=

25.35.035.0

25.362.135.0

2

8.17125.118.12

8.171188.013.21/

df

df

bdMc

c

s

ρ

ρ;

%5.2

%5.2

≥

<

ρ

ρ (6. 3)

Los ensayos a fatiga se dividieron en dos bloques. Por una parte, en [Chang T.S. y Kesler C.E., 1958b] se ensayaron vigas que de forma estática no fallarían a flexión. Además, las fuerzas causantes de la fisura diagonal y el shear-moment, Pc y Ps, aproximadamente coinciden, por lo que el fallo estático puede darse tanto por cortante puro como por interacción cortante-flexión. Son vigas de sección rectangular de 0.102 x 0.152 m y 1.0 m de luz cargadas a flexión en cuatro puntos, con una esbeltez a cortante a/d = 3.72. El hormigón es normal (fc = 21.7-46.6 MPa) y se emplean dos cuantías de armadura longitudinal, ρ = 1.86-2.89% (fy = 328 MPa, fu = 500 MPa, Es = 1.86x105 MPa). La carga máxima a fatiga siempre fue inferior a la que produce la fisura diagonal (entre el 45 y el 91% de Pc, que equivalía a entre el 51 y el 100% de Ps). Lamentablemente no se informa de la carga mínima.

De las 39 vigas así ensayadas, 23 fallaron por destrucción de la cabeza comprimida

al final de la fisura diagonal ya formada, con extensión longitudinal de la fisura a lo largo de la armadura. 11 vigas fallaron por cortante puro al desarrollarse completamente la fisura diagonal (duraron muy pocos ciclos tras su formación). 2 vigas fallaron por fatiga de la armadura en la zona de flexión pura (estas dos vigas eran de ρ = 1.86%). 2 vigas no fallaron en 10 millones de ciclos, y otra se rompió en el primer ciclo. La Figura 6. 21a dibuja los mapas de fisuras típicos. Es habitual que el fallo se produzca en un extremo del elemento, permaneciendo el otro intacto sin fisuras diagonales.

En el segundo trabajo, [Chang T.S. y Kesler C.E., 1958a] ensayaron otra serie de

vigas con la misma geometría, materiales y esquema de cargas (también (a/d = 3.72), pero con una cuantía ρ = 1.02%, de forma que ante carga estática la fuerza última por flexión es un 10-15% menor que la que produce el cortante Vc. Para vigas con cuantía baja, afirman los autores que si la resistencia estática a flexión es más baja que ese nivel respecto de la resistencia a cortante, el fallo por fatiga es por rotura frágil de la armadura.


202

(a)

(b)

Figura 6. 21. Esquemas de los fallos por fatiga: (a) Chang y Kesler (1958b), 39 vigas; (b) Chang y Kesler (1958a), 25 vigas

De las 25 vigas ensayadas de esta manera, 14 fallaron por fatiga de la armadura en la zona de momento constante, con el mapa de fisuras longitudinales completamente desarrollado (y en 7 de ellas algunas fisuras se habían empezado a inclinar). 4 vigas fallaron por desarrollo completo de la fisura diagonal, es decir, por cortante puro. 4 vigas más fallaron por destrucción de la zona comprimida con la fisura diagonal formada y penetrando en ella, es decir, por shear-moment. 3 vigas no rompieron en 10 millones de ciclos. La Figura 6. 21b representa los esquemas de fisuras. El conocimiento de la carga mínima permitiría profundizar en el análisis del tipo de fallo, ya que la fatiga de la armadura depende fundamentalmente de la oscilación de la tensión, y la de cortante (en general los fallos por fatiga del hormigón) de la carga máxima.

En la Figura 6. 22a se analiza el número de ciclos en que aparece la fisura diagonal.

El umbral de carga máxima para la que se forma esta fisura es 0.57Pc con una probabilidad del 50%, y 0.49Pc con una probabilidad del 100%. En la Figura 6. 22b se muestra el número de ciclos de rotura sin incluir las vigas que han roto por fatiga de la armadura. El umbral es 0.63Ps con una probabilidad del 50%, y 0.56Pc con una probabilidad del 100%. Finalmente, en la Figura 6. 22c se representa el número de ciclos resistentes de las vigas después de formada la fisura diagonal hasta que falla la cabeza comprimida.


203

Formación de fisura diagonal

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07


P max

/ P c

ρ = 2.89%

ρ = 1.86%

ρ = 1.02%

(a)

Rotura por cortante (puro o combinado)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


P max

/ P s

ρ = 2.89%

ρ = 1.86%

ρ = 1.02%

(b)

Cortante puro(N = 1)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


P max

/ P s

ρ = 2.89%

ρ = 1.86%

ρ = 1.02%

(c)

Figura 6. 22. Resumen ensayos Chang y Kesler (1958a y b): (a) Número de ciclos en los que aparece la fisura diagonal; (b) Número de ciclos de rotura, sin considerar las vigas rotas por la armadura; (c)

Número de ciclos desde la formación de la fisura diagonal hasta la rotura, sin contar las vigas rotas por la armadura

Como conclusión a sus ensayos, Chang y Kesler afirmaron que el fallo por fatiga de la armadura ocurrirá siempre que no se formen fisuras diagonales (P/Pc < 0.60), o aún habiéndolas, cuando no llegue a producirse el fallo por destrucción de la cabeza comprimida (P/Ps < 0.70). A partir de ese valor, fallará por shear-moment o incluso por cortante puro (fisura diagonal completa) cuando la carga máxima sea muy elevada (P/Ps > 0.80).

En la EPFL (Lausana, Suiza) también se hizo un estudio experimental sobre fatiga

de cortante en elementos sin armadura transversal [Schläfli M., 1999], complementario al que se ha estudiado en el apartado 3.6.3.1 sobre vigas ensayadas a fatiga de flexión. En éstas últimas (con a/d = 5.04 y ρ = 0.68, 1.3 y 1.6%) el fallo siempre se debió a fatiga de la armadura sin formación de fisura diagonal. Adicionalmente, 10 vigas se ensayaron a cortante con sección rectangular de 0.40 x 0.20, a/d = 2.60, ρ = 1.56% y materiales normales (fc = 35 MPa, fy = 490 MPa, fu = 585 MPa, Es = 2x105 MPa). La carga mínima se mantuvo siempre en el 10% de la máxima.

Uno de los ensayos fue estático, y rompió por fallo de la cabeza comprimida de

hormigón cuando ésta ya era atravesada por la fisura diagonal (la fuerza de rotura fue 306 kN, mientras que la fisura diagonal se formó con 170 kN; las fisuras de flexión que


204

después se inclinaron para formar la fisura diagonal aparecieron con 45 kN). Sería un fallo por shear-moment en la terminología de Chang y Kesler. A pesar del tipo de fallo estático mostrado, los resultados de los 9 ensayos a fatiga fue algo diferente. Excepto en uno, en que la rotura fue por fatiga de cortante en el instante en que se formó la fisura diagonal (sería un fallo por fatiga a cortante puro), en las otras ocho vigas se rompió alguna barra por fatiga de la armadura cuando ya la fisura diagonal está formada (antes de romper por shear-moment). A la alta oscilación de la tensión en la armadura, hay que sumar el efecto pasador. Tras la rotura de alguna barra, ya falló la cabeza comprimida y saltó el hormigón del recubrimiento inferior. Pero el tipo de fallo es por la armadura.

Dado que la formación de la fisura diagonal fue la causante del fallo posterior, los

autores concluyeron que se debe evitar su aparición, aunque en general el numero de ciclos resistentes tras este instante fue elevado (más de un millón). El uso de las curvas S-N para fatiga de cortante (apartado 6.5.3) produjo malos resultados, por lo que los autores decidieron recomendar un criterio propio (en general, parece que emplear criterios basados en la tensión tangencial nominal da poca importancia a a/d, que influye mucho en fatiga). Su criterio establecía el tipo fallo por fatiga en función de la curva estática fuerza – abertura de fisura diagonal. Su modelo [Schläfli M., 1999] obtiene esta curva en función del comportamiento a tracción del hormigón y de la influencia que el ángulo de inclinación de la fisura tiene a través del efecto pasador de la armadura. La Figura 6. 23 muestra los tres tipos de curva estática para un caso determinado con distintas cuantías de armadura longitudinal, y establece el tipo de fallo de fatiga en función del primer pico de la curva. En el caso con mayor armadura (1.56%) no aparece la fisura diagonal; en el caso con cuantía media (0.78%) la fuerza última es mayor que la fuerza que provoca la fisura diagonal, por lo que en fatiga podría fallar por rotura frágil de la armadura o por compresión del hormigón después de que ésta se formara; finalmente, con la cuantía más baja (0.39%) la rotura por fatiga ocurriría por desarrollo completo de la fisura diagonal en cuanto ésta se forme.

Figura 6. 23. Modelo de cortante de Schläfli (1999)


205

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 6. 24. Rotura por fatiga de cortante de Johansson (2004): (a) Imagen exterior; (b) Cabeza superior; (c) Armaduras descubiertas; (d) Detalle de barra rota

El mismo esquema de rotura que en las vigas de la EPFL tuvo lugar en el estudio experimental de [Johansson U., 2004] (sección rectangular de 0.80 x 0.20, a/d = 3.85, ρ = 1.55%). La Figura 6. 24 indica las imágenes de las barras rotas en la sección cortada por la fisura diagonal.

Para terminar este repaso a los trabajos experimentales existentes, se citan los

resultados de los ensayos de [Frey R. y Thürlimann B., 1983] sobre 11 vigas sin armadura por cortante (a/d = 3.06 – 4.57, ρ = 0.64 – 1.7%). La interpretación en estos casos es más complicada ya que las cargas no se mantuvieron constantes en la mayoría de los ensayos y porque la sección era tipo doble T. De todas las formas, en todas las vigas se formó una fisura diagonal que después se fue propagando por la cabeza de compresión y a lo largo de la armadura hasta la rotura completa por cortante.

6.5.3. Criterios para considerar la fatiga por cortante

La metodología más empleada para evaluar la vida a fatiga de un elemento de

hormigón armado frente a la rotura por cortante está basada en la filosofía de las curvas S-N. Este tipo de curvas han tenido un desarrollo muy escaso para cortante, y en general dan resultados muy conservadores [Johansson U., 2004]. Como ejemplo, la formulación del Código Modelo MC-90 [CEB - FIP, 1991] utiliza sólo el nivel de carga máxima:

−=

uVVN max110log (6. 4)

De las fórmulas existentes, la más desarrollada es quizá la utilizada por la norma suiza [SIA, 1997], que también añade la influencia del nivel de carga mínimo:


206

9.0

9.015log

min

max

−

−=

u

u

VVV

V

N (6. 5)

Como se ha analizado en [Schläfli M., 1999] y se ha visto en el apartado anterior, el uso de esta metodología proporciona malos resultados (Figura 6. 25). A la dificultad de obtener el cortante último Vu hay que añadir la mayor influencia que parece tener en fatiga la esbeltez a/d. Es por eso que se han establecido criterios para limitar la carga máxima (alrededor de valores del 40%), o los comentados en el apartado 6.5.2 en función de la respuesta estática, que en cambio son más cualitativos y no hablan del número de ciclos resistentes.

Figura 6. 25. Comparación de los resultados de Schläfli (1999) con las curvas S-N de SIA (1996)

6.6. Análisis de la rotura del ensayo VA1 En el apartado 6.4.2.1 se ha descrito que en el ensayo VA1 se formó una fisura

diagonal a los 77000 ciclos, y que la rotura final tuvo lugar después de que ésta penetrara en la cabeza comprimida, por destrucción del hormigón a los 170718 ciclos de carga. Resistió 93718 ciclos entre uno y otro suceso. Este tipo de rotura entraría dentro de la denominación de shear-moment dada por Chang y Kesler, que depende de la relación a/d y ha sido comentada en el apartado 6.5.2 anterior.

Calculando los valores de la resistencia dados por estos autores en las ecuaciones (6.

2) y (6. 3), se obtiene un valor del cortante que produce la fisura diagonal de 85.62 kN, y un valor del momento shear-moment de 87.35 m.kN. Esto implica unas fuerzas últimas por cortante puro y por compresión en presencia de fisura diagonal Pc = 171.24 kN y Ps = 130.16 kN, respectivamente para la viga VA1. Siguiendo el criterio de Chang y Kesler, al ser menor la resistencia por compresión ante fisura diagonal que la fuerza que hace que ésta aparezca, el fallo estático sería por cortante puro por desarrollo completo de la fisura diagonal a los 171.24 kN.

En fatiga, dadas las fuerzas aplicadas en el ensayo indicadas en la Tabla 6. 1, la

carga máxima representa 0.70Pc y 0.92Ps. Según el criterio de Chang y Kesler, como se supera 0.60Pc, tendría lugar la formación de la fisura diagonal, como ha ocurrido. Además, al superarse 0.70Ps, la rotura por fatiga sería por cortante, como también ha


207

ocurrido. Sin embargo, también indican que si se supera 0.80Ps, el fallo podría incluso ocurrir por cortante puro, cosa que no se ha dado.

En la Figura 6. 26 se representa la posición que ocuparía el resultado del ensayo

VA1 insertado en los resultados experimentales de Chang y Kesler (Figura 6. 22). Hay que tener en cuenta que la cuantía de armadura longitudinal es elevada (2.51%), y que la esbeltez de cortante es mayor que en esos ensayos (a/d = 5.40).

Formación de fisura diagonal

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07


P max

/ P c

ρ = 2.89%

ρ = 1.86%

ρ = 1.02%VA1

(a)

Rotura por cortante (puro o combinado)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


P max

/ P s

ρ = 2.89%

ρ = 1.86%

ρ = 1.02%VA1

(b)

Cortante puro(N = 1)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


P max

/ P s

ρ = 2.89%

ρ = 1.86%

ρ = 1.02%VA1

(c)

Figura 6. 26. Comparación entre los resultados de Chang y Kesler (1958a y b) y el ensayo VA1: (a) Número de ciclos en los que aparece la fisura diagonal; (b) Número de ciclos de rotura; (c) Número de

ciclos desde la formación de la fisura diagonal hasta la rotura

Finalmente, si se considera el valor de 171.24 kN como la fuerza última de la pieza, y empleando las curvas S-N de las ecuaciones (6. 4) y (6. 5), el número de ciclos resistentes teóricos es 977 y 81197 respectivamente. Este segundo valor se aproxima al ciclo en el que ha aparecido la fisura diagonal, pero en cualquier caso queda claro que el uso de estos modelos de tipo S-N no es acertado.

6.7. Conclusiones

En este Capítulo se ha presentado y analizado la campaña experimental realizada

sobre tres vigas de hormigón armado bajo carga repetida. Dos de las vigas tienen una cuantía de armadura longitudinal baja (0.64%) y la otra alta (2.51%). Las vigas no tienen armadura de cortante.


208

En las vigas con cuantía de acero baja es típica la rotura frágil de las barras de la armadura como modo de fallo. En este caso, la rotura ha tenido lugar en un número de ciclos muy bajo, debido a la presencia de detalles soldados en las armaduras. Este hecho remarca la necesidad de evitar la soldadura en elementos armados que vayan a estar sometidos a cargas cíclicas. El empleo de la curva S-N para armaduras soldadas proporciona un buen resultado para prever el número de ciclos resistentes.

En la viga con cuantía de acero elevada, la rotura ha tenido lugar por fatiga de

cortante, cuyo estudio no estaba previsto inicialmente. En este Capítulo se ha hecho un análisis complementario de este hecho utilizando los criterios disponibles en la literatura científica. No obstante, se ha destacado que existe un gran vacío en este tema, por lo que la fatiga por cortante es una de las líneas de investigación abiertas para el futuro, y que se exponen en el Capítulo 8. A pesar del tipo de rotura exhibido por este ensayo, durante su desarrollo ha habido un incremento apreciable de las deformaciones del elemento. Ello ha permitido mostrar, mediante el análisis con la metodología desarrollada en esta Tesis, que ha existido un proceso de redistribución de tensiones que modifica su distribución en la sección transversal, teniendo en cuenta la elevada solicitación bajo carga máxima. Si la pieza hubiera tenido cercos y las armaduras no estuvieran soldadas, se podría haber desarrollado una degradación importante del hormigón en compresión.

La evolución de las flechas y las fisuras en los tres ensayos también ha sido

analizada. En las vigas débilmente armadas ha sido debida fundamentalmente al proceso de deterioro del bloque traccionado, por la evolución de la colaboración del hormigón en tracción entre fisuras, efecto tension-stiffening. En el ensayo con cuantía de acero elevada, la colaboración de la degradación del bloque comprimido ha sido más importante en la evolución de la deformabilidad global.

Un hecho interesante mostrado por los resultados experimentales es la capacidad de

detección del proceso de rotura por fatiga de un elemento de hormigón armado cuando éste ya ha comenzado. Después del primer indicador del fallo (una barra rota o la aparición de una fisura diagonal), el elemento puede seguir soportando un número apreciable de ciclos de carga, aunque en una situación muy precaria. Esto indica que medidas de monitorización podrían detectar repentinos crecimientos de flechas y aberturas de fisuras, que indicarían un primer paso hacia la rotura por fatiga del elemento y evidenciarían la necesidad de reparación.

El Capítulo ha mostrado, en todo caso, el interés de la realización de ensayos en un

campo en el que son muchos los factores influyentes.

209

Capítulo 7 Recomendaciones prácticas para tener en cuenta la fatiga en elementos de hormigón armado 7.1. Introducción

Este Capítulo tiene como objetivo la obtención, de forma simplificada a través de gráficas, de los resultados que la fatiga produce en diversas tipologías de secciones de hormigón estructural, con orientación a la aplicación práctica. Se trata de la última fase de la Tesis, antes de presentar las conclusiones y las líneas de investigación abiertas (Figura 7. 1).

El apartado 7.2 presenta los gráficos del número de ciclos de rotura de diferentes

tipologías de secciones, variando la cuantía de armadura y los niveles de carga. En ellos se ha empleado un hormigón de resistencia normal. Se obtienen los diagramas esfuerzo – número de ciclos, que son un avance respecto de las curvas S-N de los materiales, ya que tienen en cuenta el proceso redistributivo producido por la evolución de las propiedades mecánicas que provoca la fatiga del hormigón. Dentro de este apartado, se estudia en primer lugar la influencia del gradiente de tensiones en la vida a fatiga de probetas de hormigón. A continuación se obtiene el número de ciclos resistentes de soportes armados. Finalmente, se calcula la vida a fatiga de vigas de hormigón armado, obteniendo el modo de rotura, ya sea por fatiga del hormigón o de la armadura.

Estado del arte





Ensayos



MATERIAL

SECCIÓN

ESTRUCTURA

Nivel de estudio



210

En el apartado 7.3 se estudia la evolución de la deformabilidad de vigas de hormigón armado durante su vida a fatiga. Este estudio hace referencia a la fragilidad del fallo por fatiga cuando éste sucede por rotura de la armadura, ya que evita el desarrollo completo de las tres fases características de crecimiento de la deformación por fatiga del hormigón.

Finalmente, las conclusiones de este Capítulo se exponen en el apartado 7.4

7.2. Número de ciclos hasta rotura 7.2.1. Influencia del gradiente de tensiones

El efecto positivo del gradiente de tensiones en el máximo número de ciclos resistentes frente a fatiga de una probeta de hormigón se ha mostrado en el Capítulo 2, mediante el estudio de los trabajos experimentales existentes en la materia. A continuación, empleando el modelo teórico propuesto, se ha visto en el Capítulo 3 que el desarrollo de un proceso de redistribución de tensiones es el responsable de la reserva de resistencia que presentan las probetas cargadas de forma excéntrica. Para estudiar la capacidad redistributiva, se analiza en este apartado la resistencia a fatiga de una probeta sometida a carga repetida, con distintos valores de la excentricidad. Para ello, se emplea el modelo de material y la estrategia seccional propuestos en el Capítulo 3.

Se considera una probeta cuadrada de 0.30 x 0.30 m de hormigón. El hormigón es

de fc = 35 MPa de resistencia y εc = 0.002 de deformación de pico. En contraste a cálculos de agotamiento estático, donde son posibles diagramas de interacción adimensionales, aquí sí existe dependencia de la resistencia, aunque en los cálculos se ha elegido un hormigón de resistencia normal de cara a su aplicación a diseño. Con relación a la evaluación de estructuras existentes, sería interesante la obtención de diagramas con hormigón de baja resistencia. Se han realizado los cálculos con valores de la excentricidad relativa e/h = 0, 1/18, 1/6 y 1/3. Además, se han empleado dos valores de la carga mínima, Pmin/Pu = 0.10 y 0.25. En la Figura 7. 2 se indican gráficamente las principales características de los cálculos realizados. En todo momento se ha considerado una frecuencia de 1 Hz.

Los resultados obtenidos se representan en forma de diagramas fuerza máxima

relativa a la de agotamiento estático frente a número de ciclos resistentes, permaneciendo en cada gráfico constante el nivel de fuerza mínimo. Los diagramas Pmax/Pu – N aportan un avance muy importante frente a las curvas S-N. En primer lugar, aportan información estructural, frente a las curvas S-N que son propias del material. En segundo lugar, tienen en cuenta el proceso evolutivo y permiten estudiar la capacidad redistributiva. Por otra parte, permiten obtener de una forma rápida la sensibilidad a la rotura por fatiga de un elemento.

Capítulo 7. Recomendaciones prácticas para tener en cuenta la fatiga en elementos de hormigón armado _

211

Hormigón

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.001 0.002 0.003 0.004

Deformación

Tens

ión

(MPa

)

(a)

Acero

0

100

200

300

400

500

600

0 0.01 0.02 0.03

Deformación

Tens

ión

(MPa

)

(b)

Figura 7. 2. Principales características de los cálculos realizados: (a) Geometría de la sección y excentricidad de la carga; (b) Materiales empleados

La Figura 7. 3 muestra los resultados obtenidos para la sección indicada. La reserva de resistencia frente a fatiga que aporta la capacidad redistributiva está clara: a medida que aumenta la excentricidad de la carga, el número de ciclos hasta rotura es mayor manteniendo constante el nivel máximo de la carga. Incluso ante excentricidades pequeñas, el efecto positivo del gradiente de tensiones es notable. Igualmente es positivo el incremento del nivel de carga mínima. El caso con excentricidad nula representa la curva S-N directamente.

Pmin/Pu = 0.10

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95


Fuer

za, P

max

/Pu

e/h = 0e/h = 1/18e/h = 1/6e/h = 1/3

(a)

Pmin/Pu = 0.25

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95


Fuer

za, P

max

/Pu

e/h = 0e/h = 1/18e/h = 1/6e/h = 1/3

(b)

Figura 7. 3. Número de ciclos de rotura por fatiga de una probeta de hormigón de sección 0.30 x 0.30 con diferentes valores de la excentricidad e/h. (a) Pmin / Pu = 0.10; (b) Pmin / Pu = 0.25

e

P

P / P = 0.10, 0.25

e/h = 0, 1/18, 1/6, 1/3

min u


212

7.2.2. Columnas de hormigón armado En este apartado se da un paso adelante respecto de los resultados mostrados en el

anterior 7.2.1. Se introduce la presencia de armadura, por lo que se obtienen los diagramas fuerza máxima frente a número de ciclos de rotura de soportes armados. Esto permite obtener de forma rápida el efecto de las cargas repetidas frente a la rotura de este tipo de elementos. Se ha considerado la presencia de dos capas de armadura simétrica en las partes superior e inferior de la sección, tal y como se muestra en la Figura 7. 4. Se han realizado los cálculos con dos niveles de carga mínima (0.10 y 0.25, como en el apartado anterior) y cuatro valores de la excentricidad (0, 1/18, 1/6 y 1/3, también como en el apartado anterior). Se consideran cinco valores de la cuantía de armadura total (ρ = As/bh = 0.0, 0.5, 1.0, 2.0 y 3.0%). El acero de las armaduras se comporta de forma elástica – perfectamente plástica (Es = 2x105 MPa y fy = fu = 500 MPa, Figura 7. 3b).

Figura 7. 4. Geometría y materiales del soporte analizado

Los resultados se indican en la Figura 7. 5. Por una parte se muestra el incremento

del número de ciclos resistentes al aumentar la excentricidad, dada la mayor capacidad redistributiva ante mayores gradientes de tensiones. Por otra parte, el aumento de la cuantía de armadura también es favorable para la resistencia a la fatiga. Esto se debe a que, en el proceso redistributivo desarrollado, un mayor bloque de tensiones puede ser traspasado a la armadura. Finalmente, es evidentemente más favorable que la carga mínima sea mayor.

HORMIGÓN: f c = 30 MPa; εc = 0.002

ACERO: f y = f u = 500 MPa

ρ =0.0, 0.5, 1.0, 2.0, 3.0 %


213

e/h = 0Pmin/Pu = 0.10

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95


Fuer

za, P

max

/Pu

ρ = 3.0%ρ = 2.0%ρ = 1.0%ρ = 0.5%ρ = 0.0%

e/h = 0Pmin/Pu = 0.25

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


Fuer

za, P

max

/Pu

ρ = 3.0%ρ = 2.0%ρ = 1.0%ρ = 0.5%ρ = 0.0%

e/h = 1/18Pmin/Pu = 0.10

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95


Fuer

za, P

max

/Pu

ρ = 3.0%ρ = 2.0%ρ = 1.0%ρ = 0.5%ρ = 0.0%

e/h = 1/18Pmin/Pu = 0.25

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


Fuer

za, P

max

/Pu

ρ = 3.0%ρ = 2.0%ρ = 1.0%ρ = 0.5%ρ = 0.0%

e/h = 1/6Pmin/Pu = 0.10

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95


Fuer

za, P

max

/Pu

ρ = 3.0%ρ = 2.0%ρ = 1.0%ρ = 0.5%ρ = 0.0%

e/h = 1/6Pmin/Pu = 0.25

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


Fuer

za, P

max

/Pu

ρ = 3.0%ρ = 2.0%ρ = 1.0%ρ = 0.5%ρ = 0.0%

e/h = 1/3Pmin/Pu = 0.10

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95


Fuer

za, P

max

/Pu

ρ = 3.0%ρ = 2.0%ρ = 1.0%ρ = 0.5%ρ = 0.0%

e/h = 1/3Pmin/Pu = 0.25

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


Fuer

za, P

max

/Pu

ρ = 3.0%ρ = 2.0%ρ = 1.0%ρ = 0.5%ρ = 0.0%

Figura 7. 5. Número de ciclos de rotura por fatiga de soportes armados


214

7.2.3. Vigas de hormigón armado En este apartado se estudia el número de ciclos hasta rotura de vigas de hormigón

armado sometidas a flexión pura. Además del instante de fallo por fatiga del hormigón comprimido se ha calculado el número de ciclos de rotura de la armadura de acero. Para ello se han introducido las curvas S-N del Código Modelo [CEB - FIP, 1991]. El análisis de la vida de la armadura se lleva a cabo dentro de la estrategia seccional presentada en el Capítulo 3, es decir, se evalúa el daño correspondiente a cada bloque de ciclos ∆N incluido en un paso de tiempo y se emplea la regla de Miner (ecuación (3.62)) para obtener el instante de rotura. La evaluación de la vida a fatiga del acero de esta forma es más realista que hacerlo basándose sólo en las tensiones de la armadura en el primer ciclo, ya que durante la vida a fatiga el módulo de deformación de cada fibra de la sección es cambiante, reduciéndose progresivamente la rigidez de la sección, lo que hace que varíen no sólo los límites de la tensión, sino también la oscilación. Para los cálculos realizados se ha supuesto una categoría de detalle de 125 MPa (que corresponde a 108 ciclos) de acuerdo a la Tabla 3.1, lo que equivale a considerar barras de Φ16 en la armadura.

La Figura 7. 6 representa las tres secciones de hormigón armado evaluadas. La

primera es una sección cuadrada, otra es una viga plana, y la última es una viga de canto. Los materiales empleados son los que ya se han indicado en la Figura 7. 2b. En los tres tipos de vigas, se han tenido en cuenta diferentes valores de la cuantía de armadura longitudinal (ρ = As/bd = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5 y 3.0%). Para las geometrías dadas, la cuantía del 1.5% representa aquella en que se produce la rotura simultánea por hormigón y plastificación del acero bajo carga estática en las vigas rectangular y plana. En la viga de canto, este tipo de rotura estática ocurre con la cuantía del 2.0%. Para valores del porcentaje de armadura por encima de los indicados, la rotura estática es por compresión del hormigón; para valores inferiores, la rotura estática se debe a la plastificación de la armadura. Finalmente, se han tenido en cuenta tres valores del momento mínimo aplicado (Mmin/Mu = 0.10, 0.25 y 0.50).

ρ = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0 %

ρ = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0 %

ρ = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0 %

HORMIGÓN: f c = 30 MPa; εc = 0.002

ACERO: f y = f u = 500 MPa

Figura 7. 6. Geometría de las secciones transversales analizadas

Los resultados obtenidos en la sección cuadrada se representan en la Figura 7. 7, los correspondientes a la viga plana en la Figura 7. 8, y los de la viga de canto en la Figura 7. 9. Las líneas continuas indican el instante de rotura por fatiga del hormigón, mientras que las líneas discontinuas representan el fallo por fatiga de la armadura. En valores relativos del momento máximo aplicado, los tres tipos de vigas ofrecen resultados muy similares.


215

Viga cuadradaMmin/Mu = 0.10

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08Número de ciclos, N

Mom

ento

, Mm

ax/M

u

ρ = 3.0%ρ = 2.5%ρ = 2.0%ρ = 1.5%ρ = 1.0%ρ = 0.5%

(a)


0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


Mom

ento

, Mm

ax/M

u

ρ = 3.0%ρ = 2.5%ρ = 2.0%ρ = 1.5%ρ = 1.0%ρ = 0.5%

(b)


0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


Mom

ento

, Mm

ax/M

u

ρ = 3.0%ρ = 2.5%ρ = 2.0%ρ = 1.5%ρ = 1.0%ρ = 0.5%

(c)

Figura 7. 7. Número de ciclos de rotura por fatiga de la sección cuadrada. Las líneas continuas representan fallo del hormigón y las discontinuas fallo de la armadura. (a) Mmin/Mu = 0.10; (b) Mmin/Mu =

0.25; (c) Mmin/Mu = 0.50

El primer resultado interesante es la obtención del modo de fallo por fatiga de las

vigas. De acuerdo a la conclusión tradicionalmente alcanzada a través de resultados experimentales (aspectos estudiados en los Capítulos 2 y 3), el modo de fallo típico por fatiga es la rotura frágil de las barras de la armadura, incluso en casos en los que la rotura estática ocurre por compresión en la cabeza de hormigón. En los resultados mostrados en las figuras anteriores, el fallo por fatiga del hormigón sólo es predominante en vigas sobre-armadas (cuantía mayor que el 2.0%) cuando la carga es tal que el momento máximo supera el 85% del momento último.


216

Viga planaMmin/Mu = 0.10

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95


Mom

ento

, Mm

ax/M

u

ρ = 3.0%ρ = 2.5%ρ = 2.0%ρ = 1.5%ρ = 1.0%ρ = 0.5%

(a)


0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


Mom

ento

, Mm

ax/M

u

ρ = 3.0%ρ = 2.5%ρ = 2.0%ρ = 1.5%ρ = 1.0%ρ = 0.5%

(b)


0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


Mom

ento

, Mm

ax/M

u

ρ = 3.0%ρ = 2.5%ρ = 2.0%ρ = 1.5%ρ = 1.0%ρ = 0.5%

(c)

Figura 7. 8. Número de ciclos de rotura por fatiga de la viga plana. Las líneas continuas representan fallo del hormigón y las discontinuas fallo de la armadura. (a) Mmin/Mu = 0.10; (b) Mmin/Mu = 0.25; (c) Mmin/Mu

= 0.50

Los resultados obtenidos concuerdan con el análisis llevado a cabo en el apartado 3.6.3.3 de los ensayos de [Lambotte H. et al., 1965]. En ellos se obtuvo experimentalmente la rotura por fatiga del hormigón. En el análisis teórico del apartado 3.6.3.3 no se calculó el número de ciclos resistentes de la armadura por la falta de datos para el tipo de acero empleado.

Por otra parte, para cada uno de los gráficos mostrados, la reducción de la armadura

longitudinal supone el aumento del número de ciclos resistentes del hormigón y la reducción del número de ciclos resistentes de la armadura. Lo primero es debido a que en los elementos con poca armadura, la tensión máxima del hormigón incluso ante momentos elevados es bastante reducida, por lo que la vida a fatiga del hormigón es muy elevada. Lo segundo se debe a que la oscilación de tensiones incrementa a medida que se reduce la armadura. Como se observa en los gráficos, las vigas con cuantía baja de acero (1.0 y 0.5%) nunca fallarían por fatiga del hormigón.


217

Viga de cantoMmin/Mu = 0.10

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95


Mom

ento

, Mm

ax/M

u

ρ = 3.0%ρ = 2.5%ρ = 2.0%ρ = 1.5%ρ = 1.0%ρ = 0.5%

(a)


0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


Mom

ento

, Mm

ax/M

u

ρ = 3.0%ρ = 2.5%ρ = 2.0%ρ = 1.5%ρ = 1.0%ρ = 0.5%

(b)


0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08


Mom

ento

, Mm

ax/M

u

ρ = 3.0%ρ = 2.5%ρ = 2.0%ρ = 1.5%ρ = 1.0%ρ = 0.5%

(c)

Figura 7. 9. Número de ciclos de rotura por fatiga de la viga de canto. Las líneas continuas representan fallo del hormigón y las discontinuas fallo de la armadura. (a) Mmin/Mu = 0.10; (b) Mmin/Mu = 0.25; (c)

Mmin/Mu = 0.50

Finalmente, el incremento del valor del momento mínimo aplicado incrementa la

resistencia a fatiga de forma muy notable. Las losas de tableros de puente en sentido transversal son elementos típicos de baja carga mínima, mientras que estructuras enterradas, como las losas de transición profundas, son elementos característicos con alto nivel relativo de la carga mínima.

7.3. Estudio de la deformabilidad

La fatiga del hormigón es un proceso en el que crece la deformación a medida que

aumenta el número de ciclos, tal y como se ha visto a lo largo de la Tesis. Por tanto, la rotura por fatiga del hormigón de un elemento armado tiene una cierta ductilidad, reflejada a través del crecimiento de su deformabilidad. Sin embargo, se ha comprobado en el apartado 7.2.3 que el modo de fallo predominante por fatiga en vigas es debido a la rotura de la armadura. Ésta rotura es de tipo frágil y tiene lugar sin que se desarrolle completamente el proceso de crecimiento de las deformaciones. Es por eso que el fallo por fatiga de las vigas es mucho más frágil de lo que sería si se rompieran por fatiga del hormigón, y por supuesto mucho más que la rotura estática. La importancia de este estudio radica en la diferencia existente en la forma de fallo estática y por fatiga: un elemento diseñado para que rompa de forma dúctil por plastificación de la armadura puede fallar de forma frágil en fatiga. La capacidad de aviso del elemento puede verse limitada en elementos sometidos a cargas repetidas.


218

Para estudiar el crecimiento de la deformabilidad, se ha evaluado el incremento de la

curvatura bajo carga máxima de la sección respecto al de su valor en el primer ciclo (Ψ/Ψ0). Se ha elegido el caso de la viga de poco canto (b x h = 0.80 x 0.25 en la Figura 7. 6), y se ha mantenido el momento mínimo en Mmin/Mu = 0.10.

La Figura 7. 10 representa las curvas en las que se alcanzan determinados valores

del crecimiento de la curvatura relativa (1, 5, 10, 15, 25 y 40%). También se muestra la curva que indica el número de ciclos resistentes, obtenida de la Figura 7. 8 (esta curva indica el fallo de la armadura o del hormigón que tiene lugar antes). Esta curva representa el umbral que las otras no pueden superar.

Viga plana ρ = 1.0%

Mmin/Mu = 0.10

Rotura

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08Ciclos, N

Mom

ento

, Mm

ax/M

u

Ψ/Ψο = 1.01Ψ/Ψο = 1.05

(a)


Mmin/Mu = 0.10

Rotura

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

Ciclos, N

Mom

ento

, Mm

ax/M

u Ψ/Ψο = 1.01Ψ/Ψο = 1.05Ψ/Ψο = 1.10

(b)


Mmin/Mu = 0.10

Rotura

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

Ciclos, N

Mom

ento

, Mm

ax/M

u

Ψ/Ψο = 1.05Ψ/Ψο = 1.10Ψ/Ψο = 1.15Ψ/Ψο = 1.25

(c)


Mmin/Mu = 0.10

Rotura

0.15

0.35

0.55

0.75

0.95

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

Ciclos, N

Mom

ento

, Mm

ax/M

u

Ψ/Ψο = 1.05Ψ/Ψο = 1.10Ψ/Ψο = 1.15Ψ/Ψο = 1.25Ψ/Ψο = 1.40

(d)

Figura 7. 10. Crecimiento de la curvatura de la sección fisurada bajo carga máxima. Viga plana, Mmin/Mu = 0.10: (a) ρ = 1.0%; (b) ρ = 1.5%; (c) ρ = 2.0%; (d) ρ = 2.5%

En las vigas con poca cuantía de armadura, la rotura sucede a un número de ciclos en que el crecimiento de la curvatura ha sido muy pequeño. Así, para el caso con 1.0% de armadura, la curvatura máxima crece menos del 5% para niveles del momento máximo relativo menores del 85%. Para la sección con cuantía de acero del 1.5% el crecimiento es algo mayor, ya que cuando el momento máximo relativo es menor que el 75%, la curvatura crece hasta un 10%.

En vigas con cuantía mayor aumenta el número de ciclos resistentes, y se desarrolla

un mayor incremento de la curvatura. Considerando un porcentaje de armadura del 2.0%, si el momento máximo aplicado es 0.75Mu, la curvatura máxima crece un 5% a


219

los 100 ciclos, un 10% a los 10000 ciclos, y rompe a los 30000 ciclos con una curvatura un 18% superior a la inicial. Si la carga máxima aumenta, el incremento de la curvatura es mayor (hasta un 25% con Mmax/Mu = 0.90). Al disminuir la carga máxima, el fallo es cada vez más frágil: con valores del momento máximo menores de 0.55Mu, la curvatura máxima no llega a superar un crecimiento del 10%.

En la viga sobre-armada (ρ = 2.5%) se producen mayores crecimientos de la

curvatura, dado que también el instante de rotura se retrasa. El incremento máximo cuando el momento es menor que 0.55Mu es del 15%. Si el momento máximo se eleva, la curvatura puede llegar a ser un 40% mayor que la inicial en el instante de rotura (Mmax = 0.90Mu).

7.4. Conclusiones

En este Capítulo se han presentado algunos diagramas que permiten tener en cuenta

el efecto de la fatiga en elementos de hormigón estructural de una forma bastante sencilla. En primer lugar, se han introducido los diagramas esfuerzo – número de ciclos. Éstos suponen un salto cualitativo muy importante respecto de las tradicionales curvas S-N, ya que permiten obtener el número de ciclos hasta rotura de una forma realista. Estos diagramas muestran el número de ciclos resistente frente a fatiga del acero y del hormigón teniendo en cuenta la evolución seccional en el tiempo, empleando la metodología propuesta en esta Tesis.

Por otra parte, estos diagramas permiten observar el número de ciclos resistentes de

la sección por rotura de la armadura o del hormigón. Los gráficos expuestos muestran claramente la gran capacidad redistributiva de las vigas de hormigón armado. De acuerdo a los resultados experimentales tradicionalmente mostrados en la literatura científica (analizados en os Capítulos 2 y 3), se obtiene que el modo de fallo típico por fatiga en vigas es la rotura frágil de la armadura, aún cuando la rotura estática vendría producida por compresión del hormigón. El fallo por fatiga del hormigón comprimido puede obtenerse en elementos sobre-armados cuando la carga máxima es elevada.

En el caso de elementos comprimidos (soportes), se ha analizado en este Capítulo el

efecto positivo, en cuanto a número de ciclos resistentes, que producen el gradiente de tensiones producido por la excentricidad de la carga y la presencia de armadura.

Finalmente, se han presentado unos gráficos con los que se puede analizar de forma

sencilla la evolución de la deformabilidad del elemento durante su vida a fatiga. En elementos poco armados, la prematura rotura por fatiga de la armadura hace que no dé tiempo al desarrollo del proceso de fatiga del hormigón, que quedaría patente a través del crecimiento de la curvatura de la sección fisurada. Esto implica que el fallo por fatiga de los elementos poco armados es fundamentalmente frágil. Este resultado tiene una gran importancia práctica, ya que indica que elementos diseñados para que fallen por plastificación de la armadura pueden romper de forma frágil si están solicitados de forma cíclica, con lo que su capacidad de aviso puede verse limitada. Los diagramas que se han presentado en este Capítulo pueden ayudar a tener en cuenta esta influencia en función de la solicitación y la cuantía de armadura.

A medida que aumenta el porcentaje de armadura, dado que se retrasa la rotura por

fatiga del acero, el desarrollo del proceso de fatiga del hormigón incrementa la


220

deformabilidad de la pieza. El consiguiente incremento de la curvatura seccional hace que el fallo sea más dúctil a medida que aumenta la armadura.

221

Capítulo 8 Conclusiones y líneas futuras de investigación 8.1. Introducción

Este Capítulo presenta las conclusiones alcanzadas con la realización de la Tesis, así como las líneas de investigación que han quedado abiertas para futuros trabajos. La Tesis trata del efecto de la fatiga en elementos de hormigón armado, estudiando su influencia en servicio y en rotura. Se trata de un tema de creciente interés en la Ingeniería Estructural, especialmente desde las últimas décadas, en las que se asigna una importancia creciente a los efectos que influyen en la respuesta estructural durante toda la vida de los elementos.

Particularmente, la fatiga tiene ya una importancia relevante en la respuesta de

componentes estructurales como elementos secundarios de puentes (losas de transición entre estribo y terraplén [Pacheco J.A., 2006], losas de tableros en sentido transversal [Schläfli M. y Brühwiler E., 1998]), elementos de hormigón de infraestructuras ferroviarias (traviesas y vía en placa), o estructuras sometidas al viento o al oleaje [Lenschow R.J., 1985]. Asimismo, el estudio tiene gran interés para el análisis de estructuras antiguas, que fueron diseñadas para cargas menores que las que actúan actualmente [Herwig A., 2008], o elementos reforzados.

La Tesis estaba inicialmente prevista como trabajo teórico, dadas las necesidades

para la complementación a otros trabajos de tipo práctico en el Laboratorio de Estructuras de la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid [Pacheco J.A., 2006]. Sin embargo, finalmente ha contado además con una componente experimental, en la que se han aprovechado elementos disponibles en el Laboratorio (vigas y tirantes).

La Tesis es el resultado de cuatro años de investigación y presenta una metodología

original para incluir la fatiga del hormigón en elementos a flexión. Previamente a este modelo, se elaboró una metodología no predictiva ad-hoc para la interpretación de los resultados experimentales sobre losas de transición de la Tesis de [Pacheco J.A., 2006], presentada en [Zanuy C. et al., 2006]. Posteriormente, se dotó de carácter predictivo a la metodología en el trabajo para la obtención del Diploma de Estudios Avanzados, disponible en [Zanuy C. et al., 2007]. Esta metodología fue de gran utilidad para el entendimiento del fenómeno evolutivo, a pesar de que planteaba algunos problemas teóricos que se han discutido en el Capítulo 3. La presente Tesis resuelve completamente esos problemas y plantea una metodología de análisis completa y original.


222

En el apartado 8.2 se presenta una síntesis de la Tesis. En ella se explica la metodología desarrollada y las cuestiones abordadas. Las conclusiones alcanzadas se reflejan en el apartado 8.3; primero se indican las conclusiones relativas a cada unos de los aspectos estudiados, y a continuación las conclusiones generales aplicables a elementos de hormigón estructural. Finalmente, las líneas de investigación futuras se desarrollan en el apartado 8.4.

8.2. Síntesis

La Tesis aborda el estudio de la respuesta de elementos de hormigón armado que

trabajan a flexión sometidos a fatiga. Para ello se tienen en cuenta los principales mecanismos a través de los que inciden las cargas repetidas en estos elementos, que son tres: fatiga del hormigón en compresión, fatiga del acero de la armadura y fatiga de la adherencia entre hormigón y armadura. El estudio aborda el efecto que estos procesos tienen en el comportamiento en servicio y en rotura.

La estrategia seguida en la Tesis estudia la influencia de la fatiga a través de una

metodología de análisis seccional. Para ello se plantea en primer lugar un modelo de material para el hormigón dependiente del número de ciclos. Este modelo es introducido después en un algoritmo de análisis de la sección fisurada, incluyendo también la incidencia de la fatiga en la armadura. De esta manera se calcula la evolución del estado de tensiones y deformaciones de la sección durante la vida del elemento, incluyendo la obtención del número de ciclos hasta rotura. Finalmente, se considera la importancia de la colaboración de las secciones entre fisuras, que es muy importante para la obtención de las flechas y las fisuras de elementos estructurales, a través del mecanismo de adherencia entre hormigón y armaduras en el bloque traccionado. Esto obliga a pasar del nivel seccional al estructural, tras un estudio intermedio del tirante armado a fatiga. El procedimiento seguido en cada uno de los niveles (material, seccional y estructural) y las conclusiones alcanzadas se presentan en el siguiente apartado 8.3.

Además del desarrollo teórico, se han realizado ensayos de fatiga. En primer lugar,

se han llevado a cabo dos ensayos sobre tirantes de hormigón armado en los que se ha investigado el comportamiento a tracción bajo carga repetida. En segundo lugar, se han realizado tres ensayos de fatiga en vigas de hormigón armado para estudiar la evolución durante su vida a fatiga y el instante de fallo.

La metodología propuesta en la Tesis permite estudiar los problemas que se

planteen de una manera individualizada (dada una pieza con una geometría determinada, unos materiales particulares, y la carga deseada), pero en la Tesis también se han presentado los análisis correspondientes a una serie de casos típicos. De esta manera se han obtenido diagramas que permiten tener en cuenta la influencia de la fatiga en elementos armados de una manera rápida, tanto en servicio como en rotura. Particularmente interesantes, son los diagramas esfuerzo – número de ciclos, que suponen un gran avance respecto de las actuales curvas S-N de los materiales, puesto que en ellos se tiene en cuenta la evolución tenso - deformacional del elemento durante su vida a fatiga y su capacidad redistributiva. Esto permite obtener el número de ciclos de rotura de una forma realista, además de investigar si el tipo de fallo es por rotura del hormigón o de la armadura.

Capítulo 8. Conclusiones y líneas futuras de investigación _

223

8.3. Conclusiones

8.3.1. Fatiga del hormigón en compresión (nivel material)

El hormigón es un material que, cuando se ve sometido a una acción repetida, modifica progresivamente sus propiedades mecánicas. Sin embargo, la forma tradicional de estudio de la fatiga del hormigón tiene como objetivo la obtención del número máximo de ciclos de carga hasta rotura, en función de los niveles de la tensión actuantes, siguiendo la metodología de las curvas S-N, provenientes del campo de los metales. En este sentido, por ejemplo, se acepta que una probeta de hormigón resiste más de diez millones de ciclos cuando está sometida a una carga cíclica en la que la tensión máxima es menor que 0.55fc. A pesar de eso, la carga repetida produce en el hormigón un proceso de microfisuración que se manifiesta macroscópicamente a través del crecimiento de las deformaciones y la reducción de la rigidez. Como se ha comprobado en el estudio del estado del arte llevado a cabo en el Capítulo 2, para poder tener en cuenta la influencia de la fatiga del hormigón en el comportamiento de elementos estructurales, es necesario emplear un modelo de material dependiente del tiempo (cuando se habla del tiempo, se quiere decir número de ciclos) que tenga en cuenta estos cambios.

La primera parte del Capítulo 3 se dedica a la propuesta de un modelo de material

para el hormigón dependiente del tiempo. El modelo está formado por las leyes de evolución de la deformación bajo carga máxima y del módulo de deformación. Estas dos variables siguen una curva de evolución en forma de S durante la vida a fatiga del hormigón. Conocidos ambos parámetros, está totalmente definida la respuesta del hormigón en un determinado instante. En este trabajo se han propuesto leyes de evolución para ambas variables en función del número de ciclos, la calidad del hormigón y los límites entre los que oscila la tensión. Para el ajuste de las leyes de evolución, se han empleado más de un centenar de resultados experimentales sobre probetas centradas disponibles en la literatura científica.

El estudio de los resultados obtenidos en probetas de hormigón cargadas de forma

excéntrica muestra que el número de ciclos hasta rotura es mayor que si hubieran estado cargadas de forma centrada. Este efecto positivo del gradiente de tensiones es debido a la reserva de resistencia que aportan a la probeta las fibras de hormigón menos solicitadas inicialmente y hacia las que se redistribuye una parte de la tensión cuando las fibras más cargadas se deterioran por fatiga. La existencia de un proceso de redistribución de tensiones hace necesario proponer un criterio de acumulación del deterioro por fatiga en procesos cíclicos en los que los límites de la tensión son variables, dado que otros métodos como la regla de Miner se han mostrado inadecuaos para el hormigón.

Para resolver esta cuestión, en el Capítulo 3 de esta Tesis se propone el denominado

método del número de ciclos equivalentes. Se trata de un método cualitativamente similar al denominando del tiempo equivalente, que ha sido utilizado con éxito en problemas de fluencia del hormigón o relajación del acero activo. El número de ciclos equivalentes es un número ficticio de ciclos que habría que aplicar en un proceso ideal de límites tensionales constantes para que se alcance una determinada deformación máxima. Este número de ciclos es empleado para conocer el incremento de deformación que sufre una fibra de hormigón en un proceso de límites de la tensión variables, y


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permite del proceso de tensiones variables mediante su aproximación por una serie de procesos con límites constantes que se enlazan por el número de ciclos equivalentes. También se emplea para conocer el módulo de deformación actualizado del hormigón. El método del número de ciclos equivalentes propuesto en esta Tesis se ha mostrado eficiente y, en su aplicación a la respuesta de elementos de hormigón, ha portado resultados satisfactorios al comparar con resultados experimentales.

La conclusión principal alcanzada tras la propuesta de modelo de material

dependiente del tiempo es que ésta es necesaria para una aplicación estructural realista, que reproduzca fielmente el proceso evolutivo seguido por elementos de hormigón estructural. La modelización del hormigón en función del número de ciclos es necesaria para conocer la respuesta de elementos estructurales, ya que puede ser introducida en métodos de análisis, tales como el método de los elementos finitos. Sin embargo, en esta Tesis se ha propuesto una metodología de análisis seccional, que permite un estudio adaptado a la Ingeniería Estructural de forma muy precisa y comprensible, con grandes ventajas en cuanto a simplicidad, aplicabilidad práctica y contraste experimental con respecto a otros métodos de daño. El siguiente apartado describe el análisis seccional y las conclusiones alcanzadas con el mismo.

8.3.2. Análisis seccional (nivel de la sección fisurada)

En la segunda parte del Capítulo 3 se presenta el algoritmo de análisis seccional que

se ha desarrollado en esta Tesis para conocer la evolución de la distribución de tensiones y deformaciones durante la vida a fatiga de un elemento. En vigas, el análisis se lleva a cabo en la sección fisurada, ya que es en ésta donde las tensiones son más elevadas y, por tanto, donde la sensibilidad a fatiga del hormigón y del acero es mayor. Permite resolver la sección sometida a cualquier combinación de esfuerzos axil y momento.

La estrategia seguida asume que la reproducción del proceso ciclo a ciclo es

ineficiente. Para ello se han desarrollado las leyes de evolución de la deformación y la rigidez comentadas en el aparatado anterior. La vida a fatiga se divide en bloques de ciclos. En este bloque de ciclos, cada fibra de la sección quiere experimentar un incremento de la deformación que tiene una distribución no lineal en el canto de la sección. El algoritmo presentado en la segunda parte del Capítulo 3 resuelve este problema estáticamente indeterminado, y que conlleva el desarrollo de un incremento de tensiones auto-equilibrado en la sección a la vez que crecen las deformaciones manteniendo la hipótesis de deformada plana. El criterio del número de ciclos equivalente es empleado para conocer el incremento de deformación y la rigidez de cada fibra material en cada instante del proceso de fatiga. La selección del paso de tiempo, o número de ciclos de cada bloque, se hace de forma que el máximo incremento libre de la deformación en la sección no sea mayor que un valor impuesto.

El resultado de la metodología desarrollada muestra el proceso de redistribución de

tensiones que tiene lugar dentro de la sección. Se trata de un avance importante respecto de las metodologías más extendidas para obtener la respuesta de elementos de hormigón, basadas en curvas S-N y el estado estático de tensiones. De la manera propuesta, se obtiene la evolución de tensiones y deformaciones realista, se explica la capacidad redistributiva de la sección de hormigón armado, y se obtiene el modo de fallo y el número de ciclos hasta rotura.


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Mediante la metodología propuesta, se obtienen buenos resultados en comparación a

ensayos disponibles. Los resultados obtenidos permiten concluir que la gran capacidad redistributiva de vigas de hormigón armado hace que su fallo típico por fatiga sea debido a la rotura por fatiga de la armadura, de acuerdo a los resultados experimentales existentes en la literatura.

Los análisis llevados a cabo en vigas con hormigón de resistencia normal (35 MPa)

permiten concluir que el fallo por fatiga del hormigón es posible en vigas sobre-armadas (en general con cuantías superiores a 2.00%) ante cargas repetidas en las que el momento máximo supere el 85% del momento de rotura. También es posible el fallo por fatiga del hormigón en elementos comprimidos en los que la capacidad redistributiva queda limitada por el axil actuante.

Otra conclusión alcanzada es que los elementos sometidos a cargas repetidas

experimentan un crecimiento de la deformación importante por el deterioro de la cabeza comprimida, que se refleja a través del crecimiento de las flechas. Una parte muy notable de las deformaciones desarrolladas es de carácter permanente, lo que permite concluir que es necesario tener en cuenta la respuesta del material dependiente del número de ciclos para evaluar el estado de deformaciones, ya que la repuesta estática no tiene en cueanta la presencia de estas deformaciones permanentes.

8.3.3. Adherencia hormigón – acero (nivel seccional no local)

En la respuesta de piezas de hormigón armado sometidas a cargas repetidas

intervienen e interactúan los mecanismos de degradación de los bloques comprimido y traccionado. Es preciso conocer también la evolución del bloque traccionado para calcular de una manera fiable las variables que determinan el comportamiento en servicio de elementos armados, es decir, flechas y fisuras.

El Capítulo 4 estudia el comportamiento del tirante de hormigón armado sometidos

a cargas repetidas, por medio de relaciones tensión de adherencia - deslizamiento. En el tirante se desarrolla un mecanismo de transferencia de tensiones desde la armadura al hormigón, a través de las tensiones tangenciales que se generan en el contacto entre ambos materiales cuado deslizan. El resultado externo del deslizamiento es la abertura de fisuras y la deformación media del tirante. Ambas crecen por la actuación de cargas repetidas, y determinan la deformabilidad del elemento armado. El mecanismo de adherencia hace que el hormigón entre fisuras soporte unas ciertas tracciones, lo que constituye el efecto tension-stiffening. El progresivo deterioro del tension-stiffening debido a la repetición de las cargas es el objetivo de estudio del Capítulo 4.

En ese Capítulo se ha comprobado que la carga repetida actúa modificando la ley de

adherencia entre hormigón y acero, haciéndose más flexible. Este crecimiento depende sobre todo de la tensión tangencial máxima alcanzada y el logaritmo del número de ciclos. Se trata de un proceso no lineal e irreversible en una fracción importante, por lo que las metodologías comúnmente empleadas para el cálculo de fisuras, basadas en la respuesta estática, no son adecuadas para calcular valores remanentes ni para considerar la influencia de la carga repetida. Es por eso que se ha implementado un modelo de tirante que resuelve el problema en función del número de ciclos. En él se han introducido y evaluado las propuestas existentes para modelizar el problema de


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adherencia. Una modelización mediante elementos finitos ha servido para contrastar la metodología presentada, con buenos resultados.

Con la metodología implementada en la Tesis se ha llevado a cabo un análisis de la

influencia de las diferentes variables que intervienen en el problema. El papel más relevante lo juega la cuantía de armadura. Esta influencia la ejerce desde el principio al determinar de una forma importante la separación entre fisuras, pero además en el proceso cíclico influye en la cantidad de tracciones que son traspasadas del acero al hormigón. El estudio teórico concluye con la importancia que tiene la modelización presentada para calcular fisuras y deformaciones permanentes.

El Capítulo 4 termina con la descripción y el análisis de dos ensayos de tirantes de

hormigón armado con ciertas peculiaridades, ya que en ellos se ha estudiado la influencia de un armado complejo, la presencia de barras de acero con diámetros diferentes y grandes, y la incidencia del área eficaz de hormigón. Los ensayos confirman el crecimiento de fisuras y deformaciones bajo carga repetida, mostrando que una fracción importante de su crecimiento se debe al incremento de los valores remanentes. Los resultados, valorados a través del modelo, confirman la necesidad de emplear una metodología dependiente del tiempo como la presentada en la tesis.

8.3.4. Estudio de vigas y columnas (nivel estructural)

La interacción de la degradación de los bloques comprimido y traccionado se

analiza en el Capítulo 5, integrando el comportamiento seccional y el del tirante. En él se propone una metodología que une las desarrolladas en los apartados 3 y 4, y que permite calcular los valores de las flechas y las fisuras bajo carga máxima y mínima. Por un lado, la degradación por fatiga de la cabeza de compresión hace crecer las deformaciones y flexibiliza la respuesta global del elemento. Por otra parte, la progresiva pérdida de la colaboración del hormigón en tracción entre fisuras hace que la curvatura media se aproxime al valor de la curvatura fisurada. Se ha comprobado que este desgaste tiene tres consecuencias importantes. En primer lugar, hace que la deformabilidad crezca y las fisuras aumenten. Por otra parte, al ser progresivamente menor la fracción de las tracciones que soporta el hormigón entre fisuras (efecto tension – stiffening), aumenta la longitud de las barras de la armadura en la que la oscilación de tensiones se aproxima a la de la sección fisurada, por lo que aumenta la probabilidad de rotura del acero por fatiga. En tercer lugar, resulta en el incremento de los valores residuales de flechas y fisuras que definen el comportamiento en servicio.

La conclusión alcanzada es que para tener en cuenta el efecto de las cargas repetidas

en la respuesta en servicio de elementos de hormigón armado es necesario emplear una metodología evolutiva como la presentada en esta Tesis, ya que las flechas y las fisuras pueden ser apreciablemente mayores que las estáticas, y se hace obligatorio si se desea calcular valores permanentes.

8.3.5. Ensayos de vigas de hormigón armado

La tesis ha contado en el Capítulo 6 con una campaña experimental sobre tres vigas

de hormigón armado cargadas de forma repetida con una solicitación de flexión en cuatro puntos. Dos vigas tenían una cuantía de armadura longitudinal baja (0.64%) y la otra alta (2.51%). Ninguna tenía armadura de cortante.


227

En primer lugar, los resultados experimentales han confirmado la validez de las

metodologías teóricas propuestas en la Tesis. Mediante su utilización se ha podido explicar la evolución de deformaciones, flechas y fisuras durante los ensayos, bajo carga máxima y mínima,

En las vigas con cuantía de acero baja el fallo ha tenido lugar por fatiga de la

armadura, de acuerdo a lo esperado aunque en un número de ciclos bastante bajo debido a la presencia de detalles soldados. Este resultado confirma la necesidad de evitar soldaduras en elementos sometidos a cargas repetidas. La viga con cuantía alta de acero ha roto por fatiga de cortante. El análisis comparativo con otros trabajos existentes en la literatura permite asegurar que la fatiga de cortante es una línea de investigación interesante para el futuro, ya que existe una falta de modelos teóricos y reglas para tenerlo en cuenta (especialmente en elementos sin cercos) y, por otra parte, es un modo de fallo frágil que requiere atención.

En cuanto al crecimiento de las flechas, el análisis ha concluido que en las vigas

débilmente armadas ha sido debido fundamentalmente al deterioro de la adherencia entre hormigón y armadura en el bloque traccionado, mientras que en el otro extremo, en la viga fuertemente armada ha sido debido principalmente al crecimiento de deformaciones por fatiga del hormigón en compresión.

Los ensayos han permitido estudiar con detalle la fase de rotura de las vigas. Así,

cuando se ha roto la primera barra por fatiga crece la oscilación de tensiones en las barras laterales, lo que hace que la vida remanente de la sección rota sea escasa. La forma de fallo, cuando es debido a la armadura, es frágil, apareciendo una fisura transversal que atraviesa completamente la sección rota. El fallo por cortante tiene lugar por rotura de la cabeza comprimida cuando ésta se ha visto reducida por la anterior formación de una fisura diagonal. La fisura diagonal se forma por inclinación y coalescencia de fisuras de flexión y se desarrolla progresivamente penetrando en la cabeza comprimida por un lado, y alargándose en horizontal al nivel de la armadura de flexión por el otro.

8.3.6. Conclusiones finales. Fatiga de elementos de hormigón armado

A partir del trabajo desarrollado en la Tesis, se puede concluir con las siguientes

recomendaciones y propuestas:

• La fatiga del hormigón en compresión es un proceso de progresiva microfisuración que se manifiesta macroscópicamente mediante el cambio de sus propiedades mecánicas: con el número de ciclos de carga, aumentan las deformaciones totales y permanentes y disminuye la rigidez del material. El cambio de las propiedades mecánicas del hormigón es más pronunciado a medida que aumenta la tensión máxima.

• Para tener en cuenta la influencia de la fatiga del hormigón en la respuesta de

elementos estructurales es necesario emplear una metodología dependiente del tiempo como la presentada en esta Tesis. De esta manera se puede obtener la evolución de tensiones y deformaciones durante la vida a fatiga y evaluar el


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número de ciclos resistentes en función de la capacidad redistributiva de la sección armada.

• El progresivo deterioro de la adherencia entre barras de acero y hormigón en

tracción es el responsable del crecimiento de deformaciones y fisuras en elementos armados traccionados sometidos a carga repetida, así como de la pérdida de colaboración del hormigón en tracción entre fisuras, efecto tension – stiffening. El deterioro depende sobre todo de la tensión de adherencia máxima alcanzada.

• Para el cálculo de fisuras en elementos sometidos a cargas repetidas, debe

considerarse la situación de fisuración estabilizada, ya que el mapa de fisuras longitudinales se forma completamente en un número muy bajo de ciclos. Si hay armadura transversal, las fisuras se forman en las secciones donde hay cercos, siempre que su separación sea menor que la separación teórica entre fisuras.

• El empleo de una metodología que tenga en cuenta la evolución de las leyes

tensión de adherencia – deslizamiento, como la que se presenta en esta Tesis, es necesario para evaluar el crecimiento de flechas y fisuras máximas, y fundamental para calcular sus valores remanentes.

• El crecimiento de la abertura de fisura y las flechas remanentes es el resultado más

visible y frecuente del efecto de las cargas repetidas en elementos estructurales reales.

• La metodología implementada en esta Tesis es una herramienta adecuada para la

obtención de los diagramas esfuerzo – número de ciclos. Se ha proporcionado una primera colección de estos diagramas, que son muy útiles para evaluar de una forma rápida la forma de rotura por fatiga de elementos armados y el número de ciclos. Suponen un salto cualitativo con respecto a las tradicionales curvas S-N, ya que incluyen la evolución del elemento de una forma realista según el modelo de material dependiente del tiempo.

• En elementos comprimidos, el número de ciclos hasta rotura por fatiga del

hormigón en compresión crece al aumentar la excentricidad de la carga y el porcentaje de armadura. Así, por ejemplo, considerando que el elemento no se rompe cuando el número de ciclos resistentes es mayor que 100 millones, la carga máxima aplicable a un soporte cargado de forma centrada pasa del 51% de la última cuando no está armado, al 59% cuando tiene una cuantía total del 1.0%, o al 65% cuando la cuantía es del 3.0%. Si la excentricidad relativa es 1/6, la carga máxima relativa aplicable en un soporte armado es del 55% sin armadura, del 60% con una armadura del 1.0% y del 70% con una armadura del 3.0%. Estos valores están dados para una carga mínima del 10% de la última y una resistencia del hormigón de 35 MPa.

• En vigas, la gran capacidad redistributiva hace que el fallo por fatiga típico sea

debido a la rotura frágil de las barras de la armadura. Según los cálculos realizados para vigas con hormigón de resistencia normal (35 MPa), el fallo por fatiga del hormigón en compresión puede tener lugar en elementos sobre-armados (cuantía mayor que el 2.0%) cuando la carga máxima es muy alta (al menos el 85% de la de rotura). Esto indica que elementos diseñados para tener un fallo dúctil por


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plastificación de la armadura bajo carga estática pueden fallar por rotura frágil del acero si la carga es de tipo repetido.

• Dado que la vida a fatiga de una viga está, por tanto, principalmente determinada

por el número de ciclos resistentes de la armadura, si se desea aumentar la resistencia a fatiga de la viga, es necesario aumentar la cuantía de armadura. Para una viga plana, en que la carga permanente sea pequeña (momento mínimo del 10% del último), el número de ciclos resistentes es de 10 millones con una cuantía del 0.5% si el momento máximo no supera el 35% del último. Si la cuantía aumenta al 2.5%, el momento máximo aplicable puede alcanzar el 40% del último. Si la carga mínima es mayor (25% de la última), el momento máximo aplicable para resistir 10 millones de ciclos pasa a ser el 50 y el 55% del último, con porcentajes de acero del 0.5 y 2.5% respectivamente.

• El cálculo de la vida a fatiga de la armadura es más realista si se realiza

considerando el proceso evolutivo, como se hace en esta Tesis. El cálculo del número de ciclos basado en la oscilación de tensiones del primer ciclo no tiene en cuenta los continuos cambios en el nivel de la tensión de la armadura y en su oscilación, debida a la progresiva reducción de la rigidez de la sección.

• Respecto de la fatiga de la armadura, el deterioro de la adherencia también

aumenta la sensibilidad a rotura de las barras. El progresivo desgaste de la colaboración del hormigón entre fisuras hace que mayores tensiones tengan que ser soportadas por la armadura entre fisuras, lo que hace que una longitud mayor de las barras se vea sometida a mayores tensiones, aumentando la longitud de posible rotura y su probabilidad de ocurrencia.

• Debido a que el fallo típico por fatiga de vigas armadas es debido a la armadura, la

rotura tiene lugar antes de que se desarrolle completamente el proceso de crecimiento de deformaciones por fatiga de la cabeza comprimida. Esto hace que el fallo sea más frágil cuanto más lejos esté el fallo por fatiga del hormigón, es decir, en vigas poco armadas. Una viga plana en la que el momento mínimo es el 10% del último, con un 1.0% de armadura de flexión, experimenta un crecimiento de la curvatura fisurada bajo carga máxima inferior al 5% en el instante de rotura cuando el momento máximo es menor que el 85% del último. Si la cuantía aumenta al 1.5%, el crecimiento es del 10% para un momento máximo del 75% del último. En vigas sobre-armadas (cuantía del 2.5%) el crecimiento de la curvatura máxima es del 15% con un momento máximo del 55% del último, y puede llegar a ser de un 40% si el momento máximo es del 90%.

• En vigas débil o normalmente armadas (cuantías de flexión hasta el 2.0%), el

crecimiento de las flechas que aparece cuando la carga es de tipo repetida, se debe fundamentalmente al deterioro de la adherencia entre armadura y hormigón traccionado, acercándose la curvatura media a la curvatura fisurada que apenas crece. En vigas fuertemente armadas (cuantía mayor que el 2.0%), el crecimiento de flechas es debido principalmente al crecimiento de deformaciones debido a la fatiga del hormigón de la cabeza de compresión, creciendo por tanto la curvatura de las secciones fisuradas y arrastrando a las secciones medias.


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• En estructuras sometidas a cargas repetidas se deben evitar las soldaduras en las armaduras. La soldadura fragiliza el acero y la resistencia fatiga se reduce drásticamente. Con una oscilación de tensión de 100 MPa, el número de ciclos resistentes puede reducirse en dos órdenes de magnitud.

• La fatiga por cortante es un tema en el que es necesaria mayor investigación, sobre

todo en ausencia de cercos. En general, el fallo por cortante se origina con la formación de una fisura diagonal por inclinación y unión de fisuras de flexión. Esta fisura se va progresivamente prolongando en dos sentidos: por un lado se propaga de forma horizontal en paralelo a la armadura de flexión, y por otro penetra en la cabeza comprimida. La consiguiente reducción de la cabeza comprimida es la responsable del fallo final de la pieza al romperse el hormigón. Un criterio conservador para evitar la formación de la fisura diagonal es que el cortante bajo carga máxima no supere el 40% del cortante último.

• La detección de roturas de barras por fatiga en elementos armados se observa

experimentalmente a través de un repentino crecimiento en la abertura de las fisuras y en el valor de las flechas. Por tanto, una instrumentación sencilla en elementos susceptibles de rotura por fatiga sería capaz de detectar este fallo y evitar la rotura total por fractura de más barras, dado que existe un margen de ciclos entre ambos sucesos.

8.4. Líneas futuras de investigación

Esta Tesis ha estudiado la influencia de la fatiga en elementos de hormigón armado

sometidos a cargas repetidas que trabajan fundamentalmente a flexión. A lo largo de la Tesis, han surgido las siguientes posibilidades para investigaciones futuras:

• El efecto de la fatiga del hormigón en compresión está acompañado en elementos

estructurales de otros efectos dependientes del tiempo, como la fluencia. La metodología de análisis seccional presentada en esta Tesis permitiría la inclusión del acoplamiento de ambos fenómenos de una manera relativamente sencilla, dado que supondría la inclusión de otro incremento de deformación debido a la fluencia con respecto al desarrollado debido a la fatiga.

• El estudio de la fatiga por cortante es una línea de investigación muy abierta sobre

la que poco se ha tratado hasta el momento, especialmente desde el punto de vista teórico. A la dificultad inherente a la fatiga, hay que añadir los problemas propios del cortante, especialmente en elementos sin armadura transversal.

• Este trabajo ha tratado de hormigones de resistencia normal. En el futuro se deben

observar las particularidades del hormigón de alta resistencia. Este hormigón es más frágil y, por tanto, las leyes de evolución de sus propiedades en fatiga (crecimiento de deformaciones y reducción de rigidez) deben tener en cuenta estas particularidades.

• El estudio del problema de adherencia se debe ampliar al caso de tirantes

pretensados, y su extensión a vigas pretensadas, en los que la fisura se cierra bajo carga mínima. Por tanto, para ello es necesaria la inclusión de la parte de las leyes de adherencia en las que se produce cambio de signo del deslizamiento.


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• La evolución del área eficaz con las cargas repetidas también es un tema de interés

para su aplicación a problemas de fisuración. En este sentido, la modelización mediante elementos finitos parece una vía de resolución adecuada.


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Chapter 8 Conclusions and future work 8.1. Introduction

This chapter presents the conclusions of the Thesis and the research subjects open for future work. The Thesis deals with the fatigue effect on reinforced concrete elements, both in serviceability and ultimate state. The interest in this subject has been increasing in the last decades within the Structural Engineering, since fatigue must be considered for a correct lifetime – oriented structural design.

In fact, fatigue already plays a relevant role in the performance of structural

components like secondary members of bridges (e.g. approaching slabs [Pacheco J.A., 2006] or deck slabs [Schläfli M. y Brühwiler E., 1998]), railway concrete members (sleepers or slab track), offshore structures [Lenschow R.J., 1985] or structures subjected to wind loading. The study is also interesting for the evaluation of the remaining carrying capacity of older structures subjected to increased loads with respect to those again they were designed [Herwig A., 2008]. Fatigue should be accounted for in strengthening and repairing operations.

The Thesis was initially conceived as a theoretical study to complement the

experimental works performed in the Laboratory of Structures of the School of Civil Engineering at the Universidad Politécnica de Madrid [Pacheco J.A., 2006]. Nevertheless, it has finally included an experimental part, employing some available specimens in the Laboratory (reinforced concrete beams and ties).

The Thesis is the result of a four year research to develop an original approach to

include the fatigue of concrete in the structural analysis of concrete members. A previous simpler and non-predictive approach was used for the analysis of the test results of [Pacheco J.A., 2006], presented in [Zanuy C. et al., 2006]. The predictive character was then incorporated in [Zanuy C. et al., 2007]. Although this methodology was very useful to understand the fatigue evolution process, some theoretical difficulties still remained. Such problems have been completely solved in the present Thesis.

Section 8.2 presents a brief synthesis of the work, showing the involved issues. The

conclusions are then given in Section 8.3. Particular conclusions of each subject are firstly drawn, and overall conclusions and recommendations for structural concrete members are then detailed. Finally, the questions open for future work are indicated in Section 8.4.


234

8.2. Synthesis The Thesis deals with the response of reinforced concrete elements subjected to

bending fatigue. Repeated loading may affect these elements through three mechanisms: fatigue of concrete in compression, fatigue of the steel reinforcement, and fatigue of bond between concrete and steel. Their influence on the serviceability behavior and the ultimate state has been investigated.

The Thesis is based on a sectional strategy including the fatigue influence. For this,

the fatigue problem is studied in three levels: material (evolution of strains), sectional (evolution of curvatures) and structural (evolution of deflections and crack widths). First of all, a time – dependent (i.e. cycle - dependent) material model for concrete has been developed. This material model is then introduced in a sectional algorithm which analyzes the cracked section, including the fatigue effect of both the reinforcement and the concrete zone. This methodology enables the calculation of the stress and strain evolution over the section depth during the fatigue life. The maximum bearable number of cycles is also obtained, due to either fatigue of the reinforcement or fatigue of concrete in compression. The mode of fatigue failure may be therefore investigated. Once the time-dependent effects are locally accounted for at the cracked section, the role played by the contribution of concrete in tension in sections between cracks is evaluated. The evolution of the bond properties between the reinforcement and concrete with the number of cycles is included in the developed methodology, so that crack widths and deflections of beams and columns may be calculated. The procedure followed in each level (material, sectional and structural), as well as the conclusions, are summarized in the next Section 8.3.

The Thesis has included two experimental campaigns to complement the numerical

approach. First of all, two fatigue tests on tensioned reinforced concrete ties have been performed. Then, three fatigue experiments on reinforced concrete beams have been carried out.

The methodology proposed in this Thesis is suitable to analyze a particular problem,

that is, the fatigue response of a single member with given geometry, materials and loads may be reproduced. However, some series of typical reinforced concrete section have been analyzed in order to provide recommendations that may be easily accounted for by practice engineers. Force – number of cycles diagrams have been obtained, such as they provide the maximum bearable number of load excursions of a determined reinforced concrete element. These diagrams overcome most difficulties of the S-N curves, which do not take into account the evolution process and the capacity of redistribution of stresses. The mode of fatigue failure is therefore investigated in a realistic way.

8.3. Conclusions

8.3.1. Fatigue of concrete in compression (material level)

Fatigue of concrete in compression is a progressive degradation process of the

mechanical properties. In spite of this, most existing investigations dealing with fatigue of concrete have been aimed to obtain the maximum bearable number of load cycles, within the well – known concept of material – based S-N curves. These curves arise


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from the field of metallic structures and they provide the number of load excursions with regard to the stress levels of the cyclic action. For instance, it is generally accepted that the fatigue life of a centrically loaded concrete specimen is larger than ten million cycles when the maximum stress does not overcome 0.55fc. But S-N curves do not give information about the material evolution. Under repeated loading, concrete suffers a microcracking process which is externally visible through the increase of total and permanent strains and the decrease of the stiffness. As it has been shown in the state of the art report performed in Chapter 2, a time-dependent material model (i.e. dependent on the number of cycles and the stress history) for concrete accounting for the mechanical changes with the number of cycles is necessary to study the structural influence of the fatigue process.

The first part of Chapter 3 is aimed to obtain the time-dependent model for concrete

in compression. The model is composed by the evolution laws of the maximum strain and the modulus of deformation, with regard to the number of cycles, the concrete quality and the stress levels. These two variables follow S-shaped evolution curves with the number of cycles. With both variables, the behavior of concrete at a lifetime instant is completely defined. More than one hundred experimental results under constant stress limits available in the literature have been employed to fit the evolution curves.

By investigating the response of eccentrically loaded concrete specimens, it is

shown that the fatigue life increases with the eccentricity. The positive effect of the stress gradient is due to the additional strength provided by the less initially stressed concrete fibers. The stress of the most fatigued fibers is redistributed to the less damaged ones. The existence of such a process of redistribution of stresses shows that it is necessary to propose an accumulation criterion to account for the fatigue degradation under variable stress limits. Other methodologies like the Miner’s rule are not suitable for nonlinear materials like concrete, providing either unsafe or too conservative results depending on the stress history.

A new accumulation criterion is suggested in Chapter 3, which is called the

equivalent number of cycles. It is conceptually similar to the equivalent time, which has been successfully employed in creep problems of concrete or relaxation of the prestressing steel. The equivalent number of cycles is the number of load excursions that are necessary to be applied in a constant stress limit fatigue process to obtain a determined maximum strain. The equivalent number of cycles is employed to know the strain increment of a concrete fiber within a cross-section in a fatigue process with variable stress limits. It is also employed to calculate the actual modulus of deformation of each concrete fiber. The method of the equivalent number of cycles proposed in this Thesis has shown to be efficient to obtain the response of reinforced concrete elements, providing satisfactory results.

After presenting the time-dependent material model for concrete under fatigue, it is

concluded that such a model is compulsory for a realistic study of the structural evolution, so that the evolution process can be adequately reproduced. The concrete model may be introduced in numerical methods, such as the finite element method. Nevertheless, in this Thesis an original sectional strategy has been developed. It enables a precise and understandable analysis for Structural Engineering. The sectional analysis is described in the next Section, as well as the conclusions reached.


236

8.3.2. Sectional analysis (cracked section level) The second part of Chapter 3 presents the sectional algorithm that has been

developed in this Thesis to reproduce the evolution of strains and stresses over the section height during the fatigue life. The algorithm is able to reproduce the general case of a section subjected to both moment and axial force. In beams, the analysis is carried out at the cracked section, since here is where stress levels and oscillation are higher. Fatigue sensibility of concrete and steel is therefore higher.

The strategy assumes that the reproduction of the fatigue process cycle by cycle

employing unloading and reloading equations is inefficient. Because of this, evolution laws for the maximum strain and the stiffness have been proposed in the concrete time-dependent model. The fatigue life is subdivided in block of cycles. Each time step is composed by a block of cycles. The free fatigue effect of each time step is a nonlinear strain increment over the cross-section. The sectional algorithm of Chapter 3 solves such a statically indeterminate problem. The ‘plane sections remain plane’ hypothesis, as well as compatibility between concrete and steel strains, is imposed. For concrete, the time-dependent material from Chapter 2 is introduced. An elastic-perfectly plastic behavior for reinforcing steel is assumed. The result of a time step is the formation of an auto-equilibrated stress increment over the section height and the increase of strains, maintaining the plane section.

The method of the equivalent number of cycles is employed to know the free strain

increment and the stiffness of each concrete fiber at a lifetime instant. The duration of a time step is chosen such as the maximum free strain increment over the section height is controlled.

The overall result reproduces the redistribution of stresses within the cross-section.

It is an accurate tool to evaluate the fatigue sensibility based on the realistic sectional evolution. Since the capacity of redistribution is accounted for, the fatigue life is calculated overcoming the difficulties of other methodologies only based on the static stress state and material – based S-N curves. The maximum bearable number of load cycles is here calculated taking into account the time-dependent evolution, investigating the type of fatigue failure (i.e. due to either fatigue concrete in compression or fatigue of the steel rebars).

The computed results compare favorably with existing experimental results.

Moreover, the presented methodology explains why most beam tests in the literature finish with the brittle fracture of the steel rebars, even under high loads where fatigue of concrete could be expected employing methodologies based on the static stress state. The large capacity of redistribution governs the mode of failure.

For beams with normal strength concrete (35 MPa), the study has shown that fatigue

failure of concrete can take place in over-reinforced elements (steel reinforcement ratio higher than 2.0%) under repeated loading when the maximum bending moment overcomes 85% of the ultimate moment. Furthermore, fatigue collapse of concrete may occur in columns, where the capacity of redistribution is limited.

The analysis also shows that elements under repeated loading may experiment a

notable increase of deformations due to the degradation of the compression zone.


237

Moreover, a considerable fraction is remnant, i.e. irreversible. Because of this fact, it is concluded that the time-dependent modeling is compulsory when calculating the structural state under minimum load, since it is not included in static methodologies.

8.3.3. Bond between concrete and reinforcement (non-local section level)

The response of reinforced concrete elements under repeated loading is governed by

the interaction of the evolution of both the compression and tension chords. Their interaction must be accounted for in order to evaluate the serviceability behavior of concrete members, that is, the evolution of deflections and crack widths.

Chapter 4 studies the behavior of the reinforced concrete tie under repeated loads by

means of the bond – slip mechanism. In the reinforced tie, stresses are transferred from the steel reinforcement to the tensile effective concrete area between cracks. This is due to the bond stresses that are developed at the concrete – steel interface when both materials slip. Cracks and deformations are the external result of the bond problem. Due to the bond mechanism, concrete carries a certain amount of tensile stresses between cracks, which is called the tension – stiffening contribution. Repeated loads make crack widths and deformations increase with the number of cycles. As well, the concrete contribution between cracks is progressively reduced.

Chapter 4 first studies how repeated loads modify the local bond – slip relationship.

This degradation is highly dependent on the maximum bond stress and the logarithm of the number of cycles. Bond – slip relations are strongly nonlinear, and the degradation with number of cycles is irreversible. This is why the commonly employed methodologies to calculate cracks and deflection, based on the monotonic response, are not adequate to obtain the response of members under repeated actions or residual values. Therefore, a model to solve the evolution of the tension chord was necessary and has been implemented. The model solves the tie problem in a 1-D methodology. Some existing evolution laws of the bond – slip relation have been introduced and analyzed. A 3-D finite element model has also been performed in order to verify the capabilities of the simpler and easily handled 1-D model.

A parametric study on the influence of the different variables on the bond problem

has been carried out. The steel reinforcement ratio has shown to be the most important variable on the reinforced tie response. This role is played since the steel percentage governs the distance between cracks, but also through the amount of tensile stresses that are transferred from the reinforcement to the effective concrete area during the cyclic process. The developed approach shows how a cyclic modeling is necessary to calculate permanent crack widths and deformations.

Chapter 4 finishes with the description and analysis of the experimental campaign

on two complex reinforced concrete ties under repeated loads. The presence of complex reinforcement patterns (steel rebars with different diameter, even large diameters) and the incidence of the effective concrete area have been analyzed. The tests results confirm the continuous increase of crack widths and deformations, showing that a considerable fraction of the increase is due to the residual values. The employ of the time-dependent methodology has shown to be compulsory against monotonic-based models which do not account for the cyclic influence.


238

8.3.4. Beams and columns (structural level) The interaction of the influence of the evolution of the compression and tension

chords on the overall behavior of flexural members is made in Chapter 5. A methodology to calculate cracks and deflections under cyclic loading is developed, coupling the algorithms of Chapters 3 and 4. On the one hand, the fatigue process of the concrete compression zone increases curvatures (in particular, the cracked curvature) and the sectional compliance. On the other hand, the progressive reduction of the contribution of concrete in tension between cracks enlarges the overall compliance and increases crack widths and curvatures (the average curvature approaches the cracked curvature). Besides these, as the tensile force carried by the concrete area between cracks is reduced, a longer length of the steel rebars is subjected to the maximum stress oscillation, which makes fatigue fracture of the reinforcement more probable.

The results show that crack widths and deflections are larger under cyclic loading

than their static values, which makes necessary the employ of a time-dependent methodology to evaluate these values, as it has been developed within this Thesis. Moreover, these time-dependent models are compulsory to calculate residual values, since they govern the serviceability behavior of concrete structures.

8.3.5. Tests on reinforced concrete beams

An experimental campaign has been carried out on three reinforced concrete beams

under repeated loading. They were loaded under four-point bending. Two beams were lightly reinforced (0.64%) and the other one was over-reinforced (2.51%). They did not contain shear reinforcement. The experimental campaign is described in Chapter 6.

First of all, the experimental results have confirmed the validity of the time-

dependent methodologies presented in previous chapters. By employing them, the evolution of strains, deflections and crack widths has been studied under maximum and minimum loads during the fatigue life.

Lightly reinforced beams failed due to the brittle fracture of the steel rebars as it was

expected. Nevertheless, the number of cycles has been quite low due to presence of welded details. This result adverts about the necessity to avoid welding in reinforced elements subjected to repeated loads. The over-reinforced beam failed by shear fatigue. A comparative study taking into account other experimental studies from the literature shows that shear fatigue is an open research subject where a lack of theoretical models and design rules still exists, especially in elements without stirrups. Moreover, it is a brittle failure mode requiring attention.

The analysis of the evolution of deflections has concluded that, in lightly reinforced

beams, the increase is mainly due to the progressive degradation of bond between concrete and the reinforcement in the tension chord. In over-reinforced beams, the increase of deflections is mostly governed by the fatigue process of the concrete compression zone.

The failure stage of the beams has been further studied. After one of the steel rebars

of the beams with low steel percentage failed, the stress oscillation of the other rebars became larger. Therefore, the remaining rebars failed soon thereafter. The failure


239

pattern shows a wide transverse crack crossing the broken section. The shear fatigue failure takes place after a diagonal crack has appeared. This diagonal crack is formed by inclination and coalescence of the existing flexural cracks and develops along the beam at the level of the steel reinforcement as well as it penetrates inside the compression zone, reducing its depth. Once the compression head has been reduced, failure is due to crushing of concrete in this section.

8.3.5. Global conclusions. Fatigue of reinforced concrete elements

The detailed analysis presented in Chapters 2 to 7 has allowed the development of

the next conclusions and proposals: • Fatigue of concrete in compression is a process of progressive microcracking

which is observed at the macroscopic level by the change of the mechanical behavior: with the number of cycles, total and permanent strains increase and stiffness decreases. The higher the maximum stress level, the larger the change of the mechanical properties of concrete.

• A time-dependent model for concrete (i.e. dependent on the number of cycles

and the stress – strain history) in compression is necessary to account for the fatigue influence on the response of concrete structures. This Thesis has presented a model which is able to analyze the stress and strain evolution during the fatigue life. The calculation of the maximum bearable number of load cycles is also possible, accounting for the capacity of redistribution of stresses.

• The progressive reduction of bond between concrete and the steel reinforcement

in tension is the governing factor of the increase of crack widths and tensile deformations under cyclic loading. This process also leads to the reduction of the contribution of concrete in tension between cracks (tension-stiffening effect). The decay of the bond properties is mainly dependent on the maximum bond stress level.

• The employ of a methodology taking into account the evolution of the local

bond – slip relationships is necessary to evaluate the increase of deflections and crack widths under repeated load. The methodology proposed in this Thesis is able to calculate these values under maximum and minimum loads, overcoming the difficulties given by other monotonic-based models.

• The calculation of crack widths in elements subjected to repeated loads must be

carried out from the complete crack pattern at the stabilized cracking phase, since cracks are fully developed within the first few thousand cycles. Moreover, in elements with shear reinforcement, cracks appear at the location of the stirrups when its spacing is smaller than the theoretical distance between cracks.

• The increase of residual deflections and crack widths is the most visible effect

on real concrete structures subjected to cyclic loading and governs their serviceability behavior.

• The methodology implemented in this Thesis is a useful tool to obtain force –

number of cycles diagrams. These diagrams enable an easy and fast evaluation


240

of the fatigue sensibility of a concrete cross-section. They include the number of cycles to fatigue failure of the steel reinforcement and the compression zone with regard to the external forces. They are a step forward from traditional material – based S-N curves, since the time-dependent response is considered in a realistic way.

• In compressed members (columns), the number of cycles to fatigue failure

increases with the load eccentricity and the steel percentage, since the capacity of redistribution is improved. For instance, considering that 100 million load cycles define the endurance limit, the maximum bearable load of a centrically loaded specimen is 51% of the ultimate load when it is not reinforced; 59% when the steel percentage is 1.0%; and 65% when the steel percentage is 3.0%. If the relative eccentricity is 1/6, the maximum relative load is 55% with no reinforcement; 60% with a steel reinforcement of 1.0%; and 70% with a steel percentage of 3.0%. These values are calculated when the minimum load is 10% of the ultimate load and the concrete compressive strength is 35 MPa.

• In beams, the large capacity of redistribution of stresses explains that the typical

fatigue failure is due to the fracture of the reinforcement. The analysis shows that fatigue of concrete in compression may take place in over-reinforced beams (steel percentage higher than 2.0%) when the maximum load is very high (larger than 85% of the ultimate load). These values correspond to members with normal strength concrete (35 MPa). From these results, it is concluded that elements designed to have a ductile static failure by yielding of the reinforcement exhibit a brittle failure under repeated load, leading to little advance warning.

• As the fatigue life of reinforced beams is mainly controlled by the number of

cycles of the reinforcement, their fatigue strength may be improved increasing the steel percentage. For instance, a slab-like beam with a low dead load (10% of the ultimate load) can resist ten million cycles with a steel percentage of 0.5% when the maximum moment does not overcome 35% of the ultimate moment. If the reinforcement ratio increases to 2.5%, the maximum moment is 40% of the ultimate moment. If the minimum load is larger (25% of the ultimate load), the maximum bearable moment to withstand 10 million cycles becomes 50 and 55% of the ultimate moment, with steel reinforcement ratios of 0.5% and 2.5%, respectively.

• The calculation of the number of cycles to failure of the reinforcement is more

realistic if the time-dependent evolution is accounted for, as it is proposed in this Thesis. A static-based calculation does not take into account the progressive increase of the steel stress oscillation due to the reduction of the sectional stiffness.

• The progressive loss of bond between concrete and the reinforcement in the

tension chord reduces the contribution of concrete in tension between cracks. Because of this fact, a longer length of the reinforcement is subjected to higher stress levels and oscillation, which may accelerate the fatigue sensibility of the steel rebars.


241

• Since the typical mode of fatigue failure of reinforced concrete beams is due to the fracture of the reinforcement, failure takes place before the full strain increase originated by the fatigue process of concrete in compression is developed. The fatigue failure is therefore more brittle when the fatigue safety of concrete is fulfilled, that is, lightly reinforced beams. A slab-like beam subjected to a low dead load (10% of the ultimate load) only increases a 5% its maximum curvature at the failure time when the maximum moment is lower than 85% of the ultimate moment and the steel percentage is 1.0%. If the reinforcement ratio is 1.5%, the maximum curvature increases 10% when the maximum moment is 75% of the ultimate moment. In over-reinforced beams (steel percentage higher than 2.5%) the increase of the maximum curvature is 15% under a maximum moment 55% of the ultimate moment, and may be 40% under a maximum moment 90% of the ultimate moment.

• The increase of deflections experimented by lightly and normally reinforced

concrete beams (steel reinforcement ratio up to 2.0%) is mainly due to the degradation of bond between concrete and the reinforcement in the tension chord. Because of this fact, the average curvature approximates the value of the cracked curvature. In over-reinforced beams (steel reinforcement ratio higher than 2.0%), the increase of deflections is mainly governed by the strain increment caused by the fatigue process of the concrete compression zone, which leads to increasing cracked curvatures.

• Welding details should be avoided in reinforced concrete elements subjected to

repeated actions. Welding dramatically reduces the fatigue life of the reinforcement. Under a stress oscillation of 100 MPa, the resistant number of cycles may be reduced 100 times.

• Shear fatigue is a subject needing major research. In general, shear fatigue is

originated by the formation of a diagonal crack by inclination and coalesce of flexural cracks. This diagonal crack propagates downwards along the tensile reinforcement and upwards inside the compression zone. Since the compression depth is reduced, failure takes place by crushing of concrete. A deep theoretical understanding of the formation and propagation of the diagonal crack is still missing. A conservative criterion suggests that this crack is not originated when the maximum shear is lower than the ultimate shear force.

• Simple monitoring activities would be very useful to detect fatigue problems in

fatigue-sensible structures, since the fracture of a steel rebar or the formation of a diagonal crack implies a sudden increase of crack widths and deflections. By this way, further rebar fractures or the extension of the diagonal crack may be avoided and reparation activities be developed on time.

8.4. Future work

From the studies carried out in this Thesis, the next research topics may be suggested as areas for future work:

• Fatigue of concrete in compression may be accompanied by other time-

dependent effects, like creep. The sectional strategy presented in this Thesis is


242

useful for coupling both creep and fatigue effects, since concrete creep may be added as an additional strain increment within each time step. A suitable creep function should be selected.

• Shear fatigue is an open line for future research slightly studied up to now,

especially from the theoretical point of view. In this case, inherent difficulties due to fatigue and remaining problems on shear (mainly in elements without shear reinforcement) need to be solved.

• This Thesis has dealt with normal strength concrete. The particularities of high

strength concrete may be accounted for. As this is a more brittle material, the evolution laws for the strain and the stiffness must be reviewed.

• The study of the evolution of bond under cyclic actions may be extended to

prestressed concrete ties (and therefore to prestressed beams). The effect of reversal stresses and the change of the slip sign (crack closure) need to be included.

• The evolution of the effective tension concrete area under repeated loading is an

interesting subject for crack problems. The finite element method seems to be a reliable tool for investigating this influence.

243

Bibliografía 1. Aas-Jakobsen K.: Fatigue of concrete beams and columns, University of

Trondheim, Norway, Division of concrete structures, 1970.

2. Aas-Jakobsen K. y Lenschow R.: Behavior of reinforced columns subjected to fatigue loading, ACI Journal, 70 (20), pp. 199-206, 1973.

3. Acker P. y Eymard R.: Fluage du béton: un modèle plus performant et plus simple à introduire dans les calculs numériques, Annales de l'ITBTP, 507, pp. 60-74, 1992.

4. Acker P., Lau M.Y., y Collet F.: Comportement différé du béton: validation expérimentale de la méthode du temps équivalent, Bulletin de Liaison de l'LCPC, 163, pp. 31-39, 1989.

5. Alawieh H., Breitenbücher R., y Ibuk H.: Deterioration of concrete properties due to uniaxial cyclic compressive loading, European Symposium on Service Life and Serviceability of Concrete Structures (ESCS-2006), 2006.

6. Aliche A.: Damage model for fatigue loading of concrete, International Journal of Fatigue, 26, pp. 915-21, 2004.

7. Awad M.E. y Hilsdorf H.K.: Strength and deformation characteristics of plain concrete subjected to high repeated and sustained loads, Urbana, Illinois, University of Illinois, 1971.

8. Balaguru P. y Shah S.P.: A method for predicting crack widths and deflections for fatigue loading, ACI SP-75-7, 153-75, 1982.

9. Balazs G.L.: Cracking analysis based on slip and bond stresses, ACI Materials Journal, 90 (4), pp. 340-48, 1993.

10. Balazs G.L.: Fatigue of bond, ACI Materials Journal, Vol. 88. No. 6, pp. 620-629, 1991.

11. Bazant Z.P. y Oh B.H.: Crack band theory for fracture of concrete, Materials and Structures, 16, pp. 155-77, 1983.

12. Bazant Z.P. y Planas J.: Fracture and size effect in concrete and other quasibrittle materials, CRC Press, New Directions in Civil Engineering, Boca Raton, Boston, London, New York, 1998.

13. Bennett E.W. y Raju N.K.: Cumulative fatigue damage of plain concrete in compression, International conference on structures, solid mechanics and engineering design in Civil Engineering materials, University of Southampton, University of Southampton, 1969.


244

14. Bentz E.C.: Sectional analysis of reinforced concrete members, Tesis Doctoral, University of Toronto, Toronto (Canada), 2000.

15. Berto L., Simioni P., y Saetta A.: Numerical modelling of bond behaviour in RC structures affected by reinforcement corrosion, Engineering Structures, In press.

16. Breitenbücher R. y Ibuk H.: Experimentally based investigations on the degradation-process of concrete under cyclic load, Materials and Structures, 39 (7), pp. 717-24, 2006.

17. CEB: CEB Bulletin dÍnformation No. 161. Response of reinforced concrete critical regions under large amplitude reversed actions, Lausanne (Switzerland), 1983.

18. CEB: CEB Bulletin dínformation No. 188. Fatigue of concrete structures. State of the art report, Lausanne (Switzerland), 1988.

19. CEB: CEB Bulletin dínformation No. 235. Serviceability models. Behaviour and modelling in serviceability limit states including repeated and sustained loads, Lausanne (Switzerland), 1997.

20. CEB - FIP: CEB - FIP Model Code (1990), Lausanne (Switzerland), 1991.

21. CEN: Eurocode EC-2. ENV 1992-2:1996, 2004.

22. Chang T.S. y Kesler C.E.: Fatigue behaviour of reinforced concrete beams, ACI Journal, 30 (2), pp. 245-54, 1958a.

23. Chang T.S. y Kesler C.E.: Static and fatigue strength in shear of beams with tensile reinforcement, ACI Journal, 29 (12), pp. 1033-57, 1958b.

24. Ciampi V., Eligehausen R., Bertero V.V., y Popov E.P.: Analytical model for concrete anchorages of reinforced bars under generalized excitations, University of California, Berkeley, UCB/EERC-82/83, Earthquake Engrg. Res. Ctr., 1982.

25. Cladera A. y Mari A.R.: Shear strength in the new Eurocode 2. A step forward?, Structural Concrete, 8 (2), pp. 57-66, 2007.

26. Collins M.P. y Mitchell D.: Prestressed concrete structures, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1991.

27. Comisión Permanente del Hormigón: Instrucción de Hormigón Estructural EHE-98, 1998.

28. Cornelissen H.A.W. y Reinhardt H.W.: Uniaxial tensile fatigue failure of concrete under constant amplitude and programme loading, Magazine of Concrete Research, 36 (129), pp. 219-26, 1984.

29. Corres H., Sánchez-Gálvez V., y Elices M.: Pérdidas de pretensado por fleucnia y relajación: 4. Estudio de distintos tipos de acero, Hormigón y Acero, 155, pp. 83-88, 1985a.

Bibliografía _

245

30. Corres H., Sánchez-Gálvez V., y Elices M.: Pérdidas de pretensado por fluencia y relajación: 3. Estudio comparativo de diferentes modelos, Hormigón y Acero, 155, pp. 71-81, 1985b.

31. Dillmann R.R.: Die Spannungsverteilung in der Biegedruckzone von Stahlbetonquerschnitten bei häufig wiederholter Belastung, Tesis Doctoral, Technischen Hochschule Darmstadt, 1981.

32. Do M.-T., Chaallal O., y Aitcin P.-C.: Fatigue behavior of high performance concrete, ASCE Journal Materials Civil Engineering, 5 (1), pp. 96-110, 1993.

33. Dragon A., Halm D., y Desoyer T.: Anisotropic damage in quasibrittle solids: modelling, computational issues and application, Computational Methods Appl Mechanics Engineering, 183, pp. 331-52, 2000.

34. Elices M.: Mecánica de la Fractura aplicada a sólidos elásticos bidimensionales, Escuela T.S. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Univesidad Politécnica de Madrid), Madrid, 1998.

35. Elices M. and Planas J. Material models. Fracture Mechanics of Concrete Structures. 89:16-66.

36. Eligehausen R., Popov E.P., y Bertero V.V.: Local bond stress-slip relationships of defomed bars under generalized excitations, University of California, Berkeley, UCB/EERC-83/19, Earthquake Engrg. Res. Ctr., 1983.

37. Eskola L.: Zur Ermüdung teilweise vorgespannter BetrontragwerkeInstitut für Baustatik und Konstruktion (ETH Zürich), 1996.

38. Fantilli A.P. y Vallini P.: Bond-slip and concrete fracture in RC members subjected to cyclic actions, Bond in concrete - from research to standards, Budapest, 2002.

39. Fernández Ruiz M., Muttoni A., y Gambarova P.G.: A re-evaluation of test results on bond on R/C by means of FE modeling, Studi e ricerche, 27, pp. 113-34, 2007.

40. Frey R. y Thürlimann B.: Ermüdungsversuche an Stahlbetonbalken mit und ohne Schubbewehrung, Zürich, ETHZ, 1983.

41. Gaede K.: Versuche über die Festigkeit und die Verformung von Beton bei Druck- Schwellbeanspruchung, Technische Hochschule Hannover, Deutscher Ausschuss für Stahlbeton. Bulletin No. 144, 1962.

42. Ghali A. y Favre R.: Concrete structures: stresses and deformations, E & FN SPON Editions1994.

43. Gopalaratnam V.S. y Shah S.P.: Softening response of plain concrete in direct tension, ACI Journal, 82, pp. 310-22, 1985.

44. Gylltoft K.: A fracture mechanics model for fatigue in concrete, Matériaux et Constructions, 97, pp. 55-58, 1984.


246

45. Gómez Navarro M. y Lebet J.-P.: Concrete cracking in composite bridges: tests, models and design proposals, Structural Engineering International, 11 (3), pp. 184-90, 2001.

46. Hernández Montes E. y Gil Martín L.M.: Hacia una teoría unificada del campo de compresiones, Hormigón y Acero, 236, pp. 109-118, 2005.

47. Herwig A.: Reinforced concrete bridges under increased rail traffic loads - load carrying behaviour, fatigue behaviour and safety measures, Tesis Doctoral, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Lausanne (Switzerland), 2008.

48. Hillerborg A. y Markeset G.: Softening of concrete in compression. Localization and size effects, Cement and Concrete Research, Vol. 95. No. 4, pp. 702-708, 1995.

49. Hillerborg A., Modeer M., y Petersson P.E.: Analysis of crack formation and crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements, Cement and Concrete Research, 6, pp. 773-82, 1976.

50. Holmen J.O.: Fatigue of concrete by constant and variable amplitude loading, Tesis Doctoral, University of Trondheim, Norway, 1979.

51. Holmen J.O. Fatigue of concrete by constant and variable amplitude loading. ACI Special Publication. 82;SP 75-4:72-110.

52. Hordijk D.A.: Tensile and tensile fatigue behaviour of concrete; experiments, modelling and analyses, Tesis Doctoral, Technische Universiteit Delft, Delft, 1991.

53. Hsu T.T.C.: Fatigue of plain concrete, ACI Journal, 78, pp. 292-305, 1981.

54. Johansson U.: Fatigue tests and analysis of reinforced concrete bridge deck models, Stockholm, Sweeden, Royal Institute of Technology, 2004.

55. Kachanov L.M.: Time of rupture process under creep conditions, Izvestia akademii nauk, 8, pp. 26-31, 1958.

56. Kim J.K. y Kim Y.Y.: Experimental study of the fatigue behavior of high strength concrete, Cement and Concrete Research, 26 (10), pp. 1513-23, 1996.

57. Kim J.-K. y Kim Y.-Y.: Fatigue crack growth of high-strength concrete in wedge-splitting tests, Cement and Concrete Research, 29, pp. 705-12, 1999.

58. Klausen D.: Festigkeit und Schädigung von Beton bei häufig wiederholter Beanspruchung, Tesis Doctoral, Universität Darmstadt, Darmstadt, Germany, 1978.

59. Koch R. y Balazs G.L.: Slip increase under cyclic and long term loads, Otto Graf Journal, 4, pp. 160-91, 1993.

60. Kreller H.: Zum nichtlinearen Trag- und Verformungsverhalten von Stahlbetonstabtragwerken unter Last- und Zwangeinwirkung, Universität

Bibliografía _

247

Stuttgart, Deutscher Ausschuss für Stahlbeton. Heft 409, 1990.

61. Krätzig W.B. y Pölling R.: An elasto-plastic damage model for reinforced concrete with minimum number of parameters, Computers and Structures, 82, pp. 1201-15, 2004.

62. Kuryllo A., Kwascha W., y Lewschitsch W.: Versuche über das Verhalten auf Biegung beanspruchter Stahlbeton - Bauteile unter häufig wiederholter Belastung, Beton und Stahlbetonbau, 4 / 1976, pp. 103-6, 1976.

63. König G. y Danielewicz I.: Ermüdungsfestigkeit von Stahlbeton- und Spannbetonbauteilen mit Erläuterungen zu den Nachweisen gemäss CEB-FIP Model-Code 1990, Berlin, Deutscher Ausschuss für Stahlbeton. Heft 439, 1994.

64. König G. y Fehling E.: Zur Rissbreitenbeschränkung im Stahlbetonbau, Beton- und Stahlbetonbau, 6/1988 (pp. 161-67) - 7/1988 (pp. 199-204), pp. 1988.

65. Lambotte H. y Baus R.: Étude expérimentale de l´effet de la fatigue sur le comportement des poutres en béton armé, Revue C. Tijdschrift, Vol. III. No. 4, pp. 82-96, 1963.

66. Lambotte H., Baus R., y Motteu H.: Essais de flexion sour poutres en béton armé. Rapport de recherche nos. 1-3, Centre scientifique et technique de la construction, Bruxelles, 1965.

67. Laurencet P.: Précontrainte et armature pour contrôler l´overture residuelle des fisures, Tesis Doctoral, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Lausanne, 2000.

68. Lenschow R.: Fatigue of high strength concrete, Utilization of high strength concrete, Ivar Holland eds., 1987.

69. Lenschow R.J.: Concrete platforms in the North Sea and some related research on concrete, Ocean Space Utilization 85. Proceedings of the International Symposium, Springer-Verlag, Tokyo, Japan, 1985.

70. Lovegrove J.M. and Din S.E. Deflection and cracking of reinforced concrete under repeated loading and fatigue. ACI SP 75-6. Shah ed.; 82:133-50.

71. Marti P., Álvarez M., Kaufmann W., y Sigrist V.: Tension chord model for structural concrete, Structural Engineering International, 8 (4), pp. 287-98, 1998.

72. Mazars J.: A description of micro- and macroscale damage of concrete structures, Engineering Fracture Mechanics, 25 (5/6), pp. 729-37, 1986.

73. Mazars J.: Mechanical damage and fracture of concrete structures , Proceedings ICF 5, Cannes, 1981.

74. Mazars J., Berthaud Y., y Ramtani S.: The unilateral behaviour of damaged concrete, Engineering Fracture Mechanics, 35 (4/5), pp. 629-35, 1990.

75. Mazars J., Dube J.F., y Bournazel J.P.: Damage models and modelling strategies


248

for concrete structures under severe loadings, Fracture Mechanics of Concrete Structures, Elsevier, 1992.

76. Mazars J. y Pijaudier-Cabot G.: Continuum damage theory - Application to concrete, ASCE Journal Engineering Mechanics, 115 (2), pp. 345-65, 1989.

77. Mehmel A. y Kern E.: Elastische und plastische Stauchungen von Beton infolge Druckschwell- und Standbelastungen, Berlin, Deutscher Ausschuss für Stahlbeton. Heft 153, 1962.

78. Meschke G., Lackner R., y Mang H.A.: An anisotropic elastoplastic-damage model for plain concrete, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 42, pp. 703-27, 1998.

79. Mier J.G.M. van: Strain-softening of concrete under multiaxial loading conditions, Tesis Doctoral, Eindhoven, 1984.

80. Muttoni A. y Fernández Ruiz M.: Concrete cracking in tension members and application to deck slabs of bridges, ASCE Journal Bridge Engineering, 12 (5), pp. 646-53, 2007.

81. Neville, A. M.: Properties of concrete, Longman1995.

82. Noh S.Y., Krätzig W.B., y Meskouris K.: Numerical simulation of serviceability, damage evolution and failure of reinforced concrete shells, Computers and Structures, 81, pp. 843-57, 2003.

83. Oh B.H. y Kim S.H.: Advanced crack width analysis of reinforced concrete beams under repeated loads, ASCE Journal Structural Engineering, 133 (3), pp. 411-19, 2007a.

84. Oh B.H. y Kim S.H.: Realistic models for local bond stress-slip of reinforced concrete under repeated loading, ASCE Journal Structural Engineering, 133 (2), pp. 216-24, 2007b.

85. Ople F.S. y Hulsbos C.L.: Probable fatigue life of plain concrete with stress gradient, ACI Journal, 63 (1), pp. 59-82, 1966.

86. Pacheco J.A.: Estudio de la problemática estructural de las losas de transición. Interacción terreno-losa, Tesis Doctoral, Universidad Politécnica de Madrid, 2006.

87. Papa E.: A damage model for concrete subjected to fatigue loading, European Journal of Mechancis, A/Solids, 12 (3), pp. 429-40, 1993.

88. Papa E. y Taliercio A.: Anisotropic damage model for the multiaxial static and fatigue behaviour of plain concrete, Engineering Fracture Mechanics, 55 (2), pp. 163-79, 1996.

89. Paris P. y Erdogan F.: A critical analysis of crack propagation laws, Journal Basic Engineering, 528-34, 1963.

Bibliografía _

249

90. Park Y.J.: Fatigue of concrete under random loadings, ASCE Journal of Structural Engineering, 116 (11), pp. 3228-35, 1990.

91. Petkovic G., Lenschow R., Stemland H., y Rosseland S.: Fatigue of high strength concrete, ACI SP 121-25, 505-25, 1990.

92. Pfanner D.: Zur Degradation von Stahlbetonbauteilen unter Ermüdungsbeanspruchung, Tesis Doctoral, Ruhr - Universität Bochum, 2002.

93. Pfister T., Petryna Y.S., y Stangenberg F.: Damage modelling of reinforced concrete under multi-axial fatigue loading, Computational modelling of concrete structures, Taylor and Francis, 2006.

94. Pfister T., Pfanner D., Stangenberg F., y Petryna Y.S.: Modeling of concrete response under fatigue, Computational modelling of concrete structures, 295-303 , 2003.

95. Planas J., Elices M., y Guinea G.V.: Cohesive cracks versus nonlocal models: closing the gap, International Journal of Fracture, 63, pp. 173-87, 1993.

96. Pochanart S. y Harmon T.: Bond-slip model for generalizad excitations including fatigue, ACI Materials Journal, Vol. 86. No. 5, pp. 465-74, 1989.

97. Rehm G. y Eligehausen R.: Bond of ribbed bars under high cycle repeated loads, ACI Journal, 76 (15), pp. 297-309, 1979.

98. RILEM Committee 36-RDL: Long term random dynamic loading of concrete structures, Paris, RILEM, 1984.

99. Rotilio J.D.: Contribution des action variables aux déformations a long terme des ponts en beton, Tesis Doctoral, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Lausanne, 1998.

100. Ryu H.-K., Kim Y.-J., y Chang S.-P.: Crack control of a continuous composite two-girder bridge with prefabricated slabs under static and fatigue loads, Engineering Structures, 29 (6), pp. 851-64, 2007a.

101. Ryu H.-K., Kim Y.-J., y Chang S.-P.: Experimental study on static and fatigue strength of loop joints, Engineering Structures, 29 (2), pp. 145-62, 2007b.

102. Schläfli M.: Versuchsbericht. Ermüdungsversuche an Plattenstreifen (not published), EPFL, Lausanne (Switzerland), 1999a.

103. Schläfli M.: Ermüdung von Brückenfahrbahnplatten aus Stahlbeton, Tesis Doctoral, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, 1999b.

104. Schläfli M. y Brühwiler E.: Fatigue of existing reinforced concrete bridge deck slabs, Engineering Structures, 20 (11), pp. 991-98, 1998.

105. Shah S.P. y Chandra S.: Fracture of concrete subjected to cyclic and sustained loading, ACI Journal, Title No. 67-49, pp. 816-825, 1970.


250

106. SIA: SIA Dokumentation D 0133. Ermüdung von BetonbautenSIA, 1997.

107. Sippel T.: Zum Trag- und Verformungsverhalten von Stahlbetontragwerken unter Betriebsbelastung, Tesis Doctoral, Technische Universität Stuttgart, 1996 .

108. Smerda Z. y Smerda J.: Influence of traffic loads on permanent deflections of prestressed concrete bridges, Structural Concrete, 3 (4), pp. 163-65, 2002.

109. Soliman M.T.M. y Yu C.W.: The flexural stress-strain relationship of concrete confined by rectangular transverse reinforcement, Magazine of Concrete Research, 19 (61), pp. 223-38, 1967.

110. Sánchez-Gálvez V. y Elices M.: Pérdidas de pretensado por fluencia y relajación: 1. Teoría, Hormigón y Acero, 153, pp. 95-112, 1984a.

111. Sánchez-Gálvez V. y Elices M.: Pérdidas de pretensado por fluencia y relajación: 2. Comprobación experimental, Hormigón y Acero, 153, pp. 113-121, 1984b.

112. Tassios T.P. y Yannopoulos P.J.: Analytical studies on reinforced concrete members under cyclic loading based on bond stress slip relations, ACI Journal, 78 (3), pp. 206-216, 1981.

113. Tepfers R. y Kutti T.: Fatigue strength of plain, ordinary, and lightweight concrete, ACI Journal, 76 (5), pp. 635-52, 1979.

114. Tilly G.P.: Fatigue of steel reinforcement bars in concrete: a review, Fatigue of Engineering Materials and Structures, 2, pp. 251-68, 1979.

115. Yankelevsky D.Z. y Reinhardt H.W.: Response of plain concrete to cyclic tension, ACI Materials Journal, 84 (5), pp. 365-73, 1987.

116. Zanuy C.: Estudio de la influencia de la fatiga del hormigón en el comportamiento de elementos de hormigón armado, Trabajo de Suficiencia Investigadora. Universidad Politécnica de Madrid, Madrid, 2006.

117. Zanuy C., de la Fuente P., y Albajar L.: Effect of fatigue degradation of the compression zone of concrete in reinforced concrete sections, Engineering Structures, 29 (11), pp. 2908-20, 2007a.

118. Zanuy C., de la Fuente P., Pacheco J.A., y Albajar L.: Fatigue sensibility of RC secondary elements of bridges, IABSE Symposium - Improving infrastructure worldwide, bringing people closer, IABSE, Weimar (Germany), 2007b.

119. Zanuy C., Pacheco J.A., de la Fuente P., y Albajar L.: Estudio del comportamiento de una sección de hormigón armado sometida a cargas repetidas de flexión, Hormigón y Acero, 242, pp. 75-88, 2006.

120. Zhang B., Phillips D.V., y Wu K.: Efects of loading frequency and stress reversal on fatigue life of plain concrete, Magazine of Concrete Research, 48 (177), pp. 361-75, 1996.

121. Zhang B., Phillips D.V., y Wu K.: Further research on fatigue properties of plain

Bibliografía _

251

concrete, Magazine of Concrete Research, 49 (180), pp. 241-52, 1997.

anÁlisis seccional de elementos de …oa.upm.es/1158/1/carlos_zanuy_sanchez.pdfensayos de vigas de...

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