anÁlisis dinÁmico de viaductos sometidos a acciones de...

ANÁLISIS DINÁMICO DE VIADUCTOS SOMETIDOS A

ACCIONES DE TRENES DE ALTA VELOCIDAD

José Francisco González Jiménez

INGENIERO INDUSTRIAL

Tutor: Pedro Galvín Barrera

DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS, TEORÍA

DE ESTRUCTURAS E INGENIERÍA DEL TERRENO

UNIVERSIDAD DE SEVILLA Sevilla, Enero de 2006

Escuela Superior de

Ingenieros de Sevilla

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

PROYECTO FIN DE CARRERA

ANÁLISIS DINÁMICO DE VIADUCTOS SOMETIDOS A

ACCIONES DE TRENES DE ALTA VELOCIDAD

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Agradecimientos

Este proyecto culmina con mi etapa de estudiante de Ingeniería Industrial en la

Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla. Esto ha sido posible gracias a la ayuda de

muchas personas, sin las cuáles, el trabajo habría sido más duro.

En primer lugar, agradecer al Tutor del proyecto, Pedro Galvín Barrera, el

constante apoyo mostrado y su permanente disponibilidad, así como sus palabras de

ánimo en tiempos difíciles.

Por otra parte, agradecer a las personas que forman parte del foro de CalculiX su

constante ayuda en el aprendizaje de dicho programa, en especial a Guido Dhondt.

Por último quería mostrar mi profundo agradecimiento a todas las personas que

han hecho que estos años de carrera hayan pasado de la mejor forma posible: mi familia

y mis buenos amigos.

Índice Proyecto Fin de Carrera

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ÍNDICE

Índice……………………………………………………………………………...

1.- Introducción y objetivos del proyecto.………………………………………

2.- Descripción de los programas de elementos finitos: CalculiX y

FEAPpv…………………………………………………………………………....

2.1.- Método de los elementos finitos……………………………………..

2.2.- Análisis dinámico de estructuras basado en elementos finitos.……...

2.3.- Discretización temporal…………...…………………………………

2.3.1.- Métodos de integración temporal….………………………….

2.3.2.- Familia de métodos de Newmark……………………………..

2.3.3.- Sensibilidad al paso de integración utilizado…………………..

2.4.- Matriz de amortiguamiento.…………………………………………

2.5.- CalculiX: Programa de elementos finitos tridimensional.…………..

2.5.1.- Historia del programa………………………………………..

2.5.2.- Descripción del programa……………………………………

2.6.- FEAPpv: Un programa de elementos finitos. Versión personal…….

2.6.1.- Descripción del programa………………………………….

3.- Validación de los programas de elementos finitos: CalculiX y

FEAPpv.……………………………………………………………….…………..

3.1.- Validación de CalculiX.……………………………………………...

3.1.1.- Problemas estáticos…………………………………………..

3.1.1.1.- Viga biapoyada con carga vertical en el centro……………..

3.1.1.2.- Viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre………

3.1.2.- Problemas dinámicos…………………………………………

3.1.2.1.- Cubo bajo una presión variable en el tiempo………………..

3.2.- Validación de FEAPpv……………………………………………....

3.2.1.- Problemas estáticos………………………………………….

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3.2.1.1.- Viga biapoyada con carga vertical en el centro……………..

3.2.1.2.- Viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre………

3.2.2.- Problemas dinámicos…………………………………….…...

3.2.2.1.- Viga biempotrada con carga vertical de tipo Heaviside………

3.2.2.2.- Viga biempotrada con carga vertical transitoria……………..

3.3.- Elección del programa ………………………..……………………..

4.- La resonancia en los puentes de ferrocarril y los métodos de cálculo

dinámico utilizados ……………………………………………………………....

4.1.- Normativa actual……..………………………………………………

4.1.1.- Ficha UIC-776-I R…………………………………………...

4.1.2. Instrucción IAPF-75…………………………………………..

4.2.- Efectos resonantes……………………………………………………

4.2.1.- Cálculo de la respuesta estática………………………………..

4.2.2.- Respuesta dinámica ante una carga móvil aislada……………...

4.2.3.- Respuesta dinámica producida por un tren de cargas móviles…..

4.2.4.- Coeficientes de impacto………………………………...…….

4.3.- Riesgo de resonancia…………...…………………………………….

4.4.- Modelos de cargas puntuales………………………………………...

4.5.- Modelo de cargas puntuales teniendo en cuenta la deflexión de la

vía, las traviesas y la flexibilidad del balasto……………………......

4.5.1.- Hipótesis y simplificaciones en el cálculo de la curva de

deflexión……………………………………………………

4.5.2.- Cálculo cuasi-estático de la curva de deflexión de la vía………..

4.5.3.- Cálculo dinámico de la curva de deflexión de la vía.………...…

4.5.4.- Fuerza aplicada por una traviesa sobre la estructura……………

4.6.- Vehículos ferroviarios utilizados…………………...………………..

4.7.- Modelos de puentes utilizados……………………………………….

4.7.1.- Tipos de modelos y elementos………………………………...

4.7.2.- Conexión estructura-suelo…………………………………….

4.7.3.- Modelo de puentes teniendo en cuenta las traviesas……………

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5.- Análisis de distintas tipologías de puentes……………………………..……

5.1.- Análisis de puentes de un vano………………………………………

5.1.1.- Puente de un vano de 20 metros y estribos de 8.5 metros……….

5.1.2.- Puente de un vano de 30 metros y estribos de 8.5 metros……….

5.1.3.- Puente de un vano de 20 metros y estribos de 12 metros………..

5.1.4.- Puente de un vano de 30 metros y estribos de 12 metros………..

5.1.5.- Comparación de la respuesta entre puentes de distintas

longitudes de vano…………………………………………..

5.1.6.- Comparación de la respuesta entre puentes de distintas alturas de

los estribos………………………………………………….

5.2.- Análisis de puentes de dos vanos…………………………………….

5.2.1.- Puente de dos vanos de 10 metros cada uno y estribos de 8.5

metros……………………………………………………....

5.2.2.- Puente de dos vanos de 10 metros cada uno y estribos de 12

metros………………………………………………………


metros………………………………………………………


metros………………………………………………………


metros………………………………………………………


metros………………………………………………………

5.3.- Análisis de puentes de cuatro vanos…………………………………

5.3.1.- Puente de cuatro vanos de 40 metros cada uno y estribos de 10

metros………………………………………………………

5.4.- Estudio de un viaducto isostático de 15 metros de luz………………

5.4.1.- Comparación de los resultados y validación de la metodología

usada……………………………………………………….

5.4.2.- Barrido de velocidades para diferentes tipos de trenes reales…...

5.5.- Estudio de un viaducto real: Viaducto E-II………………………….

5.6.- Estudio de un viaducto con tablero de doble viga sobre el que

circulan dos trenes en sentido opuesto…………………………………….

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6.- Conclusiones y líneas de investigación propuestas…………………………

6.1.- Conclusiones de la investigación desarrollada………………………

6.2.- Líneas de investigación propuestas………………………………….

A.- Características de trenes de alta velocidad europeos……………………...

A.1.- ICE 2………………………………………………………………...

A.2.- AVE…………………………………………………………………

A.3.- TALGO AV…………………………………………………………

B.- Descripción de la Hoja de EXCEL donde se implementa las ecuaciones

que recogen los efectos de la deflexión de la vía, las traviesas y la flexibilidad

del balasto………………………………………………………………………...

C.- Descripción del programa encargado de realizar la superposición de la

respuesta correspondiente a una carga aislada………………………………...

D.- Desarrollo de las soluciones teóricas de una viga biapoyada y una viga

en voladizo………………………………………………………………………...

D.1.- Viga biapoyada con carga vertical en el centro……………………..

D.2.- Viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre……………

Bibliografía……………………………………………………………………….

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Introducción y objetivos del proyecto Proyecto Fin de Carrera

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1.- Introducción y objetivos del proyecto.

En este proyecto se abordan dos objetivos claramente diferenciados:

En primer lugar nos centraremos en la búsqueda y validación de programas de

elementos finitos no comerciales para un posterior acoplamiento con programas de

elementos de contorno.

En segundo lugar se realizará un estudio paramétrico de puentes de diversas

tipologías teniendo en cuenta los efectos dinámicos debidos a las cargas móviles de los

trenes.

En los últimos años, tanto en España como en otros países europeos, la

construcción de infraestructuras ferroviarias para trenes de alta velocidad ha

experimentado un auge. Dichos trenes han cambiado el concepto de largo recorrido,

permitiendo reducir significativamente el tiempo de transporte para viajeros y

mercancías.

Pero no se puede olvidar que al aumentar la velocidad, los puentes de ferrocarril se

verán sometidos a efectos dinámicos que pueden crear efectos resonantes y que hasta el

momento no han sido estudiados suficientemente. En la actualidad, los puentes para

trenes de alta velocidad viene siendo objeto de estudio en el Departamento de Mecánica

de los Medios Continuos de la Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla. De esta forma

este proyecto viene a ser una continuación de otros proyectos y estudios realizados en

dicho departamento así como los cimientos de futuros proyectos que podrán servirse de

la información mostrada.

En primer lugar se buscó programas de elementos finitos no comerciales de los

cuales tuviésemos su programación y que además cumpliera una serie de requisitos

adicionales: debía de ser capaz de realizar análisis transitorios con carga móviles con el

objeto de modelar los trenes de alta velocidad para un posterior estudio de puentes de

ferrocarril. Debía de ser lo más sencillo posible de forma que sólo nos interesaba del

programa su capacidad para realizar análisis transitorios. Este aspecto era difícil de

conseguir en la medida que cualquier programa de elementos finitos tenía muchas más

opciones, por ello se realizaría un estudio de la programación del programa para así


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quedarnos con aquellas subrutinas que nos interesaran. A ser posible el lenguaje de

programación debía de ser FORTRAN ya que en un futuro este programa sería acoplado

con otro programa de elementos de contorno cuyo lenguaje de programación es este

último.

Esta conexión entre elementos finitos y elementos de contorno permitirá un

estudio mucho más exhaustivo de la influencia que tiene en puentes ferroviarios la

interacción suelo-estructura. Esto es debido a que el modelado del suelo con elementos

de contorno ofrece mejores resultados que si el modelado es con elementos finitos.

Con las premisas anteriores se encontró en primer momento un programa llamado

CalculiX [2], el cuál fue analizado tanto en sus posibilidades como en su programación.

Más tarde, otro programa llamado FEAPpv [16] fue el centro de nuestras miras, de

forma que se hizo lo mismo que con el anterior y además se comparó con este último.

De entre ambos se eligió el programa FEAPpv por ser el que cumplía mejor los

requisitos mostrados. Así se pasó a la segunda parte del proyecto, consistente en un

estudio de puentes ferroviarios de distintas tipologías que permita obtener conclusiones

generales. Para esta parte se utilizará además del programa mencionado, otro programa

comercial y más potente llamado ANSYS Release 8.0 [1].

En lo que se refiere a la geometría de los puentes, se pretende obtener información

acerca de cómo varía la respuesta de la estructura al variar la longitud de los vanos, el

número de éstos o la altura de los estribos.

En cuanto a los vehículos ferroviarios, se buscan conclusiones acerca del impacto

que éstos tienen sobre la estructura cuando son modelados como una serie de cargas

puntuales que recorren la estructura y cuando además se tiene en cuenta los efectos

asociados a la flexibilidad del carril, las traviesas y el balasto. Por otra parte también se

observará la variación de la respuesta de la estructura al variar la velocidad de los

trenes.


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Por último, relacionado con la conexión suelo-estructura, se estudiará la

utilización de apoyos modelados como muelles. Cada muelle tendrá una rigidez

equivalente al terreno sobre el que se encuentra el puente.

Descripción de los programas de elementos finitos: CalculiX y FEAPpv Proyecto Fin de Carrera

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2.- Descripción de los programas de elementos finitos:

CalculiX y FEAPpv.

En este punto se pretende dar una visión global acerca del análisis dinámico y

transitorio de estructuras desde el punto de vista de los elementos finitos. Para ello se

citarán los distintos métodos y tipos de análisis existentes así como otros aspectos de

relevancia en dicho campo. Por último se hará una descripción de los programas que ha

sido objeto de nuestro estudio.

2.1. Método de los elementos finitos.

No es objeto de esta memoria el describir la influencia tan determinante que han

ejercido los métodos de elementos finitos dentro del ámbito del cálculo estructural.

Debido a la versatilidad de su aplicación a todo tipo de estructuras así como la facilidad

con que se pueden modelar los distintos estados de carga, los elementos finitos se han

convertido en la herramienta de cálculo por excelencia de la ingeniería civil.

Este método numérico se basa en la discretización espacial de una estructura

pasando así de un problema continuo con infinitos grados de libertad a un problema

discreto con un número finito de ellos.

Los aspectos más importantes de este método son:

- Discretización física del dominio dividiéndolo en elementos cuyo

comportamiento puede ser estudiado de forma genérica.

- Discretización matemática de forma que los valores de la variable de

campo en el dominio se aproximan mediante los valores de esta en una

serie de puntos pertenecientes a los elementos y unas funciones de forma

que aproximan la solución sobre todo el dominio.

jjuu ψ= en el dominio de Ω (2.1.1)

- Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema en cuestión no se

tratan directamente sino que se transforman a su versión integral de tipo


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energía, siendo en el caso de estructuras el Teorema de los Trabajos

Virtuales.

2.2. Análisis dinámico de estructuras basado en elementos finitos.

El análisis dinámico es una técnica usada para determinar la respuesta dinámica de

una estructura bajo la acción de fuerzas dependientes del tiempo. Este análisis permite

conocer la variación con el tiempo de desplazamientos, esfuerzos, tensiones y fuerzas en

una estructura como respuesta de ésta a una combinación de cargas estáticas,

transitorias y armónicas. En este tipo de análisis los efectos de la inercia y del

amortiguamiento son muy importantes.

La ecuación de movimiento básica a resolver en un análisis dinámico es la

siguiente:

( ) ( ) ( ) )t(FuKuCuM =++ &&& (2.2.1)

Donde:

(M) = Matriz de masa.

(C) = Matriz de amortiguamiento.

(K) = Matriz de rigidez.

u&& = Vector de aceleración nodal.

u& = Vector de velocidad nodal.

u = Vector de desplazamiento nodal.

)t(F = Vector de fuerza dependiente del tiempo.

Para un instante dado, t, estas ecuaciones pueden ser consideradas como

ecuaciones de equilibrio estático que tienen en cuenta las fuerzas de inercia ( ) ( )uM && y

las de amortiguamiento ( ) ( )uD & . Para resolver estas ecuaciones los distintos programas

de elementos finitos utilizan métodos de integración temporal, siendo el algoritmo de

Newmark uno de lo más utilizados.


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Existen tres metodologías diferentes de abordar el problema anterior, utilizándose

en todas ellas la discretización e integración temporal mencionada anteriormente. Son

las siguientes:

a) Método de integración directa en el tiempo del modelo completo.

Se definen los N grados de libertad que caracterizan a la estructura y se resuelve,

para cada instante de la integración, la ecuación dinámica general (2.2.1).

Este es el método más general porque permite que todo tipo de no-linealidades

puedan ser incluidas.

Las ventajas de este método son:

• De todos, éste es el más fácil de utilizar, puesto que no hay que

preocuparse por elegir grados de libertad maestros ni por elegir los modos

de vibración más significativos.

• Permite todo tipo de no-linealidades.

• Usa las matrices completas, por tanto no hay que aproximar la matriz de

masa.

• Todos los desplazamientos y tensiones son calculados en un único paso.

• Acepta todo tipo de cargas: fuerzas nodales, desplazamientos impuestos,

cargas elementales (presiones y temperaturas), etc.

La principal desventaja del método de integración directa es que es el más caro

numéricamente hablando de los tres.

b) Método de superposición modal.

Este método sólo es aplicable para un comportamiento lineal de la estructura. En

primer lugar se extraen los autovalores de la estructura y se seleccionan los n modos

propios de vibración más significativos (N >> n). Posteriormente se integran en el

tiempo esos modos de vibración.

La ecuación que se obtiene para cada modo de vibración estará desacoplada del

resto, por lo que se reduce, en último término, a la resolución de un sistema de un único

grado de libertad.


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La principal ventaja es su mayor rapidez y su menor coste computacional en la

mayoría de problemas respecto a los otros dos.

Las desventajas más importantes que presentas son:

• El paso de tiempo de integración debe de permanecer constante durante

todo el análisis transitorio, por tanto no estarán permitidas las estrategias

de paso variable.

• No están permitidas las no-linealidades.

• No acepta la imposición de desplazamientos.

c) Método reducido.

Se condensa el tamaño del problema mediante la utilización de grados de libertad

maestros y matrices reducidas. Después de haber calculado los desplazamientos en los

grados de libertad maestros, se expande la solución a los grados de libertad originales.

La principal ventaja es que es más rápido y menos caro que el algoritmo a).

Las desventajas son:

• Cargas elementales como presión y temperatura no pueden ser aplicadas a

la estructura. Sin embargo aceleraciones sin son permitidas.

• Todas las cargas deben ser aplicadas en los grados de libertad maestros.

• El paso de tiempo de integración debe de permanecer constante durante

todo el análisis transitorio, por tanto no estarán permitidas las estrategias

de paso variable.

• No están permitidas las no-linealidades.

Una vez descritas las distintas metodologías existentes para resolver un problema

dinámico con el método de los elementos finitos, decir que en este proyecto se ha

optado por la utilización del método de integración directa del modelo completo por ser

el más general de todos.


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2.3. Discretización temporal.

Como antes se ha comentado, la discretización e integración temporal se realiza

tanto para los modelos resueltos con análisis modal, como en la integración directa del

sistema completo y en análisis reducido.

2.3.1. Métodos de integración temporal.

La ecuación de partida para un algoritmo de integración temporal de primer orden

es la siguiente:

( ) ( )( )( ) [ ]ft,tt,

ytyty,tfty

000

∈⎭⎬⎫

==&

(2.3.1)

Ha este sistema se conoce con el nombre de problema de Cauchy en un intervalo

[t0,tf], y viene dado por un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden y una

condición inicial.

No obstante, el sistema de ecuaciones diferenciales que aproxima la dinámica de

una estructura en general es de segundo orden y puede expresarse de forma compacta de

la siguiente forma:

( )t,w,wFwM &&& =⋅ (2.3.2)

Donde el vector F y la matriz M son, en general, funciones no lineales de ( )t,ww, & .

El sistema anterior se puede convertir en un sistema de primer orden tal como el (2.3.1)

sin más que realizar el siguiente cambio:

( )( )( ) tyt,f

t,w,wF·Mwy que tal

wwy 1- =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

&

&&

& (2.3.3)

Gracias a este cambio se pueden utilizar los métodos numéricos de integración

propios de sistemas de primer orden, aunque existen algoritmos específicos para

sistemas de segundo orden.


16

Un método numérico de integración temporal calcula secuencialmente los valores

de la incógnita y(t) de una forma discreta y espaciados mediante intervalos de tiempo.

Los intervalos de tiempo se definen como:

n1n1n tth −= ++ (2.3.4)

Para cada instante tn obtendremos un valor de ( )N0,1,...,n yn = a partir del

conocimiento del valor de la misma en los k instantes anteriores. El número k es él

número de pasos del integrador.

Así llegamos a una expresión general en la que el valor de yn+k se obtiene a partir

de los k valores anteriores de la incógnita: yn+k-1, yn+k-2,…, yn.

( )∑=

++−+−+++ Φ=αk

0jknknn2kn1knknjnj h;t,y,...,y,y,y·hy (2.3.5)

En la ecuación (2.3.5) se recogen todos los métodos de integración posibles. En

base a diferentes criterios, éstos se pueden clasificar en varios tipos:

• Métodos de un paso/ métodos multipaso.

Los métodos de un paso son aquellos en que para cada instante de tiempo el valor

de la variable incógnita se calcula gracias al paso anterior. Es decir en este método

k = 1. Entre estos los más afamados son los de Runge-Kutta. Los anteriores así como

muchos otros de un paso parten de la igualdad siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )dtty,tftydttytyty1n

n

1n

n

t

tn

t

tn1n ∫∫

++

+=+=+ & (2.3.6)

Según sea la aproximación de la integral de la ecuación (2.3.6) mediante alguna

fórmula de cuadratura adecuada así será el método de integración. Por citar uno de ellos,

el más conocido es el método de Runge-Kutta clásico el cual aproxima la integral de

(2.3.6) mediante la regla de Simpson.


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En los métodos multipaso la variable y(t) en un instante dado se calcula gracias a

la información de varios pasos anteriores. Es decir en este caso k > 1. Los más

conocidos son los métodos de Adams que se basan en aproximar la integral que aparece

en la expresión (2.3.6) mediante una fórmula de cuadratura basada en los nodos de

cuadratura tn-k+1,…,tn. Es decir, se construye el polinomio interpolador de grado k-1,

denotado por *kn,P , el cual interpola los k valores del campo f(t,y) en las aproximaciones

numéricas ( ) ( )1kn1knnn y,t,...,y,t +−+− . Por tanto el algoritmo de k-pasos quedará

como:

( )∫+

+=+

1n

n

t

t

*k,nn1n dttPyy (2.3.7)

• Métodos explícitos/métodos implícitos.

Básicamente los métodos explícitos usan la ecuación diferencial en un tiempo tn

para predecir una solución en tn + hn+1. En un algoritmo explícito, la expresión (2.3.5)

permite despejar yn+k conocidos los valores 1k0,1,...,j;y jn −=+ .

Para la mayoría de las estructuras reales, las cuales contienen elementos rígidos, se

requiere muy pequeños incrementos de tiempo para obtener una solución estable con

estos algoritmos. Así, todos los métodos explícitos son condicionalmente estables con

respecto al tamaño del incremento de tiempo.

Por poner algún ejemplo de éstos, se pueden citar los métodos de Runge-Kutta

explícitos cuya formulación es la siguiente:

( ) 1-N0,1,...,n h,y,thyy nnnnn1n =Φ+=+ (2.3.8)

Los métodos implícitos tienden a satisfacer la ecuación diferencial en un tiempo tn

después de que la solución en tn - hn+1 haya sido encontrada. A diferencia de los

anteriores, ahora no es posible despejar yn+k de la ecuación (2.3.5) una vez que

conocemos 1k0,1,...,j;y jn −=+ .


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En estos algoritmos es posible usar incrementos de integración grandes, de forma

que pueden ser condicional o incondicionalmente estables.

Como ejemplo, citar el método de Adams implícito de un paso conocido como la

regla de los trapecios y es de la forma:

( ) ( )( )1n1nnnn

n1n y,tfy,tf2

hyy +++ +=− (2.3.9)

• Métodos de paso fijo/métodos de paso variable.

En los de paso fijo, el valor del paso de integración permanece constante a lo largo

de la integración. Es decir htth n1n1n =−= ++ . Todos los algoritmos que se ha

mostrado a modo de ejemplos en los puntos anteriores son de paso fijo.

En los de paso variable, como su propio nombre indica, los intervalos de tiempo

pueden ser distintos en cada paso. Hoy día, el procedimiento que se ha probado como

más eficaz es el de los pares encajados de métodos Runge-Kutta.

La clasificación anterior no es internamente excluyente entre sí como se ha podido

comprobar en los ejemplos propuestos, puesto que tanto los métodos de un paso como

los multipaso pueden ser explícitos o implícitos. Incluso existe la posibilidad de

construir algoritmos que combinen métodos explícitos e implícitos conocidos como

pares predictor-corrector.

En cuanto a la conveniencia de utilizar uno u otro método es preciso determinar la

naturaleza de las ecuaciones diferenciales a resolver (2.3.3) así como la convergencia y

estabilidad del algoritmo.

En nuestro caso las ecuaciones (2.3.3) son lineales y de segundo orden. Según lo

que se recoge en (García Orden [22]), la regla trapezoidal aplicada a un sistema lineal,

es el método de integración incondicionalmente estable más preciso, y además conserva

de forma exacta la energía del sistema.

Este algoritmo equivale a un método β-Newmark con β = ¼ y γ = ½. Es éste el

que se ha utilizado en la resolución de los problemas mostrados en el proyecto.


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2.3.2. Familia de métodos de Newmark.

En 1959 Newmark presentó una familia de métodos implícitos y de paso único

para la solución de problemas estructurales dinámicos. Estos métodos han sido

aplicados en muchos análisis dinámicos de estructuras ingenieriles en los últimos

cuarenta años. En el caso que nos concierne la ecuación que se pretende resolver con el

uso de los algoritmos de Newmark es la ecuación de segundo orden (2.2.1).

Utilizando las series de Taylor para el desplazamiento y la velocidad en el instante

tn+1 se obtiene:

....u6

hu2

hu·huu n3

n2

nn1n ++++=+ &&&&&& (2.3.10)

....u2

hu·huu n2

nn1n +++=+ &&&&&&& (2.3.11)

Donde:

h = intervalo de tiempo fijo. ( )n1n tth −= + .

nu = vector de desplazamiento nodal en tiempo tn.

nu& = vector de velocidad nodal en tiempo tn.

nu&&& = vector de aceleración nodal en tiempo tn.

nu&&&& = vector de derivada tercera del desplazamiento nodal en tiempo tn.

1nu + = vector de desplazamiento nodal en tiempo tn+1.

1nu +& = vector de velocidad nodal en tiempo tn+1.

1nu +&& = vector de aceleración nodal en tiempo tn+1.

Newmark truncó las ecuaciones anteriores y las expresó de la siguiente forma:

n3

n2

nn1n uh·u2

hu·huu &&&&&& β+++=+ (2.3.12)


20

n2

nn1n uh·u·huu &&&&&&& γ++=+ (2.3.13)

Donde β y γ son parámetros de integración de Newmark.

Si a continuación asumimos que la aceleración es lineal con el paso de tiempo,

podemos escribir la siguiente ecuación:

h

uuu n1n

n&&&&

&&&−

= + (2.3.14)

Sustituyendo la expresión (2.3.14) en las ecuaciones (2.3.12) y (2.3.13) obtenemos

las ecuaciones de Newmark en su forma estándar.

1n2

n2

nn1n uh·uh·21u·huu ++ β+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ β−++= &&&&& · · (2.3.15)

( ) 1nnn1n u·h·u·h·1uu ++ γ+γ−+= &&&&&& (2.3.16)

El objetivo será la obtención del vector de desplazamiento nodal 1nu + . Para ello

la ecuación de movimiento (2.2.1) es evaluada en el instante tn+1, de forma que

obtenemos:

[ ] [ ] [ ] a1n1n1n FuKuCuM =++ +++ &&& (2.3.17)

Se reordenan las expresiones (2.3.15) y (2.3.16) de la forma siguiente:

( ) n3n2n1n01n u·au·auuau &&&&& −−−= ++ (2.3.18)

1n7n6n1n u·au·auu ++ ++= &&&&&& (2.3.19)

Donde:

20h·1a

β= ;

h·a1 β

γ= ;

h·1a 2 β

=

121a3 −β

= 1a 4 −βγ

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

βγ

= 22ha5


21

( )γ−= 1ha6 h·a7 β=

Notar que la ecuación (2.3.18) puede ser sustituida en la ecuación (2.3.19), de

forma que se obtiene 1nu +&& y 1nu +& en función de la incógnita 1nu + . Sustituyendo

(2.3.18) y (2.3.19) en la ecuación (2.3.17) se obtiene:

[ ] [ ] [ ]( ) [ ]( )

[ ]( )n5n4n1

n3n2n0a

1n10

uauauaC

uauauaMFuKCaMa

&&&

&&&

+++

+++=++ +

(2.3.20)

De la ecuación (2.3.20) se obtiene 1nu + y gracias a las expresiones (2.3.18) y

(2.3.19) obtenemos las velocidades y aceleraciones.

Los parámetros β y γ controlan la estabilidad del método de integración. Así, si el

amortiguamiento es nulo, el algoritmo de Newmark es condicionalmente estable si:

21

≥γ , 21

≤β y β−γω

≤∆

2

1tmax

(2.3.21)

Donde maxω (rad/s) es la máxima frecuencia del sistema estructural dado por la

ecuación (2.2.1).

El método es incondicionalmente estable si:

212 ≥γ≥β (2.3.22)

Sin embargo, si γ es mayor que ½ se introducirán errores en la integración.

Como se ha mencionado en párrafos anteriores, se adoptará para integrar las

ecuaciones dinámicas los valores β = ¼ y γ = ½. Esto se traduce en tomar la

aceleración constante en un intervalo e igual a ( )2

uuu n1n &&&&&&

+=τ + .


22

2.3.3. Sensibilidad al paso de integración utilizado.

En la figura 2.1 se compara el desplazamiento vertical que se produce en el centro

de un puente con un único vano de 20 m de luz al paso de una carga de 170 KN que se

desplaza a una velocidad de 100 m/s para distintos incrementos de integración. El

amortiguamiento que se ha tenido en cuenta en la estructura es del 5 %. Los pasos de

tiempo son: h = 0.05 s, h = 0.01 s, h = 0.001 s, h = 0.0001 s y h = 0.00001 s.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10-5

t(s)

uz(m

)

Desplazamiento vertical en el centro del vano de un puente de 20 m

intervalo de integracion =0.05intervalo de integracion =0.01intervalo de integracion =0.001intervalo de integracion =0.0001intervalo de integracion =0.00001

Fig.2.1. Comparación del desplazamiento vertical para distintos intervalos de integración.

Como se puede observar, a medida que se reduce el paso de integración h, los

resultados obtenidos convergen a lo que se podría considerar la solución real. De hecho

las curvas correspondientes a los pasos h = 0.0001 s y h = 0.00001 s son indistinguibles.

Sin embargo, para valores de h relativamente gruesos (h = 0.05 s y h =0.01 s) la curva

que se obtiene difiere bastante de la solución real. Este hecho se debe a que con pasos

de integración tan elevados no se puede caracterizar adecuadamente el comportamiento

dinámico del puente.


23

Por otro lado, señalar que cuando se utiliza la integración directa del modelo

completo, el paso de tiempo puede utilizarse como filtro de frecuencias. Este es el caso,

por ejemplo, de los programas de elementos finitos que utilizan esta técnica de

integración en el tiempo. En ausencia de mecanismos numéricos que anulen en el

cálculo frecuencias de vibración superiores a una dada, el paso de tiempo ejercerá este

papel.

A continuación se resumen las diversas recomendaciones que, tanto en la

normativa vigente como en la literatura técnica, se proponen sobre el paso de

integración a adoptar para cálculos dinámicos en puentes ferroviarios. (ERRI D214 (a)

[7]), (ERRI D214 (c) [9]) y (Museros et al. [28]):

Determinación del intervalo de integración h en función de la frecuencia de

vibración más alta considerada de la estructura:

max

1 f81h = (2.3.23)

Donde fmax es la frecuencia máxima de la estructura en Hz.

Determinación del paso de integración h en función del número mínimo de

intervalos de tiempo existentes durante el paso de un eje por el vano más

corto de la estructura.

vN

Lh intmin

min2

= (2.3.24)

Donde Lmin es la longitud del vano más corto, v es la velocidad del tren y

intminN es el número mínimo de intervalos de tiempo (En nuestro caso

tomaremos 200).

Determinación del paso de integración h en función del número n de

modos de vibración considerados y la longitud del vano más corto del

puente.


24

vn4

Lh min

3 = (2.3.25)

Paso de integración fijo h que actúe como filtro de frecuencias superiores a

50 Hz.

s002.0h 4 = (2.3.26)

Las recomendaciones no se limitan a proponer un único paso de integración, sino

que se sugiere la utilización del mínimo de entre los propuestos anteriormente. Así se

puede tomar ( )321 h,h,hminh = , pero no menor que h4.

2.4. Matriz de amortiguamiento.

El amortiguamiento está presente en la mayor parte de los sistemas y debe ser

especificado en un análisis dinámico. A diferencia de la rigidez y la masa, las constantes

que controlan el amortiguamiento no pueden evaluarse de forma sencilla a partir de la

geometría de los elementos estructurales y de las propiedades mecánicas del material.

En un sistema de un grado de libertad, el amortiguamiento es proporcional a la

velocidad.

ucf ientoamortiguam &⋅= (2.4.1)

Al menor valor de c que hace que la estructura separada de su posición de

equilibrio vaya al reposo sin sobreoscilación se le denomina amortiguamiento crítico.

En un sistema de un grado de libertad, el amortiguamiento crítico viene dado por:

ncr m2mk2c ω⋅⋅=⋅⋅= (2.4.2)

Donde k es la rigidez del sistema, m la masa y ωn la frecuencia natural del mismo

Normalmente el amortiguamiento se define con el factor de amortiguamiento ς

que es la relación de c con respecto a su valor crítico.


25

mk2c

cc

cr ⋅⋅==ς (2.4.3)

En un sistema de N grados de libertad, como es el caso, el amortiguamiento de

dicho sistema viene recogido en la matriz de amortiguamiento [ ]C presente en la

ecuación (2.2.1).

A la hora de definir la matriz [ ]C existen principalmente dos formas:

• Amortiguamiento proporcional o amortiguamiento de Rayleigh.

La matriz de amortiguamiento es definida como combinación lineal de la matriz

de rigidez y de masa, tal y como muestra la expresión siguiente:

[ ] [ ] [ ]KMC δ+α= (2.4.4)

Esta matriz así definida me permite, en un análisis modal, desacoplar el sistema

dado por (2.2.1). Así es posible pasar de un sistema de N grados de libertad a un sistema

de N ecuaciones de un grado de libertad cada una. Para un modo de vibración i, cuya

frecuencia natural es ωi, los parámetros α y δ cumplen la siguiente relación:

2

i

i

ωδ+

ωα

=ς2i (2.4.5)

Donde iς es el factor de amortiguamiento correspondiente al modo de vibración i.

En la mayoría de los problemas estructurales, el coeficiente de amortiguamiento

α, puede ser ignorado; es decir, podemos considerar α = 0. En estos casos se puede

evaluar el valor de δ conociendo iς y ωi mediante la expresión:

i

i ως

=δ2

(2.4.6)

Sólo es posible un valor de δ para un sistema estructural, por tanto se elegirá el

modo de vibración correspondiente a la frecuencia más dominante.


26

Comentar que en estructuras reales se evalúa el amortiguamiento mediante

medidas experimentales de la estructura objeto del estudio o de otras similares. El

amortiguamiento se puede evaluar para los distintos modos de vibración, si bien, dada la

dificultad de la estimación suele emplearse el mismo para todos los modos. El valor más

típico del amortiguamiento, que está implícito en muchas normas de cálculo, es del 5 %,

siendo este valor el que se utilizará para la mayor parte de los problemas que se estudian

en este proyecto (Aunque también se utilizarán otras tasas de amortiguamiento).

• Amortiguamiento generalizado.

Ahora la matriz de amortiguamiento no tiene porque ser combinación lineal de las

otras dos matrices. En este caso se modifica la ecuación (2.2.1) quedando de la siguiente

forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎭

⎬⎫

=−=++

0uMuM)t(FuKuCuM

&&

&&& (2.4.7)

Definiendo:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

CMM0

A [ ] [ ] [ ][ ] [ ]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

k00M

B ( ) [ ]( )[ ]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

tF0

tQ (2.4.8)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

uu

y&

&&&

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛=

uu

y&

Llegamos a la ecuación:

[ ] [ ] ( ) tQyByA =+& (2.4.9)

Del sistema anterior es posible obtener los autovectores y autovalores y

posteriormente desacoplarlo.

Este tipo de amortiguamiento no lo vamos a utilizar en los modelos propuestos.


27

2.5. CalculiX: Programa de elementos finitos tridimensional.

2.5.1. Historia del programa

Este programa fue desarrollado por dos ingenieros en sus ratos libres a finales de

1998. Los autores son Guido Dhondt y Klaus Witting. Además, a lo largo de los años

también se vieron involucrados en el proyecto otra serie de personas que aportaron otras

partes esenciales al programa, como son ‘solvers’ matemáticos y códigos que mejoraron

el programa.

El máximo artífice es Guido Dhondt (1961), responsable del código del

programa. Guido Dhondt es un Ingeniero Civil de la Universidad Católica de Louvain

(Leuven, Bélgica) y doctor en Ingeniería Civil en la Universidad de Princeton (U.S.A).

El otro creador es Klaus Wittig, el cuál fue el encargado del pre- y post-

procesador de CalculiX.

Surgiendo en aquel tiempo en que el lenguaje de programación C nació y

FORTRAN era el lenguaje estándar para cálculos ingenieriles, el código de CalculiX

está escrito en una mezcla de C y FORTRAN. Las primeras líneas de dicho código

fueron escritas en otoño de 1998 y estaban fuertemente influenciadas por el programa

FEAP de Zienkiewicz y Taylor. Los primeros intentos del programa sólo tenían

capacidad de resolver problemas estáticos y lineales con elementos tridimensionales de

20 nodos y usando integración reducida. Pronto se convirtió en un programa más

potente, de forma que a finales de 1999 ya tenía incorporado las opciones de análisis en

frecuencia y pandeo, además de la posibilidad de utilizar geometrías no lineales y

materiales con comportamiento no lineal. Posteriormente se introdujeron análisis con

simetría, tanto en vigas como en placas, análisis de transferencia de calor y más

recientemente análisis de estados dinámicos estables.

2.5.2. Descripción del programa

CalculiX es un paquete diseñado para resolver problemas en diferentes campos. El

método utilizado para ello es el método de elementos finitos. Con este programa se

pueden construir, calcular y post-procesar modelos de elementos finitos. Se pueden


28

resolver con CalculiX problemas lineales y no lineales así como problemas estáticos,

dinámicos y térmicos.

CalculiX es un programa de software libre y se puede encontrar en

www.calculix.de. Por tanto su código de programación es accesible y modificable por

cualquier persona. El programa es distribuido de forma gratis y a su vez sin ninguna

garantía. Dicho código es una mezcla de subrutinas en FORTRAN y subrutinas en C.

Concretando en las posibilidades del programa, los tipos de análisis que se pueden

realizar son los siguientes:

- Análisis estáticos.

- Análisis en frecuencia.

- Análisis de pandeo.

- Análisis dinámicos (Tanto con método modal como con integración directa).

- Transferencia de calor.

- Acústicos.

- Lubricación hidrodinámica.

- Electrostáticos, etc...

En cuanto a los tipos de elementos, CalculiX está provisto de elementos tipo viga,

elementos lámina, elementos ‘brick’, elementos de tensión plana, elementos de esfuerzo

plano, elementos axisimétricos, elementos fluidos y elementos ‘gap’. De todos ellos

existen diferentes variedades según el número de nodos que posean.

Por otra parte comentar que existen varios tipos de materiales que pueden ser

utilizados, como son materiales elásticos, hiperelásticos, con deformación plástica,…

Además es posible definir el tipo de material personalmente por el usuario.

En relación a los tipos de cargas que se pueden manejar, éstas pueden ser

puntuales, distribuidas, gravitatorias, centrífugas, flujos de calor convectivo,… Además

también pueden ser variables en el tiempo.

Hasta aquí se ha comentado las características generales del programa. De todas

las posibilidades de análisis, a nosotros sólo nos interesa el análisis dinámico con cargas


29

transitorias. En concreto, estamos interesados en el análisis dinámico mediante el

método de integración directa de las ecuaciones de movimiento. Señalar que este

programa tiene la posibilidad de realizar análisis implícitos y explícitos. Por defecto, el

método de integración utilizado es el de Newmark clásico (β = ¼ y γ = ½). Además

hay que reseñar que también nos ofrece la posibilidad de definir los parámetros del

amortiguamiento de Rayleigh α y δ .

También hay que decir que CalculiX se provee de ‘solvers’ matemáticos exteriores

e independientes para la resolución de los problemas como son ARPACK, SPOOLES,

SGI y TAU.

Fijándonos en el código del programa, lo conforman 247 subrutinas (sin contar

las de librería), de las cuales 24 de ellas están en lenguaje C y el resto en FORTRAN. La

función principal (ccx_1.3.c) está en C y se encarga de llamar a las demás. Además,

ninguna rutina en FORTRAN puede llamar a una rutina en C, en cambio lo contrario si

es posible. Notar que todos los argumentos son pasados por referencia y no por valor.

La subrutina principal está compuesta básicamente de las siguientes partes:

1. Asignación en memoria de los campos (openfile.f, readinput.c,

allocation.f )

Después, para cada paso:

2. Lectura del dato de entrada (calinput.f).

3. Determinación de la matriz de la estructura (mastruct.c y mastructcs.c)

4. Resolución de las ecuaciones y obtención de resultados.

Centrándonos en el último punto, decir que según el tipo de análisis que se realiza,

así será la subrutina que es llamada en la función principal. Podemos distinguir:

Para análisis estáticos profile.c y prespooles.c (según los solvers

utilizados).

Para análisis dinámicos no-lineales y térmicos nonlingeo.c.

Para análisis en frecuencia arpack.c y arpackcs.c.

Para pandeo arpackbu.c.

Para análisis dinámicos lineales dyna.c.


30

Para análisis de estados dinámicos estables steadystate.c

A raíz de la información anterior se podría prescindir de las subrutinas profile.c,

prespooles.c, nonlingeo.c, arpack.c, arpackcs.c, arpackbu.c y steadystate.c y todas

aquellas que fueran llamadas en las citadas y que a su vez no lo fuesen en dyna.c.

2.6. FEAPpv: Un programa de elementos finitos. Versión personal.

2.6.1. Descripción del programa.

FEAPpv es la versión limitada del programa comercial FEAP. Al igual que el

anterior, es un programa de software libre y sin garantías del cual disponemos de su

código de programación en www.ce.berkeley.edu/~rlt/feappv. Su creador es Robert L.

Taylor, profesor en la universidad de Berkeley (California) en el Departamento de

Ingeniería Civil y Medioambiental. Dicho programa está fuertemente influenciado por

el libro The Finite Element Method, de Zienkiewicz and R.L. Taylor [34].

Este sistema de análisis computacional fue desarrollado con la intención de:

- Ser un programa de fácil manejo para los principiantes en los elementos

finitos de forma que pudiesen familiarizarse con los diferentes tipos de

elementos y métodos de modelaje.

- Ser utilizado en investigación, y/o aplicaciones que requiriesen frecuentes

modificaciones.

A pesar de ser una versión limitada, es un programa muy completo, sobretodo

desde el punto de vista de la librería de elementos que posee.

El sistema de computación fue desarrollado en un principio para estaciones de

trabajo UNIX y para ordenadores personales (Windows PC). El programa tiene

integrados diferentes módulos que se encargan de recibir los datos de entrada del


31

modelo de elementos finitos, la resolución del problema en un amplio rango de

aplicaciones y la presentación de los resultados de forma gráfica y/o numérica.

FEAPpv es capaz de resolver problemas estructurales (estáticos o transitorios), de

transferencia de calor o de mecánica de fluidos, así como muchos otros problemas

modelados por ecuaciones diferenciales. A diferencia que CalculiX, un problema se

resuelve utilizando un ‘command language’ que es un comando que especifica el

algoritmo a utilizar para obtener la solución. El programa está provisto de una cantidad

aceptable de estos comandos. Así por ejemplo, si tengo un sistema de ecuaciones de

segundo orden, como es el caso de un problema estructural transitorio, el usuario

especificará que la estrategia para obtener la solución será mediante la utilización del

método de integración temporal de Newmark.

En cuanto a la librería de elementos, FEAPpv tiene los siguientes:

- ‘Solid’ Elemento ‘brick’ o ladrillo que es usado para resolver

problemas continuos con pequeñas o grandes deformaciones. Existen

elementos 2-D y 3-D y pueden tener diferentes nodos.

- ‘Frame’ Elemento viga. Usado para modelos estructurales con

deformaciones debidas a axil, cortante y flector. Cada elemento tiene dos

nodos y puede ser 2-D o 3-D.

- ‘Truss’ Elemento cable. Es utilizado para aquellos casos en que sólo

hay deformación y fuerza axil.

- ‘Plate’ Elemento lámina. Son usados en modelos estructurales con

conducta de cuerpos planos en los cuales una dimensión es mucho más

pequeña que las otras dos.

- ‘Shell’ Elemento cáscara. Este elemento modela cuerpos curvos cuyo

espesor es menor que las otras dos dimensiones.

- ‘Membrane’ Elemento membrana. Usado para modelos estructurales

con conducta de cuerpos curvos que son delgados y sólo tienen cargas en

el plano.

- ‘Thermal’ Elemento térmico. Este elemento se utiliza para calcular la

temperatura en elementos sólidos o viga.

- ‘User’ Los usuarios pueden añadir elementos propios al programa.


32

En relación a los tipos de materiales, FEAPpv está provisto de distintos modelos

de materiales como son: materiales elásticos lineales ortotrópicos e isotrópicos,

materiales visco-elásticos, materiales plásticos,…. Reseñar que en este programa el

amortiguamiento de Rayleigh es introducido en la definición de los materiales y sólo se

tiene en cuenta para materiales elásticos lineales.

Al igual que con CalculiX, es posible utilizar cargas puntuales y distribuidas

dependientes del tiempo.

Centrándonos en el análisis transitorio que es el que nos interesa, este programa de

elementos finitos puede utilizar, según sea la naturaleza del sistema de ecuaciones

diferenciales a resolver (orden y linealidad), un método u otro. Así para el caso que nos

concierne, es decir para un sistema de ecuaciones de segundo orden lineales, el método

utilizado es el de Newmark. Por defecto, FEAPpv utiliza β = ¼ y γ = ½.

En cuanto al código de FEAPpv, está formulado netamente en lenguaje

FORTRAN. El número de subrutinas que lo conforman es 414 sin contar las funciones

de librería. La función principal recibe el nombre de feappv.f. Las demás subrutinas

están divididas en varios grupos:

- Subrutinas correspondientes al programa. Es el grupo más general y en él se

engloban todas las rutinas encargadas de realizar todas las operaciones y todos

los algoritmos para los distintos análisis. En este grupo tenemos 228 subrutinas.

- Subrutinas de elementos. Son aquellas en las que se definen los distintos tipos de

elementos y materiales. Tenemos 15 subrutinas en este grupo.

- Subrutinas del usuario. En este grupo están todas las funciones que son objeto

de ser modificadas y utilizadas directamente por los usuarios (49 funciones).

- Subrutinas ‘plot’. Aquellas que permiten presentar datos gráficamente (64

subrutinas).

- Subrutinas Windows/Unix. Son dos grupos diferentes de rutinas, de forma que

las correspondientes a cada uno sirven para el funcionamiento del programa en

un entorno u otro.

- Subrutinas en f77 y f90. Serie de rutinas en FORTRAN 77 y otras en FORTRAN

90.


33

Por último es interesante comentar que el código de FEAPpv es un código

bastante ‘claro’ y es por este motivo y por su facilidad de modificación, que sea un

programa bastante extendido en las universidades de ingeniería.

Validación de los programas de elementos finitos: CalculiX y FEAPpv Proyecto Fin de Carrera

34

3.- Validación de los programas de elementos finitos:

CalculiX y FEAPpv.

3.1. Validación de CalculiX.

En este punto lo que se trata es de verificar la capacidad del programa CalculiX a

la hora de realizar distintos análisis estructurales. Concretamente se realizarán una serie

de problemas estáticos y dinámicos con este programa y con otro programa de

elementos finitos comercial que es ANSYS. Los resultados obtenidos se compararán

entre sí y con la solución teórica de cada uno de los problemas. Con esta serie de tests se

tendrá la certeza de que el programa, del cual no tenemos garantías de antemano y se

desconocen sus posibilidades, es apto para su utilización.

3.1.1. Problemas estáticos.

3.1.1.1. Viga biapoyada con carga vertical en el centro.

El problema en cuestión es el siguiente:

L = 2 m

A

B

C

F = 100 N

b = 0.08 m

h = 0.08 mX

Z

Y

Z

Fig.3.1. Viga biapoyada con carga en el centro.


35

Datos de la sección de la viga y del material (acero):

46zzyy m 10·41333.3II −== .

A = 6.4 ·10-3 m2.

E = 2.1·1011 N/m2.

ν =0.3.

a. Solución teórica.

La solución teórica del problema se desarrolla en el anexo D. El desplazamiento

en el centro de la viga es el siguiente:

EI48L·F 3

B ↓=δ (3.1.1)

A continuación se sustituyen los datos de nuestro problema en la expresión

anterior:

m10·325.2 5B

−−↓=δ

b. Solución con elementos finitos.

Se ha utilizado, además del programa de elementos finitos CalculiX, el programa

ANSYS, con el fin de comparar los resultados obtenidos con el primero y los obtenidos

con este último. También se compararán con los resultados teóricos.

Señalar que con ANSYS sólo se ha utilizado un tipo de elemento que es el BEAM4.

Este elemento es uniaxial y tiene seis grados de libertad en cada uno de los nodos y está

provisto de tracción, compresión y torsión. En cuanto a CalculiX se han utilizados dos

tipos diferentes de elementos, obteniendo con cada uno de ellos resultados muy

dispares. En concreto son el B32 y el B32R. El B32 es un elemento viga, unidimensional

y cuadrático con tres nodos, tal y como se muestra en la figura siguiente:


36

n1

n2

t

1

23

Fig.3.6. Elemento viga en CalculiX.

En cada uno de los nodos se define un sistema de coordenadas cartesianas t - n1-

n2, donde t es el vector local y normalizado de la tangente, n1 es el vector normal en la

dirección 1 y n2 es el vector normal en la dirección 2. Las direcciones 1 y 2 son

utilizadas para expandir el elemento B32 en un elemento C3D20 (elemento ‘brick’,

cuadrático, tridimensional con 20 nodos). Este hecho se produce siempre que utilicemos

un elemento viga y es como se muestra a continuación:

1 2 3

1 2

34

5 6

78

9

10

11

12

13

14

15

16

1718

1920

2

1

t

Nodo elemento 3D

Nodo elemento 1D

Fig.3.7. Expansión del elemento viga al elemento ‘brick’.

En cuanto al elemento B32R es similar al anterior con la salvedad de que este

utiliza integración reducida y el B32 no. En este caso la expansión se produce al


37

elemento C3D20R que tiene 2x2x2 puntos de integración y el C3D20 tiene 3x3x3

puntos de integración.

A continuación se muestra una tabla con el desplazamiento máximo (δB↓)

obtenido utilizando los diferentes programas y el error relativo:

( ) 100*% teóricaB

teóricaB

obtenidaB

δ

δ−δ=ε (3.1.2)

Elemento Mallado (nº de

elementos) δB↓ (m) ε (%)

Teoría - - -2.32515 · 10-5 -

ANSYS BEAM4 10 -2.3251 · 10-5 0.0022

2 -1.7152 · 10-5 26.23

5 -2.2692 · 10-5 2.41 B32

10 -2.3267 · 10-5 0.067

2 -2.3348 · 10-5 0.415

5 -2.329 · 10-5 0.166

CalculiX

B32R

10 -3.6484 · 10-5 56.91

Tabla.3.2. Resultados de desplazamiento máximo.

Como se puede observar, utilizando el elemento B32, los resultados mejoran

según vaya aumentando el número de elementos de la discretización. En cuanto al

elemento B32R, su comportamiento es idóneo para un número de elementos pequeño

mientras que empeora considerablemente cuando el mallado es muy fino.

Vamos a comparar el desplazamiento en la dirección z a lo largo de toda la viga.

En la siguiente gráfica se muestra dicho desplazamiento utilizando todas las

opciones expuestas anteriormente.


38

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10-5 Comparacion desplazamientos viga biapoyada con carga vertical en el centro

l(m)

uy(m

)

ANSYSCalculix (2 elementos B32)Calculix (5 elementos B32)Calculix (10 elementos B32)Calculix (2 elementos B32R)Calculix (5 elementos B32R)Calculix (10 elementos B32R)

Fig.3.8. Desplazamiento en dirección z a lo largo de la viga.

Se representan los resultados de CalculiX que más se parecen a los de ANSYS.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10-5 comparacion desplazamientos viga biapoyada con carga vertical en el centro

l(m)

uy(m

)

ANSYSCalculix (10 elementos B32)Calculix (2 elementos B32R)Calculix (5 elementos B32R)



39

En la siguiente figura se representa el error relativo entre ANSYS y CalculiX para

cinco elementos B32R que es la que a simple vista más se parece.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4error relativo entre ANSYS y CALCULIX (5 elementos B32R)

l(m)

erro

r (%

)

Fig.3.10. Error relativo entre ANSYS y CalculiX

En conclusión hay que señalar que el elemento B32 (convertido internamente en el

C3D20) es demasiado rígido y al utilizarlo con pocos elementos los resultados no son

bueno, mientras que si utilizamos en su lugar el B32R (convertido internamente en el

C3D20R) con pocos elementos los resultados son mucho mejores.


40

3.1.1.2 Viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre.


A B

F

b

hX

Z

Y

Z

L

Fig.3.11. Viga en voladizo con carga en el extremo libre.

Datos del problema: Datos de la sección:

L = 2m. A = 6.4 ·10-3 m2.

F = 1000 N. 46zzyy m 10·41333.3II −==

b = 0.08 m.

h = 0.08 m.

Datos del material (acero):

E = 2.1·1011 N/m2.

ν =0.3.


El desplazamiento teórico en el punto B es el siguiente (anexo D):

EI3

FL v3

B =↓ (3.1.3)

Sustituyendo los datos del problema en la ecuación (3.1.3) se obtiene:

m 10 · 72024.3 v 3B

−−=↓


41


Se utiliza al igual que en el ejemplo de la viga biapoyada, tanto CalculiX como

ANSYS. Además con ambos programas se ha utilizado los mismos elementos que en el

problema anterior, es decir, con ANSYS el elemento BEAM4 y con CalculiX los

elementos B32 y B32R.

Los resultados que se obtienen se muestran en la tabla siguiente:



Teoría - - -3.72024 · 10-3 -

ANSYS BEAM4 10 -3.7202 · 10-3 0.0011

2 -3.253 · 10-3 12.56

5 -3.578 · 10-3 3.82

10 -3.658 · 10-3 1.67

15 -3.688 · 10-3 0.867

20 -3.69 · 10-3 0.813

B32

25 -3.703 · 10-3 0.46

2 -2.193 · 10-3 41.05

CalculiX

B32R 5 No converge -

Tabla.3.4. Resultados de desplazamiento máximo.

Se observa de la tabla anterior que el elemento B32 funciona mejor cuanto mayor

sea la discretización utilizada, en cambio el elemento B32R no funciona bien con

ninguna discretización.

Vamos a comparar el desplazamiento vertical a lo largo de toda la vida que se

obtiene con los programas de elementos finitos.


42

En primer lugar se comparan todas las alternativas mostradas en la tabla 3.4.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10-3 comparacion desplazamientos viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre

l(m)

uy(m

)

ANSYSCalculix (2 elementos B32)Calculix (5 elementos B32)Calculix (10 elementos B32)Calculix (15 elementos B32)Calculix (20 elementos B32)Calculix (25 elementos B32)Calculix (2 elementos B32R)


Quedándonos con las alternativas de CalculiX que más se asemejan a la solución

de ANSYS nos queda la siguiente figura:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10-3 comparacion desplazamientos viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre

l(m)

uy(m

)

ANSYSCalculix (10 elementos B32)Calculix (15 elementos B32)Calculix (20 elementos B32)Calculix (25 elementos B32)



43

Como conclusión se puede decir que las soluciones obtenidas con CalculiX y con

ANSYS son muy parecidas a partir de una discretización de 10 elementos siempre que se

utilice el elemento B32.

3.1.2. Problemas dinámicos.

3.1.2.1. Cubo bajo una presión variable en el tiempo.

El ejemplo seleccionado para comparar la potencia de CalculiX ante análisis

dinámicos tales que las cargas sean dependientes del tiempo es el de un cubo cuya cara

superior está sometida a una presión dependiente del tiempo y empotrado en la base de

éste. Además sus caras laterales tendrán impuestas unas condiciones de contorno que se

exponen a continuación. Así el problema será:

x

y

z

t

L

Fig.3.17. Cubo bajo una presión variable en el tiempo.


44

x

z

t

a

b

Fig.3.18. Cubo bajo una presión variable en el tiempo.

La carga distribuida a la cual está sometida el cubo es multiplicada por la función

de Heaviside (φ (t) ).

t

φ

1

∆t

Fig.3.19. Función de Heaviside.


45

Datos del problema:

L = 1m.

b = 1 m.

a = 1 m.

t = 10 N/m2.


E = 2.1·1011 N/m2.

ν = 0.3.

ρ = 7850 kg/m3.

Además el problema tiene las siguientes condiciones de contorno:

6

2

3

4

5

1

Fig.3.20. Numeración de las caras del cubo.

Cara Condición de contorno

1,2,3,4 0t

0uu

z

yx

=

==

5 0

0uuu

zyx

zyx

=θ=θ=θ

===

Tabla.3.5. Condiciones de contorno del problema.


46


La solución teórica del problema anterior es la siguiente:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ

++−φ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ

++−−

−

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ

−+−φ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ

−+−−

ρρ

φ= ∑

=

Ezb·1n·2t·

Ezb·1n·2t

Ezb·1n·2t·

Ezb·1n·2t·1

E·E1·

tu

t,zu 1000

0n

n

est,z

z

(3.1.4)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ

++−φ+

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ

−+−φ−φ=

σσ ∑

= Ezb·1n·2t

Ezb·1n·2t·1·tt,z 1000

0n

n

est,zz

zz (3.1.5)

Donde:

E

t·bA·t·A·E

bF·A·E

bu est,z === (3.1.6)

test,zz =σ (3.1.7)

En nuestro caso la función de Heaviside que utilizaremos tendrá el siguiente

incremento de tiempo:


47

t(s)

φ

1

0 2e-41e-4 3e-4 4e-4 5e-4 6e-4 7e-4 8e-4 9e-4 10e-4

Fig.3.21. Función de Heaviside del problema.

Se observa que ∆t = 10-4 s.

A continuación se representará el desplazamiento teórico en la cara superior o cara

número 6 (z = b) y la tensión en el empotramiento (z = 0). La representación será

adimensional en ambos casos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

t(s)

uy/u

yest

Desplazamiento TEORICO de la cara superior

Fig.3.22. Desplazamiento teórico en la cara superior del cubo.


48

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

t(s)

Szz

/Szz

,est

Tension TEORICA en el empotramiento

Fig.3.23. Tensión teórica en la cara correspondiente al empotramiento.


Al igual que en los ejemplos anteriores, se ha utilizado el programa de elementos

ANSYS para la comparación de la solución que proporciona CalculiX.

Con CalculiX se ha utilizado el elemento tridimensional C3D20 y el C3D20R que

ya han sido descritos en los ejemplos anteriores.

1 2

34

5 6

78

9

10

11

12

13

14

15

16

1718

1920

Fig.3.24. Elemento C3D20.


49

Por otro lado, con ANSYS se ha utilizado el elemento tridimensional SOLID186, el

cual tiene desplazamientos cuadráticos y se comporta bien ante mallados irregulares.

Está constituido por 20 nodos con tres grados de libertad por nodo: translación en las

direcciones x,y,z. Es capaz de soportar plasticidad, hiperelasticidad, creep, grandes

deformaciones y grandes esfuerzos.

Una vez mencionados los tipos de elementos a utilizar, se procede a la

comparación de resultados. En primer lugar los resultados que se obtienen son para una

discretización del cubo en ocho elementos hexaédricos en ambos programas, tal y como

se muestra en la figura.

Fig.3.25. Mallado del cubo utilizado.

En ambos casos se ha utilizado un tamaño de paso de integración constante de

5·10-6 s. El tiempo final que se ha tomado es de 5·10-3 s (con ∆t = 10-4 s) y por tanto el

número de integraciones será 103.

Con estas especificaciones se obtienen los siguientes resultados:


50

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-11

t(s)

uy(m

)

Comparacion desplazamiento en la cara superior

ANSYSCALCULIXTEORICO

Fig.3.26. Desplazamiento vertical en la cara superior del cubo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

t(s)

Szz

(N/m

2 )

Comparacion tensiones en el empotramientoANSYSCALCULIXTEORICO

Fig.3.27. Tensión en la cara del empotramiento del cubo.


51

Como se puede observar los resultados de desplazamiento vertical en la cara 6 del

cubo son bastante parecidos a la solución teórica, y a su vez, los resultados obtenidos

con ANSYS y CalculiX también son muy similares. En cuanto a los resultados de las

tensiones en el empotramiento, éstos siguen la tendencia de la tensión teórica, aunque

difieren un poco de la misma. Además, se obtiene que la tensión dada por CalculiX se

asemeja más a la teórica que la obtenida con ANSYS. Estos resultados pueden

considerarse buenos, ya que el problema que estamos estudiando es un problema

complejo que normalmente no da tan buenos resultados experimentales.

Ahora lo que vamos a hacer es disminuir el ∆t con la intención de conseguir

mejores resultados, ya que, teóricamente éstos son mejores cuanto menor es el

incremento de tiempo de la función de Heaviside. Así cogeremos un ∆t = 10-5 s.

Además se podrá ver que estos resultados mejoran cuanto mayor es el número de

elementos en el cual discretizamos el cubo. Utilizaremos en el caso de CalculiX una

discretización de 32 elementos hexaédricos, mientras que con ANSYS el mallado del

volumen será con 100 elementos tetraédricos.

Fig.3.28 Mallado con 32 elementos (CalculiX) Fig.3.29 Mallado con 100 elementos (ANSYS)

Las gráficas que se obtienen son las siguientes:


52

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-11

t(s)

uy(m

)

Comparacion desplazamiento en la cara superior (INC T = 1e-5)

TEORICOANSYS (8 elementos)ANSYS (100 elementos)CALCULIX (32 elementos)


Como se puede comprobar en la figura anterior los resultados de uy (b,t) obtenidos

con los programas de elementos finitos son muy parecidos entre sí y a su vez más

parecidos a la solución teórica que en el caso anterior. Por otro lado las diferencias son

mínimas entre un mallado y otro.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

t(s)

Szz

(N/m

2 )

Comparacion tensiones en el empotramiento(INC T = 1e-5)TEORICOANSYS (8 elementos)ANSYS (100 elementos)CALCULIX (32 elementos)



53

En cuanto a las tensiones, se observa que efectivamente se parecen más los

resultados de elementos finitos a los teóricos que con el incremento de tiempo anterior.

En esta gráfica si se puede ver la mejoría existente cuando discretizamos el cubo en más

elementos, ya que la solución proporcionada por ANSYS para ocho elementos

hexaédricos difiere más de la teóricas que la correspondiente a 100 elementos

tetraédricos.

Representamos sólo las soluciones más aproximadas:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-11

t(s)

uy(m

)

Comparacion desplazamiento en la cara superior (INC T = 1e-5)

TEORICOANSYS (100 elementos)CALCULIX (32 elementos)



54

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

t(s)

Szz

(N/m

2 )

Comparacion tensiones en el empotramiento(INC T = 1e-5) TEORICOANSYS (100 elementos)CALCULIX (32 elementos)


En conclusión se puede decir que los resultados que se obtienen con CalculiX son

óptimos y que se cumple que cuanto menor sea el ∆t mejor es la solución obtenida.


55

3.2. Validación de FEAPpv.

Se procede a la verificación de la capacidad del programa FEAPpv a la hora de

resolver distintos problemas estructurales, tanto estáticos como dinámicos. Los

resultados obtenidos se compararán con los de otros programas de elementos finitos

(ANSYS y CalculiX) así como con la solución teórica correspondiente. Se pretende, al

igual que hicimos con el programa CalculiX, ver si FEAPpv nos ofreces las garantías

suficientes para su utilización.

3.2.1. Problemas estáticos.

3.2.1.1. Viga biapoyada con carga vertical en el centro.


L = 2 m

A B

C

F = 100 N

b = 0.08 m

h = 0.08 mX

Z

Y

Z

Fig.3.34. Viga biapoyada con carga en el centro

Datos de la sección de la viga y del material (acero):

46zzyy m 10·41333.3II −== .

A = 6.4 ·10-3 m2.

E = 2.1·1011 N/m2.

ν =0.3.


56

El desplazamiento teórico según el eje z en el punto C viene dado por la ecuación

(3.1.1). En cuanto a la solución mediante elementos finitos, se ha utilizado además de

FEAPpv, ANSYS y CalculiX. Centrándonos en el programa objeto de nuestro estudio, se

ha utilizado como elemento los de tipo viga, al igual que con los demás programas.

Concretando más, el elemento recibe el nombre de ‘FRAMe’ y es usado para modelos

estructurales que incluyen deformación debida a axiles, cortantes y flectores. El modelo

del elemento es formulado en términos de fuerzas resultantes que se calculan por

integración de los componentes de las tensiones sobre la sección del elemento. Cada

elemento tiene dos nodos y puede ser utilizado en problemas de dos y tres dimensiones.

Para problemas de dos dimensiones cada nodo tendrá tres grados de libertad (ux ,uy ,θz) y

para problemas de tres dimensiones cada nodo tendrá seis grados de libertad (ux ,uy ,uz

,θx , θy , θz).

A continuación se presenta una tabla en la que se recogen los desplazamientos

según el eje z en el punto C obtenidos por los diferentes programas. Además también se

presenta el error relativo que tiene cada resultado con respecto a la solución teórica

utilizando la ecuación (3.1.2).



Teoría - - -2.32515 · 10-5 -

ANSYS BEAM4 10 -2.3251 · 10-5 0.0022

FEAPPV FRAMe 10 -2.3252 · 10-5 0.0022

CalculiX B32 10 -2.3267 · 10-5 0.067

Tabla. 3.6. Desplazamiento vertical y error relativo en el punto C de la viga.

Se puede ver que el programa que estamos evaluando ofrece muy buenos

resultados para este problema.

En la siguiente gráfica se recogerá la comparación de los distintos

desplazamientos a lo largo de la viga.


57

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10-5 comparacion desplazamientos viga biapoyada con carga vertical en el centro

l(m)

uy(m

)ANSYSCalculiXFEAPPV

Fig.3.35.Desplazamiento vertical a lo largo de la viga con distintos programas.

Como se puede observar la solución utilizando el programa FEAPpv y ANSYS son

muy parecidas. En la gráfica siguiente se evalúa el error relativo entre ambos resultados.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10-3 error relativo entre ANSYS y FEAPPV

l(m)

erro

r rel

ativ

o (%

)

Fig.3.36. Error relativo del desplazamiento vertical a lo largo de la viga entre ANSYS y FEAPpv


58

Como se puede comprobar el error relativo máximo es aproximadamente un

0.0045 %, un error que se puede considerar insignificante.

3.2.1.2. Viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre.


A B

F

b

hX

Z

Y

Z

L

Fig.3.37. Viga en voladizo con carga en el extremo libre.

Datos del problema:

L = 2m.

F = 1000 N.

b = 0.08 m.

h = 0.08 m.

Datos de la sección:

A = 6.4 ·10-3 m2.

46zzyy m 10·41333.3II −==


E = 2.1·1011 N/m2.

ν =0.3.


59

El desplazamiento teórico según la dirección z en el punto B se recoge en la

ecuación (3.1.3). En cuanto a las soluciones con los distintos programas de elementos

finitos se muestra en la tabla siguiente. También se recoge el error relativo utilizando la

ecuación (3.1.2).



Teoría - - -3.72024 · 10-3 -

ANSYS BEAM4 10 -3.7202 · 10-3 0.0011

FEAPPV FRAMe 10 -3.7203· 10-3 0.0016

CalculiX B32 10 -3.658 · 10-3 1.673

Tabla.3.7. Desplazamiento vertical y error relativo en el punto B de la viga.

De los resultados recogidos en la tabla anterior se puede decir que el programa que

estamos evaluando da muy buenos resultados para el problema de la viga en voladizo y

mejores que los que se obtuvieron con el programa CalculiX.

En las siguientes figuras se mostrarán los desplazamientos verticales obtenidos

con los distintos programas a lo largo de toda la viga. Además también se representa el

error relativo que se obtiene con el programa FEAPpv en relación con la solución

obtenida con ANSYS. Como se puede comprobar el error máximo que se obtiene es

aproximadamente un 0.006 %, siendo este un error insignificante.


60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10

-3 comparacion desplazamientos viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre

l(m)

uy(m

)ANSYSCalculiXFEAPPV

Fig.3.38. Desplazamiento vertical a lo largo de la viga.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3 error relativo entre ANSYS y FEAPPV

l(m)

erro

r (%

)

Fig.3.39. Error relativo del desplazamiento vertical a lo largo de la viga entre ANSYS y FEAPpv


61

3.2.2. Problemas dinámicos.

En este apartado se resolverán varios problemas dinámicos con cargas

dependientes del tiempo.

3.2.2.1. Viga biempotrada con carga vertical de tipo Heaviside.


L = 20 m

A B

C

F(t)

b = 1 m

h = 1 mX

Z

Y

Z

Fig.3.40. Viga biempotrada con carga en el centro

Datos de la sección:

A = 1 m2.

4zzyy m 083333.0II ==

Datos del material:

E = 2.1·1011 N/m2.

kg/m 2500=ρ

ν =0.3.

Datos de la carga

)t(·P)t(F Φ=

Donde:

P = 300 KN.


62

La función de Heaviside es la siguiente:

t(s)

1

0 0.20.1 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 10

φ(t)

Fig.3.41. Función de Heaviside.

A continuación se presentarán los resultados obtenidos. Hay que señalar que en

los correspondientes análisis no se ha tenido en cuenta el amortiguamiento, es decir no

se ha considerado la matriz de amortiguamiento (ecuación 2.4.4).

En primer lugar se representa el desplazamiento según la dirección z en el punto

central de la viga utilizando los tres programas de elementos finitos estudiados.


63

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-8

-6

-4

-2

0x 10-4

t(s)

uz(m

)

Desplazamiento vertical en el centro de la viga

FEAPPVANSYSCALCULIX

Fig.3.42. Desplazamiento vertical en el centro de la viga.

A continuación se representa la solución de FEAPpv y la solución de ANSYS.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-8

-6

-4

-2

0x 10-4

t(s)

uz(m

)


FEAPPVANSYS

Fig.3.43. Desplazamiento vertical en el centro de la viga con ANSYS y FEAPpv.


64

Ahora se presentarán los resultados que se obtiene teniendo en cuenta la matriz de

amortiguamiento. Señalar que la matriz de amortiguamiento que se ha utilizado es la

correspondiente al amortiguamiento proporcional o amortiguamiento de Raleigh

(ecuación 2.4.4).

Para el cálculo de los coeficientes de Raleigh se ha tomado el coeficiente α = 0 y

se ha calculado δ teniendo en cuenta únicamente el primer modo de vibración cuya

frecuencia natural es la dominante para el tipo de carga que tenemos. Por otro lado se ha

tomado como tasa de amortiguamiento modal ξi = 5% para el primer modo.

Se procede al cálculo de las frecuencias naturales de los modos para la obtención

del parámetro δ.

La siguiente expresión me permite el cálculo de las frecuencias naturales de una

viga para distintas configuraciones:

4iiLEIAµ

=ω (3.2.1)

Donde:

Ai ≡ Valor que depende de la configuración de la viga y del modo.

E ≡ Módulo de Young.

I ≡ Momento de inercia de la sección.

L ≡ Longitud de la viga.

µ ≡ Densidad lineal de la viga.

Los valores de Ai para el caso de una viga biempotrada se muestran en la tabla

siguiente:


65

Modo de vibración Ai

22.4

61.7

121.0

200.0

Tabla.3.8. Valores de Ai para una viga biempotrada.

Sustituyendo los datos del problema en la expresión (3.2.1) se obtienen las

siguientes frecuencias naturales:

s/rad 88.1322rad/s 800.34 rad/s 408.11 rad/s 16.148

4

3

2

1

=ω=ω=ω=ω

Centrándonos en la frecuencia natural del primer modo y utilizando la ecuación

(2.4.6), obtenemos que el coeficiente de Rayleigh δ es aproximadamente 0.0007.

Con este valor se puede obtener las tasas de amortiguamiento de los demás modos

de vibración, de forma que se obtiene:

%0.28%3.14

%5

3

2

1

=ξ=ξ=ξ

Como es lógico las tasas de amortiguamiento son mayores mientras mayor sea el

modo. Se puede comprobar que los amortiguamientos que se obtienen para los demás

modos no son valores demasiado elevados.

Una vez que tenemos definida la matriz de amortiguamiento se procede a la

resolución del problema y a la exposición de los resultados en las siguientes gráficas.


66

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-8

-6

-4

-2

0x 10-4 Desplazamiento vertical en el centro de la viga

t(s)

uz(m

)ANSYSFEAPPV

Fig.3.44. Desplazamiento vertical en el centro de la viga con ANSYS y FEAPpv. (con amort.)

Se observa que ambas soluciones son muy similares. Para corroborar esta

afirmación se presenta el error relativo entre ambas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45Error relativo entre ANSYS Y FEAPPV

t(s)

Erro

r rel

ativ

o (%

)

Fig.3.45. Error relativo de desplazamiento vertical en el centro de la viga entre ANSYS y FEAPpv.


67

El error relativo máximo se produce cerca del instante en el cuál la carga pasa de

tener un valor nulo a tener un valor P, es decir para t =0.5 s y su valor es de 0.42 %.

3.2.2.2. Viga biempotrada con carga vertical transitoria.

El problema es el mismo que el anterior problema cambiando únicamente el tipo

de carga.

L = 20 m

A B

C

F(t)

b = 1 m

h = 1 mX

Z

Y

Z

Fig.3.46. Viga biempotrada con carga en el centro.

La carga será la siguiente:

)t(·P)t(F Φ=

Donde:

P = 300 KN.

t0

INC

1

φ(t)

Fig.3.47. Función φ(t).

INC = 0.2778 s


68

En la figura siguiente se esquematiza la función φ(t) como en realidad se

considera a la hora de introducirla en los programas de elementos finitos.

t0

1

φ(t)

delta

INC Fig.3.48. Esquematización real de φ(t).

En nuestro caso se ha tomado delta = 0.05556 s. Se muestra a continuación una

tabla en la que se recoge todos los puntos que forman la función φ(t).

t (s) 0 0.05556 0.11112 0.16668 0.22224 0.2778 0.33336 0.38892 0.4448

φ(t) 1 0 0 0 0 1 0 0 0

t(s) 0.50004 0.5556 0.61116 0.66672 0.72228 0.77784 0.8334 0.88896 0.94452

φ(t) 0 1 0 0 0 0 1 0 0

t(s) 1.00008 1.05564 1.1112 1.6676 1.22232 1.27788 1.33344 1.389 1.44456

φ(t) 0 0 1 0 0 0 0 1 0

t(s) 1.50012 1.55568 1.61124 1.6668 1.72236 1.77792 1.83348 1.88904 1.9446

φ(t) 0 0 0 1 0 0 0 0 1

t(s) 2.00016 5

φ(t) 0 0

Tabla.3.9. Puntos de la función φ(t).

En primer lugar se realizarán los análisis con los tres programas y sin tener en

cuenta la matriz de amortiguamiento, al igual que se hizo en el problema 3.2.2.1. De

esta forma los resultados son:


69

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-3

t(s)

uz(m

)


FEAPPVCALCULIXANSYS

Fig.3.49. Desplazamiento vertical en el centro de la viga.

En la figura anterior se puede ver como los resultados de CalculiX difieren en

mayor medida de los otros dos. Representando las soluciones de ANSYS y FEAPpv, se

obtiene:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10-3

t(s)

uz(m

)


FEAPPVANSYS

Fig.3.50. Desplazamiento vertical en el centro de la viga con ANSYS y FEAPpv.


70

Seguidamente se presentarán el desplazamiento vertical que se obtiene teniendo en

cuenta la matriz de amortiguamiento. Al igual que en el apartado anterior se utiliza el

amortiguamiento de Raleigh y los coeficientes α y δ son los mismos que antes.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-8

-6

-4

-2

0

2


t(s)

uz(m

)

ANSYSFEAPPV

Fig.3.51. Desplazamiento vertical en el centro de la viga con ANSYS y FEAPpv. (con amort.)

Haciendo un zoom en la gráfica anterior.

0 0.5 1 1.5 2 2.5-8

-6

-4

-2

0

2


t(s)

uz(m

)

ANSYSFEAPPV

Fig.3.52. Zoom gráfica 3.51.


71

Como podemos comprobar de las gráficas anteriores los resultados son

prácticamente iguales cuando se considera el amortiguamiento. Para corroborar esta

afirmación se presenta el error absoluto entre los resultados correspondientes a ambos

programas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

-3 Error absoluto entre ANSYS Y FEAPPV

t(s)

Erro

r abs

olut

o (%

)

Fig.3.51. Error absoluto del desplazamiento vertical entre ANSYS y FEAPpv.

3.3. Elección del programa.

Con el objeto de servir a un futuro acoplamiento con programas de elementos de

contorno, como ya se comentó en apartados anteriores, se elige como programa más

idóneo para la causa el programa FEAPpv. Las razones son las siguientes:

- La primera razón y más obvia es que, como se puede observar en los

resultados anteriores, el programa FEAPpv ofrece mejores resultados que

CalculiX, tanto en problemas estáticos como en problemas dinámicos.

(comparando ambos con ANSYS).


72

- Otra razón muy importante es que el programa FEAPpv tiene un código de

programación mucho más claro que CalculiX, cuyo principal inconveniente es

que su código está escrito en dos lenguajes de programación diferentes. Este

hecho provoca una mayor dificultad de compresión y sobretodo una gran

complejidad en su compilación, que se ve agravada con la existencia de

‘solvers’ independientes.

- Por otra parte, debido a la claridad del programa elegido, es más fácil realizar

las modificaciones oportunas en el código que en el programa desechado.

- Además los archivos de entrada de FEAPpv son más sencillos de programar

que los de CalculiX, así como más claros. Es decir, es más fácil, en líneas

generales, utilizar el primero que el segundo.

- En cuanto al coste computacional, decir que en los ejemplos presentados y en

otros problemas de prueba, el programa elegido se ha mostrado más rápido en

la resolución de los mismos que el programa desechado.

- FEAPpv nos ofrece unos archivos de ayuda más amplios y comprensibles que

los ofrecidos por CalculiX.

- El programa CalculiX está más dirigido a análisis relacionados con la

mecánica y dinámica de fluidos, mientras que FEAPpv está más dirigido a

problemas estructurales. Así por ejemplo, el primero ofrece muchas

posibilidades de análisis térmicos, hidrodinámicos, de transferencia de calor,

etc. En cambio ofrece carencias en cuanto a la introducción de

amortiguamiento así como tipos de elementos y formas de mallado. Estos

campos son ampliamente satisfechos con FEAPpv.

La resonancia en puentes de ferrocarril y métodos de cálculo dinámico Proyecto Fin de Carrera

73

4. La resonancia en los puentes de ferrocarril y los

métodos de cálculo dinámico utilizados.

4.1. Normativa actual. Las normas existentes hasta ahora ([26], [32] y [33]) para el cálculo de puentes

ferroviarios tienen en cuenta la respuesta dinámica a través de un coeficiente de

impacto, que representa el aumento de la respuesta dinámica respecto a la estática para

una única carga móvil. Este coeficiente se denota por Φ y además de recoger los

efectos dinámicos propios de la carga móvil, también recoge los efectos producidos por

las irregularidades del carril. Así, el coeficiente de impacto se calculará al final como la

envolvente

( )ϕ ′′+ϕ′+=Φ 1máx (4.1.1)

Donde ϕ′ es el incremento debido al efecto dinámico en una estructura ideal

(adquiere un valor máximo de ϕ′= 1.39 para una vía recta ideal) y ϕ ′′ es el incremento

producido por las irregularidades del carril.

El valor de 1+ϕ′ se obtiene directamente a partir de los cálculos dinámicos como

relación entre la máxima flecha dinámica producida por una carga móvil y la flecha

estática real (Esta flecha se puede calcular haciendo circular la carga a una velocidad

suficientemente baja). Por otra parte, el valor de ϕ ′′ se obtiene de una expresión

propuesta en la norma UIC [32].

La consideración del coeficiente de impacto Φ así definido, es suficiente para

tener en cuenta el efecto dinámico de una única carga móvil, pero no tiene en cuenta la

posible resonancia que se produciría por la repetición cíclica de cargas. Hasta la

aparición de la alta velocidad esto no era un problema, ya que las frecuencias de

vibración y las distancias entre ejes de las composiciones circulantes que se utilizan,

posibilitaban que la resonancia no se diera en la práctica. Pero ahora, con velocidades

por encima de los 200 km/h y para las distancias entre ejes de los trenes reales, es

posible la aparición de efectos resonantes.

Por tanto los efectos resonantes han permanecido ausentes hasta el momento en

las normas de cálculo, aunque se está intentado paliar este fenómeno con la aparición de


74

nuevas instrucciones de cálculo como son la Italiana [17], el nuevo borrador del

Eurocódigo 1 [14] y el nuevo borrador Español [25].

Las expresiones generales contenidas en las normas para el cálculo del coeficiente

de impacto pretenden ofrecer fórmulas sencillas que tengan el carácter de envolvente

para los rangos de velocidades, frecuencias de las estructuras y tipos de trenes

considerados. A continuación se resumen la metodología simplificada de dicho

coeficiente en la normativa europea.

4.1.1. Ficha UIC-776-I R [32]

Es el documento origen y referencia del resto de las normativas. Según la misma,

los efectos dinámicos se valorarán aplicando un coeficiente de impacto Φ a los efectos

producidos por el tren de cargas estático denominado LM 71 – Load model 71, recogido

en (UIC Code 702 – O [31]). En la figura 4.1 Se recoge la definición de este tren de

cargas. Para una sola vía queda definido por:

- Cuatro cargas centrales que representa cuatro ejes y cuyo valor es de 250 KN.

Estarán dispuestas en el eje de la vía, separadas entre sí 1.6 m y en la posición

más desfavorable para el elemento en estudio.

- Una sobrecarga uniformemente repartida de valor 80 KN/m, extendida en la

longitud y posición que sea más desfavorable.

80 KN/m 80 KN/m

250 KN 250 KN 250 KN 250 KN

indefinido indefinido0.8 m 1.6 m 1.6 m 1.6 m 0.8 m

Fig.4.1. Tren tipo estático LM 71.


75

El coeficiente de impacto, en vías con grado de mantenimiento bueno, para

cálculo de momentos flectores, es:

1 ;82.02.0L

44.122 ≥Φ+

−=Φ

Φ

(4.1.2)

La luz equivalente LΦ coincide con la real en un elemento isostático biapoyado, y

se da una tabla de equivalencias para otros tipos estructurales.

Este coeficiente de impacto se aplica multiplicando a los valores estáticos de las

solicitaciones obtenidas con el tren LM 71:

real,dintipoest, · δ≥δΦ (4.1.3)

Donde:

- tipo,estδ : Flecha máxima para el tren tipo LM 71.

- real,dinδ : Flecha máxima del puente para el tren de cargas real en el rango de

velocidades de circulación.

La expresión (4.1.2) resulta de obtener una envolvente dinámica para todos los

trenes reales. La interpretación de esta envolvente es como sigue.

Se cumple que: ( ) realest, realdin, · 1 δϕ ′′+ϕ′+=δ (4.1.4)

Entonces: ( ) realest, tipoest, · 1 · δϕ′′+ϕ′+≥δΦ (4.1.5)

Donde:

- real,estδ : Flecha máxima del puente para el tren de cargas real cuando se considera

estático.

Es importante observar que, el coeficiente de impacto Φ se aplica a las

solicitaciones obtenidas por el tren tipo, mientras que los factores ( ) 1 ϕ ′′+ϕ′+ se

aplican a los trenes reales, normalmente bastante menos pesados que el tren tipo. El

valor que la norma considera para estos coeficientes es el siguiente:


76

0

4 fL2vK;

KK1K

Φ

=+−

=ϕ′ (4.1.6)

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=ϕ ′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Φ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ΦΦ

22

20L

010L

e180L·f

50.0e56.0a (4.1.7)

Donde:

- ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 1,

22vmína , estando la velocidad v expresada en m/s.

- f0 : Frecuencia fundamental a flexión del puente [Hz].

La aplicación del coeficiente de impacto está sujeta a algunas restricciones, con

objeto de que responda a las situaciones reales de puentes y trenes para las que fue

formulado y comprobada su validez. En concreto, la frecuencia fundamental del puente

debe estar contenida en un huso definido en relación con la luz del puente, en la figura

4.2.

Fig.4.2. Límites de la frecuencia natural f0 en Hz en función de la luz del elemento.

El coeficiente de impacto así definido no tiene en cuenta efectos resonantes. Para

evitar esta posibilidad, la mayor parte de las instrucciones limitan su uso para v ≤ 200

km/h.


77

4.1.2. Instrucción IAPF-75 [26]

La norma española IAPF-75 define un “incremento dinámico”, expresado en tanto

por ciento, para el cual prescribe los valores siguientes, en tableros isostáticos:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+−

<=

m; 6 L luzLL76.110.3

L114

m; 6 L luz v · 33.0I

(4.1.8)

En esta expresión v es la velocidad del tren en km/h. El incremento dinámico

anterior da lugar a un coeficiente de impacto ( )100I1+=Φ que se aplica a las

solicitaciones estáticas definidas por unos trenes tipo específicos, denominados “tren

tipo A” y “tren tipo B”, que incluyen cargas puntuales de 30 t y sobrecargas repartidas

de hasta 12 t/m.

Para tramos continuos la expresión propuesta es

2L

T · v;-1

65I 2 =µµ+µ

µ= (4.1.9)

siendo T el periodo fundamental de vibración, y debiendo expresarse la velocidad

v para esta fórmula en m/s.

El rango de aplicación de este coeficiente es para v ≤ 200 km/h.

Como se ha visto en la normativa actual, el método del coeficiente de impacto, en

contrapartida a su sencillez, tiene una serie de limitaciones. La principal de ellas es que,

al no considerar la resonancia, no es válido para velocidades altas. En estas

circunstancias puede realizarse un cálculo dinámico con cargas móviles, de forma que

estos métodos se basan en la integración en el tiempo de las ecuaciones dinámicas de la

estructura, sometida a una serie de cargas móviles de valores dados.


78

4.2. Efectos resonantes.

Los fenómenos dinámicos que se producen en los puentes de ferrocarril se deben,

fundamentalmente a las cargas verticales móviles correspondientes a cada eje del

vehículo ferroviario. Estos ejes se encuentran a unas determinadas distancias a lo largo

de la longitud del tren. Así, a una velocidad constante de circulación, las cargas

espaciadas y móviles pueden convertirse en excitaciones periódicas. Por ello, además

del efecto dinámico inherente al paso de cargas por un puente, es posible añadir otros

efectos producidos por la entrada periódica de las cargas. A estos efectos se les conoce

con el nombre de efectos resonantes y suelen producir un incremento en las

deformaciones y esfuerzos soportados por las estructuras.

Para valorar la importancia de la resonancia en las estructuras, se presenta a

continuación un ejemplo donde se recogen los efectos producidos en un puente

isostático de 15 metros de longitud ante el paso de una carga móvil aislada y un tren de

cargas móviles.

El puente en cuestión se modelará como se presenta en la siguiente figura y tiene

las siguientes propiedades que se proponen en (ERRI D214 (a) [7]):

L = 15 m

A BCX

Y

Fig.4.3. Modelo del puente isostático de 15 metros de longitud.


79

Tablero

EIzz (N·m2) 7694081·103

Área (m2) 6

f0 (Hz) 5

E(N/m2) 29·109

ν 0.2

ϕ (Kg/m3) 2500

Tabla 4.1. Propiedades del puente isostático de 15 m.

En cuanto a la carga, se supondrá una carga de 195000 N con una velocidad de

288 km/h. Además se ha considerado una tasa de amortiguamiento estructural de

%2=ς .

4.2.1. Cálculo de la respuesta estática.

Vamos a comparar los efectos dinámicos que se producen en el punto central del

puente. Por ello es necesario obtener la flecha estática que se produce en este punto de

la estructura cuando hay aplicada una fuerza estática F = 195000 N. Dicho análisis se

realizará con el programa de elementos finitos FEAPpv.

EI48L·F 3

Cmax,est =δ=δ (4.2.1)

m 10 · 78.1 3max,est

−=δ

Fig.4.4. Carga estática aislada aplicada sobre el puente de 15 m.

4.2.2. Respuesta dinámica ante una carga móvil aislada.

Considerando una única carga móvil que se mueve a una velocidad v = 288 km/h

a lo largo del puente, se obtiene el siguiente desplazamiento vertical.

F=195 KN

A BC

X

Y


80

Fv

Fig.4.5. Carga aislada móvil sobre el puente de 15 m.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3

-2

-1

0

1

2

3x 10-3

t(s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

(m)

Fig.4.6. Desplazamiento vertical en el centro del vano del puente isostático de 15 m para carga aislada

(v = 288 km/h)

El desplazamiento máximo de la respuesta a lo largo del tiempo es:

m10 · 2.979- -3max,aislargc =δ

4.2.3. Respuesta dinámica producida por un tren de cargas móviles.

Se considera ahora el efecto de un tren formado por diez cargas puntuales de igual

valor que la estudiada en el apartado anterior (F = 195000 N). Estas cargas están

separadas unas de otras 16 metros, representando esta distancia la separación efectiva

entre los ejes de distintos vagones de este tren ideal. Señalar que la distancia entre


81

cargas es superior a la longitud del puente, por tanto nunca se encontrarán

simultáneamente actuando dos fuerzas sobre el puente. Esto permitirá que la flecha

estática correspondiente a este caso sea la misma que la del caso anterior.

vF

vF

v

1616

F

Fig.4.7. Separación entre cargas móviles.

La respuesta que se obtiene es la siguiente:

0 1 2 3 4 5 6 7-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

(m)

Fig.4.8. Desplazamiento vertical en el centro del vano del puente isostático de 15 m para el tren de cargas

(v = 288 km/h).

Donde la flecha máxima en este caso es:

m10 · 1.5376- 2max,carga tren

−=δ


82

4.2.4. Coeficientes de impacto.

Como se puede comprobar de los apartados anteriores, si consideramos un tren de

cargas la flecha máxima resulta mayor que al considerar sólo una carga aislada. Esta

conclusión se puede sacar a raíz del cálculo del coeficiente de impacto Φ en ambos

casos. Dicho coeficiente se definirá como la relación entre la correspondiente flecha

dinámica y la flecha estática, no teniéndose en cuenta con esta definición las

irregularidades que pueda presentar el carril. Los resultados se muestran en el cuadro

siguiente:

CARGA AISLADA TREN DE CARGAS

Flecha estática - 0.00178 - 0.00178

Flecha dinámica máxima - 0.00298 - 0.01538

Coeficiente de impacto Φ 1.67 8.64

Tabla 4.2. Flecha estática y dinámica y coeficiente de impacto.

En la figura siguiente se recogen ambas respuestas:

0 1 2 3 4 5 6 7-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

(m)

Tren de cargasCarga aislada

Fig.4.9. Comparación de la respuesta mediante carga aislada y tren de cargas.


83

A raíz de los resultados expuestos anteriormente se prueba que, a diferencia de lo

que viene recogido en la norma, los efectos dinámicos son más perjudiciales para la

estructura al considerar una serie de cargas móviles que al considerar una única carga

móvil aislada. Es posible comprobar que en el caso del tren de cargas, las solicitaciones

dinámicas superan en más de un 750 % a las esperables con un planteamiento estático.

Se puede concluir con que en el ejemplo que se ha presentado en este apartado se

producen claramente efectos resonantes para la velocidad estudiada.

Señalar que el ejemplo anterior se puede encontrar de forma más detallada en

(Dinámica de puente de ferrocarril para alta velocidad, J. Domínguez [4]).

4.3. Riesgo de resonancia.

Una vez que se han observado los posibles efectos que produce la resonancia, se

procede a un estudio más detallado de los factores más influyentes en este fenómeno.

Atendiendo a la relación entre la velocidad de paso y el espaciamiento entre cargas

de una composición, se puede afirmar que existirá riesgo de resonancia para aquellas

velocidades que cumplan:

..1,2,3,....i i

dfv k

0== (4.3.1)

Donde:

- dk es el espaciamiento regular de los trenes. Ver apartado 4.6 y cuadro 4.3

- v es la velocidad de paso que puede crear efectos resonantes. La velocidad

máxima de proyecto V será la que fije el límite superior de las velocidades

con riesgo de producir resonancia.

- f0 (Hz) es la frecuencia fundamental del puente. Para puentes isostáticos

esta frecuencia corresponde a la primera frecuencia propia. Para puentes

hiperestáticos, la frecuencia del modo de vibración de mayor participación

en la respuesta total de la estructura.


84

Normalmente, para estructuras hiperestáticas, no se puede realizar un cálculo

dinámico reduciendo el comportamiento a un único modo de vibración. De

acuerdo a (ERRI D214 (e) [11]), la respuesta total para este tipo de puentes viene

caracterizada por la contribución de aquellos modos de vibración que cumplen fi

≤ 20 Hz, siendo fi la frecuencia de vibración del modo i.

La ecuación (4.3.1) es la relación que debe existir entre v, dk y f0 para que se

acoplen los efectos dinámicos producidos por el paso de los sucesivos ejes.

En el ejemplo anterior se eligió v = 288 km/h porque esta velocidad cumplía la

relación (4.3.1):

v = 288 km/h = 80 m/s

dk = 16 m.

f0 = f1 (primer modo de vibración) = 5 Hz.

Se cumple que: 1

165

80=

En la figura 4.10 se observa la evolución del desplazamiento en el centro del vano,

en función del tiempo, para dos velocidades de circulación del tren de cargas (288 y 360

km/h). En el primer caso se puede apreciar un fenómeno de resonancia clásico; los

efectos dinámicos producidos por el paso de un eje se acoplan a los producidos por el

anterior, amplificando la respuesta total del sistema. En el segundo caso no se observa

efectos de resonancia.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

(m)

v = 288 Km/hv = 360 Km/h

Fig.4.10. Comparación del desplazamiento en el centro del vano para v = 288 km/h y v = 360 km/h.


85

Por otro lado, señalar que la resonancia no depende únicamente de los factores

anteriores sino de muchos otros. Destacar la influencia del amortiguamiento estructural

en los efectos resonantes, de forma que la respuesta puede variar considerablemente al

considerar una tasa de amortiguamiento u otra.

4.4. Modelos de cargas puntuales.

Los vehículos ferroviarios se modelarán como estructuras infinitamente rígidas

que no interaccionan con la estructura. De esta manera las cargas por eje de los modelos

de cálculo están determinadas por un valor constante igual al nominal que corresponde

al tren parado.

A estos modelos de trenes se les llama modelos de cargas puntuales y en ellos

también se ha despreciado los efectos asociados a la flexibilidad del carril, las traviesas

y el balasto.

Por tanto un ferrocarril se modelará como una serie de cargas puntuales que

recorren la estructura a una velocidad dada.

F1F2F3F4F5F6F7F8F9F10v

Fig.4.11. Esquematización de un ferrocarril mediante cargas puntuales en cada eje.

Para modelar el tránsito de una carga puntual a lo largo del puente, se utilizará la

metodología de los escalones de carga. Dichos escalones se definen siguiendo los pasos

siguientes:

1) Se localizan los nodos que se encuentran a lo largo de la trayectoria que

recorre la carga.


86

Fi

v

Nodo 1 Nodo 2 Nodo 3

Fig.4.12. Nodos pertenecientes a la discretización del tablero.

2) Conocida la velocidad v de la carga y definido un tiempo de referencia t0,

origen del movimiento, se determinan los sucesivos tiempos en que la

carga llega a cada uno de los nodos (ti).

Fi

v


Tiempo t = t1

Fi


Tiempo t = t2

Fi


Tiempo t = t3

v

v

Fig.4.13. Esquematización de los tiempos en los que la carga pasa por cada nodo.


87

3) Se define para cada nodo un escalón de carga en función de la velocidad

v, de los tiempos de llegada ti y de la distancia entre nodos. Definido tal

y como muestra en la figura 4.14, lo que se hace es asociar a cada nodo,

para un instante dado, la carga puntual cuando actúa sobre él o una parte

proporcional de la misma cuando está entre dos nodos.

t

Fi

F1(t)

Carga F1(t) en Nodo 1

t1 t2 t3 t4 t5t

Fi

F2(t)


t1 t2 t3 t4 t5

t

Fi

F3(t)


t1 t2 t3 t4 t5

Fig.4.14. Definición de los escalones de carga para cada instante t.

Este será el modelo que se utilizará en la mayor parte de los problemas estudiados

para obtener la respuesta dinámica de una carga móvil aislada. Una vez que la anterior

es conocida, la respuesta de un tren de cargas se obtiene como la superposición de las

respuestas a cargas puntuales Fi. Nótese que la solución de una única carga se realizará

con los programas de elementos finitos mientras que la superposición se llevará a cabo

mediante un programa en FORTRAN (Anexo C) obtenido del Trabajo de Investigación

Tutelado [21].


88

F1F2F3F4F5F6 v

0

d2dk

Fk

Fig.4.15. Superposición de las cargas correspondientes a cada eje.

4.5. Modelo de cargas puntuales teniendo en cuenta la deflexión de

la vía, las traviesas y la flexibilidad del balasto.

En este punto vamos a tener en cuenta la existencia de traviesas y balasto entre la

vía y la estructura. Se considerará una vía recta perfectamente soldada con una distancia

entre traviesas d.

d

Vía

Traviesa

Balasto

Estructura

Fig.4.16. Esquematización de la vía, traviesas y balasto.


89

Cada eje de rueda genera una presión sobre la vía dando lugar a una deflexión de

la misma. Estas deflexiones producirán un movimiento ondulatorio a lo largo de la vía

desplazándose con velocidad v, y una distribución de la carga del eje sobre todas las

traviesas incluidas en la distancia de deflexión. Este hecho se esquematiza en la figura

siguiente.

vFi

Fig.4.17. Deflexión de la vía ante una carga.

Cada traviesa actúa como una fuerza vertical aplicada sobre la estructura durante

el tiempo necesario para que una curva de deflexión pase a través de la traviesa. Este

hecho provoca que al pasar el tren se generen vibraciones. Además cada traviesa puede

ser considerada como una carga vertical puntual.

El cálculo de la curva de deflexión mostrada en la 4.7 se puede realizar mediante

un cálculo cuasi-estático o con un cálculo dinámico. Una vez que se tiene la curva se

procederá a la obtención de la fuerza aplicada a la estructura por una traviesa.

4.5.1. Hipótesis y simplificaciones en el cálculo de la curva de deflexión.

- Se ha considerado el balasto como un semiespacio elástico el cuál se ha

modelado mediante un conjunto de muelles de rigidez α. Por tanto el modelo

que se contempla es aquel en el que el contacto entre vía y suelo es lineal y

continuo. Nótese que existe una carga crítica Tcr, tal que si Fi > Tcr el modelo


90

anterior no es válido. Sin embargo para los trenes de pasajeros actuales

siempre se cumple Fi < Tcr.

- No se ha tenido en cuenta la masa adicional que genera un estrato de balasto,

la cuál puede motivar un aumento de las cargas críticas del eje.

- Tampoco se ha tenido en cuenta para los cálculos la masa del suelo

(estructura) y por tanto estamos despreciando su inercia y el amortiguamiento

del mismo. Esto implica mayores desplazamientos en la estructura.

- No se ha considerado el caso en el que la velocidad de propagación de onda en

la vía es próxima o igual a la velocidad de onda de Rayleigh en la estructura

CR, ya que de otra forma se produciría un acoplamiento entre ambos sistemas,

y la determinación de las fuerzas dinámicas aplicadas sobre el suelo usando

cálculos basados únicamente en la propagación de ondas en la vía no es válido.

4.5.2. Cálculo cuasi-estático de la curva de deflexión de la vía.

Normalmente la distancia de deflexión de la vía es mucho mayor que la distancia

entre traviesas. Es por ello por lo que se considerará una vía, formada por dos raíles

paralelos sujetados periódicamente por traviesa, como una viga elástica de Euler-

Bernoulli de peso uniforme gmp 0= sobre un semiespacio elástico. Se supone que 0m

es la masa de raíles y traviesas.

La expresión que nos permite resolver el problema en la ecuación de una viga

elástica en la que se ha modelado la respuesta de un semiespacio elástico como una

fuerza de reacción de un suelo elástico (Hipótesis de Winkler), siendo ésta proporcional

a la deflexión de la viga w.


91

F

Fig.4.18. Modelado del terreno como semiespacio elástico (viga continua).

La ecuación es la siguiente:

p)x(FwxwIE i4

4z +δ⋅=⋅α+∂

∂⋅ (4.5.1)

Donde:

- E = módulo de Young.

- Iz = momento de inercia de la sección respecto al eje vertical z.

- m0 = masa uniforme de la vía (incluye masa de raíles y de traviesas)

- α = coeficiente de proporcionalidad del suelo elástico. (coeficiente de

Winkler).

- Fi = fuerza vertical puntual aplicada sobre la viga en x = 0.

- δ(x) = Función Delta de Dirac.

Señalar que el coeficiente de proporcionalidad α depende de la rigidez del balasto,

del suelo y también de la almohadilla de caucho insertada entre raíl y traviesas, así

como bajo las traviesas.

La solución de la ecuación (4.5.1) es la siguiente:

( ) ( )α

+β+β⋅+β+β⋅= β−β pxDsenxcosCexBsenxcosAew xx (4.5.2)

siendo:

4zEI4

α=β (4.5.3)

Aplicando las condiciones de contorno se obtiene los valores de A, B, C y D.


92

⎪⎩

⎪⎨⎧

→∂∂→

∞→nulosección la de giro 0

xw

nula flecha 0wx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=∂∂

=conocido cortante

2F-F

horizontal e tangent0xw

0xi

Llegamos a la ecuación:

( ) ( )( )α

+β+ββ

= β− pxsenxcoseEI8

Fw x3

z

i (4.5.4)

Teniendo en cuenta que x puede ser positiva y negativa y que w es simétrica

respecto a x = 0, se puede expresar la ecuación (4.5.4) como:

( ) ( )( )α

+β+ββ

= β− pxsenxcoseEI8

Fw x

3z

i (4.5.5)

Además también es posible deducir que la distancia de deflexión efectiva de la vía

es del orden de:

βπ

=st0x (4.5.6)

4.5.3. Cálculo dinámico de la curva de deflexión de la vía.

Para el caso de trenes de alta velocidad, que es el caso que nos compete, puede

ocurrir que la velocidad del vehículo sea del mismo orden que la velocidad mínima de

propagación de ondas de flexión en el sistema vía-balasto. Este hecho provoca que los

efectos dinámicos jueguen un papel importante en el cálculo de la curva de deflexión.

La ecuación dinámica de una viga sobre un suelo elástico es:


93

( )t·vx·Fw·twm

xwEI i2

204

4z −δ=α+

∂

∂+

∂

∂ (4.5.7)

Donde las variables tienen el mismo significado que en la ecuación (4.5.1). En

esta ecuación se ha despreciado la influencia del peso uniforme p.

A continuación se estudia la ecuación de la propagación libre de la onda en la

viga. La ecuación dinámica será la siguiente:

0w·twm

xwEI 2

204

4z =α+

∂

∂+

∂

∂ (4.5.8)

Se sustituye la solución en forma de ondas armónicas.

( )ctxikAew −= (4.5.9)

Donde

A = Amplitud de la onda.

c = Velocidad de propagación de la onda en la vía.

k = Número de onda.

λπ= 2k (4.5.10)

Siendo λ la longitud de onda.

Además la frecuencia circular es:

c·kT2 =π=ω (4.5.11)

De forma que al sustituir en (4.5.9) se obtiene:

tiikxAew ω−= (4.5.12)

Al sustituir (4.5.12) en (4.5.8) obtenemos la ecuación de dispersión de ondas

propagándose en el sistema formado por la vía:


94

0

4

mEIk+α

=ω (4.5.13)

Teniendo en cuenta la ecuación (4.5.11) llegamos a:

0

22

mEIkkc +α

= (4.5.14)

La velocidad de onda presenta un mínimo para ( ) 41EIk α= . Entonces:

41

0min m

EI4c ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α= (4.5.15)

Teniendo en cuenta lo anterior, se presenta a continuación la solución dinámica de

la ecuación (4.5.7):

( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−βη

ηδ

+−βηδβ

=− −βδ− t·vxsent·vxcoseEI8

Ft·vxw t·vx3

z

i (4.5.16)

Donde: 2min

2

cv1−=δ y 2

min

2

cv1+=η

Notar que si la velocidad del tren (v) se aproxima a la velocidad mínima de

propagación libre de ondas (cmin), el parámetro δ → 0 y como consecuencia w → ∞,

mostrando un comportamiento resonante.

4.5.4. Fuerza aplicada por una traviesa sobre la estructura.

Una vez que hemos calculado la curva de deflexión de la vía, cada traviesa puede

ser considerada como una fuerza vertical puntual aplicada sobre la estructura, cuya

dependencia del tiempo queda determinada por el paso de la curva de deflexión a lo

largo de la traviesa.


95

La fuerza ejercida por una traviesa que está situada a una distancia x de la carga

aplicada, cuando la carga aplicada está situada en x = 0, es:

( ) ( )xw·d·xP ∆α= (4.5.17)

Donde ∆d es el ancho de la traviesa.

Considerando ahora una traviesa en x = 0, la fuerza en función del tiempo P(t)

desde que pasó por ella la carga a velocidad v, equivale a la expresión de P(x) (4.5.17)

para distintas posiciones de la traviesa respecto a la carga:

( ) )t·v(w·d·tP ∆α= (4.5.18)

Señalar que para una traviesa en x = n·d (n = 1, 2, 3…), la fuerza en función del

tiempo estará desfasada en el tiempo un valor v

n·d .

Hemos pasado de un modelo de la vía como una viga continua sobre un semi-

espacio elástico (figura 4.18) a un modelo en el que cada traviesa es soportada por un

muelle de rigidez α·∆d (figura 4.19).

F∆d

α·∆d

Fig.4.19. Modelo del terreno como semiespacio elástico (Cada traviesa es soportada por un muelle)


96

Como no conocemos el valor α·∆d, se calcula este término suponiendo que la

carga Fi es soportada por un número efectivo de traviesas Neff las cuales se desplazan la

cantidad correspondiente al desplazamiento máximo del problema cuasi-estático stmaxw .

3z

istmax

EI8

Fw

β= (4.5.19)

F∆d

α·∆d

stmaxw

Fig.4.20. Cálculo del número efectivo de traviesas Neff

Entonces:

stmaxeff

ieff

stmaxi

w·N

Fd·N·w·d·F =∆α→∆α= (4.5.20)

Por tanto:

( ) ( )stmaxeff

i

wt·vw

NFtP = (4.5.21)

Donde Neff se puede aproximar, para valores de β tales que -1-1 m 1.3 m 0.2 ≤β≤ ,

como:

d··2

Neff βπ

= (4.5.22)


97

Sustituyendo en (4.5.21) se obtiene:

( ) )t·v(wx·w

d2·FtP st0

stmax

i= (4.5.23)

Esta expresión es válida para el régimen cuasi-estático y dinámico.

Todas las ecuaciones de este apartado están implementadas en una hoja de EXCEL

(Anexo B) que se puede encontrar en el Trabajo de Investigación Tutelado [21].

En la figura siguiente se presenta la curva φ(t) = P(t)/Fi para una traviesa en x = 0

m, donde Fi =170 KN, v = 87.5 m/s, d = 0.6 m, m0 = 620 Kg/m, EI = 1.28·107 N·m2 y α

= 2.50·108 N/m2.

00,05

0,10,15

0,20,25

0,30,35

0,40,45

0,5

-0,004 0,001 0,006 0,011 0,016 0,021 0,026 0,031 0,036

tiempo (s)

P(t)/

F

Fig.4.21. Curva φ(t) para una traviesa en x = 0 m.


98

4.6. Vehículos ferroviarios utilizados.

Los sistemas de guiado de alta velocidad pueden catalogarse en tres tipos

distintos:

1) Trenes convencionales: Cada coche de pasajeros tiene dos bogies, a su vez

con dos ejes cada uno. De este tipo son los trenes Europeos ICE2, ETR-Y y

VIRGIN.

d2

d1

Fig.4.22. Espaciamiento regular dk en trenes convencionales.

2) Trenes articulados: Existe un bogie de dos ejes compartido entre cada dos

coches, centrado en la articulación entre ambos. De este tipo son los trenes

THALYS, AVE, EUROSTAR.

d1 Fig.4.23. Espaciamiento regular dk en trenes articulados.


99

3) Trenes regulares: Los coches de pasajeros están sustentados también sobre

unión articulada, pero el apoyo se produce en un eje único ente cada dos

coches, sin bogie. Es el caso del TALGO AV.

d1 Fig.4.24. Espaciamiento regular dk en trenes regulares.

En función de estas topologías se pueden definir los diferentes espaciamientos

característicos dk. En la tabla siguiente se recogen las distancias d1 correspondientes a

algunas de las composiciones de alta velocidad.

TREN EUROSTAR TGV ICE2 THALYS ETR-Y-500 TALGO- AV

d1 (m) 18.70 18.70 26.40 18.70 26.10 13.14

Tabla 4.3. Espaciamientos característicos dk de los principales trenes europeos.

En los problemas estudiados se han utilizados composiciones diferentes, aunque el

tren de carga real que más se ha utilizado es el THALYS. Es por ello por lo que se

recoge a continuación las características más importantes de este vehículo ferroviario.

En el anexo A se recogen las características de las demás composiciones utilizadas.

El tren THALYS es junto al TGV y el EUROSTAR los trenes de alta velocidad

franceses. Capaz de alcanzar una velocidad de circulación de 300 km/h es denominado

como el tren rojo. Al igual que el AVE- 100 tiene un tipo de tracción distribuida y una

muy buena estabilidad en marcha. En cuanto a su arquitectura, es un vehículo articulado

compuesto por 2 locomotoras y 8 vagones, siendo la longitud total del tren es de 200.18

metros. La locomotora es soportada por 2 bogies y tiene 4 ejes. Entre los vagones se

pueden distinguir dos tipos: los vagones próximos a la locomotora (2 vagones) y los

vagones centrales (6 vagones). Los primeros tienen un bogie propio con dos ejes y otro


100

bogie compartido con el vagón central siguiente. Los segundos tienen dos bogies

compartidos con dos ejes cada uno. En la siguiente tabla se presenta la carga por eje y la

distancia a la cabeza correspondiente.

Fig.4.25. Tren de alta velocidad THALYS

Tabla.4.4. Características del THALYS

Donde lk es la distancia a la cabeza de la composición en m y Fi es la carga por eje

en N.

Eje lk Fi

1 0.000 170000

2 3.000 170000

3 14.000 170000

4 17.000 170000

5 20.275 163000

6 23.275 163000

7 38.975 170000

8 41.975 170000

9 57.675 170000

10 60.675 170000

11 76.375 170000

12 79.375 170000

13 95.075 170000

14 98.075 170000

15 113.775 170000

16 116.775 170000

17 132.475 170000

18 135.475 170000

19 151.175 170000

20 154.175 170000

21 169.875 163000

22 172.875 163000

23 176.150 170000

24 179.150 170000

25 190.150 170000

26 193.150 170000


101

170000

03141720.27523.27538.97541.97557.67560.675

1115.715.73 3 3 3 33.275

170000170000170000170000170000170000170000 163000163000 Fi (N)

lk (m)

dk (m)

Vagón central Vagón enlace Locomotora

Fig.4.26. Características tren THALYS.

4.7. Modelos de puentes utilizados.

4.7.1. Tipos de modelos y elementos.

Los cálculos con elementos finitos utilizan modelos de dos o tres dimensiones. En

la mayor parte de los problemas se utilizará los modelos bidimensionales, en los cuales

la estructura se representa dentro de un plano vertical según la dirección longitudinal.

En cuanto a los modelos tridimensionales recogen también la dimensión transversal del

puente.

a) Modelos bidimensionales.

Los modelos de dos dimensiones son los más sencillos y utilizados, y en ellos se

emplean elementos tipo viga para representar tanto el tablero del puente como los

estribos del mismo.

Asimilar el comportamiento del sistema a un modelo simplificado con elementos

tipo viga, exige la definición de una sección equivalente, normalmente rectangular

(figura 4.27) y con características semejantes a la original.


102

a

b

Sección rectangular equivalenteEI, a, b, densidad

z

y

Fig.4.27. Definición sección equivalente en el modelo bidimensional.

En los modelos realizados se han cogido como propiedades de partida el producto

EIzz y el área A de la sección, para el tablero y para los estribos, de forma que toman

valores pertenecientes a puentes reales. En cuanto a la densidad, se ha tomado la del

hormigón armado convencional.

Es posible definir una densidad equivalente en la cual se tenga en cuenta el

correspondiente peso de balasto y el resto de cargas muertas (señalización, postes de

catenaria, etc.). En los apartados 5.5 y 5.6 se exponen ejemplos en los cuales se tiene en

cuenta dicha densidad equivalente ρeq.

Para los problemas que se estudiarán en este proyecto se ha utilizado como

programas de elementos finitos ANSYS Release 8.0 y FEAPpv, comparándolos en la

mayor parte de los problemas. Decir que, debido al gran tiempo computacional que

requiere la manipulación de datos de salida correspondientes a FEAPpv, en algunos

problemas se ha utilizado únicamente ANSYS. Además, también se ha utilizado

MATLAB v.6.5 [27] y Microsoft EXCEL 2002 para la manipulación y representación

de los resultados.

Para ANSYS se utiliza el elemento viga BEAM4, ya referenciado en el apartado

3.1.1 y para FEAPpv se utiliza el elemento viga ‘FRAMe’ descrito en el apartado 3.2.1.

Ambos elementos están formados por dos nodos con seis grados de libertad cada uno y

están provistos de tracción, compresión y torsión.


103

Cada tipo de puente tendrá diferentes discretizaciones. Un ejemplo de

discretización para un pórtico de un vano de 20 metros y de altura 8.5 metros se

presenta a continuación:

X

Y

0.5

0.425

8.5

Nodos

Fig.4.

28. Mallado de un puente de un vano de 20 m de longitud y 8.5 m de altura.

b) Modelos tridimensionales.

Se ha utilizado un modelo tridimensional para el último problema estudiado en el

proyecto con la intención de ver los efectos provocados por dos trenes de alta velocidad

circulando en sentidos opuestos.

El análisis se ha llevado a cabo con ANSYS y se ha empleado para modelar el

tablero el elemento SHELL93, de forma que se asimila el comportamiento del sistema al

de una placa con sección rectangular. Los estribos se han modelado con el elemento

BEAM4.

b

h

Sección rectangular equivalenteEI, b, h, densidad

z

y

Fig.4.29. Definición de la sección equivalente en modelos tridimensionales.


104

El elemento SHELL93 está provisto de seis grados de libertad en cada uno de los

nodos y sus funciones de forma son cuadráticas en ambos planos de dirección.

Al igual que en los modelos bidimensionales, las propiedades de partida para

definir la sección equivalente de la placa y de los estribos son la inercia Izz y el área A de

la sección correspondiente. Además, partiendo de la densidad del hormigón armado, se

ha definido una densidad equivalente mediante la cual se tenga en cuenta el peso del

balasto y otras cargas muertas.

4.7.2. Conexión estructura-suelo.

Otro aspecto importante es la conexión entre la estructura y el suelo. Realizaremos

modelos en los cuales se considerará el suelo como infinitamente rígido (Fig. 4.28), con

lo cual se restringirán todos los grados de libertad en la base de los estribos. Otra opción

más realista es considerar el suelo como un material elástico y modelarlo mediante

muelles con una rigidez equivalente. La rigidez que se ha tenido en cuenta corresponde

a la de un suelo viscoelástico, según se puede encontrar en (Estudio comparativo de la

respuesta dinámica de puentes con diversas tipologías sometidos a cargas móviles con

interacción suelo-estructura [29]) y su valor, además del modelo utilizado, son los

siguientes:

Keq = 8.9 · 109 N·m

Fig.4.30. Modelo de conexión estructura-suelo con muelles de rigidez equivalente.

Keq

estribo

tablero

suelo

conexión estructura-suelo


105

4.7.3. Modelo de puentes teniendo en cuenta las traviesas.

Las traviesas, para aquellos problemas en que aparecen, se modelan mediante dos

elementos (tres nodos), tal y como se muestra en la siguiente figura:

∆d

d

Nodos

Traviesa

Fig.4.31. Modelo del tablero teniendo en cuenta las traviesas.

Normalmente se utilizará ∆d = 0.3 m y d = 0.6 m.

Análisis de distintas tipologías de puentes Proyecto Fin de Carrera

106

5. Análisis de distintas tipologías de puentes.

Se pretende en este apartado realizar un estudio paramétrico de distintas tipologías

de puentes, a los cuales se les variará el número de vanos, la longitud de los mismos, la

altura de los estribos, la conexión estructura-suelo, etc...

En cuanto al tren de cargas, si no se dice lo contrario, en todos los problemas se ha

utilizado el tren THALYS circulando a una velocidad de 100 m/s (360 km/h).

Para el caso en que se considere la deflexión de la vía y la correspondiente carga

ejercida por las traviesas (apartado 4.5 y anexo B), se ha utilizado las siguientes

propiedades de la vía, traviesas y balasto:

Fi 170 KN

d 0.6 m

m0 620 Kg/m

EI 1.28·107 N·m2

α 2.50·108 N/m2

Tabla 5.1. Propiedades de la vía, traviesas y balasto utilizadas.

5.1. Análisis de puentes de un vano.

En este punto se estudiarán problemas de puentes con un único vano de forma que

se variará la longitud del mismo y también la altura de los estribos. Así tendremos

cuatro subapartados con combinaciones diferentes de longitud de vano y altura de

estribos. En cada uno de estos subapartados se realizarán modificaciones en cuanto al

modelo de carga utilizado y el modelado del terreno. Por último se compararán entre sí

los resultados obtenidos en los puntos anteriores.


107

Los puentes que se estudiarán en este apartado serán estructuras hiperestáticas,

modeladas en 2D y asimiladas a pórticos intraslacionales. Según lo que se comenta en el

punto 4.3, los modos que nos interesan son aquellos con frecuencias inferiores a 20 Hz.

A continuación se dibujan los cuatro primeros modos de vibración de un pórtico

cualquiera:

XX

Y

XX

Y

XX

Y

XX

Y

MODO 1 MODO 2

MODO 3 MODO 4

Fig. 5.1. Modos de vibración en un pórtico intraslacional.

Las propiedades de la estructura que se han utilizado para este tipo de puentes

serán las siguientes:

Losa Estribos

( )2zz m·NEI 2.07506·1010 ( )2

xx m·NEI 6.6367708·1011

( )2yy m·NEI 7.3004·1011 ( )2

zz m·NEI 1.5708333·1011

ν 0.2 ν 0.2

( )3m/kgρ 2500 ( )3m/kgρ 2500

Tabla 5.2. Propiedades de la losa y los estribos en los puentes de un vano estudiados.


108

Estos datos se han utilizado en todos los problemas del punto 5.1 con la intención

de centrarnos únicamente en los efectos que producen la variación de longitudes de

tableros y estribos, de tipos de apoyos, etc.

Para recoger estas propiedades en el modelo, se definen las siguientes secciones

equivalentes (con E = 29 · 109 N/m2):

6.5

ESTRIBO

Z

X

1

Fig.5.2. Secciones equivalentes obtenidas para los puentes de un vano.

Otra consideración importante es el intervalo de integración h utilizado. Como

estamos trabajando con longitudes de vano de 20 m y 30 m, y según el apartado (2.3.3),

el intervalo h2 será siempre menor que h4 (para v ≥ 75 m/s). Por tanto utilizaremos h =

h4 = 0.002 s.

Señalar que en todos los casos se ha utilizado como coeficientes del

amortiguamiento de Rayleigh, α = 0 y δ tal que la tasa de amortiguamiento para el

primer modo sea ζ1 = 5%. (Ecuación 2.4.6). Esto se debe a que, según el tipo de carga

que tenemos, las frecuencias dominantes corresponden al primer modo. Es decir, la

frecuencia de excitación de la carga en cuestión se puede aproximar como:

kaargc dv f = (5.1.1)

6 .5

T A B LE R O

Z

Y1.1


109

En nuestro caso (tren THALYS a v = 100 m/s) fcarga = 100/15.7 = 6.4 Hz,

mientras que para los tipos de estructuras que se tratan las frecuencias correspondientes

al primer modo f1 varían en un rango entre 10 ÷ 20 Hz aproximadamente. Para el caso

en que realicemos un barrido de velocidades, y se llegue, por ejemplo a una velocidad

de 200 m/s, la frecuencia correspondiente a la carga sería de 12.8 Hz, siendo también la

frecuencia del primer modo de vibración la de mayor participación en la respuesta total

de la estructura.

5.1.1. Puente de un vano de 20 metros y estribos de 8.5 metros.

Vamos a realizar el estudio de un pórtico simple sometido a un tren de cargas

La estructura se esquematiza en la siguiente figura:

20

8.5

X

Z

X

Y

A B C

Fig.5.3. Esquema del puente de un vano de 20 m y 8.5 m de altura.

a) Apoyos rígidos y modelo de carga puntual.

Se modela el terreno como infinitamente rígido (empotramiento) y el tren de

cargas con el modelo de carga puntual descrito en la sección 4.4.

X

Z

X

Z

Fig.5.4. Modelo del terreno mediante empotramientos.


110

Realizando un análisis modal de la estructura se obtiene que las frecuencias

naturales de los cuatro primeros modos de vibración son:

Modo de vibración Frecuencia natural (Hz)

1 64.23f1 =

2 8.44f2 =

3 5.49f3 =

4 6.64f4 =

Tabla 5.3. Frecuencias naturales del puente de un vano de 20 m y 8.5 m de altura (empotrado).

Aplicando la ecuación (2.4.6), tomando como frecuencia dominante f1, se obtiene

que δ = 0.0007.

El desplazamiento vertical que se obtiene en el centro del vano cuando pasa por la

estructura un tren de alta velocidad THALYS a 100 m/s es el siguiente:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

ANSYSFEAPPV

Fig.5.5. Desplazamiento vertical en el centro del vano (THALYS, v = 100 m/s, caso a)).


111

Se observa que el máximo desplazamiento (-1.37·10-4 m) se produce entorno a

0.24 segundos, instante en el cual el último eje de la primera locomotora pasa por el

punto central. Por tanto éste es el instante crítico de la estructura ante el paso del

ferrocarril. También es crítico el momento en el que el mismo eje de la última

locomotora pasa por ese punto.

Del estudio de la figura 5.5 se puede concluir que nos encontramos en una

situación en la que las excitaciones producidas por el paso de cada eje no se superponen

y que por tanto no se produce un efecto resonante.

Destacar que se ha realizado el análisis con los programas de elementos finitos

ANSYS y FEAPpv, y que la solución que nos proporcionan es bastante similar. Para

corroborar esto se presenta el error absoluto entre las dos soluciones:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10-4

tiempo (s)

Erro

r abs

olut

o(%

)

Fig.5.6. Error absoluto en el desplazamiento vertical entre ANSYS y FEAPpv.

El máximo error que se comete es del orden de 2.5·10-4 (%), siendo éste bastante

pequeño.


112

b) Apoyos rígidos y modelo de carga puntual con deflexión de la vía y existencia

de traviesas.

El modelo es el mismo que en el caso anterior con la salvedad de que ahora se

tiene en cuenta la deflexión que sufre la vía ante una carga a velocidad constante, y en

consecuencia, la fuerza que ejercen las traviesas sobre la estructura (apartado 4.5).

Introduciendo las propiedades de la vía, del balasto y de las traviesas recogidas en

el cuadro 5.1 en la ecuación (4.5.23) resulta la siguiente curva φ(t) = P(t)/Fi para una

traviesa en x = 0.

Fig.5.7. Curva φ(t) en x = 0 m

Tabla 5.4. Valores de la curva φ(t)

De esta forma el desplazamiento vertical en el punto B es el siguiente:

t (s) φ(t) = P(t)/Fi 0 0

0.002 0.015728484

0.004 0.052960006

0.006 0.106845644

0.008 0.177700991

0.01 0.262079664

0.012 0.350640497 0.014 0.425736619 0.016 0.459078158

0.018 0.425736619

0.02 0.350640497

0.022 0.262079664 0.024 0.177700991 0.026 0.106845644 0.028 0.052960006

0.03 0.015728484

0.032 0

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,01 0,02 0,03

tiempo (s)

P(t)/F


113

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

ANSYSFEAPPV

Fig.5.8. Desplazamiento vertical en el centro del vano (THALYS, v = 100 m/s, caso b)).

En este caso el máximo desplazamiento es de -4.48·10-3 m y se produce entorno al

mismo instante de tiempo que en el caso anterior ( s 0.27t ≈ ). Al igual que en el caso a),

es posible comprobar que no existen efectos de resonancia.

c) Apoyos elásticos y modelo de carga puntual.

Ahora se va a modelar el terreno como un muelle con una rigidez equivalente Keq

y el tren de cargas con el modelo de carga puntual descrito en la sección 4.4. La rigidez

equivalente utilizada es Keq = 8.9·109 N·m. La estructura se esquematiza en la figura 5.9.

XX

Y

Keq Keq

Fig.5.9. Modelo del terreno mediante muelles de rigidez equivalente.


114

Realizando un análisis modal a la estructura anterior se obtiene que f1 = 18.7 Hz y

por tanto, según la ecuación (2.4.6) se obtiene que δ = 0.00085.

En la figura 5.10 se muestra el desplazamiento vertical en el centro del vano para

este caso.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

ANSYSFEAPPV

Fig.5.10. Desplazamiento vertical en el centro del vano (THALYS, v = 100 m/s, caso c)).

La flecha máxima se produce en t = 0.24 s y es de 1.77·10-4 m, aunque también

hay un instante crítico para t = 1.8 s. Como es posible observar, se pueden distinguir

fácilmente los efectos que producen cada uno de los ejes, sin que haya por consiguiente,

efectos de acoplamiento.

d) Comparación de los casos a), b) y c).

En primer lugar se comparan los casos a) y b). Se puede ver que si consideramos

los efectos dinámicos debidos a la deflexión de la vía, el desplazamiento en el centro del

vano es, en todo instante, mayor que si no los consideramos. La figura siguiente muestra

dicha afirmación.


115

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

Comparación de los casos a) y b)

caso a)caso b)

Fig.5.11. Comparación de los desplazamientos obtenidos en los casos a) y b).

Ahora se comparan los casos a) y c), es decir, considerar el suelo como

infinitamente rígido o como un suelo elástico con una rigidez equivalente. Es obvio que

con la segunda consideración el desplazamiento vertical de la estructura será mayor que

con la primera.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

Comparación entre los caso a) y c)

caso a)caso c)

Fig.5.12. Comparación de los desplazamientos obtenidos en los casos a) y c).


116

e) Barrido de velocidades del tren de cargas para el caso a).

Se ha adoptado una discretización uniforme en velocidades en el rango v ∈

( ) ( ) h/Km486108s/m13530 ÷≡÷ , con un incremento ∆v = 5 m/s (18 km/h).

El objeto de este estudio es determinar aquellas velocidades que producen

mayores efectos sobre la estructura. En el cuadro 5.5 se recogen la flecha máxima que

se produce en el centro del vano para cada una de las velocidades. Además también se

recogerán los coeficientes de impacto Φ correspondientes, calculados según la

expresión:

max,est

max,dinδ

δ=Φ (5.1.2)

Donde maxdin,δ es la flecha dinámica máxima y maxest,δ es la flecha estática

máxima.

En este caso, al ser la distancia característica de la composición (dk = 18.7 m)

menor que la longitud del vano (L = 20 m), se dará el hecho de que dos ejes estén a la

vez sobre el puente. Por tanto no podemos calcular la flecha estática como si de una

única carga estática aplicada en el centro del vano se tratase. Para ello las

recomendaciones dicen que se realice un análisis a una velocidad baja, tal que sea

menor a 20 km/h. En nuestro caso se ha realizado un análisis con v = 2 m/s.


117

Velocidad

(m/s)

Velocidad

(km/h) maxdin,δ (m)

Coeficiente de

impacto Φ

2 7.2 - 1.3428· 10- 4 --

30 108 - 1.3544 · 10- 4 1.0086

40 144 - 1.3568 · 10- 4 1.0104

45 162 - 1.3563· 10- 4 1.0101

50 180 - 1.3703 · 10- 4 1.0205

55 198 - 1.3586 · 10- 4 1.0118

60 216 - 1.3614 · 10- 4 1.0139

65 234 - 1.3946· 10- 4 1.0386

70 252 - 1.4398 · 10- 4 1.0722

75 270 - 1.4426 · 10- 4 1.0743

80 288 - 1.4315· 10- 4 1.0661

85 306 - 1.4083 · 10- 4 1.0488

90 324 - 1.3747 · 10- 4 1.0238

95 342 - 1.3826 · 10- 4 1.0296

100 360 - 1.3740 · 10- 4 1.0232

105 378 - 1.3580 · 10- 4 1.0113

110 396 - 1.3671· 10- 4 1.0181

115 414 - 1.3836 · 10- 4 1.0304

125 450 - 1.3858 · 10- 4 1.0320

135 486 - 1.3760 · 10- 4 1.0247

Tabla 5.5. Flecha dinámica máxima y coeficiente de impacto para distintas velocidades.

En las siguientes figuras se representa la flecha dinámica máxima y el coeficiente

de impacto en función de la velocidad.


118

100 150 200 250 300 350 400 450 5001.35

1.36

1.37

1.38

1.39

1.4

1.41

1.42

1.43

1.44

1.45x 10

-4

v (Km/h)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal m

axim

o en

el c

entro

del

van

o

Fig.5.13.Valor absoluto del desplazamiento vertical máximo en el centro del vano para distintas

velocidades.

100 150 200 250 300 350 400 450 5001

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

1.07

1.08

1.09

v (Km/h)

Coe

ficie

nte

de im

pact

o

Fig.5.14. Coeficiente de impacto para distintas velocidades.


119

Se puede observar en las figuras 5.13 y 5.14 que, en el rango de velocidades

estudiado, existe un pico que sobresale de los demás en torno a 75 m/s. Aplicando la

ecuación (4.3.1) con f0 = 23.64 Hz y dk =18.7 m, se comprueba que hay un riesgo de

resonancia para la velocidad de riesgo correspondiente a i = 6:

m/s 75y m/s 70 entre m/s 68.7364.23 · 6

18.7 v 6 i Para ⇒==⇒=

Representando la respuesta correspondiente a v = 75 m/s, se observa que no se

producen efectos de acoplamiento entre las solicitaciones de cada eje, con lo cuál se

puede concluir que en este puente y con estas propiedades, no se produce resonancia.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

v = 75 m/s

ANSYSFEAPPV


f) Barrido de rigideces equivalentes.

Partiendo del modelo de la figura 5.9 en el que se considera el terreno como

muelles de rigidez equivalente, se procede en este apartado ha estudiar el

comportamiento de la estructura ante distintos valores de dicha rigidez.

Se ha tomado el siguiente rango:


120

Keq ∈ ( ) m·N 10·510·1 135 ÷

El anterior es un intervalo bastante amplio donde se recogen comportamientos de

suelos muy elásticos y suelos extremadamente rígidos. Por esta razón, no se ha utilizado

un incremento de Keq uniforme, sino que se ha variado exponencialmente, tal y como

mostramos en la siguiente tabla:

Keq (N·m) f1 (Hz) Coeficiente δ maxdin,δ (m)

1·107 0.29 0.0179 -4.83·10-2

5·107 1.29 0.0080 -1.05·10-2

1·108 2.80 0.0057 -4.40·10-3

5·108 6.16 0.0026 -1.20·10-3

1·109 8.54 0.0019 -5.8995·10-4

5·109 16.15 0.0010 -2.0419·10-4

1·1010 19.08 0.0008 -1.7320·10-4

5·1010 22.26 0.0007 -1.4474·10-4

1·1011 22.83 0.0007 -1.4114·10-4

5·1011 23.44 0.0007 -1.3837·10-4

1·1012 23.54 0.0007 -1.3796·10-4

5·1012 23.62 0.0007 -1.3760·10-4

1·1013 23.63 0.0007 -1.3755·10-4

5·1013 23.64 0.0007 -1.3751·10-4

8.9·109 18.70 0.00085 -1.7721·10-4

∞ 23.64 0.0007 -1.3742·10-4

Tabla 5.6. Flecha máxima para distintas rigideces.

En la tabla 5.6 se recoge, además de la flecha dinámica máxima correspondiente a

cada una de las rigideces, la frecuencia del primer modo de vibración que presenta la

estructura para ese valor de la rigidez y el correspondiente coeficiente de Rayleigh δ.

Estos resultados se recogen en la siguiente figura, cuyos ejes están en escala

logarítmica.


121

107 108 109 1010 1011 1012 1013 1014-10-1

-10-2

-10-3

-10-4

Keq (N·m)

Des

plaz

amie

nto

en e

l cen

tro d

el v

ano

(m)

Barrido de rigideces

Keq --> infinito

Keq = 8.9 e9 N·m

Fig.5.16. Barrido de rigideces (THALYS, v = 100 m/s, modelo caso c))

Es posible observar que existen dos zonas claramente diferenciadas, pudiendo

escoger el valor de Keq = 8.9 ·109 N·m como el limitante de dichas zonas. Así, para

valores por debajo del anterior, existe una relación lineal entre el incremento de la

rigidez y el decremento de la flecha máxima maxdin,δ . Para valores mayores, la flecha

permanece más o menos constante al incrementarse la rigidez equivalente del muelle.

g) Respuesta del puente ante diferentes trenes de alta velocidad europeos.

Se pretende en este punto ver el comportamiento que tendrá el puente del caso a)

ante el paso de diferentes composiciones de trenes reales.

Se ha escogido un tren de cada tipo: AVE, ICE2 y TALGO AV. Sus

características están recogidas en el anexo A.

Para el tren de alta velocidad español, es decir el AVE, el desplazamiento vertical

en el centro del vano es el siguiente. Notar que este vehículo tiene características muy

similares al tren THALYS.


122

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

AVE

Fig.5.17. Desplazamiento vertical en el centro del vano (AVE, v = 100 m/s, caso a)).

En cuanto al ICE2, la respuesta dinámica se presenta a continuación:

0 1 2 3 4 5 6-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

ICE2

Fig.5.18. Desplazamiento vertical en el centro del vano (ICE 2, v = 100 m/s, caso a)).


123

Para el TALGO AV el desplazamiento vertical en el centro del vano es el

siguiente:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

TALGO AV

Fig.5.19. Desplazamiento vertical en el centro del vano (TALGO AV, v = 100 m/s, caso a)).

Es posible comprobar de las figuras 5.17, 5.18 y 5.19 que el TALGO AV produce

ciertos efectos resonantes en tanto en cuanto existe un claro acoplamiento de los efectos

correspondientes a cada uno de los ejes de este tren regular y además una sensible

tendencia creciente del desplazamiento debido a la primera locomotora y a la segunda.

A continuación se comparan las tres respuestas dinámicas en un mismo gráfico

junto con la correspondiente al tren THALYS.


124

0 1 2 3 4 5 6-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-5

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

Comparación de la respuesta dinámica ante el paso de distintos trenes

AVEICE2TALGO AVTHALYS

Fig.5.20. Comparación de la respuestas obtenidas para los distintos trenes (v = 100 m/s).

Como conclusión se puede decir que, independientemente del tipo de vehículo

ferroviario, las solicitaciones máximas se producen en los instantes en que las

locomotoras del tren pasan por el punto en cuestión. También es posible observar como

el THALYS provoca unas flechas mayores que los otros tres, siendo el TALGO AV el

que menores efectos provoca. Además se puede ver como el tren ICE2 tiene un número

de vagones mayor que los demás así como las diferencias que existen entre trenes de

tipo convencional (ICE2), de tipo articulado (AVE y THALYS) y de tipo regular

(TALGO AV). Por último comentar que la respuesta provocada por el tren de alta

velocidad AVE y THALYS son bastante parecidas; esto se puede ver de forma más

clara en la figura 5.21.


125

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-5

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

Comparación de la respuesta dinámica ante el paso de distintos trenes

AVETHALYS

Fig.5.21. Comparación de las respuestas obtenidas con los trenes THALYS y AVE (v = 100 m/s).

La tabla siguiente recoge las flechas máximas producidas por cada uno de los

trenes y los instantes en que se producen las mismas:

TREN δmax (m) tδmax (s)

AVE -1.2715·10-4 0.2359

ICE2 -1.2291·10-4 3.4223

TALGO AV -1.1410·10-4 1.6643

THALYS -1.3742·10-4 0.2379

Tabla 5.7. Flecha máxima para los distintos trenes (v = 100 m/s, caso a)).

5.1.2. Puente de un vano de 30 metros y estribos de 8.5 metros

El pórtico que vamos a estudiar en este punto tiene las siguientes características:


126

30

8.5

X

Z

X

Y

A B C

Fig.5.22. Esquema del puente de un vano de 30 m y 8.5 m de altura.


Se modela el terreno como infinitamente rígido (Fig. 5.4) y el tren con el modelo

de carga puntual descrito en la sección 4.4.

Realizando un análisis modal de la estructura se obtiene que las frecuencias

naturales de los cuatro primeros modos de vibración son:


1 45.11f1 =

2 56.39f2 =

3 0.40f3 =

4 0.49f4 =

Tabla 5.8. Frecuencias naturales del puente de un vano de 30 m y 8.5 m de altura (empotrado).

Aplicando la ecuación (2.4.6) se obtiene que δ = 0.0014.

De esta forma, el desplazamiento según la dirección y cuando pasa por la



127

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

ANSYSFEAPPV


Comentar de la figura anterior que, a diferencia de lo que ocurría en el puente de

un vano de 20 metros, en este caso no se puede observar tan claramente los efectos

producidos por cada uno de los ejes intermedios, sino que hay un cierto acoplamiento

entre uno y otro y una cierta tendencia creciente, aunque casi inapreciable. Esto no

ocurre así con los ejes correspondientes a las locomotoras, donde si se puede ver

claramente sus efectos. La flecha máxima es correspondiente al instante en el cuál pasa

por el punto B la primera locomotora (t = 0.2487 s) y su valor es de - 4.7567·10-4 m.


de traviesas.

El modelo que utilizaremos es el mismo que en el caso a), con la diferencia de que

ahora se tiene en cuenta la deflexión de la vía. Señalar que la curva φ(t) = P(t)/Fi para

una traviesa en x = 0 es la misma que en el caso b) del apartado 5.1.1, ya que en este

caso únicamente cambia el número de traviesas.


128

Procediendo a la resolución llegamos a la siguiente figura donde se muestra el

desplazamiento vertical en el punto B de la estructura.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

ANSYSFEAPPV

Fig.5.24. Desplazamiento vertical en el centro del vano (THALYS, v = 100 m/s, caso b)).

El desplazamiento máximo toma un valor de -0.0015 m para t = 0.2635 s. Esta

flecha es mayor que en los casos anteriores.


La conexión estructura-suelo se realiza mediante muelles de rigidez Keq = 8.9·109

N·m y el tren de cargas se modela con el modelo de carga puntual descrito en la sección

4.4.

Mediante un análisis modal se obtienen las frecuencias naturales de los cuatro

primeros modos:


129


1 53.10f1 =

2 21.27f2 =

3 9.29f3 =

4 4.55f4 =

Tabla 5.9. Frecuencias naturales del puente de un vano de 30 m y 8.5 m de altura (apoyos elásticos).

Utilizando la ecuación (2.4.6) se obtiene que δ = 0.0015. A continuación se

muestra los resultados obtenidos:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

ANSYSFEAPPV

Fig.5.25. Desplazamiento vertical en el centro del vano (THALYS, v = 100 m/s, caso c)).

La flecha máxima se produce cuando pasa la primera locomotora por el punto

medio del vano (t = 0.2487 s) y su valor es de -5.5840·10-4 m. Dicho desplazamiento

máximo es mayor que el correspondiente al caso a).


130


Comparando a) y b) se observa que al considerar la deflexión de la viga se

producen mayores desplazamiento que en el caso contrario. Además este hecho es más

pronunciado que en el caso del puente de un vano de 20 metros.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-4

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

Comparación casos a) y b)

caso a)caso b)


Ahora se comparan los casos a) y c). Al igual que ocurría en el caso d) del

apartado 5.1.1, los efectos que produce el modelado del terreno mediante muelles es

mayor que si se considera infinitamente rígido.


131

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6

-4

-2

0

2x 10-4

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

Comparación de los casos a) y c)

caso a)caso c)



Para realizar un barrido de velocidades se ha tomado una discretización uniforme

en el rango v ∈ ( ) ( ) h/Km 504126 s/m 14035 ÷≡÷ , con un incremento ∆v = 5 m/s

(18 km/h). Con este intervalo se recogen todas las posibles velocidades a las que puede

circular un tren en condiciones normales.

Para determinar aquellas velocidades que producen mayores efectos en el puente,

se muestra en la tabla 5.10 el desplazamiento máximo en el centro del vano para cada

una. También se recogerán los coeficientes de impacto Φ según la ecuación (5.1.2)

Al igual que en el caso e) del apartado 5.1.1, se calculará la flecha estática

mediante un análisis en el que el vehículo ferroviario circule a una velocidad baja de 2

m/s. Esto es así porque la longitud del vano (L = 30 m) es mayor que la distancia

característica de la composición (dk = 18.7 m) y habrá más de un eje a la vez sobre el

puente.


132

Velocidad

(m/s)

Velocidad


Coeficiente de

impacto Φ

2 7.2 - 4.5816 · 10- 4 --

35 126 - 4.6787 · 10- 4 1.0212

40 144 - 4.6514 · 10- 4 1.0152

45 162 - 4.6177 · 10- 4 1.0079

50 180 - 4.6392· 10- 4 1.0126

55 198 - 4.6397 · 10- 4 1.0127

60 216 - 4.6214 · 10- 4 1.0087

65 234 - 4.6120 · 10- 4 1.0066

70 252 - 4.6321 · 10- 4 1.0110

75 270 - 4.6442 · 10- 4 1.0137

80 288 - 4.7083 · 10- 4 1.0277

85 306 - 4.7483 · 10- 4 1.0354

90 324 - 4.7434 · 10- 4 1.0353

95 342 - 4.7353 · 10- 4 1.0335

100 360 - 4.7567 · 10- 4 1.0382

105 378 - 4.8048 · 10- 4 1.0487

110 396 - 4.8489 · 10- 4 1.0583

115 414 - 4.8677 · 10- 4 1.0624

120 432 - 4.8546 · 10- 4 1.0596

125 450 - 4.8102 · 10- 4 1.0499

130 468 - 4.7408 · 10- 4 1.0347

135 486 - 4.6525 · 10- 4 1.0155

140 504 - 4.6731 · 10- 4 1.0200


Se representan los valores de la tabla en la figura siguiente:


133

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

4.65

4.7

4.75

4.8

4.85

4.9

4.95x 10-4

v (m/s)

Val

or a

bsol

uto

de la

flec

ha m

áxim

a en

el c

entro

del

van

o

Barrido de velocidades

Fig.5.28. Valor absoluto del desplazamiento máximo en el centro del vano para distintas velocidades.

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 1401

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

1.07

1.08

v (m/s)

Coe

ficie

nte

de im

pact

o

Fig.5.29. Coeficiente de impacto para las distintas velocidades.


134

Es posible dilucidar de las figuras 5.28 y 5.29 que, en el rango de velocidades

estudiado, hay un pico correspondiente a v = 115 m/s. Si aplicamos la ecuación (4.3.1),

en este caso con f0 = 11.45 Hz y dk =18.7 m, podemos decir que esta velocidad es

relativamente cercana a la obtenida para i = 2. Las posibles diferencias se pueden deber

a la existencia de otros factores que condicionan la resonancia y que además sólo hemos

tenido en cuenta la frecuencia de vibración correspondiente al primer modo, siendo la

estructura estudiada hiperestática.

m/s 115 a próxima m/s 1.1071.451 · 2

18.7 v 2 i Para ==⇒=

Se representa la respuesta dinámica en el centro del vano para la velocidad v =

115 m/s que provoca los mayores efectos en el rango estudiado.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

v = 115 m/s


De la figura 5.30 es posible concluir que, al igual que pasaba con v = 100 m/s, los

efectos de acoplamiento son inapreciables. Por tanto, para el intervalo de velocidades

expuesto en las figuras 5.28 y 5.29 no hay resonancia.


135

f) Respuesta del puente ante diferentes trenes de alta velocidad europeos.

En este punto se verá el efecto que sufre el puente estudiado en el caso a) ante el

paso de los trenes europeos AVE, ICE2 y TALGO AV (anexo A). En el gráfico

siguiente se comparan dichas respuestas junto a la producida por el THALYS (v = 100

m/s).

0 1 2 3 4 5 6-6

-4

-2

0

2x 10

-4

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

(m)

Comparación para distintos trenes

AVETALGO AVICE2THALYS

Fig.5.31. Comparación de la respuestas obtenidas para los distintos trenes (v = 100 m/s).

Al igual que ocurría en el puente de 20 m, se puede decir que las solicitaciones

máximas se producen en aquellos instantes en que las locomotoras de los distintos

trenes pasan por el punto central del puente. En este caso la composición que provoca

mayores desplazamientos es el ICE2, siendo el AVE el que menor flecha máxima

produce. Esto se puede ver mejor en la tabla:


AVE - 4.4584·10-4 0.2448

ICE2 - 4.7886·10-4 0.2180

TALGO AV - 5.3146·10-4 0.2269

THALYS - 4.7567·10-4 0.2487

Tabla 5.11. Flecha máxima para los distintos trenes (v = 100 m/s, caso a)).


136

5.1.3. Puente de un vano de 20 metros y estribos de 12 metros

La estructura que se estudiara es:

20

12

XX

Y

A B C

Fig.5.32. Esquema del puente de un vano de 20 m y 12 m de altura.


Para este tipo de puente únicamente se analizará este caso. Realizando un análisis

modal de la estructura se obtiene que las frecuencias naturales de los cuatro primeros

modos de vibración son:


1 972.20f1 =

2 499.25f2 =

3 692.25f3 =

4 374.52f4 =

Tabla 5.12. Frecuencias naturales del puente de un vano de 20 m y 12 m de altura (empotrado).


El desplazamiento vertical que se obtiene en el centro del vano cuando pasa por la



137

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

ANSYSFEAPPV


El desplazamiento máximo toma un valor de -1.46·10-4 m en el instante t = 0.24 s.

Se produce cuando pasa la primera locomotora y su efecto es mayor que en el caso del

puente de un vano de 20 metros y estribos de 8.5 metros. Además se puede ver que no

existe acoplamiento ya que es posible diferenciar los efectos provocados por el paso de

cada uno de los ejes de la composición.

5.1.4. Puente de un vano de 30 metros y estribos de 12 metros

El pórtico correspondiente a este punto tiene las siguientes dimensiones:

30

12

XX

Y

A B C

Fig.5.34. Esquema del puente de un vano de 30 m y 12 m de altura.


138


En primer lugar se obtienen las frecuencias naturales correspondientes a los cuatro

modos de vibración:


1 078.11f1 =

2 436.23f2 =

3 90.24f3 =

4 67.37f4 =

Tabla 5.13. Frecuencias naturales del puente de un vano de 30 m y 12 m de altura (empotrado).


A continuación se presenta el desplazamiento vertical que se obtiene en el centro

del vano cuando pasa por el puente un tren de alta velocidad THALYS a 100 m/s:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6

-4

-2

0

2x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

ANSYSFEAPPV



139

La flecha máxima se produce en torno a t = 0.25s y su valor es de -5.02·10-4 m.

Este efecto máximo corresponde al paso de la primera locomotora y, como se verá en

apartados siguientes, es mayor que el correspondiente al puente de un vano de 30

metros y estribos de 8.5 metros.

5.1.5. Comparación de la respuesta entre puentes de distintas longitudes de

vano.

En esta sección se comparan las respuestas en el tiempo para los casos de vanos de

20 m y 30 m.


En la gráfica siguiente se muestra la comparación del desplazamiento vertical que

provoca un tren THALYS a 100 m/s en el centro del vano de puentes de 20 m y 30 m de

longitud:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2x 10-4

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

Comparación para puentes de distintas longitudes de vano

L = 20 mL = 30 m

Fig.5.36. Comparación del desplazamiento en puentes de distintas longitudes de vano (v = 100m/s, caso

a))


140

Como ya sabíamos, la respuesta dinámica del puente de 30 m de luz es mucho

mayor que la correspondiente al puente de 20 m de luz.


de traviesas.

En la figura 5.37 se representan las respuestas correspondientes al paso del tren

THALYS a 100 m/s:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-4

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

Comparación para puentes de disitntas longitudes de vano

L = 20 mL = 30 m


b)) Es obvio que el desplazamiento vertical, en el caso de modelar el puente teniendo

en cuenta el efecto de la vía y las traviesas, es mayor para el puente de 30 m de luz que

para el de 20 m.


Las respuestas dinámicas para este caso, en el cual se modela el terreno como un

muelle de rigidez Keq = 8.9 · 10 9 N·m, son las siguientes:


141

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6

-4

-2

0

2x 10-4

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

Comparación para puentes de distintas longitudes de vano

L = 20 mL = 30 m


c))

Es fácil observar que el desplazamiento correspondiente a L = 30 m es mayor para

todo el rango de tiempo que el correspondiente a L = 20 m.

5.1.6. Comparación de la respuesta entre puentes de distintas alturas de los

estribos.

Únicamente se va a comparar, para dos alturas de estribos distintas, el caso en el

que se modela el terreno como infinitamente rígido y se adopta el modelo de carga

puntual para el tren de cargas.

a) Puente de un vano de 20 m de longitud.

En la figura 5.39 se representa las respuestas dinámicas para alturas de estribos de

8.5 m y 12 m en el caso en que pase por el puente un tren THALYS a 100 m/s.


142

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-5

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

en e

l cen

tro d

el v

ano

(m)

Comparación para puente de un vano de 20 m y distintas alturas

h = 8.5 mh = 12 m

Fig.5.39. Comparación del desplazamiento en puentes de distintas alturas (v = 100m/s, caso a), L = 20 m)

Para el caso en que la altura de los estribos es de 12 m, el desplazamiento en el

centro de vano es ligeramente mayor que si los estribos son de 8.5 m.

b) Puente de un vano de 30 m de longitud.

Procediendo de la misma forma que en el caso anterior, se obtiene:


143

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10

-4

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

(m)

Comparación para puente de un vano de 30 m y para distintas alturas

h = 8.5 mh = 12 m


Al igual que en el caso anterior, el desplazamiento vertical correspondiente a la

altura de estribos de 12 m es ligeramente mayor que el de 8.5 m.


144

5.2. Análisis de puentes de dos vanos.

Después de los puentes de un vano se pasa a estudiar los de dos vanos. Al igual

que en el apartado anterior, se realizarán combinaciones con la longitud de los vanos y

la altura de los estribos.

Las estructuras que se tratan son hiperestáticas y serán modeladas en 2D. A

diferencia que en el punto 5.1, se han utilizado para este estudio propiedades del tablero

correspondientes al catálogo de puentes de referencia del comité (ERRI D214 (a) [7])

sobre efectos dinámicos producidos en puentes de ferrocarril para velocidades

superiores a 200 km/h. Por otro lado las propiedades de los estribos se han obtenido de

otros proyectos relacionados con la dinámica de puentes [29].

El intervalo de integración h que se ha elegido es el mismo que en el apartado 5.1,

por las mismas razones (h = h4 = 0.002 s). Además la tasa de amortiguamiento utilizada

en este caso es ζ1 = 2%.

5.2.1. Puente de dos vanos de 10 metros cada uno y estribos de 8.5 metros.

Se realizará el estudio de la estructura esquematizada en la figura 5.41 ante el paso

de un tren de cargas.

10

8.5

XX

Y

A B C

10Vano 2Vano 1

D E

Fig.5.41. Esquema del puente de dos vanos de 10 m y 8.5 m de altura.


145

Las propiedades para el tablero y estribos correspondientes a este caso son las

siguientes:

Tablero Estribos

( )2zz m·NEI 2.593823 ·109 ( )2

xx m·NEI 4 ·1012

Área ( )2m 4 ( )2zz m·NEI 3.36 ·109

ν 0.2 ν 0.2

E ( )2m/N 29 · 109 E ( )2m/N 29 · 109

( )3m/kgρ 2500 ( )3m/kgρ 2500

Tabla 5.14. Propiedades puente de dos vanos de 10 m y 8.5 m de altura

Con los datos anteriores se definen, de la forma siguiente, las secciones

rectangulares equivalentes.

- Tablero:

Para una sección rectangular tenemos las siguientes ecuaciones:

3zz bh

121I = (5.2.1)

bhA =

Fig.5.42. Sección equivalente para el tablero.

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas se obtiene que:

h = 0.5179 m

b = 7.7238 m

b

Z

Yh


146

- Estribos:

En este caso las ecuaciones que nos interesan son:

3zz hb

121I = (5.2.2)

3xx bh

121I =

Fig.5.43. Sección equivalente de los estribos.

De esta forma se obtiene:

h = 15.459 m

b = 0.448 m

Una vez definidas las secciones equivalentes se procede a la resolución de los

distintos problemas según sea el modelo de carga o el modelado del terreno que se

utiliza.


La estructura tendrá todos sus grados de libertad restringidos en la base de los

estribos (Fig. 5.44) y el tren será considerado mediante el modelo de carga puntual

(sección 4.4).

b

h

Z

X


147

XX

Y


Las frecuencias naturales de los cuatro primeros modos se recogen en la siguiente

tabla:


1 13.21f1 =

2 46.21f2 =

3 33.24f3 =

4 84.53f4 =

Tabla 5.15. Frecuencias naturales del puente de dos vanos de 10 m y 8.5 m de altura (empotrado).

Utilizando como frecuencia dominante la del primer modo y como tasa de

amortiguamiento ζ1 = 2%, se obtiene, según la ecuación (2.4.6), que el valor del

coeficiente de Rayleigh es δ = 0.0003 (con α = 0).

Con estas premisas se resuelve el problema para el tren de alta velocidad

THALYS a una velocidad de 100 m/s. Los resultados en el centro de cada vano se

muestran en las siguientes figuras:


148

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1 (m

)

vano 1

ANSYSFEAPPV

Fig.5.45. Desplazamiento vertical en el centro del vano 1 (THALYS, v = 100 m/s, caso a)).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

(m)

vano 2

ANSYSFEAPPV


En las gráficas anteriores se observa la diferencia existente entre la respuesta

producida en el centro del primer vano y del segundo. Como no puede ser de otra forma,

las solicitaciones máximas en ambos casos se producen en los instantes en que pasa las

locomotoras pasan por dichos puntos. También se aprecia el efecto que ha provocado la

disminución de la tasa de amortiguamiento respecto a la del apartado 5.1.

Los desplazamientos máximos se presentan en el cuadro siguiente:


149

VANO δmax (m) tδmax (s)

1 - 2.7867·10-5 0.2007

2 - 2.4857·10-5 0.2799

Tabla 5.16. Flecha máxima para cada vano (THALYS, v = 100 m/s, caso a)).

A raíz de los resultados anteriores se concluye que, para el caso estudiado, la

flecha máxima en el vano 1 es mayor que en el vano 2. En los casos que se tratarán a

continuación únicamente se ha tenido en cuenta los desplazamientos correspondientes al

vano 1.


de traviesas.

Ahora, se utiliza el modelo del apartado anterior pero además se tiene en cuenta el

efecto producido por la deflexión de la vía que se recoge en el cuadro 5.1.

El desplazamiento vertical en el centro del primer vano es:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10

-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1 (m

)

ANSYSFEAPPV

Fig.5.47. Desplazamiento vertical en el centro del vano 1 (THALYS, v = 100 m/s, caso b)).


150

La flecha máxima es de -8.2058·10-5 m y se produce cuando la última locomotora

pasa por el punto D de la estructura (t = 1.7754 s). Este desplazamiento es mayor que el

correspondiente al caso a) en el que no se tenía en cuenta los efectos de la vía y las

traviesas.


Modelamos el terreno como un muelle de rigidez equivalente Keq = 8.9·109 N/m,

tal y como muestra la figura:

XX

Y

Keq Keq Keq


Así, las frecuencias naturales serán:


1 35.14f1 =

2 52.14f2 =

3 86.16f3 =

4 92.28f4 =

Tabla 5.17. Frecuencias naturales del puente de dos vanos de 10 m y 8.5 m de altura (apoyos elásticos).

El coeficiente δ resultante al aplicar la ecuación (2.4.6) es 0.00044. Se puede

apreciar en la siguiente figura que la flecha máxima que se produce en el instante t =

1.7734 s y su valor es de – 8.8552 · 10-5 m. Además existe un cierto acoplamiento y

ampliación de los efectos producidos por cada uno de los ejes.


151

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1 (m

)

ANSYSFEAPPV

Fig.5.49. Desplazamiento vertical en el centro del vano 1 (THALYS, v = 100 m/s, caso c)).

d) Comparación de los casos a), b) y c). Al comparar los resultados mostrados en los casos a) y b), tal y como se muestra a

continuación, se puede afirmar, que al considerar los efectos dinámicos debidos a la

deflexión de la vía, las solicitaciones son mayores que en el caso contrario.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

comparación del desplazamiento vertical en el centro del vano 1 para los casos a) y b)

caso a)caso b)



152

La comparación entre los casos a) y c) se presenta en la figura siguiente. Al igual

que en los demás puntos se puede observar como el hecho de modelar el terreno

mediante muelles con una rigidez equivalente produce desplazamientos mayores que si

se modela como un empotramiento.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-5 Comparación del desplazamiento en el centro del vano 1 para los casos a) y c)

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1

caso a)caso c)



Para el barrido de velocidades se ha adoptado el siguiente rango de velocidades:

v ∈ ( ) ( ) h/Km 486126 s/m 13535 ÷≡÷ , con un incremento ∆v = 5 m/s (18 km/h).

Realizando los distintos análisis para las velocidades mostradas, se obtiene las

siguientes flechas dinámicas máximas maxdin,δ . En cuanto a la flecha estática máxima

maxest,δ , utilizada para calcular los coeficientes de impacto Φ según la ecuación (5.1.2),

se ha calculado realizando un análisis con v = 2m/s.


153

Velocidad

(m/s)

Velocidad


Coeficiente de

impacto Φ

2 7.2 - 2.4541· 10- 5 --

35 126 - 2.7195· 10- 5 1.1081

40 144 - 2.6905· 10- 5 1.0963

45 162 - 2.7113· 10- 5 1.1048

50 180 - 2.7176· 10- 5 1.1074

55 198 - 2.7588· 10- 5 1.1242

60 216 - 2.7032· 10- 5 1.1015

65 234 - 2.7155· 10- 5 1.1065

70 252 - 2.8249· 10- 5 1.1511

75 270 - 2.8240· 10- 5 1.1507

80 288 - 2.7102· 10- 5 1.1044

85 306 - 2.7360· 10- 5 1.1149

90 324 - 2.7813· 10- 5 1.1333

95 342 - 2.7392· 10- 5 1.1162

100 360 - 2.7867· 10- 5 1.1355

105 378 - 2.8854· 10- 5 1.1757

110 396 - 2.9121· 10- 5 1.1866

115 414 - 2.8831· 10- 5 1.1748

120 432 - 2.8087· 10- 5 1.1445

125 450 - 2.7973· 10- 5 1.1398

130 468 - 2.7784· 10- 5 1.1321

135 486 - 2.7495· 10- 5 1.1204


En las siguientes figuras se representa la flecha dinámica máxima y el coeficiente

de impacto en función de la velocidad.


154

40 50 60 70 80 90 100 110 120 1302.65

2.7

2.75

2.8

2.85

2.9

2.95x 10-5

v (m/s)

desp

laza

mie

nto

max

imo

en e

l cen

tro d

el v

ano

1


Fig.5.52.Valor absoluto del desplazamiento máximo en el centro del vano 1 para distintas velocidades.

40 50 60 70 80 90 100 110 120 1301.08

1.1

1.12

1.14

1.16

1.18

v (m/s)

Coe

ficie

nte

de im

pact

o en

el v

ano

1


Fig.5.53.Coeficiente de impacto para distintas velocidades.

La mayor solicitación en el rango estudiado se produce para v = 110 m/s. Además

existe otra velocidad para la cual la evolución del desplazamiento sufre un máximo


155

local y es entorno a v = 70 m/s. Si aplicamos la ecuación (4.3.1), con f0 = 21.13 Hz y dk

= 18.7 m, se comprueba que la velocidades de riesgo que se obtienen de dicha ecuación

no se corresponden con las anteriores.

m/s 70 a próxima es no m/s 79.0 1.132 · 5

18.7 v 5 i Para

m/s 110 a próxima es no m/s 8.9813.21 · 4

18.7 v 4 i Para

==⇒=

==⇒=

Este hecho puede ser debido a que, para aplicar esta ecuación estamos

considerando como frecuencia fundamental la del primer modo y en este caso las

frecuencias de los modos superiores son muy parecidas a la misma, pudiendo tener una

contribución importante en la respuesta.

Representamos la respuesta de la estructura a lo largo del tiempo para v = 110 m/s

y v = 70 m/s:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10

-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

v = 110 m/s v = 70 m/s

Fig.5.54. Desplazamiento vertical en el centro del vano 1 (THALYS, v = 110 m/s, v = 70 m/s, caso a)).

Se puede ver como no existe efectos resonantes aparentes para dichas velocidades.


156


En este punto se verá el efecto que sufre el puente estudiado en el caso a) ante el

paso de los trenes europeos AVE, ICE2 y TALGO AV circulando a v = 100 m/s (Anexo

A). En el gráfico siguiente se comparan dichas respuestas junto a la producida por el

THALYS.

0 1 2 3 4 5 6-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10

-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1

AVETALGO AVICE2THALYS

Fig.5.55. Desplazamiento vertical en el centro del vano 1 para distintos trenes (v = 100 m/s, caso a)).

En este caso la composición que provoca mayores efectos es el THALYS y la de

menores solicitaciones es el TALGO AV.


AVE - 2.4496 ·10-5 1.7595

ICE2 - 2.4295 ·10-5 3.3585

TALGO AV - 2.1809 ·10-5 0.1593

THALYS - 2.7867 ·10-5 0.2007

Tabla 5.19. Flecha máxima para distintos trenes (v = 100 m/s, caso a)).


157

5.2.2. Puente de dos vanos de 10 metros cada uno y estribos de 12 metros.

El esquema de la estructura que se va a estudiar es el siguiente:

10

12

XX

Y

A B C

10Vano 2Vano 1

D E

Fig.5.56. Esquema del puente de dos vanos de 10 m y 12 m de altura.

Se ha utilizado el modelo de carga puntual para considerar el paso del tren y se ha

modelado el terreno con empotramientos. Las frecuencias naturales correspondientes

son:


1 77.10f1 =

2 83.10f2 =

3 55.12f3 =

4 18.29f4 =

Tabla 5.20. Frecuencias naturales del puente de dos vanos de 10 m y 12 m de altura (empotrado).

Utilizando la ecuación (2.4.6) con ζ1 = 2%, f1 y α = 0 se obtiene que δ = 0.00059.

Los resultados son:


158

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1 (m

)

ANSYSFEAPPV


Donde m10 · 3.4403δ -5max = y tδmax = 0.2039 s. A continuación se comparan los

resultados anteriores con los correspondientes al puente con estribos de 8.5 m de altura.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10-5

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1

Comparación para un puente de dos vanos de 10 m y distintas alturas de estribos

h= 8.5 mh = 12 m



159


La estructura se esquematiza en la figura siguiente:

15

8.5

XX

Y

A B C

15Vano 2Vano 1

D E



siguientes:

Tablero Estribos

( )2zz m·NEI 7.694081·109 ( )2

xx m·NEI 4 ·1012

Área ( )2m 6 ( )2zz m·NEI 3.36 ·109

ν 0.2 ν 0.2

E ( )2m/N 29 · 109 E ( )2m/N 29 · 109

( )3m/kgρ 2500 ( )3m/kgρ 2500

Tabla 5.21. Propiedades puente de dos vanos de 15 m y 8.5 m de altura.

Con los datos anteriores se definen, gracias a los sistemas de ecuaciones (5.2.1) y

(5.2.2), las secciones rectangulares equivalentes.


160

- Tablero:

h = 0.7284 m

b = 8.2372 m

- Estribos:

h = 15.459 m

b = 0.448 m

Se procede a resolver diversos problemas, tomando como base el modelo anterior,

y variando el sistema de cargas y las condiciones de contorno.


El esquema de la estructura es el mismo que se representa en la figura 5.44. Las

frecuencias naturales correspondientes son:


1 12.21f1 =

2 46.21f2 =

3 11.23f3 =

4 19.48f4 =


Utilizando como frecuencia dominante la del primer modo y como tasa de

amortiguamiento ζ1 = 2%, se obtiene, según la ecuación (2.4.6), que el valor del

coeficiente de Rayleigh es δ = 0.0003 (con α = 0).

Los resultados que se obtienen en cada vano al considerar que por el puente

circula un tren THALYS a 100 m/s son:


161

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10

-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

vano

1ANSYSFEAPPV


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10

-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo

vano

2

ANSYSFEAPPV

Fig.5.61.Desplazamiento vertical en el centro del vano 2 (THALYS, v = 100 m/s, caso a)).

Los desplazamientos máximos en el centro de cada uno de los vanos se presentan

en el cuadro siguiente:


162


1 - 4.3973·10-5 1.7874

2 - 4.1939·10-5 0.3717

Tabla 5.23. Flecha máxima para cada vano (THALYS, v = 100 m/s, caso a)).

A raíz de los resultados anteriores se concluye que, para el caso estudiado, la

flecha máxima en el vano 1 es mayor que en el vano 2. Además se puede afirmar que

para este puente se produce una flecha mayor que para el puente de dos vanos de 10 m.


de traviesas.

Teniendo en cuenta la deflexión de la vía (datos en cuadro 5.1), el desplazamiento

vertical en el centro del primer vano es:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1

ANSYSFEAPPV


La flecha máxima es de -1.3563·10-4 m y se produce cuando la última locomotora

pasa por el centro del primer vano del puente (t = 1.7974 s ).


163


Con el modelo que se muestra en la figura 5.48 (Keq = 8.9·109 N/m), las

frecuencias naturales que se obtienen son:


1 37.14f1 =

2 53.14f2 =

3 89.15f3 =

4 7.22f4 =

Tabla 5.24. Frecuencias naturales del puente de dos vanos de 15 m y 8.5 m de altura (apoyos elásticos).

El coeficiente δ resultante al aplicar la ecuación (2.4.6) es 0.00044. El

desplazamiento vertical en el centro del primer vano es:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1

ANSYSFEAPPV


Tenemos que δmax = -1.0088·10-4 m y tδmax = 0.2187 s, es decir, la máxima

solicitación se produce cuando la primera locomotora pasa por el punto correspondiente.


164

Es posible observar como existe un cierto acoplamiento entre los efectos que provocan

cada uno de los ejes del vehículo ferroviario.

d) Comparación de los casos a), b) y c). En primer lugar se comparan los resultados correspondientes a los casos a) y b).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-5

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1 (m

)

caso a)caso b)


Como se preveía, el modelo de puente en el cual se tiene en cuenta la deflexión de

la vía provoca mayores desplazamientos que el modelo del caso a).

En la figura 5.65 se presenta la comparación de los resultados entre el caso a) y el

caso c), observándose como en este último los desplazamientos son mayores.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-5

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

en e

l cen

tro d

el v

ano

1 (m

)

caso a)caso c)



165


Se escoge el mismo rango de velocidad y el mismo incremento que en el caso d)

del apartado 5.2.1. En la siguiente tabla se recogen los resultados correspondientes:

Velocidad

(m/s)

Velocidad


Coeficiente de

impacto Φ

2 7.2 - 4.0620· 10- 5 --

35 126 - 4.1887· 10- 5 1.0312

40 144 - 4.1944· 10- 5 1.0326

45 162 - 4.2182· 10- 5 1.0385

50 180 - 4.1783· 10- 5 1.0286

55 198 - 4.2058· 10- 5 1.0354

60 216 - 4.2444· 10- 5 1.0449

65 234 - 4.3683· 10- 5 1.0754

70 252 - 4.4008· 10- 5 1.0834

75 270 - 4.3372· 10- 5 1.0677

80 288 - 4.2393· 10- 5 1.0436

85 306 - 4.2248· 10- 5 1.0401

90 324 - 4.2412· 10- 5 1.0441

95 342 - 4.3188· 10- 5 1.0632

100 360 - 4.3973· 10- 5 1.0825

105 378 - 4.3839· 10- 5 1.0792

110 396 - 4.2973· 10- 5 1.0579

115 414 - 4.4209· 10- 5 1.0884

120 432 - 4.5609· 10- 5 1.1227

125 450 - 4.6589· 10- 5 1.1469

130 468 - 4.7231· 10- 5 1.1628

135 486 - 4.7340· 10- 5 1.1654


Los datos de la tabla anterior se recogen en las siguientes gráficas.


166

40 50 60 70 80 90 100 110 120 1304.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9x 10-5

v (m/s)

desp

laza

mie

nto

max

imo

en e

l cen

tro d

el v

ano

1


Fig.5.66. Valor absoluto del desplazamiento máximo en el centro del vano 1 para distintas velocidades.

40 50 60 70 80 90 100 110 120 1301.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

1.14

1.16

1.18

v (m/s)

Coe

ficie

nte

de im

pact

o en

el v

ano

1



La velocidad dentro del rango estudiado que mayores solicitaciones produce es v =

130 m/s. Además se producen máximos locales para v = 70 m/s y v = 100 m/s. La


167

velocidad que produce mayores efectos corresponde a la velocidad de riesgo para i = 3

(Ecuación (4.3.1), f0 = 21.12 Hz y dk = 18.7 m).

m/s 70 a próxima m/s 65.8 1.122 · 6

18.7 v 6 i Para

m/s 100 a próxima m/s 98.7 1.122 · 4

18.7 v 4 i Para

m/s 130 a próxima m/s 6.13112.21 · 3

18.7 v 3 i Para

⇒==⇒=

⇒==⇒=

⇒==⇒=

A continuación se representa la respuesta correspondiente a v = 130 m/s en el

primer vano. Es posible comprobar que no se producen efectos resonantes para esta

velocidad.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo



Haciendo circular diferentes trenes europeos a v = 100 m/s por el puente del caso

a) se obtienen las siguientes respuestas:


168

0 1 2 3 4 5 6-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10

-5

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1AVETALGO-AVICE2THALYS


Los desplazamientos máximos para cada composición son:


AVE - 4.0489 ·10-5 1.7875

ICE2 - 3.9082 ·10-5 0.1891

TALGO AV - 3.5369 ·10-5 1.6304

THALYS - 4.3973·10-5 1.7874


Se comprueba que el THALYS es la composición que mayores desplazamientos

provoca en la estructura estudiada; en contraposición está el TALGO AV.




169

15

12

XX

Y

A B C

15Vano 2Vano 1

D E


Para este apartado sólo se ha resuelto el problema en el que se considera que la

estructura está empotrada en la base de las pilas.


1 78.10f1 =

2 84.10f2 =

3 85.11f3 =

4 07.29f4 =


Utilizando la ecuación (2.4.6) con ζ1 = 2%, f1 y α = 0 se obtiene que δ = 0.00059.

Los resultados son:


170

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10-5

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1

ANSYSFEAPPV


Donde m10 · 5.2599δ -5max = y tδmax = 0.2067 s. En la gráfica siguiente se

muestra las diferencias existentes entre una altura de los estribos de 8.5 m y de 12 m.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10-5

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1

h = 12 mh = 8.5 m



171


El esquema del puente que se va a estudiar es:

25

8.5

XX

Y

A B C

25

Vano 2Vano 1

D E


Las propiedades que se han tenido en cuenta para el tablero y estribos son las

siguientes:

Tablero Estribos

( )2zz m·NEI 50.660592 ·109 ( )2

xx m·NEI 4 ·1012

Área ( )2m 8 ( )2zz m·NEI 3.36 ·109

ν 0.2 ν 0.2

E ( )2m/N 29 · 109 E ( )2m/N 29 · 109

( )3m/kgρ 2500 ( )3m/kgρ 2500

Tabla 5.28. Propiedades de puente de dos vanos de 25 m y 8.5 m de altura.

Las secciones equivalentes que resultan al resolver los sistemas de ecuaciones

(5.2.1) y (5.2.2) para el tablero y los estribos respectivamente son:

- Tablero:

h = 1.6188 m

b = 4.9421 m


172

- Estribos:

h = 15.459 m

b = 0.448 m


distintos problemas según sea el modelo de carga o el modelado del terreno que se

utiliza.


Procediendo de la misma forma que en los apartados anteriores, se muestra en

primer lugar las frecuencias naturales correspondientes:


1 12.12f1 =

2 18.17f2 =

3 96.20f3 =

4 60.21f4 =

Utilizando la ecuación (2.4.6) con

f1 se obtiene δ = 0.000525 (con α = 0).


El desplazamiento máximo en la dirección y en el centro de los dos vanos es:


1 - 2.9111·10-4 0.2466

2 - 2.8704·10-4 2.1086

Tabla 5.30. Flecha máxima en el centro de los vanos (THALYS, v =100 m/s, caso a))

La evolución de dicho desplazamiento a lo largo del tiempo se muestra en las

gráficas siguientes:


173

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-4

tiempo (s) Fig.5.75. Desplazamiento vertical en el centro del vano 2 (THALYS, v = 100 m/s, caso a)).


174


de traviesas.

Teniendo en cuenta la deflexión de la vía (datos en cuadro 5.1), el desplazamiento

vertical en el centro del primer vano es:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1 (m

)


Tenemos que el máximo desplazamiento es -9.6696·10-4 m y se produce en t =

0.2607 s.


Con el modelo que se muestra en la figura 5.48 (Keq = 8.9·109 N/m), las

frecuencias naturales y el coeficiente de Rayleigh δ son:


175


1 50.11f1 =

2 16.13f2 =

3 54.14f3 =

4 73.14f4 =

Utilizando la ecuación (2.4.6) con f1 se

obtiene δ = 0.00055.

Tabla.5.31. Frecuencias naturales del puente de dos vanos de 25 m y 8.5 m de altura (apoyos elásticos).

El desplazamiento vertical en el centro del vano 1 será:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4

-2

0

2x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1


De la gráfica anterior se obtiene que δmax = -3.6689·10-4 m y tδmax = 0.2399 s.


Al igual que en los apartados anteriores, se procederá a una comparación de

resultados obtenidos en los casos a) y b)


176

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1 (m

)

caso a)caso b)


De la figura anterior es posible comentar que el hecho de considerar las traviesas y

la vía en el modelo nos da resultados más perjudiciales para la estructura que en el caso

contrario. Ahora se comparan los casos a) y c)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4

-2

0

2x 10-4

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1

caso a)caso c)


Además de poderse observar que los desplazamientos sufren un incremento

cuando consideramos el suelo como un muelle de rigidez equivalente, también es

posible apreciar como la respuesta correspondiente al caso c) para un puente de dos

vanos de 25 m tiene menores acoplamientos en los efectos que provocan los ejes que los

puentes de dos vanos de 10 y 15 m.


177


Al igual que en los demás puntos se ha adoptado el rango de velocidad siguiente:

v ∈ ( ) ( ) h/Km 486126 s/m 13535 ÷≡÷ , con un incremento ∆v = 5 m/s (18 km/h).


siguientes flechas dinámicas máximas maxdin,δ . En cuanto a la flecha estática máxima

maxest,δ , utilizada para calcular los coeficientes de impacto Φ según la ecuación (5.1.2),

se ha calculado realizando un análisis con v = 2m/s.

Velocidad

(m/s)

Velocidad


Coeficiente de

impacto Φ

2 7.2 - 2.8155 · 10- 4 --

35 126 - 2.9361 · 10- 4 1.0428

40 144 - 2.9479 · 10- 4 1.0470

45 162 - 2.8314 · 10- 4 1.0056

50 180 - 2.8936 · 10- 4 1.0277

55 198 - 2.8497 · 10- 4 1.0121

60 216 - 2.8762 · 10- 4 1.0216

65 234 - 2.8480 · 10- 4 1.0115

70 252 - 2.8439 · 10- 4 1.0101

75 270 - 2.8301· 10- 4 1.0052

80 288 - 2.8922 · 10- 4 1.0272

85 306 - 2.9530 · 10- 4 1.0488

90 324 - 2.9639 · 10- 4 1.0527

95 342 - 2.9394 · 10- 4 1.0440

100 360 - 2.9111 · 10- 4 1.0340

105 378 - 2.9176 · 10- 4 1.0363

110 396 - 3.2430 · 10- 4 1.1518

115 414 - 3.0038 · 10- 4 1.0669

120 432 - 3.0303 · 10- 4 1.0763

125 450 - 3.0304 · 10- 4 1.0763

130 468 - 3.0004 · 10- 4 1.0657

135 486 - 2.9429 · 10- 4 1.0452



178

La velocidad que provoca las mayores solicitaciones, según la tabla 5.32 y la

figura 5.80, es v = 110 m/s. Esta velocidad se corresponde a la velocidad de riesgo dada

por la ecuación (4.3.1) correspondiente a i = 2. ( f0 = 12.12 Hz y dk = 18.7 m):

m/s 110 a próxima m/s 3.11312.12 · 2

18.7 v 2 i Para ⇒==⇒=

40 50 60 70 80 90 100 110 120 1301

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

1.14

1.16

v (m/s)

Coe

ficie

nte

de im

pact

o en

el v

ano

1



Al ser el coeficiente de impacto correspondiente a v =110 m/s sensiblemente

mayor que para las demás velocidades pertenecientes al rango, se decide mostrar

mediante la siguiente figura la evolución del desplazamiento vertical en el centro del

primer vano:


179

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4

-2

0

2x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1

v = 110 m/s


A raíz de la gráfica anterior se puede afirmar la existencia de fenómenos

resonantes en la estructura para v = 110 m/s en tanto en cuanto se produce un

acoplamiento de los efectos provocados por cada uno de los ejes y una amplificación de

la respuesta a medida que aumenta el tiempo.


Utilizando el modelo del caso a) para diferentes composiciones de trenes europeos

circulando a v =100 m/s.


180

0 1 2 3 4 5 6-4

-2

0

2x 10

-4

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1 (m

)AVETALGOICE2THALYS


Los desplazamientos máximos para cada composición son:


AVE - 2.6576·10-4 0.2427

ICE2 - 3.9082 ·10-4 0.2005

TALGO AV - 3.1070·10-4 0.2116

THALYS - 2.9111·10-4 0.2466


El tren que provoca la flecha máxima es, en este caso, el tren ICE2, mientras que

el menos perjudicial para la estructura es el AVE. Es posible comprobar como para

todos los vehículos el paso de la primera locomotora provoca un mayor daño que el

paso de la segunda.


181



25

12

XX

Y

A B C

25

Vano 2Vano 1

D EA


Resolvemos el problema para el caso en que se utiliza el modelo de carga puntual

y empotramiento en la base de los estribos. En primer lugar se realiza un análisis modal

para obtener las frecuencias naturales de la estructura.


1 50.10f1 =

2 68.10f2 =

3 32.11f3 =

4 48.12f4 =




Los resultados correspondientes se presentan a continuación, siendo δmax =

3.0656·10-4 m y tδmax = 0.2467 s.


182

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el n

odo


Se comparan los desplazamientos que produce un tren de alta velocidad a 100 m/s

sobre un puente de dos vanos de 25 m y una altura de 8.5 m y el mismo puente con una

altura de 12 m.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1 (m

)

h = 12 mh = 8.5 m



183

Como es lógico el puente de altura 12 m sufrirá un mayor desplazamiento que el

de 8.5. Sin embargo vemos como a medida que hemos aumentado la longitud del vano,

la diferencia entre las respuestas para puentes de 12 m y 8.5 m de altura se reducen.

5.3. Análisis de puentes de cuatro vanos.

Pasamos al análisis de puentes de cuatro vanos, con la diferencia de que ahora no

se estudiarán diferentes combinaciones de longitudes de vanos y de estribos, sino que el

único problema que resolveremos es el de un puente de cuatro vanos de 40 m de

longitud y 10 m de altura.

Se han utilizado modelos bidimensionales y en cuanto a las propiedades, para el

tablero se ha empleado las correspondientes al catálogo de puentes de referencia del

comité (ERRI D214 (a) [7]) y para las pilas se han obtenidos de otros proyectos

relacionados con la dinámica de puentes [3].

El intervalo de integración h que se ha elegido es el mismo que en el apartado 5.1,

por las mismas razones (h = h4 = 0.002 s). Además la tasa de amortiguamiento utilizada

en este caso es ζ1 = 5%.

5.3.1. Puente de cuatro vanos de 40 metros cada uno y estribos de 10 metros.

Se realizará el estudio de la estructura esquematizada en la figura 5.86.

40

10

X

Y

A B C ED

40 40 40

Vano 1 Vano 2 Vano 3 Vano 4

Fig.5.86. Esquema del puente de cuatro vanos de 40 m y 10 m de altura.


siguientes:


184

Tablero Estribos

( )2zz m·NEI 2.801329 ·1011 ( )2

zz m·NEI 6 ·31736·1010

Área ( )2m 12 Área ( )2m 4.08

ν 0.2 ν 0.2

E ( )2m/N 29 · 109 E ( )2m/N 29 · 109

( )3m/kgρ 2500 ( )3m/kgρ 2500

Tabla 5.35. Propiedades del puente de cuatro vanos de 40 m y 10 m de altura.

Se definen las secciones rectangulares equivalentes que recogen las propiedades

mostradas.

- Tablero:

Resolviendo el sistema de ecuaciones (5.2.1) se obtiene:

h = 3.108 m

b = 3.861 m

- Estribos:

En este caso las ecuaciones que nos interesan son (Fig. 5.43):

3zz hb

121I = (5.3.1)

bhA =

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas se obtiene:

h = 1.6119 m

b = 2.5312 m


185


distintos problemas.


Se modela el terreno mediante empotramientos, tal y como se muestra a

continuación:

X

Y

A B C ED


En primer lugar se ha realizado un análisis modal y se han obtenido las

frecuencias naturales que se recogen en el cuadro 5.36:


1 95.31 =f

2 57.42 =f

3 05.53 =f

4 09.64 =f



Tabla 5.36. Frecuencias naturales del puente de cuatro vanos de 40 m y 10 m de altura (empotrado).

El desplazamiento máximo en la dirección y en el centro de los cuatro vanos es:


1 - 1.3838·10-3 0.2656

2 - 1.030·10-3 2.3230

3 -9.8446·10-4 1.0938

4 -1.2101·10-3 3.1730

Tabla 5.37. Flecha máxima en el centro de cada vano (THALYS, v =100 m/s, caso a)).

La evolución de dicho desplazamiento en el centro de los cuatro vanos se muestra

en las gráficas siguientes:


186

0 1 2 3 4 5 6-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

1 (m

)


0 1 2 3 4 5 6-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

2 (m

)


0 1 2 3 4 5 6-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

3 (m

)



187

0 1 2 3 4 5 6-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

4 (m

)


En los siguientes apartados se ha decidido tener en cuenta únicamente los efectos

que se producen en el vano 4.

b) Apoyos elásticos y modelo de carga puntual con deflexión de la vía y

existencia de traviesas.

En este punto se ha modelado el terreno como muelles de rigidez equivalente (Keq

= 8.9·109 N/m) y además se ha tenido en cuenta la deflexión de la vía (datos en cuadro

5.1).

X

Y

A B C ED

Keq Keq Keq Keq Keq


Al cambiar el modelo, se obtienen las nuevas frecuencias naturales.


1 91.11 =f

2 28.42 =f

3 71.43 =f

4 58.54 =f

Tabla 5.38. Frecuencias naturales del puente de

cuatro vanos de 40 m y 10 m de altura (apoyos

elásticos).


f1 se obtiene δ = 0.00835 (con α = 0)


188

El desplazamiento vertical en el centro del cuarto vano es:

0 1 2 3 4 5 6-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2x 10-3

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

4 (m

)


El máximo desplazamiento es – 4.5183·10-3 m y se produce en t = 3.0846 s. Se

comprueba que es más desfavorable el modelado de la estructura del apartado b) que el

correspondiente al apartado a), en tanto en cuanto los desplazamientos son mayores en

el primero que en el segundo.

c) Barrido de velocidades del tren de cargas para el caso a).

El rango de velocidades escogido es el que venimos utilizando en los apartados

anteriores: v ∈ ( ) ( ) h/Km 486126 s/m 13535 ÷≡÷ , con un incremento ∆v = 5 m/s

(18 km/h).


siguientes flechas dinámicas máximas maxdin,δ .


189

Velocidad

(m/s)

Velocidad


Velocidad

(m/s)

Velocidad


35 126 - 1.2371· 10- 3 90 324 - 1.2913· 10- 3

40 144 - 1.2435 · 10- 3 95 342 - 1.2604· 10- 3

45 162 - 1.2544 · 10- 3 100 360 - 1.2101· 10- 3

50 180 - 1.2572 · 10- 3 105 378 - 1.2155· 10- 3

55 198 - 1.2561· 10- 3 110 396 - 1.2449· 10- 3

60 216 - 1.2649· 10- 3 115 414 - 1.2276· 10- 3

65 234 - 1.2727· 10- 3 120 432 - 1.2414· 10- 3

70 252 - 1.2781· 10- 3 125 450 - 1.2496· 10- 3

75 270 - 1.2664· 10- 3 130 468 - 1.2496· 10- 3

80 288 - 1.2823· 10- 3 135 486 - 1.2481· 10- 3

85 306 - 1.3018· 10- 3

Tabla 5.39. Flecha dinámica máxima para las distintas velocidades (THALYS, caso a))

La velocidad que provoca las mayores solicitaciones, según la tabla 5.39 y la

figura 5.94, es v = 85 m/s. Esta velocidad, utilizando la ecuación (4.3.1) y f0 = f1 = 3.95

Hz, no se corresponde con ninguna velocidad de riesgo. Según lo referenciado en el

apartado 4.3, los modos que pueden aportar en la respuesta del sistema son aquellos

cuyas frecuencias naturales son menores de 20 Hz. En este ejemplo tenemos que las

cuatro primeras frecuencias naturales cumplen esta condición, por tanto no será válido

considerar únicamente f1. Si aplicamos la ecuación (4.3.1) con i =1 y dk = 18.7 m se

obtiene que f0 = 4.54 Hz, frecuencia que está entre f1 y f2.

Hz 57.4fy Hz 95.3f entre Hz 54.41 · 18.785f m/s 85 y v 1 i Para 210 ==⇒==⇒==


190

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

1.2

1.22

1.24

1.26

1.28

1.3

1.32x 10-3

v (m/s)

desp

laza

mie

nto

max

imo

en e

l cen

tro d

el v

ano

4

Fig.5.94. Valor absoluto del desplazamiento máximo en el centro del vano 4 para distintas velocidades.

El desplazamiento en el centro del cuarto vano para v = 85 m/s se presenta en la

siguiente figura.

0 1 2 3 4 5 6-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4x 10-4

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

4 (m

)



191

Se puede ver que, aunque no haya un acoplamiento significativo de los efectos que

provocan los ejes de los vagones centrales, si hay una amplificación considerable del

desplazamiento provocado por la primera y la segundo locomotora.

5.4. Estudio de un viaducto isostático de 15 metros de luz.

Una vez que hemos hecho un estudio paramétrico de distintas tipologías de

puentes a los que se le ha cambiado el número de vanos, la longitud y la altura de los

mismos, se procede al estudio de puentes isostáticos. Se decide estudiar este tipo de

tipologías porque son las más sencillas y se utilizaron, en el estudio original de la UIC,

para obtener las expresiones del coeficiente de impacto. Además en (Dinámica de

puente de ferrocarril para alta velocidad, J. Domínguez [4]) se recogen los resultados

para este tipo de puentes, con lo cual se podrá hacer una validación de los métodos

utilizados en este proyecto. Por otro lado, en estas estructuras se puede estudiar de

forma clara los fenómenos resonantes gracias a las hipótesis simplificadas descritas en

los apartados 4.2 y 4.3.

El modelo bidimensional utilizado se representa en la figura 5.96. Se observa que

con este modelo únicamente se tiene en cuenta los efectos del tablero, mientras que no

se modelan los estribos.

X

Y

L

Fig.5.96. Modelo bidimensional de los puentes isostáticos.

Además se ha empleado las propiedades del catálogo de puentes de referencia del

comité (ERRI D214 (a) [7]) sobre efectos dinámicos producidos en puentes de

ferrocarril para velocidades superiores a 200 km/h.

Las propiedades son:


192

Tablero

( )2zz m·NEI 7694081 ·103

Área ( )2m 6

( )Hzf0 5

ν 0.2

E ( )2m/N 29 · 109

( )3m/kgρ 2500

Tabla 5.40. Propiedades puente isostático de 15 m de luz.

Con estas propiedades se obtiene una sección equivalente con las siguientes

características (ec. 5.2.1):

Fig.5.97. Sección equivalente del tablero.

En los cálculos se ha trabajado con modelos sencillos en los cuales no se ha tenido

en cuenta la deflexión de la vía ante el paso del tren, sino que únicamente se ha utilizado

el modelo de carga puntual. Esto se ha hecho así porque los resultados expuestos en

(Dinámica de puente de ferrocarril para alta velocidad, J. Domínguez [4]) se han

obtenido de esta forma.

El intervalo de integración h que se ha elegido es h = 0.002 y la tasa de

amortiguamiento estructural adoptada es ζ1 = 2%.

Notar que este mismo puente es el que se utilizó en el ejemplo del apartado 4.2.

En primer lugar vamos a comparar los desplazamientos que se han obtenido en este

proyecto y los expuestos en la Tesis de J. Domínguez [4]. Posteriormente expondremos

los distintos resultados que se obtienen al hacer barridos de velocidad con distintos

trenes reales.

h = 0.7284 m

b = 8.2368 m

b

Z

Yh


193

5.4.1. Comparación de los resultados y validación de la metodología usada.

Los resultados que se obtiene cuando una carga aislada de valor F = 195000 N

circula a una velocidad v = 220 km/h sobre el puente de 15 m de luz se compararán con

los resultados extraídos de la Tesis Doctoral de Jaime Domínguez [4] para la misma

carga y el mismo puente. Así se tiene:

0 1 2 3 4 5 6 7-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10-3

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

en e

l cen

tro d

el v

ano

(m)

Fig.5.98. Desplazamiento en el centro del vano para carga aislada; v = 220 km/h; Fuente Propia.

Fig.5.99. Desplazamiento en el centro del vano para carga aislada; v = 220 km/h; Fuente: [4].


194

Ahora se comparará el desplazamiento vertical en el centro del puente isostático

correspondiente a un tren de cargas compuesto por diez cargas equiespaciadas a 16 m y

circulando a dos velocidades diferentes (v = 288 km/h y v = 360 km/h).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

en e

l cen

tro d

el v

ano

(m)

Fig.5.100. Desplazamiento en el centro del vano para tren de cargas; v = 288 km/h y v = 360 km/h;

Fuente Propia.

Fig.5.101. Desplazamiento en el centro del vano para tren de cargas; v = 288 km/h y v = 360 km/h;

Fuente: [4].


195

A raíz de las figuras anteriores se puede afirmar que la metodología utilizada es

correcta.

5.4.2. Barrido de velocidades para diferentes tipos de trenes reales.

Se ha realizado un barrido de velocidades para los trenes ICE2 y THALYS. El

rango de velocidades es de v ∈ ( ) ( ) h/Km 6.5166.192 s/m 5.1435.53 ÷≡÷ , con un

incremento ∆v = 5 m/s (18 km/h). Además se han recogido en este rango las

velocidades de riesgo de resonancia correspondientes a i = 1 para cada uno de los

trenes. Estas velocidades se obtienen aplicando la ecuación (4.3.1) con f0 = 5 Hz,

dk,THALYS = 18.7 m y dk, ICE2 = 26.4 m:

m/s 321 5 · 1

26.4 v CE2I

m/s 93.5 5 · 1

18.7 v THALYS

ICE2riesgo,

THALYSriesgo,

==⇒

==⇒

a) Cálculo de desplazamientos con modelos de cargas puntuales.

Los desplazamientos máximos obtenidos en el centro del vano del puente de 15

metros de luz para las distintas composiciones de alta velocidad europeas se recogen en

la tabla y en la figura siguiente:


196

THALYS ICE2

Velocidad

(m/s)

Velocidad


Velocidad

(m/s)

Velocidad


53.5 192.6 - 0.005027 53.5 192.6 - 0.005020

58.5 210.6 - 0.006018 58.5 210.6 - 0.005749

63.5 228.6 - 0.007025 63.5 228.6 - 0.006335

68.5 246.6 - 0.008014 68.5 246.6 - 0.006739

73.5 264.6 - 0.008763 73.5 264.6 - 0.006930

78.5 282.6 - 0.009276 78.5 282.6 - 0.006894

83.5 300.6 - 0.009543 83.5 300.6 - 0.006653

88.5 318.6 - 0.016331 88.5 318.6 - 0.006735

93.5 336.6 - 0.027396 93.5 336.6 - 0.007445

98.5 354.6 - 0.023656 98.5 354.6 - 0.007823

103.5 372.6 - 0.014867 103.5 372.6 - 0.007865

108.5 390.6 - 0.012167 108.5 390.6 - 0.008923

113.5 408.6 - 0.011484 113.5 408.6 - 0.009970

118.5 426.6 - 0.088857 118.5 426.6 - 0.011911

123.5 444.6 - 0.007685 123.5 444.6 - 0.015473

128.5 462.6 - 0.008827 128.5 462.6 - 0.024559

132 475.2 - 0.008493 132 475.2 - 0.028162

133.5 480.6 - 0.008019 133.5 480.6 - 0.027476

138.5 498.6 - 0.006052 138.5 498.6 - 0.018286

143.5 516.6 - 0.005275 143.5 516.6 - 0.012768

Tabla. 5.41. Flecha dinámica máxima para distintas velocidades (THALYS e ICE2).

Las mayores solicitaciones se producen en las correspondientes velocidades de

riesgo para cada uno de los trenes, provocando el tren ICE2 mayores flechas que el

THALYS. Esto se puede ver también en la siguiente figura:


197

60 70 80 90 100 110 120 130 140

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Velocidad (m/s)

Flec

ha m

axim

a en

el c

entro

del

van

o (m

)ICE2THALYS

Fig.5.102. Valor absoluto del desplazamiento máximo en el centro del vano para THALYS e ICE2.

La evolución del desplazamiento para vriesgo,THALYS y vriesgo,ICE2 es:

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

(m)

THALYS, v = 93.5 m/s

Fig.5.103. THALYS, v = 93.5 m/s. Fig.5.104. ICE2, v = 132 m/s.

Atendiendo a las figuras anteriores vemos como para ambos trenes circulando a

sus velocidades de riesgo se produce fenómenos resonantes.

b) Cálculo de las curvas ICSD.

En este apartado se estudiará el inverso del coeficiente de seguridad en

desplazamientos al que se denomina ICSD y se define de la siguiente forma:

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

(m)

ICE2, v = 132 m/s


198

tipo,din

real,dinICSDδ

δ= (5.4.1)

Donde:

- tipo,esttipo,din · δΦ=δ

- real,dinδ : Flecha máxima del puente para el tren de cargas real en el rango de

velocidades de circulación.

- tipo,estδ : Flecha máxima para el tren tipo LM 71.

- Φ : coeficiente de impacto.

De esta manera, en los casos en que el ICSD sea superior a 1.0, los efectos

dinámicos que dependieran exclusivamente de la respuesta en desplazamientos de la

estructura no quedarían cubiertos por el uso de la metodología simplificada del

coeficiente de impacto.

En este trabajo se calcularán las diferentes curvas ICSD para la norma UIC [32].

En primer lugar, para calcular la flecha tipo,estδ se observarán los efectos que provoca el

tren tipo LM 71 definido en la figura 4.1 sobre el puente de 15 m de luz. La situación

más desfavorable es la que se representa a continuación:

4.3 m 0.8 m 1.6 m 1.6 m 1.6 m 0.8 m

80 KN/m 80 KN/m

250 KN 250 KN 250 KN 250 KN

4.3 m

Fig.5.105. Situación más desfavorable del tren LM71 sobre el puente isostático de 15 m.

La flecha máxima se produce en el centro del vano y su valor es de:

m 01099.0tipo,est =δ

Para obtener el valor del coeficiente de impacto Φ se utiliza la expresión (4.1.2)

con Ld = 15 m:

2121.1=Φ


199

Las curvas ICSD para los dos trenes en cuestión son las siguientes:

60 70 80 90 100 110 120 130 1400

0.5

1

1.5

2

2.5

Velocidad(m/s)

Inve

rso

del C

oefic

ient

e de

Seg

urid

ad e

n D

espl

azam

ient

os (I

CS

D)

THALYSICE2

Fig.5.106.Curvas ICSD para el puente isostático de 15 m y los trenes THALYS e ICE2.

Obsérvese que según estos resultados la norma UIC quedaría fuera del rango

aceptable de valores (ICSD < 1.0) para velocidades de circulación entre 85 m/s y 105

m/s para el tren THALYS y para velocidades superiores a 120 m/s en el caso del tren

ICE2.

5.5. Estudio de un viaducto real: Viaducto E-II.

La dificultad existente en proponer metodologías simplificadas o comprobaciones

generales para el cálculo de las estructuras hiperestáticas (viaductos continuos,

estructuras tipo marco, puentes atirantados, etc.) obliga, dentro del ámbito normativo

actual, a la realización de cálculos dinámicos específicos completos para estas

estructuras.

La naturaleza del comportamiento dinámico de los viaductos hiperestáticos difiere

en gran medida del funcionamiento de los puentes isostáticos como ya se ha podido

comprobar en los apartados anteriores. Por un lado, mientras que en estos últimos suele

bastar con el primer modo de vibración, en una estructura hiperestática se obtienen


200

varios modos de vibración (por debajo de los 20 Hz) que tienen una contribución

significativa en la respuesta total del puente. Además en este tipo de puentes es difícil

predecir los fenómenos resonantes y por ello es muy complicado formular hipótesis

simplificadas sobre estos fenómenos al contrario que en los puentes isostáticos.

Por estas razones, y con la intención de ver el comportamiento dinámico de algún

puente real, se decide estudiar el viaducto continuo perteneciente a la línea de alta

velocidad de Zaragoza-Lérida, subtramo I, que recibe el nombre de viaducto E-II.

El puente está compuesto de una viga continua de 3 vanos de 20 m, 25 m y 25 m

de longitud respectivamente, haciendo un total de 70 m, apoyado en un extremo y

simplemente apoyado en el otro. En la siguiente figura se esquematiza el viaducto E-II.

X

Y

20 m 25 m 25 m

Fig.5.107. Características geométricas del viaducto E-II.

Según lo recogido en (Dinámica de puente de ferrocarril para alta velocidad, J.

Domínguez [4]) las propiedades de la sección transversal de dicho puente son las

siguientes:

Sección transversal

( )4zz mI 1.531

Área ( )2m 6.362

ν 0.2

E ( )2m/N 41.188 · 109

( )3m/kgρ 2500

Tabla 5.42. Propiedades viaducto E-II


201

Se ha tenido en cuenta la existencia de una carga muerta debida al balasto y a

otros elementos cuyo valor es Kg 10 · 35.12C 3muerta = . Como ya se comento en el punto

4.7, se definirá una densidad equivalente ρeq de la forma siguiente:

muertahorminicsec C·AP +ρ= (5.5.1)

ini

cseceq A

P=ρ (5.5.2)

Donde: - Aini = A = 6.362 m2

- ρhorm = ρ = 2500 Kg/m3

Se obtiene:

3eq Kg/m 21.4441=ρ

Con estas propiedades y resolviendo el sistema de ecuaciones (5.2.1) se obtiene

una sección equivalente con las siguientes características:

Fig.5.108. Sección equivalente del tablero

Se ha utilizado el modelo de carga puntual para realizar los análisis

correspondientes y el intervalo de integración utilizado es h = 0.002 s. Además se ha

adoptado una tasa de amortiguamiento estructural correspondiente al primer modo de ζ1

= 1%.

Se han realizado dos barridos de velocidades con los trenes THALYS y TALGO

AV respectivamente. Al ser las características del THALYS muy similares a las del

AVE, se podrá observar el comportamiento dinámico del viaducto real ante el paso de

dos composiciones que en la realidad pueden circular sobre él.

h = 1.699 m

b = 3.744 m

b

Z

Yh


202

En primer lugar se ha realizado un análisis modal para obtener las frecuencias

naturales más representativas.


1 029.4f1 =

2 87.5f2 =

3 35.8f3 =

4 78.15f4 =

Tabla 5.43. Frecuencias naturales del viaducto E-II.

Atendiendo al rango de velocidades utilizado es

v ∈ ( ) ( ) h/Km 396144 s/m 11040 ÷≡÷

con un incremento ∆v = 5 m/s (18 km/h). Además se han recogido en este rango

las velocidades de riesgo de resonancia correspondientes a i = 1 para cada uno de los

trenes. Estas velocidades se obtienen aplicando la ecuación (4.3.1) con f0 = f1= 4.029

Hz, dk,THALYS = 18.7 m y dk, TALGO = 13.14 m:

m/s 94.52 4.029 · 1

13.14 v AV ALGOT

m/s 75.34 4.029 · 1

18.7 v THALYS

TALGOriesgo,

THALYSriesgo,

==⇒

==⇒

a) Cálculo de desplazamientos con modelos de cargas puntuales.

Los desplazamientos máximos en el centro del segundo vano para cada una de las

velocidades de los dos trenes europeos se recogen en la siguiente tabla:


203

THALYS TALGO AV

Velocidad

(m/s)

Velocidad


Velocidad

(m/s)

Velocidad


40 144 - 0.001140 40 144 - 0.001346

45 162 - 0.001161 45 162 - 0.001282

50 180 - 0.001167 50 180 - 0.001317

55 198 - 0.001397 52.94 190.58 - 0.001757

60 216 - 0.001199 55 198 - 0.001882

65 234 - 0.001219 60 216 - 0.001433

70 252 - 0.001578 65 234 - 0.001349

75.34 271.22 - 0.002682 70 252 - 0.001540

80 288 - 0.002142 75 270 - 0.001745

85 306 - 0.001524 80 288 - 0.001492

90 324 - 0.001667 85 306 - 0.001422

95 342 - 0.001970 90 324 - 0.001315

100 360 - 0.0014197 95 342 - 0.001454

105 378 - 0.001897 100 360 - 0.001424

110 396 - 0.002676 105 378 - 0.001494

110 396 - 0.001634

Tabla 5.44. Flecha dinámica máxima para distintas velocidades (THALYS y TALGO AV)

La representación de estos valores es la siguiente:


204

40 50 60 70 80 90 100 1101

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3x 10-3

Velocidad (m/s)

Flec

ha m

axim

a en

el c

entro

del

seg

undo

van

o (m

)THALYSTALGO AV

Fig.5.109. Valor absoluto del desplazamiento máximo en el centro del vano (THALYS y TALGO AV).

En el caso del tren THALYS la flecha máxima se produce para la velocidad de

riesgo antes calculada (vriesgo,THALYS = 75.34 m/s) y para el TALGO AV se produce para

v = 55 m/s, siendo esta cercana a la velocidad de riesgo correspondiente (vriesgo,TALGO =

52.94 m/s). Además se puede apreciar como existen otras velocidades cuyos

desplazamientos correspondientes son muy parecidos a los máximos (v = 110 m/s para

THALYS y v = 75 m/s para TALGO AV). Se podría asimilar este fenómeno a la

contribución del segundo modo de vibración, ya que en el cálculo anterior de las

velocidades de riesgo únicamente se ha tenido en cuenta el primer modo de vibración

con f1. Así si utilizamos f0 = f2 =5.87 Hz, se obtiene:

m/s. 75 a próxima m/s 13.77 5.87 · 1

13.14 v AV ALGOT

m/s 110 a próxima m/s 8.091 5.87 · 1

18.7 v THALYS

TALGO,2riesgo,

THALYS,2riesgo,

⇒==⇒

⇒==⇒

Se confirma por tanto la contribución del segundo modo de vibración en el

comportamiento dinámico.

Otra conclusión es que, en el rango de velocidades estudiado, el THALYS

provoca desplazamiento máximos mayores que el TALGO AV.


205

La evolución respecto al tiempo del desplazamiento vertical en el centro del

segundo vano para la composición THALYS a v = 75.34 m/s y para el TALGO AV a v

= 55 m/s es:

0 2 4 6 8 10 12-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

2

Fig.5.110. THALYS, v = 75.34 m/s Fig.5.111. TALGO AV, v = 55 m/s.

En ambos casos es posible ver como se produce una amplificación de la respuesta

a lo largo del tiempo, aunque no es tan acentuada como la que se podía observar en el

puente isostático.

b) Cálculo de las curvas ICSD.

Al igual que se hizo en el caso del puente isostático, se estudiará inverso del

coeficiente de seguridad en desplazamientos (ICSD) definido en la ecuación (5.4.1) para

la norma UIC [32]. En el cálculo de tipo,estδ se ha situado el tren tipo LM 71 de forma

que sea lo más desfavorable posible para el viaducto que estamos estudiando. En

concreto, la distribución es la que se presenta en la figura 5.112:

80 KN/m 80 KN/m250 KN 250 KN 250 KN 250 KN

0.8 1.6 1.6 1.6 0.8 9.354.3

Fig.5.112. Situación más desfavorable del tren LM71 sobre el viaducto E-II (cotas en m).

0 2 4 6 8 10 12-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-3

tiempo (s)

desp

laza

mie

nto

verti

cal e

n el

cen

tro d

el v

ano

2


206

La flecha máxima es de:

m 004933.0tipo,est =δ

Para obtener el valor del coeficiente de impacto Φ se utiliza la expresión (4.1.2)

con Ld = 25 m:

12.1=Φ

Las curvas ICSD para los dos trenes en cuestión son las siguientes:

40 50 60 70 80 90 100 1100.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

Velocidad(m/s)

Inve

rso

del C

oefic

ient

e de

Seg

urid

ad e

n D

espl

azam

ient

os (I

CS

D)

THALYSTALGO AV

Fig.5.113. Curvas ICSD para el viaducto E-II y los trenes THALYS y TALGO AV.

Obsérvese que según estos resultados la norma UIC estaría dentro del rango

aceptable de valores (ICSD < 1.0).


207

5.6. Estudio de un viaducto con tablero de doble viga sobre el que

circulan dos trenes en sentido opuesto.

Para terminar se pretende estudiar el efecto que provoca en un puente el tránsito

de dos trenes circulando en sentido opuesto. La estructura objeto de nuestro estudio será

un puente de dos vanos de 30 m de longitud y unas pilas de 20 m de altura.

30

20

XX

Y

A B C

30Vano 2Vano 1

D E


Se ha considerado oportuno utilizar un tablero de doble viga artesa prefabricada de

hormigón con losa superior que se adecua a las características del puente (Fuente: [3]).

En la figura 5.115 se muestra la sección del tablero mencionada en la que se representan

las cotas en metros.


208

2,75 2,71 3,08 2,71 2,75

0,22

0,36

5,79

8,04

0,25

0,23

2,35 2,35

1,435 1,435

14

Fig.5.115.Sección del tablero. Doble viga artesa de hormigón.

En cuanto a las pilas, serán de sección rectangular con rehundido tal y como se

puede comprobar en las figuras 5.116 y 5.117:

20

A A

Fig.5.116. Alzado de la pilas


209

La sección A-A es la siguiente:

3,8

2

0,3 0,3

0,45

0,45

11

Fig.5.117. Sección A-A de las pilas

Las propiedades de las secciones del tablero y de las pilas representadas

anteriormente son las siguientes:

Tablero Pilas

( )4zz mI 5.8488 ( )4

zz mI 2.1784

Área ( )2m 7.075 Área ( )2m 4.08

ν 0.2 ν 0.2

E ( )2m/N 35 · 109 E ( )2m/N 35 · 109

( )3m/kgρ 2500 ( )3m/kgρ 2500

Tabla 5.45. Propiedades viaducto con tablero de doble viga artesa de hormigón.

Entonces el puente que estamos estudiando tendrá el siguiente aspecto:


210

Fig.5.118. Perspectiva viaducto con tablero de doble viga artesa de hormigón.

Fig.5.119. Alzado viaducto con tablero de doble viga artesa de hormigón


211

Se ha modelado el puente mediante un modelo tridimensional utilizando

elementos SHELL para el tablero y elementos BEAM para las pilas. En la siguiente

figura se muestra el modelo utilizado:

Y

XZ

Elemento SHELL

Elemento BEAM

Fig.5.120. Modelo viaducto 3D viaducto con tablero de doble viga artesa de hormigón

En la definición de las secciones equivalentes se ha fijado la anchura de la sección

correspondiente al tablero (b = 14 m) para así situar las cargas correspondientes a los

trenes en la misma posición que en el puente real. El exceso de área que tendrá esta

sección se verá compensado con la definición de una densidad equivalente ρeq, en la

cual se recogerá también el efecto de una carga muerta ( Kg 10 · 35.12C 3muerta = ) debida

al balasto. Se procede de la siguiente forma:

- Tablero

Conociendo la inercia según la tabla 5.45 y fijando b = 14 m se obtiene, aplicando

la ecuación de la inercia del sistema de ecuaciones (5.2.1), que h = 1.71 m. Es decir la

sección será:


212

Fig.5.121. Sección equivalente del tablero (elemento SHELL).

El área de esta sección es 2final m 94.23A = . Como el área de la sección original

es 2ini m 075.7AA == , se define la siguiente densidad equivalente:

muertahorminicsec C·AP +ρ= (5.6.1)

final

cseceq A

P=ρ (5.6.2)

Nos queda que: 3

eq Kg/m 1255=ρ

Ésta es la densidad que se utilizará para el tablero en el programa de elementos

finitos.

- Pilas.

Resolviendo el sistema de ecuaciones (5.3.1) con las propiedades mostradas en la

tabla 5.45, la sección de las pilas será:

Fig.5.122. Sección equivalente de las pilas (elemento BEAM).

Para el modelado de los trenes de carga se ha utilizado el modelo de carga puntual

aplicando las cargas de los ejes a la distancia en la dirección z correspondiente a la

posición central entre carriles.

h = 1.71 m

b = 14 m

h = 1.6119 m

b = 2.3312 m

bZ

Yh

b

Z

X

h


213

El modelo real de los trenes es el siguiente:

Fig.5.123. Circulación de trenes sobre el puente.

Fig.5.124. Vista lateral del puente y los trenes.

Por otra parte el modelo que se ha utilizado es:


214

Y

XZ

V

V

14 m4.65 m

4.65 m

TREN 1

TREN 2

Fig.5.125. Modelo de cargas puntuales utilizado.

La composición que se ha utilizado para ambos trenes es la del THALYS. En

cuanto al intervalo de integración, se ha escogido h = 0.01 s, mientras que la tasa de

amortiguamiento estructural que se ha tenido en cuenta es del 5%.

Los resultados que se han obtenido cuando los trenes circulan a una velocidad de

100 m/s en los puntos que muestra la figura 5.126 se muestran a continuación:

Y

XZ

A

B

C

D

E

F

Fig.5.126. Puntos de estudio en el tablero.


215

El desplazamiento vertical en el punto A es:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2x 10

-4 PUNTO A

Des

plaz

amie

nto

verti

cal (

m)

tiempo(s) Fig.5.127. Desplazamiento vertical en el punto A (THALYS, v = 100 m/s).

En el punto B:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-6

-4

-2

0

2x 10

-4 PUNTO B

Des

plaz

amie

nto

verti

cal (

m)

tiempo(s) Fig.5.128. Desplazamiento vertical en el punto B (THALYS, v = 100 m/s).

En el punto C:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-5 PUNTO C

Des

plaz

amie

nto

verti

cal (

m)

tiempo(s) Fig.5.129. Desplazamiento vertical en el punto C (THALYS, v = 100 m/s).


216

En el punto D

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-5 PUNTO D

Des

plaz

amie

nto

verti

cal (

m)

tiempo(s) Fig.5.130. Desplazamiento vertical en el punto D (THALYS, v = 100 m/s).

En el punto E:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-6

-4

-2

0

2x 10

-4 PUNTO E

Des

plaz

amie

nto

verti

cal (

m)

tiempo(s) Fig.5.131. Desplazamiento vertical en el punto E (THALYS, v = 100 m/s).

En el punto F:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2x 10

-4 PUNTO F

Des

plaz

amie

nto

verti

cal (

m)

tiempo(s) Fig.5.132. Desplazamiento vertical en el punto F (THALYS, v = 100 m/s).


217

La comparación de los desplazamientos en todos los puntos es la siguiente:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2x 10

-4

Des

plaz

amie

nto

verti

cal (

m)

tiempo(s)

PUNTO APUNTO BPUNTO CPUNTO DPUNTO EPUNTO F

Fig.5.133. Comparación de la respuesta en los puntos de estudio.

Es posible ver como los desplazamientos provocados por el tren 1 y el tren 2 son

iguales, es decir, el desplazamiento en A, primer punto de estudio que ve el tren 1, es

igual al desplazamiento en F, siendo este punto de estudio por el que primero pasa el

tren 2. Lo mismo se puede decir con los puntos C y D y con los puntos B y E. Si

únicamente nos fijamos en los efectos que ocasiona el tren 1, la flecha máxima en cada

uno de los puntos es la siguiente:

PUNTO δmax (m) tδmax (s)

A - 6.4702·10-4 0.55

C - 1.3730·10-4 0.44

E - 5.5030··10-4 0.55

Tabla 5.46. Flecha máxima para los puntos de estudio correspondientes a tren 1.

Vemos como la máxima solicitación se produce cuando el tren 1 pasa por el punto

A. En cambio, la flecha de menor valor se da justo en el punto central del puente (punto

C).

Conclusiones y líneas de investigación propuestas Proyecto Fin de Carrera

218

6. Conclusiones y líneas de investigación propuestas.

Este proyecto se dirige a dos aspectos claramente diferenciados, pero a su vez

dependientes: la validación de programas de elementos finitos no comerciales para

análisis dinámicos con cargas dependientes del tiempo y el estudio de los efectos

producidos por las cargas del tráfico ferroviario sobre diferentes tipologías de puentes.

Se recapitula aquí las conclusiones más destacadas de este proyecto. Asimismo se

describen las posibles líneas de investigación abiertas para futuros trabajos.

6.1. Conclusiones de la investigación desarrollada.

Como resumen del trabajo realizado se presentan a continuación las conclusiones

generales que se extraen del mismo.

• Búsqueda y validación del programa de EF no comercial.

Después de haber estudiado dos programas de elementos finitos no comerciales,

CalculiX y FEAPpv, se ha hecho una comparación de ambos con un potente programa

comercial (ANSYS) y se ha decidido escoger el programa FEAPpv como el más idóneo

para nuestros intereses. Los motivos de esta decisión se explican en el apartado 3.3.

• Estudio de los efectos producidos por trenes de carga reales sobre diferentes

tipologías de puentes.

Se han estudiado diversas tipologías de puentes sometidos a la circulación de

diferentes composiciones reales, siendo la más utilizada la correspondiente al tren de

alta velocidad THALYS. Para su análisis se ha utilizado la metodología recogida en

(Dinámica de puente de ferrocarril para alta velocidad, J. Domínguez [4]).

Por una parte, se han extraído resultados acerca de cómo afecta la geometría de los

puentes, la interacción suelo-estructura y la interacción vehículo-estructura a la


219

respuesta de los mismos ante el paso de un tren de alta velocidad. También se ha

conseguido establecer ciertas nociones acerca de cuál es el impacto que se produce en la

estructura dependiendo de la velocidad que lleve el vehículo ferroviario.

Por otra parte, se han estudiado puente reales, diferenciado entre puentes

isostáticos, puentes continuos e hiperestáticos y puentes modelados

tridimensionalmente.

A lo largo del proyecto se han ido estableciendo múltiples conclusiones acerca de

muy diversos aspectos. A continuación vamos a ir viendo las más importantes:

En primer lugar decir que las mayores solicitaciones se producen cuando las

locomotoras de los trenes pasan por los puntos de estudio, debido al mayor

peso de éstas respecto a los vagones centrales.

Para longitudes de vano constantes, se tiene que cuanto mayor es la altura de

los estribos que forman el puente, mayores son los desplazamientos que se dan

en los vanos del tablero.

Para alturas de estribos constantes, se tiene que cuanto mayor es la longitud de

los vanos correspondientes mayores son los desplazamientos en los mismos.

Si se utilizan apoyos elásticos en los problemas con interacción suelo-

estructura en lugar de empotramientos, los desplazamientos obtenidos serán

mayores. Lo mismo ocurre si en la interacción vehículo-estructura tenemos en

cuenta los efectos asociados a la flexibilidad del carril, las traviesas y el

balasto.

La amplificación resonante en los puentes de ferrocarril es un fenómeno real

que se da con los trenes y puentes actuales.

El método del coeficiente de impacto Φ no es de aplicación en el campo de la

alta velocidad ferroviaria, pues no incluye los efectos resonantes. En estos

casos es necesario que, en el proyecto de puentes que presten servicio en estas


220

líneas, se realicen cálculos dinámicos específicos para estas estructuras, como

se ha hecho en este trabajo.

En puentes isostáticos se cumple que las velocidades del vehículo a las que se

producen los mayores efectos son predichas por hipótesis simplificadas que

explican las condiciones de resonancia y que están formuladas en los apartados

4.2 y 4.3.

En los puentes hiperestáticos es más difícil que se den fenómenos resonantes

significativos, por el número de modos a considerar y por la acción opuesta

que ejercen las cargas en distintos vanos.

Es posible ver que en los puentes hiperestáticos estudiados, si sólo hay una

frecuencia natural por debajo de 20 Hz, se cumple la condición de riesgo de

resonancia propuesta en puentes isostáticos (apartado 4.2 y 4.3); en el caso

contrario, es decir si hay más de una frecuencia natural por debajo de 20 Hz,

todas tienen una contribución significativa en la respuesta total del puente y no

se puede explicar el comportamiento mediante las condiciones de resonancia

para puentes isostáticos de los apartados 4.2 y 4.3. A pesar de esto, en muchas

ocasiones las velocidades que provocan los mayores efectos se aproximan

mucho a las velocidades de riesgo obtenidas con la ecuación (4.3.1) utilizando

como frecuencia fundamental f0 la correspondiente al primer modo de

vibración f1.

6.2. Líneas de investigación propuestas.

A partir del trabajo realizado en este proyecto se pueden plantear diversas líneas

de investigación, orientadas a profundizar y ampliar aspectos que quedan abiertos. Entre

estas líneas cabe señalar las siguientes:


221

Modelado del suelo mediante elementos de contorno.

La continuación de este trabajo sería la de realizar la conexión entre

suelo y estructura mediante una malla de elementos de contorno. Esto es

así porque los elementos de contorno funcionan mejor en estos casos que

los elementos finitos.

Para llevar a cabo esta línea de investigación se pretende incorporar al

código fuente del programa de EF, FEAPpv, funciones propias de los

elementos de contorno, de forma que se puedan utilizar ambos sistemas a

la vez.

Utilización de modelos de cálculo con interacción entre el vehículo y la

estructura.

Los modelos de cargas puntuales consideran que, en todo momento, las

cargas que transmiten las ruedas a los carriles son constantes, de valor

igual a la carga nominal. En la realidad esta acción es variable por el

efecto, entre otros, de la suspensión de los vehículos. Los modelos que

consideran estos fenómenos pueden ser de mayor o menor complejidad,

de forma que existen modelos completos en los cuales se contempla la

interacción entre los ejes de un mismo vagón y modelos simplificados, en

los cuales cada eje del tren es independiente del resto.

Las solicitaciones dinámicas obtenidas con los modelos de interacción

entre vehículo y estructura suelen ser inferiores a las correspondientes de

los modelos de cargas puntuales (sobretodo en puentes isostáticos). Estos

últimos son recomendables para la realización de cálculos preliminares,

ayudando a la detección de fenómenos resonantes, pero, de ordinario, sus

resultados se desvían en cierta medida del comportamiento real de la

estructura (son conservadores). Para una aproximación mejor, es

aconsejable la utilización de los métodos de interacción entre vehículo y

estructura.


222

MB,JB

LB

L

dtd

M,J

MB,JB

deB

dBd

Fig.6.1. Modelo completo de interacción vehículo-estructura.

KpCp

ms

mns

masa suspendida

masa no suspendida

Fig.6.2. Modelo simplificado de interacción vehículo-estructura.

Utilización de métodos simplificados basados en la impronta dinámica

de los trenes.

La impronta dinámica es una curva geométrica que caracteriza la

agresividad del tren en cuestión en relación a los efectos dinámicos

producidos en un puente de ferrocarril. Los métodos más utilizados son

el DER, LIR e IDP; su implementación es sencilla y es recomendable su

utilización para las tipologías isostáticas ya que facilita la compresión del


223

fenómeno de resonancia. Además su utilización facilita la configuración

del futuro espacio de interoperabilidad de redes ferroviarias europeo.

Utilización de técnicas de análisis modal.

Estos métodos se basan en la descomposición modal de la estructura y la

combinación de respuestas modales producidas por las cargas móviles.

Los cálculos se simplifican cuando se modela el puente mediante vigas

rectas. Gracias a estas técnicas es posible saber la contribución de cada

uno de los modos de vibración en estructuras hiperestáticas.

Anexo A Proyecto Fin de Carrera

224

Anexo A. Características de trenes de alta velocidad

europeos.

En este anexo se describirán las características más relevantes, según nuestro

punto de vista, de los trenes de alta velocidad ICE2, AVE y TALGO AV, habiéndose

descrito las características del THALYS en el apartado 4.6.

A.1. ICE 2.

El ICE es el ferrocarril alemán de alta velocidad. Las iniciales ICE significan Inter

City Express.

El tren fue desarrollado a partir del año 1985 por Siemens AG según las

indicaciones de los ferrocarriles federales alemanes. La primera generación, conocida

como ‘ICE 1’, alcanza una velocidad máxima de 280 km/h. Los trenes están formados

por dos unidades motrices, una en cada extremo, y entre 10 y 14 vagones. La capacidad

de los convoyes con 12 vagones es de 645 pasajeros. Los ferrocarriles alemanes utilizan

en la actualidad 60 trenes de este tipo.

Posteriormente se

desarrolló una variante del

primer tren, denominada

‘ICE 2’. La diferencia con

el primer tipo consiste en

que los convoyes pueden

ser divididos en dos

mitades iguales, para

aquellos trayectos en los

que interesa disponer a

partir de una determinada

ciudad, trenes con menor Fig. A.1. Tren de alta velocidad ICE 2

capacidad que se dirigen a

dos destinos diferentes. Ello se consigue dotando a los convoyes completos, que

disponen de una unidad motriz en cada extremo al igual que los ICE 1, de dos vagones


225

con puesto de conducción situados en la mitad del tren. De esta forma, al dividir el tren

en dos, cada una de las dos partes dispone de una unidad motriz y un vagón con puesto

de conducción en el extremo opuesto, lo que le permite circular en ambos sentidos. Hay

disponibles 44 unidades de este tipo.

Más recientemente se ha

desarrollado el tren ‘ICE 3’, que

alcanza los 330 km/h y no dispone

de unidades motrices, sino que la

tracción es realizada a través de las

ruedas de cada uno de los vagones,

lo que confiere una mayor

estabilidad al tren. Existen 37 trenes

de este tipo, aunque hay otros 13 en

producción. Fig. A.2. Tren de alta velocidad ICE 3

En la siguiente tabla se presenta la carga por eje y la distancia a la cabeza

correspondiente al tren ICE 2:


226

Eje lk Fi Eje lk Fi

1 0.00 195000 29 177.71 112000 2 3.00 195000 30 180.21 112000 3 11.46 195000 31 196.71 112000 4 14.46 195000 32 199.21 112000 5 19.31 112000 33 204.11 112000 6 21.81 112000 34 206.61 112000 7 38.31 112000 35 223.11 112000 8 40.81 112000 36 225.61 112000 9 45.71 112000 37 230.51 112000

10 48.21 112000 38 233.01 112000 11 64.71 112000 39 249.51 112000 12 67.21 112000 40 252.01 112000 13 72.11 112000 41 256.91 112000 14 74.61 112000 42 259.41 112000 15 91.11 112000 43 275.91 112000 16 93.61 112000 44 278.41 112000 17 98.51 112000 45 283.31 112000 18 101.01 112000 46 285.81 112000 19 117.51 112000 47 302.31 112000 20 120.01 112000 48 304.81 112000 21 124.91 112000 49 309.71 112000 22 127.41 112000 50 312.21 112000 23 143.91 112000 51 328.71 112000 24 146.41 112000 52 331.21 112000 25 151.31 112000 53 336.06 195000 26 153.81 112000 54 339.06 195000 27 170.31 112000 55 347.52 195000 28 172.81 112000 56 350.52 195000

Tabla A.1. Características tren ICE 2.

Donde lk es la distancia a la cabeza de la composición en m. y Fi es la carga por

eje en N.


227

A.2. AVE.

AVE es el acrónimo de tren de Alta Velocidad Española. La palabra alude al

mismo tiempo a un ave, es decir a un pájaro, por la velocidad y trayectoria de su

desplazamiento. Está inspirado en los Shinkansen japoneses y en el TGV francés,

pionero en Europa de la alta velocidad.

El ave es un tren de tracción eléctrica de alta velocidad. Las unidades de la

primera línea puesta en servicio fueron fabricadas por Alstom, en su factoría de

Barcelona, para la compañía ferroviaria nacional española RENFE. La producción fue

de 18 trenes de la Serie 100 entre 1992 y 1995. Su velocidad máxima comercial es de

300 km/h y su velocidad récord de 356.8 km/h. Cada tren tiene una capacidad de 329

asientos y la longitud total del tren es de 200 m. Los remolques del tren son articulados

y tienen tracción en el 31 % de los ejes. Además el tren pesa unas 393 toneladas en

vacío y tiene un ancho de vía de 1435 mm.

Fig. A.3. AVE-Serie 100.

Los servicios del AVE se inauguraron el 20 de abril de 1992 entre Madrid y

Sevilla, coincidiendo con la Exposición Universal de Sevilla. Actualmente el AVE

cubre cinco rutas, que son parte de un plan de alta velocidad española, el cual pretende

unir Madrid con las principales ciudades de las costas atlántica y mediterránea y éstas

entre sí, con más de 7.000 km de vías de nueva construcción. Se prevé que al final de un


228

plan que finaliza en 2015, toda la Península Ibérica (incluida Portugal) esté conectada a

través del AVE.

El modelo más reciente del AVE es la Serie 103, capaz de alcanzar una velocidad

de 350 km/h y cuyas características de tracción son muy similares a las del ICE 3. El

año de recepción del tren es el 2006 y su fabricante es Siemens, al igual que el ICE 3.

Tendrá la misma longitud que la Serie 100 pero tendrá capacidad para 404 pasajeros,

además de un sistema de tracción funcional y un peso de 425 toneladas.

Fig. A.4. Tren de alta velocidad AVE-103

La distancia de cada uno de los ejes a la cabeza y la carga por eje del tren AVE -

100 se recogen en la tabla siguiente:


229

Eje lk Fi

1 0.00 172100

2 3.00 172100

3 14.00 170700

4 17.00 170700

5 20.28 131600

6 23.28 131600

7 38.98 161900

8 41.98 161900

9 57.68 169200

10 60.68 169200

11 76.38 167900

12 79.38 167900

13 95.08 160500

14 98.08 160500

15 113.78 167900

16 116.78 167900

17 132.48 169200

18 135.48 169200

19 151.18 161900

20 154.18 161900

21 169.88 131600

22 172.88 131600

23 176.16 170700

24 179.16 170700

25 190.16 172100

26 193.16 172100

Tabla A.2. Característica tren AVE.


eje en N.


230

A.3. TALGO AV.

El 22 de mayo de 2000 fue la fecha en la que se presentó el tren de alta velocidad

de Talgo: El TALGO – 350, siendo uno de los únicos en cumplir hoy en día las

especificaciones de RENFE para los trenes que circulan entre Madrid y la frontera

francesa.

Este tren es capaz de circular a 350 km/h, con alta aceleración lateral en curva y

puede circular tanto por vías AVE como por las de trazado convencional a 1.435 mm.

La locomotora es del tipo Bo‘Bo’ y fue desarrollada por la empresa ADtranz, mientras

que los remolques son pendulares de séptima generación. Entre sus características cabe

destacar su bajo centro de

gravedad, su menor peso por

plaza, lo que se traduce en

menos consumo energético,

presurización interior y ejes

con ruedas independientes con

suspensión primaria que están

permanentemente guiados

sobre la vía. Fig. A.5. Tren de alta velocidad TALGO AV.

La tabla donde se recogen las características del tren se muestra a continuación:


231

Eje lk Fi

1 0.00 170000

2 2.65 170000 3 11.00 170000 4 13.65 170000 5 19.13 170000 6 28.10 170000 7 41.24 170000 8 54.38 170000 9 67.52 170000

10 80.66 170000 11 93.80 170000 12 106.94 170000 13 120.08 170000 14 133.22 170000 15 146.36 170000 16 155.33 170000 17 160.80 170000 18 163.45 170000 19 171.80 170000 20 174.45 170000

Tabla A.3. Característica TALGO AV


eje en N.

Anexo B Proyecto Fin de Carrera

232

Anexo B. Descripción de la Hoja de EXCEL donde se

implementa las ecuaciones que recogen los efectos de la

deflexión de la vía, las traviesas y la flexibilidad del balasto.

La hoja de EXCEL, obtenida del Trabajo de Investigación tutelado [21], en la cual

se implementa las ecuaciones descritas en el apartado 4.6 tiene el siguiente aspecto:

Fig. B.1. Hoja de EXCEL donde se implementan las ecuaciones del apartado 4.6 (Unidades en S.I.).

Los datos utilizados en este caso han sido: Fi =170 KN, v = 100 m/s, d = 0.6 m, m0

= 620 Kg/m, EI = 1.28·107 N·m2 y α = 2.50·108 N/m2. En estos datos se ha tenido en

cuenta la inercia y la densidad de los dos carriles que conforman la vía.

Una vez que se tienen los valores de la curva φ(t )= P(t)/T para una traviesa en x =

0 m, se representa dicha curva:

Anexo B Proyecto Fin de Carrera

233

00,050,1

0,150,2

0,250,3

0,350,4

0,450,5

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04

tiempo (s)

P(t)/

T

Fig. B.2. Curva φ(t )= P(t)/T para traviesa en x = 0 m

Una vez que conocemos la distancia entre traviesas (d) y la velocidad del tren (v),

conocemos el desfase entre las curvas correspondientes a las demás traviesas (situadas a

x > 0 m) y podemos representarlas. Por ejemplo, para el puente de 20 m, se tiene las

siguientes curvas:

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

t(s)

P(t)/

T

Fig. B.3. Curvas φ(t ) para las traviesas que forman parte de un puente de 20 m.

Anexo C Proyecto Fin de Carrera

234

Anexo C. Descripción del programa encargado de realizar

la superposición de la respuesta correspondiente a una carga

aislada.

El programa, que se puede encontrar en [21], está formulado en FORTRAN y

gracias a él se puede conocer la respuesta de una estructura ante un tren de cargas

conociendo la respuesta de dicha estructura ante una carga aislada.

La pantalla de entrada de dicho programa es la siguiente:

Fig. C.1. Pantalla principal del programa en FORTRAN de superposición.

Como es posible observar, hay que introducir el nombre y la extensión del archivo

donde se recogen los resultados correspondientes a una carga aislada unidad (es decir,

hay que dividir los resultados obtenidos por el valor nominal de la carga). Como

segundo paso hay que introducir el nombre y la extensión del archivo donde se

guardarán los resultados de salida.

El archivo de entrada tendrá el siguiente aspecto:


235

Fig. C.2. Archivo de entrada con la respuesta unidad de una carga aislada

La distancia incremental (dk) del tren THALYS, por ejemplo, aparece en la figura

siguiente:

170000

03141720.27523.27538.97541.97557.67560.675

1115.715.73 3 3 3 33.275

170000170000170000170000170000170000170000 163000163000 Fi (N)

lk (m)

dk (m)

Vagón central Vagón enlace Locomotora

Fig. C.3. Características del tren Thalys


236

Es posible validar el programa que hemos utilizado mediante una ejemplo de un

puente isostático de un vano de 20 m de longitud con las siguientes propiedades: EI =

1.75 · 1010 N·m2, A = 1 m2, ρ = 2500 kg/m3, α = 0.25251, δ = 0.50500. La carga que

circula por el puente tiene un valor 300 KN y una velocidad de 90 m/s. Se ha realizado

un análisis considerando un tren de cinco cargas separadas 25 m unas de otras.

Así, en primer lugar se ha implementado estas cinco cargas en el programa de

elementos finitos FEAPpv y se ha realizado el análisis dinámico correspondiente,

obteniendo el desplazamiento en el centro del vano. En segundo lugar, se ha obtenido el

efecto de una única carga mediante FEAPpv y posteriormente se ha utilizado el

programa de superposición estudiado en este anexo. A raíz de los resultados mostrados

en la figura siguiente se puede concluir que la herramienta de la que hemos hecho uso

durante el proyecto da buenos resultados.

0 1 2 3 4 5 6 7-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10-4

tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

en e

l cen

tro d

el v

ano

(m)

con superposiciónsin superposición

Fig. C.4. Validación programa de superposición.

Anexo D Proyecto Fin de Carrera

237

Anexo D. Desarrollo de las soluciones teóricas de una viga

biapoyada y una viga en voladizo.

D.1. Viga biapoyada con carga vertical en el centro.

La solución teórica del problema se desarrollará utilizando los conocimientos de la

Elasticidad y Resistencia de materiales.

En primer lugar calculamos el grado de hiperelasticidad de la estructura objeto de

nuestro estudio.

)l3()rc3(h +−+= (D.1.1)

Donde: h = grado de hiperelasticidad.

r = reacciones de la estructura.

l = ecuaciones de libertades.

c = número de cortes en una estructura cerrada

para convertirla en abierta.

Si la estructura es la siguiente, tenemos que:

L/2

A

B

C

F

X

Z

L/2

XA

YA YC Fig.3.2. Reacciones de la viga biapoyada.


238

isostática Estructura 0h 0l3r0c

⇒=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

A continuación aplicaremos las ecuaciones de equilibrio y calcularemos las

reacciones en función de los datos del problema.

Las ecuaciones de equilibrio son:

∑∑∑

=

=

=

0M .3

0F .2

0F .1

A

Z

X

(D.1.2)

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores se obtiene:

2/L·FL·Y 0M .3

YYF 0F .2

0X 0F .1

CA

CAZ

AX

=→=

+=→=

=→=

∑∑∑

Las reacciones obtenidas son:

2FY

2FY

0X

C

A

A

=

=

=

Una vez calculadas las reacciones se procede a la obtención de las leyes de

esfuerzos internos:

- Tramo AB:


239

AX

0

F/2

NAB (x)

VAB (x)MAB (x)

Fig.3.3. Esfuerzos internos tramo AB

x·2F)x(M

2F)x(V

0)x(N

AB

AB

AB

=

−=

=

- Tramo BC:

L/2

B

F

A

X

0

F/2NBC (x)

VBC (x)MBC (x)

Fig.3.4. Esfuerzos internos tramo BC

2x·F

4L·Fx·Fx

2L

2F)x(M

2F)x(V

0)x(N

BC

BC

BC

−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=

=

Por último vamos a calcular el desplazamiento máximo en la dirección z de la viga

biapoyada que se producirá en el punto B. Para ello aplicamos el Principio de la

Fuerzas Virtuales (PFV).


240

∫∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ α+=δ+δ

L

v

L

vr

vv dx EI

)x(M )x(M)x(TEA

)x(N )x(N·R·F (D.1.3)

Donde:

Fv ≡ Fuerzas o momentos virtuales aplicadas a la estructura.

Rv ≡ Reacciones virtuales de la estructura.

δ ≡ Desplazamientos y giros reales asociados a las acciones exteriores virtuales.

δr ≡ Desplazamientos y giros reales asociados a las reacciones virtuales.

Nv (x) ≡ Axil del problema virtual.

Mv (x) ≡ Momento flector del problema virtual.

N (x) ≡ Axil del problema real.

M (x) ≡ Momento flector del problema real.

T (x) ≡ Temperatura problema real.

α ≡ Coeficiente expansión térmica.

E ≡ Módulo elasticidad.

A ≡ Área de la sección.

I ≡ Inercia de la sección.

Como nuestro propósito es obtener el desplazamiento en el punto B, el problema

virtual que tenemos que estudiar será el siguiente:

AX

Z

L/2

0

1/2 1/2

A C

B

F = 1

X

Z

L/2

Fig.3.5. Problema virtual

Resolviendo el problema virtual:


241

Problema virtual Problema real

Tramos Nv Mv N M

AB 0 2x 0

2x·F

BC 0 2x

4L− 0

2x·F

Tabla.3.1. Esfuerzos del problema virtual y real.

Se sustituyen los resultados en el PFV:

( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ↑+↑++↓δ

2L

0

2L

0CAAB EI

dx4x·F

4F·

2x

4L

EIdx

2x·F·

2xv·

21v·

21u·0·1 r

Como ( ) ( ) ( ) 0vvu CAA =↑=↑=r , el resultado final es:

EI48L·F 3

B ↓=δ (D.1.4)

D.2. Viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre.

La solución teórica del problema se presenta en los siguientes párrafos.

Atendiendo a la figura siguiente, podemos calcular el grado de hiperelasticidad:


242

A B

X

Z

L

XA

ZA

MA

Fig.3.12. Reacciones de la viga en voladizo.

Sustituimos en la ecuación (3.1.1) los siguientes valores:

isostática Estructura 0h 0l3r0c

⇒=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

Aplicamos las ecuaciones de equilibrio y se obtiene las siguientes reacciones:

L·FM 0M .3

F Z 0F .2

0X 0F .1

AA

AZ

AX

−=→=

=→=

=→=

∑∑∑

A continuación se calculan las leyes de esfuerzos.

- Tramo AB

A

X

0

F

FLNAB (x)

VAB (x)MAB (x)

Fig.3.13. Esfuerzos internos en el tramo AB


243

( )LxF)x(MF)x(V

0)x(N

AB

AB

AB

−=−=

=

Se calcula el desplazamiento vertical en el punto B utilizando el PFV (D.1.3).

Para ello se resuelve el siguiente problema virtual:

LA B

1X

Z

0

1

Fig.3.14. Problema virtual

Resolviendo el problema virtual:

Problema virtual Problema real

Tramos Nv Mv N M

AB 0 ( )Lx − 0 ( )LxF −

Tabla.3.3.Esfuerzos del problema virtual y real.

Sustituyendo los esfuerzos en el PFV:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )∫∫ −=−−=α−+↑++↓L

0

2L

0AAAB dxLx

EIF

EIdxLxF·Lx·Lv·1u·0v·1 r

Como ( ) ( ) ( ) 0vu AAA =α=↑=r , el desplazamiento en B será:

EI3

FL v3

B =↓ (D.1.5)

Bibliografía Proyecto Fin de Carrera

244

Bibliografía.

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anÁlisis dinÁmico de viaductos sometidos a acciones de...

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