anÁlisis de las praxeologÍas relativas a la enseÑanza de …
TRANSCRIPT
Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires
Licenciatura en Educación Matemática
ANÁLISIS DE LAS PRAXEOLOGÍAS RELATIVAS A LA
ENSEÑANZA DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Trabajo de investigación para optar la Licenciatura en Ciencias de la Educación en Matemática,
presentada en la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de
Buenos Aires, Tandil.
Profesor René Arturo Gutiérrez
Directora de Tesis
Dra. Viviana Angélica Costa
Punta Alta - Buenos Aires - Argentina
2018
1
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
TESIS DE LICENCIATURA
“Análisis de las Praxeologías Relativas a la Enseñanza
de los Números Racionales”
Gutiérrez René Arturo
Directora: Viviana Angélica Costa
2018
2
DIDICATORIA
Dedico esta tesis a mi esposa e hijos que siempre me apoyaron incondicionalmente y son la
motivación de mi vida.
A mi madre que me dio la vida, me enseño valores y que con esfuerzo y trabajo se consigue
superarse como persona.
3
AGRADECIMIENTO
A la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de
Buenos Aires, por darme la oportunidad de continuar formándome como docente, con la
excelente calidad académica que las distingue, en la carrera de grado de la Licenciatura en
Educación Matemática
A todo el plantel docente de la Licenciatura en Educación Matemática que contribuyeron a en la
continuidad de perfeccionándome en esta noble profesión, gracias a todos los conocimientos
que me fueron brindando a lo largo de la cursada.
Mi más profundo agradecimiento a mi directora de tesis Dra. Viviana Angélica Costa, que hizo
posible que este trabajo se realizara, debido a su gran profesionalismo, sabiduría, paciencia y la
constante dedicación de su tiempo en el seguimiento y corrección del trabajo.
A mi amiga y compañera de carrera profesora María Destribat por su constante apoyo,
solidaridad y su excelente predisposición para realizar las tareas durante la cursada de la
licenciatura.
La Sra. Directora de la EGB N° 17 “Humberto Primo” Marcela Ticozzi y al Sr. Vicedirector
EEST N° 1 “Atte. González Fernández” Gonzalo Nicoliche por abrirme las puertas de sus
respectivas escuelas para realizar las entrevistas.
A los profesores Eliana Justus, Gladys Scheeper y Pedro Curiqueo por el tiempo que me
dedicaron compartiendo sus experiencias para la realización del presente trabajo.
A mi esposa Rosana, mis hijos Melanie, Sofía y Genaro por su comprensión, amor y apoyo que
siempre me manifiestan.
A mi Dios por haberme guiado con su sabiduría.
Para todos los antes mencionados solo tengo palabras de agradecimientos.
ÍNDICE
4
Contenido RESUMEN ..................................................................................................................... 5
CAPÍTULO 1 ................................................................................................................. 8
INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 8
NÚMEROS RACIONALES Y SU HISTORIA ....................................................................... 8
CONCEPTO DE NÚMERO RACIONAL ............................................................................. 10
INTERPRETACIONES DE LOS NÚMEROS RACIONALES ............................................ 11
OPERACIONES BÁSICAS ................................................................................................... 13
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................................................... 14
OBJETIVO DE LA INVESTIGACION................................................................................. 19
PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN .................................................................................. 19
CAPÍTULO 2 ............................................................................................................... 21
MARCO TEÓRICO.................................................................................................... 21
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................... 24
METODOLOGÍA ....................................................................................................... 24
CAPÍTULO 4 ............................................................................................................... 26
ESTUDIO PREVIO .................................................................................................... 26
DISEÑO CURRICULAR Y LOS NÚMEROS RACIONALES EN LA EDUCACIÓN
PRIMARIA ............................................................................................................................ 26
DISEÑO CURRICULAR Y LOS NÚMEROS RACIONALES EN LA EDUCACIÓN
SECUNDARIA BÁSICA....................................................................................................... 28
1° AÑO E.S.B .................................................................................................................... 28
2° AÑO E.S.B .................................................................................................................... 29
3° AÑO E.S.B .................................................................................................................... 29
CAPÍTULO 5 ............................................................................................................... 31
DESCRIPCIÓN ........................................................................................................... 31
PARTE I: DISEÑO CURRICULAR ...................................................................................... 31
PRIMARIA - SEGUNDO CICLO -CUARTO AÑO: ........................................................ 33
PRIMARIA- SEGUNDO CICLO- QUINTO AÑO: .......................................................... 34
PRIMARIA- SEGUNDO CICLO - SEXTO AÑO: ............................................................ 35
ESCUELA SECUNDARIA BÁSICA ................................................................................ 37
ESCUELA SECUNDARIA BÁSICA PRIMER AÑO: ...................................................... 37
ESCUELA SECUNDARIA BÁSICA - SEGUNDO AÑO: ............................................... 39
ESCUELA SECUNDARIA BÁSICA - TERCER AÑO: ................................................... 40
PARTE II: BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................. 40
5
LIBRO 1: MATEMÁTICA 2 ............................................................................................. 41
LIBRO 2: ENTRE NÚMEROS III ..................................................................................... 44
LIBRO 3: MATEMÁTICA 5 (PRIMARIA) ..................................................................... 48
PARTE III: ENTREVISTAS ................................................................................................. 51
DOCENTE I ........................................................................................................................... 51
DOCENTE II ......................................................................................................................... 54
DOCENTE III ........................................................................................................................ 57
CAPÍTULO 6 ............................................................................................................... 60
ANÁLISIS .................................................................................................................... 60
PROPUESTAS ....................................................................................................................... 63
CAPÍTULO 7 ............................................................................................................... 68
CONCLUSIONES ....................................................................................................... 68
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 70
ANEXO ........................................................................................................................ 72
DISEÑO CURRICULAR ........................................................................................... 72
RESUMEN
6
En el siguiente trabajo de investigación se ensaya la descripción de las praxeologías que
se ponen en juego para la enseñanza de los Números Racionales en la escuela primaria
(segundo ciclo) y en la escuela secundaria (ciclo básico) pertenecientes a la Provincia de
Buenos Aires. El conocimiento de esta praxeología permitiría comprender cómo y
cuándo se enseñan los Números Racionales en estos niveles educativos y formular
hipótesis de las causas de las dificultades encontradas en el aprendizaje de estos saberes
por parte de los alumnos. Además, la descripción de las praxeologías se convertiría en
un punto de partida para generar propuestas didácticas para el estudio de los Números
Racionales.
Para el desarrollo del trabajo se utiliza como referencial teórico la Teoría
Antropológica de lo Didáctico (TAD) propuesta por Yves Chevallard.
El trabajo se organiza del siguiente modo.
Inicialmente se presenta el concepto de Número Racional, sus diferentes
interpretaciones y notaciones, según su uso. Luego se realiza una revisión histórica
sobre cómo surge la necesidad en la actividad humana de utilizar tal conjunto de
números y operar con ellos, con el objetivo de mostrar cuál es su razón de ser.
En el planteamiento del problema se exploran otras investigaciones de diferentes
autores que están relacionadas con la noción de praxeología relativas a la enseñanza de
los Números Racionales, donde se exponen las dificultades que tienen los alumnos de
nivel primario y secundario en el aprendizaje de estos saberes.
Luego se presenta el marco teórico adoptado, Teoría Antropológica de lo
Didáctico y los constructos necesarios de esta teoría que permite describir los saberes y
saber hacer en torno al estudio de los Números Racionales: noción de praxeología,
Organización Matemática (OM) y Organización Didáctica (OD).
A continuación se expone la metodología de investigación que es de carácter
cualitativo, descriptivo y exploratorio desde la perspectiva de la educación. Para la
descripción de las OD y OM, tipos de tareas, tecnologías y técnicas (saberes y saber
hacer) que se utilizan en las clases para el estudio del tema Números Racionales, se
decide examinar lo siguiente:
La currícula de la provincia de Buenos Aires de nivel Primario Segundo
Ciclo y Secundaria Ciclo Básico.
La bibliografía que utilizan algunos docentes de estos niveles educativos.
Entrevistas a tres docentes de esos niveles educativos.
7
Finalmente según los resultados obtenidos y su análisis en el marco de la TAD se
exponen las conclusiones del trabajo realizado.
La investigación se organiza en siete capítulos:
Capítulo 1. Introducción: Revisión histórica de los Números Racionales.
Concepto de Numero Racional, Interpretación de los Números Racionales,
Planteamiento del Problema, Objetivo de la Investigación y Preguntas de la
Investigación.
Capítulo 2. Marco Teórico: la investigación se fundamenta en el marco teórico
de la Teoría Antropológica de lo Didáctico de Chevallard.
Capítulo 3. Metodología: en este capítulo se encuentra la metodología de la
investigación que es descriptiva – Cualitativa.
Capítulo 4. Estudio Previo: la fundamentación y los saberes que contiene el
diseño curricular de la educación primaria y secundaria de la provincia de
Buenos Aires.
Capítulo 5. Descripción: este capítulo se compone de tres partes:
o Descripción de las Organizaciones Matemáticas y Organizaciones
Didácticas de los Números Racionales del Diseño Curricular de la
educación primaria y secundaria de la provincia de Buenos Aires.
o Descripción de las Organizaciones Matemáticas y Organizaciones
Didácticas que presentan los libros de textos utilizados por los docentes
de primaria y de secundaria.
o Descripción de las Organizaciones Matemáticas y Organizaciones
Didácticas que desarrollan los docentes en sus clases. Tres casos.
Capítulo 6. Análisis.
Capítulo 7. Conclusiones.
Bibliografía.
Anexos.
8
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
La presente investigación pretende describir y analizar en el marco teórico de la
Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), las praxeologías relativas a la enseñanza
de los Números Racionales en la escuela primaria segundo ciclo y secundaria nivel
básico. Esta teoría nos brinda los instrumentos necesarios para describir y analizar cómo
se enseñan los Números Racionales, que tecnología y técnicas son utilizadas para
resolver los tipos de tareas referidas a los saberes antes mencionados.
De acuerdo a la currícula de la provincia de Buenos Aires, se inicia el estudio de
los Números Racionales a partir de 4° año de la Escuela Primaria (Diseño Curricular
para la Educación Primaria Segundo Ciclo, 2008) y se continua su estudio hasta tercer
año de Educación Secundaria (Diseño Curricular para la de la Educación Secundaria).
Para continuar con la investigación, presentamos primero algunos orígenes del
Número Racional, su concepto y las operaciones básicas definidas con números en este
conjunto.
NÚMEROS RACIONALES Y SU HISTORIA
Desde un principio de la historia los hombres sintieron la necesidad de contar sus
pertenencias, de medir el paso del tiempo, llevar un registro de la cosecha, del ganado y
las transacciones comerciales, teniendo de alguna manera la idea de número y usando
diferentes sistemas de signos para representarlos. Así se fueron construyendo los
diferentes sistemas numéricos que hasta el día de hoy conocemos, de los cuales algunos
son subconjuntos de otros. Entre ellos se tienen los números complejos, los imaginarios,
los reales, los irracionales, los racionales, los enteros y los naturales. A continuación se
realizara una revisión histórica del conjunto de los Números Racionales.
Poco a poco, con las mejoras en las condiciones de vida de las primitivas
civilizaciones fueron surgiendo, en las más avanzadas, sistemas muchos más
sofisticados que dejaban atrás los antiguos métodos. Se comenzaron a aplicar signos de
escrituras a los números más sencillos y a introducir las primeras expresiones con
números mayores. Todas las antiguas civilizaciones (egipcias, babilónicas, cina, maya,
griega, romana, etc.) desarrollaron sistemas de numeración, entendiendo por ello un
conjunto de signos y reglas que permitan representar cantidades, sobre los que
9
elaboraron una aritmética elemental. La manejabilidad de los sistemas de numeración
trajo consigo un avance en las matemáticas que en la civilización egipcia corresponde al
intervalo (3000 AC. Y 1600 AC). Finalmente y con origen en la civilización india
surgiría el sistema decimal que conocemos actualmente (Pérez, 2013).
Diofanto en el siglo III, d. C., fue el primero de los matemáticos griegos que trató
las fracciones como números. El concepto de fracción desde su origen respondió a la
necesidad de repartir objetos entre varias personas: el problema de distribuir 1, 2, 6 ó 7
hogazas de pan entre 10 personas, es una de las situaciones resueltas en el Papiro de
Ahmes, también conocido como papiro de Rhind, como una de las referencias históricas
más antiguas de la aparición de este concepto.
Por otro lado, según Fandiño (2009), los babilonios utilizaron fracciones cuyo
denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron las fracciones
con numerador igual a 1.
Sin embargo, pronto se dieron cuenta de que es posible escribir cualquier Número
Racional como suma de fracciones unitarias distintas, a lo cual se le llamó fracción
egipcia.
Las fracciones egipcias fueron descubiertas en el mundo moderno en 1858,
cuando el escocés Henry Rhind, donde había gran cantidad de acertijos matemáticos y
geométricos y fracciones y cálculos para la construcción. En este papiro se describen las
fracciones egipcias y se dan tablas de fracciones escritas como fracciones egipcias
(Sánchez, 2000).
Los griegos y los romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya
utilización persistió hasta la edad media. Según Tamayo et al. (2011),
“Para los antiguos egipcios, el problema de expresar las partes de un todo fue el
motor de la invención de los fraccionarios, como la necesidad de medir cantidades
continuas porque los números naturales resultaban insuficientes” (pág. 210).
Fandiño (2009) relata que los antiguos egipcios, 2000 años a. C., utilizaban
únicamente las llamadas fracciones unitarias, es decir, las fracciones de la forma 1/n,
siendo n ≠ 0, de modo que el numerador siempre es igual a 1. Sin embargo, pronto se
dieron cuenta de que es posible escribir cualquier Número Racional como suma de
fracciones unitarias distintas, a lo cual se le llamó fracción egipcia. La forma de escribir
las fracciones tal como las conocemos ahora se originó en la India en el siglo VI. Se
escribían como un número encima del otro sin la raya entre ellos. La forma, es decir,
con la raya o vínculo, fue creada por los árabes e introducida en Europa.
10
En el siglo XIII por Leonardo de Pisa, o Fibonacci, famoso entre otros trabajos
por la serie de Fibonacci. La escritura más compacta m/n se comenzó a utilizar en 1784
por razones tipográficas. A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue quien
generalizó el uso de los números decimales tal como los conocemos hoy. De acuerdo
con Tamayo et al. (2011), “las matemáticas árabes tienen un auge importante en el
manejo de los Números Racionales e introducen una notación más actual” (pág. 210).
Centeno (1988) y Ferrari (2006) describen que fue en la India donde se inventó el
sistema de numeración decimal posicional, sin embargo no lo aplicaron a las fracciones.
Fueron los chinos los primeros que utilizaron las fracciones decimales para el peso y
medidas. Los árabes utilizaron el sistema de numeración hindú y lo aplicaron a las
fracciones. Jemshidlbn Mesud Al-Kashi, fue el persa que en el siglo XV, dio un
tratamiento sistemático de las fracciones decimales. Su objetivo era construir un sistema
de fracciones con la que pudiera efectuar las operaciones siguiendo las mismas reglas
que para los números enteros. El uso generalizado de las fracciones decimales en el
ámbito de la aritmética práctica fue dado por Simón Stevin (1548 – 1609), también
sugirió la introducción metódica de la división decimal del peso y la medida.
CONCEPTO DE NÚMERO RACIONAL
Definición: Número Racional es todo número que puede representarse como el
cociente de dos números enteros, más precisamente al cociente entre un entero
y un natural positivo, notándolo de la forma 𝑎
𝑏 , con a y b ∈ Z y b≠ 0
Generalmente se denomina a numerador, y b denominador de la fracción. El
conjunto de los Números Racionales, se nota por Q y contiene a los números enteros
(Z). Todo entero, es un racional con denominador igual a uno.
En sentido estricto, Número Racional es el conjunto de todas las fracciones
equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho
Número Racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –
Número Racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una
relación de equivalencia, por lo general no es como se enseña en la educación
secundaria por el contenido abstracto que lleva el saber de teoría de conjuntos.
11
Además, las fracciones se pueden clasificar según sean:
Propias: el numerador es menor que el denominador y representan números
menores que un entero.
Ejemplos: 2
5= 0,4 −
1
8= −0,125
Impropias: el numerador es mayor que el denominador y representan números
mayores que un entero.
Ejemplos: 3
2= 1,5 −
7
4= −1,75
Aparentes: el numerador es un múltiplo del denominador y representan
números enteros.
Ejemplos: 6
3= 2 −
30
5= −6
INTERPRETACIONES DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Además de la clasificación mencionada para los Números Racionales se
encuentran varias interpretaciones, a saber.
Según Kieren (citado por Dickson 1991, pág. 294): “los Números Racionales” son
los números expresables como razón o cociente de dos números enteros y por
consiguiente, entre ellos contamos con todas las fracciones, porcentajes y demás
decimales representables mediante fracciones, esto es, los decimales finitos y los
periódicos.
La definición de Número Racional de Kieren (1980) dice: “cualquier número x
que satisface ax = b donde a y b son enteros (a ≠ 0)” (pág. 128).
Según Gallardo, Gonzales, Quispe en la investigación: Interpretando la
comprensión matemática en escenarios básicos de valoración “Un estudio sobre las
interferencias en el uso de los significados de la fracción, indica que el conocimiento de
Fracciones equivalentes: son las que representan el mismo número. Para obtener
fracciones equivalentes se multiplican o se divide al numerador y al denominador de una
fracción por un mismo número entero, distinto de cero.
𝑎
𝑏=
𝑎 . 𝑛
𝑏. 𝑛=
𝑎: 𝑛
𝑏: 𝑛 ∧ 𝑛 ≠ 0
Ejemplo: 2
3=
2 .7
3.7=
14
21
12
la fracción”, presenta distintos significados y se reporta desde investigaciones
sistemáticas (Kieren, 1976, 1988, 1993; Behr, Harel, Post & Lesh, 1992; Gairín, 1998;
Escolano & Gairín, 2005), en las que distinguen los siguientes:
Parte-todo: Significado que se manifiesta al concebir a la fracción a / b
como la relación existente entre dos cantidades específicas: un “todo” o
unidad b (continua o discreta), representando un número total de partes
iguales, y una “parte” a, destacando un número particular de esas partes
iguales tomadas del total.
Cociente: Significado que enfatiza la fracción a / b como la operación de
dividir un número natural entre otro no nulo. En este caso, la fracción es
el resultado de una situación de reparto donde se busca conocer el
tamaño de cada una de las partes resultantes al distribuir a unidades en b
partes iguales.
Medida: Significado que tiene su origen en medir cantidades de
magnitudes que, siendo conmensurables, no se corresponden con un
múltiplo entero de la unidad de medida. La fracción a / b emerge
entonces de la necesidad natural de dividir la unidad de medida en b
subunidades iguales y de tomar a de ellas hasta completar la cantidad
exacta deseada.
Razón: Este significado muestra a la fracción como índice comparativo
entre dos cantidades o conjuntos de unidades. La fracción a / b como
razón evidencia la comparación bidireccional entre los valores a y b,
siendo esencial el orden en el que se citan las magnitudes comparadas: si
la relación de A respecto de B es a / b, entonces B es a / b respecto de A.
Operador: Significado que hace actuar a la fracción como transformador
o función de cambio de un determinado estado inicial. Así, la fracción
a / b empleada como operador es el número que modifica un valor
particular n multiplicándolo por a y dividiéndolo por b. Los porcentajes,
por ejemplo, son un caso particular de fracción como operador.
Par ordenado: Significado que define a los Números Racionales Q
formalmente como el conjunto de las clases de equivalencia del conjunto
ZxN / ~. Donde ZxN es un producto cartesiano y se forma por el
conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a es un entero y b es
un número natural (recordemos que 0 no es natural), y ~ es la relación de
13
equivalencia definida según lo siguiente, (a1, b1) ~ (a2, b2) si y sólo si
a1b2 − a2b1 = 0. De este modo el conjunto de los Números Racionales
junto con las operaciones de adición y producto, forman un cuerpo.
OPERACIONES BÁSICAS
En el conjunto de los Números Racionales se definen las cuatro operaciones
básicas de suma, resta, producto y cociente. El conjunto de Números Racionales es
cerrado bajo estas operaciones, es decir, que, dados cualesquiera dos Números
Racionales, su suma, diferencia, producto, y cociente también es un Número Racional
(siempre que no dividamos entre 0).
Los axiomas válidos para 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℚ , son:
Adición y Sustracción
1) Ley de cierre para la suma
𝑎 𝑦 𝑏 ∈ ℚ ⟹ 𝑎 + 𝑏 ∈ ℚ
2) Identidad o neutro
𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 ⟹ 0 ∈ ℚ (Neutro aditivo)
3) Elemento opuesto.
Para cada 𝑎 ∈ ℚ existe un número racional llamado opuesto (simétrico) de 𝑎,
y lo escribimos − 𝑎, de forma que la suma de estos números es el neutro
aditivo. Esto es, 𝑎 + (−𝑎) = 0 (opuesto).
4) Conmutativa
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
5) Asociativa
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
Producto y Cociente
1) Ley de cierre
𝑎 𝑦 𝑏 ∈ ℚ ⟹ 𝑎 . 𝑏 ∈ ℚ
2) Neutro
𝑎 . 1 = 1 . 𝑎 = 𝑎 ⟹ 1 ∈ ℚ
14
3) Elemento inverso. Para cada número racional 𝑎 ≠ 0 existe un número racional
llamado inverso de 𝑎, que expresamos 𝑎−1 o 1
𝑎 , de forma que el producto de
estos números es el neutro multiplicativo.
Esto es, 𝑎 . 𝑎−1 = 𝑎 .1
𝑎= 1 (inverso multiplicativo)
4) Conmutativa
𝑎 . 𝑏 = 𝑏 . 𝑎
5) Asociativa
𝑎 . (𝑏 . 𝑐) = (𝑎 . 𝑏). 𝑐
6) Distributiva del producto respecto a la adición
(𝑎 + 𝑏) . 𝑐 = 𝑎 . 𝑐 + 𝑏 . 𝑐 𝑦 𝑐 . (𝑎 + 𝑏) = 𝑐 . 𝑎 + 𝑐 . 𝑏
7) Orden de los números racionales: El orden en los racionales se define: si p, q,
r, s son enteros y q y s son mayores que 0, entonces
𝑝
𝑞<ℚ
𝑟
𝑠 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑝 . 𝑠 <ℤ 𝑟 . 𝑞
El orden de los racionales tiene características muy interesantes. Primero, tal
como el de los enteros, no tiene ni primer ni último elemento. Pero además,
ningún número racional tiene un sucesor inmediato ni un predecesor
inmediato. Es un conjunto denso. Eso quiere decir que dados dos números
racionales r y s, existe otro que está entre los dos. Dicho de otra manera, si
r < s, entonces existe t ∈ Q tal que r < t < s.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Numerosas son las investigaciones y datos estadísticos de pruebas, que
vislumbran la problemática existente en torno a la enseñanza y aprendizaje de la
matemática y en especial en el nivel primario y secundario, respecto al estudio del
conjunto de los Números Racionales y sus operaciones básicas.
En datos, en Argentina, se han realizado pruebas internacionales (PISA, 2015) y
nacionales (APRENDER, 2016) para medir la calidad educativa en áreas como la
matemática. Aprender es un dispositivo nacional de evaluación de los aprendizajes de
alumnos del ciclo primario y secundario. Según el artículo sobre las Pruebas Aprender
15
del diario digital Infobae1 del 27 de marzo 2017 del Ministerio de Educación de la
Nación (MEN) reveló los primeros resultados de la misma realizada en 2016 en casi 31
mil escuelas de todo el país, tanto públicas como privadas, en el que participaron
963.470 alumnos, de 6° grado de primaria y 5° o 6° de secundaria. También
respondieron preguntas, estudiantes de 3º de primaria y 2º o 3º de secundaria. Algunos
de los resultados generales fueron los que se muestran en el cuadro siguiente.
Nivel De Desempeño Primaria 6° Grado Secundaria 6° Y 5° Año
ESTATAL PRIVADO ÁREA MTM URBANO RURAL
Avanzado 15,2 % 31,9 % 5,2 % 5,4 % 2,2 %
Satisfactorio 37;1 % 43,8 % 24,6 % 25,3 % 15,6 %
Basico 28,1% 16,0 % 29,3 % 29,4 % 28,3 %
Bajo Del Nivel Basico 21,6% 8,3% 40,9 % 39,9 % 53,9 %
Además, se obtuvo que el 70,2% de los alumnos no pueden desenvolverse en un
ambiente educativo superior, que los estudiantes que solo comprenden las operaciones
básicas, suma, resta, división y multiplicación, pero tienen altísimas dificultades para
aplicarlas, representan al 40,9%, mientras que el 29,3% está en el Nivel Básico, por lo
que, si bien conocen mejor las operaciones algebraicas, no pueden realizar algunos
algoritmos muy sencillos como por ejemplo una "regla de tres simple". Resultados de la
escuela primaria donde se muestra que el 41,6% tiene serios problemas en
desempeñarse en cálculos básicos, mientras que en el nivel secundario el 70,2% no
puede resolver cuentas o problemas matemáticos muy sencillos.
La evaluación antes mencionada de la calidad educativa evidencia las dificultades
que tienen los alumnos en la resolución de cálculos básicos en matemática, en operar
algebraicamente en los distintos campos numéricos y en particular con los Números
Racionales y más aún en la aplicación, de tales operaciones, a situaciones problemáticas
de la vida cotidiana. Esta problemática no deja afuera a los docentes y autoridades de las
áreas educativas, que son los responsables de la didáctica del proceso de enseñanza y
aprendizaje.
En el mismo artículo de Infobae el exministro de educación Esteban Bullrich
(2016) señaló: “Los alumnos que formaron parte de la evaluación son los
'sobrevivientes', los que llegaron al último año, no está tomando en cuenta a los jóvenes
que abandonan la escuela secundaria, por lo que la problemática es aún más profunda”.
1 http://www.infobae.com/tendencias/2017/03/21/pruebas-aprender-dramatico-diagnostico-sobre-la-educacion-argentina/
16
Además de esta información, son numerosos los antecedentes encontrados en
relación a la problemática mencionada que ha sido abordada por varios autores en
distintas investigaciones.
Ovando (2003), menciona que, la fracción como relación parte de todo
fundamentado en los aspectos relacionados con la medida, el tipo de magnitud y el tipo
de unidad, permite desarrollar en los alumnos procesos de aprendizaje constructivos y
autónomos, en lo relativo a las relaciones de orden, relación de equivalencia y la
operación aditiva en los Números Racionales.
En una investigación realizada por los profesores Vizcarra y Sallán de la
Universidad de Zaragoza (2005), sobre los “Modelos de medida para la enseñanza del
Número Racional en Educación Primaria”, se propone en primer lugar observar los
obstáculos didácticos provocados al priorizar la enseñanza de la fracción como relación
parte-todo.
En el proyecto de investigación de “La enseñanza de los Números Racionales” se
concluye que hay pocos intentos de vincular la noción de fracción con otros temas
matemáticos, muchas veces se la concibió como expresión de una parte perteneciente a
un todo, esto da lugar a que el aprendizaje sea como un concepto aislado y sin
funcionalidad (Benetti y otros, 2015).
Otra investigación que ha aportado información útil para el desarrollo de este
trabajo es el estudio realizado por Real y Figueras (2015), como está diseñado o
caracterizado el modelo de enseñanza de fracciones en México. Los autores de los libros
de textos que utilizan los docentes como bibliografía no consideran algunas clases de
fenómenos tales como: descripción de procesos cíclicos y periódicos; descripción de
razones, comparación de cantidades y valores de magnitud a través de expresiones que
se usan en el lenguaje cotidiano, comparación directas de objetos; y la medición de
magnitudes usando la recta numérica.
En la investigación de Marcela Luelmo (2004), de la Escuela de Ciencias de la
Educación de la Universidad de La Salle de México, sobre las “Concepciones
matemáticas de los docentes de primaria en relación con la fracción como razón y como
operador multiplicativo”, se observa que las matemáticas han presentado en el currículo
oficial una diversidad de problemas de enseñanza y de aprendizaje. Uno de los
contenidos centrales de esta materia son las fracciones, que presentan más dificultades
que otros. Considera que un conocimiento adecuado de dicha estructura requiere
conocer todos los significados que puede tener. En la fracción, por ejemplo, los
17
significados son cuatro: como medida, como cociente, como razón y como operador
multiplicativo. De estos, los dos últimos son los más difíciles de comprender.
En relación a los errores cometidos por los alumnos en tareas que involucran las
operaciones con números naturales y racionales, hay variadas investigaciones. Hoy en
día el error es considerado como parte del proceso de aprendizaje siempre y cuando
luego se trate y se corrija dicho error.
En la investigación de González del Olmo (2015), menciona a Rico (1995) en su
investigación “Errores Comunes en el Aprendizaje de las Fracciones” justificando la
importancia del error en educación a través de los trabajos de Popper (1979), Bachelard
(1978, 1988) y Lakatos (1978), reivindicándolo como parte del proceso de aprendizaje
individual, en consecuencia extrae importantes consecuencias para la enseñanza y
aprendizaje de la matemática. Por ejemplo los errores pueden contribuir positivamente
en el aprendizaje de las matemáticas, todo proceso de enseñanza es potencialmente
generador de errores, al cometer errores los alumnos muestran lagunas en sus
conocimientos, y permiten tanto a los compañeros, como al docente completar sus
conocimientos o hacerle entender por sí mismos aquello que estaba mal. González del
Olmo continúa según su estudio con una categorización de errores, clasificando los más
importantes y comunes apreciados en el estudio de las fracciones:
Errores por descuido o distracción.
Errores por el desconocimiento de las respuestas que pueden ser: simplificación
incompleta, operaciones con enteros y errores en la jerarquía de las operaciones.
Errores por defecto en la comprensión del concepto que pueden ser: error en
aplicación de las propiedades de las operaciones, error en el orden de las
fracciones, no considera legítimo dividir o restar un número menor por un
número mayor, relacionar multiplicar con ampliar y dividir con simplificar,
extrapolación del cálculo de los naturales a las fracciones y error relacionado
con las equivalencias de fracciones.
Aplicación sistemáticas de procedimientos erróneos que pueden ser: sobre
simplificación, error en el algoritmo de la suma y resta, error en el algoritmo de
la multiplicación y división y común denominador incorrecto.
Por otro lado, la enseñanza de las operaciones con Números Racionales conlleva
complejidad. Por ejemplo:
18
La poca o nula contextualización con que suele trabajarse con el contenido
fracciones desde la enseñanza primaria y su continuidad en la educación
secundaria.
De acuerdo a la investigación realizada por Río Serna y Ramírez Pérez (2009),
en “Las fracciones a partir de la Fenomenología Didáctica”, algunas
dificultades que presentaron los alumnos de la educación primaria con relación
al aprendizaje de las fracciones fueron: la dificultad para abstraer el objeto
mental fracción, lo que impide una mejor comprensión al momento de operar,
encontrar la relación de las fracciones con el contexto y reconocer la
equivalencia de fracciones, y además la falta de aplicación de conocimientos
anteriores como el M.C.M y el M.C.D que son elementos importantes para la
suma y resta de fracciones.
También siguiendo a Freudenthal (1983) que plantea la enseñanza de las
fracciones a partir de la representación, como herramienta pedagógica que
posibilita el paso de una estructura simple a una compleja, teniendo el contexto
como parte integral para la comprensión de este objeto mental.
Las concepciones que trae el docente sobre los conocimientos matemáticos de
Números Racionales y sus diferentes interpretaciones y usos.
Según la investigación realizada por Livas (2004) “Concepciones Matemáticas
de los Docentes de Primaria en relación con la Fracción como Razón y como
Operador Multiplicativo”, arrojó el siguiente dato que el concepto de fracción
de los docentes de la investigación, no se basa en una riqueza de los fenómenos
sobre los que se aplica este concepto, ya que sus respuestas no nos dan
indicadores de conocer diversas situaciones en las que pueden aplicar la
fracción como procedimiento algorítmico de solución; por lo tanto, la forma en
que los docentes lo incluyan en el proceso de enseñanza y de aprendizaje no
poseerá el concepto de la fracción en su totalidad, sino sólo en alguno o algunos
de sus significados. No logran concebir a la fracción como una estructura
matemática, ya que ésta se entiende como un concepto de gran complejidad que
debe abarcar situaciones y problemas diferentes para que dicho concepto
adquiera sentido. Por lo que la construcción que ellos puedan propiciar en sus
alumnos será reducido ya que no plantearán su uso en diferentes situaciones o
problemas si ellos mismos no los conocen. El conocimiento de las concepciones
de los docentes que obstaculizan la solución de problemas que implican
19
fracción como razón y como operador multiplicativo puede dar pie a la
propuesta de cambios fundamentados a algunas actividades, con el fin de
movilizar dichas concepciones.
En la investigación que realizaron Juárez y López (2016), “Análisis y
Clasificación de errores en la adición de fracciones algebraicas con estudiantes que
ingresan a la universidad”, llegaron a la conclusión que los alumnos cometen los
siguientes errores: un gran número de estudiantes que realizaron estos ejercicios los
efectuaron sin considerar que se trata de un tipo de fracciones, es decir, no respetaban la
forma básica de sumar o restar fracciones, la cual se enseña desde la primaria, por lo
que los estudiantes pudieron cometer el mismo error que los niños hacen al inicio del
aprendizaje de las fracciones, el cual es: sumar directamente los numeradores y
denominadores. Otro problema que presentan los estudiantes es que cuando intentan
utilizar alguna estrategia para resolver el ejercicio (como la regla para la adición de
fracciones), es que aplican el método de forma parcial o de forma incorrecta.
En lo personal, por experiencias propias y de colegas de los distintos cursos de
Secundaria de la ciudad de Punta Alta, se ha observado que los alumnos tienen
dificultades al abordar el campo de los Números Racionales, que luego será herramienta
esencial para resolver situaciones problemáticas de otros temas como por ejemplo:
Teorema de Tahles, ecuaciones lineales y cuadráticas, trigonometría, entre otros.
Por lo antes mencionado, esta investigación pretende ser un aporte a la
problemática del estudio de los Números Racionales y sus operaciones básicas, a partir
de describir y analizar las praxeologías entorno a ello, en los niveles de educación
primaria y secundaria básica de Punta Alta en la Provincia de Buenos Aires.
OBJETIVO DE LA INVESTIGACION
Describir y analizar las praxeologías en torno a la enseñanza de los
Números Racionales en la escuela primaria y nivel básico de secundaria.
PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN
¿Cuáles praxeologías se desarrollan para la enseñanza de los Números
Racionales en escuelas de la Provincia de Buenos Aires?
20
¿Cuáles son las praxeologías que desarrollan los profesores para la
enseñanza de los Números Racionales en escuelas en la Provincia de
Buenos Aires?
¿Cuáles son las praxeologías que desarrollan algunos libros de texto para
la enseñanza de los Números Racionales en escuelas en la Provincia de
Buenos Aires?
¿Cuáles son las praxeologías que se proponen en el Diseño Curricular de
la provincia de Buenos Aires para la enseñanza de los Números Racionales
en sus escuelas?
21
CAPÍTULO 2
MARCO TEÓRICO
El trabajo de investigación se apoya en la Teoría Antropológica de lo Didáctico
(TAD). Según Chevallard (2013), lo didáctico es una dimensión vital de las sociedades
humanas, decir esto en forma simplificada, en una serie de situaciones sociales, que
alguna persona haga algo o tenga intenciones de hacer hacerlo, para que otra persona
pueda estudiar y aprender algo. El postulado de la TAD se basa que toda actividad
humana regularmente realizada puede describirse con un modelo único, que se resume
con la palabra praxeología. La TAD considera dos clases de praxeologías:
Praxeología Matemática u Organización Matemática (OM) se refiere a la
realidad matemática que puede construirse, es decir la manera en que puede
realizarse el estudio de un tema.
Praxeología Didáctica u Organización Didáctica (OD), la manera en que se
puede ser construida esta realidad matemática, es decir la manera como puede
realizarse el estudio del tema.
La noción de praxeología permite considerar al mismo tiempo y, con la misma
relevancia la dimensión teórica como la dimensión práctica del saber. Las OM son el
resultado final de una actividad matemática, en la cual es posible distinguir dos aspectos
inseparables:
El nivel de la praxis o del saber hacer, que engloba, por un lado, un cierto tipo
de tareas y cuestiones que se estudian, y por otro, las técnicas para resolverlas.
El nivel del logos o del saber, se encuentran los discursos que describen,
explican y justifican las técnicas que se utilizan, esto es, la tecnología. Un
segundo nivel de descripción, explicación, justificación (esto es, el nivel
tecnología de la tecnología) se denomina teoría.
La enseñanza de la matemática en la escuela secundaria presenta problemas
complejos e ineludibles, que conllevan altos niveles de frustración para los estudiantes y
el profesor. En el modelo didáctico dominante, el profesor explica, presenta el saber
cómo si se tratara de una obra museográfica, que a lo sumo los estudiantes pueden
visitar (Otero, 2013). Este fenómeno ha sido denominado metafóricamente por
Chevallard (2004), monumentalización del saber.
22
En una enseñanza monumental, la actividad del alumno es mínima y su topo se
reduce a lo que el profesor decide comunicar; y a lo sumo, el alumno solo puede
reproducir la obra que le es presentada.
Según Chevallard (2001) “Aspectos Problemáticos de la Formación Docente”, las
OD dependen fuertemente de las organizaciones por enseñar en este caso son las OM.
Este “isomorfismo” didáctico-matemático lo expresa mediante una jerarquía de niveles,
que son niveles de codeterminación de la OD y de la OM, y que se pueden esquematizar
del modo siguiente.
Sociedad
Escuelas
Pedagogías
Disciplinas
Áreas
Sectores
Temas
Cuestiones
El principio del esquema anterior es el siguiente: cada nivel corresponde a un
nivel de estructuración de la OM y, en cada uno de ellos, se introducen restricciones
particulares sobre lo que será didácticamente posible en el aula.
En la columna de la derecha aparece una jerarquía de entidades que se debe
interpretar de la siguiente manera, para transmitir conocimientos sobre cierta cuestión,
la que figura en el último eslabón, hay que recorrer un camino que empieza en la
sociedad, continúa por la escuela, sigue por cierta área dentro de una disciplina en la
que se estudia la cuestión, por cierto sector dentro del área y por cierto tema del sector.
En cada una de estas etapas se imponen restricciones y condiciones que acaban
definiendo lo que es posible hacer para estudiar la cuestión considerada, es decir para
crear y transmitir una praxeología que sea la respuesta esperada a la cuestión: una OM
si se trata de una cuestión de matemáticas.
Es preciso ahora hacer dos observaciones. La primera es que la jerarquía indicada
es la que se observa habitualmente: una cuestión (digamos, de matemáticas) se refiere
normalmente a un tema que, a su vez, pertenece a un sector que se incluye en un área,
23
etc. La segunda observación es que esta jerarquía aparece normalmente, en una época
histórica dada, y respecto a un tipo de cuestiones dado, como el resultado de un doble
proceso: primero, de una elaboración praxeológica que se construye, o que se construyó
en un pasado más o menos reciente, lejos de la escuela y más o menos
independientemente de sus necesidades, según las leyes de la producción sabia de
conocimientos; después, de una transposición didáctica escolar de esta elaboración
praxeológica “sabia”, que volverá a crear, modificándola a veces profundamente, la
jerarquía de niveles que permite el acceso al estudio de la cuestión.
El resultado de este proceso determina una ecología que condiciona, tanto en el
plano matemático como didáctico, lo que se podrá producir en la clase, es decir la
posibilidad de crear, de ciertas maneras, ciertas respuestas a ciertas cuestiones.
Esta posibilidad depende también, evidentemente, tanto de los alumnos como de
los profesores. La construcción de una jerarquía óptima debe, en este sentido, tener en
cuenta lo que los alumnos pueden recibir y lo que los profesores pueden aceptar hacer,
en una sociedad dada e incluso en un entorno social dado de una sociedad dada. En
efecto, este desarrollo debe considerar, no sólo las cuestiones acerca de las cuales se
desean difundir ciertos conocimientos a través de la escuela, sino también, tanto lo que
los alumnos pueden recibir (aquello a lo que pueden dar sentido) y la manera cómo
pueden participar en su recepción, como lo que los profesores pueden aceptar transmitir,
junto con las posibles formas de transmisión.
24
CAPÍTULO 3
METODOLOGÍA
La metodología a utilizar es fundamentalmente descriptiva- cualitativa ya que la
misma permitiría guiar la investigación para dar respuesta a las preguntas propuestas,
relacionadas con describir y comprender las praxeologías en torno a la enseñanza de los
Números Racionales y sus operaciones básicas en escuelas de nivel primario y
secundario en la Provincia de Buenos Aires.
Borg y Gall (1996, p.767) (Citado en Hart et al. (2009), p. 28) definen la
investigación cualitativa como, “indagación que se basa en el supuesto de que los
individuos construyen la realidad social en la forma de significados e interpretaciones, y
que estas construcciones tienden a ser transitorias y situacionales.
La descripción se realizará a partir de observar cuales son las praxeologías que se
ponen en juego para el estudio de los Números Racionales.
La observación se realizará desde tres escenarios distintos, en la ciudad de Punta
Alta (provincia de Buenos Aires), que se complementan y articulan entre sí.
El primero contemplará la observación en los diseños curriculares de la Provincia
de Buenos Aires las propuestas de estudio de los Números Racionales, tanto en el nivel
primario como en el secundario, teniendo en cuenta las praxeologías referente a los
Números Racionales y cual tecnología y tipos de tareas abarcan (Ver Anexo).
El segundo, se observarán algunos libros de 6° año de primaria y de 2° y 3° año
de secundaria, desde una visión global y exhaustiva, de cómo se introducen los
Números Racionales en libros de textos, que permita identificar los contenidos tratados,
tipos de tareas y que técnicas y tecnologías se utilizan para introducir los conceptos, sus
representaciones, sus propiedades y el modo de argumentación, para el estudio de los
Números Racionales.
El criterio de selección de los libros de textos fue teniendo en cuenta los autores o
editoriales más representativos para los docentes de los niveles de educación primaria y
secundaria en Punta Alta. Los libros que se describen y analizan son los que se detallan
a continuación en la siguiente tabla.
25
Libro Nombre Autor Editorial Nivel
1 Matemática 2 Effenberger Kapeluz
(2013)
Secundaria 2
año
2 Entre Números
III
Pavicich, Jaller,
Perez
Santillana
(2016)
Secundaria 3
año
3 Matemática 5 Itzcovich, Becerril,
Ponce, Urquiza
Tinta Fresca
(2009) Primaria 5 año
Y por último se realizarán entrevistas a tres docentes, de diferentes cursos, de una
escuela secundaria y una escuela primaria, de la ciudad de Punta Alta en la Provincia de
Buenos Aires. Dos de ellos pertenecen al nivel secundario de los cursos de 1° y 2° año
de la Escuela Técnica N° 1 “Almirante. Ramón González Fernández” y el tercer
docente se desempeña en el 5° año de la escuela primaria.
El instrumento de recolección de datos se realizará a través de la grabación en
audio de entrevistas con preguntas abiertas, que permitan un diálogo fluido entre el
entrevistador y el entrevistado.
De las conversaciones se observará lo siguiente:
Experiencia que posee en la educación como docente.
Los tipos de tareas que utilizan para enseñar.
Las actividades que planifican para la enseñanza en sus cursos de los
Números Racionales y sus operaciones.
Los significados que utilizan para enseñar las fracciones.
Para cada una de las observaciones, se describirán las praxeologías encontradas
en términos de los saber-hacer (tareas y técnicas) y del saber (tecnología y teoría) para
luego presentar un análisis que sea un aporte al conocimiento del estudio actual de los
Números Racionales en los niveles primario y secundario en la escuela pública en
Argentina.
26
CAPÍTULO 4
ESTUDIO PREVIO
DISEÑO CURRICULAR Y LOS NÚMEROS RACIONALES EN LA
EDUCACIÓN PRIMARIA
El diseño curricular de la provincia de Buenos Aires plantea una idea de una
“escuela nueva”, “Con la voluntad de sostener una institución que se ponga en relación
con otros saberes, que ayude a habilitar otros futuros, que nos conecte con otros pasados
y otros mundos, pero también con la apertura para inventar, para apropiarse, para
enriquecer un espacio que, de no renovarse, parece destinado a convertirse en ruinas”
(D.G.C. y E. Diseño Curricular para la Educación primaria segundo ciclo, 2007, pp 14).
El diseño curricular de la educación primaria de Provincia de Buenos Aires se
divide en dos ciclos cada uno de 3 años. Según el diseño (D.G.C. y E. de la provincia de
Buenos Aires, 2007) los saberes matemáticos pertinentes que se deben enseñar son: los
números naturales y racionales, las operaciones básicas que con estos números se
pueden desarrollar, el tratamiento de las figuras, los cuerpos y sus propiedades y
aquellos aspectos relacionados con las magnitudes, las medidas y las proporciones.
De acuerdo al diseño, en el primer ciclo los alumnos han explorado el uso social
de algunas expresiones fraccionarias, como cuartos y medios, iniciándose en el estudio
sistemático en el campo de los Números Racionales a partir de la Educación Primaria en
el Segundo Ciclo (EP.3C). En este ciclo se profundiza lo que se estudia en el primer
ciclo, dándoles la oportunidad de potenciarlos, explorando diversos tipos de problemas
para los cuales las fracciones son un medio de solución, por ejemplo problemas de
medidas, de reparto y partición, etc.
Se plantea y descubren algunas cuestiones del funcionamiento de las fracciones,
por ejemplo, el orden, la comparación, los cálculos, las diferentes maneras de expresar
una cantidad, etc. Respecto a las expresiones decimales se propone estudiarlas a través
de situaciones cotidianas como el uso del dinero, medidas, etc., para luego profundizar
en el aspecto de la teoría y el saber hacer, por ejemplo el valor posicional, el orden, los
cálculos, búsqueda de un numero entre dos (la densidad de los racionales), y la
equivalencia con infinitas expresiones fraccionarias, etc.
27
El estudio de los Números Racionales enfrenta a los alumnos/as a algunas
rupturas en relación con el trabajo en el campo de los números naturales. Por ejemplo,
algunas relaciones que son válidas para los números naturales (“un número, si es más
largo que otro, seguro es mayor”, “entre 2 y 3 no hay ningún número”, “si se multiplica,
el número se agranda”), dejan de ser ciertas cuando se trabaja con los Números
Racionales (ya que un número puede ser “más largo” que otro y ser menor - 1,9999 y 2-
entre 2 y 3 habrá infinitos números y si se multiplica por 0,5 el número “se achicará”)”
(DGCyE, Diseño Curricular para la Educación primaria segundo ciclo, 2007, pp 146).
Los objetivos de la Enseñanza de la Educación Primaria Segundo Ciclo de la
Provincia de Buenos Aires en torno a las Organizaciones Matemáticas de Números
Racionales son:
Resolver problemas que involucran distintos sentidos de las fracciones
utilizando, comunicando y comparando distintas estrategias posibles.
Resolver problemas que involucran considerar características del
funcionamiento de las fracciones y de las expresiones decimales y las
relaciones entre ambas.
Construir variados recursos de cálculo mental exacto y aproximado que
permitan sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones decimales entre sí y
con números naturales y sumar, restar y multiplicar expresiones fraccionarias
entre sí y con números naturales.
Resolver problemas que involucran relaciones de proporcionalidad con
números naturales y racionales.
Comparar y calcular porcentajes apelando a las relaciones con los Números
Racionales y las proporciones.
Resolver problemas que involucran el uso del Sistema Métrico Legal
(SIMELA) para longitud, capacidad y peso estableciendo relaciones entre
fracciones, expresiones decimales, unidades de medida y nociones de
proporcionalidad.
28
DISEÑO CURRICULAR Y LOS NÚMEROS RACIONALES EN LA
EDUCACIÓN SECUNDARIA BÁSICA
El Diseño Curricular para la Secundaria Básica plantea que el ingreso del alumno a la
Escuela Secundaria Básica (ESB) le significará cambios en las formas de conocer en
matemática, las situaciones que se planteen deberán ir más allá de la aplicación de los
conceptos. Deberá analizarse el funcionamiento de los conocimientos como
herramientas para la solución de problemas desde un punto de vista que ayude a
reconocer la necesidad de generalizaciones y permita pensar las nociones construidas
como objetos matemáticos a las que los alumnos/as necesitan adaptarse como parte del
proceso de aprendizaje.
1° AÑO E.S.B
Contenidos:
Operaciones con Números Racionales.
Proporcionalidad.
Estudio de la fracción como:
Cociente y su expresión decimal: este punto ofrece una interesante posibilidad a
todos los alumnos/as de realizar indagaciones acerca de los resultados de las
divisiones.
Razón.
Probabilidad.
Porcentaje: el concepto de fracción como porcentaje es de uso corriente, se lo
puede abordar con problemas sencillos:
Punto en una recta numérica.
Proporcionalidad:
Uso de la proporcionalidad en situaciones de la vida cotidiana: recetas de cocina,
mezclas para albañilería, cantidad de semilla según el área del terreno a sembrar, entre
otros. Expresiones usuales de la proporcionalidad (porcentaje). Fórmulas que impliquen
relaciones de proporcionalidad. El número π ha sido estudiado con anterioridad para la
construcción de las fórmulas de la longitud de la circunferencia. Aquí se retomará el
29
tema, de manera de establecer la proporcionalidad existente entre la longitud de la
circunferencia y su diámetro. El número π aparece como la constante de esta
proporcionalidad.
2° AÑO E.S.B
Contenidos:
Operaciones con Números Racionales.
Se introducirá la idea de Número Racional retomando el concepto de fracción,
trabajado en 1º año. Se continuará este trabajo tratando de problematizar situaciones en
las que intervenga el concepto de Número Racional. Se tomará la división entre
números enteros con dividendo y divisor como argumento para una nueva ampliación
del conjunto de números e introducir el conjunto de los racionales (Q). La división de
números enteros se tomará como punto de partida para discutir la división con divisor
cero.
Se retomará y profundizará la representación de los Números Racionales positivos
en la recta numérica, ampliándolo a los Números Racionales negativos. Se propondrá el
estudio de las formas de expresión de los Números Racionales, es decir, las fracciones y
sus expresiones decimales equivalentes, así como el pasaje de un modo de
representación a otro. Se mostrará a los alumnos/as la forma de utilizar las calculadoras
científicas para realizar este pasaje. Se extenderá a todo el conjunto de los Números
Racionales (Q) el tratamiento de las operaciones realizado en primer año para los
Números Racionales positivos, tratando de enriquecer el significado de los algoritmos.
Se mostrará a los alumnos/as la forma de utilizar las calculadoras científicas para operar
con Números Racionales. Se extenderá el concepto de potenciación al caso de potencias
con exponente negativo. Se retomará el trabajo realizado con las propiedades de las
potencias en el conjunto de los números enteros y se las analizará en el conjunto de los
Números Racionales. Se propondrá una primera aproximación al concepto de densidad
del conjunto Q, por ejemplo, con actividades en las que se trabaje analítica y
gráficamente con promedios sucesivos entre dos Números Racionales distintos.
3° AÑO E.S.B
Contenidos:
Operaciones con Números Racionales.
30
Desarrollo de contenidos y consideraciones didácticas Números Racionales:
Se retomará el trabajo con los Números Racionales iniciado en 2º año. Se
profundizará la representación de los Números Racionales en la recta numérica,
las diferentes formas de expresar un Número Racional –fracción, expresión
decimal, notación científica- la jerarquía de las operaciones y las propiedades de
las mismas. Teniendo en cuenta la propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la adición, se trabajará la extracción de factores comunes de
expresiones numéricas y algebraicas.
Se continuará trabajando con la aproximación de números racionales.
Redondeo y truncamiento, justificando las decisiones tomadas al respecto. Se
extenderá este análisis a los métodos de aproximación utilizados por diferentes
calculadoras.
Se propondrán actividades que afiancen los conocimientos construidos a través
de su reinversión en situaciones que enriquezcan su significado. A
continuación se presentan ejemplos en los que se propone a los alumnos
replantear el análisis de los números y su operatoria con el objetivo de afianzar y
enriquecer conocimientos construidos hasta este momento:
Ejemplo 1:
Considerar la siguiente colección de fracciones:
1
2,1
4,1
6,1
8,
1
10,
1
12,
1
14,
1
16
1. ¿Se trata de un conjunto denso de números? Justificar. 2. ¿Existe un conjunto numérico
que sea denso, que contenga estas fracciones y que no sea necesariamente Q?
Ejemplo 2:
¿Qué porcentaje de a2 es el número a? Hacer el estudio para:
• a = 2
• a = 4
• a =10
• a =25
• a =50
En este ejemplo se retoma la cuestión de la proporcionalidad numérica poniendo a prueba
los conocimientos construidos por los alumnos.
31
CAPÍTULO 5
DESCRIPCIÓN
En este capítulo se presenta una descripción, en el marco de la TAD, de las
praxeologías que se desarrollan para el estudio de los Números Racionales y sus
operaciones básicas en escuelas primarias (segundo ciclo) y secundaria (primer ciclo) en
la Provincia de Buenos Aires, en especial en la ciudad de Punta Alta.
La descripción se realiza desde varios aspectos, tal como fue antes mencionado en
la metodología de investigación.
En una primera parte, la descripción es partir de lo observado en los diseños
curriculares. Luego se presenta un estudio de la bibliografía que utilizan los docentes de
nivel primaria y secundaria básica para el estudio de los Números Racionales. Por
último se realiza la descripción de las entrevistas a tres docentes de diferentes niveles en
donde se encontrarán plasmadas las praxeologías por ellos utilizadas para la enseñanza
de los Números Racionales.
PARTE I: DISEÑO CURRICULAR
Del estudio previo sobre los diseños curriculares de la Provincia de Buenos Aires, se
observa lo siguiente:
En el primer ciclo los alumnos/as resuelven situaciones problemáticas que
involucran el uso de fracciones (medios y cuartos) en contextos particulares
(repartos y medidas de peso y capacidad).
Si bien en el ciclo anterior se utilizan fracciones el inicio del estudio de estos
números comienza en 4º (EP segundo ciclo).
El estudio de los Números Racionales supone presentar una gama muy variada
de situaciones que permiten a los alumnos/as identificar sus diferentes usos y
sentidos, se continúa con las situaciones problemáticas (tareas) del ciclo básico
que son: el uso de las fracciones como reparto, medida, proporcionalidad
directa utilizando Números Racionales.
Con expresiones decimales resuelven situaciones problemáticas que involucran
dinero, por ejemplo comparaciones, sumas, restas, multiplicaciones o
divisiones sencillas con cantidades de dinero, con dos cifras decimales. La
densidad de los Números Racionales.
32
Se profundiza el conocimiento de las expresiones decimales en otros contextos
como el de la medida, en el que se añaden las milésimas, por ejemplo relación
entre metro y milímetro o litro y mililitro y luego con un problema
descontextualizado como por ejemplo escribir un numero entre 1,99 y 2.
Funcionamiento de las fracciones: comparar fracciones de diferentes modos,
logrando llegar al concepto de equivalencias. El uso de la recta numérica será
un recurso para profundizar este tipo de análisis y poder producir nuevas
relaciones entre fracciones, y entre el entero y las fracciones, ya que ubicar
fracciones o decimales en la recta demanda interpretar cómo están relacionados
los números a ubicar y los que se presentan como datos.
Relación entre fracciones y expresiones decimales: se podrá explorar que
algunas fracciones no podrán ser escritas en expresión decimal finitas o
también identificar que cualquier expresión decimal finita admite infinitas
representaciones con fracciones.
En detalle para su análisis agrupamos lo observado en dos grupos. Uno el de las
teorías y tecnologías (logos), y el otro grupo el de las técnicas y tareas (praxis).
En relación a las teorías y tecnologías se observa en la currícula de la EP (Anexo
I) las Organización Matemáticas siguientes:
Definición intuitiva de Número Racional.
Densidad de los Números Racionales, fracciones equivalentes, representación
de fracciones.
Operaciones con fracciones con números enteros: suma, resta, multiplicación y
división.
Proporción, proporcionalidad directa.
Fracciones decimales, expresiones decimales, valor posicional y escritura
decimal.
Representación en la recta numérica de las expresiones decimales
Operaciones con expresión decimal: suma, resta, multiplicación y división.
En relación a las técnicas y tareas (praxis), se proponen algunas tareas que
consisten en problemas de la vida cotidiana, la OD no es tan explícita el docente debe
decidir que técnicas utiliza para resolver con los alumnos dichas tareas propuestas y
proponer otras. Las tareas propuestas están organizadas por años, se mencionan algunas
de acuerdo a la OM de la Escuela Primaria.
33
PRIMARIA - SEGUNDO CICLO -CUARTO AÑO:
Resolver tareas de problemas en que se presenten fracciones de uso cotidiano
14⁄ , 1
2⁄ , 34⁄ , 1 y 2 asociados a medida: “Juan compro 1 4⁄ kilo de café y un 1 2⁄ kilo de
azúcar, ¿Cuánto pesa la bolsa? El café se vende en paquetes de 14⁄ , ¿Cuántos paquetes
hay que comprar para tener un kilo?”.
Tareas de repartos en los cuales el resultado puede expresarse en fracciones:
¿Cómo repartir 3 pizzas entre 4 amigos en partes iguales y que no sobre nada?, ¿cómo
repartir 17 chocolates entre 8 amigos sin que sobre nada?
A partir de las situaciones de reparto, se trata de reflexionar sobre el significado
de las cantidades involucradas. Si una cantidad es, por ejemplo: 1/2, con 2 de esas
cantidades se obtiene el entero, o bien, que 1/4 es una cantidad que repetida 4 veces
permite obtener el entero, etc. Este tipo de análisis podrá elaborarse también a partir de
problemas que demanden relacionar las partes con el entero, por ejemplo: Cada niño/a
comió un cuarto de chocolate. Si eran 4 niños/as, ¿cuántos chocolates había? Resolver
tarea utilizando problemas de medida en los cuales las relaciones entre partes o entre
partes y el todo pueden expresarse usando fracciones. El docente propondrá tareas con
problemas en los que se deba comparar y determinar longitudes y áreas, usando
diferentes unidades de medida. Decidir cuántas tiras de longitud menor completan la tira
de mayor longitud:
En este tipo de tarea, se analizará que, como la tira de menor longitud entra 4
veces en la tira de mayor longitud, la misma es 1/4 de la mayor longitud. De manera
similar, se presentarán situaciones para otras fracciones como 1/8, 1/2, etc. A su vez,
resultará interesante un trabajo de reflexión colectiva para identificar que 1/4 es la mitad
de 1/2, que 1/4 es el doble de 1/8, etc.
El docente propondrá tareas donde esté involucrada la OM de proporcionalidad
directa en los que una de las cantidades o la constante es una fracción, se identifica la
existencia de una relación entre dos magnitudes, como cantidad de fiambre y precio,
apelando al uso de fracciones. Por ejemplo: completar la siguiente tabla de
proporcionalidad directa:
34
Cantidad de queso (en kilos) 1/2 1/4 3/4 1 2
Precio (en pesos) 6
Resolver tareas de OM que involucran suma y resta entre fracciones y con
Números Naturales, apelando al cálculo mental, a las relaciones entre fracciones y a la
equivalencia entre fracciones. Por ejemplo. En una bolsa hay 1/2 kilo de pan. En otra
1/4 kilo. ¿Cuánto pesan ambas bolsas juntas? Para sumar 1/2 y 1/4 se podrán analizar
que 1/2 = 1/4 + 1/4, luego determinar que 1/2 + 1/4 es lo mismo que 3 de 1/4, es decir,
3/4. O bien, para establecer cuánto le falta a 2/8 para llegar a 1, podrán apelar a que,
como 8/8 es un entero, faltan 6/8.
PRIMARIA- SEGUNDO CICLO- QUINTO AÑO:
Resolver tareas con problemas de división en los que tiene sentido repartir el
resto y se ponen en juego relaciones entre división y juego: Se reparten 7 chocolates
entre 5 chicos, en partes iguales y no sobra nada. ¿Cuánto le tocó a cada uno? Repartir 7
entre 5 hace corresponder 7/5 a cada uno, y este resultado es equivalente a 1 y 2/5. Estas
escrituras dependerán de cómo se efectúe el reparto. En el trabajo colectivo, el
maestro/a promoverá el análisis sobre la identificación de estas escrituras con la cuenta
de dividir. Por ejemplo, para repartir 36 chocolates entre 7 chicos se hizo la cuenta: 36
dividido por 7, luego a cada uno le corresponden 5 chocolates y 1/7. Esto es equivalente
a la expresión
5 1/7 es equivalente a 36/7.
Se propondrán tareas que involucran medir longitudes apelando a diferentes
unidades de medida y estableciendo diferencias en el resultado, si cambia la unidad de
medida. No se trata de abordar en este punto las medidas convencionales de longitud o
área, sino diferentes unidades. Por ejemplo: ¿Cuál es la medida de la tira grande si se
usa la tira chica como unidad de medida?
El docente analiza el trabajo colectivo. Si la unidad de medida es la mitad, la
cantidad de unidades de medida que entran en la tira grande será el doble. Lo mismo se
propondrá para terceras partes, cuartas partes, dobles, triples, etc. Otro ejemplo de
tareas, es el determinar qué parte del cuadrado está sombreado.
35
Se busca reconocer que dicha superficie entra 9 veces en el cuadrado, por lo tanto
será 1/9. O bien, reconocer que el cuadrado podría estar partido en tres partes iguales, es
decir, cada una es 1/3, y ese tercio podría estar dividido en tres partes iguales, entonces,
la parte sombreada es 1/9. Este mismo tipo de trabajo se juega en problemas como el
siguiente: ¿En cuál dibujo está sombreado 1/3?
Las tareas que involucran las OM de suma y resta entre fracciones y con naturales
son, por ejemplo: ¿cómo harían para encontrar el resultado de la suma de 1/5 + 3/10?
Los niños/as podrán identificar que en cada quinto hay dos décimos, es decir que esa
suma equivale a 2/10 + 3/10 es decir, 5/10; para sumar 3/8 y 5/7 podrán decidir que es
conveniente recurrir a fracciones equivalentes con denominador 56 que surge de 7x 8.
La OM de multiplicar o dividir una fracción por un número natural. Por ejemplo:
Si se compran 5 paquetes de 3/4 kilos de café, ¿Cuánto pesa una bolsa con todos los
paquetes? La cantidad total de café que se compró se puede escribir como 3/4 x 5. Para
encontrar la respuesta, los alumnos/as pueden identificar que 5 paquetes de 1/4 son 5/4,
y 3 de éstos darían 15/4.
PRIMARIA- SEGUNDO CICLO - SEXTO AÑO:
Establecer relaciones entre fracciones y el cociente entre Números Naturales. Se
propone tareas que pongan en evidencia que una fracción es un cociente entre números
naturales. Por ejemplo, identificar que el resultado de 7 dividido en 5 es la fracción 7/5:
se reparten 7 chocolates entre 5 chicos, en partes iguales y no sobra nada. ¿Cuánto le
tocó a cada uno? El docente analizará algunas diferencias entre las fracciones y los
números naturales: con las fracciones, siempre es posible encontrar un número que
36
multiplicado por otro dé como resultado 1, por ejemplo, 4 x 1/4 = 1, afirmación que no
es válida dentro del campo de números naturales.
Algunos problemas involucran comparar unidades de medida diferentes, a partir
de las relaciones entre estas unidades y el entero.
El docente propondrá tipos de tareas que establezcan relaciones entre longitudes
que son fracciones de un mismo entero. Por ejemplo, si la tira A entra 4 veces en un
entero y la tira B entra 3 veces en el entero, ¿qué parte es la tira A de la tira B?
Tira A Tira B
Mediante diferentes recursos se espera que los alumnos/as establezcan que la tira
A es 3/4 de la tira B, por comparación entre las tiras o apelando al entero, que será una
tira como la siguiente:
Dependerá de las relaciones entre las tiras y el entero.
El docente propondrá tareas que involucren OM que considerar a la fracción
como una proporción, que permita a los alumnos/as identificar que si, por ejemplo, se
habla de 3 de cada 4 alumnos/as, equivale a considerar 3/4 partes del total de
alumnos/as. También es posible proponer tareas en las que se deba comparar dos
proporciones y determinar cuál es mayor: En un grupo, 3 de cada 5 personas son de
Boca. En otro grupo, 4 de cada 6 personas son de Boca. ¿En cuál de los dos grupos hay
más cantidad de hinchas de Boca en proporción a la cantidad de personas? Las
fracciones 3/5 y 4/6 permiten identificar la proporción de fanáticos del club en cada
grupo. Compararlas será uno de los recursos que posibilitará responder el problema y en
este caso, se podrá identificar que a 3/5 le faltan 2/5 para llegar al entero en tanto que a
4/6 le faltan 2/6 para llegar al entero. Es decir, le falta menos, por lo tanto, 4/6 es más
grande que 3/5. De allí que en el segundo grupo hay más cantidad de personas de Boca,
en relación al total. Estos tipos de tareas se asociara con la búsqueda de porcentajes: 3/5
equivalen a 60/100 es decir, al 60%, en tanto que 4/6 representa aproximadamente el
66%, pues se trata de 2/3 y concluir que a mayor porcentaje, la fracción es más grande.
La OM de la multiplicación entre una fracción y un entero y la multiplicación
entre fracciones y de proporcionalidad directa en los que la constante sea una fracción y
37
los valores de las magnitudes sean enteros y fracciones. Por ejemplo: Completar la
siguiente tabla de proporcionalidad directa:
Cantidad de mezcla (en baldes) 1 1/4 2 3/4
Cantidad de agua (en litros) 1/4
Se espera que los alumnos/as reconozcan que, en este caso, la constante es 1/2 y,
por lo tanto, identifiquen que, para 1/4 corresponde 1/8 litro de agua. Esta información,
proveniente de las relaciones entre fracciones, permitirá analizar que 1/4 x 1/2 debe ser
1/8 y elaborar un modo de multiplicar para que el resultado sea lo que se anticipó. s
alumnos/as podrán reconocer, por ejemplo, que multiplicar por 1/2 es equivalente a
dividir por 2, o bien que la cuarta parte de 1/2 es también 1/8, ya que se multiplican los
denominadores para obtener el resultado.
ESCUELA SECUNDARIA BÁSICA
Del diseño curricular (referencia) de educación secundaria básica se observan las
OM propuestas a estudiar.
Orden de los Números Racionales mediante la resolución de problemas.
Diferentes formas de resolver cálculos con Números Racionales positivos.
Resolución de tareas que impliquen el uso de las operaciones y sus propiedades
ampliando o profundizando los significados de los Números Racionales en sus
diferentes representaciones.
Fracción como: cociente y su expresión decimal, razón, probabilidad, porcentaje y
punto en una recta numérica.
ESCUELA SECUNDARIA BÁSICA PRIMER AÑO:
Números Racionales positivos
Se estudiará el orden en Q+ mediante la resolución de problemas como el siguiente:
Si se elige un número entre 33,6 y 72,6 ¿entre qué valores estará comprendido?:
a. ¿su tercera parte?
b. ¿su doble?
c. ¿su mitad?
Ubicar todos estos números en la recta numérica.
38
Un estilo de problemas que permita la entrada al cálculo estimado en Q+ es:
Como Razón:
Elegir un número entre los siguientes: 37, 41, 73. Anotarlo en el visor de la calculadora,
multiplicarlo por un número tratando de acercarlo lo más posible a 100. Si no se llegara,
volver a multiplicar el resultado por otro que los acerque más a 100. Hacerlo hasta 5 intentos y
anotar el número final calculando la distancia a 100.
Actividad 1: La fracción como cociente y su expresión decimal:
Se dividirá la clase en ocho grupos. Cada grupo tomará los números del 1 al 12 y los dividirá
usando calculadora por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 según se le indique. Deberán registrar y analizar
los resultados obtenidos tratando de descubrir regularidades para comunicarlas a sus
compañeros.
1: 2 = 0,5 2 : 2 = 1 3 : 2 = 1,5 4 : 2 = 2 5 : 2 =2,5 ……
1 : 3 = 0,333 2 : 3 = 0,666… 3 : 3 = 1 4 : 3= 1,333…. 5: 3 = 1,666… 6: 3= 2…
1 : 4 = 0,25 2 : 4 = 0,5 3 : 4 = 0,75 4 : 4 = 1 5 : 4= 1,25 1 : 5 = 0,2
2 : 5 = 0,4 3 : 5 = 0,6 4 : 5 = 0,8 5 : 5 = 1 6 : 5 = 1,2
1 : 6 = 0,1666 ……
1 : 8 = 0,125 …….
1 : 9 = 0,1111… ………
De este modo surgirán en la clase conclusiones como: La división por 2 da un número
natural para los pares y para los impares una parte entera y 5 décimos. En la división por 4
los impares siguientes a un múltiplo de 4 dan 25 después de la coma. 75 después de la coma
para el anterior a un múltiplo de 4. Si es un par no múltiplo de cuatro la parte con coma es 5.
Es decir, si hacemos 45 dividido 4 da coma 25 por ser el siguiente de un múltiplo de 4.
Actividad 2:
Si se piensa en la experiencia de arrojar dos dados y registrar su suma, comprobaremos
que de 36 pares de números del espacio muestral, 9 son múltiplos de 4.
La razón 9/36 es representativa de la situación.
1/4 es una fracción aritméticamente equivalente, pero ¿qué significa 1 y qué significa 4?, lo
mismo ocurre para la fracción 5/20. En cambio 25/100 que representa el 25% es expresión
usual y brinda una idea de la situación más cercana a la original. Es importante
reflexionar sobre el cuidado necesario en el uso de fracciones equivalentes ya que no
siempre conservan su sentido en el problema.
El color verde mar se logra mezclando pintura azul en razón 2/3 con pintura verde a.
Explicar el significado de 2/3 en este caso.
¿Cuánta pintura verde se debe agregar a un litro de azul para obtener verde mar? ¿Por qué?
¿Cuántos litros de azul deben mezclarse para obtener 10 litros de verde mar?
39
Como Porcentaje:
Como punto en una recta numérica:
En números decimales tenemos la siguiente OM:
Aproximación y redondeo
Usando calculadora responda:
ESCUELA SECUNDARIA BÁSICA - SEGUNDO AÑO:
Propone retomar las OM como el concepto de Número Racional, con situaciones
problemáticas donde intervenga dicho concepto. Se toma la división entre números
enteros con dividendo y divisor como argumento para una nueva ampliación del
conjunto de números y se introduce el conjunto de los Números Racionales.
La división de números enteros se toma como punto de partida para discutir la
división con divisor cero.
Se retoma y profundiza la representación de los Números Racionales positivos en
la recta numérica, ampliándolo a los Números Racionales negativos.
Se propone el estudio de las formas de expresión de los Números Racionales, es
decir, las fracciones y sus expresiones decimales equivalentes, así como el pasaje de un
modo de representación a otro.
Una lata de café contiene normalmente 450 gramos. En una promoción se ofrece 25% gratis.
El envase dice 550 gramos ¿es verdadera la oferta?
Se pondrá en discusión la diferencia entre por ejemplo 3/5 y 3,5. Es común que los
alumnos/as crean que los números mencionados son equivalentes, por lo que convendrá
promover la discusión acerca del pasaje de una forma de representación a otra para facilitar
su comparación, así como sobre la consideración de fracciones mayores que la unidad y sus
diferentes modos de representación como en el caso de 3 1/2; 7/2; 3,5.
¿De qué número entero está más cerca?
3,7 x 7,8= como el resultado es 28,86 está más cerca de 29.
2,1 x 3,9 x 6,5= como el resultado es 53,235 está más cerca de 53.
Analizar otros tipos de aproximación:
39,3 x 45,9
¿Está más cerca de 1.800 o de1.810?
Como 39,3 x 45,9 = 1803,87 la respuesta pedida será 1800.
De quién está más cerca 145,6 x 35,7
¿De 5.100 o de 5.200? Como 145,6 x 35,7 = 5197,92 la respuesta pedida será 5200
Encontrar una multiplicación de decimales tal que el producto se aproxime a 348.
40
Se extenderá a todo el conjunto de los Números Racionales (Q) el tratamiento de
las operaciones realizado en primer año para los Números Racionales positivos, tratando
de enriquecer el significado de los algoritmos. Propone resolver las operaciones con
calculadora científica.
Se propone una primera aproximación al concepto de densidad del conjunto Q,
por ejemplo, con actividades en las que se trabaje analítica y gráficamente con
promedios sucesivos entre dos Números Racionales distintos.
ESCUELA SECUNDARIA BÁSICA - TERCER AÑO:
Se retomará el trabajo con los Números Racionales, iniciado en 2º año.
Se profundizará la representación de los Números Racionales en la recta
numérica, las diferentes formas de expresar un Número Racional –fracción, expresión
decimal, notación científica- la jerarquía de las operaciones y las propiedades de las
mismas. Teniendo en cuenta la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la
adición, se trabajará la extracción de factores comunes de expresiones numéricas y
algebraicas.
Se continuará trabajando con la aproximación de Números Racionales
utilizando redondo y truncamiento.
PARTE II: BIBLIOGRAFÍA
En esta parte se describirán las praxeologías existentes en diferentes libros de
textos utilizados por los docentes para la enseñanza de los Números Racionales en los
niveles de la Educación Primaria y Secundaria del Ciclo Básico, en la ciudad de Punta
Alta.
De acuerdo a la Organización Praxeológica que presentan los libros de texto de
matemáticas en la unidad de Números Racionales, la descripción de los mismos
consistirá en identificar los tipos de tareas para luego continuar con las técnicas,
tecnologías y teorías.
Considerar la siguiente colección de fracciones:
1
2,1
4,1
6,1
8,
1
10,
1
12,
1
14,
1
16
1. ¿Se trata de un conjunto denso de números? Justificar.
2. ¿Existe un conjunto numérico que sea denso, que contenga estas fracciones y que no sea
necesariamente Q?
41
LIBRO 1: MATEMÁTICA 2
El libro está divido por capítulos de acuerdo a la OM presentadas en la currícula
de la Provincia de Buenos Aires, el capítulo 6 (pág.103) corresponde a Números
Racionales.
La estructura general es la siguiente: en la primera página se lista toda la teoría
que luego se desarrolla en el capítulo: El conjunto de los Números Racionales,
fracciones y expresiones decimales, fracciones equivalentes, el orden de los Números
Racionales, representación gráfica de los Números Racionales, adición y sustracción de
fracciones, multiplicación y división de fracciones.
Ese capítulo se inicia con un saber previo dando la definición de Número
Racional, y a continuación relaciona la fracción con la expresión decimal. Luego
presenta la clasificación de fracciones: propias, impropias y aparentes. Continúa con
fracciones equivalente y fracciones decimales, orden de los Números Racionales, orden
de los Números Racionales y representación gráfica de fracciones. Concluye con las
operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división.
El libro tiene secciones como las siguientes:
Teoría: se encuentra remarcada mediante un cuadro, donde se desarrolla el
saber antes mencionado, que en este capítulo es el conjunto de los Números
Racionales.
Figura 1: Sección Teoría
Sección ejercicios y tareas para el hogar: contiene propuestas de ejercicios y
problemas de aplicación de la tecnología desarrollada.
A continuación presenta algunos tipos de tareas identificados en la unidad,
mencionando en cada caso la técnica que se propone en el texto para resolverla.
Las tecnologías y teorías involucradas.
Tipo de Tarea 1: clasificar fracciones
Tarea 1.1: Expresar como fracción impropia y como numero mixto
42
Figura 2: Tarea 1.1
En esta figura 2 de la Tarea 1.1: la primer técnica es aplicar el doble conteo de
partes, es decir contar las partes iguales en la que fue dividido el entero (denominador) y
la cantidad de dichas partes que están sombreadas (numerador) y luego escribir el
numero fraccionario que representa la misma.
La segunda técnica es realizar el algoritmo de la división para pasar de fracción a
número mixto, el número mixto está compuesto por una parte entera y otra fraccionaria,
la parte entera es el cociente de la división, el resto de la división es el numerador de la
parte fraccionaria con igual denominador que la fracción inicial.
La tecnología aplicada en este tipo de tarea es el significado de parte – todo de las
fracciones y operaciones con Números Racionales.
Tarea 1.2: pasar de número mixto a fracción impropia
Figura 3: Tarea 1.2
En esta tarea de la figura 1.2 la técnica es multiplicar el denominador de la
fracción y la parte entera del número mixto, para luego sumarle el numerador de la
fracción.
La tecnología aplicada en este tipo de tarea son las operaciones con Números
Racionales.
Tipo de Tarea 2: determinar fracciones equivalentes
Tarea 2.1: Hallar fracciones equivalentes
43
Figura 4: Tarea 2.1
En esta tarea la técnica propuesta por el texto es efectuar el producto cruzado, es
decir multiplicar el numerador de la fracción dada por el denominador de cada fracción
que se quiere comprobar y viceversa luego comprobar si el producto es igual.
Tarea 2.2: Pasar a fracción y hallar la fracción irreducible
Figura 5: Tarea 2.2
En este caso técnica es aplicar las reglas de la fracción generatriz cuya tecnología
está dada por las propiedades de las operaciones con Números Racionales, para luego
aplicar otra técnica que es dividir numerador y denominador de la fracción el máximo
común divisor y escribir una nueva fracción en la que el numerador y el denominador
sean los cocientes obtenidos.
Tipo de Tarea 3: Efectuar operaciones con fracciones.
Tarea 3.1: Calcular la suma o resta de las siguientes fracciones.
Figura 6: Tarea 3.1
44
La técnica para realizar la suma y resta de fracciones es encontrar un común
denominador, luego dividirlo con cada denominador y el resultado multiplicarlo con el
numerador. Básicamente es aplicar la técnica para determinar facciones equivalentes.
LIBRO 2: ENTRE NÚMEROS III
Este libro está dividido en capítulos, con ilustraciones de acuerdo a la OM. Al
iniciar el capítulo esta la sección “Esto ya lo sabias…” son problemas de repaso para
entrar en el tema. En el capítulo 1 presenta las praxeologías de divisibilidad de números
enteros y Números Racionales. El desarrollo del tema está identificado con los
siguientes iconos. Los tipos de iconos son:
El icono representa explicaciones con ejemplos, concepto del tema.
El icono alerta para no equivocarse, son tic ejemplo: “Para representar
todas las fracciones en la misma recta, te puede resultar más fácil si encontrás
fracciones equivalentes a las que tenés que representar, todas con el mismo
denominador.
Iconos de actividades:
El icono estrategias, contiene ayuda para resolver la actividad.
El icono hace de profe. Para descubrir errores en una actividad.
El icono tengo tarea. Actividades para realizar en el hogar.
El icono para usar la calculadora. Actividad donde se debe usar la
calculadora.
Iconos de revisión
El icono ver cómo voy y repaso de todo, para fijar el
concepto.
Icono de evaluación
Icono saquen una hoja evaluación del tema con las respuestas en la
última página del libro.
A continuación se presentara algunos tipos de tareas identificados en la unidad,
mencionando en cada caso la técnica que se propone en el texto para resolverla.
45
También señalaremos las tecnologías y teorías involucradas. La praxeología referida a
Números Racionales está a partir de la pág. 10 hasta finalizar el capítulo 1.
Tipo de Tarea 1: expresar Números Racionales: de fracción a expresión decimal – de
expresión decimal a fracción.
Tarea 1.1: escribir la expresión decimal de cada una de las fracciones.
Figura 7- Tarea 1.1
La técnica para realizar el pasaje de fracción a expresión decimal es realizar el
algoritmo de la división de números enteros, prolongando la división hasta el orden que
se desee dependiendo de si la expresión decimal es exacta o periódica.
La tecnología en este caso son la definición de Número Racional y que el
Número Racional tiene dos formas de representación, la decimal y fraccionaria.
Tarea 1.2: analizar e identificar que fracción representa una expresión decimal exacta o
periódica.
Figura 8 – Tarea 1.2
46
Técnicas que se utilizan: reducir a fracción irreducible, dividiendo numerador y
denominador por un mismo número entero hasta que el numerador y denominador sean
primos y analizando la tarea 1 previa simplificación teniendo en cuenta que el
denominador tiene que ser múltiplo de 2 y/o 5 únicamente. Tecnología definición de
numero racional.
Tarea 3: pasar de expresión decimal exacta a fracción.
Figura 9 – Tarea 1.3
Técnica de la fracción generatriz, se coloca el numero sin la coma en el
numerador, y en el denominador una potencia de 10 con exponente igual a la cantidad
de cifras decimales, luego la técnica de reducir a fracción irreducible. La tecnología está
dada por las propiedades de las operaciones con Números Racionales.
Tarea 4: pasar de expresión decimal periódica a fracción.
Figura 10 - Tarea 4
Técnica de la fracción generatriz, se coloca el numero sin la coma en el
numerador, y en el denominador una potencia de 10 con exponente igual a la cantidad
de cifras decimales, luego la técnica de reducir a fracción irreducible. La tecnología está
dada por las propiedades de las operaciones con Números Racionales.
Tipo de tarea 2: resolver y calcular el resultado de las operaciones con fracciones.
Tarea 2.1: calcular las sumas algebraicas de fracciones
47
Figura 11 – Tarea 2.1
La técnica para realizar la suma y resta de fracciones es encontrar un común
denominador, luego dividirlo con cada denominador y el resultado multiplicarlo con el
numerador. Esta técnica se sustenta en la tecnología de la definición de fracciones
equivalentes.
Tarea 2.2: calcular el resultado del producto de fracciones y marcar la respuesta
correcta.
Figura 12 – Tarea 2.2
La técnica que menciona el texto es multiplicar los numeradores y los
denominadores entre sí. Colocar los resultados como numerador y denominador de una
nueva fracción y simplificarla si es posible antes de multiplicarlas.
Tarea 2.3 calcular el resultado del cociente de Números Racionales y marcar la
respuesta correcta
48
Figura 13 – Tarea 2.3
Para el cociente en el texto propone multiplicar la primera fracción por la inversa
de la segunda fracción, ésta se aplica para el ejercicio a), mientras que en el ejercicio b)
aplica la técnica de pasar expresiones decimales periódicas puras a fracciones y luego
realizar la técnica del ejercicio a).
La tecnología para el tipo de tarea 2 son las propiedades de las operaciones con
Números Racionales.
LIBRO 3: MATEMÁTICA 5 (PRIMARIA)
El libro de texto Matemática 5 de editorial Tinta Fresca está dividido en capítulos,
los saberes son de acuerdo al diseño curricular de la Provincia de Buenos Aires. En
todos los capítulos los saberes a desarrollar son presentados mediante tareas que
consisten en situaciones problemáticas contextualizadas. Al finalizar los capítulos tienen
secciones como: Aprender con la calculadora y aprender con la computadora, en estas
secciones se resuelven tareas con la calculadora y computadora aplicando las técnicas,
tecnologías y teoría desarrollada en el capítulo y por ultimo esta la sección con título de
Actividades de integración, donde propone aplicar las técnicas y tecnologías aprendidas
en el capítulo a problemas contextualizados.
El estudio de los Números Racionales están presentado en los capítulos 4 (los
fraccionarios) y 6 (los decimales). El capítulo 3 contiene título del significado de la
fracción y a continuación problemas para resolver de acuerdo a los saberes a desarrollar
y como un comentario resaltado por un gráfico esta la definición por ejemplo de número
fraccionario, de la misma manera está desarrollado el capítulo 6 de expresiones
decimales.
49
A continuación se describirán los tipos de tareas que aparecen en la unidad 3 de
fracciones y cómo son abordadas.
Tipo de tarea 1: Identificar el uso de las fracciones
Tarea 1.1: Repartir en partes iguales.
Figura 14 – Tarea 1.1
La técnica en esta tarea que propone el texto es aplicar la división del entero en
partes iguales y el significado de la fracción en esta tarea es el reparto.
Tarea1.2: Repartir equivalentemente
Figura 15 – Tarea 1.2
50
La técnica en esta tarea es similar a la tarea anterior de reparto se aplica la
división del entero en partes iguales.
Tarea 1.3: Representación de Números Racionales en la recta numérica.
Figura 16 – Tarea 1.3
La técnica que explica el texto para ubicar en la recta numérica dos o más
fracciones, al entero se debe dividir según como indica el denominador buscando antes
un común denominador de todas las fracciones que se quiera representar y se ubica en la
recta en las partes en la que se dividió el entero el numerador según corresponda de
acuerdo al orden. La tecnología es el orden de los Números Racionales y el significado
de medida.
Tipo de Tarea 2: Calcular las operaciones con Números Racionales
Tarea 2.1: Calcular las sumas y restas
Figura 17 – Tarea 2.1
51
La técnica que presenta el libro es reducir las fracciones a común denominador y
resolver como fracciones equivalentes, escribiendo el mismo denominador y sumando o
restando los numeradores.
Tarea 2.2: Calcular la multiplicación y división de un racional por un entero.
Figura 18 – Tarea 2.3
La técnica que aplica el texto en la multiplicación, el numerador de la fracción y
el número entero se multiplican y el denominador queda igual, para dividir si el
numerador de la fracción es múltiplo del divisor se lo divide, y si el numerador de la
fracción no es múltiplo del divisor se multiplica el denominador de la fracción por el
divisor.
PARTE III: ENTREVISTAS
DOCENTE I
El docente I posee el título de profesor de Matemática tiene una experiencia de
ocho años de enseñanza en distintos cursos de varias escuelas de la ciudad de Punta Alta
(Provincia de Buenos Aires).
Realizó capacitaciones relacionados con la pedagogía, psicología y específicos de
matemáticas, su preocupación es perfeccionarse constantemente para estar preparado en
su profesión de docente. La bibliografía que consulta son de Editorial Santillana,
también consulta páginas web educativas.
Se describen a continuación las praxeologías que el docente desarrolla en sus
clases para que los alumnos trabajen con material didáctico que él lleva en formato
impreso. Estas se corresponden a 1 y 2 año de secundaria de escuela técnica donde el
docente I se desempeña. Lo descripto surge de la entrevista realizada al docente.
52
El inicio del tema Números Racionales lo hace trabajando con el significado de
parte de todo, menciona que es debido a que los alumnos lo “traen” incorporado de la
escuela primaria. El docente les presenta a los alumnos unas figuras en las que tienen
que indicar que fracción corresponde a cada gráfico, utilizando el mismo gráfico y lo
que representan, tienen que observar cuanto le falta para llegar al entero y realizar la
suma. A continuación trabaja con fracciones dando el significado de operador,
realizando cálculos mentales e intuitivamente de porcentaje, para luego dar problemas
con situaciones concretas y el cálculo propiamente dicho de porcentaje. Continúa con el
concepto de fracción, clasificación, fracción equivalente y representación en la recta
numérica de fracciones. Respecto a las operaciones con fracciones el docente considera
que es muy importante que los alumnos sepan que existen varios métodos para realizar
las operaciones de suma y resta de fracciones y que en definitiva se suman fracciones
equivalentes con un común denominador. Luego de que los alumnos internalizan los
métodos de sumar y restar fracciones propone tareas con problemas concretos donde al
resolverlas utilicen la suma y resta de fracciones. Para las operaciones de multiplicación
y división explica los métodos, que definitivamente son mecánicos, para luego
continuar con ejercicios combinados de suma, resta y división. Dichos contenidos
corresponden a 1ro y 2do año con la diferencia que los de segundo año se complejizan
algo más que los de 1er año, y son propuestos por el diseño curricular de la Provincia de
Buenos Aires.
A continuación se darán ejemplos de tareas que el Docente I (D I) propone en el
aula a los alumnos.
Tarea 1: Indicar que fracción corresponde de acuerdo al grafico
Figura 18 – D I
La técnica aplicada en este tipo de tarea que propone el docente es el doble conteo
de partes, es decir, contar la cantidad de partes iguales en las que fue dividida la figura y
la cantidad de dichas partes que está pintada, correspondiendo la primera al
denominador y la segunda, al numerador.
53
Tarea 2: completar para llegar al entero
Figura 19 – D I
La técnica que pretende que apliquen el docente es mediante la representación de
fracciones con gráficos y símbolos realizar una suma o resta sin realizar cálculos
escritos (mentalmente) para ver que fracción me falta o sobra para llegar al entero.
Tarea 3: representar fracciones en la recta numérica.
La técnica aplicada es reducir a común denominador todas las fracciones a
representar consiguiendo fracciones equivalentes, luego dividir al entero en la recta
numérica en partes iguales, al común denominador para después ubicar cada fracción
equivalente a la dada.
Tarea 4: resolver cálculos de suma y resta de fracciones y números mixtos.
54
Figura 20 – D I
Las técnicas aplicadas en esta tarea son las siguientes pasar de números mixtos a
fraccionario multiplicando el denominador de la fracción que compone el numero mixto
por el entero y sumando el numerador para colocarlo como numerador de la fracción
resultante y el denominador es el mismo del componente fraccionario del número
mixto, a continuación se realiza la suma algebraica de fracciones aplicando la técnica de
buscar fracciones equivalentes con el común denominador.
Tarea 5: calcular producto de fracciones.
La técnica que menciona el docente es multiplicar los numeradores y los
denominadores entre sí. Particularmente añadiríamos: colocar los resultados como
numerador y denominador de una nueva fracción y simplificarla si es posible.
Tarea 6: calcular el cociente de fracciones.
La técnica propuesta en esta tarea es multiplicar la primera fracción por la inversa
de la segunda fracción.
Tarea 7: resolver situaciones problemáticas contextualizadas que implican sumas y
restas de fracciones.
DOCENTE II
El docente II posee título de Profesor de Educación Secundaria en Matemática,
con una antigüedad en el área de 4 años y ha realizado capacitaciones del CIIE y
posgrado de TIC por finalizar. El docente recurre para la consulta de bibliografía a
libros de distintas editoriales, que son acordadas por la institución donde se desempeña
55
y como guía de los contenidos utiliza el Diseño Curricular de la Provincia de Buenos
Aires. Los cursos en los que dicta clases son primeros años, segundos años y quintos
años de la escuela técnica Almirante González Fernández y el Instituto Centenario
ubicados en la ciudad de Punta Alta (Provincia de Buenos Aires).
Respecto a la enseñanza de los Números Racionales el docente II, en el inicio del
tema quiere que sus alumnos relacionen al Número Racional como lo que es un número
y que se puede representar en la recta numérica, a continuación explica a sus alumnos
que aprender Números Racionales es una necesidad para la vida cotidiana, dándoles
ejemplos en cuales situaciones concretas los utilizan. Por ejemplo: si van a comprar un
determinado producto que se necesita pesar, no siempre se compran cantidades enteras
sino pueden ser intermedias, como “1/2 kilo de manzana”, “3/4 papa”, etc. En síntesis a
las fracciones por lo general las vincula con el significado de medidas de diferentes
magnitudes, peso, longitud, tiempo, etc., otra vinculación son por ejemplo con los
números decimales, razones y proporciones numéricas y porcentajes. Luego continúa
con la parte conceptual de Números Racionales, que de acuerdo al grupo de alumnos los
conceptos los va sacando de distintos textos bibliográficos.
En las clases realiza las siguientes tareas, del libro Matemática I, Editorial
Kapeluz (2013).
Tarea 1: representar la parte de un todo
Figura 22 – D II
La técnica aplicada en este tipo de tarea que propone el docente es el doble conteo
de partes de cada figura, luego compara la figura verde que parte del el rectángulo rojo
representa. La tecnología aplicada en este tipo de tarea es el significado de parte – todo
de las fracciones.
Tarea 2 completar el entero
56
Figura 23 – D II
La técnica aplicada es sumar las cantidades que representan las figuras hasta
llegar a la representación del entero, en forma intuitiva se realiza la suma de fracciones
de igual denominador. La tecnología aplicada en este tipo de tarea es el significado de
parte – todo de las fracciones y operaciones con Números Racionales
Tarea 3: representar los grupos de fracciones en la misma recta numérica
Figura 24 – D II
La técnica que el docente quiere que apliquen los alumnos en esta tareas es la de
buscar fracciones equivalentes a las dadas, que tengan un común denominador, luego
dividen al entero de la recta numérica en partes iguales según el denominador común,
para después representar el numerador en la división del entero según el orden.
Tecnología el significado de fracción como medida y orden de los racionales.
Tarea 4: resolver las siguientes sumas y restas con racionales
Figura 25 – D II
La técnica que explica el docente en esta tarea es el de buscar fracciones
equivalentes de igual denominador y luego sumar los numeradores, colocando el mismo
denominador.
57
Tarea 5: resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones con racionales
Figura 26 – D II
La técnica que explica el docente para la multiplicación es multiplicar los
numeradores y denominadores previamente simplificar numerador del dividendo con el
denominador del divisor y denominador de la primera con numerador de la segunda
fracción. Para la división se invierte el divisor y se multiplica. Por tecnología, enseña las
propiedades de las operaciones.
DOCENTE III
El docente III posee título de Profesor de Primaria y con una experiencia de 25
años en la docencia. Se desempeñó en diferentes cursos del segundo ciclo de primaria y
en el tercer ciclo de EGB, en el área de matemática. Actualmente está a cargo de un
curso de 5to año del segundo ciclo de primaria. A lo largo de su carrera docente realizó
una capacitación continua. Señala que consulta bibliografía de editorial Broiman y
Santillana.
Al principio de la entrevista la docente manifiesta que los alumnos conocen del
primer ciclo de primaria el uso social de fracciones como por ejemplo cuartos y medios,
por lo tanto inicia en quinto año de primaria con el significado de cociente al dar un
ejemplo de una división que implica el reparto, el resto del cociente también se reparte
en partes iguales, haciendo esto con material concreto. También trabaja con el
significado de parte de un todo representando en papel cuadriculado, otro significado es
el de medida de magnitudes como por ejemplo longitud, masa y con múltiplos y
submúltiplos de la moneda, relacionando también con los decimales, siempre en
situaciones concretas de la vida cotidiana. La docente se relaciona con pares de otras
áreas para integrar los contenidos de matemática que se utilizan en otras áreas además
manifiesta que articulan los contenidos de matemática con los docentes del área de
matemática de 4to y 6to año para que haya una continuidad de lo estudiado de acuerdo a
58
la currícula. Continúa con las fracciones equivalentes para lograr sumar fracciones de
distintos denominadores encontrando la familia de fracciones para que el alumno se dé
cuenta por si solo que siempre se suman fracciones equivalentes, y no realizarlo de
manera mecánica hallando el común denominador como se hacía en la educación
tradicional. En estos tipos de tareas encuentra un conflicto cuando los alumnos las
realizan en el hogar ya que sus padres al ayudarlos les explican mecánicamente como se
hacía en la educación tradicional y esto resulta para el niño una confusión que retrasa el
aprendizaje. Menciona la docente que algo muy importante es el vocabulario que se
utilizan por ejemplo en situaciones problemáticas que muchas veces los alumnos no
comprenden, esto se debe a que el alumno maneja un vocabulario acotado, para salvar
esta situación la docente utiliza un glosario con el significados de palabras que
desconocen los alumnos.
A continuación se darán ejemplos de tareas que el Docente III (D III) propone en
el aula a los alumnos.
Tipo de Tarea: Proporcionalidad con Números Racionales
Tarea 1: Resolver problema de proporcionalidad
Figura 27 – D III
La técnica que utilizan los alumnos es completar cantidad de fichas o precio en los
recuadros, mediante la multiplicación de un decimal por un entero o la división de
decimales y la tecnología son las propiedades de las operaciones.
Tarea 2: Resolver problema de proporcionalidad
Figura 28 – D III
59
La técnica utilizada por los alumnos es la división de racionales, se invierte el
divisor y se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador. La
tecnología son las propiedades de las operaciones.
60
CAPÍTULO 6
ANÁLISIS
A partir de la descripción realizada en el capítulo anterior en torno a las
Organizaciones Matemáticas y Didácticas que se ponen en juego para el estudio de los
Números Racionales en escuelas de la Provincia de Buenos Aires presentamos a
continuación un análisis que se corresponde con cada uno de los tres ejes del trabajo de
campo expuesto.
Currícula de la Provincia de Buenos Aires: Nivel Primario y
Secundario.
En la descripción de la currícula de la Provincia de Buenos Aires perteneciente al
Primer Ciclo de Primaria se observó que los Números Racionales se introducen con
ejemplos concretos de la vida cotidiana con el significado de medida. Se presentan
algunas tareas de suma de fracciones en forma mental e intuitiva, para que los docentes
utilicen en el desarrollo del tema. En el tipo de tarea que tienen que comparar dos tiras
de papel que tienen una cierta área no está especificado de esa manera, sino que lo hace
por longitud preguntando ¿cuántas veces entra la tira chica en la tira grande? con lo que
la currícula pretende que se sumen fracciones por comparación.
En el segundo ciclo de primaria la currícula continúa complejizando los
conocimientos de los Números Racionales con el significado de medida donde presenta
algunos ejemplos de tareas como guía para poder ser aplicada por los docentes en el
aula. Luego continúa con otros tipos de tareas dando a la fracción el significado de
parte de todo.
Con el significado de proporcionalidad directa da un solo ejemplo de tarea como
modelo. Luego da ejemplo de algunas tareas de problemas, para ser resueltos con las
operaciones de suma, resta, multiplicación de fracciones.
En síntesis la currícula propone un mínimo de tareas con una técnica para
resolverlas para cada OM que está incluida en el programa, que el alumno debiera saber
hacer de acuerdo al año en que se encuentra. El docente tendría que seleccionar de allí
la OM a desarrollar, haciendo una planificación anual proponiendo tipos de tareas
similares a las dadas.
Por otro lado, las tareas propuestas no tienen conexión entre sí, se supone que el
docente debería encontrar esas conexiones entre los contenidos.
61
En la descripción de la currícula de secundaria se observa el mismo lineamiento
de primaria y también las tareas no tienen conexión entre ellas como que cada saber se
enseña por separado. La diferencia con la de primaria es que para cada tecnología o
teoría que se pretende estudiar, se dan algunos ejemplos más que en primaria, con lo
que supuestamente el docente debe seleccionar de guía para planificar sus tipos de
tareas para todo el año.
Entrevistas a tres docentes, dos de nivel secundario y uno de nivel
primario.
Se realizaron tres entrevistas a docentes tratándose de describir las praxeologías
que los mismos utilizan en sus prácticas. Los docentes entrevistados: dos de secundaria
y poseen título de Profesor de Matemática y un docente de primaria que posee el título
de Profesor de Primaria. Los docentes de secundaria se desempeñan en varias escuelas,
mientras que el de primaria en una sola escuela, de la ciudad de Punta Alta.
Los docentes expresan que planifican para todo año los saberes a enseñar junto a
los tipos de tareas y técnicas a utilizas en concordancia con la currícula oficial, la cual
puede ser modificada de acuerdo al grupo de alumnos, durante el año realizan
constantemente cursos de capacitación, en sus prácticas utilizan como consulta
bibliografía libros de distintas editoriales (Santillana, Tinta Fresca, Kapeluz, etc.).
Los docentes manifiestan que relacionan los saberes de los números racionales
con el significado de parte de todo en tareas de reparto, de medidas en tareas como
representar fracciones en la recta numérica, como operador con situaciones
problemáticas de porcentaje, todos estos saberes contienen tipos de tareas, para lo cual
los alumnos utilizan material concreto para resolverlas. En el inicio del tema de
números racionales los docentes realizan un diagnóstico sobre saberes previos de
números racionales con tareas de repetición o problemas contextualizados. Las tareas en
su totalidad apuntan a la fijación de saberes y aplicación de algoritmo en las
operaciones.
Un solo docente menciona que relaciona los saberes de matemática con otras
áreas, al mismo tiempo planifican anualmente con sus pares del mismo área de cursos
anteriores y superiores para conseguir una correlatividad de saberes.
Uno de los docentes considera que para las operaciones con fracciones es muy
importante que los alumnos sepan que existen varios métodos para realizarlas y que en
definitiva se suman fracciones equivalentes con un común denominador.
62
El docente de primaria menciona que las fracciones equivalente son familia de
fracciones para que el alumno al realizar tareas con operaciones de fracciones se dé
cuenta por si solo que siempre se suman fracciones equivalentes, y no realizarlo de
manera mecánica hallando el común denominador como se hacía en la educación
tradicional, en estos tipos de tareas encuentra un conflicto cuando los alumnos las
realizan en el hogar ya que sus padres al ayudarlos les explican mecánicamente como se
hacía en la educación tradicional y esto resulta para el niño una confusión que retrasa el
aprendizaje.
Además se encontró que los errores que comúnmente cometen los alumnos al
estudiar los Números Racionales mencionado por los docentes entrevistados de
Escuelas de Punta Alta se corresponden con lo analizado por González del Olmo en el
planteamiento del problema.
Libros de texto utilizados por los docentes de la Educación Primaria y
Secundaria.
En cuanto a la OM que presentan los libros de textos descriptos se observó lo
siguiente. De acuerdo a la editorial por lo general están organizados de diferente
manera, al igual que el formato difieren en que algunos poseen más ilustraciones que
otros. En cuanto a la presentación de los saberes todos son similares, están en acuerdo
con la currícula de la provincia de Buenos Aires.
El primer libro de editorial Kapeluz Matemática 2 para secundaria presenta el
siguiente formato: lo primero que presenta es la teoría recuadrada como una forma de
marcar qué es lo importante. En nuestro caso, da la definición de número racional, es
decir el logos, y luego indica las partes que componen la fracción, numerador y
denominador. A la fracción le da únicamente el significado de parte de un todo. En el
mismo recuadro como una nota explica que la expresión decimal es un número racional
y que es el cociente entre el numerador y denominador. A continuación presenta una
serie de ejercicios, la praxis de repetición de aplicación del logos. El primer ejercicio
propone dar fracciones equivalentes o pasaje de decimal a fracción, sin dar la teoría de
fracción equivalente. Otros tipos de ejercicios son como por ejemplo: representar
fracciones. Unir con la opción correcta.
El segundo libro para secundaria descripto presenta un formato que contiene
imágenes, haciéndolo esto que sea menos formal. Dentro del mismo capítulo contiene
varios comentarios que están señalados por iconos. La similitud con el primer libro es
que propone varias tareas de repetición y la sección de teoría, y tareas de repaso. La
63
diferencia que presenta es que tiene una sección donde se proponen diferentes técnicas
para resolver una misma tarea. También presenta ejemplos con tareas resueltas que
poseen errores para que el alumno pueda encontrarlos. Además resulta interesante la
sección donde formula tareas para ser resueltas con computadora y/o calculadora. Por
último contiene una sección de evaluación integral de los saberes que se trataron en la
unidad.
El tercer libro descripto corresponde a la Educación Primaria Segundo Ciclo, más
precisamente a 5to año, los saberes que en él se tratan, tienen correspondencia con los
de la currícula de la Provincia de Buenos Aires. Para el estudio de los Números
Racionales el libro presenta los saberes en dos unidades, separando lo que es fracciones
en el capítulo 3 y los decimales en el capítulo 6. Al presentar definiciones la resaltan
con un gráfico que indica que es una definición. Contiene una gran cantidad de gráficos
para cada tarea planteada en los mismos se combinan imágenes reales con dibujos de
personas. Las tareas que predominan en el libro son situaciones de reparto,
representación de fracciones en la recta numérica, ejercicios de suma y resta y
problemas de proporcionalidad, únicamente con Números Racionales positivos. Las
tareas antes mencionadas tratan de contextualizar situaciones de la vida cotidiana.
PROPUESTAS
Del análisis anterior se desprende la necesidad de sugerir algunos otros tipos de
tareas, que no se han observado de la descripción realizada, o no frecuentemente.
Presentamos entonces la siguiente propuesta de actividades.
Para realizar las tareas propuestas se necesita papel y lápiz y como apoyo de
comprobación se sugiere utilizar GeoGebra que es un software de matemáticas
dinámica para todos los niveles educativos que reúne geometría, álgebra, hoja de
cálculo, gráficos, estadística y cálculo en un solo programa, usa la multiplataforma de
Java, lo que garantiza su portabilidad a sistemas de Windows, Linux, Solaris o MacOS
X en red. En la red existen varios tipos de construcciones dinámicas que se pueden
utilizar en el aprendizaje de los números racionales o también se pueden realizar las
creaciones propias de actividades dinámicas para que alumno las pueda manipular y que
pueda deducir relaciones, propiedades y resultados a partir de la observación directa, a
continuación se presentaran algunas tareas realizadas con dicho software.
64
El significado de la fracción de parte de un todo se mencionó que presenta una
dificultad en las operación multiplicativa de acuerdo a esto se propone la siguiente
tarea.
Tarea 1: multiplicación de fracción con áreas
Por ejemplo si queremos multiplicar
1
3 ∙
2
5=
2
15 Por lo general lo que se explica cuando se enseña la multiplicación
es aplicar la técnica de multiplicar los numeradores y los denominadores de cada
fracción y el resultado sería el numerador y el denominador de dichas multiplicaciones
antes mencionadas, sin conocer por qué y sin poder interpretar visualmente como en la
adición de fracciones cuando se utilizan gráficos para ello.
La multiplicación de fracciones se puede mostrar gráficamente, de la siguiente
manera.
Representamos las fracciones que se van a multiplicar
1
3
2
5
Para multiplicar con áreas la técnica es la siguiente.
Paso 1: Se divide un modelo en 3 franjas horizontales iguales
1
3
Paso 2: En el mismo dibujo lo dividimos en 5 franjas verticales iguales, queda
como resultado que el dibujo queda dividido en partes más pequeñas (observe que son
15 partes iguales)
65
1
3
2
5
El resultado de la multiplicación gráficamente es la intersección de la parte rayada
de azul y amarilla
2
15
↔ 1
3 ∙
2
5=
2
15
Técnica utilizada es el conteo de las partes marcadas en común.
La tecnología abarca las propiedades de las operaciones básicas de los Números
Racionales.
Tarea 2: Multiplicación de fracciones con áreas usando GeoGebra
La tarea 1 se puede realizar con GeoGebra, y se puede encontrar en el siguiente
link (https://www.geogebra.org/m/SrGatNWQ#material/kqjMVjrv )
Se pueden realizar otros cálculos moviendo los deslizadores del numerador y
denominador de los factores. La tecnología utilizada propiedades de las operaciones.
Tarea 3: Operaciones con números racionales utilizando GeoGebra
66
Instrucciones:
1. Da clic en la operación que desees realizar.
2. En tu cuaderno de notas realiza la operación y mueve el deslizador para poner
la respuesta.
3. Da clic en Evaluar para confirmar tu respuesta y revisar el procedimiento
correcto.
4. Da clic en Reinicio para resolver para resolver otro ejercicio.
Tarea 4: Operaciones con números racionales
https://www.geogebra.org/m/MVPQG3zu
Tecnología utilizada son las propiedades de los números racionales
Tarea 5: Representación de fracciones en la recta numérica con GeoGebra
(https://www.geogebra.org/m/t9y7kVBA )
67
1. Con los deslizadores de “Numerador y Denominador” se puede cambiar la
fracción a representar.
2. Con el deslizador “N° de Divisiones” se selecciona la cantidad de divisiones
de la unidad.
3. Luego mover la flecha color violeta sobre la recta numérica, para representar
la fracción elegida.
4. Luego marcar “comprueba la solución” para verificar la representación.
5. Después de comprobar la representación desmarcar “compruebe la solución”
antes de elegir otra fracción a representar
La tecnología utilizada es el Orden de los Números Racionales.
68
CAPÍTULO 7
CONCLUSIONES
En este trabajo se presentó una descripción y análisis de las praxeologías en torno
al estudio de los Números Racionales y sus operaciones básicas en el marco de la Teoría
Antropológica de lo Didáctico.
De acuerdo al objetivo principal: se observa en las descripciones y el análisis de la
currícula, bibliografía y entrevistas a docentes, que el tipo de tarea que más predomina
es el del significado parte de un todo, que se inicia en la escuela primaria y se continua
en el ciclo básico de secundaria, tiene un aspecto importante para el alumno en la
conceptualización de los Números Racionales que contribuye en la relación de orden,
relación de equivalencia y la operación aditiva pero también hace que se dificulte el
estudio de los Números Racionales negativos y la operación multiplicativa.
En la currícula se observó que son escasos los ejemplos de tareas que involucren
las operaciones básicas de los Números Racionales, básicamente da un lineamiento
general de lo que debe hacer en sus prácticas los docentes, debido a esto los docentes
para la enseñanza de dichos saberes, tienen que buscar los tipos de tareas, las técnicas,
tecnología para los saberes que plantea la currícula que los alumnos deben conocer.
De las descripciones de las entrevistas a los docentes se observó que planifican
para todo año los saberes a enseñar junto a los tipos de tareas y técnicas a utilizar en
concordancia con la currícula oficial, la cual puede ser modificada de acuerdo al grupo
de alumnos. Además durante el año mencionan que realizan frecuentemente cursos de
capacitación y en sus prácticas utilizan para consulta bibliografía libros de distintas
editoriales (Santillana, Tinta Fresca, Kapeluz, etc.).
Todos los docentes manifiestan que en la enseñanza de los Números Racionales
relacionan los saberes de éstos números con el significado de parte de todo en tareas de
reparto, de medidas en tareas como representar fracciones en la recta numérica, como
operador con situaciones problemáticas de porcentaje, todos estos saberes contienen
tipos de tareas, para lo cual los alumnos utilizan material concreto para resolverlas. Para
el inicio del tema de Números Racionales los docentes realizan un diagnóstico sobre
saberes previos de Números Racionales con actividades de repetición o problemas
contextualizados. Las tareas que utilizan, en su totalidad, apuntan a afianzar los saberes
69
y utilización algorítmica de las operaciones. Un solo docente menciona que relaciona
los saberes de matemática con otras áreas.
70
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Batalla J. (2017) http://www.infobae.com/tendencias/2017/03/21/pruebas-
aprender-dramatico-diagnostico-sobre-la-educacion-argentina/ Recuperado el 21 de
diciembre de 2017.
Benetti, C., Menichelli, L., Ronchese, L., Cismondi, E., & Oliva, I. (2015). La
enseñanza de los números racionales. Una experiencia de investigación en escuelas
primarias y secundarias1 argentinas. Unión: revista iberoamericana de educación
matemática, (44), 24-41.
Centeno (1988), Números Decimales, ¿por qué? Y ¿para qué? Madrid. Síntesis.
Capítulo 9. pp. 135-149).
Chevallard, Y. (2013). Enseñar matemáticas en la sociedad de mañana: alegato a
favor de un contraparadigma emergente. Journal of Research in Mathematics Education,
2 (2), 161 -182.
Chevallard, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la teoría
antropológica de lo didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, 19 (2),
221-266.
D.G.C. y E. Diseño Curricular para la Educación primaria segundo ciclo, 2007.
Fandiño, M. I. (2009). Las fracciones. Aspectos conceptuales y didácticos.
Bogotá: Editorial Magisterio.
Freudenthal, H. (1983). Didactical Phenomenology Of Mathematical Structures.
Klumer Academic Plublishers.
Gallardo, J., González, J. L., & Quispe, W. (2008). Interpretando la comprensión
matemática en escenarios básicos de valoración: Un estudio sobre las interferencias en
el uso de los significados de la fracción. Revista latinoamericana de investigación en
matemática educativa, 11(3), 355-382.
González del Olmo, D. (2015). Errores comunes en el aprendizaje de las
fracciones: Un estudio con alumnos de 12/13 años en Cantabria.
Hart, L. C., Smith, S. Z, Swars, S. L. y Smith, M. E. (2009). An examination of
research methods in mathematics education (1995-2005). Journal of Mixed Methods
Research, 3: 26-41.
Juárez, E. C., & López, J. A. J. (2016). Análisis y clasificación de errores en la
adición de fracciones algebraicas con estudiantes que ingresan a la universidad.
Números, 91.
71
Luelmo Livas, M. (2004). Concepciones Matemáticas de los Docentes de
Primaria en relación con la Fracción como Razón y como Operador Multiplicativo.
http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=34202206
Otero María Rita; Fanaro María de los Angeles; Corica Ana Rosa. (2013). Libro:
La teoría antropológica de lo didáctico en el aula de matemática. - 1a ed. – Ciudad
Autónoma de Buenos Aires: Dunken, 2013.
Pérez, M. A. (2013). Una Historia de las Matemáticas: Retos y Conquistas a
Través de sus Personajes. Madrid España. Editorial Visión Libros.
Real Ortega, C. (2017). Modelo de Enseñanza de Fracciones en México. Congreso
Iberoamericano de Educación Matemática. Video Conferencia VIII CIBEM. Madrid.
Real, R., & Figueras, O. (2015, February). A network of notions, concepts and
processes for fractions and rational numbers as an interpretation of Didactical
Phenomenology. In CERME 9-Ninth Congress of the European Society for Research in
Mathematics Education (pp. 346-353).
Río Serna, K. T. D., & Ramírez Pérez, L. M. (2009). Las fracciones a partir de la
fenomenología didáctica.
Sánchez, Á. (2000). Diccionario Jeroglíficos Egipcios. Madrid: Aldebarán
Ediciones.
Segovia, I., Rico, L. (2001). Unidades didácticas. Organizadores. En E. Castro
(ed): Didáctica de las matemáticas en la educación primaria; 11. 83-104. Madrid:
Síntesis.
Vizcarra, R. E., & Sallán, J. M. G. (2005). Modelos de medida para la enseñanza
del número racional en Educación Primaria. Unión: Revista Iberoamericana de
Educación Matemática, 1, 17-35.
72
ANEXO
DISEÑO CURRICULAR
73
74
75