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Prof. Ada Moreno
Facultad de Ingeniería Escuela de Civil
Hidrología
ANÁLISIS DE FRECUENCIA (CURVAS INTENSIDAD – DURACIÓN
- FRECUENCIA) Y RIESGO HIDROLÓGICO
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Es un procedimiento para estimar la frecuencia o probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos hidroclimáticos (Monsalve, 2008)
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
El diseño y la planificación de obras hidráulicas están siempre relacionadas con eventos hidrológicos futuros; por ejemplo, la avenida de diseño para el vertedero de una presa es un evento que tal vez no se ha presentado jamás, o al menos no en el período de datos disponible, pero que es necesario conocer para el diseño de la obra (Aparicio, 2010)
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Por ello, y como sucede en la mayoría de las ciencias, con mucha frecuencia el estadístico es el camino obligado en la solución de los problemas. En particular, la probabilidad y la estadística juegan un papel de primer orden en el análisis hidrológico (Aparicio, 2010)
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
El análisis de frecuencia de información hidrológica relaciona los eventos extremos con su frecuencia de ocurrencia mediante el uso de distribuciones de probabilidad (Chow, et al. 1994)
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
El análisis de frecuencia, en general, se realiza ajustando el comportamiento de los datos observados a una distribución teórica de probabilidad, entre las cuales pueden mencionarse: Normal
Log-normal
Gumbel
Log-gumbel
Pearson III
Log-Pearson III
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
De ahora en adelante, se considerará la distribución Gumbel Tipo I como la más aceptada para análisis que incluyan eventos extremos. La función de distribución de probabilidad es la siguiente:
𝑃 𝑋 ≥ 𝑋𝑑 = 1 − 𝑒−𝑒−𝛼 𝑋−𝛽
Donde P(XXd) es la probabilidad de excedencia del evento de diseño Xd, y son los parámetros de la función de distribución
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ANÁLISIS DE FRECUENCIA
Según Kite (1977) existen diversos métodos para estimar los parámetros de las distribuciones, entre ellos se pueden mencionar:
Método de los momentos
Método de máxima verosimilitud
Mínimos cuadrados
Gráfico
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MÉTODO DE LOS MOMENTOS
Consiste en tomar la media y la desviación típica de la muestra en lugar de la media y la desviación de la población.
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MÉTODO DE LOS MOMENTOS
En caso de asumir que la distribución Gumbel Tipo I es la que mejor se ajusta a los datos, los parámetros se estiman de la siguiente manera:
𝛽 = 𝑋 − 0.45𝑆𝑥
𝛼 =1.281
𝑆𝑥
Donde: X: Media de la muestra
Sx: Desviación estándar de la muestra
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EJEMPLO
Construir las curvas intensidad – duración – frecuencia de 25, 50 y 100 años de período de retorno, para la estación Santa Rosa ubicada en la cuenca alta del Río Albarregas.
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EJEMPLO
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EJEMPLO
El primer paso es comprobar que los datos obtenidos corresponden a intensidades.
Como no es así, se transforman las precipitaciones máximas a intensidades
𝐼 =𝑃
𝑑
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EJEMPLO
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EJEMPLO
Posteriormente se estiman los parámetros de la distribución teórica de probabilidad. Debido a que los datos corresponden a intensidades/precipitaciones máximas anuales, se decide trabajar con la distribución Gumbel Tipo I
Se calculan media, desviación estándar, y para cada una de las duraciones analizadas
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EJEMPLO
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EJEMPLO
Los resultados deben ser evaluados a través de una prueba de bondad de ajuste. Puede aplicarse el test de Kolmogorov – Smirnov.
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EJEMPLO
Test de Kolmogorov – Smirnov: Ordenar los valores de mayor a menor Calcular la probabilidad empírica (Pe) y teórica (Pt)
𝑃𝑒=𝑚/(𝑛+1) Donde m es el orden de magnitud del evento, y n es el
número de datos observados.
𝑃 𝑋 ≥ 𝑋𝑑 = 1 − 𝑒−𝑒−𝛼 𝑋−𝛽
Hallar la diferencia entre ambas probabilidades:
∆= 𝑃𝑡 − 𝑃𝑒
Localizar ∆𝑚𝑎𝑥 Comparar con ∆𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒, si ∆𝑚𝑎𝑥 ≤ ∆𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒 se
acepta el ajuste
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EJEMPLO
∆𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒
N 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 >50
0.56 0.41 0.34 0.29 0.27 0.24 0.23 0.21 0.20 0.19 1.36/n
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EJEMPLO
El resultado de la prueba de bondad de ajuste es el siguiente:
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Valores ordenados
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Probabilidad teórica
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Probabilidad empírica
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Diferencia
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EJEMPLO
La función de distribución teórica de probabilidad para las intensidades de 1 hora de duración es la siguiente:
𝑃 𝑋 ≥ 𝑋𝑑 = 1 − 𝑒−𝑒−0.144515 𝐼−26.53
Donde la probabilidad es el inverso del período de retorno:
𝑃 =1
25= 0.04 = 4%
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EJEMPLO
De tal forma que si se conoce la probabilidad de excedencia, se puede despejar la intensidad:
𝐼 =−ln(− ln 1 − 𝑃 )
𝛼+ 𝛽
𝐼 =−ln(− ln 1−𝑃 )
0.144515+26.53
De tal forma que la intensidad de 1 hora y 25 años de período de retorno es de 48.7 mm/h
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EJEMPLO
Repitiendo el procedimiento para todas las duraciones y períodos de retorno, se tiene la siguiente matriz de resultados:
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EJEMPLO
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EJEMPLO
Las curvas Profundidad – Duración – Frecuencia (PDF) se construyen de la misma manera que las anteriores, pero con los datos de precipitación máxima:
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EJEMPLO
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MÉTODO GRÁFICO
Consiste en graficar la probabilidad empírica (Pe) de ocurrencia del evento, contra su magnitud, en un papel de probabilidad acorde a la distribución asumida.
𝑃𝑒 =𝑚
𝑛 + 1
Donde m es el orden de magnitud del evento, y n es el número de datos observados.
Al trazar la recta de mejor ajuste se obtiene la expresión gráfica de la distribución de probabilidad teórica.
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RIESGO HIDROLÓGICO
Es la probabilidad de que en la vida útil de una obra, la capacidad de la misma sea sobrepasada por lo menos una vez:
𝑅 = 1 − (1 − 𝑝)𝑁
Donde R es el riesgo hidrológico, p es la probabilidad de excedencia y N es la vida útil de la obra.
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EJEMPLO
Calcular el riesgo hidrológico de una red de alcantarillado con una vida útil esperada de 25 años, diseñado con una intensidad de 52 mm/h. Para ello utilice los datos de intensidades máximas anuales de la tabla.
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EJEMPLO
Id = 52 mm/h
N = 25 años
n = 13 años
𝑝 =𝑚
𝑛 + 1=
1
13 + 1= 7.14%
𝑅 = 1 − (1 − 0.0714)25
R = 84%
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EJEMPLO
Si se quiere que el riesgo de la obra sea de 10%, estime la intensidad de diseño.
𝑅 = 1 − (1 − 𝑝)𝑁 𝑝 = 1 − (1 − 𝑅)1/𝑁
𝑝 = 1 − (1 − 0.10)1/25
p = 0.42%
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EJEMPLO
Haciendo un análisis de frecuencia para los valores de intensidad máxima se tiene lo siguiente:
𝑃 𝑋 ≥ 𝑋𝑑 = 1 − 𝑒−𝑒−0.173657 𝐼−34.04
𝐼 =−ln(− ln 1−𝑃 )
0.173657+ 34.04
I = 65.5 mm/h
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EJEMPLO
Existe otro método para estimar la intensidad de diseño, conocido como factor de frecuencia:
𝑋𝑑 = 𝑋 + 𝑆𝑥 ∗ 𝐾𝑡
Donde Xd es la magnitud de diseño, X es la media de la muestra, Sx es la desviación estándar de la muestra y Kt es el factor de frecuencia.
𝐾𝑡 =− 6
𝜋0.577215 + ln(ln
𝑇𝑟
𝑇𝑟 − 1)
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EJEMPLO
𝑇𝑟 = 1
𝑝=
1
0.0042= 238.1𝑎ñ𝑜𝑠
𝐾𝑡 =− 6
𝜋0.577215 + ln(ln
238.1
238.1 − 1)
Kt = 3.815
𝐼𝑑 = 37.36 + 7.3766 ∗ 3.815
Id = 65.5 mm/h
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EJEMPLO
Existe otro método para estimar la intensidad de diseño, conocido como factor de frecuencia:
𝑋𝑑 = 𝑋 + 𝑆𝑥 ∗ 𝐾𝑡
Donde Xd es la magnitud de diseño, X es la media de la muestra, Sx es la desviación estándar de la muestra y Kt es el factor de frecuencia.
𝐾𝑡 =− 6
𝜋0.577215 + ln(ln
𝑇𝑟
𝑇𝑟 − 1)
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Aparicio, F. 2010. Fundamentos de hidrología de superficie. México: Limusa. 303 p.
Chow, V., Maidment, D., y Mays, L. 1994. Hidrología aplicada. Santa Fé de Bogotá: Mc-Graw Hill. 584 p.
Kite, G. 1977. Frequency and risk analyses in hydrology. USA: Water Resources Publications. 224 p.
Monsalve, G. 2008. Hidrología en la ingeniería. 2da Edición. Bogotá- Colombia: Escuela Colombiana de Ingeniería.
Ramírez, M. 2003. Hidrología Aplicada. Mérida – Venezuela: Universidad de Los Andes, Facultad de Ingeniería. 6-106 p.