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Analisis de Fourier

Resumen de los apuntes de D. Antonio Canada Villar

Curso 2015/2016

Sergio Cruz Blazquez

Indice

1 El espacio L2(a, b)Definicion y primeras notasEl espacio L1(a, b)L2(a, b) como espacio vectorialEl producto escalar de L2(a, b)La norma de L2(a, b)Bases hilbertianas

2 Series de FourierBase periodica de Lebesgue, desarrollo en serie de FourierParticularizacion de resultadosConvergencia puntual de la serie de FourierTeoremas de convergencia uniforme. Derivacion e integracion termino aterminoOtras bases hilbertianas de L2(a, b). Teoremas de convergencia.

3 Algunas aplicaciones de las series de FourierResolucion del problema isoperimetrico en el plano y de problemas de tipomixto para la ecuacion del calor

El espacio L2(a, b)

Cruz Blazquez, S. Analisis de Fourier 11-15 3 / 33

Definicion y primeras notas

Definicion

Para a, b ∈ R con a < b, se define el espacio de funciones L2(a, b) como

L2(a, b) = f : [a, b]→ R medibles t.q.∫ b

a(f (x))2dx existe y es finita

Nota: La nocion de igualdad en L2(a, b) es ligeramente diferente a la usual.Tenemos f = g ⇔ f (x) = g(x) cpd en [a, b]⇔ ∃A ⊂ [a, b] con µ(A) =0 t.q. f (x) = g(x), ∀x ∈ [a, b]\A

Nota: C [a, b] ⊂ L2(a, b) aunque existen funciones continuas en ]a, b[ que noestan en L2(a, b), como x → 1√

x, x ∈ ]0, 1[

Proposicion

Sea f : [a, b]→ R medible y tal que ∃M > 0 tal que |f (x)| ≤ M cpd en ]a, b[ ⇒f ∈ L2(a, b).

Nota: El recıproco, en general, es falso. Basta considerar la funcionx → 1

4√x, x ∈ ]0, 1[


El espacio L1(a, b)

Definicion

Para a, b ∈ R definimos el espacio de funciones L1(a, b) como

L1(a, b) =

f : [a, b]→ R t.q. f medible y∫ b

a|f (x)|dx existe y es finita

Nota: La nocion de igualdad entre funciones de L1(a, b) es la misma que parafunciones de L2(a, b)

Proposicion

Dados a, b ∈ R, se tiene que L2(a, b) ( L1(a, b), es decir, L2(a, b) ⊂ L1(a, b) y∃ g ∈ L1(a, b) t.q. g /∈ L2(a, b)

Proposicion

Sean a, b ∈ R y f , g ∈ L2(a, b) ⇒ f g ∈ L1(a, b)


L2(a, b) como espacio vectorial

Definicion

Si V es un espacio vectorial real, decimos que H ⊂ V es una base (algebraica)de V si los vectores de H son linealmente independientes y todo elemento deV puede expresarse como combinacion lineal finita de elementos de H

La dimension de V es el numero de elementos de una de sus bases. Decimosque V tiene dimension infinita cuando no tiene dimension finita.

P = f : [a, b]→ R : f es un polinomio es un espacio vectorial condim(V ) =∞. Una base es H = xn; n ∈ N ∪ 0Cualquier espacio vectorial que contenga a P (o a cualquier otro dedimension infinita) es de dimension infinita.

Proposicion: Estructura algebraica de L2(a, b)

Para a, b ∈ R con a < b, L2(a, b) es un espacio vectorial real de dimension infinita.


El producto escalar de L2(a, b)

Definicion

Para cada par (f , g) ∈ L2(a, b) x L2(a, b) definimos su producto escalar 〈f , g〉como

〈f , g〉 =

∫ b

a

f (x)g(x)dx

Propiedades del producto escalar

〈αf + βg , h〉 = α〈f , h〉+ β〈f , h〉 ∀α, β ∈ R ∀f , g ∈ L2(a, b)

〈f , g〉 = 〈g , f 〉 ∀f , g ∈ L2(a, b)

〈f , f 〉 ≥ 0 ∀f ∈ L2(a, b) y 〈f , f 〉 = 0⇔ f = 0

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

〈f , g〉2 ≤ 〈f , f 〉〈g , g〉 ∀f , g ∈ L2(a, b) Ademas〈f , g〉2 = 〈f , f 〉〈g , g〉 ⇔ f , g son linealmente dependientes


La norma de L2(a, b)

Definicion

Podemos definir una norma en L2(a, b) asociada al producto escalar

‖ · ‖ : L2(a, b) −→ R

‖f ‖ =√〈f , f 〉 =

√∫ b

a

(f (x))2dx

Propiedades

‖f ‖ ≥ 0 ∀f ∈ L2(a, b) y ‖f ‖ = 0⇔ f = 0

‖αf ‖ = |α|‖f ‖ ∀f ∈ L2(a, b) ∀α ∈ R‖f + g‖ ≤ ‖f ‖+ ‖g‖ ∀f , g ∈ L2(a, b)


Recordamos que toda norma, ‖ · ‖, en V induce una topologıa, τ‖·‖, que vienecaracterizada por:O ⊂ V , O ∈ τ‖·‖ ⇔ ∀v ∈ O ∃ r > 0 : B(v , r) := w ∈ V : ‖w − v‖ < r ⊂ O.Esto nos permite hablar de convergencia en L2(a, b), que resulta ser equivalente ala siguiente:

Definicion

Sea fn ⊂ L2(a, b) y f ∈ L2(a, b). Decimos que fn converge a f en L2(a, b) yse denota fn → f cuando ‖fn − f ‖ → 0

Proposicion

La convergencia en L2(a, b) y la convergencia cpd no son comparables, es decir,fn → f en L2(a, b) :; fn(x) → f (x) cpd en [a, b]. Sin embargo, si fn → funiformemente en [a, b] ⇒ fn → f en L2(a, b)


Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue: Seafn ⊂ L1(a, b) : fn(x) → f (x) cpd en [a, b] y tal que∃ g ∈ L1(a, b) : |fn(x)| ≤ g(x) cpd en [a, b] ∀n ∈ N. Entonces f ∈ L1(a, b) y

lımn→∞

∫ b

a

fn(x)dx =

∫ b

a

lımn→∞

fn(x)dx

Teorema de la convergencia monotona de Lebesgue: Sea fn ⊂ L1(a, b)

verificando fn ≤ fn+1 ∀n ∈ N (fn(x) ≤ fn+1(x) cpd) con ∫ b

afn(x)dx acotada

superiormente. Entonces ∃ lımn→∞ fn(x) = f (x) cpd , f ∈ L1(a, b) y

lımn→∞

∫ b

a

fn(x)dx =

∫ b

a

lımn→∞

fn(x)dx


Teorema de Riesz-Fischer

El espacio L2(a, b) es un espacio normado completo con la norma usual

‖f ‖2 =∫ b

af (x)2dx ∀f ∈ L2(a, b)

Corolario

Si fn → f en L2(a, b) ⇒ ∃fσ(n) sucesion parcial de fn que converge cpd en[a, b] a f

Definicion

Sea V un espacio vectorial real dotado de un producto escalar 〈·, ·〉 : V x V → R.Sea ‖ · ‖ la norma asociada al producto escalar, ‖v‖ =

√〈v , v〉 ∀v ∈ V . Decimos

que V es un espacio de Hilbert si (V , ‖ · ‖) es un espacio normado completo.

Nota: L2(a, b) es un espacio de Hilbert separable (existe un subconjuntonumerable denso) de dimension infinita.


Bases hilbertianas

Definicion

Sea B = fn : n ∈ N un subconjunto ortonormal de L2(a, b). Decimos que B esuna base hilbertiana de L2(a, b) cuando

∀f ∈ L2(a, b), f =∞∑n=1

〈f , fn〉fn

Nota: Sea L(B) el conjunto de combinaciones lineales finitas de elementos de B.Entonces L(B) ( L2(a, b)

Proposicion

La funcion 〈·, ·〉 : V x V → R es continua como funcion de dos variables. Enparticular, dada g ∈ L2(a, b), la funcion 〈·, g〉 : V → R es continua.


Proposicion

Sea fn : n ∈ N un subconjunto ortonormal de L2(a, b) y λn : n ∈ N unasucesion de numeros reales tales que

∑n≥1 λnfn es convergente en L2(a, b).

Entonces

f =∞∑n=1

λnfn ⇒ λn = 〈f , fn〉 ∀n ∈ N

Proposicion

En las condiciones anteriores∑n≥1

λnfn converge ⇔∑n≥1

λ2n converge


Teorema: Caracterizacion de base hilbertiana

Sea B = fn : n ∈ N un subconjunto ortonormal de L2(a, b). Son equivalentes

i) B es base hilbertiana de L2(a, b)

ii) ∀f ∈ L2(a, b) se cumple la identidad de Parseval

‖f ‖2 =∞∑n=1

〈f , fn〉2

iii) B⊥ = f ∈ L2(a, b) : 〈f , fn〉 = 0 ∀n ∈ N = 0

Proposicion

@A ⊂ L2(a, b), A ortogonal : ∀f ∈ L2(a, b), f es combinacion lineal finita deelementos de A

Proposicion

Si B es base hilbertiana de L2(a, b), vista como sucesion, no admite sucesionesparciales convergentes.


Proposicion

Si B = fn : n ∈ N es base hilbertiana de L2(a, b), entonces

∀f , g ∈ L2(a, b), 〈f , g〉 =∞∑n=1

〈f , fn〉〈g , fn〉

Proposicion

Si fn : n ∈ N es base hilbertiana de L2(a, b) y n0 ∈ N ⇒ fn : n ∈ N\n0 noes una base hilbertiana de L2(a, b)

Nota: A partir de una base hilbertiana fn : n ∈ N de L2(a, b) pueden construirseotras infinitas bases hilbertianas, como por ejemplo

1√2

(f1 + f2),1√2

(f1 − f2), f3, . . .


Series de Fourier


Base de Lebesgue y desarrollo de Fourier

Teorema de Lebesgue

El conjunto

1√2π, 1√

πcos(n·), 1√

πsen(n·); n ∈ N

es una b.h. de L2(−π, π)

Corolario

El conjunto 1, cos(n·), sen(n·); n ∈ N es una b.h. ortogonal de L2(−π, π)

Desarrollo en serie de Fourier

Sea f ∈ L2(−π, π), llamamos desarrollo en serie de Fourier a la expresion de f enla base trigonometrica de L2(−π, π), es decir

SF (f ) =A0

2+∞∑n=1

(Ancos(n·) + Bnsen(n·))

An = 1π

∫ π−π f (x)cos(nx)dx ∀n ∈ N ∪ 0 y Bn = 1

π

∫ π−π f (x)sen(nx)dx ∀n ∈ N.

An y Bn son los coeficientes de Fourier de f .


Particularizacion de resultados

Proposicion: Identidad de Parseval para bases ortogonales

Si fn; n ∈ N es una base ortogonal de L2(a, b) entonces

‖f ‖2 =∞∑n=1

〈f , fn〉2

〈fn, fn〉∀f ∈ L2(a, b)

Corolario

Si f ∈ L2(−π, π) entonces

‖f ‖2 = π

(A2

0

2+∞∑n=1

(A2n + B2

n )

)

donde An y Bn son los coeficientes de Fourier de f . En consecuencia la serie∑n≥1(A2

n + B2n ) es convergente.


Nota: Si An y Bn son dos sucesiones de numeros reales tales que∑n≥1(A2

n + B2n ) converge entonces ,fijada una base hilbertiana, son los

coeficientes de Fourier de una funcion de L2(−π, π).

∑n≥1

1

n2< +∞ ⇒

∞∑n=1

sen(nx)

n, cos(x) +

sin(x)

2+

cos(2x)

3+

sen(2x)

4+ · · ·

son funciones de L2(−π, π)

Criterio de Abel: Sea bn ⊂ R+ monotona decreciente con bn → 0, y seaan de forma que ∃M > 0 : |

∑nk=1 ak | ≤ M ∀n ∈ N. Entonces

∑n≥1 anbn

converge.

Nota: La serie de Fourier tiene sentido para funciones de L1(−π, π), ya que|f (x)cos(nx)|, |f (x)sen(nx)| ≤ |f (x)|, que es una funcion integrable, pero algunosresultados como la identidad de Parseval serıan falsos. Ademas, existen funcionesde L1(−π, π)\L2(−π, π) cuyas series de Fourier no convergen en ningun punto.


Convergencia puntual de la serie de Fourier

Lema de Riemann-Lebesgue

Sea f ∈ L1(−π, π). Entonces

lımn→∞

∫ π

−πf (x)cos(nx)dx = lım

n→∞

∫ π

−πf (x)sen(nx)dx = 0

Criterio de Dini para convergencia puntual

Sea f : R→ R 2π-periodica de forma que f |[−π,π] ∈ L1(−π, π). Sea x0 ∈ R talque ∃ δ > 0 verificando que la funcion g : ]− δ, δ[ \ 0 −→ R definida como

g(τ) =f (x0 + τ)− f (x0)

τcumple g ∈ L1(−δ, δ). Entonces

f (x0) = lımn→∞

(A0

2+

n∑k=1

(Akcos(kx0) + Bksen(kx0))

)

donde Ak y Bk son los coeficientes de Fourier.


Nota: La existencia de δ esta garantizada si g es acotada en algun intervalo de laforma ]− ε, ε[ con ε > 0. Una condicion suficiente para esto es que existan lasderivadas laterales de f en x0 (aunque no coincidan).

Nota: El criterio de Dini establece una condicion suficiente para la convergenciapuntual que no es necesaria. Basta considerar

f : [−π, π] −→ R definida mediante

f (x) =

−1 si −π < x < 00 si x = 0 o x = π1 si 0 < x < π


Convergencia uniforme, derivacion e integracion

Definicion

Decimos que f : [a, b] −→ R es absolutamente continua cuando∃ g ∈ L1(a, b) : f (x) = f (a) +

∫ x

ag(s)ds, ∀x ∈ [a, b]

Nota: Si f : [a, b] −→ R es tal que ∃ f ′(x) cpd y f ′ ∈ L1(a, b) ; fabsolutamente continua. Como ejemplo tenemos sgn : [−π, π] −→ R

Definicion

Decimos que f : [a, b]→ R es de clase C 1 a trozos, y lo denotamos f ∈ C 1tr [a, b],

si f ′ existe y es continua salvo quiza en una cantidad finita de puntos.

Nota: Si f ∈ C 1tr [a, b] ⇒ f ′ ∈ L2[a, b]

Nota: En lo sucesivo, la hipotesis f ∈ C 1tr [−π, π] puede debilitarse por f

absolutamente continua con f ′ ∈ L2(−π, π)


Teorema: Derivacion de la serie de Fourier

Sea f ∈ C 1tr [−π, π] tal que f (−π) = f (π). Entonces si

A0

2+∑n≥1

(Ancos(n·) + Bnsen(n·))

es la serie de Fourier de f, entonces la serie de Fourier de f ′ es∑n≥1

(nBncos(n·)− nAnsen(n·))

Lema

Si f ∈ L2[−π, π], entonces la serie ∑n≥1

Bn

n

es convergente, donde (An) y Bn son los coeficientes de Fourier de f


Teorema: Integracion de la serie de Fourier

Sea f ∈ L2(−π, π) y

A0

2+∑n≥1

(AnCos(n·) + BnSen(n·))

su serie de Fourier. Entonces si a ∈ [−π, π] es un punto dado,∫ x

a

f (t)dt =A0(x − a)

2+∞∑n=1

(An

∫ x

a

Cos(nt)dt + Bn

∫ x

a

Sen(nt)dt)

siendo la convergencia de esta ultima serie uniforme en [−π, π]

Corolario∫ x

0

f (t)dt − A0x

2=∞∑n=1

Bn

n+∞∑n=1

(An

nSen(nx)− Bn

nCos(nx)

)uniformemente en [−π, π]


Teorema: Convergencia uniforme de la serie de Fourier

Sea f ∈ C 1tr [−π, π] con f (−π) = f (π), entonces la serie de Fourier asociada a f

converge uniformemente a f en [−π, π]

Teorema: Version general del ta de convergencia uniforme

Sea k ∈ N, f ∈ C k [−π, π], f (k) ∈ C 1tr [−π, π] y f (−π) = f (π), f ′(−π) = f ′(π),

· · · , f k)(−π) = f k)(π). Entonces la serie de Fourier de f j) convergeuniformemente a f j) en [−π, π] ∀j ∈ 1, . . . , k

Proposicion: Caso inverso

Sea f : [−π, π] −→ R, f ∈ L2(−π, π) tal que∑

n≥1 np(|An|+ |Bn|) es convergentepara algun p ∈ N ∪ 0 ⇒ f ∈ C p[−π, π]

Nota: Si tenemos convergencia uniforme en [−π, π], entonces tenemosconvergencia uniforme en R a una extension 2π-periodica de f


Otras bases hilbertianas de L2(a, b)

Teorema: Base de senos

El conjunto√

2πSen(n·) : n ∈ N

es una base hilbertiana de L2(0, π)

Teorema: Convergencia uniforme en la base de senos

Sea f ∈ C 1tr [0, π] (o bien f absolutamente continua con f ′ ∈ L2(0, π)) verificando

f (0) = f (π) = 0. Entonces la serie de Fourier de f respecto de la base de senosconverge uniformemente a f en [0, π].

Teorema: Base de cosenos

El conjunto

1√π,√

2πCos(n·) : n ∈ N

es una base hilbertiana de L2(0, π)


Teorema: Convergencia uniforme en la base de cosenos

Sea f ∈ C 1tr [0, π] (o bien f absolutamente continua con f ′ ∈ L2(0, π)). Entonces

la serie de Fourier de f respecto de la base de cosenos converge uniformemente af en [0, π].

Nota: Podemos obtener una base ortogonal de cualquier espacio L2(a, b)aplicando una composicion de traslacion y homotecia a cualquiera de las basesconocidas de L2(−π, π) o L2(0, π). Ejemplo: Base de senos en L2(a, b).

φ : [0, π] −→ [a, b] (difeomorfismo)

φ(x) =b − a

πx + a

Ası

Sen(n

π(?− a)

b − a) : n ∈ N

es base ortogonal de L2(a, b)


Algunas aplicaciones de las series de Fourier:Resolucion del problema isoperimetrico en el plano

y problemas de tipo mixto para la ecuacion delcalor


Planteamiento: Problema isoperimetrico

De entre todas las curvas planas, cerradas y simples de longitud dada, encontraraquella que encierra un mayor area.

Resolucion (1): Desigualdad isoperimetrica

Si tenemos una curva plana, cerrada y simple de longitud dada L > 0 y denotamospor S al area que encierra en su dominio interior, entonces

S ≤ L2

4π

dandose la igualdad solo en el caso en que dicha curva es una circunferencia.


Planteamiento: Ecuacion del calor

Sea U(x , t) la funcion que representa la temperatura en el punto x ∈ [0, π] en elinstante t ∈ [0,T ] con T > 0 dado. La formulacion analıtica del problema es:

∂U(x , t)

∂t=∂2U(x , t)

∂x2t ∈]0,T ] x ∈ [0, π]

U(x , 0) = f (x) x ∈ [0, π]U(0, t) = U(π, t) = 0 t ∈ [0,T ]

para f : [0, π] −→ R dada.

Definicion de solucion

Llamando Ω = (x , t) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π 0 < t ≤ T, una solucion de la ecuaciondel calor es una funcion Φ ∈ C (Ω) ∩ C 1

t (Ω) ∩ C 2x (Ω), donde:

C 1t (Ω) ≡ ser de clase C 1 respecto de t

C 2x (Ω) ≡ ser de clase C 2 respecto de x


Nota: Para que exista una solucion a la ecuacion del calor, f debe ser continua en[0, π] con f (0) = f (π) = 0

Nota: La unicidad de la solucion esta garantizada por el Principio delmaximo-mınimo.

Resolucion (1): Lema

Sean λ ∈ R y X (x) y T (t) soluciones del sistema de ecuaciones diferencialesX ′′ − λX = 0 X ∈ C 2[0, π]T ′ − λT = 0 T ∈ C 1[0,T ]

Entonces U(x , t) = X (x)T (t) es solucion de Ut = Uxx



Sea λ ∈ R y X (x) y T (t) soluciones deX ′′ − λX = 0, X (0) = X (π) = 0T ′ − λT = 0

entonces U(x , t) = X (x)T (t) es solucion de Ut = Uxx que verificaU(0, t) = U(π, t) = 0 t ∈ [0,T ].

Ademas X ′′ − λX = 0, X (0) = X (π) = 0 tiene solucion no trivial si, y solamentesi, λ ∈ −n2 : n ∈ N. En este caso el espacio de soluciones en un espaciovectorial real de dimension 1 generado por x −→ Sen(nx)



Si f (x) =∑n

k=1 µksen(kx) ∀x ∈ [0, π] con µk ∈ R ∀k ∈ 1, · · · , n entonces launica solucion de la ecuacion del calor es

U(x , t) =n∑

k=1

µke−k2tsen(kx) ∀(x , t) ∈ Ω

Teorema: Solucion de la ecuacion del calor

Si f ∈ C 1tr [0, π] con f (0) = f (π) = 0 entonces la unica solucion de la ecuacion del

calor es

U(x , t) =∞∑k=1

µke−k2tsen(kx) ∀(x , t) ∈ Ω

con

µk =2

π

∫ π

0

f (x)sen(kx)dx ∀k ∈ N


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