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SEMINARIO

PENSAMIENTO SISTÉMICO Y ANÁLISIS DE SISTEMAS

Análisis de algunos sistemas de representación del conocimiento matemático

Patricia E. Balderas Cañas 

Abril 2013

Contenido

• Antecedentes

• Preguntas

• Metodología de análisis

• Resultados

• Implicaciones

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Antecedentes

• Las representaciones matemáticas presentes durante el estudio, análisis, negociación (Postic, 1996), decisión y ejecución de actividades, planteadas en un material didáctico (material de aprendizaje, Balderas, 1998). 

• Los conceptos y las relaciones contenidas en un  texto, proporcionan elementos para estudiar la correspondencia física entre las representaciones matemáticas, a nivel externo (Balderas, idem). 

Representaciones en estudio

Representaciones Descripción

Discursivas (D) El lenguaje común

Gráficas (G) Las gráficas en cualquier tipo de coordenadas

Numéricas (N) Las cantidades y las operaciones aritméticas

Simbólicas (S) El lenguaje algebraico

Tabulares (T) Los arreglos numéricos de dos o más

entradas.

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tiempo (x)  

hrs. 

cantidad (y)  

grs. 

0  0 

0.25  3.75 

0.5  7 

0.75  9.75 

1  12 

1.25  13.75 

1.5  15 

1.75  15.75 

2  16 

2.25  15.75 

2.5  15 

2.75  13.75 

3  12 

3.25  9.75 

3.5  7 

3.75  3.75 

4  0 

(A)

(B)

12

12

xx

yy

TABLA

GRÁFICA

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Ejemplos

Integración cognitiva

• En el nivel interno y después de un proceso de lectura (de lo externo a lo interno) y escritura (de lo interno a lo externo), ocurre una integración cognitiva (Goldin and Kaput, ibidem), entre las representaciones logradas por el que aprende.

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Leer o escribir

Traducido de Goldin y Kaput (1992)

Antecedentes

Balderas, P. (2011)

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Interacción en el aprendizaje escolar(Bloome, 1992) 

• Solución de actividades en pequeños grupos

• ¿Cómo organizan los alumnos, su conocimiento, respecto a las representaciones matemáticas escolares?

Interacción de participantes en dos pequeños grupos, uso de lenguaje corporal y cinético

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Preguntas

• ¿Cómo analizar el sistema de representación del conocimiento matemático en condiciones de interacción escolar?

Metodología de análisis

• Recolección de las respuestas de los participantes a las actividades propuestas en un instrumento (estudio  naturalista, formato estudio de caso, Lincoln y Guba, 1995)

• Construcción de los mapas proposicionales (Modelo de Análisis Proposicional, MAP, Campos y Gaspar, 1995)

• Determinación de la calidad global de cada respuesta en términos del MAP (comparación de respuesta con criterio)

• Construcción de las secuencias de representaciones correspondientes a los mapas proposicionales

• Validación de las respuestas mediante entrevistas• Elaboración de las secuencias de representaciones de los integrantes de 

cada grupo,  a respuestas escritas y orales• Comparación de las secuencias de representaciones de ambos grupos,  

generadas de las respuestas escritas y orales• Elaboración de conclusiones• Elaboración de digráficas (Harary, 1965)

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Participantes Recursos  movibles Referencias  ambientalesA    alumno C    cámara  de  vídeo 1  pizarrón    (pantalla)O  observador   E    escritorio 2    ventana(posiciones  alternativas) G    grabadora  de  audio 3    entrada

V    view‐screen

A

A

A

A

A

C

V

1

E

2

GO

O

O

3

Esquema 1.- Aula

Condiciones físicas para la recolección de respuestas

Actividad:

10. Obtén las coordenadas de algunos puntos P x y2 2 2,b g "próximos" a P 1 1 12,b g ,

tanto a la izquierda como a la derecha, con la tecla TRACE de la calculadora, después de: introducir Y X X1

216 4 , ajustar la ventana de visualización a . , . . , .8 1 2 10 25 13 75 y desactivar la gráfica generada en el modo STAT1.

1.8.1. Organiza tus observaciones en la Tabla 3 y calcula el valor de h para cada

una. Tabla 3

x 2 1

h

y 2 12

Recuerda que x x h2 1 y x 1 1 .

1.8.2 ¿Cómo se comporta el valor de h cuando P 2 se aproxima a P 1 ?

1 Oprime la tecla 2nd simultáneamente con Y= para ver el menú STAT PLOTS, después 1, finalmente elige Off en Plot1.

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Construcción de mapas proposicionales  (marco interpretativo, ítem 1.8.1)

Determinación de la calidad global de la respuesta

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Registros por ítem (Diana)ITEM  PROPOSICION  CONCEPTOS  RELACIONES  REPRESENTACIONES DE LOS 

CONCEPTOS, REPRESENTACION QUE ALUDE (‐>) A OTRA REPRESENTACION, Y 

SECUENCIACION DE LAS REPRESENTATIONES 

CONEXIONES MOSTRADAS EN LA RESPUESTA AL  ITEM 

1.8.1 P1 C1: gráfica

C2: punto 1

C3: 2

C4: lado

C5: puntos más

próximos C6: 1[,]12

C7: TRACE

R1: vi

R2: y

R3: y

R4: hacia

R5: iba

R6: tomando

R7: al

R8: con

1. DG 2. NG 3. NG 4. DG 5. DG 6. SG 7. DG

D

T G

NS

P2 C8: abajo

C9: gráfica

R9: de 8. DG 9. DG

P3 C7: tecla TRACE

C10: calculadora

C11: y1

R10: de

R11: introducir 10. DG 11. DG 12. ST

P4 C12: 1,12

C8: abajo

C13: .9

C14: 11

C15: numeritos

R12: agregamos

R13: está

R14: y

R15: quité

Conexiones mostradas en la respuesta al ítem (Roky)

1.8.1 P1 C1: gráfica

C2: punto 1

C3: 2

C4: lado

C5: puntos más próximos

C6: 1[,]12

C7: TRACE

R1: vi

R2: y

R3: y

R4: hacia

R5: iba

R6: tomando

R7: al

R8: con

1. DG 2. NG 3. NG 4. DG 5. DG 6. SG 7. DG

P2 C8: abajo

C9: gráfica

R9: de 8. DG 9. DG

P3 C7: tecla TRACE

C10: calculadora

C11: y1

R10: de

R11: introducir 10. DG 11. DG 12. ST

P4 C12: 1,12

C8: abajo

C13: .9

C14: 11

C15: numeritos

R12: agregamos

R13: está

R14: y

R15: quité

D

T G

NS

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Mapa proposicional generado en la entrevista a Roky, item 1.8.2 

valor numérico

1.2

1.3 h arriba derecha izquierda

P1, 2

R1,2

R3

R4

R5

R6

R8

R7

R9

Conexiones mostradas en la respuesta al ítem

1.8.2 P1 C1: valor numérico

C2:numérico

R1: va aumentando

R2: y

R3: va disminuyendo

1. DT 2. DT

P2 C1: valor numérico

C3: 1.2

C4: 1.3

C5: h

C6: arriba

C7: derecha

C8: izquierda

R4: va aumentando

R5: de

R6: para

R7: para

R8: para

R9: va disminuyendo

3. DT 4. NT 5. NT 6. ST 7. DT, DG 8. DT 9. DT

D

T G

NS

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Secuencia de las representaciones bidimensionales mostradas en la entrevista a Roky del ítem 1.8.2

Secuencia

D

G

N

S

T

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Representaciones

Nivel Etapas

Organización 1. Transcripción de las entrevistas (ver cuadro, p. 74).

conceptual 2. Selección de las intervenciones del participante.

3. Codif icación en conceptos, relaciones, modif icadores,conectivos, y otros componentes de la respuesta.

4. Categorización en proposiciones, conceptos y relaciones(ver columnas 2, 3 y 4, p. 75).

5. Mapeo proposicional

Representación 6. Codif icación de las representaciones que el participanteuti l iza para los conceptos y las conexiones entre el las (vercolumnas 5 y 6, p. 75). Conf iguración de la respuestarelativa a las representaciones y conexiones que seestudian (digráfica correspondiente).

7. Comparación entre la demanda potencial derepresentaciones del í tem y las representaciones uti l izadaspor el participante.

Contenido 8. Contenido conceptual de la respuesta.

Análisis de los datos provenientes de la entrevista

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TRANSCRIPCIÓN DE LA SESION 5 Equipo # 2 Tema: velocidad instantánea y

razón de cambio instantáneo Fecha:jueves 23/11/95 Metodología: trabajo en equipo Horario: 9:30-10:20 P profesora Aula: 53-E A alumno(a)

Varios Todos queremos saber. Alejandro (Algo inteligible) que no es eso, que no es uno Marco Quién sabe Iván Que no es un incremento, porque si puede ser uno el incremento

sería ... si para uno es cero... entonces para uno punto dos sería... sería uno

Marco (Algo inentendible) Andrés Pero es que nada más estás tomando dos puntos ¿no? Iván No son uno y doce ¿no? Andrés Eh? Por eso... Marco No, la fórmula... Andrés Es uno y dos..., y como es x2 menos x1 Iván O sea..., entre el lapso de uno a dos si es uno Marco x... h... Iván Pero... Marco Es igual a x2 menos x1 Andrés Por eso estás introduciendo uno, porque es... la... de es el h de ese

lapso. Alejandro Ah, ya entonces aquí le faltaría... el otro punto pues Andrés No, porque nada mas... Si están bién... Marco Está bién, si introduces... Iván Si tomamos los valores de uno doce a dos dieciséis. Marco Nada más por la fórmula... Iván este... Andrés No en ese no, nada más vas a tomar el uno... Iván El h de ese punto, ese punto es de uno A mhu A Y esos los puntos que no están dando. A Pero eso es de al principio. Andrés Nada más son del uno doce y del dos dieciséis Alejandro Aja Andrés Nada más de ésos

Diego Aquí entonces sería... X tiempo y este... sustancia. Jacqueline ¿El de abajo es el tiempo? Varios Si (algo inentendible) Diego Cero, media hora, luego una hora, luego hora y media...(Jacqueline ¡ajá!),

las dos cuarenta (algo inentendible y risas). Murmullos y risas Vianey Entonces ¿de cuatro? A ¿De cuatro? Si Diego Cuatro cuadros sería un gramo [Discusión sobre la escala a utilizar en la

grática del ítem 1.5.6] (sección inentendible) A Entonces de cuatro cuadritos Vianey Pero..., no mejor de tres, para que así no quede tan... Jacqueline Pero es que va a quedar muy (algo inentendible) Diego (algo inentendible) [sostiene una plática con Iván]. Risas Rosa Entonces de tres [Acuerdo del equipo sobre la escala]

TRANSCRIPCIÓN DE LA SESIÓN 4 Equipo: 1 Tema: Ritmo de producción Fecha: jueves 9/11/95 Actividad (es): 9, Horario: 10:20-11:10 P profesora Aula: 53-E A alumno (a)

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Análisis y discusión Comparación de secuencias de representaciones

1. 8.2 Raf ae l y tod as l as in te gra nte s d el e qu i po 1 re s pon di e ron c on r epre s en tac i on es D, N y S, n o as í O m ega y Ro k y qu i en es l o h ic i er on s ól o e n for m a di s c urs i v a (grá f i c as 55 y 56 ) . Tod os lo s p ar t ic i pa nt es co n ex c ep c i ón de D ia na y Ro ky ut il i z aro n el co nc e pt o “v a l or ab s ol ut o” en f orm a di s c urs i v a. O m eg a y R ok y u s aro n el c on ce pt o “ v al or n um ér i c o” c om o s in ón i mo d e “ v al o r a bs o lu to ” , pe ro O me ga e mp l eó l o s d os . E s to s d os pa r t i c ip an te s s e d i s t i ng ui ero n tam bi é n d e lo s r e st an te s po rqu e n o me nc i on aron ex p lí c it am en te a “h” , ni a s u eq ui v al e nte x x2 1 .

Raf ae l e s q ui e n di o u na m ej or re sp ue s ta a l h ac e r u na re fe ren c ia e x pl íc i t a a l os v al ore s d e la T a bl a 3 (g uía d i dá ct i ca ) . O me ga y Rok y re s po nd ie ron d e ma ner a ge ner al d es c r i b i e ndo la v a r ia c ió n d e P2 ha ci a P1 y de P1 h ac i a P2 , a l pa rec er , tr a ns f i r i ero n el o rden e n el e je X a l os p un to s de l a g ráf i ca , si t uac i ón q ue no c or re sp on de a l as c o nd ic i on es d el í te m. Fern an do me zc l ó el c om po r tam i en to d e h c on el p unt o P2 . M i re l l e re s pon d e en

s en t i do i nv ers o po rqu e n o se ref i ere a l a v ar i ac i ón d el c am bi o s in o a l a v ar i ac i ón d e l as a bs c i sa s d e l o s pu nt os P1 y P2 .

Comparación de secuencias de representaciones

conceptos

representaciones

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D

G

NS

T

D

GN

S

TD

G

N

ST

D

GN

S

T

Diana

Viridiana

Mirelle

Grá f i c a 55. - E qu i po 1. It e m 1 .8 .2

conceptos

representaciones

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

D

GNSTDG

NSTDGN

STDGNS

T

Omega

Fernando

Rafael

Roky

G ráf i c a 5 6. - E qu ip o 2. I t em 1. 8. 2

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Comparación de las digráficas

Este ítem, como material de aprendizaje potencial (Ausubel, 1973), planteó una cuestión sobre una actividad que involucró representaciones D. G, N, S y T, y respecto a ellas Diana, Viridiana, Mirelle y Rafael exhibieron una configuración de cuatro puntos, no reflejaron la representación G como requiere la demanda representacional del ítem. Omega fue el único que mostró la conexión  DGS con lo que refleja la (DR).

ITEM Aponte Barrientos De Jesús García F. Moreno Morán Olvera 1.8.2

D

T G

NS

D

T G

NS

D

T G

NS

D

T G

NS

D

T G

NS

D

T G

NS

D

T G

NS

Resultados

• Los participantes mostraron configuraciones (digráficas) fuertemente conectadas, de donde se infirió que la integración cognitiva entre las cinco representaciones en estudio tuvo lugar. 

• Las respuestas de los participantes a las actividades desarrolladas individualmente (segunda parte del material de aprendizaje), confirmaron los recursos de representación mostrados durante el trabajo en pequeños grupos.

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Resultados

• Las diferencias entre las configuraciones de los participantes de dos pequeños grupos se atribuyen a la calidad y profundidad de la discusión derivada de la interacción.

Implicaciones

• Los sistemas de representación individuales, alcanzados durante el trabajo en pequeños grupos suelen ser sólidos.

• En la planeación de los cursos (actividades de aprendizaje y de evaluación). 

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Referencias

• Ausubel, D.  (1973)  Aspectos psicológicos de la estructura del conocimiento. En S. Elam (ed.), Educación y estructura del conocimiento, Buenos Aires, Ateneo,  211‐238.

• Balderas, P. (1998) La representación y el razonamiento visual en la enseñanza de la matemática. Tesis doctoral, UNAM.

• Balderas, P. (2011) Modelación de las representaciones matemáticas generadas por la interacción en pequeños grupos. En Balderas, P. y Sánchez, G. (coords.) Ingeniería de Sistemas. Investigación e Intervención. México: Facultad de Ingeniería – Plaza y Valdés.  ISBN: 978‐607‐402‐394‐7 (Plaza y Valdés), 978‐607‐02‐2408‐9 (UNAM), 67 – 92.  http://www.plazayvaldes.com.mx/libro/ingenieria‐de‐sistemas/1802/

• Bloome, D. (1992) Interacción e intertextualidad en el estudio de la lectoescritua en las aulas: el microanálisis como una tarea teórica.  En M. Rueda y M. Campos (eds.), Investigación Etnográfica en Educación, México, UNAM, p. 123‐180.

• Campos, M.A. y Gaspar, S. (1995b) The Propositional Analysis Model: Semantic Analysis of Correspondence in Knowledge Construction. Reportes de investigación. México, IIMAS‐UNAM, (5), 49, octubre.

• Goldin, G. y Kaput, J.  (1992) A joint perspective on the idea of representation in learning and doing mathematics. Rutgers University  and University of Massachusetts, mecanoescrito.

• Harary, F., Norman, R. y Cartwright, D. (1965) Structural Models: An introduction to the Theory of Directed Graphs. New York, John Wiley & Sons, Inc.

• Lincoln, Y. y Guba, E.  (1985) Naturalistic inquiry. Newbury Park, Sage Publications.• Postic, (1996)