CAPITULO III

ANILLOSRodrigo Vargas

1. Anillos y Homomorfismos

1. (a) Sea G un grupo abeliano (aditivo). Definimos una operacion de mul-

tiplicacion en G por ab = 0 (para todo a, b ∈ G). Enonces G es un

anillo.

(b) Sea S el conjunto de todos los subconjuntosde algun conjunto U fijo.

Para A, B ∈ S, defina A + B = (A − B) ∪ (B − A) y AB = A ∩B. Entonces S es un anillo. ¿Es S conmutativo? ¿Tiene elemento

unidad?

Solucion:

(a) Tenemos que (ab)c = 0 · c = 0 = a · 0 = a(bc) y el producto es

asociativo, de manera similar para la ley de distribucion a(b + c) =

0 = 0 + 0 = ab + ac . Por lo tanto, G es un anillo.

(b) (i) (S, +) es grupo abeliano.

[A + B] + C = [(A − B) ∪ (B − A)] + C

=

Existe φ ∈ S tal que

A + φ = (A − φ) ∪ (φ − A) = (A ∩ S) ∪ (φ ∩ Ac) = A ∪ φ = A

Para todo A ∈ S existe B = A ∈ S tal que

A + B = A + A = (A − A) ∪ (A − A) = φ

A+B = (A−B)∪ (B −A) = (B−A)∪ (A−B) = B +A luego

S es abeliano.

(ii) Asociatividad de la multiplicacion

(AB)C = (A∩B)C = (A∩B)∩C = A∩ (B∩C) = A(B∩C) =

A(BC)

1

(iii) Ley de distribucion

A(B + C) = A((B − C) ∪ (C − B))

= A ∩ ((B − C) ∪ (C − B))

= (A ∩ (B − C)) ∪ (A ∩ (C − B))

= (A ∩−A ∩ C) ∪ (A ∩ C − A ∩ B)

= A ∩ B + A ∩ C

= AB + AC

2. Sea {Ri | i ∈ I} una familia de anillos con unidad. Hacemos la suma

directa de grupos abelianos∑

i∈I

Ri sobre un anillo definiendo la multipli-

cacion coordenada a coordenada. ¿Tiene∑

i∈I

Ri unidad?

Solucion: Sean 1i la unidad del anillo Ri y xi ∈ Ri, con i ∈ I entonces

el elemento∑

i∈I 1i satisface

(∑

i∈I

xi

)(∑

i∈I

1i

)

=∑

i∈I

xi · 1i =∑

i∈I

xi

Luego,∑

i∈IRi tiene unidad.

3. Un anillo R tal que a2 = a para todo a ∈ R es llamado un anillo Booleano.

Pruebe que todo anillo Booleano R es conmutativo y a+ a = 0 para todo

a ∈ R.

Solucion: Para cada a ∈ R se tiene que

a = a2 = aa = (−a)(−a) = (−a)2 = −a .

Sean a, b ∈ R entonces

a + b = (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 = a + ab + ba + b

cancelando se obtiene que ab + ba = 0, es decir, ab = −ba = ba luego R

es conmutativo y ademas

a + a = (a + a)2 = a2 + a2 + a2 + a2 = a + a + a + a ⇒ a + a = 0 .

2

4. Sea R un anillo y S un conjunto no vacio. Entonces el grupo M(S, R)

es un anillo con la multiplicacion definida como sigue: el producto de

f, g ∈ M(S, R) es la funcion S → R dada por s 7→ f(s)g(s).

Solucion: Sabemos que M(S, R) es un grupo conmutativo. Ahora bien,

dados f, g, h ∈ M(S, R) se tiene

((f · g) · h)(s) = (f · g)(s)h(s) = (f(s)g(s))h(s)

= f(s)(g(s)h(s)) = f(s)(g · h)(s) = (f · (g · h))(s)

pues el producto en R es asociativo, entonces el producto definido en

M(S, R) es asociativo. Lo mismo ocurre con la ley de distribucion.

5. Si A es el grupo abeliano Z⊕

Z, entonces End A es un anillo no conmu-

tativo.

6. Un anillo finito con mas de un elemento y sin divisores de cero es un anillo

de division.

7. Sea R un anillo con mas de un elemento tal que para cada elemento no

cero a ∈ R existe un unico b ∈ R tal que aba = a. Pruebe:

(a) R no tiene divisores de cero.

(b) bab = b.

(c) R tiene unidad.

(d) R es un anillo de division.

Solucion:

(a) Si ax = 0 (o xa = 0) con a 6= 0 entonces axa = 0 · a = 0, sabemos

que existe un unico b tal que aba = a luego

a = aba = aba + axa = a(b + x)a

por unidad de b implica que b = b + x ⇒ x = 0. Luego, R no tiene

divisores de cero.

(b) Basta notar que

0 = aba − a = b(aba − a) = baba − ba = (bab − b)a

como a 6= 0 y R no tiene divisores de cero por (a) implica que bab = b.

3

(c) Dado a ∈ R con a 6= 0 existe un unico b ∈ R tal que aba = a.

Sea x ∈ R entonces xaba = xa y como R no tiene divisores de cero

entonces vale la ley de cancelacion entonces xab = x y ab es unidad

izquierda. Similarmente, aba = a ⇒ abax = ax ⇒ bax = x y ba es

unidad derecha.

(d) Como la unidad derecha es igual a unidad izquierda, entonces tenemos

que ab = ba = 1 de donde b = a−1 y R es anillo de division.

8. Sea R el conjunto de todas las matrices 2× 2 sobre el cuerpo complejo C

de la forma (

z w

−w z

)

,

donde z, w son el conjugado complejo de z y w respectivamente (esto es,

c = a + b√−1 ⇔ c = a− b

√−1). Entonces R es un anillo de division que

es isomorfo al anillo de division K de los cuaterniones reales.

9. (a) El subconjunto G = {1,−1, i,−i, j,−j, k,−k} de el anillo de division

K de los cuaterniones reales forma un grupo bajo la multiplicacion.

(b) G es isomorfo al grupo cuaternion.

(c) ¿Cual es la diferencia entre el anillo K y el grupo anillo R(G) (R el

cuerpo de los numeros reales)?

10. Sea k, n enteros tales que 0 ≤ k ≤ n y

(n

k

)

el coeficiente binormal

n!/(n − k)!k!, donde 0! = 1 y para n > 0, n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1.

(a)

(n

k

)

=

(n

n − k

)

(b)

(n

k

)

<

(n

k + 1

)

para k + 1 ≤ n/2.

(c)

(n

k

)

+

(n

k + 1

)

=

(n + 1

k + 1

)

para k < n.

(d)

(n

k

)

es un entero.

(e) si p es primo y 1 ≤ k ≤ pn − 1, entonces

(pn

k

)

es divisible por p.

4

Solucion

(a) Se tiene que(

n

n − k

)

=n!

(n − (n − k))!(n − k)!=

n!

k!(n − k)!=

(n

k

)

.

(b) Notemos que(

n

k + 1

)

=n!

(n − k − 1)!(k + 1)!=

n!

(n − k)!k!· n − k

k + 1=

(n

k

)n − k

k + 1,

por hipotesis n/(k + 1) ≥ 2 y k/(k + 1) < 1 entonces basta observar

n − k

k + 1=

n

k + 1− k

k + 1≥ 2 − 1 = 1 .

(c)(

n

k

)

+

(n

k + 1

)

=n!

(n − k)!k!+

n!

(n − k − 1)!(k + 1)!

=n!(k + 1 + n − k)

(n − k)!(k + 1)!

=(n + 1)!

(n − k)!(k + 1)!=

(n + 1

k + 1

)

11. Sea R un anillo conmutativo con unidad de caracteristica prima p. Si

a, b ∈ R, entonces (a ± b)pn

= apn ± bpn

para todo entero n ≥ 0.

Solucion: Sabemos por problema 10.(e) que si p es primo y 1 ≤ k ≤ pn−1

entonces p divide a

(pn

k

)

, como R es de caracteristica p implica que(

pn

k

)

= 0. Ahora bien, usando el Teorema binomial

(a ± b)pn

=

pn

∑

k=0

(pn

k

)

(±1)pn−kakbpn

−k

=

(pn

0

)

︸ ︷︷ ︸

1

(±1)pn

bpn

+

pn−1∑

k=1

(pn

k

)

︸ ︷︷ ︸

0

(±1)pn−kakbpn

−k +

(pn

pn

)

︸ ︷︷ ︸

1

apn

= apn ± bpn

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12. Un elemento de un anillo es nilpotente si an = 0 para algun n. Pruebe

que en un anillo conmutativo a+b es nilpotente si a y b lo son. Demuestre

que este resultado es falso si R no es conmutativo.

13. En un anillo R las siguientes condiciones son equivalentes.

(a) R no tiene elementos nilpotentes no cero.

(b) Si a ∈ R y a2 = 0, entonces a = 0.

Solucion Supongamos que existe a ∈ R tal que an = 0 para algun n ∈ N,

donde n es el mınimo natural con esta propiedad. Si n = 2k entonces se

tiene que b = ak satisface b2 = 0 pero b 6= 0 lo que es una contradiccion.

Si n = 2k − 1 entonces an+1 = 0 y b = ak satisface b2 = a2k = an+1 = 0

pero b 6= 0 lo que es una contradiccion. Reciprocamente, supongamos que

existe a ∈ R con a2 = 0 y a 6= 0 entonces a ∈ R es elemento nilpotente

distinto de cero, luego R posee un elemento nilpotente distinto de cero.

14. Sea R un anillo conmutativo con unidad y de caracteristica primo p. La

aplicacion R → R dada por r 7→ rp es un homomorfismo de anillos lla-

mado el homomorfismo de Frobenius.

Solucion: Sea ϕ : R → R el homomorfismo dado por ϕ(r) = rp, da-

dos r, s ∈ R por problema 11 se tiene que

ϕ(r + s) = (r + s)p = rp + sp = ϕ(r) + ϕ(s)

y ademas como R es conmutativo ϕ(rs) = (rs)p = rpsp = ϕ(r)ϕ(s).

Luego ϕ es un homomorfismo.

15. (a) De un ejemplo de un homomorfismo no cero f : R → S de anillos con

unidad tal que f(1R) 6= 1S.

(b) Si f : R → S es un epimorfismo de anillos con unidad, entonces

f(1R) = 1S.

(c) Si f : R → S es un homomorfismo de anillos con unidad y u es una

unidad de R tal que f(u) es unidad en S, entonces f(1R) = 1S y

f(u−1) = f(u)−1.

6

16. Sea f : R → S un homomorfismo de anillos tal que f(r) 6= 0 para algun

r ∈ R no cero. Si R tiene una unidad y S no tiene divisores de cero,

entonces S es un anillo con unidad f(1R).

17. (a) Si R es un anillo, entonces Rop es definido como sigue. El conjunto

base de Rop es precisamente R y la adicion en Rop coincide con la

adicion en R. Multiplicar en Rop, denotado por ◦, es definido por

a ◦ b = ba, donde ba es el producto en R. Rop es llamado el anillo

opositor de R.

(b) R tiene unidad si y solo si Rop lo tiene.

(c) R es anillo de division si y solo si Rop lo es.

(d) (Rop)op = R.

(e) Si S es un anillo, entonces R ∼= S si y solo si Rop ∼= Sop.

18. Sea Q el cuerpo de los numeros racionales y R cualquier anillo. Si

f, g : Q → R son homomorfismos de anillos tal que f | Z = g| Z entonces

f = g.

Solucion: Sabemos que f(n) = g(n) para todo n ∈ Z. Notemos que

f(1) = g(1) = g(n

n

)

= g(n)g

(1

n

)

= f(n)g

(1

n

)

usando esta igualdad obtenemos que

f

(1

n

)

= f

(1

n

)

f(1) = f

(1

n

)

f(n)g

(1

n

)

= f(1)g

(1

n

)

= g(1)g

(1

n

)

= g

(1

n

)

Por lo tanto, para todo q = mn∈ Q tenemos que

f(q) = f(m

n

)

= f(m)f

(1

n

)

= g(m)g

(1

n

)

= g(m

n

)

= g(q) .

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