anillos de grupo simples y semisimples … tulo 1 introducci on uno de los objetos matem aticos en...

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SAN LUIS POTOSI

FACULTAD DE CIENCIAS

TESIS DE LICENCIATURA

ANILLOS DE GRUPOSIMPLES Y SEMISIMPLES

ALUMNA:

Ma. Guadalupe Sanchez Lopez

ASESOR DE TESIS:

Alvaro Perez Raposo

Enero de 2008

Indice general

Resumen V

1. Introduccion 1

2. Modulos y anillos 52.1. Elementos de la teorıa de modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Anillos vistos como modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Anillos de grupo semisimples 193.1. Grupo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2. Grupo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4. Anillos de grupo simples 25

5. Conclusiones 27

iii

iv INDICE GENERAL

Resumen

Este trabajo es sobre anillos de grupos. Un anillo de grupo es un objetoconstruido a partir de un anillo y un grupo. La estructura resultante es unanillo que, en particular, contiene al anillo y al grupo con los que se construyo.

Uno de los objetivos de la teorıa de anillos es clasificar estos objetos. Puestoque los anillos mas sencillos son los simples y, despues, los semisimples, deseamosbuscar los anillos de grupo que sean simples y semisimples.

En este trabajo de tesis se caracterizan completamente los anillos y los grupostales que el anillo de grupo resultante es semisimple y, en particular, simple. Paraello se utilizan elementos de la teorıa de anillos, de la teorıa de grupos, ası comode la teorıa de modulos.

v

vi RESUMEN

Capıtulo 1

Introduccion

Uno de los objetos matematicos en el que tanto la teorıa de anillos como lateorıa de grupos son protagonistas es el anillo de grupo. Los anillos de grupo sedefinen de la siguiente manera:

Definicion 1.1. Dados un anillo A y un grupo G, definimos el conjunto

AG ={∑g∈G

agg|ag ∈ A, ag = 0 excepto una cantidad finita}

y definimos las operaciones:

Suma: ∑g∈G

agg +∑g∈G

bgg =∑g∈G

(ag + bg)g.

Producto: (∑g∈G

agg

) (∑h∈G

bhh

)=∑g,h∈G

(agbh)gh.

El conjunto AG con sus dos operaciones es anillo, y se le llama anillo degrupo. Este sera nuestro objeto de estudio.

Es necesario resaltar que en la definicion anterior no necesariamente G de-be ser un grupo, sino solamente un semigrupo S, ya que con esto se cumpletotalmente lo requerido para ser anillo. La asociatividad de S implica la asocia-tividad del producto de AS. Por otro lado si se considera un monoide M y Aanillo con identidad, el anillo AM resultante es un anillo con identidad. Pero si,finalmente G es grupo, en el anillo resultante AG tenemos que G es subgrupode U(AG), el grupo de unidades AG. Esto se puede ver por el homomorfismoinyectivo

φ : G −→ AGg 7−→ 1g,

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCCION

donde 1 es el elemento identidad de A y todo elemento de φ(G) es unidad deAG. Por lo anterior solo consideraremos anillos de grupo, AG, y el anillo A conidentidad.

Por ejemplo, el anillo de grupo Z2C2, donde Z2 = {0, 1} es el anillo de losenteros modulo 2 y C2 = {1, a}, con a2 = 1, es el grupo cıclico de orden 2.

Sus elementos estan dados de la siguiente manera:

Z2C2 = {m1 + na|m,n ∈ Z2}

= {01 + 0a, 11 + 0a, 01 + 1a, 11 + 1a}

= {0, 1, a, 1 + a}.

Las operaciones de suma y producto quedan del siguiente modo:

+ 0 1 a 1 + a0 0 1 a 1 + a1 1 0 1 + a aa a 1 + a 0 1

1 + a 1 + a a 1 0

∗ 0 1 a 1 + a0 0 0 0 01 0 1 a 1 + aa 0 a 1 1 + a

1 + a 0 1 + a 1 + a 0

En este ejemplo se puede observar trivialmente que C2 = U(Z2C2).Por otra parte el anillo A es subanillo de AG, dado por el homomorfismo

inyectivo

ψ : A −→ AGa 7−→ a1

con 1 la identidad de G. Esto tambien se puede ver en el ejemplo anterior.Cuando el grupo es el grupo trivial, G = {1}, ψ es biyectivo por lo que esisomorfismo de anillos y A ≈ AG. Por tanto no consideraremos el grupo trivial.

De lo anterior se tiene que dado un anillo A y un grupo G, se puede obtenerun anillo y un grupo mas grande que los ya dados por medio del anillo de grupoAG generado por ambos.

La teorıa de anillos de grupo consiste, esencialmente, en estudiar las rela-ciones entre las propiedades del anillo de grupo AG y las propiedades de suscomponentes, el anillo y el grupo. He aquı un ejemplo sencillo.

Proposicion 1.2. La caracterıstica del anillo de grupo AG coincide con la delanillo A

3

Demostracion. Sea n la caracterıstica de AG, a =∑g∈G agg. Entonces

na = 0.

Por otro lado tambien se tiene que

na = a+ · · ·+ a︸︷︷︸n veces

=∑g∈G

agg + · · ·+∑g∈G

agg︸︷︷︸n veces

=∑g∈G(ag + · · ·+ ag︸︷︷︸

n veces

)g.

Entonces se tiene queag + · · ·+ ag︸︷︷︸

n veces

= 0,

para cualquier ag ∈ A, por lo que carA|n. Analogamente si carA = m setiene obviamente que para todo a ∈ AG ma = 0, de donde n|m. Por lo tanton = m.

Un objetivo de la teorıa de anillos es la clasificacion de sus objetos de estudio.En particular, los anillos mas sencillos son los simples y los semisimples. Enel area de los anillos de grupo surge naturalmente el problema de clasificarestos objetos en las categorıas habituales de la teorıa de anillos. Hay grandesaportaciones en la investigacion de la clasificacion de anillos de grupo (Teoremade Rickart, Amitsur, Passman [2] y [3]). Un resultado clasico es el teorema deMaschke [1] que dice: sea G un grupo finito de orden o(G) y sea K un cuerpode caracterıstica 0 o p donde p - o(G). Entonces KG es semisimple.

Este clasifica solo a una parte de los anillos de grupos que cumplen sersemisimples, aunque no especifica si alguno de ellos es simple ni que ocurre sip|o(G), si G es infinito o para anillos que no sean cuerpo. De lo anterior surgela curiosidad de saber que anillos de grupo son semisimples o simples, o bajoque condiciones esto es posible. Nuestro objetivo es caracterizar a los anillos Ay grupos G tales que AG es semisimple y en particular simple.

El trabajo esta desarrollado de la siguiente manera.Es importante resaltar la relacion de los anillos con identidad con la teorıa

de modulos. Dado un anillo A, este es visto como A-modulo, por lo que todoslos resultados de modulos pueden aplicarse a dicho anillo. Un anillo de grupoAG se puede considerar A-modulo, lo cual permite aplicar los resultados de lateorıa de modulos a los anillos de grupo.

En el capıtulo 2 se daran a conocer herramientas necesarias para este trabajo,ası como la relacion de los anillos y los modulos. Tambien daremos algunas dife-rencias existentes entre estos dos objetos, como la que existe entre los modulossimples y los anillos simples.

4 CAPITULO 1. INTRODUCCION

En el capıtulo 3 se caracteriza a los anillos A y grupos G tales que AG essemisimple. Para ello se analizan por separado dos casos: G infinito y G finito.

En el capıtulo 4 se estudia si alguno de los anillos de grupo semisimples es,ademas, simple.

Por ultimo, en el capıtulo 5 se da a conocer de manera resumida las conclu-siones obtenidas en este trabajo de tesis.

Capıtulo 2

Modulos y anillos

En este capıtulo se ve que un modulo es similar a un anillo en tanto quees una estructura con dos operaciones, pero con una diferencia, ya que unaoperacion no es interna; requiere de un conjunto externo el cual es anillo conidentidad.

La relacion existente de los anillos con los modulos se da cuando el anillo Atiene elemento identidad, ya que teniendo esta propiedad el anillo es visto comoA-modulo. Con esta relacion podemos utilizar todos los resultados de modulosy aplicarlos, en particular, a los anillos de grupo.

Para ello se comienza por dar conceptos basicos de la teorıa de modulos.Despues, continua con conceptos basicos de la teorıa de anillos junto con pro-piedades de los anillos vistos como modulos. Todo este capıtulo esta basado enla referencia [5].

2.1. Elementos de la teorıa de modulos

En esta seccion se dan algunos conceptos basicos de la teorıa de modulosnecesarios para este trabajo. Como primera definicion y parte clave para noso-tros, la de modulo. Con ella, en la siguiente seccion se ve con mas facilidad larelacion que existe entre los anillos con identidad y los modulos.

Definicion 2.1. Un conjunto M es un modulo izquierdo sobre el anillo A conidentidad, o A-modulo izquierdo, si tiene definidas dos operaciones, una opera-cion suma, +, que es binaria cerrada, y una operacion producto por escalares,de la forma A×M −→M , que a cada pareja (a,m) asigna el elemento am ∈My se verifica:

1. (M,+) es grupo abeliano, con neutro 0.

2. El producto por escalares satisface: ∀a, b ∈ A,∀m ∈M

i) asociatividad:a(bm) = (ab)m.

5

6 CAPITULO 2. MODULOS Y ANILLOS

ii) unitario: Si 1 ∈ A es el elemento identidad de A,

1m = m.

3. Leyes distributivas: ∀a, b ∈ A,∀m,n ∈M

a(m+ n) = am+ an,

(a+ b)m = am+ bm.

A partir de aquı, entenderemos que A-modulo significara A-modulo izquier-do. Cabe mencionar que un subconjunto N ⊂M del A-modulo M es submodulosi, con las operaciones de M , es A-modulo. Sin embargo, se puede caracterizarcomo subconjunto no vacıo, cerrado bajo la suma de M y cerrado bajo el pro-ducto por escalares. Trivialmente, todo A-modulo M tiene como submodulos ası mismo y el modulo trivial {0}, que denotaremos simplemente como 0.

Ejemplo 2.2. Z2, pares de enteros, con suma por componentes y producto porescalares de Z, tambien por componentes, es un Z-modulo.

Dos A-modulos se pueden comparar mediante los homomorfismos que, comoen cualquier estructura algebraica, son funciones que respetan las operaciones.Los resultados habituales para homomorfismos de grupos se cumplen tambienen modulos.

Una diferencia entre los anillos y los modulos es el cociente, ya que el cocientede un modulo con cualquier submodulo tiene estructura de modulo. En los anillossin embargo no todo cociente con un subanillo da lugar a un anillo, solo loscocientes con ideales.

De manera semejante, al resultado sobre la descomposicion de un grupo enproducto directo de subgrupos, tenemos la siguiente proposicion.

Proposicion 2.3. Si el modulo M es suma directa de sus submodulos N1 y N2

entonces M/N1 ≈ N2 y M/N2 ≈ N1.

Demostracion. Sean los homomorfismos

ϕ : N1 ⊕N2 → N1

(a1, a2) 7→ a1

ψ : N1 ⊕N2 → N2

(a1, a2) 7→ a2

Dado que tanto Kerϕ = 0×N2 ≈ N2 e Imϕ ≈ N1, entonces por el teorema delisomorfismo se tiene lo deseado. Igualmente para ψ.

Otra herramienta necesaria sera la de base de un modulo, que funciona igualque en los espacios vectoriales. Primero se dara a conocer que es un conjuntolinealmente independiente y que es un conjunto generador.

Definicion 2.4. Un subconjunto S de un modulo es linealmente independientesi las unicas combinaciones lineales de elementos de S que resultan en cero sonlas de coeficientes nulos. El subconjunto es linealmente dependiente si no eslinealmente independiente.

2.1. ELEMENTOS DE LA TEORIA DE MODULOS 7

El concepto de conjunto generador existe en todas las estructuras algebrai-cas.

Definicion 2.5. Un subconjunto S de un modulo M es generador si el conjuntode todas las combinaciones lineales construidas con elementos de S es todo elmodulo. Si existe un conjunto generador finito se dice que M es finitamentegenerado.

Con las dos definiciones anteriores se define a continuacion el concepto debase para modulos.

Definicion 2.6. Un subconjunto B de un modulo es base si es linealmenteindependiente y generador.

La diferencia entre espacio vectorial y modulo es que todo espacio vectorialtiene base, en cambio para modulos no es ası. Por ello los que sı tienen basereciben un nombre: modulo libre.

Definicion 2.7. Un modulo se llama libre si posee una base.

Ejemplo 2.8. Z2 es un Z-modulo libre, pues {(1, 0), (0, 1)} es una base.

Veremos que dado un conjunto cualquiera se puede construir un A-modulolibre que tiene como base a dicho conjunto.

Sea B un conjunto arbitrario. Definamos LB como:

LB =

{∑b∈B

αbb|αb ∈ A,αb = 0 excepto una cantidad finita

}con dos operaciones:

suma: ∑b∈I

αbb+∑b∈B

βbb =∑b∈B

(αb + βb)b,

producto por escalares: sea γ ∈ A

γ

(∑b∈B

αbb

)=∑b∈B

(γαb)b.

Es facil ver que este conjunto LB es un A-modulo libre con base B y viceversa:todo A-modulo libre con base B es isomorfo a LB (bajo el isomorfismo que dejafijo a B).

El prototipo de A-modulo libre es el de la forma An = A × · · · × A o masgeneral

A(B) = {f : B → A|f(b) = 0,∀b ∈ B, excepto una cantidad finita}.

Es facil ver que el conjunto A(B) es A-modulo con la suma y producto porescalares puntual es libre, pues el conjunto {fb|b ∈ B} donde fb(b) = 1 y fb(c) =0 si c 6= b, es base de A(B) (base canonica). El conjunto A(B) se llama sumadirecta.


Proposicion 2.9. Todo A-modulo libre con base B es isomorfo a A(B).

Demostracion. Por lo dicho antes, basta por ver que LB es isomorfo a A(B).Definamos el A-homomorfismo de la siguiente manera:

φ : A(B) → LBf 7→

∑b∈B f(b)b.

el cual es inyectivo, ya que Kerφ = 0, y sobreyectivo. Por lo tanto A(B) ≈LB .

Con lo anterior estamos listos para probar que todo A-modulo M es cocientede un A-modulo libre.

Proposicion 2.10. Todo A-modulo es cociente de un A-modulo libre.

Demostracion. Sea M un A-modulo. Construiremos el A-modulo libre sobre My lo llamaremos LM .

LM =

{∑m∈M

αmm|αm ∈ A,αm = 0, excepto una cantidad finita

}.

Observese que estas combinaciones lineales son formales, es decir, no hacemosla operacion. Ahora definimos el A-homomorfismo

φ : L → M∑m∈M αmm 7→

∑m∈M αmm

,

donde ahora, en el conjunto imagen, sı efectuamos la operacion. Es claro que φes epimorfismo. Entonces, por el teorema del isomorfismo,

M ≈ LM/Kerφ.

Ojo, el cociente de un A-modulo libre M no tiene porque ser libre.

Ejemplo 2.11.Zn = Z/nZ,

no es libre como Z-modulo, porque cualquier elemento de Zn multiplicado porel escalar n resulta 0 ya que la caracterıstica de Zn es n.

Por lo tanto Zn no es Z-modulo libre, ya que no tiene ningun conjuntolinealmente independiente.

Otras herramientas de modulos que seran utiles en el estudio de anillossemisimples son el radical y el anulador.

Definicion 2.12. El radical R(M) de un A-modulo M es la interseccion detodos los submodulos maximales de M .


Definicion 2.13. El anulador an(M) de un A-modulo M es el subconjunto deA formado con todos los elementos a ∈ A tales que am = 0 para toda m ∈M .

Es facil ver que an(M) es ideal bilateral de A.

Ejemplo 2.14. El conjunto Zn = {0, 1, . . . , n − 1} con la suma modulo n yproducto por escalares de Z tambien modulo n es un Z-modulo y su anulador esan(Zn) = nZ.

Por lo anterior se pueden consideran algunas clasificaciones de los modulos,como los A-modulos simples y los semisimples.

Definicion 2.15. Un A-modulo se llama simple si es distinto de cero y susunicos submodulos son el mismo y el modulo 0.

Esta definicion, como nos daremos cuenta, es muy parecida a la de anillossimples. Pero cabe destacar que no necesariamente una implica a la otra, estolo daremos a conocer en la siguiente seccion.

Otra propiedad de los modulos similar a la de grupos y anillos es la siguiente:

Proposicion 2.16. Sea M un A-modulo y N un submodulo maximal (no conte-nido propiamente en otro submodulo propio de M). Entonces M/N es A-modulosimple.

Demostracion. Sea B ⊂M/N submodulo, B 6= 0.Consideremos γ : M →M/N el A-homomorfismo canonico, entonces γ−1(B)

es submodulo de M . Por lo que N ( γ−1(B), pero N es maximal entoncesγ−1(B) = M . Por lo tanto B = M/N , M/N es simple.

Los modulos simples son, como su nombre indica, los mas sencillos. A con-tinuacion definimos los modulos semisimples, que podemos verlos como los quesiguen a los simples en sencillez.

Definicion 2.17. Un A-modulo M se llama semisimple si M es suma directade submodulos simples de M.

De manera equivalente, un modulo semisimple se puede definir como sumade submodulos simples o si todo submodulo de el es sumando directo de elmismo.

Antes de enunciar la proposicion, sera nesesario dar a conocer dos lemas degran utilidad para la prueba de esta.

Lema 2.18. Si N es un A-modulo, N1 y N2 submodulos tales que N = N1⊕N2

y N1 es maximal, entonces N2 es minimal(o simple, es decir, no tiene submodu-los).

Demostracion. Supongamos que P es submodulo propio no trivial de N2. En-tonces N1 ⊕ P es submodulo propio de N y contiene a N1 propiamente, lo cualcontradice que N1 es maximal.


Lema 2.19. Si N es un A-modulo no trivial y finitamente generado entoncestiene un submodulo maximal.

Demostracion. Para demostrar este lema haremos uso del lema de Zorn. Cons-truyamos el conjunto de los submodulos propios de N ,

Z = {P ≤ N |P 6= N},

el cual ordenamos por inclusion de conjuntos. Notemos que Z 6= ∅, ya que elsubmodulo trivial se encuentra en Z. Ahora probemos que toda cadena de Zesta acotada. Sea C ⊂ Z una cadena (es decir, C esta formada por submodu-los propios de N tales que dos cualesquiera son comparables, es decir uno essubmodulo del otro o viceversa). Entonces

Q = ∪P∈CP,

es una cota superior de la cadena, por lo que bastarıa con demostrar que Qesta en Z.

Para que Q este en Z, Q debe ser submodulo de N y ser propio.Para esto basta con ver que es cerrado bajo suma y producto. Sean q1, q2 ∈ Q.

Entonces q1 ∈ P1 y q2 ∈ P2 para algunos P1 y P2 de la cadena C. Pero por sercadena, P1 ⊂ P2 (o viceversa). En tal caso, q1, q2 ∈ P2 y, por tanto, q1 + q2 ∈P2 ⊂ Q. Luego Q es cerrado bajo suma. Sea a ∈ A entonces aq1 ∈ P1 ⊂ Q. Porlo tanto Q es submodulo.

Q es propio. Supongamos que no, entonces Q = N . Sea {n1, . . . , nk} unconjunto generador de N . Entonces, por un argumento similar al de antes,n1, . . . , nk ∈ P para algun P de la cadena C. Pero, en tal caso P serıa todoN , en contradiccion con que P es submodulo propio. Entonces por el lema deZorn Z tiene un elemento maximal.

Ahora ya estamos listos para enunciar y demostrar la siguiente proposicion.

Proposicion 2.20. Sea M un A-modulo. Las tres condiciones siguientes sonequivalentes:

1. M es semisimple.

2. M es suma de submodulos simples.

3. Todo submodulo de M es sumando directo de M .

Demostracion. Por la definicion 2.17 se sigue que (1) implica (2). Tambien esfacil ver que (2) implica (1) ya que, si M es suma de submodulos simples, bastafijarse con las intersecciones de estos; puesto que son simples, las interseccionesdeben ser todas 0, luego la suma es directa.

Supongamos ahora que (2) es valida y sea

M =∑α∈S

Mα (Mα submodulo simple).


Supongamos M′

un submodulo de M . Demostraremos que M′

es sumandodirecto de M , lo que implica que (3) se cumple.

Construyamos

ζ = {L ⊂ S|M′+∑α∈L

Mα es suma directa}.

La familia ζ ordenada por inclusion satisface las hipotesis del lema de Zorn.Primero ζ 6= ∅, dado que ∅ ∈ ζ. Sea D ⊂ ζ una cadena. Entonces Q = ∪P∈DPes una cota superior de la cadena por lo que D es acotada, ahora solo faltarıapor ver que Q este en ζ, es decir, que M ′ +

∑α∈QMα es suma directa. Por lo

dicho anteriormente, es claro que∑α∈QMα es suma directa. Entonces solo hay

que comprobar que M ′ ∩∑α∈QMα = 0.

Ahora bien, cada elemento m ∈ M ′ ∩∑α∈QMα pertenece a

∑α∈QMα.

Por ser suma directa, esta en∑α∈RMα, con R ⊂ Q y R finito. Entonces existe

P ∈ D que contiene a R luego m ∈∑α∈P Mα y, puesto que M ′∩

∑α∈P Mα = 0

(pues P ∈ ζ) tenemos m = 0. Luego por el lema de Zorn contiene un elementomaximal. Sea L0 dicho maximal en ζ y

M′′

= M′⊕⊕α∈L0

Mα = M′+∑α∈L0

Mα.

Si β /∈ L0, Mβ ∩M′′ 6= 0, pues, de lo contrario, L0 no serıa maximal. Entonces,

por ser Mβ simple, Mβ ∩M′′

= Mβ , es decir, Mβ ⊂M′′. Por tanto, Mα ⊂M

′′

para toda α ∈ S, de donde M ⊂M ′′y M = M

′′, o sea, M es una suma directa

de M′

y otro submodulo de M .Demostremos que (3) implica (1). Supongamos que todo submodulo de M

es sumando directo y veamos que M es semisimple.Sea {Mα}α∈I la familia de submodulos simples deM . Por hipotesis,

∑α∈IMα

es sumando directo de M , luego

M = M ′ ⊕∑α∈I

Mα.

Ahora veamos que M ′ = 0.Supongamos que M ′ es no trivial, entonces contiene un elemento m 6= 0 y

con el generamos un submodulo de M ′, llamemoslo N . Por ser sobmodulo de M ′

tambien lo es de M y, por lo tanto es sumando directo. Entonces M ′ = N ⊕N ′,donde N ′ es otro sobmodulo de M ′.

Ahora, dado que N es finitamente generado por lema 2.19, contiene unsubmodulo maximal, llamemoslo N1, el cual tambien es submodulo de M y,por tanto sumando directo. Entonces, N = N1 ⊕ N2. Por el lema 2.18, N2 essimple. Por tanto M ′ contiene un submodulo simple. Esto, contradice el hechode que todos los submodulos simples estaban en la familia {Mα}. Por tanto M ′

debe ser trivial, por lo que M es suma de submodulos simples.

Como resultados inmediatos a la proposicion anterior se tiene que la sumadirecta de modulos semisimples es semisimple. Todo submodulo y todo modulocociente de un modulo semisimple es semisimple.


Corolario 2.21. Suma directa de modulos semisimples es semisimple.

Demostracion. Sean M y N dos A-modulos semisimples, entonces por definicion2.17 se tiene que

M = ⊕α∈IMα, Mα simple

N = ⊕β∈PNβ , Nβ simple.

Entonces M⊕N = ⊕α∈IMα

⊕⊕β∈PNβ . Por lo tanto M⊕N es semisimple.

Corolario 2.22. Sea M un modulo semisimple y N un submodulo, entoncesN y M/N son tambien semisimples.

Demostracion. De la prueba de la proposicion anterior, si N es un submodulode M con M semisimple, entonces todo submodulo de N es un sumando directo,luego N es semisimple.

Por otro lado, como N es sumando directo de M , entonces M/N es isomorfoa un sumando directo de M , luego es semisimple.

Por ultimo veremos que, efectivamente, los semisimples suponen una am-pliacion de los simples.

Corolario 2.23. Todo modulo simple es semisimple.

Y ademas 0 es semisimple mientras que no es simple.

Ejemplo 2.24. El Z-modulo Z2 no es simple, pues Z × 0 es un submodulopropio no trivial. Tampoco es semisimple como se deriva del ejemplo posterior2.40

En la definicion 2.17 se tiene que un modulo semisimple se puede descom-poner en suma directa de submodulos simples. En la siguiente proposicion sedemostrara que esa suma directa es finita, en el caso de que el modulo seafinitamente generado.

Proposicion 2.25. Si M es un A-modulo semisimple y finitamente generado,entonces M es suma directa de un numero finito de A-modulos simples.

Demostracion. Sea M =∑α∈LMα, Mα simples y {u1, . . . , un} una familia

de generadores de M . Entonces existe un subconjunto finito L′ ⊂ L tal que

ui ∈∑α∈L′ Mα (1 ≤ i ≤ n). Por consiguiente M =

∑α∈L′ Mα.

2.2. Anillos vistos como modulos

Esta seccion relaciona a los anillos con los modulos, lo cual es clave para eldesarrollo de toda nuestra tesis.

Podemos observar que dado cualquier anillo A con identidad, cumple ser unA-modulo tomando a M = A en la definicion (2.1) de modulo.

2.2. ANILLOS VISTOS COMO MODULOS 13

Ejemplo 2.26. Si consideramos el anillo A con identidad como A-modulo, sussubmodulos son sus ideales izquierdos. Ademas A es un A-modulo libre, unabase es, por ejemplo, {1}.

Teniendo lo anterior, se podran aplicar todos los resultados de la teorıade modulos a los anillos, en especial a los anillos de grupo. Es por ello quea continuacion se daran definiciones de la teorıa de anillos necesarias para eldesarrollo de nuestro trabajo. Del mismo modo veremos algunas diferenciasexistentes en los anillos, ası como tambien propiedades.

Los conceptos de mas interes son anillo semisimple y anillo simple, ya quenuestro trabajo radica en caracterizar los anillos A y los grupos G tales que AGes semisimple y, en particular, simple.

Definicion 2.27. Un anillo A es semisimple si considerado como A-moduloizquierdo lo es.

Sin embargo la definicion de anillo simple no es la de aquel que, considerando-lo como modulo, es simple.

Definicion 2.28. Un anillo es simple si no tiene ideales propios no triviales.

Observemos que si el anillo A, considerado como A-modulo, es simple, en-tonces es simple como anillo, pero al contrario no se cumple.

Ejemplo 2.29. Sea el anillo A = Mn(R), A es anillo simple. Tomemos unsubanillo de A

I =

a1 0 · · · 0a2 0 · · · 0...

.... . .

...an 0 · · · 0

∣∣∣aj ∈ R

I es un ideal izquierdo de A. Entonces A no es A-modulo simple ya que

existe un submodulo propio no trivial de A.

Anteriormente se dijo en la definicion 2.17 que los modulos semisimples sepueden descomponer en suma directa de submodulos simples (es decir, idealesizquierdos mınimos). Pero ademas, en el caso de un anillo, se puede asegurarque la suma es finita.

Proposicion 2.30. Los anillos semisimples son suma directa de un numerofinito de ideales mınimos izquierdos.

Demostracion. Dado que un anillo semisimple, A, es suma directa de submodu-los simples y ademas es finitamente generado, en este caso por 1, se concluye,por la proposicion 2.25, que A es una suma directa finita de ideales mınimosizquierdos.


Por otro lado se tiene que un anillo A es semisimple si y solo si todo A-moduloes semisimple, la parte trivial de esta demostracion es el “solo si” y la segundaparte utilizara herramientas anteriores. La prueba se dara a continuacion.

Proposicion 2.31. Un anillo A es semisimple si y solo si todo A-modulo essemisimple.

Demostracion. Si todo A-modulo es semisimple, A, en particular, es semisimple.Supongamos ahora que A es un anillo semisimple. Ya que la suma directa y elcociente de modulos semisimples es semisimple, basta observar que cualquierA-modulo M es el cociente de un A-modulo libre (proposicion 2.10).

Si se tienen elementos que conmutan con todos los elementos del anillo, aese conjunto se le llama centro. La definicion formal es como sigue:

Definicion 2.32. Z(A) = {a ∈ A|ax = xa ∀x ∈ A} es el centro de A.

Hay tambien elementos que cumplen caracterısticas muy especiales, comolos elementos idempotentes: aquellos que al multiplicarlo por sı mismo resultael mismo elemento. Todo anillo tiene dos elementos idempotentes triviales, 0 y1. Tambien los idempotentes tienen propiedades interesantes.

En particular nos interesan los idempotentes centrales y ortogonales.

Definicion 2.33. Un elemento a de un anillo A se llama nilpotente si an = 0para algun natural n y se llaman idempotente si a2 = a.

Dos idempotentes a y b son ortogonales si ab = 0.Un idempotente a es central si ax = xa ∀x ∈ A.

Dada la definicion anterior es facil probar que un anillo se descompone enuna suma directa de anillos con identidad si, y solo si, existen dos elementos notriviales que cumplan ser idempotentes, centrales y ortogonales y que la sumade estos dos elementos sea igual a 1.

Proposicion 2.34. Un anillo A se descompone en una suma directa de laforma A = A1 ⊕ A2 donde A1 y A2 son anillos con identidad, si y solo siexisten a1, a2 ∈ A idempotentes, no triviales, centrales y ortogonales tales quea1 + a2 = 1.

Demostracion. ⇒) A1 ⊕A2 ≈ A1 ×A2, el isomorfismo viene dado por

a+ b 7→ (a, b) con a ∈ A1 y b ∈ A2.

Por lo anterior, podemos considerar a los elementos (1, 0), (0, 1) ∈ A1 × A2.Estos cumplen ser:

idempotentes(1, 0)(1, 0) = (1, 0),

(0, 1)(0, 1) = (0, 1),


ortogonales(1, 0)(0, 1) = (0, 0),

centrales: sea (a, b) ∈ A1 ×A2

(a, b)(1, 0) = (a, 0) = (1, 0)(a, b),

(a, b)(0, 1) = (0, b) = (0, 1)(a, b).

Luego (1, 0), (0, 1) son elementos idempotentes centrales ortogonales y ademas(1, 0) + (0, 1) = (1, 1).⇐) Existen a1, a2 ∈ A, con a1, a2 6= 0, idempotentes centrales y ortogonales

tales quea1 + a2 = 1.

Consideremos al ideal A1 = a1A, ya que ∀b ∈ A, ba1A ⊂ a1A y dado quea1 ∈ Z(A), el ideal A1 es bilateral. De la misma manera, consideremos el idealA2 = a2A, que tambien es bilateral, porque a2 ∈ Z(A).

Probaremos que A1 ∩A2 = {0}. Sea b ∈ A1 ∩A2. Luego b ∈ A1 y b ∈ A2, loque implica que

b = a1c, c ∈ A, y b = a2d, d ∈ A.

Entoncesa1c = a2d,a1a1c = a1a2d,a1c = 0,

Dado que a1c = 0, entonces b = 0. Por lo tanto A1 ∩A2 = {0}.

Ahora probemos que todo elemento b del anillo se escribe como suma de ele-mentos de A1 y A2. Sea b ∈ A, teniendo en cuenta que a1+a2 = 1, multiplicamosb por a1 + a2 = 1 y obtenemos que

(a1 + a2)b = b,a1b+ a2b = b,

a1b ∈ A1 y a2b ∈ A2. Entonces ∀b ∈ A, b = b1 + b2 con b1 ∈ A1 y b2 ∈ A2. Loque implica que A = A1 ⊕A2.

Dada la proposicion anterior nos daremos cuenta que basta con tener unidempotente central no trivial para que A = A1 ⊕A2.

Proposicion 2.35. Si a ∈ A es idempotente y central, a 6= 0, 1, entonces existenideales A1, A2 no triviales tales que

A = A1 ⊕A2.


Demostracion. Consideremos 1− a ∈ A, el cual satisface que

(1− a)2 = 1− a y (1− a)a = 0.

Por lo tanto a y 1 − a son idempotentes, centrales y ortogonales. Ademas(1 − a) + a = 1 entonces, por el teorema anterior, A1 = aA y A2 = (1 − a)Acumplen lo requerido.

Un concepto importante en anillos, de nuevo heredado de modulos, es el deradical, definido en anillos de la siguiente manera.

Definicion 2.36. El radical de un anillo, R(A), es su radical considerado comoA-modulo.

De esto se sigue que si el anillo es simple entonces su radical es 0.Por tanto el radical de A es la interseccion de sus ideales izquierdos maxi-

males. Sin embargo es notable el resultado de que R(A) es un ideal bilateral deA.

Proposicion 2.37. El radical de un anillo es un ideal bilateral.

Demostracion. Sea a ∈ R(A). Demostraremos primero que a ∈ an(A/I) paratodo ideal maximo I de A. Sea u ∈ A/I. Consideremos el A-homomorfismoA → A/I dado por b 7→ bu (b ∈ A). El nucleo J de este homomorfismo es unideal maximo J . Como a ∈ R(A), a ∈ J , de donde au = 0, es decir, a ∈ an(A/I).Supongamos ahora que c es un elemento arbitrario de A. Sea c ∈ A/I la clasede c modulo I. Por lo anterior ac = 0, es decir ac ∈ I, de donde ac ∈ R(A) conlo que queda probada la proposicion.

Una propiedad de los anillos es que dados dos ideales del anillo A la sumade ellos cumple ser un ideal de A, lo cual se utiliza en la prueba de la siguienteproposicion.

Proposicion 2.38. Todo ideal izquierdo de un anillo A que no este contenidoen el radical de A tiene elementos no nilpotentes.

Demostracion. Sea I un ideal izquiero de A tal que I ⊂/R(A). Existe entoncesun ideal izquierdo maximo J tal que I ⊂/J . Entonces I + J = A y 1 = a + b,a ∈ I, b ∈ J . Se tiene que

ab = a(1− a) = (1− a)a = ba,

a y b conmutan de donde, para toda n

1 = (a+ b)n =n∑r=0

(nr

)arbn−r.


Si a fuera nilpotente, para alguna n, an = 0 entonces

an = (1− b)n,

=∑nr=0

(nr

)(−b)n−r,

= a0(−b)n + a1(−b)n−1 + a2(−b)n−2 + · · · − an−1b+ 1,

con ar =(nr

), r = 0, 1, 2, . . . , n. Al despejar 1 se tendrıa que

1 = −a0(−b)n − a1(−b)n−1 − a2(−b)n−2 − · · ·+ an−1b ∈ J,

lo que implica que 1 ∈ J lo cual contradice la hipotesis de que J es idealmaximal.

Una propiedad de los anillos semisimples es que su radical, al igual que enlos simples, es el trivial.

Proposicion 2.39. Si un anillo es semisimple entonces su radical es cero.

Demostracion. Consideremos un elemento a 6= 0 de A. Como A es semisimplese tiene

A = A1 ⊕ · · · ⊕An,

suma directa de ideales mınimos. Entonces

a = a1 + a2 + · · ·+ an (ai ∈ Ai)

y podemos suponer a1 6= 0. Por tanto, a /∈ A2⊕· · ·⊕An que es un ideal maximo,de donde a no pertenece al radical de A.

Hemos visto que el radical nulo es condicion necesaria de los anillos semi-simples. En el siguiente ejemplo vemos que, sin embargo, no es suficiente.

Ejemplo 2.40. Z no es semisimple. Efectivamente, los submodulos de Z sonlos mZ, con m ∈ Z; son ideales izquierdos de Z . Como Z es conmutativo losideales son bilaterales. Pero ningun ideal es simple, ya que todo ideal contienesubmodulos propios. Por ejemplo: nZ ⊂ mZ, con n ∈ Z algun multiplo de m.

Sin embargo su radical es cero, ya que los ideales izquierdos maximos de Zson los pZ, con p primo, y la interseccion de ellos es {0}.

Definicion 2.41. Un ideal izquierdo N de A se llama nilpotente si existe unentero positivo r tal que Nr = 0.

Aunque en un ideal izquierdo nilpotente todos los elementos son nilpotentes,esto no se tiene inversamente. Por ejemplo las matrices.

Definicion 2.42. Un ideal izquierdo en el que todos los elementos son nilpo-tentes se llama nilideal.


Proposicion 2.43. Todo nilideal izquierdo de A esta contenido en el radical deA.

Demostracion. Es consecuencia de la proposicion 2.38.

De esto se sigue que un anillo semisimple no tiene ideales nilpotentes notriviales, porque de lo contrario su radical serıa diferente de cero en contradiccioncon la proposicion 2.39.

Capıtulo 3

Anillos de gruposemisimples

En este capıtulo se daran a conocer que anillos de grupo son semisimples ycuales son no semisimples.

Una herramienta que sera de gran utilidad en este capıtulo es el homomor-fismo de aumento, por lo que se comenzara por verlo.

Proposicion 3.1. (Homomorfismo de aumento) Dado el anillo de grupo AGla funcion

ξ : AG → A∑g∈G agg 7→

∑g∈G ag,

es epimorfismo de anillos.

Demostracion. Solo hay que demostrar

ξ(a+ b) = ξ(a) + ξ(b),

ξ(ab) = ξ(a)ξ(b),

y la suprayectividad.

Sean a, b ∈ AG, a =∑g∈G agg y b =

∑g∈G bgg. Aplicamos ξ a la suma

de ambos y obtenemos queξ(a+ b) = ξ

(∑g∈G agg +

∑b∈G bgg

),

= ξ(∑

g∈G(ag + bg)g), por definicion de suma en AG,

=∑g∈G(ag + bg), por definicion de ξ,

=∑g∈G ag +

∑g∈G bg, por la asociatividad y conmutativi-

dad de la suma en A,= ξ(a) + ξ(b).

19

20 CAPITULO 3. ANILLOS DE GRUPO SEMISIMPLES

Sean a, b ∈ AG, a =∑g∈G agg y b =

∑h∈G bhh. Aplicamos ξ al producto

de ambos y obtenemos que

ξ(ab) = ξ((∑

g∈G agg)(∑

h∈G bhh))

= ξ(∑

g,h∈G agbhgh)

=∑g,h∈G agbh, por definicion de producto en AG y defini-

cion de ξ.ξ(a)ξ(b) =

∑g∈G ag

∑h∈G bh,

=∑g,h∈G agbh por la ley distributiva en A.

Lo que implica que ξ(ab) = ξ(a)ξ(b), por lo tanto ξ es homomorfismo de anillos.Solo falta demostrar la suprayectividad.Sea a ∈ A, entonces a1 ∈ AG y ξ(a1) = a. Por lo tanto ξ es suprayectivo.

Utilizando todas las herramientas anteriores, se podra mostrar cuando unanillo de grupo es semisimple o no semisimple. Para esto se dividira el capıtuloen dos casos. El primero donde G es infinito, dado que es la manera mas sencillaen la que se demuestra que el anillo de grupo no es semisimple. El segundo escuando G es finito, en el cual existen dos casos particulares: uno es cuando carAno divide al orden del grupo y la otra en la que sı lo hace.

3.1. Grupo infinito

En esta seccion se demostrara que en el caso G infinito, AG no es semisimple.

Proposicion 3.2. Sea un anillo A 6= 0, y G un grupo infinito. Entonces elanillo AG no es semisimple.

Demostracion. Si ξ : AG −→ A es el homomorfismo de aumento entonces Kerξes ideal de AG y ademas Ker(ξ) 6= 0. Si AG es semisimple tenemos que Kerξes sumando directo, es decir, AG = Kerξ⊕I, con I otro ideal (proposicion 2.34).

Luego por proposicion 2.20, existen a, b ∈ AG idempotentes centrales orto-gonales tales que Kerξ = AGa e I = AGb, entonces

(Kerξ)b = (AGa)b y Ia = (AGb)a= AG(ab) = AG(ba)= 0 = 0.

Sea g ∈ G, entonces 1− g ∈ Kerξ, y sea h un elemento de G que aparece enb =

∑k∈G bkk, es decir bh 6= 0.

De lo anterior tenemos que (1 − g)b = 0, es decir, b = gb, ∀g ∈ G. Se tieneque b =

∑k∈G bkk con bgh = bh 6= 0. Como el producto gh recorre todo G

3.2. GRUPO FINITO 21

cuando g lo hace, todos los coeficientes de b son no nulos. Esto contradice ladefinicion de anillo de grupo 1.1, luego AG no es semisimple.

3.2. Grupo finito

En esta seccion se demostrara que para el caso en el que el grupo es finito elanillo de grupo puede o no ser semisimple, si la caracterıstica divide o no divideal orden del grupo. Por lo que la caracterıstica del anillo es de gran importaciaen esta seccion.

Proposicion 3.3. Sea G un grupo finito de orden o(G) y sea A un anillo decaracterıstica n donde n | o(G). Entonces AG no es semisimple.

Demostracion. Sea el elemento a de AG definido por a =∑g∈G g. Tenemos que

a 6= 0 y para todo x ∈ G, ax = a = xa, por lo que a pertenence al centro deAG. Entonces el ideal AGa es bilateral y satisface

(AGa)2 = AGaAGa,= (AG)2a2,= 0,

dado que a2 = a∑g∈G g = o(G)a = 0, ya que n | o(G) y n es la caracterıstica

de AG. Entonces AGa es un ideal nilpotente en AG. Ahora, por proposicion 1.1se tiene que R(AG) 6= 0 y por proposicion 2.39 AG no es semisimple.

Ejemplo 3.4. El anillo de grupo Z2C2 no es semisimple segun la proposicionanterior. Otra manera de verlo es dado que su radical no es nulo; R(Z2C2) ={0, 1 + a}.

Una condicion necesaria pero no suficiente para la semisimplicidad en losanillos es la siguiente:

Proposicion 3.5. Si AG es semisimple entonces A es semisimple.

Demostracion. AG es semisimple. Conocemos que A ≈ AG/Ker(ξ). Entonces,por el corolario 2.22, se sigue que A es semisimple.

Por otro lado, si la caracterıstica del anillo no divide el orden del grupo seobtiene que el anillo de grupo generado por ambos es semisimple. La prueba deesto se dara a continuacion.

Proposicion 3.6. Sea G un grupo finito y A un anillo semisimple tales quecarA - o(G). Entonces, el anillo de grupo AG es semisimple.


Demostracion. Sea M un AG-submodulo de AG. Dado que A es semisimple, deesto se sige que AG es semisimple como un A-modulo. Por lo tanto, existe unA-submodulo N de AG tal que

AG = M ⊕N.

Sea π : AG −→M la proyeccion canonica asociada a la suma directa. Definimosπ∗ : AG −→M por un proceso promediado

π∗(x) =1

o(G)

∑g∈G

g−1π(gx), ∀x ∈ AG,

donde 1o(G) tiene sentido porque carA - o(G).

Si probamos que π∗ es un AG-homomorfismo tal que (π∗)2 = π∗ (es decir,es un proyector) con Im(π∗) = M , entonces ker(π∗) sera un AG-submodulo talque AG = M ⊕ ker(π∗) y el teorema estara probado.

Dado que π∗ es un A-homomorfismo, para mostrar que tambien es un AG-homomorfismo sera suficiente mostrar que

π∗(hx) = hπ∗(x), ∀h ∈ G.

Tenemos

π∗(hx) = 1o(G)

∑g∈G g

−1π(ghx)

escribimos g−1 = hh−1g−1, y obtenemos que:

1o(G)

∑g∈G g

−1π(ghx) = ho(G)

∑g∈G(gh)−1π((gh)x),

donde, como g recorre todos los elementos en G, entonces el producto gh tam-bien recorre todos los elementos en G. Ası

π∗(hx) = h1

o(G)

∑t∈G

t−1π(tx) = hπ∗(x).

Dado que π es una proyeccion sobre M sabemos que π(m) = m, para todam ∈M. Tambien, puesto que M es un AG-modulo, tenemos que gm ∈M , paratoda g ∈ G. Ası

π∗(m) =1

o(G)

∑g∈G

g−1π(gm) =1

o(G)

∑g∈G

g−1gm = m.

Dado un elemento arbitrario x ∈ AG, tenemos que π(gx) ∈ M , por lo tantoπ∗(x) ∈M y de esto se sigue que Im(π∗) ⊂M. Consecuentemente, π∗(π∗(x)) =

3.2. GRUPO FINITO 23

π∗(x) para toda x ∈ AG y, por lo tanto, (π∗)2 = π∗.

Finalmente, el hecho de que π∗(m) = m, para toda m ∈M tambien muestraque M ⊂ Im(π∗).

Ejemplo 3.7. Z2C3, el cual es semisimple.

Todos los resultados del capıtulo se resumen en el siguiente teorema, el cualcaracteriza a los anillos, A, y grupos,G, tales que AG es semisimple.

Teorema 3.8. Dados un anillo A y un grupo G, el anillo de grupo AG essemisimple si, y solo si,

i) A semisimple.

ii) G finito.

iii) carA - o(G).

Con este resultado se tiene parcialmente cubierto nuestro objetivo. Ahorasolo falta por ver la caracterizacion de los anillos A y grupos G tales que AG essimple.

Capıtulo 4

Anillos de grupo simples

En el capıtulo anterior se dieron proposiciones y definiciones que tambiense aplican para anillos de grupo simples. Tal es el caso del teorema 3.2, con Ginfinito y A 6= 0 o el teorema 3.3, con G finito y carA | o(G); en ambos casosse tiene que el anillo AG no es semisimple, lo que implica trivialmente que AGno es simple. Por lo anterior nos restringiremos al caso en que G es finito ycarA - o(G).

El desarrollo de este capıtulo comenzara dando una condicion necesaria, perono suficiente, para los anillos de grupo simples y continuara por dar a conocerel caso en particular en el que carA - o(G).

Proposicion 4.1. Si AG es simple entonces A es simple.

Demostracion. AG simple, entonces los unicos ideales son el trivial y el impro-pio. Sea I ⊂ A un ideal de A, entonces el anillo IG es subanillo de AG.Sea a ∈ AG y b ∈ IG, a =

∑g∈G agg con ag ∈ A y b =

∑h∈G bhh con bh ∈ I,

el producto de ellos es∑g∈G

agg

(∑h∈G

bhh

)=∑g,h∈G

agbhgh ∈ IG,

(∑h∈G

bhh

)∑g∈G

agg

=∑h,g∈G

bhaghg ∈ IG.

Por lo cual IG es ideal de AG, entonces IG = AG o IG = 0 dado que AGes simple.Si IG = AG entonces I = A, de la misma manera si IG = 0 entonces I = 0.Por lo tanto A es simple.

Si consideramos el grupo trivial, G = {1}, se obtiene que A ≈ AG. Este serıael caso trivial, ya que si A es simple entonces AG es simple, e inversamente.Como veremos a continuacion, este es el unico caso.

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26 CAPITULO 4. ANILLOS DE GRUPO SIMPLES

Teorema 4.2. Sea A un anillo y G 6= {1} entonces AG no es simple.

Demostracion. Como ya se ha comentado, consideraremos G finito y carA -o(G). Dado un elemento g 6= 1 del grupo, definamos g = 1

n

∑n−1k=0 g

k, donden = o(G) y 1

n significa que sumado n veces es 1. Este elemento cumple seridempotente. Ademas, ∀x ∈ AG, gx = xg, entonces g tambien es central. Porproposicion 2.35,

A1 = gAG y A2 = (1− g)AG,

cumplen AG = A1 ⊕ A2. Ademas, dado que g 6= 1, entonces ni A1 ni A2 sontriviales. Por tanto AG no es simple.

Otra prueba del mismo teorema es:

Demostracion. Sea ξ el homomorfismo de aumento,

ξ : AG −→ A,

El Ker(ξ) cumple:

no es el trivial

Ker(ξ) 6= {0},

pues 1− g ∈ AG, donde g 6= 1, cumple que ξ(1− g) = 0.

Ker(ξ) 6= AG, pues ξ(1) = 1.

Por tanto Ker(ξ) es un ideal no trivial de AG. Lo que implica que AG no essimple.

Capıtulo 5

Conclusiones

En este trabajo se mostro cuando se cumple que un anillo de grupo es se-misimple cuando no semisimple y cuando, en particular, es simple. Para ello setuvo que caracterizar a los anillos y a los grupos.

Dado que todo anillo con identidad es un modulo, fue posible aplicar todoslos resultados de modulos a dicho anillo. En una primera parte estudiamos losanillos de grupo semisimples. Se consideraron dos casos: cuando el grupo esinfinito y cuando es finito y se alcanzo la siguiente clasificacion completa: AGes semisimple si, y solo si, A es semisimple, G es finito y carA - o(G).

Algunos resultados del capıtulo 3 son para el capıtulo 4 inmediatos, ya queun anillo simple es semisimple. Ahora bien, dado que en el capıtulo 3 para elcaso G infinito AG no es semisimple, entonces en particular AG no es simple.Para el caso en el que G es finito, no trivial, y carA | o(G) entonces AG no essemisimple. Entonces AG no es simple.

En la segunda parte de anillos simples, situado en el capıtulo 4, se con-cluyo que si A es un anillo y G es un grupo no trivial: AG nunca es simple.

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28 CAPITULO 5. CONCLUSIONES

Bibliografıa

[1] I. N. Herstein; Noncommutative Rings, The Mathematical Asociation ofAmerica, United States, 1968.

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anillos de grupo simples y semisimples … tulo 1 introducci on uno de los objetos matem aticos en...

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