Tema: ÁNGULOS

Profesora: CRISTINA CARDENAS Curso: 3° MedioTALLER PSU MATEMÁTICA

1° UNIDAD

O

A

B

Es la unión de dos rayos que tienen un extremo común que se denomina vértice.

Elementos de un ángulo:

ÁNGULO:

O = vértice

; = lados

AOB = ángulo AOB

= medida del ángulo

OA OB

0º < < 180º 0º < < 180º

1.- CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA

B) ÁNGULO CONVEXO

= 0º = 0º

A) ÁNGULO NULO

= 90º = 90º

90º < < 180º 90º < < 180º

b.2) ÁNGULO RECTO

b.3) ÁNGULO OBTUSO

0º < < 90º 0º < < 90º

b.1) ÁNGULO AGUDO

= 180° = 180°

C) ÁNGULO EXTENDIDO

o

D) ÁNGULO CÓNCAVO

o

180º < < 360º 180º < < 360º

E) ÁNGULO COMPLETO

o

= 360º = 360º

= 90º = 90º

+ = 180º + = 180º

a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

2.- CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA

3.- CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN

a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS

d)ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Son congruentes

Puede formar más ángulosUn lado común

c) ÁNGULOS ADYACENTES ….SUPLEMENTARIOS

Un lado común y suman 180°

01. Ángulos alternos internos: m 3 = m 5; m 4 = m 6

02. Ángulos alternos externos: m 1 = m 7; m 2 = m 8

03. Ángulos conjugados internos: m 3+m 6=m 4+m 5=180°

04. Ángulos conjugados externos: m 1+m 8=m 2+m 7=180°

05. Ángulos correspondientes: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE

1 2

34

5 6

78

El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”.

Problema Nº 01

90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2

90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X

90° - 90° = 180° - 2X

2X = 180° X = 90°X = 90°

RESOLUCIÓNLa estructura según el enunciado:

Desarrollando se obtiene:

Luego se reduce a:

La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos.

Problema Nº 02

Sean los ángulos: y + = 80° Dato: = 80° - ( 1 )

( 90° - ) = 2 ( 2 )

Reemplazando (1) en (2):

( 90° - ) = 2 ( 80° - )

90° - = 160° -2

= 10°

= 70°

- = 70°-10°

= 60°

RESOLUCIÓN

Dato:

Diferencia de las medidas

Resolviendo

La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos.

Problema Nº 03

Sean los ángulos: y

( 90° - ) ( 90° - ) = 130°+ + = 50° ( 1 )

( 180° - ) ( 180° - ) = 10°- - = 10° ( 2 )

Resolviendo: (1) y (2)

+ = 50° - = 10°

(+)

2 = 60°

= 30°

= 20°

RESOLUCIÓN

Del enunciado:

Del enunciado:

Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB.

Problema Nº 04

A B

O C

M

60°

20°X

De la figura: = 60° - 20°

Luego:

X = 40° - 20°

= 40°

X = 20°X = 20°

RESOLUCIÓN

La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB.

Problema Nº 05

A

O

B

C

X

(- X)

( + X) ( - X) = 30º

2X=30º

X = 15°X = 15°

RESOLUCIÓN

M

Construcción de la gráfica según el enunciado

Del enunciado:

AOB - OBC = 30°

-

Luego se reemplaza por lo queSe observa en la gráfica

Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la mAOC = mBOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

Problema Nº 06

A

C

B

D

M

N

X

De la figura:

2 + = 90° + 2 = 90° ( + )

2 + 2 + 2 = 180° + + = 90°

X = + + X = + +

X = 90°X = 90°

RESOLUCIÓNConstrucción de la gráfica según el enunciado