ALTIMETRA Y NIVELACIN

UNC FACULTAD DE INGENIERIA AUTOCAD

ANGULOS

Muchas veces en el campo de la ingeniera se presentan problemas de cmo hallar el ngulo que debe formar dos segmentos de rectas que se cruzan, una recta con un plano o dos planos que se cortan; conocer los mtodos para determinar con precisin dichos ngulos.

A. ANGULO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

En el espacio, el ngulo entre dos rectas que se cruzan, queda definido mediante el ngulo que forma la interseccin de una de las rectas con una recta paralela a la otra dada.

La abertura de este ngulo se observar en VM, en la vista donde las dos rectas (que se intersectan) se proyecten en VM.

De las dos rectas (que se intersectan) definimos como ngulo al menor de los ngulos adyacentes que forma la primera recta al intersectarse con la paralela a la segunda.

METODO 1: Proyectando ambas rectas en VM.

Determinamos una de las rectas como punto en una vista auxiliar y luego con una nueva lnea de pliegue paralela a la otra recta, se obtiene en esta nueva vista la verdadera magnitud de ambas, y por consiguiente el ngulo que forman en VM.

En el ejemplo de la figura 2, para las rectas RS y AB determinamos en el plano 2, la VM de las dos rectas y el ngulo formado.

METODO 2: De la recta paralela y la formacin de un plano

Por una de las rectas trazamos una paralela a la otra, determinndonos un plano; en la vista donde este plano quede proyectado en VM, se podr observar un ngulo entre las proyecciones de la primera recta y la paralela a la segunda, es el ngulo que forman las dos rectas propuestas.

En la figura 3, por la recta AB trazamos una paralela a CD, tal como BF, determinando el plano ABF que proyectamos en VM en la vista 2, donde el ngulo ABF que se proyecta en VM es el mismo ngulo que forma la recta AB con la recta CD.

Un mtodo semejante es, si en un punto cualquiera formamos un plano con rectas paralelas a las rectas dada, en la vista donde este plano se proyecte en VM, podremos observar un ngulo entre las proyecciones de las dos paralelas, es el ngulo que forman las dos rectas propuestas.

B. ANGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

Siempre que una recta no est contenida en un plano, el ngulo formado por esta recta con su proyeccin sobre el plano se llama ngulo entre la recta y el plano. En la figura 4, se observa el ngulo formando entre la recta AB y el plano P.

- El ngulo entre la recta y el plano se mostrar en su verdadera magnitud en la vista donde el plano se proyecte de canto y la recta en VM. Se conoce tres mtodos para determinarlo.

NOTA: En el caso de una recta perpendicular a un plano, la recta se proyectar sobre el plano como un punto, por lo tanto, no se visualizar ngulo alguno, pero la recta con el plano formarn un ngulo de 90.

METODO 1: Mtodo del plano

Dadas las proyecciones H y F de un plano y una recta, seguimos el siguiente procedimiento utilizando tres vistas auxiliares:

En la primera vista, proyectamos el plano de canto y la recta en posicin cualesquiera.

En la segunda, el plano en VM y la recta en cualquier posicin.

En la tercera, el plano de canto y la recta en VM, obtenindose de este modo, el ngulo entre la recta y el plano de perfil.

En la figura 5, procedemos con este mtodo para determinar el ngulo entre el plano ABC y la recta XY.

METODO 2: Mtodo de la recta

Dadas las proyecciones del plano y la recta, para hallar el ngulo entre la recta y el plano, seguimos el siguiente proceso utilizando tres vistas auxiliares como se muestra en figura 6.

En la primera, proyectamos la recta en VM y el plano en cualquier posicin.

En la segunda vista, la recta como punto y el plano en VM.

En la tercera vista, la recta en VM y el plano de canto; entonces podemos medir la VM del ngulo entre el plano y la recta.

METODO 3: Mtodo del ngulo complementario

En figura 7, podemos observar que la recta MN y el plano ABC forman un ngulo , que viene a ser el ngulo entre dicha recta y el plano mostrado.

Si trazamos una perpendicular (desde cualquier punto) de la recta al plano, tal como MR, determinaremos un plano tal como MRN, donde el ngulo es el complemento del ngulo .

Determinaremos la VM del ngulo complementario, en la vista donde el plano formado por la perpendicular y la recta se proyecten en VM. El ngulo entre el plano y la recta ser igual a: 90 menos la amplitud real del ngulo complementario. = 90 -

En el ejemplo de la figura 8, se dan las proyecciones del plano ABC y la recta MN, determinaremos el ngulo entre dicho plano y la recta.

Desde el punto M de la recta MN, trazamos una perpendicular al plano, la que limitamos en un punto R cualesquiera, formando de este modo el plano MNR. Prescindiendo del plano ABC, determinamos la VM del plano MNR, lo que logramos mediante su proyeccin en el plano 2, donde observamos que las rectas MN y MR forman un ngulo entre ellas, que es el valor del ngulo complementario .

omo se observa en la vista del plano 2, por M trazamos una lnea perpendicular a MN, determinando de este modo la amplitud del ngulo , que es el complemento del ngulo hallado.

C. ANGULO ENTRE DOS PLANOS

Dos planos que se cortan forman cuatro ngulos diedros. Nuestro anlisis se limita a determinar el menor ngulo diedro formado por dichos planos al cortarse.

Un ngulo diedro, formado por dos planos que se intersectan segn una recta, se mide por el ngulo plano, perpendicular a la recta de interseccin de los dos planos. Ver figura 9.

Para encontrar el ngulo entre dos planos se presentan dos casos: 1) cuando se conoce la recta de interseccin, 2) cuando no se conoce la recta de interseccin.

CASO 1: Cuando se conoce la recta de interseccin

Identificada la recta de interseccin entre dos planos, el ngulo diedro se proyectar en VM, cuando la recta de interseccin de los dos planos se proyecte como punto y obviamente, los dos planos de canto. En el grfico de la figura 10, dados los planos ABC y BCD, para hallar el ngulo entre dichos planos, identificamos primero la recta de interseccin CB, procediendo a proyectarla en VM en el plano 1 y de punta en vista 2; en esta ltima vista los dos planos propuestos se proyectarn de canto, y podremos medir el ngulo entre ambos planos.

CASO 2: Cuando no se conoce la lnea de interseccin

METODO 1: De los planos de canto

Podremos medir la amplitud real del ngulo diedro que forman dos planos, solamente en la vista donde ambos planos se proyecten de canto, para lo cual se sigue los siguientes pasos haciendo uso de tres vistas auxiliares, como se muestra en la figura 11.

En la vista 1, disponemos uno de los planos de canto y el otro en posicin cualesquiera.

En la vista adyacente proyectamos el primer plano en VM y en el otro plano una recta en VM contenido en dicho plano.

En la vista 3 (disponemos la lnea de pliegue 2-3 perpendicular a la recta en VM del 2do. Plano), ambos planos se proyectarn de canto y podremos medir el ngulo entre ambos planos.

METODO 2: Del ngulo suplementario

Por el punto dado trazamos dos rectas perpendiculares a los planos dados, con lo que queda determinado un plano que proyectndolo primero de canto y luego en VM, nos ofrecer en esta ltima la verdadera amplitud del suplemento del ngulo que hacer los dos planos dados.

Por propiedad, la suma de los ngulos internos de una cuadriltero es de 360. El esquema de la figura 12 (a) nos muestra un cuadriltero en el plano PQR, formado por PQ, PR y las intersecciones de los planos KLM y ABC con PQR; de donde se obtiene que : = 1800 En las proyecciones que muestra la figura 12 (b), por el punto P trazamos PQ y PR perpendiculares a los planos ABC y KLM respectivamente, obtenindose el plano PQR, que lo proyectamos primero de canto y luego en VM en el plano 2; en esta vista se observa el ngulo , que forma RP con QP, en su verdadera amplitud; es el suplemento del ngulo que buscamos: 180 =

Ing. William Quiroz Gonzales 8

_1221052446.dwg

_1221052741.dwg

_1221052877.dwg

_1221535122.dwg

_1221052806.dwg

_1221052589.dwg

_1221052302.dwg

_1221052394.dwg

_1220885257.unknown

_1221052246.dwg

_967061979.unknown