332 SEDITCNIC

NGULOSCASOS DIRECTOS ngulo de dos rectas que se cortan ngulo de dos rectas que se cruzan ngulo de una recta con un plano ngulo de dos planosCASOS INDIRECTOS Recta que forma un ngulo F con un plano Plano que forma un ngulo F con otro aAPLICACIONES

ngulo que forma una recta oblicua con los planos de proyeccinngulo que forma un plano oblicuo con otro proyectante horizontalRecta que forma un ngulo de 60 con el PHPlano que forma un ngulo de 60 con el PH y pasa por un punto dadoTraza por la recta R(r-r) los planos que formen 75 con el PH de proyeccinDetermina el ngulo que forma el plano a-a con el PH y con el PV ngulo que forma el tringulo ABC con el PHTrazar las rectas que formen 60 con el PH, pasen por un punto A de un plano a-a, y estn con-tenidas en dicho planongulos de una recta que corta a la LT con los planos de proyeccinProyecciones de una recta que corta a la LT conocidos los ngulos F

H y F

V que forma con los pla-

nos horizontal y vertical de proyeccinTrazar los planos que pasen por un punto A, son paralelos a una recta R y forman con el PH un ngulo de 75Traza por un punto A una recta que forma 30 con el PH y corte a la LTRectas que forman los ngulos F

H y F

V con el PH y PV de proyeccin

Traza por A una recta R que forme 60 con el plano proyectante dado aTrazar por un punto V los planos que formen 45 y 60 con el PH y PV respectivamentePlano que forma un ngulo dado con otro del tipo oblicuoDeterminar el ngulo en magnitud y posicin que forma la recta R con el cuadriltero representado

SISTEMA DIDRICO: ngulos34

333SEDITCNIC

34OBJETIVOS ESPECFICOS: Conocer los distintos tipos de problemas que pueden darse en la determinacin grfica de un ngulo, as como su clasificacin en problemas directos y problemas indirectos. Comprender en el espacio la resolucin de problemas relativos al ngulo formado por dos rectas, as como su aplicacin al sistema didrico utilizando los tres mtodos. Saber expresar grficamente en el espacio el planteamiento de los problemas relativos a casos directos. Conocer algunas propiedades del cono recto de revolucin necesarias para la resolucin de problemas indirectos. Saber resolver problemas de los casos indirectos en el espacio y su aplicacin al sistema didrico. Dotar a los alumnos de los conocimientos necesarios para enfrentarse a cualquier tipo de problemas relativos a ngulos.

METODOLOGA Y TEMPORIZACIN:

1 SESIN El/la profesor/ra har una pequea introduccin al tema, enumerando los distintos pro-blemas que se pueden presentar en la determinacin de ngulos entre dos elementos, y su clasificacin en casos directos e indirectos. Se estudiar con todo detalle el ngulo formado por dos rectas que se cortan, resolviendo el problema por cada uno de los mtodos que usa la geometra descriptiva para obtener ver-daderas magnitudes. Se explicar grficamente los pasos a seguir en la resolucin de los distintos problemas de ngulos mediante el planteamiento espacial de los mismos.2 SESINSe dedicar a la resolucin de problemas como aplicacin a lo estudiado en la sesin anterior, haciendo siempre referencia a su representacin espacial.

334 SEDITCNIC

NGULOS

En este tema se exponen algunos de los mtodos usados para la determinacin del valor grfi-co del ngulo formado entre dos elementos (rectas, planos).Teniendo en cuenta que la obtencin de ngulos puede realizarse por diversos mtodos (aba-timientos, giros, cambios de plano), la metodologa que aplicaremos consiste en realizar un esquema espacial del mtodo a seguir, y despus en proyecciones se ejecutarn cada uno de los pasos en los que el problema se descompone.Si combinamos los elementos recta y plano, las relaciones ms importantes que pueden darse entre ellos con respecto a valores angulares son: Casos directos: ngulo de dos rectas que se cortan. ngulo de dos rectas que se cruzan. ngulo formado por una recta y un plano. ngulo que forman dos planos.Casos indirectos: Recta que forma un ngulo con un plano. Plano que forma un ngulo con otro.

CASOS DIRECTOS

Se consideran casos directos aquellos en los que la incgnita es el ngulo a determinar. De los cuatro casos posibles los tres ltimos se reducen siempre al primero despus de realizar unos procesos previos, es decir, al final tendremos que determinar el ngulo de dos rectas que se cortan.

ngulo de dos rectas que se cortan

El ngulo que forman dos rectas R y S que se cortan en un punto A se obtiene abatiendo el plano a que las contiene. En proyecciones bastara con determinar las trazas del plano que contiene a las rectas, y proceder despus a abatir el plano y las rectas. Este proceso puede simplificarse, puesto que no es necesario obtener las trazas del plano para aba-tir las rectas, basta con cortar el plano que definen dichas rectas con un plano horizontal o frontal, sobre el que realiza-

remos el abatimiento. Si utilizamos un plano horizontal, la charne-la ser la recta hori-zontal resultado de la interseccin de ste con el plano que de-finen las rectas. Des-pus abatimos las rectas, teniendo en cuenta que los pun-tos de corte de stas con la charnela son puntos dobles (ya es-tn abatidos), proce-diendo nicamente a

*

1

(A)(S)

a

r

1'

r'

2

*

(R)ch

s

s'

2'

a'

(S)

(A)(R)

1

S

2ch

R

A'

ch

(A)(S)

()

(R)

A

SR

335SEDITCNIC

34ngulo de dos rectas que se cruzan

El ngulo de dos rectas que se cruzan se reduce a determinar el ngulo de dos rectas que se cortan. Basta para ello, trazar por un punto cualquiera de una de ellas una recta paralela a la otra y determinar el ngulo formado por estas dos rectas.

ngulo de una recta con un plano

El ngulo que forma una recta con un plano es el formado por la recta dada y su proyeccin ortogonal sobre el plano. Para su determinacin podemos emplear dos mtodos:

Mtodo 1. Obtencin del ngulo en magnitudSea R la recta dada y a el plano, el proceso que se sigue es:1. Por un punto A cualquiera de R se traza una recta T per-pendicular al plano a.2. Se determina el ngulo b que forman las rectas R y T.3. Por construccin del tringulo rectngulo que se forma en el espacio se deduce que el ngulo F que forma R con a valdr: F = 180-90-b = 90-b.

Mtodo 2. Obtencin del ngulo en posicin y magnitudSea R la recta dada y a el plano, el proceso que se sigue es:1. Por un punto A cualquiera de la recta R se traza una recta T perpendicular al plano a.2. Se determina el punto I

1 de interseccin de T con a.

3. Se determina el punto I2 de interseccin de R con a.

4. Se unen los puntos I1 e I

2, obteniendo la recta S.

5. El problema queda reducido a determinar el ngulo F que forman las rectas R y S.

ngulo de dos planos

El ngulo que forman dos planos, denominado tambin ngulo diedro, puede obtenerse tambin por dos mtodos.

Mtodo 1. Obtencin del ngulo en magnitudDados los planos a y b el proceso que se si-gue es:1. Por un punto A exterior a los planos se trazan las recta R y S perpendiculares a los planos dados.2. Se determina el ngulo d formado por las rectas R y S.3. Por construccin del cuadriltero que se forma en el espacio, el ngulo formado por los planos a y b es:F=360-(90+90-d)=180 - d

A

TR

S

I2

I1

A

R S

A

= 90-

TR

r

abatir su punto de interseccin mediante el procedimiento general de trazar por su proyeccin horizontal la paralela y la perpendicular a la charnela, llevndose sobre la paralela la cota rela-tiva al plano horizontal utilizado. El valor grfico del ngulo se obtiene sobre las rectas abatidas.

336 SEDITCNIC

Mtodo 2. Obtencin del ngulo en posi-cin y magnitudDados los planos a y b, el proceso que se sigue es:1. Se determina la recta T de interseccin de los planos a y b .2. Por un punto A de T se traza el plano g perpendicular a dicha recta. 3. Se determina la recta R de interseccin de a y g .4. Se determina la recta S de interseccin de b y g.5. El ngulo que forman los planos se reduce a determinar el ngulo formado por las rectas R y S.

CASOS INDIRECTOS

Los casos indirectos de ngulos son todos aquellos problemas en los que el dato es el ngulo, siendo el elemento a determinar (recta, plano) la incgnita. Para su resolucin se han de tener en cuenta las siguientes propiedades del cono recto de revolucin: Todas las generatrices de un cono forman el mismo ngulo F con el plano a que contiene a su base. Todo plano b tangente a un cono pasa por una recta generatriz R del cono, que a su vez es lnea de mxi-ma pendiente del plano b, siendo su traza tangente a la directriz del cono, de modo que, el ngulo F que forma esta recta (lnea de mxima pendiente) con el plano de la base a es el mismo que el formado entre b y a.

R

A

T

S

Recta que forma un ngulo F con un planoPara dibujar una recta que forme un ngulo F con un plano se dibuja un cono recto con la base en dicho plano, de modo que sus generatrices formen con el plano de la base el mismo ngulo dado F. El proceso a seguir es:1. Por un punto A exterior al plano dado a se traza una recta T perpendicular al plano.2. Se determina el punto O de interseccin de T con a.3. Se obtiene el radio de la circunferencia directriz, mediante la construccin de un tringulo rectngulo que tenga por uno de sus catetos la verdadera magnitud de la distancia AO y, su ngulo opuesto sea F. El otro cateto OB nos determina el radio de la circunferencia directriz.Aplicando los pasos indicados en la representacin descriptiva cuando el plano dado es el PH, el proceso se simplifica, puesto que la directriz (circunferencia de la base) del cono al estar en

A

R

A

R

B

B

A

O

T

R

B O

A

B

337SEDITCNIC

34

rs

rs

A

O

T

R

a

a

Plano que forma un ngulo F con otro aSe basa en representar un cono con la directriz situada sobre el plano a y sus generatrices formando con dicho plano el ngulo dado F . As, dado un plano a, el proceso que se sigue es:1. Por un punto A del espacio se traza la recta T perpendicular al plano dado a.2. Se determina el punto O de interseccin de T con a.3. Se construye el tringulo rectngulo OAB conocido el cateto OA y el ngulo F que forma la hipotenusa con el otro cateto.4. Con centro en O y radio OB se traza sobre el plano a la circunferencia directriz del cono.5. La traza del plano solucin sabemos que es tangente a la circunferencia (directriz del cono) y, adems el plano ha de contener al punto A (vrtice del cono), siendo AB su recta de mxima pendiente. El problema tiene infinitas soluciones, puesto que pueden trazarse infinitas rectas tangentes a la directriz del cono.Al pasar a proyecciones, cuando el plano a es uno de los de proyeccin este proceso se simpli-fica, porque puede representarse la directriz del cono directamente en verdadera magnitud so-bre el PH o PV. As por ejemplo, si consideramos el plano a como el PH, el proceso a seguir es:1. Por un punto cualquiera A se dibuja un cono recto con la base situada en el PH, de modo que sus generatrices formen con el PH el ngulo dado F.2. El problema presenta infi-nitas soluciones, porque cual-quier plano que pase por A y su traza horizontal sea tangente a la directriz formar con el PH el ngulo dado F.

B

O

A

A

O

T

R

B

el PH se representa en verdadera magnitud, siendo las generatrices del contorno aparente rectas frontales, que nos permitir medir el ngulo en verdadera magnitud. Por tanto, el pro-ceso a seguir en este caso es:1. Por un punto cualquiera A (vrtice del cono) se traza una generatriz en posicin frontal formando con el PH el ngulo dado F. 2. Se dibuja con centro en la proyeccin horizontal a la direc-triz (circunferencia) del cono recto conocido su radio.3. Cualquier recta generatriz de este cono, por ejemplo la recta S, formar el ngulo dado F con el PH.El problema tiene infinitas solu-ciones como consecuencia de las infinitas generatrices que forman el cono.

338 SEDITCNIC

APLICACIONES

ngulo que forma una recta oblicua con los planos de proyeccin

Dada la recta R, para determinar el ngu-lo que forma con el PH y el PV, pueden emplearse cualquiera de los mtodos es-tudiados (abatimientos, giros o cambios de plano). En cada uno de los mtodos, la nomenclatura que se ha usado para nom-brar los ngulos es la misma, es decir, se ha designado con F

H al ngulo que forma

la recta R con el PH y con FV al ngulo que

forma con el PV. Por el mtodo de abatimientos, se ha in-troducido R en un plano a proyectante hori-zontal, procediendo a abatir dicho plano so-bre el PH para obtener F

H. Anlogamente

introduciendo R en un plano proyectante vertical se obtiene F

V.

Por el mtodo de giros, FH

se obtiene gi-rando la recta hasta convertirla en frontal, tomando como eje de giro la recta vertical que pasa por V. Anlogamente se obtiene el ngulo F

V convirtiendo la recta en hori-

zontal. Por el mtodo de cambios de plano, se ha utilizado un cambio del plano vertical para convertir la recta en frontal y obtener F

H.

Anlogamente mediante un cambio de pla-no horizontal se convierte la recta en hori-zontal y se obtiene F

V.

V

HV 1{

(H)

h (R) (V)

h'r

v

v'

)

'

(R)

r

r'

r

r'

r'

V

V

h

h' v

v'

r1

H 1V{

r1h

h' v

v'

Abatimientos

Giros

Cambios de plano

e

e

k

k

A

R

a

a'

r'

r

339SEDITCNIC

34ngulo que forma un plano oblicuo con otro proyectante horizontal

El ngulo que forman dos planos queda reducido a determinar el ngulo que forman dos rectas. El proceso que se sigue est basado en el Mtodo 1, es decir:1. Por un punto A(a-a) cualquiera, exterior a los planos dados a-a y b-b se trazan las rectas R(r-r) y S(s-s) perpendiculares a estos planos respectivamente.2. Se determina el ngulo formado por las rectas R y S. Para ello, utilizamos el mtodo de aba-timiento sobre el plano frontal de traza g. El ngulo as obtenido mide 75.3. Por construccin del cuadriltero que se forma en el espacio, el ngulo formado por los planos a y b es: F=360-60-(90+90+75) =105

Recta que forma un ngulo de 60 con el PH

Teniendo en cuenta que, en un cono recto de revolucin todas sus generatrices forman con el plano de la base el mismo ngulo, el proceso a seguir es:1. Se dibuja un cono recto con su base en el PH (de eje en el PV (para simplifi-car), y cuya generatriz ex-trema T(t-t) es una recta frontal, que dibujamos for-mando el ngulo de 60 con el PH.2. El problema tiene infini-tas soluciones. Cualquier recta R(r-r) generatriz del cono formar con el PH el ngulo de 60.

60

h

h' tvr

r' t'

v

H

R

V

60

T

*

75

*

1

s r

1'

s'

(S)

r' a'

2

(R)

2'

ch

a

g

b

b '

a

(A)

a

Direc

cin d

e fron

tales

b

A

RS

d

F

a

340 SEDITCNIC

Plano que forma un ngulo de 60 con el PH y pasa por un punto dado

En un cono recto de revolucin, todos los planos tangentes a una generatriz forman con el pla-no que contiene a la base el mismo ngulo. Esta generatriz de contacto entre el plano y el cono es precisamente la lnea de mxima pendiente del plano a determinar.El proceso que se sigue es:1. Se dibuja un cono recto cuyas generatrices formen el ngulo de 60 con el PH.2. Cualquier plano a-a que contenga al vrtice del cono y sea tangente a su directriz formar con el plano de su base el ngulo de 60.

60

ra t

r'

t'

a'

'

A

R

Traza por la recta R(r-r) los planos que formen 75 con el PH de proyeccin

Este problema se resuelve auxilindonos de un cono recto con el vrtice situado en la recta R, la directriz situada sobre un plano g que contiene a la base del cono, y sus generatrices forman-do con dicho plano el ngulo F dado de 75.El proceso que se sigue se fundamenta en el caso general cuando el plano no es el de proyec-cin, es decir, cuando el plano g es un plano cualquiera. Evidente-mente cuando g es el PH, este proceso se simplifica. Los pasos a seguir son:1. Por un punto de la recta (por ejemplo, su traza vertical V) se sita el vrtice de un cono recto que tiene su base en el PH y for-ma 75 con dicho plano.2. El radio de la directriz se ob-tiene dibujando una generatriz del cono en posicin frontal que pase por V y forme 75 con el PH.

BO

A

I

R

A

T

B

O

341SEDITCNIC

34

Determina el ngulo que forma el plano a-a con el PH y con el PV El ngulo que forma un plano con los de proyeccin se puede determinar mediante 3 mtodos:

Mtodo 1. Por las propiedades del cono rectoDado el plano a-a, el proceso que se sigue es:1. Para determinar el ngulo que forma el plano a con el PV se construye un cono con la directriz en el PV, de modo que la traza vertical del plano sea tangente a ella. El ngulo F

V se corresponde con el

que forman sus generatrices con el PV. Su verdade-ra magnitud se obtiene a partir de una generatriz horizontal.2. Anlogamente, para determinar el ngulo que forma el plano a con el PH, se construye un cono con la directriz en dicho plano, de modo que la traza horizontal del plano sea tangente a ella. El ngulo F

H

se corresponde con el que forman sus generatrices con el PH. Su verdadera magnitud se obtiene a par-tir de una generatriz frontal.

Mtodo 2. Por una de sus rectas de mxima pendiente de cada plano de proyeccin

Se sabe que el ngulo que forma un plano con el PH es el mismo que el formado por su recta de mxima pendiente con dicho pla-no; y anlogamente pasa con el ngulo que forma con el PV. As dado el plano a-a, el proceso que se sigue es: 1. Se traza una recta R de mxi-ma pendiente del plano respecto al PH, y se determina por abati-mientos el ngulo F

H que forma

esta recta con el PH.2. Anlogamente para determi-nar el ngulo que forma el plano a con el PV se traza una recta S

a

aV

b

b

r'

r

v

v'

h'

h

75

3. Se obtiene el punto de interseccin de la recta R con el PH, es decir, en este caso por ser el plano g el horizontal de proyeccin, el punto I coincide con su traza horizontal H.4. Desde H se trazan rectas tangentes a la directriz del cono, de modo que cada una de estas rectas se corresponder con la traza horizontal de un plano que forma 75 con el PH y contiene a R.5. Para obtener las trazas verticales de los planos se tiene en cuenta que el vrtice V del cono ha de pertenecer a dichos planos, por tanto, se traza a y b pasando directamente por la proyeccin vertical v.

r

s

r

V

s

342 SEDITCNIC

a

b

c

ba

H{

v1

d

d

d1

c

ngulo que forma el tringulo ABC con el PH

Dado el tringulo ABC el proceso que se sigue es:1. Se determinan las trazas del plano que define el tringulo ABC, obteniendo a-a.2. Por cambios de plano se transforma el plano obtenido en un proyectante vertical, de modo que, el ngulo F que forma su traza vertical con la LT es el ngulo que forma dicho plano con el PH de proyeccin.

de mxima pendiente respecto al PV (recta de mxima inclinacin), y se determina por abatien-tos el ngulo F

V que forma esta recta con el PV.

Mtodo 3. Por cambios de plano o por giros

Transformando el plano oblicuo en un plano del tipo proyectante puede determinarse directa-mente el ngulo que forma ste con los de proyeccin. Esta transforma-cin puede efectuarse indistintamen-te por cambios de plano o por giros. As, empleando los cambios de plano se determina el ngulo F

H que forma

el plano a con el PH transformndolo en proyectante vertical, y anlogante se obtiene F

V transformndolo en

proyectante horizontal.

abV

a1

b

b1

VH1

{

VH1{

a

343SEDITCNIC

34Trazar las rectas que formen 60 con el PH, pasen por un punto A de un plano a-a, y estn contenidas en dicho plano

Dado el plano a-a y el punto A situado en l, el proceso a seguir es:1. Se toma el punto A como vrtice de un cono recto de revolucin cuyas generatrices forman 60 con el PH. Para representar el cono se ha dibujado la recta T frontal formando 60 con el PH.2. Cualquier recta generatriz de este cono formar con el PH el ngulo dado. Por tanto, los pun-tos de corte de la directriz con la traza horizontal del plano nos determinan las generatrices R y S que pertenecen al plano dado y forman con el PH el ngulo pedido.En este tipo de problemas, cuando la directriz del cono no corta a la traza horizontal del plano no existe solucin y cuando es tangente hay slo una solucin.

ngulos de una recta que corta a la LT con los planos de proyeccin

Resolveremos este problema por dos mtodos:Mtodo 1. Por abatimientosDada la recta R del tipo que corta a la LT, el proceso a seguir es:1. Se elige un punto cualquiera A en la recta.2. Se introduce la recta en un plano proyectante horizontal, y se abate dicho plano y la recta sobre el PH, obteniendo el ngulo (F

H) que forma R con el PH.

3. Anlogamente, se introduce la recta en un plano proyectante vertical, y se abate dicho plano y la recta sobre el PV, obteniendo el ngulo (F

V)

que forma R con el PV.

R

r

r

r

(R)

a

a

(A)

-chV

RrV

r

r

(R)a

a

(A)-ch

60

a

a'

r's'

rs

t

t

A

TR

S

60

344 SEDITCNIC

Trazar los planos que pasen por un punto A, son paralelos a una recta R y forman con el PH un ngulo de 75

Dado el punto A y la recta R, el proceso a se-guir es:1. Por A se traza una recta S paralela a R, y se determina su interseccin H con el PH.2. Por un punto A de S se construye un cono recto de vrtice A y directriz en el PH, de modo que sus generatrices formen el ngulo dado de 75.3. El problema tiene dos soluciones. Sus tra-zas horizontales se obtienen trazando desde H rectas tangentes a la directriz del cono, y sus trazas verticales se determinan haciendo la consideracin de que el vrtice del cono perte-nece a dichos planos.

a

a'

r'

s'

rs

h

h

Mtodo 2. Por giros1. Se elige un punto cualquiera A en la recta.2. Transformamos la recta en fron-tal, efectuando un giro alrededor de un eje vertical E que contiene a sus trazas. La recta despus del giro se convierte en R

1 (frontal situada en el

PV), siendo FH

el ngulo que forma di-cha recta con el PH.3. Anlogamente, se transforma la recta (que denominamos S) en horizontal, mediante el giro alrededor de un eje E de punta que pasa por sus trazas, obteniendo el ngulo F

V que forma la

recta con el PV.

r

r

r1a

a

e

V

s

s

b

b

ee

es1

r1 s1

b1

a 1

Proyecciones de una recta que corta a la LT conocidos los ngulos FH y F

V que forma con

los planos horizontal y vertical de proyeccin

Dados los ngulos FH=45

y F

V=30, el proceso a seguir es inverso al problema anterior, es

decir:1. Representamos un segmento de la recta R

1

frontal ya girado y situado en el PV (sus pro-yecciones son r

1 y r

1), de modo que forme el

ngulo FH=45 con la LT.

2. Anlogamente, representamos un segmen-to de la recta S horizontal ya girado y situado en el PH (sus proyecciones son s

1 y s

1), de

modo que forme el ngulo FV=30 con la LT.

3. Se comprende que un segmento de estas rectas ha de medir lo mismo al ser representa-do en verdadera magnitud por las rectas R

1 y

S1, por ello, con centro en sus trazas, se traza

un arco que corta en a1 a la proyeccin r

1 y en b

1 a la proyeccin s

1.

4. Deshaciendo el giro de la recta frontal R1 y la recta horizontal S

1, considerando los puntos

A1 en R

1 y B

1 en S

1 se obtienen las proyecciones r-r de la recta buscada.

V

r

r

n

n

r1

r -s1 1

s1

a 1

b1

345SEDITCNIC

34Traza por un punto A una recta que forma 30 con el PH y corte a la LT

Dado el punto A, el proceso que se sigue es:1. Se construye un cono recto de vrtice el punto dado A y generatriz en el PH, de modo que sus generatrices formen 30 con el PH.2. El problema tiene dos soluciones, pues-to que la directriz del cono corta a la LT en dos puntos. Las rectas as obtenidas son las generatrices R y S.

r'

r

s

s

a

a't

t

30

Rr

r

H-h

V-v

E-e

r

r

e

v

v

h

hv-e

h

h

H1

h

R1

r 1

r1

V

r

h1

V

V

Rectas que forman los ngulos FH y F

V con el PH y PV de proyeccin

Dados los ngulos FH y F

V que una recta R forma con los planos horizontal y vertical de proyec-

cin, el proceso que se sigue para determinar sus proyecciones es:1. Por un punto cualquiera V del PV se dibuja una recta frontal que forme el ngulo F

H con el

PH. La recta a determinar ser una generatriz del cono de vrtice V y directriz situada en el PH, siendo la recta frontal R

1 una generatriz de dicho cono.

2. De la representacin espacial se desprende que el ngulo FV

que forma la recta con el PV pertenece al tringulo rectngulo VHh recto en h. En este tringulo el cateto Vh repre-senta la proyeccin vertical r de la recta, y la hipotenusa la recta R del espacio. Por tanto, sabiendo que ha de ser recto en h y, que uno de sus ngulos es conocido, puede construirse geomtricamente dicho tringulo. As, tomando r

1 como hipotenusa se traza el arco capaz de

346 SEDITCNIC

()

a o

b o

a

r

(O)

r

b

(B)

t

t

O

A

60

Traza por A una recta R que forme 60 con el plano proyectante dado aDado el punto A y el plano a, el proceso a se-guir es:1. Por A se traza una recta T perpendicular al plano dado, y se determina su punto O de interseccin. 2. Se abate el plano, y con l el punto O.3. Se construye un tringulo rectngulo sa-biendo que uno de sus catetos mide la dis-tancia de A al plano, (representada por el segmento horizontal AO), y el ngulo opuesto mide 60. Se obtiene as la dimensin del otro cateto, que representa el radio de la circunfe-rencia directriz del cono.4. Se dibuja sobre el plano abatido la directriz del cono de radio conocido, y se seala en ella un punto cualquiera (B), obteniendo sus pro-yecciones b-b.5. El problema tiene infinitas soluciones, siendo una de ellas la recta R que pasa por A y B.

Trazar por un punto V los planos que formen 45 y 60 con el PH y PV respectivamente

Mtodo 1

Teniendo en cuenta que un plano tangente a un cono recto de revolucin presenta su traza con el plano que contiene a la directriz tangente a la base del cono, y que la generatriz del cono que pasa por el punto de tangencia coincide con la recta de mxima pendiente del plano, el proceso a seguir se fundamenta en ello, y en considerar que todo plano tangente a un cono lo es tambin a una esfera inscrita en el mismo. Los pasos a seguir son:1. Tomando el punto V como vrtice de un cono recto de base situada en el PH, se dibuja una generatriz frontal que forme 45 con el PH, representndose su directriz vista (media circun-ferencia) por debajo de la LT.2. Se dibuja la esfera de centro el pie de la perpendicular de la altura del cono y tangente a la directriz representada, mediante una circunferencia tangente a la generatriz frontal del cono, cuya mitad superior representa la parte vista de la proyeccin vertical y su otra mitad la parte vista de la proyeccin horizontal.3. Se dibuja otro cono con vrtice en el PH y base en el PV, de modo que la generatriz horizontal sea tangente a la esfera y forme 60 con el PV, obtenindose as el vrtice H del cono, cuya di-rectriz (media circunferencia) dibujamos por encima de la LT. De este modo, la esfera trazada es comn a los dos conos.4. Las trazas de los planos solucin tienen que ser tangentes a las directrices de ambos co-nos y adems han de contener a sus vrtices. En total pueden trazarse 6 planos, que quedan reducidos a 4 porque dos de ellos son paralelos. Los planos mencionados son el a y b que se

90 de dicho segmento; en v se construye el ngulo dado FV

obteniendo sobre el arco capaz h, quedando as determinado el tringulo rectngulo. vhh

1. Como se ha comentado anterior-

mente, este tringulo as construido representa el tringulo que se forma en el espacio VHh.3. Se traslada el segmento r del tringulo rectngulo construido, de modo que se corresponda con la generatriz del cono, obteniendo as la proyeccin vertical de dicha recta. A partir de esta proyeccin se determina su proyeccin horizontal r, cuya traza H sabemos que ha de hallarse sobre la directriz del cono.

347SEDITCNIC

34v

v-h

h

45

60

-

-

m

m

r

r

s

s

a-a b-b

Mtodo 2

Este mtodo se fundamenta en trazar un plano perpendicular a una recta R que pasa por la LT y forma con el PH y PV ngulos complementarios a los dados F

H y F

V . Los pasos a seguir son:

1. Desde un punto de la LT se traza una recta R perpendicular al plano a a determinar, sabien-do que R forma con el PH y PV los ngulos de 90-F

H y 90-F

V respectivamente, obteniendo las

proyecciones r-r de dicha recta.2. El plano a determinar a ha de ser perpendicular a esta recta trazada por cualquier punto, con la condicin de tener un punto en comn en la LT.

R

90-90

-V

I

mp

l..

r

r

V

90-

90-V

obtienen al trazar desde V y H las rectas tangentes a la directriz del cono (parte vista), y d y g como conse-cuencia del trazado de las rectas tangentes a la parte oculta de las directrices de los conos.5. Para determinar el pun-to de contacto con la es-fera en uno de los planos (por ejemplo el a), basta con dibujar las rectas R y S de mxima pendiente con respecto a cada plano de proyeccin, siendo la inter-seccin de estas rectas el punto de contacto M. Por tanto, tambin podemos decir que estas dos rectas que se cortan en M definen dicho plano a.

348 SEDITCNIC

a'

t'

o'

a

t

o

(O)

A

O

altur

a co

no

radiodirectriz

()

60

A

T

O60

(R)

Plano que forma un ngulo dado con otro del tipo oblicuo

Dado el plano a, y sabiendo que el ngulo que ha de formar el plano b (a determinar) con ste es de 60, el proceso a seguir es:1. Se realiza un esquema espacial del proceso a seguir, y se ejecutan en proyecciones cada uno de los pasos en los que el problema se descompone.2. Por un punto cualquiera A (exterior al plano a) se traza una recta T perpendicular al plano dado.3. Se determina la interseccin de esta recta con el plano, obteniendo el punto O.4. Se obtiene la verdadera magnitud del segmento AO. 5. Se abate el plano dado y el punto O.6. Se construye un tringulo rectngulo, siendo uno de sus catetos la verdadera magnitud del segmento AO, y su hipotenusa se traza formando 60 con el otro cateto, de modo que este cateto se corresponder con el radio de la directriz del cono.7. Con centro en (O) se dibuja la directriz del cono.8. Se traza una recta (R) tangente a la directriz. Al desabatir esta recta se convierte en la traza horizontal b del plano a determinar. Su otra traza b se determina imponiendo la condicin de que el punto A (vrtice del cono) ha de estar contenido en este plano. El problema tiene infini-tas soluciones como consecuencia de las infinitas rectas tangentes que se pueden trazar a la circunferencia directriz.

349SEDITCNIC

34

a

a'

t'

t

r'

rs

s'

(S)

(R)

b

b'

(B)

S

TR

A

BC

c

c'

ch

22

m

n

p

q

m-n

p-q

*

*

Determinar el ngulo en magnitud y posicin que forma la recta R con el cuadriltero re-presentado

Dadas las proyecciones de una recta R y las del cuadriltero MNPQ, y teniendo en cuenta que el proceso espacial para determinar el ngulo de una recta R con un plano a en posicin y magnitud queda reducido a determinar el ngulo de las rectas R y S (ver figura), aplicando dicho proceso a la representacin descriptiva, los paso a seguir son:1. Se deduce que el plano que contiene al cuadriltero es el a-a proyectante vertical, porque la proyeccin vertical de la figura se con-funde en una lnea.2. Por un punto cualquiera A de R se traza una recta T perpendicular al pla-no a-a. La recta ob-tenida T es del tipo frontal.3. La interseccin de T con el plano a-a es el punto C(c-c), y la interseccin deR con dicho plano, el punto B.4. La recta S se ob-tiene uniendo C con B.5. El problema ha quedado reducido a determinar el n-gulo que forman las rectas R y S. Su va-lor se ha determina-do por el mtodo de abatimientos sobre un plano frontal b.