Anexo. Modelos de problemas de lugares geométricos y otros “no métricos”.

Las técnicas presentadas en las dos últimas semanas, nos proporcionan herramientas para poder plantear

cualquier problema “nuevo” que no se ajuste exactamente al esquema de los que ya tenemos resueltos o

planteados. No son rigurosamente problemas métricos, porque no nos piden medir distancias, áreas,

ángulos…pero utilizan planteamientos comunes.

A/ Lugares geométricos

El concepto de Lugar geométrico, lo analizamos y utilizamos el curso pasado en el plano y es el mismo en

el espacio. Se trata de encontrar figuras, cuyos puntos cumplan una condición dada.

Esto no supone conocer nueva teoría, sino aplicar la disponible, por ejemplo, una esfera se define como el

lugar geométrico de los puntos que equidistan (igual distancia) de uno dado fijo (el centro). Esa distancia,

no es otra que el radio r.

En cierto sentido, trabajar con ecuaciones en lugares geométricos es equivalente a la estrategia del punto

genérico. Buscamos condiciones que verifique cualquier punto de la figura buscada.

Vamos a analizar algunos ejemplos típicos (ninguno de circunferencias), pero debes tener en cuenta que

en cada uno de estos problemas caben múltiples planteamientos (indicaremos algunas alternativas), por

lo que no tienes que conocer ninguna teoría de lugares geométricos. Realmente son contextos en los que

se presentan nuevos problemas.

Ejemplo:

Sustituyendo los datos encontraríamos la ecuación de la circunferencia, aunque no la hayas dado si conozcas en teoría que estructura tiene.

Equidistantes, nos indica igualdad de distancias, por tanto, ya me están dando la ecuación. Igualar distancias y simplificar.

Aquellos que tenéis una base de dibujo, sabéis que a este plano se corresponde con la “mediatriz” de los puntos A y B. Otra alternativa:

Calcular el vector 𝐴𝐵 coincidirá con el ventor normal al plano buscado, 𝑛 = 𝐴𝐵

Calcular un punto del plano. El punto medio, M del segmento AB, pertenece al plano.

Con el punto medio M, y el vector normal calculo la implícita del plano Es muy importante, hacer un planteamiento gráfico previo para clarificar la estructura del problema

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo.

Equidistantes, nos indica igualdad de distancias, podemos utilizar la expresión de distancia de un punto a un plano. Importante: Para resolver ecuaciones con valor absoluto del tipo 𝐴 = 𝐵 debemos recordar que se pueden dar dos casos:

Si A y B tienen el mismo signo 𝐴 = 𝐵, directamente eliminamos los valores absolutos

Si A y B tienen distinto signo 𝐴 = −𝐵, eliminamos los valores absolutos, cambiando un miembro de signo

𝐵 ∗

𝐶 ∗

𝐴 ∗

𝑟

Expresamos el punto A como punto genérico de la recta (paramétricas en coordenadas) Obligamos a que este punto verifique la condición dada). En este caso se obtiene una única solución

Área del triángulo a partir del módulo del producto vectorial

Cualquieras de estas expresiones ya es solución al problema

+

Recuerda, no tienes que conocer las ecuaciones de estas figuras, sólo saber calcularlas aplicando condiciones y simplificando

B/ Otros modelos de problemas “no métricos”

En algunos encunciados, no encontraremos literalmente el término “lugar geométrico”, no obstante, hay

muchos problemas que guardan una relación muy estrecha con los ejemplos anteriores o con los

planteados en cálculos métricos. Las estrategias son comunes.

Ejemplo:

Ejemplo:

Recuerda, que esta estrategia la utilizábamos para calcular la distancia de un punto a un plano mediante el método constructivo. Aquí estamos ampliando el uso de dicha estrategia

Igual que en el caso anterior, esta estrategia la utilizábamos para calcular la distancia de un punto a una recta mediante el método constructivo. Aquí estamos ampliando el uso de dicha estrategia incorporando el simétrico.

Ejemplo. Esta última situación es muy frecuente que te la encuentres como modelo avanzado de

problema de geometría en las pruebas de acceso

De nuevo, este problema es una variante de un problema métrico. En este caso se utiliza l misma estrategia que para calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan mediante el método de los puntos genéricos (de hecho lo piden en el apartado b)). Recuerda que este problema no se puede resolver por cualquiera de los otros dos métodos tratados.