ANEXO

DESARROLLO TÉCNICO DE LA INVESTIGACION

PROYECTO

DESARROLLO DE UN SIMULADOR DE PROCESOS DE SECADO DE MEDIOS POROSOS

Clave 20050343

Desarrollo de un simulador de procesos de secado de medios porosos.

Objetivo General. Simular computacionalmente los procesos de secado, a partir del conocimiento de la teoría de secado de medios porosos y de los datos experimentales que se están obteniendo. Resumen El secado puede ser definido como una operación unitaria en la cual una separación sólido/líquido es acompañada por un suministro de calor, con el resultado de la separación por evaporación del líquido [C.M. Va´t Land]. El secado ha sido utilizado desde que se descubrió por primera vez que los alimentos pueden ser preservados y que algunos materiales a través del secado pueden convertirse en buenos materiales estructurales. Actualmente, muchos productos son secados por una variedad de razones incluyendo preservación, reducción de peso o volumen para su transporte, mejorar su estabilidad dimensional, o como una etapa mas de su procesamiento. La gran mayoría de los productos a secar son materiales porosos o bien se comportan como tales, como por ejemplo: las partículas de materiales o los materiales pulverizados. Franzen en 1987 estimó que más de 2x108 kJ de energía se consumen solamente en el secado de alimentos cada año, y por otro lado Strumillo en 1995 determinó que 12% de todo el consumo de energía a nivel industrial es empleado en procesos de secado. Lo cual da una idea de la importancia de este proceso en la industria. Por otra parte, hay que considerar que dentro del área de secado de medios porosos, se presentan siempre tres problemas fundamentales:

1. El relacionado con los aspectos físicos y matemáticos del proceso. En principio el conocimiento del fenómeno de transporte y propiedades de equilibrio químico (por ejemplo isotermas de absorción) permiten el calcular los perfiles de temperatura y humedad en un material a secar como una función del tiempo y además se puede conocer la rapidez y tiempo de secado.

2. Los cambios en los productos durante el proceso: El proceso de deshidratación o secado influencia la calidad de los productos en un sentido amplio de la palabra. Se puede distinguir entre:

a) La influencia del secado en los microorganismos y su proceso metabólico.

b) Las conversiones enzimáticas. c) Conversiones químicas durante el proceso d) Cambios físicos durante el secado

Todos los cambios mencionados anteriormente dependen de la temperatura, actividad del agua y tiempo, así que por lo tanto también dependen de los perfiles de temperatura y humedad como una función del tiempo. Además tales factores como la composición y estructura de los productos, el pH y la presencia de oxígeno juegan un papel importante. Muchas conversiones ocurren durante el periodo precedente a la deshidratación y durante el almacenamiento posterior al secado. Es por esto que debe considerarse siempre la historia completa del producto desde su cosecha hasta su consumo final.

3. Optimización del proceso de secado. El equipo de secado debe ser seleccionado

y diseñado de tal forma que se obtenga una relación favorable costo-calidad. En el costo del secado, el consumo de energía es el principal factor a considerar. Este es influenciado primariamente por la selección de las condiciones de secado y el contenido final de humedad. Dada una cierta cantidad de material a procesar, los mismos factores determina la calidad del producto final. El contenido de humedad del material a secar también influencia fuertemente su almacenaje y por lo tanto un cierto tiempo de vida almacenado.

Así en base a lo mencionado anteriormente, se comprende la importancia del estudio de los procesos de secado, con el objeto de buscar la forma de optimizarlos y lograr al mismo tiempo productos de buena calidad. En este sentido en el presente proyecto se busco en base al desarrollo un simulador de procesos de secado usando las soluciones numéricas de las ecuaciones de los modelos de Luikov, Whitaker y Kowalski, lograr predecir el comportamiento de los perfiles de contenido de humedad, temperatura, y deformación de los medios porosos. La utilidad que representa este simulador es que permite determinar los efectos de los parámetros del medio secante en los materiales a secar, con lo cual es factible optimizar los procesos de secado, esto conlleva a obtener materiales con menos defectos, así como una importante reducción en el consumo de energía. Métodos y Materiales La metodología que se siguió para cumplir con los objetivos y las metas planteadas en el proyecto fue la siguiente:

1. Estudio de los modelos de secado, para seleccionar los que una vez resueltos puedan proporcionar la mayor información posible del proceso, en especial de los efectos sobre el material a secar.

2. Solución numérica de los modelos seleccionados. 3. Validación de la solución en base a datos obtenidos por otros investigadores. 4. Desarrollo experimental. En esta etapa se realizaron experimentos de secado

utilizando madera de pino como medio poroso, y utilizando el túnel de secado diseñado y construido con los recursos de proyectos anteriores. Se obtuvieron los perfiles de contenido de humedad, temperatura y deformación, para compararse con los valores proporcionados con las soluciones numéricas.

Estudio de los modelos de secado. El conocimiento de los mecanismos que intervienen en el secado, esto es de procesos involucrados en los fenómenos de transferencia de calor y masa es la clave para entender el curso del proceso y prever el comportamiento del material a secar. El cálculo de los perfiles de contenido de humedad requiere del conocimiento de los coeficientes de transferencia de calor y masa y de las difusividades del agua o los coeficientes de difusión aparentes. Los datos concernientes a los coeficientes de transferencia de masa pueden ser derivados a partir de correlaciones directas o a partir de los mejor conocidos coeficientes de transferencia de calor. Sin embargo, los datos acerca de la difusividad del agua son todavía escasos. Es recomendable el conocer la influencia del contenido de humedad en las propiedades de transporte para ayudarse a conocer su dependencia de la temperatura. Es conocido que la difusividad del agua depende fuertemente de la temperatura y frecuentemente esta muy relacionada con el contenido de humedad, pero existen pocos diagramas disponibles. Esto es causado por que la determinación experimental de esta propiedad es difícil y la transferencia de humedad interna pude tener lugar en diferentes formas, y frecuentemente existe una mezcla de varios mecanismos de transporte, y las contribuciones de los diferentes mecanismos al transporte total varía de lugar en lugar y cambia conforme avanza el proceso de secado. Lo medios porosos a secar se pueden clasificar de la siguiente forma: Medios capilares porosos. Algunos ejemplos de ellos son: lechos empacados de arena, minerales triturados, cristales no higroscópicos, algunas cerámicas. Los criterios para definirlos son:

1. Existe un espacio de poro claramente reconocible, este espacio de poro es llenado con líquido si el medios capilar poroso esta completamente saturado, y lleno con aire cuando el medio esta completamente seco.

2. La cantidad de agua ligada es despreciable. Por ejemplo el medio es no higroscópico (Xe ≅ 0).

3. El medio no sufre de encogimiento durante su secado. Medios higroscópicos porosos. Posibles ejemplos son: barro, madera y textiles: los criterios para definirlos son:

1. Existe un espacio de poro claramente reconocible. 2. Existe una gran cantidad de agua físicamente ligada. 3. Frecuentemente ocurre encogimiento en las etapas iniciales del secado.

Esta categoría puede además ser clasificada a su vez en:

a) Medios porosos higroscópicos capilares (existen micro y macroporos, incluyendo medios dispersos)

b) Medios estrictamente higroscópicos (solo existen los microporos). Medios coloidales. Posibles ejemplos son: polímeros, pegamentos, y algunos productos alimenticios. Los criterios que los definen son:

1. No existe un espacio de poro (la evaporación solo tiene lugar en la superficie) 2. Todo el líquido esta físicamente ligado.

Por supuesto esta clasificación se aplica solamente a medios homogéneos, los cuales pueden ser considerados como continuos para el transporte. Muchos sistemas prácticos no cumplen con este criterio. Las operaciones de secado o deshidratación son pasos importantes en muchos procesos industriales tales como: plantas químicas, procesado de alimentos, en el almacenamiento de granos, entre otros. El objetivo básico del secado de productos de origen biológico es remover el agua a un nivel en el cual el deterioro microbal sea minimizado. Durante el secado, tienen lugar en el producto cambios en sus características químicas, físicas y biológicas, entre otras. Un análisis del secado frecuentemente se basa en las condiciones externas, tales como temperatura, humedad y velocidad del aire, las cuales se correlacionan con la rapidez de secado del sólido. La ventaja de este procedimiento es su simplicidad, ya que se pueden formar grupos adimensionales con lo que el número de experimentos se reduce. Los modelos teóricos del secado frecuentemente consideran no solamente las condiciones externas, sino también los mecanismos del movimiento interno de humedad y sus consecuentes efectos, esto es porque muchos de los cambios ocurridos al producto durante el secado son internos, tales como cambios de forma y estructura del producto, ruptura, deterioro de proteínas y oxidación de componentes inestables. Los esfuerzos que provocan deformaciones en un producto durante el secado, pueden ser minimizados por el uso de evaluaciones teóricas de las distribuciones de temperatura y humedad durante el proceso, junto con las ecuaciones que describen los esfuerzos en sólidos viscoelásticos o elásticos. Los principales modelos teóricos para la transferencia de calor y humedad en cuerpos porosos capilares que son más citados en la literatura son las teorías de: difusión, capilar, vaporización-condensación, Krischer, Luivok, Philip-DeVries, Whitaker y Kowalski. Varias revisiones de las teorías de secado han sido presentadas recientemente, la mayoría de estas enfocan su atención en solo unos pocos de los modelos mencionados. Las implicaciones y restricciones de las diferentes teorías han sido mostradas solamente esporádicamente y de forma incompleta. Antes de proceder a explicar las diferencias entre las diferentes teorías, se realiza una revisión de los conceptos fundamentales del secado. La mayoría de las nuevas teorías de secado se enfocan más al estudio del periodo de rapidez decreciente, dado que el periodo de rapidez constante es determinado por cálculos relativamente simples. La siguiente es una descripción de los principales eventos físicos que pueden ocurrir durante el secado de productos de origen biológico: Periodo de rapidez constante: Sí al inicio del secado el material esta completamente húmedo, un flujo de líquido puede ocurrir bajo un gradiente hidráulico. La humedad es

entonces liberada, ejerciendo su presión de vapor (sí el efecto de los solutos es despreciable) manteniéndose en la superficie y en los capilares mayores. Gradualmente se forman bolsas de aire, remplazando la perdida de humedad. La temperatura en la superficie es aproximadamente la temperatura de bulbo húmedo. Existe un decremento en el diámetro del poro y capilares, y el volumen de encogimiento es aproximadamente igual al volumen del agua evaporada. Primer periodo de secado: La humedad aún ejerce su presión de vapor y es transferida principalmente por capilaridad. La fricción interna impide el encogimiento de las capas exteriores, la cual tiende a secarse más rápidamente. Con secado adicional, el contenido de humedad disminuye y partículas de agua líquida forman puentes en el esqueleto del sólido. Un movimiento simultáneo de vapor puede empezar. Esta transferencia de vapor puede tener lugar aún a altas saturaciones del poro, en presencia de gradientes de temperatura del orden de 1 oC/mm. La teoría de Rounsley de la adsorción da un soporte adicional a esta transferencia por la predicción que aún a presiones parciales relativamente altas, una fracción de la primera y segunda capa de moléculas de agua adsorbida por el sólido son vaciadas y la transferencia de vapor puede tener lugar. Esta etapa de secado corresponde al estado funicular. La temperatura sobrepasa la temperatura de bulbo húmedo. Es común asumir que el agua entonces también se mueve por difusión. Segundo periodo de secado: La rapidez de secado decrece fuertemente, la humedad se mantiene en los capilares más finos y puede migrar por ascensión capilar a lo largo de las paredes capilares o por sucesiva evaporación y condensación entre “puentes” de líquido. Esta es la transferencia de líquido asistida por vapor descrita por Philip y De Vries. La presión parcial del vapor de agua disminuye. El encogimiento aún tiene lugar pero a un ritmo mucho menor. Tercer periodo de secado: El secado tiene lugar en todas las porciones interiores del material. La humedad que esta inicialmente adherida en capas multimoleculares, finalmente se encuentra en una sola capa. Se alcanza un equilibrio cuando la cantidad de agua que se vaporiza iguala la cantidad que se condensa. Mecanismos de movimiento de la humedad. Los siguientes posibles mecanismos para explicar el movimiento de la humedad en un sólido pueden encontrarse en la literatura:

1. Difusión líquida: debido a los gradientes de concentración. 2. Difusión de vapor: debido a los gradientes de presión parcial del vapor (causada

por los gradientes de temperatura). 3. Movimiento de líquido: debido a fuerzas capilares 4. Flujo de líquido o vapor debido a diferencias en la presión total, causado por

presión externa, encogimiento, alta temperatura y capilaridad. 5. Efusión (Flujo Knudsen): existe cuando el camino libre medio de las moléculas

de vapor es del orden del diámetro de los poros. Este es importante solamente en condiciones de alto vacío (como en secado por congelación). Luikov tomo en cuenta la efusión y otros mecanismos agrupándolos en una sola ecuación de difusión.

6. Movimiento de líquido debido a la gravedad: es frecuentemente despreciado, dado que no influencia significativamente el secado de alimentos. De hecho Babbit señalo que el término de gravedad que aparece en las ecuaciones de secado es despreciable cuando las dimensiones del poro son pequeñas.

Difusión superficial: no es tomada directamente en consideración por ninguna de las teorías existentes. Philip y De Vries sugieren que parece improbable la difusión en la fase adsorbida pudiera afectar significativamente el proceso total de transferencia de calor y masa. Su razonamiento es que parte del vapor que se evapora desde o condensa en la superficie puede recircular en un poro lleno de aire a través del proceso de migración superficial. Teorías del Secado de Medios Porosos. Desde el punto de vista del desarrollo de las teorías que intentan explicar el transporte de la humedad en los medios porosos, se pueden mencionar los intentos por desarrollar diversos modelos matemáticos de secado, mismos que han surgido del estudio a escala microscópica, macroscópica o experimental. Entre los modelos microscópicos que se han desarrollado para explicar el proceso de secado, el mas representativo es el de la “teoría cinética”, el cual se aplica para estudiar la migración de la humedad en un poro o tubo capilar individual. Los modelos experimentales, han surgido para explicar la migración de la humedad en un sólido de forma global. Se basan en el conocimiento empírico, y son de aplicación muy específica para un producto en particular, tipo de secador y condiciones de secado. Estos modelos son los más abundantes dentro de la literatura del área de secado, y en ocasiones es posible encontrar dos o tres modelos diferentes para la misma aplicación. Por otro parte, dentro de los modelos macroscópicos se encuentran los modelos de difusión simultánea de vapor y líquido, destacando los desarrollados por Van Der Zanden (1995) y Kolhapure (1977), los modelos de transferencia simultánea de masa, calor y momentum, sobresaliendo los realizados por Whitaker (1977) y Stanish (1986), y los modelos de termodinámica de procesos irreversibles elaborados por Kowalski (1997) y Luikov (1966). El desarrollo de un modelo general del proceso de secado se inició a fines de los años 1930’s, cuando Henry (1939) estudió la difusión de vapor en piezas de algodón. Posteriormente, Philip y De Vries (1957) propusieron un modelo, en el cual tanto los flujos de vapor y líquido fueron considerados y expresados en términos del contenido del gradiente volumétrico de humedad, del gradiente de temperatura y de la contribución gravitacional. Así, varios conjuntos de ecuaciones a nivel macroscópico han sido propuestas en la literatura para la simulación del proceso de secado en términos de la transferencia de calor y masa en medios porosos. La diferencia fundamental entre estos modelos radica en el número de variables de estado usadas para describir al medio. Los modelos propuestos se clasifican en la siguiente forma:

- De una variable: Contenido de humedad (o su equivalente, saturación, potencial del agua, etc). - De dos variables: Contenido de humedad (o su equivalente) y temperatura (o una variable equivalente: entalpía, etc.). - De tres variables: Contenido de humedad (o su equivalente), temperatura (o su equivalente) y presión del aire en el interior del poro (o una variable equivalente: densidad del aire, densidad de aire intrínseca, etc.) Hoy en día, los investigadores usan los modelos de tres variables de estado, que generalmente concuerdan mejor con los resultados experimentales que se han obtenido en laboratorio. A continuación, se describen brevemente las diferentes teorías en uso para explicar la migración de la humedad en medios porosos durante el proceso de secado. Teoría de difusión líquida. Lewis, Newman, y Sherwood, consideraron que el movimiento de humedad durante el secado se debe únicamente al mecanismo de la difusión líquida, por lo que se puede representar el proceso por la ecuación de Fick:

( )MKt

Ml∇∇=

∂∂ (1)

La ecuación (1), ha sido usada con varias consideraciones, tales como coeficientes de difusión constantes, medios isotrópicos, o condiciones de frontera de primer orden. La teoría de difusión líquida ha ganado preferencia entre los investigadores en el área de alimentos y granos. Algunos investigadores han solucionado la ecuación de difusión para cuerpos regulares. El coeficiente de difusión líquida Kl, normalmente se asume constante, o linealmente dependiente de la temperatura o concentración.

Considerar la difusión líquida como el único mecanismo para el movimiento de humedad, conduce a ciertos errores, dado que cuando se comparan los valores calculados por esta teoría y los obtenidos experimentalmente, las discrepancias se hacen evidentes, tal y como ha sido demostrado. Sin embargo, ha señalado que los resultados podrían tener una mejor correlación sí para algunos casos se usaran coeficientes de difusión variables. La justificación para la aceptación de esta teoría es que la solución de la ecuación de difusión tiene un comportamiento logarítmico similar a las curvas experimentales de secado. El movimiento de humedad a través de la difusión líquida no puede ser negado, y teorías mas sofisticadas retoman la ley de Fick como representativa para el movimiento del líquido y vapor. El problema entonces se centra en la consideración de que el movimiento de líquido sea el único mecanismo para la transferencia de humedad en

todas las etapas de secado. Aplicar la ecuación de difusión líquida como ecuación general, equivale a asumir la difusión isotérmica y entonces, despreciar los gradientes de temperatura dentro del sólido. Como se ha demostrado a partir de las teorías mas recientes, la teoría de difusión no toma en cuenta el encogimiento y/o endurecimiento del esqueleto del cuerpo sólido, o las isotermas de adsorción. Así, el significado físico del coeficiente de difusión es mal interpretado al considerarse como el resultado simultáneo de varios efectos, y por otra parte, también debe recordarse que es dependiente de la concentración y de la temperatura. Teoría Capilar. La teoría capilar se refiere al flujo de un líquido a través de los intersticios y sobre la superficie de un sólido, debido a la atracción molecular entre el líquido y el sólido. Este fenómeno fue analizado primero por Buckinghan, quien introdujo el concepto de potencial capilar como fuerza conductora para flujo capilar no saturado. La ecuación que describe este fenómeno es:

MKKJ sHHl ∇=∇−= ρψ (2) En la ecuación 2, el potencial de flujo capilar ψ se considera proporcional al gradiente de concentración de humedad. Algunos investigadores han señalado que en el secado de sólidos granulares, el flujo de humedad es determinado totalmente por fuerzas capilares y entonces es independiente de la concentración de humedad. Como se ha demostrado a través de experimentos, el flujo de humedad puede ser en la dirección del incremento de concentración, lo cual puede explicarse estableciendo que la fuerza conductora es un gradiente de tensión. El argumento es que tanto las leyes de tensión superficial y del flujo viscoso están basadas en la presión. Solamente para medios homogéneos y fuerzas del cuerpo despreciables, la tensión es proporcional al contenido de humedad. La humedad alojada en los intersticios de sólidos, así como el líquido que cubre la superficie y el agua libre en las cavidades celulares están sujetos a movimiento por la gravedad y capilaridad mientras existan caminos o pasajes para la continuidad del flujo. En el área de secado de alimentos, la teoría de flujo capilar ha sido aceptada como uno de los mecanismos fundamentales, principalmente para la etapa de secado con alto contenido de humedad. Teoría de condensación-evaporación. El interés por comprender el comportamiento de la humedad en pacas de algodón, llevó al estudio de la difusión de una sustancia a través de otra en los poros de un cuerpo sólido. Aún cuando esta teoría no está limitada al vapor como única sustancia difusiva, la mayoría de los trabajos y los modelos basados en esta teoría, consideran que la humedad fluye enteramente en fase gaseosa. Esta teoría llamada de “Henry” toma en

cuenta la difusión simultánea de calor y masa, y asume que los poros forman una red contínua de espacios incluidos en el sólido. Además, también asume que la cantidad de vapor varía en forma lineal con la concentración de vapor y temperatura, tal y como se representa por el sistema de ecuaciones siguiente: - transferencia de masa:

tM

MKt

M vvv ∂

∂−∇=

∂∂ 2γ (3)

- transferencia de calor:

tT

Tkt

M∂∂

−∇=∂∂ 2ε (4)

Posteriormente, con el desarrollo de una teoría para la transferencia simultánea de calor y masa para el segundo periodo de secado en un sólido poroso, se hace la consideración de que las fases líquida y gaseosa del sistema poroso están tan finamente distribuidas desde el punto de vista macroscópico, que el sistema puede tomarse como de una sola fase. Se concluye que el mecanismo de flujo capilar no es el único mecanismo presente al inicio del período de rapidez de secado decreciente, sino que también ocurre la transferencia de vapor por difusión. Otros modelos basados en esta teoría, consideran una dependencia lineal entre presión, contenido de humedad y temperatura. Teoría de Luikov En el área de secado, Luikov está considerado como el descubridor del fenómeno de difusión térmica y también el que estableció que el gradiente de temperatura es un factor causante de la transferencia de humedad en los materiales. En el desarrollo de su teoría, Luikov empleó principios de la termodinámica de procesos irreversibles. Para el caso de transferencia interna de calor y masa en cuerpos capilares porosos, Luikov considera que los flujos debido a la difusión de vapor y difusión líquida están conformados por dos partes; una debida al gradiente de concentración de humedad total, y el otro debido al gradiente de temperatura. Esto queda representado por el sistema de ecuaciones siguiente: - transferencia de calor:

tU

cLC

TatT m

∂∂

′′

+∇′=∂∂ ε2 (5)

- transferencia de masa:

TDUDtU 22 ∇′′+∇′=∂∂ δ (6)

En la ecuación (6), Luikov introdujo el concepto del “potencial de transferencia de masa” U, en analogía al contenido de calor (entalpía en la transferencia de calor), para explicar el porqué cuando diferentes materiales húmedos están en contacto, existe transferencia de masa desde el cuerpo con mayor concentración de líquido al cuerpo con menor concentración de líquido. Así, el potencial de transferencia de masa es función del potencial del contenido de humedad y de la temperatura del sólido. La introducción del concepto “potencial de humedad”, que es un parámetro empírico y no bien comprendido todavía, es el motivo por el cual algunos investigadores tienden a desacreditar la teoría de Luikov. Teoría de Philip y De Vries Independientemente de los trabajos de Luikov, Philip y De Vries, derivaron un conjunto de ecuaciones que describen la transferencia de calor y humedad en materiales porosos bajo gradientes combinados de temperatura y humedad. Su aproximación básicamente asume que la humedad se mueve tanto por difusión, como por capilaridad. El sistema de ecuaciones que representa esta teoría es: - transferencia de calor:

( ) ( )MKLTktT

c vs ∇⋅∇+∇⋅∇=∂∂′ρ (7)

- transferencia de masa:

MKJ ll ∇−= (8) Philips y De Vries extendieron su modelo para mostrar separadamente los efectos de los componentes isotérmicos y térmicos de la transferencia de vapor. La mayor limitación de la teoría de Philip y De Vries radica en que las ecuaciones del modelo solo se usan para la llamada “región capilar de la isoterma de sorción” (primer periodo de secado), debido a que es en dicho periodo donde se mantiene en el medio poroso una película de humedad continua, en el interior de los poros. Teorías de Krischer y de Berger-Pei Krischer analizó la transferencia de calor y masa en una amplia variedad de medios porosos. Su trabajo ha servido como base para muchas de las teorías de secado. En su teoría básica, Krischer considera que durante el secado, la humedad puede migrar en el estado líquido por capilaridad y en el estado de vapor por un gradiente de concentración de vapor. Las ecuaciones que representan este modelo son: - transferencia de calor

( )[ ] ( )tT

tM

tMaMMaK

cL

T vv

lvvs ∂

∂=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

−−∇−∇−′

+∇ ρρ

ρρρ

α 22 (9)

- transferencia de masa:

( )[ ] ( ) ( )t

Mat

MMMMaKMK vvlvvvll ∂

∂−+

∂∂

−=∇∇−∇−+∇ρρρρρρ 22 (10)

A su vez, Berger y Pei, señalaron que las principales dificultades encontradas en el modelo de Krischer son la aplicación de la isoterma de sorción y el uso de las condiciones de frontera del primer tipo. Berger y Pei a diferencia de Krischer, emplearon las ecuaciones acopladas de la transferencia de calor y masa, aunque cabe señalar que este modelo solo ha sido aplicado a unos pocos casos. Teoría de Kowalski - Strumillo S. Kowalski y C. Strumillo establecieron que un modelo integral de la transferencia simultánea de calor y masa, que involucre todos los factores que intervienen en dicho proceso, implica serios problemas para resolverse analíticamente, y en uno de sus trabajos sugirieron que podría establecerse un modelo mas simple, en base a la termodinámica de los procesos irreversibles, tomando en cuenta la transferencia de calor y masa, así como la presencia de esfuerzos. La incorporación de las ecuaciones de esfuerzo-deformación, a las de transferencia de energía y masa para analizar el proceso de secado, constituye la parte novedosa de la teoría de Kowalski, ya que hasta antes de su aparición, en casi todos los modelos de secado se consideraba que el sólido no sufría deformaciones, lo que representa una simplificación para evitar llegar a un sistema de ecuaciones diferenciales prácticamente imposibles de resolver de forma analítica. Las ecuaciones que representan al modelo de Kowalski son: - transferencia de calor

tMK

txyK

tT

xTk lE ∂

∂−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ 2

2

2 (11)

- transferencia de masa

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂

=∂∂

tT

txy

tM

xMK TS

l γγ2

2

2 (12)

- ecuación de esfuerzos-deformación:

xM

xT

xy

AR ST

∂∂

+∂∂

=∂∂

+ γγ2

2

)2( (13)

La solución de este sistema de ecuaciones, permite conocer al mismo tiempo: contenido de humedad, temperatura, deformación y esfuerzo en los materiales durante su proceso de secado. La teoría de Kowalski es relativamente reciente, y este es el motivo por el que no se conoce mucho sobre la validez de los resultados que se pueden obtener con la misma en su aplicación a diferentes materiales. Teoría de Whitaker Whitaker desarrolló su teoría del secado de medios porosos a partir de las ecuaciones de cada fase del proceso y estableció una serie de ecuaciones de conservación para un volumen promedio del sólido. Esta modelación en general no difiere sustancialmente de la planteada por Luikov, pero debido a que tiene un buen sustento físico y matemático, ha tenido una buena aceptación en el área de secado, al grado de ser considerada como la mejor aproximación al estudio del secado en materiales porosos. Las ecuaciones del modelo de Whitaker son: - transferencia de calor

[⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−∇−∇−∇+

∂∂ **

* 11v

lb

ll

sSplp MDpD

tT

c ρερ

ρερερ

ρρ σ

] ( ) } =∇⋅∇−−∇− TcpDcgTD pgpgpllT ρσ

( ) ( ) smhmmLTk bsbleff +−+−∇⋅∇= &&& (14)

- transferencia de masa

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−∇−∇−−∇−⋅∇+

∂**

** 11

vl

bll

sSplPMs MDDpD

tM

ρερ

ρερερ

ρρ σ

] 0*

* =⎪⎭

⎪⎬⎫⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−∇−−∇−

g

vvagbbleT DDgTD

ρρ

ρρρσ (15)

Hoy en día, la mayoría de los modelos de secado que están siendo estudiados, se originan en gran parte en los trabajos de Whitaker, con algunas modificaciones, para tomar en cuenta la migración de la humedad y el efecto de sobrepresiones internas en el medio, durante el secado. Las ecuaciones de balance de masa, momento y energía de donde se origina este modelo, se plantean para analizar el proceso de migración de la humedad y la mezcla gaseosa a un nivel microscópico. Posteriormente se promedian sobre un volumen representativo para obtener las ecuaciones del fenómeno a nivel macroscópico. De esta

forma, cualquier material poroso puede modelarse considerando a la fase sólida como un medio contínuo. La principal dificultad en la aplicación de la teoría de Whitaker, es la dificultad para lograr una descripción apropiada del medio poroso real a nivel microscópico. Validación de las soluciones numéricas. Para el desarrollo del simulador de procesos de secado se seleccionaron los modelos de Luikov, Whitaker y Kowalski. Las soluciones numéricas de estos modelos se han comparado con respecto a los resultados teóricos y experimentales obtenidos por Thomas, Cervantes y Liu, para el secado de madera de abeto, con el objeto de validar las soluciones obtenidas.

Tabla 1. Datos de la madera de abeto y medio secante

En la tabla 1, se muestran los principales datos del proceso de secado de la madera de abeto, según Liu y Thomas, y que a su vez constituyen los parámetros para resolver los modelos de Whitaker, Luikov y Kowalski. En las figuras 1 y 2, se presenta la comparación entre los resultados obtenidos por Liu, Thomas y Cervantes, y los proporcionados por los modelos de Luikov, Whitaker y Kowalski.

Propiedad

Abeto

Densidad 370 kg/m3 Calor específico 2500 J/kg K Conductividad térmica 0.65 W/m K Coef. conductividad de humedad 2.20 x 10-8 kg/ ms M Espesor del material 0.024 m Temperatura inicial 10 oC Potencial de humedad inicial 86 M Porosidad 0.425 Contenido de humedad inicial 86 % Datos del Medio Secante

Temperatura 110 oC Coef. De convección de calor 22.5 W/m2 K Coef. De convección de humedad 2.50 x 10-6 kg/m2 s M Pot. de humedad 4 M Tiempo de secado 60 000 s

0

20

40

60

80

100

120

0 100 600 1200 2400 3600 6000 12000 18000 30000 48000 60000

tiempo (s)

cont

enid

o de

hum

edad

(%)

Liu experimental Luikov Kowalski Whitaker Cervantes

Figura 1. Variación del contenido de humedad en la madera de abeto. Comparación de soluciones numéricas con respecto a valores reportados por Liu, Thomas y Cervantes

En la figura 1, se observa que la curva de contenido de humedad experimental reportada por Thomas para el secado de madera de abeto presenta una disminución del contenido de humedad acorde con lo esperado para el periodo de rapidez de secado de velocidad constante, pero a los 6000 s, súbitamente se va incrementando la humedad hasta que transcurridos los 12000 s nuevamente vuelve a disminuir el contenido de humedad en una forma mas lenta que parece coincidir con el periodo de secado de velocidad decreciente. Aunque Thomas en sus trabajos no menciona ninguna explicación respecto al comportamiento de la curva del perfil de contenido de humedad, éste podría explicarse por la interrupción del proceso de secado a los 6000 s, ya que este hecho podría ser la causa de un reacomodo de la humedad dentro de la madera. Este fenómeno se ha podido observar en el caso de la madera de pino y se ejemplifica en la figura 3. Las soluciones del modelo de Luikov que han desarrollado Liu y Cervantes, predice una disminución del contenido de humedad mas rápida que la obtenida experimentalmente, dentro de los primeros 3600 s del proceso. Entre los 3600 y 60000 s las soluciones de Liu y Cervantes establecen que la pérdida de humedad es más lenta que la medida experimentalmente por Thomas. Con respecto a las soluciones desarrolladas para los modelos de Luikov, Whitaker y Kowalski en esta investigación, se observa que en el periodo de tiempo de 3600 a 18000 s es donde existe la mayor variación con respecto a los valores experimentales, pero fuera de dicho intervalo existe una buena aproximación entre los resultados.

0

20

40

60

80

100

120

0 100 600 1200 2400 3600 6000 12000 18000 30000 48000 60000

Tiempo (S)

Tem

pera

tura

(C)

Luikov experimental Liu Kowalski Whitaker Cervantes

Figura 2. Variación de la temperatura en la superficie de la madera de abeto. Comparación de soluciones numéricas con respecto a valores reportados por Liu,

Thomas y Cervantes En la figura 2 se comparan los perfiles de temperatura obtenidos en este trabajo con respecto a los valores teóricos y experimentales de Thomas, Liu y Cervantes. Se puede apreciar que en general existe una buena concordancia entre los resultados y que es en el periodo de tiempo de los 100 a 2400 s donde se localiza la mayor discrepancia con respecto a los valores experimentales, siendo los modelos de Luikov y Whiatker quienes predicen el incremento de temperatura mas lento durante el proceso. En general, se ha podido observar que las soluciones desarrolladas de los modelos de Luikov, Whiatker y Kowalski proporcionan una buena aproximación a los resultados experimentales del proceso de secado de la madera de abeto.

0

10

20

30

40

50

60

0 200 400 600 800 1000Tiempo (min)

Con

teni

do d

e hu

med

ad (%

)

Figura 3.Perfil de contenido de humedad en la superficie de la madera de pino

durante un proceso de secado interrumpido a los 500 min. Resultados obtenidos. A continuación se presentan algunos de los resultados experimentales obtenidos y su comparación con respecto a los valores proporcionados por los modelos de Luikov, Whitaker y Kowalsk.

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 500 1000 1500 2000 2500

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

C

Prueba 1 Prueba 2 Prueba 3 Prueba 4

Figura 4. Temperatura del medio secante durante las pruebas experimentales

En la figura 4, se observa la variación de las temperaturas del medio secante durante el periodo que duraron las pruebas. Cabe señalar que cada prueba tuvo una duración diferente, esto se debe a que la prueba se dio por terminada en el momento en que no se detectaron variaciones en su peso, durante al menos 2 horas continuas. Como puede observarse de la figura 4, la temperatura del medio secante se logro mantener bastante estable la mayor parte del tiempo y las máximas variaciones de temperatura registradas fueron de ± 4 oC, aunque en promedio para todas las pruebas las variaciones de la temperatura fueron del orden de ± 2oC. En la figura 5 se muestra la forma en que se comporto la humedad relativa. El comportamiento de la humedad relativa durante las pruebas de secado, fue bastante variable, sobretodo durante las primeras horas del proceso.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Tiempo (min)

Hum

edad

rela

tiva

(%)

Prueba 3 Prueba 1 Prueba 2

Figura 5 Variación de la humedad relativa del medio secante para las pruebas

Ajuste Prueba 1: y = -8E-09x3 + 4E-05x2 - 0.0581x + 44.44Ajuste Prueba 2: y = 3E-05x2 - 0.0855x + 60.306Ajuste Prueba 3: y = -6E-10x3 + 1E-05x2 - 0.0372x + 51.588Ajuste Prueba 4: y = 4E-12x4 - 3E-08x3 + 7E-05x2 - 0.101x + 74.351

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 500 1000 1500 2000 2500

Tiempo (min)

Con

teni

do d

e hu

med

ad (%

)

Exp. Prueba 1 Exp. Prueba 2 Exp. Prueba 3 Exp. Prueba 4Ajuste Prueba 1 Ajuste Prueba 2 Ajuste Prueba 3 Ajuste Prueba 4

Figura 6 Comparación de la rapidez de secado con diferentes condiciones de Temperatura y Humedad Relativa.

En la figura 6, al comparar la rapidez de pérdida de humedad (secado) en las cuatro pruebas, se puede apreciar la influencia que tienen en la misma la temperatura y humedad relativa. De acuerdo con esta figura y como era de esperarse, a mas altas temperaturas son mayores las perdidas de humedad. De la misma forma al comparar las pruebas realizadas a la misma temperatura, se puede observar el efecto de la humedad relativa, en donde se ha encontrado que a menor humedad relativa, es más rápida la pérdida de humedad. En la figura 7, se presenta la comparación entre los resultados obtenidos experimentalmente de la medición del cambio de espesor, en las muestras sometidas a secado a una temperatura de 50 oC, con respecto a los que se obtienen a teóricamente a través de las ecuaciones señaladas en el USDA Wood Handbook. De acuerdo con lo observado en la figura, existe poca diferencia entre los valores teóricos y los obtenidos experimentalmente. Por otra parte, también se observa que los bajos valores de la humedad relativa alcanzados en el desarrollo de la prueba número 2, que como se menciono es la causa de una mayor rapidez de secado, también provoca que la madera cambie en sus dimensiones de forma mas acelerada. Un aspecto importante que se observo en estas pruebas, fue el efecto del contenido de humedad de la madera en el desarrollo de los perfiles de temperatura internos de la misma.

y = -4E-05x + 2.0665

y = -8E-05x + 1.962

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Tiempo (min)

Espe

sor (

cm)

Exp. Prueba 2 Exp. Prueba 1 Teorico Prueba 1Teorico Prueba 2 Ajuste Teórico Ajuste Teórico

Figura 7. Comparación Teórica-Experimental de las variaciones del espesor de las muestras para las pruebas a T=50 oC.

Por otra parte, se midieron también los valores de contenido de humedad de la madera en la superficie y centro de la misma. Para esta medición se empleo un sensor de humedad tipo conductímetro.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 50 100 150 200 250

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(C)

Exp cent Luikov cent Kowalski cent Whitaker cent

Figura 8. Variación de la temperatura en el interior de la madera de pino

en condiciones de T = 46 oC, HR=11.8 %

En la figura 8, se presenta el comportamiento de la temperatura en el interior de la madera de pino y su comparación con respecto a los valores proporcionados por el simulador de procesos de secado. Al comparar el perfil de temperatura experimental con respecto a los obtenidos con las soluciones de los modelos de Luikov, Whitaker y Kowalski, en el centro de la madera de pino, se observa que entre los perfiles teóricos hay poca discrepancia y que en general predicen que la temperatura se incrementa mas lentamente que la medida experimentalmente. En la figura 9 se presenta, la comparación de la variación de la temperatura en la superficie de la muestra. Con respecto a los perfiles de temperatura en la superficie de la madera de pino, se observa que los modelos de Luikov y Kowlaski son muy similares y que predicen un incremento en la temperatura superficial mas lento comparado con el experimental y que el que se obtiene con el modelo de Whitaker.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 50 100 150 200 250

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

(C)

Luikov Sup Exp. Sup Whitaker sup Kowalski sup

Figura 9. Variación de la temperatura en la superficie de la madera de pino en condiciones de T = 46 oC, HR=11.8 %

En la figura 10 se presenta la comparación de los perfiles de contenido de humedad en la superficie una muestra de madera de pino con respecto a los obtenidos con las soluciones de los modelos de Luikov, Whitaker y Kowalski, en donde se aprecia que ninguno de los modelos es capaz de predecir una disminución de la humedad tan rápida como la medida experimentalmente.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 50 100 150 200 250

Tiempo (min)

Con

teni

do d

e hu

med

ad (%

)

Luikov sup Whitaker sup Kowalski sup Exp sup

Figura 10. Variación del contenido de humedad en la superficie de la madera de pino en condiciones de T = 46 oC, HR=11.8 %

Sin embargo, cuando se compara el perfil de contenido de humedad en el centro de la madera (figura 11) se observa poca diferencia entre los valores experimentales y los teóricos.

0

15

30

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225

Tiempo (min)

Con

teni

do d

e H

umed

ad (%

)

Exp cent Luikov cent Whitaker cent Kowalski cent

Figura 11. Variación del contenido de humedad en el centro de la madera de pino en condiciones de T = 46 oC, HR=11.8 % y V=0 m/s

Impacto. El desarrollo del simulador de procesos de secado puede convertirse en una herramienta importante para analizar el comportamiento de los materiales sometidos a dichos procesos. Con lo cual se podrían plantear mejoras en las secuelas de secado para ahorrar energía sin detrimento en la calidad final del producto. En México hay pocos trabajos en el área de secado encaminados a estudiar los mecanismos que intervienen durante este fenómeno, por lo que este proyecto contribuye a generar nuevas líneas de investigación, no solo en el IPN sino en el país en general.