andres trabojo final de calculo

7/31/2019 Andres Trabojo Final de Calculo

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TRABAJO FINAL

CALCULO DIFERENCIAL

Presentado por: ANDRES FELIPE MARIN CASTAO

Presentado a: BERNARDO PATIO

Tema: MAXIMOS Y MINIMOS

UNIVERSIDAD LIBRE

SECCIONAL PEREIRA

2012


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1). Se desa construir una caja rectangular con una pieza de carton de 24 pulgadas

de largo por 9de ancho cortando cuadrados idnticos en las cuatro esquinas; y

doblando los lados. Encuentre las dimensiones de la caja de mximo volumen.

Cul es ese volumen?

Solucin:

[]

=>


3/51

2) Un volante debe contener 50 pulgadas cuadradas de material impreso con 4

pulgadas de margen arriba y abajo y 2 pulgadas de margen a los lados. Qu

dimensiones debe tener el volante para que parta menos papel?

=


4/51

3). Se tienen 100m de tela de alambre con la cual se planmea construir dos

corrales adyacentes idnticos. Cules son las dimensiones del cercado total para

el que es mxima el area

Solucin:

- =>

)= x [0, ] ; => => ,


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4). Se va a cortar una viga rectangular de un tronco de seccin transversal

circular. Si la resistencia de una viga es proporcional al productom de su anchura

por el cuadrado de su altura; encuentre las dimesiones de la seccin transversal

que da la viga de mayor resistencia .

Solucin:

=+ .: =- S=k x (- ) => S= < x < a => = - =0 => k(- ) => = =>

= =>


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5). Se quiere cercar un lote de de area. Si uno de los lados esta sobre laorilla de un rio. Cules son las dimensiones del lote para q la longitud de la cerca

sea minima?

Solucin:

=> ;


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6). Sen quiere construir un envase cilndrico de base circular cuyo volumen es de

hallar las dimensiones que debo tener para que la cantidad de laminaempleada (area total) sea la minima.

h

Solucin:


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7).Cules son las dimensiones de un cono con rea de superficie 10 queencierra el mayor volumen? [ Indicacin: rea= ) ]

Solucin:

[ ]


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8). Un silo consta de un cilindro con una parte superior hemisfrica. Hallar las

dimensiones del silo con un volumen en fijo de que tiene la menor areade superficie. Inclyase al piso.

Solucin:


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9). Se va a fabricar un recipiente cilndrico abierto, de volumen de . Hallar lasdimensiones que minimizan el area del material usado en su construccin.

Solucin:

[()

]

[


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10). Hallar las dimensiones del cono circular recto de area mxima de superficie

que puede inscribirse en una esfera de radio r=1

Solucin:

= [ ]


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11). Un hombre esta en un bote a 24km de distancia de una playa recta y desea

un punto situado a 20km de la playa. Puede viajar a 5km por hora en el bote y a

13 km por hora en tierra. en que punto deber atracar el bote con el objeto de

minimizar el tiempo que se requiere para llegar al destino deseado?

Solucin:


13/51

12). Un cartel deber tener un rea impresa de 150 , con mrgenes de 3 cmen la parte superior e inferior, y 2 cm a cada lado. Hallar el rea mnima total

Solucin:


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13).se necesita doblar un pedazo cuadrado de carton de un 1mt por cado lado

para formar una caja que no tenga parte superior (habr que recortar pequeos

cuadrados en cada esquina). Hallar las dimensiones de la caja que contenga el

mayor volumen.

Solucin:


15/51

14).hallar el punto sobre la grafia de que este mas cercano al punto(8,3/2)

Solucin:

[ ] [ ]

( ) ( )


16/51

15).el grosor de un empaque de carton es el permetro de un extremo. Las

restricciones de embarque que la suma del grosor y la longitud no exceda 100

pulgadas. Hallar las dimensiones del emblaje con un extremo cuadrado que tenga

el mayor volumen.

Solucin:


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16).para el embalaje del cartn del problema anterior, suponga que el paquete es

cilndrico (es decir, el extremo es un circulo)

Solucin:


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17). Hallar las dimensiones del cilindro de mayor volumen que encajara dentro de

un cono de radio 3 y de altura 5. Suponer que los ejes del cilindro y del cono

coinciden.

Solucin:


19/51

18). Considere un triangulo con sus catetos sobre los ejes coordenados, cuya

hipotenusa pasa por (4,3) hallar el area que pueda encerrar el triangulo.

Solucin:


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19). considere crculos que tienen el centro sobre el eje positivo x, y que pasan por

el punto (0,a) donde a>0. Entre tales crculos, Cul es el centro (x,0) que

maximiza la razn entre x y el rea del circulo?

Solucin:


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20). qu numero positivo minimiza la suma entre l y su reciproco?

Solucin:


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21). Hallar las dimensiones de los tringulos issceles de rea mxima que podra

inscribirse en un circulo de radio a.

Solucin:


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22).se necesita cortar un alambre de 100 pulgadas de longitud en dos pedazos.

Un pedazo deber doblarse para formar un cuadrado, mientras que el otro formara

un crculo. En donde debera hacerse el corte si la suma de las dos areas debe

ser mnima?

Solucin:


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23).una bodega rectangular tendr dos cuartos rectangulares separados por una

pared interior y el piso deber tener 5000 metros cuadrados de area. El costo de

las paredes exteriores es de $150 por metro lineal y el costo de las paredes

interiores es de $90 por metro lineal. Hallar las dimensiones de la bodega menos

costosa.

Solucin:


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24). Un automvil va por una autopista hacia el oeste. 90 metros al norte de ella

esta estacionada una patrulla de la polica vial. El patrullero observa el radar y ve

que el automvil esta a 150 metros de distancia de la patrulla y que la distancia

que los separa esta aumentando a razn de 72 metros por segundo. Hallar la

velocidad del automvil en ese instante.

Solucin:


26/51

25). Si durante todo el tiempo t. hallar

Solucin:


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26). Un hombre de 5 pies de estatura se aleja de un poste de alumbrado a rezon

de 7 pies/seg. El farol del poste esta a 20 pies del suelo. Hallar la tasa a la cual se

mueve el extremo de la sombra del hombre cuando este se encuentra a 8 pies del

poste.

Solucin:


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27).cada uno de los lados de un estadio de beisbol mide 90 pies. Si la pelota se

botea por la lnea hacia la tercera base con una velocidad de 100 pies por

segundo. Con que rapidez est cambiando la distancia entre la pelota y la

primera base cuando la pelota se halla a mitad del camino hacia la tercera base?

Solucin:

()


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28). Un aviso rectangular que tiene 24 m de ancho y una profundidad no

pertinente. Da vueltas sobre un eje vertical que pasa por su centro. A razn de 5

revoluciones por minuto. Una persona que observa a distancia el aviso lo ve como

un rectngulo de ancho variable. con que rapidez esta cambiando el ancho

aparente del aviso cuando este tiene 12 m de ancho, segn lo ve el observador, y

su ancho esta aumentado?

Solucin:


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29). Se est vaciando arena sobre un montn de forma cnica a razn de

20 . la altura del montn es siempre igual al radio de su base. Cuando elmontn tiene 3 metros de altura, con que rapidez est aumentando su altura?

Solucin:


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30).considere un triangulo rectngulo variable en un sistema de coordenadas

rectangulares. El el vrtice A es el origen, el ngulo recto esta en el vrtice B

sobre el eje y el vrtice C esta sobre la parbola

. Si el punto B comienza en (0,1) y se mueve hacia arriba a una tasa

constante de 2 unidades/segundo. Con que rapidez est aumentando el rea del

triangulo cuando t=7/2 segundos?

Solucin:

[

]

[

]

[ ]

+ []

( )

= [ ] () [ ]

()

[ ] []

[ ] [ ]


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31). Una particular se mueve a lo largo de la parbola . En qu punto desu recorrido esta la abscisa y la ordenada de la partcula cambiando a la misma

velocidad?

Solucin:


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32).considere una arandela de caucho que esta comprimida. En un determinado

momento se obtienen las siguientes medidas: el dimetro externo de la arandela

es de 3cm; su dimetro interno es de 1cm; el grosor de la arandela disminuye a

una tasa de cm/min; y el dimetro externo est aumentando a una tasa de cm/min. Si el volumen de la arandela se mantiene en

en todo momento. a

que tasa est cambiando el dimetro interno en el instante en que se toman las

medidas?

Solucin:

[ ]


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35/51

33).sean A,D,C y r el area, la circunferencia y el radio de un circulo,

respectivamente. En un punto determinado instante, r=6 y Hallar la tasa de variacin con A respecto a: a)r; b) D; y c) t

Solucin:


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34). Dos motocicletas que viajan en direccin opuesta por una carretera de doble

va estn aproximndose la una a la otra. Cada moto va por el centro de su

respectivo carril y los centros de los carriles estn a 10 metros de distancia uno del

otro. La motocicleta, que viaja hacia el oeste esta desplazndose a razn de 25

m/seg. La motocicleta que viaja hacia el este se desplaza a razn de 30 m/seg, y

la luz de su faro proyecta la luz de la otra motocicleta sobre la cerca que bordea la

carretera, a 20metros del centro del carril contrario. Con que rapidez se mueve la

sombra que proyecta sobre la cerca la motocicleta que viaja en direccin oeste?

Solucin:


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35). Un farol de alumbrado pblico tiene 20 pies de alturas y esta a 5 pies de la

acera. Si un polica que mide 6 pies de estatura camina sobre la acera a razn de

4 pies/seg. con que rapidez est cambiando la longitud de su sombra cuando l

est a 13 pies de distancia de la base del poste de alumbrado?

Solucin:


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36). Hallar las dimensiones del cono circular recto de volumen minimo que se

puede circunscribir en una esfera de 8 cm de radio

Solucin:


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37).el departamento de carreteras planea construir un area de picnic para

automovilistas al lado de una carretera principal. Ser rectangular, tendr un area

de 5000 yardas al cuadrado y estar cercada por los tres lados no adyacentes a la

carretera. Cul es la menor cantidad de cerca que ser necesaria para completar

el trabajo?

Solucin:


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38). Una escalera de 3m descansa contra un muro sobre el nivel del suelo. Si se

aleja el extremo inferior de la escalera a una velocidad de 1.2 a qu velocidad desciende el extremo superior, en el instante en que est a 2.4

metros del suelo?

Solucin:


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39). Un hombre est parado en un muelle y hala un bote por medio de una cuerda.

Sus manos estn a 3m por encima del amarre del bote. El bote est a 3.6m del

muelle. Si el hombre hala la cuerda a una velocidad de 0.9 a quvelocidad se aproxima el bote al muelle?

Solucin:


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40). Un hombre de 1.8m de estatura se aleja a una velocidad 3 de una luzque est a 4.5m sobre el nivel del piso. Cuando su distancia horizontal de la luz es

3.6m a) a qu velocidad crece la sombra? b) a qu velocidad se mueve la

parte ms alejada de la sombra con respecto a la luz?

Solucin:


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41). Un estudio ambiental de cierta comunidad sub urbana seala que el

nivel medio diario de monxido de carbono en el aire ser

C(p)= partes por milln cuando la poblacin sea de p miles. Seestima que dentro de t aos la poblacin de la comunidad ser:

P(t)=3.1+0.1 miles. a qu tasa cambiara el nivel de monxido de carbonocon respecto al tiempo dentro de 3 aos?

Solucin:


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42).una mancha de petrleo se expande circularmente en el agua; de

manera tal que el radio aumenta a una velocidad de 4 pies por segundo,

cuando el radio es de 20 pies. a qu velocidad aumenta el rea del circulo

de agua contaminada?

Solucin:


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43). A un cono recto invertido (circular) le entra agua a razn de porsegundo. La altura del cono es 2 veces su dimetro. a que rapidez sube la

superficie del agua cuando la misma alcanza una profundidad de 10cm en

el cono?

Solucin:


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44). En una cisterna cnica fluye agua a razn de 8 pies cbicos por minuto.

Si la altura de la cisterna es de 12 pies y el radio de su base circular es de

6 pies si su base esta hacia arriba, con qu rapidez sube el nivel del agua

cuando esta tiene 4 pies de profundidad?

Solucin:


47/51

45). Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de mximo

volumen que se puede inscribir en un cono circular recto dado.

Solucin:

[ ]


48/51

46). Encuentre las dimensiones del rectngulo de mxima rea que se

puede inscribir en un semicrculo de radio r.

Solucin:


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47). Cul es el rea mxima posible de un rectngulo cuya base reposa

sobre el eje x con sus dos vrtices superiores sobre la grafica

Solucin:


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48). La resistencia de una viga rectangular vara segn el ancho de esta.

Cuando la viga es apuntalada cuidadosamente en los extremos, la

resistencia es proporcional al cuadrado del espesor de la viga. Cules son

las dimensiones de la viga ms resistente que pudiera cortarse de un tronco

cilndrico de radio de 3 pies (la viga tiene una resistencia

Solucin:


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49). Al derretirse una bola de nieve con radio inicial de 12cm, su radio

decrece a razn constante de 0.5 cm/h. si si comienza a derretirse cuando

t=0, Cul ser la tasa de disminucin del volumen de la bola de nieve al

cabo de 12 horas?

Solucin:

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