ANALISIS Y CACULO

MATEMATICO PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERIA

PROF. JESÚS OLIVAR

SUBPROYECTO: CÁLCULO II

SUBPROGRAMA: ING PETRÓLEO

Introducción

[El análisis matemático es la rama de la matemática que proporciona métodos para la investigación cuantitativa de los distintos procesos de cambio, movimiento y dependencia de una magnitud respecto de otras. Surge así, de manera natural, en un período en el que el desarrollo de la mecánica y la astronomía nacidas de los problemas de la tecnología y la navegación, habían proporcionado ya un cúmulo considerable de observaciones, medidas e hipótesis y estaban impulsando a la ciencia hacia la investigación cuantitativa de las formas más sencillas de movimiento.

El nombre de 'análisis infinitesimal' no dice nada sobre el objeto de estudio, sino que enfatiza el método. Se trata del método matemático especial de los infinitésimos o, en su forma moderna, de los límites. (Aleksandrov, 1, 92)]

[Los matemáticos del siglo XVII se fueron percatando gradualmente de que una gran parte de los problemas que surgían de distintos tipos de movimiento (con la consiguiente dependencia de unas variables respecto a otras), así como de problemas geométricos que no se habían podido abordar con los métodos usuales, podían reducirse a dos tipos. Ejemplos sencillos de problemas del primer tipo son: hallar la velocidad en cualquier instante de un movimiento no uniforme (o, en general, encontrar la velocidad de variación de una magnitud dada), y trazar una tangente a una curva dada. Estos problemas condujeron a una rama del análisis que recibió el nombre de 'cálculo diferencial'. Ejemplos muy sencillos del segundo tipo de problemas son: encontrar el área de una figura curvilínea (el problema de la cuadratura), o la distancia recorrida en un movimiento no uniforme, o, en general, el efecto total de la acción de una magnitud continuamente variable. Este grupo de problemas condujo a otra rama del análisis, el 'cálculo integral'. (Aleksandrov, 1, 95-6)]

[El problema del análisis es el estudio de las funciones, esto es, de la dependencia de una variable respecto de otra. (Aleksandrov, 1, 103)]

Función

[El concepto más importante de todas las matemáticas es, sin dudarlo, el de función: en casi todas las ramas de la matemática moderna, la investigación se centra en el estudio de funciones. (Spivak, 47)]

[Los distintos objetos y fenómenos que observamos en la naturaleza están orgánicamente relacionados unos con otros; son interdependientes. El género humano conoce desde hace tiempo las relaciones más sencillas de esta clase, y este conocimiento se halla expresado en las leyes físicas. Estas leyes indican que las distintas magnitudes que caracterizan un fenómeno dado están tan

íntimamente relacionadas que algunas de ellas quedan completamente determinadas por los valores de las demás... Fueron correspondencias de esta clase las que sirvieron de origen al concepto de función. (Aleksandrov, 1, 100)]

Definición provisional

[Una función es una regla que asigna a cada uno de ciertos números reales un número real...

Ejemplo 1.

La regla que asigna a todo número su cuadrado:

para todo x.

Ejemplo 2.

para todo y.

Ejemplo 4.

Ejemplo 5.

Una cosa, por encima de todo, debe quedar clara con estos ejemplos: una función es una regla cualquiera que hace corresponder números a ciertos otros números, no necesariamente una regla que pueda ser expresada mediante una fórmula algebraica ...; ni tampoco necesariamente una regla a la que sea posible encontrar una aplicación en la práctica. Más aún, la regla puede prescindir de algunos números y puede incluso no estar del todo claro a qué números se aplica la función... El conjunto de los números a los cuales se aplica una función recibe el nombre de dominio de la función...

La práctica corriente consiste en designar una función mediante una letra. Por razones obvias se emplea preferentemente la letra 'f ', lo cual hace que sigan en orden de preferencia las letras 'g' y 'h', pero en fin de cuentas puede servir cualquier letra (e incluso cualquier símbolo razonable) sin excluir la 'x' y la 'y', si bien estas letras suelen reservarse para designar números. Si f es la función, entonces el número que f asocia con {el número} x se designa por f (x); este símbolo se lee 'f de x' y se le da con frecuencia el nombre de valor de f enx...

..., si el dominio no se restringe explícitamente más, se sobreentiende formado por todos aquellos números para los cuales la definición tiene sentido. (Spivak, 47-50)]

Definición

[Una función es una colección de pares de números con la siguiente propiedad: Si (a, b) y (a, c) pertenecen ambos a la colección, entonces b = c; en otras

palabras, la colección no debe contener dos pares distintos con el mismo primer elemento. (Spivak, 58)]

[La variable (dependiente) y es función de la variable (independiente) x si existe una regla por la cual a cada valor de x, perteneciente a un cierto conjunto de números, corresponde un valor definido de y (independientemente del modo en que se dé esta regla: mediante una fórmula, una gráfica, una tabla o de cualquier otro modo (Aleksandrov, 1, 108)).

[El conjunto de los valores x que aparece en esta definición se llama dominio de la función. (Aleksandrov, 1, 103)]

[Se dice que una variable y es función de otra x, cuando ambas están relacionadas de forma que para cada valor de x perteneciente a su campo de variación le corresponde un {uno sólo} valor de y. La variable y, cuyo valor depende del que tome x, recibe el nombre de variable dependiente, mientras que x es una variable independiente. La relación que liga a la función con la variable puede ser una tabla de valores en correspondencia (por ej., una tabla de logaritmos), una gráfica o una ecuación. (Ayres, 3)]

Gráfica de una función

[Puesto que una función no es más que una colección de pares de números, el trazado de una función se reduce a trazar cada uno de los pares de la misma. El dibujo así obtenido recibe el nombre de gráfica de la función. En otros términos, la gráfica contiene todos los puntos correspondientes a pares (x, f (x)). (Spivak, 72)]

[Una de las ideas más fructíferas y brillantes de la segunda mitad del siglo XVII fue la de la conexión entre el concepto de función y la representación geométrica de una curva. Esta conexión puede realizarse, por ejemplo, por medio de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. (Aleksandrov, 1, 103)]

Límites

[Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite es, a no dudarlo, el más importante, y quizás el más difícil... lo que vamos a definir no es la palabra 'límite', sino la noción de función que tiende hacia un límite. (Spivak, 99)]

[el análisis matemático moderno utiliza un método especial, que fue elaborado en el transcurso de muchos siglos, y constituye ahora su instrumento básico. Nos referimos al método de los infinitésimos o, lo que en esencia es lo mismo, de los límites. (Aleksandrov, 1, 108)]

Definición provisional

[La función f tiende hacia el límite l cerca de a, si se puede hacer que f (x) esté tan cerca como queramos de l haciendo que x esté suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de a... solamente hace falta que f (x) esté próximo a l cuando x está próximo a a pero esdistinto de a. Sencillamente no nos interesa el valor de f (a) ni siquiera la cuestión de si f (a) está definido. (Spivak, 99)]

Definición

[La función f tiende hacia el límite l en a significa: para todo > 0 existe

algún > 0 tal que, para todo x, si , entonces .

Esta función es tan importante (todo lo que emprendamos a partir de ahora va a depender de ella) que sería en vano pasar adelante sin saberla. ¡Apréndala el lector de memoria si es necesario, como si fuese un poema! (Spivak, 110)]

[El número l al que tiende f cerca de a se designa por (léase: el límite de f (x) cuando x tienda hacia a)... La ecuación

tiene exactamente el mismo significado que la frase

f tiende hacia l en a.

(Spivak, 114)]

Teoremas sobre limites

[I. Si f (x) = c, constante, tendremos:

Si y , resulta:

II. , siendo k una constante.

III.

IV.

V.

VI. , siempre que sea un número real. (Ayres, 10)]

Funciones continuas

[Intuitivamente, una función f es continua si su gráfica no contiene interrupciones, ni saltos ni oscilaciones indefinidas. Aunque esta descripción es, por lo general, suficiente para decidir si una función es continua observando simplemente su gráfica, es fácil engañarse, y la definición rigurosa es muy importante. (Spivak, 132)]

[Las funciones continuas constituyen la clase básica de funciones para las operaciones del análisis matemático. La idea general de función continua viene a ser la de que su gráfica sea continua; esto es, que la curva pueda dibujarse sin separar el lápiz del papel. (Aleksandrov, 1, 117)]

Intervalos finitos

[Sean a y b dos números tales que a < b. El conjunto de todos los números x comprendidos entre a y b recibe el nombre de intervalo abiertode a a b y se escribe a < x < b. Los puntos a y b reciben el nombre de extremos del intervalo. Un intervalo abierto no contiene a sus extremos.

El intervalo abierto a < x < b junto con sus extremos a y b recibe el nombre de intervalo cerrado de a a b y se escribe a x b.

Sea a un número cualquiera. El conjunto de todos los números x tales que x <

a recibe el nombre de intervalo infinito. Otros intervalos infinitos son los definidos por x a, x > a y x a. (Ayres, 2)]

Definición de función continua

[La función f es continua en a si

.

(Spivak, 132)]

[Una función se dice continua en un intervalo dado si es continua en todo punto x de este intervalo...

Así, para dar una definición matemática de esa propiedad de las funciones que viene caracterizada por el hecho de que su gráfica sea continua (en el sentido usual de la palabra), fue necesario definir primero la continuidad local (continuidad en el punto a), y luego, a partir de ella, definir la continuidad de la función en todo el intervalo. (Aleksandrov, 1, 118-9)]

Función

[El concepto más importante de todas las matemáticas es, sin dudarlo, el de función: en casi todas las ramas de la matemática moderna, la investigación se centra en el estudio de funciones. (Spivak, 47)]

[Los distintos objetos y fenómenos que observamos en la naturaleza están orgánicamente relacionados unos con otros; son interdependientes. El género humano conoce desde hace tiempo las relaciones más sencillas de esta clase, y este conocimiento se halla expresado en las leyes físicas. Estas leyes indican que las distintas magnitudes que caracterizan un fenómeno dado están tan íntimamente relacionadas que algunas de ellas quedan completamente determinadas por los valores de las demás... Fueron correspondencias de esta clase las que sirvieron de origen al concepto de función. (Aleksandrov, 1, 100)]

Definición provisional

[Una función es una regla que asigna a cada uno de ciertos números reales un número real...

Ejemplo 1.

La regla que asigna a todo número su cuadrado:

para todo x.

Ejemplo 2.

para todo y.

Ejemplo 4.

Ejemplo 5.

Una cosa, por encima de todo, debe quedar clara con estos ejemplos: una función es una regla cualquiera que hace corresponder números a ciertos otros números, no necesariamente una regla que pueda ser expresada mediante una fórmula algebraica ...; ni tampoco necesariamente una regla a la que sea posible encontrar una aplicación en la práctica. Más aún, la regla puede prescindir de algunos números y puede incluso no estar del todo claro a qué números se aplica la función... El conjunto de los números a los cuales se aplica una función recibe el nombre de dominio de la función...

La práctica corriente consiste en designar una función mediante una letra. Por razones obvias se emplea preferentemente la letra 'f ', lo cual hace que sigan en orden de preferencia las letras 'g' y 'h', pero en fin de cuentas puede servir cualquier letra (e incluso cualquier símbolo razonable) sin excluir la 'x' y la 'y', si bien estas letras suelen reservarse para designar números. Si f es la función, entonces el número que f asocia con {el número} x se designa por f (x); este símbolo se lee 'f de x' y se le da con frecuencia el nombre de valor de f enx...

..., si el dominio no se restringe explícitamente más, se sobreentiende formado por todos aquellos números para los cuales la definición tiene sentido. (Spivak, 47-50)]

Definición

[Una función es una colección de pares de números con la siguiente propiedad: Si (a, b) y (a, c) pertenecen ambos a la colección, entonces b = c; en otras palabras, la colección no debe contener dos pares distintos con el mismo primer elemento. (Spivak, 58)]

[La variable (dependiente) y es función de la variable (independiente) x si existe una regla por la cual a cada valor de x, perteneciente a un cierto conjunto de números, corresponde un valor definido de y (independientemente del modo en que se dé esta regla: mediante una fórmula, una gráfica, una tabla o de cualquier otro modo (Aleksandrov, 1, 108)).

[El conjunto de los valores x que aparece en esta definición se llama dominio de la función. (Aleksandrov, 1, 103)]

[Se dice que una variable y es función de otra x, cuando ambas están relacionadas de forma que para cada valor de x perteneciente a su campo de variación le corresponde un {uno sólo} valor de y. La variable y, cuyo valor depende del que tome x, recibe el nombre de variable dependiente, mientras que x es una variable

independiente. La relación que liga a la función con la variable puede ser una tabla de valores en correspondencia (por ej., una tabla de logaritmos), una gráfica o una ecuación. (Ayres, 3)]

Gráfica de una función

[Puesto que una función no es más que una colección de pares de números, el trazado de una función se reduce a trazar cada uno de los pares de la misma. El dibujo así obtenido recibe el nombre de gráfica de la función. En otros términos, la gráfica contiene todos los puntos correspondientes a pares (x, f (x)). (Spivak, 72)]

[Una de las ideas más fructíferas y brillantes de la segunda mitad del siglo XVII fue la de la conexión entre el concepto de función y la representación geométrica de una curva. Esta conexión puede realizarse, por ejemplo, por medio de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. (Aleksandrov, 1, 103)]

Límites

[Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite es, a no dudarlo, el más importante, y quizás el más difícil... lo que vamos a definir no es la palabra 'límite', sino la noción de función que tiende hacia un límite. (Spivak, 99)]

[el análisis matemático moderno utiliza un método especial, que fue elaborado en el transcurso de muchos siglos, y constituye ahora su instrumento básico. Nos referimos al método de los infinitésimos o, lo que en esencia es lo mismo, de los límites. (Aleksandrov, 1, 108)]

Definición provisional

[La función f tiende hacia el límite l cerca de a, si se puede hacer que f (x) esté tan cerca como queramos de l haciendo que x esté suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de a... solamente hace falta que f (x) esté próximo a l cuando x está próximo a a pero esdistinto de a. Sencillamente no nos interesa el valor de f (a) ni siquiera la cuestión de si f (a) está definido. (Spivak, 99)]

Definición

[La función f tiende hacia el límite l en a significa: para todo > 0 existe

algún > 0 tal que, para todo x, si , entonces .

Esta función es tan importante (todo lo que emprendamos a partir de ahora va a depender de ella) que sería en vano pasar adelante sin saberla. ¡Apréndala el lector de memoria si es necesario, como si fuese un poema! (Spivak, 110)]

[El número l al que tiende f cerca de a se designa por (léase: el límite de f (x) cuando x tienda hacia a)... La ecuación

tiene exactamente el mismo significado que la frase

f tiende hacia l en a.

(Spivak, 114)]

Teoremas sobre limites

[I. Si f (x) = c, constante, tendremos:

Si y , resulta:

II. , siendo k una constante.

III.

IV.

V.

VI. , siempre que sea un número real. (Ayres, 10)]

Funciones continuas

[Intuitivamente, una función f es continua si su gráfica no contiene interrupciones, ni saltos ni oscilaciones indefinidas. Aunque esta descripción es, por lo general, suficiente para decidir si una función es continua observando simplemente su gráfica, es fácil engañarse, y la definición rigurosa es muy importante. (Spivak, 132)]

[Las funciones continuas constituyen la clase básica de funciones para las operaciones del análisis matemático. La idea general de función continua viene a ser la de que su gráfica sea continua; esto es, que la curva pueda dibujarse sin separar el lápiz del papel. (Aleksandrov, 1, 117)]

Intervalos finitos

[Sean a y b dos números tales que a < b. El conjunto de todos los números x comprendidos entre a y b recibe el nombre de intervalo abiertode a a b y se escribe a < x < b. Los puntos a y b reciben el nombre de extremos del intervalo. Un intervalo abierto no contiene a sus extremos.

El intervalo abierto a < x < b junto con sus extremos a y b recibe el nombre de intervalo cerrado de a a b y se escribe a x b.

Sea a un número cualquiera. El conjunto de todos los números x tales que x <

a recibe el nombre de intervalo infinito. Otros intervalos infinitos son los definidos por x a, x > a y x a. (Ayres, 2)]

Definición de función continua

[La función f es continua en a si

.

(Spivak, 132)]

[Una función se dice continua en un intervalo dado si es continua en todo punto x de este intervalo...

Así, para dar una definición matemática de esa propiedad de las funciones que viene caracterizada por el hecho de que su gráfica sea continua (en el sentido

usual de la palabra), fue necesario definir primero la continuidad local (continuidad en el punto a), y luego, a partir de ella, definir la continuidad de la función en todo el intervalo. (Aleksandrov, 1, 118-9)]

Derivadas

[El conjunto de todas las funciones presenta una diversidad tal que es casi imposible descubrir propiedades generales interesantes que convengan a todas ellas. Puesto que las funciones continuas constituyen una clase restringida, cabría esperar que se hallaran algunos teoremas no triviales para ellas... Pero los resultados más interesantes y más penetrantes acerca de funciones sólo se obtendrán cuando limitemos aún más nuestra atención a funciones que tienen mayor derecho aún a recibir el nombre de 'razonables', con un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones continuas. (Spivak, 181-2)]

Incrementos

[El incremento x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,

o bien

Si se da un incremento x a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a x =

x0 + x), la función y = f (x) se verá incrementada en y = f (x0+ x) - f (x0) a partir del valor y = f (x0). El cociente

recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo

comprendido entre x = x0 a x = x0 + x. (Ayres, 22)]

Pendiente

[Si h 0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)) determinan, como en la figura 6, una recta cuya pendiente es

Figura 6.

Como indica la figura 7, la 'tangente' en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado nunca del 'límite' de rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a, f (a))debería ser

Figura 7.

(Spivak, 183-4)]

Definición

[La función f es derivable en a si

existe.

En este caso el límite se designa por f' (a) y recibe el nombre de derivada de f en a. (Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f.)

Definimos la tangente a la gráfica de f en (a, f (a)) como la recta que pasa por (a,

f (a)) y tiene por pendiente f' (a). Esto quiere decir que la tangente en (a, f (a)) sólo está definida si f es derivable en a. (Spivak, 185)]

[Para una función dada f, la derivada f' se designa a menudo por

No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión carecen de todo significado cuando se consideran separadamente; las d noson números, no pueden simplificarse, y la expresión completa no es el cociente de otros dos números 'df (x)' y 'dx'. Esta notación se debe a Leibniz (generalmente considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal junto con Newton) y es llamada afectivamente notación de Leibniz.

Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba no como el límite de los cocientes (f (a+h)-f(a))/h, sino como el 'valor' de este cociente cuando h es un número 'infinitamente pequeño'. Esta cantidad 'infinitamente pequeña' fue designada por dx y la correspondiente diferencia 'infinitamente pequeña' f (x+dx)-f (x) por df (x). Aunque es imposible reconciliar este punto de vista con las propiedades de los números reales, algunos encuentran simpática esta noción de la derivada. (Spivak, 190-1)]

[La derivada de y = f (x) con respecto a x se puede representar por uno cualquiera de los símbolos

(Ayres, 23)]

{En otras palabras, la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la tangente de dicha función en ese punto}

Fórmulas de derivación

[En las fórmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de x.

1. , siendo c una constante.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

(Ayres, 28ss)]

{Véanse ejemplos de derivadas en (Ayres, 30ss)}

Derivada segunda

[Para una función cualquiera f, al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f' (cuyo dominio puede ser considerablemente más pequeño que el de f ). La noción de derivabilidad puede aplicarse a la función f', por supuesto, dando lugar a otra función (f' )', cuyo dominio consiste en todos los punta a tales que f' es derivable en a. La función (f' )' se suele escribir por lo general simplemente f'' y recibe el nombre de derivada segunda de f. Si f'' (a) existe, entonces se dice que f es dos veces derivable en a, y el número f'' (a) recibe el nombre de derivada segunda de f en a...

No existe razón alguna para detenerse en la derivada segunda; podemos definir f''' = (f'' )', f'''' = (f''' )', etc. Esta notación se hace pronto difícil de manejar, por lo que se suele adoptar la siguiente abreviación (se trata en realidad de una definición recursiva):

Las distintas funciones f (k), para k 2, son a veces llamadas derivadas de orden superior de f... De hecho, se puede dar una definición paraf (0), a saber,

Debemos mencionar también la notación de Leibniz para las derivadas de órdenes superiores. El símbolo natural de Leibniz para f'' (x), a saber,

,

se abrevia poniendo

, o más frecuentemente .

Una notación parecida se usa para f (n)(x). (Spivak, 201-2)]

Máximos y mínimos

[Si f'(a) > 0, la función f(x) es creciente en el punto x = a y si f'(a) < 0, es decreciente en dicho punto. Cuando f'(a) = 0, diremos que la función es estacionaria en el punto x = a.

Una función y = f(x) tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto x = a, cuando f(a) es mayor (menor) que los valores de la función para los puntos inmediatamente anteriores y posteriores al considerado. (Ayres, 42)]

La diferencial de una función

[La diferencial de una función surgió históricamente del concepto de 'indivisible'. Este concepto, que desde un punto de vista moderno nunca estuvo muy claramente definido, era en su tiempo (en el siglo XVIII) fundamental en el análisis matemático. Las ideas referentes a él sufrieron cambios esenciales en el transcurso de varios siglos. Los indivisibles, y más tarde la diferencial de una función, se representaban como verdaderos infinitésimos, como algo de magnitud constante extremadamente pequeña, que sin embargo no era cero. La definición dada en esta sección es la aceptada en el análisis moderno. De acuerdo con esta

definición, la diferencial es una magnitud finita para cada incremento x, y al

mismo tiempo proporcional a x. La otra propiedad fundamental de la diferencial,

el carácter de su diferencia respecto a y, sólo puede reconocerse 'en

movimiento', por así decirlo: si consideramos un incremento x que se aproxima a

cero (que sea un infinitésimo), entonces la diferencia entre dy e y será tan

pequeña como se desee incluso comparada con x.

Esta sustitución de los incrementos pequeños de la función por la diferencial forma la base de la mayoría de las aplicaciones del análisis infinitesimal al estudio de la naturaleza. El lector verá esto de un modo particularmente claro en el caso de las ecuaciones diferenciales. (Aleksandrov, 1, 152)]

[Dada la función y = f(x) se define:

(a) dx, leído diferencial de x, por la relación dx = x.

(b) dy, leído diferencial de y, por la relación dy = f'(x)dx.

La diferencial de una variable independiente es, por definición, el incremento que experimenta; sin embargo, la diferencial de una variable dependiente o función no es igual a su incremento. (ver fig. 23-1)

Fig. 23-1

Si dx = x es relativamente pequeño con respecto a x, el valor de y se puede obtener aproximadamente hallando dy. (Ayres, 119)]

Integrales

[Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de área. Ahora ya no nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el 'área' no es ninguna

excepción a esto...

En este capítulo intentaremos solamente definir el área de algunas regiones muy especiales (figura 1): aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las

verticales por (a, 0) y (b, 0), y la gráfica de una función f tal que f (x) 0, para todo x de [a, b]. Conviene denotar esta región por R(f, a, b) ...

figura 1

figura 2

El número que asignaremos eventualmente como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b]. En realidad, la integral se definirá también

para funciones f que no satisfacen la condición f (x) 0, para todo x de [a, b]. Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia entre las áreas de las regiones de sombreado claro y de sombreado fuerte ('área algebráica' de R(f, a, b)). (Spivak, 317-8)]

[Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función y = f (x). Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que, pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y.

Figura 24.

Para resolver este problema se procede como sigue. Dividimos el intervalo [a,

b] en n partes, no necesariamente iguales. Notamos la longitud de la primera parte

por x1, la de la segunda por x2, y así sucesivamente hasta la última, xn. En cada parte elegimos los números x1, x2, ..., xn, y escribimos la suma

(28)

Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 24.

Cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se hallará Sn al área S. Si consideramos una sucesión de tales valores por división del intervalo [a, b] en partes cada vez más pequeñas, entonces la suma Sn tenderá a S.

La posibilidad de dividir el intervalo [a, b] en partes desiguales exige definir lo que entendemos por subdivisiones 'cada vez más pequeñas'. Suponemos no sólo

que n crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor xi en la n-

ésima subdivisión tiende a cero. Así:

(29)

El cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (29)..., hemos obtenido una definición rigurosa del concepto de área: es el límite (29).

(Aleksandrov, 1, 163-4)]

Integral definida

[El límite (29) se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota por

La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior. (Aleksandrov, 1, 166)]

Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal

[Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por

Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y

(Spivak, 357)]

[Una tal función f (x) se llama primitiva de f (x). (Aleksandrov, 1, 168)]

[..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y

F' = f

..., si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función

(Spivak, 361)]

Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal

[Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces

(30)

(Spivak, 363)]

[Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral.

Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia (30) se acostumbra a escribir así:

Ejemplo:

La igualdad

muestra que la función x3/3 es una primitiva de la función x2. Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz,

(Aleksandrov, 1, 169)]

Propiedades de la integral definida

[Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]:

1.

2.

3. , siendo c una constante

4.

5. , cuando a < c < b

6. Primer teorema del valor medio:

, para al menos un valor x =

x0 entre a y b.

7. Si , se verifica .

Ejemplos

[1. Sea f (x) = c, una constante, y f (x) = cx; tendremos

2. Sea f (x) = x y f (x) = 1/2 x2; tendremos

3. Sea f (x) = x3 y f (x) = 1/4 x4; tendremos

(Ayres, 163)]

{Véanse más problemas en (Ayres, 167ss)}

Integrales indefinidas; técnica de integración.

[Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F'(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;... Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la queC es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.

La primitiva o integral indefinida de la función f (x) se representa por medio del símbolo

Por ejemplo: . (Ayres, 129)]

Fórmulas fundamentales de integración

{Véase (Ayres, 129ss)}

Funciones de varias variables

[Si a cada punto (x, y) de una región del plano xy se la hace corresponder un número real z, diremos que z es una función, z = f (x, y), de las variables independientes x e y. El lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuación z = f (x, y) es una superficie. Análogamente se definen las funciones w = f (x, y, z, ...) de varias variables independientes aunque no tengan una interpretación geométrica sencilla.

El estudio de las funciones de dos variables difiere notablemente del de las funciones de una variable. Sin embargo, el cálculo de las funciones de tres o más variables es muy similar al caso de dos variables. (Ayres, 258)]

Límite de una función de dos variables

[Una función f (x, y) tiende al límite A cuando e , si dado un >

0 tan pequeño como queramos, existe un > 0 tal que, para todos los pares de valores (x, y) que cumplan la desigualdad

(i)

se verifica: . La condición (i) representa un intervalo reducido del punto (x0, y0), es decir, todos los puntos excepto el propio (x0, y0), situados en un

círculo de radio y centro (x0, y0). (Ayres, 258)]

Continuidad de una función de dos variables

[Una función f (x, y) es continua en el punto (x0, y0) siempre que f (x0, y0) esté

definida y, además,

(Ayres, 258)]

Derivadas parciales de una función de dos variables

[Sea z = f (x, y) una función de las variables independientes x e y. Como x e y son independientes, podremos (i) variar x manteniendo constante y y, (ii) variar y manteniendo constante x, (iii) variar x e y simultáneamente. En los dos primeros casos, z es una función de una sola variable y se puede hallar su derivada de acuerdo con las expresiones clásicas que ya hemos visto.

Si x varía permaneciendo constante y, z es una función de x y su derivada con respecto a esta variable x,

se denomina primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a x.

Si lo que varía es y permaneciendo constante x, z es una función de y y su derivada con respecto a y

recibe el nombre de primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a y...

Las derivadas parciales anteriores admiten una interpretación geométrica muy sencilla. Consideremos la superficie z = f (x, y) de la Fig. 56-1, y sean APB y CPB las intersecciones con dicha superficie de los planos que pasando por P sean paralelos a los xOz e yOz, respectivamente. Si hacemos variar a x permaneciendo constante y, el punto P se desplazará a lo largo de la

curva APB y el valor de z/xen el punto P es la pendiente de la curva APB en P.

Fig. 56-1.

Análogamente, si hacemos variar y permaneciendo constante x, P se moverá a lo

largo de la curva CPD, y el valor de z/x en P es la pendiente de la curva CPD en P. (Ayres, 258-9)]

Bibliografía

E Barrull(1994). Apuntes de análisis y Cálculo

Aleksandrov, A.D., Kolmogorov, A.N., Laurentiev, M.A., et al., (1985): La Matemática: su contenido, métodos y significado. 3 vols., Madrid: Alianza.

Ayres, F. Jr., (): Cálculo Diferencial e Integral. México: McGraw-Hill.

Spivak, M., (1975): Calculus. Tomo 1. Barcelona: Reverté.