análisis probabilistico de estabilidad de taludes

Tesis de Maestrıa

Analisis probabilıstico de

estabilidad de taludes

Autor:

Ing. Alejandro Kerguelen Argumedo

Asesor:

Prof. Dr.-Ing. Arcesio Lizcano

Universidad de los Andes

Facultad de Ingenierıa

Departamento de Ingenierıa Civil y Ambiental

2009

A mis hermanos MariaAlejandra y Jesus David...

Agradecimientos

Quiero agradecer a Dios por la salud y los hechos que permitieron el desarrollodel presente trabajo de grado. A mis padres, les doy gracias por la oportunidadde recibir una educacion privilegiada y por sus valiosos consejos. Gracias abuelitapor sus oraciones y bendiciones. A mis hermanos, gracias por los momentos queopacaron mis preocupaciones. A mi novia, le agradezco su paciencia en todo esteproceso.Agradezco al Grupo de Investigacion en Geotecnia de la Universidad de Los Andes,por el apoyo incondicional en la realizacion, discusion y crıtica de este trabajo.Gracias Profesor Arcesio Lizcano por la valiosa asesorıa brindada y por la motivacionque desperto en mı por la mecanica de suelos y la etabilidad de taludes. Gracias alos Ingenieros William Fuentes y Mauricio Pereira por los aportes realizados durantela evolucion del presente trabajo.

Resumen

La Mecanica de Suelos clasica trata la estabilidad de taludes como un problema deequilibrio lımite. En este caso, la estabilidad de un talud en el proceso de disenoesta dada por un Factor de Seguridad definido como la relacion entre las fuerzas omomentos resistentes y las fuerzas o momentos actuantes. Esta definicion no con-sidera la variabilidad ni la confiabilidad de los datos requeridos para el analisis.Disenos convencionales de taludes en proyectos de explotacion minera por lo generalno tienen en cuenta la incertidumbre asociada con las propiedades del suelo. Con-siderar un comportamiento homogeneo del suelo, desestima su naturaleza variabledebido a los procesos de formacion y continuos factores de alteracion (p.e., erosion,voladuras, esfuerzos externos, etc.).

Este trabajo presenta una nueva metodologıa de analisis de estabilidad de taludesque considera la variabilidad espacial y la incertidumbre de los parametros geotecni-cos involucrados en el analisis. Los parametros del suelo son tratados como variablesaleatorias con el proposito de modelar la condicion incierta del suelo.Haciendo uso del metodo de Monte-Carlo, el trabajo presenta los resultados de anali-sis de estabilidad de taludes con mecanismos de falla compuestos y falla traslacional.Los resultados obtenidos muestran que la metodologıa implementada proporcionamayor informacion para la toma de decisiones que aquella basada en factores de se-guridad convencionales, lo cual repercute positivamente en el nivel de confiabilidaddel diseno realizado.

Metodologıas de este tipo permiten ademas realizar analisis de riesgo en la fasepreliminar de proyectos mineros, donde el diseno de los taludes incide directamenteen la rentabilidad economica del proyecto y la seguridad en la operacion.

Tabla de Contenidos

1. Estado del Conocimiento 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Factor de seguridad determinıstico . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1.1. Factor de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1.2. Factores parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. Factor de seguridad para taludes . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2.1. Equilibrio Lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Estado del conocimiento entre 1970 y 1980 . . . . . . . . . . . . . . . 8



2. Deslizamientos 21

2.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Factores que inciden en los deslizamientos . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3. Tipos de deslizamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.1. Desprendimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1.1. Rocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1.2. Suelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4. Deslizamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1. Falla circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.2. Falla plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Analisis de estabilidad de taludes 32

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2. Metodos de cuerpo libre unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

I

3.2.1. Metodo de Talud Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3. Metodos de dovelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.2. Metodo General de dovelas: Falla Circular . . . . . . . . . . . 393.3.3. Metodo Simplificado de Bishop . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4. Mecanismos Compuestos de Falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.1. Cinematica del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.2. Estatica del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Incertidumbre en los suelos 48

5. Variabilidad espacial en los suelos 515.1. Variabilidad en los parametros geotecnicos . . . . . . . . . . . . . . . 515.2. Modelacion de la variabilidad espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6. Metodologıa probabilıstica 546.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2. Metodologıa desarrollada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2.1. Descripcion probabilıstica de los parametros del suelo . . . . . 56

7. Implementacion numerica 587.1. Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.1.1. Calculo del vector unitario normal . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2. Condicion de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8. Resultados 638.1. Implementacion del metodo Simpl. de Bishop . . . . . . . . . . . . . 638.2. Implementacion Mecanismos Compuestos de Falla . . . . . . . . . . . 668.3. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9. Conclusiones 71

A. Codigo del software APET 1.0 72A.1. Subrutinas para analisis circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A.1.1. geom3.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72A.1.2. supfalla.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.1.3. calcareas.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.1.4. bishop.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81A.1.5. finder.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82A.1.6. montecarloBISHOP.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.2. Subrutinas para analisis con mecanismos compuestos de falla . . . . . 91A.2.1. mecompf.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91A.2.2. calcareasMCF.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.2.3. fuerzas.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.2.4. poligonos.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111A.2.5. finderMCF.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119A.2.6. montecarloMCF.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Indice de figuras

1.1. Bloque sobre plano inclinado a un angulo ψ de la horizontal. Adaptadade [22]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Talud con superficie de fala plana a ψ grados de la horizontal. Adap-tada de [48]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Relacion entre el esfuerzo cortante τ y esfuerzo normal σ. Adaptadade [22]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Ocurrio en 1965.[40] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Ocurrio en 1985.[40] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Ocurrio en 1997.[40] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7. Ocurrio en 2008.[38] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Ocurrio en 2001. Santa Tecla-El Salvador.[40] . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Ocurrio en 1994. Colorado-Estados Unidos.[40] . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Desprendimiento de roca, 29/07/2008-Furry Creek, B.C.[40] . . . . . 28

2.4. Vuelco de roca. Howson, B.C. 2002 [40] . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5. Desprendimiento de suelo.[39] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6. Esquema de una falla circular. Adaptada de [22] . . . . . . . . . . . . 30

2.7. Tipos de falla circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.8. Esquema de una falla plana. Adaptada de [22] . . . . . . . . . . . . . 31

2.9. Fotografıa de una falla planar, mina La Francia, Carbones del Cesar. 31

3.1. Metodo de talud infinito. Adaptada de[12]. . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2. Dovelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Superficie de falla circular dividida en dovelas. Adaptada de [12] . . . 39

3.4. Fuerzas en el metodo Simplificado de Bishop . Adaptada de [12] . . . 42

3.5. Mecanismos compuestos de falla. Adaptada de [23] . . . . . . . . . . . 44

3.6. Mecanismos compuestos de falla. Adaptada de [23] . . . . . . . . . . . 44

IV

3.7. Plan de velocidades u Hodograph. Tomado de [23] . . . . . . . . . . . 453.8. Fuerzas en mecanismo compuesto de falla Adaptado de [23] . . . . . . 463.9. Polıgono de fuerzas. Adaptado de [23] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1. Tipos de incertidumbre en las propiedades del suelo. Figura adaptadade [43] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1. Metodologıa implementada en Matlab. . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2. Descripcion probabilıstica de los parametros del suelo. . . . . . . . . . 57

8.1. Comparacion con Slope/W. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.2. Analisis probabilıstico de estabilidad de taludes. . . . . . . . . . . . . 648.3. Probabilidad de falla de un talud con falla circular. . . . . . . . . . . 648.4. Implementacion Mecanismos Compuestos de Falla. . . . . . . . . . . 668.5. Plan de velocidades u hodograph. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.6. Localizacion de fuerzas en los cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.7. Fuerzas cuerpo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.8. Fuerzas cuerpo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.9. Fuerzas cuerpo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.10. Analisis probabilıstico en talud con falla plana. . . . . . . . . . . . . . 688.11. Probabilidad de falla en talud de falla plana. . . . . . . . . . . . . . . 69

Indice de tablas

2.1. Numero de muertes reportadas mundialmente a causa de deslizamien-tos [41][23][16]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Factores en la clasificacion de deslizamientos.[16] . . . . . . . . . . . . 262.3. Clasificacion de las velocidades en deslizamientos.[16] . . . . . . . . . 262.4. Tipos de deslizamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1. Numero de ecuaciones por introduccion de n dovelas. . . . . . . . . . 373.2. Numero de incognitas por introduccion de n dovelas. . . . . . . . . . 373.3. Resumen los metodos y suposiciones.[12] . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.1. Variabilidad de los parametros geotecnicos. . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1. Distribuciones recomendadas por [42]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2. Distribuciones recomendadas U.S. Army Corps of Engineers. . . . . . 57

8.1. Resultados APET vs Slope/W. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.2. Resultados APET para falla plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

VI

Capıtulo 1

Estado del Conocimiento

1.1. Introduccion

El analisis de la estabilidad de taludes es un problema clasico en la mecanica delos suelos, cuyo metodo se basa en los principios del equilibrio lımite. En este tipode analisis, la informacion que desconocemos se encuentra implicada en el factor deseguridad global.[32] La seguridad de los taludes involucra intereses economicos ysociales, que motivan la determinacion de diferentes enfoques de analisis. Cuando lavida o la rentabilidad economica es vulnerable a la falta de informacion, es apropia-do que los disenos incorporen medidas cuantitativas de la falta de informacion y susposibles consecuencias. Por esta razon, la estabilidad de taludes se estudia a partirdel enfoque probabilıstico desde inicios de la decada de los anos 70s. A partir de en-tonces, la incertidumbre se toma en cuenta en los disenos de la ingenierıa geotecnicay se establece una propuesta de estudio novedosa que avanzara de la mano con latecnologıa disponible.

Algunos autores han demostrado desde el siglo pasado, que la estabilidad de taludeses adecuada para el tratamiento probabilıstico. Gran parte de los estudios estan basa-dos en modelos con cuerpos rıgidos deslizantes y superficies de falla de tipo circular,verificados por medio de metodos de estabilidad proporcionados por Fellenius,Bishop, Spencer, Janbu, entre otros[31]. En este capıtulo se describen algunostrabajos reportados alrededor del mundo, que confirman la utilidad de la teorıa de laprobabilidad en los disenos geotecnicos, especıficamente en la estabilidad de taludes.A continuacion se presenta el estado del conocimiento de la Estabilidad de taludes

1

CAPITULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO MIC 2009-I-16

basada en analisis de confibilidad, dividida en 3 perıodos, entre los anos 1970 y 1980,entre 1981 y 2000 y finalmente entre 2001 y 2008.

1.2. Antecedentes

La estabilidad de taludes generalmente ha sido estudiada a partir de metodos basa-dos en el equilibrio lımite. En este tipo de analisis, no se requiere conocer el com-portamiento de esfuerzo y deformacion de los materiales que conforman el talud deanalisis. Sin embargo, es necesario tener un conocimiento adecuado de parametrosque determinan la resistencia del suelo(pe., φ y c).Segun los preceptos de la teorıa del equilibrio lımite, la estabilidad de los taludes esdeterminada a partir del calculo del factor de seguridad η en la region del talud quepresenta la mayor vulnerabilidad al deslizamiento. Esta region crıtica esta limitadapor la superficie de falla que presenta el menor η. Debido a lo anterior, se requierenmetodos que puedan evaluar todas las posibles zonas y encontrar la que representamenor seguridad en el analisis.

En terminos generales, el concepto de seguridad se conoce como la division de laResistencia entre la Solicitacion del sistema:

η =ResistenciaSolicitacion

(1.1)

1.2.1. Factor de seguridad determinıstico

Cuando se aplica la definicion de seguridad de la Ecuacion 1.1, el valor calculado seconoce como factor de seguridad determinıstico. Los disenos en ingenierıa nos danuna idea sobre las propiedades fısicas y funcionales de un sistema, de tal manera,que cumplan con los comportamientos esperados de niveles de servicio, seguridad odurabilidad. Para establecer dichos comportamientos, los sistemas deben estar afec-tados por agentes internos o externos como las cargas aplicadas. En fin, los disenosrelacionan a las cargas que se aplican con la resistencia del material.[35]

En cualquier sistema debe cumplirse :

Radm(ε) ≥ S(ε) (1.2)

2


donde:Radm(ε): La resistencia admisible en un punto determinado ε.S(ε): La solicitacion en un punto determinado ε.

El η modifica la resistencia ultima en una resistencia admisible. Entonces:

Radm =Ru

η(1.3)

donde:Ru : Es el valor lımite (ultimo) de la resistencia.

En consecuencia, un sistema seguro es aquel que cumple:

Radm ≥ S ⇒Ru

η≥ S (1.4)

Una manera mas sencilla de asimilar el concepto de factor de seguridad η, es aquellaque relaciona las fuerzas resistentes con las fuerzas actuantes en el sistema:

η =FResistentes

FActuantes(1.5)

En los η se pueden presentar problemas de invarianza. Estos problemas se presentancuando la relacion entre demanda y solicitacion depende de la forma en que esdefinida (pe., cuando se consideran esfuerzos o fuerzas). Segun [35]:

“La falta de invarianza es una de las principales dificultades en la defini-cion de factor de seguridad y un elemento usualmente menospreciadoque puede ser crıtico en el diseno o la evaluacion del comportamiento delsistema.”

Existen otras formas de expresar el η. Tenemos el factor de carga y los factores par-ciales.

3


1.2.1.1. Factor de carga

Inicialmente se utilizo para el diseno plastico de estructuras. El factor de cargamodifica las cargas asociadas con el sistema para formar un mecanismo de falla[35].Se establece de la siguiente manera:[35]

R ≥ γ(S1 + S2 + ...+ Sm) = γ∑

Si (1.6)

donde:R : Resistencia.γ : Factor de carga.Si : Solicitacion.

1.2.1.2. Factores parciales

En gran parte son el resultado de la investigacion del profesor Fraudental. Los factoresparciales sirven para diferenciar entre la variabilidad y la incertidumbre de los tiposde solicitacion y de resistencia[35]. De acuerdo con el American Concrete Institute-ACI, es :

φiRi ≥ γ1S1 + γ2S2 + ...+ γmSm =∑

j

γjSj (1.7)

donde:φi :Es el factor de resistencia que modifica a Ri

γi : Es el factor que modifica a la solicitacion.

1.2.2. Factor de seguridad para taludes

Para entender la definicion de seguridad en los taludes, es necesario conocer la teorıadel equilibrio lımite:

4


1.2.2.1. Equilibrio Lımite

Consideremos un bloque de peso W que descansa sobre un plano inclinado de anguloψ respecto a la horizontal. El bloque solo es afectado por la fuerza de la gravedad,de manera que el peso W actua verticalmente como lo muestra la Figura 1.1.

R

W sin

W cos

W

yy

y

yy

y

Figura 1.1: Bloque sobre plano inclinado a un angulo ψ de la horizontal. Adaptadade [22].

La componente de W que tiende a mover el bloque hacia abajo es W sinψ y la com-ponente que ayuda a estabilizarlo es W cosψ.[22]

Al suponer que el bloque y la superficie esta formado por suelo, entonces el esfuerzonormal σ que actua a lo largo de la superficie de deslizamiento, se encuentra dadopor :

5


Wcosy

Wsiny

Wy

s

t

Figura 1.2: Talud con superficie de fala plana a ψ grados de la horizontal. Adaptadade [48].

σ =W cosψ

A(1.8)

donde:A: Area de la base del bloque.

El esfuerzo cortante τ que actua en esta superficie de “falla”, segun la ecuacion deMohr-Coulomb es:

τ = c+ σ tanϕ (1.9)

La Ecuacion 1.9, surge de la relacion entre el esfuerzo cortante y el esfuerzo normalde una superficie de roca tıpica o de una muestra de suelo.[22] Ver Figura 1.3.

6


Esfuerzo cortante t

ángulo de fricción

f

s

t

Cohesión

c

Esfuerzo normal

s

Figura 1.3: Relacion entre el esfuerzo cortante τ y esfuerzo normal σ. Adaptada de[22].

De la sustitucion de la Ecuacion 1.8 en la Ecuacion 1.9, se obtiene :

τ = c+W cosψ

Atanϕ (1.10)

La Ecuacion 1.10 se convierte en :

R = cA+W cosψ tanϕ (1.11)

donde :R = τA; Fuerza cortante que resiste el deslizamiento del bloque. Ver Figura 1.1.

El bloque se encontrara a punto de deslizarse o en equilibrio lımite, cuando la fuerzaque tiende a mover el bloque hacia abajo del plano es exactamente igual a la fuerzaresistente. De manera que :

W sinψ = cA+W cosψ tanϕ (1.12)

Con el fin de incorporar el concepto de equilibrio lımite en la estabilidad de taludes,se requiere el uso de un factor de seguridad, este se define como la relacion de todaslas fuerzas que intervienen en la resistencia al deslizamiento sobre el total de las

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fuerzas que aportan al movimiento.

Considerando el bloque de la Figura 1.1, tenemos que el η se encuentra dado por:

η =cA+W cosψ tanϕ

W sinψ(1.13)

Cuando el talud se encuentra en un estado de equilibrio lımite, todas las fuerzas deresistencia y las fuerzas desestabilizadoras son iguales. En el caso anterior, η = 1.0segun la Ecuacion 1.13. El talud es estable cuando las fuerzas resistentes son mayoresa las fuerzas desestabilizadoras, de tal manera, que el factor de seguridad η, tieneque ser mayor que uno (η > 1.0). En la practica, el factor de seguridad para taludesen minas a cielo abierto, generalmente varıa entre 1.0 y 1.3, ya que en estos taludes,la estabilidad no se requiere para largos perıodos de tiempo. En el caso de taludesadyacentes a vıas principales, el factor de seguridad es de 1.5.[22].

1.3. Estado del conocimiento entre 1970 y 1980

El enfoque probabilıstico de la estabilidad de taludes inicia con trabajos basados enel metodo del Primer Orden Segundo Momento, conocido por sus siglas en inglescomo el metodo FOSM. Este es un metodo aproximado muy util para establecerel tipo de variables que requieren un mayor conocimiento al momento de estudiarun talud determinado. El ındice de confiabilidad es calculado, suponiendo que laecuacion para determinar el factor de seguridad es lineal.

Los estudios realizados por Wu y Kraft(1970), Cornell(1971), Alonso(1976),Tang et al.(1976) y Vanmarcke(1977) coinciden en establecer que el analisis prob-abilıstico de la estabilidad de taludes proporciona un mejor conocimiento de la se-guridad, ya que ofrece la posibilidad de entender en terminos de probabilidad, elgrado de confianza del calculo del factor de seguridad considerando la incertidumbreasociada al talud.[47] [10] [1] [37] [44]

La importancia de la incertidumbre en la estabilidad de taludes se reconocio ini-cialmente en Wu y Kraft(1970) y Cornell(1971). Gracias a estos aportes, laspropiedades del suelo se estudiaron desde un punto de vista aleatorio. Alonso(1976)

8


y Veneziano y Camacho, demostraron que las probabilidades de falla de un taludson poco sensibles a la suposicion de la distribucion (Normal o Log-Normal) de laspropiedades del suelo.[32]. Errores estadısticos pueden influir en la suposicion ade-cuada de las distribuciones, por tal motivo, se desarrollaron soluciones aproximadascon el fin de eliminar estos errores, segun lo presentado por Cornell(1971), Kuro-

da y Tang(1979).

En los trabajos anteriores se pueden detectar algunas propiedades del suelo que nofueron estudiadas desde el punto de vista aleatorio, entre estas tenemos:

Peso especıfico del suelo

Presion de poros

Geometrıa general

Alonso(1976) y Vanmarcke(1980), establecen que la variabilidad en la presion deporos es un factor determinante para el analisis probabilıstico de los taludes. La im-portancia de la variabilidad presente en la presion de poros se muestra en el analisisdesarrollado por Matsuo y Ueno(1979), este trabajo se enfoca en el estudio de lasvariaciones que presenta la presion de poros debido a las precipitaciones que inducendinamicamente la falla de los taludes.[32]

Vanmarcke(1977) propone una solucion en donde los taludes son estudiados desdeel campo estocastico tri-dimensional y realiza analisis con variabilidad espacial de losparametros del suelo, apoyandose en la teorıa de los campos aleatorios. Veneziano

y Antoniano(1979) determinaron probabilidades de falla para suelos sin friccioncon propiedades estocasticas generales por medio de un modelo plastico-teorico.[32]

En 1980, Peintinger-B y Rackwitz-R., presentan un metodo de analisis de con-fiabilidad para estabilidad de taludes, que puede soportar cualquier tipo de modeloestocastico para el tratamiento de la incertidumbre. Este metodo se puede aplicarpara el chequeo de estructuras de retencion de suelos de geometrıa arbitraria.[32]

9


Figura 1.4: Ocurrio en 1965.[40]

Deslizamiento ocurrido en Hope, British Columbia-Canada, el 09 de Enero de 1965.El evento destruyo la autopista ( parte inferior ) causando la muerte de 4 personas.


Durante este perıodo se puede apreciar un gran interes por engranar la teorıa de laprobabilidad y la estadıstica en el estudio y diseno de taludes. Se presentan trabajosque intentan resolver el problema, a partir de metodologıas basadas en formas par-ticulares y a menudo complejas de calcular probabilidades. El avance en tecnologıaresulto indispensable para la adopcion de las nuevas metodologıas que en termi-nos generales se distinguen por suposiciones y limitaciones. El uso de computadoresacelero el avance en conocimiento, ya que los metodos probabilısticos precursoresresultaron tediosos para los ingenieros de la epoca, motivando el desarrollo de algo-ritmos capaces de realizar el trabajo duro.

Metodos alternativos al FOSM fueron utilizados, sumandose a la lista otros metodosaproximados como el Metodo de Estimacion Puntual -PEM y Metodo de Confiabilidadde Primer Orden-FORM. Adicionalmente se inicia la implementacion de metodosbasados en simulacion numerica con el desarrollo de metodologıas que incorporaronel metodo de Monte-Carlo-MCS.

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En 1983, Duncan y Houston realizan un trabajo que ilustra la aplicacion de lateorıa de la Probabilidad, con el fın de determinar la probabilidad de falla de unsistema de diques de 1770 [km] localizado en la region delta de California-USA. Conesta aplicacion, se logro estimar los costos futuros o consecuencias de no estable-cer medidas de mitigacion de riesgo en sitios crıticos del sistema de diques hastael ano 2016. Estos resultados fueron utilizados por el Sacramento District of

the U.S. Army Corps of Engineers para determinar los beneficios probablesde aumentar la altura de los diques.[31]

Whitman(1984) presenta una introduccion de la teorıa de la probabilidad dondemuestra una serie de aplicaciones para analisis de licuefaccion bajo cargas sısmicas,optimizacion del diseno de taludes y evaluacion de riesgo de taludes. Los resultadosencontrados demuestran la utilidad del enfoque probabilıstico en las etapas tem-pranas de los proyectos. En este trabajo el autor muestra su preocupacion por ladeficiencia en el numero de trabajos que muestren con ejemplos la aplicacion de lateorıa de la probabilidad en la ingenierıa geotecnica, segun el, la aceptacion de estosmetodos alternativos entre los ingenieros, depende de un mayor numero de ejemplos,que muestren su gran utilidad.[46]

Young(1985) se basa en el concepto de la probabilidad bivariada para establecerun nuevo enfoque probabilıstico. Este metodo emplea una tecnica de transformacionde variables aleatorias llamada: modelo hermitiano de la funcion de transformaciongaussiana, el cual transforma el histograma experimental de los parametros de re-sistencia del suelo o roca en una distribucion de gauss estandar. Con este tipo deanalisis no se requiere suponer la forma del histograma experimental para el analisisprobabilıstico de estabilidad de taludes.[49]

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Deslizamiento ocurrido en Granby,Colorado-USA, el 16 de Abril de 1985. El eventoocasiono el descarrilamiento del “California Zephyr”. El numero de personas heri-das fue de 26, afortunadamente no hubo muertos. La perdida economica sumo 3.5millones de dolares.

Wu et al.(1989) nos muestran la manera de establecer un plan de exploraciongeotecnica y programacion de ensayos desde un planteamiento probabilıstico. Losresultados concluyen que con esta practica se pueden cuantificar las fuentes de in-certidumbre y con esto comparar distintas alternativas de exploracion.[31]

Vick(1992) aplica los metodos probabilısticos en la fase preliminar de un disenode presa localizado en Florida-USA. La aplicacion de esta clase de metodos pro-porcionaron una alternativa de comunicacion entre los juicios geotecnicos y las de-cisiones. Los resultados de este analisis determinaron la necesidad de construir unsegundo dique con material esteril, con el proposito de retener inundaciones. En estetrabajo, se destaco la importancia que representa la implementacion de la probabil-idad en la primera fase de un proyecto, donde las opciones de diseno son estudiadasdesde el punto de vista del riesgo.[31]

Christian et al.(1992), realizan el analisis probabilıstico de dos tipos de diseno dedique y procesos de construccion para el proyecto de hidroelectrica de James Bay-

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Canada.[31]

DeGroot y Baecher(1993) calculan la variabilidad espacial de las propiedadesdel suelo a partir de procedimientos estadısticos. Utilizan una tecnica basada en lamaxima posibilidad o probabilidad, conocida en ingles como Maximum Likelihood(ML). Gracias a esta tecnica se introduce el calculo de la variabilidad espacial de losparametros geotecnicos en algoritmos de computador.[11]

En 1994, Christian et al. resaltan la aplicacion del metodo FOSM con el fın deincorporar incertidumbre al analisis de estabilidad de taludes. Este trabajo modelaprobabilısticamente los parametros del suelo a partir de informacion de laboratorio yde campo, donde se muestra la influencia de la incertidumbre de diferentes paramet-ros en la confiabilidad del talud.[13]

Low y Tang(1997) desarrollan una metodologıa de analisis probabilıstico de estabil-idad de taludes basada en el metodo generalizado de Janbu. El metodo se componede una hoja de calculo que resuelve las ecuaciones de equilibrio de las dovelas yun analisis de confiabilidad mas sencillo, ya que se realiza una interpretacion in-tuitiva del ındice de confiabilidad β a partir de elipsoides de dispersion. Este tipode enfoque reduce el trabajo computacional que requiere el calculo determinısti-co basado en el metodo original de Janbu y el calculo del ındice de confiabilidadque arroja el metodo FORM.[28] En ese mismo ano, Low publica el estudio prob-abilıstico de cunas tetrahedricas en taludes de roca. En este trabajo se muestranlos resultados de analizar los multiples modos de falla que pueden sufrir las cunas,utilizando ecuaciones basadas en equilibrio lımite. Para involucrar la incertidumbreen el factor de seguridad, utilizo el ındice de confiabilidad de Hosofer y Lind.Adicionalmente, siguiendo la perspectiva elipsoidal, expande el espacio original delas variables aleatorias y simula con el metodo de Monte-Carlo los ındices de confia-bilidad de las cunas.[26]

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Deslizamiento ocurrido en Rolling Bay-USA, el 19 de Enero de 1997. El evento de-struyo una vivienda ( parte inferior ) causando la muerte de 4 personas integrantesde una misma familia.

Wang et al.(1999) analizan probabilısticamente los taludes de una mina de carbona cielo abierto localizada en China. En este analisis se toma en cuenta la variabilidadespacial de la resistencia de la roca en los taludes, haciendo uso del ındice de cargapuntual. La superficie de falla se determino a partir de analisis de ingenierıa geologi-ca y analsis numerico FLAC. Las probabilidades de falla se obtuvieron a partir de2000 simulaciones de Monte-Carlo con distribucion exponencial de la resistencia dela roca. Adicionalmente, se muestran algunos datos sobre las probabilidades de fallae ındices de confiabilidad aceptados para taludes en excavaciones a cielo abierto re-portadas en China y America.[45]

Hassan(1999) propone un algoritmo para localizar la superficie de falla crıtica basa-da en el ındice de confibilidad mınimo. El metodo esta desarrollado para soportarcualquier programa de estabilidad de taludes determinıstico, con superficie de fallacircular y no-circular.[21]

Nadim y Lacasse(1999) aplicaron el metodo FORM para taludes no drenados.El trabajo consistio en calcular el factor de seguridad y la probabilidad de falla deun talud, compuesto de dos estratos bajo cargas estaticas y sısmicas. El metodo

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de analisis de estabilidad adoptado fue Bishop. La incertidumbre se modelo conparametros de segundo-momento.[30]

Whitman(2000) presenta un estado del conocimiento sobre los avances y el uso yaceptacion de metodos probabilısticos en la ingenierıa practica de la epoca, resaltan-do la aplicacion de analisis de riesgo en los problemas de la ingenierıa geotecnica.En este trabajo se muestran algunas reflexiones sobre el futuro de la aplicacion demetodologıas probabilısticas y reconoce que desde su presentacion de 1984[46] se handesarrollado un gran numero de ejemplos de aplicacion, que sirven de estımulo parael fortalecimiento del conocimiento y su aplicacion en la practica.[43]


Durante estos anos, se registran un gran numero de aplicaciones y eventos a ni-vel mundial, que indican la preocupacion por demostrar la utilidad de los metodospropuestos. Surgen autores que desarrollan algoritmos novedosos que eliminan laslimitaciones del pasado y promueven le adicion de herramientas numericas como elmetodo de Monte-Carlo y el metodo de los Elementos Finitos. Otros autores im-plementan metodologıas que integran los recursos de softwares comerciales, con elfın de establecer metodologıas de facil entendimiento. Adicionalmente, los softwarescomerciales de ingenierıa geotecnica (pe.,GeoStudioTM) incorporan rutinas de anali-sis probabilıstico a sus metodos determinısticos de analisis, facilitando el calculo convariables aleatorias.

El avance en la tecnologıa computacional y analisis numerico, son las herramientasque motivaron el desarrollo del conocimiento descrito en lineas anteriores. En la ac-tualidad, los metodos que resultaron tediosos por los ingenieros de hace 30 anos,por la complejidad matematica y el gasto neuronal que representaban, hoy por hoyson ejecutados en su mayorıa por computadores, facilitando nuevas alternativas desolucion y la implementacion de novedosos metodos probabilısticos.

Con la aceptacion marcada de la probabilidad en los analisis geotecnicos durante to-dos estos anos, fue posible adicionar nuevos elementos para el analisis determinısticotradicional. Gracias a esto, se obtiene informacion valiosa para el entendimiento del

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problema “complejo” de la seguridad en los taludes.

Low y Tang(2001) proponen un algoritmo de computador basado en hoja de calcu-lo. La implementacion incluye el calculo determinıstico bajo las supociciones de losmetodos de Spencer y Bishop simplificado y el desarrollo de tecnicas de opti-mizacion restringida. Adicionalmente, el analisis contiene la busqueda automaticade la superficie de falla crıtica y analisis de incertidumbre y variabilidad espacial delos parametros del suelo. La cuota probabilıstica en el estudio esta proporcionadapor el calculo del ındice de confiabilidad de Hasofer y Lind(1974).[29]

El-Ramly et al.(2002) desarrollan una metodologıa integrada de estabilidad detaludes probabilıstica. En este trabajo se utilizaron dos softwares comerciales con elfın de conectar la parte determinıstica y la parte probabilıstica.Mediante una hoja de calculo de Microsoft Excel-97TM se programo el metodode Bishop con el fın de determinar el mınimo factor de seguridad. Luego de estable-cer la superficie de falla crıtica, se utilizo el software estadıstico @RiskTM con el cualse puede trabajar con las variables aleatorias del problema (pe., angulo de friccionϕ, cohesion c, etc.). Este metodo requiere que se realicen miles de calculos del factorde seguridad para la superficie de falla crıtica, por este motivo, se simulo con Monte-Carlo el calculo aleatorio del factor de seguridad. Los miles de valores simulados delfactor de seguridad fueron analizados por inferencia estadıstica con @RiskTM paradeterminar el tipo de distribucion que presentan (pe., Normal, Log-Normal, etc.).Con el tipo de distribucion se puede conocer la probabilidad de falla del talud estu-diado y por consiguiente su ındice de confiabilidad.Adicionalmente, el trabajo explica la metodologıa con el ejemplo de los taludes dela hidroelectrica James Bay estudiado inicialmente por Christian et al.(1992) ycontiene una explicacion detallada para incorporar incertidumbre y variabilidad es-pacial al analisis.[19]

Siva y Mukesh(2002) presentan un analisis de riesgo aplicado a los taludes de laregion cercana a los terrenos del Himalaya. La metodologıa implementada se basaen el modelo de los campos aleatorios y el analisis determinıstico de estabilidad detaludes. En este trabajo, se realizo una correlacion espacial de las propiedades delsuelo y se estudio el impacto de coeficientes sısmicos. Finalmente se realizo el analisisde las consecuencias economicas del riesgo calculado.[3]

16


Low(2003) desarrolla una metodologıa practica que involucra el calculo del metodode Spencer con inclinacion variable de las fuerzas laterales de las dovelas. La su-perficie de falla crıtica se localiza por medio de optimizacion restringida presentadaen Low y Tang(2001). El ındice de confiabilidad es calculado a partir del metodoFORM y permite la formulacion de segundo-momento de las propiedades del sue-lo. Los resultados encontrados se comparan con los resultados de la simulacion deMonte-Carlo.[27]

El-Ramly et al.(2003) realizan la aplicacion del metodo propuesto en El-Ramly

et al.(2002) sobre un dique de 44 [m] localizado en Canada. En este analisis se in-corporo la incertidumbre y variabilidad espacial asociada a los parametros del sueloy las presiones de poros.[20]

Baecher y Christian(2003) presentan el primer libro enfocado exclusivamente ala aplicacion de la confiabilidad y la estadıstica en la ingenierıa geotecnica. Hastala publicacion de este libro, la confiabilidad en la ingenierıa hacıa parte exclusivade libros de ingenierıa estructural e ingenierıa mecanica. Gracias e este aporte, selogro un avance importante para la aplicacion de los metodos probabilısticos y es-tadısticos en la ingenierıa de los suelos, ya que los conceptos fueron presentados enun lenguaje familiar, con ejemplos propios de la cotidianidad geotecnica. Este tipode aportes confirma la necesidad de analizar los problemas geotecnicos a partir de laconfiabilidad. El libro esta dividido en 4 partes. La parte I introduce al concepto deincertidumbre, probabilidad, confiabilidad, estadistica y riesgo. La parte II aborda elconcepto de incertidumbre en el contexto geotecnico. La parte III describe la imple-mentacion de los analisis de confiabilidad. La parte IV presenta la aplicacion de laconfiabilidad y los metodos probabilısticos en problemas practicos.[2]

Genevois y Romeo(2003) se enfocan en el estudio de taludes de roca. Calculan laocurrencia y recurrencia de la probabilidad de falla del talud, debido a la variabili-dad espacial de los aspectos estructurales de la roca y la incertidumbre presente enlas propiedades geomecanicas. El analisis involucra fuerzas sısmicas y toma en cuen-ta la intensidad de lluvias[15]. Siguiendo con la variabilidad espacial de las rocas,Kulhawy y Prakoso(2003) realizan un estudio de varibilidad de las propiedadesde la roca intacta. El analisis se describe en terminos del coheficiente de variacion

17


(COV ).[24]

En el ano 2004, se implementa el metodo de los Elementos Finitos para un anali-sis probabilıstico de estabilidad de taludes. Griffiths y Fenton(2004) investiganla probabilidad de falla de un talud mediante el uso del metodo de elementos fini-tos aleatorio-RFEM. En este analisis se desprende un resultado que contradice loslineamientos del analisis probabilıstico simplificado, se trata de la suposicion de corre-lacion perfecta de las propiedades del suelo. En este trabajo se concluye, que ignorarla variabilidad espacial de las propiedades genera estimaciones no conservadoras dela probabilidad de falla.[17]

Christian(2004) publica un artıculo basado en su conferencia Karl Terzaghi No.39. En este trabajo se presenta un completo estado del conocimiento sobre las aplica-ciones de los metodos probabilısticos y de confiabilidad. Entre los temas abordados,se destacan la sobre-estimacion de la incertidumbre en los estudios y las dificultadesen la interpretacion de las probabilidades de falla.[36]Phoon(2004) detalla la evolucion que han presentado los disenos de la ingenierıageotecnica, en relacion al manejo de incertidumbre y los disenos basados en confia-bilidad -RBD.[33]

Siva y Mukesh(2004) incorporan variabilidad espacial al estudio de un talud cohe-sivo. En este trabajo se analizo el impacto de las distancias de correlacion (ver-tical y horizontal) sobre las probabilidades de falla[4]. Un ano despues, Siva yMurthy(2005) estudian el comportamiento de taludes no-saturados basados en con-fiabilidad. Adicionalmente, se analiza la influencia del cambio de la conductividadhidraulica en la confiabilidad del talud.[5]

Fenton y Griffiths(2005) desarrollan un modelo de elementos finitos aleatorios-RFEM, basado en el promedio armonico. Con esta metodologıa se detectan las zonasmas debiles del material que conforma el talud y se pueden obtener buenas estima-ciones de la probabilidad de falla.[14]

Contreras et al.(2006) realizan un analisis de riesgo para la mina de carbon a cieloabierto El Cerrejon, localizada en La Guajira-Colombia. El estudio sirvio paraevaluar las consecuencias economicas y de seguridad en la operacion debido a la falla

18


de los taludes.[9]

Bastante et al.(2007) proponen una metodologıa para involucrar los incrementosde precios y costos en los analisis de riesgos para minas a cielo abierto, mediante eluso del metodo de Monte-Carlo. Este trabajo busca optimizar el diseno de la op-eracion minera, adicionando el impacto de la incertidumbre economica.[6]

Uzielli et al.(2007) realizan un completo estado del conocimiento sobre la cuantifi-cacion de la variabilidad de los suelos y presenta una serie de ejemplos de aplicacionen disenos basados en confiabilidad para problemas geotecnicos.[42]

Griffiths y Fenton(2007) publican un libro que recopila metodos probabilısticoscon aplicacion en la ingenierıa geotecnica. En la primera parte del libro, se explicanconceptos basicos de la teorıa de la probabilidad[18].

Recientemente se publico una completa guıa para la aplicacion de todos los meto-dos mencionados a lo largo de este capıtulo. Phoon(2008) publica el libro titulado:“Reliability-Based Design in Geotechnical Engineering” donde realiza un compendioextraordinario de los metodos para realizar diseno basado en confiabilidad aplicadosa la ingenierıa geotecnica. Este libro, contiene informacion sobre tecnicas computa-cionales para la implementacion de los metodos probabilısticos y su aplicacion endiversos problemas geotecnicos.[34]

19


(a)

(b)


Deslizamiento ocurrido el 16 de Noviembre de 2008, en el sector “El Poblado”,Medellın-Colombia. Este evento ocasiono la muerte de 12 personas y millonariasperdidas economicas.

20

Capıtulo 2

Deslizamientos

2.1. Generalidades

El termino deslizamiento es utilizado en el presente trabajo, para describir el movimien-to de suelos o rocas por accion de la fuerza de gravedad g. De acuerdo a su propor-ciones y magnitudes (p.e., volumen de material deslizado, peso de las rocas, altura deltalud, etc.), los deslizamientos pueden generar graves danos y desastres. Adicional-mente, ocasionan un impacto ambiental considerable y el desarrollo de emergenciasque involucran vidas humanas y grandes perdidas economicas.Entre los factores que provocan deslizamientos se pueden destacar:

Aumento del nivel freatico

Alteracion de la geometrıa natural (p.e., intervencion humana)

Fuerzas adicionales al peso propio (p.e., sobrecargas, fuerzas sısmicas)

Los factores mencionados anteriormente inciden directamente en el equilibrio estaticodel sistema o talud. Cuando las fuerzas resistentes son menores a las fuerzas actu-antes(a favor del deslizamiento), el sistema se desequilibra, ocasionando un movimien-to que estara dominado por la gravedad y desatando consecuencias fatales e inesper-adas a su paso. En la siguente fotografıa se puede apreciar el desastre provocado porun deslizamiento inducido por fuerzas sısmicas:

21

CAPITULO 2. DESLIZAMIENTOS MIC 2009-I-16

Figura 2.1: Ocurrio en 2001. Santa Tecla-El Salvador.[40]

Los deslizamientos se pueden presentar por estaciones(p.e., invierno) o inesperada-mente a causa de factores inciertos(p.e., sismos). En el caso colombiano, el mayornumero de deslizamientos ocurre en las epocas invernales. El aumento en el volumende agua proporcionado por las intensas lluvias, genera la desestabilidad de los cuer-pos de suelo, provocando emergencias que se repiten ano tras ano.Los movimientos de tierra pueden diferenciarse por su velocidad. En algunos casosson muy lentos. Este tipo de movimientos imperceptibles ocasionan danos gradualesque son el detonante de deslizamientos mayores a largo plazo.En la Tabla 2.1 se presentan algunos desafortunados eventos ocurridos a nivel mundi-al a causa de deslizamientos.

22


Ano Lugar No. de muertos1596 Schwaz, Austria 1401596 Hofgastein, Austria 1471669 Salzburg, Austria 2501881 Elm, Suiza 1151893 Verdalen, Noruega 1121908 Notre Dame de La Selette, Canada 331920 Kansu, China 200.0001923 Nebukawa 2001963 Vaiont, Italia 3.0001963 Korea 1161966 Aberfan, Gales 1441970 Huascaran, Peru 67.0001971 Jean Vianney, Canada 311972 West Virginia, Estados Unidos 4001972 Honshu, Japon 1171972 Oimawashi, Japon 801974 Mayunmarca, Peru 4501974 Quebrada Blanca, Colombia 3001983 Gachala-Cundinamarca, Colombia 160.0001983 Piura, Peru 3641983 Mt. Sale, China 2771985 Stava, Italia 2691987 Val Pola, Italia 301987 Valtellina, Italia 301987 Medellın, Colombia 6401993 Ambija, Ecuador 2501996 Yunnan, China 2261997 Cuzc, Peru 3001999 Caracas, Venezuela 30.0002001 Santa Tecla-El Salvador 6002002 Angra Dos Reis, Brazil 742002 San Lucas Toliman, Guatemala 682003 Cima, Bolivia 692008 Medellın, Colombia 272008 Ciudad de Guatemala, Guatemala 272008 Huautla de Jimenez, Mexico 222008 Taoshi, China 277

Tabla 2.1: Numero de muertes reportadas mundialmente a causa de deslizamientos[41][23][16].

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2.2. Factores que inciden en los deslizamientos

Los factores que inciden en los eventos de deslizamientos se pueden dividir en lossiguientes criterios:[16]

1. Segun su incidencia en el equilibrio estatico

a) Cuando se aumenta el peso de la masa en riesgo de deslizamiento: Es-to ocurre cuando hay acumulacion de agua(i.e.,aumento en las fuerzasde infiltracion fs), nieve, granizo y derrubios volcanicos. La intervencionhumana puede generar sobrecargas(p.e., construccion de estructuras, ed-ificios, casas.) y generar cambios al interior de los cuerpos de suelo poreventuales fugas de agua en tuberıas, alcantarillas, pozos etc.

b) Disminucion de la resistencia en el terreno: Cuando se elimina el soportelateral. Esto puede suceder por factores naturales como el efecto erosivode la lluvia, oleaje. Los factores antropicos con la construccion de obraslineales, eliminacion de obras de contencion o la disminucion de los nivelesen los embalses.Las vibraciones ocupan un sitio importante en esta clasificacion, ya queinciden en el terreno por accion de fuerzas sısmicas, voladuras, operacionde maquinaria y las cargas de trafico.

2. Segun el tiempo

a) Variables: Se relacionan con caracterısticas que varıan rapidamente comoconsecuencia de cambios en el entorno. Entre estos tenemos la rapidaelevacion del nivel freatico y el aumento de la cantidad de humedad en elsuelo como consecuencia de intensas lluvias.

b) Permanentes: Agrupan las caractrısticas propias del terreno que permanecensin cambios desde la prespectiva humana(p.e., geologıa).

3. Segun su campo de accion

a) Geometrıa: Son todos aquellos factores que modifican la forma naturaldel terreno. Por ejemplo, todos los tipos de erosion y la intervenciondel hombre(p.e., cortes en taludes naturales para construccion de vıas yaccesos. Ver Figura 2.2).

24


Figura 2.2: Ocurrio en 1994. Colorado-Estados Unidos.[40]

b) Material: Acciones que modifican las propiedades iniciales del material otipo de suelo(p.e., degradacion quımica, meteorizacion, etc.)

c) Esfuerzos: Hacen parte de esta clase, todas las situaciones y/o acciones queinciden en el aumento de los esfuerzos totales alcanzados historicamentepor el talud(p.e., fuerzas externas, fuerzas sısmicas).

2.3. Tipos de deslizamientos

Los movimientos de suelo y roca representan un problema que acarrea grandescostos economicos y la perdida de numerosas vidas humanas. Este problemaha sido estudiado continuamente por los ingenieros geotecnicos e ingenieros ge-ologicos alrededor del mundo, presentandose una mayor frecuencia en lugaresgeologicamente activos.Existe una gran variedad de formas en las que ocurren este tipo de movimien-tos, de manera que es necesario un sistema de clasificacion y descripcion. Estetipo de informacion es de gran relevancia, ya que se establece un lenguajecomun entre los responsables de solucionar este tipo de problemas.

25


Desafortunadamente no existe un acuerdo a nivel mundial. Varios tipos declasificacion se han propuesto. Segun [7], la mayor dificultad radica en la limi-tada terminologıa disponible para describir diferentes tipos de movimientos, esdecir, un termino descriptivo en un determinado sistema de clasificacion puedesignificar un sentido totalmente distinto en otro sistema.

A continuacion se presentan algunos factores tomados en cuenta para la clasi-ficacion de los deslizamientos:

Forma de la superficie de falla Material Distancia recorridaCircular Rocas Trayectos largosPlana (Traslacional) Suelo Trayectos mediosConica Derrubios Trayectos cortosDe cabeza Material de relleno

Tabla 2.2: Factores en la clasificacion de deslizamientos.[16]

La velocidad del movimiento tambien es considerado como un factor impor-tante en la clasificacion:

Descripcion VelocidadExtremadamente rapidos ≥ 10 m/segMuy rapidos 10 m/seg - 1m/minRapidos 1m/min - 1m/dıaModerados 1m/dıa - 1m/mesLentos 1m/mes - 1m/anoExtremadamente lentos ≤ 1 cm/anoShuster, Fleming, 1982

Tabla 2.3: Clasificacion de las velocidades en deslizamientos.[16]

La siguiente es una clasificacion reportada en [16]

26


Movimientos en masa Rocas SueloDesprendimientro de rocas de gravas y arenasVuelcos de rocas . . .

hundimiento de rocas derrumbe de tierrasDesplazamientos derrumbe de rocas deslizamiento de derrubios

deslizamiento de rocas deslizamiento de bloques de tierraflujos de derrubiosavalancha de derrubioscorriente de rocas

Flujos de rocas solifluxionreptacion del sueloflujo de arenaflujo de lodos

Eztensiones laterales de rocas de terrenoMovimientos complejos avalancha de rocas hundimiento y flujo de terreno

Tabla 2.4: Tipos de deslizamientos

De la clasificacion de Skempton y Hutchinson(1969), se pueden agrupartres grandes tipos:

Falls = Desprendimientos

Slides = Deslizamientos

Flows = Flujos

2.3.1. Desprendimientos

2.3.1.1. Rocas

El desprendimiento o caıda de rocas se presenta generalmente en taludes muyescarpados(p.e., ≥ 40◦). Por lo general, no existe una superficie de falla biendefinida. Este tipo de movimiento ocurre cuando determinados factores modi-fican las propiedades mecanicas de la roca que alteran su estado de esfuerzos.Este tipo de eventos usualmente se generan sin previo aviso.En algunos casos, los bloques desprendidos se mantienes intactos, ver Figura2.3. Lo anterior sucede debido al deslizamiento controlado por el angulo deltalud y la forma del bloque.[7][16]

27


2009

Figura 2.3: Desprendimiento de roca, 29/07/2008-Furry Creek, B.C.[40]

En taludes verticales ocurre un tipo de desprendimiento llamado vuelco(eningles: topple), ver Figura 2.4. El aumento de presion debido a la presencia deagua es una de las principales causas.

Figura 2.4: Vuelco de roca. Howson, B.C. 2002 [40]

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2.3.1.2. Suelos

Los desprendimientos de suelo ocurren generalmente en los taludes adyacentes arios. La corriente del rio es el agente que erosiona la parte baja de los taludes,ocasionando el desplome de la parte superior, ver Figura 2.5. De la mismamanera, este tipo de eventos pueden ocurrir en acantilados, donde las olas delmar se encargan de socavarlos.

Figura 2.5: Desprendimiento de suelo.[39]

2.4. Deslizamientos

Los deslizamientos (en ingles: slides) ocurren cuando las fuerzas resistentes sonmenores que las fuerzas de volcamiento o solicitacion. Se caracterizan por pre-sentar una superficie de falla definida(p.e., circular o plana).

2.4.1. Falla circular

Cuando el material que compone a un talud es muy fragil, la falla estara de-terminada por una sola superficie de discontinuidad que tiende a recorrer una

29


trayectoria circular. Este tipo de falla esquematizada en la Figura 2.6 mues-tra que la superficie de falla circular es libre de seguir una linea de mınimaresistencia a traves del talud.

Figura 2.6: Esquema de una falla circular. Adaptada de [22]

Cuando la falla es circular, generalmente se pueden observar grietas en la crestadel talud y abombamiento al pie[16]. La superficie de falla circular se puedepresentar de tres maneras:

Superficie de falla de talud Superficie de falla de pie Superficie de falla de base

Figura 2.7: Tipos de falla circular

2.4.2. Falla plana

El plano de falla ocurre por la presencia de una discontinuidad geologica quechoca paralela a la cara del talud. El deslizamiento ocurre cuando la inclinaciondel plano de falla ψp es mayor que el angulo de friccion ϕ [22]. Ver Figura 2.8

30


yf φ

yp

Figura 2.8: Esquema de una falla plana. Adaptada de [22]

En la siguiente fotografıa (ver Figura 2.9) se puede apreciar una falla planaocurrida en un talud de la mina de carbon a cielo abierto La Francia, Compania

Carbones del Cesar, La Loma, Cesar-Colombia.

Figura 2.9: Fotografıa de una falla planar, mina La Francia, Carbones del Cesar.

31

Capıtulo 3

Analisis de estabilidad de taludes

3.1. Introduccion

Los calculos convencionales para el analisis de estabilidad de taludes se basan en lateorıa del equilibrio lımite. Ver Seccion 1.2.2.1.En este tipo de procedimientos se requiere determinar un factor de seguridad a partirde la informacion disponible sobre las fuerzas resistentes y las fuerzas actuantes delsistema. Para que el talud se encuentre en equilibrio, se deben resolver las ecuacionesdel equilibrio estatico:

∑

Fx = 0 (3.1)

∑

Fy = 0 (3.2)

∑

M = 0 (3.3)

Las ecuaciones anteriores corresponden a la sumatoria de fuerzas en el eje coorde-nado (x− y) sobre el cual se analiza el talud y la sumatoria de momentos M de lasfuerzas involucradas.El problema de la estabilidad de taludes es estaticamente indeterminado y paracumplir con las Ecuaciones 3.1 3.2 3.3 algunos autores a partir del ano 1948 hanpropuesto soluciones que deben cumplir ciertas suposiciones para lograr que el prob-lema sea estaticamente determinado, es decir, que el numero de incognitas sea igualal numero de ecuaciones.

32

CAPITULO 3. ANALISIS DE ESTABILIDAD DE TALUDES MIC 2009-I-16

Como veremos en este capıtulo, los metodos convencionales para analisis de estabil-idad de taludes se diferencian en la forma de la superficie de falla y las suposicionesobligadas. Adicionalmente, se supone que el factor de seguridad es constante a lolargo de toda la superficie de falla, es decir, que es un factor de seguridad global.

Otra caracterıstica importante de los metodos, es la busqueda de la superficie defalla crıtica. Esta corresponde a la superficie de falla que presenta el menor factorde seguridad y que segun las propiedades y caracterısticas del talud representa elestado mas probable a deslizarse.

3.2. Metodos de cuerpo libre unitario

Este tipo de procedimientos se realizan para toda la masa de suelo limitada por lasuperficie del talud y la superficie de falla. No se requiere dividir la masa de suelopara resolver el problema, ya que el analisis se realiza para un solo cuerpo libre.Los metodos que hacen parte de este grupo son:

Metodo de talud infinito

Metodo Sueco circular

Metodo de espiral logarıtmica

A continuacion se mostrara el metodo de talud infinito. Para informacion rela-cionada con el metodo sueco y el metodo de espiral se recomienda Duncan yWright(2005)??

3.2.1. Metodo de Talud Infinito

Taylor(1948) propone un metodo en donde supone que el talud se extiende in-finitamente en todas las direcciones. La superficie de falla se presenta en un planoparalelo a la cara del talud.Al suponer que el talud se extiende infinitamente, se puede establecer que los esfuer-zos generados en los planos (A-A’) y (B-B’)(perpendiculares al talud ) seran iguales.Ver Figura 3.1.

33


zβ

A′

AB′

B

S

N

W

L

x

y

Figura 3.1: Metodo de talud infinito. Adaptada de[12].

Segun la Ecuacion 3.1, tenemos:

−W sin β + S = 0 (3.4)

De la Ecuacion 3.4 se puede despejar S:

S = W sin β (3.5)

donde,

S: Fuerza Cortante

Segun la Ecuacion 3.2, tenemos:

N −W cos β = 0 (3.6)

De la Ecuacion 3.6 se puede despejar N :

N = W cos β (3.7)

donde,

S: Fuerza Normal

Las fuerzas en los lımites del bloque sombreado en la Figura 3.1 se suponen igualesen magnitud, opuestas en direccion y colineales. Por consiguiente, estas fuerzas se

34


cancelan y no se toman en cuenta.

El peso W es igual a:

W = γLZ cos β (3.8)

donde,

γ: Peso Unitario del sueloL: Distancia entre los lımites del bloque sombreadoZ: Profundidad vertical del plano de corteβ: Angulo de inclinacion del talud

Al sustituir la Ecuacion 3.8 en las Ecuaciones 3.5 y 3.7, tenemos que:

S = γ.L.Z. cos β. sin β (3.9)

N = γ.L.Z. cos2 β (3.10)

Al dividir las Ecuaciones 3.9 y 3.10 entre el area: L.1 , se encuentran el esfuerzonormal y el esfuerzo cortante.

NL.1

=γ.��L.Z. cos2 β

��L.1

σ = γ.Z. cos2 β

(3.11)

SL.1

=γ.��L.Z. cos β. sin β

��L.1

τ = γ.Z. cos β. sin β

(3.12)

El factor de seguridad η se obtiene a partir de la siguiente expresion:

35


τ =c+ σ tanϕ

η(3.13)

Al sustituir las Ecuaciones 3.11 y 3.12, tenemos:

η =c+ γZ cos2 β tanϕγZ cos β sin β

(3.14)

3.3. Metodos de dovelas

3.3.1. Generalidades

A diferencia de los metodos anteriores, este tipo de metodos divide la masa deslizanteen porciones o tajadas verticales llamadas dovelas(slices), Ver Figura 3.2. La super-ficie de falla se puede considerar circular y poligonal(no-circular).Los metodos de dovelas con falla circular encontrados en la literatura se reportan enlos trabajos de Fellenius(1936), Taylor(1949) y Bishop(1955). Los metodos deanalisis que emplean falla no-circular se atribuyen a los trabajos de Janbu(1973),Morgenstern y Price(1965), Spencer(1967) y Sarma(1973).

Figura 3.2: Dovelas

En terminos generales, al introducir dovelas verticales, se adicionan nuevas incognitasal problema. Por cada dovela se generan fuerzas adicionales de las cuales desconoce-mos mangitud, inclinacion y localizacion.La mayorıa de los metodos presentan formulaciones similares con algunas diferenciasen las suposiciones de las fuerzas entre dovelas. Segun las condiciones para que sepresente equilibrio estatico y tomando en cuenta el concepto de equilibrio lımite, seobtiene la siguiente informacion[8]: Ver Tablas 3.3.1 y 3.3.1

36


Condiciones No. EcuacionesEquilibrio de momentos para cada dovela nEquilibrio de fuerzas en las direcciones x y y para cada dovela 2nCriterio de falla Mohr-Coulomb nNo. total de ecuaciones 4n

Tabla 3.1: Numero de ecuaciones por introduccion de n dovelas.

Descripcion IncognitasFactor de seguridad 1Fuerza normal en la base de cada dovela nLocalizacion de la fuerza normal en la base de la dovela nFuerza cortante en la base de la dovela nFuerzas horizontales entre dovelas n-1Fuerzas tangenciales entre dovelas n-1Localizacion de las fuerzas entre dovelas n-1Numero total de incognitas 6n - 2

Tabla 3.2: Numero de incognitas por introduccion de n dovelas.

Para que el problema sea estaticamente determinado, el numero de ecuaciones debeser igual al numero de incognitas. Segun la informacion de las tablas anteriores:

4n = 6n− 2

6n− 2− 4n = 0

2n− 2 = 0(3.15)

La Ecuacion 3.15 nos indica que existen 2n− 2 incognitas sin resolver. La soluciona este problema es realizar 2n− 2 supociciones en la definicion del problema. Acontinuacion se resumen las suposiciones mas comunes:

1. Localizacion de las fuerzas normales: Generalmente se suponen en la mitadde la base de cada dovela. Esta suposicion reduce el numero de incognitas an - 2 .

2. Relacion entre fuerzas normales y cortantes entre dovelas: Con esto se reducenn - 1 incognitas.

37


En n dovelas se pueden presentar n − 1 contactos entre dovelas. De manera que elproblema se sobre-determina en 1.[8]Los metodos disponibles para analisis de estabilidad de taludes que utilizan el con-cepto de dovelas, se diferenciaran de las suposiciones que hacen para la simplificaciondel problema y su determinacion estatica. La Tabla 3.3.1 reportada en [12], muestraun resumen detallado de los metodos y suposiciones.

Metodo Suposicion

Talud infinito Extension infinita con sup. de falla pararlelaa la cara del talud.

Espiral Logarıtmico La superficie de falla es espiral log.

Sueco Suo. de falla circular y el angulo de friccionϕ = 0

Fellenius Sup. De falla circular y las fuerzas en loslos lados de las dovelas son descartadas.

Bishop Sup. De falla circular. Fuerzas en los ladosSimplificado de las dovelas son horizontales. No hay

fuerzas cortantes entre dovelas.

Spencer Fuerzas entre dovelas son paralelas y tieneigual inclinacion. La fuerza normal actuaen centro de la base de la dovela.

Morgenstern & Price La fuerza normal actua en el centro de la basede la dovela.

Chen & Morgenstern La fuerza normal actua en el centro de la basede la dovela.

Sarma La resistencia cortante depende de laresistencia cortante de los parametros,presiones de poros y la componente horizontalde la fuerza entre dovela.La fuerza normal actua en el centro de la basede la dovela.

Tabla 3.3: Resumen los metodos y suposiciones.[12]

38


3.3.2. Metodo General de dovelas: Falla Circular

Los metodos que presentan falla circular consideran el equilibrio de momentos re-specto al centro de un circulo.[12]

r

W

a

α

S

αi

i

i

i

i

y

x

+-

Figura 3.3: Superficie de falla circular dividida en dovelas. Adaptada de [12]

El momento de volcamiento se expresa ası:

Md =∑

Wiai (3.16)

donde,

Wi: Peso de la i-esima dovela.ai: Brazo de momento.

El brazo de momento ai es medido desde el centro del cırculo hasta la mitad de ladovela. Teoricamente ai se debe medir hasta el centro de gravedad de cada dovelapero la diferencia es insignificante.[12]

ai = r sinαi (3.17)

El momento de volcamiento es igual a:

39


Md = r∑

Wi sinαi (3.18)

Los esfuerzos cortantes τ son los unicos que contribuyen al momento resistente, yaque los esfuerzos normales σ no producen momento por estar actuando en el centrode las dovelas. El momento resistente se expresa ası:

Mr = r∑

Si (3.19)

donde,

Si: Es la fuerza cortante

Tenemos que:

Si = τi.∆li.1 (3.20)

donde,

∆li.1: Area de cada dovela de espesor unitario.

Segun la Ecuacion 3.20, el momento resistente se expresa ası:

Mr = r∑

τi∆li (3.21)

El esfuerzo cortante se puede expresar en terminos de la resistencia al corte y elfactor de seguridad η de la siguiente manera:[12]

40


Mr = r∑ Si∆li

η(3.22)

Igualando las Ecuaciones 3.22 y 3.18 se obtiene el factor de seguridad η:

η =∑

Si∆li∑

Wi sinαi(3.23)

Sustituyendo Si por la ecuacion Mohr-Coulomb:

η =∑

(c+ σ tanϕ)∆l∑

W sinα(3.24)

Nota: Los subındices (i) se suprimieron ya que la sumatoria se debe hacer para todaslas dovelas.

3.3.3. Metodo Simplificado de Bishop

En este metodo las fuerzas laterales o entre dovelas se suponen horizontales, verFigura 3.4. En consecuencia, no se presenta esfuerzo cortante entre las dovelas.El esfuerzo normal σ es calculado a partir de la sumatoria de fuerzas en y.

41


W

S

N

Ei+1

E i

b

h

Dl

Figura 3.4: Fuerzas en el metodo Simplificado de Bishop . Adaptada de [12]

Haciendo sumatoria de fuerzas en y tenemos:

N cosα+ S sinα−W = 0 (3.25)

La fuerza cortante es:

S = τ∆l (3.26)

Para resistencias al corte expresadas en terminos de esfuerzos efectivos y utilizandola ecuacion Mohr-Coulomb:

S =1η[c′∆l + (N − u∆l) tanϕ′] (3.27)

donde,

u: Presion de poros

Al combinar las Ecuaciones 3.27 y 3.25:

42


N =W −

1η(c′∆l − u∆l tanϕ′) sinα

cosα+sinα tanϕ′

η

(3.28)

El esfuerzo normal efectivo esta dado por:

σ′ =N∆l− u (3.29)

Al combinar las Ecuaciones 3.28 y 3.29, se obtiene la siguiente expresion de factorde seguridad para esfuerzos efectivos en el metodo simplificado de Bishop:

η =

∑

c′∆l cosα+ (W − u∆l cosα) tanϕ′

cosα+(sinα tanϕ′)

η

∑

W sinα(3.30)

Si queremos la expresion para esfuerzos totales, solo debemos hacer las siguientesmodificaciones a la Ecuacion 3.30:

u = 0

c′ = c

ϕ′ = ϕ

La Ecuacion para factor de seguridad expresada en esfuerzos totales es:

η =

∑

c∆l cosα+W tanϕ

cosα+(sinα tanϕ)

η

∑

W sinα(3.31)

43


3.4. Mecanismos Compuestos de Falla

Este metodo es utilizado cuando se presenta superficie de falla plana. Gudehus(1970)propone esta metodologıa basandose en la cinematica y estatica del problema, dondela falla del talud estara determinada por un mecanismo formado por cuerpos deslizantes,ver Figura 3.5.

Figura 3.5: Mecanismos compuestos de falla. Adaptada de [23]

Para desarrollar este metodo se debe conocer la cinematica de la falla posible, verFigura 3.6. En caso contrario se debe suponer a partir de la estratigrafıa y la ge-ometrıa de la superficie.[25]

Figura 3.6: Mecanismos compuestos de falla. Adaptada de [23]

3.4.1. Cinematica del problema

Para establecer la orientacion de algunas fuerzas que intervienen en los cuerpos delmecanismo (p.e., fuerzas resistentes, cohesion), es necesario dibujar el plan de veloci-

44


dades u hodograph. La informacion proporcionada por el hodograph es muy impor-tante para el desarrollo del metodo, ya que nos muestra el sentido de las velocidadesrelativas de las superficies de falla internas(entre cuerpos) y las superfiices de fallaexternas, ver Figura 3.7.

Figura 3.7: Plan de velocidades u Hodograph. Tomado de [23]

Gracias al hodograph es posible conocer el sentido de las fuerzas resistentes de corte,ya que estas actuan en sentido contrario las velocidades relativas.

3.4.2. Estatica del problema

Con la informacion que tenemos hasta el momento, es posible dibujar las fuerzasque actuan en el mecanismo de falla. A continuacion se presenta un ejemplo consobrecarga PT localizada en el cuerpo 1.

45


w

w

ww

c

c

c

c

c

cc

N

N

N

N

PT

Figura 3.8: Fuerzas en mecanismo compuesto de falla Adaptado de [23]

En la Figura 3.8 se pueden apreciar las fuerzas que intervienen en todos los cuerposdel mecanismo. A continuacion se relacionan estas fuerzas:

W : Peso del cuerpo (i). Este se calcula como Areai.γ.

c: Cohesion, es igual a c.l, donde l es la longitud de la superficie de falla.

N : Fuerza Normal.

Q: Fuerza resultante de la fuerza normal y la fuerza de friccion. Es indepen-diente de la distribucion de esfuerzos a lo largo de las superficies de falla. Selocaliza a ϕ grados de la normal N .

PT : Fuerza de sobrecarga(p.e., carga de trafico, edificacion).

Para las fuerzas anteriores no se toma en cuenta el equilibrio de momentos, ya quelos (n) cuerpos deslizantes presentan traslacion[25]. De tal manera, que para deter-minar el equilibrio estatico podemos hacer uso de las otras dos ecuaciones restantes,∑

Fx = 0 y∑

Fy = 0.Lo anterior quiere decir, que tendremos 2n ecuaciones disponibles. El numero deincognitas sera de (2n− 1)[25]. Para que el problema tenga solucion, se debe intro-ducir solo una incognita. En este caso, se trata de la fuerza adicional (∆T ).

46


Las condiciones de equilibrio en el metodo de los mecanismos compuestos de falla secumplen por medio de polıgonos de fuerza. Para el caso del mecanismo de la Figura3.8, el polıgono de fuerzas es:

w

w

w

w

Figura 3.9: Polıgono de fuerzas. Adaptado de [23]

En el anterior ejemplo, la fuerza ∆T = 0, esto quiere decir que el sistema se encuen-tra en equilibrio lımite.

Si ∆T > 0 y en sentido al deslizamiento, esto nos indica que el talud necesita unafuerza adicional para llegar al equilibrio lımite.

47

Capıtulo 4

Incertidumbre en los suelos

En el estudio de los taludes y la ingenierıa de los suelos en general, no se tiene lacerteza absoluta de los parametros involucrados. Las propiedades de los suelos y rocaspueden varıar drasticamente entre un sitio y otro, de manera que establecer valorescaracterısticos de una zona determinada se traduce en problemas. Por tal razon, re-sulta indispensable tener conocimiento sobre el impacto que causa la variacion de losparametros sobre los resultados esperados.

Cuando los niveles de incertidumbre aumentan, seleccionar un unico valor resultacomplicado, de manera que se recurre a un analisis de parametros donde se varıadentro de rangos permitidos.

La variabilidad de los parametros de geotecnia, se evalua mediante ciertos meto-dos de analisis estadısticos y probabilısticos, los cuales asignan las distribuciones dedensidad de probabilidas para :

Cohesion

Angulo de Friccion

Peso Especifico del Suelo

Los anteriores corresponden a parametros relacionados con la resistencia involucradaen estabilidad de taludes. Cuando se tienen superficies de falla superficiales, pequenasvariaciones del valor de cohesion establecido, producen cambios notables en el factorde seguridad η. Para superficies de falla profundas, el parametro crıtico es el angulo

48

CAPITULO 4. INCERTIDUMBRE EN LOS SUELOS MIC 2009-I-16

de friccion ϕ. En cuanto a la variabilidad de los pesos especıficos unitarios, se puedenasignar valores que no influyan de manera directa en la estabilidad, su importanciaradica en el peso ultimo, el cual depende de la altura del talud.

La seleccion apropiada de los valores asignados a los parametros del suelo, se consti-tuye en una actividad muy importante al momento de realizar un analisis geotecnico,ya que la incertidumbre proporcionada por la variabilidad de los valores ası lo de-muestran. La incertidumbre en la estabilidad de taludes se presenta gracias a lareunion de diversos factores. Algunos debido a la ignorancia, de los detalles geologi-cos no observados en el programa exploratorio y otros debido a la estimacion de laspropiedades del suelo. Estos ultimos, requieren tratamiento estadıstico.

A continuacion se presentan los diferentes tipos de incertidumbre relacionada con laspropiedades del suelo :

Uncertainty in soil properties

Data scatter Systematic error

Real

spatial

variation

Random

testing

errors

Statistical

error in the

mean

Bias in

measurement

procedures

Figura 4.1: Tipos de incertidumbre en las propiedades del suelo. Figura adaptadade [43]

La clasificacion inicialmente se divide en (Data scatter) o Dispersion de datos y (Sys-tematic error) o Errores sistematicos.

Dispersion de datos : Cuando nos enfrentamos a una dispersion de datos, estamos

49

CAPITULO 4. INCERTIDUMBRE EN LOS SUELOS MIC 2009-I-16

tratando un problema de variabilidad espacial y errores aleatorios en los ensayos de

prueba. Los errores aleatorios no deben influir en la seleccion de los parametros aescoger, la magnitud de dichos errores es necesaria para tomarlos en cuenta e iden-tificarlos en posteriores analisis.

La variabilidad espacial puede ser de gran importancia, depende de la distancia enla cual ocurre, comparada con la escala del proyecto. [43].

Errores sistematicos : Los errores sistematicos contribuyen para la evaluacionanalıtica de la estabilidad de los taludes de manera muy distinta, ya que, la vari-abilidad espacial se promedia sobre el volumen de suelo, mientras que los erroressistematicos son consistentes a lo largo del volumen. Cabe anotar, que los erroressistematicos pueden tener una influencia mucho mayor para la prediccion de incer-tidumbre que la variabilidad espacial.

Segun [13], existen dos factores que proporcionan errores sistematicos, error estadısti-

co en la media y parcialidad en los procedimientos de medicion. El primero de losfactores, se relaciona con la cantidad limitada de ensayos y la abundancia o escasezde mediciones al momento de determinar un parametro. De manera que, la confia-bilidad de la media es proporcional al numero de datos obtenidos y por tal razon,una poblacion pobre de parametros a estudiar estadısticamente genera errores.

En cuanto al segundo factor, se establece, que la tecnica experimental puede que nomida directamente o que se mida en forma erronea aquellas cantidades inherentes alos parametros del suelo.

50

Capıtulo 5

Variabilidad espacial en los suelos

Los suelos son de naturaleza variable. La manera como se formaron son una fuente ir-refutable de heterogeneidad. Adicionalmente, factores externos(p.e., erosion, voladuras,esfuerzos externos, etc.) inciden en la modificacion de sus propiedades iniciales.En el lenguaje tecnico, la variablidad se define como: La manifestacion observabledel cambio de los parametros fısicos. Por lo anterior, en la estabilidad de taludeses de gran importancia conocer el comportamiento espacial de las propiedades oparametros que determinan el nivel de seguridad del talud. El analisis determinısticoo convencional supone que todas las propiedades del suelo son constantes a lo largode todo el talud y por consiguiente en todo el analisis.Segun [42] existen tres niveles de heterogeneidad en los suelos:

Heterogeneidad estratigrafica: Resulta de los procesos geologicos y geomor-fologicos de gran escala.

Heterogeneidad litologica: Se aprecia en la localizacion de pequenas zonas condistinta litologia en una masa de suelo aparentemente homogenea.

Variabilidad inherente del suelo: Es la variacion de las propiedades desde unsitio a otro en un mismo cuerpo de suelo. En este nivel, se deben asignar valorescuantitativos a los parametros.

5.1. Variabilidad en los parametros geotecnicos

En la literatura se encuentra la variabilidad de los parametros geotecnicos en termi-nos del coeficiente de variacion COV .

51

CAPITULO 5. VARIABILIDAD ESPACIAL EN LOS SUELOS MIC 2009-I-16

COV =σp

µp(5.1)

donde,σp: Desviacion estandar del parametro.µp: Media del parametro.

La Tabla 1. muestra la variabilidad de los parametros γ, c y ϕ del suelo que reportanalgunos autores.

Ano Autor COVγ COVc COVϕ

1965 Lo y Stermac 0,025 . . . . . .1969 Biernatowsky 0,068 . . . . . .1988 Rethati 0,07 . . . . . .1966 Lumb . . . 0,184 . . .1983 Lee et al. . . . 20-50 % 5-15 %1996 Lacasse y Nadim . . . . . . 2-5 %

Tabla 5.1: Variabilidad de los parametros geotecnicos.

5.2. Modelacion de la variabilidad espacial

La variabilidad espacial de los parametros del suelo se puede determinar a partir deun numero considerable de datos. Por lo general, grandes cantidades de informacionsobre parametros geotecnicos no estan disponibles, ya que se requiere un rigurosoplan exploratorio y demasiados ensayos de laboratorio donde se obtenga informacionsobre la variabilidad de los parametros tanto en superficie como en profundidad.En respuesta a lo anterior, la variabilidad espacial se puede modelar con la siguienteecuacion[34]:

z(x) = t(x) + u(x) (5.2)

donde,z(x): Parametro actual en la posicion x.t(x): Tendencia en x.u(x): Desviacion residual de la tendencia.

52

CAPITULO 5. VARIABILIDAD ESPACIAL EN LOS SUELOS MIC 2009-I-16

El residuo se describe como una variable aleatoria con µ = 0 y la siguiente varianza:

V ar(u) = E[z(x)− t(x)2] (5.3)

donde,Var(u): Varianza de u.

53

Capıtulo 6

Metodologıa probabilıstica

6.1. Generalidades

En el Capıtulo sobre el Estado del Conocimiento se pueden apreciar una gran canti-dad de metodos probabilısticos aplicados a la estabilidad de taludes. Esta variedadde metodos se distinguen por sus simplificaciones, suposiciones y limitaciones. Losmetodos probabilısticos se pueden agrupar en dos clases[19]:

Metodos Aproximados:

• FOSM : Primer orden segundo momento.

• PEM : Metodo de la estimacion puntual.

• FORM : Metodo de confiabilidad de primer orden.

Metodo de Monte-Carlo

Los metodos aproximados permiten la estimacion de la media µ y la desviacionestandar σ del factor de seguridad η. Sin embargo, no permiten establecer la formade la funcion de densidad de probabilidad de η. Gracias a lo anterior, este tipo demetodos deben suponer la forma como se distribuye probabilısticamente el factorde seguridad. Segun [19] las estimaciones de probabilidad son sensibles al tipo dedistribucion escogida para el analisis.La ventaja de utilizar el metodo de Monte-Carlo radica en que no se debe suponerel tipo de funcion de densidad de probabilidad del η. Por consiguiente, esposiblecalcular la probabilidad de falla a partir de los resultados arrojados directamente

54

CAPITULO 6. METODOLOGIA PROBABILISTICA MIC 2009-I-16

por el metodo. La metodologıa presentada en este trabajo se basa en este tipo demetodo, donde los parametros del suelo son considerados variables aleatorias.

6.2. Metodologıa desarrollada

La metodologıa desarrollada en este trabajo permite el calculo de la probabilidadde falla de taludes que presenten una superficie de falla circular o traslacional. Elfactor de seguridad del talud es calculado a partir del metodo de Bishop simplificado(Bishop 1955) para falla circular y el metodo de los Mecanismos Compuestos deFalla (Gudehus 1970) para falla traslacional. Los anteriores metodos se rigen bajolos principios de la teorıa del equilibrio lımite.El software de programacion utilizado es MatlabTM. En este, se realizo una interfazgrafica-GUI para el ingreso de los datos por parte del usuario en una forma sencillay amigable.Luego de ingresar la informacion correspondiente a geometrıa(altura h e inclinacionβ), parametros determinısticos(peso especıfico γ, cohesion c y angulo de friccion ϕ),tipo de funciones de densidad de probabilidad de las propiedades del suelo(Normalo Log-Normal), tipo de superficie de falla y la cantidad de simulaciones de Monte-Carlo(n), el programa sigue los siguientes pasos:

1. Encuentra la superficie de falla crıtica: Esta corresponde a la superficie con elmenor factor de seguridad calculado determinısticamente.

2. Simulacion de Monte-Carlo: Tomando la superficie de falla crıtica como basepara el analisis con Monte-Carlo, el programa genera aleatoriamente los paramet-ros geotecnicos a partir de la funcion de densidad de probabilidad ingresadapor el usuario. Luego se calcula el factor de seguridad η y es almacenado. Esteproceso se repite n veces.

3. Histograma de frecuencias : Se genera un histograma de frecuencias para cono-cer la forma de la funcion de densidad de probabilidad del η. Con los datosalmacenados del η se calcula la media µη y la desviacion estandar ση. Con estainformacion es posible calcular la funcion de densidad de probabilidad de η.

4. Funcion de densidad acumulada de probabilidad : Con esta funcion es posibleconocer la probabilidad de falla ya que el programa toma la probabilidad acu-mulada correspondiente al η = 1.

55


CD

F

0

1

f

CD

F

0

1

c

Númeroaletorio

faletorio

c aletorio

Método de estabilidad

1,00

100

h

CD

F(%

)

POF

h h1 2

, . . . , h

Númeroaletorio

, n

Figura 6.1: Metodologıa implementada en Matlab.

6.2.1. Descripcion probabilıstica de los parametros del suelo

En el analisis probabilıstico de taludes los parametros geotecnicos son modeladoscomo variables aleatorias. En este caso, se necesita el tipo de funcion de densidad deprobabilidad que rige el comportamiento del parametro modelado. Para estimar laforma de esta funcion(p.e., Normal, Log-Normal, Triangular, Uniforme) se debe tenerun adecuado conocimiento de la informacion disponible. Cuando existe una cantidadconsiderable de resultados de ensayos de laboratorio, es posible utilizar el histogramagenerado directamente en el analisis. Por otra parte, si la cantidad de informaciondisponible es poca o nula, se recomienda suponer distribuciones parametricas de laliteratura [19]. Ver Tabla 2.

Propiedad Suelo Tipo DistribucionAngulo de friccion Arena NResistencia al cono Arena LN

Arcilla N/LNResistencia cortante Arcilla LNRelacion de vacios Todos N

Tabla 6.1: Distribuciones recomendadas por [42].

56


El U.S. Army Corps of Engineers(2006) hace las siguientes recomendacionesen el apendice K.:

Parametro Tipo de DistribucionPeso especıfico NLimite plastico NLimite lıquido NInformacion limitada UCostos de construccion N

Tabla 6.2: Distribuciones recomendadas U.S. Army Corps of Engineers.

A continuacion se presentan algunos ejemplos reportados en la literatura:

c [kPa]

FDP

Normal

Log-Normal

Log-Normal

c [ kPa ]5,00 15,00 20,0010,00

0,00

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00 f( )

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25FDPLog-Normal

3,8 6,3 8,8 11,3 13,8

o

FDPLog-Normal

E [f] = 7,5s[f] = 2,1 n[ - ] = 80

o

o

FDP

Probabilistic stability analysis of a taylings dike on presheared clay-shale. [H. EL-Ramly et al.,2003]

Stochastic analysis of failure of earth structures.[Michal Sejnoha et al.,2006]

Figura 6.2: Descripcion probabilıstica de los parametros del suelo.

57

Capıtulo 7

Implementacion numerica

Para la implementacion numerica del metodo de los Mecanismos Compuestos deFalla se desarrollo una descripcion vectorial del problema, con el fın de encontrar elmecanismo de falla crıtico. El mecanismo de falla que se implemento fue de 3 cuerposdeslizantes sin cargas adicionales en suelo homogeneo seco.

7.1. Fuerzas

Las fuerzas se incluyeron en el algoritmo de la siguiente manera:

~W = Aγgz (7.1)

donde,

~W : Peso propio del cuerpo [kN/m]A: Area del cuerpo [m2]γ: Peso especıfico del suelo [kN/m3]gz: Vector unitario de la gravedad

58

CAPITULO 7. IMPLEMENTACION NUMERICA MIC 2009-I-16

~C = cl(−v) (7.2)

donde,

~C: Fuerza de cohesion [kN/m]c: valor de la cohesion [kPa]l: longitud linea de falla [m]v: Vector unitario de la velocidad relativa de la linea de falla

q =n+ (−v) tanϕ√

1 + tan2 ϕ(7.3)

donde,

q: Vector unitario de la fuerza Qn: Vector unitario de la fuerza normal a la linea de fallav: Vector unitario de la velocidad relativa de la linea de fallaϕ: Angulo de friccion

~Q = Qq (7.4)

donde,

~Q: Vector Fuerza QQ: Magnitud Fuerza Qq: Vector unitario de la fuerza Q

7.1.1. Calculo del vector unitario normal

El vector unitario de la fuerza normal n hasta este punto es desconocido. Este serequiere para el calculo del vector unitario q. La manera de encontrar este vectorfue la siguiente:

Segun la definicion del producto cruz de dos vectores perpendiculares:

59


n× v = 1 (7.5)

Resolviendo el producto anterior por el concepto del determinante, tenemos que:

(nxvy − nyvx)k = 1 (7.6)

Segun la definicion de norma de un vector:

ny = sqrt1− n2x (7.7)

Al sustituir la Ecuacion 7.7 en la Ecuacion 7.6, resulta la siguiente expresion cuadratica:

(v2y + v2

x)n2x − (2vy)nx + (1− v2

x) = 0 (7.8)

En la Ecuacion anterior, el coeficiente que acompana a n2x es igual a 1 por la defini-

cion de vector unitario.

Luego,

nx =2vy ±

√

4v2y − 4(1− v2

x)

2(7.9)

La expresion contenida en la raiz cuadrada es igual a:

4v2y − 4(1− v2

x)

4(v2y − 1 + v2

x)

4(1− 1) = 0

(7.10)

Finalmente,

60


nx = �2vy

�2(7.11)

nx = ±vy (7.12)

Al conocer nx se conoce ny gracias a la Ecuacion 7.7. El signo de vy estara determi-nado por la orientacion del vector segun la inclinacion de la linea de falla.

7.2. Condicion de equilibrio

El equilibrio fue determinado por las siguientes Ecuaciones:

Cuerpo 1

~W1 + ~C10 + ~C21 + ~Q21 + ~Q10 = ~0 (7.13)

Se presentan 2 incognitas, las magnitudes Q21 y Q10.

Necesitamos 2 ecuaciones: (∑

Fx y∑

Fy). Al descomponer la Ecuacion 7.13,tenemos que:

Q10q10x +Q21q21x = −W1gux − C21xc21x − C10xc10x (7.14)

Q10q10y +Q21q21y = −W1guy − C21yc21y − C10yc10y (7.15)

El sistema se represento matricialmente:

61


[

q10x q21x

q10y q21y

] [

Q10Q21

]

=

[

E1

E2

]

(7.16)

donde E1 y E2 son los terminos de la derecha en las Ecuaciones 7.14 y 7.15respectivamente.

Cuerpo 2

~W3 + ~C30 + ~C23 + ~Q30 + ~Q23 = ~0 (7.17)

Se presentan 2 incognitas, las magnitudes ~Q30 y ~Q23.

De igual forma que en el cuerpo anterior,

[

q30x q23x

q30y q23y

] [

Q30Q23

]

=

[

E2

E3

]

(7.18)

Cuerpo 3

~W2 + ~C12 + ~C20 + ~C32 + ~Q12 + ~Q20 + +~Q32 + ~∆T = ~0 (7.19)

Las incognitas para este cuerpo seran: ~Q20 y ~∆T

De igual forma que en los casos anteriores:

[

q20x ∆Tx

q20y ∆Ty

] [

Q20∆T

]

=

[

E3

E4

]

(7.20)

Finalmente tenemos un problema estaticamente determinado y se puede en-contrar nuestra solucion: ∆T .

62

Capıtulo 8

Resultados

8.1. Implementacion del metodo Simpl. de Bishop

Figura 8.1: Comparacion con Slope/W.

63

CAPITULO 8. RESULTADOS MIC 2009-I-16

Figura 8.2: Analisis probabilıstico de estabilidad de taludes.

Para un total de 2000 simulaciones de Monte-Carlo se calculo una probabilidad defalla de 1.25 %, ver Figura 8.3.

Figura 8.3: Probabilidad de falla de un talud con falla circular.

64


Datos de Entrada Valor Datos de Salida APET Slope/WAltura 25 mInclinacion 38◦

γ 21 kN/m3

c 35 kPa ηcritico 1,5 1,5ϕ 19◦

No. De dovelas 21Tamano Grilla 4 x 4Incrementos de radio 3µc 5 Probabilidad de falla 1,25 % 1,30 %σc 0,5Distribucion de c Nµϕ 35σϕ 3.5Distribucion de ϕ NNo. De Simulaciones 2000

Tabla 8.1: Resultados APET vs Slope/W.

65


8.2. Implementacion Mecanismos Compuestos de

Falla

Figura 8.4: Implementacion Mecanismos Compuestos de Falla.

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

V10

V20

V30

V21

V32

Figura 8.5: Plan de velocidades u hodograph.

66


42 44 46 48 50 52

0

5

10

15

20

25

W1 C10

N10

Q10

C21

N21

Q21

Fuerzas Cuerpo 1

Distancia [m]

Altu

ra [m

]

25 30 35 40 45

-20

-10

0

10

20

30

40

W2

C12

N12 Q12

C20

N20 Q20

C32

N32

Q32

Fuerzas Cuerpo 2

Distancia [m]

Altu

ra [m

]

22 24 26 28 30 32 34

-15

-10

-5

0

5

10

15

W3

C23

N23

Q23 C

30

N30

Q30

Fuerzas Cuerpo 3

Distancia [m]

Altu

ra [m

]

Figura 8.6: Localizacion de fuerzas en los cuerpos

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

Figura 8.7: Fuerzas cuerpo 1

67


0 200 400 600 800 1000

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400


-500 0 500 1000 1500 2000

-1000

-500

0

500

1000

DT


Figura 8.10: Analisis probabilıstico en talud con falla plana.

68


10 20 30 40 500

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

[!]

Den

sida

d de

Pro

babi

lidad

[-]

Función de Densidad de Probabilidad

" = 30

# = 4.5

0 2000 4000 6000 8000 100000

200

400

600

800

Delta T [kN/m]

Fre

cuen

cia

[-]

Histograma de Frecuencias

3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

c[kPa]

Den

sida

d de

Pro

babi

lidad

[-]

Función de Densidad de Probabilidad

"c = 5

#c = 0.5

-1 -0.5 0 0.5 1

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Delta T [kN/m]

Pro

b. a

cum

ulad

a [-

]

Función de Densidad Acumulada de Probabilidad, CFD.

POF= 0.95% No. Simulaciónes= 2e+003

Figura 8.11: Probabilidad de falla en talud de falla plana.

Datos de entrada ValorAltura 21 mInclinacion 37◦

γ 21 kN/m3

ϕ 30◦

c 5 kPaµϕ 30σϕ 4.5Distribucion ϕ Nµc 5σc 0.5Distribucion c NProbabilidad de falla 0,95 %

Tabla 8.2: Resultados APET para falla plana

69


8.3. Discusion

En la literatura se pueden encontrar valores de probabilidades de falla aceptables:

Ano Autor POF( %)1977 Piteau 101982 Meyerhof 1-0,0011983 Priest 0,3-201988 Hantz 15-301991 Hoek 10-151991 Genske 0,1-11993 Sandroni 21995 Wittlestone 0,5

...

En minas a cielo abierto en China, la POF aceptable llega hasta 0,3 %, en Americase reportan casos de 3,9 %.Ref. Wang et al.,[2000].

70

Capıtulo 9

Conclusiones

La metodologıa probabilıstica para el analisis de estabilidad de taludes propor-ciona resultados que contienen una informacion mas completa y realista sobreel nivel de seguridad del diseno.

Implementar un analisis probabilıstico en proyectos de explotacion minera,evita el sobre-diseno de taludes.

La Probabilidad de Falla es muy util al momento de determinar el nivel deriesgo de un proyecto.

En la simulacion de Monte-Carlo se debe tener especial cuidado en la generacionde los numeros aleatorios.

71

Apendice A

Codigo del software APET 1.0

A.1. Subrutinas para analisis circular

A.1.1. geom3.m

function[yD,Cx,Ir,xB,yB,xC,yC,x1,y1,x2,y2,x3,y3,xD,yA,xA]=geom3(eje_inicio,H,I)Ir=(I*pi)/180;xA=0;yA=H/2;xB=(3*H);yB=H/2;xC=(3*H)+(H/tan(Ir));yC=H+(H/2);xD=(3*H)+(H/tan(Ir))+(3*H);yD=H+(H/2);

Cx=xC; %Variable para CRITgeom3.m

% Recta L1 (Entre los puntos A y B - HORIZONTAL 1)x1=[xA xB];y1=[yA yB];axes(eje_inicio)line(x1,y1)

72

APENDICE A. CODIGO DEL SOFTWARE APET 1.0 MIC 2009-I-16

%area(x1,y1)% talud coloreado%--------------%Recta L2 (Entre los puntos B y C - INCLINADA)x2=[xB xC];y2=[yB yC];hold online(x2,y2)%area(x2,y2)%--------------% Recta L3 (Entre los puntos C y D HORIZONTAL 2)x3=[xC xD];y3=[yC yD];hold online(x3,y3)%--------------%area(x3,y3)%colormap jet%--------------

%[Color de relleno para el talud]Coord_X=[xA xA xB xC xD xD];Coord_Y=[0 yA yB yC yD 0];

fill(Coord_X,Coord_Y,’blue’)

%[ Control ejes coordenados]hold onaxis equal; % Ejes con igual escala.hold on%axis tight; % Ejes desde los valores calculados (no negativos).axis([-H/2 xD+H/2 0 yD+H]) % L~Amites de los ejesxlabel(’Distancia [metros]’)ylabel(’Altura [metros]’)%_

73


end

A.1.2. supfalla.m

function[PIx,PIy,RI,xi1,xi2,xc,yc,a,b]=...supfalla(xD,yD,H,Ir,xB,yB,xC,yC,x1,y1,x2,y2,x3,y3)a=0;b=0;

% LOCALIZACIoN PUNTO INICIAL

% 1. Punto medio M de la recta L2 entre los puntos B y C.

Mx=(xB+(xC - xB)/2);My=(yB+(yC - yB)/2);

M=[Mx My];

% 2. Punto Inicial PI de la recta L4 entre los puntos M y PI.

m4=tan(90*(pi/180)+Ir);b4=My-Mx*m4;

PIx=xB %--[M]PIy=m4*PIx + b4%--[M]--

%-------------------------------------------------------PI=[PIx PIy]; % Este es el Centro del Circulo Inicial CI.

RI= PIy - yB;

74


% PUNTOS DE INTERSECCIoN L1 (de A a B)[xi1, yi1] = polyxpoly(x1, y1, xc, yc,’unique’);xi1DIM=size(xi1,1);%yi1DIM=size(yi1,1);% PUNTOS DE INTERSECCIoN L2 (de B a C)[xi2, yi2] = polyxpoly(x2, y2, xc, yc,’unique’);xi2DIM=size(xi2,1);%yi2DIM=size(yi2,1);% PUNTOS DE INTERSECCIoN L3 (de C a D)[xi3, yi3] = polyxpoly(x3, y3, xc, yc,’unique’);xi3DIM=size(xi3,1);%yi3DIM=size(yi3,1);

%[ Escoge los puntos de interseccion o limites de integral ]

%----------------------[ CASO 1 y 2]----------------if ((xi2DIM == 2)&&(xi1DIM == 0)&&(xi3DIM == 0))

b=xi2(1);a=xi2(2);

if a>=bb=a;a=xi2(1);

end

end

% Para el caso= L1 y L2 comparten un punto.if ((xi1DIM == 1)&&(xi2DIM == 2))

a=xi1;b=xi2(1);

75


if b<=ab=xi2(2);end

end

%----------------------------------------------------

% Para este caso el Factor de Seguridad tiene que ser CERO.if ((xi3DIM == 2)&&( xi1DIM == 0)&&(xi2DIM == 0))

b=xi3(1);a=xi3(2);

if a>bb=a;a=xi3(1);

end

end

%- Escoge los puntos de interseccion limites de integral%-[Caso3: Interseccion L1 y L2 ]--if ((xi1DIM == 1) && (xi2DIM == 1) )a=xi1;

b=xi2;

end

%[ Escoge los puntos de interseccion o limites de integral ]%-[Caso4: Interseccion L1 y L3 ]--if ((xi1DIM == 1)&&( xi3DIM == 1))a=xi1;

76


b=xi3;end

%-[ Escoge los puntos de interseccion o limites de integral ]%-[Caso5: Interseccion L2 y L3 ]--if ((xi2DIM == 1)&&(xi3DIM == 1 ))a=xi2;

b=xi3;end

%_[ Control ejes coordenados]hold onaxis equal; % Ejes con igual escala.hold on%axis tight; % Ejes desde los valores calculados (no negativos).axis([-H/2 xD+H/2 0 yD+H])

end

A.1.3. calcareas.m

function[deltaL,alpha,area]=...calcareas(PIx,PIy,RI,xi1,xi2,yC,Ir,xC,I,nd,xc,yc,xB,yB,a,b,xD,yA,H,xA)% Inicializar matricesarea=zeros(nd,2);deltaL=zeros(nd,1);

77


alpha=zeros(nd,1);

% CaLCULO DE LAS AREAS

b2=yC-(tan(Ir)*xC);

f2=@(x)((tan(Ir)*x) + b2); %Funcion Recta L2

f3=@(x)-sqrt(power(RI,2)- power((x-(PIx)),2))+(PIy);

% LOCALIZACIoN DE DOVELAS

%-[ DOVELAS FIJAS ]-

% Dovela fija 1. Punto xBx1d=[xB xB];y1d=[yB 0];%line(x1d,y1d,’color’,[0 0 0.5]);

[xid1, yid1] = polyxpoly(x1d, y1d, xc, yc,’unique’);yidd=[yB yid1];line(x1d, yidd,’color’,’w’);

%Dovela fija 2. Punto xCx2d=[xC xC];y2d=[yC 0];

[xid2, yid2] = polyxpoly(x2d, y2d, xc, yc,’unique’);yid2DIM=size(yid2,1);if yid2DIM==2

78


yid2=yid2(2);endyiddd=[yC yid2];line(x2d, yiddd,’color’,’w’);%___________________________________________________________%---------------------------[ DOVELAS INTERMEDIAS ]---------%---------------------------------[ CASO 1 y CASO 2 ]-------% Dovelas intermedias entre los puntos de interseccion con el circulo.% CASO1: UNICO PARA LA CONDICION INICIAL. (solo cuando el circ. corta linea% L2.)

if a>=xB% CASO INICIALif a<xC

if b>xBif b<=xC

CASO=12;ancho=(b-a)/nd;j=1;for i=a:ancho:b;x3d=[i i];y3d=[yC 0];%line(x3d,y3d,’color’,[0 0 0.5])

[xid3, yid3] = polyxpoly(x3d, y3d, xc, yc,’unique’);numin=size(yid3,1);numin2=size(xid3,1);

if numin>1;yid3=yid3(2,1);

endif numin2>1;xid3=xid3(2,1);

endy4d=[((tan(Ir)*i) + b2) yid3];

79


%line(x3d,y4d,’color’,’cyan’)intersec(j,1)=xid3;.intersec(j,2)=yid3;j=j+1;end% AREA BAJO LAS DOVELAS%xaa=xi1(1)-ancho;xaa=a-ancho;for i=1:nd;

xaa=xaa+ancho;xbb=xaa+ancho;

A1=quad(f3,xaa,xbb);A2=quad(f2,xaa,xbb);

% AREA DE LAS DOVELASAREADOV=A2-A1;area(i,1)=i;area(i,2)=AREADOV;%----[M]----end

%----------------------------% Calculo de delta_l y alpha.%----------------------------numintersec=size(intersec,1);for i=1:numintersec-1

pa=intersec(i+1,2)-intersec(i,2);pb=intersec(i+1,1)-intersec(i,1);

deltaL(i,1)=sqrt(pa^2 + pb^2);

alpha(i,1)=asind(pa/deltaL(i,1));

80


end

%---[ RESULTADOS CASO 1 y 2 ]-disp(’CASO 1 y 2.’);disp(’_________________________’);disp(’No. Dovela Area’)disp(’_________________________’);

disp(’tabla 1’);disp(area);

disp(’_________________________’);%---------------------------------

endend

endend

-

end %function

A.1.4. bishop.m

function[FS]=bishop(gamma,phi,c,deltaL,alpha,area);alphanumDovelas=length(area)FSini= 3;FS = 0;SUMnumFS=0;SUMdenFS=0;

81


for j=1:15

for i=1:numDovelas%-------------------%DL(i) = deltaL(i);a(i) = alpha(i);COSa(i)= cosd(a(i));SENa(i)= sind(a(i));TANphi = tand(phi);W(i) = gamma*area(i,2);%-------------------%

Eq1= c*DL(i)*COSa(i);Eq2= W(i)*TANphi;Eq3= COSa(i) + ((SENa(i)*TANphi)/FSini);Eq4= (Eq1 + Eq2)/Eq3;Eq5= W(i)*SENa(i);

SUMnumFS= SUMnumFS + Eq4 ;SUMdenFS= SUMdenFS + Eq5 ;

%-------------------%

FS= SUMnumFS / SUMdenFS;end

FSini=FS;

end

A.1.5. finder.m

function [yi1,xi1,xi2,xc,yc,a,b,’...

82


xcrit,ycrit,x1,y1,x2,y2,x3,y3,PIx_crit,PIy_crit,RI_crit]=...finder(eje_inicio,xin,yin,nvariHANDLE,yD,Cx,I,nd,xD,yA,H,xA,gamma,phi,c)[centros,nvari]=grilla(xin,yin,nvariHANDLE,H,I,yA,xA,xD)numcentros=length(centros);

nvari=nvariHANDLE;

for k=1:numcentros

hold onPIx=centros(k,1);PIy=centros(k,2);

plot(PIx,PIy,’b+’)

[Ir,xB,yB,xC,yC,x1,y1,x2,y2,x3,y3,xD,yA,xA]=CRITgeom3(H,I,Cx);

%--------------% Dibuja los incrementos de Radio%--------------hold onincrem=0;for n=1:nvariincrem=increm + (yA/nvari);Coord_increm(n,1)=increm;line([xA xD],[increm increm],’color’,’cyan’)end

for i=1:nvari

RI= centros(k,2)-Coord_increm(i,1);

83


% if (centros(k,2)-RI)==H/2% RI= centros(k+1,2)-Coord_increm(i,1);% end

[yi1,xi1,xi2,xc,yc,a,b]=CRITsupfalla(RI,PIx,PIy,Ir,xB,yB,xC,yC,x1,y1,x2,y2,x3,y3)

%[ Control ejes coordenados]hold onaxis equal; % Ejes con igual escala.hold on%axis tight; % Ejes desde los valores calculados (no negativos).axis([-H/2 xD+H/2 0 yD+H]) % L~Amites de los ejes

pause(0.01)

%[deltaL,alpha,area]=CRITcalcareas(x2,y2,PIx,PIy,RI,xi1,xi2,yC,Ir,’...xC,I,nd,xc,yc,xB,yB,a,b,xD,yA,H,xA);[deltaL,alpha,area]=CRITcalcareas(PIx,PIy,RI,yC,Ir,xC,nd,xc,yc,xB,yB,a,b,xD,yA,xA)[FS]=bishop(gamma,phi,c,deltaL,alpha,area);FSeg(i,1)=FS;result=min(FSeg);

endhold on%pause PARA REVISA=jtext(PIx,PIy,sprintf(’ %0.2g;’,result)) % ’%0.2g;’

result2(k,1)=result;result2(k,2)=PIx; % Coord. Centro xresult2(k,3)=PIy; % Coord. Centro yresult2(k,4)=RI; % Coord. Centro Radio

84


result2ispos=result2>0;

minFSfinal=min(result2(ispos))

end

POS=find(result2==minFSfinal)

%%[ Control ejes coordenados]axis equal; % Ejes con igual escala.hold on%axis tight; % Ejes desde los valores calculados (no negativos).axis([-H/2 xD+H/2 0 yD+H]) % L~Amites de los ejes%__________________________________________________________________________hold on[yD,Cx,Ir,xB,yB,xC,yC,x1,y1,x2,y2,x3,y3,xD,yA,xA]=geom3(eje_inicio,H,I);%-----------[ Crea las coordenadas X y Y de un Ciculo y lo dibuja]--------factor_pi=-pi;%Medio circuloif PIy < yCfactor_pi=-2*pi;%Circulo completoend%--------------------------------------------------------------------------T=0:0.01:1;xcrit=result2(POS,4)*cos(factor_pi*T)+ result2(POS,2);ycrit=result2(POS,4)*sin(factor_pi*T)+ result2(POS,3);plot(xcrit, ycrit,’--w’,’LineWidth’,2)%axis equalhold onplot(result2(POS,2),result2(POS,3),’red+’)

% Color para la superficie de falla cr~Atica

85


%------------------------------------------% Valores de la superficie de falla%------------------------------------------PIx_crit=result2(POS,2);PIy_crit=result2(POS,3);RI_crit=result2(POS,4);

%------------------------------------------RI= RI_crit;PIx=PIx_crit;PIy=PIy_crit;

[yi1,xi1,xi2,xc,yc,a,b]=CRITsupfalla(RI,PIx,PIy,Ir,xB,yB,xC,yC,x1,y1,x2,y2,x3,y3)

A.1.6. montecarloBISHOP.m

function[]=montecarloBISHOP(eje_histograma,SIMU,mu_phi,...sigma_phi,distribucion_phi,mu_c,sigma_c,distribucion_c,yi1,...xi1,xi2,xc,yc,a,b,xcrit,ycrit,gamma,yA,xD,xA,nd,PIx_crit,PIy_crit,...RI_crit,Ir,xB,yB,xC,yC)

%--------------[ Analisis con falla circular ]-------------% montecarloBISHOP.m: Realiza la simulacion de Monte-Carlo con elBishop simplificado de

h = waitbar(0,’Simulacion de Monte-Carlo en proceso...’);FSegm1=0;for i=1:SIMUwaitbar(i/SIMU)%-----------------------------if distribucion_phi==1phi=normrnd(mu_phi,sigma_phi);else

86


phi=lognrnd(mu_phi,sigma_phi);end%-----------------------------if distribucion_c==1c=normrnd(mu_c,sigma_c);endif distribucion_c==2c=lognrnd(mu_c,sigma_c);end%-----------------------------

%------------------------------------------% Valores de la superficie de falla critica%------------------------------------------

PIx=PIx_crit;PIy=PIy_crit;RI= RI_crit;

%------------------------------------------

xc=xcrit;yc=ycrit;

[deltaL,alpha,area]=CRITcalcareas(PIx,PIy,RI,...yC,Ir,xC,nd,xc,yc,xB,yB,a,b,xD,yA,xA)[FS]=bishop(gamma,phi,c,deltaL,alpha,area);%-------------FSeg(i,1)=FS;%-------------

if FSeg(i,1) < 1FSegm1=FSegm1+1;

endhold off

87


axes(eje_histograma)hist(FSeg)

xlabel(’FS [kN/m]’)ylabel(’Frecuencia [-]’)grid ontitle(’Histograma de Frecuencias’)

endclose(h)sprintf(’El menor Factor de seguridad es = %0.3g.’,min(abs(FSeg)))sprintf(’El maximo Factor de seguridad es = %0.3g.’,max(FSeg))sprintf(’La media de Factor de seguridad = %0.3g.’,mean(FSeg))

sprintf(’La desviacion estandar de Factor de seguridad = %0.3g.’,std(FSeg))sprintf(’Numero de Factor de seguridad menores a 1 = %0.3g.’,FSegm1)POF=(FSegm1/SIMU)*100;sprintf(’La Probabilidad de Falla x 100 es = %0.3g.’,POF)

%----------------------------------mu=mean(FSeg)sigma=std(FSeg)%----------------------------------figuresubplot(2,2,1)k=1;for i=mu_phi-3*sigma_phi:0.01:mu_phi+3*sigma_phiXphi(k,1)=i;

if distribucion_phi==1Yphi(k,1)=pdf(’norm’,i,mu_phi,sigma_phi);elseYphi(k,1)=pdf(’logn’,i,mu_phi,sigma_phi);end

88


k=k+1;endplot(Xphi,Yphi,’LineWidth’,2)xlabel(’\phi [\circ]’)ylabel(’Densidad de Probabilidad [-]’)title(’Funcion de Densidad de Probabilidad’)hold onif distribucion_phi==1yfinal=pdf(’norm’,mu_phi,mu_phi,sigma_phi);

elseyfinal=pdf(’logn’,mu_phi,mu_phi,sigma_phi);

end

Xx=[mu_phi mu_phi];Yy=[0 yfinal];line(Xx,Yy,’color’,[1 0 0])

text(mu_phi+(2*sigma_phi),yfinal-(yfinal/10),...[’\mu_\phi = ’ num2str(mu_phi,’%0.3g’)])

text(mu_phi+(2*sigma_phi),yfinal-(yfinal/5), ...[’\sigma_\phi = ’ num2str(sigma_phi,’%0.3g’)])

subplot(2,2,2)hist(FSeg)axis([min(FSeg)-0.5 max(FSeg)+0.5 0 max(hist(FSeg))+max(hist(FSeg))/5])xlabel(’FS [-]’)ylabel(’Frecuencia [-]’)grid ontitle(’Histograma de Frecuencias’)

subplot(2,2,3)k=1;

89


for i=mu_c-3*sigma_c:0.01:mu_c+3*sigma_cXc(k,1)=i;if distribucion_c==1Yc(k,1)=pdf(’norm’,i,mu_c,sigma_c);elseYc(k,1)=pdf(’logn’,i,mu_c,sigma_c);endk=k+1;endplot(Xc,Yc,’LineWidth’,2)xlabel(’c[kPa]’)ylabel(’Densidad de Probabilidad [-]’)title(’Funcion de Densidad de Probabilidad’)hold onif distribucion_c==1yfinal=pdf(’norm’,mu_c,mu_c,sigma_c);elseyfinal=pdf(’logn’,mu_c,mu_c,sigma_c);endXx=[mu_c mu_c];Yy=[0 yfinal];line(Xx,Yy,’color’,[1 0 0])

text(mu_c+(2*sigma_c),yfinal-(yfinal/10), ...[’\mu_c = ’ num2str(mu_c,’%0.3g’)])

text(mu_c+(2*sigma_c),yfinal-(yfinal/5), ...[’\sigma_c = ’ num2str(sigma_c,’%0.3g’)])

subplot(2,2,4)

k=1;

90


for i=0:0.01:max(FSeg)+ 1X(k,1)=i;Y(k,1)= cdf(’norm’,i,mu,sigma);

% if handles.pregunta2==0% Y(k,1)=cdf(’logn’,i,mu,sigma);% endk=k+1;endplot(X,Y,’LineWidth’,2)xlabel(’FS [-]’)ylabel(’Prob. acumulada [-]’)title(’Funcion de Densidad Acumulada de Probabilidad, CFD.’)% Gu~Aa para la POF.format longhold onX=[1 1];Y=[0 (FSegm1/SIMU)];line(X,Y,’color’,[1 0 0])hold onX2=[0 1];Y2=[(FSegm1/SIMU) (FSegm1/SIMU)];line(X2,Y2,’color’,[1 0 0])text(1.05,(FSegm1/SIMU),sprintf(’POF= %0.3g%%’,(FSegm1/SIMU)*100))

A.2. Subrutinas para analisis con mecanismos com-

puestos de falla

A.2.1. mecompf.m

function[xL1,xL3,Vx3,Vy3,Vx4,Vy4,Vx2,Vy1,Vx1,Vy2,...X1,Y1,X2,Y2,X3,Y3]=mecompf(xB,I,yB,xC,yC,phi)%--------------[ Analisis con Mecanismos Compuestos de Falla ]-------------% mecompf.m: Calcula las coordenadas de los vertices de los poligonos

91


% que conforman los cuerpos del mecanismo de falla.%__________________________________________________________________________

format bank % Solo dos decimales.

hold on[Vx1,Vy1]=ginput(1);

plot(Vx1,Vy1,’white+’)

[Vx2,Vy2]=ginput(1);plot(Vx2,Vy2,’white+’)%--------------------------------------------------------------------------% Cuerpo 1: Linea 10 a 45+phi/2line([Vx1 Vx1+((yC-Vy1)/tand(45+(phi/2)))],[Vy1 yC],’color’,’white’,’linewidth’,2)%--------------------------------------------------------------------------% linea del cuerpo 2. l2line([Vx1 Vx2],[Vy1 Vy2],’color’,’white’,’linewidth’,2)%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------% Cuerpo 3: Linea 30 a 45-phi/2line([Vx2 Vx2-((yB-Vy2)/tand(45-(phi/2)))],[Vy2 yB],’color’,’white’,’linewidth’,2)%--------------------------------------------------------------------------% Punto del vertice 3 (forma el cuerpo 1)[Vx3,Vy3]=ginput(1);plot(Vx3,Vy3,’white+’)% Punto del vertice 4 (forma los cuerpos 2 y 3)[Vx4,Vy4]=ginput(1);plot(Vx4,Vy4,’white+’)%--------------------------------------------------------------------------% Cuerpo 1: Linea 10 a 45+phi/2line([Vx1 Vx3],[Vy1 Vy3],’color’,’white’,’linewidth’,2)%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------% Cuerpo 2 y 3: Linea 23

92


line([Vx2 Vx4],[Vy2 Vy4],’color’,’white’,’linewidth’,2)%--------------------------------------------------------------------------

% % COORDENADAS:% Cuerpo 1xL3=Vx1+((yC-Vy1)/tand(45+(phi/2))); % Interseccion con recta L3.X1=[Vx1 Vx3 xC xL3 Vx1];Y1=[Vy1 Vy3 yC yC Vy1];% Cuerpo 2X2=[Vx2 Vx4 Vx3 Vx1 Vx2];Y2=[Vy2 Vy4 Vy3 Vy1 Vy2];% Cuerpo 3xL1=Vx2-((yB-Vy2)/tand(45-(phi/2)));X3=[Vx2 xL1 xB Vx4 Vx2];Y3=[Vy2 yB yB Vy4 Vy2];% Restriccion 1if Vx3 > xC% Cuerpo 1X1=[Vx1 Vx3 xL3 Vx1];Y1=[Vy1 Vy3 yC Vy1];% Cuerpo 2X2=[Vx2 Vx4 xC Vx3 Vx1 Vx2];Y2=[Vy2 Vy4 yC Vy3 Vy1 Vy2];endif Vx3 == xC% Cuerpo 1X1=[Vx1 Vx3 xL3 Vx1];Y1=[Vy1 Vy3 yC Vy1];% Cuerpo 2X2=[Vx2 Vx4 Vx3 Vx1 Vx2];Y2=[Vy2 Vy4 Vy3 Vy1 Vy2];end% Restricci~A3n 2if Vx4 < xB% Cuerpo 2

93


X2=[Vx2 Vx4 xB Vx3 Vx1 Vx2];Y2=[Vy2 Vy4 yB Vy3 Vy1 Vy2];% Cuerpo 3xL1=Vx2-((yB-Vy2)/tand(45-(phi/2)));X3=[Vx2 xL1 Vx4 Vx2];Y3=[Vy2 yB Vy4 Vy2];endif Vx4 == xB% Cuerpo 2X2=[Vx2 Vx4 Vx3 Vx1 Vx2];Y2=[Vy2 Vy4 Vy3 Vy1 Vy2];% Cuerpo 3xL1=Vx2-((yB-Vy2)/tand(45-(phi/2)));X3=[Vx2 xL1 Vx4 Vx2];Y3=[Vy2 yB Vy4 Vy2];end% Restriccion 3if (Vx3 > xC)&&(Vx4 < xB)% Cuerpo 1X1=[Vx1 Vx3 xL3 Vx1];Y1=[Vy1 Vy3 yC Vy1];% Cuerpo 2X2=[Vx2 Vx4 xB xC Vx3 Vx1 Vx2];Y2=[Vy2 Vy4 yB yC Vy3 Vy1 Vy2];% Cuerpo 3X3=[Vx2 xL1 Vx4 xB Vx2];Y3=[Vy2 yB Vy4 yB Vy2];end% Restricci~A3n 4if (Vx3 == xC)&&(Vx4 == xB)% Cuerpo 1X1=[Vx1 Vx3 xL3 Vx1];Y1=[Vy1 Vy3 yC Vy1];% Cuerpo 2X2=[Vx2 Vx4 Vx3 Vx1 Vx2];

94


Y2=[Vy2 Vy4 Vy3 Vy1 Vy2];% Cuerpo 3X3=[Vx2 xL1 Vx4 Vx2];Y3=[Vy2 yB Vy4 Vy2];end

%--------------------------------------------------------------------------

A.2.2. calcareasMCF.m

function[area1,area2,area3]=calcareasMCF(phi,Vx2,Vx3,Vy3,Vx4,Vy4,...xC,yC,Vy1,xB,Vx1,yB,Vy2,X1,Y1,X2,Y2,X3,Y3)

%--------------[ Analisis con Mecanismos Compuestos de Falla ]-------------% calcareasMCF.m: Calcula las areas de los poligonos que conforman los% cuerpos del mecanismo de falla.%__________________________________________________________________________

hold onfill(X1,Y1,’cyan’)area1=polyarea(X1,Y1);text(xC,Vy3+(Vy3/10), [’1’])

fill(X2,Y2,’cyan’)area2=polyarea(X2,Y2);text(Vx3,Vy3-(Vy3/10), [’2’])

fill(X3,Y3,’cyan’)area3=polyarea(X3,Y3);text(Vx2-((yB-Vy2)/tand(45-(phi/2)))+((Vx2-((yB-Vy2)/...tand(45-(phi/2))))/10),yB-(yB/10), [’3’])

end

95


A.2.3. fuerzas.m

function[W2_vec,C20_vec,Cu_20,Qu_20,C32_vec,Qu_32,C12_vec,Qu_12,...W3_vec,C30_vec,Qu_30,C23_vec,Qu_23,...W1_vec,C10_vec,Qu_10,C21_vec,Qu_21]=...fuerzas(xL1,Vx4,Vx2,Vy4,X3,Y3,yB,X2,Y2,Vy3,xC,Vx3,Vy2,X1,Y1,...yC,Vy1,Vx1,xL3,area1,area2,area3,phi,gamma,c)

%format(’long’)format(’bank’)

%--------------[ Analisis con Mecanismos Compuestos de Falla ]-------------% fuerzas.m: Dibuja las fuerzas actuantes en cada cuerpo y el plan de velo-% cidades u Hodograph.%__________________________________________________________________________

% Calculo del Vector Unitario de Gravedad Gu:ig=0;jg=yC-yB;%----------------g=[ig;jg];%----------------Gu=-(g/norm(g));%----------------------[ Plan de Velocidades u Hodograph ]-----------------% Calculo de Vectores Unitarios de Velocidad:i_10= Vx1-xL3;j_10= Vy1-yC;%----------------V_10=[i_10;j_10];%----------------Vu_10=V_10/norm(V_10) % Vector Unitario Vu_10%=====================i_12= Vx1-Vx3;j_12= Vy1-Vy3;%----------------V_12=[i_12;j_12];%----------------

96


Vu_12=V_12/norm(V_12) % Vector Unitario Vu_12%=====================i_21=Vx3-Vx1;j_21=Vy3-Vy1;%----------------V_21=[i_21;j_21];%----------------Vu_21=V_21/norm(V_21) % Vector Unitario Vu_21%=====================i_20= Vx2-Vx1;j_20= Vy2-Vy1;%----------------V_20=[i_20;j_20];%----------------Vu_20=V_20/norm(V_20) % Vector Unitario Vu_20%=====================i_23=Vx2-Vx4;j_23=Vy2-Vy4;%----------------V_23=[i_23;j_23];%----------------Vu_23=V_23/norm(V_23) % Vector Unitario Vu_23%=====================i_32=Vx4-Vx2;j_32=Vy4-Vy2;%----------------V_32=[i_32;j_32];%----------------Vu_32=V_32/norm(V_32) % Vector Unitario Vu_32%=====================i_30=xL1-Vx2;j_30=yB-Vy2;%----------------V_30=[i_30;j_30];%----------------

97


Vu_30=V_30/norm(V_30) % Vector Unitario Vu_30%=====================%--------------------------------------------------------------------------% FUERZAS CUERPO 1%--------------------------------------------------------------------------%1. Dibuja el cuerpo 1.subplot(2,3,[3 6])plot(X1,Y1)fill(X1,Y1,’cyan’,’EdgeColor’,’cyan’)%2. Coordenadas de arranque y magnitud de los vectores.i=xL3-Vx1; % Distancia en xj=yC-Vy1; % Distancia en yCoord_X10= Vx1 + (i/2);Coord_Y10= Vy1 + (j/2);MAGNITUD=yC-Vy1;% Fuerzas i0:%------------% Fuerza W10:%------------W1=area1*gamma;W1_vec=W1*Gu; % Peso cuerpo 1.%1. Dibuja el cuerpo 2.Centroid_X1= defuzz(X1,Y1,’centroid’); % Centroide en X del cuerpo 1.hold onplot_arrow(Centroid_X1,yC-((yC-Vy1)/10),Centroid_X1,Vy1,...’color’,’black’,’...’EdgeColor’,’black’,’FaceColor’,’black’)text(Centroid_X1,yC-((yC-Vy1)/10), [’ W_{1}’])%------------% Fuerza C10:%------------%--------------------------% Vector unitario de C10.%--------------------------Cu_10=-Vu_10;

98


%--------------------------L10=sqrt((xL3-Vx1)^2 + (yC-Vy1)^2); % Longitud recta 10.C10=c*L10;C10_vec=C10*Cu_10; % Fuerza de cohesion 10.hold onplot_arrow(Coord_X10,Coord_Y10,(Coord_X10+Cu_10(1)*(MAGNITUD/2)),...(Coord_Y10+Cu_10(2)*(MAGNITUD/2)),’color’,’black’,’EdgeColor’,...’black’,’FaceColor’,’black’)text((Coord_X10+Cu_10(1)*(MAGNITUD/2)),(Coord_Y10+...Cu_10(2)*(MAGNITUD/2)),...[’ \color{black}{C_{10}}’])%------------% Fuerza N10:%------------% Componentes del Vector unitario de N10.%--------------------------n_10x= Vu_10(2);n_10y=-Vu_10(1);%--------------------------Nu_10=[n_10x;n_10y]%==========================hold onplot_arrow((Coord_X10-Nu_10(1)*MAGNITUD),(Coord_Y10-Nu_10(2)*MAGNITUD’...,Coord_X10,Coord_Y10,’color’,’red’,’EdgeColor’,’red’,’FaceColor’,’red’)text((Coord_X10-Nu_10(1)*MAGNITUD),(Coord_Y10-Nu_10(2)*MAGNITUD),...[’ \color{red}{N_{10}}’])%------------% Fuerza Q10:%------------Qu_10=(Nu_10 +(-Vu_10)*tand(phi))/sqrt(1+tand(phi)^2);%------------hold onplot_arrow((Coord_X10-Qu_10(1)*MAGNITUD),(Coord_Y10-Qu_10(2)*MAGNITUD),...Coord_X10,Coord_Y10,’color’,’black’,’EdgeColor’,...’black’,’FaceColor’,’black’)

99


hold ontext((Coord_X10-Qu_10(1)*MAGNITUD),(Coord_Y10-Qu_10(2)*MAGNITUD),...[’ \color{black}{Q_{10}}’])

% Fuerzas ij:%------------% Fuerza C21:%------------i2=Vx1-Vx3; % Distancia en xj2=Vy3-Vy1; % Distancia en yCoord_X12= Vx1 - (i2/2);Coord_Y12= Vy1 + (j2/2);%--------------------------% Vector unitario de C21.%--------------------------Cu_21=-Vu_12;%--------------------------L21=sqrt((Vx1-Vx3)^2 + (Vy3-Vy1)^2); % Longitud recta 21.C21=c*L21;C21_vec=C21*Cu_21; % Fuerza de cohesion 21.hold onplot_arrow(Coord_X12,Coord_Y12,Coord_X12+(Cu_21(1)*(MAGNITUD/2)),...Coord_Y12+(Cu_21(2)*(MAGNITUD/2)),’color’,’black’,’EdgeColor’,’black’,...’FaceColor’,’black’)text(Coord_X12+(Cu_21(1)*(MAGNITUD/2)),Coord_Y12+(Cu_21(2)*(MAGNITUD/2)),...[’ \color{black}{C_{21}}’])%------------% Fuerza N21:%------------% Componentes del Vector unitario de N21.%--------------------------n_21x= Vu_21(2);n_21y=-Vu_21(1);%--------------------------Nu_21=[n_21x;n_21y]%==========================

100


hold onplot_arrow((Coord_X12-Nu_21(1)*MAGNITUD),(Coord_Y12-Nu_21(2)*MAGNITUD),...Coord_X12,Coord_Y12,’color’,’red’,’EdgeColor’,’red’,’FaceColor’,’red’)text((Coord_X12-Nu_21(1)*MAGNITUD),(Coord_Y12-Nu_21(2)*MAGNITUD),...[’ \color{red}{N_{21}}’])%------------% Fuerza Q21:%------------Qu_21=(Nu_21 +Vu_21*tand(phi))/sqrt(1+tand(phi)^2)%------------hold onplot_arrow((Coord_X12-Qu_21(1)*MAGNITUD),(Coord_Y12-Qu_21(2)*MAGNITUD),...Coord_X12,Coord_Y12,’color’,’black’,’EdgeColor’,’black’,’FaceColor’,’black’)hold ontext((Coord_X12-Qu_21(1)*MAGNITUD),(Coord_Y12-Qu_21(2)*MAGNITUD),...[’ \color{black}{Q_{21}}’])

%----------------------------------[ Ejes ]--------------------------------hold onaxis squareaxis equaltitle(’Fuerzas actuantes en Cuerpo 1’)xlabel(’Distancia [m]’)ylabel(’Altura [m]’)hold on% %--------------------------------------------------------------------------% % FUERZAS CUERPO 2% %--------------------------------------------------------------------------W2=area2*gamma;W2_vec=W2*Gu; % Peso cuerpo 2.%1. Dibuja el cuerpo 2.subplot(2,3,[2 5])plot(X2,Y2)hold onfill(X2,Y2,’cyan’,’EdgeColor’,’cyan’)%-----------

101


%Fuerza W2:%-----------Centroid_X2= defuzz(X2,Y2,’centroid’); % Centroide en X del cuerpo 2.hold onplot_arrow(Centroid_X2,Vy3-((Vy3-Vy2)/10),Centroid_X2,Vy4+(Vy4/10),’color’,...’black’,’EdgeColor’,’black’,’FaceColor’,’black’)hold ontext(Centroid_X2,Vy3-((Vy3-Vy2)/10), [’ W_{2}’])%------------% Fuerza C12:%------------%--------------------------% Vector unitario de C21.%--------------------------Cu_12=-Vu_21;%--------------------------C12=c*L21;C12_vec=C12*Cu_12; % Fuerza de cohesion 12.%--------------------------hold onplot_arrow(Coord_X12,Coord_Y12,Coord_X12+(Cu_12(1)*...(MAGNITUD/2)),...Coord_Y12+(Cu_12(2)*(MAGNITUD/2)),’color’,’black’,...’EdgeColor’,’black’,’FaceColor’,’black’)text(Coord_X12+(Cu_12(1)*(MAGNITUD/2)),Coord_Y12+...(Cu_12(2)*(MAGNITUD/2)),...[’ \color{black}{C_{12}}’])% %------------% % Fuerza N12:% %------------% Componentes del Vector unitario de N12.%--------------------------n_12x=Vu_12(2);n_12y=-Vu_12(1);%--------------------------

102


Nu_12=[n_12x;n_12y]%==========================hold onplot_arrow((Coord_X12-Nu_12(1)*MAGNITUD),(Coord_Y12-...Nu_12(2)*MAGNITUD),...Coord_X12,Coord_Y12,’color’,’red’,’EdgeColor’,...’red’,’FaceColor’,’red’)text((Coord_X12-Nu_12(1)*MAGNITUD),(Coord_Y12-...Nu_12(2)*MAGNITUD),...[’ \color{red}{N_{12}}’])

%------------% Fuerza Q12:%------------%Qu_12=(Nu_12 +Vu_12*tand(phi))/sqrt(1+tand(phi)^2)Qu_12=-Qu_21%------------hold onplot_arrow((Coord_X12-Qu_12(1)*MAGNITUD),...(Coord_Y12-Qu_12(2)*MAGNITUD),...Coord_X12,Coord_Y12,’color’,’black’,’EdgeColor’,...’black’,’FaceColor’,’black’)hold ontext((Coord_X12-Qu_12(1)*MAGNITUD),(Coord_Y12-...Qu_12(2)*MAGNITUD),...[’ \color{black}{Q_{12}}’])%------------

% Fuerza C20:%------------i=Vx1-Vx2; % Distancia en xj=Vy1-Vy2; % Distancia en yCoord_X20= Vx2 + (i/2);Coord_Y20= Vy2 + (j/2);%--------------------------% Vector unitario de C20.%--------------------------

103


Cu_20=-Vu_20;%--------------------------L20=sqrt((Vx1-Vx2)^2 + (Vy1-Vy2)^2); % Longitud recta 20.C20=c*L20;C20_vec=C20*Cu_20; % Fuerza de cohesion 20.%--------------------------hold onplot_arrow(Coord_X20,Coord_Y20,(Coord_X20+Cu_20(1)*...(MAGNITUD/2)),...(Coord_Y20+Cu_20(2)*(MAGNITUD/2)),’color’,’black’,...’EdgeColor’,’black’,’FaceColor’,’black’)text((Coord_X20+Cu_20(1)*(MAGNITUD/2)),(Coord_Y20+...Cu_20(2)*(MAGNITUD/2)),...[’ \color{black}{C_{20}}’])%------------% Fuerza N20:%------------% Componentes del Vector unitario de N20.%--------------------------n_20x=Vu_20(2);n_20y=-Vu_20(1);%--------------------------Nu_20=[n_20x;n_20y]%==========================hold onplot_arrow((Coord_X20-Nu_20(1)*MAGNITUD),(Coord_Y20-Nu_20(2)*MAGNITUD),...Coord_X20,Coord_Y20,’color’,’red’,’EdgeColor’,’red’,’FaceColor’,’red’)text((Coord_X20-Nu_20(1)*MAGNITUD),(Coord_Y20-Nu_20(2)*MAGNITUD),...[’ \color{red}{N_{20}}’])%------------% Fuerza Q20:%------------Qu_20=(Nu_20 +(-Vu_20)*tand(phi))/sqrt(1+tand(phi)^2)%------------hold on

104


plot_arrow((Coord_X20-Qu_20(1)*MAGNITUD),(Coord_Y20-...Qu_20(2)*MAGNITUD),...Coord_X20,Coord_Y20,’color’,’black’,’EdgeColor’,’black’,...’FaceColor’,’black’)hold ontext((Coord_X20-Qu_20(1)*MAGNITUD),(Coord_Y20-Qu_20(2)*MAGNITUD),...[’ \color{black}{Q_{20}}’])

%------------% Fuerza C32:%------------i=Vx4-Vx2; % Distancia en xj=Vy4-Vy2; % Distancia en yCoord_X32= Vx2 + (i/2);Coord_Y32= Vy2 + (j/2);%--------------------------% Vector unitario de C32.%--------------------------Cu_32=-Vu_23;%--------------------------L32=sqrt((Vx4-Vx2)^2 + (Vy4-Vy2)^2); % Longitud recta 32.C32=c*L32;C32_vec=C32*Cu_32; % Fuerza de cohesion 32.%--------------------------hold onplot_arrow(Coord_X32,Coord_Y32,Coord_X32+(Cu_32(1)*(MAGNITUD/2)),...Coord_Y32+(Cu_32(2)*(MAGNITUD/2)),’color’,’black’,’EdgeColor’,’black’,...’FaceColor’,’black’)text(Coord_X32+(Cu_32(1)*(MAGNITUD/2)),Coord_Y32+(Cu_32(2)*(MAGNITUD/2)),...[’ \color{black}{C_{32}}’])%------------% Fuerza N32:%------------% Componentes del Vector unitario de N32.%--------------------------n_32x=Vu_32(2);

105


n_32y=-Vu_32(1);%--------------------------Nu_32=[n_32x;n_32y]%==========================hold onplot_arrow((Coord_X32-Nu_32(1)*MAGNITUD),(Coord_Y32-Nu_32(2)*MAGNITUD),...Coord_X32,Coord_Y32,’color’,’red’,’EdgeColor’,’red’,’FaceColor’,’red’)text((Coord_X32-Nu_32(1)*MAGNITUD),(Coord_Y32-Nu_32(2)*MAGNITUD),...[’\color{red}{N_{32}}’])

%------------% Fuerza Q32:%------------Qu_32=(Nu_32 +Vu_32*tand(phi))/sqrt(1+tand(phi)^2);%------------hold onplot_arrow((Coord_X32-Qu_32(1)*MAGNITUD),(Coord_Y32-Qu_32(2)*MAGNITUD),...Coord_X32,Coord_Y32,’color’,’black’,’EdgeColor’,’black’,’FaceColor’,’black’)hold ontext((Coord_X32-Qu_32(1)*MAGNITUD),(Coord_Y32-Qu_32(2)*MAGNITUD),...[’ \color{black}{Q_{32}}’])

%----------------------------------[ Ejes ]--------------------------------hold onaxis squareaxis equaltitle(’Fuerzas actuantes en Cuerpo 2’)xlabel(’Distancia [m]’)ylabel(’Altura [m]’)%% %--------------------------------------------------------------------------% % FUERZAS CUERPO 3% %--------------------------------------------------------------------------W3=area3*gamma; % Peso cuerpo 3.W3_vec=W3*Gu;%1. Dibuja el cuerpo 3.

106


subplot(2,3,[1 4])plot(X3,Y3)fill(X3,Y3,’cyan’,’EdgeColor’,’cyan’)% %-----------% % Fuerza W3:% %-----------Centroid_X3= defuzz(X3,Y3,’centroid’); % Centroide en X del cuerpo 3.hold onplot_arrow(Centroid_X3,yB-((yB-Vy2)/10),Centroid_X3,Vy2,’color’,...’black’,’EdgeColor’,’black’,’FaceColor’,’black’)text(Centroid_X3,yB-((yB-Vy2)/10), [’ W_{3}’])%------------% Fuerza C23:%------------%--------------------------% Vector unitario de C23.%--------------------------Cu_23=-Vu_32;%--------------------------C23=c*L32;C23_vec=C23*Cu_23; % Fuerza de cohesion 23.%--------------------------hold onplot_arrow(Coord_X32,Coord_Y32,Coord_X32+(Cu_23(1)*(MAGNITUD/2)),...Coord_Y32+(Cu_23(2)*(MAGNITUD/2)),’color’,’black’,’EdgeColor’,’black’,...’FaceColor’,’black’)text(Coord_X32+(Cu_23(1)*(MAGNITUD/2)),Coord_Y32+(Cu_23(2)*(MAGNITUD/2)),...[’ \color{black}{C_{23}}’])%------------% Fuerza N23:%------------% Componentes del Vector unitario de N23.%--------------------------n_23x=Vu_23(2);n_23y=-Vu_23(1);

107


%--------------------------Nu_23=[n_23x;n_23y]%==========================hold onplot_arrow((Coord_X32-Nu_23(1)*MAGNITUD),(Coord_Y32-Nu_23(2)*MAGNITUD),...Coord_X32,Coord_Y32,’color’,’red’,’EdgeColor’,’red’,’FaceColor’,’red’)text((Coord_X32-Nu_23(1)*MAGNITUD),(Coord_Y32-Nu_23(2)*MAGNITUD),...[’ \color{red}{N_{23}}’])

% %------------% % Fuerza Q23:% %------------%Qu_23=(Nu_23 +Vu_23*tand(phi))/sqrt(1+tand(phi)^2);Qu_23=-Qu_32;%------------hold onplot_arrow((Coord_X32-Qu_23(1)*MAGNITUD),(Coord_Y32-Qu_23(2)*MAGNITUD),...Coord_X32,Coord_Y32,’color’,’black’,’EdgeColor’,’black’,’FaceColor’,’black’)hold ontext((Coord_X32-Qu_23(1)*MAGNITUD),(Coord_Y32-Qu_23(2)*MAGNITUD),...[’ \color{black}{Q_{23}}’])

%------------% Fuerza C30:%------------i=Vx2-xL1; % Distancia en xj=yB-Vy2; % Distancia en yCoord_X30= Vx2 - (i/2);Coord_Y30= Vy2 + (j/2);%--------------------------% Vector unitario de C30.%--------------------------Cu_30=-Vu_30;%--------------------------L30=sqrt((Vx2-xL1)^2 + (yB-Vy2)^2); % Longitud recta 30.

108


C30=c*L30;C30_vec=C30*Cu_30; % Fuerza de cohesion 30.%---------------------------hold onplot_arrow(Coord_X30,Coord_Y30,(Coord_X30+Cu_30(1)*(MAGNITUD/2)),...(Coord_Y30+Cu_30(2)*(MAGNITUD/2)),’color’,’black’,’EdgeColor’,...’black’,’FaceColor’,’black’)text((Coord_X30+Cu_30(1)*(MAGNITUD/2)),(Coord_Y30+Cu_30(2)*...(MAGNITUD/2)),...[’ \color{black}{C_{30}}’])

%------------% Fuerza N30:%------------% Componentes del Vector unitario de N30.%--------------------------n_30x=Vu_30(2);n_30y=-Vu_30(1);%--------------------------Nu_30=[n_30x;n_30y]%==========================hold onplot_arrow((Coord_X30-Nu_30(1)*MAGNITUD),(Coord_Y30-Nu_30(2)*MAGNITUD),...Coord_X30,Coord_Y30,’color’,’red’,’EdgeColor’,’red’,’FaceColor’,’red’)text((Coord_X30-Nu_30(1)*MAGNITUD),(Coord_Y30-Nu_30(2)*MAGNITUD),...[’ \color{red}{N_{30}}’])%------------% Fuerza Q30:%------------Qu_30=(Nu_30 +(-Vu_30)*tand(phi))/sqrt(1+tand(phi)^2)%------------hold onplot_arrow((Coord_X30-Qu_30(1)*MAGNITUD),(Coord_Y30-Qu_30(2)*MAGNITUD),...Coord_X30,Coord_Y30,’color’,’black’,’EdgeColor’,’black’,...’FaceColor’,’black’)

109


hold ontext((Coord_X30-Qu_30(1)*MAGNITUD),(Coord_Y30-Qu_30(2)*MAGNITUD),...[’ \color{black}{Q_{30}}’])

% %----------------------------------[ Ejes ]--------------------------------hold onaxis squareaxis equaltitle(’Fuerzas actuantes en Cuerpo 3’)xlabel(’Distancia [m]’)ylabel(’Altura [m]’)%--------------------------------------------------------------------------% Dibujo del Hodographfigure% Velocidades externas no compartidas:plot_arrow(0,0,Vu_10(1),Vu_10(2),’color’,’black’,’EdgeColor’,’black’,...’FaceColor’,’black’)text(Vu_10(1)- Vu_10(1)/2,Vu_10(2)- Vu_10(2)/2,[’ \color{black}{V_{10}}’])hold onplot_arrow(0,0,Vu_20(1),Vu_20(2),’color’,’black’,’EdgeColor’,’black’,...’FaceColor’,’black’)text(Vu_20(1)- Vu_20(1)/2,Vu_20(2)- Vu_20(2)/2,[’ \color{black}...{V_{20}}’])hold onplot_arrow(0,0,Vu_30(1),Vu_30(2),’color’,’black’,’EdgeColor’,’black’,...’FaceColor’,’black’)text(Vu_30(1)- Vu_30(1)/2,Vu_30(2)- Vu_30(2)/2,[’ \color{black}{V_{30}}’])% Velocidades externas compartidas:hold onplot_arrow(Vu_10(1),Vu_10(2),Vu_20(1),Vu_20(2),’color’,’black’,...’EdgeColor’,’black’,’FaceColor’,’black’)text(Vu_10(1)+(Vu_20(1)-Vu_10(1))/2,Vu_10(2)+(Vu_20(2)-Vu_10(2))/2,...[ ’\color{black}{V_{21}}’])hold onplot_arrow(Vu_20(1),Vu_20(2),Vu_30(1),Vu_30(2),’color’,’black’,...

110


’EdgeColor’,’black’,’FaceColor’,’black’)text(Vu_20(1)+(Vu_30(1)-Vu_20(1))/2,Vu_20(2)+(Vu_30(2)-Vu_20(2))/2,...[’ \color{black}{V_{32}}’])hold ontitle(’Plan de Velocidades-Hodograph’)xlabel(’X’)ylabel(’Y’)hold onaxis squareaxis equalend % Function

A.2.4. poligonos.m

function[deltaT]=poligonos(W2_vec,C20_vec,Cu_20,...Qu_20,C32_vec,Qu_32,C12_vec,Qu_12,...

W3_vec,C30_vec,Qu_30,C23_vec,Qu_23,...W1_vec,C10_vec,Qu_10,C21_vec,Qu_21)

%--------------[ Analisis con Mecanismos Compuestos de Falla ]-------------% poligonos.m: Dibuja los poligonos de fuerzas en cada cuerpo.%__________________________________________________________________________%--------------------------------------------------------------------------% POLIGONO CUERPO 1%--------------------------------------------------------------------------% Calculo de las magnitudes Q10 y Q21Qu=zeros(2,2);%inicializar matriz de componentes de los vectores unitarios.E=zeros(2,1);%inicializar vector las ecuaciones 1 y 2 (parte conocida).% -------------------------------------------------------------------------Qu(1,1)=Qu_10(1);Qu(1,2)=Qu_21(1);Qu(2,1)=Qu_10(2);Qu(2,2)=Qu_21(2);%----------------E(1,1)=-W1_vec(1)-C10_vec(1)-C21_vec(1); % en xE(2,1)=-W1_vec(2)-C10_vec(2)-C21_vec(2); % en y

111


%----------------Q10_21=inv(Qu)*E; % C~A¡lculo de las magnitudes Q10 y Q21.%----------------Q10=Q10_21(1,1);Q21=Q10_21(2,1);%----------------% Def. de vectoresQ10_vec=Q10*Qu_10;Q21_vec=Q21*Qu_21;

%----------------% Dibujo del poligono de fuerzas Cuerpo 1.figure% W1plot_arrow(0,0,W1_vec(1),W1_vec(2),’color’,’black’,’EdgeColor’,...’black’,’FaceColor’,’black’)% C21hold on%-----------------------Xi1= W1_vec(1);Yi1= W1_vec(2);Xf1= Xi1 + C21_vec(1);Yf1= Yi1 + C21_vec(2);%-----------------------plot_arrow(Xi1,Yi1,Xf1,Yf1,’color’,’red’,’EdgeColor’,’red’,’FaceColor’,’red’)% Q21hold on%-----------------------Xi2=Xf1;Yi2=Yf1;Xf2=Xf1 + Q21_vec(1);Yf2=Yf1 + Q21_vec(2);%-----------------------plot_arrow(Xi2,Yi2,Xf2,Yf2,’color’,’blue’,’EdgeColor’,’blue’,’FaceColor’,’blue’)% Q10hold on

112


%-----------------------Xi3=Xf2;Yi3=Yf2;Xf3=Xf2 + Q10_vec(1);Yf3=Yf2 + Q10_vec(2);%-----------------------plot_arrow(Xi3,Yi3,Xf3,Yf3,’color’,’blue’,’EdgeColor’,’blue’,’FaceColor’,’blue’)% C10hold on%-----------------------Xi4=Xf3;Yi4=Yf3;Xf4=Xf3 + C10_vec(1);Yf4=Yf3 + C10_vec(2);%-----------------------plot_arrow(Xi4,Yi4,Xf4,Yf4,’color’,’red’,’EdgeColor’,’red’,’FaceColor’,’red’)hold ontitle(’Pol~Agono de fuerzas Cuerpo 1’)xlabel(’X’)ylabel(’Y’)hold onaxis squareaxis equal%--------------------------------------------------------------------------% POLIGONO CUERPO 3%--------------------------------------------------------------------------% Calculo de las magnitudes Q30 y Q23Qu=zeros(2,2);%inicializar matriz de componentes de los vectores unitarios.E=zeros(2,1);%inicializar vector las ecuaciones 1 y 2 (parte conocida).% -------------------------------------------------------------------------Qu(1,1)=Qu_30(1);Qu(1,2)=Qu_23(1);Qu(2,1)=Qu_30(2);Qu(2,2)=Qu_23(2);%----------------

113


E(1,1)=-W3_vec(1)-C30_vec(1)-C23_vec(1); % en xE(2,1)=-W3_vec(2)-C30_vec(2)-C23_vec(2); % en y%----------------Q30_23=inv(Qu)*E; % Calculo de las magnitudes Q30 y Q23.%----------------Q30=Q30_23(1,1);Q23=Q30_23(2,1);%----------------% Def. de vectoresQ30_vec=Q30*Qu_30;Q23_vec=Q23*Qu_23;

%----------------% Dibujo del poligono de fuerzas Cuerpo 1.figure% W3plot_arrow(0,0,W3_vec(1),W3_vec(2),’color’,’black’,’EdgeColor’,...’black’,’FaceColor’,’black’)% C30hold on%-----------------------Xi5=W3_vec(1);Yi5=W3_vec(2);Xf5=Xi5 + C30_vec(1);Yf5=Yi5 + C30_vec(2);%-----------------------plot_arrow(Xi5,Yi5,Xf5,Yf5,’color’,’red’,’EdgeColor’,’red’,...’FaceColor’,’red’)% Q30hold on%-----------------------Xi6=Xf5;Yi6=Yf5;Xf6=Xf5 + Q30_vec(1);Yf6=Yf5 + Q30_vec(2);%-----------------------

114


plot_arrow(Xi6,Yi6,Xf6,Yf6,’color’,’blue’,’EdgeColor’,’blue’,...’FaceColor’,’blue’)% Q23hold on%-----------------------Xi7=Xf6;Yi7=Yf6;Xf7=Xf6 + Q23_vec(1);Yf7=Yf6 + Q23_vec(2);%-----------------------plot_arrow(Xi7,Yi7,Xf7,Yf7,’color’,’blue’,’EdgeColor’,’blue’,’FaceColor’,’blue’)

% C23hold on%-----------------------Xi8=Xf7;Yi8=Yf7;Xf8=Xf7 + C23_vec(1);Yf8=Yf7 + C23_vec(2);%-----------------------plot_arrow(Xi8,Yi8,Xf8,Yf8,’color’,’red’,’EdgeColor’,’red’,’FaceColor’,’red’)

hold ontitle(’Pol~Agono de fuerzas Cuerpo 3’)xlabel(’X’)ylabel(’Y’)hold onaxis squareaxis equal% DEBUG=1;

%--------------------------------------------------------------------------% POLIGONO CUERPO 2%--------------------------------------------------------------------------

115


Q32=Q23;Q32_vec=Q32*Qu_32;%--------Q12=Q21;Q12_vec=Q12*Qu_12;% Calculo de las magnitudes Q20 y deltaTQu=zeros(2,2);%inicializar matriz de componentes de los vectores unitarios.E=zeros(2,1);%inicializar vector las ecuaciones 1 y 2 (parte conocida).% -------------------------------------------------------------------------Qu(1,1)=Qu_20(1);Qu(1,2)=-Cu_20(1); % Direccian x del vector unitario deltaTQu(2,1)=Qu_20(2);Qu(2,2)=-Cu_20(2); % Direccian y del vector unitario deltaT;%----------------E(1,1)=-W2_vec(1)-C20_vec(1)-C32_vec(1)-C12_vec(1)-...Q32_vec(1)-Q12_vec(1); % en xE(2,1)=-W2_vec(2)-C20_vec(2)-C32_vec(2)-C12_vec(2)-...Q32_vec(2)-Q12_vec(2); % en y%----------------Q20_deltaT=inv(Qu)*E; % C~A¡lculo de las magnitudes Q20 y deltaT.%----------------Q20=Q20_deltaT(1,1);deltaT=Q20_deltaT(2,1)%----------------% Def. de vectoresQ20_vec=Q20*Qu_20;deltaT_vec=deltaT*(-Cu_20);

%----------------% Dibujo del poligono de fuerzas Cuerpo 1.figure% W2plot_arrow(0,0,W2_vec(1),W2_vec(2),’color’,’black’,’EdgeColor’,...’black’,’FaceColor’,’black’)% C32

116


hold on%-----------------------Xi=W2_vec(1);Yi=W2_vec(2);Xf=W2_vec(1) + C32_vec(1);Yf=W2_vec(2) + C32_vec(2);%-----------------------plot_arrow(Xi,Yi,Xf,Yf,’color’,’red’,’EdgeColor’,’red’,’FaceColor’,’red’)% Q32hold on%-----------------------Xi=W2_vec(1) + C32_vec(1);Yi=W2_vec(2) + C32_vec(2);Xf=W2_vec(1) + C32_vec(1) + Q32_vec(1);Yf=W2_vec(2) + C32_vec(2) + Q32_vec(2);%-----------------------plot_arrow(Xi,Yi,Xf,Yf,’color’,’blue’,’EdgeColor’,’blue’,’FaceColor’,’blue’)

% C20hold on%-----------------------Xi=W2_vec(1) + C32_vec(1) + Q32_vec(1);Yi=W2_vec(2) + C32_vec(2) + Q32_vec(2);Xf=W2_vec(1) + C32_vec(1) + Q32_vec(1) + C20_vec(1);Yf=W2_vec(2) + C32_vec(2) + Q32_vec(2) + C20_vec(2);%-----------------------plot_arrow(Xi,Yi,Xf,Yf,’color’,’red’,’EdgeColor’,’red’,’FaceColor’,’red’)% Q20hold on%-----------------------Xi=W2_vec(1) + C32_vec(1) + Q32_vec(1) + C20_vec(1);Yi=W2_vec(2) + C32_vec(2) + Q32_vec(2) + C20_vec(2);Xf=W2_vec(1) + C32_vec(1) + Q32_vec(1) + C20_vec(1) + Q20_vec(1);Yf=W2_vec(2) + C32_vec(2) + Q32_vec(2) + C20_vec(2) + Q20_vec(2);%-----------------------

117


plot_arrow(Xi,Yi,Xf,Yf,’color’,’blue’,’EdgeColor’,’blue’,’FaceColor’,’blue’)% deltaThold on%-----------------------Xi=W2_vec(1) + C32_vec(1) + Q32_vec(1) + C20_vec(1) +...Q20_vec(1);

Yi=W2_vec(2) + C32_vec(2) + Q32_vec(2) + C20_vec(2) + ...Q20_vec(2);Xf=W2_vec(1) + C32_vec(1) + Q32_vec(1) + C20_vec(1) + ...Q20_vec(1) + deltaT_vec(1);Yf=W2_vec(2) + C32_vec(2) + Q32_vec(2) + C20_vec(2) + ...Q20_vec(2) + deltaT_vec(2);%-----------------------plot_arrow(Xi,Yi,Xf,Yf,’color’,’magenta’,’EdgeColor’,...’magenta’,’FaceColor’,’magenta’)% Q12hold on%-----------------------Xi=W2_vec(1) + C32_vec(1) + Q32_vec(1) + C20_vec(1) + ...Q20_vec(1) + deltaT_vec(1)Yi=W2_vec(2) + C32_vec(2) + Q32_vec(2) + C20_vec(2) + ...Q20_vec(2) + deltaT_vec(2);Xf=W2_vec(1) + C32_vec(1) + Q32_vec(1) + C20_vec(1) + ...Q20_vec(1) + deltaT_vec(1) + Q12_vec(1);Yf=W2_vec(2) + C32_vec(2) + Q32_vec(2) + C20_vec(2) + ...Q20_vec(2) + deltaT_vec(2) + Q12_vec(2);%-----------------------plot_arrow(Xi,Yi,Xf,Yf,’color’,’blue’,’EdgeColor’,...’blue’,’FaceColor’,’blue’)% C12hold on%-----------------------Xi=W2_vec(1) + C32_vec(1) + Q32_vec(1) + C20_vec(1) +...Q20_vec(1) + deltaT_vec(1) + Q12_vec(1);

Yi=W2_vec(2) + C32_vec(2) + Q32_vec(2) + C20_vec(2) +...

118


Q20_vec(2) + deltaT_vec(2) + Q12_vec(2);Xf=W2_vec(1) + C32_vec(1) + Q32_vec(1) + C20_vec(1) + ...Q20_vec(1) + deltaT_vec(1) + Q12_vec(1) + C12_vec(1);Yf=W2_vec(2) + C32_vec(2) + Q32_vec(2) + C20_vec(2) + ...Q20_vec(2) + deltaT_vec(2) + Q12_vec(2) + C12_vec(2);%-----------------------plot_arrow(Xi,Yi,Xf,Yf,’color’,’red’,’EdgeColor’,’red’,...’FaceColor’,’red’)hold ontitle(’Pol~Agono de fuerzas Cuerpo 2’)xlabel(’X’)ylabel(’Y’)hold onaxis squareaxis equal% DEBUG=1;end % Function

A.2.5. finderMCF.m

function [X1c,Y1c,X2c,Y2c,X3c,Y3c,xL1,Vx4,Vx3,xL3]=’...finderMCF(eje_inicio,xA,xD,xL1,Vx4,

Vx2,Vy4,X3,Y3,yB,X2,Y2,Vy3,xC,Vx3,Vy2,X1,Y1,yC,Vy1,Vx1,xL3,...area2,area3,phi,gamma,c,I,d)% finderMCF.m: Localiza el deltaT minimo variando las inclinaciones de las% superficies de falla que conforman el mecanismo compuesto. Inicialmente% se varian las superficies internas o compartidas y luego las externas%__________________________________________________________________________

%----------------------[ Variando Superficie 10 ]--------------------------

tetha10= 45 + (phi/2);j=0;for i=-1:1:1% A favor de las manecillas del reloj:

119


tetha10n= tetha10 + i;% Puntos de interseccion de las rectas L3 y Sup10.xL3=Vx1+((yC-Vy1)/tand(tetha10n))% Generaci~A3n de las nuevas coordenadas del cuerpo 1.X1n=[Vx1 Vx3 xC xL3 Vx1];Y1n=[Vy1 Vy3 yC yC Vy1];%----------------------j=j+1;Coord1_xL3(j,1)=xL3;%----------------------

axes(eje_inicio)fill(X1n,Y1n,’cyan’)area1=polyarea(X1n,Y1n);

[W2_vec,C20_vec,Cu_20,Qu_20,C32_vec,Qu_32,C12_vec,Qu_12,...W3_vec,C30_vec,Qu_30,C23_vec,Qu_23,...W1_vec,C10_vec,Qu_10,C21_vec,Qu_21]=...

CRITfuerzas(xL1,Vx4,Vx2,Vy4,X3,Y3,yB,X2,Y2,Vy3,xC,...Vx3,Vy2,X1,Y1,yC,Vy1,Vx1,xL3,area1,area2,area3,phi,gamma,c);[deltaTn]=CRITpoligonos(W2_vec,C20_vec,Cu_20,Qu_20,...C32_vec,Qu_32,C12_vec,Qu_12,...

W3_vec,C30_vec,Qu_30,C23_vec,Qu_23,...W1_vec,C10_vec,Qu_10,C21_vec,Qu_21);

%-----------------------deltasT1_10(j,1)=deltaTn;%-----------------------

end

MIN_deltaT=min(abs(deltasT1_10)); %%

if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_10(1,1))) % Con las manecillas del reloj

120


tetha10n1= tetha10 -1;end

if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_10(3,1))) % Contra las manecillas del relojtetha10n1= tetha10 +1;end

j=0;while(xL3 > xC)&&(xL3 < xD)&& (xL3 > Vx1)

if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_10(1,1))) % Con las manecillas del relojtetha10n1= tetha10n1 -1;% Puntos de intersecci~A3n de las rectas L3 y Sup10.xL3=Vx1+((yC-Vy1)/tand(tetha10n1))end

if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_10(2,1))) % INICIAL

X1n=X1;Y1n=Y1;axes(eje_inicio)fill(X1n,Y1n,’cyan’)area1=polyarea(X1n,Y1n);

break

end

if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_10(3,1))) % Contra las manecillas del relojtetha10n1= tetha10n1 +1;% Puntos de intersecci~A3n de las rectas L3 y Sup10.xL3=Vx1+((yC-Vy1)/tand(tetha10n1))

121


end

% Generaci~A3n de las nuevas coordenadas del cuerpo 1.X1n=[Vx1 Vx3 xC xL3 Vx1];Y1n=[Vy1 Vy3 yC yC Vy1];%----------------------j=j+1;Coord_xL3(j,1)=xL3;%----------------------axes(eje_inicio)fill(X1n,Y1n,’cyan’)area1=polyarea(X1n,Y1n);


CRITfuerzas(xL1,Vx4,Vx2,Vy4,X3,Y3,yB,X2,Y2,Vy3,xC,Vx3,Vy2,X1,Y1,yC,Vy1,Vx1,xL3,area1,area2,area3,phi,gamma,c);[deltaTn]=CRITpoligonos(W2_vec,C20_vec,Cu_20,Qu_20,C32_vec,Qu_32,C12_vec,Qu_12,...


%-----------------------deltasT_10(1,1)=deltasT1_10(1,1);

if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_10(3,1))) % Contra las manecillas del relojdeltasT_10(1,1)=deltasT1_10(3,1);end

deltasT_10(j+1,1)=deltaTn;%-----------------------

signo= deltasT_10(j+1,1)-deltasT_10(j,1);

122


if (deltaTn > 0)&&((abs(signo) <= 0.01)||(signo > 0))break

end

if (deltaTn < 0)&&((abs(signo) <= 0.01)||(signo < 0))break

end

end


tetha30= 45 - (phi/2);j=0;for i=-1:1:1% A favor de las manecillas del reloj:tetha30n= tetha30 + i;% Puntos de intersecci~A3n de las rectas L1 y Sup30.xL1=Vx2-((yB-Vy2)/tand(tetha30n));% Generacion de las nuevas coordenadas del cuerpo 1.X3n=[Vx2 xL1 xB Vx4 Vx2];Y3n=[Vy2 yB yB Vy4 Vy2];


%----------------------j=j+1;Coord1_xL1(j,1)=xL1;%----------------------


CRITfuerzas(xL1,Vx4,Vx2,Vy4,X3,Y3,yB,X2,Y2,Vy3,xC,Vx3,Vy2,X1,Y1,yC,Vy1,Vx1,

123


xL3,area1,area2,area3,phi,gamma,c);[deltaTn]=CRITpoligonos(W2_vec,C20_vec,Cu_20,Qu_20,C32_vec,Qu_32,C12_vec,Qu_12,...



end

MIN_deltaT=min(abs(deltasT1_30)); % El minimo delta T es el que est~A¡ mas% cerca del cero.

if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_30(1,1))) % Con las manecillas del relojtetha30n1= tetha30 -1;end


j=0;while(xL1 > xA)&&(xL1 < xB)&& (xL1 < Vx2)

if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_30(1,1))) % Con las manecillas del relojtetha30n1= tetha30n1 -1;% Puntos de intersecci~A3n de las rectas L1 y Sup30.xL1=Vx2-((yB-Vy2)/tand(tetha30n1));end


124


X3n=X3;Y3n=Y3;axes(eje_inicio)fill(X3n,Y3n,’cyan’)area3=polyarea(X3n,Y3n);

break

end

if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_30(3,1))) % Contra las manecillas del relojtetha30n1= tetha30n1 +1;% Puntos de interseccion de las rectas L3 y Sup10.xL1=Vx2-((yB-Vy2)/tand(tetha30n1));end

nuevas coordenadas del cuerpo 3.X3n=[Vx2 xL1 xB Vx4 Vx2];Y3n=[Vy2 yB yB Vy4 Vy2];

%----------------------j=j+1;Coord_xL1(j,1)=xL1;%----------------------axes(eje_inicio)fill(X3n,Y3n,’cyan’)area3=polyarea(X3n,Y3n);



125



%-----------------------deltasT_30(1,1)=deltasT1_30(1,1);





end


end

end

%----------------------[ Variando Superficie 23 ]--------------------------tetha23=atand((Vy4-Vy2)/(Vx4-Vx2));j=0;for i=-1:1:1% A favor de las manecillas del reloj:tetha23n= tetha23 + i;% Puntos de interseccion de las rectas L2 y Sup23.b1=Vy2-(tand(tetha23n)*Vx2);b2=yB-(tand(I)*xB);

126


Vx4=(b2-b1)/(tand(tetha23n)-tand(I));Vy4=(tand(I)*Vx4) + b2;

% Generacion de las nuevas coordenadas del cuerpo 2.X2n=[Vx2 Vx4 Vx3 Vx1 Vx2];Y2n=[Vy2 Vy4 Vy3 Vy1 Vy2];


% Nueva area del cuerpo 3 por variar Sup.23.X3n=[Vx2 xL1 xB Vx4 Vx2];Y3n=[Vy2 yB yB Vy4 Vy2];%----------------------

j=j+1;Coord1_Vx4(j,1)=Vx4;Coord1_Vx4(j,2)=Vy4;%----------------------axes(eje_inicio)fill(X3n,Y3n,’cyan’)area3=polyarea(X3n,Y3n);





end

MIN_deltaT=min(abs(deltasT1_23)); % El minimo delta T es el que esta mas% cerca del cero.

127




j=0;while(Vx4 < Vx3)&&(Vx4 >= xB)&& (Vx4 > Vx2)

if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_23(1,1))) % Con las manecillas del relojtetha23n1= tetha23n1 -1;% Puntos de interseccion de las rectas L2 y Sup23.b1=Vy2-(tand(tetha23n1)*Vx2);b2=yB-(tand(I)*xB);Vx4=(b2-b1)/(tand(tetha23n1)-tand(I));Vy4=(tand(I)*Vx4) + b2;

end


X2n=X2;Y2n=Y2;

axes(eje_inicio)fill(X2n,Y2n,’cyan’)area2=polyarea(X2n,Y2n);%-----------------------X3n=X3;Y3n=Y3;

axes(eje_inicio)

128


fill(X3n,Y3n,’cyan’)area3=polyarea(X3n,Y3n);

break

end

if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_23(3,1))) % Contra las manecillas del relojtetha23n1= tetha23n1 +1;% Puntos de interseccion de las rectas L2 y Sup23.b1=Vy2-(tand(tetha23n1)*Vx2);b2=yB-(tand(I)*xB);Vx4=(b2-b1)/(tand(tetha23n1)-tand(I));Vy4=(tand(I)*Vx4) + b2;

end

nuevas coordenadas del cuerpo 2.X2n=[Vx2 Vx4 Vx3 Vx1 Vx2];Y2n=[Vy2 Vy4 Vy3 Vy1 Vy2];


% Nueva area del cuerpo 3 por variar Sup.23.X3n=[Vx2 xL1 xB Vx4 Vx2];Y3n=[Vy2 yB yB Vy4 Vy2];%----------------------

j=j+1;Coord1_Vx4(j,1)=Vx4;Coord1_Vx4(j,2)=Vy4;%----------------------axes(eje_inicio)fill(X3n,Y3n,’cyan’)area3=polyarea(X3n,Y3n);

129





%-----------------------deltasT_23(1,1)=deltasT1_23(1,1);%-----------------------if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_23(3,1))) % Contra las manecillas del relojdeltasT_23(1,1)=deltasT1_23(3,1);end




end


end

end


tetha12=180-atand((Vy3-Vy1)/(Vx1-Vx3));

130


j=0;for i=-1:1% A favor de las manecillas del reloj:tetha12n= tetha12 + i;% Puntos de interseccion de las rectas L2 y Sup12.b1=Vy1-(tand(tetha12n)*Vx1);b2=yB-(tand(I)*xB);Vx3=(b1-b2)/(tand(I)-tand(tetha12n));Vy3=(tand(I)*Vx3) + b2;

% Generacion de las nuevas coordenadas del cuerpo 1.X1n=[Vx1 Vx3 xC xL3 Vx1];Y1n=[Vy1 Vy3 yC yC Vy1];

%----------------------j=j+1;Coord1_Vx3(j,1)=Vx3;Coord1_Vx3(j,2)=Vy3;%----------------------axes(eje_inicio)fill(X1n,Y1n,’cyan’)area1=polyarea(X1n,Y1n);

% Nueva area del cuerpo 2 por variar Sup.12.X2n=[Vx2 Vx4 Vx3 Vx1 Vx2];Y2n=[Vy2 Vy4 Vy3 Vy1 Vy2];

area2=polyarea(X2n,Y2n);


CRITfuerzas(xL1,Vx4,Vx2,Vy4,X3,Y3,yB,X2,Y2,Vy3,xC,Vx3,Vy2,...X1,Y1,yC,Vy1,Vx1,xL3,\\area1,area2,area3,phi,gamma,c);[deltaTn]=CRITpoligonos(W2_vec,C20_vec,Cu_20,Qu_20,C32_vec,...

131


Qu_32,C12_vec,Qu_12,...W3_vec,C30_vec,Qu_30,C23_vec,Qu_23,...W1_vec,C10_vec,Qu_10,C21_vec,Qu_21);


end

MIN_deltaT=min(abs(deltasT1_12)); % El minimo delta T es el que esta mas% cerca del cero.



j=0;while(Vx1 > Vx3)&&(Vx1 > xB)&& (Vx3 <= xC)

if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_12(1,1))) % Con las manecillas del relojtetha12n1= tetha12n1 -1;% Puntos de interseccion de las rectas L2 y Sup12.b1=Vy1-(tand(tetha12n1)*Vx1);b2=yB-(tand(I)*xB);Vx3=(b1-b2)/(tand(I)-tand(tetha12n1));Vy3=(tand(I)*Vx3) + b2;

end


132


X1n=X1;Y1n=Y1;

axes(eje_inicio)fill(X1n,Y1n,’cyan’)area1=polyarea(X1n,Y1n);%-----------------------X2n=X2;Y2n=Y2;


break

end

if (MIN_deltaT == abs(deltasT1_12(3,1))) % Contra las manecillas del relojtetha12n1= tetha12n1 +1;% Puntos de intersecci~A3n de las rectas L2 y Sup12.b1=Vy1-(tand(tetha12n1)*Vx1);b2=yB-(tand(I)*xB);Vx3=(b1-b2)/(tand(I)-tand(tetha12n1));Vy3=(tand(I)*Vx3) + b2;

end

% Generacion de las nuevas coordenadas del cuerpo 1.X1n=[Vx1 Vx3 xC xL3 Vx1];Y1n=[Vy1 Vy3 yC yC Vy1];

%----------------------j=j+1;Coord1_Vx3(j,1)=Vx3;Coord1_Vx3(j,2)=Vy3;

133


%----------------------axes(eje_inicio)fill(X1n,Y1n,’cyan’)area1=polyarea(X1n,Y1n);

% Nueva area del cuerpo 2 por variar Sup.12.X2n=[Vx2 Vx4 Vx3 Vx1 Vx2];Y2n=[Vy2 Vy4 Vy3 Vy1 Vy2];

area2=polyarea(X2n,Y2n);




%-----------------------deltasT_12(1,1)=deltasT1_12(1,1);%-----------------------





end

134



end

end

% Coordenadas del Mecanismo de Falla Critico:

% Cuerpo 1:X1c=[Vx1 Vx3 xC xL3 Vx1];Y1c=[Vy1 Vy3 yC yC Vy1];

% Cuerpo 2:X2c=[Vx2 Vx4 Vx3 Vx1 Vx2];Y2c=[Vy2 Vy4 Vy3 Vy1 Vy2];

% Cuerpo 3:X3c=[Vx2 xL1 xB Vx4 Vx2];Y3c=[Vy2 yB yB Vy4 Vy2];

% Dibuja el Mecanismo de Falla Criticoaxes(eje_inicio)fill(X1c,Y1c,’red’)fill(X2c,Y2c,’red’)fill(X3c,Y3c,’red’)

end % end Function

A.2.6. montecarloMCF.m

function[]=montecarloMCF(eje_histograma,SIMU,mu_phi,...sigma_phi,distribucion_phi,...mu_c,sigma_c,distribucion_c,X1c,Y1c,X2c,Y2c,X3c,Y3c,...xL1,Vx4,Vx2,Vy4,X3,Y3,yB,X2,...Y2,Vy3,xC,Vx3,Vy2,X1,Y1,yC,Vy1,Vx1,xL3,gamma,c)

135


%--------------[ Analisis con Mecanismos Compuestos de Falla ]-------------% montecarloMCF.m: Realiza la Monte-Carlo con el% mecanismo compuesto de falla.%__________________________________________________________________________home%h = waitbar(0,’Simulacion de Monte-Carlo en proceso...’);deltaTm1=0;for i=1:SIMU%waitbar(i/SIMU)%-----------------------------if distribucion_phi==1phi=normrnd(mu_phi,sigma_phi);elsephi=lognrnd(mu_phi,sigma_phi);end%-----------------------------if distribucion_c==1c=normrnd(mu_c,sigma_c);endif distribucion_c==2c=lognrnd(mu_c,sigma_c);end%-----------------------------

% Calculo de los deltaTarea1=polyarea(X1c,Y1c);area2=polyarea(X2c,Y2c);area3=polyarea(X3c,Y3c);

X1=X1c;Y1=Y1c;

X2=X2c;Y2=Y2c;

136


X3=X3c;Y3=Y3c;


CRITfuerzas(xL1,Vx4,Vx2,Vy4,X3,Y3,yB,X2,Y2,Vy3,xC,Vx3,Vy2,X1,...Y1,yC,Vy1,Vx1,xL3,area1,area2,area3,phi,gamma,c);

[deltaTn2]=CRITpoligonos(W2_vec,C20_vec,Cu_20,Qu_20,C32_vec,...Qu_32,C12_vec,Qu_12,...


%-------------------deltaTf(i,1)=deltaTn2;%-------------------if deltaTf(i,1) < 0

deltaTm1=deltaTm1+1;endaxes(eje_histograma)hist(deltaTf)xlabel(’Delta T [kN/m]’)ylabel(’Frecuencia [-]’)grid ontitle(’Histograma de Frecuencias’)

end%close(h)sprintf(’El menor Delta T es = %0.3g.’,min(abs(deltaTf)))sprintf(’El m~A¡ximo Delta T es = %0.3g.’,max(deltaTf))sprintf(’La media de Delta T = %0.3g.’,mean(deltaTf))

sprintf(’La desviacion estandar de Delta T = %0.3g.’,std(deltaTf))sprintf(’Numero de Delta T menores a 0= %0.3g.’,deltaTm1)POF=(deltaTm1/SIMU)*100;

137


sprintf(’La Probabilidad de Falla x 100 es = %0.3g.’,POF)

%----------------------------------mu=mean(deltaTf)sigma=std(deltaTf)%----------------------------------figure(7)subplot(2,2,1)k=1;for i=mu_phi-3*sigma_phi:0.01:mu_phi+3*sigma_phiXphi(k,1)=i;Yphi(k,1)=pdf(’norm’,i,mu_phi,sigma_phi);k=k+1;endplot(Xphi,Yphi,’LineWidth’,2)xlabel(’\phi [\circ]’)ylabel(’Densidad de Probabilidad [-]’)title(’Funcion de Densidad de Probabilidad’)hold onyfinal=pdf(’norm’,mu_phi,mu_phi,sigma_phi);Xx=[mu_phi mu_phi];Yy=[0 yfinal];line(Xx,Yy,’color’,[1 0 0])

text(mu_phi+(2*sigma_phi),yfinal-(yfinal/10), ...[’\mu_\phi = ’ num2str(mu_phi,’%0.3g’)])

text(mu_phi+(2*sigma_phi),yfinal-(yfinal/5), ...[’\sigma_\phi = ’ num2str(sigma_phi,’%0.3g’)])

subplot(2,2,2)hist(deltaTf)axis([min(deltaTf)-0.5 max(deltaTf)+0.5 0 ...max(hist(deltaTf))+max(hist(deltaTf))/5])

138


xlabel(’Delta T [kN/m]’)ylabel(’Frecuencia [-]’)grid ontitle(’Histograma de Frecuencias’)

subplot(2,2,3)k=1;for i=mu_c-3*sigma_c:0.01:mu_c+3*sigma_cXc(k,1)=i;Yc(k,1)=pdf(’norm’,i,mu_c,sigma_c);k=k+1;endplot(Xc,Yc,’LineWidth’,2)xlabel(’c[kPa]’)ylabel(’Densidad de Probabilidad [-]’)title(’Funcion de Densidad de Probabilidad’)hold onyfinal=pdf(’norm’,mu_c,mu_c,sigma_c);Xx=[mu_c mu_c];Yy=[0 yfinal];line(Xx,Yy,’color’,[1 0 0])

text(mu_c+(2*sigma_c),yfinal-(yfinal/10), ...[’\mu_c = ’ num2str(mu_c,’%0.3g’)])

text(mu_c+(2*sigma_c),yfinal-(yfinal/5), ...[’\sigma_c = ’ num2str(sigma_c,’%0.3g’)])

subplot(2,2,4)k=1;for i=max(deltaTf)*-1:100:max(deltaTf)

139


X(k,1)=i;Y(k,1)= cdf(’norm’,i,mu,sigma);

k=k+1;endplot(X,Y,’LineWidth’,2)xlabel(’Delta T [kN/m]’)ylabel(’Prob. acumulada [-]’)title(’Funcion de Densidad Acumulada de Probabilidad, CFD.’)

xmin=max(deltaTf)*-1;xmax=max(deltaTf);ymin=0;ymax=1;axis([xmin xmax ymin ymax])text(xmin,0.8,sprintf(’ POF= %0.3g%%’,(deltaTm1/SIMU)*100))text(xmin,0.9,sprintf(’ No. Simulaciones= %0.3g%’,SIMU))

end % Function

140

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análisis probabilistico de estabilidad de taludes

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