analisis numerico campo_de_direcciones_y_curvas_solucion_

UNIVERSIDAD TÉCNICAPARTICULAR DE LOJA

La Universidad Católica de Loja

Escuela de Ingeniería CivilÁrea de Física y Matemáticas

Campo de pendientes y Curvas solución

MATLAB 7.1.lnk

Campo de direccionesSea n=1 y sea y'(x)=f(x,y(x))

Para construir el CAMPO DE DIRECCIONES de la ED, por cadapunto (x,y) de una red de puntos de R^2 se dibuja unsegmento o vector de pendiente f(x,y).

Para el estudio gráfico de las soluciones de una ED sinhaberla resuelto, usaremos un programa en el queintervienen los comandos

meshgrid y quiver,

que permite dibujar el campo de direcciones

Ing. Carmen Esparza V.Ing. Carmen Esparza V.

Análisis Numérico conAnálisis Numérico conMatlabMatlabMATLAB 7.1.lnk

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Sea n=1 y sea y'(x)=f(x,y(x))

Para construir el CAMPO DE DIRECCIONES de la ED, por cadapunto (x,y) de una red de puntos de R^2 se dibuja unsegmento o vector de pendiente f(x,y).

Para el estudio gráfico de las soluciones de una ED sinhaberla resuelto, usaremos un programa en el queintervienen los comandos

meshgrid y quiver,

que permite dibujar el campo de direcciones

Campo de direccionesLos vectores a considerar para obtener el campo dedirecciones serán (1, y') .

Ejemplo: Construir el campo de direcciones de ED y’=sin xy

>> f=inline('sin(x.*y)','x','y');

>> [x,y]=meshgrid(0:0.5:7,-3:0.5:3);

>> [n,m]=size(x);

>> dx=ones(n,m);

>> z=f(x,y);

>> dy=z;

>> hold on,quiver(x,y,dx,dy)



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>> f=inline('sin(x.*y)','x','y');

>> [x,y]=meshgrid(0:0.5:7,-3:0.5:3);

>> [n,m]=size(x);

>> dx=ones(n,m);

>> z=f(x,y);

>> dy=z;


Campo de direcciones




Campo de direccionesRepresentar la solución de la ED que corresponde la CIy(0)=2

Ejemplo: Construir el campo de direcciones de ED y’=-2xy

>> f=inline('-2.*x.*y','x','y');

>> [x,y]=meshgrid(-2:0.2:2,-3:0.2:3);

>> [n,m]=size(x);

>> z=f(x,y);

>> dy=z;


>> dsolve('Dy=-2*x*y','y(0)=2','x')

ezplot('2*exp(-x^2)',[-2,2]),hold on,plot(0,2,'*r')




>> f=inline('-2.*x.*y','x','y');

>> [x,y]=meshgrid(-2:0.2:2,-3:0.2:3);

>> [n,m]=size(x);

>> z=f(x,y);

>> dy=z;


>> dsolve('Dy=-2*x*y','y(0)=2','x')

ezplot('2*exp(-x^2)',[-2,2]),hold on,plot(0,2,'*r')

Campo de direcciones




Trayectorias de las IsóclinasDada la ED y'=f(x,y), se llaman curvas de nivel o isóclinas alas obtenidas al imponer la condicióny'=k

Método de las isóclinas.

Es una variante de las ideas antes descritas. Los puntosdel plano por los que pasa una solución con pendiente k,son los puntos de la curva de ecuación f(x,y)=k (isóclinade pendiente k).

Dibujando las distintas isóclinas se obtiene unarepresentación similar a la del campo de direcciones




Método de las isóclinas.

Es una variante de las ideas antes descritas. Los puntosdel plano por los que pasa una solución con pendiente k,son los puntos de la curva de ecuación f(x,y)=k (isóclinade pendiente k).

Dibujando las distintas isóclinas se obtiene unarepresentación similar a la del campo de direcciones

Trayectorias de las Isóclinas

Puede tener interés identificar la isóclina para la pendiente0 pues las soluciones tendrán generalmente un máximo oun mínimo al pasar por esta isóclina





Ejercicio 1:

Representar las isóclinas de la ED y' = x^2+y^2

» [x,y]=meshgrid(-4:0.05:4);

» z=x.^2+y.^2;

» isoclinas=contour(x,y,z,10)




» [x,y]=meshgrid(-4:0.05:4);

» z=x.^2+y.^2;





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Ejercicio 2:

Representar las isóclinas de la ED y' = sin (xy)




» [x,y]=meshgrid(0:0.5:7,-3:0.5:3);

» z=sin(x.*y);





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Trayectorias de las IsóclinasEjercicio:

Construir el campo de direcciones y las curvas de nivel dela ED y'=2 – 3xy {-1≤x ≤4,-4 ≤y ≤4}


>> f=inline('2-3.*x.*y','x','y');>> [x,y]=meshgrid(-1:0.2:4,-4:0.2:4);>> [n,m]=size(x);>> dx=ones(n,m);>> z=f(x,y);>> dy=z;>> hold on,contour(x,y,z,20),quiver(x,y,dx,dy)


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>> f=inline('2-3.*x.*y','x','y');>> [x,y]=meshgrid(-1:0.2:4,-4:0.2:4);>> [n,m]=size(x);>> dx=ones(n,m);>> z=f(x,y);>> dy=z;>> hold on,contour(x,y,z,20),quiver(x,y,dx,dy)

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