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Análisis Matemático ILos Teoremas de Valor Medio. Aplicaciones de clase Cr

Francisco Montalvo

Departamento de Matemáticas. UEX

Curso 2011/12

Contenido

1 Los teoremas de valor medioLos teoremas en una variableExtensiones a varias variablesNuevos teoremas de valor medio

Consecuencias directasCondición suficiente de diferenciabilidadFunciones continuamente diferenciables

2 Derivadas parciales de orden superiorPermutación de las derivadas parcialesFunciones de clase Cr

F. Montalvo () Análisis Matemático I 2011/12 2 / 17

Los teoremas de valor medio Una variable

Los teoremas en una variable

Teorema 1

Sea f : [a,b] ⊂ R→ R una función continua en [a,b] y derivable en(a,b). Entonces existe algún punto c ∈ (a,b) tal quef (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).

Teorema 2

Sea f : [a,b] ⊂ R→ R una función continua en [a,b] y derivable en(a,b). Si además existe alguna constante M tal que |f ′(x)| ≤ M paratodo x ∈ (a,b), entonces |f (x)− f (y)| ≤ M|x − y |, ∀x , y ∈ [a,b](Fórmula de los incrementos finitos).


Los teoremas de valor medio Extensiones

Extensiones a varias variables

Extensión del Teorema 1

Sea f : A ⊂ Rn → R una función continua en el segmento cerrado

[a,b] ⊂o

A y derivable en el segmento abierto (a,b). Entonces existealgún punto c ∈ (a,b) tal quef (b)− f (a) = Df (c)(b − a) =

∑nj=1

∂f∂xj

(c)(bj − aj).

Comparar con

Teorema 1

Sea f : [a,b] ⊂ R→ R una función continua en [a,b] y derivable en(a,b). Entonces existe algún punto c ∈ (a,b) tal quef (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).




Nota

Es importante observar que el Teorema 1 no se puede extender, engeneral, para funciones vectoriales.

Ejercicio

Sea f (t) = (cos t , sen t). Comprobar que no existe ningún puntoc ∈ (0, π) tal que f (π)− f (0) = πf ′(c).




Extensión del Teorema 2

Sea f : A ⊂ Rn → Rp una función continua en el segmento cerrado

[a,b] ⊂o

A y derivable en el segmento abierto (a,b). Si además existealguna constante M tal que | ∂fi

∂xj(x)| ≤ M para todo x ∈ (a,b), entonces

‖f (b)− f (a)‖∞ ≤ M‖b − a‖1

Comparar con

Teorema 2

Sea f : [a,b] ⊂ R→ R una función continua en [a,b] y derivable en(a,b). Si además existe alguna constante M tal que |f ′(x)| ≤ M paratodo x ∈ (a,b), entonces |f (x)− f (y)| ≤ M|x − y |, ∀x , y ∈ [a,b]


Los teoremas de valor medio Nuevos teoremas

Nuevos teoremas de valor medio

Teorema

Sea f : A ⊂ Rn → Rp una función para la que existe alguna constante

M tal que | ∂fi∂xj

(x)| ≤ M para todo x ∈ A. Entonces, si [a,b] es un

segmento cerrado contenido eno

A, se tiene que‖f (b)− f (a)‖∞ ≤ M‖b − a‖1.

Nota

Observar que en el presente teorema, a diferencia del de Extensióndel Teorema 2, no se exige la diferenciabilidad de f en el segmento(a,b), a cambio se exige la acotación de las derivadas parciales entodo punto de A y no sólo en (a,b).



Nuevos teoremas de valor medio

El teorema anterior se obtendrá como consecuencia del teorema queenunciamos a continuación. Ambos serán los más utilizados en elCálculo Diferencial en varias variables.

Teorema

Sea U un conjunto abierto de Rn y f : U → Rp una función que admitederivadas parciales acotadas en U. Entonces f es lipschitziana sobrecada compacto K ⊂ U.



Consecuencias directas

Toda función que admite derivadas parciales acotadas en unabierto convexo U es lipschitziana sobre U.Toda función que admite derivadas parciales acotadas en unabierto U es localmente lipschitziana sobre U. En consecuenciaes continua sobre U.

En ambos casos, si M ≥ 0 es una cota para las derivadasparciales entonces M vale como constante de Lipschitz para frespecto, como es habitual, a las normas ‖ ‖1 y ‖ ‖∞.

Si todas las derivadas de una función f se anulan en el abierto Uentonces f es localmente constante. Si además U es convexo(conexo) f es constante.



Condición suficiente de diferenciabilidad

Teorema

Si la función f : A ⊂ Rn → Rp, admite derivadas parciales, respecto a

cualquier índice, en un entorno del punto a ∈o

A y éstas sonaplicaciones continuas en a, entonces

f es lipschitziana en alguna bola centrada en a.f es diferenciable en a.



Como consecuencia del teorema anterior se obtiene el siguiente

Corolario

Si todas las derivadas parciales de una función f son continuas en unabierto U de Rn entonces f es locamente lipschitziana y diferenciableen U.

Comparar este resultado con el resultado obtenido antes:Toda función que admite derivadas parciales acotadas en unabierto U es localmente lipschitziana sobre U. En consecuenciaes continua sobre U.



Funciones de clase C1

Definición

Una función f se dice de clase C1 sobre un subconjunto A de Rn, locual lo expresaremos con la notación f ∈ C1(A), si f admite derivadasparciales en algún abierto que contiene a A y éstas son continuas encada punto de A.

De nuevo, de la condición suficiente de diferenciabilidad se deduceque

Corolario

Si f es una función de clase C1 sobre A entonces f es diferenciable encada punto de A.


Parciales de orden r

Definiciones y notaciones

Sea f : A ⊂ Rn → F , a ∈o

A.

Parcial segunda de f respecto a xi y a xj en a

∂2f∂xi∂xj

(a) =∂

∂xi

( ∂f∂xj

)(a).

Parcial de orden r de f respecto a xj1 , . . . , xjr en a

∂r f∂xj1 . . . ∂xjr

(a) =∂

∂xj1

( ∂r−1f∂xj2 . . . ∂xjr

)(a).


Parciales de orden r

Notación abreviada

Cuando se puedan permutar las derivaciones (esto no sucedesiempre) se denotará por

∂r f

∂x i11 ∂x i2

2 . . . ∂x inn

(a),

al resultado de efectuar r derivaciones parciales: in respecto a xn , in−1respecto a xn−1, etc. y por último i1 derivaciones respecto a x1. Portanto i1 + i2 + · · ·+ in = r . ij = 0 significa que no se deriva respecto ala coordenada xj .

Por ejemplo, para f de 3 variables podríamos referirnos a

∂2f∂x2 (x0, y0, z0),

∂3f∂x∂y∂z

(x , y , z),∂5f

∂x2∂y∂z2 (1,0,2),etc.


Parciales de orden r Permutación de las derivadas parciales

El teorema de Schwartz

Existen varios resultados dando condiciones suficientes para poderpermutar las derivaciones parciales. El más clásico de todos ellos esel teorema de Schwartz "derivadas parciales cruzadas"queenunciamos a continuación y cuya demostración se basa en elTeorema 1 del valor medio.

Teorema

Sea f una función escalar de dos variables, para la que existen∂f∂x (x , y), ∂f

∂y (x , y), ∂2f∂x∂y (x , y) en cada punto (x , y) de alguna bola

centrada en el punto (a,b). Si además la aplicación ∂2f∂x∂y es continua

en (a,b), entonces también existe la otra derivada cruzada en (a,b), yse verifica que ∂2f

∂y∂x (a,b) = ∂2f∂x∂y (a,b).


Parciales de orden r Permutación de las derivadas parciales

Permutación de las derivadas parciales de orden r

Una útil consecuencia del teorema de Schwartz es el siguienteresultado para funciones de n-variables:

Corolario

Si todas las derivadas parciales de orden r de la función escalar f den-variables existen en algún entorno de un punto a y son funcionescontinuas en a, entonces cada derivada parcial de orden r de f en aes independiente del orden en que se efectúen las derivaciones.


Parciales de orden r Funciones de clase Cr

Funciones de clase Cr

Definición

Sea A un subconjunto de Rn. Una función f se dice de claseCr (r ∈ N \ {0}) sobre A, lo cual lo expresaremos con la notaciónf ∈ Cr (A), si f admite derivadas parciales de orden r en algún abiertoque contiene a A y éstas son continuas en cada punto de A.

De acuerdo con el resultado tipo teorema de Schwartz del corolarioanterior es obvio que

Corolario

Si f es una función de clase Cr sobre un conjunto A, entonces lasderivadas parciales de orden r de la función f en cada punto de A sólodependen de número de veces que se deriva respecto a cadacoordenada y no del orden en que se efectúen las derivaciones.


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