analisis matematico - demostraciones y definiciones

F.R.M. U.T.N Demostraciones de Análisis Matemático II Autor: Jorge Rivadeneira Cornejo

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UNIDAD I – FUNCIONES VECTORIALES DE PARÁMETRO REAL

Siendo A de módulo constante, demostrar que A y dA/dt son perpendiculares siempre que|dA/dt|≠0. como A es contante, A∙A = constante

pero ( ∙ ) = + = 2 = 0como A y son distintos de cero, la única posibilidad es que A y sean perpendiculares

Demostrar las fórmulas de Frenet-Serret:a) =b) = −c) = −

a)

como ∙ = 1 y ∙ = 0, podemos decir que ⊥ .

Sea N el vector unitario en la dirección y sentido de , entonces = . Donde N es el vector normal principal,

es la curvatura y = es el radio de curvatura

b)

Sea = × , entonces = × + × = × + × = ×Luego ∙ = ∙ × = 0 porque T ⊥De ∙ = 1 se deduce que B ⊥ y por lo tanto se debe encontrar en el plano formado por T y N. Pero a suvez, es perpendicular a T, por lo cuál debe encontrarse en la misma dirección de N.Luego = − donde τ es la torsión y = es el radio de torsión.c)

Como N = B × T

entonces, = × + × = × − × = − + = −


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Demuestre que la longitud de arco en ℝ3, de una curva dada por una ecuación ( ) =( ( ), ( ), ( )) que se recorre una vez a medida que t crece desde a hasta b, donde, , , , son contínuas, es = ∫ [ ( )] + [ ( )] + [ ( )]Solución:

Si partimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual tamaño = < < ⋯ < = donde − = Δ =y luego aproximamos cada por la longitud de las semirrectas que unen cada punto, cuya ecuación es

≈ [ ( ) − ( )] + [ ( ) − ( )] + [ℎ( ) − ℎ( )]Si aplicamos el teorema del valor medio para f, g y h, donde( ) − ( ) = ( )[ − ] = ( )ΔEntonces, ≈ [ ( )Δ ] + [ ( )Δ ] + [ℎ ( )Δ ]

≈ [ ( )] + [ ( )] + [ℎ ( )] ΔObserve que si Δ es muy pequeño, todos los , , están muy cercanos y podríamos hacer la siguienteaproximación. ≈ [ ( )] + [ ( )] + [ℎ ( )] ΔLa longitud de arco total s sería aproximadamente

≈ [ ( )] + [ ( )] + [ℎ ( )] ΔAl tomar el límite para n → ∞, deberíamos obtener la longitud de arco exacta:

= lim→ [ ( )] + [ ( )] + [ℎ ( )] ΔDado que el límite exista, entonces

= [ ( )] + [ ( )] + [ℎ ( )] ∎Nota: Como ‖ ( )‖ = [ ( )] + [ ( )] + [ℎ ( )] también podríamos escribir

= ‖ ( )‖


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Demostrar que la aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en elespacio con una velocidad viene dada por:= +Siendo T el vector tangente unitario, N el vector normal unitario y κ la curvatura.

Solución:

Si = entonces= = ( ) = + ( )Aplicando la regla de la cadena a

= = = ( )Reemplazando (2) en (1) obtenemos:

= ( ) +y reordenando llegamos a demostrar que

= + ∎UNIDAD II – FUNCIONES REALES DE VECTOR

TEOREMA: Suponga que | ( , ) − | ≤ ( , ) para todos los ( , ) en el interior de algunacircunferencia centrada en ( , ), con la posible excepción en ( , ). Si ( , )→( , ) ( , ) = ,entonces ( , )→( , ) ( , ) = .

A ( , ) se lo llama infinitésimo, y entonces podemos afirmar que toda función es igual a sulímite más un infinitésimo. ( , ) = + ( , )Demostración de que un límite existe

Calcule lim( , )→( , ) ( )( )Solución:

Primero hallamos el límite en (1,0) a lo largo de 2 trayectorias sencillas, para corroborar en primera instancia, laposibilidad de existencia de límite y para tener una primera impresión del valor de este.

A lo largo de la trayectoria = 1, tenemos


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lim( , )→( , ) 0 = 0A lo largo de = 0, tenemos

lim( , )→( , ) ( − 1) ln( − 1) = lim→ ln = 0Si existe límite para esta función, en ese punto, deberá ser igual a cero. Ahora recurrimos a la definición fundamentaldel límite para confirmar esto.

| ( , ) − | = ( − 1) ln( − 1) + − 0Observe que si el término no estuviese presente, podríamos cancelar los términos ( − 1) y teniendo en cuentaque ( − 1) + ≥ ( − 1) , entonces

| ( , ) − | = ( − 1) ln( − 1) + ≤ ( − 1) ln( − 1) = |ln |Como lim( , )→( , )|ln | = 0, se deduce por el teorema del emparedado que también,

lim( , )→( , ) ( − 1) ln( − 1) + = 0 ∎Demuestre que para que una función ( , ) sea diferenciable en ( , ) se debe poder expresarel ∆z de la siguiente manera:∆ = ( , )∆ + ( , )∆ + ∆ + ∆Donde , son funciones de ∆ , ∆ , y , → 0 , cuando (∆ , ∆ ) → (0,0) (también llamados infinitésimos).Decimos que es diferenciable en una región ⊂ ℝ , siempre que sea diferenciable en cada punto en .

Para = ( , ), definimos el incremento de como∆ = ( + ∆ , + ∆ ) − ( , )De modo que ∆ es el cambio en que ocurre cuando seincrementa en ∆ , y cuando se incrementa en ∆ .

Observe que como es continua en alguna región abierta quecontiene ( , ), y como tiene primeras derivadas parciales enesa región, se puede escribir∆ = ( + ∆ , + ∆ ) − ( , )= [ ( + ∆ , + ∆ ) − ( , + ∆ )]+ [ ( , + ∆ ) − ( , )]= ( , + ∆ )[( + ∆ ) − ] + ( , )[( + ∆ ) − ]


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= ( , + ∆ )[∆ ] + ( , )[∆ ]Por el teorema del valor medio. Donde es algún valor entre y + ∆ ; es algún valor entre y + ∆ . Si a esta

última ecuación le sumamos y restamos ( , ) en el primer sumando y ( , ) en el segundo sumando,

entonces obtenemos:

∆ = ( , + ∆ )[∆ ] + ( , )[∆ ]= ( , ) + ( , + ∆ ) − ( , ) [∆ ] + ( , ) + ( , ) − ( , ) [∆ ]= ( , )[∆ ] + ( , )[∆ ] + [∆ ] + [∆ ] ∎

Finalmente observamos que si las derivadas parciales son ambas continuas en alguna región abierta que contenga a( , ), entonces, , tenderán ambos a cero cuando (∆ , ∆ ) → (0,0). En efecto, se debe reconocer que como, → 0 cuando (∆ , ∆ ) → (0,0), los productos ∆ , ∆ tienden ambos a cero, más rápido aún que lo quetienden individualmente , , ∆ , ∆ .

TEOREMA: REGLA DE LA CADENA

Si ( ) = ( ( ), ( )), donde ( ), ( ) son diferenciables y ( , ) es una función diferenciable de , , entonces

( ) = [ ( ( ), ( ))] = ( ), ( ) + ( ), ( )Solución:

Por la definición de derivada ordinaria tenemos que,

( ), ( ) = ( ) = lim∆ → ( + ∆ ), ( + ∆ ) − ( ), ( )∆Donde ∆ = ( + ∆ )∆ = ( + ∆ )∆ = ( + ∆ ), ( + ∆ ) − ( ), ( )Entonces, sencillamente

( ), ( ) = lim∆ → ∆∆Ahora, como es una función diferenciable, tenemos (por la definición de diferenciabilidad) que:

∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆Donde , → 0 (∆ , ∆ ) → (0,0). Al dividir entre ∆ se obtiene,


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∆∆ = ∆∆ + ∆∆ + ∆∆ + ∆∆Y al tomar el límite cuando ∆ → 0 se obtiene

( ), ( ) = lim∆ → ∆∆= lim∆ → ∆∆ + lim∆ → ∆∆ + lim∆ → lim∆ → ∆∆ + lim∆ → lim∆ → ∆∆= + + 0. + 0.= + ∎Demostrar que la derivada de una función implícita es:

= −Solución:

Supongamos que ( , ) = 0 define implícitamente a como una función de , digamos = ( ).

Si tomamos que = ( , ), donde = , = ( ) por la regla de la cadena tendríamos que,

= +Pero como = ( , ) = 0, entonces = 0 también. Además como = , tenemos = 1 y = .

De modo que nos queda,

0 = +Despejando para obtenemos

= − ∎UNIDAD III – INTEGRALES MÚLTIPLES

Obtenga la expresión de cambio de variable para ∬ ( , ) dada en coordenadascartesianas a coordenadas polares.

Supongamos que la región R se puede escribir de la forma


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= {( , )| ≤ ≤ ( ) ≤ ≤ ( )}

Para realizar la partición de R se usará una partición en sectores circulares en vez de rectangulares (de la forma r =constante) y rayos (de la forma = ). Ahora la cuadrícula está formada por regiones polareselementales.

La partición es interna, lo que quiere decir que solo se tomarán en cuenta aquellas regiones polares elementales quese sitúen por completo en el interior de R.

Para calcular el ΔA, sea ∗ = ( + ) el radio promedio de los arcos

circulares concéntricos = y = . Recuerde que el área

de un sector circular está dado por = . En consecuencia

se tiene que,∆ = Á − Á= 12 ∆ − 12 ∆= 12 ∆ ( − )= 12 ( − )( + )∆= ∗∆ ∆Partiendo de querer hallar el volumen situado debajo de la superficie = ( , ), donde es continua y ( , ) ≥ 0,está en R, el volumen situado debajo de la superficie = ( , ) es la − é región polar elemental de lapartición, y es aproximadamente igual al volumen del cilindro:≈ ( , ) ∆á = ( , ) ∆ ∆Donde ( , ) es algún punto en , y es el radio promedio en .

El volumen V, aproximado, se obtiene sumando todas las ,

ΔΑ


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≈ ( , ) ∆ ∆Pero cuando la norma de la partición ‖ ‖, que es la diagonal más grande de la región polar elemental, tiende a cero,podemos obtener exactamente el volumen V:

= lim‖ ‖→ ( , ) ∆ ∆= ( , )( )

( )∝ ∎Deduzca la expresión de cambio de variable en ∭ ( , , ) dada en coordenadas

cartesianas a su forma en coordenadas esféricas.

Supongamos que el sólido Q puede definirse como:= {( , , )| ≤ ≤ , Φ ( ) ≤ ≤ Φ ( ), Θ ( , ) ≤ ≤ Θ ( , ) }Ahora en lugar de cortar el sólido Q empleando planos paralelos a los tres planos coordenados, se cortará en esferasde la forma = , semiplanos de la forma = y semiconos de la forma = . De esta manera se obtiene alsólido Q dividido en cuñas esféricas de la forma= {( , , )| ≤ ≤ , ≤ ≤ , Θ ≤ ≤ }

Observe que Qk es casi una caja rectangular y por lo tanto suvolumen es aproximadamente,ΔV ≈ ∆ρ (ρ ∆φ )(ρ senφ ∆θ )≈ ∆ ∆ ∆Solo consideramos aquellas cuñas que se encuentran totalmenteincluidas dentro de la partición. Sumando todas las cuñas del sólidoy haciendo que la norma de la partición ‖ ‖, que es la diagonal máslarga de las cuñas, obtendremos

( , , ) = lim‖ ‖→ ( , , )∆= lim‖ ‖→ ( , , ) ∆ ∆ ∆= ( , , ) ∎


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Cambio de variables en integrales múltiples

Una transformación T del plano al plano es una función que aplica puntos del plano a puntos del plano ,de modo que ( , ) = ( , )Donde = ( , ) y = ℎ( , )Para algunas funciones g y h.

Se dice que ( , ) es uno a uno si para cualquierpunto ( , ) en R existe exactamente un punto ( , ) en S, tal que ( , ) = ( , ).

Ahora consideremos la integral doble

( , )Donde es continua en . Además, es imagen de bajo la transformación .

Ahora se considera una partición interna de la región S en el plano , que consta de n rectángulos , , … , .

Sean , , … , las imágenes de , , … , respectivamente. Observe que las cuatro esquinas de sontransformadas en cuatro puntos denotados A, B, C y D en las fronteras de ,( , ) → ( , ),ℎ( , ) = ( , )( + ∆ , ) → ( + ∆ , ),ℎ( + ∆ , )


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( + ∆ , + ∆ ) → ( + ∆ , + ∆ ),ℎ( + ∆ , + ∆ )( , + ∆ ) → ( , + ∆ ),ℎ( , + ∆ )Se sabe que∬ ( , ) ≈ ∑ ( , )∆Observe que si se consideran ∆ , ∆pequeños, el área puedeaproximarse mediante el área delparalelogramo formado por losvectores y .El área del paralelogramo essimplemente × que setomará como una aproximación delárea ∆Entonces definimos los vectores, = ⟨ ( + ∆ , ) − ( , ),ℎ( + ∆ , ) − ℎ( , )⟩ (1) = ⟨ ( , + ∆ ) − ( , ),ℎ( , + ∆ ) − ℎ( , )⟩ (2)

De la definición de derivada parcial, tenemos que,

( , ) = lim∆ → ( + ∆ , ) − ( , )∆Esto indica que para ∆ pequeña, ( + ∆ , ) − ( , ) ≈ ( , )∆De la misma forma tenemos que, ℎ( + ∆ , ) − ℎ( , ) ≈ ℎ ( , )∆Y para ∆ pequeña ( , + ∆ ) − ( , ) ≈ ( , )∆ℎ( , + ∆ ) − ℎ( , ) ≈ ℎ ( , )∆Si reemplazamos en (1) y (2) = ⟨ ( , )∆ ,ℎ ( , )∆ ⟩ = ∆ ⟨ ( , ),ℎ ( , )⟩ (3) = ⟨ ( , )∆ ,ℎ ( , )∆ ⟩ = ∆ ⟨ ( , ),ℎ ( , )⟩ (4)Ahora aproximamos mediante


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∆ = × Donde

× = ( , )∆ ℎ ( , )∆ 0( , )∆ ℎ ( , )∆ 0= ( , ) ℎ ( , )( , ) ℎ ( , ) ∆ ∆Para hacerlo más sencillo, se escribe el determinante como

( , ) ℎ ( , )( , ) ℎ ( , ) = ( , ) ( , )ℎ ( , ) ℎ ( , ) = (5)(5) es el Jacobiano de la transformación y se escribe como ( , )( , )Ahora ∆ ≈ × = ( , )( , ) ∆ ∆ (puesto que k es un vector unitario)

Y

( , ) ≈ ( , )∆ ≈ ( ( , ), ℎ( , )) ( , )( , ) ∆ ∆Que no es más que la suman de Riemann para la integral doble,

( ( , ),ℎ( , )) ( , )( , ) ∎UNIDAD IV – CÁLCULO VECTORIAL

Notas importantes

Integral de línea:

Es importante distinguir ∫ ( , , ) ≠ ∫ ( , , ) , (valiendo también para y ), entre∫ ( , , ) = ∫ ( , , ) donde se cumple la igualdad. La diferencia radica en que en la segunda seestá integrando con respecto a la longitud de arco de curva y no importa el sentido en que se recorra lacurva, porque es la misma curva. No sucede así cuando integramos respecto de x, y o z.

Determinación gráfica del signo de la integral:

Para hacerlo podemos fiarnos de que ∫ ( , , ) ∙ representa el trabajo que realiza el campo F sobreuna partícula que se mueve a lo largo de la curva C representada paramétricamente. Si recorremos la curvaen el mismo sentido del campo, entonces el signo será positivo debido a la componente de F que “ayuda” ala partícula a moverse. Si nos movemos en el sentido opuesto, entonces el signo será negativo.


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Pasos a seguir a la hora de resolver una integral de línea:1. Parametrizar la curva C por la cual se va a integrar.2. Reescribir la integral de línea como una integral definida.3. Evaluar la integral resultante por los métodos conocidos.

Una región ⊂ ℝ se denomina conexa si cada par de puntos en pueden conectarse mediante una curvasuave a trazos situada completamente en .

Una curva C se denomina cerrada si sus dos extremos son iguales. Una curva es simple si no se corta a sí misma, excepto en sus extremos. Un a curva cerrada simple tiene orientación positiva si la región encerrada por queda a la izquierda de

al ser recorrida. Se utiliza ∮ para denotarla. Tendrá orientación negativa si permanece a la derecha de.

Las siguientes 5 proposiciones son todas verdaderas o son todas falsas:1. ( , ) es conservativo en .

2. ∫ ( , ) · es independiente de la trayectoria en .3. ∫ ( , ) · = 0 para toda curva cerrada suave a trozos en .

4. ( , ) es un campo gradiente ( = ∇ para alguna función potencial ).5. ( , ) = ( , ) para todo ( , ) ∈ .

La notación se emplea para referirse a la frontera de la región R, orientada en dirección positiva. Una superficie S orientada u orientable (de dos caras) es aquella que tiene un vector normal unitario en

cada punto ( , , ) no situado sobre la frontera de la superficie y si es una función continua de ( , , ).

TEOREMA 1: Independencia de la trayectoria para una integral de línea sobre un campovectorial conservativo. Teorema fundamental de las integrales de línea.

Suponga que el campo vectorial ( , ) = ⟨ ( , ), ( , )⟩ es continuo en la región conexa y abierta ⊂ ℝ .Entonces, la integral de línea ∫ ( , ) · es independiente de la trayectoria si y sólo si el campo vectorial esconservativo.

Recordemos que un campo vectorial es conservativo cuando ( , ) = ∇ ( , ), para alguna función escalardenominada función potencial de . Debemos demostrar este teorema en dos sentidos.

Primero suponemos que es conservativo y que tiene su función potencial .( , ) = ⟨ ( , ), ( , )⟩ = ∇ ( , ) = ⟨ ( , ), ( , )⟩En consecuencia, ( , ) = ( , ) y ( , ) = ( , )Sean ( , ) y ( , ) dos puntos en , y sea cualquier trayectoria suave de A a B, definida paramétricamentepor : = ( ), = ℎ( ), donde ≤ ≤ , entonces se tiene

( , ) · = ( , ) + ( , )


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= ( , ) + ( , )= ( ),ℎ( ) ( ) + ( ),ℎ( ) ℎ ( ) (1)

Como supusimos que y son continuas, por regla de la cadena tenemos que:

( ),ℎ( ) = ( ),ℎ( ) ( ) + ( ),ℎ( ) ℎ ( )Lo cual, es el integrando en (1). Entonces, por teorema fundamental del cálculo tenemos que:

( , ) · = ( ),ℎ( ) ( ) + ( ),ℎ( ) ℎ ( )= ( ), ℎ( )= ( ),ℎ( ) − ( ),ℎ( )= ( , ) − ( , ) ∎ ( í )

Esto indica que el valor de la integral depende solo del valor de la función potencial en los dos extremos de la curva yno de la trayectoria seguida en particular.

En segundo lugar, para demostrar el teorema hacia el otro sentido, es necesario partir de que la integral esindependiente de la trayectoria, entonces el campo vectorial debe ser conservativo.

(ESTA DEMOSTRACIÓN SE ENCUENTRA EN LA PÁG. 1239 DEL LIBRO “CÁLCULO” DE R. Smith – R. Minton)

TEOREMA 2: Integral de línea cerrada igual a cero para F conservativo.

Suponga que ( , ) es continuo en la región conexa y abierta ⊂ ℝ . Entonces es conservativo si y sólo si∫ ( , ) · = 0, para cualquier curva cerrada suave a trozos situada en .

Empezamos por suponer que ∫ ( , ) · = 0 para toda curva cerrada suave atrozos situada en . Tomemos 2 puntos cualquiera situados en y sean

dos curvas suaves a trozos abiertas desde a también situadas en .

Entonces consta de seguida de − como se muestra en la figura, entonces

0 = ( , ) · = ( , ) · + ( , ) ·


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= ( , ) · − ( , ) · De modo que

( , ) · = ( , ) · Que indica la independencia de trayectoria, ya que y son dos trayectorias cualquiera. ∎TEOREMA 3: Si F es conservativa entonces ( , ) = ( , ).Si ( , ) es conservativo, entonces existe una función potencial para , y por lo tanto( , ) = ∇ ( , ) = ⟨ ( , ), ( , )⟩ = ⟨ ( , ), ( , )⟩Y ( , ) = ( , ) y ( , ) = ( , )Como y son continuas en , entonces las segundas derivadas parciales mixtas deben ser iguales en porteorema.

Por lo tanto ( , ) = ( , )El recíproco también se cumple si es una región simplemente conexa. ∎El teorema de Green representa una conexión entre ciertas integrales de línea alrededor de una curva cerrada eintegrales dobles sobre la región encerrada por la curva. Algunas de sus implicaciones son en el análisis de flujos defluidos y en las teorías de la electricidad y el electromagnetismo.

TEOREMA DE GREEN

Sea una curva del plano cerrada, simple, suave a trozos y con orientación positiva, y sea la región encerrada por, junto con . Suponga que ( , ) y ( , ) son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en

alguna región abierta , con ⊂ , entonces

( , ) + ( , ) = −Aquí suponemos que la región R se puede escribir como sigue:= {( , )| ≤ ≤ , ( ) ≤ ≤ ( )}


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Y que la curva C= ∪Donde = {( , )| ≤ ≤ , = ( )}= {( , )| ≤ ≤ , = ( )}Si evaluamos

( , ) = ( , ) + ( , )= , ( ) + , ( )= , ( ) − , ( )= [ , ( ) − , ( ) ] (1)

Por otra parte,

= ( )( )= ( , )| ( )( )

= , ( ) − , ( ) (2)De (1) y (2) obtenemos,

( , ) = − (3)Por otro lado, si planteamos la región R como= {( , )| ≤ ≤ ,ℎ ( ) ≤ ≤ ℎ ( )}Y = ∪Como lo indica la figura, entonces podemos escribir lo siguiente

( , ) = ( , ) + ( , )= − (ℎ ( ), ) + (ℎ ( ), )= [ (ℎ ( ), ) − (ℎ ( ), )] (4)


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Por otro lado si

= ( )( )= ( , )| ( )( )

= [ (ℎ ( ), ) − (ℎ ( ), )] (5)De (4) y (5) obtenemos

( , ) = (6)Sumando (3) y (6)

( , ) + ( , ) = − ∎ROTACIONAL y DIVERGENCIA

El rotacional y la divergencia son generalizaciones de la noción de derivada, aplicadas a los campos vectoriales.

ROTACIONAL = ∇ × El rotacional del campo vectorial ( , , ) = ⟨ ( , , ), ( , , ), ( , , )⟩ es el campo vectorial

= ∇ × = = − + − + −Definido en todos los puntos en que existan todas la derivadas parciales indicadas.

Los términos de la componente i del campo vectorial que contienen solo a x no son importantes para el rotacional, nilos de la componente j que solo tienen a y, ni los de la componente k que solo tienen a z. Las variables deben“mezclarse” para producir un rotacional diferente de cero.

El rotacional de un campo vectorial en un punto, siempre produce un vector paralelo al eje de rotación de las líneasde flujo, cercanas al punto, y su dirección está determinada por la regla de la mano derecha.

Si ∇ × = 0 se dice que el campo es irrotacional en ese punto. El fluido no tiende a rotar cerca de ese punto.

DIVERGENCIA = ∇ · La divergencia del campo vectorial ( , , ) = ⟨ ( , , ), ( , , ), ( , , )⟩ es la función escalar


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= ∇ · = + +Definida en todos los puntos en que existen todas las derivadas parciales indicadas.

La divergencia no es afectada por los términos de la componente i de F que no contengan x, ni los de la componentej que no contengan y, ni los de k que no contengan z.

L a divergencia de un campo vectorial en un punto ( , , ) corresponde al flujo neto del fluido afuera de una cajapequeña centrada en ( , , ).

Si ∇ · > 0, el flujo que sale es mayor que el que entra y el punto ( , , ) se denomina fuente.

Si ∇ · < 0, el flujo que sale es menor que el que entra y el punto ( , , ) se denomina sumidero.

Si ∇ · = 0, se dice que el campo vectorial es una fuente libre o incompresible.

DEFINICIÓN: Integral de superficie

La integral de superficie de una función ( , , ) sobre una superficie ⊂ ℝ , escrita ∬ ( , , ) está dadapor

( , , ) = lim‖ ‖→ ( , , ) ∆Dado que el límite existe y es igual para todas las elecciones de los puntos de evaluación ( , , ).

TEOREMA 4: Teorema de evaluación

Si la superficie está dada por = ( , ) para ( , ) en la región ⊂ ℝ , donde tiene primeras derivadasparciales continuas, entonces

( , , ) = , , ( , ) ( ) + + 1= ‖ ‖ = ( ) + + 1

1 = áDEFINICIÓN: Flujo de sobre S

Sea ( , , ) un campo vectorial continuo definido sobre una superficie orientada con vector normal unitario .La integral de superficie de sobre (o el flujo de sobre ) está dada por

·


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DEFINICIÓN: Formas vectoriales del teorema de Green. · = ∇ × · (1) · = ∇ ( , ) (2)

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (O DE GAUSS)

Suponga que ⊂ ℝ está limitada por la superficie cerrada u que ( , , ) denota el vector normal unitarioexterior a . Entonces, si las componentes de ( , , ) tienen primeras derivadas parciales continuas en Q, setiene

· = ∇ · ( , , )TEOREMA DE STOKES

El teorema de Stokes es una generalización del teorema de Green en su forma vectorial (1). Si representa uncampo de fuerza, la primer integral corresponde al trabajo realizado por el campo sobre el punto de aplicación quese desplaza a lo largo de la frontera de . El segundo miembro representa el flujo neto del rotacional de sobre lasuperficie .

( , , ) · ó = ∇ × ·

La circulación de un campo (un fluido), mide la tendencia del fluido a circular alrededor de la curva C (ó δS)

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