2.2 PRACTICAN0 02

Tema: funciones vectoriales.

1. Encuentre el Dominio de cada una de las siguientes funciones vectoriales:

a) /(*) = f _ íL h í A ?^2 — t t 4-3 t — A

r ,5

c) / « =

d) f ( t ) =

2 - t

r r ~ 4 9 - r <Jt2- 4 V, - 4, _ — ,— r

\ Í9 - t2 4 t2- 4t - 5

/ ( O = - t ^ - t 2, — - ,Ln(2 + 1) ̂ t — 5

2. Encuenfre el Dominio de cada una de las siguientes funciones vectoriales:

a) f ( f ) = {\n(t2 -4),ln(2?_1),e Iní)

/ i s , \ [ -t £ 2 l - s e c 2( / - l ) ^b) f { t )= e , , t+ 'J l - t ,■ ■ ;l (í-1 )2

C; / ( í ) = e -M » (4 -0 z, ^ ( — r)V y

/ ( o = ( | | í 2- i |

^ / (O = ( j í 3 - 9|, •v/TTJ, ln(5 - í)

f) /(O = (Ln(\+ 1), -s/F+T, Ln(l + 1)

3. Atender lo solicitado:

a) Si f ( t ) =1 - t 21 . Describir el rango de f.

vi +1 1 + 1¿

b) Si f ( f ) = (aco$t,asent,bt), t ^ R . Describir el rango de f

83

c) Mostrar que el rango de ¡a junción vectorial j definida por

f ( t ) = (l + cost,sent,2sen¿j, te \ -2 n ,2 n \ esta sobre la esfera de radio 2 y

centro en el origen y sobre el cilindro (x — l)2 + y 2 = I .

d) Si /(¿ ) = (3 í'- /2,3/2,3 í+ /3 j, hallar el rango de f

e) Defina una función vectorial f : [-3,3] de tal manera que su rango sea el

tfiángulo de vértice A (2 - 1 , 3 , —1) y C (1,0,2).

(4 -3f) Sea la curva C definida por f { t ) = I — eos t, 1 - sent,— eos t I, t> 0. Demuestre

que C es una circunferencia y halle su centro y radio.

4. Encuentre el Límite requerido para cada caso, si existen.

a) LimÍ3t,-t2,3t- 2 )/-> 1

b) Limt—>2r3 - 8 t 2 + t - 6 t2 - 3 t + 2 t - 2 ’ t - 2 t 2 - 4

c) Lim t-*o

d) Limt- *2

eos t - eos t t 1sent e{ t esct

t2 - 4 f - \

i l l af■7&sL -

■e-

. T . ( t 2 - 9 r - t - 6 t 2 - 3 te) Lim ------------------- , --------< ^ ¡ 3 - t f -2 7 t - 3

j ) Lim í l - |[r]|, 1 +̂ ° S- - , f->i+ v * — t

g) Lim t—>01-cosí 2arcsen(2t)

1 - s enr n t ^ ~2~2

3 i2 31

h) Limo

eos t - ' s / l - t e2t —e* sen3t-sent t ’ sen2t — sent’ Ln( \+ t )

5. Analizar la continuidad de las siguientes funciones:84

a) f{ t ) =sent, -— ,2t j , íe [0 ,l)

(-1,0,3), t e [ 1,2]

(2í -1 ,2 í ,a/ T - I ) , í < 1

f 2í2 + í -1m = \

,-2,3 - l < í < 0

, - 2 - t>0

cj m -

r-.ífl + i -1 + sent -1 arcsenltLn(l + t) ’ t

O ^-,2,1

0 <¿ <1

r/

d ) m

larcsent tzí senlt ---------—Asen — .-------3í

:,0,2

0 < r < 1

fe [1,2]

6. Calcular la derivada de cada una de las funciones vectoriales:)

a) f ( t ) = (arcsent,Ln(l+5t),t2J

f 1_i + r

7. Calcular la derivada de cada una de las funciones vectoriales en t0

ía) /(<) = 1

ir s i tt sen-,t 1 + e

(0, 0),

1/t

/(< )=^e2f,/2se « (l/í) j, l t- 0

(1,0), r = 0

5. Si f ( t ) = |2 f+ l||[f-3 ] |,V f,'- ¿ = , ¿existe f ' ( 4)?V ' J S - t J

2. 5? / (t) = ^1 + í2 ̂ eos i, eatsen (bt + c), —j=- , calcular / ” (í) .

85

10. Hallar el punto donde se cortan ¡as curvas Q : j ^ f )

q . y2(t^ - í{ 2,t2 -3 ) , así como el ángulo de intersección.

ef , 2 sen

86

3.7PRACTICA N° 03

Tema: curvas en el espacio tridimensional.

1. Determine una función f : I a R —>R2 que parametrice la curva indicada.

a) El cuadrado jxj + |j¡ = 1 recorrido en sentido antihorario.

b) El segmento de la curva y = |l - |jc| comprendido entre x = - 2 y x = 2 recorrido

de izquierda a derecha.

c) El segmento de la cuma y — \x2 —1| comprendido entre x ~ - 2 y x - 2

recorrido de derecha a izquierda.

2. Dadas las siguientes curvas, encontrar su representación paramétrica.

aj c . f x 2 + y2 + z2 =a(x+y)[ x + y - a

b) C : ^ z - 1 6 - 3 j2; z = x2+13y2.

c) C:{x2+y2+z2 =4; x + y —z = 0.

d) C:\x~+ y2+z2 =4: x2+ y2 =2x.

3. La curya cuya ecuación vectorial es f (t) = {l-Jt cost,3^ftsent,*Jl — t ,̂O < t < 1 se

define sobre una superficie cuádrica. Hallar la ecuación de dicha superficie.

4. Encuentre la longitud de la curva alabeada para la función vectorial f (t) entre ¡os

valores de “t ” indicados

o) m =f t 3 2 / 3 .\3/2 2 3

— , —\t + 4 j , - f 3 9 l } 3

O < t < 3

b ) f ( t ) = ( j 6 t \ ^ t 3 , 6 t j 3 < t < 6

c ) f ( t ) = ( a ( l - c o s í ) , a ( t - s e n t ) ) 0 < í < 2 t t

d) f ( t ) = {t, Ln{sec t), Ln(sec t + tan 0 ) O < r < —

e) f ( t ) - ( e 1 eos t, e‘sen t ,e{ \ 0 < Z < ln 3

104

5. Hallar la longitud de arco de 1a curva descrita por

1 ¡3 *\/3f ( t ) = (2sen2t,sen2í.!Ln(cost))desde el punto (—,——,2Ln^— ) hasta el punto

2 2 2

,3 *J3 OT \— ,2L n -) .2 2 2

6. Hallar la longitud de arco de la curva descrita por C : \z 7 = 2ax\ 9 y 2 — 16xz desde

8 ael punto (0,0,0) hasta el punto (2a,— ,2a).

7. Sea C una curva descrita por la fiinción f : [0,l]—> R? si f (0) = (1,2,2) y

/" (O = 2tT(t) + Mt)N(t), calcular la longitud de la curva.

8. Sean , 5 t / y / ( 0 ) = ¿ , - Í - h 2 ) . Hallef(t).r + 4 í + 4 o 2

9. Demostrar que la curva C : x = 1 + 3t +12 ;y - 2 - 2t + 5t2 es plana. Hallar el plano

en que se encuentra.

10. Formar las ecuaciones del plano osculador, la normal y la binoimal de la línea

x2 = 2az; y 2 — 2bz en un punto cualquiera.

11. Sea C la curva descrita por f ( t ) — a(í —sení.l — cosíAsen(t /2 )) a constante.

Hallar la ecuaci-jn de U rscm tángeme y el plano normal a la curva en el punto

. H allar

K3UL27 T

i k m na sect - zsn i hojior

Sm "WEarper T.y* j 3 * m ecmackm de . piano osculador er, e l pumo en que la curva

14. EUBmr <# majar mmmmd y tma ecuación del plano osculador para tQ= 1/2

y ̂ -i t _(1 f f ' )

15. Hallar la del Plano Normal y Rectificante. Radio de Curvatura.

Acderadám como combinación lineal de T y N. Para cada ima de las siguientes

funciones:

105

a) f ( t ) = Q t - t 2,3t2,3 t+ ?) t = 2

b) / ( , ) = (, P{

o) f ( ¿ ) = (e2t,e~t,t2+4) P( 1,1,4)

d) / ( t ^ i c o s t ^ e n t , ^ ) t - n l l .

16. Dada la curva C :xs - 2yz = 0;y + z — -,¡2x— 1 = 0. Hallar la ecuación del plano

osculador en el punto (-—jL2^2 4 4

17. Dada la función vectorial, f ( t ) = (tsen t + eos t, sen t —t eos t). Demostrar que:

a) La componente tangencial de la aceleración es constante.

b) La rapidez, la componente normal de la aceleración y el radio de curvatura son

iguales para todo t>0.

18. Hallar la intersección del plano XY con el plano noimal a la curva

f (t) = (eos t, sen t, t) en el punto t = f .

19. Sean C y P la curva y el plano definido por f (t) = (eos 4?, sen41, i ) y

J >:x + 4z —3 = 0.Determine en que punto de la curva, el plano oscukaiir

paralelo a P. Hallar también la ecuación del plano osculador.

20. Considerar la curva intersección de las superficies

x2 + y 1 - 2x e z2= x2+ y2 con z> 0. encuentre el plano osculador en el punto

(2,1,6).

21. a) Paramettice la curva intersección de las superficies x2 + z 2 = 4z e y 2+4x = 0.

b)Calcule la ecuación del plano osculador en el punto P(-l,2,2).

22. Demuestre que la función vectorial a{t) = (eatsenat,ea eos at,eat), posee un radio

de curvatura para cualquier valor de “t ” igual a p = —j — eat.

23. Sea la función vectorial a(t) = (asent,a cost,bt), donde “a ” y “b ” son constantes.

Demuestre que la cwvatura para cualquier valor de “t ”, es:

106

■V,

1 + t 1 — f224. Si C es una curva representada por a{f) = (t,-----, ■). Calcular su torsión.

t

25. Dada la función vectorial a(t) = (serit—2,t2 +2,t2 + 2sent—\). Hallar la torsión en

a) Encuentre una parametiización para C

b) Encuentre el vector binormal en el punto (1,-1,4)

c) Encuentre la torsión en el punto (1,-1,4).

1 Tomado de ejercicios 1-MAT024. Universidad Técnica Federico Santa María. Dpto. de Matemática.Campus Santiago de Chile

cualquier punto y determinar la ecuación del plano osculador en t — n¡4.

26. Dada la siguiente cwva,

Hallar la curvatura y la torsión en el punto (2,1,6).

27. Considerar la cuma C, la intersección de las superficies1

x + y + z = 4 e x2 +y2- x + y + z = 4

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