UNIVERSIDAD TECNOL�OGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL ROSARIO

ANALISIS MATEMATICO IIPRACTICA

Autores

Mariana P�erez

Pablo Sabatinelli

\ [

Directora de C�atedra

Ang�elica Arnulfo

2015

Esta p�agina queda en blanco

1. Funciones de varias variables

1. Indique el dominio de de�nici�on para cada uno de los siguientes campos escalares y graf��quelo.

a) f (x; y) =px + 2y � 4.

b) f (x; y) = xy2x2+2y2�8 .

c) f (x; y) = 2p4x2+9y2�36

.

d) f (x; y) = 3x2+y2+1

.

e) f (x; y) = ln[(16� x2 � y2

) (x2 + y2 � 4

)].

f ) f (x; y) = 1p1�x2�y2

+√y � x2.

g) f (x; y) = jx j+ arc sen(x2+y2)y .

h) f (x; y ; z) =√x2 � y2 � z2 + 1.

i) f (x; y ; z) = x2y ln zp16+x2+y2�z

.

j) f (x; y ; z) = arc sen x + arc sen y + arctan z .

2. Gra�que los siguientes campos escalares.

a) f (x; y) =x2 + y2

2.

b) f (x; y) = �√x2 + y2.

c) f (x; y) =√4� x2 � y2.

d) f (x; y) = 1� 2x � 3y .

e) f (x; y) = 4� 3x .

f ) f (x; y) = x2.

3. Identi�que las curvas o super�cies de nivel de cada uno de los siguientes campos escalares,

seg�un corresponda. Adem�as indique el dominio y el conjunto imagen de cada campo escalar.

a) f (x; y) = x + y .

b) f (x; y) = x2 + y2.

c) f (x; y) =x2

16+y2

4.

d) f (x; y) = exy .

e) f (x; y ; z) = (x � 1)2 + (y � 2)2 + (z + 3)2.

f ) f (x; y ; z) = x + y + z .

g) f (x; y ; z) = x2 +y2

4+ 8z2.

h) f (x; y ; z) = x2 + y � z2.

4. Calcule los siguientes l��mites o indique por qu�e no existen.

a) l��m(x;y)!(1;�2)

(3x2 � 4xy + 2y2 � 27

).

b) l��m(x;y)!(2;4)

x + 5y2 � 8

x � 4y.

c) l��m(x;y)!(�3;0)

6y2 + 2xy2

x2 + y4 + 6x + 9.

d) l��m(x;y)!(0;0)

(x2 + y2

)sen (xy)

1�√x2 + y2 + 1

.

e) l��m(x;y)!(0;0)

exy sen (xy)

xy.

f ) l��m(x;y)!(1;�2)

(�x + y + 3)2

x2 � 2x + y2 + 4y + 5.

3

g) l��m(x;y)!(0;0)

xy ln(x2 + y2

).

h) l��m(x;y)!(0;0)

x � y � xy

x + y.

i) l��m(x;y)!(0;0)

x3 + y3

sen (x2 + y2).

5. Sea f (x; y) =x2 � y2

x2 + y2, si (x; y) , (0; 0). >Es posible de�nir f (0; 0) de manera que este

campo escalar resulte continuo en R2?

6. Sea f (x; y) =sen

(x2 + y2

)x2 + y2

, si (x; y) , (0; 0). De�na si es posible f (0; 0), de manera que el

campo escalar f sea continuo en el origen.

7. Sea f (x; y) =x2y3

2x2 + 3y2, si (x; y) , (0; 0). De�na si es posible f (0; 0), de manera que el

campo escalar f sea continuo en el origen.

8. Determine el conjunto donde el campo escalar es continuo

a) f (x; y) =

2x2�y22x2+y2

(x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0):

b) f (x; y) =

sen(x2+y2)x2+y2

(x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0):

c) f (x; y) =

x2yx2+y2

sen xy (x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0):

d) f (x; y) =

x jy jpx2+y2

(x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0):

e) f (x; y) =

x4+2x2y2+3xy3

(x2+y2)2(x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0):

4

2. Derivadas parciales

1. Calcule las derivadas parciales de primer orden de cada uno de los siguientes campos escalares.

a) f (x; y) = x2 sen xy + y2 cos xy .

b) f (x; y) = ln(x3y + 2x

).

c) f (x; y) =

2xyx2+y2

; x2 + y2 , 0;

0 ; x = y = 0:

d) f (x; y) =

xypx2+y2

; x2 + y2 , 0;

0 ; x = y = 0:

e) f (x; y ; z) =x + y + z√

1 + x2 + y2 + z2.

f ) f (x; y ; z) = exyz .

2. Compruebe que el campo escalar u(x; t) = exp(��2k2t

)sen (kx) es una soluci�on de la

ecuaci�on del calor

ut(x; t) = �2uxx(x; t):

3. Calcule todas las derivadas parciales de segundo orden de cada uno de los siguientes campos

escalares.

a) f (x; y) = ln(x2 + y2

), (x; y) , (0; 0).

b) f (x; y) =1

x2cos y2, x , 0.

c) f (x; y ; z) =√x2 + y2 + z2.

4. Sea

f (x; y) =

x3y�xy3x2+y2

; (x; y) , (0; 0);

0 ; (x; y) = (0; 0):

a) Calcule fx y fy .

b) Demuestre que fxy (0; 0) , fyx(0; 0).

c) Explique por qu�e no se contradice el teorema de Clairaut.

5. Uno de los lados de un rect�angulo es a = 10 cm, y el otro b = 24 cm. >C�omo variar�a la

medida de la diagonal d de este rect�angulo si el lado a se alarga 4 mm y el lado b se acorta

1 mm?

6. La medida del largo, ancho y alto de una caja con tapa son 10, 15 y 20 cm, respectivamente,

con un error m�aximo en la medici�on de 0:1 cm en cada medida. Utilice diferenciales para

estimar el m�aximo error que resulta de calcular el �area total de la caja.

7. El rango de un proyectil disparado en el vac��o con una velocidad inicial v0 y un �angulo de

inclinaci�on � desde la horizontal es R = 132v

20 sen (2�). Utilice diferenciales para aproximar el

cambio del alcance si v0 se incrementa de 400 pie/s a 410 pie/s y � aumenta de 30o a 31o.

8. Una placa calentada de manera irregular tiene temperatura T (x; y) en �C en el punto (x; y).

Si T (2; 1) = 135, Tx(2; 1) = 16 y Ty (2; 1) = �15, estime la temperatura en el punto

(2:04; 0:97).

9. El volumen V (en cm3) de 1 mol de un gas ideal est�a dado por

V =82:06T

p;

donde p es la presi�on (en atm) y T es la temperatura absoluta (en K). Aproxime el cambio

en el volumen cuando la presi�on aumenta de 5.0 a 5.2 atm y la temperatura aumenta de 300

a 310 K.

5

10. El radio de la base de un cono mide 10:2�0:1 cm, la generatriz mide 44:6�0:1 cm. Calcule

el volumen del cono e indica el error del c�alculo.

11. Un lado de un tri�angulo mide 2:4 m y aumenta con una velocidad de 10 cm/s. El segundo

lado mide 1:5 m y disminuye con una velocidad de 5 cm/s. El �angulo formado por estos dos

lados mide 60� y aumenta con una velocidad de 2�/s. Determine la raz�on de cambio del �area

del tri�angulo respecto del tiempo.

12. Halle la linealizaci�on local de la funci�on f (x; y) = x2y en el punto (3; 1).

13. Veri�que la aproximaci�on lineal en (0; 0)

a)2x + 3

4y + 1� 3 + 2x � 12y . b)

√y + cos2 x � 1 +

y

2.

14. Para el campo escalar

f (x; y) =

x2yx4+y2

si (x; y) , (0; 0),

0 si (x; y) = (0; 0).

veri�que la existencia de las derivadas parciales de primer orden en el origen de coorde-

nadas;

compruebe que el campo no es diferenciable en el origen de coordenadas.

15. Determine las derivadas de primer orden del campo escalar w compuesto con las funciones

x , y y z utilizando la regla de la cadena, si

w(x; y ; z) = x2 + y2 + z2; x(t) = et cos t; y(t) = et sen t; z(t) = et :

16. Determine las derivadas de primer orden del campo escalar w compuesto con los campos

escalares x , y y z utilizando la regla de la cadena, si

w(x; y ; z) = ln(x2 + y2 + z2

); x(s; t) = s � t; y(s; t) = s + t; z(s; t) = 2

pst:

17. Sea H(x; y) = f (x + ay) + g(x � ay), con a constante no nula, y H dos veces diferenciable.

Pruebe que la funci�on H satisface la ecuaci�on

@2H

@x2� 1

a2� @

2H

@y2= 0:

.

18. Demuestre que el campo escalar z(x; y) = �(x2 + y2

), donde � es una funci�on derivable,

satisface la ecuaci�on diferencial

yzx(x; y)� xzy (x; y) = 0:

19. Demuestre que el campo escalar u(x; y) = sen x +F (sen y � sen x), donde F es una funci�on

derivable, satisface la ecuaci�on diferencial

uy (x; y) cos x + ux(x; y) cos y = cos x cos y :

20. Cada una de las siguientes ecuaciones de�ne impl��citamente a y como funci�on de x , es decir

y = y(x). Determine y 0(x).

6

a) tanpxy = 1 + x2 sec y . b) y5 + x2y3 = 1 + yex

2

.

21. Cada una de las siguientes ecuaciones de�ne impl��citamente a z como funci�on de x e y , es

decir z = z(x; y). Determine las derivadas parciales de primer orden de z .

a) yx2 + z2 + cos (xyz) = 4. b) ypz + x3 = ln(x + 2z).

22. Calcule las derivadas direccionales de los siguientes campos escalares, en los puntos y direc-

ciones indicadas.

a) f (x; y) =(x2 + y2

)5, punto P (1;�1), direcci�on #»

i +#»

j .

b) f (x; y) = sen2 (xy), punto P(p

3;�2), en la direcci�on que forma un �angulo de 60� con

el eje x .

c) f (x; y ; z) =

(x

y

)z, punto P (1; 1; 1), direcci�on 2

#»

i +#»

j � #»

k .

d) f (x; y ; z) = ex+y+z , punto P (1;�1; 1), direcci�on #»

i +#»

j +#»

k .

23. >En qu�e direcci�on se anula la derivada direccional de f (x; y) = xy + y2 en P (3; 2)?

24. Determine, si existe, un vector #»u de modo queD #»u f (P ) = 14, siendo f (x; y) = x2�3xy+4y2

y P (1; 2).

25. La derivada de un campo escalar diferenciable f en el punto P (1; 2) en la direcci�on del vector#»v =

#»

i +#»

j es 2p2 y en la direcci�on de #»w = �2 #»

j es �3. >Cu�al es la derivada de f en la

direcci�on de #»u = � #»

i � 2#»

j ?

26. Suponga que escala una monta~na cuya forma la da la ecuaci�on z = 1000�0:005x2�0:01y2,

donde x , y y z se dan en metros y usted est�a parado en un punto cuyas coordenadas son

(60; 40; 966). El eje de las X positivas va hacia el este y el de las Y positivas va hacia el

norte.

a) Si camina directo hacia el sur, >empezar�a a ascender o a descender?

b) Si camina hacia hacia el noroeste, >empezar�a a ascender o a descender?

c) >En qu�e direcci�on es la m�axima pendiente? >Cu�al es la raz�on de cambio en esa direcci�on?

27. Encuentre todos los puntos en los cuales la direcci�on del cambio m�as r�apido de la funci�on

f (x; y) = x2 + y2 � 2x � 4y es#»

i +#»

j .

28. Demuestre que todas las pir�amides formadas por los planos coordenados y un plano tangente

a la super�cie de ecuaci�on xyz = a3 tienen el mismo volumen. >Cu�al es ese volumen?

29. Demuestre que cualquier recta normal a una esfera contiene a su centro.

30. Las super�cies de ecuaciones x2y2+2x + z3 = 16 y 3x2+ y2� 2z = 9 se intersecan en una

curva en el espacio.

a) Demuestre que la curva contiene al punto P (2; 1; 2).

b) Halle las ecuaciones de los respectivos planos tangentes a las dos super�cies en P .

31. Demuestre que la esfera de ecuaci�on x2 + y2 + z2 � 4y � 2z + 2 = 0 es perpendicular al

paraboloide de ecuaci�on 3x2 + 2y2 � 2z = 1 en el punto de coordenadas (1; 1; 2).

32. Determine todos los puntos del elipsoide de ecuaci�on x2 +2y2 +4z2 � 4x +2y = 5 para los

cuales el plano tangente a la super�cie resulten paralelos al plano de ecuaci�on x + y + z = 1.

7

3. Extremos

1. Halle los puntos cr��ticos de cada uno de los siguientes campos escalares y clasif��quelos.

a) z(x; y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2.

b) f (x; y) = 2y4 + x4 + y2.

c) g(x; y) = e2x(x + y2 + 2y

).

d) f (x; y) = ex cos y .

e) f (x; y) = x sen y .

2. Halle las coordenadas del punto que pertenece al plano de ecuaci�on x + y � 2z = 0 para el

cual la suma de los cuadrados de las distancias que median entre �el y los puntos A(1; 1; 1) y

B(2; 3; 4) sea la menor posible.

3. Demuestre que para los �angulos positivos �, � y tales que �+�+ = �=2 se veri�ca que

sen� sen� sen � 1

8:

4. Calcule el valor m�aximo de f (x; y) = 4xy con x > 0, y > 0, sujeta a la restricci�on 16x2 +

9y2 = 144.

5.

6. De todos los prismas rectangulares que tienen la diagonal dada, halle el que tenga el mayor

volumen posible.

7. La intersecci�on del plano de ecuaci�on x+y+2z = 2 con la super�cie de ecuaci�on z = x2+y2

es una elipse. Encuentre los puntos de dicha elipse que est�an m�as cercanos y m�as alejados

del origen.

8. Sea T (x; y ; z) = 20+2x +2y + z2 la temperatura en cada punto de la esfera x2+ y2+ z2 =

11. Halle las temperaturas extremas sobre la curva intersecci�on de la esfera con el plano

x + y + z = 3.

9. Halle el volumen m��nimo del s�olido limitado por los planos de ecuaci�on x = 0, y = 0, z = 0

y por un plano tangente al elipsoide de ecuaci�on

x2

9+y2

25+

z2

36= 1;

en el primer octante.

10. Determine los extremos absolutos de los siguientes campos escalares sobre las regiones que

en cada caso se indican.

a) f (x; y) = x2� x +4y2+2y en la regi�on acotada por las rectas y = x , y = �x y y = 2.

b) f (x; y) = 1 + xy � x � y en la regi�on acotada por la par�abola y = x2 y la recta y = 4.

c) f (x; y) = e�xy en la regi�on limitada por la curva de ecuaci�on x2 + 4y2 = 1.

d) z(x; y) = ex2�y2 (2x2 + 3y2

)en el c��rculo x2 + y2 � 4.

8

4. Funciones vectoriales

1. Gra�que la curva representada por la funci�on vectorial, indicando su orientaci�on.

a) #»r (t) = 3t#»

i + (t � 1)#»

j .

b) #»r (t) = 2 cos t#»

i + 2 sen t#»

j .

c) #»r (t) = t#»

i + t2#»

j .

d) #»r (t) = t#»

i +1

t

#»

j .

e) #»r (t) = cos t#»

i + sen t#»

j + t#»

k .

f ) #»r (t) = cos t#»

i + sen t#»

j + 4#»

k .

g) #»r (t) =#»

i + 2 sen t#»

j + 2cos t#»

k .

2. Para las curvas del apartado 1a y 1g calcule #»r 0 (0).

3. Calcule la longitud de arco descripta en cada caso por la funci�on vectorial dada y en el

intervalo indicado.

a) #»r (t) = 2t#»

i + 3 sen t#»

j + 3cos t#»

k , t 2 [0; �].

b) #»r (t) = t2#»

i + 2t#»

j + ln t#»

k , t 2 [1; e].

4. Demuestre que si el m�odulo j #»r j de la funci�on vectorial #»r (t) es constante para todos los

valores de t, entonces #»r 0(t)? #»r (t). >Cu�al es la interpretaci�on geom�etrica de esto? >Se

veri�ca el rec��proco de este resultado?

5. Determine ecuaciones para la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en los puntos

indicados.

a) #»r (t) =

(t4

4;t3

3;t2

2

), en

(1

4;1

3;1

2

).

b) #»r (�) =

(a cos�; a sen�;

k

2��

), en

(ap2;ap2;k

8

).

9

5. Integrales m�ultiples

1. Calcule las siguientes integrales dobles mediante integraci�on reiterada.

a)

"R

xy(x2 � y2

)dx dy , R = [0; 1]� [0; 1].

b)

"R

sen2(x + y) dx dy , R = [0; �]� [0; �].

c)

"R

(xpy � yex+y

)dx dy , R = [�1; 1]� [0; 1].

2. En cada uno de los siguientes casos, escriba la integral en los dos �ordenes posibles de inte-

graci�on y calcule en el que resulte m�as conveniente.

a)

"D

xy dA, D: es el rect�angulo con v�ertices (0; 0), (0; 5), (3; 5) y (3; 0).

b)

"D

y

x2 + y2dA, D: es el tri�angulo limitado por y = x , y = 2x , x = 2.

c)

"D

y

1 + x2dA, D: es la regi�on limitada por y = 0, y =

px , x = 4.

3. Sea f el campo escalar de�nido sobre el cuadrado R = [0; 1]� [0; 1], seg�un se indica en cada

caso. Calcule!Rf (x; y) dA.

a) f (x; y) =

1� x � y si x + y � 1,

0 en los restantes puntos de R.

b) f (x; y) =

x + y si x2 � y � 2x2,

0 en los restantes puntos de R.

4. Calcule el volumen de los s�olidos que se indican en cada uno de los siguientes casos.

a) La pir�amide limitada por los tres planos coordenados y por el plano 10x+y+2z�10 = 0.

b) El s�olido limitado por el plano z = 0 y por el paraboloide z = 2� x2 � y2.

c) El s�olido limitado por el plano z = 0, z = y2, x = 0, x = 2, y = 0, y = 4.

5. Al calcular por doble integraci�on el volumen V del s�olido limitado superiormente por la su-

per�cie de ecuaci�on z = f (x; y), con f (x; y) � 0 e inferiormente por una cierta regi�on S del

plano xy , se ha obtenido la f�ormula

V =

∫ 2

1

∫ x3

x

f (x; y) dy dx +

∫ 8

2

∫ 8

x

f (x; y) dy dx:

Represente la regi�on S y exprese V mediante una integraci�on reiterada con el orden de

integraci�on invertido.

6. Halle la masa, centro de masa y momentos de inercia respecto de los ejes coordenados de una

l�amina triangular de v�ertices (0; 1), (0; 3) y (2; 3), si la funci�on de densidad es �(x; y) = 2x+y .

7. Una l�amina plana tiene la forma de un cuarto de c��rculo de radio a en el primer cuadrante. La

densidad en cada punto de la l�amina es proporcional a la distancia al origen de coordenadas.

Determine la masa de la l�amina y el centroide.

8. Se da una regi�on plana S por las curvas que la limitan. Halle en cada caso, la masa, las

coordenadas del centro de gravedad de S y los momentos de inercia respecto de los ejes

coordenados.

10

a) y2 = 2x + 5, y2 = 14� x . La densidad es �(x; y) = y2 + 1.

b) y =p2x , y = 0, con 0 � x � 2, La densidad es �(x; y) = jx � y j.

9. Combine la suma de las dos integrales dobles en una �unica integral doble, utilizando coorde-

nadas polares, y calcule.

a)

∫ 2

0

∫ x

0

√x2 + y2 dy dx +

∫ 2p2

2

∫ p8�x2

0

√x2 + y2 dy dx .

b)

∫ 5p2=2

0

∫ x

0

xy dy dx +

∫ 5

5p2=2

∫ p25�x2

0

xy dy dx .

10. Calcule el volumen del s�olido limitado por las gr�a�cas que en cada caso se indican.

a) z = xy , x2 + y2 = 1, en el primer octante.

b) y = x2 + z2 + 1, y = 0, x2 + z2 = 4.

c) x =√z2 + y2, x = 0, z2 + y2 � 4, z2 + y2 � 16.

11. Calcule a de modo que el volumen interior al hemisferio z =√16� x2 � y2 y exterior al

cilindro x2 + y2 = a2 sea la mitad del volumen interior al hemisferio.

12. Utilice integrales dobles para calcular el volumen de una esfera de radio a.

13. Calcule las siguientes integrales triples.

a)

$E

(x + y + z) dV , donde E = f(x; y ; z) : x 2 [0; 2]; y 2 [�3; 3]; z 2 [�; 2�]g.

b)

$E

xy2z3 dx dy dz , siendo E el s�olido del semiespacio z � 0 limitado por la super�cie

z = xy y por los planos x � y = 0, x � 1 = 0, y = 0.

c)

$E

(1 + x + y + z)�3 dx dy dz , siendo E el tetraedro de�nido por los tres planos

coordenados y por el plano x + y + z � 1 = 0.

d)

$E

√x2 + y2 dx dy dz , siendo E el s�olido limitado por la hoja superior del cono

z2 = x2 + y2 y el plano z = 1.

14. Utilice una integral triple para determinar:

a) El volumen del s�olido limitado por los paraboloides de ecuaciones z = x2 + y2 y z =

18� x2 � y2.

b) El centro de masa del s�olido limitado por x2 + y2 + z2 � 25, con z � 0. Suponer

�(x; y ; z) = 1.

c) El momento de inercia respecto de los ejes coordenados del s�olido acotado por x+y+z =

1 en el primer octante. Suponer �(x; y ; z) = 1.

15. Calcule las siguientes integrales triples, usando coordenadas cil��ndricas.

a)

$E

(x2 + y2

)dx dy dz , siendo E el s�olido limitado por el paraboloide z = 1

2

(x2 + y2

),

y por el plano z � 2 = 0.

b)

$E

x√x2 + y2

dx dy dz , siendo E el cilindro de ecuaci�on x2 + y2 = 4 acotado por el

plano de ecuaci�on z4, en el primer octante.

11

16. Calcule las siguientes integrales triples, usando coordenadas esf�ericas.

a)

∫ 1

0

∫ p1�x2

0

∫ p1�x2�y2

0

√x2 + y2 + z2 dz dy dx .

b)

$E

z dx dy dz , siendo E el s�olido limitado superiormente por la super�cie x2 + y2 +

z2 = 2az (a > 0) e inferiormente por z2 = x2 + y2.

17. Calcule el volumen del s�olido que se de�ne en cada uno de los siguientes casos.

a) el s�olido limitado por el paraboloide de z = 14

(x2 + y2

)y por el hemisferio superior de

la super�cie esf�erica x2 + y2 + z2 = 5.

b) el s�olido limitado por el plano z = 0, por el cilindro x2 + y2 � 2x = 0 y por la hoja

superior del cono z2 = x2 + y2.

c) el s�olido limitado por los tres planos coordenados, por el paraboloide z = x2+ y2, y por

el plano x + y � 1 = 0.

18. Calcule las siguientes integrales pasando a coordenadas cil��ndricas o esf�ericas seg�un convenga.

a)

∫ 2

�2

∫ p4�x2

�p

4�x2

∫ 4

x2+y2x dz dy dx .

b)

∫ 2

0

∫ p4�x2

0

∫ p16�x2�y2

0

√x2 + y2 dz dy dx .

19. Un cilindro s�olido homog�eneo tiene masa m y radio a. Muestre que su momento de inercia

con respecto a su eje de simetr��a es ma2=2.

12

6. Integrales de l��nea y aplicaciones

1. Calcule las siguientes integrales de l��nea respecto a la longitud de arco.

a)

∮C

(x + y) ds, siendo C el contorno del tri�angulo con v�ertices (0; 0), (1; 0) y (0; 1),

recorrido en sentido antihorario.

b)

∮C

(x2 + y2

)ds, siendo C el camino descripto por #»�(t) = (a cos t + at sen t; a sen t � at cos t),

0 � t � 2�.

c)

∫C

(2x + y) ds, siendo C el arco de circunferencia x2 + y2 = 25, recorrido desde el

punto (3; 4) hacia el punto (4; 3).

2. Calcule el �area de un lado del \biombo" cuya base es la curva C de ecuaci�on #»r (t) =(t3; t

)con t 2 [0; 1] y cuya altura en cada punto (x; y) es f (x; y) = x .

3. Se quiere pintar los dos lados de una cerca cuya base est�a en el plano xy , con la forma

x = 30 cos3 t, y = 30 sen3 t, con t 2[0; �2

]y cuya altura en cada punto (x; y) es h(x; y) =

1 + y=3. Determine el �area a pintar.

4. Calcule la longitud del arco de curva de ecuaci�on #»r (t) = (2t; 3 sen t; 3 cos t) con t 2 [0; �=2].

5. Halle la masa, el centro de gravedad y los momentos de inercia respecto de los ejes coorde-

nados del trozo de alambre helicoidal descripto por #»�(t) = (cos t; sen t; t), 0 � t � 2�, si la

densidad en cada punto (x; y ; z) es d(x; y ; z) = x2 + y2 + z2.

6. En cada caso, calcular la integral de l��nea del campo vectorial dado a lo largo del camino que

se indica.

a)#»

F (x; y) =(x2 � y ; y2 � x

), a lo largo de la par�abola y = x2 desde (�1; 1) hasta (1; 1).

b)#»

F (x; y) = (x + y ; x � y), a lo largo de la elipse x2

4 + y2

16 = 1 recorrida en sentido

antihorario.

c)#»

F (x; y ; z) = (yz; xz; xy), a lo largo de la trayectoria que resulta de la intersecci�on del

paraboloide z = x2 + y2 con el plano z = 4, recorrida en el sentido que se desee.

7. Calcule las siguientes integrales de l��nea.

a)

∮C

(x + y) dx � (x � y) dy

x2 + y2, siendo C la circunferencia x2+y2 = 25 recorrida en sentido

antihorario.

b)

∮C

y dx + z dy + x dz , siendo C la curva de intersecci�on del hemisferio superior de la

esfera x2 + y2 + z2 = 4 con el cilindro x2 + y2 = 1, recorrida en sentido antihorario.

8. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas

#»

F (x; y ; z) =(3x2 � 6yz; 2y + 3xz; 1� 4xyz2

);

al mover una part��cula a lo largo de la siguiente trayectoria

a) el segmento que va desde (0; 0; 0) hacia (1; 1; 1).

b) la poligonal que tiene los siguientes v�ertices consecutivos: (0; 0; 0), (1; 0; 0), (1; 1; 0) y

(1; 1; 1) desde (0; 0; 0) hacia (1; 1; 1).

13

9. El trabajo realizado por el campo de fuerzas#»

F (x; y) =(3y2 + 2; 16x

), al mover una part��cula

desde (�1; 0) hacia (1; 0), siguiendo la mitad superior de la elipse x2 + y2

b2= 1, depende de

b. Determine b para que el trabajo sea m��nimo.

10. En cada uno de los siguientes casos muestre que el campo vectorial dado es gradiente de un

campo escalar en todo su dominio, y determine una funci�on potencial.

a)#»

F (x; y) = (x; y).

b)#»

F (x; y) =(x2 � y2;�2xy

).

c)#»

F (x; y ; z) = (x + z;�y � z; x � y).

d)#»

F (x; y ; z) =

(1

4z4 + y2 cos x;�4 + 2y sen x; 2 + xz3

).

11. a) Pruebe que el campo vectorial#»

F (x; y) = (yexy ; xexy ) es un gradiente y halle la funci�on

potencial que en (0; 0) asume el valor 1.

b) Demuestre que el campo de fuerzas#»

F (x; y ; z) = (yz; xz; xy) es conservativo, y halle

la funci�on potencial que en (1;�2; 3) toma el valor 0.

12. Calcule, en cada caso, la integral de l��nea.

a)

∫C

2x sen y dx +(x2 cos y � 3y2

)dy , donde C es la curva de ecuaci�on y = x2 � 1,

desde (�1; 0) hasta el punto (5; 24).

b)

∫C

x2 dx + xy dy , donde C es la gr�a�ca de #»r (t) = t#»

i + t2#»

j , t 2 [0; 1].

c)

∫C

(ey + yex) dx+(ex + xey ) dy , donde C es el segmento de recta desde (0; 0) hasta

el punto (1;�1).13. Aplique el teorema de Green para evaluar la integral de l��nea sobre la curva C.

a)#»

F (x; y) =(x2 � y2; xy

), C es la frontera de la regi�on acotada por la recta y = x y por

la par�abola y = x2.

b)#»

F (x; y) =(y2; 2x � 3y

), C es la frontera de la regi�on acotada por la circunferencia de

ecuaci�on x2 + y2 = 9.

14. Utilice el teorema de Green para calcular el trabajo realizado por una fuerza#»

F para mover

una part��cula a lo largo de la curva descripta por C.

a)#»

F (x; y) =(3x2 + y ; 4xy2

), C es la frontera de la regi�on limitada por las gr�a�cas de

y =px , y = 0, x = 1.

b)#»

F (x; y) =(x

3

2 � 3y ; 6x + 5py), C es la frontera del tri�angulo de v�ertices (0; 0), (5; 0)

y (0; 5).

15. Utilice el teorema de Green para calcular el �area de la regi�on limitada por la curva C.

a) C es la frontera de la regi�on limitada por la gr�a�ca de la funci�on vectorial #»r (t) =(cos3 t; sen3 t

), t 2 [0; 2�].

b) C es la frontera de la regi�on limitada por la gr�a�ca de la funci�on vectorial #»r (t) =(cos t; sen3 t

), t 2 [0; 2�].

16. Sean U y V dos campos escalares diferenciables de�nidos en un conjunto abierto que con-

tiene al disco R de ecuaci�on x2 + y2 � 1. Sean#»

F (x; y) = (V (x; y); U(x; y)) y#»

G(x; y) =

(Ux(x; y)� Uy (x; y); Vx(x; y)� Vy (x; y)). Calcule el valor de!R

#»

F � #»

G dA, sabiendo que so-

bre la frontera de R, U(x; y) = 1 y V (x; y) = y .

14

7. Integrales de super�cie

1. Para cada una de las super�cies determine la ecuaci�on del plano tangente en el punto P0dado.

a) #»r (u; v) = 2u cos v#»

i + u2#»

j + 3u sen v#»

k , (u; v) 2 R2. P0 � #»r(1; �6

).

b) #»r (u; v) = sen u cos v#»

i + 3 sen u sen v#»

j + 4cos u#»

k , (u; v) 2 R2. P0 � #»r(�4 ; 0

).

c) #»r (u; v) = u cos v#»

i + u sen v#»

j + u3#»

k , (u; v) 2 R2. P0 = (x0; 1; 1).

2. Calcule el �area de la porci�on del plano x + y + z = 1, cortado por la super�cie cil��ndrica

x2 + y2 = 1.

3. Determine el �area de la semiesfera x2+ y2+ z2 = 16, z � 0 com�un al cilindro x2+ y2 � 4y .

4. Halle el �area del trozo de super�cie z = 2 (x + y) que se proyecta en el primer cuadrante del

plano xy , limitada por los planos x = 2, y = 1.

5. Calcule las integrales de super�cie que en cada caso se indican

a)

"S

xy dS, donde S es la regi�on plana determinada por los v�ertices (1; 0; 0), (0; 2; 0) y

(0; 0; 3).

b)

"S

(y2 + z2

)dS, donde S es la parte del paraboloide de ecuaci�on x = 4 � y2 � z2

frente al plano de ecuaci�on x = 0.

c)

"S

z(x2 + y2

)dS, donde S es el helicoide de ecuaci�on #»r (u; v) = (u cos v ; u sen v ; v),

u 2 [0; 1], v 2 [0; �].

6. Calcule el momento de inercia respecto del eje x de la porci�on de super�cie c�onica homog�enea

z =√x2 + y2, limitada por los planos z = 1, z = 2.

7. Calcule la masa y el momento de inercia respecto del eje z de la super�cie c�onica z =

3√x2 + y2, z 2 [0; 4], si la densidad super�cial es �(x; y ; z) = 10� z .

8. Halle las coordenadas del baricentro de la porci�on de super�cie esf�erica homog�enea x2+y2+

z2 = a2, situada en el primer octante.

9. Sea S el hemisferio superior de la esfera x2+y2+z2 = 1 y sea#»

F (x; y ; z) = (x; y ; 0). Calcule

el ujo de#»

F a trav�es de S.10. Un uido tiene densidad de ujo

#»

F (x; y ; z) = (x;�2x � y ; z). Calcule la masa que atraviesa

en la unidad de tiempo a la porci�on de super�cie esf�erica x2 + y2 + z2 = a2 con x � 0.

11. Utilice el teorema de Stokes para calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas#»

F (x; y ; z) = (3y ;�2x; 4z) al trasladar una part��cula por la circunferencia que resulta de

la intersecci�on de las super�cies x2 + y2 = 9, z = 4.

12. Halle el trabajo realizado por el campo vectorial#»

F (x; y ; z) = (y + z; 2 + x; x + y) a lo largo

de la curva intersecci�on de la esfera de ecuaci�on x2 + y2 + z2 = 25 y el plano de ecuaci�on

4x � 3y = 0, desde el punto A(3; 4; 0) al punto B(0; 0; 5).

13. En los siguientes ejercicios, calcule!S(rot

#»

F)� #»n dS mediante una integral de l��nea utilizando

el teorema de Stokes

15

a)#»

F (x; y ; z) =(y2; xy ; xz

), donde S es el hemisferio x2 + y2 + z2 = 1, z � 0, #»n normal

unitario con componente tercera componente negativa.

b)#»

F (x; y ; z) = (y � z)#»

i + yz#»

j + (�xz) #»

k , donde S consta de las cinco caras del cubo

0 � x � 2, 0 � y � 2; 0 � z � 2, no situadas en el plano z = 0, siendo #»n normal

exterior.

14. Calcule el rotor y la divergencia de cada uno de los siguientes campos vectoriales.

a)#»

F (x; y ; z) =(x2 + yz; y2 + xz; z2 + xy

).

b)#»

F (x; y ; z) = (2x � 3y ; 3x � z; y � 2x).

c)#»

F (x; y ; z) =(exy ; cos xy ; cos xz2

).

15. Investigue si existe alg�un campo vectorial#»

F tal que rot#»

F = (x; y ; z).

16. Encuentre un campo vectorial cuyo rotor sea (x;�2y ; z).17. Halle � de modo que el campo vectorial

#»

F (x; y ; z) = (x + 3y ; y � 2z; x + �z) resulte sole-

noidal (divergencia nula).

18. Veri�que el teorema de la divergencia (Gauss) en los campos siguientes.

a)#»

F (x; y ; z) =(x2; y2; z2

), S: super�cie del cubo unitario 0 � x � 1, 0 � y � 1,

0 � z � 1.

b)#»

F (x; y ; z) = (2x;�3y ; z), S: frontera de la regi�on limitada por las super�cies de ecua-

ciones x2 + y2 = 1, z = 0, z = x + 2, respectivamente.

19. Eval�ue

"Sxz2 dy dz +

(x2y � z3

)dx dz +

(2xy + y2z

)dx dy , donde S es la semiesfera

z =√1� x2 � y2.

20. Calcule el ujo saliente del campo

#»

F (x; y ; z) =x

(x2 + y2 + z2)3

2

#»

i +y

(x2 + y2 + z2)3

2

#»

j +z

(x2 + y2 + z2)3

2

#»

k

a trav�es del elipsoide 4x2 + 9y2 + 6z2 = 36.

21. Eval�ue!Srot

#»

F � d #»

S donde#»

F (x; y ; z) =(x2yz; yz2; z3exy

)y S es la parte de la esfera

x2 + y2 + z2 = 5 que est�a encima del plano z = 1 y est�a orientada hacia afuera.

22. Calcule!S

#»

F � d #»

S donde#»

F (x; y ; z) =(x3; y3; z3

)y S es la super�cie del s�olido acotado por

el cilindro x2 + y2 = 1 y los planos z = 0 y z = 2.

23. Calcule∮C

#»

F � #»

T ds, donde C es la elipse en la que el plano z = y interseca al cilindro

x2 + y2 = 2y , orientada positivamente y#»

F (x; y ; z) =(y2; z2; x2

).

24. Sea#»

F (x; y ; z) = (y ; z; xz), calcule�@

#»

F d#»

S donde es el s�olido x2 + y2 � z � 1.

25. Calcule el ujo del campo vectorial#»

F (x; y ; z) =(xy2; yz; zx2

)a trav�es de la supe�cie del

s�olido que est�a entre los cilindros de ecuaciones x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4 y los planos de

ecuaci�on z = 1 y z = 3.

26. Calcule el ujo del campo vectorial#»

F (x; y ; z) =(z2x; 13y

3 + tan z; x2z + y2)a trav�es de la

mitad superior de la esfera de ecuaci�on x2 + y2 + z2 = 1.

16

8. Ecuaciones diferenciales

1. Determine una ecuaci�on diferencial, de menor orden posible, que admita por soluci�on la

siguiente familia de funciones.

a) y = x + C sen2 x .

b) x3 � (C � x)y5 = 0.

c) y = C1x + C2 log x .

d) y = C1x + C2xex .

2. Integre las siguientes ecuaciones diferenciales a variables separables y obtenga la soluci�on que

veri�que la condici�on inicial dada.

a) y 0 = 2(y � 1)x; y(0) = 3.

b) y 0 = (y � 1)(y + 3); y(2) = 2.

c) � tan x cos y = y 0 tan y ; y(�) = �=3.

3. Integre las siguientes ecuaciones diferenciales homog�eneas.

a) y 0 =x2 + 2y2

xy.

b) xy2 + x3 + x3y 0 = 0.

c) 1 +

(y

x

)2� 2

y

xy 0 = 0.

4. Integre las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.

a) y 0 + y = xe�x .

b) y 0 � 2xy = ex2

.

c) x(1 + x2

)y 0 � 2x2y = 1.

d) y 0 � 1

xy = x2.

5. Convierta la ecuaci�on diferencial xy 0 � 2y =py a lineal mediante la sustituci�on z = y�1=2

y resu�elvala.

6. Integre las siguientes ecuaciones diferenciales totales exactas.

a)(3x2 + 6xy2

)dx +

(6x2y + y3

)dy = 0.

b) (cos y + y cos x) dx + (sen x � x sen y) dy = 0.

c) 4x3y3 � 2xy +(3x4y2 � x2

)y 0 = 0.

d) y dx + x dy = 0.

7. Integre las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden.

a) xy 0 � y +√x2 + y2 = 0.

b) y 0 + y tan x � sen 2x = 0.

c) xy 0 � 2y � x5 = 0.

d) y 0ey sen x + (1 + ey ) cos x = 0.

e) y 0 � y

x� tan

y

x= 0.

f ) xy 0 � y +1

2

√4y2 � 9x2 = 0.

g) x2y 0 + y2 � xy � x2 = 0.

h) x(x + 1)y 0 + y � x(x + 1)2e�x2

= 0.

i) xy 0 � y �√x2 + y2 = 0.

j)(x2 � 4

)y 0 � y = 0.

k) e�x + y + y 0 = 0.

8. Integre las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homog�eneas a coe�cientes constantes.

17

a) y 00 + 7y 0 + 12y = 0.

b) y 00 + 2y 0 + 5y = 0.

c) y 00 � 4y 0 + 4y = 0.

d) 4y 00 + 3y 0 � y = 0.

e) y 00 + 6y 0 + 9y = 0.

f ) 25y 00 + 20y 0 + 4y = 0.

g) y 00 + 4y = 0.

9. Resuelva los siguientes problemas de Cauchy.

a)

y 00 + 4y = 0;

y(0) = y 0(0) = 0:b)

y 00 + 2y 0 + y = 0;

y(2) = 1 ; y 0(2) = �2:

10. Obtenga la soluci�on general de cada una de la siguientes ecuaciones diferenciales lineales.

a) y 00 � 9y = 1 + 3e2x .

b) y 00 + 16y = 5x2 + x +1

2.

c) y 00 + 9y = 2x2 � 4x + 2.

d) y 00 � 2y 0 + y = x2ex � 6ex .

e) y 00 + 2y 0 � 3y = 2ex � 10 sen x .

f ) y 00 � 2y 0 � 3y = 4x cos x .

g) y 00 � 2y 0 = ex sen x .

h) y 00 + 4y 0 + 4y = 3x(1 + x)e�2x .

i) y 00 + 2y 0 + 2y = 30e�x sen x .

11. Resuelva los siguientes problemas de valores iniciales.

a)

y 00 + y = 1cos x ;

y(0) = 0 = y 0(0):b)

y 00 + 4y = x2 sen 2x;

y(0) = 2 ; y 0(0) = 1:c)

y 00 � 6y 0 + 9y = x�2e3x ;y(1) = 0 ; y 0(1) = �2e3:

12. En un tanque que contiene 1000 l de agua, inicialmente se disuelven 5 kg de sal. Luego se

bombea salmuera al tanque a raz�on de 20 l/min y la soluci�on uniformemente mezclada se

bombea hacia afuera del tanque a la misma raz�on. Considerando que la concentraci�on de la

soluci�on que entra es de 0.01 kg/l, determine:

a) La cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante t � 0.

b) La cantidad de sal en el tanque despu�es de 30 min.

c) El tiempo que debe transcurrir para que haya 8 kg de sal en el tanque.

13. Un polic��a descubre el cuerpo de un millonario. Para resolver el crimen es decisivo determinar

cu�ando se cometi�o el homicidio. El forense llega al medio d��a y de inmediato observa que la

temperatura del cuerpo es de 35�C. Espera una hora y observa que la temperatura del cuerpo

ha disminuido a 34�C. Asimismo, observa que la temperatura de la habitaci�on es constante

a 21�C. Suponiendo que la v��ctima estaba a temperatura normal (36�C) en el momento de

su fallecimiento, >a qu�e hora se cometi�o el crimen?

14. Un objeto que tiene una temperatura de 10�C se coloca a las 10:00 horas en un horno que se

mantiene a 190�C. A las 11:15 horas su temperatura era 55�C. >A qu�e hora estar�a el objeto

a 70�C?

15. Se deja caer un objeto de 5 kg de masa desde un helic�optero. Halle su velocidad en funci�on

del tiempo t, suponiendo que la resistencia debida al aire es proporcional a la velocidad del

objeto.

18

Funciones de varias variables

1. a)

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6x

y Af = {(x, y) ∈ R2 : x+ 2y − 4 ≥ 0}

b)

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3x

yAf = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6= 4}

c)

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4x

y

Af = {(x, y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 > 36}

d)

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4x

y

Af = R2

e)

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4x

yAf = {(x, y) ∈ R2 : 4 < x2 + y2 < 16}

f )

1

−1

1−1 x

y

Af =

{(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y <

√1 − x2 , x ∈

(−√

12

(√5 − 1

),

√12

(√5 − 1

))}

g)

1

−1

1−1x

y

Af = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 , y 6= 0}h) Af =

{(x; y ; z) 2 R3 : �x2 + y2 + z2 � 1

}.

i) Af ={(x; y ; z) 2 R3 : 0 < z < 16 + x2 + y2

}

j) Af ={(x; y ; z) 2 R3 : x 2 [�1; 1]; y 2 [�1; 1]

}.

19

2. a)-2

0

2

-2

0

2

0

5

10

15

b)-2

0

2

-2

0

2

-4

-3

-2

-1

0

c)-2

-10

12

-2-1

01 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

d)

-2-1

01

2

-2

-1

0

12

-5

0

5

10

e)

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2

0

5

10

f )

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2

0

1

2

3

4

3. a) Rectas de vector normal (1; 1) y que contiene cada una de ellas al punto (0; k), 8k 2 R.Af = R

2. If = R.

b) Para k > 0 circunferencias de centro (0; 0) y radiopk . Para k = 0 el punto (0; 0).

Para k < 0, ;. Af = R2. If = [0;+1) .

c) Para k > 0 elipses de centro (0; 0) y semiejes 4pk y 2

pk . Para k = 0 el punto (0; 0).

Para k < 0, ;. Af = R2. If = [0;+1) .

d) Para k = 1 los ejes coordenados. Para k > 0, y k , 1, hip�erbolas equil�ateras de ecuaci�on

xy = ln k . Para k � 0, ;. Af = R2. If = R

+.

e) Para k > 0 esfera de centro (1; 2;�3) y radio pk . Para k = 0 el punto (1; 2;�3). Parak < 0, ;. Af = R

3. If = [0;+1) .

f ) Planos de vector normal (1; 1; 1) y que contiene cada uno de ellos al punto (0; 0; k),

8k 2 R. Af = R3. If = R.

g) Para k > 0 elipsoide de centro (0; 0; 0) y semiejespk , 2

pk y

√k8 . Para k = 0 el punto

(0; 0; 0). Para k < 0, ;. Af = R3. If = [0;+1) .

h) Paraboide hiperb�olico con v�ertice (0; k; 0) y cuyo eje coincide con el eje y , 8k . Af = R3.

If = R.

4. a) �8.b) �37

7 .

c) No existe.

d) 0.

e) 1.

f ) No existe.

g) 0.

h) No existe.

i) 0.

5. No.

6. f (0; 0) = 1.

7. S��. f (0; 0) = 0.

8. a) R2 � f(0; 0)g.b) R2 � f(0; 0)g.

c) R2.

d) R2.

e) R2 � f(0; 0)g.

20

Derivadas parciales

1. a) fx(x; y) = x2y cos(xy)+(2x � y3

)sen(xy). fy (x; y) =

(x3 + 2y

)cos(xy)�xy2 sen(xy).

b) fx(x; y) =3x2y+2x3y+2x

. fy (x; y) =x2

x2y+2.

c) fx(x; y) =

2y(y2�x2)(x2+y2)2

si (x; y) , (0; 0),

0 si (x; y) = (0; 0).fy (x; y) =

2x(x2�y2)(x2+y2)2

si (x; y) , (0; 0),

0 si (x; y) = (0; 0).

d) fx(x; y) =

y3

(x2+y2)3=2si (x; y) , (0; 0),

0 si (x; y) = (0; 0).fy (x; y) =

x3

(x2+y2)3=2si (x; y) , (0; 0),

0 si (x; y) = (0; 0).

e) fx(x; y ; z) =�x(y+z)+y2+z2+1

(x2+y2+z2+1)3=2. fy (x; y ; z) =

x2�xy�yz+z2+1

(x2+y2+z2+1)3=2. fz(x; y ; z) =

x2�xz+y2�yz+1

(x2+y2+z2+1)3=2.

f ) fx(x; y ; z) = yzexyz . fy (x; y ; z) = xzexyz . fz(x; y ; z) = xyexyz .

2. uxx(x; t) = k2(�e�2(�k2)t

)sen(kx). ut(x; t) = �2k2

(�e�2(�k2)t

)sen(kx). Luego ut(x; t) =

�2uxx(x; t).

3. a) fxx(x; y) = �2(x2�y2)(x2+y2)2

. fxy (x; y) = fyx(x; y) = � 4xy

(x2+y2)2. fyy (x; y) =

2(x2�y2)(x2+y2)2

.

b) fxx(x; y) =6 cos(y2)

x4. fxy (x; y) = fyx(x; y) =

4y sen(y2)x3

. fyy (x; y) = �2(sen(y2)+2y2 cos(y2))x2

.

c) fxx(x; y ; z) =y2+z2

(x2+y2+z2)3=2. fxy (x; y ; z) = fyx(x; y ; z) = � xy

(x2+y2+z2)3=2. fxz(x; y ; z) =

fzx(x; y ; z) = � xz

(x2+y2+z2)3=2. fyy (x; y ; z) =

x2+z2

(x2+y2+z2)3=2. fyz(x; y ; z) = fzy (x; y ; z) =

� yz

(x2+y2+z2)3=2. fzz(x; y ; z) =

x2+y2

(x2+y2+z2)3=2.

4. a)

fx(x; y) =

y(x4+4x2y2�y4)

(x2+y2)2(x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0);fy (x; y) =

x5�4x3y2�xy4(x2+y2)2

(x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0):

b) fxy (0; 0) = �1, fyx(0; 0) = 1.

c) fxy no es continua en (0; 0).

5. 0:0615385 cm.

6. 18 cm2.

7. 303:773 pies.

8. 136:09�C.

9. �32:8 cm3.

10. dV = 101:385 cm3. V = 4730:41 cm3.

11. 444:063 cm2/s.

12. L(x; y) = �18 + 6x + 9y .

13. a) Considerando f (x; y) = 2x+34y+1 es f (x; y) � df = f (0; 0) + fx(0; 0)x + fy (0; 0)y =

3 + 2x � 12y , para (x; y) cercanos a (0; 0).

b) Considerando f (x; y) =√y + cos2 x es f (x; y) � df = f (0; 0)+fx(0; 0)x+fy (0; 0)y =

1 + 12y , para (x; y) cercanos a (0; 0).

21

14. fx(0; 0) = fy (0; 0) = 0. El campo escalar no es continuo en el origen porque el l~Amite para

(x; y)! (0; 0) no existe.

15. W 0(t) = 4e2t .

16. Ws(s; t) = Wt(s; t) =2

s+t .

17.

18.

19.

20. a) y 0 =4xpxy sec(y)� y sec2

(pxy

)x sec2

(pxy

)� 2x2pxy tan(y) sec(y)

.

b) y 0 = �2xy

(ex

2 � y2)

�3x2y2 + ex2 � 5y4

.

21. a) zx(x; y) =2xy�yz sen(xyz)xy sen(xyz)�2z .

zy (x; y) =x2�xz sen(xyz)xy sen(xyz)�2z .

b) zx(x; y) = �2pz(2x2+4xz�1)

xy+2yz�4pz.

zy (x; y) = � 2z(x+2z)

xy+2yz�4pz.

22. a) 0.

b) sen(2p3) (� cos

(2p3)).

c)1p6.

d)p3e.

23. (7;�2) o (�7; 2).24. No existe.

25. � 7p5.

26. a) Asciende.

b) Desciende.

c) En la del gradiente de z = f (x; y) en el punto (60; 40). 1

27. Los puntos de la recta x � y = �1.28. 9

2a3.

29.

30. a)

b) 3x + 4y + 6z � 22 = 0. 6x + y � z � 11 = 0.

31.

32. P1

(2�

√387 ;�1

2 �√

1914 ;�1

2

√1914

). P2

(2 +

√387 ;�1

2 +

√1914 ;

12

√1914

).

22

Extremos

1. a) M�aximo en(�5

3 ; 0). Punto silla en (�1;�2) y (�1; 2). M��nimo en (0; 0).

b) M��nimo en (0; 0).

c) M��nimo en(12 ;�1

).

d) No hay puntos cr��ticos.

e) Punto silla en (0; �k) con k 2 Z.

2.(74 ;

94 ; 2

).

3. El m�aximo de la funci�on f (�; �; ) = sen� sen� sen con la condici�on �+ � + = �2 para

� > 0, � > 0, > 0 es 18 .

4. 24.

5. Un cubo.

6. El punto m�as cercano es P(12 ;

12 ;

12

); el m�as alejado es Q(�1;�1; 2).

7. 913� y 25�.

8. 45p3.

9. a) M��nimo absoluto 0. M�aximo absoluto 26.

b) M��nimo absoluto �9. M�aximo absoluto 3.

c) M��nimo absoluto 14pe. M�aximo absoluto 4

pe.

d) M��nimo absoluto 0. M�aximo absoluto 8e4.

23

Funciones vectoriales

1. a)

1

−1

−2

1−1−2x

y

b)

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3x

y

c)

1

−1

1−1−2x

y

d)

1

−1

1−1−2

u

x

y

e)x y

z

u

f )x y

z

u

g)

x y

z

u

2. (3; 1) y (0; 2; 0).

3. a)p13�.

b) e2.

4.

#»r (t) � #»r (t) = j #»r (t)j2 ;d

dt#»r (t) � #»r (t) =

d

dtj #»r (t)j2 ;

#»r 0(t) � #»r (t) + #»r (t) � #»r 0(t) = 0;

2 #»r 0(t) � #»r (t) = 0;#»r 0(t) � #»r (t) = 0:

Luego #»r 0(t)? #»r (t), 8t.

5. a)

x = 1

4 + t;

y = 13 + t;

z = 12 + t; 8t:

x = ap

2� atp

2;

y = ap2+ atp

2;

z = k8 + kt

2� ; 8t:

24

Integrales m�ultiples

1. a) 0.

b)�2

2.

c)1

e� e.

2. a)

∫ 3

0

∫ 5

0

xy dy dx =

∫ 5

0

∫ 3

0

xy dx dy =225

4.

b)

∫ 2

0

∫ 2x

x

y

x2 + y2dy dx =

∫ 2

0

∫ y

y2

y

x2 + y2dx dy +

∫ 4

2

∫ 2

y2

y

x2 + y2dx dy = ln

5

2.

c)

∫ 4

0

∫ px

0

y

1 + x2dy dx =

∫ 2

0

∫ 4

y2

y

1 + x2dx dy =

1

4ln 17.

3. a)1

6.

b)1

40

(21� 8

p2).

4. a)25

3.

b) 2�.

c)128

3.

5.

∫ 8

1

∫ y

3py

f (x; y) dx dy .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8x

y

y = x3 y = xS

6. masa = 223 . CM

(911 ;

2711

). Ix = 682

15 , Iy = 203 .

7. masa = k�a3=6, CM(3a2� ;

3a2�

).

8. a) masa = 352p11

5 . CM(26756 ; 0

). Ix = 1936

p11

7 , Iy = 251416p11

105 .

b) masa 2215 . CM

(107 ;

611

). Ix = 24

35 , Iy = 14845 .

9. a)4p2�

3.

b)625

16.

25

10. a)1

8.

b) 12�.

c)112

3�.

11. a = 2

√2(2� 3

p2).

12. 43�a

3.

13. a) 6�(2 + 3�).

b)1

364.

c)ln 2

2� 5

16.

d)�

6.

14. a) 81�.

b)

(0; 0;

15

8

).

c) Ix = Iy = Iz =1

30.

15. a)16�

3.

b) 8.

16. a) �8 .

b)7�a4

6.

17. a)2

3

(5p5� 4

)�.

b)32

9.

c)1

6.

18. a) 0.

b)2

3�

(4� � 3

p3).

19. Consideramos el cilindro s�olido E ={(x; y ; z) : x2 + y2 � a2; 0 � z � h

}. El eje de simetr��a

de este cilindro es el eje z . Adem�as el valor de h se puede expresar en funci�on del radio del

cilindro y la masa m:

Masa = densidad� volumen;

m = k�a2h;m

k�a2= h:

Finalmente

Iz =

$E

(x2 + y2

)k dV =

∫ 2�

0

∫ a

0

∫ m

k�a2

0

kr3 dz dr d� =ma2

2:

26

Integrales de l��nea y aplicaciones

1. a) 1 +p2.

b) 2a3�2 + 4a3�4.

c) 15.

2.1

54

(10p10� 1

).

3. 450.

4.p13�2 .

5. masa =2

3

p2�

(3 + 4�2

). CM =

6

3 + 4�2;� 6�

3 + 4�2;3�

(1 + 2�2

)3 + 4�2

. Ix =�(5+40�2+64�4)

5p2

.

Iy =�(15+40�2+64�4)

5p2

. Iz = 23

p2�

(3 + 4�2

).

6. a) �4

3. b) 0. c) 0.

7. a) �2� b) ��.

8. a) 65 . b) 5

3 .

9. b = �.

10. a) f (x; y) =x2

2+y2

2.

b) f (x; y) =x3

3� xy2.

c) f (x; y ; z) =x2

2+ xz � y2

2� yz .

d) f (x; y ; z) = y2 sen x +xz4

4� 4y + 2z .

11. a) f (x; y) = exy .

b) f (x; y ; z) = xyz + 6.

12. a) �13824 + 25 sen 24.

b)11

15.

c)1

e� e.

13. a)1

5.

b) 18�.

14. a) � 2

15.

b)225

2.

15. a)3

8�.

b)3

4�.

16. ��.

27

Integrales de super�cie

1. a) 3p3x � 6y + 2z � 6 = 0.

b) 12x + 3z � 12p2 = 0; 8y .

c) 2� 3y + z = 0; 8x .

2.p3�.

3. 16 (� � 2).

4. 6.

5. a) 712 . b) 1

60

(1 + 391

p17

)�. c) 1

16�2(3p2� ln

(1 +

p2)).

6. 45�k

2p2.

7. Masa = 352p10�

27 . Iz = 435281

√25�.

8.(a2 ;

a2 ;

a2

).

9. 43�.

10. 23�a

3.

11. �45�.12. 5 (� � 4).

13. a) 0. b) 4.

14. a) rot#»

F (x; y ; z) = (0; 0; 0), div#»

F (x; y ; z) = 2 (x + y + z).

b) rot#»

F (x; y ; z) = (2; 2; 6), div#»

F (x; y ; z) = 2.

c) rot#»

F (x; y ; z) =(0; z2 sen

(xz2

); x (�exy )� y sen(xy)

), div

#»

F (x; y ; z) = yexy�x sen(xy)�2xz sen

(xz2

).

15. No.

16. (�yz; 0; xy).17. � = �2.18. a) 3.

b) 0.

19. 25�.

20. 0.

21. �4�.22. 11�.

23. �2�.24. 0.

25. 36�.

26. 1320�.

28

Ecuaciones diferenciales

1. a) y = x +1

2(y 0 � 1) tan x .

b) 3x2y + y6 � 5x3y 0 = 0.

c) x2 (1� ln x) y 00 + xy 0 � y = 0.

d) y =

(y 0 � y 00

x + 1

x + 2

)x +

x

x + 2y 00.

2. a) y = 2ex2

+ 1.

b) y = �3e4x + 5e8

e4x � 5e8.

c) y = arcsec (ln jcos x j+ 2).

3. a)

(y

x

)2= cx2 � 1.

b) y =1

2

(�x +

p3x tan

(c �

p3

2ln jx j

)).

c) y2 = x2 + cx .

4. a) y = c1e�x +

1

2e�xx2.

b) y = c1ex2 + ex

2

x .

c) y = c1x � x cos x .

d) y = c1x +x3

2.

5. y =1

4(ec1x � 1)2.

6. a) x cos y + y sen x + c = 0.

b) xy + k = 0.

7. a) y = x senh (c1 � ln jx j).b) y = c1 cos x � 2 cos2 x .

c) y = c1x2 +

x5

3.

d) y = ln jc1 csc x � 1j.e) y = x arc sen (c1x).

f ) y =3

2

(2x senh2

(1

2(c1 � ln jx j)

)+ x

).

g) y =x(x2 � ec1

)ec1 + x2

:

h) y =c1(x + 1)

x� e�x

2

(x + 1)

2x.

i) y = x senh (c1 + ln jx j).

j) y =c1

4p2� x

4px + 2

.

k) y = c1e�x � e�xx .

8. a) y = c1e�4x + c2e

�3x .

29

b) y = c1e�x sen(2x) + c2e

�x cos(2x).

c) y = c1e2x + c2e

2xx .

d) y = c1ex=4 + c2e

�x .

e) y = c1e�3x + c2e

�3xx .

f ) y = c1e�2x=5 + c2e

�2x=5x .

g) y = c2 sen(2x) + c1 cos(2x).

9. a) y = 0.

b) y = �e2�x(x � 3).

10. a) y = c1e3x + c2e

�3x +1

45

(�27e2x � 5

).

b) y = c2 sen(4x) + c1 cos(4x) +1

128

(40x2 + 8x � 1

).

c) y = c2 sen(3x) + c1 cos(3x) +2

81

(9x2 � 18x + 7

).

d) y = c2exx + c1e

x +1

12ex

(x2 � 36

)x2.

e) y = c1e�3x + c2e

x +1

8(4exx � ex + 16 sen x + 8cos x).

f ) y = c1e�x + c2e

3x � 2

25(5x sen x � 7 sen x + 10x cos x + cos x).

g) y =1

2

(c1e

2x � ex sen(x))+ c2.

h) y = c2e�2xx + c1e

�2x +1

4e�2x(x + 2)x3.

i) y = c1e�x sen x + c2e

�x cos x � 15xe�x cos x .

11. a) y = x sen x + cos x log j cos x j.b) y =

1

192

((�16x3 + 6x + 384

)cos(2x) + 3

(4x2 � 33

)sen(2x)

).

c) y = �e3x�3(e3x + 6x + e3 ln jx j � e3 � 8

).

12. a) y = 10� 5e�t=50, t � 0.

b) 7:26 kg.

c) 45:81 min.

13. 11 : 04 AM.

14. 11 : 45 : 42 AM.

15. 49�49e� kt5

k , t � 0.

30