1ANLISIS DE ESTADO TRANSITORIO YESTABLE DE UN MOTOR DC (SERIE)

Parra Ana Mara (aparraa@est.ups.edu.ec)Calle Kevin (kcalleu@est.ups.edu.ec)

Pulla Christian (cpullac@est.ups.edu.ec)Arias Henry (hariasa@est.ups.edu.ec)Torres Tania (ttoresj@est.ups.edu.ec)

UNIVERSIDAD POLITCNICA SALESIANASEALES Y SISTEMAS

ResumenEn este trabajo se presenta el anlisis y modela-do matemtico de un motor de corriente continua en estadotransitorio y estable. Se ha desarrollado el modelo matemticousando ecuaciones diferenciales y a su vez tambin se desarrolloel anlisis respectivo en trminos de las variables fsicas que setiene en el motor; desde el estudio del anlisis elctrico comomecnico, y mediante la transformada de Laplace se procediasimilar su comportamiento y los fenmenos que se producen.Adicionalmente se ha simulado y se ha obtenido la respuesta dela corriente tanto en estado transitorio como en estado estable ypara esto se utilizo SIMULINK, una herramienta del programaMATLAB.

Index TermsMaquinaria elctrica, Motor DC serie, Trans-formada de Laplace, SIMULINK.

I. OBJETIVOS

Aplicar la transformada de Laplace en las ecuacioneselctricas y mecnicas de un motor DC serie, para hallarla corriente en el estado transitorio, estado estable y larespuesta al impulso del sistema.

Analizar el estado transitorio de la corriente en el motorserie.

Comprobar los resultado obtenido del modelo equivalen-te, con el funcionamiento real del motor serie.

II. INTRODUCCIN

Los motores de corriente continua son los ms comunes yeconmicos, permiten un amplio rango de velocidad y puedenproporcionar un alto par-motor con control ms sencillo y eco-nmico que cualquier motor de corriente alterna. Para poderanalizar su comportamiento en estado estable y transitorio serequiere del conocimiento matemtico del sistema, unidades delas constantes que aparecen en el modelo, seleccin adecuadade las variables a analizar y conocimientos de desarrollo deecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplacey a su vez para poder observar el comportamiento un simuladorel cual para objeto de estudio se utiliza SIMULINK unaherramienta del programa MATLAB. La seleccin de variablesno es evidente, en este caso se analizara el fenmeno que

ocurre en la corriente tanto en estado estable como transitorio.Para esto el motor a utilizar ser un motor serie y se tendr unanlisis fsico que explota el conocimiento sobre los parme-tros y las unidades fsicas del motor de corriente continua, ascomo cierta experiencia en identificar constantes de tiempo ensistemas elctricos y mecnicos, y al mismo tiempo se tendrun anlisis matemtico, pues actan las leyes de la fsica tantomecnicas como elctricas. Dentro del trabajo se presenta unasimulacin y se determina el comportamiento de la corriente.Finalmente se concluye analizando los resultados obtenidos dela simulacin con el modelo matemtico determinado.

III. MARCO TERICOIII-A. MQUINAS DC

Las mquinas de corriente continua trabajan como motoreso como generadores, dependiendo de la direccin de flujo depotencia que circule a travs de la mquina. En el caso de losmotores existen cinco tipos de configuracin como:

1. Motor de excitacin separada.2. Motor en derivacin.3. Motor de imn permanente.4. Motor serie.5. Motor compuesto.

[1]

III-B. MOTOR SERIEIII-B1. DEFINICIN: Este tipo de motor se caracteriza

por su conexin en serie con la resistencia de la armadura,en serie con el circuito del inducido como se muestra en laFigura 3. Todas las corrientes son iguales tanto en el campo,el inducido y la lnea.

El comportamiento principal de un motor serie es: Qu elflujo es directamente proporcional a la corriente del induci-do1. Podemos tambin decir de este motor que si le coloca-mos carga mecnica y la vamos aumentando, incrementar sucorriente, por ende el flujo; y disminuir su velocidad.

1CHAPMAN, S. Mquinas Elctricas, Quinta Edicin, Editorial McGraw-Hill.Capitulo 8, pg, 366

2En la Figura 3. podemos apreciar el comportamiento de unmotor serie. La grfica representa la velocidad con respecto alpar, donde su cada es pronunciada.

[2]

Figura 1. Curva caracterstica del Motor Serie.

III-B2. FORMA DE CONEXIN: Se conecta en serieuna inductancia a la armadura del motor, las cuales estnalimentadas por un voltaje continuo desde una fuente comose muestra en la Figura 2

Figura 2. Conexin del motor serie en configuracin serie

Y el circuito equivalente se presenta en la siguiente figura:

Figura 3. Circuito equivalente de un Motor Serie

III-B3. ECUACIONES ELCTRICAS Y MECNICAS: Apartir de la Figura 3 podemos deducir las ecuaciones elctricas:

Tomando en cuenta que:

IA = IS = IL

Entonces:

VT = EA + IARA (1)

En la ecuacin mecnica debemos considerar la velocidaddel motor, el torque, la inercia y la constante de viscosidaddel motor y la carga.

Tenemos la siguiente ecuacin:

Te = Jm + Bm + Tm (2)

[4]Donde:

= Velocidad angular del motor.

Tm, Tc =Par electromagntico motor.

Jm = Momento de Inercia del motor.

Bm = Constante viscosa del motor.

III-B4. VENTAJAS Y DESVENTAJAS: La ventaja princi-pal de la configuracin de este motor es su fcil control de lavelocidad, como tambin su alto par de torsin, es un motorpequeo y tiene una alta relacin potencia-peso.

La desventaja de este motor es que siempre tiene quepartir su funcionamiento con carga nominal, debido a su altotorque, y si no tiene carga nominal este puede acelerarse yauto destruirse.

III-B5. APLICACIONES: Debido a las propiedades de es-te motor, como el aumento la corriente consumida al aplicarseuna carga; y el nmero de revoluciones decreciente, los cam-bios de velocidad pueden ser controlados mediante la variacindel voltaje VT y tambin mediante la variacin de la resistenciade armadura. Es utilizado en trenes, tranvas, trolebuses,gras2 donde es necesario un alto torque a velocidades lentas,como tambin ocurre en los ascensores.[2]

III-C. ESTADO TRANSITORIO DE UN MOTOR SERIE

En el arranque de los motores elctricos se denominargimen transitorio cuando elevamos la velocidad del motordesde que est detenido hasta cuando el motor alcanza lavelocidad que se necesita y se estabiliza, a lo que llamamosrgimen permanente.

IV. DESARROLLO

IV-A. ECUACIN QUE MODELA EL COMPORTAMIENTODE LA CORRIENTE EN EL ESTADO TRANSITORIO DELMOTOR DC

En el circuito de la Figura 3 tenemos los siguientes datos:

RA = 7,4

LS = 17,3mH

Bm = 3,0737 103NmsradJm = 6,8354 103kg m2

2MORA, J, Mquinas Elctricas. Quinta Edicin, Editorial McGraw-Hill,Captulo 6, pg 527

3k = 0, 8568V sradDonde:k - constante de la fuerza contraelectromotrizAplicando los voltajes de Kirchhoff en el circuito de la

Figura 3, tenemos:

VA = RAiA + LdiAdt

+ EA (3)

Para obtener la funcin de transferencia del sistema se hallala transformada de Laplace de la ecuacin 3. para establecerla relacin entrada-salida.

L{VA} = L{RAIA + LS

diAdt

+ EA

}

VA (S) = RAIA (S) + LS [SIA (S) i (0)] + EA (S)Consideramos las condiciones iniciales i (0) = 0

VA (S) = RAIA (S) + LS [SIA (S)] + EA (S)

VA (S) EA (S) = IA (S) (RA + LSS)

H (S) =IA (S)

VA (S) EA (S) =1

RA + LSS(4)

Ahora resolvemos la parte mecnica del motor

TE = Jm + Bm + Tm (5)

Tm va a ser cero porque no existe carga.

Aplicamos Laplace a toda la ecuacin 5 mecnica.

L{Te} = L{Jm

d(t)

dt+ Bm + Tm

}Te (S) = Jm [S (S) (0)] + Bm (S)

Te (S) = (S) (JmS + Bm)

KIA (S) = (S) (JmS + Bm)

Despejamos (S)

(S) =KIA (S)

JmS + Bm(6)

EA = K (S) (7)

Sustituimos la ecuacin 7 en la ecuacin 4.

VA (S)K (S) = IA (S) (RA + LSS) (8)Sustituimos la ecuacin 6 en la ecuacin 8

VA (S)K(

KIA (S)

JmS + Bm

)= IA (S) (RA + LSS)

VA (S) = IA (S)

[RA + LSS +

K2

JmS + Bm

]

VA (S) = IA (S)

[(RA + LSS) (JmS + Bm) + K

2

JmS + Bm

]Sabiendo que:

VA (S) =K

S

IA (S) =(JmS + Bm)K

S (RA + LSS) (JmS + Bm) + K2

IA (S) =(JmS + Bm)K

S (RAJmS + S2LSJm + BmRA + BmLSS + K2)

IA (S) =(JmS + Bm)K

S (S2LSJm + S (RAJm + BmLS) + BmRA + K2)(9)

Reemplazando los valores en la ecuacin 9 tenemos:

IA (S) =8568 (68354 S + 30737)

S (11825242 S2 + 5063513501 S + 75685162000)

Mediante CAS encontramos la inversa de Laplace

IA(t) = 0,121e15509t 0,125 (5,923180t) + 0,003 (10)

IV-B. GRFICAS OBTENIDAS A PARTIR DE LA ECUA-CIN DE CORRIENTE

Figura 4. Grfica de la ecuacin

Podemos apreciar en la Figura 4 que la corriente en el arran-que del motor tiene un pico y luego una cada exponencial,hasta que despus de cierto tiempo (0.35s) se estabiliza en4.28mA aproximadamente como se muestra en la Figura 5.

4Figura 5. Estabilizacin de la corriente

IV-C. MEDICIONES DEL MODELO REAL DEL MOTORDC CONFIGURACIN SERIE

Con la ayuda de un osciloscopio y una sonda atenuada decorriente podemos realizar la medicin de la corriente desdesu estado transitorio hasta su estabilizacin. Las imgenes deestas mediciones se presentan en las Figuras 6, 7 y 8.

En la Figura 6 podemos ver el pico mximo de la corriente:122mA.

En la Figura 7 tenemos una captura mas notable del estadotransitorio y permanente que nos ayudar con el anlisis.

En la Figura 8 tenemos la estabilidad de la corriente a 500mscon una amplitud de 5mA.

Figura 6. Pico de corriente medido

Figura 7. Toma del estado transitorio y permanente de la corriente del motor

Figura 8. Estabilidad de la corriente del motor DC

IV-D. SIMULACIN DEL MOTOR DC CONFIGURACINSERIE

Figura 9. Esquema para la simulacin de Simulink

Figura 10. Resultado de la Simulacin

V. ANLISIS

Con la deduccin de ecuaciones mediante las leyes deKirchhoff del circuito equivalente de un motor DC en configu-racin serie y las ecuaciones que modelan la parte mecnicadel motor, se puede combinarlas; y con la ayuda de latransformada de Laplace de la funcin de corriente podemosllegar a determinar tanto el estado transitorio como el estado

5permanente de la misma, entonces con la ecuacin 10 podemosdar valores al tiempo y obtener la grfica como se muestraen la Figura 5 donde podemos ver que la estabilizacin dela corriente se da a los 4.8mA y alcanza un pico mximocercano a los 120mA como tambin ocurre en la medicinreal; y lo podemos observar en la Figura 6 donde se ve que elpico mximo que toma la corriente en el arranque del motor(122mA), y una estabilidad de la corriente en 5mA luego dea ver transcurrido 500ms presente en la Figura 8 que sonprximos los valores a los calculados, y adems en la partede simulacin de la Figura 10 el pico mximo se da cerca delos 120mA y la estabilizacin a los 350ms.

Cuadro IRESULTADOS

Valores Reales SimuladosPico de corriente 122mA 111 mA

Estabilidad de la corriente (tiempo) 500mS 350mSEstabilidad de la corriente (magnitud) 5mA 4.8mA

Como podemos observar, existe una pequea diferenciaentre lo medido y lo simulado esto se debe, a la no exactituddel rendimiento del motor, o los parmetros internos de losinstrumentos de medicin.

De todas maneras, hemos comprobado que hay una aproxi-macin de los resultados medidos con los simulados

VI. CONCLUSIONES

El modelo matemtico de la mquina permite analizarel comportamiento de cada variable. Es una forma deadquirir datos que contiene un sistema relacionando suentrada y salida. En este caso se analiz la corriente ycomo se estabiliza a lo largo del tiempo.Al aplicar la transformada de Laplace se puede obtenerel comportamiento del motor en su estado transitorio yestable, ya sea su velocidad angular, corriente, voltaje,torque, etc. de una manera muy aproximada a la real,obtenida mediante los equipos de medicin como elosciloscpio en su configuracin de rgimen transitorio.Es importante aplicar una carga en un motor en serie sise arranca con su voltaje nominal. Posee un gran torquede arranque y su velocidad tiende a crecer cada vez ms.Si se aplica un voltaje de entrada menor al nominal, elmotor no tiende a acelerar hacia el infinito.En distintas aplicaciones de motores en serie se acos-tumbra a colocar arrancadores para evitar los picos decorriente y tener un arranque suave.SIMULINK es una herramienta eficiente y de granprecisin para desarrollar, modelar y simular diferentesmodelos matemticos.El anlisis de los motores de corriente continua, medianteel uso de un modelo matemtico resulta de suma utilidadpara poder anticipar los diferentes comportamientos de lamaquina, ahorrando tiempo y evitando eventos indesea-dos, ya sea algn dao a largo plazo o el rendimientoque nos proporciona nuestra maquina.

REFERENCIAS[1] CHAPMAN. S, Mquinas Elctricas, Quinta Edicin, Editorial McGraw-

Hill.Capitulo 8.[2] MORA, J, Mquinas Elctricas. Quinta Edicin, Editorial McGraw-Hill,

Captulo 6.[3] MARTINEZ, O, Anlisis de las no linealidades del motor de cd para

efectos del modelado matemtico en teora de control, TESIS, UNIVER-SIDAD VERACRUZANA, PDF.

[4] FITZGERALD, A, Teora y anlisis de las mquinas elctricas. SegundaEdicin, Editia Mexicana.