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Tema 4
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Tema 4
Análisis de Sistemas en el Dominio de la Frecuencia
Gijón - Junio 2005 1
Dominio de la Frecuencia
Indice
• 4.1. Respuesta en frecuencia
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
• 4.1. Respuesta en frecuencia
• 4.2. Representaciones de la respuesta frecuencial
– 4.2.1. Diagrama de Bode
– 4.2.2. Diagrama Magnitud-Fase
– 4.2.3. Diagrama Polar
Gijón - Junio 2005 2
Análisis en el Dominio de la Frecuencia
• Respuesta de los sistemas ante entradas de tipo senoidal.
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
• Respuesta de los sistemas ante entradas de tipo senoidal.
• Entrada: Señales senoidales de distinta frecuencia f (o pulsación ω=2π·f)
y, generalmente, de la misma amplitud M.
• Salida:
Régimen transitorio: La señal se va convirtiendo poco a poco en una senoide.
Régimen permanente: La señal es una senoide de igual frecuencia que la
∞→= 0:)()··(·)( 0 ωω tutsenMtx
Gijón - Junio 2005 3
Régimen permanente: La señal es una senoide de igual frecuencia que la
entrada, pero con distinta amplitud y fase. La diferencia es función de
la frecuencia.
))(·(··)()( ωωω jGtsenMjGtyRP +=
Respuesta a una Entrada Senoidal (I)Y(s)X(s)
G(s)
4 Transitorio Permanente
ω ω ω
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
)()···sen()( 0 tutMtx ω=
]/[51 sradM == ω
G(s)x(t) y(t)
155
75)(
2 ++=
sssG
])()( sGjG ω =
0
1
2
3
M =
N |G(jω)|=N/M |G(jω)= to·ω [rad]
to<0 T=2π/ω=1/f
π/ω 2·π/ω 3·π/ω
y(t)
x(t)
Gijón - Junio 2005 4
]
][·)(
)(
)()(
radtjG
M
NjG
sGjG
o
js
ωω
ω
ω ω
=
=
= =
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -3
-2
-1
))(·(··)()( ωωω jGtsenMjGtyRP +=
2
y(t)
Transitorio Permanente
Respuesta a una Entrada Senoidal (II)Y(s)X(s)
G(s)
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
0
0.5
1
1.5
y(t)
x(t)
M =
N
to<0 T=2π/ω=1/f
|G(jω)|=N/M
|G(jω)= to·ω [rad] )()···sen()( 0 tutMtx ω=
G(s)x(t) y(t)
155
75)(
2 ++=
sssG
]/[101 sradM == ω
])()( sGjG ω =
Gijón - Junio 2005 5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1
-0.5
0 ]
][·)(
)(
)()(
radtjG
M
NjG
sGjG
o
js
ωω
ω
ω ω
=
=
= =
))(·(··)()( ωωω jGtsenMjGtyRP +=
Representaciones de la Respuesta Frecuencial
• Diagrama de Bode:
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
• Diagrama de Bode:
Dos curvas en función de la frecuencia f [Hz] o de la pulsación ω [rad/s], en
escala logarítmica.
–Relación de amplitudes A(ω) = 20·log|G(jω)| [dB]
–Angulo de fase Ψ(ω) = |G(jω) [º]
• Diagrama Magnitud-Fase:
Relación de amplitudes A(ω) [dB] en función del Angulo de fase Ψ(ω) [º]
Gijón - Junio 2005 6
Relación de amplitudes A(ω) [dB] en función del Angulo de fase Ψ(ω) [º]
con la frecuencia o pulsación como parámetro.
• Diagrama Polar:Lugar geométrico de los afijos de los vectores G(jω) cuando ω:0→∞
Diagrama de Bode (I)
• La relación de amplitudes en
decibelios [dB]:
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
][ºº180
·)()(rad
radjGπ
ωω =Ψ
][)(·log20)( dBjGA ωω =
decibelios [dB]:
• El ángulo de fase en grados [º]:
•La frecuencia f [Hz] o la pulsación
ω [rad/s] en escala logarítmica
•Multiplicar o dividir por 10 a
|G(jω)| supone sumar o restar 20 dB
Gijón - Junio 2005 7
|G(jω)| supone sumar o restar 20 dB
a A(ω).
• Multiplicar por 10 la frecuencia
supone subir una década y por 2
una octava.
Diagrama de Bode (II)• Para trabajar con el diagrama de Bode se sustituye s=jω en la función de
transferencia del sistema y se expresa con los términos independientes de
cada polinomio iguales a 1.
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
∏ ∏
∏ ∏
= =
= =
+++
+++
=L
l
M
m nmnm
ml
N
P
p
Q
q nqnq
q
p
sssTs
sssTK
sG
1 1
2
1 1
2
··2
1)··1(·
··2
1)··1(·
)(
ωω
ξ
ωω
ξ
( ) ∏ ∏
∏ ∏
= =
= =
+++
+++
=L
l
M
m nmnm
ml
N
P
p
Q
q nqnq
q
p
jjjTj
jjjTK
jG
1 1
2
1 1
2
··2
1)··1(·
··2
1)··1(·
)(
ω
ωω
ω
ξωω
ω
ωω
ω
ξω
ω
cada polinomio iguales a 1.
• Se puede estudiar la respuesta en frecuencia del sistema analizando por
separado la respuesta de cada uno de los elementos de la función de
Gijón - Junio 2005 8
separado la respuesta de cada uno de los elementos de la función de
transferencia. La suma de todos los resultados será la respuesta del conjunto.
( )
++
+
+++
2
2
··2
1
1;
)·1(
1;
1;·
·21;)·1(;
nn
N
nn jj
jTj
jjjTK
ω
ωω
ω
ξωωω
ωω
ω
ξω
Respuesta de un término constanteBode (Amplitudes)
AsintóticoKjGKsG == )()( ω
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
10-1
100
101ω (rad/s)
Asintótico
Real
90Bode (Fases)
Asintótico
A(ω)=20·log|K| [dB]
K>0
KjGA · log20)(·log20)( == ωω
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10-1
100
101
-270
-180
-90
0
ω (rad/s)
RealK>0
K<0
<−
>==
0º180
0º0)()(
Ksi
KsijG ωωψ
Respuesta de un polo en el origen
20Bode (Amplitudes)
Asintóticoωω
jjG
ssG
1)(
1)( ==
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
10-1
100
101
-20
-10
0
10
ω (rad/s)
Asintótico
Real
90Bode (Fases)
Asintótico
-20 dB/dec
ωω
jjG
ssG )()( ==
ωω
ωωω
· log20·log201·log20
1·log20)(·log20)(
−=−=
===j
jGA
−=⇒=
=⇒=
=⇒=
dBA
dBA
dBA
20)10(10
0)1(1
20)1.0(1.0
ω
ω
ω
Gijón - Junio 2005 10
10-1
100
101
-270
-180
-90
0
ω (rad/s)
Asintótico
Real
∞→∀
−=−===Ψ
0:;
º9011
)()(
ωω
ωω
ωω jj
jG
Respuesta de más de un cero o polo en el origenBode (Amplitudes)
AsintóticoNN
jjGssG±± == )()()( ωω
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
10-1
100
101ω (rad/s)
Asintótico
Real
Bode (Fases)
Asintótico
±N·20 dB/dec0
jjGssG == )()()( ωω
( ) ωω
ωω
· log20··log20
)(·log20)(
Nj
jGA
N±==
==
±
)0)1(1( dBA =⇒=ω
Gijón - Junio 2005 11
10-1
100
101ω (rad/s)
Asintótico
Real
±N·90º
º90··
)()()(
NjN
jjGN
±=±=
===Ψ ±
ω
ωωω
Respuesta de un polo realω
ωjT
jGsT
sG·1
1)(
·1
1)(
+=
+=
2)·(1·log20)( TA ωω +−=
)·arctg()( Tωω −=Ψ
→Ψ⇒→ º0)(0Si ωω
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
)·(1·log20)( TA ωω +−=
0
20
Bode (Amplitudes)
Asintótico
Real
Error max. 3 dB
1/T
0
90
Bode (Fases)
Asintótico
Real
-45º/dec
0.1/T 10/T
(Ejemplo para T=1)
−→Ψ⇒∞→
→Ψ⇒→
º90)(Si
º0)(0Si
ωω
ωω
Gijón - Junio 2005 12
10-2
10-1
100
101
102
-40
-20
ω (rad/s)
-20 dB/dec
10-2
10-1
100
101
102
-180
-90
ω (rad/s)
Respuesta de un cero real ωω jTjGsTsG ·1)(·1)( +=+=
2)·(1·log20)( TA ωω +=
)·arctg()( Tωω =Ψ
→Ψ⇒→ º0)(0Si ωω
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
)·(1·log20)( TA ωω +=
20
40
Bode (Amplitudes)
+20 dB/dec
1/T
90
180
Bode (Fases)
+45º/dec
0.1/T 10/T
(Ejemplo para T=1)
→Ψ⇒∞→
→Ψ⇒→
º90)(Si
º0)(0Si
ωω
ωω
Gijón - Junio 2005 13
10-2
10-1
100
101
102
-20
0
ω (rad/s)
Asintótico
Real
10-2
10-1
100
101
102
-90
0
ω (rad/s)
Asintótico
Real
+45º/dec
Respuestas de otros ceros o polos reales
• Para N polos o ceros con la misma frecuencia de corte, las pendientes de los
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
• Para N polos o ceros con la misma frecuencia de corte, las pendientes de los
trazados asintóticos de cada representación se multiplican por N. También se
multiplica por N el error de representación.
• Si los signos del los coeficientes del polinomio que representa al polo o cero
real cambian, la curva de relación de amplitudes no cambia, pero la de fases si.
Ceros ω→0 ω→ ∞ Polos ω→0 ω→ ∞
(1+T·jω) 0º → 90º 1/(1+T·jω) 0º → -90º
Gijón - Junio 2005 14
(1+T·jω) 0º → 90º 1/(1+T·jω) 0º → -90º
(1-T·jω) 0º → -90º 1/(1-T·jω) 0º → 90º
(-1+T·jω) 180º → 90º 1/(-1+T·jω) -180º → -90º
(-1-T·jω) -180º → -90º 1/(-1-T·jω) 180º → 90º
Respuesta de un par de polos complejos (I)
2222 )·()/1()·/·2(1
1)(
·)/1()·/·2(1
1)(
ωωωωξω
ωωξ jjjG
sssG
nnnn ++=
++=
10 << ξ
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
( )[ ] ( )2222
/··4/1·log20)( nnA ωωξωωω +−−=
( )( )
−−=Ψ
2/1
/··2arctg)(
n
n
ωω
ωωξω
0
20 Bode (Amplitudes)
Asintótico
Real20·logMr
ωr
ωn
Pico de Resonancia
-90
0
90 Bode (Fases)
Asintótico
Real
0.1·ωn 10·ωn
−=
−=
<<
2
2
·21·
1··2
1
707.00
ξωω
ξξξ
nr
rM
si← Pico de Resonancia
← Frecuencia de Resonancia(Ejemplo para ωωωωn=1, ξξξξ=0.1)
−→Ψ⇒∞→
→Ψ⇒→
º180)(Si
º0)(0Si
ωω
ωω
Gijón - Junio 2005 15
10-2
10-1
100
101
102
-40
-20
ω (rad/s)
-40·dB/dec
10-2
10-1
100
101
102
-270
-180
-90
ω (rad/s)
-90º/dec
Respuesta de un par de polos complejos (II)
22 ·)/1()·/·2(1
1)(
sssG
nn ωωξ ++=
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
·)/1()·/·2(1 ss nn ωωξ ++
Comparación de la respuesta en
22 )·()/1()·/·2(1
1)(
ωωωωξω
jjjG
nn ++=
Gijón - Junio 2005 16
Comparación de la respuesta en
frecuencia cuando se modifica el
parámetro ξ
Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (I)
)·25.0·5.01)·(·101·(
)·41·(20)(
)4·2)·(1.0·(
)25.0·(32)(
22ssss
ssG
ssss
ssG
+++
+=
+++
+=
===
Ψ
1·1001.0·1.01.0
)()(
corte de sFrecuencia
ppp
A
ωωω
ωω
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Fase
))·(25.0·5.01)·(·101·(
)·41·(20)(
2ωωωω
ωω
jjjj
jjG
+++
+=
Amplitud
===
===
===
20·102.0·1.02
5.2·10025.0·1.025.0
1·1001.0·1.01.0
nnn
zzz
ppp
ωωω
ωωω
ωωω
=
⇒=⇒
=
=
srad
dBM
r
rn
/41.1
24.115.1
5.0
2 Resonancia de Pico
ωξ
ω
Gijón - Junio 2005 17
Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (II)
Elemento Frecuencia de corte Cambio de
pendiente
Pendiente acumulada
K=20 ≡ 26 [dB] 0 dB/decNo tienen, frecuencia de corte.
• Tabla para el trazado asintótico de A(ω)
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
K=20 ≡ 26 [dB] 0 dB/dec
1/(j·ω) (ω=1 ⇒ 0 dB)
No tienen, frecuencia de corte.
Su representación es una recta
de pendiente -20db/dec que
pasa por 26 dB para ω=1
-20 dB/dec -20 dB/dec
(pendiente inicial)
1/(1+10·j·ω) ωp=0.1 -20 dB/dec -40 dB/dec
(1+4·j·ω) ωz=0.25 +20 dB/dec -20 dB/dec
1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) ωn=2 -40 dB/dec -60 dB/dec
Elemento ω→0 ω→∞
K=20>0 0º → 0º
ω -90º → -90º
Elemento Frecuencia de corte Cambio de
pendiente
Pendiente
acumulada
K=20>0 (0º) 0º/decNo tienen. Es una 0º/dec
• Tablas para el trazado asintótico de Ψ(ω)
Gijón - Junio 2005 18
1/(j·ω) -90º → -90º
1/(1+10·j·ω) 0º → -90º
(1+4·j·ω) 0º → 90º
1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) 0º → -180º
Total -90º → -270º
K=20>0 (0º) 0º/dec
1/(j·ω) (-90º)
No tienen. Es una
horizontal por -90º 0º/dec
0º/dec
(inicial)
1/(1+10·j·ω) 0.1·ωp=0.01 -45º/dec -45º/dec
(1+4·j·ω) 0.1·ωz=0.025 +45º/dec 0º/dec
1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) 0.1·ωn=0.2 -90º/dec -90º/dec
1/(1+10·j·ω) 10·ωp=1 +45º/dec -45º/dec
(1+4·j·ω) 10·ωz=2.5 -45º/dec -90º/dec
1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) 10·ωn=20 +90º/dec 0º/dec
Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (III)
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Gijón - Junio 2005 19
Diagrama Magnitud-FaseBodeMagnitud-Fase A(ω) [dB]A(ω) [dB] ψ(ω) [º]
4040 0
)4·2)·(1.0·(
)25.0·(32)(
2 +++
+=
ssss
ssG
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
20
0
20
0
-90
-180
ψ(ω)
A(ω)
A(ω1)
A(ω1)
ψ(ω1)
ω1
Gijón - Junio 2005 20
ψ(ω) [º] ω [rad/s]
-20-20 -270
-270 -180 -90 0 10-1
101ψ(ω1)
A(ω2)A(ω2)
ψ(ω2)
ψ(ω2) ω2=4
ω2
ω1=1
Diagrama Polar
)1·5()(
+=
ωω
jjG
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
0
1
2
ψ(ω1)= G(jω1)
ψ(ω2)= G(jω2)
G(jω1)
G(jω2)
ω=0
ω1
ω=inf
)1·1.0)(1·2.0)(1·4.0)(1(
)1·5()(
++++
+=
ωωωω
ωω
jjjj
jjG
Gijón - Junio 2005 21
-3
-2
-1ψ(ω2)= G(jω2)G(j 2)
ω2
Diagrama Polar (II)Bode Diagrams
80 -90
)4·2)·(1.0·(
)25.0·(32)(
2 +++
+=
ssss
ssG
ω→
ψ(ω)→-90º
ψ(ω)→-270º
(-270º)
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Magnitude (
dB
)
0
20
40
60
-210
-180
-150
-120
Phase (
deg)
A(ω)
ψ(ω)
-6 -4 -3 -2 -1 1
-4
0
-2
2
ω→∞
-5
ω→0
A(ω)→∞⇒|G(jω)|→∞
ψ(1.9)=-180º
A(1.9)≈13 dB⇒|G(j·1.9)|≈4.5
ω=1.9
ψ(ω)→-90º
|G(j·1.9)|≈4.5
ψ(1.9)=-180º
|G(jω)|→0
|G(jω)|→∞
(0º)(-180º)
Gijón - Junio 2005 22
Frequency (rad/sec)
Magnitude (
dB
)
-40
-20
10-1 100 10 1
-270
-240
10-2
-8
-6
-4
ω→0
ω→∞ψ(ω)→-270º
A(ω)→-∞⇒|G(jω)|→0ω=1.9
|G(jω)|→∞
(-90º)
Respuesta en Frecuencia de un Retardo Puro
x(t) y(t)=x(t-T)Y(s)X(s)
x(t) y(t)
G(s)=e-T·s
Retardo TX(s)
Y(s))( ·
esGsT== −
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
t tT
x(t) y(t)Retardo T
T = tiempo de retardo
][·)(
][0)(
·1)( ··
radT
dBA
TejGjT
ωωψ
ω
ωω ω
−=
=
−== −
BodeA(ω) [dB] ψ(ω) [º]
20
40 0
-90
ψ(ω)
1 Diagrama
Polar
Gijón - Junio 2005 23
ω [rad/s]
0
-20
-180
-2700.1/T
A(ω)
1/T 10/T
-1 1
-1
0