ANALISIS DE SEÑALES – FENOMENO DE GIBBS

En este documento se muestra de que manera realizar, la graficación de ondas senoidales convertidas en señales cuadradas, graficadas en Matlab. Cuando la función que se está desarrollando en Serie de Fourier tiene incontinuidades (señales de variación rápida) no es posible que haya una buena convergencia en los entornos de las discontinuidades. En tales entornos, las sumas parciales muestran tanto sobrevalores como subvalores alrededor del valor real de la función, que pueden llegar a un 18% del salto en la discontinuidad.

Cuando una función tiene una discontinuidad de salto en un punto, su serie de Fourier tiene un comportamiento especial en dicho punto. Este comportamiento se llama fenómeno de Gibbs. Este fenómeno consiste en que cerca del punto las sumas parciales de la serie de Fourier mantienen unas oscilaciones que no se hacen pequeñas. Alrededor de las discontinuidades de las funciones siempre aparecían saltos, que no se hacían pequeños por mucho que se aumentara el número de sumandos de la serie.

Se toma una señal con un número finito de discontinuidades (como el pulso cuadrado) y encontrando así su representación de series de fourier. Entonces se reconstruirá esta señal usando sus coeficientes de fourier. Vemos que entre más coeficientes se usen, la señal reconstruida se parece más y más a la señal original. Sin embargo, alrededor de las discontinuidades, se observan ondulaciones que no desaparecen. Al considerar el uso de más coeficientes, las ondulaciones se vuelven estrechas, pero no desaparecen. Cuando se llega a un número casi infinito de coeficientes, estas ondulaciones continúan ahí. Esto es cuando se aplica la idea de casi en todos lados. Mientras estas ondulaciones siguen presentes, el área dentro de ellas tiende a ser cero, lo que significa que la energía de las ondulaciones llega a ser cero. Lo que demuestra que su anchura tiende a ser cero y se logra saber que la reconstrucción de la señal es exactamente igual a la señal original excepto en las discontinuidades. Ya que se dice que pueden haber un numero finito de discontinuidades. Este fenómeno es un caso específico de una convergencia no-uniforme.

Para la ejecución de las gráficas se estructura un código fuente de la siguiente manera:

Este código recorre un arreglo de 27 posiciones, seleccionando los números impares, con el fin de realizar únicamente las gráficas de los armónicos 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 27. El ciclo for me permite realizar este procedimiento, luego se pregunta si ese primer valor encontrado es alguno de los números solicitados para la graficación de los armónicos, en caso de que sea así, se usará la función plot para la gráfica, en caso contrario, seguirá recorriendo el arreglo, hasta que finalice su tamaño de 27 posiciones.

t=-10:0.01:10;for n=1:1:27

if mod(n,2)~=0 if n==1 uno=sin(t); figure plot(uno); title('ARMONICO UNO'); xlabel('Tiempo en segundos'); ylabel('Amplitud'); axis([0 2000 -1.5 1.5]); else if n==3 tres=sin(t)+(sin(3*t))/3; figure plot(tres, ':g'); title('ARMONICO TRES'); xlabel('Tiempo en segundos'); ylabel('Amplitud'); axis([0 2000 -1.5 1.5]); else if n==5 cinco=sin(t)+(sin(3*t))/3+(sin(5*t))/5; figure plot(cinco, '-.r'); title('ARMONICO CINCO'); xlabel('Tiempo en segundos'); ylabel('Amplitud'); axis([0 2000 -1.5 1.5]); else if n==7 siete=sin(t)+(sin(3*t))/3+(sin(5*t))/5+(sin(7*t))/7; figure plot(siete, '--c'); title('ARMONICO SIETE'); xlabel('Tiempo en segundos'); ylabel('Amplitud'); axis([0 2000 -1.5 1.5]); else if n==9 nueve=sin(t)+(sin(3*t))/3+(sin(5*t))/5+(sin(7*t))/7+(sin(9*t))/9; figure plot(nueve); title('ARMONICO NUEVE'); xlabel('Tiempo en segundos'); ylabel('Amplitud'); axis([0 2000 -1.5 1.5]); else if n==11 once=sin(t)+(sin(3*t))/3+(sin(5*t))/5+(sin(7*t))/7+(sin(9*t))/9+(sin(11*t))/11; figure plot(once, ':g'); title('ARMONICO ONCE'); xlabel('Tiempo en segundos'); ylabel('Amplitud'); axis([0 2000 -1.5 1.5]);

else if n==27 veinsi=sin(t)+(sin(3*t))/3+(sin(5*t))/5+(sin(7*t))/7+(sin(9*t))/9+(sin(11*t))/11+(sin(27*t))/27; figure plot(veinsi, '-.r'); title('ARMONICO VEINTISIETE'); xlabel('Tiempo en segundos'); ylabel('Amplitud'); axis([0 2000 -1.5 1.5]); end end end end end end end end end

El resultado de este ejercicio es de la siguiente forma:

ARMONICO UNO

ARMONICO TRES

ARMONICO CINCO

ARMONICO SIETE

ARMONICO NUEVE

ARMONICO ONCE

ARMONICO VENTISIETE

CONCLUSIONES:

1. Matlab facilita la generación de señales senoidales con el fin de convertirlas en señales cuadradas o de pulso, de manera que sea sencillo mostrar los mismo valores, estas señales requieren de una representación vectorial de la variable tiempo de manera continua o discreta. Para realizar una simulación de un intervalo continuo, se usa un vector de valores discretos con un intervalo de muestreo muy pequeño.

2. El siguiente comando genera un vector llamado t de valores que representan la variable tiempo, con un intervalo de muestreo para la variable (t) de 1 ms entre -10 y 10 segundos tp = -10:0.01:10; Después de creado el vector que representa la variable tiempo, es posible iniciar el desarrollo de alguna señal de interés.

3. A medida que se aumentan los armónicos, las señal empieza a tomar los valores necesario para convertirse en señal rectangular y asi realizar el análisis de la señal senoidal de manera más sencilla. Es posible aumentar

los intervalos de los armónicos, con el fin de estructurar con mayor efectividad la misma señal senoidal que tomamos para visualizarla de la forma rectangular.

BIBLIOGRAFIA

[1] http://euler.us.es/~plopez/fenomeno-de-Gibbs.htm

[2] https://es.wikipedia.org/wiki/Fen%C3%B3meno_de_Gibbs

[3] http://www.bcamath.org/documentos_public/archivos/personal/conferencias/cubo.pdf

[4] http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/kiosco/files/gibbs.pdf

[5] http://cnx.org/contents/a14dbfa3-0fd2-4b58-8447-d0c2be0746d8@1/El-Fenmeno-de-Gibbs