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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL
MAESTRÍA EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DIGITALES
ANÁLISIS DE LOS EFECTOS DE LOS TIEMPOS DE
RETARDO EN EL FUNCIONAMIENTO DE UN CONTROL RETROALIMENTADO
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS
P R E S E N T A:
ING. JOSÉ LUIS RODRÍGUEZ VERDUZCO BAJO LA DIRECCIÓN DE:
DR. LUIS A. GONZÁLEZ HERNÁNDEZ
AGOSTO, 2004 TIJUANA, B.C., MÉXICO
AGRADECIMIENTOS A mis padres, Víctor Manuel y Maria Beatriz por darme la educación y los valores para
lograr lo que hoy en día soy.
A mi maestro y asesor, Dr. Luis Arturo González Hernández, por compartir su tiempo y
conocimientos en la realización de este trabajo.
A quienes con sus sugerencias y recomendaciones ayudaron a enriquecer este trabajo, en
especial al Dr. Juan García L., M.C. Oscar Montiel Ross, M.C. Roberto Sepúlveda, M.C.
David Jaime Saucedo Martínez.
A mis hermanos, Olimpia Beatriz, Víctor Manuel, Jesús Arnulfo y Jorge Armando por sus
consejos y su apoyo incondicional.
A mis Sobrinas Martha Beatriz, Alba Lucia, Damaris y Darían por bendecir y dar alegría a
nuestra familia con su llegada.
A mis amigos Alfredo, Sara, Abigael, Abigael Jr.,Christopher, Leonardo, Alejandro, Carlos
Chávez, Rene, Gerardo, Arceo, Carlos Orozco, Yadíra, Atzíry, Jesús, Noe, Paty, por
alentarme a terminar este trabajo.
Al Instituto Politécnico Nacional y en especial al CITEDI.
i
Í N D I C E Página
Lista de figuras iv
Lista de acrónimos y símbolos vii
Resumen viii
Abstract ix
INTRODUCCIÓN i
CAPÍTULO 1 TELEPROCESO Y TIEMPOS DE RETARDO 3
Introducción 3
1.1 Teleproceso 3
1.2 Telemetría 4
1.3 Telecontrol 6
1.4 Telerobótica 7
1.5 Teleoperación Bilateral 8
1.6 Bucles Cerrados en Telecontrol 10
1.7 Tiempos de retardos en sistemas de control 12
1.8 Representación y análisis de los sistemas con tiempos de retardo 13
1.9 La clase de sistemas lineales con retardo 16
1.10 Análisis de estabilidad de sistemas con retardo 19
1.10.1 En el dominio de la frecuencia 19
1.10.1.1 Criterio de Potryagin 19
1.10.1.2 Criterio del teorema de la pequeña ganancia 20
1.10.1.3 El criterio de Desoer y Vidyasagar. 21
1.10.1.4 Criterios polinomiales 21
1.10.1.4.1 El criterio de Tsypkin 21
1.10.1.4.2 Técnicas de matriz lápiz 22
1.10.2 En el dominio del tiempo 25
1.10.2.1 Método funcional de Lyapunov Krasovskii. 25
1.10.2.2 Método de la función de Lyapunov-Rasumikhin 25
ii
CAPÍTULO 2 27
DISEÑO DE UN REGULADOR LOCAL 27
Introducción 27
2.1 Estructura de control 27
2.2 Diseño de un regulador robusto local 28
2.3 Relaciones para determinar la calidad del diseño: 33
2.4 Procedimiento de diseño del regulador en el marco H∞. 35
2.5 Determinación de las funciones de peso. 36
2.5.1 Función de peso Wd. 36
2.5.2 Función de peso W1. 38
2.5.3 Función de peso W2. 40
2.6 Pruebas de simulación 41
2.6.1 Pruebas con W1. 41
2.6.2 Pruebas con W2. 44
2.6.3 Selección de una nueva función de peso Wd. 45
2.7 Experimentación 50
2.7.1 Seguimiento 50
2.7.2 Regulación 51
CAPÍTULO 3 53
DISEÑO PARA LA ATENUACIÓN DE LOS TIEMPOS DE RETARDO 53
Introducción 53
3.1 Tiempos de retardo 54
3.2 El retardo como incertidumbre 55
3.3 Análisis en la frecuencia para 3IKc = 57
3.4 Procedimiento de diseño 58
3.4.1 Funciones de Peso 59
3.4.2 Función de peso de la incertidumbre multiplicativa Wo. 59
3.4.3 Función de peso de la señal de error We. 59
3.4.4 Función de peso de la señal de control Wu. 61
3.4.5 Función de peso de la señal de ruido Wn. 61
iii
3.5 Valor singular estructurado µ 62
3.5.1 La interpretación de ( )M∆µ en el sistema retroalimentado 62
3.6 Síntesis µ 63
3.7 Cotas superior e inferior de ( )⋅∆µ . 66
3.8 Síntesis µ del controlador 67
3.8.1 Paso 1. 67
3.8.2 Paso 2. 70
3.8.3 Paso 3. 71
3.9 Controlador de orden reducido 75
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 79
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 81
APÉNDICES 83
A. BASE EXPERIMENTAL DE TELEOPERACIÓN 83
iv
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 Proceso Remoto. .......................................................................................................3
Figura 1.2 Sistema de distribución y control de gas. .................................................................4
Figura 1.3 Aplicaciones de Sistemas Teleoperados. ..................................................................5
Figura 1.4 Sistema de telecontrol de la compañia Tbox. ..........................................................6
Figura 1.5 Robot manipulador de 6 GDL operado remotamente. Localizado en la universidad
del Oeste de Australia. El primer robot industrial operado remotamente en la Web. ...............7
Figura 1.6 Sistema de teleoperacion estandar. ..........................................................................8
Figura 1.7 Sistema de Teleoperacion Bilateral..........................................................................8
Figura 1.8 Sistema de Teleoperacion General. ..........................................................................9
Figura 1.9 Telecontrol con señales comando retardadas. .......................................................10
Figura 1.10 Telecontrol con señales comando y señales sensadas con retardo. .....................11
Figuras 1.11 Sistema de control en cascada. KL→ es el controlador local y un controlador de
seguimiento, Kc esta en el centro de comandos, este segundo controlador en que deberá
hacer robusto al sistema a los tiempos de retardos..................................................................11
Figura 1.12 Graficas de fase de Tje ω− para 5.0=T seg. .....................................................15
Figura 1.13 Diagrama a bloques de )()( sxesu sτ−= ...............................................................20
Figura 2.1 Estructura de telecontrol. .......................................................................................28
Figura 2.2 Diagrama a bloques del sistema de control. .........................................................29
Figura 2.3 Diagrama a bloques estándar.................................................................................29
Figura 2.4 Planta aumentada particionada .............................................................................32
Figura 2.5 Sistema de control en lazo cerrado.........................................................................33
Figura 2.6 Ganancia de lazo deseada ......................................................................................35
Figura 2.7 Función de las dinámicas de los disturbios............................................................37
Figura 2.8 Desviación de las señales comando en nuestro robot en presencia de disturbios.37
Figura 2.9 Definición de la función de peso W1.......................................................................38
Figura 2.10 Valores singulares de la función de peso W1........................................................39
Figura 2.11 Definición de la función de peso W2....................................................................40
Figura 2.12 Función de peso W2. .............................................................................................41
v
Figura 2.13 (a) Respuesta de rechazo al disturbio; (b) Pruebas de funcionamiento nominal y
estabilidad robusta....................................................................................................................42
Figura 2.14 (a) Valores singulares de la función de sensibilidad; (b) Valores singulares del
controlador. ..............................................................................................................................42
Figura 2.15 (a) Valores singulares del controlador; (b) Valores singulares de la función de
sensibilidad. ..............................................................................................................................43
Figura 2.16 Pruebas de estabilidad robusta y funcionamiento nominal. ................................43
Figura 2.17 (a) Valores singulares del controlador; (b) Valores singulares de la función de
sensibilidad. ..............................................................................................................................44
Figura 2.18 (a) Pruebas de estabilidad robusta y funcionamiento nominal; (b) Respuesta al
disturbio. ...................................................................................................................................45
Figura 2.19 Dinámica de los Disturbios. .................................................................................46
Figura 2.20 Pruebas de estabilidad robusta y funcionamiento nominal. ................................47
Figura 2.21 Prueba de funcionamiento Robusto.....................................................................48
Figura 2.22 Valores singulares del regulador. ........................................................................48
Figura 2.23 Valores singulares de la función de sensibilidad. ................................................49
Figura 2.24 Respuesta al disturbio del sistema controlado para disturbios con magnitudes de
-2º, 4º, y –10º para las articulaciones 1, 2 y 3 respectivamente.............................................49
Figura 2.25 Función de sensibilidad y el inverso de la norma de W1......................................50
Figura 2.26 (a) Señal de salida del robot; (b) Señal de control; (c) Señal de error. Las
unidades están dadas en grados. ..............................................................................................51
Figura 2.27 (a) Señal de salida del robot; (b) Señal de control; (c) Señal de error................52
Figura 3.1 Sistema de control en cascada................................................................................53
Figura 3.2 Sistema de control con tiempos de retardos. .........................................................54
Figura 3.3 Sistema de teleoperación. .......................................................................................54
Figura 3.4 Incertidumbre multiplicativa a la entrada de la planta..........................................55
Figura 3.5 Planta con retardo en la Línea de Transmisión. ...................................................55
Figura 3.6 Diagrama a bloques de la incertidumbre multiplicativa........................................56
Figura 3.7 Función de peso Wo. ...............................................................................................57
Figura 3.8 Interconexión del Sistema para alcanzar los objetivos de funcionamiento............59
Figura 3.9 Función de peso del error We. ................................................................................60
vi
Figura 3.10 Funciones de peso Wn y Wu...................................................................................61
Figura 3.11 La interpretación de ( )M∆µ . ...............................................................................62
Figura 3.12 Transformación Fraccional lineal del sistema de control....................................63
Figura 3.13 Sistema en lazo cerrado ( )[ ]KPFF UL ,, ∆ .............................................................64
Figura 3.14 Sistema en lazo cerrado con la planta perturbada..............................................64
Figura 3.15 Respuesta en frecuencia del primer controlador..................................................68
Figura 3.16 Pruebas de estabilidad robusta y funcionamiento nominal. ................................68
Figura 3.17Medidas del funcionamiento robusto.....................................................................69
Figura 3.18 Respuesta del sistema controlado a señales comando escalón para diferentes
retardos de 8, 12 y 16 seg. ........................................................................................................69
Figura 3.19 Función de fase mínima d(s).................................................................................70
Figura 3.20 Respuesta en frecuencia de K2..............................................................................72
Figura 3.21 Pruebas de estabilidad robusta y funcionamiento nominal para el segundo
controlador. ..............................................................................................................................72
Figura 3.22 Medidas del funcionamiento robusto para el segundo controlador.....................73
Figura 3.23 Respuesta del sistema controlado para el segundo controlador con diferentes
tiempos de retardo. ...................................................................................................................74
Figura 3.24 Respuesta a la frecuencia del controlador 2cK . ..................................................75
Figura 3.25 Pruebas de estabilidad robusta y funcionamiento nominal con 2cK ...................75
Figura 3.26 Valor singular estructurado con 2cK ...................................................................76
Figura 3.27 Respuesta al disturbio con el controlador reducido 2cK a tiempos de retardo de
8, 12 y 16 seg. ...........................................................................................................................76
Figura 3.28 Respuesta a entradas comandos para diferentes retardos. ..................................77
Figura 3.29 Atenuación de ruidos a la salida del sistema telecontrolado ...............................78
Figura A.1 Sistema de control local. ........................................................................................83
Figura A.2 Base experimental para el control Teleoperado. ..................................................84
Figura A.3 Panel de control en LabView para el sistema Teleoperado...................................85
vii
LISTA DE ACRÓNIMOS Y SÍMBOLOS
GDL Grados de libertad.
LMI Desigualdades matriciales lineales.
SISO Una entrada, una salida.
MIMO Múltiples entradas, múltiples salidas.
UTR Unidad terminal remota.
PID Controlador proporcional integral y derivativo.
CD Corriente directa
[ ]⋅ℑ Transformada de Laplace.
ℜ Conjunto de los números reales. −+ C,C Representa el lado izquierdo y derecho del plano complejo.
[ ]( )nn CC ℜ−= ,0,, ττ Denota el espacio de Banach de funciones vectoriales continuas,
mapeando el intervalo [ ]0,τ− dentro de nℜ .
⋅ Se refiere a la norma Euclideana.
∞⋅ Se refiere a la norma infinito.
∑ Terceto.
τ Tiempos de retardo.
λ Valores propios
Λ Matriz lápiz
⊕⊗ , Denotan el producto y la suma de Kronecker.
viii
RESUMEN Un sistema de teleoperación con un manipuladorde 3 GDL como planta, fue estudiado y
diseñado en esta tesis. El manipulador tiene algunos problemas en sus dinámicas y
funcionamiento en estado estable tales como el rastreo debido a no-linealedades y mala
regulación a los disturbios de carga.
Un regulador robusto basado en las tecnicas de optimizacion H∞ fue diseñado para mejorar el
funcionamiento del sistema bajo disturbios de carga y errores de modelado, este regulador fue
colocado en el manipulador en forma local, entonces se procedió a diseñar un segundo
controlador que forma parte de la estructura de teleoperación, y los objetivos de
funcionamiento para este controlador fueron: alcanzar la estabilidad del sistema teleoperado
en precencia de tiempos de retardo presentes en la lineas de transmisión, tambien como un
buen rastreo de las señales de referencia y la atenuación del ruido inducido en los canales de
comuncación. La técnica usada para diseñar este segundo controlador fue Sintesis-µ. Usando
el proceso iterativo D-K, se obtuvo un controlador de orden muy grande, y usando técnicas de
modelo de orden reducido, finalmente, se obtuvo un controlador manejable de orden 12.
El sistema controlado mostró un buen funcionamiento y el rango de la cota superior de los
tiempos de retardo que hacia inestable al sistema fue notablemente incrementado.
ix
ABSTRACT
A teleoperation system with a 3 DOF manipulator as plant was studied and designed on this
thesis. The manipulator has some problems in its dynamics and steady state performance such
tracking bias due to nonlinearities and bad regulation to load disturbances.
A robust regulator based on H∞ optimization technique was designed to improve the
performance of the system under load disturbance and modelling errors, this regulator was
put local to the manipulator, then we designed a second controller, that was part of the
teleoperation structure, and the performance objectives for this controller were to achieve
stability of the teleoperation system in face of delay times present in transmission lines as well
as good tracking of reference signals and attenuation of noise induced in the communication
channels. The technique used to design this second controller was µ-Synthesis. Using the
iterative D-K process, a large order controller was obtained, that by using model order
reduced techniques resulted, finally, a manageable 12 order controller.
The controller system shows good performance and the range of the upper value of the time
delay that brings on an unstable system was notably increased.
1
INTRODUCCIÓN
En muchos sistemas de ingeniería se encuentran sistemas donde aparecen los tiempos de
retardo, ya sea debido a la transmisión de información o de materiales. Algunos ejemplos
típicos que de alguna forma son afectados por los retardos son los sistemas de transportación,
sistemas de comunicaciones, procesos químicos, sistemas de potencia y sistemas de
teleoperación, son ejemplos típicos de sistemas que de alguna forma sufren de retardos.
En particular los sistemas de teleoperación bilateral, es necesario la transmisión de señales
como fuerza, velocidad y posición, entre un sistema maestro y un sistema esclavo, introducen
en los canales de comunicación tiempos de retardo que afectan de forma significativa la
estabilidad y funcionamiento del sistema. Es bien sabido que pequeños retardos en las líneas
de comunicación pueden ocasionar que el sistema sea inestable [1]. Los sistemas con retardos
son difíciles de tratar porque sus parámetros son inherentemente distribuidos, y se consideran
como sistemas variantes en el tiempo. El diseño de controladores para este tipo de plantas es
una tarea complicada. Por ejemplo; en algunos casos se busca un diseño para lograr que un
sistema sea independiente del retardo, pero el caso general es obtener un sistema cuyo
funcionamiento sea dependiente del retardo, pero que opere adecuadamente en un rango
amplio de los valores de los tiempos de retardo.
Durante los años pasados el diseño de controladores para este tipo de sistemas, ha tenido buen
resultado la aplicación de técnicas de optimización ∞H [2], [3], en particular para los casos en
que el tiempo de retardo es incierto. En caso en que el tiempo de retardo es fijo y conocido,
existen varios métodos conocidos [12], [13].
En cuanto al análisis de estabilidad para este tipo de sistemas controlados con plantas con
retardos, existe una gran variedad de métodos, desde los clásicos como el método de
Hurtwitz, hasta el uso de desigualdades matriciales lineales LMI [20]. Técnicas de análisis en
el dominio de la frecuencia como lo son el método del lugar de raíces, el método del
argumento principal, los criterios polinomiales, las técnicas de matriz lápiz que se aplican
tanto a sistemas SISO (Single Input Single Output) como a sistemas MIMO(Multiple Inputs
Multiple Outputs) lineales [14],[15]. En el dominio del tiempo encontramos algunos métodos
2
de análisis como Lyapunov-Krasovskii y Lyapunov-Rasumikhin, cuya aplicación se extiende
a sistemas lineales y no-lineales [4], [16] con retardo.
En este trabajo se diseñó un controlador robusto utilizando únicamente retroalimentación de
la salida para un sistema teleoperado, se utilizó un robot de 3 Grados De Libertad (GDL),
junto con el canal de comunicación como una planta con retardo. El retardo se consideró
incierto pero acotado. El retardo del bucle de control se consideró como parte de una
incertidumbre de tipo multiplicativa a la entrada del robot. Esto permitió obtener una función
de peso como cota de la incertidumbre, que se utilizó en el diseño.
También se construyó un regulador local al robot a efectos de carga, con lo cual se logra una
mejor respuesta del sistema teleoperado en estas condiciones. En el diseño del regulador se
usó la técnica de optimización ∞H , mientras que en el diseño del controlador del sistema
general de telecontrol se utilizaron técnicas de Síntesis-µ.
En el diseño de controladores robustos para sistemas teleoperados, se involucra un
compromiso entre el funcionamiento y la estabilidad robusta [2]. Este mismo compromiso se
presentó al final de este trabajo entre los objetivos de funcionamiento y funcionamiento
robusto. En algunas aplicaciones como la telecirugía, donde se involucra la manipulación de
objetos suaves, este compromiso entre el funcionamiento y la estabilidad es el principal
determinante en el diseño de control para estos sistemas [5].
3
CAPÍTULO 1
TELEPROCESO Y TIEMPOS DE RETARDO
Introducción
La medición y/o control a distancia es una necesidad en muchas y variadas situaciones. Esto
es el caso en industrias, con unidades dispersas, conociéndose en este caso a este tipo de
sistemas como teleproceso, medición y control supervisorio en forma remota. Áreas más
novedosas y particulares son telerobótica, telecirugía etc. a continuación se mencionan y
describen brevemente cada una de estas áreas.
1.1 Teleproceso
Teleproceso es un término ampliamente usado en la industria de procesos como: química,
petroquímica y redes de distribución. Hoy en día existe una gran cantidad de compañías que
ofrecen servicios de automatización de procesos que se encuentran a distancia del operador o
sistema de control, algunas de las áreas que podríamos mencionar son: la telerobótica,
telemetría, teleoperaciones, telecontrol, telecirugía... etc. En la industria es muy frecuente
encontrar instalaciones que se encuentran geográficamente dispersas, Figura 1.1, como lo son
depósitos de agua, instalaciones de gas, electricidad, de riego, de telecomunicaciones y
muchas otras.
Figura 1.1 Proceso Remoto.
Una de las aplicaciones que se puede mencionar es la distribución de agua potable de un
estado, donde se tiene que suministrar agua a una cantidad de personas distribuidas en los
municipios, para lograr este objetivo en forma eficiente es necesario tener un monitoreo a
4
distancia de las alarmas y las operaciones de mantenimiento de una gran cantidad de
estaciones de bombeo, depósitos y presas con cientos de kilómetros de canalizaciones bajo
tierra, que permitan supervisar y controlar el funcionamiento del sistema.
Un ejemplo de teleproceso es la distribución de gas en una ciudad donde es necesario medir y
controlar automáticamente el volumen de gas existente en los convertidores (sistemas de
medición de gas) y transmitir estos datos a un sistema central lejano, donde se tomaran
decisiones sobre las acciones a enviar al sistema para que sean ejecutados. Haciendo uso de
un conjunto de instrumentos como un autómata programable, un sistema de archivo, un
teletransmisor de alarmas y una plataforma multi-comunicación con módem, se logra
implementar de una manera muy eficiente este proceso como se muestra en la Figura 1.2.
Figura 1.2 Sistema de distribución y control de gas.
1.2 Telemetría
Las aplicaciones de telemetría usualmente consiste de un número de componentes:
• Estación Central del Sistema Maestro.
• Una Red de Comunicación.
• Unidades Terminales Remotas.
• El Campo de la Instrumentación.
La unidad terminal remota es una pequeña computadora que provee inteligencia en el área de
trabajo y permite a la estación central maestra comunicarse con los instrumentos de campo.
Esta es una unidad de adquisición de datos y control. Su función es controlar el proceso del
equipo en el sitio remoto, controla remotamente la planta, adquiere datos del equipo o
5
sensores, y transfiere los datos de vuelta a la central. Su objetivo es también mandar alarmas
a la estación central y/o al personal indicado.
Con el sistema de control a distancia de una instalación de calefacción se transmiten los datos
de la instalación, que registra el sistema de regulación de la caldera de calefacción, mediante
una interfaz adicional a un aparato de fax, a un servicio de telefonía o a un puesto de mando
central de una empresa de asistencia técnica, Figura 1.3.
Figura 1.3 Aplicaciones de Sistemas Teleoperados.
El establecimiento especializado en calefacciones puede así controlar el funcionamiento de la
instalación y se percata de las averías a menudo mucho antes de que lo haga el usuario. Si se
necesitara, también puede accionarse el programa de calefacción mediante un puesto de
mando central de PC o por teléfono.
Las ventajas del control a distancia son evidentes:
• Ahorro de tiempo y de gastos en caso de requerirse asistencia técnica
• Aumento de la seguridad en el funcionamiento, debido a que la instalación registra
automáticamente las causas de la avería
• Aumento de la comodidad y ahorro de energía al realizar el accionamiento a distancia
del programa operativo vía teléfono
6
1.3 Telecontrol
Un sistema de telecontrol controla equipos en lugares remotos y monitorea las señales de
entrada/salida que en ellos actúan y sus efectos. Por ejemplo en la industria de distribución de
agua, las estaciones de bombeo en la mayoría de los casos están geográficamente dispersas y
en los tanques de almacenamiento es necesario la transferencia de información que permita
controlar el nivel y el flujo de salida debido a la demanda de una comunidad. Las Unidades
Terminales Remotas (UTR’s) son unidades con sensores y actuadores en lugares remotos, los
cuales mandan y reciben información a través de redes de comunicación. Un UTR, controla,
automatiza y monitorea la planta de distribución de agua y almacena datos de operación de los
parámetros de entrada, tales como flujo, presión, estado de encendido y apagado ....etc.
cualquier condición de trabajo anormal es inmediatamente detectado y sofisticadas
secuencias de alarmas son ejecutadas. Un ejemplo de Telecontrol se muestra en la Figura 1.4.
Figura 1.4 Sistema de telecontrol de la compañia Tbox.
7
1.4 Telerobótica
Las aplicaciones de telerobótica se encuentran en industrias como las de extracción de gas,
militar, así como en las áreas de investigación espacial, submarina e incluso en la medicina
como en las cirugías, las cuales consisten en el manejo de robots a distancia, pero con la
salvedad de que el operador ve lo que el robot esta viendo e incluso tiene el tacto de la
máquina. Los ambientes hostiles como lo son las zonas de guerra, plantas nucleares
accidentadas, incendios peligrosos, entre otros; son los sitios que se prestan para ser
explorados y para realizar tareas a distancia, o de manera remota. Un ejemplo de Telerobótica
se muestra en la Figura 1.5.
Figura 1.5 Robot manipulador de 6 GDL operado remotamente. Localizado en la universidad
del Oeste de Australia. El primer robot industrial operado remotamente en la Web.
Uno de los principales problemas en estos sistemas, sobre todo aquellos operados a grandes
distancias, es la presencia de "retardos", sufrido por la señal enviada en el canal de
comunicación. Esto ocasiona que la señal enviada sea observada por el robot un tiempo t
después de que se envió, el problema que esto acarrea es la pérdida de coordinación del
operador, o ya que el operador es parte del lazo de control, se ocasionará una inestabilidad en
el mismo, es decir, se pueden modificar las variables de entrada del proceso (un flujo másico,
p.e.) pero su efecto tardará en observarse. Aún en pequeña escala, el simple uso de un sistema
medidor de pH presenta retardos que pueden impactar la regulación de un proceso en que se
tomen decisiones de control a partir de la medición de una variable retardada.
8
1.5 Teleoperación Bilateral
A continuación se describe lo que es un sistema de teleoperación bilateral, cuyo objetivo es
realizar tareas remotas, pero que a diferencia del esquema de telerrobótica, el operador emula
o mimetiza el movimiento del robot y siente el efecto del robot con su medio ambiente.
Un sistema de Teleoperación es la comunicación de señales comando, entre dos sistemas a
través de un canal de comunicación, estos dos sistemas pueden ser por ejemplo dos
manipuladores, un manipulador esclavo y un manipulador maestro, donde las señales de
control son producidas por el manipulador maestro, y éstas son transmitidas a través de un
canal de comunicación y recibidas por el manipulador esclavo el cual tiene que responder a
las señales de control recibidas [6], y reenviar las señales que indican la interacción del robot
esclavo con su medio ambiente.
La teleoperación es la extensión de la capacidad de una persona de sentir y manipular un lugar
remoto. Un sistema teleoperador estándar se describe en la Figura 1.6. y un sistema de
Teleoperación bilateral se muestra en la Figura 1.7.
Figura 1.6 Sistema de teleoperación estandar.
Figura 1.7 Sistema de Teleoperación Bilateral
SISTEMA MAESTRO
CANAL DE COMUNICACION
SISTEMA ESCLAVO
fh vm
fmd
Vsd
fs
fe
9
El operador humano a través de un manipulador maestro ejerce una fuerza fh, el maestro se
mueve con una velocidad vm la que se transmite a través de un red de comunicación hacia el
manipulador esclavo y se presenta como una variacion de referencia al manipulador esclavo.
El manipulador esclavo responde a la señal de referencia, vsd, y la fuerza fs sensada como un
resultado del contacto con el ambiente y/o fuente externa por el robot esclavo, fe, es
transmitida a través de la red de comunicación hacia el manipulador maestro la cual llega
como una fuerza fmd, que el manipulador maestro siente como una oposicion al movimiento.
Un sistema de teleoperacion [5] general se muestra en la Figura 1.8.
Figura 1.8 Sistema de Teleoperación General.
El sistema de teleoperacion general descrito en la Figura 1.8, consta de cinco subsistemas:
Operador humano, manipulador maestro, controlador, manipulador esclavo y el ambiente. En
cualquier diseño de un sistema de teleoperacion bilateral, el requisito esencial es proveer una
transmision confiable de señales (posiciones velocidades y fuerzas) entre el maestro y el
esclavo para acoplar al operador tan cercanamente como sea posible al manipulador esclavo,
la presencia de tiempos de retardo en el sistema hace que sea necesario el diseño de un
controlador que compense los atrasos de fase, ocasionados por los canales de comunicación.
Como es conocido en control, la introduccion de retardos en el bucle de control hace que el
sistema este cercano a la inestabilidad y a un deterioro de su funcionamiento. El diseño de
controladores que alcancen la transparecia entre un sistema maestro y un sistema esclavo,
mientras mantienen estabilidad de un sistema teleoperado es uno de los principales asuntos
que se presentan en el control de sistemas teleoperados.
SISTEMA MAESTRO
CONTROLADOR SISTEMA ESCLAVO
vm
fmd
vsd
fs
fe OPERADOR AMBIENTE fh
Teleoperador
10
1.6 Bucles Cerrados en Telecontrol
Con las aplicaciones anteriormente descritas de sistemas teleoperados, se pueden presentar
diferentes estructuras de control, las más frecuentes son los sistemas de telecontrol que están
constituidos por un sistema de adquisición de datos y control los cuales mandan y reciben
información a través de redes de comunicación de una estación central de monitoreo y
control. En este caso las señales de control emitidas por la estación central a través de las
redes de comunicación llegan al sistema remoto con un retardo en el tiempo, el cual no afecta
al sistema en su estabilidad ya que éste se encuentra controlado a través de un lazo de control
local, el efecto que ocasiona este tiempo de retardo es el retraso de las acciones de control.
En muchos casos se busca regular la planta a controlar con respecto a disturbios externos y a
variaciones e incertidumbre de la misma y también que la planta rastree fielmente señales de
comando. En este caso se deberán implementar bucles de control.
Existen dos estructuras de Telecontrol para estos sistemas:
a) El ya mencionado anteriormente en el que el bucle de control esta localizado donde se
encuentra la planta a controlar. En este caso el centro de comandos únicamente envía
la señal comando para ser rastreada por la planta, Figura 1.9 . El bucle local deberá
ser diseñado para rechazar disturbios externos. En este caso el efecto del retardo ∆t de
la señal comando se manifestará como un retardo en la respuesta de la planta.
Figura 1.9 Telecontrol con señales comando retardadas.
b) Aquel en el que el canal de comunicación se utiliza dentro del bucle de control, tanto
en su trayectoria directa como en su trayectoria de retroalimentación en este caso el
controlador se coloca en el centro de comandos, Figura 1.10.
Centro de comandos
( )tr ( )ttr ∆+
G K)(ty
11
Figura 1.10 Telecontrol con señales comando y señales sensadas con retardo.
Este esquema no es común, pero es utilizado en casos en los cuales el controlador se necesita
colocar alejado del sitio de trabajo de la planta, debido a condiciones no favorables al
controlador como: ambientes muy contaminados, altas temperaturas, campos
electromagnéticos, etc. Esto obliga a que en los objetivos de diseño del controlador se tomen
en cuenta los tiempos de retardo que se presentan en las líneas de transmisión. Si a este
mismo caso le añadimos el problema de los disturbios e incertidumbre presentes en la planta
expuesta a ambientes hostiles, la capacidad de respuesta del sistema de tele operación sería
muy pobre ya que los tiempos de retardo presentes en el canal de comunicación atrasarían las
señales de control llegando a demeritar su funcionamiento y en casos mas graves a provocar
su inestabilidad.
Figuras 1.11 Sistema de control en cascada. KL→ es el controlador local y un controlador de seguimiento, Kc esta en el centro de comandos, este segundo controlador en que deberá hacer robusto al sistema a los tiempos de retardos.
Una opción a la estructura b) para disminuir y manejar este tipo de problemas, se propone en
la Figura 1.11 que es un sistema de control en cascada el cual contiene dos controladores los
cuales tendrán objetivos de diseño diferentes. Para compensar los errores de modelado y el
rechazo a disturbios, se diseñará un primer controlador KL que estará ubicado en forma local
en el proceso dando respuesta inmediata a las perturbaciones anteriormente descritas. Para
atenuar los efectos de los tiempos de retardo y rastreo de una señal de referencia, se diseña un
segundo controlador Kc, que estará ubicado en el centro de comandos, la complejidad de este
Centro de comandos
( )tr( )ttr ∆+
G K )(ty
Centro de comandos
( )tr G Kc y (t)
KL
12
controlador no tiene limite, ya que este se encuentra en el centro de comandos donde la
capacidad de computo es mucho mayor.
Un fenómeno particularmente importante que se presenta en todo sistema de teleproceso, son
los tiempos de retardo en el canal de comunicación. Los efectos que estos tiempos de retardo
tienen sobre el sistema de teleproceso son críticos, ya que afectan sus características de
estabilidad como su respuesta a comandos y a disturbios.
En la siguiente sección se describirán algunas características de sistemas con tiempo de
retardo.
1.7 Tiempos de retardos en sistemas de control
En los sistemas de telecontrol se presentan tiempos de retardo en los canales de
comunicación, de igual manera, en los procesos de control de plantas químicas se presentan
tiempos de retardo provocado por el transporte de fluidos o materiales entre los procesos y los
controles o sensores.
En muchos sistemas de control retroalimentado, tenemos tiempos de retardos incrustados en
alguna parte del lazo. El trabajo realizado en esta tesis comprende sistemas con tiempo de
retardos presentes en el lazo de control o en la línea directa utilizando la estructura de control
mostrada en la Figura 1.11. Los sistemas teleoperados, como los procesos industriales de
control donde el transporte de materiales o fluidos se ven involucrados, presentan tiempos de
retardos que pueden llegar a ser tan grandes que pueden impedir la correcta operación de los
controladores P, PI y PID.
Las fuentes de los retardos presentes en estos sistemas son:
• El proceso tiene operaciones de transporte de fluidos a lo largo de distancias
considerables (cañerías largas entre unidades, por ejemplo).
• El proceso presenta fases de incubación (atrasos en sistemas biológicos, por
ejemplo).
• Los sensores (o alguno de ellos) requieren plazos extensos para arrojar una
medición (cromatógrafos, por ejemplo).
13
)()( Ttxty −=
• El actuador requiere de un tiempo importante para producir un cambio (válvulas
muy pesadas, por ejemplo).
Estos efectos, suelen impedir la acción apropiada de los bucles de control porque:
• Las perturbaciones no se detectan oportunamente;
• La acción de control, que depende de la oportuna medición, no ocurre en el
momento adecuado;
• La acción de control tarda en hacer efecto sobre el proceso;
Y redunda, finalmente, en un bucle cerrado que puede resultar inestable.
Los tiempos de retardo también se llaman retardo de transporte o tiempo muerto, estos se
presentan cuando en los sistemas tienen retardos en la medición, en la acción de control, en la
operación funcional, o situaciones similares .
La relación entre la entrada y la salida de un elemento con retardo es el siguiente:
(1.1)
donde el valor de )(ty en el tiempo t es el valor de x en el tiempo Tt − .
La función de transferencia del retardo de transporte o tiempo muerto, usando la transformada
de Laplace es la siguiente:
(1.2)
donde s es la variable compleja de Laplace.
Por lo tanto un retardo se manifiesta en el modelo cuando se añade un término sTe− .
1.8 Representación y análisis de los sistemas con tiempos de retardo
Comúnmente en la descripción matemática de un proceso se considera que su
comportamiento depende solamente del presente, pero existen procesos para los cuales esto
no se cumple (ejemplo: cuando incluye transporte de información o material), que introducen
[ ][ ]
TsTs
esXesX
ttxTtTtx −
−
==ℑ
−−ℑ)(
)()()(
)()(11
14
retardos en los canales del proceso. El modelar estos procesos sin tomar en cuenta este
fenómeno puede conducirnos a conclusiones erróneas en el funcionamiento del mismo. Si se
incluye también información sobre el estado pasado del sistema entonces a estos sistemas se
les llama sistemas con retardo en el tiempo.
Representaciones de sistemas con retardos
Existen tres maneras de modelar estos sistemas las cuales son:
Evoluciones en espacios abstractos: Su evolución es descrita por operadores apropiados
(acotados o no acotados) en espacios de dimensión infinita.
Ecuaciones diferenciales funcionales: Aquí existen dos maneras para considerar los sistemas
retardados:
• Como evolución en un espacio de dimensión finita
• Como evolución en un espacio-función.
Una ventaja de estas representaciones es el tratar problemas dimensionalmente infinitos,
usando herramientas dimensionalmente finitas.
Ecuaciones diferenciales sobre anillos o módulos: este tipo de representación se presta un
gran interés en las propiedades estructurales, como estabilidad y observabilidad.
Cada representación tiene sus propias ventajas e inconveniencias dependiendo del problema
que se trate.
Dimensión infinita versus dimensión finita.
Ya que los sistemas con retardo están dentro de la clase de sistemas de dimensión infinita,
tenemos dos maneras de analizarlos:
• Aproximaciones de dimensión finita: tales como aproximaciones de Padé, series de
Fourier-Laguerre, o una aproximación racional de Hankel óptima. Un problema clavé
en estas aproximaciones es la opción de la dimensión de la aproximación.
Un ejemplo de este tipo de aproximaciones es la aproximación de Padé, donde el retardo es
aproximado mediante una expansión en serie Tse− de la forma.
15
( ) ( )
( ) ( )K
K
+++−
+−+−=−
48821
48821
32
32
TsTsTs
TsTsTs
e Ts (1.3)
Como un ejemplo de aproximación de primer orden tomamos los dos primeros términos de
numerador y denominador obteniendo lo siguiente
TsTs
Ts
Ts
e Ts
+−
≅−
−≅−
22
21
21
(1.4)
o de segundo orden sería
2
2
2
2
)(48)(48
8)(
21
8)(
21
TsTsTsTs
TsTs
TsTs
e Ts
+++−
≅++
+−≅− (1.5)
A continuación en la Figura 1.12 se muestran las gráficas de fase de Tje ω− y sus
aproximaciones de Padé de 1°, 2°, 3° orden.
Figura 1.12 Gráficas de fase de Tje ω− para 5.0=T seg. Se observa que al ir aumentando el orden, la aproximación tiene un menor grado de error con
respecto a la curva real en un rango de frecuencia más amplio.
• Interpretaciones de dimensión finita: los sistemas con retardo pueden ser descritos
como evoluciones en espacios de dimensión finita, o en un espacio función.
1° Orden
2° Orden
3° Orden
Tje ω−∠
16
En estos casos el problema de dimensión infinita puede ser “Transformado” en uno de
dimensión finita.
1.9 La clase de sistemas lineales con retardo
Esta es un clase de sistemas de gran interés, donde se toman los retardos como parámetro del
sistema. En cuanto a análisis de estabilidad se refiere, existen dos conceptos que son:
• Estabilidad independiente del retardo
• Estabilidad dependiente del retardo
En cuanto al retardo en sí, éste puede considerarse constante o variable en el tiempo, también
pueden encontrarse sistemas con múltiples retardos.
La ecuación diferencial funcional de un sistema lineal con múltiples retardos es de la forma:
(1.6)
con una condición inicial de la forma:
(1.7)
donde la pareja ( )φ,0t pertenece al espacio producto ντ,nC×ℜ+ .
Donde
{ }νφφ τν
τ <∈=Cnn CC :,, (1.8)
siendo [ ]( )nn CC ℜ−= ,0,, ττ el espacio de vectores de funciones continuas que mapean el
intervalo [ ]0,τ− en nℜ y ( )τ
τφφ t
tC
0sup
≤≤−= .
Estos sistemas comúnmente se les asocia a un terceto de la forma:
( ) ( ) ( )∑=
−+=dn
iidi txAtAxtx
1
τ&
[ ]dni
otx,
τ,0-θ)()(1
imax , =
=∈=+ ττθφθ
17
( )∑ τ,, dAA
donde dA es una lista de matrices y τ es una lista de retardos, es decir:
[ ][ ]nd
dndddd dAAAAA
τττττ ...,,...,,
321
321
==
Así en el espacio de parámetros, A corresponde a los estados “actuales” y Ad a los estados
“pasados”.
Se dice que ∑ (el terceto) es asintóticamente estable: significa que el sistema (1.6) es
asintóticamente estable.
Si la dimensión del conjunto de retardos es 1 (nd = 1) se tiene el caso de un solo retardo que es
de los casos que más se encuentran en problemas de ingeniería.
Incertidumbre de sistemas lineales con retardo:
El término de incertidumbre se refiere a las diferencias o errores entre los modelos y la
realidad. La incertidumbre se tiene cuando no se conocen bien los parámetros ),( dAA y/o el
retardo τ.
Un sistema incierto lineal con retardo se define de la siguiente forma
( )Φ∑ ,, D
donde:
∑ Sistema nominal (libre de incertidumbres) como ),,( τdAA .
( )Φ,D Describe la incertidumbre, D es el conjunto de perturbaciones es decir un dominio en
el cual la incertidumbre es conocida para encontrarse y Φ es un mapeo que toma
valores de D, y el cual describe la manera en que la incertidumbre actua sobre los
parámetros del sistema.
Estabilidad independiente del retardo y dependiente del retardo
Siguiendo a Mori [17], tenemos dos tipos de estabilidad asintótica para los sistemas de la
forma (1.6)-(1.7).
18
Independiente del retardo: El sistema es estable para todos los valores de retardos finitos
positivos. Directamente esto implica robustez con respecto al tiempo de retardo.
Dependiente del retardo: la estabilidad es mantenida para algunos valores de retardo y el
sistema es inestable para otros valores.
Suposición 1: El sistema de la forma ( ) ( ) ( )∑=
−+=dn
iidi txAtAxtx
1τ& libre de retardos )0( =τ es
asintóticamente estable. Esto es ),( dAA es Hurwitz.
Si el sistema cumple esta suposición entonces el sistema es estable dependiendo del retardo,
esto es, existen valores )0( >τ para los cuales el sistema es inestable.
Múltiples retardos En este caso tenemos una mezcla de las dos conceptos de estabilidad
asintótica, la cual puede ser llamado independiente del retardo/ dependiente del retardo: en
este caso se tiene estabilidad dependiente del retardo en un retardo ( o en varios ) y estabilidad
independiente del retardo en los otros retardos (o en al menos uno) y todas las posibles
combinaciones.
Es claro que en el espacio de parámetros de retardo se tienen dos conjuntos de retardo
diferentes:
Conjuntos no-acotados: en estos se incluyen los casos independientes del retardo e
independientes del retardo/dependientes del retardo.
Conjuntos acotados: incluyen solamente los casos dependientes del retardo.
Si lo retardos son medibles y tenemos el mismo número de retardos con las dos conceptos de
estabilidad independiente del retardo y dependiente del retardo, ésto puede tomarse como el
caso de un simple retardo.
Los casos de retardos variantes en el tiempo se definen en forma similar al del caso de un solo
retardo.
Robustez
Los problemas de “dependencia de retardo, independencia de retardo” definidos
anteriormente podrían ser vistos como problemas de robustéz con respecto a los retardos.
19
1.10 Análisis de estabilidad de sistemas con retardo
1.10.1 En el dominio de la frecuencia
En el dominio de la frecuencia, los métodos de análisis se limitan a sistemas lineales con un
solo retardo constante, aquí brevemente se mencionaran algunas pruebas analíticas y gráficas
conocidas en la literatura, las cuales son una generalización del método de Hurwitz a sistemas
con retardo.
1.10.1.1 Criterio de Potryagin
Esta prueba se basa en el análisis de la función característica del sistema retardado en la forma
cuasipolinomial [21]:
.),(0 0
∑∑= =
=p
i
q
k
kiik eaeP λλ λλ (1.9)
Permitiendo que ( )ωF y ( )ωG denoten la parte real e imaginaria del cuasipolinomio ),( ⋅⋅P
entonces:
1. Si todas las raíces de P están en el semiplano izquierdo del plano complejo, entonces
las raíces de ( )ωF y ( )ωG son reales, simples, alternadas y se cumple la siguiente
condición.
(1.10)
2. Inversamente , todas las raíces de P están en el semiplano izquierdo del plano
complejo si una de las siguientes condiciones se satisface.
a) Todas las raíces de ( )ωF y ( )ωG son reales, simples, alternadas y la
desigualdad (1.5) se satisface para al menos una ℜ∈ω .
b) Todas las raíces de ( )ωF y ( )ωG son reales, simples y para cada raíz y la
desigualdad (1.5) Se satisface.
( ) ( ) . ,0)(')(' ℜ∈∀>− ωωωωω GFGF
20
1.10.1.2 Criterio del teorema de la pequeña ganancia
Para el caso de un solo retardo, la ecuación funcional lineal con retardo, se puede tomar como
el siguiente sistema dinámico dimensionalmente finito:
)()()( tuAtAxtx d+= (1.11)
donde
( )τ−= txtu )( (1.12)
se supone que el par ( )dAA, es estable para retardo cero.
La función de transferencia de esta representación es:
.)()( 1dnxu AAsIsH −−= (1.13)
y
)()( sXesU sτ−= (1.14)
que en diagrama a bloques se representa en la Figura 1.12:
Figura 1.13 Diagrama a bloques de )()( sxesu sτ−= .
Por lo tanto para ωjs = y aplicando el teorema de la pequeña ganancia se obtiene la
condición de estabilidad asintótica.
1)(sup)(sup <=ℜ∈
−
ℜ∈ωω
ω
ωτ
ωjHejH xu
jxu (1.15)
entonces usando el principio máximo para la frecuencia compleja s se tiene
. ,1)(sup +−
∈ℜ∈∀<
−ττs
xuCs
esH (1.16)
esta desigualdad escalar proviene de la desigualdad matricial
ns
xu IesH <− τ)( ó 0)( >− − τsxun esHI (1.17)
)(sH xu
τse−
U(s) X(s)
21
esta condición conduce a ++−− ∈ℜ∈∀≠−− CseAAsInIn st
d ,,))(det( τ01 (1.18)
lo cual permite concluir la estabilidad independiente del retardo del sistema.
1.10.1.3 El criterio de Desoer y Vidyasagar.
Expresa que en el caso de un simple retardo, el triplete ∑ es asintóticamente estable
independiente del retardo si:
1<dPA (1.19)
donde P es la solución simétrica única y positiva definida de la ecuación de Lyapunov
nT IPAPA 2−=+ . (1.20)
1.10.1.4 Criterios polinomiales
Existen varios criterios polinomiales, de los cuales aquí presentamos dos de los más
conocidos y útiles.
1.10.1.4.1 El criterio de Tsypkin
Este criterio es uno de los primeros resultados de estabilidad en lazo cerrado para retardos
independientes. Se considera una función de transferencia de la siguiente forma.
,)()()( τs
o esQsPsH −= (1.21)
donde )(sP y )(sQ son polinomios reales de grado )1( −n y n, respectivamente. Entonces
tenemos los siguientes resultados [4]:
• Si )(sQ es un polinomio estable entonces el sistema en lazo cerrado es:
τ
τ
s
s
o esPsQesPsH −
−
+=
)()()()( (1.22)
es asintóticamente estable si y solamente si la siguiente condición se cumple para toda
ℜ∈ω
)()( ωω jPjQ > (1.23)
22
1.10.1.4.2 Técnicas de matriz lápiz
Una manera de manejar el criterio de independiente del retardo/dependiente del retardo, es
usando las técnicas de matriz lápiz. Dentro de los criterios polinomiales existe el caso de
polinomios de dos o mas variables. Uno de los mayores inconvenientes que existen en estos
casos es el checar el criterio en algún ejemplo numérico. Una manera de atacar esta
problemática fue reducir las variables de dos a una variable, entonces derivar una matriz lápiz
a partir de la linealización de la matriz polinomial y computar la distribución de los valores
propios generalizados con respecto al círculo unitario con respecto a la matriz lápiz constante
y de dimensión finita.
En este caso la construcción de las matrices lápiz serán asociadas a retardos finitos. Para dar
una buena caracterización se necesita usar una distribución generalizada de valores propios
para una segunda matriz lápiz asociada a retardos infinitos.
Definición de una matriz lápiz y algunas de sus propiedades:
consideremos dos matrices reales: ., hhNM ×ℜ∈
1) La matriz lápiz CzNzM ∈+=Λ , es llamado simplemente dicotómica relativa al
circulo unitario si no tiene valores propios en el círculo unitario.
2) La matriz lápiz CzNzM ∈+=Λ , es llamada dicotómicamente separable relativa al
círculo unitario si existe r valores propios hrrii <≤= 1,,1,λ tal que 1>iλ , para
toda ri ,1= , y para toda 1,,1 <+= ihrj λ (i.e. r valores propios fuera del círculo
unitario y todos lo otros dentro del círculo unitario). Además, si rh 2= , entonces la
matriz lápiz es llamada simétricamente dicotómicamente separable relativa al círculo
unitario.
Ahora, a partir de la ecuación diferencial funcional lineal con retardo se obtienen las
siguientes matrices lápiz:
.2,1=+=Λ iNzM iii (1.24)
donde )()(22
)2()2(11 ,,
22 nnnnnnnn dddd NMNM ×× ℜ∈ℜ∈ son dadas por:
23
⊗
=
nn
n
n
n
IAI
II
M
d000
000
000000
2
2
2
1
L
L
O
L
L
,
−
−−
=
−+−+−− 121
1
2
2
2
000
000000
dddd nnnn
n
n
n
BBBBI
II
N
L
L
O
L
L
,
=
n
n
n
n
AI
II
M
000000
000000
2
L
L
O
L
L
,
−
−−
=
−− 1221
2
0000
00000000
dd nn
n
n
n
AAAAAI
II
NL
O
L
L
,
con ( )1,1 ),,1( −==− didk niBnkB dado por:
,
, ,
0T
niiTknk
AAB
IABAIB
⊕=
⊗=⊗=− (1.25)
donde ⊕⊗ , son el producto y la suma de Kronecker. Según [18] la matriz lápiz )(1 zΛ es
asociada al caso de retardos finitos y )(2 zΛ al caso de retardos infinitos.
Sea )(Λσ el conjunto de valores propios de una matriz lápiz Λ y sea ( ) ( )21 Λ−Λ= σσσ a
(i.e los valores propios generalizados de la matriz lápiz 1Λ , los cuales no son valores propios
de matriz lápiz 2Λ ).
Con estas notaciones y definiciones, los resultados son los siguientes:
Teorema 1. ESTABILIDAD INDEPENDIENTE DEL RETARDO
Las siguientes postulados son equivalentes.
(i) El triplete Σ es asintóticamente estable, independiente del retardo.
(ii) El par ( )dAA, y la matriz polinomial son asintóticamente estables.
( ) ( )∑−
=
−−
+− ++++⊗=
1
10
21 )(
nd
i
ink
inkn
ndnnn
dd
d
d
dzBzBBzBzIAzP (1.26)
no tiene raíces en el círculo unitario; o si las tiene, todas las raíces 0z de )(1 zP en el círculo
unitario son raíces de la matriz polinomial )(2 zP :
24
donde
.)(1
2 ∑=
+=dn
k
kk zAAzP (1.27)
(iii) El par ( )dAA, es asintóticamente estable y la Matriz Lápiz 1Λ es
dicotómicamente separable relativa al círculo unitario, ó si no, todos los valores
propios generalizados de 1Λ en el círculo unitario son valores propios de 2Λ .
Por lo tanto 1Λ y 2Λ son la linealización de las matrices polinomiales )(1 zP y )(2 zP
respectivamente. Así que todos los resultados que se obtengan en el marco de matrices lápiz
pueden convertirse a un marco polinomial y a la inversa. Definitivamente para propósitos
computacionales es preferible la formulación en el marco de matrices lápiz.
Teorema 2. ESTABILIDAD DEPENDIENTE DEL RETARDO.
Los siguientes postulados son equivalentes:
i) El triplete Σ es asintóticamente estable para [ )r,0∈τ .
ii) El par ( )dAA, es asintóticamente estable y la matriz lápiz 1Λ tiene por lo menos
un valor propio generalizado 0z sobre el círculo unitario el cual no es un valor
propio de la matriz lápiz 2Λ . Además la cota óptima sobre el tamaño del retardo
esta dada como:
id k
k
ninnk ωα
τ≤≤≤≤
=121
* minmin2
(1.28)
donde [ ] aj
kke σπα α ∈∈ − ,2,0 y
ikjω es un valor propio de la matriz compleja:
∑=
−+d
k
n
i
ijkieAA
1
α . (1.29)
25
1.10.2 En el dominio del tiempo
SEGUNDO METODO DE LYAPUNOV.
Existen dos maneras de desarrollar el segundo método de Lyapunov para sistemas con
tiempo de retardo.
• Uno se basa en la teorías funcionales de Lyapunov-Krasovskii.
• El otro en la teoría de funciones de Lyapunov-Rasumikhin.
1.10.2.1 Método funcional de Lyapunov Krasovskii.
Aquí se presenta el caso de un sistema invariante en el tiempo y de un simple retardo.
Criterio para el tipo de independiente del retardo. Se considera primero un triplete
( ),,, τdAA=∑ incluyendo un simple retardo y se presenta el siguiente funcional de
Lyapunov-krasovskii:
>>+++= ∫−
0 ,0)()()()()(
0
SPdtSxtxtPxtxxV TT
t τθθθ (1.30)
tx es la restricción de ( )⋅x a [ ]tt ,τ− .
Aplicando este funcional se obtiene el siguiente resultado:
Proposición 1. El triplete ∑ es asintóticamente estable independientemente del retardo si
existe un triplete de matrices simétricas definidas positivas 0 ,0 >> SP y 0>R
satisfaciendo la ecuación de Riccati:
01 =++++ − RSPASPAPAPA Tdd
T (1.31)
Para detalles ver [19]. Una condición necesaria para la existencia de un triplete de matrices
positivas definidas es que la matriz A sea estable. El criterio se puede extender a sistemas con
retardo variables en el tiempo y sistemas con múltiples retardos.
1.10.2.2 Método de la función de Lyapunov-Rasumikhin
Aquí como en la presentación anterior, se presenta únicamente el caso para pruebas de
estabilidad independientes del retardo, para sistemas con un solo retardo variable en el tiempo
( ) )(rt ντ ∈ con 0>r pero arbitrario.
26
Para este caso la función de Lyapunov-Rasumikhin es:
>=
0)()())((
PtPxtxtxV T
. (1.32)
Proposición 2. El triplete ))(,,( tAA d τ=∑ es estable independiente del retardo si unas de las
siguientes condiciones se satisface:
i) Existe una solución P simétrica y definida positiva para la siguiente desigualdad
de Ricatti:
,011 <+++ −− PPAPPAPAPA Tdd
T ββ (1.33)
ii) Existe una solución Q simétrica y definida positiva para la siguiente desigualdad
matricial:
,01 <+++ − BQQAAAQQA Tdd
T β (1.34)
donde β es un escalamiento positivo.
Semejante al caso anterior el criterio se puede extender al análisis de estabilidad dependiente
del retardo, para lo cual se han obtenido resultados para sistemas con un solo retardo, retardo
variable en el tiempo y sistemas con múltiples retardos.
Se ha concluido que las técnicas en el dominio del tiempo deberían aplicarse como sigue:
• Primero, comprobar si el sistema es estable independiente del retardo utilizando un
funcional de Lyapunov-Krasovskii.
• Segundo, si lo anterior falla, obtener una cota subóptima sobre el tamaño del retardo
utilizando la función de Lyapunov-Rasumikhin.
En el siguiente capítulo trata sobre el diseño de un regulador local, para compensar los errores
de modelado y el rechazo a disturbios, el cual forma parte del sistema de teleoperación
descrito en la Figura 1.11.
27
CAPÍTULO 2
DISEÑO DE UN REGULADOR LOCAL
Introducción
Como se explicó en el capítulo 1 un sistema retroalimentado con teleoperación, tiene dos
posibles estructuras: aquella en la cual el bucle de control se encuentra en el lugar de
localización de la planta. En este caso lo único que se envía a través de las líneas de
comunicación son las señales comando; la segunda estructura es aquella donde el controlador
se localiza en el centro de comando y los lazos del bucle son cerrados usando uno o dos
canales de comunicación. La primera estructura es la más común, pero existen casos muy
particulares en las cuales se requiere de la segunda. Esto es, por ejemplo, cuando debido a
condiciones ambientales hostiles el controlador debe estar alejado de la planta o de sus
actuadores. Este es el que se analiza y se propone un diseño de un controlador, en este trabajo.
El problema más grave en esta estructura es la inestabilidad que se puede presentar debido a
los tiempos de retardo presentes tanto en la trayectoria directa como en la trayectoria de
retroalimentación.
2.1 Estructura de control
Para aminorar este problema, se propone el diseño de un controlador robusto a tiempos de
retardo, que mantenga la estabilidad del sistema con tiempos de retardo grandes. Otro
problema que se presenta debido a estos tiempos de retardo, es la respuesta lenta que pueda
tener el sistema a disturbios a la salida de la planta, para mejorar el funcionamiento en este
aspecto, se propone el diseñar un regulador robusto a incertidumbres aditivas de la planta
local. Por lo tanto, la estructura que se propone para este telecontrol se muestra en la Figura
2.1
28
++
++++
++
=75.025.1
)15.0806.0(73.11
)3.0(73.11
)3.0(73.12
2
ssss
ss
ssdiagWa
Figura 2.1 Estructura de telecontrol.
Este capítulo es dedicado al proceso de diseño del regulador local robusto a la planta. En este
caso la planta bajo estudio es un robot de 3 GDL. El método de diseño usado en este caso es
la técnica de automatización H∞ .
2.2 Diseño de un regulador robusto local
Se busca un controlador cuyos objetivos son atenuar los efectos de incertidumbre de la planta
y atenuar los disturbios a la salida de la misma, para así alcanzar un sistema regulador
robusto.
En trabajos anteriores [7], se obtuvo tanto el modelo nominal de la planta Gn(s) que es una
matriz de transferencia de 33× , así como un modelo de la incertidumbre aditiva de la planta,
de la cual se derivó una matriz de peso )(sWa correspondiente. A continuación se muestra
esta matriz.
(2.1)
El diagrama a bloques del sistema propuesto para diseño H∞ del regulador se muestra en la
Figura 2.2. K(jω) es el controlador a diseñar, G(jω) es la planta nominal y las funciones de
peso Wa(jω), Wd(jω), W1(jω), W2(jω), que se muestran en la Figura 2.2 respectivamente:
Wa(jω) la función de peso de la incertidumbre tal que 1)()( <∆∞
ωω jjW aa para una
incertidumbre acotada βω <∆∞
)( ja
Wd(jω) modela el sistema generador de disturbios que afectan a la sensibilidad de la
planta.
Centro de comandos ( )tr G Kc
y (t) KL
29
W1(jω) permite resaltar aquellas señales que son de interés para verificar el funcionamiento
del sistema.
W2(jω) es un sistema en el cual se define el comportamiento de la señal de control tal que se
evite la saturación de los actuadores.
Figura 2.2 Diagrama a bloques del sistema de control.
Del diagrama anterior las salidas objetivo y las señales externas son:
=
2
1
zzz
za
=
dw aω
Por lo que el sistema se puede representar como
Figura 2.3 Diagrama a bloques estándar.
Siendo P(s) la planta aumentada definida a través de:
K(jω) G(jω)
W2(jω)
Wa(jω)
W1(jω)
Wd(jω)∆a(jω)
z2
z1
za
yg y
ωa
u
yd
d
P(s)
K(s)
z w
y u
30
GudWyuWz
GuWdWWWzuWz
da
da
aa
−−−==
++==
ω
ω
22
1111
ó matricialmente como:
−−−
=
ud
GWIW
GWWWWW
yzzz
a
d
d
aa ω
2
111
2
1
00
00
(2.2)
Obtener la realización de esta planta directamente es muy complicado pero esto se facilita si
se basa en las realizaciones de cada componente, como sigue [8]:
=
gg
gg
DCBA
G ,
=
aa
aaa DC
BAW ,
=
dd
ddd DC
BAW ,
=
11
111
WW
WW
DCBA
W ,
=
22
222
WW
WW
DCBA
W .
Del diagrama a bloques del sistema retroalimentado de la Figura 2.2 obtenemos las siguientes
ecuaciones de estado:
uBxAx gggg +=& uDxCy gggg +=
uBxAx aaaa +=& uDxCz aaaa +=
dBxAx dddd +=& dDxCy dddd +=
)(1111 adgWWWW yyBxAx ω+++=& )(1111 adgWWW yyDxCz ω+++=
uBxAx WWWW 2222 +=& uDxCy WWWW 2222 +=
agd yyy ω−−−=
se define el nuevo vector de estados como:
31
=
2
1
W
W
d
a
g
xxxxx
x
eliminamos la variable yg y obtenemos la realización de la planta aumentada.
uDwDxCyuDwDxCz
uBwBAxx
22212
12111
21
++=++=
++=&
u
BDB
BB
dDBB
B
xxxxx
AACBCB
AA
A
xxxxx
W
gW
a
g
a
dWW
d
W
W
d
a
g
W
WaWgW
d
a
g
W
W
d
a
g
+
+
=
2
111
2
1
2
111
2
1
0
00
00000
000000000000000000
ω
&
&
&
&
&
uD
DDD
dDDD
xxxxx
CCCDCD
C
zzz
W
gW
aa
gWW
W
W
d
a
g
W
WdWgW
aa
+
+
=
2
111
2
12
111
2
1
00
00
0000000000
ω
[ ] [ ] uDd
DI
xxxxx
CCy ga
d
W
W
d
a
g
dg −+
−−+
−−=ω
2
1
000 (2.3)
32
2221
1211
PPPP
K
z w
y u
Volviendo a la Figura 2.3 y particionando la planta aumentada como:
=
2221
1211)(PPPP
sP ,
quedando como se muestra en la Figura 2.4
Figura 2.4 Planta aumentada particionada
donde:
=
00
00
1111 dWWWP
=
2
112
WGW
WP
a
[ ]dWIP −−=21 [ ]GP −=22
Se busca obtener la matriz de función de transferencia o matriz de transferencia wzℑ de las
señales externas w a las señales objetivo z. Esto se puede realizar usando una transformación
fraccional lineal sobre el sistema mostrado en la Figura 2.4 que para este caso seria.
( ) 211
221211 PKPIKPPwz−−+=ℑ (2.4)
la cual substituyendo las submatrices ijP se obtiene:
−−
−−=ℑ
d
d
daa
wz
KSWWKSWSWWSWKSWWKSW
22
11 (2.5)
Con esto ahora es posible plantear el problema ∞H el cual consiste en obtener un controlador
estable K(jω) que minimice la norma-∞ de wzℑ y mantenga estable al sistema en bucle
cerrado esto es:
∞ℜ∈ℑwz
sKmin
)( (2.6)
De wzℑ se derivan las siguientes condiciones de estabilidad y funcionamiento:
Estabilidad robusta se logra si:
33
1<KSWa (2.7)
Funcionamiento nominal o para este caso regulación robusta se alcanza si :
[ ] 12
1,, 21
<−
=d
ddzz KSWW
SWWT (2.8)
y Funcionamiento Robusto se logra si:
1<ℑ∞wz (2.9)
La condición de funcionamiento nominal es utilizada por Khargoneckar [9] para el diseño de
un regulador robusto de un sistema sin incertidumbre.
2.3 Relaciones para determinar la calidad del diseño:
Una vez diseñado el controlador K(s) el regulador quedará como se observa en la Figura 2.5:
Figura 2.5 Sistema de control en lazo cerrado.
Donde G(s) es la matriz de transferencia real de la planta esto es aan WsGsG ∆+= )()( . A
partir de este diagrama encontramos las siguientes relaciones, cuyas respuestas mostrarán si se
alcanzaron o no las especificaciones de diseño.
a) Relación de la salida al disturbio
dGKydGKy
yGKdy
1)1()1(
)(
−+=
=+−+=
definiendo: 1)1( −+= GKSo
entonces:
dSy o= (2.10)
K(S) G(s)-y u
d
y +
34
donde oS es la matriz de sensibilidad de salida.
b) Relación de la señal de control al disturbio:
KdKGuKdKGu
GudKuGudyyKu
1)1()1(
)(
)(
−+−=
−=++−=
+=−=
definiendo 1)1( −+= KGSi
entonces
KdSu i= (2.11)
donde iS es la matriz de sensibilidad de entrada.
Entonces para un buen rechazo de disturbio a la salida de la planta se requiere que la ganancia
del lazo ( oLGK = ) sea grande en el rango de frecuencias donde el disturbio es significativo,
esto es se busca 1)( >>oLσ donde σ es el valor singular más pequeño de oL .
En resumen, un buen funcionamiento requiere que en rangos de frecuencias baja (0,ωl),
donde lω es la frecuencia de cruce por cero de la planta, se cumpla lo siguiente:
11 ,1)( >>>>>> (K), (KG) GK σσσ (2.12)
por otro lado la ganancia de bucle deberá de desenrollar con una pendiente decdB 20−< a
frecuencias altas ( )hωω > , para tener un buen margen de estabilidad. Comúnmente esto se
logra con un controlador )( ωjK que muestre estas características.
En la parte de frecuencias intermedias la pendiente de la ganancia de lazo oL deberá de ser
de decdB 20− en el cruce de la línea de dB/dec 0 .
Estos requerimientos de diseño se muestran gráficamente en la Figura 2.6:
35
Figura 2.6 Ganancia de lazo deseada
2.4 Procedimiento de diseño del regulador en el marco H∞.
Una vez establecidas las características para prueba de funcionamiento de nuestro sistema, a
continuación se describe el procedimiento ∞H .
1. Primeramente se detecta el rango de frecuencias donde se encuentren las dinámicas de
los disturbios que se desea rechazar, y se define una función Wd que modele estas
dinámicas.
2. Posteriormente se definen las funciones de peso W1 y W2 las cuales resalten aquellas
señales de interés que permiten verificar el funcionamiento del sistema y evitar la
saturación de los actuadores.
3. Se procede a utilizar las funciones del Robust Control Toolbox de Matlab, para
encontrar una ley de control para el diseño.
4. Se verifica que la nueva ley de control obtenida, cumpla con lo siguiente: con las
especificaciones de funcionamiento establecidas por la ganancia del lazo, que tenga un
buen rechazo a disturbio, que la señal de control no sature a los actuadores. Satisfaga
las pruebas de estabilidad robusta, funcionamiento nominal y funcionamiento robusto
anteriormente establecidas.
ωl ωh
logω
)(Lσ
)(Lσ
Magnitud
36
5. Si esto no es así, se modifican las funciones de peso W1 y W2 y se realiza el paso 3, y
así sucesivamente hasta encontrar la ley de control deseada.
En el caso que no se encuentre una ley de control que satisfaga las especificaciones de
funcionamiento y pruebas establecidas, se realiza de nuevo un modelo de las dinámicas de las
perturbaciones siendo menos exigentes y ambiciosos.
2.5 Determinación de las funciones de peso.
Como primer intento de diseño del regulador se propusieron las siguientes funciones de peso,
que corresponden a las funciones de peso que se encuentran en el diagrama a bloques
propuesto para el diseño del regulador del sistema en cascada.
Las funciones de peso propuestas son propias y de primer grado con el propósito de
mantener un bajo grado de complejidad. La única excepción es la función de peso Wa que
contiene un término cuadrático.
2.5.1 Función de peso Wd.
Se definen las dinámicas de los disturbios como sigue.
Ya que los disturbios que se pretende rechazar son de baja frecuencia, tipo escalón
principalmente se propone para Wd un filtro pasabajos tipo red de atraso con alta ganancia a
CD (Corriente Directa) y una frecuencia de cruce por cero de 35.0≅ próxima a la frecuencia
de cruce de la planta de la forma (2.12), como se muestra en la Figura 2.7.
31500
1401200
)( Is
ssWd +
+
= (2.13)
37
Figura 2.7 Función de las dinámicas de los disturbios.
La presencia de disturbios tipo escalón en nuestro robot provoca que las señales comando en
el sistema en bucle abierto tenga una desviación como se muestra en la Figura 2.8
Figura 2.8 Desviación de las señales comando en nuestro robot en presencia de disturbios.
Definiendo el error entre bθ y cθ como
( ) ( )tt cibiie θθθ −≅= 3,2,1max (2.14)
donde
=
3
2
1
b
b
b
b
θθθ
θ y
=
3
2
1
c
c
c
b
θθθ
θ (2.15)
a
bc
y
x
38
2.5.2 Función de peso W1.
El inverso de la función de Peso W1 deberá de modelar a la función de sensibilidad ya que la
función de sensibilidad está cercanamente relacionada con los objetivos de funcionamiento
esto es, que la norma de la función de sensibilidad debe mantenerse en un nivel bajo en el
rango de las bajas frecuencias donde los disturbios son significantes [8]. También es necesario
11 ≤SW , esto es que la salida sea insensible a variaciones o incertidumbres de la planta esto
se puede ver de wzℑ . Los requerimientos de funcionamiento de la función de sensibilidad
para el caso escalar pueden ser representados aproximadamente por:
ωωωεω
∀=+
+≤ , ,)( js
Msss
sSb
b (2.16)
donde
Ms es el pico de la función de sensibilidad o su ∞
S . El valor de Ms en un buen diseño de
control no debe de ser muy grande.
bω determina el ancho de banda de la función de sensibilidad.
ε es la ganancia a CD de la función de sensibilidad.
Estos requerimientos de funcionamiento pueden ser observados en la Figura 2.9.
Figura 2.9 Definición de la función de peso W1.
1
1W
)( ωjSbω
ε
1
Ms
logω
Magnitud
39
Para encontrar los valores de ε , se propuso alcanzar una desviación máxima de °≅ 1θ para
un disturbio que provoca una desviación de 15° en bucle abierto. Por lo tanto W1 deberá de
tener una ganancia de 15 a CD para una frecuencia de cruce de 28.0≅ .
Por lo tanto W1(s) se propone de la forma:
( ) I 31 ⋅+
+=
εωω
b
b
sMss
sW (2.17)
se propone una 1W con una alta ganancia en las bajas frecuencias. Esto es 15/1=ε ,
28.0≅bω . Esto lleva a la siguiente W1(s):
++
++
++
=15.0
)1003.0(151100
)1045.0(151100
)1045.0(151 s
ss
ss
sdiagW (2.18)
cuya gráfica se muestra en la Figura 2.10.
Figura 2.10 Valores singulares de la función de peso W1.
´
40
2.5.3 Función de peso W2.
La señal de control u está dada por KSd , donde d(s) es el disturbio [8]. En las bajas
frecuencias la señal de control puede llegar a saturar los actuadores. Una función de peso W2
evitará que los actuadores se saturen si el inverso de la función W2 modela la magnitud de
KS como se muestra en la Figura 2.11.
Figura 2.11 Definición de la función de peso W2.
En la literatura [8] de diseño de controladores robustos se recomienda que W2(s) sea de la
forma
bc
bc
sMus
Wωε
ω+
+=
12 (2.19)
donde
Mu es la máxima ganancia ya que la señal de control puede llegar a saturar los
actuadores.
bcω y 1ε limitan el ancho de banda y la ganancia en las altas frecuencias como los ruidos de
las sensores.
Para nuestro caso se escogió un filtro pasa altas de ganancia a CD de 1/800, esto es 800=Mu
con una frecuencia de cruce por cero 30=bω y un =ε 25. esto lleva a la siguiente W2.
2
1W
)( ωjKSbcω
1ε
Mu
Magnitud
logω
41
32
17531800
)14.26( Is
sW
+
+= (2.20)
Cuya gráfica se muestra en la Figura 2.12
Figura 2.12 Función de peso W2.
2.6 Pruebas de simulación
A continuación se presentan resultados gráficos, los valores singulares del controlador que se
obtuvo en el diseño, la función de sensibilidad, pruebas de estabilidad robusta,
funcionamiento nominal y respuesta en el tiempo a un disturbio de tipo escalón a la salida de
una magnitud de 100, para diferentes W1 y W2. Es importante señalar que las modificaciones
efectuadas en las funciones de peso fueron solamente en sus ganancias, para conservar un
grado de complejidad bajo.
2.6.1 Pruebas con W1.
Para ver el efecto de la función de peso W1 sobre el regulador, cambiaremos las ganancias
del primer elemento que es W1,11 y W1,22 variando la magnitudes en 50, 70 y 90
respectivamente. Al aumentar las ganancias se obtuvo lo siguiente:
• Una mejora pequeña en la rapidez de respuesta al rechazo a disturbio en nuestra salida,
como se ve en la Figura 2.13 (a).
´
42
• En ninguna de las ganancias se satisfacen las condiciones de funcionamiento nominal
ni de estabilidad robusta esto se observa en la Figura 2.13 (b).
Figura 2.13 (a) Respuesta de rechazo al disturbio; (b) Pruebas de funcionamiento nominal y estabilidad robusta.
• En la función de sensibilidad observamos pocos cambios en las bajas frecuencias, ver
Figura 2.14 (a).
• En el controlador se observan cambios únicamente en las altas frecuencias, ver Figura
2.14 (b).
Figura 2.14 (a) Valores singulares de la función de sensibilidad; (b) Valores singulares del controlador.
(a) (b)
V V
(a) (b)
R P
Gra
dos
43
Manteniendo las ganancias de W1,11 y W1,22 en 40 y 100 respectivamente, se variaron las
magnitudes del tercer elemento de la función de peso W1 en magnitudes de 5, 10 y 20 y se
obtuvieron los siguientes resultados.
• No hubo cambios en el controlador en el rango de frecuencia de trabajo.
• La función de sensibilidad sufrió pequeños cambios entre el rango de frecuencias de
10-2 y 100, observándose un corrimiento de la frecuencia de cruce por cero hacia hacia
las bajas frecuencias
Figura 2.15 (a) Valores singulares del controlador; (b) Valores singulares de la función de sensibilidad.
• No modifica las pruebas de estabilidad robusta y funcionamiento nominal como se
puede ver en la Figura 2.16.
Figura 2.16 Pruebas de estabilidad robusta y funcionamiento nominal.
(a) (b)
V V
P
44
En general se concluye que este diseño es poco sensible a variaciones de ganancia en los
elementos de W1.
2.6.2 Pruebas con W2.
También en este caso se ajustaron las ganancias de los tres elementos de la función de peso
W2 usando los valores de ganancia de: 1/10, 1/405 y 1/800 y se obtuvieron los siguientes
resultados:
• Al aumentar la magnitud de W2 la caída (roll-off) del controlador de 40 dB/dec pasa a
ser de 20 dB/dec, pero no sufre ningún cambio a las bajas frecuencias como se observa
en la Figura 2.17(a).
• En la función de sensibilidad, se provoca un ligero corrimiento hacia las altas
frecuencias del punto de cruce por cero decibeles de 0.0012 rad/seg.
Figura 2.17 (a) Valores singulares del controlador; (b) Valores singulares de la función de sensibilidad.
• Tanto las condiciones de la función nominal como de estabilidad robusta no mejoraron
significativamente y siguen sin cumplirse, ver Figura 2.18(a).
• Al aumentar las ganancias de W2, provoca que la respuesta al disturbio sea mas
rápida.
(a) (b)
V V
45
Figura 2.18 (a) Pruebas de estabilidad robusta y funcionamiento nominal; (b) Respuesta al disturbio.
Se concluye que la ganancia de W2 a CD tampoco sirve como un parámetro de diseño
significativo ya que el diseño es poco sensible a la misma.
Siguiendo con el procedimiento de diseño del regulador, en el cual no se obtuvieron los
resultados deseados con las funciones propuestas de Wd, W1 y W2 se procede a seleccionar
una nueva función Wd menos exigente, realizando de nuevo el paso 3 y 4 del procedimiento
hasta encontrar una ley de control que cumpla con las pruebas establecidas.
2.6.3 Selección de una nueva función de peso Wd.
En la primera función de peso Wd propuesta, se observa que la magnitud de los disturbios que
se deseaban rechazar en las bajas frecuencias fue de aproximadamente de 46 dB. Haciendo un
análisis de la planta (robot de 3 GDL), se observa que en las dos primeras articulaciones la
presencia de disturbios es menor ya que el movimiento que realizan es horizontal en cambio
la articulación número tres realiza un movimiento vertical, donde la presencia de los
disturbios se presenta en mayor medida. Tomando en cuenta las características de
construcción de la planta anteriormente descritas, se propuso una nueva función Wd que
modele en una forma más fiel las dinámicas de los disturbios que se desean rechazar, es decir:
(a) (b)
P R
46
+
+
+
+
+
+
=1800
1100
540
1800
1100
5
1800
1100
5
)(s
s
s
s
s
sdiagsWd (2.21)
En esta nueva función se manifestó más el efecto de integración al disminuir más la
frecuencia de esquina a las bajas frecuencias de 1/500 a 1/800 y se disminuyeron
drásticamente las ganancias a CD de 11dW y 22dW a 1 mientras que la ganancia a CD de 33dW
se ajustó a 40, esto trajo como se consecuencia en que la frecuencia de cruce de cero bajara
casi dos décadas a un valor de 0.06 rad/seg como se puede ver en la grafica de la Figura 2.19:
Figura 2.19 Dinámica de los Disturbios.
Utilizando la nueva función Wd, y ajustando la ganancia de CD de )(1 sW con el
procedimiento de simulación procederemos a obtener a través de simulaciones, las funciones
de peso W1 y W2 más convenientes, que puedan cumplir con las especificaciones de diseño y
pruebas establecidas, aplicando los criterios ya descritos. Esto lleva a modificar los polos de
la función de peso W1, manteniendo una función de sensibilidad aceptable. Las funciones de
pesos obtenidas son las siguientes:
47
+
+
+
+
+
+
=
+
+=
++
++
++
=
++
++++
++
=
1800
1100
540
1800
1100
5
1800
1100
5
)(
17531800
)14.26(166.66
)1003.0(201100
)104.0(401100
)104.0(100
75.02.1)15.0806.0(73.1
1)3.0(73.1
1)3.0(73.1
32
1
2
2
s
s
s
s
s
sdiagsW
Is
sW
ss
ss
ssdiagW
ssss
ss
ssdiagW
d
a
(2.24)
Con ésto se obtuvo un controlador )(sK de orden 11.
Los resultados de este nuevo diseño se muestran a continuación y los resultados gráficos
obtenidos son los siguientes:
• En la Figura 2.20 se muestra que la prueba de estabilidad robusta se cumple,
asegurándonos que a pesar de las variaciones que puedan presentarse debido a la
incertidumbre aditiva de la planta, esta misma se mantendrá estable.
• También se muestra que la prueba de funcionamiento nominal se cumple,
asegurándonos que cuando se presente un disturbio a la salida de la planta nominal
éste será regulado.
Figura 2.20 Pruebas de estabilidad robusta y funcionamiento nominal.
(2.22)
(2.23)
(2.25)
10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1Estabilida Robusta y Funcionamiento Nominal
rad/sec
Estabilida RobustaFuncionamiento Nominal
Mag
nitu
d
48
10-3 10-2 10-1 100 101 102 10310-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103Valores singulares del Regulador
rad/sec
• En la figura 2.21 la prueba de funcionamiento robusto se cumple, asegurándonos que
el sistema se mantendrá estable a las variaciones paramétricas (incertidumbre tipo
aditiva) y regulará cualquier disturbio presente en la salida de la planta, siempre y
cuando éste disturbio se encuentre dentro del modelo de la función Wd .
Figura 2.21 Prueba de funcionamiento Robusto.
• En la Figura 2.22 el controlador multivariable obtenido tiene las características de un
integrador, sin embargo, en la respuesta al disturbio mostrado en la Figura 2.24 se
observa un pequeño error en estado estacionario.
Figura 2.22 Valores singulares del regulador.
• En la Figura 2.23 se muestra la función de sensibilidad obtenida que cumple con los
objetivos de funcionamiento ya que se mantiene en un nivel bajo en el rango de
frecuencias, donde los disturbios son significantes y la norma de la función de
10-3 10-2 10-1 100 101 102 10310-3
10-2
10-1
100Funcionamiento Robusto
rad/sec
Mag
nitu
d M
agni
tud
49
sensibilidad se encuentra por debajo del inverso de la norma de W1, como se muestra
en la Figura 2.25.
Figura 2.23 Valores singulares de la función de sensibilidad.
• En la Figura 2.24 se muestra la respuesta al disturbio del sistema controlado, donde
se observa un error en estado estacionario °≅ 15.0 en la segunda y tercera
articulación, y un error de cero en la primera.
Figura 2.24 Respuesta al disturbio del sistema controlado para disturbios con magnitudes de -2º, 4º, y –10º para las articulaciones 1, 2 y 3 respectivamente.
Para comprobar que el diseño satisface la condición de que SW >11 , esta función se
muestra la Figura 2.25.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4Respuesta a un disturbio del sistema controlado
sec
grad
os
Articualcion 1Articulacion 2Articualcion 3
Gra
dos
50
Figura 2.25 Función de sensibilidad y el inverso de la norma de W1.
2.7 Experimentación
A continuación se mostrarán los resultados gráficos obtenidos a través de la experimentación,
al utilizar el controlador de orden reducido diseñado con las funciones de peso anteriormente
descritas.
2.7.1 Seguimiento
La experimentación consistió en dar una señal de referencia tipo escalón a cada una de las
articulaciones de nuestro robot (Robix) que son las siguientes:
Articulación #1: 60º.
Articulación #2: 45º.
Articulación #3: 20º.
Se procedió a obtener la gráficas de la señal de salida del robot, la señal de control aplicada al
robot y la señal de error las cuales se muestran a continuación en las Figuras 2.26 a), b) y c)
respectivamente.
V
51
Figura 2.26 (a) Señal de salida del robot; (b) Señal de control; (c) Señal de error. Las unidades están dadas en grados.
Se observa un seguimiento de la señal de referencia con un error en estado estable de cero en
la articulación dos y tres, y aproximadamente 1° en la articulación uno.
2.7.2 Regulación
Se realizó de nuevo este experimento con las mismas señales de referencia pero se añadió un
peso en el extremo de la articulación número 3 de aproximadamente 250gr., obteniéndose los
resultados mostrados en la Figura 2.27.
(a) (b)
(c)
Gra
dos
Gra
dos
Gra
dos
Segundos
Segundos
Segundos
52
Figura 2.27 (a) Señal de salida del robot; (b) Señal de control; (c) Señal de error.
Al añadir una carga, observamos en las gráficas el esfuerzo de la regulación tanto en la señal
de salida del robot como en la señal de control, principalmente de la articulación 3, al vencer
el par de gravedad presente con la carga. Se observa en este caso un error en estado estable en
las 3 articulaciones de °≅ 1 , valor que está dentro de lo esperado.
En el capítulo 3 se diseñará el segundo controlador Kc de la estructura de teleoperación de la
Figura 2.1, éste deberá hacer al sistema de teleoperación tenga un funcionamiento robusto, en
presencia de tiempos de retardo en las líneas de transmisión.
(b)(a)
(c) Segundos
Segundos Segundos
Gra
dos
Gra
dos
Gra
dos
53
CAPÍTULO 3
DISEÑO PARA LA ATENUACIÓN DE LOS TIEMPOS DE RETARDO
Introducción
Como se había mencionado en el capítulo 1, el fenómeno de los tiempos de retardo en los
bucles de control, principalmente en sus canales de comunicación, en los sistemas de
teleproceso, producen efectos, que afectan las características de estabilidad como su respuesta
a comandos y a disturbios. En este mismo capítulo se propuso un sistema de control de dos
controladores en cascada, discutiéndose las ventajas y desventajas que este tipo de control
tiene.
En el capítulo 2 se obtuvo un regulador robusto LK a incertidumbre aditivas de la planta local,
y con este mismo rechazar los disturbios que pueda tener el sistema a la salida y mostrándose
los resultados obtenidos, tanto computacional como experimentalmente. En este capítulo se
considera el análisis y diseño de un control remoto para la planta regulada, la técnica de
diseño para diseñar este control es a través de la técnica síntesis-µ. Los objetivos de diseño
que se buscan en este control son: hacer que la planta regulada sea robusta a los tiempos de
retardo presentes en las líneas de transmisión, que la salida y(t) siga fielmente o rastree
señales comando y que el sistema sea robusto al ruido presente en los sensores
(servopotenciómetros). Considerándose el diagrama o estructura del sistema controlado,
mostrado en la Figura 3.1.
Figura 3.1 Sistema de control en cascada.
Controlador Remoto
( )tr G Kc y (t)
KL
Planta Regulada
54
3.1 Tiempos de retardo
Los canales de comunicación introducen retardos tanto en la dirección directa como en la
retroalimentación, por lo que esto lleva a representar el diagrama anterior con un modelo de
estos retardos, como se muestra en la Figura 3.2.
Figura 3.2 Sistema de control con tiempos de retardos.
Donde cK es el control que se busca diseñar para atenuar los efectos de los tiempos de
retardo y alcanzar un seguimiento asintótico en la salida y(t) de la entrada comando r(t), τse− son los retardos en la línea de transmisión, )(sM es la planta regulada en el lugar
remoto que se obtuvo en el capítulo 2.
Para propósitos de análisis y diseño se agrupan los retardos en un solo bloque. Por lo cual el
bloque de retardo inferior se mueve alrededor del lazo quedando la representación final de la
manera mostrada en la figura 3.3.
Figura 3.3 Sistema de teleoperación.
Donde τse 2−
representa los dos retardos de la línea tanto directa como de retorno.
KL G rref τse−
τse−
cK
)(sM
r(t) τse 2−)(sKc)(sM
y(t)
55
3.2 El retardo como incertidumbre
En el caso general, los sistemas de comunicación presentan retardos variables y aleatorios. En
este caso asumimos que el retardo es desconocido pero acotado es decir cττ < donde cτ es
la cota superior.
Como se vió en el capítulo 2, la incertidumbre de modelo en la planta puede representarse en
la forma aditiva como:
)()()( ssGsG n ∆+= (3.1)
donde nG es una planta nominal y )(s∆ representa la incertidumbre no-estructurada del
modelo. Pero también una planta con incertidumbre se puede representar de la forma
))(()( sIGsG n ∆+= (3.2)
que es una representación multiplicativa de la incertidumbre a la entrada de la planta .
El diagrama de bloques de la ecuación (3.2) se representa como, Figura 3.4:
Figura 3.4 Incertidumbre multiplicativa a la entrada de la planta. Donde
)())(()( susIGsy n ∆+= (3.3)
Tal que 1)( <∆∞
s .
Volviendo al sistema con retardo, este se puede tomar como una planta o sistema )(sM con
retardo, como se muestra en la Figura 3.5.
Figura 3.5 Planta con retardo en la Línea de Transmisión.
τse 2− )(sMu(s) ym(s)
∆(s)
Gnu(s) y (s) +
56
donde
)()()( 2 susMesy sτ−= (3.4)
comparando estas dos ecuaciones (3.3) y (3.4) con )(sMGn = se tiene que
)(2 sIIe s ∆+=− τ (3.5)
por lo que la incertidumbre multiplicativa para este caso es de la forma:
Ies s −=∆ − τ2)( (3.6)
donde τ es incierto pero acotado. Por lo tanto la incertidumbre de los tiempos de retardo se
pueden tomar dentro del modelo de una incertidumbre de tipo multiplicativa a la entrada.
En este caso 1)( 2 −=∆ − ωτω jej . Ahora se buscará una función de peso )( ωjWo de la
incertidumbre tal que 1<∆oW , la cual servirá para el diseño robusto a estas clases de
incertidumbres, es decir, a la incertidumbre en el tiempo de retardo τ . Esto en diagramas a
bloques se muestra en la Figura 3.6.
Figura 3.6 Diagrama a bloques de la incertidumbre multiplicativa. Para hacer esto se construyeron una familia de curvas de )( ωj∆ para diferentes valores de τ
( )10≤τ y después se obtuvo una matriz de peso )( ωjWo tal que su máximo valor singular
sea una cota superior a la familia de curvas. Esto se muestra en la Figura 3.7.
A partir de esta gráfica se obtuvo una función de peso W0 tal que )( ωjWo sea una cota
superior de )( ωj∆ de la forma:
Wo(s)
u(s) ym(s)
∆(s) ωa
za
57
Figura 3.7 Función de peso Wo.
Donde la )(sWo que se obtuvo es de la forma [6]:
3
3
)1)(4.0()2)(10089.0(2387.2)( I
sssssWo ++
+×+=
−
(3.7)
3.3 Análisis en la frecuencia para 3IKc =
Para propósitos de determinar valores de los rangos de los tiempos de retardo τ para los
cuales el sistema teleoperado continúe siendo estable independiente del retardo, se procedió a
hacer el siguiente análisis experimental.
Partiendo del sistema teleoperado de la Figura 3.2, consideramos al controlador Kc como una
matriz identidad. Al hacer un análisis del sistema controlado descrito por M se encontró que
este es un sistema de la forma siguiente:
=
)()(300
0)()(20
00)()(1
sdensnum
sdensnum
sdensnum
M (3.8)
Gan
anci
a dB
F
´
58
donde el denominador es común en los tres elementos. Ésto comprueba que con el diseño del
controlador KL se logró obtener independencia entre las articulaciones del robot,
permitiéndonos hacer una análisis de estabilidad de cada una de ellas en forma independiente.
El análisis se hizo en el dominio de la frecuencia por medio de las gráficas de Bode de cada
una de las articulaciones. Se encontró que el margen de fase de las articulaciones 1 y 2 es
muy grande indicándonos una gran robustez en estas dos articulaciones, en la articulación
número 3 se encontró un margen de fase MF=124º lo cual indica también una muy buena
robustez pero en menor medida, su frecuencia de cruce ωc es igual a 0.28 rad/seg. por lo tanto
la contribución de fase del retardo τse 2− igual a ωτ2− deberá de ser de 124° o 2.1642 rad a
la frecuencia de 0.28 rad/seg para que el sistema sea inestable, esto es:
τω 216422 c=. (3.9)
por lo que el valor del retardo que produce inestabilidad, para este caso es:
...
. seg 8643560
16422==τ (3.10)
es debido a este valor de retardo que se propuso determinar familias de curvas de
incertidumbre de valores de τ de hasta 10 seg. con el propósito de buscar un controlador cK
que extienda la estabilidad robusta y funcionamiento a valores más grandes de seg. 864.3=τ
3.4 Procedimiento de diseño
Los objetivos de control o funcionamiento que se buscan alcanzar en este diseño, son que
nuestra planta regulada obtenida en el capítulo 2, sea robustamente estable a los tiempos de
retardo presentes en las líneas de transmisión del sistema teleoperado, extendiendo su
funcionamiento mas allá de seg. 864.3=τ , que la salida y(t) del sistema regulado siga
fielmente las señales comando r(t) , que el sistema sea robustamente estable, en presencia de
ruido en los sensores. La técnica de diseño a utilizar es síntesis-µ. Para alcanzar estos
objetivos de funcionamiento se propone el diagrama a bloques mostrado en la Figura 3.8.
59
Figura 3.8 Interconexión del Sistema para alcanzar los objetivos de funcionamiento.
3.4.1 Funciones de Peso
Para alcanzar los objetivos de funcionamiento se obtuvieron las siguientes funciones de peso.
Estas funciones de peso se buscarán tal que fueran estables, propias y de orden bajo.
3.4.2 Función de peso de la incertidumbre multiplicativa Wo.
Como se explicó en la sección anterior la función de peso oW modela el espectro de potencia
de la incertidumbre de tipo multiplicativa. En donde se encuentra la incertidumbre del tiempo
de retardo en esta misma sección se mostró cómo se obtuvo esta función de peso.
3.4.3 Función de peso de la señal de error We.
Esta función de peso eW resalta las características del error, que indica qué tan bien funciona
el sistema como regulador y rastreador. Como especificación de funcionamiento se busca que
se obtenga un error en estado estable tanto en el rastreo de una señal comando como en el
rechazo de disturbios tipo escalón menor o igual a un 2%. Esto es posible de lograr si se
introduce un integrador. Ya que esto puede producir un controlador inestable, se sustituyó el
integrador con redes de retardo. Tanto la colocación del polo como la ganancia a CD de la red
de retardo se usaron como parámetros de sintonía del controlador. En particular el polo se
colocó dos o más décadas abajo de la frecuencia de ancho de banda de M(s) y la ganancia se
ajustó para satisfacer los requisitos de estado estable. Una función que se encontró que
satisfacía estas condiciones es
Kc
∆τ
M
Wo
Wn
We Wu
y r
n
ωa
+-
za
y
zu ze
60
( )( ) 3
100210
1510I
s
s(s)We
+
+=
. (3.11)
la justificación de usar una matriz de transferencia (s)We con redes de retardo, también se
encuentra del análisis de la matriz de transferencia wzℑ . Buscando atenuar los efectos de la
incertidumbre sobre la señal de error, es claro que esto se logra si
1<∞
MSW ce (3.12)
ya que a las bajas frecuencias 1≅∞
M , entonces 1−eW deberá reflejar el comportamiento de
la función de sensibilidad cS , la cual como se sabe deberá de tener una alta atenuación a las
bajas frecuencias, para alcanzar un buen rechazo a disturbios a la salida. Esto lleva a que
(s)We deberá comportarse como un filtro pasa-bajos o una red de retardo, como se muestra en
la Figura 3.9.
Figura 3.9 Función de peso del error We.
´
61
3.4.4 Función de peso de la señal de control Wu.
Esta función de peso uW se usa para modelar los límites de las señales de control, en
presencia de los diferentes funcionamientos, como el rastreo, atenuación de ruidos e
incertidumbre de los tiempos de retardo, para asi evitar la saturación de los actuadores. Para
este caso se propuso una simple atenuación 1/170 así uW es de la forma:
31701 IWu = (3.13)
3.4.5 Función de peso de la señal de ruido Wn.
Esta función de peso nW representa los modelos en el dominio de la frecuencia del ruido
presente en los sensores. Se encontró de mediciones directas sobre los servo potenciómetros
que las señales de ruido significativas producidas por estos elementos se encuentran a
frecuencias tres décadas arriba de la frecuencia de ancho de banda de ( )ωjM . Por lo anterior
se propuso como modelo un filtro pasa-altos de la forma (ver Figura 3.10):
( ) ( )380
42 IsssWn +
+= (3.14)
Figura 3.10 Funciones de peso Wn y Wu.
´
´
´
62
3.5 Valor singular estructurado µ
Definición 3.1. Para ( )MM nn∆
×∈ µ,C , es definido como [1]:
( ) ( ){ }0det 1
=∈∆∆=∆ I-M∆
M∆,:(min σ
µ (3.15)
al menos que ningún ∆∈∆ haga ∆− MI singular, en tal caso ( ) 0=∆ :Mµ .
3.5.1 La interpretación de ( )M∆µ en el sistema retroalimentado
Permita que nnM ×∈ C sea dado y considere ∆∈∆ una perturbación en el lazo como se
muestra en la Figura 3.11.
Figura 3.11 La interpretación de ( )M∆µ .
Que puede representarse con las ecuaciones
uvMvu∆=
= (3.16)
de lo cual se obtiene
( ) 0=∆− uMI
tan pronto como ∆− MI sea no-singular, la única solución para u y v en las ecuaciones es
0== vu . Sin embargo, si ∆− MI es singular, entonces habrá un número infinito de
soluciones para (3.15) y las normas de vu , de las soluciones serán arbitrariamente grandes.
Por lo tanto podremos llamar a la matriz del sistema retroalimentado “inestable”, de la misma
manera la estabilidad se alcanzará solamente cuando se tengan soluciones iguales a cero.
Entonces ( )M∆µ es una medida de la estructura mas pequeña de ∆ que causa la
“inestabilidad” de la matriz de retroalimentación mostrada anteriormente.
M
∆
vu
63
Entonces el valor singular estructurado puede ser una medida de robustez ya que si ( )M∆µ
es grande significa que el ( )∆− MIdet será igual a cero para una perturbación pequeña, es
decir, el sistema no es robusto a estas perturbaciones.
3.6 Síntesis µ
Para poder aplicar la teoría del valor singular estructurado en el diseño del sistema de control,
el problema de control expuesto en la Figura 3.8 ha sido reestructurado en una
Transformación Fraccional Lineal (TFL) [8], [11] como se muestra en la Figura 3.12.
Figura 3.12 Transformación Fraccional lineal del sistema de control.
Donde P es la interconexión en lazo abierto, y contiene todas las funciones de peso
anteriormente descritas que permitirán alcanzar los objetivos de funcionamiento, incluyendo
el modelo de la planta regulada obtenida en el capítulo 2. El bloque ∆ representa la
incertidumbre del modelo tipo multiplicativa a la entrada de la planta, en este mismo bloque
se encuentra la incertidumbre de los tiempos de retardo. El controlador a diseñar es K.
El objetivo de diseño es encontrar un controlador K estabilizador, tal que para todas las
perturbaciones contenidas en ∆ el sistema en lazo cerrado es estable y satisface
( )[ ] 1,, ≤∆∞
KPFF UL (3.17)
de esta manera el sistema en lazo cerrado puede ser representado como (ver Figura 3.13)
( )[ ]KPFF UL ,, ∆ (3.18)
P
∆
K
ωa
rn
za
e
u
zz
u y
64
ó
Figura 3.13 Sistema en lazo cerrado ( )[ ]KPFF UL ,, ∆ .
Realizando la transformación fraccional superior ( )∆,PFU y definiendo las salidas objetivo y
las señales externas como:
=
e
u
a
zzz
z
=
rnw
aω (3.19)
el sistema puede ser representado como se muestra en la Figura 3.14:
Figura 3.14 Sistema en lazo cerrado con la planta perturbada.
Donde P∆ es la planta perturbada.
Para obtener la función de transferencia que relaciona el vector de salida z con el vector de
entrada w , wzℑ , se obtiene la transformación fraccional inferior wzℑ = ( )KPFL ,∆ o
obteniendo las ecuaciones que relacionan el efecto, en forma individual de cada una de la
P∆⇐
e
u
a
zzzz
⇐
rn
w
aω
Kc
u y = e
P
∆
K
ωa
rn
za
e
u
zz
u y
( )∆,PFU
65
señales de entrada externa con el vector de salida z . Realizando este segundo método se
obtuvo el siguiente sistema de ecuaciones.
nWKSWrKSWMKSWz nccaccaaccaa −+−= ω
nWSWrSWMSWz nMeMeaMee −+−= ω (3.20)
nWKSWrKSWMKSWz nccuccuaccua −+−= ω
o matricialmente como
−−−−
−−=
nr
WKSWKSWMKSWWSWSWMSWWKSWKSWMKSW
zzz a
nccuccuccu
nMeMeMe
nccaccacca
u
e
a ω
4444444 34444444 21
(3.21)
wzℑ
A partir de esta matriz se obtiene lo siguiente:
Para propósitos de estabilidad Robusta se requiere que
1<−∞
MKSW cca (3.22)
para propósitos de rastreo y atenuación de ruido inducido se requiere que
1<−−
∞WKSWKSW
WSWSW
ccuccu
nMeMe (3.23)
que es la misma condición de funcionamiento nominal.
Por último para funcionamiento robusto se requiere que
1<ℑ∞wz (3.24)
El valor singular estructurado provee una prueba correcta para funcionamiento robusto, donde
el sistema controlado alcanzará un funcionamiento robusto para un cK dado, sí y solo sí
( )( ) 1max <ℑ∆ ωµω
jwz (3.25)
El objetivo de síntesis µ, es el minimizar sobre todos los controladores estabilizadores Κ el
valor pico de ( )⋅∆µ para la función de transferencia en lazo cerrado wzℑ . Formalmente se
busca resolver el problema de optimización min-max siguiente:
( )( ) 1maxmin <ℑ∆ ωµω
jwz
dorEstabilizaK
(3.26)
66
3.7 Cotas superior e inferior de ( )⋅∆µ .
En general, el problema de computar el valor singular estructurado de una matriz nnM ×∈ C
es muy complicado [11]. Pero se han determinado expresiones tanto para su cota superior
como para su cota inferior para ( )⋅∆µ , definidas de la siguiente manera [11]:
( ) ( )1
Q
−
∈∆∈≤≤ DMDMQM
Dσµρ
∆∆ DQinf)(max
donde ( )⋅ρ es el radio de la matriz ( )⋅ .(Esto es el valor propio mas grande de la matriz
maxλ ).
donde los subconjuntos ∆Q y ∆D se definen como
{ }nIQQQ =∈= *:∆Q∆
es decir Q es unitaria
[ ]
>∈>=∈= ×
− −
0011 111
jjiirr
mmFmS
ddDDDiIIdIdDDdiag
ii
FF
R,,,C:,,,,,,
D *∆
KK
donde las iD son matrices Hermitianas.
la cota inferior siempre es una igualdad, el valor producido por ( )QMρ , tiene múltiples
máximos locales, por lo que no garantiza acercarnos al valor de µ , en cambio la cota superior
puede ser reformulada como un problema de optimización convexo y el ínfimo o el mínimo
de la cota puede ser encontrado, obteniendo así el valor más próximo a µ, por lo tanto, por
conveniencia del problema de síntesis µ, remplazaremos ( )⋅∆µ por la cota superior, con esto
la ecuación de optimización (3.16) es reformulada como:
( )( )1
D∆
infmaxmin −
∈ℑ DjD wzD
dorEstabilizaK
ωσω
(3.27)
donde la minimización de D, es solamente una aproximación de ( )( )ωµ jwzℑ∆ , y es
independiente de ω , por lo que el ( )[ ]ωσω
fmax es denotado como ∞
f , quedando el caso de
optimización o síntesis µ como:
( )∞
−
∈ℑ 1
D∆
minmin DjD wzDdorEstabiliza
Kω (3.28)
67
donde D es una matriz de transferencia de fase mínima.
Para resolver este problema de optimización se utiliza un proceso iterativo llamado, “Iteración
D-K” propuesto por Doyle [10].
3.8 Síntesis µ del controlador
El proceso iterativo D-K es un proceso de minimización secuencial de dos pasos: primero
minimizar sobre K con D fija y segundo minimizar punto a punto sobre D con K fija. Este
proceso se repetirá al menos que se cumplen las siguientes condiciones
1. Que la D estimada es cercana a la anterior.
2. Que los objetivos de funcionamiento se hayan cumplido.
3. Que el orden del controlador sobrepase niveles prácticos de implementación.
3.8.1 Paso 1.
En el primer paso iterativo D-K se tomó a la matriz de escalamiento como la matriz identidad
y se procedió a resolver el problema de optimización de la norma-∞ siguiente
∞ℑwz
dorEstabilizaK
min (3.29)
Esta ecuación no es más que el problema de optimización de control ∞H que se soluciona,
resolviendo las ecuaciones algebraicas de Riccati del modelo en espacio de estados de ∆P .
Para este diseño se obtuvieron los siguientes resultados:
La Figura 3.15 muestra la respuesta en frecuencia del controlador K1 que se encontró en este
primer paso del proceso iterativo del diseño síntesis µ. El controlador presenta una ganancia
baja en bajas frecuencias de 16 con una frecuencia de cruce a 0 dB de 080.≅ rad/seg.
68
Figura 3.15 Respuesta en frecuencia del primer controlador
La Figura 3.14 muestra las prueba de estabilidad robusta y funcionamiento nominal
observamos que se satisfacen las desigualdades de las ecuaciones (3.22) y (3.23). Esto
asegura la estabilidad del sistema controlado en presencia de incertidumbre en los tiempos de
retardo en las líneas de transmisión del sistema teleoperado, y que también, se satisfaga las
especificaciones de diseño para la planta nominal.
Figura 3.16 Pruebas de estabilidad robusta y funcionamiento nominal.
Gan
anci
a G
anan
cia
69
En la Figura 3.17 se muestra que la prueba de funcionamiento robusto de 1<ℑ∞wz sí se
cumple, lo que significa que el sistema satisface las especificaciones de estado estable para
variaciones de los tiempos de retardo.
Figura 3.17Medidas del funcionamiento robusto.
En la Figura 3.18 se muestra la respuesta del sistema tele-controlado a señales comando tipo
escalón, para este caso en las tres articulaciones de 10, -15 y 25 grados, observándose un error
en estado estable de aproximadamente de 0.22°, 1.35° y 0.8° en cada una de las
articulaciones respectivamente.
Figura 3.18 Respuesta del sistema controlado a señales comando escalón para diferentes
retardos de 8, 12 y 16 seg.
Gan
anci
a G
rado
s
70
El resultado de este primer paso fue el controlador 1cK de orden 79, donde los resultados
obtenidos, cumplieron con los objetivos de funcionamiento casi en su totalidad, ya que la
respuesta del sistema controlado a señales comando, observó un error en estado estacionario
en las tres articulaciones con una desviación menor al 2%. En busca de mejorar más este
funcionamiento se decidió continuar con el proceso iterativo D-K.
3.8.2 Paso 2.
Utilizando la función ( )⋅mu de Matlab se obtienen las cotas superiores de ∞
ℑwz y un conjunto
de valores en la frecuencia de una función de escalamiento ( )Kjd ω . Se modeló una función
de transferencia ( )sd aproximada a ( )Kjd ω utilizando la función de interpolación “fitsys” de
Matlab. Las gráficas resultantes de ( )Kjd ω y ( )sd se muestran en la Figura 3.19.
Figura 3.19 Función de fase mínima d(s).
Donde d(s) es
( ) ( )( )04.0025.2
10335.06802
52
++×++
=−
sssd (3.30)
la cual es una función de fase mínima y propia.
Utilizando la función de transferencia ( )sd se formó la matriz de escalamiento:
( ){ }3631 ,, IIIsddiagD = (3.31)
Gan
anci
a
´ ´
´´
71
con esta matriz de escalamiento se procede a obtener una planta aumentada escalada a
través de: 1−= DDPP ad (3.32)
donde la matriz de transferencia de la planta aumentada inicial es de la forma:
−−−
−−−
=
eenee
u
o
n
a
WWWMWMWWW
IWMM
P0000003
(3.33)
por lo tanto la planta aumentada escalada utilizada, que se obtuvo fué
−−−
−−−
=
−
−
−
eenee
u
o
n
d
WWWMWMWdWdWd
dIdWMdM
P
1
1
13
000000
(3.34)
3.8.3 Paso 3.
Para esta nueva planta aumentada escalada se volvió a resolver el problema de optimización
∞H , obteniendo un controlador estabilizador 2cK tal que:
∞ℑ zwK
min (3.35)
donde zwℑ es la matriz de transferencia en bucle cerrado para la nueva planta aumentada
escalada. Para este diseño se encontraron los siguientes resultados:
En la Figura 3.18 se muestra las respuesta en frecuencia del controlador 2cK , se observa que
la estructura se asemeja a un control integral, lo cual es una buena señal, ya que es bien
conocido que un integrador elimina el error de estado estacionario, problemática que se
presentó en el diseño anterior, se observa también una alta ganancia en las bajas frecuencias
de 316, pero la frecuencia de cruce por cero permanece la misma.
72
Figura 3.20 Respuesta en frecuencia de K2. En la Figura 3.21 se muestran las prueba de estabilidad robusta y funcionamiento robusto que
como en el caso anterior satisfacen las condiciones de las ecuaciones (3.22) y (3.23). Esto
asegura la estabilidad del sistema controlado para todas las perturbaciones producidas por las
incertidumbre de los tiempos de retardo presentes en las líneas de transmisión del sistema
teleoperado, y también, el alcanzar objetivos de funcionamiento para nuestra planta nominal.
Figura 3.21 Pruebas de estabilidad robusta y funcionamiento nominal para el segundo controlador.
Gan
anci
a G
anan
cia
73
En la Figura 3.22 se muestra que la prueba de funcionamiento robusto de 1<ℑ∞wz no se
cumple, obteniéndose un valor máximo de la cota superior un poco más grande que uno
(1.03). esto significa que el funcionamiento robusto se podrá satisfacer para variaciones de
hasta
≈× %
.97100
0311 de algunos parámetros del sistema.
Figura 3.22 Medidas del funcionamiento robusto para el segundo controlador.
En la figura 3.23, se muestra la respuesta del sistema tele-controlado a señales comando de
tipo escalón, -15, 25 y 10 grados en las articulaciones, en esta ocasión el error en estado
estacionario fue igual a cero, alcanzándose así un rastreo exacto de las señales de referencia,
se observa que se logró obtener un buen funcionamiento del sistema para valores de tiempo de
retardo mas allá de seg. 864.3=τ y a partir de tiempos de retardo mayores a 8 segundos se
obtienen respuestas pobres en su funcionamiento, esto se muestra en la Figura 3.21.
Gan
anci
a
74
Figura 3.23 Respuesta del sistema controlado para el segundo controlador con diferentes
tiempos de retardo.
Al realizar un segundo paso del proceso iterativo D-K y dar solución al problema de
optimización de la ecuación (3.30) se obtuvo un controlador 2cK de orden 91, las pruebas de
estabilidad robusta y funcionamiento nominal así como el rastreo de la salida y(t) a señales
comando r(t), se cumplieron satisfactoriamente, pero la prueba de funcionamiento robusto no
fué lograda en su totalidad. Tomando en cuenta el tamaño del controlador y haciendo una
negociación entre los objetivos de funcionamiento alcanzados y la prueba de funcionamiento
robusto, se decide dar por finalizado el proceso iterativo D-K.
De la condición tres es de interés práctico, ya que como es sabido en diseño óptimo ∞H , el
orden del controlador es igual al orden de la planta aumentada, por lo tanto cada vez que se
escala dicha planta su orden aumenta, dando como resultado que al encontrar un controlador
para esta nueva planta, el orden del controlador aumenta también. Esto puede llevar a
controladores imprácticos de orden muy alto.
También, es necesario señalar que si la iteración se detiene por la condición 1 o la condición
3, es necesario volver a replantear el problema, desde las funciones de peso que se
propusieron, o reducir las exigencias de diseño.
Gra
dos
75
3.9 Controlador de orden reducido
Se procedió a obtener un controlador de orden reducido, a partir del controlador de orden
completo y después de tratar varios controladores de orden menor se llegó a uno de orden 12,
obteniéndose los siguientes resultados:
El controlador de orden reducido presentó respuestas en la frecuencia semejantes al del
controlador de orden completo en sus frecuencias bajas e intermedias. Esto se puede observar
en la Figura 3.24.
Figura 3.24 Respuesta a la frecuencia del controlador 2cK .
Las cotas de estabilidad robusto y funcionamiento nominal, fueron muy parecidas al del
controlador de orden completo, como se muestra en la Figura 3.25.
Figura 3.25 Pruebas de estabilidad robusta y funcionamiento nominal con 2cK .
Gan
anci
a G
anan
cia
Kc2
Kc2
76
En la Figura 3.26 se observó que el valor singular estructurado µ, en el controlador de orden
12, se redujo de 1.036 a 1.028, por lo que se garantiza el funcionamiento robusto para los
mismos porcientos de variación de parámetros del sistema.
Figura 3.26 Valor singular estructurado con 2cK . Se obtuvo la matriz de transferencia del disturbio a la salida y utilizando una aproximación
de Padé de 4° orden del tiempo de retardo, se procedió a simular la respuesta al disturbio tipo
escalón a diferentes tiempos de retardo de 8, 12, y 16 seg.
En la Figura 3.27 claramente se observa que se obtuvo un muy buen rechazo a disturbios de
tipo escalón para tiempos menores a 8 seg .
Figura 3.27 Respuesta al disturbio con el controlador reducido 2cK a tiempos de retardo de 8, 12 y 16 seg.
8
Gan
anci
a
Kc2
Kc2
Gra
dos
77
En la Figura 3.28 se obtienen las respuestas a comando de las articulaciones del robot, con el
controlador de orden reducido, se observa que para valores de retardo de 8 seg. las respuestas
son estables y con un buen funcionamiento, con un porciento de sobre paso del 40% y un
tiempo de asentamiento de 150 seg., para tiempos de retardo de 12 seg, las respuestas siguen
siendo estables pero con un funcionamiento pobre, con un porciento de sobrepaso del 70% y
un tiempo de asentamiento de 200 seg., para tiempos de retardo de 16 seg. las respuestas
obtenidas se encuentran fuera de las especificaciones de funcionamiento establecidas para este
diseño.
Figura 3.28 Respuesta a entradas comandos para diferentes retardos. En la Figura 3.29 se muestran las respuestas al ruido presente en los servopotenciómetros del
robot, en ellas claramente se observa, que estos fueron atenuados.
Gra
dos
Kc2 CON RETARDO
78
Figura 3.29 Atenuación de ruidos a la salida del sistema telecontrolado Al término de este capítulo, los resultados obtenidos satisficieron los objetivos de
funcionamiento establecidos lográndose extender el funcionamiento robusto para
incertidumbres de tiempos de retardo mas allá de lo esperado.
Gra
dos
79
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES En esta tesis se presentó el diseño de dos controladores robustos para un sistema de
Teleoperación, utilizándose las técnicas de análisis y diseño de control ∞H y síntesis µ .
La planta a utilizar en este sistema de Teleoperación es un robot manipulador de tres grados
de libertad, donde el modelo matemático y las incertidumbres de tipo aditivas de la planta
fueron desarrolladas por Aguilar Bustos [7], siéndo estas expresiones la base para realizar el
diseño del primer controlador.
Los objetivos de funcionamiento del primer controlador fueron: hacer robusto al robot
manipulador de tres grados de libertad, a incertidumbres de tipo aditivas no estructuradas y
rechazar disturbios a la salida de la planta. Para ello se propuso una estructura de control (ver
figura 2.2) y utilizando la técnica de diseño de controladores ∞H . Se buscó satisfacer las
condiciones de funcionamiento especificadas, sintonizando las funciones de peso y
remodelando las dinámicas de los disturbios presentes en nuestra planta. Se obtuvieron los
siguientes resultados:
• Las condiciones de estabilidad robusta y funcionamiento nominal, para el diseño del
regulador, se cumplieron (ver Figura 2.20) asegurándonos que nuestra planta sea
robustamente estable a incertidumbres de tipo aditivas no estructuradas contenidas en
el modelo, también la condición de funcionamiento nominal nos asegura que el
sistema regulado rechaza los disturbios de carga.
• La condición de funcionamiento robusto, para el diseño del regulador, se cumple, con
esto logramos tener funcionamiento robusto en presencia de los errores de modelado
de tipo aditivo o variaciones paramétricas del Robot.
• Este regulador fue implementado físicamente obteniéndose resultados satisfactorios
mostrados en la sección 2.7.
Una vez obtenido el sistema regulado, se diseñó un controlador remoto para este mismo. Los
objetivos de funcionamiento para el diseño del segundo controlador con síntesis µ, fueron:
lograr el funcionamiento robusto del sistema regulado en presencia de incertidumbre de tipo
multiplicativa generada por los tiempos de retardos en las líneas de transmisión del sistema
80
teleoperado como rechazar los ruidos de los servopotenciometros del robot y rastrear
fielmente señales de referencia. La técnica de diseño utilizada en este segundo controlador fué
el proceso Iterativo D-K de síntesis µ . El proceso de diseño consistió en proponer una
estructura de control como lo muestra la Figura 3.6, en donde se consideran la incertidumbre
de los tiempos de retardo y las dinámicas de los ruidos de los sensores. Utilizándose
únicamente retroalimentación de la salida y siguiendo los pasos del proceso iterativo D-K, se
obtuvo un controlador estabilizador con los siguientes resultados:
• La condición de estabilidad robusta y funcionamiento nominal se cumplen, y la
condición de funcionamiento robusto se cumple aproximadamente (ver Figuras 3.19 y
3.20).
• Se logró extender el funcionamiento del sistema teleoperado a valores de tiempos de
retardos mas grandes de 12≅τ segundos.
El controlador resultante fue de orden 91, por lo que se aplicó una técnica de truncación para
obtener modelos de orden reducidos, llegándose a obtener un controlador de orden 12, el cual
se comprobó que no modificara las características de funcionamiento y robustez del sistema
controlado con el controlador de orden 91. Este controlador de orden reducido fue el que se
aplicó en la base experimental. Los resultados obtenidos con el diseño del controlador remoto
fueron alcanzar el funcionamiento robusto y la extensión del rango de estabilidad en presencia
de tiempos de retardo, con esto se cumple el objetivo de este trabajo que fue introducir los
efectos de los tiempos de retardo en los objetivos de diseño de controladores robustos.
En cuanto a posibles proyectos de investigación se considera necesario, modificar la base
experimental en el cual los controladores se implementan, ya que se aplican sobre el lenguaje
de programación Turbo C, que hace uso de la librería de funciones del robot (rbxlib.c). Esto
trae como consecuencias una gran lentitud de respuesta del robot, debido al uso iterativo de
estas funciones. Se recomienda retirar esta plataforma y actuar directamente sobre los
actuadores y sensores del robot. También aplicar un análisis al sistema controlado para
determinar el valor máximo del tiempo de retardo que hace al sistema inestable.
81
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
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83
APÉNDICES
A. BASE EXPERIMENTAL DE TELEOPERACIÓN
La base experimental utilizada en este trabajo fué estructurada de la siguiente manera:
Se contaba con el trabajo realizado por [7], que es una base experimental que permite la
implementación de controladores para un robot de 3GDL. El robot cuenta con un adaptador
electrónico que se interfasa a un ordenador por el puerto paralelo, y controla los tres servos
del robot, también cuenta con un convertidor analógico digital (ADC) que permite saber la
posición de los servopotenciómetros de los servos del robot. Se cuenta con una librería de las
funciones realizadas por el robot programada en lenguaje C (rbxlib.c). Haciendo uso de estas
funciones se construyó el siguiente sistema retroalimentado:
Figura A.1 Sistema de control local.
Donde KL es el regulador local, diseñado en el capitulo 2. La plataforma de programación
utilizada en el ordenador 1 (Procesador 486) es Turbo C. En este lenguaje se realizó un
programa de implementación de controladores H∞ . Que consiste en leer la posición generada
por los servopotenciómetros, comparar esta posición con las señales de referencia, obtener la
señal de error, y dar solución al sistema de ecuaciones de diferencia del controlador H∞
computado, obteniendo así las señal control para el robot.
Para realizar la teleoperación del sistema regulado anteriormente descrito se procedió a
realizar una rutina de comunicación serial de transmisión y recepción incrustada en el ciclo
de control del regulador, con esto podremos transmitir a través de un medio de comunicación
KL
Ordenador 1
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las señales sensadas por los servopotenciómetros, y podremos recibir a través de un medio de
comunicación las señales de referencia generadas por un centro de comando remoto. Como se
expuso en el capitulo 1 la transmisión y recepción de información en líneas de comunicación
generan tiempos de retardo que pueden conducir a la inestabilidad al sistema ya regulado.
La plataforma experimental que se desea realizar, es una, que me permita emular los tiempos
de retardo que puedan presentarse en una línea de comunicación y así validar los resultados
obtenidos en el diseño de controladores que atenúen los efectos de los tiempos de retardo.
Con esto se implementó en un segundo ordenador el centro de comandos, en el cual se
implementa el controlador que atenué los tiempos de retardo, diseñado en el capitulo 3. y
emule los tiempos de retardo de las líneas de comunicación. Quedando la base experimental
de la siguiente manera:
Figura A.2 Base experimental para el control Teleoperado.
Los ordenadores están comunicados a través de los puertos seriales como anteriormente se
explicó. El lenguaje de programación utilizado en el ordenador 2 o centro de comando fue
LABVIEW, que es un programa de instrumentación virtual, que permite tener una interfaz
gráfica de la posición de los servos, como se muestra a continuación:
KL
Ordenador 1
KC ste−
ste−
Ordenador 2
85
Figura A.3 Panel de control en LabView para el sistema Teleoperado.