ANÁLISIS DE FRECUENCIA HIDROLÓGICO

El análisis de frecuencia de eventos hidrológicos es uno de los temas más importantes de Hidrología. Es una técnica que consiste en relacionar la magnitud de los eventos extremos con la frecuencia de ocurrencia, para lo cual se utiliza las distribuciones de probabilidad. El análisis de frecuencia requiere que los eventos hidrológicos sean estadísticamente aleatorios e independientes y justamente estos eventos extremos (máximos y mínimos) son fenómenos hidrológicos que satisfacen estos requerimientos y por lo tanto pueden analizarse con distribuciones de probabilidad. El dato hidrológico que asegura estos requisitos es el dato anual, que consiste en obtener el valor máximo (o mínimo) de cada año del evento hidrológico. Por ejemplo, el caudal máximo anual, la tormenta máxima anual para una determinada duración, etc.

En el análisis de frecuencia interesa determinar la “probabilidad de ocurrencia de un evento mayor o igual que uno de magnitud dada XT: P (X ≥ xT) o el tiempo o periodo de retorno T que es igual a”:

T = 1

P (X ≥xT )= 1p (1)

Donde:

p = P(X ≥ xT) = Probabilidad de ocurrencia de un evento hidrológico mayor o igual que uno de magnitud dada xT = Probabilidad de excedencia

T = Periodo de retorno (años)

El análisis de frecuencia tiene mucha utilidad en el estudio hidrológico de proyectos hidráulicos: en el diseño de obras de excedencias de presas, drenaje urbano, obras viales, control de crecientes o inundaciones, diseño de obras de conservación de suelos, etc.

El análisis de frecuencia se puede efectuar mediante 2 métodos:

- Análisis de frecuencia empírico- Análisis de frecuencia analítico

1. ANÁLISIS DE FRECUENCIA EMPÍRICO

Este método consiste en calcular la frecuencia relativa empleando la fórmula de Weibull que tiene la siguiente forma:

f = mn+1

×100 (%) (2)

Donde:

f = P (X ≥ xT) = Probabilidad de excedenciam = Posición de ordenamiento de la variable hidrológican = Tamaño de la muestra = Número total de datos

PROBLEMA N° 01

Utilizando los datos de caudales máximos anuales del río Tabaconas del Cuadro N° 1, efectuar el análisis de frecuencia empírico y responder:

a) ¿Cuál es la probabilidad de tener un caudal máximo igual o mayor a 99 m3/s?b) ¿Cuál es el caudal que se presenta en promedio cada 10 años?

CUADRO N° 01

Caudales máximos anuales del río Tabaconas (m3/s)

Año Caudal máximo

m3/s

Año Caudal máximo

m3/s1996

474849

19505152535455565759596061

211114114113939998

1221001029888889898

115

6263646566676869

19707172737475

1976

191130153124117128101142184180126128138118128

Solución:

Pasos:

1. Ordenar los caudales máximos anuales en forma descendente en donde cada posición es m, para m = 1, 2, 3,…., n donde n = 31.

2. Calcular la frecuencia relativa para cada una de las posiciones, utilizando la fórmula de Weibull.Por ejemplo, Para m = 1.

f = mn+1

×100=( 131+1 )×100=( 132 )×100=3.125% y así

3. Calcular el tiempo de retorno T: T = 1p

Para m = 1, T = 1

0.03125=32años

Los cálculos se presentan en el Cuadro N° 02

CUADRO N° 02

Análisis de frecuencia de caudales máximosanuales del río Tabaconas (m3/s)

mf =

mn+1

×100

f = P(X ≥ xT ¿

%

T = 1p

Años

Caudalmáximo

anual(x)

m3/s

mf =

mn+1

×100

f = P(X ≥ xT ¿

%

T = 1p

Años

Caudalmáximo

anual(x)

m3/s

123456789

10111213141516

3.1256.25

9.37512.50

15.62518.75

21.87525.00028.12531.25

34.37537.50

40.62543.75

46.87550.000

211191184180153142138130128128128126124122118117

171819202122232425262728293031

53.12556.25

59.37562.50

65.62568.75

71.87575.00

78.12581.25

84.37587.50

90.62593.75

96.875

1151141141131021011009998989898938888

a) P[X ≥ 99] = 75%b) El caudal que se presenta en promedio cada 10 años es 183 m3/s ó:

Para T = 10 años → Q10 = 183 m3/s.

2. ANÁLISIS DE FRECUENCIA ANALÍTICO

El análisis de frecuencia analítico consiste en determinar la probabilidad de excedencia p = P[X ≥ xT ¿ utilizando distribuciones de probabilidad. Sin embargo el método no implica resolver la FDP o la FDA, sino resolver el problema mediante la Ecuación General propuesta por Chow (1991) que demostró que la magnitud XT de un evento hidrológico extremo puede ser representada por la ecuación:

XT = X+SxK T (3)

Donde:

XT = Magnitud de un evento hidrológico extremo para un periodo de retorno TX=Mediamuestral de los datos hidrológicos S = Desviación estándar muestral de datos hidrológicosKT = Factor de frecuencia que está en función del periodo de retorno y de la distribución de probabilidad utilizada

Para todas las distribuciones de probabilidad, la Ecuación General es la misma, el problema consiste solo en determinar el valor de KT para cada una de las distribuciones de probabilidad utilizadas.A continuación se desarrolla algunos problemas efectuando el análisis de frecuencia analítico utilizando varias distribuciones de probabilidad.

3. ANÁLISIS DE FRECUENCIA CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

La Ecuación General de Chow es:

XT = X+SxK T

PROBLEMA N° 2

Determinar el caudal máximo para un periodo de retorno de 100 años del río Tabaconas a partir de los datos de caudales máximos anuales del Cuadro N° 01. Asumir que los datos se ajustan a una distribución normal.

Solución:

Sea X = Caudal máximo anual del río Tabaconas (m3/s)

X=∑ xin

=123.8

Sx=1n∑ (xi−x )2=31.2

La Ecuación General es:

XT = X+SxK T

Reemplazando:

XT = 123.8+31.2KT

X100 = 123.8+31.2K100

Para T = 100 años, p = 1T

= 1100

=0.01

p = P[X ≥ x100¿=0.01 → P[X < xT ¿ = 1 – 0.01 = 0.99

Entrando a la tabla Z con 0.49 se encuentra Z = 2.33Entonces K100 = 2.33. Reemplazando en la ecuación:X100 = 123.8 + 31.2 (2.33) = 196.5X100 = 196.5 m3/s

Luego, el caudal máximo para 100 años de periodo de retorno del río Tabaconas es 196.5 m3/s.

4. ANÁLISIS DE FRECUENCIA CON LA DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL

Para la transformación: Y = log X

La Ecuación General de Chow es:

YT = Y +S yKT (4)

Donde:

Y = Media de los log XSy=¿ Desviación estándar de los log XKT = Factor de frecuencia que está en función del periodo de retorno y de la distribución normal

En este caso también se emplea la tabla Z:

PROBLEMA N° 3

Resolver el Problema 2 utilizando la distribución log normal

Solución:

Haciendo la transformación Y = log XPara X1 = 211, Y1 = log X1 = log 211 = 2.3243Luego:

Y=∑ Y i=2.0812

Sy=1n∑ ( yi− y )2=0.09935

La Ecuación General es:

YT = 2.0812+0.09935KT

Para T = 100 años → p = 1T =

1100 = 0.01

p = P[X ≥ xT ¿=¿ P[X ≥ x100¿ = 0.01

P[X < xT ¿ = 1.00 – 0.01 = 0.99

Entrando a la tabla Z con 0.49 se encuentra Z = 2.33Entonces KT = 2.33, Reemplazando en la Ecuación General: Y100 = 2.0812+0.09935(2.33) = 2.3127X100 = antilog (2.3127) = 205.4

Luego, el caudal máximo para un periodo de retorno de 100 años del río Tabaconas es 205.4 m3/s.