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5/12/2018 ANÁLISIS DE C NICAS ENGENDRADAS POR PROYECTIVIDADES - slidepdf.com

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ANÁLISIS DE CÓNICAS ENGENDRADAS POR PROYECTIVIDADES

1. TIPO DE CÓNICAI. Analizando la proyectividad que la forma:• Degenerada: la proyectividad debe ser además una perspectividad (la

recta que une los vértices (o el punto de corte de las bases) es homólogade sí misma)

• Elipse: la proyectividad no tiene ningún par de rayos homólogos paralelos (no tiene puntos impropios).

• Parábola: la proyectividad tiene un par de rayos homólogos paralelos(tiene un punto impropio, y la tangente en ese punto es la recta delinfinito)

• Hipérbola: la proyectividad tiene dos pares de rayos homólogos paralelos(tiene dos puntos impropios, cuyas tangentes son rectas propias, que son

las asíntotas)II. Según las tangentes paralelas• Elipse: hay dos pares de tangentes paralelas formando un paralelogramo,

y los puntos de contacto están todos en el interior del paralelogramo• Parábola: no hay pares de tangentes paralelas• Hipérbola: hay dos pares de tangentes paralelas formando un

paralelogramo, y los puntos de contacto están en el exterior del paralelogramo

III. Según su involución de diámetros conjugados• Elipse: la involución es elíptica, no tiene puntos dobles• Parábola: la involución es parabólica, tiene un punto doble• Hipérbola: la involución es hiperbólica: tiene dos puntos dobles

IV. Según la posición de los ejes:• Circunferencias: existen ejes no perpendiculares• Cónica: sus ejes son perpendiculares

V. Casos particulares:• Dos series semejantes (sus puntos impropios son puntos dobles) no

perspectivas siempre definen una parábola2. OBTENCIÓN COMO ENVOLVENTE DE SERIES O CORTE DE RAYOS

• Corte de rayos: los puntos de la cónica serán los puntos donde se cortenrayos homólogos. Además, las tangentes a la cónica en los vértices serán

los rayos homólogos del rayo que une los vértices considerado como perteneciente a uno u otro haz

• Envolvente de series: la cónica será la envolvente de los rayos que unan pares de puntos homólogos. Así, cada par de puntos homólogos definiránuna tangente a la cónica. Además, los puntos de tangencia con las basesde las series serán los puntos homólogos del punto de corte de las basesconsiderado como perteneciente a una u otro de ellas.

3. CARACTERÍSTICAS COMUNES:• Siempre que dos tangentes sean paralelas, el centro de la cónica será el

punto medio de los puntos de contacto• Si dos tangentes miden lo mismo desde el punto donde se cortan a sus

respectivos puntos de contacto, el eje será la bisectriz de ambas tangentes



• Siempre que una cuerda sea paralela a una tangente, la recta que une el punto de contacto de dicha tangente con el punto medio de la cuerda seráun eje

4. ELEMENTOS DE LA ELIPSEI. Puntos por los que pasa:

Necesariamente la elipse pasará por los vértices de la proyectividad. Parahallar otros basta localizar puntos donde se corten rayos homólogos que sean defácil manejo.

En el caso de que la proyectividad de rayos se haya obtenido por proyección desde dos puntos de una proyectividad de puntos, los puntos doblesde esta última proyectividad pertenecerán a la parábola pues en ellos se cortarándos rayos homólogos

Si tenemos una recta que corta en un punto a la parábola (A) y sabemosde dicha recta un punto (P) y su polar respecto a la cónica (que corta a la rectaanterior en un punto Q) podemos aplicar (PQAB) = - 1.

II. Centro:En caso de tener dos pares de tangentes paralelas, la obtención del centro

es muy sencilla, basta con trazar las paralelas medias de ambos pares detangentes y hallar su punto de corte.

Si conocemos solo un par de tangentes paralelas, pero conocemostambién sus puntos de contacto, el segmento que une estos será un diámetro dela elipse (recordar que las tangentes a una elipse en dos puntos diametralmenteopuestos son siempre paralelas), y el centro estará por tanto en el punto medio dedicho segmento.

Si, no conocemos tangentes paralelas, pero tenemos dos pares detangentes que se cortan dos a dos y sus puntos de contacto, podemos aplicar:

Si una recta pasa por el polo de una cuerda de una elipse y por el puntomedio de esta, pasará también por el centro de la elipseAsí, nos basta con trazar dos rectas que unan el punto de corte de cada

par de tangentes con el punto medio del segmento que determinan suscorrespondientes puntos de contacto, y donde estas dos rectas se corten,tendremos el centro. (Lo realizado anteriormente con los pares de rectas

paralelas no es más que un caso particular de esta propiedad)III. Ejes: son los rayos principales de la involución de diámetros conjugados

(rayos homólogos perpendiculares)Esta involución es la que hace corresponder a cada diámetro el resultante

de unir su polo con el centro de la circunferencia.

Para hallar los ejes debemos conocer el centro, y definir la involucióncon un par de diámetros conjugados: lo más cómodo es utilizar la paralela mediaa un par de tangentes paralelas y la recta que une los puntos de tangencia dedicho par (y pasa por el centro).

Una vez definida trazaremos una circunferencia auxiliar que pase por elcentro de la elipse (por comodidad intentar que corte a los diámetros conjugadosen puntos manejables) que nos servirá para transformar la involución de rectasen una circular de puntos.

Buscamos el centro I de la involución, donde se cortar los segmentos queunen puntos homólogos, y trazamos el diámetro que pase por I. Obtenemos dos

puntos A y B diametralmente opuestos, por los que pasarán los ejes de la elipse.

Ver figura 77 pg.177. También se puede hacer analíticamenteIV. Vértices:



Para hallar los vértices hacemos uso de las propiedades de polaridadrespecto a una circunferencia: OA·OB = OV2

Tomaremos los siguientes puntos A y B del eje cuyos vértices queramoshallar: el punto de corte de una tangente con el eje y el correspondiente a

proyectar ortogonalmente el punto de contacto de dicha tangente sobre el eje.

Trazamos una circunferencia de diámetro AB y hallamos los puntos detangencia de las tangentes trazadas desde O a ella. Abatimos esos puntos desdeO y obtenemos los vértices de la elipse. Ver figura 78 pg. 177

V. Focos:Para hallarlos usamos el teorema de Pitágoras, tomando como catetos el

semieje mayor y el menos, y hallando la distancia focal como hipotenusa.5. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

I. Puntos por los que pasa:

Necesariamente la parábola pasará por los vértices de la proyectividad.Para hallar otros basta localizar puntos donde se corten rayos homólogos quesean de fácil manejo.

En el caso de que la proyectividad de rayos se haya obtenido por proyección desde dos puntos de una proyectividad de puntos, los puntos doblesde esta última proyectividad pertenecerán a la parábola pues en ellos se cortarándos rayos homólogos.

Si tenemos una recta que corta en un punto a la parábola (A) y sabemosde dicha recta un punto (P) y su polar respecto a la cónica (que corta a la rectaanterior en un punto Q) podemos aplicar (PQAB) = - 1. Si coincidiera que Afuera el punto medio de PQ, la recta será el eje de la parábola, pues el otro puntoserá el del infinito.

II. Vértice (y tangente) y foco:

Si no conocemos la dirección del eje, podemos hallarla con unaconstrucción del punto de Brianchon, siempre que conozcamos dos tangentes ysus puntos de contacto (la otra tangente necesaria para la construcción es la rectadel infinito)

Se pueden calcular aplicando dos construcciones del punto de Brianchon,si conocemos la dirección del eje (punto impropio de la parábola).Ver figuras 68y 69 pg.170

Existe otra forma más rápida de hallarlos. Primero aplicaremos esta propiedad para hallar el foco:

La normal a la parábola en cualquier punto de ella (recta ortogonal a la

tangente en ese punto, pasando por él mismo) es bisectriz del radiovector (recta

que une el punto con el foco) y la paralela al eje por dicho puntoAsí, si conocemos dos puntos y dos tangentes, trazamos las normales ylas paralelas al eje por ellos y con la propiedad anterior obtenemos dosradiovectores que se cortarán en el foco. Ver fig. 71 pg. 171

Para hallar el vértice, necesitamos conocer la dirección del eje,determinada por el punto impropio de la parábola. El eje pasará por el foco anteshallado y tendrá dicha dirección. Ahora aplicamos esta propiedad:

La tangente en el vértice es podaria del foco, esto es, trazando por el punto de intersección de cualquier tangente con la tangente del vértice una

perpendicular a la primera, esta pasará por el focoHacemos perpendiculares a las dos tangentes que conocemos por el foco,

y donde corten a dichas tangentes obtendremos dos puntos que unidos darán la



tangente en el vértice. El punto de contacto de esta con el eje será el vértice. Ver fig. 70 pg. 171

Otra forma es aplicar esta propiedad, conociendo también el eje:Trazando por cualquier punto una perpendicular al eje, la distancia del

vértice a dicha recta es la misma que al punto de corte de la tangente trazada

por ese punto y el eje. Ver fig. 71 pg. 171III. Eje: su dirección es la del punto impropio de la parábola, pasando por elvértice y el foco. Podremos obtenerlo siempre que tengamos cualquier par de estos elementos.

Si conocemos la dirección del eje y tenemos una tangente ortogonal aella y su punto de tangencia, este será necesariamente el vértice.

6. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLAI. Puntos por los que pasa:

Necesariamente la hipérbola pasará por los vértices de la proyectividad.Para hallar otros basta localizar puntos donde se corten rayos homólogos quesean de fácil manejo.

En el caso de que la proyectividad de rayos se haya obtenido por proyección desde dos puntos de una proyectividad de puntos, los puntos doblesde esta última proyectividad pertenecerán a la hipérbola pues en ellos se cortarándos rayos homólogos

II. Asíntotas: son las tangentes en los puntos del infinito y rayos dobles en lainvolución de diámetros conjugados.

Las direcciones de las asuntotas corresponden a los rayos homólogos dela recta del infinito en uno y otro vértice. Para ello buscamos el punto de corte deuna recta del haz en el que queremos hallar la asíntota con la recta del infinito,unimos ese punto con el centro proyectivo (punto de corte de las tangentes en losvértices) y cortamos a la recta homóloga de la usada anteriormente. Así,obtenemos un punto que unido con el vértice correspondiente nos dará ladirección de la asíntota (no la asíntota en sí). Ver aptdo. 2 pg. 325

En caso de que los vértices de la proyectividad sean puntos impropios,las asíntotas se determinan calculando los rayos homólogos a la recta que losune (recta del infinito) considerándola como perteneciente a uno u otro vértice

Si solo tenenemos un vértice en el infinito, hallamos la asíntotacorrespondiente a ese y con la construcción de la recta de Pascal obtenemos laotra asíntota, teniendo en cuenta que debemos conocer la dirección de la otraasíntota, es decir, el otro punto impropio de la hipérbola (13-2,3).

Si no conocemos la dirección de la segunda asíntota, podemos hallarla

aplicando un construcción de la recta de Pascal con los siguientes elementos:- El punto impropio cuya asíntota conocemos- La asíntota conocida- Un punto cualquiera de la parábola y su tangente- Un punto de la parábola- El punto del infinito a buscar

Debemos tener en cuenta que hay que situar los puntos de forma que losdos puntos del infinito estén de forma consecutiva, y así conozcamos la rectaque los une (la del infinito) y solo nos falte por hallar la recta que une el puntoque buscamos con otro conocido. Ver fig.188 pg.312

También se puede aplicar esta propiedad:



Cualquier punto de la hipérbola es el punto medio del segmento AB

formado sobre la tangente en este punto, siendo A y B los puntos de corte dedicha tangente con las asíntotas

III. Centro: será el punto de corte de las asíntotas.Si tenemos dos tangentes paralelas y sus puntos de contacto, el centro

será el punto medio del segmento que los uneIV. Ejes: serán las bisectrices de las asíntotasSi conocemos la dirección de un eje y dos puntos de la hipérbola que estén alineados

perpendicularmente con él, dicho eje ha de pasar por el punto medio de ambos.V. Vértices: para hallar los vértices se aplica esta propiedad:

Si desde un punto P de la hipérbola se trazan paralelas a las asíntotas,

la potencia PA · PB se mantiene constante, siendo A y B los cortes de las paralelas con las propias asíntotas

Aplicamos esta propiedad tomando un punto conocido y obtenemos A yB. Trasladamos ambos puntos sobre una sola asíntota haciendo que disten delcentro de la hipérbola lo que distaban del punto tomado (abatiendo uno de ellos

sobre la otra asíntota con respecto al centro de forma que este quede situadoentre ambos puntos). Trazamos una circunferencia cuyo diámetro sea AB yluego una perpendicular a AB por el centro. Donde corte a la circunferenciaobtendremos un punto H que desabatiremos sobre la otra asíntota. Trazando una

paralela a la primera asíntota por H desabatido, donde corte al eje tendremos unvértice. El otro será el simétrico con respecto al centro. Ver figura 64 pg. 165VI. Focos:

Para hallar los focos usaremos el teorema de Pitágoras aplicado a la distanciadel vértice al centro y al punto de corte de una asíntota con la tangente desde élmismo como catetos b y c. La hipotenusa a será la distancia focal. En la práctica

basta con abatir la distancia entre el centro y el mencionado punto de corte entre unaasíntota y la tangente por el vértice sobre el eje. Ver figura 48 pg. 145

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