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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZOFACULTAD DE INFORMÁTICA Y ELECTRÓNICA

ESCUELA DE INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA, CONTROL Y REDES INDUSTRIALES

CIRCUITOS II

DATOS INFORMATIVOS:

Nombre: Ronald Barcia Macías Código: 694 Curso: 4to “B” Fecha de Entrega: 11/01/2016

ESPACIO DE ESTADO

1. INTRODUCCIÓN

Los sistemas dinámicos (como los circuitos RL, RC o RLC) pueden ser modelados y controlados mediante diversos métodos, muchos de los cuales ejecutamos de manera inconsciente. Estos métodos incluyen [1]:

Ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias. Funciones de Transferencia. Respuestas al Impulso. Diagramas de Bloque. Diagramas de Flujo de Señal. Espacio de Estado (modelo de variables de Estado).

El modelado y control de sistemas dinámicos basado en la Función de Transferencia (Transformada de Laplace) es un enfoque muy sencillo y de fácil aplicación. Permite analizar sistemas utilizando una serie de reglas algebraicas en lugar de trabajar con ecuaciones diferenciales. En este enfoque tiene más valor la simplicidad que la exactitud. Sin embargo, la descripción de sistemas mediante la función de transferencia tiene las siguientes desventajas:

No proporciona información sobre la estructura física del sistema. Solo es válida para sistemas lineales con una entrada y una salida e invariantes en el tiempo. No proporciona información de lo que pasa dentro del sistema. Es necesario que las condiciones iniciales del sistema sean nulas.

En la práctica, muchos sistemas en ingeniería tienen muchas entradas y muchas salidas, poseen condiciones iniciales no nulas y presentan no linealidades.

Afortunadamente, para muchos sistemas es posible considerar esas limitaciones, trabajar sobre un punto de interés, linealizar y utilizar las ventajas del análisis por Laplace. Pero otros sistemas son tan complejos que no es posible utilizar este enfoque. Para este tipo de sistemas se utiliza la representación en espacio de estado. La representación en espacio de estado presenta las siguientes ventajas:

Aplicable a sistemas lineales y no lineales. Permite analizar sistemas de más de una entrada o más de una salida. Pueden ser sistemas variantes o invariantes en el tiempo. Las condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero. Proporciona información de lo que pasa dentro del sistema.

Por lo tanto, el modelo de espacio de estado es más general que el modelo de una sola entrada y una sola salida, como lo es la función de transferencia.

2. CONCEPTO DE ESTADO Y VARIABLE DE ESTADO

Cuando se estudia la dinámica de un sistema físico, este se representa mediante un juego de ecuaciones diferenciales, en el que las condiciones iniciales impuestas por el proceso, junto con el conocimiento de las funciones de excitación que se aplican en un momento determinado, son suficientes para conocer la respuesta presente y futura del sistema. En esencia, esta es la filosofía del espacio de estados.

Desde la perspectiva de los circuitos eléctricos, un estado es la mínima información que se requiere de él en un instante de tiempo t0 para, conociendo las ecuaciones de las fuentes de excitación (fuentes de tensión o de corriente) u(t) a partir del instante t0, conocer su respuesta transitoria y(t) para cualquier instante de tiempo t mayor a t0 [2].

Un estado resume la información pasada requerida para determinar el comportamiento futuro del circuito. Dicha información pasada está contenida en un cierto número de variables, denominadas variables de estado que son componentes de un vector de estado x(t) ∈ ℝn del espacio de estado de n dimensiones.

El vector de estado viene dado por:

x (t )=[x1

x2

x3

⋮xn

(t)(t)(t)¿( t)]

En un circuito eléctrico, las variables de estado son la corriente de un inductor y la tensión de un capacitor, debido a que éstos describen de manera conjunta el estado de la energía en el sistema [3]. Si el sistema dado es un circuito RLC. De la teoría de circuitos, podemos representar por completo cualquier energía en el circuito en el tiempo t, mediante los voltajes de los capacitores en el tiempo t, y las corrientes en los inductores en el tiempo t. De esta manera, podemos definir el estado del circuito en el tiempo t como un vector cuyos componentes son los voltajes a lo largo de los capacitores en un tiempo t, y las corrientes en los inductores en un tiempo t. Si el número de capacitores es igual a N C y el número de inductores en el circuito es igual a NL, el número total de variables de estado es igual a NC + NL [4].

3. REPRESENTACIÓN POR MEDIO DEL ESPACIO DE ESTADO

Con la representación en espacio de estado tenemos la capacidad de conocer y controlar en cierta medida la dinámica interna de un sistema y su respuesta. Existen muchas maneras de representar por medio del espacio de estado [5], una forma general de representación de espacios de estado de un sistema lineal con m entradas, p salidas y n variables de estado se escribe de la siguiente forma:

˙x (t )=Ax(t )+Bu(t)(1)y (t )=Cx(t )+Du( t)(2)

Donde:

y (t )=[y1

y2

y3

⋮y p

(t)(t)(t)¿(t)] es el vector que representa p salidas, u ( t )=[

u1

u2

u3

⋮um

(t)(t)(t)¿ (t)] es el vector que representa a las

entradas (excitaciones), y el punto en el vector de estado ( ˙x (t)) denota la primera derivada con respecto al tiempo, entonces:

˙x (t )=[x1

x2

x3

⋮xn

(t)(t)(t)¿( t)]

A y B son matrices de dimensión nxn y nxm respectivamente, C y D son matrices de dimensión pxn y pxm respectivamente.

Las ecuaciones (1) y (2) reciben el nombre de ecuación de estado y ecuación de salida, respectivamente. Ambas representan el modelo de estado o espacio de estado [5].

Ejemplo

El comportamiento de un circuito RLC serie queda determinado por v(t) y los valores de i L(0) y vc(0), por esta razón, las variables iL(t) y vc(t) sirven como variables de estado

Fig. 1: Circuito para el ejemplo.

Aplicando Ley de tensiones de Kirchhoff:

v (t )=R iL (t )+Ld iL (t )dt

+vC (t )

iL ( t )=Cd v c (t )dt

=ic ( t )

Reordenando:

d iL (t )dt

=−RLiL ( t )−1

Lvc (t )+ 1

Lv (t )

d vc (t )dt

= 1CiL (t )

En forma matricial:

[ d iL ( t )dtd vc ( t )dt

]=[−RL −1L

1C

0 ][ i L ( t )vc ( t )]+[ 1

L0 ] [ v ( t ) ]

Además, de teoría de circuitos se sabe que:

[v R(t)iL ( t ) ]=[R 01 0][ iL ( t )

vc ( t )]En síntesis, una representación en espacio de estado para el circuito estaría dada por:

{[d iL (t )dtd vc ( t )dt

]=[−RL −1L

1C

0 ] [ iL (t )vc (t )]+[ 1

L0 ] [ v (t ) ]

[vR (t)iL (t ) ]=[R 01 0 ][ iL (t )

vc ( t ) ]Lo cual tiene la forma

{ ˙x (t)=Ax (t)+Bu(t)y (t)=Cx (t )+Du(t )

4. VARIABLES DE ESTADO PARA DETERMINAR LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN CIRCUITO

Suponiendo condiciones iniciales nulas (y que se trate de un sistema lineal, como un circuito lineal), la función de transferencia puede hallarse calculando la transformada de Laplace de la ecuación (1); así se obtiene

s X (s )=AX ( s )+BU (s )→ ( s I−A ) X (s )=BU (s )

Por tanto:

X ( s)=BU (s ) (s I−A )−1(3)

Donde I es la matriz identidad. Calculando la transformada de Laplace de la ecuación (2), se obtiene

Y (s )=CX (s )+DU ( s)(4)

Sustituyendo (3) en (4)

Y (s )=CBU (s ) ( s I−A )−1+DU (s )(5)

Dividiendo (5) para U(s) nos resulta la función de transferencia:

Y ( s )U (s )

=CB ( s I−A )−1+D=H ( s)(6)

Donde A es la matriz del sistema, B la matriz de acoplamiento, C la matriz de salida y D la matriz de alimentación hacia delante que en la mayoría de los casos es cero [6].

La función de transferencia tendrá una dimensión G(s) ∈ ℝn×p de acuerdo al número de entradas y salidas que tenga el sistema original expresado por las ecuaciones (1) y (2), [7].

Esto ayuda a que el cálculo de la función de transferencia de un circuito se reduzca a hacer operaciones con matrices, lo cual puede resolverse rápidamente en un computador.

5. CONCLUSIONES

La representación en espacio de estados ayuda a que el cálculo de la función de transferencia de un circuito se simplifique mediante la ejecución de cálculos matriciales. Así mismo puede determinarse el comportamiento futuro de un circuito mediante esta representación y sus correspondientes cálculos matriciales.

6. REFERENCIAS

[1] C. Platero Dueñas, «Electrónica Automática e Informática Industrial, Universidad Politécnica de Madrid,» [En línea]. Available: http://www.elai.upm.es/webantigua/spain/Asignaturas/Servos/Apuntes/3_DescpReprCont.pdf. [Último acceso: 9 Enero 2016].

[2] J. Gómez Campomanes, Circuitos Eléctricos, vol. II, Oviedo, Asturias: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Oviedo, 1990, pp. 1151-1152.

[3] J. Fraile Mora, Circuitos Eléctricos, M. Martín Romo, Ed., Madrid: Pearson Eduación, 2012, pp. 460-462.

[4] E. W. Kamen y B. S. Heck, Fundamentos de Señales y Sistemas usando la web y Matlab, Tercera ed., L. M. Cruz Castillo, Ed., México: Pearson Eduación, 2008, p. 585.

[5] Universidad Pontificia Comillas, «Departamento de Electrotecnia y Universidad Pontificia Comillas,» 2003. [En línea]. Available: http://www.iit.upcomillas.es/~dlaloux/csd/pdfs/EspacioEstado3.pdf. [Último acceso: 9 Enero 2016].

[6] M. N. O. Sadiku y C. K. Alexander, Fundamentos de Circuitos Eléctricos, Tercera ed., P. E. Roig Vásquez y P. Montaño González, Edits., México: Mc-Graw Hill, 2006, p. 731.

[7] R. Salinas Villarrea, «Universidad Autónoma de Nuevo León,» 9 Septiembre 2014. [En línea]. Available: http://gama.fime.uanl.mx/~salinas/APUNTES3_CM.pdf. [Último acceso: 10 Enero 2016].