Análisis de Análisis de Carteras de Carteras de InversiónInversión

Lic. Juan Pablo Lic. Juan Pablo ZambottiZambotti

Conceptos matemáticos y estadísticos.

Rendimiento o retorno esperado de un Rendimiento o retorno esperado de un activo cualquiera “i”:activo cualquiera “i”:

El rendimiento o retorno de una inversión se mide El rendimiento o retorno de una inversión se mide como la ganancia o pérdida de valor experimentada como la ganancia o pérdida de valor experimentada en un periodo de tiempo determinado. El retorno en un periodo de tiempo determinado. El retorno esperado tiene que ver con las expectativas que se esperado tiene que ver con las expectativas que se tiene hacia el futuro, tomando en consideración los tiene hacia el futuro, tomando en consideración los distintos escenarios de la economía. distintos escenarios de la economía.

E(RE(Rii)=)=RRii = = RRitit . p . pitit

Donde E(Ri) representa la media o valor esperado del activo "i"; Rit es el rendimiento del activo "i" cuando se produce el evento "t" y pit indica la probabilidad ocurrencia del rendimiento Rit.

Varianza de un activo cualquiera “i”:Varianza de un activo cualquiera “i”:

La varianzaLa varianza tiene que ver con la incertidumbre que tiene que ver con la incertidumbre que

tendrá el retorno de una inversión a lo largo del tiempo tendrá el retorno de una inversión a lo largo del tiempo

22 (R (Rii) = ) = ii22

= = ( R ( Ritit - - RRi i ))22. p. pitit

Donde i2 es la varianza de un activo cualquiera "i"; E(Ri)

representa la media o valor esperado del activo "i"; Rit es el rendimiento del activo "i" cuando se produce el evento "t" y pit indica la probabilidad ocurrencia del rendimiento Rit .

Coeficiente de variación de un activo “i” Coeficiente de variación de un activo “i”

MMide la dispersión de una variable aleatoria relativa a ide la dispersión de una variable aleatoria relativa a su valor esperadosu valor esperado::

V(RV(Rii) = V) = Vii = = ii

RRii

Veamos un ejemplo para aclarar estos conceptos:Veamos un ejemplo para aclarar estos conceptos:

Estado de la Probabilidad Rendimiento Rendimiento Economía de ocurrencia del activo 1 (R1t) del activo 2 (R2t)

Excelente 0,3 90 80

Bueno 0,6 75 60

Malo 0,1 40 50

• Calculamos primero el rendimiento esperado de cada activo:

Para el activo 1: E(R1)= R1t . p1t E(R1) = 90 x 0,3 + 75 x 0,6 + 40 x 0,1 E(R1) = 76

Para el activo 2: E(R2)= R2t . p2t E(R2) = 80 x 0,3 + 60 x 0,6 + 50 x 0,1 E(R2)= 65

• Ahora calculamos la Varianza de cada activo:

Para el activo 1: 1 2 = ( R1t - R1 )2. P1t

1 2 = (90-76)2 x 0,3 + (75-76)2 x 0,6 + (40-76)2 x 0,1 1

2 = 189

Para el activo 2: 2 2 = ( R2t - R2 )2. P2t

2 2 = (80-65)2 x 0,3 + (60-65)2 x 0,6 + (50-65)2 x 0,1 2 2 = 105

Covarianza entre dos activos “i” y “j”:Covarianza entre dos activos “i” y “j”:

La covarianza nos indica la manera en que dos activosLa covarianza nos indica la manera en que dos activos están correlacionados, es decir nos indica como será el están correlacionados, es decir nos indica como será el comportamiento de un activo i ante una variación de comportamiento de un activo i ante una variación de otro activo j. otro activo j.

Cov (RCov (Rii ; R ; Rjj ) = ) = ijij = = ( R ( Ritit - R - Ri i ). ( R). ( Rjtjt - R - Rj j ) . p) . ptt

Donde:Donde:

Cov (Ri ; Rj ) = Cov (Rj ; Ri ), es decir que ij = ji

Cov (Ri ; Ri ) = ii = i2 , es decir que la covarianza de un

activo consigo mismo nos das la varianza de dicho activo.

Coeficiente de correlación LinealCoeficiente de correlación Lineal

(R(Rii ; R ; Rjj ) = ) = ijij = Cov (R = Cov (Rii ; R ; Rjj ) = ) = ijij

i i j j i i jj

Esta medida de correlación tiene algunas propiedades que la hacen preferida al covarianza. Por ejemplo toma valores comprendidos entre 1 y -1 exclusivamente.

Si ij = -1 se dice que los rendimientos de los dos activos tienen una correlación perfecta negativa y significa que cuando uno de ellos crece, el otro decrece en la misma proporción.

Si ij = 1 se tiene una correlación perfecta positiva entre los rendimientos de los activos, lo que significa que al crecer uno de ellos también lo hace el otro en la misma proporción.

Si ij = 0 los rendimientos se dicen incorrelacionados, esto significa que no existe ninguna relación entre los mismos.

Cartera de activos

Rendimiento esperado de una cartera o Rendimiento esperado de una cartera o portafolio:portafolio:

E(RE(RPP) = ) = E(RE(Rii). X). Xii

Donde E(RP) es el rendimiento esperado de la cartera p, E(Ri) rendimiento esperado del activo “i”, y Xi representa la proporción de activo “i” invertido en la cartera p. No está demás aclarar que Xi = 1, es decir que la suma de las proporciones deben ser igual al 100% de la inversión.

De la fórmula anterior de puede deducir que, el De la fórmula anterior de puede deducir que, el rendimiento esperado de una cartera depende, rendimiento esperado de una cartera depende, exclusivamente, de los rendimientos esperados de los exclusivamente, de los rendimientos esperados de los títulos que la componen y de su proporcióntítulos que la componen y de su proporción dentro del dentro del portafolio.portafolio.

Varianza de una cartera o portafolio:Varianza de una cartera o portafolio:

P2 = X1 , X2 , …… , Xn x 1

2 12 …… 1n x X1

21 22 …… 2n X2

: : : :

m1 m2 …… m2 Xm

vc

VC:Matriz de Varianza y de Covarianzas: Esta matriz tiene dos características especiales: Es cuadrada (ij = ji) y es simétrica.

Observando la fórmula se puede deducir que la magnitud Observando la fórmula se puede deducir que la magnitud de la varianza de una cartera está determinadade la varianza de una cartera está determinada por el por el valor de las varianzas valor de las varianzas y las covarianzas y las covarianzas de los activos de los activos que la componenque la componen y y su proporción dentro del portafolio. su proporción dentro del portafolio.

Harry Markowitz y el nacimiento de la Harry Markowitz y el nacimiento de la teoría de las carteras.teoría de las carteras.

SSupuestos preestablecidos:upuestos preestablecidos:

• El análisis se realiza sobre un solo tipo de activo: las acciones.

• Las tasa de rentabilidad históricas de casi todas las acciones, cuando se miden en intervalos lo suficientemente pequeños de tiempo, se ajustan mucho a una distribución Normal. Aquí es importante recalcar que una distribución Normal puede definirse completamente con tan solo dos parámetros; la media o rentabilidad esperada y la varianza (o la desviación típica).

• Si un inversor se encuentra ante dos activos que tienen igual riesgo (o varianza) elegirá aquel que tenga mayor rentabilidad esperada.

• Si un inversor tiene que optar entre dos activos que tienen igual rendimiento esperado elegirá aquel que tenga menor riesgo.

δδ=0: Carteras conformada por “n” acciones=0: Carteras conformada por “n” acciones

B

P(%)

Conjunto Conjunto

factiblefactibleA

C

Curba AB:Curba AB:

Frontera EficienteFrontera Eficiente

Curba AC:Curba AC:

Frontera IneficienteFrontera Ineficiente

Curba ABC:Curba ABC:

Conjunto de mínimo Conjunto de mínimo riesgo o Varianzariesgo o Varianza

RP

• Los inversores que solamente desean maximizar el rendimiento esperado optarán invariablemente por formar una cartera con un solo titulo, que será precisamente aquel que posea el máximo rendimiento esperado. (punto B)

• Aquellos inversores que procuren minimizar el riesgo, independientemente del rendimiento esperado, necesariamente diversificarán su inversión construyendo una cartera con una participación de todos los títulos. (punto A).

• Las carteras que se ubican sobre la curva AB son eficientes, dado que dominan, en términos de riesgo y rendimiento, a todas las demás.

• Si el inversor considera simultáneamente el riesgo y el rendimiento, entonces no queda caracterizado un portafolio optimo entre todos los eficientes, a menos que se especifiquen las preferencias subjetivas del inversor a través de su mapa de indiferencia.

Características Principales:Características Principales:

Características Principales:Características Principales:

• Todas las caternas son Eficientes

• La diversificación no va a tener ningún efecto, es decir no va a eliminar ningún riesgo, dado que todos los activos se comportaran como si fueran uno solo

δδ=1: Carteras conformada por “n” acciones=1: Carteras conformada por “n” acciones

RP

P(%)

B

C

Características Principales:Características Principales:

• El punto A, que representa el portafolio de mínimo riesgo, tiene riesgo igual a cero.

• La diversificación puede eliminar todo el riesgo de una cartera.

RP

B

P(%)

A

C

δδ=-1: Carteras conformada por “n” acciones=-1: Carteras conformada por “n” acciones

CarterasCarteras conformada por “n” accionesconformada por “n” acciones

RP

B = -1

C

= 0

= 0,5

= 1

P(%)

Riesgo sistemático y no sistemáticoRiesgo sistemático y no sistemático

Riesgo Total = Riesgo Sistemático + Riesgo No Sistemático.Riesgo Total = Riesgo Sistemático + Riesgo No Sistemático.

• El riesgo No SistemáticoEl riesgo No Sistemático: es aquella parte del riesgo total que no se relaciona en sus movimientos con el portafolio del mercado y, por tanto, puede ser eliminado por medio de la diversificación.

• El riesgo Sistemático:El riesgo Sistemático: que afecta, de alguna manera, a todos los activos del mercado. El riesgo Sistemático sería, entonces, aquella parte del riesgo total de una inversión que se mueve en relación directa con el portafolio del Mercado y, por consiguiente, no puede ser eliminado por medio de la diversificación.

RiesgoSistemático

Riesgo No

Sistemático

P

ij = Covarianza media de la cartera

Número deTítulos

Teoría de la decisiónTeoría de la decisión

La teoría de la decisión estudia el comportamiento de los inversionistas

considerando sus actitudes frente al riesgo.

Se identifican tres posibles

actitudes, a saber:

• Propensos al riesgoPropensos al riesgo..

• Indiferentes al riesgoIndiferentes al riesgo..

• Adversos al riesgoAdversos al riesgo..

RP

P(%)

• El inversionista con aversión al riesgo le será indiferente seleccionar el punto P, con rendimiento bajo y riesgo nulo, que los puntos Q o R con rendimientos y riesgos más altos.• Si el Decididor fuera indiferente al riesgo, su familia de curvas de indiferencia serían como las líneas horizontales del gráfico anterior, siendo preferido el punto R al P, y al Q, por tener un rendimiento más alto, cualquiera fuera el riesgo.• Para obtener una utilidad o rendimiento esperado mayor, el decididor se moverá a otra curva de indiferencia más alta. En el gráfico la curva I le brinda al inversionista mayor utilidad que la curva II , y esta, que la III.

P

Q

R

Aumento de Utilidad

IIIII

I

Selección de la cartera optima de inversión.Selección de la cartera optima de inversión.

Los portafolios óptimos son P, P', y P" para tres inversores distintos (varían sus mapas de indiferencia) que se enfrentan a la misma frontera eficiente.

RP

RP

RP

Estamos en condiciones de estudiar el comportamiento del decididor y el objeto de elección en forma conjunta. Esto significa que, habiendo un conjunto de oportunidades de inversión y un mapa de indiferencia, el decididor elegirá aquella cartera que surja de la intersección de la frontera eficiente y su curvas de indiferencias.

P P P

P

P”P'

La línea de mercado de capitales (LMC) La línea de mercado de capitales (LMC)

En equilibrio todos los inversionistas con aversión al riesgo elegirán aquella alternativa que les brinde una combinación optima entre inversiones libres de riesgos (Rf) y una cartera formada con activos con riesgo (M).

Cartera optima o cartera de mercado (M) : es el punto de tangencia con el conjunto de carteras eficientes, es decir que, ofrece la mayor prima por riesgo esperada por unidad de desviación típica.

De la unión de estos dos puntos, o sea la tasa libre de riesgos Rf y la cartera M, se obtiene lo que se denomina la Línea de Mercado de Línea de Mercado de Capitales (LMC).Capitales (LMC).

RRpp = ( = ( RRMM- R- Rff ) ) xx pp + R + Rff

MMRP

P

M

Prestamista

Prestatario

Rf

Características Principales:Características Principales:

Si el inversionista A (curvas 1 a 3), solo pudiera invertir en activos con riesgo, tendría a "d" como la mejor cartera de inversión disponible. Pero, dada la existencia de un mercado de capitales que le permite acceder a activos libres de riesgo, le generará mayor utilidad la combinación "c" sobre la LMC, alcanzando así una cartera "más eficiente".

Si otro inversionista más arriesgado B (curvas 4 a 6), coloca sus fondos solamente en activos con riesgo, será la cartera "b" la que le brindará mayor utilidad. Pero si pudiera tomar prestado a la tasa libre de riesgo Rf e invertirlo en la cartera con riesgo M alcanzará, en "a", una cartera "más eficiente".

RP

P(%)

654

321aa

bbM

dd

cc

Rf

• La decisión de inversión está separada de la decisión de Financiamiento. Por esta razón es que el teorema plantea dos etapas bien diferenciadas a la hora de armar la cartera "más eficiente":

• Etapa Objetiva:Etapa Objetiva: Encontrar el portafolio optimo (M) formado exclusivamente por activos con riesgo.

• Etapa Subjetiva:Etapa Subjetiva: Determinar la mezcla optima entre la cartera M y los activos libres de riesgos.

TTeorema de Separación.eorema de Separación.

Aquel inversor menos arriesgado repartirá su capital colocando una parte de este a tasa cierta mientras que el resto lo invertirá en el portafolio de riesgo M (Punto D). Por otra parte, un inversor más arriesgado preferirá una combinación como la D', tomando prestado a la tasa cierta para palanquear su inversión en el portafolio de riesgo M.

RP

RP

P P

MM

D

D'

Modelo de Índice Único (MIU)Modelo de Índice Único (MIU) Las acciones se mueven juntas, no independientemente. El modelo de

índice único se sustenta en la idea básica que el precio de los activos que cotizan en un mercado, en promedio, crecen o decrecen junto con algún indicador económico. En efecto, el modelo supone que la razón por la cual los rendimientos de distintos activos están correlacionados es que existe una respuesta común a cambios en un indicador económico.

La implementación de este modelo no especifica ningún indicador económico en especial, sin embargo, generalmente, se utiliza algún índice representativo del mercado.   

Supuestos del MIUSupuestos del MIU 

1).- El rendimiento de un activo cualquiera queda determinado por la siguiente ecuación:

Ri = i + i . Rm + ei

Donde Ri representa la tasa de rendimiento del activo i ; i es la componente del rendimiento del activo i que es independiente del rendimiento del indicador económico; i es una medida de sensibilidad de respuesta del rendimiento del activo i ante las variaciones en el rendimiento del indicador económico (volveremos sobre este tema más adelante); Rm es la tasa de rendimiento del indicador económico y ei representa el desvío aleatorio entre el rendimiento real del activo i y su valor teórico.

Supuestos del MIUSupuestos del MIU (Continuación) (Continuación)

2).- La variable aleatoria ei tiene esperanza matemática igual a cero:

 E(ei) = 0

3).- Las variables aleatorias Rm y ei están incorrelacionadas:

Cov ( Rm ; ei ) = 0 

4).- Los errores aleatorios correspondientes a los disttos activos están incorrelacionados entre sí:

Cov (ei ; ej ) = 0 con ij

Los supuestos E(ei) = 0 y Cov ( Rm ; ei ) = 0 se verifican fácilmente toda vez que ellos son inherentes al modelo matemático de regresión mínimo-cuadrático.El supuesto fundamental es el último ( Cov (ei ; ej ) = 0 ), ya que permite que el MIU se distinga como un modelo simplificador. Este supuesto, a diferencia de los anteriores, no se verifica para todos los casos.

 

Calculo de los parámetros Calculo de los parámetros i y i y ii

Los parámetros i y i se pueden obtener de dos maneras:

I).- A partir de datos históricos de los rendimientos. En este caso se utiliza,

generalmente, la técnica de mínimos cuadráticos.

II).- A partir de datos futuros estimados de los rendimientos.

Beta como medida del riesgoBeta como medida del riesgo

• Si i=1, significa que el rendimiento del activo "i", o la cartera "p",

tiene el mismo riesgo que el rendimiento del Mercado.

• Si i<1, quiere decir que el rendimiento del activo "i", o la cartera

"p", tiene menor riesgo que el rendimiento del Mercado. A este

tipo de activos, o carteras, se los denomina defensivos

• Si i>1, quiere decir que el rendimiento del activo "i", o la cartera

"p", tiene mayor riesgo que el rendimiento del Mercado. A este

tipo de activos, o carteras, se los denomina agresivos.

ii = = imim

22mm

Donde im es la covarianza entre la

rentabilidad de la acción "i" y la

rentabilidad del mercado y 2m es la

varianza de la rentabilidad de mercado.

Diferencia entre el desvío estándar y el Diferencia entre el desvío estándar y el Beta de una acciónBeta de una acción

• El desvío, o la varianza, de un activo mide su riesgo total (riesgo sistemático + riesgo no sistemático).

• El Beta de un activo tan solo mide su riesgo sistemático, que es aquel riesgo que nos interesa analizar dado que el no sistemático pude eliminarse "gratuitamente" por medio de la diversificación.

El riesgo de una cartera bien diversificada depende del riesgo de mercado de los activos incluidos en ella. A su ves, el riesgo de mercado de un activo es medido por su beta. Por lo tanto podemos inferir que: nn nn

p = p = i . i . XXi con i con XXi = 1 i = 1

i=1 i=1 i=1 i=1

De la formula anterior surge que i representa la contribución marginal de un activo "i" al riesgo de la cartera bien diversificada

Beta como medida del riesgoBeta como medida del riesgo (conti.) (conti.)

La línea de mercado de valores (LMV)La línea de mercado de valores (LMV)

Los economistas, William Sharpe, John Lintner y Jack Trynor desarrollaron este modelo de índice único según el cual en un mercado eficiente, la rentabilidad esperada de un activo, deducido según el precio al que se negocia, es una función lineal y positiva de la covarianza entre su rentabilidad y la de la algún indicador económico de mercado.

Lo que el CAPM muestra es que el rendimiento esperado de un activo en particular depende de dos aspectos fundamentales:

 

1.- Valor del dinero a través del tiempo en forma pura. Se mide por medio de la tasa libre de riesgo (Rf). Esta tasa simboliza la recompensa por el hecho de esperar el dinero sin tomar ningún riesgo.

2.- Recompensa por correr riesgos. Se mide por:

a).- la prima de riesgo de mercado (Rm - Rf): este componente representa la recompensa que el mercado ofrece por el hecho de correr una cantidad promedio de riesgo sistemático, además del hecho de esperar.

  b).- beta (): esta es la cantidad de riesgo sistemático que se encuentra presente en un activo en particular, respecto de la que existe en un activo promedio.

De lo anterior surge que:De lo anterior surge que:

R - Rf = R - Rf = (Rm - Rf ) (Rm - Rf )

R = R = (Rm - Rf ) + Rf (Rm - Rf ) + Rf

A esta relación del modelo de fijación de precios se la conoce como Línea de Mercado de Valores (LMV).

Ri

Rm

Rf Letras del

Tesoro

Cartera de Mercado

Línea de MercadoDe Valores (LMV)

Todas las inversiones deben situarse a lo

largo de la Línea de Mercado de Valores

Diferencias entre la Línea de Mercado de Diferencias entre la Línea de Mercado de Capital (LMC) y la Línea de Mercado de Capital (LMC) y la Línea de Mercado de

Valores (LMV).Valores (LMV).

 

• El riesgo que considera la LMC es la desviación estándar, que es una medida de riesgo total (riesgo sistemático + riesgo no sistemático), mientras que el de la LMV es Beta, que solo mide el riesgo sistemático.

• Sobre la LMC estarán solamente las carteras bien diversificadas, en tanto que sobre la LMV estarán todos los valores y carteras, eficientes o no.

LMC

LMV RP

P

Rf