ANALISIS COMBINATORIO.PRINCIPIOS:I.- PRINCIPIO DE LA ADICION.Si un suceso “A” puede realizarse de “m” maneras y otro suceso “B” de “n” maneras, entonces el suceso “A” o el suceso “B” puede realizarse de (m+n) maneras, siempre que no ocurran juntos.Ejemplo:Se quiere realizar un viaje entre dos ciudades:Por tren existen 3 caminos (T1, T2 y T3) y en autobús 4 caminos (A1, A2, A3), entonces: el viaje se puede realizar de: 3 + 4 = 7 maneras.II.-PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION.Si un suceso “A” puede realizarse de “m” maneras y otro suceso “B” de “n” maneras, entonces los sucesos A y B pueden realizarse de (m x n) maneras, siempre que se efectúen uno después de otro.Ejemplo:Si Juan tiene 3 pantalones y 4 camisas. ¿De cuantas maneras puede vestirse? Sean P1, P2, P3, los pantalones y C1, C2, C3, C4 las camisas. Las diferentes formas de combinarse son:

P1C2; P1C2; P1C3; P1C4;P2C1; P2C2; P2C3; P2C4;P3C1; P3C2; P3C3; P3C4

Luego, puede vestirse de 3x4=12 maneras

PERMUTACIONES.Se llaman permutaciones de “n” elementos a los grupos de objetos que se pueden formar con todos los elementos, cambiando sólo de orden.Fórmula:

P n = n!Si se trata de permutación circular, es decir alrededor de una, entonces:

PC n = (n - 1)! Ejemplos:1.- De cuantas maneras se pueden sentar 3 personas en 3 asientos.Solución:Sean A, B y C las tres personasABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBALuego, existen 6 maneras de sentarse.Aplicando la fórmula:P 3 = 3! = 3x2x1 = 62.- ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con las cifras 6, 7, 8, 9?Solución:P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24 maneras.

PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

Pnα 1α 2α3… … αm= n !

α1 !α 2!…… ..α m!

Donde :α 1+α2+…… ..+α m=¿nEjemplo:¿Cuántas palabras se pueden formar con la palabra MATEMATICA?

La letra M serepite2veces → α1=2La letra A se repite3veces→ α 2=3

La letraT serepite2veces → α3=2La letra E se repite1vez→ α 4=1La letra I serepite1vez → α5=1La letraC serepite1vez → α6=1

n=α 1+α2+α 3+α 4+α 5+α6 n = 2 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10

Luego:

P102,3,2,1,1,1= 10 !

2!3 !2 !1 !1!1 !=151200

VARIACIONESSe llaman variaciones, arreglos, coordinaciones o disposiciones de n elementos tomados de K en K a los grupos de elementos que se pueden formar teniendo en cuenta el orden, es decir considerando todas las formas posibles. Formula:

V kn= n!

(n−k )!;n , k∈N ;n ≥ k

Ejemplos:1.- ¿De cuantas maneras se pueden agrupar 5 objetos de 2 en 2?Sean: a, b, c, d, e, los 5 objetos:ab, ba, ac, ca, ad, da, ae, ea, bc, cb, bd, db, be, eb, cd, dc, ce, ec, de, edEntonces son 20 maneras en total.

Aplicando la formula:

V 25= 5!

(5−2 )!=20

2.- ¿De cuántas maneras se pueden sentar 3 personas en 5 asientos?Solución:La primera persona se puede sentar de 5 maneras, la segunda persona se puede sentar de 4 maneras, la tercera persona se puede sentar de 3 maneras.Aplicando el principio de la multiplicación, las tres personas se pueden sentar de: 5x4x3 = 60 maneras.Aplicando la fórmula:

V 35= 5 !

(5−3 )!=60

COMBINACIONES.Se llaman combinaciones de elementos tomados de k en k, a los grupos de elementos que se pueden formar sin tener en cuenta el orden, es decir no deben repetirse exactamente los mismos elementos.Formula:

C kn= n !

k ! (n−k ) !;n , k∈N ; n≥ k

Ejemplos:1.- ¿De cuantas maneras se pueden escoger 2 personas de un grupo de 5?Solución:Sean A, B, C, D y E las 5 personas.Agrupándolas de 2 en 2. AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE; en total son 10 maneras.

C.P.U. “ LOS TORIBIANITOS ”CIIUDAD ETEN

Aplicando la fórmula:

C25= 5!2! (5−2 )!

=10

2.- ¿Cuántos productos diferentes se pueden hallar con los números 2, 3, 4, 5, 6, y 7, multiplicándolos de 3 en 3?Solución:

C36= 6 !3! (6−3 )!

=20 productos

PROPIEDADES:1.-C1

n=n;Cnn=1C0

n=1

2.-Combinaciones Complementarias: C k

n=Cn−k ;∀ m≥k y n ;kϵ Nn

3.-Suma de Combinaciones:

C kn+Ck +1

n =C k+1n+1 ;n>k

4.-Degradación de índices:

C kn=n

kC k−1

n−1

C kn= n

n−kC k

n−1

C kn=n−k+1

kC k−1

n

5.-Siendo: (m; n; k; q) ⊂ N:

C kn=Cq

m↔ n=m∧ {k=q∨n=k+q }

6.- C0n+C1

n+C2n …+Cn

n=2n

Ejemplo 1:

Calcular n en C2

n+C3n+1

C4n+2 =7

5;n∈N

Solución:

C2n+ n+1

3C2

n

(n+24

)C3n+1

=75

C21(1+ n+1

3 )( n+24 )( n+1

3 )C2n

=75

Simplificando se obtiene:4 (n+4 )

n2+3n+2=75

Luego: 7n2 + n – 66 = 0Donde: n=3; n= - 27/7

Ejemplo 2:Halle un valor de m + n en: C11

m =Cn35

Solución:m = 35 ∧ { 11 = n ∨ m = 11 + n }

m = 35 ∧ { 11 = n ∨ 35 = 11 + n }

⇒{m = 35 ∧ n = 11} ∨ {m = 35 ∨ n = 24 }

⇒ m + n = 46 ∨ m + n = 59

NUMEROS COMBINARIOS.Llamado también coeficiente

binomial, (nk) definida por:

(nk)=

n (n−1 ) (n−2 )… (n−k+1 )k !

;

Donde :n∈R y k∈Z0+¿ .¿

Ejemplo:

1.- (83)=8 x7 x 61x 2x 3

=56

2.- (104 )=10 x9 x 8 x71 x2 x3 x 4

=210

3.-

(36)=3 x2 x1 x 0x (−1 ) x(−2)

1×2×3×4×6=0

BINOMIO DE NOWTON.El desarrollo de la potencia n – ésima de un binomio (a + b), esta dado por la fórmula:

(a± b )n=(n0)an±(n

1)an−1b+..±(nn)bn

En la cual podemos observar lo siguiente:

1.- El desarrollo es un polinomio de grado n, homogéneo, ordenado y completo con (n + 1) términos.2.- Los coeficientes son números combinatorios de índice superior n, y cuyos índices inferiores están ordenados en forma creciente, desde cero hasta n.

3.- Si el binomio es de la forma (a + b), todos los términos son positivos; pero si es de la (a - b) los signos son alternadamente positivos y negativos, siendo positivos los de lugar impar y negativos los de lugar par.4.- Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos, son iguales.FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL.Para un binomio (x + a)n

T k+1=(nk ) xn−k ak

K=0,1,2,3,…,nDonde: k + 1 es el lugar de término pedido; n es el exponente del binomio.Para el binomio (x - a)n

T k+1= (−1 )k (nk )xn−k ak

Ejemplo 1: Calcular el 5to termino del desarrollo de (x2 + 2y)7

Solución: n = 7; k + 1 = 5 ⟹ k = 4T5 = C4

7(x2)7 – 4(2y)4 = 35(x6) (16y4) T5 = 560 x6 y4

Ejemplo 2:

n = 3 (n e N)

Calcular el término de 14 de desarrollo

de: ( 1x− x3)66

n = 66; k + 1 = 14⇒ k = 13

T14= (-1)13C1366(X -1)66 – 13 (X3)13

T14 = - C1366 X-53 X 35 = - C13

66 X - 14

FACTORIAL DE UN NUMEROSemifactorial o cofactorial de un numero.Propiedades:1.- 0!!=12.- n!!=n(n - 2)!!3.- n!!.(n + 1)!!=(n + 1)!4.- (2n)!! = 2nn! , pares

5.- (2n - 1)!!= (2n )!2n n !

, impares

TERMINO CENTRAL DEL DESARROLLO DE (x ± a)n EN DONDE “n” ES PAR.. K = n/2.CUANDO “n” ES IMPAR.Cuando “n” es impar tiene dos terminos cemtrales..K1 = (n -1)/2 y K2 = (n + 1)/2

TERMINO CONTADO A PARTIR DEL FINAL.

Tk + 1 = (nk) xk an−k

PROBLEMAS PROPUESTOS.1.- Determinar el valor de “M” ,

sabiendo que: M= 13 !9 !×4 !

a) 123 b) 715 c) 134 d) 456 e) 12.- Determinar el valor de S, sabiendo

que: S=6 !×4 !8 !

a) 1/2 b) 2/7 c) 3/7 d) 0 e) 23.- Determinar el valor de E, sabiendo

que: E=10 !×5 !12 !×3 !

a) 5/33 b) 33/5 c) 8 d) 1 e) 24.- Simplificar:

R= n!(n−2 ) !

+n(2−n)

a) n2 b) n – 1 c) n d) 2n e) 05.- Calcular el valor de:

P=( 8 !×7 !

(7 ) !2−(6 !)2−256 )!

a) 12 b) 14 c) 21 d) 19 e) 246.- Hallar el equivalente de:

E= n !( n+1 )!

− 1(n+1)

+(n+1 ) !

n!a) n b) n + 1 c) 2n +1 d) 1 e) 2n

7.- Reducir: P=n [n!+ (n−1 ) !]

(n+1 ) !a) 2 b) 7 c) 6 d) 1 e) 9

8.- Resolver la ecuación:( x−2 )! (x+1 ) !

( x−1 ) ! x !=3

a) 6 b) 7 c) 8 d) 2 e) 09.- Resolver la ecuación:

(3 x+1 )!(3x−1 )!

=42

a) 2 b) -7/3 c) 1 d) 9 e) 010.- Resolver la ecuación:

( x−3 ) !+( x−2 ) !(x−1)

=120

a) 8 b) 9 c) 7 d) 6 e) 511.- Simplificar:

R=(n‼+1 )!−n‼

( n‼−1 ) !a) (n!!)2 b) n! c) n!! d) (n!!)3 e)112.- Reducir la expresión:

E=n !−(n−1 )!

(n−1 )!a) 3n b) n – 2 c) n – 1 d) 1 e) 013.- Calcular el valor de:

R=[ 5 !×4 !

(4 !)2−(3 !)2−103 ]!

a) 1 b) 0 c) 4 d) 2 e) 1214.- Efectuar: a) ¿Qué valor tiene “K”?Si: K!.7.8.9.10 = 10!b) ¿Qué valor tiene “n”?Si: (n - 3)!.9.10.11.12 = 12!a) 1 y 2 b) 6 y 11 c) 3 y 5 d) 7 y 8 e) 8 y 915.- En la siguiente expresión:

(n – 1)! + n! = 0,2(n + 1)!a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 516.- Resolver:

(2x+1 ) !(2x−1 )!

=72

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 317.- Reducir: E = (n + 2)! – 2(n + 1)!a) (n + 2)! b) (n + 3)! c) n(n + 1)!d) n(n + 1) e) n!(n + 1)

18.- Reducir: M= 7 !−2×5 !6 !−10×4 !

a) 1/7! b) 4/7! c) 1/4.3!d) 1/5! e) N.A.

19.- Efectuar: 1n !

− 1(n+1 )!

a) nn !

b) n+1n!

c)

n−1(n+1 ) !

d) n

(n+1 ) ! e) 1

n (n+1 ) !

20.- Reducir: R=(n+1 )!−n!

( n−1 ) !a) n b) n2 c) 2n d) 1/n2 e) n3

21.- Calcular el valor de “n”:(n+2 ) !

n !=6

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 522.- Calcular el valor de “n”:

13

.( n+3 ) !(n+1 )!

=10

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 623.-

1.- Calcular “n” en:(n−4 ) !+(n−3 ) !+(n−2 )!

n4−13n3+60n2−116 n+80=7 !

a) 12 b) 8 c) 11 d) 13 e) 5

2.- Determinar el valor de “n” en siguiente igualdad:

(n !−4 ) [ (4+n ! )n !+16 ]−2(n !−1)2

=6

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7

3.- Luego de reducir el exponente de “x” será:

E=[√x3√x2

4√x3…n+1√xn ] (n+1) !

a) n! b) n! + 2 c) (n+1)! – 1 d) n!! e) (n-1)! + 1

4.- Determinar el valor “x” en:

(x−5 )! (x−6 ) !( x−5 ) !−( x−6 ) !

=720 ( x−7 )(x−5)

a) 10 b) 14 c) 8 d) 9 e) 10

5.- Calcular “n” en:

230 [1.3 .5 .7… (2n−1 ) ]=60 !(30 !)−1

a) 60 b) 20 c) 50 d) 30 e) 806.- Determinar “x + y”:

C5 y+3x+2 =C2 y+4

2 y+17

a) 21 b) 23 c) 25 d) 32 e) 22

7.- Calcular el valor “x” :

(2 x8 )÷(x

7 )=138a) 16 b) 17 c) 18 d) 10 e) 19

8.- Simplificar:

E=C518+C6

18+C719+C8

20

C821+C13

21

a) 1/2 b) 1/3 c) 7 d) 4/3 e) 9

9.- El valor de “n” es:C2

n+C3n+1

C4n+2 =7

5

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7

10.- Reducir:

E=C k

n

C kn+C k+1

n +Ck +2

n

C k+2n +C k+3

n

a) 2k+4n+1 b)

n+3k−2

c) 2n

k+3

d) 3k−12n+5 e) N.A.