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Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
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7 Caso de estudio. Precios en el mercado
mayorista diario de la energía.
7.1 Introducción al mercado mayorista de la energía
El objetivo principal en este caso de estudio será la predicción de los precios medios
diarios de la energía en el mercado mayorista español con un día de antelación. El
mercado de la electricidad se encarga de definir el precio y las cantidades de energía
intercambiada, generada y consumida, en distintos plazos de tiempo. En función de la
antelación (días, semanas, meses o incluso años) con la que se realizan los contratos,
tendremos mercados a plazo, mercado diario y los mercados de corto plazo. Pueden
participar en el mercado los productores de energía, los comercializadores de último
recurso y electricidad así como los consumidores directos, empresas o consumidores,
residentes en otros países externos al Mercado Ibérico, que tengan la habilitación de
comercializadores.
El 1 de octubre de 2004 se firmó en Santiago de Compostela el Convenio internacional
relativo a la constitución de un mercado ibérico de la energía eléctrica entre España y
Portugal. A través del mismo se regula el mercado ibérico de la energía eléctrica
(MIBEL). Las dos sociedades gestoras del mercado serán OMI-Polo Portugués, SGMR
(OMIP), encargada del mercado a plazo, y la sociedad española OMI, Polo español S.A.
(OMIE), del mercado spot. Esto ha supuesto la transmisión de la actividad consistente
en la operación del mercado de electricidad desarrollada hasta el 1 de julio de 2011 por
OMEL, a favor de OMI, Polo español S.A.
Nos centraremos en el estudio del mercado diario. Este mercado definirá el precio y
cantidades de energía intercambiada durante cada una de las 24 horas del día siguiente.
El mercado se realiza el día anterior al de la entrega de la energía. En dicho mercado
deben participar como oferentes todas las unidades de producción disponibles, que no
estén sujetas a un contrato bilateral físico. Los generadores de energía realizan ofertas
de venta, mientras que los compradores proponen ofertas de compra al OMEL para cada
hora del día siguiente. Con dichos datos, OMEL se encarga de producir, para cada hora,
las curvas agregadas de oferta y demanda, ordenando como se observa en la siguiente
gráfica, por tramos de menor a mayor las ofertas de venta, y en sentido inverso las de
compra. Del cruce de ambas curvas resulta el precio del mercado para cada hora del día
siguiente. De esta manera, se identifican las ofertas “casadas”, que se convierten así en
compromisos firmes de entrega de la energía.
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Figura 39. Curvas de la oferta y la demanda del mercado diario de la energía
Para la representación de este ejemplo académico se han utilizado los datos recogidos
de http://www.energias-renovables.com/imagen_art/w2m/Marzo_2009/pag3.htm.
Una representación real de las curvas agregadas de la oferta y demanda puede ser
recogida de la web de OMIE: http://www.omie.es/files/flash/ResultadosMercado.swf. En
este caso en particular, se ha recogido las curvas del día 13 de Octubre de 2013, a las 21
horas.
Figura 40. Curvas de la oferta y la demanda del mercado diario de la energía
El operador del mercado realiza la casación de las ofertas económicas de compra y
venta de energía eléctrica (a partir de octubre de 2013, la hora de de cierre del Mercado
Diario pasa de las 12 h a las 10 h), por medio del método de casación simple o
compleja. El método de casación compleja obtiene el resultado de la casación a partir
del método de casación simple, al que se añaden las condiciones de indivisibilidad y
gradiente de carga, obteniéndose la casación simple condicionada.
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En la anterior gráfica, queda representado en azul la curva de la demanda para la hora
H, y en rojo la curva de la oferta de la energía. El corte de estas curvas indicarían el
volumen de energía acordado así como el precio, que en este ejemplo serían 9 MWh a
50 euros por MWh, a estar en un mercado marginalista, en los que todos y cada uno de
los generadores casados reciben un mismo precio.
Una vez celebrada la sesión del mercado diario, y recibidas las ejecuciones de los
contratos bilaterales físicos nacionales, el operador del sistema se encarga de asegurar la
viabilidad y fiabilidad del suministro en la red de transporte.
Las ofertas de los generadores serán las cantidades de energía que está dispuesto a
vender a un cierto precio. Los vendedores en el mercado de producción de energía
eléctrica estarán obligados a adherirse a las Reglas de Funcionamiento del Mercado de
Producción de Energía Eléctrica por medio de la suscripción del correspondiente
Contrato de Adhesión. Esto nos lleva a preguntarnos: ¿bajo qué criterios fijan los
generadores los precios y cantidades de sus ofertas? Las cantidades de energía ofertada
están en general en consonancia a las restricciones impuestas por las instalaciones de los
generadores. En cuanto el precio, el verdadero motivo para fijar los precios en las
ofertas será el coste de oportunidad que le supone generar dicha energía. Como
ilustración, podemos pensar en el caso de una central hidroeléctrica de embalse. Si nos
encontramos en una época en la que haya un excedente de agua, porque haya llovido
una gran cantidad en los últimos días, la central hará ofertas muy bajas con el objetivo
de asegurarse que su oferta sea “casada” Sin embargo, si no tiene una gran cantidad de
agua y tiene la posibilidad de almacenarla en el embalse durante un largo periodo de
tiempo, se hará una oferta alta con el objeto de ser casada en el momento que el precio
sea alto.
De esta forma, cada tipo de generador de energía, tendrá en cuenta uno u otros factores
para calcular su coste de oportunidad, como puede ser el caso del generador térmico y
coste del combustible. Por otro lado, tenemos el caso de las plantas fotovoltaicas, la
hidráulica sin presa, los parques eólicos o las centrales nucleares, que suelen aparecer en
la parte baja de la curva de oferta al ser su coste de oportunidad pequeño.
Además, ciertas ofertas incorporan condiciones complejas de venta añadiendo ciertas
condiciones técnicas o económicas como pueden ser las condiciones de indivisibilidad,
gradiente de carga, ingresos mínimos o parada programada. La condición de
indivisibilidad permite fijar un valor mínimo de funcionamiento en el primer tramo de
cada hora, mientras que el gradiente de carga permite fijar la diferencia máxima entre la
potencia inicio de hora y la potencia final de hora de la unidad de producción, lo cual
limita la energía máxima a casar en función de la casación de la hora anterior y la
siguiente. En la gráfica obtenida de
http://www.energiaysociedad.es/documentos/5_1_formacion_de_precios_en_el_mercad
o_mayorista_diario_de_electricidad_archivos/image008.png se observa la distribución
de las ofertas para los diferentes generadores de energía.
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Figura 44. Curvas de la oferta del mercado mayorista de la energía para una hora
Con respecto a la curva de la demanda, los precios más altos suelen ser debido a las
comercializadoras que se aseguran volúmenes mínimos de energía para abastecer a su
clientela. La demanda depende entre otros tipos de factores de si el día es laborable o
festivo y de la temperatura. La curva de la demanda suele estar distribuida como se
muestra en la siguiente figura obtenida de
http://www.energiaysociedad.es/documentos/5_1_formacion_de_precios_en_el_mercad
o_mayorista_diario_de_electricidad_archivos/image010.png.
Figura 41. Curvas de la demanda del mercado mayorista de la energía para una hora
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Dichas gestiones se realizan de manera externa a la compañía operadora a partir del
sistema de información del Operador del Mercado (SIOM). Esta herramienta es
utilizada como medio de información del mercado de electricidad. Las direcciones de
acceso son:
Acceso a SIOM: www.mercado.omie.es
Acceso a SIOME: www.emergenciaomie.es
Acceso a SIOM-PRB: www.pruebas.omie.es
Por todo ello, es destacable la importancia de tener una estimación del valor al que se
quedará el precio al día siguiente con el objetivo de hacer una oferta de venta lo más
adecuada posible para los intereses de la compañía.
Enlaces de interés:
http://www.omel.es/inicio
En la página web oficial de OMI, Polo español S.A. (OMIE) se puede encontrar
una guía completa del mercado de la energía y las subastas de la electricidad, la
información de agentes y normativa del mercado. Además, se puede encontrar
información de la compañía y el sistema de contratación.
http://www.energiaysociedad.es/
En este sitio web se encuentran las principales claves para entender el mercado
energético en general, haciendo especial hincapié en sus implicaciones en la
sociedad. En el siguiente enlace:
http://www.energiaysociedad.es/documentos/C2_Formacion_de_precios_en_el_
mercado_al_contado.pdf se explica en profundidad la formación de precios en
el mercado diario de la electricidad.
http://www.observaelmercadoelectrico.net
Aquí se pude encontrar una guía instructiva completa sobre el Mercado Eléctrico
Ibérico con enlaces de interés y ejemplos ilustrativos desde la liberación del
mercado. Han desarrollado además una serie de aplicaciones interactivas para la
fácil exploración del día a día del mercado de la energía. De especial interés es
el link
http://www.observaelmercadoelectrico.net/Explora/formulario1.html#go_app1
donde introduciendo el día de inicio y final del periodo que nos interesa, nos
presenta una gráfica de los precios horarios en ese intervalo de tiempo.
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http://www.omie.es/files/flash/ResultadosMercado.swf
En esta aplicación creada por OMIE se puede consultar los precios de la energía
del mercado diario, mercado intradiario, precio final medio e incluso la
comparativa de precios. Es una guía interactiva de consulta en la que se puede
elegir la fecha exacta a consultar, y descargar los datos en diferentes formatos
tales como tablas en Excel, blog de notas, gráficos… Además, se pueden
consultar los precios marginales para España y Portugal, las curvas agregadas de
oferta y demanda e incluso la capacidad y ocupación de importación y
exportación.
https://demanda.ree.es/demanda.html
Esta web presenta una base de datos de la demanda de energía eléctrica en
tiempo real, y la estructura de generación y emisiones de CO2, dividiendo dicha
estructura en función de la fuente de energía, tales como nuclear, fuel, carbón,
ciclo combinado, eólica, solar…
http://es.wikipedia.org/wiki/Mercado_el%C3%A9ctrico_de_Espa%C3%B1a
En este enlace de Wikipedia se recoge un resumen completo de los antecedentes
del mercado eléctrico de España y su liberalización, además de algunos enlaces
de interés para la comprensión de la situación actual.
La evolución de los precios horarios de la energía entre el 1 de Enero de 2009 y el 17 de
Septiembre de 2013 fue la que se recoge en la siguiente gráfica.
Figura 42. Precios horarios de la energía entre el 1 de Enero de 2009 y el 17 de Septiembre de
2013
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Nos centraremos en la media diaria del precio de la energía eléctrica entre el 1 de Enero
de 2009 y el 17 de Septiembre de 2013, como se refleja a continuación.
Figura 43. Precios medios diarios de la energía entre el 1 de Enero de 2009 y el 17 de
Septiembre de 2013
Se observa que existen algunos picos de precios en días aislados. Se ha comprobado con
la regresión proporciona un menor error, si no tenemos en cuenta estas desviaciones
concretas. Por ello, el regresor no tendrá en cuenta los picos cuya variación sea mayor
de un cierto número de puntos con respecto al valor medio de dicho mes. Sin embargo,
se hará una excepción para aquellos valores cercanos al día que queremos predecir.
Para realizar un ajuste lo mejor posible de las variables del estimador, se estudia, para
comenzar, las medias semanales y mensuales de los precios horarios en las siguientes
gráficas.
Figura 44. Precios medios semanales de la energía entre el 1 de Enero de 2009 y el 17 de
Septiembre de 2013
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Figura 45. Precios medios mensuales de la energía entre el 1 de Enero de 2009 y el 17 de
Septiembre de 2013
Con objeto de encontrar ciertas relaciones, representamos las medias mensuales y la
media ponderada de dichos valores, observando que los meses de marzo y abril se
sitúan por debajo de la media, mientras que los meses de verano (junio, julio, agosto y
septiembre) presentan picos elevados de precio.
Figura 46. Precios medios mensuales de la energía y media ponderada de los precios medios
diarios (rojo)
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Se comenzará usando un set de puntos de entrenamiento que será definido por los días
entre el 1 de enero de 2009 al 31 de diciembre de 2011, es decir 1095 días. Se calculará
el error medio cometido al predecir los precios entre el 1 de enero de 2010 y el 31 de
diciembre de 2011. Se tiene por objetivo conseguir el mínimo error de predicción,
siendo éste menor que el persistente antes definido. Para ello, se testará diferentes
estructuras para el estimador.
7.2 Modelos directos de predicción del precio diario
En esta sección, se plantearán diferentes estructuras del vector de estimación θ, que se
testarán sobre el conjunto de puntos comprendidos entre el 1 de enero de 2009 al 31 de
diciembre de 2011. Para ello, se resolverá el problema planteado usando una L
constante, debido a que estamos trabajando con un conjunto con un número elevado de
puntos. Posteriormente, se utilizará el algoritmo tal y como está planteado en el
apartado 5 para un set de validación comprendido hasta septiembre de 2013.
Figura 47 Precios medios diarios de la energía entre el 1 de enero de 2009 y el 31 de diciembre
de 2001
7.2.1 Modelo persistente
Con el objetivo de comparar las predicciones obtenidas se comenzará definiendo el
modelo del persistente, por el cual la predicción para cada uno de los días corresponderá
al precio real del día anterior. De esta forma, se calculará el error de cada punto,
mediante la diferencia entre el valor real del precio dicho día y el del día anterior. Se
observa que con este método se obtienen errores pequeños en zonas estables donde el
precio sufre pocas variaciones.
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De esta forma, el error medio de predicción obtenido para este set de días será el
recogido en la siguiente tabla, teniendo en cuenta que la estimación del precio en el
segundo, tercer y cuarto día de estimación será igual al último dato del que tenemos
constancia, es decir el del día anterior al primer día a estimar.
Día de
predicción
Error medio de
predicción
1 3.5048
2 4.576
3 4.902
4 5.024
7.2.2 Modelo media de precios en la semana anterior
Otro posible modelo a estudiar será el que tomará como estimación del precio diario, el
precio medio diario de la semana anterior, quedando por ello la siguiente estimación de
los precios diarios entre el 1 de enero de 2010 y el 31 de diciembre de 2011.
Figura 48 Representación gráfica de los precios medios diarios de la energía, las medias
semanales y las predicciones diarias por el modelo de la media de precios de la semana anterior
Los errores medios de predicción para este caso son
Día de
predicción
Error medio de
predicción
1 4.4287
2 4.4287
3 4.4287
4 4.4287
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Otro planteamiento similar sería el de usar la media de precios de la semana anterior al
día que queremos estimar como vector de regresión y calcular una constante, que
mejore este error medio.
El error medio obtenido para los diferentes intervalos de predicción es el siguiente:
Día de
predicción
Error medio de
predicción
1 4.247
2 4.254
3 4.259
4 4.251
Siendo el vector de estimación para cada punto central elegido
Figura 49 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales
7.2.3 Modelo media de precios en el mes anterior
Este modelo tomará como estimación del precio diario, el precio medio diario del mes
anterior, quedando por ello la siguiente estimación de los precios diarios entre el 1 de
enero de 2010 y el 31 de diciembre de 2011. En verde, se representará la media de los
precios en dicho mes, y en rojo, la estimación, es decir, el precio medio en el mes
anterior.
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Figura 50 Representación gráfica de los precios medios diarios de la energía, las medias
mensuales y las predicciones para cada día por el modelo media de precios del mes anterior
En esta ocasión, los errores medios obtenidos son
Día de
predicción
Error medio de
predicción
1 5.999
2 5.998
3 5.974
4 5.958
Ahora se testarán algunos modelos para el vector de estimación, y aplicaremos el
algoritmo diseñado, considerando la variable L una constante para poder computar un
alto número de puntos.
Tomando como vector de regresión la media mensual del mes anterior al día que
queremos estimar, obtenemos un error medio de predicción
Día de
predicción
Error medio de
predicción
1 4.891
2 4.855
3 4.833
4 4.831
Se obtiene los siguientes valores del vector de estimación , que en este caso sería una
constante, para las diferentes elecciones del punto central.
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Figura 51 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales
7.3 Modelos del vector de estimación para la predicción del
precio diario
7.3.1 Modelo 1:
El primer caso a probar tendrá en cuenta el precio el día anterior (yi-1), el precio una
semana anterior (yi-7), la media de la semana anterior (ms) y penalizará la distancia
temporal con el punto central.
El vector de estimación será
[yi-1 yi-7 ms t]
Siendo yi-1 el precio de la energía en el día anterior al primer día de estimación, yi-7 el
precio de la energía una semana antes al punto en el que queremos estimar el precio, ms,
la media semanal de precios de la semana anterior al punto de estimación, y t la
distancia al punto central.
Se intentará estimar el valor del precio a dos, tres y cuatro días vista. Para ello se
utilizará el último dato del precio con el que contamos, es decir, el del día anterior al
primer día a estimar, el precio una semana antes al día que queremos estimar, la media
semanal de la semana anterior al día que queremos estimar y la distancia temporal a
dicho momento.
Los errores medios se recogen en la siguiente tabla
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Figura 52 Representación gráfica del error medio de predicción para los distintos
horizontes temporales.
Realizando un estudio de las franjas de pertenencia en los diferentes tiempos de
predicción obtenemos la siguiente tabla:
1 día 2 días 3 días 4 días
M
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media de
la franja
5 38.493% 4.55 38.35% 4.916 38.77% 5.108 40.55% 5.063
20 51.64% 5.58 50.41% 6.302 52.05% 6.557 52.60% 6.558
40 54.65% 5.965 58.76% 7.005 57.39% 7.177 58.21% 7.185
60 58.21 % 6.23 62.19% 7.377 61.78% 7.643 62.05% 7.7227
150 61.91% 6.45 67.53% 7.872 67.12% 8.274 67.26% 8.374
En la siguiente gráfica, se ha representado las probabilidades de pertenencia del punto
central a la franja para los diferentes intervalos de predicción.
Día de
predicción
Error medio de
predicción
1 3.5715
2 4.0002
3 3.978
4 3.897
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Figura 53 Representación gráfica de las probabilidades de pertenencia a la franja para
los distintos intervalos de predicción.
Se observa que, como es lógico, para franjas más anchas, la probabilidad de pertenencia
del punto será mayor que para franjas pequeñas. Según el tipo de compañía y los
objetivos a cubrir se elegirá un valor de M u otro.
A continuación, se va a realizar el mismo cálculo por definiendo como
(| ( )| )
en vez de la media de los mismos.
1 día 2 días 3 días 4 días
M
Probabilidad de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
5 69.32% 11.03 64.66% 11.62 64.11% 11.71 66.71% 11.89
20 93.01% 23.60 92.05% 25.89 92.88% 26.38 92.60% 26.88
40 96.71% 30.59 96.71% 34.49 96.99% 34.82 97.12% 35.80
60 97.81% 34.94 97.95% 39.25 98.22% 39.08 97.95% 40.23
150 98.90% 45.53 99.18% 51.31 99.18% 51.80 99.04% 53.06
Las probabilidades de pertenencia del punto central a la franja en función del intervalo
de predicción son
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Figura 54 Representación gráfica de las probabilidades de pertenencia a la franja para los
distintos intervalos de predicción
El valor de las componentes del vector de estimación para cada uno de los puntos
centrales queda recogido en las siguientes gráficas
Figura 55 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales
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Figura 56 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 2 días vista
Figura 57 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 3 días vista
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Figura 58 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 4 días vista
Se analizará por otro lado, el impacto de añadir una restricción o cota superior a la
distancia entre el valor del precio y la media de los precios del mismo mes, de tal forma
que si el punto es muy distante a la media mensual, no se tenga en cuenta en la
regresión. Los errores para diferentes valores de dicha cota son los representados en la
siguiente gráfica, observándose una mejores de los errores medio de predicción.
Figura 59. Representación de errores medios de predicción para distintas cotas
superiores de la diferencia con el precio medio mensual
Usando este tratamiento de los datos conseguimos mejorar el error medio de predicción
del permanente, siendo una cota de 8 puntos la que da mejores resultados en términos
de errores para los 3 primeros días de predicción y la cota de 12, para el cuarto día.
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Vamos a hacer un nuevo tratamiento de los datos, para intentar una mejora del error de
predicción medio. Para ello, dividiremos los datos entre laborables y no laborables. Al
resolver el problema de la regresión solo tendremos en cuenta los días laborables (lunes
a viernes) para la predicción de un día laborable, haciendo lo mismo para los días no
laborables. Los errores medios de predicción aplicando este nuevo análisis son los
recogidos en la siguiente tabla.
Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Sin tratamiento
previo
3.5715 4.0002 3.978 3.897
Laborables/no
laborables
3.572 4.404 4.822 4.602
Cota superior
diferencia con
media mensual
3.347 3.573 3.668 3.689
Dos tratamientos
a la vez.
3.366 3.757 4.169 4.197
Los resultados se muestran en la siguiente gráfica:
Figura 60. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción para diferentes tratamientos de los datos
El mejor tratamiento previo de los datos es el producido por la cota superior a la
diferencia entre el precio medio diario y la media mensual de los precios medios diarios.
Ahora realizaremos el análisis diferenciando los puntos laborables y los no laborables.
Es decir, calcularemos el error medio producido al predecir los días laborables teniendo
en cuenta todos los puntos previos y sólo los laborables.
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DIAS LABORABLES Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Todos los datos previos 3.254 3.593 3.995 4.160
Teniendo en cuenta sólo
días laborables
3.122 3.937 4.972 4.977
Haciendo lo propio para los días no laborables obtenemos:
Figura 61. Representación gráfica de los errores medios de predicción en función del
intervalo de predicción
Respecto a los días no laborables, tenemos que
DIAS NO
LABORABLES
Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Todos los datos previos 4.363 5.015 3.936 3.245
Teniendo en cuenta días
no laborables
4.694 5.568 4.447 3.669
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Figura 62. Representación gráfica de los errores medios de predicción en función del
intervalo de predicción
En este caso, tener en cuenta tan sólo los días bien laborables o no laborables, sólo
mejora la primera predicción para el caso de los días laborables. Por lo tanto, parece ser
que no es una buena opción para este modelo. Se observa además, que el error medio
de predicción es mayor en el caso de los días no laborables que en el de los días
laborables.
7.3.2 Modelo 2:
En este modelo añadiremos más información acerca de los últimos tres días antes del
día a predecir, es decir los últimos datos de precios de los que tenemos constancia,
esperando que haya una cierta dependencia entre lo que ocurrió en estos últimos días, y
lo que ocurrirá en el intervalo de 4 días que queremos predecir.
El vector de estimación será
[yi-1 yi-2 yi-3 yi-7 ms t]
Siendo yi-1 el precio de la energía en el día anterior al primer día de estimación, yi-2 el
precio de la energía dos días antes al primer día de estimación, yi-3 el precio de la
energía tres días antes al primer día de estimación, ms, la media semanal de precios de la
semana anterior al punto de estimación, y t la distancia al punto central.
Los errores medios de predicción usando este nuevo modelo basado en los precios
diarios cercanos al punto central son
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Día de
predicción
Error medio de
predicción
1 3.6833
2 4.0282
3 4.0609
4 4.1551
Figura 63 Representación gráfica del error medio de predicción para distintos horizontes
temporales.
Realizamos a continuación un análisis de las franjas de pertenencia del punto central,
calculando las probabilidades de pertenencia y la anchura de la misma.
1 día 2 días 3 días 4 días
M
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
5 37.80% 4.547 38.21% 5.009 38.63% 5.104 37.53% 5.242
20 47.94% 5.341 48.90% 6.090 51.51% 6.418 49.18% 6.369
40 50.82% 5.772 54.93% 6.657 56.57% 6.959 55.89% 6.989
60 54.66% 5.985 59.31% 7.106 58.35% 7.339 59.45% 7.464
150 58.35% 6.315 63.01% 7.661 63.97% 8.065 65.89% 8.211
En la siguiente gráfica, se ha representado las probabilidades de pertenencia del punto
central a la franja para los diferentes intervalos de predicción.
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
89
Figura 64 Representación gráfica de las probabilidades de pertenencia a la franja para los
distintos intervalos de predicción
Usando obtenemos los siguientes datos
1 día 2 días 3 días 4 días
M
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
5 67.12% 11.41 66.16% 11.97 66.85% 12.52 64.52% 12.58
20 91.78% 23.29 91.64% 25.17 91.23% 26.72 90.55% 26.79
40 96.16% 29.91 96.03% 33.17 95.89% 34.62 94.93% 35.04
60 97.81% 34.17 97.53% 37.54 98.08% 38.78 97.95% 39.49
150 98.90% 45.01 99.04% 49.88 98.90% 51.44 99.04% 52.36
Las probabilidades de pertenencia del punto central a la franja en función del intervalo
de predicción son
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
90
Figura 65 Representación gráfica de las probabilidades de pertenencia a la franja para los
distintos intervalos de predicción
La evolución del vector de estimación para la estimación en los distintos intervalos de
tiempo es la que sigue.
Figura 66 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 1 día vista
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
91
Figura 67 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 2 días vista
Figura 68 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 3 días vista
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
92
Figura 69 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 4 días vista
Al igual que en el caso anterior, se estudiará cómo afecta al error medio de predicción
una cota superior de la diferencia del precio diario con el precio medio mensual. El error
se disminuido siguiendo la forma que se puede observar en la gráfica, dándose el menor
error medio para el primer y segundo día de predicción con la cota de 8 puntos y de 12,
para los dos últimos días del intervalo de predicción.
Figura 70. Representación de errores medios de predicción para distintas cotas
superiores de la diferencia con el precio medio mensual
Teniendo por objetivo la mejora del error medio de predicción en el intervalo de días
analizado, dividiremos los datos entre laborables y no laborables. Se tendrán en cuenta
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
93
los días laborables (del lunes a viernes, ambos inclusive) para el cálculo de los días
laborables, y los día sábado y domingo para la predicción de los siguientes días no
laborables. Los errores medios de predicción aplicando este nuevo análisis son los
recogidos en la siguiente tabla.
Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Sin tratamiento
previo
3.6833 4.028 5.1 4.85
Laborables/no
laborables
3.83 4.46 5.1 4.85
Cota superior
diferencia con
media mensual
3.427 3.701 3.784 3.89
Dos tratamientos
a la vez.
3.52 3.89 4.52 4.41
Los resultados se muestran en la siguiente gráfica:
Figura 71. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción para diferentes tratamientos previos de los datos
Se observa que el tratamiento de datos que ofrece mejores resultados es la cota superior
a la distancia entre el precio medio diario y la media mensual de 8. A continuación,
analizaremos los puntos laborables y los no laborables por separado, calculando el error
medio producido al predecir los días laborables teniendo en cuenta todos los puntos
previos y sólo los laborables.
DIAS LABORABLES Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Todos los datos previos 3.376 3.673 4.203 4.429
Teniendo en cuenta sólo
días laborables
3.257 4.090 5.467 5.256
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
94
Figura 72. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción
Al igual que en el caso anterior, para el primer día existe una pequeña mejora teniendo
en cuenta tan sólo los días laborables. Sin embargo, para el resto del intervalo de
predicción los valores divergen, causando mayores perjuicios que beneficios.
Haciendo lo propio para los días no laborables obtenemos peores resultados que
contando con todos los puntos.
DIAS NO
LABORABLES
Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Todos los datos previos 4.448 4.913 3.706 3.47
Teniendo en cuenta días
no laborables
5.287 5.413 4.201 3.85
Figura 73. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
95
7.3.3 Modelo 3:
Ahora probaremos un modelo basado en las medias semanales y medias mensuales de
los precios diarios en el mes anterior al punto central en el que queremos estimar el
precio diario, en el que el vector estimador será:
[yi-1 ms mm t]
Siendo yi-1, el precio de la energía en el día anterior al primer día de estimación, mm, la
media mensual de precios del mes anterior; ms, la media semanal de precios de la
semana anterior al punto de estimación, y t la distancia al punto central.
Los errores medios obtenidos en este caso son:
Día de
predicción
Error medio de
predicción
1 3.615
2 3.916
3 3.830
4 3.763
Figura 74 Representación gráfica del error medio de predicción para distintos
horizontes temporales.
El análisis de las franjas de pertenencia del punto central, calculando las probabilidades
de pertenencia y la anchura de la misma, queda recogido en la siguiente tabla en función
del intervalo de predicción.
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
96
1 día 2 días 3 días 4 días
M
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
5 41.23% 4.838 39.72% 5.298 41.09% 5.308 43.42% 5.318
20 53.97% 5.751 53.70% 6.539 54.93% 6.725 53.42% 6.765
40 57.12% 6.139 59.72% 7.124 60.27% 7.371 60.13% 7.358
60 61.50% 6.355 63.15% 7.475 62.60% 7.704 64.38% 7.769
150 63.69% 6.639 67.67% 8.041 68.21% 8.432 68.90% 8.571
Figura 75 Representación gráfica de las probabilidades de pertenencia a la franja para los
distintos intervalos de predicción
Usando obtenemos los siguientes datos
1 día 2 días 3 días 4 días
M
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
5 69.45% 12.12 70.27% 12.84 66.71% 12.81 69.73% 13.01
20 93.42% 25.47 93.70% 27.47 94.11% 27.94 93.15% 27.98
40 96.44% 32.41 96.99% 35.93 97.95% 36.46 97.40% 37.12
60 97.67% 36.61 98.49% 40.19 98.63% 40.66 98.77% 41.58
150 98.63% 46.63 99.32% 51.39 99.45% 53.13 99.32% 54.39
Las probabilidades de pertenencia del punto central a la franja en función del intervalo
de predicción son
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
97
Figura 76 Representación gráfica de las probabilidades de pertenencia a la franja para los
distintos intervalos de predicción
La evolución del vector de estimación para la estimación en los distintos intervalos de
tiempo es la recogida en las siguientes gráficas.
Figura 77. Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 1 día vista
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
98
Figura 78 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 2 días vista
Figura 79 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 3 días vista
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
99
Figura 80 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 4 días vista
Se intentará mejorar el error medio de predicción tratando los datos previamente
aplicando una cota superior de la diferencia del precio diario con el precio medio
mensual.
Figura 81. Representación de errores medios de predicción para distintas cotas
superiores de la diferencia con el precio medio mensual
Para este modelo, la cota de 8 ofrece menores errores para todos los intervalos de
predicción, por lo que queda claro que su uso mejoraría los resultados obtenidos.
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
100
Ahora, vamos a hacer un nuevo tratamiento de los datos basado al igual que en
apartados anteriores en la diferenciación entre días laborables y no laborables.
Los resultados se muestran en la siguiente gráfica:
Figura 82. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción para diferentes tratamientos previos de los datos
El error es mínimamente mejor para el uso de ambos tratamientos de datos para el
primer día de predicción. Sin embargo, sigue siendo mejor el uso en exclusiva de la cota
superior de 8 puntos para el resto de días.
A continuación, realizaremos el análisis diferenciando los puntos laborables y los no
laborables. Es decir, calcularemos el error medio producido al predecir los días
laborables teniendo en cuenta todos los puntos previos y sólo los laborables, realizando
lo mismo para los días no laborables.
Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Sin tratamiento
previo
3.615 3.916 3.830 3.763
Laborables/no
laborables
3.575 4.445 4.734 4.576
Cota superior
diferencia con
media mensual
3.414 3.502 3.576 3.579
Dos tratamientos
a la vez.
3.375 3.682 4.040 4.121
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
101
DIAS LABORABLES Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Todos los datos previos 3.3201 3.487 3.782 3.995
Teniendo en cuenta sólo
días laborables
3.088 4.021 4.702 4.934
Figura 83. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción
En este caso, existe una mejora valorable para el caso del primer día de predicción,
manteniéndose por encima para el resto de intervalo.
DIAS NO
LABORABLES
Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Todos los datos previos 4.351 4.987 3.950 3.184
Teniendo en cuenta días
no laborables
4.787 5.501 4.812 3.685
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
102
Figura 84. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción
7.3.4 Modelo 4:
En este modelo se introducirá una variable en el vector de estimación procedente del
análisis previo de los datos. Se ha realizado la media mensual del precio medio diario de
la energía, y a su vez, se ha calculado la media de los meses a lo largo de los 5 años
recogidos en los datos. Se ha obtenido la siguiente gráfica, en la que se puede observar
que hay ciertos meses con un valor medio por encima y debajo de la media, y otros
ciertos meses cercanos a la media anual de los precios. Mientras los meses del verano
(Junio, Julio, Agosto, Septiembre y Octubre) son de media meses con altos precios de la
energía, Marzo y Abril presentan un descenso claro de los mismos.
Figura 85. Precios medios mensuales de la energía y media ponderada de los precios (rojo)
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
103
Definiremos para ello un índice im que dividirá los meses en función de la anterior
clasificación, y veremos cómo afecta al error medio y a la franja de pertenencia. De esta
forma, el vector de estimación se definirá como
[yi-1 yi-2 ms mm im t]
Obtenemos los siguientes errores medios de predicción para los diferentes intervalos de
predicción de uno, dos, tres y cuatro días vista.
Día de
predicción
Error medio de
predicción
1 3.565
2 3.944
3 3.861
4 4.023
Figura 86 Representación gráfica del error medio de predicción para distintos horizontes
temporales.
En la tabla se recogerá el cálculo a posteriori de la probabilidad de que el precio a
predecir se encuentre dentro de la franja de la anchura media indicada.
1 día 2 días 3 días 4 días
M
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
5 40.14% 4.703 39.45% 5.007 40.00% 5.184 41.92% 5.447
20 52.05% 5.534 52.19% 6.236 52.05% 6.413 50.68% 6.485
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
104
40 55.21% 5.879 55.62% 6.844 58.36% 7.06 55.62% 7.114
60 58.76% 6.109 59.45% 7.177 60.13% 7.427 59.04% 7.534
150 63.01% 6.468 64.79% 7.773 67.39% 8.194 65.89% 8.329
En la siguiente gráfica se recogen las probabilidades de pertenencia del punto central a
la franja en función del intervalo de predicción.
Figura 87 Representación gráfica de las probabilidades de pertenencia a la franja para los
distintos intervalos de predicción
Usando obtenemos los siguientes datos
1 día 2 días 3 días 4 días
M
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
5 68.77% 12.02 66.16% 12.50 67.26% 12.95 67.40% 13.42
20 92.60% 25.03 92.60% 26.31 92.60% 27.32 92.19% 27.26
40 96.16% 31.81 96.71% 34.24 96.85% 35.62 96.85% 35.72
60 97.40% 35.95 97.81% 38.05 97.95% 39.99 98.49% 40.27
150 99.04% 47.02 99.04% 50.59 99.18% 54.01 99.04% 54.31
Las probabilidades de pertenencia del punto central a la franja en función del intervalo
de predicción son
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
105
Figura 88 Representación gráfica de las probabilidades de pertenencia a la franja para los
distintos intervalos de predicción
Las siguientes gráficas muestran la evolución de las diferentes componentes del vector
de estimación para cada elección de punto central.
Figura 89 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 1 día vista
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
106
Figura 90 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 2 días vista
Figura 91 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 3 días vista
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
107
Figura 92 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 4 días vista
Por último, al igual que en los casos anteriores, se mejorará los resultados obtenidos a
través de la implantación de una cota superior a la diferencia de los precios medios
diarios con la media mensual del mes al que pertenecen, siendo la mejor opción la cota
de 8 puntos para este modelo.
Figura 93. Representación de errores medios de predicción para distintas cotas
superiores de la diferencia con el precio medio mensual
Por último, procederemos a hacer el cálculo del error medio de predicción considerando
por separado los días laborables y no laborables para intentar una mejora del error de
predicción medio, obteniéndose la siguiente tabla
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
108
Los resultados mostrados en la gráfica muestran cómo la adición de la separación de los
dos tipos de días, empeora el error medio de predicción que produce la introducción
únicamente de la cota superior de 8 puntos.
Figura 94. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción para diferentes tratamientos previos de los datos
Ahora realizaremos el análisis diferenciando los puntos laborables y los no laborables.
Es decir, calcularemos el error medio producido al predecir los días laborables teniendo
en cuenta todos los puntos previos y sólo los laborables. Se observa una pequeña
mejoría para el primer día de predicción para el caso de los días laborables, siendo los
resultados visiblemente peores para los días no laborables.
DIAS LABORABLES Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Todos los datos previos 3.298 3.600 3.928 4.271
Teniendo en cuenta sólo
días laborables
3.165 4.027 4.898 5.053
Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Sin tratamiento
previo
3.565 3.944 3.861 4.023
Laborables/no
laborables
3.705 4.409 4.802 4.750
Cota superior
diferencia con
media mensual
3.373 3.592 3.680 3.703
Dos tratamientos
a la vez.
3.486 3.761 4.120 4.270
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
109
Figura 95. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción
Para los días no laborables,
DIAS NO
LABORABLES
Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Todos los datos previos 4.231 4.754 3.694 3.4055
Teniendo en cuenta días
no laborables
5.050 5.364 4.565 3.996
Figura 96. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
110
7.3.5 Modelo 5:
Por último, analizaremos un nuevo modelo que tendrá el siguiente vector de estimación
[yi-1 yi-2 yi-7 mm t]
Considerando en la regresión yi-1 y yi-2 los precios medios diarios de los dos días
anteriores al primer día de estimación, yi-7 el precio diario una semana antes del día que
estamos estimando, mm, el precio medio mensual del mes anterior al día que estamos
estimando y t la distancia temporal con el punto central.
Calculamos los errores medio de predicción para los diferentes horizontes temporales.
Día de
predicción
Error medio de
predicción
1 3.578
2 4.103
3 3.977
4 4.050
Figura 97 Representación gráfica del error medio de predicción para distintos horizontes
temporales.
En la tabla se recogerá el cálculo de la probabilidad de que el precio a predecir se
encuentre dentro de la franja de la anchura media indicada, usando diferentes valores
del parámetro M.
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
111
1 día 2 días 3 días 4 días
M
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
5 39.86% 4.533 38.90% 5.133 40.14% 5.232 41.10% 5.446
20 51.10% 5.437 48.90% 6.249 50.41% 6.421 50.82% 6.481
40 55.34% 5.819 55.75% 6.888 57.12% 7.006 56.30% 7.097
60 56.71% 6.012 59.32% 7.168 60.55% 7.364 59.18% 7.468
150 60.96% 6.418 63.42% 7.813 64.79% 8.199 65.75% 8.36
Las probabilidades de pertenencia del punto central a la franja en función del intervalo
de predicción queda representada en la siguiente gráfica.
Figura 98 Representación gráfica de las probabilidades de pertenencia a la franja para los
distintos intervalos de predicción
Usando obtenemos los siguientes datos
1 día 2 días 3 días 4 días
M
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
Probabilidad
de
pertenencia
Anchura
media
de la
franja
5 69.32% 11.34 64.25% 12.00 67.95% 12.38 67.26% 12.72
20 93.56% 23.63 92.05% 25.46 92.74% 26.55 92.47% 26.38
40 96.44% 30.28 96.44% 33.51 96.99% 34.63 96.71% 34.77
60 97.67% 34.23 97.40% 37.54 98.08% 38.71 97.95% 39.00
150 98.77% 44.49 99.04% 50.15 99.18% 52.23 99.04% 52.28
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
112
Las probabilidades de pertenencia del punto central a la franja en función del intervalo
de predicción son
Figura 99 Representación gráfica de las probabilidades de pertenencia a la franja para los
distintos intervalos de predicción
Las siguientes gráficas muestran la evolución de las diferentes componentes del vector
de estimación para punto central.
Figura 100 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 1 día vista
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
Ana María González Cordobés
113
Figura 101 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 2 días vista
Figura 102 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 3 días vista
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114
Figura 103 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 4 días vista
Se añadirá a continuación una cota superior a la diferencia de los precios medios diarios
con la media mensual del mes al que pertenecen, calculando a su vez el error medio de
predicción para las diferentes cotas, correspondiendo los mejores resultados a la cota
superior de 8, como en los casos anteriores.
Figura 104. Representación de errores medios de predicción para distintas cotas
superiores de la diferencia con el precio medio mensual
Teniendo por objetivo la mejora error de predicción medio, dividiremos los datos entre
laborables y no laborables, al igual que en los casos anteriores, y haremos el análisis de
los errores obtenidos.
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
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115
Figura 105. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción para diferentes tratamientos previos de los datos
Los mejores resultados son los obtenidos a través de la cota superior a la diferencia
entre los precios medios diarios y la media mensual de los precios. Por otro lado,
haremos el mismo análisis con los puntos laborables y los no laborables
independientemente. Es decir, calcularemos el error medio producido al predecir los
días laborables teniendo en cuenta todos los puntos previos y sólo los laborables.
DIAS LABORABLES Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Todos los datos previos 3.315 3.789 4.089 4.286
Teniendo en cuenta sólo
días laborables
3.176 4.053 4.723 4.996
Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Sin tratamiento
previo
3.578 4.103 3.977 4.050
Laborables/no
laborables
3.671 4.481 4.580 4.681
Cota superior
diferencia con
media mensual
3.358 3.632 3.699 3.755
Dos tratamientos
a la vez.
3.479 3.831 4.069 4.161
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Figura 106. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción
Haciendo lo mismo para los días no laborables, volvemos a obtener un empeoramiento
de los resultados previos.
DIAS NO
LABORABLES
Día 1 Día 2 Día 3 Día 4
Todos los datos previos 4.231 4.887 3.699 3.463
Teniendo en cuenta días
no laborables
4.906 5.548 4.208 3.896
Figura 107. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
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117
7.4 Análisis de resultados obtenidos.
Para comenzar el análisis de los resultados obtenidos, vamos a recoger en una tabla los
errores medios de predicción para cada modelo planteado, sin realizar ningún
tratamiento previo de los datos.
Modelos Error medio
de la
predicción
día 1
Error medio
de la
predicción
día 2
Error medio
de la
predicción
día 3
Error medio
de la
predicción
día 4
Modelo directo del
persistente
3.5048 4.576 4.902 5.024
Modelo directo
media semana
anterior
4.4287 4.4287 4.4287 4.4287
Regresión con
media semana
anterior
4.247 4.254 4.259 4.251
Modelo directo
media mes anterior
5.9997 5.9997 5.9997 5.9997
Regresión con
media mes anterior
4.891 4.855 4.833 4.831
Modelo 1 3.5715 4.002 3.978 3.897
Modelo 2 3.6833 4.0282 4.069 4.1551
Modelo 3 3.615 3.916 3.830 3.763
Modelo 4 3.565 3.944 3.861 4.023
Modelo 5 3.578 4.103 3.977 4.050
A priori, se observa que para el primer día de estimación, el menor error medio de
predicción es el obtenido a través del persistente del día anterior. Representaremos
gráficamente los valores recogidos en la tabla.
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Figura 108. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción para los diferentes modelos de regresión
Se observa que el persistente arroja mejores errores de predicción medios para el primer
día de predicción, siendo peor para el resto de intervalos predictivos. Por su parte, los
cinco modelos finales obtienen mejores errores que el resto, siendo el mejor de media,
el modelo 3, basado en las medias mensuales del mes anterior y la media semanal de la
semana anterior al día que queremos predecir.
El modelo 4, que introduce el índice im mejora su error de predicción para el primer día,
pero lo empeora para el resto.
Por otro lado, podemos comparar los errores medios de predicción mínimos obtenidos
con el tratamiento previo de los datos, bien a través de la imposición de la cota superior
a la distancia entre el precio medio diario dado y la media mensual de los precios
medios diarios, o bien, a través del análisis mediante la diferenciación entre días
laborables y no laborables, para los cinco modelos planteados.
Modelos Error medio
de la
predicción
día 1
Error medio
de la
predicción
día 2
Error medio
de la
predicción
día 3
Error medio
de la
predicción
día 4
Modelo 1 3.347 3.573 3.668 3.689
Modelo 2 3.427 3.701 3.784 3.890
Modelo 3 3.414 3.502 3.576 3.579
Modelo 4 3.373 3.592 3.680 3.703
Modelo 5 3.358 3.632 3.699 3.755
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Gráficamente, se observa que para el primer día de predicción el mejor modelo sería el
Modelo 1, mientras que el resto de días seguiría siendo el Modelo 3, que le da mayor
importancia a las medias, que a los valores concretos.
Figura 109. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción para los diferentes modelos de regresión
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120
7.5 Validación de la regresión
Para realizar la validación, usaremos el set de días comprendidos entre el 1 de Enero de
2012 y el 17 de septiembre de 2013. De ellos, calcularemos el error medio, prediciendo
los puntos del 1 de abril de 2012 al final del set, como se recoge en la representación
gráfica.
Figura 110. Representación gráfica de precios medios diarios entre 1 de Enero de 2012 y el 17
de septiembre de 2013
Como se observa en la gráfica, se trata de un intervalo de predicción especialmente
complicado, ya que existe un caso especialmente complicado: los precios medios se
hacen nulos para unos ciertos días.
El modelo que usaremos para la validación será el planteado en tercer lugar, es decir
aquel cuyo estimador está formado por el precio medio del última día antes del primer
día que queremos estimar, la media semanal de la semana anterior al día que estamos
calculando, la media mensual previa y la distancia temporal.
En la siguiente tabla se recogen los errores medios de predicción obtenidos con el uso
del persistente y por el modelo 3 expuesto en el anterior apartado. Para la estimación
usando el persistente, tomaremos como estimación en los cuatro días que queremos
predecir, el último valor del precio medio del que contamos, es decir, el día anterior al
primer día. Haremos a su vez la regresión usando los mínimos cuadrados ponderados
con una constante que muestrearemos, y por el algoritmo planteado en el apartado 9.
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Persistente
Modelo 3
Mínimos cuadrados
ponderados
Regresión mediante el
algoritmo
5.477 6.245 6.271
8.046 6.999 7.442
8.872 6.872 7.680
9.516 6.995 7.797
Los datos quedan recogidos en la siguiente gráfica
Figura 111. Representación de errores medios de predicción en función del intervalo de
predicción
Se observa que el persistente mejora los errores conseguidos por los algoritmos de
regresión para el primer día de regresión. En cambio, estos mejoran los mismos para el
resto del intervalo de predicción. El error medio de predicción del algoritmo no mejora
al obtenido mediante los mínimos cuadrados ponderados con una constante. Sin
embargo, el algoritmo no requiere un análisis a posteriori de los datos. Es decir, el
cálculo de la constante para los mínimos cuadrados se calcula muestreando la
estimación para distintos valores de la misma, y calculando una vez que recogemos el
dato, el que mejor se ajusta al valor real.
La siguiente gráfica muestra la evolución de los precios entre el 1 de Abril de 2013 y el
17 septiembre de 2013, y la estimación a un día vista, en rojo.
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Figura 112. Representación gráfica de los precios medios diarios (azul) y la estimación a través
del algoritmo planteado en el apartado 9 (rojo)
A continuación se representarán las componentes del vector de estimación y del vector
L obtenidos mediante la resolución usando el algoritmo del apartado 9, para los
distintos puntos centrales.
Figura 113 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 1 día vista
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
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Figura 114 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 2 días vista
Figura 115 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 3 días vista
Algoritmos de optimización gradenciales. Implementaciones numéricas.
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Figura 116 Representación gráfica de las componentes del vector de estimación para
distintos puntos centrales a 4 días vista
Figura 117 Representación gráfica de las componentes del vector L para distintos
puntos centrales a 1 día vista
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Figura 118 Representación gráfica de las componentes del vector L para distintos
puntos centrales a 2 días vista
Figura 119 Representación gráfica de las componentes del vector L para distintos
puntos centrales a 3 días vista
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126
Figura 120 Representación gráfica de las componentes del vector L para distintos
puntos centrales a 4 días vista
Para terminar, realizaremos la regresión alrededor del último día conocido, el 17 de
septiembre de 2013. Calcularemos las variables del problema de optimización
Con ello, veremos cómo de local se está resolviendo el problema, calculando tal que
∑
El error de predicción en este punto es de 1.669, y para ello, el valor de es de 98, es
decir, el 15.68% de los puntos. Dichos días aparecerán marcados a continuación en rojo.
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Figura 121 Representación gráfica de la evolución de los precios medios diarios
Se puede observar en la gráfica, que como es lógico, los puntos tenidos más en cuenta
en la regresión son en general los más cercanos temporalmente al día que queremos
estimar.