ampliacion de ecuaciones...

AMPLIACION DE ECUACIONESDIFERENCIALES

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Manuel Gonzalez Burgos, Dpto. de Ecuaciones Diferenciales y Analisis Numerico, Universidad de Sevilla

Indice general

1. Estabilidad de Sistemas Lineales-Perturbados 51.1. Introduccion. Repaso de resultados conocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Motivacion del estudio de la estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Conceptos de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Estabilidad de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Aplicacion al caso de sistemas lineales de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 211.6. Estabilidad de perturbaciones de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7. Comentarios bibliograficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. El Segundo Metodo de Liapunov 272.1. Introduccion. Funciones de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Condiciones suficientes de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. Una condicion suficiente de inestabilidad. Teorema de Tchetaev . . . . . . . . . . . . 372.4. Resultados adicionales y comentarios bibliograficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Orbitas sistemas autonomos. Teoremas de LaSalle y Poincare-Bendixson 413.1. Concepto de orbita. Orbitas de sistemas lineales planos . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Orbitas cıclicas y conjuntos lımite. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3. Principio de Invarianza: El Teorema de LaSalle. Consecuencias . . . . . . . . . . . . 533.4. El caso particular de sistemas planos. El Teorema de Poincare-Bendixson . . . . . . 56

4. Problemas de Contorno para S.D.O. Lineales 594.1. Problemas de contorno para s.d.o. lineales. Teorema de alternativa . . . . . . . . . . 594.2. El operador de Green. Nucleo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3. El problema de contorno para una e.d.o. lineal de segundo orden . . . . . . . . . . . 664.4. El problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5. El Problema de Cauchy para E.D.P. de Primer Orden 735.1. Introduccion. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2. Formulacion del Problema de Cauchy para una EDP casi-lineal . . . . . . . . . . . . 755.3. Analisis del problema de Cauchy: El Metodo de las Caracterısticas . . . . . . . . . . 76

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4 INDICE GENERAL


Capıtulo 1

Estabilidad de Sistemas Lineales ySistemas Lineales Perturbados

Este capıtulo es el primero dentro del bloque dedicado al estudio de la estabilidad de ecuacioneso sistemas diferenciales ordinarios. En concreto, dedicaremos este primer capıtulo al estudio de laestabilidad de las ecuaciones y sistemas mas sencillos: los sistemas lineales y los sistemas linealesperturbados.

1.1. Introduccion. Repaso de resultados conocidos

La asignatura Amplicacion de Ecuaciones Diferenciales es una asignatura obligatoria delmodulo Ecuaciones Diferenciales que se imparte en el primer cuatrimestre del tercer curso delGrado en Matematicas. Consta de 6 creditos ECTS de los cuales, 4’5 son teoricos y 1’5 practi-cos. Se trata de una continuacion del estudio de la teorıa de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias(E.D.O.) comenzado en la asignatura tambien denominada Ecuaciones Diferenciales Ordina-rias. Esta ultima asignatura es impartida en el segundo cuatrimestre del segundo curso del Gradoen Matematicas. Ambas asignaturas constituyen el modulo Ecuaciones Diferenciales del citadoGrado.

Comenzaremos recordando algunos conceptos estudiados en la asignatura Ecuaciones Dife-renciales Ordinarias. De manera general, en esta asignatura se estudio el llamado Problema deCauchy o Problema de Valores Iniciales para un Sistema Diferencial Ordinario (S.D.O.) de primerorden. Este se puede escribir:

(PC)

y′ = f(t, y),

y(t0) = y0,

donde Ω ⊆ RN+1 es un abierto conexo (N ≥ 1 es un numero natural: numero de ecuaciones delsistema),

f : (t, y) ∈ Ω 7−→ f(t, y) ∈ RN ,es una funcion que satisface f ∈ C0(Ω;RN )∩Liploc(y,Ω) y (t0, y0) ∈ Ω. Recordemos que Liploc(y,Ω)es el espacio de funciones definidas de Ω en RN que son localmente lipschitzianas respecto de lavariable y en Ω. Es decir, son las funciones f : Ω→ RN que satisfacen: para cualquier (t0, y0) ∈ Ωexisten dos constantes ε > 0 y L ≥ 0 tales que B((t0, y0); ε) ⊂ Ω y

|f(t, y1)− f(t, y2)| ≤ L|y1 − y2|, ∀(t, y1), (t, y2) ∈ B((t0, y0); ε).1

1A partir de este momento utilizaremos | · | para representar la norma euclıdea de RN . Salvo que se especifique lo

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6 1.1. Introduccion. Repaso de resultados conocidos

En la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias se estudio:

1. Algunos metodos elementales de integracion de E.D.O.

2. Resultados de existencia y de unicidad de solucion local del Problema de Cauchy (PC).Como resultado importante, se estudio el Teorema de Picard (que proporciona el resultadode existencia y unicidad de solucion local). En la prueba de este resultado se utilizo el Teoremade Banach del Punto Fijo, otro de los resultados importantes de la citada asignatura.

3. Resultados de existencia y unicidad de solucion global o solucion maximal ϕ(·; t0, y0) delProblema de Cauchy definida en el intervalo I(t0, y0) (intervalo de definicion de la solucionmaximal). En particular, la unicidad de solucion global de (PC) fue obtenida como conse-cuencia del Lema de Gronwall.

4. Criterios de prolongabilidad de soluciones y caracterizacion de soluciones maximales.

5. Ecuaciones y sistemas lineales.

En esta primera seccion recordaremos de manera mas precisa algunos resultados conocidos sobreel problema de Cauchy o problema de valores iniciales para un sistema diferencial ordinario. En estecapıtulo y en los dos siguientes utilizaremos la variable t (en lugar de x) para designar la variableindependiente del sistema.

De manera general, consideramos Ω ⊆ RN+1, con N ≥ 1 un entero, un conjunto abierto conexono vacıo, f : Ω ⊆ RN+1 −→ RN una funcion continua en Ω y (t0, y0) ∈ Ω un punto. Con estosdatos, consideramos el problema de Cauchy:

(1.1)

y′ = f(t, y)

y(t0) = y0.

Sean I ⊆ R, un intervalo no degenerado tal que t0 ∈ int (I), y ϕ : I ⊆ R −→ RN una funciondefinida en I. Recordemos que ϕ es solucion del problema de Cauchy (1.1) en I (o solucion localde (1.1) en I) si ϕ ∈ C1(I;RN ) y satisface

(i) (t, ϕ(t)) ∈ Ω, para cualquier t ∈ I,

(ii) ϕ′(t) = f(t, ϕ(t)), para todo t ∈ I, y,

(iii) ϕ(t0) = y0.

El siguiente teorema da un resultado de existencia y unicidad de solucion local del problema deCauchy. Se trata del Teorema de Picard:

Teorema 1.1.1 (Teorema de Picard). En las condiciones anteriores, supongamos que

f ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y; Ω).

Entonces, para cada (t0, y0) ∈ Ω, existe δ > 0 tal que el problema de valores iniciales (1.1) tieneuna unica solucion ϕ en el intervalo Iδ = [t0 − δ, t0 + δ].

Pasamos a continuacion a recordar los resultados concernientes a la existencia y unicidad desolucion maximal o global. Comenzamos recordando un resultado de unicidad global. Se tiene:

contrario, esta sera la norma utilizada en RN . Es bien conocido que en RN todas las normas son equivalentes. Portanto, los conceptos desarrollados en esta asignatura no dependen de la norma elegida.


Tema 1. Estabilidad de Sistemas Lineales-Perturbados 7

Teorema 1.1.2 (de unicidad global). En las condiciones anteriores, supongamos que

f ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y; Ω),

y (t0, y0) ∈ Ω. Sean (I1, ϕ1) e (I2, ϕ2) dos soluciones del problema de Cauchy (1.1). Entonces,

ϕ1(t) = ϕ2(t), ∀t ∈ I1 ∩ I2.

Antes de enunciar el resultado de existencia de solucion maximal, recordemos ciertos conceptosque utilizaremos en este curso. Para cada (t0, y0) ∈ Ω, denotaremos

S(t0, y0) = (I, ϕ) : ϕ es solucion del problema de Cauchy (1.1) en I.

El Teorema de Picard en particular implica que S(t0, y0) 6= ∅.

Definicion 1.1.3. Consideremos (t0, y0) ∈ Ω e (I, ϕ) ∈ S(t0, y0).

(a) Diremos que la solucion (I, ϕ) de (1.1) es prolongable por la derecha, si existe una solucion(J, ψ) ∈ S(t0, y0) tal que I ⊂ J y sup I ∈ int (J).

(b) Diremos que (I, ϕ) es prolongable por la izquierda, si existe una solucion (J, ψ) ∈ S(t0, y0) talque I ⊂ J e ınf I ∈ int (J).

(c) Diremos que (I, ϕ) es prolongable, si es prolongable por la derecha o por la izquierda (o ambascosas a la vez).

(d) Finalmente, diremos que (I, ϕ) es una solucion maximal, o una solucion global, del problemade Cauchy (1.1) si (I, ϕ) no es prolongable.

Observacion 1.1. Si (I, ϕ) es una solucion del problema de Cauchy (1.1) prolongable por laderecha, y si (J, ψ) ∈ S(t0, y0) es tal que I ⊂ J y sup I ∈ int (J), entonces, como consecuencia delTeorema 1.1.2 (teorema de unicidad global), se tiene que ϕ y ψ coinciden en la interseccion de losintervalos, es decir, en I. En este sentido, la solucion ψ es una prolongacion de la funcion ϕ por elextremo derecho del intervalo I. Cabe hacer una observacion similar si (I, ϕ) es prolongable por laizquierda.

Recordemos el Teorema de prolongabilidad de soluciones locales del problema de Cauchy (1.1).Por comodidad, enunciaremos el resultado de prolongabilidad de la solucion por la derecha. Setiene:

Teorema 1.1.4. Supongamos que f ∈ C0(Ω;RN )∩Liploc(y; Ω). Sea (t0, y0) ∈ Ω e (I, ϕ) ∈ S(t0, y0)una solucion local del problema de Cauchy (1.1). Entonces, son equivalentes:

1. La solucion (I, ϕ) es prolongable por la derecha.

2. La semitrayectoria derecha

τ+ϕ = (t, ϕ(t)) : t ∈ I con t ≥ t0 ⊂ Ω

esta acotada y dist (τ+ϕ , ∂Ω) > 0.

Ya estamos en condiciones de enunciar el resultado de existencia y unicidad de solucion globaldel problema de Cauchy (1.1). Se tiene:



Teorema 1.1.5 (de existencia y unicidad de solucion global). Sean Ω un abierto conexo novacıo de RN+1 y f : Ω −→ RN una funcion tal que

f ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y,Ω).

Entonces, para cada (t0, y0) ∈ Ω, existe una unica solucion maximal o global del problema deCauchy (1.1). Ademas, el intervalo de definicion de la solucion maximal es abierto.

Observacion 1.2. Dado (t0, y0) ∈ Ω, utilizaremos la notacion (I(t0, y0), ϕ(·; t0, y0)) para denotar launica solucion maximal del problema de Cauchy (1.1). Del Teorema 1.1.4 podemos deducir cual esel comportamiento de la solucion maximal ϕ(·) ≡ ϕ(·, t0, y0) en los extremos del intervalo I(t0, y0).Razonando con el extremo superior, se tiene que, o bien que la semitrayectoria positiva τ+

ϕ es noacotada, o bien dist (τ+

ϕ , ∂Ω) = 0 (es decir, la semitrayectoria “toca” la frontera de Ω).

Pasemos ahora a recordar ciertos puntos de la teorıa de S.D.O. lineales de primer orden. Paraello, fijemos una funcion matricial y una funcion vectorial

A : t ∈ I 7−→ A(t) ∈ L(RN ) y b : t ∈ I 7−→ b(t) ∈ RN

definidas en I ⊆ R, un intervalo no degenerado, tales que A ∈ C0(I;L(RN )) y b ∈ C0(I;RN ).Consideremos el problema de valores iniciales para un sistema lineal no homogeneo

(1.2)

y′ = A(t)y + b(t),

y(t0) = y0,

donde t0 ∈ I e y0 ∈ RN . Observese que en este caso f(t, y) = A(t)y + b(t) es una funcion definidaen Ω = I × RN que, en principio, podrıa no ser abierto. En cualquier caso es posible aplicar lateorıa de existencia y unicidad de solucion maximal para el problema (1.2) y concluir:

1. Existe una unica solucion maximal ϕ(·; t0, y0) ∈ C1(I(t0, y0);RN ) del problema de valoresiniciales (1.2);

2. I(t0, y0) ≡ I, para cualquier (t0, y0) ∈ I × RN .

Es mas, se puede resolver “explıcitamente” el problema (1.2). Recordemos como hacerlo. Conside-ramos los s.d.o. lineales homogeneo y no homogeneo:

(1.3) y′ = A(t)y t ∈ I,

(1.4) y′ = A(t)y + b(t) t ∈ I.

Sean

(1.5)

W0 = ϕ : ϕ ∈ C1(I;RN ) es solucion de (1.3) en I,Wb = ϕ : ϕ ∈ C1(I;RN ) es solucion de (1.4) en I.

Entonces:

Proposicion 1.1.6. Bajo las condiciones anteriores, se tiene:

1. W0 es un subespacio vectorial de C1(I;RN ) con dimW0 = N .



2. Si b ∈ C0(I;RN ) es una funcion no identicamente nula, Wb es una variedad afın de C1(I;RN )con dimWb = N . De hecho, Wb = ϕb + W0 con ϕb una solucion particular en I del sistemano homogeneo (1.4).

Este resultado en particular afirma que dimW0 = N . Por tanto, las bases del espacio W0 tienenN elementos. Supongamos que ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN ⊂ C1(I;RN ) es una base de W0. Entonces tenemosque la matriz cuyas columnas estan formadas por los elementos de esta base, i.e., la matriz

F (t) = (ϕ1(t) |ϕ2(t) | · · · |ϕN (t)) ∀t ∈ I,

satisface F ∈ C1(I;L(RN )), sus columnas son linealmente independientes y F ′(t) = A(t)F (t) paracualquier t ∈ I. Esto nos lleva a la siguiente definicion:

Definicion 1.1.7. Se dice que F ∈ C1(I;L(RN )) es una matriz fundamental (m.f.) asociada alsistema (1.3) si las columnas de F son linealmente independientes en C1(I;RN ) y se satisfaceF ′(t) = A(t)F (t) para cualquier t ∈ I.

Ejemplo 1.1. Recordemos que en el caso particular de sistemas lineales de coeficientes constan-tes, se podıa calcular explıcitamente una m.f. Efectivamente, consideremos el sistema lineal decoeficientes constantes

y′ = Ay,

con A ∈ L(RN ) una matriz. Entonces, una m.f. asociada al sistema anterior esta dada por:

F (t) = etA =∑n≥0

1

n!(tA)n, ∀t ∈ R.

Observese que de la propia definicion de matriz fundamental deducimos que sus N columnasson elementos del espacio W0 y forman una base de este. Ası, no es difıcil comprobar la igualdad:

W0 = ϕ : ϕ(t) = F (t)a ∀t ∈ I, con a ∈ RN.

Evidentemente, hay tantas m.f. asociadas al sistema (1.3) como bases del espacio W0. En estesentido, se tiene:

Proposicion 1.1.8. Sean F una m.f. asociada a (1.3) y F ∈ C1(I;L(RN )) tal que F ′(t) = A(t)F (t)para todo t ∈ I. Entonces, existe C ∈ L(RN ) tal que F (·) = F (·)C. Ademas, F es una nuevam.f. asociada a (1.3) si y solo si detC 6= 0.

Es posible dar una caracterizacion para m.f. asociadas a sistemas lineales. Se tiene:

Proposicion 1.1.9. Sea F ∈ C1(I;L(RN )) una funcion matricial tal que F ′(t) = A(t)F (t), parat ∈ I. Entonces, son equivalentes:

1. F es una m.f. asociada a (1.3).

2. detF (t) 6= 0, para cualquier t ∈ I.

3. detF (t) 6= 0, para cierto t ∈ I.

Volvemos de nuevo al problema de Cauchy (1.2). El conocimiento de una m.f. asociada al sistemahomogeneo (1.3) permite dar una formula explıcita de la solucion del problema (1.2):



Proposicion 1.1.10. Supongamos dados A ∈ C0(I;L(RN )), b ∈ C0(I;RN ) y (t0, y0) ∈ I × RN .Sea F ∈ C1(I;L(RN )) una m.f. asociada a (1.3). Entonces, la unica solucion maximal del problemade Cauchy (1.2) viene dada por:

(1.6) ϕ(t; t0, y0) = F (t)F (t0)−1y0 + F (t)

∫ t

t0

F (s)−1b(s) ds, ∀t ∈ I.

Prueba: Para calcular la unica solucion maximal del problema (1.2) definida en I calcularemos enprimer lugar la solucion general del sistema no homogeneo (1.4). Observese que esta viene dada porϕ(·) = ϕb(·) +F (·)a, donde ϕb es una solucion particular de (1.4) en I y a ∈ RN . Calcularemos unasolucion particular ϕb de (1.4) utilizando el llamado metodo de Lagrange o metodo de variacion delas constantes. Buscamos

ϕb(t) = F (t)a(t), ∀t ∈ I,

donde a ∈ C1(I;RN ) es una funcion vectorial a determinar. Llevando ϕb a (1.4), no es difıcil verque ϕb es una solucion de (1.4) en I si y solo si

F (t)a′(t) = b(t), ∀t ∈ I ⇐⇒ a′(t) = F (t)−1(t)b(t), ∀t ∈ I.

Integrando esta ultima igualdad entre t0 y t encontramos una expresion de a y de ϕb. Ası, la soluciongeneral de (1.4) viene dada por

(1.7) ϕ(t) = F (t)a+ F (t)

∫ t

t0

F (s)−1b(s) ds, ∀t ∈ I,

con a ∈ RN .Finalmente, imponiendo la condicion inicial de (1.2) a la expresion (1.7), obtenemos el valor de

a y la formula (1.6).

Observacion 1.3. En la prueba anterior hemos usado de manera fundamental la propiedad

detF (t) 6= 0, ∀t ∈ I,

que satisface cualquier matriz fundamental asociada al sistema homogeneo (1.3).

Dejamos de lado por ahora la teorıa de S.D.O. lineales y volvemos al problema de Cauchy (1.1).La siguiente cuestion que trataremos sera la dependencia de la solucion maximal de (1.1) respectode los datos iniciales. Sabemos que la solucion maximal ϕ(·; t0, y0) es continua (de hecho, derivable)en el intervalo I(t0, y0) respecto de la variable t. Podrıamos ver el dato inicial (t0, y0) ((t0, y0) ∈ Ω)tambien como una variable de la que depende la solucion maximal. Por tanto, la pregunta parecenatural: ¿Es la solucion maximal ϕ(·; ·, ·) continua respecto de t y respecto del dato inicial (t0, y0)?

Este resultado de continuidad de la solucion maximal respecto de los datos iniciales no ha sidoprobado en la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. En cualquier caso, daremos suenunciado pero no daremos su prueba. Comenzamos por la siguiente definicion:

Definicion 1.1.11. Supongamos que se tienen las hipotesis del Teorema 1.1.5. Ası, se definen elconjunto

Θ := (t, t0, y0) ∈ RN+2 : (t0, y0) ∈ Ω y t ∈ I(t0, y0),

y la funcionϕ : (t, t0, y0) ∈ Θ ⊆ RN+2 7→ ϕ(t; t0, y0) ∈ RN .

La funcion ϕ(·; ·, ·) ası definida es denominada solucion (maximal) del problema de Cauchy (1.1)expresada en funcion de los datos iniciales.



Podemos ya enunciar el teorema de dependencia continua de la solucion maximal respecto delos datos iniciales. Se tiene:

Teorema 1.1.12 (Dependencia continua respecto de los datos iniciales). Bajo las condi-ciones del Teorema 1.1.5, se tiene que el conjunto Θ es un conjunto abierto de RN+2 y la solucionmaximal ϕ(·; ·, ·) del problema de Cauchy (1.1) expresada en funcion de los datos iniciales es con-tinua en Θ, es decir, ϕ ∈ C0(Θ;RN ).

Observacion 1.4. 1. La prueba del Teorema 1.1.12 es tecnicamente complicada. Existen variasposibles pruebas del resultado, aunque quiza la mas sencilla es la desarrollada en [13]. Parapruebas alternativas del resultado puede tambien consultarse [18].

2. Todos los resultados enunciados en esta seccion (salvo el ya mencionado Teorema 1.1.12) hansido probados en la asignatura Ecuaciones Diferenciales Ordinarias del segundo curso del Gra-do en Matematicas por la Universidad de Sevilla. En cualquier caso, pueden ser consultados,por ejemplo, en [15] y [13].

1.2. Motivacion del estudio de la estabilidad

Supongamos que estamos analizando un fenomeno fısico, biologico, ..., que evoluciona con elpaso del tiempo, y cuyo comportamiento se rige por un sistema diferencial ordinario o, por concretarun poco mas, por una e.d.o. de primer orden, junto con unas determinadas condiciones iniciales,que nos dicen cual es el comportamiento del sistema en el tiempo inicial t0. Este fenomeno puedeser por tanto modelado mediante el problema de Cauchy (1.1), con f y (t0, y0) satisfaciendo ciertascondiciones (ver Seccion 1.1).

Evidentemente, en la estimacion del estado inicial del sistema siempre se producen errores (erro-res humanos, de los aparatos de medida, ...). Por tanto, no conocemos el verdadero estado inicialy0 del sistema sino una aproximacion de ese estado inicial y0. Ası, la solucion que obtendrıamos alresolver el problema de Cauchy (1.1) es ϕ(·; t0, y0) en lugar de la solucion real (que serıa ϕ(t; t0, y0)).

Resulta fundamental conocer como afecta el pequeno error a la verdadera solucion del problemade Cauchy (1.1). Veamos que cuando el tiempo t recorre un pequeno intervalo acotado, las dossoluciones del problema de Cauchy (la real y la obtenida con el dato inicial erroneo) estan cerca.Obtendremos el resultado como consecuencia del Teorema 1.1.12 (continuidad respecto de datosiniciales).

En efecto, supongamos que f ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y; Ω), con Ω ⊆ RN+1 un abierto conexo novacıo, y sea (t0, y0) ∈ Ω. Entonces, la solucion maximal satisface ϕ(·; ·, ·) ∈ C0(Θ;RN ). Se tiene que(t0, t0, y0) ∈ Θ, por tanto, existe T > t0 y a0 > 0 tal que el compacto K satisface

K := [t0, T ]× t0 ×B(y0; a0) ⊂ Θ.

(Observese que la anterior inclusion en particular dice que si |y0 − y0| ≤ a0, entonces I(t0, y0) ⊃[t0, T ]). De la continuidad uniforme de ϕ en el compacto K, se deduce que dado ε > 0 existeδ ∈ (0, a0) tal que

|ϕ(t; t0,y0)− ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε, ∀(t; t0,y0), (t; t0, y0) ∈ K satisfaciendo |t− t| ≤ δ, |y0 − y0| ≤ δ.

En particular, para |y0 − y0| ≤ δ se tendra que

|ϕ(t; t0, y0)− ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε, ∀t ∈ [t0, T ].


12 1.2. Motivacion del estudio de la estabilidad

¿Que ocurrira con la diferencia anterior cuando t > T? ¿y cuando t→∞? La teorıa de estabilidadque veremos en los proximos capıtulos dara respuesta a estas cuestiones.

En sus orıgenes, la estabilidad aparecio asociada a problemas de la mecanica cuando se querıaestudiar el comportamiento de los estados de reposo o equilibrio del sistema. Veamos como ejemploel movimiento del pendulo simple:

Ejemplo 1.2. Supongamos que tenemos un pendulo simple de masa puntual m que oscila en unplano suspendido de una cuerda inextensible y rıgida de longitud l. Supongamos que el pendulooscila sin rozamiento y que unicamente esta sujeto a la fuerza de la gravedad g (que supondremosconstante). Si x(t) es el angulo formado entre la posicion del pendulo y la posicion vertical en eltiempo t, entonces el movimiento del pendulo se modela mediante la e.d.o. no lineal de segundoorden:

x+ k senx = 0,

donde k > 0 es un parametro positivo que depende de g y de l. A esta ecuacion habrıa quecomplementarla con un dato inicial (que por comodidad tomaremos en t0 = 0) que fısicamentecorresponde a la posicion inicial x(0) y a la velocidad angular inicial x(0) (que supondremos nula):

x(0) = x0, x(0) = 0.

Desde el punto de vista fısico, hay dos posiciones de equilibrio del pendulo que corresponden ax0 = 0 y a x0 = π. Si x(t; t0, x0) denota, como siempre, la solucion maximal del problema deCauchy planteado mas arriba, se tiene I(0, 0) = I(0, π) = R y

ϕ0(t) = x(t; 0, 0) = 0, ϕ1(t) = x(t; 0, π) = π ∀t ∈ R.

En este modelo, la posicion de equilibrio ϕ0 es estable pues, si se produce una pequena desviacionde la posicion de equilibrio, el movimiento del pendulo sera oscilatorio alrededor de dicha posicion,manteniendose siempre muy cerca de ella. Sin embargo, la posicion de equilibrio ϕ1 resulta serinestable pues una pequena desviacion de dicha posicion hace que el pendulo se aleje de esa posicion.De hecho, podemos encontrar tiempos arbitrariamente grandes en los que la posicion del pendulose mantendra “alejada”de la posicion de partida.

Ejemplo 1.3. Consideremos ahora la e.d.o. de primer orden

y′ = y − y3.

Aplicando los resultados de la Seccion 1.1 podemos concluir que para cualquier (t0, y0) ∈ R2 elproblema de Cauchy asociado a esta ecuacion tiene una unica solucion maximal ϕ(·; t0, y0) definidaen el intervalo I(t0, y0). En lo que sigue supondremos que t0 = 0 (tiempo inicial igual a 0) pues, comoveremos, para esta ecuacion esto no supone ninguna restriccion (se trata de un sistema autonomo).

Es obvio que existen tres soluciones constantes (tres puntos de equilibrio o de reposo): y0 = 0,y1 = 1 e y−1 = −1 (se tiene por tanto que I(0, y0) = I(0, y1) = I(0, y−1) = R y ϕ(t; 0, y0) = 0,ϕ(t; 0, y1) = 1 y ϕ(t; 0, y−1) = −1, para cualquier t ∈ R). Para analizar como es el comportamientode cualquier otra solucion, basta calcular la solucion maximal que pasa por (0, y0). Esto es posiblepues se trata de una ecuacion de variables separables (o tambien de Bernoulli). Se puede comprobarfacilmente que para cada y0 6= 0,

ϕ(t; 0, y0) = sign (y0)

√√√√ 1

1−(

1− 1y20

)e−2t

,



con

I(0, y0) =

R si y0 ∈ [−1, 1],(

1

2ln

(1− 1

y20

),∞)

si |y0| > 1.

En consecuencia, se observa que

Si y0 < 0, entonces lımt→+∞

ϕ(t; 0, y0) = −1.

Si y0 > 0, entonces lımt→+∞

ϕ(t; 0, y0) = 1.

De este modo, todas las posibles soluciones de la ecuacion (i.e., todos las posibles trayectorias) obien son uno de los tres estados de reposo, o bien se acercan a los equilibrios y−1 = −1 o y1 = 1. Estose interpreta como que dichos estados de reposo son estables, mientras que el y0 = 0 es inestable.Todos estos conceptos seran vistos con detalle en la siguiente seccion.

1.3. Conceptos de estabilidad

En lo que sigue supondremos dados un abierto conexo no vacıo Ω ⊆ RN+1 y una funcion f ,satisfaciendo:

(1.8)

I ×Bρ ⊆ Ω,

f ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y; Ω) y f(t, 0) = 0, ∀t ∈ I,

donde I = (τ,∞) y Bρ = B(0; ρ) ⊆ RN con ρ ∈ (0,∞] y τ ∈ [−∞,∞). Por otro lado, consideramosel s.d.o.

(1.9) y′ = f(t, y).

De las hipotesis impuestas a Ω y a f , se tiene que la funcion nula ϕ0 definida por

ϕ0 : t ∈ I 7−→ ϕ0(t) = 0 ∈ RN ,

es solucion del sistema diferencial (1.9) en I. De hecho, si consideramos el correspondiente problemade Cauchy (1.1) para la funcion f y dato inicial (t0, 0) ∈ I ×Bρ, se tiene,

I(t0, 0) ⊇ I y ϕ(t; t0, 0) = ϕ0(t) ∀t ∈ I.

Se dice en ese caso que ϕ0 es un punto crıtico del s.d.o. (1.9), o un equilibrio del sistema.Las definiciones de estabilidad que vamos a ver a continuacion fueron establecidas por el ma-

tematico ruso Aleksandr Mijailovich Liapunov (1857–1918). Comenzamos por la definicion deequilibrio estable o inestable:

Definicion 1.3.1. Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es estable en el sentido de Liapunov (osimplemente que ϕ0 es un equilibrio estable de (1.9)) si para cualesquiera t0 ∈ I y ε ∈ (0, ρ), existeδ = δ(t0, ε) ∈ (0, ρ) tal que, si |y0| ≤ δ, se tiene:

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞) y

(b) |ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε, para cualquier t ∈ [t0,∞).

En caso contrario, se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es inestable.


14 1.3. Conceptos de estabilidad

Observacion 1.5. Es inmediato comprobar que el concepto de estabilidad de la Definicion 1.3.1es equivalente a:

“Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es estable (en el sentido de Liapunov) si para cualesquierat0 ∈ I y ε ∈ (0, ρ), existe δ = δ(t0, ε) ∈ (0, ρ) tal que, si |y0| ≤ δ, se tiene:

(1.10) |ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε, ∀t ∈ I(t0, y0) ∩ [t0,∞)”.

Es claro que la Definicion 1.3.1 implica la precedente. Veamos la implicacion contraria. Para ello,basta comprobar la condicion (a) de la Definicion 1.3.1. Efectivamente, la acotacion |ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε,valida para cualquier t ∈ I(t0, y0)∩ [t0,∞), implica que la solucion ϕ(·; t0, y0) no llega a la fronterade Ω ni explota en tiempo finito. Al tratarse de la solucion maximal y no ser prolongable por laderecha, debe ser I(t0, y0) ⊃ [t0,∞). Esto demuestra la equivalencia.

Observacion 1.6. Observese que el concepto de inestabilidad puede ser reescrito de manera equi-valente como:

“Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es inestable si existen t0 ∈ I y ε ∈ (0, ρ) tal que, paracualquier δ ∈ (0, ρ) existe y0, con |y0| ≤ δ, para el que se tiene:

|ϕ(t; t0, y0)| > ε, para cierto t ∈ I(t0, y0) ∩ [t0,∞)”.

Siguiendo con las definiciones, introduzcamos ahora el concepto de estabilidad uniforme:

Definicion 1.3.2. Se dice que la solucion ϕ0 del s.d.o. (1.9) es uniformemente estable cuandoel valor δ del concepto de estabilidad en la Definicion 1.3.1 no depende de t0, es decir, si paracualesquier ε ∈ (0, ρ), existe δ = δ(ε) ∈ (0, ρ) tal que, si t0 ∈ I e |y0| ≤ δ, se tiene:

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞) y

(b) |ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε, para cualquier t ∈ [t0,∞).

Pasemos a definir el concepto de atractividad:

Definicion 1.3.3. Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio) atractivo si para cualquiert0 ∈ I, existe γ = γ(t0) ∈ (0, ρ) tal que, si |y0| ≤ γ, entonces se tiene:

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞) y

(b) lımt→∞|ϕ(t; t0, y0)| = 0.

Podemos escribir tambien el concepto de atractividad uniforme:

Definicion 1.3.4. Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio) uniformemente atractivosi existe γ ∈ (0, ρ) tal que si |y0| ≤ γ, se tiene:

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞), para cualesquiera t0 ∈ I;

(b) para cualquier ε > 0, existe Tε > 0 verificando |ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε, para cualesquiera t0 ∈ I yt ≥ t0 + Tε.

Finalmente,

Definicion 1.3.5. 1. Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio) asintoticamenteestable si es estable y atractivo.



2. Se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio) uniformemente asintoticamente establesi es uniformemente estable y uniformemente atractivo.

Observacion 1.7. Las distintas definiciones de estabilidad y atractividad dadas mas arriba hansido planteadas para la solucion nula ϕ0 de (1.9) (con f satisfaciendo (1.8)). Sin embargo, es posibledar las mismas definiciones en el caso de cualquier solucion no nula ϕ1 de (1.9) que este definidaen un intervalo infinito. Supongamos dada ϕ1, una solucion de (1.9) definida en el intervalo I =(τ,∞) (τ ∈ [−∞,∞) dado). Supongamos tambien que existe ρ ∈ (0,∞] tal que, en lugar de lahipotesis (1.8), se tiene

(1.11)

(t, y) : t ∈ I, y ∈ B(ϕ1(t); ρ) ⊆ Ω,

f ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y; Ω).

Entonces, realizando el cambio de variables z = y − ϕ1(t), con t ∈ I, el s.d.o. (1.9) se transformaen el siguiente

z′ = y′ − ϕ′1(t) = f(t, y)− f(t, ϕ1(t)) = f(t, z + ϕ1(t))− f(t, ϕ1(t)) := F (t, z).

Es facil comprobar que F satisface las condiciones (1.8) para un nuevo abierto Ω y ademas z0 ≡ 0es un punto crıtico o equilibrio del nuevo sistema que se corresponde con la solucion ϕ1 medianteel cambio de variables.

Observacion 1.8. En la siguiente seccion veremos que los conceptos de estabilidad y atractividaddados anteriormente son distintos, pues en el caso de sistemas lineales equivalen a propiedadesdistintas.

Observacion 1.9. Las definiciones anteriores han sido dadas para la solucion nula del s.d.o. (1.9).Es posible escribir las anteriores definiciones en el caso de la e.d.o. de orden n:

y(n) = g(t, y, y′, y′′, . . . , y(n−1)),

con g definida en el abierto conexo no vacıo Ω ⊆ Rn+1. Supondremos de nuevo que la funcion nulaes solucion de la ecuacion en I = (τ,∞) (τ ∈ [−∞,∞)), es decir, g satisface g(t, 0, 0, 0, . . . , 0) = 0para todo t ∈ I. Supongamos ademas,

g ∈ C0(Ω) ∩ Liploc((y, y′, . . . , yn−1),Ω;R) e I ×Bρ ⊆ Ω,

para ρ ∈ (0,∞] (Bρ = B(0, ρ) ⊂ Rn).Las definiciones de caracter estable, atractivo, ... de la ecuacion anterior se refieren a los corres-

pondientes conceptos para la solucion nula del sistema diferencial ordinario equivalente asociado ala ecuacion.

Definicion 1.3.6. Sea D ⊆ RN un abierto conexo no vacıo. Se dice que el s.d.o. (1.9) es unsistema autonomo si se tiene

f(t, y) = f(y), ∀t,

para una funcion f : D ⊆ RN −→ RN tal que f ∈ C0(D;RN )∩Liploc(D). En este caso, el sistematiene la forma

(1.12) y′ = f(y),

y el dominio maximal de existencia y unicidad esta dado por Ω = R×D.


16 1.3. Conceptos de estabilidad

Observacion 1.10. Observese que, debido a que la funcion f no depende de la variable t (casoautonomo), la condicion f ∈ Liploc(D) en particular implica que f ∈ C0(D;RN ). Ası, para asegurarla existencia y unicidad de solucion maximal del problema de Cauchy asociado a f , basta escribirf ∈ Liploc(D).

En el caso del sistema autonomo (1.12), la hipotesis (1.8) se transforma en

(1.13) Bρ ⊆ D, f ∈ Liploc(D) y f(0) = 0,

con ρ ∈ (0,∞].

La gran importancia del caso autonomo consiste en que los conceptos de estabilidad y atrac-tividad y estabilidad y atractividad uniforme son equivalentes. Deduciremos la equivalencia comoconsecuencia del siguiente resultado.

Proposicion 1.3.7. Consideremos el sistema autonomo (1.12) con f ∈ Liploc(D). Para t0 ∈ R ey0 ∈ D, sea ϕ(·; t0, y0) la solucion maximal del problema de Cauchy asociado a (1.12). Entonces,

1. I(t0, y0) = t0 + I(0, y0).

2. ϕ(t; t0, y0) = ϕ(t− t0; 0, y0), para cualquier t ∈ I(t0, y0).

Prueba: Para demostrar esta afirmacion, consideremos en primer lugar la funcion

ψ : J = t0 + I(0, y0) −→ RN

definida como ψ(t) = ϕ(t − t0; 0, y0), para t ∈ J . Obviamente, esta funcion ψ esta bien definida yes derivable en J .

Es inmediato comprobar que (J, ψ) es solucion del sistema (1.12) y satisface la condicion inicialψ(t0) = y0. Por tanto, (J, ψ) es una solucion local del problema de Cauchy

y′ = f(y),

y(t0) = y0.

Como (I(t0, y0), ϕ(·; t0, y0)) es la solucion maximal de dicho problema, entonces se tiene I(t0, y0) ⊇t0 + I(0, y0), y ambas funciones coinciden en el intervalo J = t0 + I(0, y0).

Reciprocamente, definamos ahora φ : J = I(t0, y0) − t0 −→ RN como φ(t) = ϕ(t + t0; t0, y0),para t ∈ J . Razonando de modo similar, se comprueba facilmente que (J , φ) es una solucion localdel problema de valores iniciales

y′ = f(y),

y(0) = y0.

Ası, se tiene que I(0, y0) ⊇ I(t0, y0)−t0, y φ coincide con ϕ(·; 0, y0) en el intervalo J = I(t0, y0)−t0.Deducimos ası los puntos i) y ii) del enunciado. Esto finaliza la prueba.

Ejercicio 1.1. Usando la Proposicion 1.3.7, demuestrese que para el sistema autonomo (1.12) losconceptos de estabilidad, atractividad y estabilidad asintotica equivalen, respectivamente, a losconceptos de estabilidad uniforme, atractividad uniforme y estabilidad asintotica uniforme.



1.4. Estabilidad de sistemas lineales

En esta seccion estudiaremos las propiedades de estabilidad de los s.d.o. mas sencillos: lossistemas lineales. Se trata del caso mas sencillo, pues veremos que las propiedades de estabilidaddel sistema lineal equivalen a ciertas propiedades de las matrices fundamentales asociadas. Comoen la Seccion 1.3, nos ocuparemos del estudio de las propiedades de estabilidad de la solucion nuladel sistema lineal. Ası, el sistema a estudiar es un sistema lineal homogeneo.

Consideremos el s.d.o. lineal homogeneo

(1.14) y′ = A(t)y,

donde A ∈ C0(I;L(RN )) e I = (τ,+∞), con τ ∈ [−∞,∞). Observese que el sistema (1.14) satisfacela hipotesis (1.8) para ρ =∞ y Ω = I×RN . Ası, tiene sentido plantearse la estabilidad de la solucionnula de (1.14). Se tiene:

Teorema 1.4.1. Sea F (·) una matriz fundamental para el sistema (1.14). Se tiene:

(a) ϕ0 es un equilibrio estable de (1.14) si y solo si para cada t0 ∈ I, se cumple que

(1.15) supt∈[t0,+∞)

‖F (t)‖s <∞.

(b) ϕ0 es un equilibrio de (1.14) asintoticamente estable si y solo si

(1.16) lımt→∞‖F (t)‖s = 0.

(c) ϕ0 es un equilibrio de (1.14) uniformemente estable si y solo si existe una constante M > 0 talque

(1.17) ‖F (t)F (t0)−1‖s ≤M, ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0.

(d) ϕ0 es un equilibrio de (1.14) uniformemente asintoticamente estable si y solo si existen cons-tantes C > 0 y α > 0 tales que

(1.18) ‖F (t)F (t0)−1‖s ≤ Ce−α(t−t0), ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0.

Observacion 1.11. Antes de hacer la prueba de este resultado, hagamos las siguientes puntuali-zaciones:

1. Hemos enunciado el Teorema 1.4.1 utilizando la norma espectral ‖ · ‖s en el espacio L(RN ):

‖B‖s = maxx∈RN\0

|Bx||x|

, con B ∈ L(RN ).

Evidentemente, todas las normas en L(RN ) son equivalentes y, ası, el resultado sigue siendovalido si consideramos cualquier otra norma en este espacio.

2. El resultado anterior y las formulas (1.15)–(1.18) no dependen de la matriz fundamental Fasociada al sistema lineal (1.14) elegida.

Ejercicio 1.2. Demuestrese el segundo punto de la Observacion 1.11.


18 1.4. Estabilidad de sistemas lineales

Prueba: Recordemos que, dada una matriz fundamental F asociada a (1.14), la solucion maximalde este sistema correspondiente al dato inicial (t0, y0) ∈ I × RN esta dada por

ϕ(t; t0, y0) = F (t)F (t0)−1y0, ∀t ∈ I(t0, y0) ≡ I.

Observese en particular que la expresion anterior proporciona la siguiente propiedad a la solucionmaximal:

(1.19) ϕ(·; t0, αy0,1 + βy0,2) = αϕ(·; t0, y0,1) + βϕ(·; t0, y0,2), ∀t0 ∈ I, ∀y0,1, y0,2 ∈ RN ,

i.e., la solucion maximal del sistema lineal (1.14) es lineal respecto de la ultima componente y0.Esta propiedad sera utilizada a lo largo de la prueba.

Probemos el resultado:

(a) Supongamos en primer lugar que se satisface (1.15) y veamos que el equilibrio ϕ0 de (1.14)es estable, es decir, satisface (1.10). Para ello, fijemos t0 ∈ I y ε > 0. Utilizando la formula de lasolucion maximal asociada al dato de Cauchy (t0, y0), podemos escribir

|ϕ(t; t0, y0)| ≤ ‖F (t)‖s‖F (t0)−1‖s|y0| ≤(

supt≥t0‖F (t)‖s

)‖F (t0)−1‖s|y0| ≤M‖F (t0)−1‖s|y0|,

para cualquier t ∈ [t0,∞). Ası, si tomamos |y0| ≤ δ, con δ = ε/(M‖F (t0)−1‖s

), deducimos (1.10).

Veamos la implicacion contraria. Supongamos que ϕ0 es una solucion estable de (1.14). De estemodo, fijados t0 ∈ I y tomando ε ≡ 1, existe δ > 0 tal que

|ϕ(t; t0, y0)| = |F (t)F (t0)−1y0| ≤ 1, ∀t ∈ [t0,∞) e y0 : |y0| ≤ δ.

Si ahora tomamos z0 ∈ RN \ 0 arbitrario, podemos aplicar la desigualdad anterior a y0 = δz0

|z0|y deducir |F (t)F (t0)−1y0| ≤ 1, para cualquier t ∈ [t0,∞). De manera equivalente,

|F (t)F (t0)−1z0| ≤|z0|δ, ∀t ∈ [t0,∞), z0 ∈ RN \ 0.

Finalmente, de esta desigualdad llegamos a

‖F (t)‖s = maxx∈RN\0

|F (t)x||x|

= maxx∈RN\0

|F (t)F (t0)−1F (t0)x||x|

≤ 1

δmax

x∈RN\0

|F (t0)x||x|

=1

δ‖F (t0)‖s.

Se tiene por tanto (1.15) y la prueba del punto (a).

(b) Supongamos que se tiene (1.16) y veamos que el equilibrio ϕ0 de (1.14) es asintoticamenteestable. Dado t0 ∈ I, es facil demostrar que (1.16) implica la condicion (1.15). Usando el apartado(a) probado anteriormente, deducimos que ϕ0 es un equilibrio estable de (1.14). Veamos ahora queϕ0 es una solucion atractiva de (1.14). Sea t0 ∈ I. Se tiene

|ϕ(t; t0, y0)| = |F (t)F (t0)−1y0| ≤ ‖F (t)‖s‖F (t0)−1‖s|y0|.

Basta tomar lımt→∞

en la expresion anterior y tener en cuenta (1.16) para deducir que la solucion ϕ0

de (1.14) es atractiva.

Veamos la implicacion contraria. La solucion ϕ0 de (1.14) es asintoticamente estable y, enparticular, es atractiva. Deducimos de aquı que, dado t0 ∈ I, existe γ = γ(t0) > 0 tal que



lımt→∞ |ϕ(t; t0, y0)| = 0 cuando |y0| ≤ γ. Tomemos z0 ∈ RN \ 0 arbitrario. Podemos aplicar

la propiedad anterior a y0 = γz0

|z0|y, de (1.19), llegamos a

lımt→∞|ϕ(t; t0, z0)| = 0, ∀z0 ∈ RN .

Por tanto, cualquier solucion del sistema (1.14) satisface la propiedad anterior. Sin mas que teneren cuenta que las N columnas de la matriz fundamental F (·) son soluciones del sistema diferen-cial (1.14), obtenemos la propiedad (1.16).

Observacion 1.12. Antes de seguir con la prueba del Teorema 1.4.1, precisemos que, en los puntos(a) y (b) en realidad hemos probado lo siguiente: Hemos visto que si la solucion ϕ0 de (1.14) esatractiva, entonces se tiene (1.16). Por otro lado, tambien hemos visto que (1.16) implica (1.15) y,usando el apartado (a) del teorema, tambien ϕ0 es un equilibrio estable de (1.14). En definitiva,hemos visto que para el sistema lineal (1.14) se satisface la propiedad

“Si la solucion ϕ0 de (1.14) es atractiva, entonces ϕ0 es un equilibrio estable de (1.14)”.

Por otro lado, es facil dar un contraejemplo de sistema (lineal) cuya solucion nula es estable yno es atractiva. Basta considerar el sistema lineal y′ = 0 en I = R. Esta claro que una matrizfundamental asociada es F (·) ≡ Id y esta satisface (1.15) y no (1.16).

(c) Veamos la prueba del tercer punto. Esta va a seguir los pasos de la prueba de (a). Comencemossuponiendo que F (·) satisface la propiedad (1.17) y veamos que ϕ0 es un equilibrio uniformementeestable de (1.14). Efectivamente,

|ϕ(t; t0, y0)| = |F (t)F (t0)−1y0| ≤ ‖F (t)F (t0)−1‖s|y0| ≤M |y0|, ∀t0 ∈ I, ∀y0 ∈ RN , ∀t ≥ t0.

Basta tomar δ = ε/M para deducir la propiedad |ϕ(t; t0, y0)| ≤ ε para cualesquiera t0 ∈ I y t ≥ t0,siempre que |y0| ≤ δ.

Supongamos ahora que ϕ0 es un equilibrio uniformemente estable de (1.14) y veamos (1.17).Fijado ε = 1, existe δ > 0 tal que

|ϕ(t; t0, y0)| ≤ 1, ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0 y ∀y0 : |y0| ≤ δ.

Como anteriormente, si ahora tomamos z0 ∈ RN \ 0, podemos aplicar la acotacion anterior a

y0 = δz0

|z0|. Aplicando de nuevo la propiedad (1.19) deducimos

|ϕ(t; t0, z0)| = |F (t)F (t0)−1z0| ≤|z0|δ, ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0 y ∀z0 ∈ RN ,

y de aquı,

‖F (t)F (t0)−1‖s = supz0∈RN\0

|F (t)F (t0)−1z0||z0|

≤ 1

δ, ∀t0 ∈ I, ∀t ≥ t0.

Tenemos ası (1.17).

(d) Veamos este ultimo punto. Supongamos en primer lugar que se tiene (1.18) y probemos que lasolucion nula de (1.14) es uniformemente asintoticamente estable, es decir, que ϕ0 es uniformementeestable y uniformemente atractiva. Claramente, la estimacion (1.18) implica (1.17) y, usando elpunto (c), deducimos que ϕ0 es un equilibrio de (1.14) uniformemente estable.


20 1.4. Estabilidad de sistemas lineales

Probemos la atractividad uniforme de ϕ0, es decir, comprobemos la segunda propiedad de la

Definicion 1.3.4. Sea ε > 0 y supongamos que ε < C . Si tomamos γ = 1 y Tε =1

αlog

(C

ε

), es

facil comprobar que se verifica:

|ϕ(t; t0, y0)| = |F (t)F (t0)−1y0| ≤ ‖F (t)F (t0)−1‖s|y0|≤ Ce−α(t−t0) ≤ ε, ∀t0 ∈ I, ∀y0 : |y0| ≤ 1 y ∀t ≥ t0 + Tε.

Observese que si C ≤ ε, la desigualdad anterior serıa valida para cualquier t ≥ t0. Tenemos ası queϕ0 es un equilibrio de (1.14) uniformemente atractivo.

Supongamos ahora que ϕ0 es un equilibrio de (1.14) uniformemente asintoticamente estable. Enparticular, ϕ0 es uniformemente estable y la matriz fundamental F satisface la propiedad (1.17).Por otro lado, ϕ0 es uniformemente atractiva y, ası, existe γ > 0 para el que se tiene la segundapropiedad de la Definicion 1.3.4. Si aplicamos esta propiedad para ε = γ/2, deducimos que existeT = Tγ/2 tal que

|ϕ(t; t0, y0)| ≤ γ

2, ∀t0 ∈ I, ∀y0 : |y0| ≤ γ y ∀t ≥ t0 + T.

Si ahora tomamos z0 ∈ RN \ 0 arbitrario, usamos la propiedad anterior para y0 = γz0/|z0| y,como anteriormente, aplicamos la propiedad (1.19), obtenemos

|ϕ(t; t0, z0)| = |F (t)F (t0)−1z0| ≤1

2|z0|, ∀t0 ∈ I, ∀z0 ∈ RN \ 0 y ∀t ≥ t0 + T,

de donde

‖F (t)F (t0)−1‖s = supz0∈RN\0

|F (t)F (t0)−1z0||z0|

≤ 1

2, ∀t0 ∈ I y ∀t ≥ t0 + T.

Sean t0 ∈ I y t ≥ t0. Entonces, existe n ∈ N (n ≥ 0) tal que t ∈ [t0 + nT, t0 + (n + 1)T ).Teniendo en cuenta (1.17) y aplicando sucesivamente la propiedad anterior, podemos escribir

‖F (t)F (t0)−1‖s = ‖F (t)F (t0 + nT )−1F (t0 + nT )F (t0 + (n− 1)T )−1 · · ·F (t0 + T )F (t0)−1‖s≤ ‖F (t)F (t0 + nT )−1‖s‖F (t0 + nT )F (t0 + (n− 1)T )−1‖s · · · ‖F (t0 + T )F (t0)−1‖s

≤M(

1

2

)n.

Como t ∈ [t0 + nT, t0 + (n+ 1)T ), en particular n ≥ 1

T(t− t0)− 1. Volviendo a la desigualdad

anterior, obtenemos

‖F (t)F (t0)−1‖s ≤M(

1

2

)n≤M

(1

2

) 1T

(t−t0)−1

= 2Me−log 2T

(t−t0),

es decir, hemos obtenido (1.18) con C ≡ 2M y α ≡ log 2

T. Esto finaliza la prueba del punto (d) y

del teorema.

Observese que en el Teorema 1.4.1 hemos probado que, para el sistema lineal (1.14), la esta-bilidad asintotica uniforme de la solucion nula ϕ0 equivale a la propiedad (1.18). En el caso desistemas no lineales como (1.9), serıa posible dar una nueva definicion de estabilidad donde seponga de manifiesto la citada propiedad. Esta definicion serıa:



Definicion 1.4.2. Bajo las condiciones (1.8), se dice que la solucion ϕ0 de (1.9) es (un equilibrio)exponencialmente asintoticamente estable si existen constantes C > 0, γ ∈ (0, ρ) y α > 0 tales que

(a) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞), para cualesquiera t0 ∈ I e |y0| ≤ γ;

(b) |ϕ(t; t0, y0)| ≤ C|y0|e−α(t−t0), para cualesquiera t0 ∈ I, |y0| ≤ γ y t ≥ t0.

Observacion 1.13. 1. Observese que el apartado (d) del Teorema 1.4.1 permite probar la si-guiente equivalencia para el sistema lineal (1.14):

“El equilibrio ϕ0 de (1.14) es uniformemente asintoticamente estable si y solo si ϕ0 esexponencialmente asintoticamente estable”.

2. En el caso de sistemas no lineales como (1.9) que satisfacen las hipotesis (1.8), es facil com-probar la siguiente implicacion:

“Si el equilibrio ϕ0 de (1.9) es exponencialmente asintoticamente estable, entonces ϕ0 esuniformemente asintoticamente estable”.

Veremos que, en general, la implicacion contraria es falsa (salvo, como hemos visto, en el casode sistemas lineales).

Ejercicio 1.3. Pruebense los puntos 1 y 2 de la observacion anterior.

Observacion 1.14 (Sistemas lineales no homogeneos). Terminemos esta seccion comentandocuales son las condiciones equivalentes a la estabilidad cuando consideramos el s.d.o. lineal nohomogeneo:

(1.20) y′ = A(t)y + b(t),

donde A ∈ C0(I;L(RN )), b ∈ C(I;RN ) e I = (τ,+∞), con τ ∈ [−∞,∞). En este caso nospodrıamos plantear la estabilidad de cualquier solucion ϕ1 ∈ C1(I;RN )de (1.20) en I:

ϕ′1(t) = A(t)ϕ1(t) + b(t), ∀t ∈ I.

Como vimos en la Obervacion 1.7 basta hacer el cambio z = y − ϕ1(t) y estudiar la estabili-dad de la solucion nula ϕ0 del nuevo sistema. Evidentemente, este nuevo sistema es el sistemahomogeneo (1.14).

En conclusion, la estabilidad, atractividad, etc., de cualquier solucion ϕ1 de (1.20) equivale a lacorrespondiente propiedad de la solucion nula ϕ0 del sistema homogeneo asociado, sistema (1.14).Esta es la razon por la que, por abuso de lenguaje, se habla de la estabilidad, atractividad, etc.,del sistema (1.14) (o de (1.20)) sin hacer referencia a ninguna solucion del citado sistema.

1.5. Aplicacion al caso de sistemas lineales de coeficientes cons-tantes

En esta seccion estudiaremos el caso particular de sistemas lineales de coeficientes constantes.Consideremos, por tanto, el sistema lineal

(1.21) y′ = Ay,


22 1.5. Aplicacion al caso de sistemas lineales de coeficientes constantes

donde A ∈ L(RN ) esta dada. Evidentemente el sistema anterior es un sistema autonomo. Por tanto,sabemos que los conceptos de estabilidad equivalen a los correspondientes conceptos uniformes. Elobjetivo de esta seccion es reescribir el Teorema 1.4.1 en el caso del sistema (1.21). Veremos quelos conceptos de estabilidad equivalen en este caso a ciertas propiedades de los autovalores de A.De nuevo, enunciaremos el resultado para la solucion nula ϕ0 de (1.21) en I = R. Se tiene:

Teorema 1.5.1. Sea λi1≤i≤n ⊂ C el conjunto de autovalores distintos de la matriz A ∈ L(RN ).Entonces, se tiene:

(i) La solucion ϕ0 de (1.21) es uniformemente asintoticamente estable si y solo si <(λi) < 0para todo i : 1 ≤ i ≤ n.

(ii) La solucion ϕ0 de (1.21) es uniformemente estable si y solo si <(λi) ≤ 0 para todo i : 1 ≤ i ≤ ny, si para j : 1 ≤ j ≤ n se tiene <(λj) = 0, entonces las cajas de Jordan asociadas a λj tienendimension 1 (la multiplicidad geometrica y la multiplicidad algebraica de λj coinciden).

Observacion 1.15. Teniendo en cuenta que (1.21) es un sistema autonomo, podemos escribir quesu solucion nula ϕ0 es inestable (es decir, no es estable) si y solo si ϕ0 no es uniformemente estable.Del apartado (II) del Teorema 1.5.1 deducimos:

“La solucion ϕ0 de (1.21) es inestable si y solo existe λj, con 1 ≤ j ≤ n, tal que, obien <(λj) > 0, o bien <(λj) = 0 y λj tiene asociada una caja de Jordan de dimensionmayor o igual a dos.”

Prueba: La clave de la demostracion esta en hallar una matriz fundamental de (1.21) y aplicar elTeorema 1.4.1. Recordemos que, si J es la forma canonica real de A, entonces existe P ∈ L(RN ),con det P 6= 0, tal que A = P J P−1. En este caso, una matriz fundamental de (1.21) viene dadapor la exponencial matricial

F (t) = etA = P eJtP−1, ∀t ∈ R,

o bienF (t) = F (t)P = P eJt, ∀t ∈ R.

Por ultimo, aplicaremos el Teorema 1.4.1 con la norma matricial

‖M‖ := ‖P−1M‖s

en lugar de la norma matricial ‖ · ‖s (debido a que det P 6= 0, es facil ver que son equivalentes).

Por tanto, todo se reduce a estudiar ‖F (t)‖ = ‖eJt‖s.Es facil deducir el resultado sin mas que tener en cuenta que los elementos de eJt son de la

formatje<(λi)t [aij sen (=(λi)t) + bij cos (=(λi)t)] ,

con aij , bij ∈ R, 1 ≤ i ≤ n y j ≥ 1, siendo j menor o igual que la mayor dimension de las cajas deJordan asociadas a λi.

Para finalizar esta seccion, analicemos el caso particular de la e.d.o. lineal de orden n y coefi-cientes constantes:

(1.22) yn) + a1yn−1) + · · ·+ an−1y

′ + any = 0 en I = R,

con ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n. Recordemos que las raıces µi1≤i≤m ⊂ C del polinomio caracterıstico

p(µ) = µn + a1µn−1 + · · ·+ an−1µ+ an

proporcionan un sistema fundamental para (1.22). Se tiene:



Teorema 1.5.2. Sea ϕ0 la solucion nula en R de (1.22). Entonces:

(a) La solucion ϕ0 de (1.22) es exponencialmente asintoticamente estable si y solo si <(µi) < 0para todo i : 1 ≤ i ≤ m.

(b) La solucion ϕ0 de (1.22) es uniformemente estable si y solo si <(µi) ≤ 0 para todo i : 1 ≤ i ≤ my, si para j : 1 ≤ j ≤ m se tiene <(µj) = 0, entonces µj es simple.

La prueba del teorema es una simple aplicacion del Teorema 1.5.1.

1.6. Estabilidad de perturbaciones de sistemas lineales

Una vez estudiadas las propiedades de estabilidad de la solucion nula ϕ0 del s.d.o. lineal (1.14)veamos que ocurre con las propiedades de estabilidad de sistemas no lineales. En concreto, en estaseccion estamos interesados en sistemas no lineales que se escriben como suma de una parte linealmas una “pequena” (en algun sentido que precisaremos) perturbacion no lineal de ese sumandolineal. Como suele ocurrir en otras ocasiones, veremos que si la perturbacion es suficientemente“pequena”, las propiedades de estabilidad de la solucion nula del problema lineal son heredadaspor ϕ0 como solucion del sistema no lineal. Veamos cual es el marco en el que trabajaremos:

Consideremos el s.d.o. no lineal

(1.23) y′ = A(t)y + g(t, y),

donde A ∈ C0(I;L(RN )) y g ∈ C0(Ω;RN ) ∩ Liploc(y; Ω) para un intervalo I y un abierto conexono vacıo Ω ⊆ RN+1 que satisfacen

I ×B(0; ρ) ⊆ Ω ⊆ I × RN ,

para I = (τ,∞), con τ ∈ [−∞,∞) y ρ ∈ (0,∞].Supongamos ademas que g(t, 0) = 0 para cualquier t ∈ I. Como en ocasiones anteriores, esta

ultima propiedad asegura que la funcion ϕ0(t) = 0 es solucion del sistema (1.23) en I. Evidente-mente, ϕ0 es tambien solucion en I del sistema lineal homogeneo (1.14) asociado.

Se tiene:

Teorema 1.6.1 (Teorema de estabilidad en primera aproximacion). Bajo las condicionesanteriores, se tiene:

(a) Supongamos que

lım|y|→0

|g(t, y)||y|

= 0,

uniformemente en I, es decir, para cualquier ε > 0, existe µ ∈ (0, ρ) tal que si |y| ≤ µ se tiene|g(t, y)| ≤ ε|y|, para todo t ∈ I. Ası, si ϕ0 es un equilibrio uniformemente asintoticamenteestable del sistema lineal (1.14), entonces ϕ0 es un equilibrio exponencialmente asintoticamenteestable del sistema no lineal (1.23).

(b) Supongamos que |g(t, y)| ≤ α(t)|y|, para cualesquiera (t, y) ∈ I × B(0; ρ), con α ∈ C0(I)satisfaciendo ∫ ∞

τα(t) dt <∞.

Ası, si ϕ0 es un equilibrio uniformemente estable del sistema lineal (1.14), entonces ϕ0 es unequilibrio uniformemente estable del sistema no lineal (1.23).


24 1.6. Estabilidad de perturbaciones de sistemas lineales

Prueba: Nos centraremos en la prueba del apartado (a). La demostracion del apartado (b) siguelas mismas ideas de la prueba del apartado (a).

Ejercicio 1.4. Pruebese el apartado (b) del Teorema 1.6.1.

(a) De las hipotesis del enunciado deducimos que, fijado (t0, y0) ∈ Ω, el problema de valores inicialesasociado al sistema (1.23) admite una unica solucion maximal ϕ(·; t0, y0) definida en el intervaloI(t0, y0). Nuestro objetivo sera comprobar que la solucion maximal ϕ(·; t0, y0) satisface las doscondiciones de la Definicion 1.4.2, es decir, que existen constantes C > 0, γ ∈ (0, ρ) y α > 0 talesque

(i) I(t0, y0) ⊃ [t0,∞), para cualesquiera t0 ∈ I e |y0| ≤ γ;

(ii) |ϕ(t; t0, y0)| ≤ C|y0|e−α(t−t0), para cualesquiera t0 ∈ I, |y0| ≤ γ y t ≥ t0.

Sea F ∈ C1(I;L(RN )) una matriz fundamental asociada al sistema lineal (1.14). Como lasolucion ϕ0 de (1.14) es uniformemente asintoticamente estable, podemos aplicar la caracteriza-cion (1.18) del Teorema 1.4.1 y deducir que existen dos constantes positivas α y C tales que

‖F (t)F (t0)−1‖s ≤ Ce−α(t−t0), ∀t0 ∈ I , ∀t ≥ t0.

Para probar (i) y (ii) usaremos la siguiente idea: si (t0, y0) ∈ Ω, la solucion maximal ϕ(·; t0, y0)del problema de Cauchy asociado a (1.23) y condicion inicial (t0, y0) satisface

ϕ′(t; t0, y0) = A(t)ϕ(t; t0, y0) + g(t, ϕ(t; t0, y0)), ∀t ∈ I(t0, y0),

ϕ(t0; t0, y0) = y0.

Si introducimos la funcion b(t) = g(t, ϕ(t; t0, y0)), con t ∈ I(t0, y0), entonces, b ∈ C0(I(t0, y0);RN ).Ademas, podemos ver la funcion ϕ(·; t0, y0) como la solucion en I(t0, y0) del problema de Cauchypara el sistema lineal no homogeneo

y′ = A(t)y + b(t), en I(t0, y0),

y(t0) = y0.

Usando la formula (1.6) para la funcion b anterior, deducimos

ϕ(t; t0, y0) = F (t)F (t0)−1y0 +

∫ t

t0

F (t)F (s)−1g(s, ϕ(s; t0, y0)) ds, ∀t ∈ I(t0, y0).

Fijemos (t0, y0) ∈ I × B(0; ρ) tal que |y0| ≤ γ, con γ ∈ (0, ρ) a determinar. Por otro lado,fijemos ε > 0 (tambien a determinar). Aplicando la hipotesis del enunciado, existe µ ∈ (0, ρ) talque

(1.24) |g(t, y)| ≤ ε|y|, ∀t ∈ I y ∀y0 : |y| ≤ µ.

Nuestro objetivo sera probar que podemos elegir γ ∈ (0, ρ) y ε > 0 tal que si |y0| ≤ γ se tiene:

u(t) := |ϕ(t; t0, y0)| ≤ µ, ∀t ∈ I(t0, y0) ∩ [t0,∞).

Efectivamente, en primer lugar, se tiene

u(t0) = |y0| ≤ γ < µ



siempre que impongamos la desigualdad γ < µ .

Por reduccion al absurdo, supongamos ahora que existe t∗ ∈ I(t0, y0)∩ [t0,∞) tal que u(t∗) > µ.Utilizando que la funcion u satisface u ∈ C0(I(t0, y0) ∩ [t0,∞)), deducimos que existe T ∈ [t0, t

∗)tal que

u(T ) = µ y u(t) < µ, ∀t ∈ [t0, T ) ⊂ I(t0, y0) ∩ [t0,∞).

Sea t ∈ [t0, T ]. Nuestra proxima tarea sera acotar u(t). Para ello, utilizaremos la expresion deϕ(t; t0, y0) deducida anteriormente y la hipotesis sobre la matriz fundamental F (·). Ası,

u(t) = |ϕ(t; t0, y0)| ≤ ‖F (t)F (t0)−1‖s|y0|+∫ t

t0

‖F (t)F (s)−1‖s|g(s, ϕ(s; t0, y0))| ds,

≤ Ce−α(t−t0)|y0|+ C

∫ t

t0

e−α(t−s)|g(s, ϕ(s; t0, y0))| ds.

Por otro lado, como t ∈ [t0, T ], tambien se tiene u(s) = |ϕ(s; t0, y0)| ≤ µ para cualquier s ∈ [t0, T ].Podemos utilizar tambien la acotacion (1.24) y deducir:

u(t) ≤ Ce−α(t−t0)|y0|+ Cε

∫ t

t0

e−α(t−s)u(s) ds,

y de aquı,

eαtu(t) ≤ Ceαt0 |y0|+ Cε

∫ t

t0

eαsu(s) ds, ∀t ∈ [t0, T ].

Observese que podemos aplicar el Lema de Gronwall a la funcion v(t) = eαtu(t) (funcion continuay positiva) en el intervalo [t0, T ]. Llegamos de este modo:

eαtu(t) ≤ Ceαt0 |y0|eCε(t−t0), ∀t ∈ [t0, T ],

y, de aquı,u(t) ≤ C|y0|e−(α−Cε)(t−t0), ∀t ∈ [t0, T ].

Finalmente, si tomamos ε =α

2Cdeducimos la acotacion para u(t) = |ϕ(t; t0, y0)|:

(1.25) u(t) := |ϕ(t; t0, y0)| ≤ C|y0|e−α2

(t−t0), ∀t ∈ [t0, T ].

Aplicando la desigualdad anterior en el punto t = T y teniendo en cuenta que |y0| ≤ γ, inferimos

µ = u(T ) ≤ C|y0|e−α2

(T−t0) ≤ Cγ < µ,

siempre que elijamos γ ∈ (0, ρ) y γ < µ/C . Llegamos de esta manera a un absurdo.

Resumiendo, hemos tomado ε =α

2Cy hemos impuesto tres condiciones sobre γ. Ası, tomando

0 < γ < mınρ, µ,

µ

C

,

llegamos a que u(t) =: |ϕ(t; t0, y0)| ≤ µ ∈ (0, ρ), para cualquier t ∈ I(t0, y0) ∩ [t0,∞). Comohemos visto en otras ocasiones, esto implica que [t0,∞) ⊂ I(t0, y0). Ademas, podemos repetir elmismo razonamiento anterior cambiando el intervalo [t0, T ] por el intervalo [t0,∞) y deducir que laacotacion (1.25) es valida en el intervalo [t0,∞). Hemos demostrado, por tanto, las dos condicionesde la Definicion 1.4.2. Esto termina la prueba del apartado (a).


26 1.7. Comentarios bibliograficos

1.7. Comentarios bibliograficos

Como dijimos anteriormente, los resultados enunciados en la Seccion 1.1 pueden ser consultadosen [13], [15] o [18].

Por otro lado, hemos seguido principalmente la referencia [14] en lo concerniente a los conceptosde estabilidad, estabilidad de sistemas lineales y estabilidad de sistemas lineales perturbados.


Capıtulo 2

El Segundo Metodo de Estabilidad deLiapunov

En este capıtulo daremos una introduccion al llamado segundo metodo de estabilidadde Liapunov, tambien llamado metodo directo de Liapunov. El uso de esta nomenclaturaquedara claro en lo que sigue: los resultados que presentaremos en el capıtulo nos permitiran hacerun estudio de las propiedades de estabilidad de las soluciones del s.d.o. considerado, sin tener quecalcular las soluciones maximales del sistema en cuestion.

2.1. Introduccion. Funciones de Liapunov

Los resultados de estabilidad que presentamos en este capıtulo relacionan la existencia de de-terminadas funciones reales V (definidas en Bρ = B(0, ρ), con ρ ∈ (0,∞)) con las propiedades deestabilidad del sistema diferencial considerado (metodo directo). El inconveniente de este metodoradica en que no hay procedimientos generales que permitan calcular las llamadas funciones deLiapunov, aunque en los casos de s.d.o. con origen fısico, estas funciones estan relacionadas conla energıa asociada al sistema. De manera general, veremos que si la funcion V “decrece”(es decir,la energıa asociada al sistema decrece), entonces la solucion nula es estable (el sistema evolucionahacia la solucion nula).

En el estudio que llevaremos a cabo, nos restringiremos, por comodidad, al caso de sistemasdiferenciales autonomos, aunque la mayor parte de los resultados que veremos son facilmente ge-neralizables al caso no autonomo. Finalmente, es interesante resaltar que muchos de los sistemasdiferenciales que modelan fenomenos reales son autonomos.

A lo largo de este capıtulo consideremos el s.d.o. autonomo (1.12):

y′ = f(y),

con f : D −→ RN y D ⊆ RN un abierto conexo no vacıo. Supondremos tambien que f y Dsatisfacen (1.13) para cierto ρ ∈ (0,∞) (recordemos que Bρ = B(0; ρ)). Como dijimos mas arriba,podemos considerar Ω = R×D como abierto maximal de existencia y unicidad asociado al sistema.Por otro lado, la hipotesis f(0) = 0 en particular implica que la funcion nula ϕ0 ≡ 0 es solucion enI ≡ R de (1.12). Por ultimo, recordemos que, al tratarse de un sistema autonomo, las propiedadesde estabilidad de la solucion ϕ0 de (1.12) equivalen a las correspondientes propiedades uniformes.

Comencemos viendo algunas definiciones.

27

28 2.1. Introduccion. Funciones de Liapunov

Definicion 2.1.1. Sean ρ ∈ (0,∞) y V ∈ C0(Bρ) una funcion real. Se dice que V es definidapositiva en Bρ si V (0) = 0 y V (y) > 0 para cualquier y ∈ Bρ \ 0. Del mismo modo, se dice queV es definida negativa en Bρ si −V es definida positiva en Bρ.

Ejemplo 2.1. Es facil comprobar que la funcion V (y) =

N∑i=1

y2i es definida positiva en cualquier

bola Bρ.Por otro lado, es facil ver que la funcion de R3 dada por V (y1, y2, y3) = y2

1 + y22 no es definida

positiva (ni negativa) en ninguna bola Bρ, con ρ > 0.

Ejemplo 2.2. Como ejemplo, veamos el caracter definido positivo de una importante clase defunciones V . Fijemos B ∈ L(RN ) una matriz cuadrada y consideremos la funcion

V (y) = yTBy =N∑

i,j=1

bijyiyj , ∀y ∈ RN ,

(yT representa el vector -fila- transpuesto de y). Observese que V ∈ C0(Bρ), para cualquier ρ > 0,y V (0) = 0. Es facil deducir la siguiente propiedad

“La funcion V es definida positiva en Bρ, con ρ > 0, si y solo si la matriz B es definidapositiva.”

Ejercicio 2.1. Pruebese la propiedad anterior.

Ejemplo 2.3. Sea ρ ∈ (0, 2π) y consideremos la funcion V : Bρ ⊂ R2 −→ R dada por

V (y1, y2) =1

2y2

2 + k(1− cos y1), ∀y = (y1, y2) ∈ Bρ,

con k > 0 un numero real. Veamos que V es definida positiva en Bρ. Efectivamente, se tiene queV ∈ C0(Bρ) y V (0) = 0. Por otro lado, los dos sumandos de V son positivos, por tanto, V (y) = 0si y solo si y2 = 0 y cos y1 = 1, es decir, si y solo si y = (2nπ, 0) con n ∈ Z. Por ser ρ ∈ (0, 2π),concluimos

V (y) > 0, ∀y ∈ Bρ \ 0.

Tenemos que V es definida positiva en Bρ, siempre que ρ ∈ (0, 2π).

Continuamos con las definiciones introduciendo el concepto de funcion de Liapunov para als.d.o. autonomo (1.12):

Definicion 2.1.2. Sea V : Bρ −→ R una funcion tal que V ∈ C1(Bρ) (ρ > 0).

(a) Se denomina derivada respecto del sistema autonomo (1.12) a la funcion V : Bρ −→ R dadapor

V (y) =

N∑i=1

∂V

∂yi(y)fi(y), ∀y ∈ Bρ.

(b) Se dice que V ∈ C1(Bρ) ∩ C0(Bρ) es una funcion de Liapunov en Bρ para el sistema autono-mo (1.12) si V es definida positiva en Bρ y

V (y) ≤ 0, ∀y ∈ Bρ.


Tema 2. El Segundo Metodo de Liapunov 29

Observacion 2.1. Supongamos que ϕ es una solucion del sistema (1.12) en un intervalo J ⊂ Rque verifica que ϕ(t) ∈ Bρ para cualquier t ∈ J . Entonces, tiene sentido la funcion compuestaE(·) = V (ϕ(·)) definida en J y satisface E ∈ C1(J) y (regla de la cadena)

E′(t) =d

dt[V (ϕ(t))] =

N∑i=1

∂V

∂xi(ϕ(t))ϕ′i(t) =

N∑i=1

∂V

∂xi(ϕ(t))fi(ϕi(t)) = V (ϕ(t)), ∀t ∈ J.

Observese que si ademas V es una funcion de Liapunov para el sistema (1.12) en Bρ, entoncestendrıamos

E′(t) = V (ϕ(t)) ≤ 0, ∀t ∈ J,

es decir, E(t) es una funcion no negativa y decreciente en J .

2.2. Condiciones suficientes de estabilidad

En esta seccion presentaremos el resultado de estabilidad de la solucion nula del sistema autono-mo (1.12) usando el metodo directo de Liapunov. Se tiene:

Teorema 2.2.1 (Condiciones suficientes de estabilidad de Liapunov). Sean ρ > 0, tal queBρ ⊆ D, y V ∈ C1(Bρ) una funcion de Liapunov en Bρ para el sistema (1.12). Entonces, se tiene:

(a) La solucion ϕ0 de (1.12) en R es uniformemente estable.

(b) Supongamos ademas que V es definida negativa en Bρ. Entonces, la solucion ϕ0 de (1.12) enR es uniformemente asintoticamente estable.

(c) Finalmente, supongamos que existen constantes c1, c2, c3 > 0 tales que

(2.1) c1|y|2 ≤ V (y) ≤ c2|y|2 y V (y) ≤ −c3|y|2, ∀y ∈ Bρ.

Entonces, la solucion ϕ0 de (1.12) en R es exponencialmente asintoticamente estable.

Prueba:

(a) Comencemos observando que, al tratarse de un sistema autonomo, la estabilidad uniforme dela solucion nula de (1.12) equivale a la estabilidad de la misma solucion. Por otro lado, utilizandola Proposicion 1.3.7, basta comprobar la Definicion 1.3.1 (en realidad, la Observacion 1.5) parat0 = 0, es decir, hay que probar que para cualquier ε ∈ (0, ρ), existe δ ∈ (0, ρ) tal que, si |y0| ≤ δ,se tiene

(2.2) |ϕ(t; 0, y0)| ≤ ε, ∀t ∈ I(0, y0) ∩ [0,∞).

Antes de empezar la prueba, hagamos la siguiente observacion: Dado y0 ∈ Bρ ⊆ D, podemosplantear los problemas de Cauchy para el sistema (1.12):

(PC)

y′ = f(y) en Ω = R×D,y(0) = y0

y

(PC)

y′ = f(y) en Ω = R×Bρ,y(0) = y0.


30 2.2. Condiciones suficientes de estabilidad

Evidentemente, las hipotesis impuestas a f y D permiten afirmar que (PC) admite una unica

solucion maximal, denotada ϕ(·; 0, y0), definida en I(0, y0). Tambien se tiene que (PC) tiene unaunica solucion maximal, ahora denotada ϕ(·; 0, y0), definida en I(0, y0). Es facil comprobar que(I(0, y0), ϕ(·; 0, y0)) es solucion local de (PC) y, ası,

(2.3) I(0, y0) ⊆ I(0, y0) y ϕ(t; 0, y0) = ϕ(t; 0, y0), ∀t ∈ I(0, y0).

Comencemos probando (2.2) con ϕ(t; 0, y0) e I(0, y0) en lugar de ϕ(t; 0, y0) e I(0, y0).Fijemos ε ∈ (0, ρ) y tomemos

λ(ε) = mınε≤|y|≤ρ

V (y).

De las hipotesis del enunciado, deducimos que λ(ε) > 0. Por otro lado, de la propia definicion deλ(ε) es facil comprobar la siguiente propiedad:Propiedad (P): “Sean ε ∈ (0, ρ) e y ∈ Bρ tales que V (y) < λ(ε). Entonces, |y| < ε”.

Efectivamente, si en las condiciones de la propiedad (P) se tuviera |y| ≥ ε, entonces,

y ∈ y ∈ RN : ε ≤ |y| ≤ ρ.

De la definicion de λ(ε) se deducirıa λ(ε) > V (y) ≥ mınε≤|y|≤ρ V (y) = λ(ε) y llegarıamos a unabsurdo.

Probemos ya el primer apartado del teorema. Como V es continua y V (0) = 0, obtenemos queexiste δ = δ(ε) ∈ (0, ε) tal que

V (y) < λ(ε), ∀y : |y| ≤ δ.

Sea y0 ∈ Bρ con |y0| ≤ δ y consideremos E(t) = V (ϕ(t; 0, y0)), con t ∈ I(0, y0). Observese

que tiene sentido la composicion y, de hecho, E ∈ C1(I(0, y0)). Repitiendo el calculo hecho en laObservacion 2.1 deducimos

E′(t) = V (ϕ(t; 0, y0)) ≤ 0, ∀t ∈ I(0, y0),

es decir, la funcion E es decreciente en I(0, y0). Por tanto,

V (ϕ(t; 0, y0)) = E(t) ≤ E(0) = V (y0) < λ(ε), ∀t ∈ I(0, y0) ∩ [0,∞).

De la desigualdad anterior y utilizando la propiedad (P) deducimos

|ϕ(t; 0, y0)| ≤ ε, ∀t ∈ I(0, y0) ∩ [0,∞).

Finalmente, como hicimos en la Observacion 1.5, de esta ultima desigualdad deducimos

I(0, y0) ⊃ [0,∞) y |ϕ(t; 0, y0)| ≤ ε, ∀t ∈ [0,∞).

Sin mas que utilizar (2.3) deducimos (2.2). Esto prueba el apartado (a).

(b) Supongamos ahora que V ∈ C1(Bρ) es una funcion de Liapunov en Bρ para el sistema (1.12)que, ademas, satisface que V es definida negativa en Bρ. En particular, podemos aplicar el apartado(a) y deducir que la solucion nula ϕ0 de (1.12) es uniformemente estable. Ası, dado ε = ρ/2, existe

γ = δ(ρ/2) ∈ (0, ρ) tal que si |y0| ≤ γ se tiene

I(0, y0) ⊃ [0,∞) y |ϕ(t; 0, y0)| ≤ ρ

2, ∀t ≥ 0.



Demostraremos que si |y0| ≤ γ, entonces lımt→∞ |ϕ(t; 0, y0)| = 0. Teniendo en cuenta la Propo-sicion 1.3.7, deducimos que ϕ0 es uniformemente atractiva y, por tanto, es uniformemente asintoti-camente estable.

Como en el apartado (a), podemos considerar E(t) = V (ϕ(t; 0, y0)), con t ∈ [0,∞) y deducirque E esta bien definida y satisface E ∈ C1([0,∞)) y

E′(t) = V (ϕ(t; 0, y0)) ≤ 0, ∀t ≥ 0.

En particular la funcion E es positiva y decreciente en [0,∞). De aquı deducimos que existe

lımt→∞

E(t) = lımt→∞

V (ϕ(t; 0, y0)) = α ≥ 0.

Veamos en primer lugar que α = 0. Por reduccion al absurdo, supongamos que α > 0. Enparticular se tiene

V (ϕ(t; 0, y0)) >α

2, ∀t ∈ [0,∞).

Por otro lado, como V ∈ C0(Bρ) y V (0) = 0, tambien deducimos que existe µ ∈ (0, ρ) tal que

V (y) ≤ α

2, ∀y : |y| ≤ µ.

Comparando las dos ultimas desigualdades, llegamos a que

(2.4) |ϕ(t; 0, y0)| > µ, ∀t ∈ [0,∞).

Tenıamos como hipotesis que V es definida negativa en Bρ. Volviendo a la funcion E(·) yutilizando (2.4) obtenemos

E′(t) = V (ϕ(t; 0, y0)) ≤ maxµ≤|y|≤ρ

V (y) = −b(µ) < 0, ∀t ∈ [0,∞).

Si tomamos t ∈ [0,∞) e integramos la desigualdad anterior en el intervalo [0, t], conseguimos

E(t)− E(0) ≤ −b(µ)t, ∀t ∈ [0,∞),

es decir,V (ϕ(t; 0, y0)) = E(t) ≤ E(0)− b(µ)t = V (y0)− b(µ)t, ∀t ∈ [0,∞).

Tomando lımite en esta ultima desigualdad

0 < α = lımt→∞

E(t) = lımt→∞

V (ϕ(t; 0, y0)) = −∞,

lo que, evidentemente es absurdo. Por tanto, lımt→∞ V (ϕ(t; 0, y0)) = 0.Para acabar, veamos que existe lımt→∞ ϕ(t; 0, y0) = 0 y para ello fijemos ε ∈ (0, ρ). Considere-

mos de nuevo la expresionλ(ε) = mın

ε≤|y|≤ρV (y) > 0.

Como lımt→∞ V (ϕ(t; 0, y0)) = 0, obtenemos que existe Tε > 0 tal que

0 ≤ V (ϕ(t; 0, y0)) < λ(ε), ∀t ≥ Tε.

Utilizando de nuevo la propiedad (P) podemos concluir que

|ϕ(t; 0, y0)| ≤ ε, ∀t ≥ Tε.



En definitiva, lımt→∞ |ϕ(t; 0, y0)| = 0 y la solucion ϕ0 de (1.12) es uniformemente atractiva.

(c) Probemos a continuacion el tercer punto del resultado. En primer lugar, las hipotesis (2.1) enparticular implican que V es una funcion de Liapunov en Bρ para el sistema autonomo (1.12).Tenemos ası que la solucion nula es (uniformemente) estable. Razonando como en el apartado (b),dado ρ/2 > 0, existe µ ∈ (0, ρ) tal que si |y0| ≤ µ se tiene

I(0, y0) ⊃ [0,∞) y |ϕ(t; 0, y0)| ≤ ρ

2, ∀t ≥ 0.

Tomemos por tanto |y0| ≤ γ. Siguiendo el razonamiento del apartado (b) tambien deducimos quela funcion E(t) = V (ϕ(t; 0, y0)) esta bien definida en [0,∞) y, utilizando las hipotesis (2.1),

(2.5) E′(t) = V (ϕ(t; 0, y0)) ≤ −c3|ϕ(t; 0, y0)|2 ≤ −c3

c2V (ϕ(t; 0, y0)) = −c3

c2E(t), ∀t ≥ 0.

Utilizamos ahora el Lema de Gronwall (este resultado fue estudiado en la asignatura Ecuacio-nes Diferenciales Ordinarias; ver tambien [15], p. 121) para deducir

(2.6) E(t) ≤ E(0)e− c3c2t

= V (y0)e− c3c2t ≤ c2|y0|2e

− c3c2t, ∀t ≥ 0.

Hacemos un alto en la demostracion del apartado (c) pues merece la pena recordar como seobtiene la desigualdad (2.6) de (2.5). Reescribimos (2.5) como

E′(t) +c3

c2E(t) ≤ 0, ∀t ≥ 0.

Si multiplicamos esta desigualdad por ec3c2t

obtenemos

d

dt

(ec3c2tE(t)

)≤ 0, ∀t ≥ 0.

Basta con integrar esta desigualdad en el intervalo [0, t] para deducir (2.6).Continuemos con la prueba. De la desigualdad (2.6) y de las hipotesis (2.1) tenemos:

|ϕ(t; 0, y0)|2 ≤ 1

c1V (ϕ(t; 0, y0)) =

1

c1E(t) ≤ c2

c1|y0|2e

− c3c2t, ∀t ≥ 0,

es decir,|ϕ(t; 0, y0)| ≤ C|y0|e−αt, ∀t ≥ 0,

con C =√c2/c1 > 0 y α = c3/(2c2). Sin mas que tener en cuenta la Proposicion 1.3.7, de la

desigualdad anterior deducimos que para cualesquiera t0 ∈ R e |y0| ≤ µ se tiene que I(t0, y0) ⊇[t0,∞) y

|ϕ(t; t0, y0)| ≤ C|y0|e−α(t−t0), ∀t ≥ t0.

Tenemos que la solucion ϕ0 de (1.12) es exponencialmente asintoticamente estable. Esto finaliza laprueba.

Ejemplo 2.4. Volvamos a considerar el ejemplo del pendulo sin rozamiento introducido en elEjemplo 1.2:

(2.7) x′′ + k senx = 0,



donde k > 0 es un parametro positivo. Veamos las propiedades de estabilidad de la solucion nulade esta e.d.o. Podemos reescribir de manera equivalente esta e.d.o. como el sistema

(2.8)

y′1 = y2,

y′2 = −k sen y1,

y las propiedades de estabilidad de la solucion nula de la ecuacion equivalen a las propiedadesde estabilidad de la solucion nula ϕ0 del sistema (2.8). Observese que la funcion f que define els.d.o. anterior satisface las condiciones (1.13) para D = R2. Apliquemos el Teorema 2.2.1 a estesistema para

V (y1, y2) =1

2y2

2 + k(1− cos y1), ∀y = (y1, y2) ∈ Bπ

(ρ = π). Claramente V es definida positiva en Bπ (Ejemplo 2.3) y ademas

V (y) = (k sen y1) y2 + y2 (−k sen y1) = 0, ∀y ∈ Bπ.

Como consecuencia del Teorema 2.2.1 (a) deducimos que la solucion nula del sistema (y de lae.d.o) es uniformemente estable.

Ejemplo 2.5. Consideremos ahora el caso del pendulo simple con rozamiento. En este caso elmovimiento del pendulo se modela mediante la e.d.o.

x′′ + βx′ + k senx = 0,

donde k, β > 0 son dos parametros positivos. La anterior ecuacion es equivalente al sistema:

(2.9)

y′1 = y2,

y′2 = −βy2 − k sen y1.

Podemos aplicar de nuevo el Teorema 2.2.1 (a) con la funcion V (y1, y2) =1

2y2

2 + k(1 − cos y1),

definida en Bπ, obteniendo en este caso

V (y) = (k sen y1) y2 + y2 (−βy2 − k sen y1) = −βy22 ≤ 0, ∀y ∈ Bπ.

Deducimos que la solucion nula de (2.9) es uniformemente estable.Observese que, desde el punto de vista fısico, parece razonable que se pueda probar que la

solucion nula es uniformemente asintoticamente estable (el rozamiento hace que el pendulo tiendaa pararse cuando el tiempo tiende hacia infinito). Sin embargo, no es posible aplicar a esta funcionV el apartado (b) del Teorema 2.2.1 puesto que la funcion V no es definida negativa en ningunabola Bρ para ningun ρ > 0. Veremos en el proximo tema que, utilizando un resultado distinto,es posible obtener la estabilidad asintotica uniforme de la solucion nula del pendulo simple conrozamiento utilizando la funcion V anterior.

Acabaremos el ejemplo del pendulo simple con rozamiento probando que la solucion nula esexponencialmente asintoticamente estable. Utilizaremos para ello el Teorema 1.6.1. Efectivamente,aislando por un lado los terminos lineales y por otro los no lineales del sistema (2.9), este se reescribecomo y′ = Ay + g(y) con

A =

(0 1−k −β

)y g(y1, y2) =

(0

−k(sen y1 − y1)

).



Es facil comprobar que los autovalores de la matriz A tienen parte real negativa (para cualquiervalor de los parametros k, β > 0) y ası, la solucion nula del sistema lineal y′ = Ay es uniformementeasintoticamente estable (Teorema 1.5.2). Por otro lado,

lım|y|→∞

|g(y)||y|

= 0,

(evidentemente, uniformemente en t) y ası, la solucion nula del sistema no lineal y′ = Ay+ g(y) esexponencialmente asintoticamente estable (Teorema 1.6.1).

El gran inconveniente de la aplicacion al sistema (1.12) del metodo directo de Liapunov formu-lado en el Teorema 2.2.1 radica en la busqueda de una funcion de Liapunov V asociada al sistema.En sistemas diferenciales que tienen un claro significado fısico (como ocurre en los Ejemplos 2.4y 2.5), estas funciones pueden ser calculadas a partir de la funcion energıa asociada al sistema(ver [14]). En cualquier caso, no existen metodos generales para la construccion de una funcion deLiapunov asociada al sistema (1.12) y muchas veces hay que aplicar la intuicion y el ingenio.

Veamos algun ejemplo mas.

Ejemplo 2.6. Comenzamos analizando la llamada ecuacion de Newton

x′′ = −kf(x),

donde k > 0 es una constante real y f ∈ C1(R) es una funcion dada tal que, para ρ > 0, se tiene

(2.10) xf(x) > 0, ∀x ∈ [−ρ, ρ] \ 0 y f(0) = 0.

Observese que la ecuacion considerada coincide con la ecuacion del pendulo cuando f(x) = senx.Escribamos la ecuacion de segundo orden como un s.d.o. de primer orden

y′1 = y2,

y′2 = −kf(y1).

Claramente este sistema satisface (1.13) para D ≡ R2 y podemos analizar las propiedades deestabilidad de la solucion nula ϕ0 ≡ 0.

Al igual que en la ecuacion del pendulo podemos considerar una funcion de Liapunov (energıatotal del sistema) dada por:

(2.11) V (y) =1

2|y2|2 + kF (y1) con F (y1) =

∫ y1

0f(s) ds.

En la expresion anterior el primer sumando representa la energıa cinetica del sistema, mientrasque el segundo proporciona la energıa potencial del fenomeno modelado. Gracias a las hipotesisimpuestas a la funcion f es facil comprobar que V es una funcion definida positiva en la bola Bρ.Ademas,

V (y1, y2) = kF ′(y1)y2 + y2(−kf(y1)) = kf(y1)y2 + y2(−kf(y1)) = 0, ∀y ∈ Bρ.

Deducimos por tanto que V es una funcion de Liapunov del sistema en la bola Bρ. Del apartado (a)del Teorema 2.2.1 podemos concluir que el equilibrio ϕ0 es uniformemente estable.

Un razonamiento parecido al anterior permite estudiar la estabilidad de la solucion nula de laecuacion de Newton con friccion:

x′′ + βψ(x′) = −kf(x)



donde k, β ∈ R son constantes positivas y f, ψ ∈ C1(R) son funciones que satisfacen (2.10) yψ(x)x > 0 para cualquier x ∈ [−ρ, ρ] \ 0 (ρ > 0).

En este caso podemos escribir el sistema comoy′1 = y2,

y′2 = −kf(y1)− βψ(y2).

Si consideramos la funcion de energıa V dada por (2.11), deducimos que V es definida positivaen Bρ. Ademas, podemos calcular la derivada de V respecto del sistema considerado, obteniendo

V (y1, y2) = −βy2ψ(y2) ≤ 0, ∀(y1, y2) ∈ Bρ.

De nuevo, del apartado (a) del Teorema 2.2.1 podemos concluir que el equilibrio ϕ0 es uniformemen-te estable. Al igual que en el caso del pendulo con rozamiento, de los resultados del siguiente temaaplicados a V , deduciremos que la solucion nula de la ecuacion es uniformemente asintoticamenteestable (lo que parece fısicamente razonable)

Resultados parecidos pueden ser obtenidos en el caso de la ecuacion que modela el movimientode una masa m sujeta a un resorte de constante k, en un medio que ofrece un amortiguamiento decoeficiente C:

mx′′ + Cx′ + kx = 0

donde C ≥ 0, k > 0.

Ejemplo 2.7. Consideremos el sistemay′1 = −y1 − y2 + y2

2

y′2 = y1 − y2 + y31 cos y2.

De nuevo, si trabajamos en D ≡ R2, el sistema satisface las condiciones (1.13). Veamos que esposible aplicar el tercer apartado del Teorema de Liapunov (Teorema 2.2.1 (c)) para la funcion

V (y) =1

2

(y2

1 + y22

), ∀y ∈ R2.

Claramente V es una funcion definida positiva en cualquier bola Bρ (ρ > 0). De hecho, V satisfacela primera parte de las hipotesis (2.1) para c1 = c2 = 1/2.

Calculemos la derivada de V respecto del sistema considerado, V , en RN :

V (y) = y1

(−y1 − y2 + y2

2

)+ y2

(y1 − y2 + y3

1 cos y2

)= −

(y2

1 + y22

)+G(y)

= −(y2

1 + y22

)(1− G(y)

y21 + y2

2

), ∀y ∈ RN , y 6= 0,

donde G(y) = y1y22 + y3

1y2 cos y2. Es facil comprobar que la funcion G satisface

lım|y|→0

G(y)

y21 + y2

2

= 0,

de donde deducimos la existencia de ρ > 0 tal que

−1

2≤ G(y)

y21 + y2

2

≤ 1

2, ∀y ∈ Bρ.



Volviendo a la expresion de V , de la desigualdad anterior deducimos

V (y) = −(y2

1 + y22

)(1− G(y)

y21 + y2

2

)≤ −1

2

(y2

1 + y22

), ∀y ∈ Bρ.

Esta ultima desigualdad prueba la segunda condicion en (2.1). Por tanto, aplicando el Teore-ma 2.2.1 (c) obtenemos que la solucion nula ϕ0 del sistema considerado es exponencialmenteasintoticamente estable.

Al igual que en el Ejemplo 2.5, podemos llegar a la misma propiedad de ϕ0 aplicando el Teore-ma 1.6.1 (pruebese como ejercicio).

Ejemplo 2.8. Consideremos el sistemay′1 = −y1 − αy2 − y2

1 sen y2

y′2 = βy1 − y2 + y2y1,

con α, β > 0 dos constantes positivas. De nuevo podemos trabajar en D ≡ R2 y claramente elsistema satisface las condiciones (1.13). Ahora aplicaremos el Teorema 2.2.1 para una funcion Vligeramente distinta a la considerada en el Ejemplo 2.7:

V (y) =1

2

(ay2

1 + by22

), ∀y ∈ R2,

donde a y b son dos constantes positivas que elegiremos convenientemente. Observese en primerlugar que V es una funcion definida positiva en Bρ para cualquier ρ > 0. De hecho, si llamamosC1 = mına, b y C2 = maxa, b, se tiene que

C1

2|y|2 ≤ V (y) ≤ C2

2|y|2, ∀y ∈ RN .

Tenemos por tanto la primera parte de (2.1).

Calculemos la derivada de V respecto del sistema:

V (y) = ay1

(−y1 − αy2 − y2

1 sen y2

)+ by2 (βy1 − y2 + y2y1)

= −ay21 − by2

2 + (bβ − aα)y1y2 +G(y),

donde G(y) = by1y22 − ay3

1 sen y2.

De nuevo, nuestro objetivo sera elegir ρ > 0 y constantes positivas a y b para que V satisfagala ultima hipotesis de (2.1). En primer lugar, tomamos a y b tal que bβ − aα = 0, p.e., a = β yb = α. Con esta eleccion tenemos

V (y) =1

2

(βy2

1 + αy22

), ∀y ∈ R2,

y

V (y) = −βy21 − αy2

2 +G(y) = −(βy2

1 + αy22

)(1− G(y)

βy21 + αy2

2

), ∀y ∈ R2.

Como en el ejemplo anterior podemos escribir

lım|y|→0

G(y)

βy21 + αy2

2

= 0,



y de nuevo, existe ρ > 0 tal que ∣∣∣∣ G(y)

βy21 + αy2

2

∣∣∣∣ ≤ 1

2, ∀y ∈ Bρ.

Volviendo a la expresion de V , se tiene

V (y) ≤ −1

2

(βy2

1 + αy22

)≤ −1

2mınα, β

(y2

1 + y22

), ∀y ∈ Bρ.

Tenemos ası probada la ultima parte de la hipotesis (2.1). De la aplicacion del Teorema 2.2.1 (c)inferimos que la solucion nula ϕ0 del sistema considerado es exponencialmente asintoticamenteestable.

Como en ejemplos anteriores, podemos llegar a la misma propiedad de ϕ0 aplicando el Teore-ma 1.6.1 (ejercicio).

2.3. Una condicion suficiente de inestabilidad. Teorema de Tche-taev

En esta seccion estudiaremos el Teorema de Tchetaev. Este resultado da una condicion suficienteque permite establecer la inestabilidad de la solucion nula ϕ0 de (1.12). Se tiene:

Teorema 2.3.1. Supongamos que existen ρ > 0 y V ∈ C1(Bρ) tales que Bρ ⊆ D y

(a) V (0) = 0,

(b) V es definida positiva en Bρ,

(c) Para cualquier σ ∈ (0, ρ) existe yσ ∈ Bσ tal que V (yσ) > 0.

Entonces, la solucion nula ϕ0 de (1.12) es inestable.

Prueba: Razonaremos por contradiccion. Supongamos que el equilibrio ϕ0 de (1.12) es estable. Enparticular, si tomamos ε = ρ/2 > 0, existe δ = δ(ρ/2) ∈ (0, ρ) tal que si |y0| ≤ δ se tiene

I(0, y0) ⊃ [0,∞) y |ϕ(t; 0, y0)| ≤ ρ

2, ∀t ≥ 0.

Si utilizamos la condicion (c) con σ = δ deducimos la existencia de yδ ∈ Bδ tal que V (yδ) > 0 .

A partir de ahora y para llegar a una contradiccion, trabajaremos con yδ. De la propiedad anterior,podemos definir

E(t) = V (ϕ(t; 0, yδ)), ∀t ∈ [0,∞),

funcion que esta bien definida en [0,∞) y satisface E ∈ C1([0,∞)).

Utilizando la condicion (b), tenemos que V es definida positiva en Bρ. Como en ocasionesanteriores, es facil comprobar

E′(t) = V (ϕ(t; 0, yδ)) ≥ 0, ∀t ≥ 0.

Ası, la funcion E(·) es creciente en [0,∞), es decir

(2.12) V (ϕ(t; 0, yδ)) = E(t) ≥ E(0) = V (yδ) > 0, ∀t ≥ 0.


38 2.3. Una condicion suficiente de inestabilidad. Teorema de Tchetaev

Utilizamos ahora que V ∈ C0(Bρ) y que V (0) = 0. Dado V (yδ) > 0, existe α ∈ (0, ρ) tal que

V (y) ≤ 1

2V (yδ), ∀|y| ≤ α.

Si comparamos esta ultima desigualdad con (2.12), deducimos

|ϕ(t; 0, yδ)| > α > 0, ∀t ≥ 0.

Volviendo a la expresion de E′, tenemos

E′(t) = V (ϕ(t; 0, yδ)) ≥ mınα≤|y|≤ρ

V (y) = a(α) > 0, ∀t ≥ 0.

Integrando esta ultima expresion entre 0 y t llegamos a E(t)−E(0) ≥ a(α)t, para cualquier t ≥ 0,es decir,

V (ϕ(t; 0, yδ)) ≥ V (yδ) + a(α)t, ∀t ≥ 0.

Observese que esta ultima desigualdad dice que la funcion V (ϕ(t; 0, yδ)) no esta acotada en [0,∞).Pero esto es absurdo, pues si hacemos M = max

y∈Bρ/2V (y), se tiene

0 ≤ V (yδ) + a(α)t ≤ V (ϕ(t; 0, yδ)) ≤M, ∀t ≥ 0.

Por tanto la solucion ϕ0 de (1.12) no puede ser estable. Tenemos ası la prueba del resultado.Veamos algun ejemplo de aplicacion del Teorema de Tchetaev.

Ejemplo 2.9. Comencemos viendo que la solucion estacionaria ϕ1(t) = π, t ∈ R, del pendulo(ver (2.7)) es inestable. En primer lugar, hagamos el cambio de variable z = x − ϕ1(t) = x − πen (2.7), obteniendo la e.d.o.

z′′ − k sen z = 0 (con k > 0).

Nuestro objetivo sera probar que la solucion nula de esta ecuacion es inestable. Para ello aplicaremosel Teorema 2.3.1. Podemos escribir la ecuacion en forma de sistema como

y′1 = y2,

y′2 = k sen y1 = ky1 + k (−y1 + sen y1) .

Para aplicar el Teorema de Tchetaev, trabajemos con la funcion

V (y1, y2) =1

2

(αy2

1 + βy22

)+ γy1y2,

con α, β, γ ∈ R tres constantes a determinar. Veamos que es posible elegir las constantes para queV satisfaga los puntos (a), (b) y (c) del Teorema 2.3.1. Evidentemente V ∈ C1(R2) y satisface lahipotesis (a). Veamos que tambien se tiene (b). Comencemos calculando V :

V (y1, y2) = γky21 + (α+ βk) y1y2 + γy2

2 + k (−y1 + sen y1) (γy1 + βy2) .

Elijamos, por ejemplo, α = k, β = −1 y γ = 1. Con esta eleccion obtenemos

V (y1, y2) = ky21 + y2

2 + k (−y1 + sen y1) (y1 − y2) =(ky2

1 + y22

)[1 +G(y1, y2)] ,

donde G es la funcion

G(y1, y2) =k (−y1 + sen y1) (y1 − y2)

ky21 + y2

2

,



funcion que claramente satisface lım|y|→0G(y1, y2) = 0. Recordemos que nuestro objetivo es com-probar el apartado (b) del Teorema 2.3.1. Ası, tomando ε = 1/2, existe ρ > 0 tal que

−1

2≤ G(y1, y2) ≤ 1

2, ∀(y1, y2) ∈ Bρ.

Volviendo a la expresion de V obtenemos

V (y1, y2) ≥ 1

2

(ky2

1 + y22

), ∀(y1, y2) ∈ Bρ,

y por tanto, V es definida positiva en Bρ. Tenemos ası el apartado (b) del Teorema 2.3.1.Finalmente, se tiene V (y1, 0) = k

2y21, de donde es facil deducir que V satisface tambien el

apartado (c) del Teorema de Tchetaev.Podemos concluir que la solucion estacionaria ϕ ≡ π de la e.d.o. (2.7) es inestable.

Ejercicio 2.2. Demuestrese que la solucion estacionaria ϕ1(t) = π, t ∈ R, del pendulo con roza-miento

x′′ + βx′ + k senx = 0,

donde k, β > 0 son dos parametros positivos, es inestable.

Terminemos el capıtulo con otro ejemplo de aplicacion del Teorema 2.3.1.

Ejemplo 2.10. Consideramos el sistema planoy′1 = −y1

y′2 = y2 + y22.

Se puede comprobar que el sistema satisface las condiciones (1.13), con D ≡ R2, y que ϕ0 ≡ 0es solucion en R del sistema. Estudiemos sus propiedades de estabilidad. En este caso, nuestroobjetivo va a ser aplicar el Teorema de Tchetaev para probar que ϕ0 es inestable. Consideremos

V (y1, y2) =1

2

(−y2

1 + y22

),

que claramente satisface V ∈ C1(R2) y V (0) = 0. Comprobemos el resto de condiciones de Teore-ma 2.3.1:

V (y1, y2) = y21 + y2

2 + y32 =

(y2

1 + y22

) [1 +

y32

y21 + y2

2

]=(y2

1 + y22

)[1 +G(y1, y2)] .

Se tiene lım|y|→0 |G(y1, y2)| = 0 y, ası, como en ocasiones anteriores, dado ε = 1/2, existe ρ > 0 talque

−1

2≤ G(y1, y2) ≤ 1

2, ∀(y1, y2) ∈ R2.

Volviendo a la expresion de V deducimos

V (y1, y2) ≥ 1

2

(y2

1 + y22

), ∀(y1, y2) ∈ R2.

Hemos comprobado por tanto el apartado (b) del Teorema 2.3.1.Finalmente, se tiene que V (0, y2) = y2

2/2 de donde deducimos el ultimo punto del Teorema deTchetaev. Como consecuencia, se tiene que la solucion nula del sistema considerado es inestable.


40 2.4. Resultados adicionales y comentarios bibliograficos

2.4. Resultados adicionales y comentarios bibliograficos

En la redaccion de este tema hemos vuelto a seguir la referencia [14] pero tambien de maneraimportante la referencia [18]. En estos dos libros aparecen varios ejemplos de e.d.o. y s.d.o. conorigen en Fısica y otras Ciencias a los que se le pueden aplicar los resultados del tema.

Por otro lado, hemos presentado el segundo metodo de estabilidad de Liapunov en el casodel sistema autonomo (1.12). Sin embargo, no es difıcil generalizar los resultados de estabili-dad/inestabilidad vistos en este tema al caso de un sistema general como (1.9). Para el lectorinteresado, veanse por ejemplo [14] y [18].


Capıtulo 3

Orbitas de sistemas autonomos. LosTeoremas de LaSalle y dePoincare-Bendixson

En este tema seguiremos analizando las propiedades cualitativas de las soluciones del sistemaautonomo

(3.1) y′ = f(y),

con f una funcion satisfaciendo ciertas condiciones (ver mas abajo). En concreto, estamos in-teresados en analizar el comportamiento asintotico, no solo de las posibles soluciones constantes(equilibrios) del sistema, si no de cualquier solucion maximal de (3.1). Para ello introduciremos elconcepto de orbita del sistema (3.1) que pasa por el punto y0. De este analisis deduciremos uno delos resultados principales del tema: el Teorema de LaSalle. Es interesante resaltar en este tema lacomponente geometrica del mismo: como veremos, la orbita de (3.1) que pasa por el punto y0 essimplemente una curva en RN parametrizada con la variable tiempo t.

Despues del Teorema de LaSalle, estudiaremos el interesante caso de los sistemas planos. Apro-vecharemos en este caso que las orbitas del sistema son curvas planas. Podremos por tanto dar unresultado mas preciso del comportamiento asintotico de estas: el Teorema de Poincare-Bendixson.

3.1. El concepto de orbita de un sistema autonomo. Orbitas des.d.o. lineales homogeneos en el plano

Comencemos planteando el marco en el que trabajaremos en este capıtulo. Sean D ⊆ RN , unabierto conexo no vacıo, y f : D ⊆ RN −→ RN , una funcion, tal que

f ∈ C0(D;RN ) ∩ Liploc(D) ≡ Liploc(D).

Con estos datos consideramos el sistema autonomo (3.1). Observemos en primer lugar que, a dife-rencia de los capıtulos anteriores, en este tema no hemos anadido ninguna hipotesis sobre D y fque asegure que la funcion identicamente nula ϕ0 ≡ 0 sea solucion del sistema diferencial (3.1).

Como hemos dicho mas arriba, en este tema estamos interesados en llevar a cabo un estudiocualitativo de la solucion maximal ϕ(·; t0, y0) (definida en el intervalo abierto I(t0, y0)), con (t0, y0) ∈R×D.

Empecemos definiendo el concepto de orbita del sistema (3.1) que pasa por un punto y0 ∈ D:

41

42 3.1. Concepto de orbita. Orbitas de sistemas lineales planos

Definicion 3.1.1. Sea y0 ∈ D y denotemos I(y0) = I(0, y0). Se llama orbita del sistema autono-mo (3.1) asociada (o, que pasa por) y0 al conjunto γ(y0) dado por

γ(y0) = ϕ(t; 0, y0) : t ∈ I(y0) ⊂ D.

De la propia definicion deducimos que y0 ∈ γ(y0). Como hemos dicho mas arriba, γ(y0) es, engeneral, una curva en RN que pasa por el punto y0.

Observacion 3.1. Recordemos la Proposicion 1.3.7: para cualquier (t0, y0) ∈ R×D, se tiene

I(y0) = I(t0, y0)− t0 (resp., I(t0, y0) = t0 + I(y0)).

ϕ(t; 0, y0) = ϕ(t+ t0; t0, y0), para cualquier t ∈ I(y0) (resp., ϕ(t; t0, y0) = ϕ(t− t0; 0, y0), paracualquier t ∈ I(t0, y0)).

Ası, si y0 ∈ D, se tiene

γ(y0) = ϕ(t; 0, y0) : t ∈ I(y0) = ϕ(t+ t0; t0, y0) : t ∈ I(t0, y0)− t0= ϕ(s; t0, y0) : s ∈ I(t0, y0) = ϕ(t; t0, y0) : t ∈ I(t0, y0).

Tenemos de este modo una definicion equivalente de orbita del sistema autonomo (3.1) asociadaa y0 y, como se puede observar, esta definicion no depende del tiempo inicial t0 donde hayamosplanteado el problema de Cauchy asociado al sistema (3.1).

Definicion 3.1.2. Sea y0 ∈ D. Se dice que y0 es un punto crıtico o punto estacionario para elsistema (3.1) si se tiene f(y0) = 0.

Observacion 3.2. Sea y0 ∈ D. Es facil comprobar que y0 es un punto crıtico para el sistema (3.1)si y solo si se tiene que ϕ(t; 0, y0) = y0 para cualquier t ∈ I(y0) ≡ R. Dicho de otro modo, es unpunto crıtico para el sistema (3.1) si y solo si

γ(y0) = y0.

Ejemplo 3.1. Consideremos el sistema

(3.2)

y′1 = y2 + y1(1− y2

1 − y22),

y′2 = −y1 + y2(1− y21 − y2

2).

Para este sistema seremos capaces de hacer el calculo explıcito de la solucion maximal en funciondel dato inicial y, por tanto, el calculo de las orbitas asociadas. Observese que si llamamos f a lafuncion vectorial que proporciona el sistema, se tiene que f ∈ C∞(D;R2), con D ≡ R2. Estamospor tanto en las condiciones del sistema (3.1).

Comencemos calculando los puntos crıticos de este sistema. Para ello, multiplicamos la primeraecuacion por y2, la segunda por −y1 y sumamos. Obtenemos,

y21 + y2

2 = 0.

De aquı deducimos que el unico posible punto crıtico es (0, 0). Evidentemente, f(0, 0) = 0. Ası, elunico punto crıtico del sistema es (0, 0) y,

γ(0, 0) = (0, 0).


Tema 3. Orbitas sistemas autonomos. Teoremas de LaSalle y Poincare-Bendixson 43

Para resolver el sistema (3.2) realizaremos un cambio a coordenadas polares:y1 = ρ cos θ,y2 = ρ sen θ,

es decir,

ρ =√y2

1 + y22 = |y| y θ = arctan (y2/y1) .

De aquı, ρ′ =

1

2

y1y′1 + y2y

′2

y21 + y2

2

=(y2

1 + y22

)−1/2 (1− y2

1 − y22

)= ρ(1− ρ2);

θ′ =1

1 + y22/y

21

y′2y1 − y′1y2

y21

= −1.

Fijado y0 ∈ RN \ 0, el problema de Cauchy para el sistema (3.2) con dato inicial y(0) = y0

equivale a ρ′ = ρ(1− ρ2), ρ(0) = ρ0,

θ′ = −1, θ(0) = θ0,

con (ρ0, θ0) las coordenadas polares de y0 (en particular, ρ0 = |y0| ∈ (0,∞)). Es facil resolver elanterior problema de Cauchy, obteniendo la siguiente solucion maximal:

(3.3)

ρ(t; 0, ρ0, θ0) =

ρ0√ρ2

0 +(1− ρ2

0

)e−2t

,

θ(t; 0, ρ0, θ0) = −t+ θ0,

con t ∈ I(ρ0, θ0), donde:

I(ρ0, θ0) =

R, si ρ0 ∈ (0, 1],

(T (ρ0),∞) , si ρ0 ∈ (1,∞) con T (ρ0) = 12 ln

(1− 1/ρ2

0

).

Con estos datos, podemos deducir:

1. Si |y0| = 1, es decir, si ρ0 = 1, entonces ρ(t; 0, ρ0, θ0) = 1 para cualquier t ∈ I(ρ0, θ0) ≡ R.De esta forma, es facil comprobar que la orbita que pasa por y0 esta dada por γ(y0) = S1,siendo S1 la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1. Ademas, esta circunferencia se recorreen sentido negativo (sentido de las agujas del reloj). Vease Figura ??.

2. Si 0 < |y0| < 1, entonces es facil comprobar que ρ(t; 0, ρ0, θ0) ∈ (0, 1), para cualquier t ∈I(ρ0, θ0) ≡ R. En particular, ρ′ = ρ(1 − ρ2) > 0 y la funcion ρ(t; 0, ρ0, θ0) es estrictamentecreciente en R. De hecho, se tiene que lımt→−∞ ρ(t; 0, ρ0, θ0) = 0 y lımt→∞ ρ(t; 0, ρ0, θ0) = 1.En este caso se tiene que γ(y0) es una espiral en la bola unidad que viene del origen decoordenadas y que se va acercando a S1 (frontera de la bola). De nuevo esta espiral se recorreen el sentido de las agujas del reloj.

3. Si |y0| > 1, entonces se tiene que ρ(t; 0, ρ0, θ0) ∈ (1,∞), para cualquier t ∈ I(ρ0, θ0) ≡(T (ρ0),∞). En este caso, ρ′ = ρ(1 − ρ2) < 0 y la funcion ρ(t; 0, ρ0, θ0) es estrictamentedecreciente en (T (ρ0),∞). Igual que en el caso anterior, se tiene lımt→T (ρ0)− ρ(t; 0, ρ0, θ0) =∞y lımt→∞ ρ(t; 0, ρ0, θ0) = 1. Ası, de nuevo γ(y0) es una espiral (esta vez en el exterior de labola unidad) que viene desde el infinito y que se acerca hacia S1. Como en los casos anteriores,la espiral se recorre en el sentido de las agujas del reloj.


44 3.2. Orbitas cıclicas y conjuntos lımite. Propiedades

3.2. Orbitas cıclicas y conjuntos lımite. Propiedades

En esta seccion introduciremos los conceptos de orbita cıclica y conjunto lımite para el sistemaautonomo (3.1). Tambien estudiaremos las principales propiedades de estos conjuntos. Comen-cemos recordando la Proposicion 1.3.7 que establece una importante propiedad de los sistemasautonomos:

Proposicion 3.2.1. Consideremos el sistema autonomo (3.1) con f ∈ Liploc(D). Para t0 ∈ R ey0 ∈ D, sea ϕ(·; t0, y0) la solucion maximal del problema de Cauchy asociado a (3.1). Entonces,

1. I(t0, y0) = t0 + I(0, y0) ≡ t0 + I(y0).

2. ϕ(t; t0, y0) = ϕ(t− t0; 0, y0), para cualquier t ∈ I(t0, y0).

A diferencia del anterior, la siguiente proposicion establece un resultado que es valido paracualquier s.d.o., sea autonomo o no:

Proposicion 3.2.2. Consideremos el sistema autonomo (3.1) con f ∈ Liploc(D). Sean t0 ∈ R ey0 ∈ D. Entonces, si t1 ∈ I(t0, y0) e y1 = ϕ(t1; t0, y0), se tiene I(t0, y0) = I(t1, y1) y

ϕ(t; t0, y0) = ϕ(t; t1, y1), ∀t ∈ I(t0, y0).

Prueba: Obtendremos la prueba como consecuencia de la unicidad del Problema de Cauchyasociado al sistema (3.1). Efectivamente, consideremos en primer lugar el problema de valoresiniciales:

(PC)1

y′ = f(y),

y(t1) = y1.

Es claro que (I(t1, y1), ϕ(·, ; t1, y1)) es la solucion maximal de (PC)1. Tambien, de las hipotesisdel enunciado deducimos que (I(t0, y0), ϕ(·, ; t0, y0)) es una solucion local del mismo problema. Delresultado de unicidad de solucion (Teorema 1.1.2) deducimos que I(t1, y1) ⊇ I(t0, y0) y

ϕ(t; t0, y0) = ϕ(t; t1, y1), ∀t ∈ I(t0, y0).

En particular, t0 ∈ I(t1, y1) y ϕ(t0; t0, y0) = ϕ(t0; t1, y1) = y0. Repitiendo el mismo razonamientocon el problema de Cauchy,

(PC)0

y′ = f(y),

y(t0) = y0.

obtenemos I(t0, y0) ⊇ I(t1, y1). Esto finaliza la prueba.

A lo largo del presente tema utilizaremos ambos resultados de manera esencial. Como primeraconsecuencia obtenemos el

Corolario 3.2.3. En las condiciones de la Proposicion 3.2.1, sean t0 ∈ R, y0 ∈ D, t1 ∈ I(y0) ey1 = ϕ(t1; 0, y0). Entonces, I(y0) = t1 + I(y1) y

ϕ(t; 0, y1) = ϕ(t+ t1; 0, y0), ∀t ∈ I(y1);

(equivalentemente, ϕ(t; 0, y0) = ϕ(t− t1; 0, y1) para cualquier t ∈ I(y0)).



Prueba: Deduciremos el resultado como consecuencia de las dos proposiciones anteriores. Efecti-vamente, en las condiciones del enunciado y como consecuencia de la Proposicion 3.2.2 deducimos

I(t1, y1) = I(0, y0) ≡ I(y0) y ϕ(t; t1, y1) = ϕ(t; 0, y0), ∀t ∈ I(t1, y1).

Por otro lado, aplicando la Proposicion 3.2.1, tambien obtenemos

I(t1, y1) = t1 + I(0, y1) ≡ t1 + I(y1) y ϕ(t; t1, y1) = ϕ(t− t1; 0, y1), ∀t ∈ I(t1, y1).

La combinacion de ambas propiedades proporciona la prueba.

Establezcamos ahora una serie de propiedades del conjunto γ(y0). En estas propiedades utili-zaremos de manera esencial las Proposiciones 3.2.1 y 3.2.2 y, principalmente, su consecuencia, elCorolario 3.2.3. Comencemos con la primera propiedad:

Proposicion 3.2.4. Sean y0, y1 ∈ D. Entonces:

1. y1 ∈ γ(y0) si y solo si γ(y1) = γ(y0).

2. γ(y0) ∩ γ(y1) 6= ∅ si y solo si γ(y1) = γ(y0).

Prueba: El resultado es una consecuencia directa del Corolario 3.2.3. Comencemos probando elprimer apartado del enunciado.

La implicacion hacia la izquierda es evidente. Probemos la implicacion hacia la derecha. Sea,por tanto, y1 ∈ γ(y0), es decir, y1 = ϕ(t1; 0, y0) con t1 ∈ I(y0). Del Corolario 3.2.3 podemos escribir:

γ(y1) = ϕ(t; 0, y1) : t ∈ I(y1) = ϕ(t+ t1; 0, y0) : t ∈ I(y0)− t1= ϕ(s; 0, y0) : s ∈ I(y0) ≡ γ(y0).

Tenemos ası la prueba del primer apartado.Para el segundo apartado, basta probar que γ(y0) ∩ γ(y1) 6= ∅ implica γ(y0) = γ(y1) ya que

la implicacion contraria es evidente. Supongamos por tanto que existe y2 ∈ γ(y0) ∩ γ(y1). Por elprimer apartado, tenemos que y2 ∈ γ(y0) e y2 ∈ γ(y1) implican

γ(y2) = γ(y0), γ(y2) = γ(y1)

y por tanto γ(y0) = γ(y1).

Es interesante resaltar que de la Proposicion 3.2.4 se puede deducir una interesante propiedadde las orbitas del sistema autonomo (3.1): Dos orbitas distintas de (3.1) nunca se cortan.

Siguiendo con las definiciones, presentamos ahora la definicion de semiorbita positiva y negativadel sistema (3.1) que pasa por y0. Dice ası:

Definicion 3.2.5. Dado y0 ∈ D, definimos la semiorbita positiva (resp., semiorbita negativa) delsistema (3.1) asociada a y0 al conjunto γ+(y0) (resp., al conjunto γ−(y0)) dado por:

γ+(y0) = ϕ(t; 0, y0) : t ∈ I(y0), t ≥ 0,

(resp., γ−(y0) = ϕ(t; 0, y0) : t ∈ I(y0), t ≤ 0.

Como consecuencia del Corolario 3.2.3 se puede facilmente deducir la propiedad:

Proposicion 3.2.6. Sea y0 ∈ D y consideremos y1 = ϕ(t1; 0, y0) ∈ γ(y0), con t1 ∈ I(y0). Entonces,



1. Si t1 ≥ 0, entonces γ+(y0) = γ+(y1) ∪ ϕ(t; 0, y0) : t ∈ [0, t1].

2. Si t1 ≤ 0, entonces γ+(y1) = γ+(y0) ∪ ϕ(t; 0, y0) : t ∈ [t1, 0].

Ejercicio 3.1. Pruebese la Proposicion 3.2.6.

Introduzcamos ahora el concepto de orbita cıclica:

Definicion 3.2.7. Sea y0 ∈ D. Se dice que la orbita γ(y0) de (3.1) es cıclica o cerrada si I(y0) = Ry existe T > 0 tal que se tiene

ϕ(t+ T ; 0, y0) = ϕ(t; 0, y0), ∀t ∈ R.

En este caso se dice que T es un periodo de la orbita.

Observacion 3.3. 1. Las orbitas cıclicas corresponden a las soluciones periodicas del sistemaautonomo (3.1). Como primer ejemplo trivial esta el caso de los puntos crıticos del sistema:Si y0 ∈ D es un punto crıtico de (3.1), entonces, ϕ(t; 0, y0) = y0 para cualquier t ∈ R ≡ I(y0).Se tiene entonces que γ(y0) = y0 y, evidentemente, γ(y0) es cıclica con periodo T > 0arbitrario. A partir de este momento, utilizaremos el termino orbita cıclica degeneradapara designar las orbitas cıclicas que se reducen a un punto (punto crıtico de (3.1)).

Por otro lado, en el Ejemplo 3.1 vimos que si y0 ∈ C = y ∈ R2 : |y| = 1, entonces, teniendoen cuenta la expresion de ϕ(t; 0, y0) y de I(y0), deducimos que la orbita γ(y0) = C y queγ(y0) es cıclica de periodo T = 2π.

2. Si para y0 ∈ D la orbita γ(y0) es cıclica, entonces se tiene γ(y0) = γ+(y0) = γ−(y0). Ademas,si y1 ∈ γ(y0) se tiene γ+(y0) = γ+(y1). Veremos un poco mas abajo que las implicacionescontrarias tambien son ciertas.

Ejercicio 3.2. Compruebese el apartado 2 de la Observacion 3.3.

Respecto de las orbitas cıclicas del sistema (3.1), se tiene:

Proposicion 3.2.8. Sea y0 ∈ D y consideremos el s.d.o. (3.1). Supongamos que la orbita γ(y0) secorta a sı misma, es decir, existen t1, t2 ∈ I(y0), con t1 6= t2, tales que

ϕ(t1; 0, y0) = ϕ(t2; 0, y0).

Entonces, γ(y0) es cıclica y T = |t2 − t1| es un periodo asociado.

Prueba: Para la prueba utilizaremos (como en ocasiones anteriores) el Corolario 3.2.3. De manerageneral, si t1, t2 ∈ I(y0) y llamamos y1 = ϕ(t1; 0, y0) e y2 = ϕ(t2; 0, y0), se tiene:

I(y0) = t1 + I(y1) e I(y0) = t2 + I(y2);

ϕ(t; 0, y0) = ϕ(t− t1; 0, y1) y ϕ(t; 0, y0) = ϕ(t− t2; 0, y2), para cualquier t ∈ I(y0).

Probemos por tanto el resultado. Sean t1, t2 ∈ I(y0) tal que t1 6= t2 y ϕ(t1; 0, y0) = ϕ(t2; 0, y0).Por simplicidad, podemos suponer que t2 > t1. Con la notacion,

y1 = ϕ(t1; 0, y0) = ϕ(t2; 0, y0) = y2,

del primer punto obtenemos

I(y0) = t1 + I(y1) = t2 + I(y2) = t2 + I(y1),



es decir, t1 + I(y1) ≡ t2 + I(y1). Al ser t2 6= t1, deducimos que I(y1) = R y, ası, I(y0) ≡ R.

Sea T = t2 − t1. Utilizando el segundo punto anterior y la igualdad y1 = y2 , deducimos

ϕ(t+ T ; 0, y0) = ϕ(t+ t2 − t1; 0, y0) = ϕ(t− t1; 0, y2) ≡ ϕ(t− t1; 0, y1) = ϕ(t; 0, y0),

igualdades validas para cualquier t ∈ R. Esto prueba que la orbita γ(y0) de (3.1) es cıclica.

Como consecuencia de la anterior propiedad de orbitas cıclicas es facil comprobar la nuevapropiedad formulada en el

Ejercicio 3.3. Pruebese la propiedad: “Sea y0 ∈ D. La orbita γ(y0) del sistema (3.1) es cıclica siy solo si γ+(y0) = γ(y0) (resp., γ−(y0) = γ(y0))”.

Volvemos a las definiciones. Definimos a continuacion el concepto de conjunto invariante parael sistema (3.1):

Definicion 3.2.9. Sea Γ ⊆ D.

(a) Se dice que Γ es un conjunto invariante para el sistema autonomo (3.1) si para cualquier y0 ∈ Γse satisface γ(y0) ⊆ Γ.

(b) Se dice que Γ es un conjunto positivamente invariante (resp., negativamente invariante) parael sistema (3.1) si se tiene que γ+(y0) ⊆ Γ (resp., γ−(y0) ⊆ Γ), para cualquier y0 ∈ Γ.

De la propia definicion es facil comprobar que si Γ ⊆ D es un conjunto invariante del siste-ma (3.1), entonces, Γ es un conjunto positivamente invariante y negativamente invariante para elmismo sistema.

Como casos triviales de conjunto invariante para el sistema (3.1) tenemos:

1. Γ = D es un conjunto invariante para (3.1). Evidentemente tambien es positiva y negativa-mente invariante para el sistema.

2. Sea y0 un punto de D. Utilizando la Proposicion 3.2.4, obtenemos que la orbita γ(y0) de (3.1)es un conjunto invariante de ese sistema.

Ejemplo 3.2. Volvemos al Ejemplo 3.1. En este caso los calculos que hicimos muestran que lostres conjuntos

y0 ∈ R2 : |y0| < 1, y0 ∈ R2 : |y0| = 1, y0 ∈ R2 : |y0| > 1

son invariantes es decir, si y0 pertenece a uno de estos conjuntos, entonces toda la orbita esta con-tenida en el conjunto.

El siguiente dibujo nos muestra la orbita correspondiente a un punto y0 con |y0| < 1, un puntoy0 con |y0| = 1 y un punto y0 con |y0| > 1. En el dibujo da la impresion de que las tres trayectoriasse cortan en la circunferencia S1, lo cual nos dice la teorıa que no es cierto. Esto se debe a quecomo vemos por la expresion de ρ que aparece en (3.3) la solucion correspondiente a tomar y0 con|y0| < 1 o |y0| > 1 se acerca de forma exponencial a la circunferencia cuando t tiende a infinito, conlo cual la distancia entre ambas orbitas es tan pequena que en el dibujo parece nula.



Figura 3.1:

Observacion 3.4. Sea Γ ⊂ D. Entonces, Γ es invariante para el sistema (3.1) si y solo si se da laidentidad

Γ =⋃y0∈Γ

γ(y0).

Equivalencias analogas se tienen para conjuntos que son positiva o negativamente invariantes parael sistema.

Definicion 3.2.10. 1. Se dice que p ∈ RN es un punto lımite positivo (resp., punto lımitenegativo) asociado al sistema (3.1) y al punto y0 ∈ D si existe una sucesion tnn≥1 ⊂ I(t0)tal que

(a) lım tn = sup I(y0) (resp., lım tn = ınf I(y0)) y

(b) lımϕ(tn; 0, y0) = p.

2. Dado y0 ∈ D, se denomina conjunto lımite positivo (resp., conjunto lımite negativo) asociadoal sistema (3.1) y al punto y0 al conjunto

Λ+(y0) = p ∈ RN : p es un punto lımite positivo asociado a (3.1) y a y0,

(resp., Λ−(y0) = p ∈ RN : p es un punto lımite negativo asociado a (3.1) y a y0). Final-mente, si A ⊆ D, definimos

Λ±(A) =⋃y0∈A

Λ±(y0).

Observacion 3.5. 1. De la propia Definicion 3.2.10 deducimos que Λ+(y0) ⊆ γ(y0) ⊆ D (aun-que Λ+(y0) podrıa ser vacıo). Una propiedad analoga se tiene para Λ−(y0). En realidad sepuede escribir algo mejor:

Λ+(y0) ⊆ γ+(y0), (Λ−(y0) ⊆ γ−(y0)).

Efectivamente, si p ∈ Λ+(y0), entonces p = lımϕ(tn; 0, y0) donde la sucesion tnn≥1 ⊂ I(y0)y lım tn = sup I(y0). Evidentemente, existe n0 tal que tn ≥ 0 para cualquier n ≥ n0. Si nos



fijamos en la sucesion ϕ(tn; 0, y0)n≥n0 se tiene

ϕ(tn; 0, y0)n≥n0 ⊂ γ+(y0) y p = lımϕ(tn; 0, y0) ∈ γ+(y0).

Tenemos ası la contencion.

2. Si la orbita γ(y0) es cıclica, entonces se tiene Λ+(y0) ≡ Λ−(y0) ≡ γ(y0).

Efectivamente, probemos que Λ+(y0) ≡ γ(y0), la otra equivalencia es similar. Sea T > 0 unperiodo de la orbita.

Primero observamos que dado t ∈ R y tomando k ∈ Z tal que kT ≤ t < (k + 1)T , se tieneque

ϕ(t, 0, y0) = ϕ(t− kT, 0, y0)

donde t− kT ∈ [0, T ) ⊂ [0, T ]. Por tanto, se tiene

γ(y0) = ϕ(t, 0, y0) : t ∈ R = ϕ(t, 0, y0) : t ∈ [0, T ]

Esto muestra que γ(y0) es la imagen del intervalo [0, T ], que es un compacto, por la aplicaciont 7→ ϕ(t, 0, y0) que es continua. Como las funciones continuas transforman compactos encompactos se deduce que γ(y0) es compacto y por tanto cerrado de donde usando el primerpunto de la observacion deducimos

Λ+(y0) ⊂ γ(y0) = γ(y0).

Para probar la otra contencion, consideremos un punto y1 ∈ γ(y0), entonces y1 = ϕ(t1, 0, y0),con t1 ∈ R. Tomando tn = t1 + nT tenemos que tn converge a +∞ = sup I(y0) y, gracias a laperiodicidad, ϕ(tn, 0, y0) = ϕ(t1, 0, y0) = y1 con lo que lımn ϕ(tn, 0, y0) = y1 lo que muestraque y1 pertenece a Λ+(y0) = S1 y prueba por tanto la otra contencion.

3. En el caso del Ejemplo 3.1, se tiene que Λ+(y0) = S1 para todo y0 ∈ R2, mientras queΛ−(y0) = 0 si |y0| < 1, Λ−(y0) = S1 si |y0| = 1, Λ−(y0) = ∅ si |y0| > 1.

A continuacion demostraremos una serie de propiedades de los conjuntos lımite. Mostraremosestas propiedades en el caso de los conjuntos lımite positivo, aunque estas sigan siendo validas enel caso de los conjuntos lımite negativo.

Proposicion 3.2.11. Consideremos el sistema autonomo (3.1), con f ∈ Liploc(D), y sea y0 ∈ D.Se tiene:

1. Si y1 ∈ γ(y0), entonces, Λ+(y1) = Λ+(y0).

2. Λ+(y0) = Λ+(γ(y0)) = Λ+(γ+(y0)) = Λ+(γ−(y0)).

3. γ+(y0) = γ+(y0) ∪ Λ+(y0).

4. Λ+(y0) =⋂

y1∈γ(y0)

γ+(y1).

Prueba: Utilizaremos de manera fundamental el Corolario 3.2.3.

1. Fijemos y0 ∈ D y comencemos probando la propiedad:

Propiedad 1: “Si y1 ∈ γ(y0), entonces, Λ+(y1) ⊆ Λ+(y0)”.



Efectivamente, si y1 ∈ γ(y0), entonces y1 = ϕ(t; 0, y0) con t ∈ I(y0). Sea ahora p ∈ Λ+(y1) yveamos que p ∈ Λ+(y0). Por un lado, existe una sucesion tnn≥1 ⊂ I(y1) tal que tn → sup I(y1) yp = lımϕ(tn; 0, y1). Del Corolario 3.2.3 deducimos

I(y0) = t+ I(y1) y ϕ(t; 0, y1) = ϕ(t+ t; 0, y0), ∀t ∈ I(y1).

Ası, si tn = tn + t tenemos tn ∈ I(y0), tn → t+ sup I(y1) ≡ sup I(y0) y

p = lımϕ(tn; 0, y1) = lımϕ(tn + t; 0, y0) = lımϕ(tn; 0, y0),

Por tanto, p ∈ Λ+(y0).Utilizando la propiedad 1 es facil deducir los puntos 1 y 2 de la proposicion.

Ejercicio 3.4. Utilizando la propiedad 1, pruebense los puntos 1 y 2 de la Proposicion 3.2.11.

3. Veamos el tercer apartado de la Proposicion 3.2.11. Utilizando el primer punto de la Observa-cion 3.5 deducimos directamente la inclusion

γ+(y0) ∪ Λ+(y0) ⊆ γ+(y0).

Comprobemos la inclusion contraria. Sea p ∈ γ+(y0). Entonces, podemos escribir

p = lımϕ(tn; 0, y0),

con tnn≥1 ⊂ I(y0)∩[0,∞). Por comodidad, denotemos β = sup I(y0) y b = supn≥1 tn. Claramente,0 ≤ b ≤ β. Hay dos casos posibles:

(a) 0 ≤ b < β : En este caso, tnn≥1 ⊂ [0, b] ⊂ [0, β). Deducimos la existencia de una subsucesion

tnkk≥1 de tnn≥1 tal que lımk→∞ tnk = τ ∈ [0, b] ⊂ [0, β) ≡ I(y0) ∩ [0,∞). Ası,

ϕ(τ ; 0, y0) = lımk→∞

ϕ(tnk ; 0, y0) = lımϕ(tn; 0, y0) = p.

Por tanto, p ∈ γ+(y0).

(b) b = β : Entonces, existe una subsucesion tnkk≥1 de tnn≥1 tal que lımk→∞ tnk = β. Comoantes,

lımk→∞

ϕ(tnk ; 0, y0) = lımϕ(tn; 0, y0) = p.

Por tanto, p ∈ Λ+(y0). Tenemos la prueba del segundo punto.

4. Probemos el tercer punto del resultado. Haremos la prueba comprobando la doble contencion:

⊆ : Utilicemos los apartados 1 y 3 ya probados. Ası, si y1 ∈ γ(y0), se tiene

Λ+(y0) = Λ+(y1) ⊂ γ+(y1) ∪ Λ+(y1) = γ+(y1).

Esto prueba la primera contencion.

⊇ : De nuevo utilizamos los apartados 1 y 3 probados anteriormente. Utilizaremos el

Ejercicio 3.5. Consideremos los conjuntos Ai, B ⊆ RN , con i ∈ I. Entonces,

⋂i∈I

(Ai ∪B) =

(⋂i∈IAi

)∪B.



Observese que, del ejercicio anterior, podemos escribir

⋂y1∈γ(y0)

γ+(y1) =⋂

y1∈γ(y0)

(γ+(y1) ∪ Λ+(y1)

)=

⋂y1∈γ(y0)

(γ+(y1) ∪ Λ+(y0)

)

≡

⋂y1∈γ(y0)

γ+(y1)

∪ Λ+(y0).

Por tanto, basta probar que⋂

y1∈γ(y0)

γ+(y1) ⊆ Λ+(y0). Para ello, comprobemos la siguiente propie-

dad:

Propiedad 2: “Sea y0 ∈ D tal que⋂

y1∈γ(y0)

γ+(y1) 6= ∅. Entonces la orbita de (3.1) γ(y0) es

cıclica”.

Con la propiedad 2 en mente, ahora es facil comprobar la contencion anterior y la propiedadenunciada en el punto 4 de la proposicion.

Probemos la propiedad 2. Supongamos que p ∈⋂

y1∈γ(y0)

γ+(y1), con y0 ∈ D. En particular,

trabajando con y0, deducimos que p ∈ γ+(y0), es decir, p = ϕ(t1; 0, y0) con t1 ∈ I(y0) ∩ [0,∞).Consideremos ahora t2 ∈ I(y0) con t2 > t1 y trabajemos con y1 = ϕ(t2; 0, y0). Como p ∈ γ+(y1),tambien deducimos que, para t3 ∈ I(y1), se tiene

p = ϕ(t3; 0, y1) = ϕ(t3; 0, ϕ(t2; 0, y0)) = ϕ(t2 + t3; 0, y0) y p = ϕ(t1; 0, y0).

En la anterior cadena de igualdades hemos usado una vez mas el Corolario 3.2.3. Como conclusionobtenemos que la orbita γ(y0) se corta a sı misma en dos tiempos distintos t1 < t2 + t3. De laProposicion 3.2.8 inferimos que la orbita γ(y0) de (3.1) es cıclica. Esto concluye la prueba de lapropiedad 2 y del resultado.

Sigamos estableciendo propiedades de los conjuntos lımite Λ+(y0).

Proposicion 3.2.12. Consideremos el sistema autonomo (3.1) con f ∈ Liploc(D). Sea y0 ∈ D talque γ+(y0) ⊂ D esta acotada. Entonces:

1. Λ+(y0) ⊂ D es un compacto no vacıo.

2. lımt→sup I(y0)

dist(ϕ(t; 0, y0),Λ+(y0)

)= 0.

Prueba: Tenemos como hipotesis que γ+(y0) es un conjunto acotado. Veamos la prueba deambos puntos:

1. Comencemos probando que Λ+(y0) es un conjunto compacto (evidentemente contenido en D).Por un lado, Λ+(y0) ⊆ γ+(y0) y, por tanto, Λ+(y0) esta acotado. Por otro, utilizando la Proposi-cion 3.2.11, obtenemos

Λ+(y0) =⋂

y1∈γ(y0)

γ+(y1),

es decir, Λ+(y0) es un conjunto cerrado. Ambas propiedades implican que Λ+(y0) es un conjuntocompacto.

Comprobemos ahora que el conjunto lımite positivo Λ+(y0) es no vacıo. Para ello, fijemos unasucesion tnn≥1 ⊂ I(y0) ∩ [0,∞) tal que lım tn = β = sup I(y0). De la hipotesis sobre γ+(y0)deducimos que la sucesion de RN

ϕ(tn; 0, y0)n≥1 ⊂ γ+(y0)



esta acotada. Ası, esta sucesion admite una subsucesion ϕ(tnk ; 0, y0)k≥1 convergente, i.e., existe

lımk→∞

ϕ(tnk ; 0, y0) = p ∈ RN .

Observese que tambien lımk→∞ tnk = lım tn = β = sup I(y0). Por tanto, de la definicion de puntolımite positivo, podemos concluir que p ∈ Λ+(y0). Esto finaliza la prueba del primer punto.

2. Hagamos la prueba por reduccion al absurdo. Supongamos que, o bien no existe el

lımt→sup I(y0)

dist(ϕ(t; 0, y0),Λ+(y0)

),

o bien el lımite existe pero no es cero. En cualquiera de los dos casos, podemos asegurar que existeε0 > 0 y una sucesion de tiempos tnn≥1 ⊂ I(y0) ∩ [0,∞) tales que lım tn = β = sup I(y0) y

dist(ϕ(tn; 0, y0),Λ+(y0)

)≥ ε0 > 0.

Razonando como en el punto anterior, tambien obtenemos que existe una nueva subsucesionϕ(tnk ; 0, y0)k≥1 y p ∈ Λ+(y0) tal que lımk→∞ ϕ(tnk ; 0, y0) = p. Ası,

0 = dist(p,Λ+(y0)

)= lım

k→∞dist

(ϕ(tnk ; 0, y0),Λ+(y0)

)≥ ε0 > 0.

Obtenemos por tanto un absurdo y la prueba del segundo punto del resultado.

Finalicemos esta seccion con la siguiente

Proposicion 3.2.13. Consideremos el sistema autonomo (3.1) con f ∈ Liploc(D). Sea y0 ∈ D yK ⊂ D un compacto tal que γ+(y0) ⊆ K. Entonces,

1. sup I(y0) =∞.

2. Λ+(y0) ⊆ K es un compacto invariante no vacıo para el sistema (3.1). En particular, siΛ+(y0) = y1, entonces y1 es un punto crıtico del sistema.

Prueba: Tenemos en este caso una hipotesis sobre γ+(y0) mas fuerte que la establecida en laProposicion 3.2.12: γ+(y0) ⊆ K ⊂ D, con K un conjunto compacto. En primer lugar, aplicando laProposicion 3.2.12 deducimos que Λ+(y0) es un compacto no vacıo. Ademas Λ+(y0) ⊂ γ+(y0) ⊆ K.Veamos la prueba del resto de la proposicion:

1. Supongamos que β = sup I(y0) <∞. Entonces, la semitrayectoria derecha asociada a la solucionmaximal satisface

τ+ϕ = (t, ϕ(t; 0, y0)) : t ∈ I(y0) ∩ [0,∞) ⊆ [0, β]×K ⊂ R×D ≡ Ω,

(recordemos que Ω ≡ R × D es el dominio maximal de existencia del sistema (3.1)). Del Teo-rema 1.1.4 deducimos que (I(y0), ϕ(·; 0, y0)) es una solucion prolongable por la derecha. Esto,evidentemente, es absurdo.

2. Basta demostrar que el conjunto Λ+(y0) es invariante para el sistema (3.1). Para ello, utilizaremosel Teorema 1.1.12. Sea y1 ∈ Λ+(y0) ⊂ D y comprobemos que γ(y1) ⊂ Λ+(y0). Sea p ∈ γ(y1); nuestroobjetivo es probar que p ∈ Λ+(y0).

Observese que, como hipotesis, tenemos y1 ∈ Λ+(y0) y p ∈ γ(y1), es decir, para una sucesiontnn≥1 ⊂ I(y0) y un tiempo t∗ ∈ I(y1) se tiene

y1 = lımϕ(tn; 0, y0), lım tn = sup I(y0) =∞ y p = ϕ(t∗; 0, y1).



De la definicion del conjunto abierto Θ ⊂ RN+2 (vease la Definicion 1.1.11) y de las propiedadesanteriores, se tiene (t∗, 0, y1) ∈ Θ y

(t∗, 0, ϕ(tn; 0, y0))→ (t∗, 0, y1) ∈ Θ.

Existe entonces n0 ∈ N tal que (t∗, 0, ϕ(tn; 0, y0)) ∈ Θ para cualquier n ≥ n0, es decir,

t∗ ∈ I(ϕ(tn; 0, y0)) ≡ I(y0)− tn, ∀n ≥ n0,

(en esta ultima igualdad hemos vuelto a usar el Corolario 3.2.3). Finalmente, para n ≥ n0, podemosescribir:

p = ϕ(t∗; 0, y1) = lımϕ (t∗; 0, ϕ(tn; 0, y0)) = lımϕ(tn + t∗; 0, y0).

Como t∗ + tn ∈ I(y0) y t∗ + tn → ∞ = sup I(y0), de la propiedad anterior deducimos p ∈ Λ+(y0).Esto finaliza la prueba de este segundo punto y de la proposicion.

3.3. Principio de Invarianza: El Teorema de LaSalle. Consecuen-cias

En esta seccion estudiaremos uno de los resultados mas importantes de este capıtulo: El Princi-pio de Invarianza de LaSalle. El resultado asegura que, bajo ciertas condiciones, existen conjuntosinvariantes respecto del sistema autonomo considerado que atraen las orbitas del sistema. Como con-secuencia de este resultado completaremos el Teorema de estabilidad de Liapunov (Teorema 2.2.1)dando una nueva condicion que asegure que la solucion nula del sistema autonomo es uniformementeasintoticamente estable.

Consideremos de nuevo el sistema autonomo (3.1) con D ⊆ RN un abierto conexo no vacıo yf : D ⊆ RN −→ RN una funcion tal que f ∈ Liploc(D).

Se tiene:

Teorema 3.3.1 (Teorema de LaSalle). Consideremos el s.d.o. (3.1) con f ∈ Liploc(D). SeaK ⊂ D un compacto no vacıo y sea V ∈ C1(D) tal que V (y) ≤ 0 para cualquier y ∈ K (derivadade V respecto del sistema (3.1)). Sea y0 ∈ K tal que γ+(y0) ⊆ K. Denotemos por

E = y ∈ K : V (y) = 0,

y sea M el mayor subconjunto invariante para el sistema (3.1) de E (i.e., M es la union de todoslos subconjuntos invariantes para (3.1) contenidos en E). Entonces:

1. I(y0) ⊃ [0,∞).

2. Λ+(y0) ⊆M (y por tanto, M 6= ∅).

3. lımt→∞

dist (ϕ(t; 0, y0),M) = 0.

Prueba: Para deducir la prueba usaremos principalmente las Proposiciones 3.2.12 y 3.2.13.

De la hipotesis γ+(y0) ⊆ K, con K ⊂ D un compacto no vacıo, deducimos que la semiorbitaγ+(y0) esta acotada. Aplicando la Proposicion 3.2.12 deducimos que Λ+(y0) ⊆ K es un compactono vacıo y

(3.4) lımt→sup I(y0)

dist(ϕ(t; 0, y0),Λ+(y0)

)= 0.


54 3.3. Principio de Invarianza: El Teorema de LaSalle. Consecuencias

Por otro lado, de la Proposicion 3.2.13 tambien obtenemos que sup I(y0) =∞ (se tiene ası el primerpunto del enunciado) y que Λ+(y0) ⊆ K es un conjunto invariante para el sistema (3.1).

Supongamos que hemos probado

(3.5) Λ+(y0) ⊆ E,

entonces, al ser Λ+(y0) un conjunto invariante del sistema y de la propia definicion de M , setendra Λ+(y0) ⊆M , es decir, se tendra el punto 2 del enunciado. Finalmente, sup I(y0) =∞ y

0 ≤ dist (ϕ(t; 0, y0),M) ≤ dist(ϕ(t; 0, y0),Λ+(y0)

), ∀t ∈ I(y0) ∩ [0,∞) ≡ [0,∞).

Por tanto, tomando lımite en la desigualdad anterior y teniendo en cuenta (3.4), deducimos el tercerpunto del enunciado y la prueba del Teorema de LaSalle.

Probemos por tanto (3.5). Como en ocasiones anteriores, consideremos la funcion real de variablereal

v(t) = V (ϕ(t; 0, y0)), ∀t ∈ [0,∞).

De las hipotesis del enunciado y de las propiedades probadas anteriormente se tiene que v esta biendefinida en el intervalo [0,∞) y satisface v ∈ C1([0,∞)). Como en otras ocasiones (ver Observa-cion 2.1), se tiene

v′(t) = V (ϕ(t; 0, y0)) ≤ 0, ∀t ∈ [0,∞).

Ası, v es una funcion decreciente en el intervalo [0,∞) y podemos decir que existe

(3.6) L = lımt→∞

v(t) = lımt→∞

V (ϕ(t; 0, y0)) ∈ [−∞, v(0)] ≡ [−∞, V (y0)]

(el lımite podrıa ser −∞).Veamos que L es finito. Para ello, consideremos p ∈ Λ+(y0). De la definicion de punto lımite

positivo deducimos que p = lımϕ(tn; 0, y0) con tn ∈ [0,∞), para cualquier n ≥ 1, y lım tn = ∞ ≡sup I(y0). Si ahora tenemos en cuenta (3.6) y el Teorema fundamental del lımite, obtenemos

L = lım v(tn) = lımV (ϕ(tn; 0, y0)) = V (p) ∈ R.

En realidad, ademas de probar que L ∈ R, hemos probado que la funcion V es constante en elconjunto Λ+(y0), i.e., la propiedad

(3.7) V (p) = L, ∀p ∈ Λ+(y0).

Probemos ya la contencion (3.5), es decir, probemos que V (p) = 0 para cualquier p ∈ Λ+(y0).Utilizaremos que Λ+(y0) es un conjunto invariante para el sistema autonomo (3.1). Ası, si p ∈Λ+(y0), tenemos

ϕ(t; 0, p) ∈ Λ+(y0), ∀t ∈ I(p),

que junto a la propiedad (3.7) proporciona V (ϕ(t; 0, p)) = L, para cualquier t ∈ I(p). Sin mas quederivar respecto a t (se trata de una funcion derivable en el intervalo I(p)) y, como en ocasionesanteriores, llegamos a

V (ϕ(t; 0, p)) = 0, ∀t ∈ I(p).

Sin mas que considerar el tiempo t = 0, deducimos V (p) = 0. Eso prueba la propiedad (3.5) yfinaliza la prueba del Teorema de LaSalle.

Observacion 3.6. Es interesante resaltar que, en las condiciones del Teorema de LaSalle, el conjun-to invariante M de (3.1) solo depende del compacto K y de la funcion V . Por tanto, el conjunto Mcontiene todos los conjuntos lımite positivo de las semiorbitas positivas que satisfagan γ+(y0) ⊂ K.Ademas, este conjunto M atrae estas semiorbitas.



Veamos dos consecuencias interesantes del Teorema de LaSalle:

Corolario 3.3.2. Consideremos el s.d.o. (3.1) con f ∈ Liploc(D). Sea K ⊂ D un compacto novacıo positivamente invariante. Sea V ∈ C1(D) tal que V (y) ≤ 0 para cualquier y ∈ K. Denotemospor

E = y ∈ K : V (y) = 0,

y sea M el mayor subconjunto invariante para el sistema (3.1) de E. Entonces, para cualquiery0 ∈ K se tiene I(y0) ⊃ [0,∞) y

lımt→∞

dist (ϕ(t; 0, y0),M) = 0.

(M es un atractor del compacto K para el sistema (3.1)).

Prueba: Es una consecuencia inmediata del Teorema de LaSalle 3.3.1. Se dejan los detalles allector.

La siguiente consecuencia del Teorema 3.3.1 proporciona una mejora del segundo apartado delTeorema de Liapunov (Teorema 2.2.1). Veremos que es bastante importante desde el punto de vistade las aplicaciones. Dice ası:

Corolario 3.3.3. Consideremos el s.d.o. (3.1) con f ∈ Liploc(D). Supongamos ademas que 0 ∈ D,f(0) = 0 y existe ρ > 0 tal que Bρ ⊂ D. Supongamos tambien que existe V ∈ C1(Bρ) tal que

(a) V es definida positiva en Bρ.

(b) V (y) ≤ 0 para cualquier y ∈ Bρ.

(c) El conjunto 0 es el unico subconjunto invariante de E = y ∈ Bρ : V (y) = 0.

Entonces, la solucion nula ϕ0 del sistema (3.1) es uniformemente asintoticamente estable.

Prueba: Como aplicacion del primer apartado del Teorema 2.2.1, de las hipotesis (a) y (b) dedu-cimos que la solucion nula ϕ0 de (3.1) es uniformemente estable. Observese que nuestro objetivo esdemostrar que ϕ0 es uniformemente atractiva o, equivalentemente, ϕ0 es atractiva (el sistema (3.1)es autonomo).

De la definicion de estabilidad (ver Definicion 1.3.1) y tomando ε = ρ/2, se tiene la existenciade δ ∈ (0, ρ) tal que si |y0| ≤ δ deducimos I(0, y0) ⊂ [0,∞) y

|ϕ(t; 0, y0)| ≤ ρ

2, ∀t ∈ [0,∞).

Fijemos y0 tal que |y0| ≤ δ. Al tratarse de un sistema autonomo, basta comprobar que

lımt→∞|ϕ(t; 0, y0)| = 0.

Para ello, aplicaremos el Teorema de LaSalle al compacto K = Bρ/2. Evidentemente, γ+(y0) ⊂Bρ/2. Ası,

lımt→∞

dist (ϕ(t; 0, y0),M) = 0.

Como por hipotesis tenemos que M = 0, concluimos

0 = lımt→∞

dist (ϕ(t; 0, y0), 0) = lımt→∞|ϕ(t; 0, y0)|,

es decir, ϕ0 es atractiva. Esto finaliza la prueba.


56 3.4. El caso particular de sistemas planos. El Teorema de Poincare-Bendixson

Ejemplo 3.3. Como aplicacion del Corolario 3.3.3 consideremos la ecuacion del pendulo simplecon rozamiento

x′′ + βx′ + k senx = 0,

(k, β > 0 son dos parametros positivos), es decir,y′1 = y2,

y′2 = −βy2 − k sen y1.

y demostremos que la solucion nula es uniformemente asintoticamente estable.

Ya vimos (ver Ejemplo 2.5) que la funcion V (y1, y2) =1

2y2

2 + k(1− cos y1) es definida positiva

en Bπ. Ademas,

V (y) = (k sen y1) y2 + y2 (−βy2 − k sen y1) = −βy22 ≤ 0, ∀y ∈ Bπ.

Tenemos ası que V satisface los apartados (a) y (b) del Corolario 3.3.3 en Bπ. Comprobemos elapartado (c) de este resultado. Esta claro que (0, 0) es un punto crıtico del sistema. Por tanto(0, 0) es un subconjunto invariante respecto del sistema que esta contenido en

E = y ∈ Bπ : V (y) = 0 ≡ (y1, 0) : y1 ∈ (−π, π).

Veamos que (0, 0) es el unico subconjunto invariante del sistema en E. Para este fin, consideremosy0 = (y01, 0) ∈ E, con y01 ∈ (−π, π) \ 0, y comprobemos que γ(y0) 6⊆ E. Si usamos la notacionϕ(t; 0, y0) = (ϕ1(t), ϕ2(t)), la propiedad γ(y0) 6⊆ E equivale a probar que existe t ∈ I(y0) tal queϕ2(t) 6= 0. Comprobemoslo.

La funcion (ϕ1(t), ϕ2(t)) satisface el sistema anterior y la condicion inicial (ϕ1(0), ϕ2(0)) = y0 =(y01, 0). Ası,

ϕ′(0) = ϕ2(0) = 0,

ϕ′2(0) = −kϕ2(0)− k senϕ1(0) = −k sen y01 6= 0 (y01 ∈ (−π, π) \ 0).

Como consecuencia se tiene que la funcion real de variable real ϕ2 es estrictamente monotona enun entorno de t = 0. Como ϕ2(0) = 0 deducimos que existe t ∈ I(y0) tal que ϕ2(t) 6= 0. Se tieneası la prueba del apartado (c) del Corolario 3.3.3.

3.4. El caso particular de sistemas planos. El Teorema de Poin-care-Bendixson

En el Ejemplo 3.1, y en otros ejemplos vistos en las clases de problemas, hemos visto que elcomportamiento de las soluciones de sistemas autonomos planos es bastante “regular”: O bien laorbita se acerca a un punto crıtico o bien se acerca a una orbita cıclica. Veremos que esta situaciones tıpica de los sistemas autonomos. Ası, el objetivo de esta seccion sera clasificar los conjuntoslımite (positivo o negativo) de las orbitas de los sistemas autonomos planos. Esta clasificacion laharemos con el Teorema de Poincare-Bendixson. El principal ingrediente usado en la prueba deeste resultado, y que hace que el teorema no sea valido en dimension 3 o superior, es el Teoremade Jordan de curvas cerradas (toda curva cerrada de R2 divide el plano en dos regiones conexas).

El marco general de esta seccion es el siguiente. Seguimos considerando el sistema diferen-cial (3.1) pero ahora supondremos que se trata de un sistema plano, es decir,

f : D ⊂ R2 → R2,



con D un abierto conexo no vacıo de R2 y f ∈ C1(D;R2).Comenzaremos viendo la definicion de segmento transversal respecto a la funcion f :

Definicion 3.4.1. Se dice que el segmento compacto

L = [a, b] = y = a+ λ(b− a) : λ ∈ [0, 1] ⊂ D,

(a, b ∈ D) es transversal respecto de la funcion f si L no contiene puntos crıticos del sistema (3.1)y, para cualquier y ∈ L, el vector f(y) no es paralelo a la direccion del segmento L (es decir, elvector f(y) no es proporcional al vector b− a).

Con esta definicion podemos introducir la definicion de acercamiento en espiral de una semiorbi-ta a una orbita cıclica. Dice ası:

Definicion 3.4.2. Consideremos y0, y1 ∈ D y supongamos que γ(y1) es una orbita cıclica nodegenerada (no se reduce a un punto). Se dice que la semiorbita γ+(y0) se acerca en espiral haciaγ(y1) si para cualquier p ∈ γ(y1) y cualquier segmento transversal L respecto de f que satisfagap ∈ int (L) ∩ γ(y1), se tiene:

1. int (L) ∩ γ(y1) = p, es decir, int (L) ∩ γ(y1) es un conjunto unitario.

2. Existe una sucesion estrictamente creciente tnn≥1 ⊂ I(y0) ∩ [0,∞) tal que

L ∩ γ+(y0) = ϕ(tn; 0, y0)n≥1, lım tn = sup I(y0), p = lımϕ(tn; 0, y0)

y la sucesion ϕ(tn; 0, y0)n≥1 esta monotonamente ordenada en el segmento L, es decir, paracualquier n ≥ 2, ϕ(tn; 0, y0) esta entre ϕ(tn−1; 0, y0) y ϕ(tn+1; 0, y0).

Definicion 3.4.3. Una definicion analoga se tiene para la convergencia en espiral de γ−(y0) haciala orbita cıclica no degenerada γ(y1).

Observese que en las condiciones de la Definicion 3.4.2 se tiene Λ+(y0) = γ(y1).

Estamos ya en condiciones de enunciar el Teorema de Poincare-Bendixson. Dice ası:

Teorema 3.4.4 (Teorema de Poincare-Bendixson). Consideremos el sistema autonomo (3.1)con f ∈ C1(D) y D ⊆ R2 un abierto conexo no vacıo. Sea y0 ∈ K ⊂ D con K un compacto talque γ+(y0) ⊂ K (resp., γ−(y0) ⊂ K). Supongamos que Λ+(y0) (resp., Λ−(y0)) no contiene puntoscrıticos de (3.1). Entonces,

(i) Λ+(y0) (resp., Λ−(y0)) es una orbita cıclica no degenerada.

(ii) O bien γ(y0) es una orbita cıclica (y en ese caso γ(y0) = Λ+(y0)) (resp., γ(y0) = Λ−(y0)), obien γ+(y0) (resp., γ−(y0)) se acerca en espiral hacia Λ+(y0) (resp., Λ−(y0)), en cuyo casose dice que Λ+(y0) (resp., Λ−(y0)) es un ciclo-lımite.

Para una prueba de este resultado vease, p.e., [14].

Observacion 3.7. Observese que si consideramos un sistema autonomo en RN , en las condicionesdel Teorema de Poincare-Bendixson, si la orbita γ+(y0) esta contenida en un compacto, entoncesΛ+(y0) es un conjunto compacto no vacıo invariante para el sistema (3.1) (es decir, Λ+(y0) es launion de puntos crıticos y orbitas completas del sistema). Si el sistema es plano, entonces podemosdar mas informacion sobre Λ+(y0): Si el conjunto lımite no contiene puntos crıticos, entonces esteconjunto lımite es una orbita cıclica no degenerada del sistema.


58 3.4. El caso particular de sistemas planos. El Teorema de Poincare-Bendixson


Capıtulo 4

Complementos sobre Problemas deContorno para S.D.O. Lineales

4.1. Problemas de contorno para s.d.o. lineales. Teorema de alter-nativa

A partir de ahora supondremos que I es un intervalo compacto, es decir, I = [α, β] con α, β ∈ Ry α < β. Cambiaremos tambien la notacion utilizada hasta ahora. Utilizaremos la variable real xen lugar de la variable t.

Fijemos A ∈ C0([α, β];L(RN )) y b ∈ C0([α, β];RN ), dos funciones definidas en [α, β], B,C ∈L(RN ), dos matrices cuadradas, y h ∈ RN un vector. Con estos datos, consideremos el problema

Problema de Contorno (PCo): Hallar y ∈ C1([α, β];RN ) tal que

(4.1)

y′ = A(x)y + b(x) in [α, β],

By(α) + Cy(β) = h.

En el problema anterior estamos buscando una solucion del sistema no homogeneo (1.4) que verifiqueuna condicion adicional, la llamada condicion de contorno. Se trata de una condicion que mezclalos valores de la solucion y en los puntos de la frontera del intervalo (α y β). Como quedara puestode manifiesto mas adelante, este problema tiene un caracter completamente distinto del problemade valores iniciales (1.2).

Comencemos definiendo el concepto de solucion del problema del contorno:

Definicion 4.1.1. Se dice que ϕ es solucion del problema de contorno (4.1) en [α, β] si ϕ ∈C1([α, β];RN ) y satisface

ϕ′(x) = A(x)ϕ(x) + b(x) para todo x ∈ [α, β],

Bϕ(α) + Cϕ(β) = h.

Se suele utilizar la denominacion de problema de contorno no homogeneo en contraposicion alllamado problema de contorno homogeneo asociado a (4.1):

(4.2)

y′ = A(x)y in [α, β],

By(α) + Cy(β) = 0.

59

60 4.1. Problemas de contorno para s.d.o. lineales. Teorema de alternativa

Observese que el problema de contorno homogeneo (4.2) siempre admite como solucion la fun-cion nula ϕ ≡ 0. Como tambien veremos, este problema puede tener soluciones distintas a la funcionnula y, como consecuencia, en general este problema no tiene unicidad de solucion. Ası, sea

V0 = ϕ : ϕ ∈ C1([α, β];RN ) es solucion de (4.2) en [α, β].

Entonces, es facil comprobar

Ejercicio 4.1. Demuestrese que V0 es un subespacio vectorial de C1([α, β];RN ) (de hecho, V0 esun subespacio vectorial de W0, con W0 dado en (1.5)).

Del ejercicio anterior deducimos que dimV0 ≤ dimW0 ≡ N , pero podemos concretar algo massu dimension. Se tiene:

Proposicion 4.1.2. Sea F una matriz fundamental en [α, β] asociada al sistema (1.3). Entonces,

dimV0 = N − rango (BF (α) + CF (β)).

Prueba: Antes de comenzar la prueba, veamos que la anterior formula no depende de la m.f. aso-ciada al sistema (1.3) elegida. Efectivamente, si F1 y F2 son dos m.f. asociadas a (1.3), entonces,existe D ∈ L(RN ), una matriz no singular, tal que F1(t) = F2(t)D, para cualquier t ∈ [α, β](Proposicion 1.1.8). Ahora ya es facil comprobar la igualdad

rango (BF1(α) + CF1(β)) ≡ rango (BF2(α) + CF2(β)).

Veamos la prueba del resultado. Supongamos dada F una m.f. en [α, β] asociada a (1.3). Ası,ϕ es solucion del sistema (1.3) si y solo si ϕ(·) = F (·)a, para cierto a ∈ RN . Deducimos por tantoque ϕ ∈ V0 si y solo si ϕ(·) = F (·)a, con a ∈ RN satisfaciendo

BF (α)a+ CF (β)a = 0,

es decir,V0 = ϕ : ϕ(·) = F (·)a con a ∈ ker(BF (α) + CF (β)).

Sin mas que tener en cuenta que detF (x) 6= 0, para cualquier x ∈ [α, β] (Proposicion 1.1.9),deducimos el resultado.

Observacion 4.1. De esta proposicion deducimos dos propiedades interesantes:

1. El problema de contorno homogeneo (4.2) admite como unica solucion la solucion nula(unicidad de solucion) si y solo si

(4.3) det [BF (α) + CF (β)] 6= 0.

2. Si el problema de contorno homogeneo (4.2) admite una solucion no nula, entonces dimV0 ≥ 1y, por tanto, el problema de contorno homogeneo (4.2) tiene, en realidad, infinitas solucio-nes.

Como dijimos antes, estas dos propiedades ponen de manifiesto el distinto caracter entre un pro-blema de Cauchy y un problema de contorno para un sistema lineal.

Pasemos ya a estudiar un resultado de existencia y unicidad de solucion para el problema decontorno (4.1). Este resultado de existencia y unicidad viene dado por un llamado teorema dealternativa:


Tema 4. Problemas de Contorno para S.D.O. Lineales 61

Teorema 4.1.3. Sea F una matriz fundamental en [α, β] asociada al sistema (1.3). Se tiene,

1. El problema de contorno (4.1) admite solucion si y solo si

rango [BF (α) + CF (β)] = rango

[BF (α) + CF (β);h− CF (β)

∫ β

αF−1(s)b(s) ds

].

2. El problema de contorno (4.1) admite una unica solucion ϕb,h para cada b ∈ C0([α, β];RN )y h ∈ RN si y solo el problema de contorno homogeneo (4.2) admite como unica solucion lasolucion nula, i.e., si y solo si det(BF (α) + CF (β)) 6= 0.

3. Si el problema de contorno homogeneo (4.2) admite soluciones no nulas, entonces el proble-ma (4.1) puede tener o no tener solucion para ciertos datos b ∈ C0([α, β];RN ) y h ∈ RN ,pero si tiene una, entonces tiene infinitas.

Prueba: Supongamos dados b ∈ C0([α, β];RN ) y h ∈ RN . Obtendremos la prueba del teoremacomo consecuencia directa de la formula (1.7). De esta formula deducimos que (4.1) tiene solucionsi y solo si ϕ esta dada por (1.7), con t0 = α, con la variable t cambiada por la variable x, y dondea ∈ RN es tal que

Bϕ(α) + Cϕ(β) = h.

Sustituyendo (1.7) en la expresion anterior, deducimos: ϕ es solucion de (4.1) si y solo si ϕ esta dadapor (1.7) con a ∈ RN solucion de

(4.4) [BF (α) + CF (β)] a = h− CF (β)

∫ β

αF−1(s)b(s) ds.

En definitiva, acabamos de demostrar que el problema de contorno (4.1) equivale al sistemalineal de ecuaciones (4.4). Utilizando el Teorema de Rouche-Frobenius deducimos los tres puntosdel resultado:

1. Este punto es consecuencia directa del Teorema de Rouche-Frobenius.

2. El problema de contorno (4.1) admite una unica solucion ϕb,h para cada b ∈ C0([α, β];RN )y h ∈ RN si y solo (4.4) tiene una unica solucion, i.e., si y solo det [BF (α) + CF (β)] 6= 0 o,equivalentemente, si y solo si el problema (4.2) tiene como unica solucion la solucion nula.

3. Si dimV0 ≥ 1, entonces det [BF (α) + CF (β)] = 0. Por tanto, el sistema (4.4) puede tenersolucion o no y, en caso de tenerlas, tiene infinitas. De aquı se deduce este tercer punto.

Ejemplo 4.1. Consideremos el problema de contorno

(PCo)

y′ =

(1 0

2x 1

)y +

(0ex

)en [0, 1],(

1 01 e

)y(0) +

(2 01 −1

)y(1) = h,

con h ∈ R2 dado. Se pide encontrar los valores de h ∈ R2 para los que (PCo) posee solucion, ycalcular estas cuando h tiene la primera componente h1 nula.

Para resolver el problema (PCo) vamos a seguir la prueba del Teorema 4.1.3 pero sin aplicarlas formulas del enunciado. Empezamos calculando la solucion general del sistema no homogeneo,para pasar a calcular una solucion o soluciones que satisfagan la condicion de contorno.


62 4.2. El operador de Green. Nucleo de Green

1. Gracias a la estructura del sistema lineal no homogeneo (sistema desacoplado), es posiblecalcular directamente la solucion general de este. Efectivamente, podemos calcular en primerlugar y1 resolviendo la primera ecuacion:

y′1 = y1 ⇐⇒ y1(x) = a1ex, ∀x ∈ [0, 1].

Con esta expresion resolvemos la segunda ecuacion del sistema:

y′2 = 2x(a1ex) + y2 + ex ⇐⇒ y2(x) = a1x

2ex + a2ex + xex, ∀x ∈ [0, 1].

En resumen, hemos obtenido la expresion y = F (x)a+ϕb(x), con a ∈ R2 y donde, es facil comprobarque,

F (x) =

(ex 0x2ex ex

)y ϕb(x) =

(0xex

), ∀x ∈ [0, 1],

son, respectivamente, una matriz fundamental asociada al sistema homogeneo y una solucion par-ticular del sistema no homogeneo.

2. Como hemos dicho mas arriba, seguimos la prueba del Teorema 4.1.3, pero no aplicamos lasformulas del enunciado. Ası, ϕ(x) = F (x)a + ϕb(x) es solucion del problema (PCo) si y solo si ϕsatisface la condicion de contorno, es decir, si y solo si

(4.5)

ϕ(x) = F (x)a+ ϕb(x) con a ∈ R2 tal que[(

1 01 e

)Id+

(2 01 −1

)(e 0e e

)]a = h−

(2 01 −1

)(0e

).

En definitiva, hemos probado que ϕ es solucion del problema (PCo) si y solo siϕ(x) = F (x)a+ ϕb(x) con a ∈ R2 tal que(

2e+ 1 01 0

)a =

(h1

h2 + e

).

Evidentemente, este ultimo sistema lineal tiene matriz de coeficientes de rango 1 y por tanto podrıatener solucion o no (sistema compatible indeterminado o sistema incompatible). Del Teorema 4.1.3deducimos que el problema de contorno (PCo) tiene solucion si y solo si

rango

(2e+ 1 0 h1

1 0 h2 + e

)= 1 ⇐⇒

∣∣∣∣ 2e+ 1 h1

1 h2 + e

∣∣∣∣ = 0,

es decir, si y solo si h1 = (2e + 1)(h2 + e). En este caso, la solucion no es unica (existen infinitassoluciones).

Nos piden el calculo de las soluciones para h1 = 0. De la condicion anterior, deducimos queh2 = −e. Para determinar las soluciones volvemos a (4.5) con h1 = 0 y h2 = −e. Las solucionesson:

ϕ(x) =

(0

a2ex + xex

), ∀x ∈ [0, 1].

4.2. El operador de Green. Nucleo de Green

En esta seccion estudiaremos los llamados operador de Green y el nucleo de Green asociadosal problema de contorno para un sistema diferencial lineal. Para ello, seguiremos las notaciones



del apartado anterior y consideraremos A ∈ C0([α, β];L(RN )) y b ∈ C0([α, β];RN ), dos funcionesdefinidas en [α, β], y B,C ∈ L(RN ), dos matrices cuadradas. Supondremos ademas la hipotesis

Hipotesis (H1): El problema de contorno homogeneo (4.2) tiene una unica solucion, la solucionnula.

Dada F ∈ C1([α, β];L(RN )) una matriz fundamental asociada al sistema (1.3), sabemos queesta hipotesis es equivalente a la condicion (4.3) y asegura que, fijados b ∈ C0([α, β];RN ) y h ∈ RN ,el problema de contorno (4.1) tiene una unica solucion ϕb,h ∈ C1([α, β];RN ).

Planteamos ahora un nuevo problema de contorno. Dado b ∈ C0([α, β];RN ), consideramos elproblema de contorno

(4.6)

y′ = A(x)y + b(x) in [α, β],

By(α) + Cy(β) = 0.

Gracias a la hipotesis (H1), podemos concluir que este problema tiene una unica solucion ϕb ∈C1([α, β];RN ).

Consideremos el conjunto

X := ϕ : ϕ ∈ C1([α, β];RN ) y Bϕ(α) + Cϕ(β) = 0.

Ejercicio 4.2. Consideremos la norma

‖ϕ‖1 := maxx∈[α,β]

|ϕ(x)|+ maxx∈[α,β]

|ϕ′(x)|, ∀ϕ ∈ C1([α, β];RN ).

Pruebese que X es un s.v. de C1([α, β];RN ) y que (X, ‖ · ‖1) es un espacio de Banach.

Utilizando el espacio X, esta claro que la unica solucion ϕb del problema de contorno (4.6)satisface ϕb ∈ X. Esto permite introducir la siguiente definicion:

Definicion 4.2.1. Supongamos que se satisface la hipotesis (H1). Se denomina operador de Greenasociado al problema de contorno (4.6) a la aplicacion

G : b ∈ C0([α, β];RN ) 7−→ G(b) := ϕb ∈ X,

donde ϕb es la solucion de (4.6) asociada a b.

Nuestro proximo objetivo sera dar una expresion explıcita de la solucion ϕb de (4.6) asociada ab ∈ C0([α, β];RN ) respecto de b. Para ello, introducimos el llamado nucleo de Green o funcion deGreen asociada al problema de contorno (4.6):

Definicion 4.2.2. Supongamos que se satisface la hipotesis (H1) y sea F ∈ C1([α, β];L(RN )) unamatriz fundamental asociada al sistema (1.3). Se denomina nucleo o funcion de Green asociada alproblema de contorno (4.6) a la funcion vectorial G : [α, β]× [α, β] −→ L(RN ) dada por

G(x, s) =

F (x)J(s) si α ≤ x ≤ s ≤ β,

F (x)(J(s) + F−1(s)

)si α ≤ s < x ≤ β,

donde J es la funcion matricial dada por

J(s) = − [BF (α) + CF (β)]−1CF (β)F−1(s), ∀s ∈ [α, β].


64 4.2. El operador de Green. Nucleo de Green

Ejercicio 4.3. Supongamos que se satisface la hipotesis (H1) y sea F ∈ C1([α, β];L(RN )) unamatriz fundamental asociada al sistema (1.3). Entonces J(s) esta bien definida, para cualquiers ∈ [α, β]. Ademas, la funcion G(·, ·) introducida en la Definicion 4.2.2 no depende de la matrizfundamental asociada a (1.3), F , elegida.

Se tiene:

Teorema 4.2.3. Supongamos que se satisface la hipotesis (H1) y sea F ∈ C1([α, β];L(RN ))una matriz fundamental asociada al sistema (1.3). Entonces, la unica solucion ϕb del problema decontorno (4.6) asociada a la funcion b ∈ C0([α, β];RN ), es decir, G(b) esta dada por

G(b)(x) ≡ ϕb(x) =

∫ β

αG(x, s)b(s) ds, ∀x ∈ [α, β],

donde G es la funcion introducida en la Definicion 4.2.2.

Prueba: Haremos una prueba constructiva del resultado: Resolveremos directamente el problemade contorno (4.6) y llegaremos a la expresion de G(b) que aparece en el enunciado.

Dada la matriz fundamental F asociada al sistema homogeneo (1.3) y dada la funcion b ∈C0([α, β];RN ), la solucion general del sistema no homogeneo (1.4) esta dada por (1.7), tomandot0 = α, i.e.,

ϕb(x) = F (x)a+ F (x)

∫ x

αF (s)−1b(s) ds, ∀x ∈ [α, β].

Ası, imponiendo a ϕb la condicion de contorno de (4.6) obtenemos que ϕb es solucion de (4.6) si ysolo si ϕb esta dada por la expresion anterior, con a ∈ RN tal que

[BF (α) + CF (β)] a = −CF (β)

∫ β

αF−1(s)b(s) ds.

Despejando a y teniendo en cuenta la expresion de J (ver Ejercicio 4.3), llegamos a

a =

∫ β

αJ(s)b(s) ds.

Sustituyendo en la expresion de ϕb y de la expresion de G(·, ·) (ver Definicion 4.2.2), obtenemos:

(4.7) ϕb(x) = F (x)

∫ β

αJ(s)b(s) ds+ F (x)

∫ x

αF (s)−1b(s) ds =

∫ β

αG(x, s)b(s) ds, ∀x ∈ [α, β].

Esto finaliza la prueba del resultado.

Terminamos la seccion dando un resultado para el operador de Green introducido en la Defini-cion 4.2.1. Se tiene

Teorema 4.2.4. Supongamos que se satisface la hipotesis (H1). Entonces, el operador de Green G

es un operador lineal, continuo y biyectivo entre C0([α, β];RN ) y X, i.e., G ∈ L(C0([α, β];RN );X).De hecho, tambien G−1 ∈ L(X;C0([α, β];RN )).

Prueba: En primer lugar, la hipotesis (H1) implica que el problema de contorno (4.6) tiene, paracada b ∈ C0([α, β];RN ), una unica solucion ϕb ∈ X, lo que asegura que el operador G esta biendefinido. Por otro lado, es inmediato ver que G es un operador lineal. Tambien, es facil comprobarque G es inyectivo si y solo si se satisface la hipotesis (H1).



Veamos que el operador es biyectivo. Efectivamente, dada ϕ ∈ X, la funcion bϕ definida por

bϕ(x) := ϕ′(x)−A(x)ϕ(x), ∀x ∈ [α, β],

satisface bϕ ∈ C0([α, β];RN ). Ademas, es facil ver que ϕ es (la unica) solucion del problema (4.6)para b ≡ bϕ, i.e., G(bϕ) = ϕ. Por tanto, G es sobreyectivo y G−1(ϕ) = bϕ para cualquier ϕ ∈ X.

De la expresion de bϕ, deducimos que G−1 es lineal y continuo:‖G−1(ϕ)‖0 = max

x∈[α,β]|G−1(ϕ)(x)| = max

x∈[α,β]|ϕ′(x)−A(x)ϕ(x)|

≤(

1 + maxx∈[α,β]

‖A(x)‖s)‖ϕ‖1 ∀ϕ ∈ X,

donde ‖ · ‖s denota la norma espectral de una matriz.Veamos finalmente que G es un operador continuo. Para ello, utilizaremos el nucleo de Green

G y la expresion de G(b) dada en el Teorema 4.2.3. De la expresion (4.7) obtenemos

maxx∈[α,β]

|G(b)(x)| = maxx∈[α,β]

|ϕb(x)| ≤ maxx∈[α,β]

‖F (x)‖s(∫ β

α

(‖J(s)‖s + ‖F (s)−1‖s

)ds

)‖b‖0

y

maxx∈[α,β]

|G(b)′(x)| = maxx∈[α,β]

|ϕ′b(x)| ≤[

maxx∈[α,β]

‖A(x)F (x)‖s(∫ β

α

(‖J(s)‖s + ‖F (s)−1‖s

)ds

)+ 1

]‖b‖0.

Sumando las dos desigualdades anteriores deducimos la continuidad del operador G. Esto finalizala prueba.

Observacion 4.2. Como se ha visto en la demostracion del resultado anterior, la prueba de lacontinuidad del operador G−1 es directa. Sin embargo, para la prueba de la continuidad de G hemosrecurrido a la expresion de G(b) proporcionada por el nucleo de Green. Sin embargo, la continuidadde G puede ser obtenida como consecuencia de la de G−1 sin mas que aplicar un resultado clasicode Analisis Funcional : El Teorema del inverso de Banach.

Observacion 4.3. En esta seccion y en la anterior hemos recordado y demostrado resultados deexistencia y/o unicidad de solucion del problema de valores iniciales y del problema de contornopara un s.d.o. lineal de primer orden. Recordemos que dada la e.d.o. lineal de orden n

yn) = a1(x)yn−1) + a2(x)yn−2) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y + b(x),

con ai, b ∈ C0([α, β]), 1 ≤ i ≤ n, esta puede ser reescrita como un s.d.o. lineal de primer orden yde dimension n sin mas que hacer y1 = y, y2 = y′, ..., yn = yn−1). Consideremos ahora el problemade contorno para la anterior e.d.o. de orden n:

yn) = a1(x)yn−1) + a2(x)yn−2) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y + b(x) en [α, β],n∑j=1

(c1jy

j−1)(α) + d1jyj−1)(β)

)= h1,

......

n∑j=1

(cnjy

j−1)(α) + dnjyj−1)(β)

)= hn,


66 4.3. El problema de contorno para una e.d.o. lineal de segundo orden

con ai y b como mas arriba y cij , dij ∈ R (1 ≤ i, j ≤ n) y hi ∈ R (1 ≤ i ≤ n) dados. El cambioanterior permite llevar (de manera equivalente) este problema a un problema como (4.1). De estamanera, los resultados de existencia y/o unicidad de solucion dados para el problema de valoresiniciales o problema de contorno para un s.d.o. lineal pueden ser probados para el correspondienteproblema de Cauchy o de contorno para la anterior e.d.o. de orden n.

4.3. El problema de contorno para una e.d.o. lineal de segundoorden

En esta seccion trataremos el problema de contorno para una e.d.o. lineal de segundo ordenescrita en forma autoadjunta y con condiciones de contorno separadas. Para ello, consideramos elproblema de contorno

(4.8)

(p(x)y′)′ + q(x)y = b(x) en [α, β],

c1y(α) + d1y′(α) = 0,

c2y(β) + d2y′(β) = 0,

donde b ∈ C0([α, β]) y donde supondremos que los datos p, q, ci y di, i = 1, 2, satisfacen

(4.9)

p ∈ C1([α, β]), p(x) > 0 ∀x ∈ [α, β], q ∈ C0([α, β]) y

ci, di ∈ R, c2i + d2

i 6= 0, i = 1, 2.

Recordemos que una solucion de (4.8) es cualquier funcion ϕ ∈ C2([α, β]) tal que(p(x)ϕ′(x)

)′+ q(x)ϕ(x) = b(x) ∀x ∈ [α, β],

y satisfaga las dos condiciones de contorno, es decir,

c1ϕ(α) + d1ϕ′(α) = 0 y c2ϕ(β) + d2ϕ

′(β) = 0.

Observacion 4.4. Es facil comprobar que la e.d.o. que aparece en (4.8), con p y q satisfacien-do (4.9), puede ser escrita de manera equivalente como

(4.10) y′′ = a1(x)y′ + a2(x)y + b(x)

para ciertos coeficientes a1, a2 ∈ C0([α, β]) y b = b/p ∈ C0([α, β]).Tambien el recıproco es cierto. Si consideramos la e.d.o. (4.10) con a1, a2 ∈ C0([α, β]) y b ∈

C0([α, β]), esta puede ser escrita de manera equivalente en forma autoadjunta para un nuevotermino independiente b ∈ C0([α, β]). Para ello, basta multiplicar la e.d.o. (4.10) por la funcione−A1(x), con A1 una primitiva de a1.

Ejercicio 4.4. Pruebese la segunda parte de la Observacion 4.4.

Como se comento en la Observacion 4.3 es posible aplicar el Teorema de alternativa al problemade contorno (4.8). De hecho, es facil comprobar que el problema (4.8) tiene una unica solucion paracada b ∈ C0([α, β]) si y solo si el correspondiente problema homogeneo asociado (que no es masque el problema de contorno (4.8) con b ≡ 0) tiene una unica solucion (evidentemente, la solucionnula). A partir de ahora supondremos esto ultimo:

Hipotesis (H2): El problema de contorno homogeneo asociado a (4.8) tiene una unica solucion,la solucion nula.



Siguiendo la Seccion 4.2 podemos introducir los correspondientes operador y nucleo de Greenpara el problema (4.8). En particular, el nucleo de Green asociado a (4.8) es una funcion g :[α, β]× [α, β] −→ R tal que

(4.11) ϕb(x) =

∫ β

αg(x, s)b(s) ds, ∀x ∈ [α, β],

siendo ϕb ∈ C2([α, β]) la unica solucion de (4.8) asociada a b ∈ C0([α, β]).

En el calculo del nucleo de Green asociado al problema de contorno (4.8) podrıamos seguir lasiguiente estrategia: Primero, escribimos el problema (4.8) de manera equivalente como un proble-ma de contorno para un s.d.o. de dimension 2. En segundo lugar, aplicamos el Teorema 4.2.3 ycalculamos el nucleo de Green G(·, ·) asociado. Por ultimo, deducimos la expresion de g(·, ·) a partirdel nucleo G. Sin embargo, utilizaremos la estructura particular del problema de contorno (4.8)para obtener de manera directa el nucleo de Green asociado.

En primer lugar del nos centraremos en el calculo directo del nucleo de Green

Proposicion 4.3.1. Supongamos que se satisfacen las hipotesis (4.9) y (H2). Entonces, existendos soluciones ϕ1, ϕ2 ∈ C2([α, β]) de la e.d.o homogenea (p(x)y′)′ + q(x)y = 0 en [α, β], tales que

i) c1ϕ1(α) + d1ϕ′1(α) = 0,

ii) c2ϕ2(β) + d2ϕ′2(β) = 0,

iii) p(x)(ϕ1(x)ϕ′2(x)− ϕ′1(x)ϕ2(x)) = 1 ∀x ∈ [α, β].

Prueba: Si d1 6= 0, consideramos la funcion ψ1 solucion del problema de Cauchy(p(x)ψ′1)′ + q(x)ψ1 = 0 en [α, β],

ψ1(α) = 1, ψ′1(α) = −c1/d1.

En caso contrario, i.e., si d1 = 0, consideramos al solucion ψ1 la solucion del problema de Cauchy(p(x)ψ′1)′ + q(x)ψ1 = 0 en [α, β],

ψ1(α) = 0, ψ′1(α) = 1.

En cualquier caso, hemos obtenido una solucion de la ecuacion homogenea (p(x)y′)′+ q(x)y = 0 en[α, β] que satisface el primer punto i).

Un razonamiento analogo permite obtener una funcion ψ2 solucion de la e.d.o. homogenea en[α, β] que satisface el segundo punto ii).

Comprobemos el punto iii). Recordemos en primer lugar que, dadas ψ1, ψ2 ∈ C2([α, β]), dossoluciones en [α, β] de la ecuacion (p(x)y′)′+q(x)y = 0, se denomina wronskiano asociado a ψ1, ψ2a la cantidad

W (ψ1, ψ2)(x) = det

(ψ1(x) ψ2(x)

ψ′1(x) ψ′2(x)

)

Es bien conocido que ψ1, ψ2 forma un sistema fundamental de la ecuacion (p(x)y′)′ + q(x)y = 0(es decir, una base del espacio de soluciones en [α, β] de la referida ecuacion) si y solo si

W (ψ1, ψ2)(x) 6= 0, ∀x ∈ [α, β].


68 4.3. El problema de contorno para una e.d.o. lineal de segundo orden

Probemos el punto iii). Sea x ∈ [α, β], entonces,

d

dx[p(x)W (ψ1, ψ2)(x)] =

d

dx

[p(x)

(ψ1(x)ψ′2(x)− ψ′1(x)ψ2(x)

)]=(p(x)ψ′2(x)

)′ψ1(x) + p(x)ψ′2(x)ψ′1(x)−

(p(x)ψ′1(x)

)′ψ2(x)− p(x)ψ′1(x)ψ′2(x)

= −q(x)ψ2(x)ψ1(x) + q(x)ψ1(x)ψ2(x) = 0.

Ası, existe c ∈ R tal que p(x)W (ψ1, ψ2)(x) = c para cualquier x ∈ [α, β]. Veamos que c 6= 0. Sic ≡ 0, teniendo en cuenta la hipotesis (4.9), esta ultima igualdad equivale a W (ψ1, ψ2)(x) = 0,para cualquier x ∈ [α, β]. Por tanto, ψ1, ψ2 no forma un sistema fundamental para la e.d.o., i.e.,ψ1, ψ2 es linealmente dependiente. Deducimos que existe una constante a ∈ R tal que ψ1(x) =aψ2(x) para cualquier x ∈ [α, β]. De esta manera es facil comprobar que ψ1 es una funcion no nula yes solucion del problema de contorno homogeneo asociado a (4.8). Esto contradice la hipotesis (H2).En conclusion, c 6= 0 y el conjunto ψ1, ψ2 forma un sistema fundamental de la e.d.o. homogenea(p(x)y′)′ + q(x)y = 0 en [α, β].

Basta tomar las funciones ϕ1 ≡ ψ1 y ϕ2 ≡ ψ2/c para obtener los puntos i), ii) y iii). Esto finalizala prueba.

Observacion 4.5. De la prueba anterior deducimos que las funciones construidas ϕ1, ϕ2 formanun sistema fundamental asociado a la e.d.o. homogenea (p(x)y′)′ + q(x)y = 0 en [α, β].

Teorema 4.3.2. Supongamos que se satisfacen las hipotesis (4.9) y (H2) y sean ϕ1 y ϕ2 lasfunciones construidas en la Proposicion 4.3.1. Consideremos la funcion g : [α, β] × [α, β] −→ Rdada por

g(x, s) =

ϕ1(x)ϕ2(s) si α ≤ x ≤ s ≤ β,

ϕ1(s)ϕ2(x) si α ≤ s < x ≤ β.

Entonces, la funcion g(·, ·) es un nucleo de Green asociado al problema de contorno (4.8), es decir,si b ∈ C0([α, β]), la unica solucion ϕb ∈ C2([α, β]) de (4.8) esta dada por (4.11).

Prueba: Como hemos dicho mas arriba, la hipotesis (H2) implica que el problema de contorno (4.8)tiene, para cada b ∈ C0([α, β]), una unica solucion ϕb ∈ C2([α, β]). Basta por tanto comprobar quela expresion (4.11) define la solucion de (4.8).

Evidentemente, de (4.11) deducimos

(4.12) ϕb(x) = ϕ2(x)

∫ x

αϕ1(s)b(s) ds+ ϕ1(x)

∫ β

xϕ2(s)b(s) ds ∀x ∈ [α, β].

De la regularidad de las funciones ϕ1, ϕ2 y b y de la expresion anterior obtenemos que ϕb ∈C1([α, β]). Ası, derivando (4.12), se tiene,(4.13)

ϕ′b(x) = ϕ′2(x)

∫ x

αϕ1(s)b(s) ds+ ϕ2(x)ϕ1(x)b(x) + ϕ′1(x)

∫ β

xϕ2(s)b(s) ds− ϕ1(x)ϕ2(x)b(x)

= ϕ′2(x)

∫ x

αϕ1(s)b(s) ds+ ϕ′1(x)

∫ β

xϕ2(s)b(s) ds, ∀x ∈ [α, β].

De nuevo, de la formula (4.13) y de la regularidad de las funciones implicadas en ella, deducimosque ϕb ∈ C2([α, β]).



Comprobemos ahora que ϕb satisface en [α, β] la e.d.o. de (4.8). Para ello, multipliquemos laigualdad (4.13) por p(x) y volvamos a derivar. Repitiendo las operaciones anteriores y teniendo encuenta que ϕ1 y ϕ2 son soluciones en [α, β] de la ecuacion homogenea (p(x)y′)′+ q(x)y = 0, es facildeducir(p(x)ϕ′b

)′(x) =

(p(x)ϕ′2

)′(x)

∫ x

αϕ1(s)b(s) ds+ p(x)ϕ′2(x)ϕ1(x)b(x)

+(p(x)ϕ′1

)′(x)

∫ β

xϕ2(s)b(s) ds− p(x)ϕ′1(x)ϕ2(x)b(x)

= −q(x)ϕ2(x)

∫ x

αϕ1(s)b(s) ds− q(x)ϕ1(x)

∫ β

xϕ2(s)b(s) ds+ p(x)W (ϕ1, ϕ2)(x)b(x)

= −q(x)ϕb(x) + b(x), ∀x ∈ [α, β].

En conclusion, ϕb satisface en [α, β] la e.d.o. de (4.8).Finalmente, comprobemos que ϕb satisface las condiciones de contorno de (4.8). Teniendo en

cuenta las formulas (4.12) y (4.13) y los puntos i) y ii) de la Proposicion 4.3.1, obtenemos:

c1ϕb(α) + d1ϕ′b(α) =

[c1ϕ1(α) + d1ϕ

′1(α)

] ∫ β

αϕ2(s)b(s) ds = 0,

c2ϕb(β) + d2ϕ′b(β) =

[c2ϕ2(β) + d2ϕ

′2(β)

] ∫ β

αϕ1(s)b(s) ds = 0.

Esto finaliza la prueba.

4.4. El problema de Sturm-Liouville

En esta seccion estudiaremos el llamado problema de Sturm-Liouville. Se trata de un problemade autovalores asociado a una e.d.o. lineal escrita en forma autoadjunta y con condiciones decontorno separadas. Para describirlo, consideremos el problema

(4.14)

(p(x)y′)′ + q(x)y = −λy en [α, β],

c1y(α) + d1y′(α) = 0,

c2y(β) + d2y′(β) = 0,

donde, como es habitual, α, β ∈ R, con α < β, y donde p, q, ci y di (i = 1, 2) estan dados ysatisfacen (4.9). En (4.14) λ ∈ R es un parametro a determinar.

Se tiene la siguiente

Definicion 4.4.1. Se dice que λ ∈ R es un autovalor (o valor propio) del problema de Sturm-Liouville (4.14) si existe una funcion ϕλ ∈ C2([α, β]), no identicamente nula, solucion del problemade contorno (4.14). En este caso se dice que la solucion ϕλ de (4.14) es una autofuncion (o funcionpropia) del problema de Sturm-Liouville (4.14) asociada al autovalor λ.

Por tanto, el problema de Sturm-Liouville (4.14) es un problema de autovalores asociado auna e.d.o. lineal de segundo orden escrita en forma autoadjunta. Es interesante resaltar que, paracualquier λ ∈ R, (4.14) es un problema de contorno homogeneo que, evidentemente, admite co-mo solucion la funcion nula. En el problema de autovalores planteado, nos preguntamos sobre laexistencia de soluciones no nulas.

En esta seccion no estudiaremos el problema de existencia de autovalores de (4.14). Solo veremosdos propiedades del conjunto de autofunciones asociadas a un autovalor λ ∈ R.

Comencemos por la primera propiedad. Se tiene,


70 4.4. El problema de Sturm-Liouville

Proposicion 4.4.2. Bajo las hipotesis (4.9), sea λ ∈ R un autovalor del problema de Sturm-Liouville (4.14). Consideremos el conjunto

Vλ = ϕ : ϕ ∈ C2([α, β]) es solucion de (4.14).

Entonces, Vλ es un subespacio vectorial de C2([α, β]) y dimVλ = 1.

Prueba: Es facil comprobar que el conjunto Vλ es un subespacio vectorial de C2([α, β]) (pruebesecomo ejercicio). Tambien, como λ ∈ R es un autovalor del problema (4.14), este admite solucionesno nulas (autofunciones asociadas). Ası, Vλ 6≡ 0 y dimVλ ≥ 1.

Consideremos el espacio

Wλ = ϕ : ϕ ∈ C2([α, β]) es solucion de(p(x)y′

)′+ q(x)y = −λy en [α, β].

Sabemos que dimWλ = 2. Por otro lado, es evidente que Vλ ⊆ Wλ. Ası, Vλ es un subespaciovectorial de dimension 1 o 2.

Por reduccion al absurdo, supongamos que dimVλ = 2. Eso hace que Vλ ≡Wλ y, en particular,cualquier solucion de la e.d.o. (p(x)y′)′ + q(x)y = −λy en [α, β] serıa solucion del problema (4.14).Ası, las soluciones ϕ1 y ϕ2 de los problemas de Cauchy

(p(x)y′)′ + q(x)y = −λy, en [α, β],

y(α) = 1, y′(α) = 0,

y (p(x)y′)′ + q(x)y = −λy, en [α, β],

y(α) = 0, y′(α) = 1,

serıan soluciones de (4.14) y satisfarıan las condiciones de contorno. Por tanto, c1 ≡ d1 ≡ c2 ≡ d2 ≡0, en contradiccion con la hipotesis (4.9). Esto termina la prueba.

Observacion 4.6. 1. Observese que en la prueba de la Proposicion 4.4.2 solo hemos utilizadola hipotesis sobre los coeficientes: c2

i + d2i 6= 0, i = 1, 2. Por tanto, el resultado sigue siendo

valido para e.d.o. que no estan escritas en forma autoadjunta.

2. Por otro lado, la propiedad de los autovalores de (4.14) enunciada en la Proposicion 4.4.2 puedeser reinterpretada diciendo que los autovalores del problema de Sturm-Liouville son simples, esdecir, si ϕ1 y ϕ2 son autofunciones asociadas al autovalor λ ∈ R del problema (4.14), entonces,existe c ∈ R tal que ϕ2(x) = cϕ1(x), para cualquier x ∈ [α, β]. Observese en particular que,dado un autovalor λ ∈ R, el problema (4.14) tiene una unica autofuncion asociada ϕλ connorma 1 en L2(α, β), i.e., ∫ β

α|ϕλ(x)|2 dx = 1.

Pasemos a continuacion a ver la segunda propiedad de las autofunciones asociadas al problemade Sturm-Liouville (4.14). Se tiene:

Proposicion 4.4.3. Bajo las hipotesis (4.9), sean λ1, λ2 ∈ R dos autovalores del problema (4.14)tal que λ1 6= λ2. Entonces, si ϕ1 y ϕ2 son dos autofunciones de (4.14) asociadas, respectivamente,a λ1 y a λ2, se tiene que ϕ1 es ortogonal a ϕ2 en L2(α, β), es decir,∫ β

αϕ1(x)ϕ2(x) dx = 0.



Prueba: Las funciones ϕ1 y ϕ2 son soluciones de (4.14) asociadas a λ1 y λ2, ası(p(x)ϕ′1(x))′ + q(x)ϕ1(x) = −λ1ϕ1(x), ∀x ∈ [α, β],

(p(x)ϕ′2(x))′ + q(x)ϕ2(x) = −λ2ϕ2(x), ∀x ∈ [α, β].

Multiplicando por ϕ2(x) la primera igualdad, por ϕ1(x) la segunda y restando ambas expresiones,se obtiene (

p(x)ϕ′1(x))′ϕ2(x)−

(p(x)ϕ′2(x)

)′ϕ1(x) = (λ2 − λ1)ϕ1(x)ϕ2(x) ∀x ∈ [α, β].

Es facil comprobar que la igualdad anterior puede ser reescrita como

d

dx

[p(x)

(ϕ′1(x)ϕ2(x)− ϕ′2(x)ϕ1(x)

)]= (λ2 − λ1)ϕ1(x)ϕ2(x) ∀x ∈ [α, β],

y ası, integrado en el intervalo [α, β], llegamos a(4.15)

(λ2−λ1)

∫ β

αϕ1(x)ϕ2(x) dx = p(β)

[ϕ′1(β)ϕ2(β)− ϕ′2(β)ϕ1(β)

]−p(α)

[ϕ′1(α)ϕ2(α)− ϕ′2(α)ϕ1(α)

].

Veamos a continuacion que los dos sumandos a la derecha de la igualdad anterior son cero.Para ello, usaremos las condiciones de contorno que satisfacen ϕ1 y ϕ2 en los extremos del intervalo[α, β]. En x = α se tiene:

c1ϕ1(α) + d1ϕ′1(α) = 0,

c1ϕ2(α) + d1ϕ′2(α) = 0.

Podemos ver este sistema como un sistema lineal de dos ecuaciones y a (c1, d1) como su solucion.Como (c1, d1) 6= (0, 0) (hipotesis (4.9)), la matriz de coeficientes asociada debe ser singular, es decir,

det

(ϕ1(α) ϕ′1(α)ϕ2(α) ϕ′2(α)

)= ϕ1(α)ϕ′2(α)− ϕ2(α)ϕ′1(α) = 0.

Deducimos por tanto que el segundo sumando a la derecha de la igualdad (4.15) es cero. Unrazonamiento analogo, pero usando la condicion de contorno en el punto x = β permite llegar aque el primer sumando tambien es nulo.

Finalmente, como λ1 6= λ2, la igualdad (4.15) implica la tesis del enunciado. Se tiene ası laprueba.

Como hemos dicho mas arriba, no vamos a tratar el problema de existencia de autovaloresy autofunciones del problema de Sturm-Liouville (4.14). Sin embargo enunciaremos (sin prueba)un resultado de existencia que es consecuencia del denominado Teorema de Hilbert-Schmidt. ElTeorema de Hilbert-Schmidt es un importante resultado de Analisis Funcional que sera probado enla asignatura Analisis Funcional y Ecuaciones en Derivadas Parciales del Cuarto Curso del Gradoen Matematicas por la Universidad de Sevilla.

Teorema 4.4.4. Supongamos que se satisface la hipotesis (4.9). Entonces el conjunto Λ de losautovalores del problema de Sturm-Liouville (4.14) es un subconjunto infinito numerable de R queforma una sucesion estrictamente creciente de numeros reales Λ = λnn≥1, satisfaciendo

λ1 < λ2 < · · · < λn < λn+1 < · · · , con lımλn =∞.


72 4.4. El problema de Sturm-Liouville

Ademas, el correspondiente conjunto de autofunciones normalizadas B := ϕn = ϕλnn≥1 formauna base de Hilbert de L2(α, β), es decir, B es una familia ortonormal del espacio de Hilbert L2(α, β)tal que

u =∞∑n=1

(u, ϕn)L2(α,β)ϕn, ∀u ∈ L2(α, β),

siendo la serie convergente en L2(α, β). En la igualdad anterior hemos seguido la notacion

(ϕ,ψ)L2(α,β) =

∫ β

αϕ(x)ψ(x) dx, ∀ϕ,ψ ∈ L2(α, β).

El problema de Sturm-Liouville juega un papel importante en el estudio de ecuaciones en deriva-das parciales clasicas de la Fısica, tales como las ecuaciones del calor y de ondas unidimensionales,mediante el denominado metodo de separacion de variables.


Capıtulo 5

El Problema de Cauchy paraE.D.P. de Primer Orden

5.1. Introduccion. Conceptos generales

En este capıtulo haremos un estudio introductorio de las ecuaciones en derivadas parciales(EDP) de primer orden. En concreto, analizaremos la existencia y unicidad de solucion del llamadoproblema de Cauchy (o problema de valores iniciales) asociado a la EDP de primer orden. Dehecho, estudiaremos el metodo de las caracterısticas el cual, a partir de la solucion de un problemade Cauchy asociado a un sistema diferencial ordinario de primer orden (el sistema caracterıstico),proporciona la unica solucion local de l problema de Cauchy para la EDP de primer orden. Estemetodo es el que justifica el estudio de las EDPs de primer orden dentro de una asignatura dedicadaa las ecuaciones diferneciales ordinarias.

Dada una funcion de varias variables u = u(x1, . . . , xn) denotaremos

∂u

∂xi, ∂iu, uxi , . . .

a la derivada parcial de u respecto de la variable xi (cuando exista).De manera general una EDP es cualquier ecuacion en la que aparecen

(i) (eventualmente) varias variables independientes (mas de una);

(ii) una funcion incognita dependiente de dichas variables;

(iii) (forzosamente) derivadas parciales (de orden mayor o igual a 1) de la funcion incognita.

En el caso de EDP de primer orden la definicion es:

Definicion 5.1.1. Sean N ≥ 1 un numero natural y Ω ⊆ R2N+1 un abierto conexo no vacıo. Unaecuacion en derivadas parciales (EDP) de primer orden es una igualdad de la forma

(5.1) F (x1, . . . , xN , u, ∂1u, . . . , ∂Nu) = 0,

donde F : Ω −→ R es una funcion dada, con F ∈ C1(Ω).

En (5.1), x = (x1, . . . xN ) son las variables independientes y u es la variable dependiente oincognita. A veces escribiremos (5.1) en la forma simplificada

F (x, u,∇u) = 0.

73

74 5.1. Introduccion. Conceptos generales

Definicion 5.1.2. Se dice que u es una solucion local de (5.1) en el abierto conexo no vacıo∆ ⊆ RN si u ∈ C1(∆) y satisface

1. (x, u(x),∇u(x)) ∈ Ω para cualquier x ∈ ∆,

2. F (x, u(x),∇u(x)) = 0 para cualquier x ∈ ∆.

Veamos un caso particular de EDP de primer orden:

Definicion 5.1.3. Se denomina EDP casi-lineal de primer orden en RN a cualquier EDP de primerorden de la forma

(5.2)N∑i=1

fi(x, u)∂iu = g(x, u),

con fi, g ∈ C0(U) funciones dadas (1 ≤ i ≤ N) definidas en U ⊆ RN+1, un abierto conexo novacıo. Si las funciones fi (1 ≤ i ≤ N) no dependen de la variable u, se dice que (5.2) es una EDPde primer orden semilineal. Si ademas,

g(x, u) = a(x)u+ b(x)

con a, b ∈ C0(U0) y U0 ⊆ RN un abierto conexo no vacıo, se dice que (5.2) es una EDP de primerorden lineal.

Definicion 5.1.4. Se dice que u es una solucion local de (5.2) en el abierto conexo no vacıo∆ ⊆ RN si u ∈ C1(∆) y satisface

1. (x, u(x)) ∈ U para cualquier x ∈ ∆,

2.N∑i=1

fi(x, u(x))∂iu(x) = g(x, u(x)) para cualquier x ∈ ∆.

(Se dice tambien que u es una solucion clasica de (5.2) en ∆).

Ejemplo 5.1. Ecuacion de Burgers.La EDP

ut + uux = 0,

donde las variables independientes son x y t, se denomina ecuacion de Burgers. Se trata de unaEDP de primer orden casi-lineal. Esta ecuacion tiene interes fısico pues modela la evolucion de laspartıculas de un gas que ocupa un intervalo, suponiendo que el movimiento se produce en una soladireccion. La funcion u(x, t) representa la velocidad del gas en el punto x y en el instante de tiempot. Se trata del ejemplo mas sencillo de ecuacion de movimiento de un fluido.

Ejemplo 5.2. Ecuacion del transporte.Dado un vector V ∈ Rn, la EDP en N = n+ 1 variables independientes (denotadas t, x1, . . . ,

xn)

ut + V · ∇u = 0

ess la llamada ecuacion del transporte. Se trata de una EDP de primer orden lineal. En esta ecuacion,se interpreta que u = u(x, t) es la densidad o concentracion de una sustancia que llena una regionde Rn durante un intervalo de tiempo y que esta siendo transportada con velocidad V .


Tema 5. El Problema de Cauchy para E.D.P. de Primer Orden 75

5.2. Formulacion del Problema de Cauchy para una EDP casi-lineal de primer orden

En la busqueda de soluciones locales de las EDPs (5.1) o (5.2) en lugar de aparecer constantesarbitrarias (como en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias) aparecen funciones arbitrarias.Veamos este hecho en algunas EDPs lineales sencillas:

Ejemplo 5.3. Consideremos la EDP en R2

∂1u+ ∂2u = 0,

y sea ∆ ⊆ R2 un abierto no vacıo. Si fijamos una funcion arbitraria φ ∈ C1(R), entonces es facilcomprobar que la funcion u dada por

u(x1, x2) = φ(x1 − x2), ∀(x1, x2) ∈ ∆,

es solucion de la EDP en ∆.

Del mismo modo, es facil comprobar que si φ ∈ C1(R2) es una funcion arbitraria, y definimos

u(x1, x2, x3) = φ(x1 + x2, x1 − 2x3), ∀(x1, x2, x3) ∈ ∆,

entonces u es solucion de la EDP∂1u− ∂2u+ 2∂3u = 0,

en cualquier abierto no vacıo ∆ ⊆ R2.

Los ejemplos anteriores parecen indicar que, al menos en el caso de EDPs lineales de primerorden sencillas en RN , las soluciones estan determinadas salvo una funcion arbitraria φ que dependede N − 1 variables. Para poder determinar esta funcion φ desconocida (y por tanto, una solucionde la EDP) es razonable que tengamos que anadir una condicion suplementaria.

Pasemos a formular de manera precisa el llamado problema de Cauchy o problema de valoresiniciales asociado a la EDP casi-lineal (5.2). Para ello necesitamos el concepto de hiper-superficiede clase Ck en RN :

Definicion 5.2.1. Fijemos un numero natural k ≥ 1. Se denomina hiper-superficie de clase Ck enRN a todo conjunto S ⊂ RN de la forma

(5.3) S = x ∈ RN : x = ξ(t1, . . . , tN−1) con (t1, . . . , tN−1) ∈ O

donde O es un entorno abierto conexo de 0 en RN−1 y ξ es una funcion dada satisfaciendo ξ ∈C1(O;RN ) y

rango

[∂ξ

∂t1| · · · | ∂ξ

∂tN−1

](t1, . . . tN−1) = N − 1, ∀(t1, . . . tN−1) ∈ O.

Observacion 5.1. Para N = 2 la definicion anterior esta introduciendo el concepto de (arco de)curva de clase Ck. En este caso la funcion ξ es una parametrizacion de esta curva y el vector

ξ′(t1) =dξ

dt1(t1)

es un vector tangente a la curva en el punto ξ(t1). La ultima condicion de la Definicion 5.2.1 equivalea decir que ξ′(t1) no es el vector nulo en ningun punto de la curva.


76 5.3. Analisis del problema de Cauchy: El Metodo de las Caracterısticas

De la misma manera, si N = 3 la Definicion 5.2.1 introduce el concepto de (trozo de) super-ficie de clase Ck en R3. De nuevo, la funcion ξ (que ahora depende de dos parametros) es unaparametrizacion de la superficie. En este caso, los vectores

∂ξ

∂t1(t1, t2) y

∂ξ

∂t2(t1, t2)

son vectores tangentes a la superficie S en el punto ξ(t1, t2) y, gracias a la ultima condicion de ladefinicion, son linealmente independientes (y generan el plano tangente a S en el punto ξ(t1, t2)).

Consideremos ahora una hiper-superficie de clase C1 (k = 1) y supongamos que S esta dadapor (5.3). Denotemos

a = ξ(0) ∈ S.

Por otro lado, supongamos dada una funcion real u0 ∈ C1(O). Con estos datos, definimos:

Definicion 5.2.2. Se denomina problema de Cauchy (o problema de valores iniciales) para laEDP (5.2), con dato inicial u0 sobre S, planteado en un entorno del punto a, y se denota

(5.4)

N∑i=1

fi(x, u)∂iu = g(x, u),

u|S = u0 en un entorno de a,

al problema de encontrar un entorno abierto en RN de a, ∆, y una funcion u ∈ C1(∆) tal que usea solucion de (5.2) en ∆ y

u(ξ(t1, . . . , tN−1)) = u0(t1, . . . , tN−1), ∀(t1, . . . , tN−1) ∈ O tal que ξ(t1, . . . , tN−1) ∈ ∆.

La pareja (∆, u) es denominada solucion local (clasica) del problema de Cauchy (5.4).

Ejemplo 5.4. Sea S la recta t = 0 de R2 y consideremos el problema de Cauchy para la ecuacionde Burgers sobre S

ut + uux = 0

u|S = u0 en un entorno de a = (0, x0),

con x0 ∈ R y u0 ∈ C1(R) una funcion dada. Observese que este problema puede ser escrito enlos terminos de las Definiciones 5.2.1 y 5.2.2 simplemente tomando O = R y ξ(t1) = (0, t1 + x0).Este problema tiene una clara interpretacion fısica: Si u ∈ C1((−T, T ) × (x0 − L, x0 + L)), conL, T > 0, es solucion del problema de Cauchy en (−T, T )× (x0−L, x0 +L), entonces u proporcionala velocidad de las partıculas de un gas en el intervalo (x0 − L, x0 + L) durante el tiempo (−T, T )sabiendo que en el instante de tiempo inicial t = 0 la velocidad era u0.

5.3. Analisis del problema de Cauchy: El Metodo de las Carac-terısticas

En esta seccion analizaremos la existencia y unicidad de solucion del problema de Cauchy parala EDP casi-lineal (5.2). Para ello consideraremos dados:


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