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𝑌(𝑧) =𝑧3 + 2𝑧2 + 1

𝑧3 − 1.5𝑧2 + 0.5𝑧

a) División larga

Para aplicar el método de división larga, se debe dividir todos los términos entre el término con el

exponente mayor:

𝑌(𝑧) =(𝑧3 + 2𝑧2 + 1) ∗

1𝑧3

(𝑧3 − 1.5𝑧2 + 0.5𝑧) ∗1𝑧3

𝑌(𝑧) =1 + 2𝑧−1 + 𝑧−3

1 − 1.5𝑧−1 + 0.5𝑧−2

Luego se divide el numerador entre el denominador, para obtener:

−1 + 2𝑧−1 + 0 + 𝑧−3 ÷ 1 − 1.5𝑧−1 + 0.5𝑧−2 = 1+3.5𝑧−1 + 4.75𝑧−2 + 6.375𝑧−3

−1 + 1.5𝑧−1 − 0.5𝑧−2

3.5𝑧−1 − 0.50𝑧−2 + 𝑧−3

−3.5𝑧−1 + 5.25𝑧−2 − 1.75−3

4.75𝑧−2 − 0.750𝑧−3

−4.75𝑧−2 + 7.125𝑧−3 − 2.375𝑧−4

6.375𝑧−3 − 2.375𝑧−4

−6.375𝑧−3 + 9.5625𝑧−4 − 3.1875𝑧−5

7.1875𝑧−4 − 3.1875𝑧−5

Al realizar este método, los coeficientes del resultados serán los primeros 4 valores de la secuencia.

K y(k)

0 1

1 3.5

2 4.75

3 6.375

De esta manera el resultado de la secuencia, de los primeros 4 valores, es:

{𝑦(𝑘)} = {1; 3.5; 4.75; 6.375; … }

𝐹(𝑧) = ∑ 𝑓(𝑘)𝑧−𝑘 = 𝑓(0) + 𝑓(1)𝑧−1 + ⋯ + 𝑓(𝑛)𝑧−𝑛 + ⋯

∞

𝑘=0

b) Por el método de fracciones parciales.

𝑌(𝑧) =𝑧3 + 2𝑧2 + 1

𝑧3 − 1.5𝑧2 + 0.5𝑧

Para obtener la secuencia de salida, se debe primero expandir Y(z)/z en fracciones parciales.

𝑌(𝑧)

𝑧=

𝑧3 + 2𝑧2 + 1

𝑧4 − 1.5𝑧3 + 0.5𝑧1=

𝐴

𝑧+

𝐵

𝑧2+

𝐶

𝑧 − 0.5+

𝐷

𝑧 − 1

Para obtener los coeficientes A, B, C y D aplicare las siguientes formulas:

𝐵 = [(𝑧 − 𝑝𝑖)2

𝑌(𝑧)

𝑧]

𝑧=𝑝𝑖

𝐴 = {𝑑

𝑑𝑧[(𝑧 − 𝑝𝑖)

2𝑌(𝑧)

𝑧]}

𝑧=𝑝𝑖

𝐶 = 𝐷 = [(𝑧 − 𝑝𝑖)𝑌(𝑧)

𝑧]

𝑧=𝑝𝑖

Entonces:

𝐴 = [(𝑧)2𝑌(𝑧)

𝑧]

𝑧=0

= 2

𝐵 = {𝑑

𝑑𝑧[(𝑧)2

𝑌(𝑧)

𝑧]}

𝑧=0

= 6

𝐶 = [(𝑧 − 0.5)𝑌(𝑧)

𝑧]

𝑧=0.5

= −13

𝐷 = [(𝑧 − 1)𝑌(𝑧)

𝑧]

𝑧=1

= 8

𝑌(𝑧)

𝑧=

𝑧3 + 2𝑧2 + 1

𝑧4 − 1.5𝑧3 + 0.5𝑧1=

6

𝑧+

2

𝑧2+

−13

𝑧 − 0.5+

8

𝑧 − 1

Luego, volvemos a Y(z), multiplicando z por el numerador, luego se aplica la transformada z inversa.

𝑌(𝑧) = 6(1) + 21

𝑧− 13

𝑧

𝑧 − 0.5+ 8

𝑧

𝑧 − 1

Luego, utilizo la tabla de transformadas y utilizo las siguientes formulas:

Ƶ−1 [𝑧

𝑧 − 𝑎] = 𝑎𝑘

Ƶ−1 [𝑧

𝑧 − 1] = 1(𝑘)

Ƶ−1 [1

𝑧𝑛] = 𝛿0(𝑘 − 𝑛)

Ƶ−1[1] = 𝛿0(𝑘)

𝑦(𝑘) = 6 ∗ Ƶ−1[1] + 2 ∗ Ƶ−1 [1

𝑧1] − 13 ∗ Ƶ−1 [

𝑧

𝑧 − 0.5] + 8 ∗ Ƶ−1 [

𝑧

𝑧 − 1]

𝑦(𝑘) = 6𝛿0(𝑘) + 2 ∗ 𝛿0(𝑘 − 1) − 13 ∗ 0.5𝑘 + 8 ∗ 1(𝑘)

Ahora se calcularan los 4 primeros términos de la sucesión.

𝑦(0) = 6𝛿0(0) + 2 ∗ 𝛿0(−1) − 13 ∗ 0.50 + 8 ∗ 1(0) = 1

𝑦(1) = 0 + 2 ∗ 𝛿0(0) − 13 ∗ 0.51 + 8 ∗ 1(1) = 3.5

𝑦(2) = 0 + 0 − 13 ∗ 0.52 + 8 ∗ 1 = 4.75

𝑦(3) = 0 + 0 − 13 ∗ 0.53 + 8 ∗ 1 = 6.375

k y(k)

0 1

1 3.5

2 4.75

3 6.375

De esta manera el resultado de la secuencia, de los primeros 4 valores, es:

{𝑦(𝑘)} = {1; 3.5; 4.75; 6.375; … 8}

c) Integral de inversión

Para realizar este método se utilizan las siguientes ecuaciones,

Polo simple:

𝐹(𝑧) =1

𝑧 − 𝑎→ 𝐾 = |(𝑧 − 𝑎) ∗ 𝐹(𝑧) ∗ 𝑧𝑘−1|𝑧=𝑎

Polo múltiple:

𝐹(𝑧) =1

(𝑧 − 𝑎)𝑛→ 𝐾 =

1

(𝑛 − 1)!|

𝑑𝑛−1

𝑑𝑧𝑛−1((𝑧 − 𝑎)𝑛 ∗ 𝐹(𝑧) ∗ 𝑧𝑘−1)|

𝑧=𝑎

Ahora, se procederá a obtener la transformada inversa de z, utilizando la integral de inversión

𝑌(𝑧) =𝑧3 + 2𝑧2 + 1

𝑧(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)

Primero, se buscara la transformada inversa para k=0, es decir obtendremos y(0), ya que utilizando el concepto, de la

integral de inversión nos haría falta un término. Para ello se multiplicara en ambos lados de la ecuación por z(k-1).

𝑌(𝑧)𝑧𝑘−1 =(𝑧3 + 2𝑧2 + 1) ∗ 𝑧𝑘−1

𝑧(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)

Para k=0, tenemos

𝑌(𝑧)𝑧𝑘−1 =(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)

𝑧2(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)

Por lo tanto para k=0, 𝑌(𝑧)𝑧𝑘−1 tiene 4 polos, en z1=z2=0, z3=0.5 y z4=1, pero Y(z) solo tiene 3 polos, por lo tanto

hay que considerar y(0) e y(k) para k=1,2,3,….. por separado como habíamos mencionado anteriormente. Se

toman tres residuos porque hay dos polos simples y uno multiple:

𝑦(0) = 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3

Donde:

𝑘1 =1

(2 − 1)!|

𝑑2−1

𝑑𝑧2−1((𝑧)2 ∗

(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)

𝑧2(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1))|

𝑧=0

𝑘1 = |𝑑

𝑑𝑧(

(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)

(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1))|

𝑧=0

= 6

𝑘2 = |(𝑧 − 0.5) ∗(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)

𝑧2(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)|

𝑧=0.5

𝑘2 = |(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)

𝑧2(𝑧 − 1)|

𝑧=0.5

= −13

𝑘3 = |(𝑧 − 1) ∗(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)

𝑧2(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)|

𝑧=1

𝑘3 = |(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)

𝑧2(𝑧 − 0.5)|

𝑧=1

= 8

𝑦(0) = 6 + 8 − 13 = 1

El resultado, fue el esperado, ahora el mismo procedimiento para k mayores que 0

𝑌(𝑧) =𝑧3 + 2𝑧2 + 1

𝑧(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)

Por lo tanto para k=1,2,3, 𝑌(𝑧)tiene 3 polos, en z1 =0, z2=0.5 y z3=1, tres polos simples

𝑦(𝑘) = 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3

𝑘1 = |(𝑧) ∗(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)

𝑧(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)∗ 𝑧𝑘−1|

𝑧=0

𝑘1 = |(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)

(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)∗ 𝑧𝑘−1|

𝑧=0

= 2𝛿0(𝑘 − 1)

𝑘2 = |(𝑧 − 0.5) ∗(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)

𝑧(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)∗ 𝑧𝑘−1|

𝑧=0.5

𝑘2 = |(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)

𝑧(𝑧 − 1)∗ 𝑧𝑘−1|

𝑧=0.5

= 8 ∗ 1(𝑘)

𝑘2 = |(𝑧 − 1) ∗(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)

𝑧(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)∗ 𝑧𝑘−1|

𝑧=1

𝑘2 = |(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)

𝑧(𝑧 − 0.5)∗ 𝑧𝑘−1|

𝑧=1

= 6.5 ∗ 0.5𝑘−1

La secuencia final para y(k) es:

𝑦(𝑘) = 2𝛿0(𝑘 − 1) + 8 ∗ 1(𝑘) + 6.5 ∗ 0.5𝑘−1

𝑦(𝑘) = {1 𝑘 = 0

2𝛿0(𝑘 − 1) + 8 ∗ 1(𝑘) + 6.5 ∗ 0.5𝑘−1 𝑘 > 0}

Igual que en los casos anteriores, se obtuvieron los 4 primeros términos:

k y(k)

0 1

1 3.5

2 4.75

3 6.375

1. Encontrar la transformada z de las gráficas de la Figura 2

Figura 2

Para, resolver este problema debemos obtener las ecuaciones del grafico mostrado, dichas ecuaciones se

encuentran en la figura 3, de manera que tenemos:

𝑦(𝑘) = {0 𝑘 = 0

𝑘 − 1𝑘

𝑘 = 1,2,3𝑘 = 4,5,6,7, …

}

Ahora aplico la definición de transformada

Ƶ{𝑦(𝑘)} = ∑ 𝑔(𝑘) ∗ 𝑧−𝑘

∞

𝑘=0

Ƶ{𝑦(𝑘)} = ∑(𝑘 − 1) ∗ 𝑧−𝑘

3

𝑘=1

+ ∑(𝑘) ∗ 𝑧−𝑘

∞

𝑘=4

0 1 2 3 4 5 6 7

7

6

5

4

y = k - 1

y = k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y(k)

k

Gráfico de la figura 2

Ƶ{𝑦(𝑘)} = 0 + 𝑧−2 + 2𝑧−3 + 3𝑧−4 + 5𝑧−5 + 6𝑧−6 + 7𝑧−7 + ⋯

La última parte de la sucesión converge a un rampa y dicha rampa tiene un corrimiento por lo tanto la

respuesta final es:

𝑌(𝑧) = 𝑧−2 + 2𝑧−3 + 3𝑧−4 +𝑧−1 ∗ 𝑧−5

(1 − 𝑧−1)2

𝑌(𝑧) = 𝑧−2 + 2𝑧−3 + 3𝑧−4 +𝑧−6

(1 − 𝑧−1)2