wiskunde leren vanuit abstracte voorbeelden: hoe ... · in deze presentatie 1. inleiding 2....

VLEKHO-HONIM

Wiskunde leren vanuit abstracte voorbeelden: hoe overtuigend zijn de

resultaten van Kaminski?

Dirk De Bock, Johan Deprez, Wim Van Dooren, Michel Roelens,

Lieven Verschaffel

(slides op: www.ua.ac.be/johan.deprez)

VLEKHO-HONIM

Over onszelf

• Johan Deprez ♦ docent wiskunde, Faculteit Economie en

Management, HUBrussel (EHSAL)

♦ docent/praktijkassistent, lerarenopleiding wiskunde Universiteit Antwerpen en KULeuven

♦ redactielid Uitwiskeling

• Dirk De Bock ♦ docent wiskunde en coördinator onderzoeksgroep

Educational Research & Development, Faculteit Economie en Management, HUBrussel (EHSAL)

♦ wetenschappelijk medewerker aan het Centrum voor Instructiepsychologie en –technologie (Departement Pedagogische Wetenschappen, KULeuven)

♦ praktijkassistent lerarenopleiding wiskunde KULeuven

VLEKHO-HONIM

VLEKHO-HONIM

VLEKHO-HONIM

Les exemples sont mauvais

pour l’apprentissage des

mathématiques (25 april 2008)

VLEKHO-HONIM

VLEKHO-HONIM

VLEKHO-HONIM

VLEKHO-HONIM

Dieper graven…

(J. van de Craats in Trouw)

VLEKHO-HONIM

Inleiding

krantenartikels gebaseerd op

• doctoraatsverhandeling

Kaminski, J. A. (2006). The effects of concreteness on learning, transfer, and representation of mathematical concepts.

• reeks onderzoeksartikelen

…

Kaminski, J. A., Sloutsky, V. M., & Heckler, A. F. (2008). The advantage of abstract examples in learning math. Science, 320, 454–455.

…

VLEKHO-HONIM

Kaminski et al.

• stellen ter discussie dat wiskundeleren „van concreet naar abstract‟ verloopt

“Instantiating an abstract concept in concrete contexts places the additional demand on the learner of ignoring irrelevant, salient superficial information, making the process of abstracting common structure more difficult than if a generic instantiation were considered”

(Kaminski, 2006, p. 114)

• voerden een reeks van gecontroleerde experimenten uit met (voornamelijk) bachelorstudenten in de psychologie

VLEKHO-HONIM

Kaminski et al.

• uit het besluit (Kaminski et al., 2008, p. 455)

“If the goal of teaching mathematics is to produce knowledge that students can apply to multiple situations, then representing mathematical concepts through generic instantiations, such as traditional symbolic notation, may be more effective than a series of “good examples”.”

VLEKHO-HONIM

Kritische reacties van collega’s onderzoekers

• in Educational Forum en e-letters in Science:

♦ Cutrona, 2008

♦ Mourrat, 2008

♦ Podolefsky & Finkelstein, 2008

♦ …

• research commentary door Jones in Journal for

Research in Mathematics Education (2009)

• informele reacties

♦ McCallum, 2008

♦ Deprez, 2008

VLEKHO-HONIM

In deze presentatie

1. Inleiding

2. Commutatieve groepen van orde 3

3. De studie van Kaminski et al.

4. Enkele belangrijke elementen van kritiek

1. Onfaire vergelijking

2. Wat hebben leerlingen precies geleerd?

3. Transfer naar orde 4

4. Kunnen de resultaten van Kaminski veralgemeend worden?

5. Enkele andere elementen van kritiek

5. Nieuw empirisch onderzoek door De Bock et al.

6. Algemene discussie

VLEKHO-HONIM

Commutatieve groepen van orde 3

VLEKHO-HONIM

Commutatieve groep met 3 elementen

• een verzameling G met 3 elementen …

bijvoorbeeld

♦ {0,1,2}

♦ {r120°, r240°, r0°} , waarbij r120° staat voor een rotatie over

120°

♦ {a, b, c} met a, b en c niet verder gespecificeerd

• voorzien van een bewerking * …

♦ {0,1,2}: optelling modulo 3, bijvoorbeeld: 2+2=1

♦ {r120°, r240°, r0°}: pas rotaties achtereenvolgens toe,

bijvoorbeeld: eerst r120°, daarna r240° geeft r0°

♦ {a, b, c}: de bewerking wordt gegeven door een 3 bij 3 tabel

• die voldoet aan de volgende eigenschappen:

VLEKHO-HONIM

Commutatieve groep met 3 elementen

• een verzameling G met 3 elementen …

• voorzien van een bewerking * …

• die voldoen aan volgende eigenschappen:

♦ commutativiteit: x*y=y*x voor elke x en y in G

♦ associativiteit: (x*y)*z=x*(y*z) voor elke x, y en z

in G

♦ bestaan van een neutraal element: G bevat een

element n waarvoor x*n=x=n*x voor elke x in G

♦ bestaan van inversen: voor elk element x in G is er

een element x‟ waarvoor x*x‟=n=x‟*x

de twee voorbeelden zijn isomorfe groepen

alle groepen van orde 3 zijn isomorf

0

1 2

VLEKHO-HONIM

De studie van Kaminski et al.

VLEKHO-HONIM

Basisexperiment in Kaminski et al. (80 bachelorstudenten)

Fase 1: Instructiedomein

studie + toets

Fase 2: Transferdomein

presentatie + toets

T: Kinderspel

A: Kleitabletten van archeologische site

C: Maatbekers

VLEKHO-HONIM

Fase 1

• studie:

♦ inleiding

♦ expliciete presentatie van de regels d.m.v. voorbeelden

♦ opgaven met feedback

♦ complexe voorbeelden

♦ samenvatting van de regels

• leertoets: 24 meerkeuzevragen

VLEKHO-HONIM

Fase 2

• presentatie

♦ Inleiding tot het spel

♦ “De regels van het systeem dat je leerde zijn zoals de regels van het spel.”

♦ 12 voorbeelden van combinaties

• transfertoets

24 meerkeuzevragen

VLEKHO-HONIM

Resultaten

• leertoets: A = C

• transfertoets: A > C

VLEKHO-HONIM

Belangrijke elementen van kritiek

VLEKHO-HONIM

1. Onfaire vergelijking

• Kaminski controleerde voor “superficial similarity”

(andere) bachelorsstudenten lazen beschrijvingen van T-A or T-C, maar werden niet getraind in de regels

“similarity ratings” laag

geen significante verschillen tussen T-A vs. T-C

• kritieken: onfaire vergelijking t.g.v. “deep level similarity” tussen T en A

(McCallum, 2008; Cutrona, 2009; Deprez, 2008; Jones, 2009a, 2009b; Mourrat, 2008, Podolefsky & Finkelstein, 2009)

A

C

T

VLEKHO-HONIM

1. Onfaire vergelijking

1. rol van voorkennis

A en T:

♦ „willekeurige‟ symbolen

♦ bewerkingen bepaald door formele regels

♦ boodschap: maak geen gebruik van voorkennis!

C: fysische/numerieke referent

♦ fysische/numerieke referent voor de symbolen

♦ fysische/numerieke referent voor de bewerkingen

♦ boodschap: voorkennis kan nuttig gebruikt worden!

A lijkt veel meer op T dan C

A

C

T

VLEKHO-HONIM

1. Onfaire vergelijking

2. centrale wiskundige concept

A en T: commutatieve groep

(commutativiteit, associativiteit, bestaan van een neutraal element, bestaan van inverse elementen)

C: expliciet gecommuniceerd (commutatieve groep)

vs. impliciet gecommuniceerd (modulaire optelling)

beide zijn betekenisvolle wiskundige concepten

… maar verschillend!

♦ 2 en 3 elementen: groep bepaald door modulaire optelling is de enige groep

♦ n elementen, n>3, niet priem: ook andere groepen dan de groep bepaald door modulaire optelling

A en C leren verschillende concepten!

concept geleerd in A is beter bruikbaar voor T

A

C

T

VLEKHO-HONIM

1. Onfaire vergelijking

3. structuur A : neutraal elt. n, 2 symmetrische generatoren a en b

♦ {n,a,b},

♦ (1.1) a+a=b,

♦ (1.2) b+b=a

♦ (1.3) a+b=b+a=n

C: symmetrie verbroken (1 vs. 2), één generator a

♦ {n,a,b}

♦ (2.1) a+a=b

♦ (2.2) a+a+a=n

equivalent, maar focus op verschillende aspecten

A/C leerden/negeerden verschillende aspecten

structuur T = structuur A ≠ structuur C

A

C

T

1+1=2 1+1+1=3

VLEKHO-HONIM

2. Wat leerden de studenten precies?

• Meerkeuzetoetsen tonen enkel het eindresultaat, maar niet hoe dat antwoord werd gevonden.

• Wat leerden de studenten?

♦ een set van specifieke regels?

♦ modulaire optelling?

♦ groepseigenschappen (commutativiteit, …)?

♦ …

• Is er enige evidentie van een bewuste toepassing van groepseigenschappen of modulair optellen?

Met commutativiteit, … is men ook vertrouwd vanuit het rekenen met (gewone) getallen!

De proefpersonen kennen geen rekensystemen waarin commutativiteit, … niet gelden: daardoor hebben ze een evident karakter.

VLEKHO-HONIM

3. Transfer naar groep van orde 4

• een experiment uit doctoraat van Kaminski waarover niet gerapporteerd wordt in Science en andere tijdschriften

• onze interpretatie van de resultaten van dit experiment

• transfertoets over een groep van orde 4: zie volgende slide

• Los de eerste drie vragen van de toets op!

VLEKHO-HONIM

Experiment 6

VLEKHO-HONIM

3. Transfer naar groep van orde 4

• eerste instructiedomein nieuwe experiment = A-instructiedomein uit het basisexperiment (kleitabletten uit een archeologische site)

• resultaten op de orde-4-transfertoets niet beter dan puur gokken

• transfer vanuit A-instructiedomein blijkt erg beperkt! ( affirmatieve titel van Kaminski et al. in Science)

VLEKHO-HONIM

3. Transfer naar groep van orde 4

• tweede instructiedomein nieuwe experiment = A-instructiedomein uit het basisexperiment + „relational diagram‟

• goede resultaten op de orde-4-transfertoets

• diagram communiceert het cyclische karakter van de groep (equivalent met modulaire optelling)

VLEKHO-HONIM

3. Transfer naar groep van orde 4

• derde instructiedomein nieuwe experiment is een concreet instructiedomein met een „grafische voorstelling‟

• goede resultaten op de orde-4-transfertoets

• ook vanuit een concreet instructiedomein treedt transfer op

VLEKHO-HONIM

3. Transfer naar groep van orde 4

De experimenten van Kaminski et al geven een meer genuanceerd beeld dan de beweringen in het artikel in Science!

VLEKHO-HONIM

4. Kunnen de resultaten van Kaminski veralgemeend worden?

• Kaminski et al. in Science, 2008, p. 455

“Moreover, because the concept used in this research involved basic mathematical principles and test questions both novel and complex, these findings could likely be generalized to other areas of mathematics. For example, solution strategies may be less likely to transfer from problems involving moving trains or changing water levels than from problems involving only variables and numbers.”

• veel onderzoekers spraken hun twijfel uit

• een heel specifieke vraag i.v.m. generaliseerbaarheid:

Is het mogelijk om een instructiefase te ontwerpen in de stijl van Kaminski voor wiskundige objecten die een klein beetje complexer zijn, namelijk de cyclische groepe van orde 4 en meer?

VLEKHO-HONIM

4. Kunnen de resultaten van Kaminski veralgemeend worden?

• instructiefase in de stijl van Kaminski voor cyclische groepen van orde 4 en meer?

• orde 3 : neutr. elt. n, 2 symmetrische generatoren a en b

♦ {n,a,b},

♦ (1.1) a+a=b,

♦ (1.2) b+b=a

♦ (1.3) a+b=b+a=n

• Cayleytabel van een commutatieve groep van orde 3

n a b

n

a

b

n a b

n n a b

a a

b b

n a b

n n a b

a a b n

b b a

n a b

n n a b

a a b n

b b n a

VLEKHO-HONIM

4. Kunnen de resultaten van Kaminski veralgemeend worden?

• instructiefase in de stijl van Kaminski voor cyclische groepen van orde 4 en meer?

• Cayleytabel voor een cyclische groep van orde 4

(een van de twee groepen van orde 4)

♦ 16 cellen

♦ nog 9 cellen in te vullen na regel van het neutrale element

♦ 3+2+1 = 6 specifieke regels

♦ 3 cellen door toepassing van commutativiteit

n a b c

n

a

b

c

n a b c

n n a b c

a a

b b

c c

n a b c

n n a b c

a a b c n

b b n a

c c b

n a b c

n n a b c

a a b c n

b b c n a

c c n a b

VLEKHO-HONIM

4. Kunnen de resultaten van Kaminski veralgemeend worden?

• Cyclische groepen van orde …

♦ … 5 : 4+3+2+1 = 10 specifieke regels

♦ … 6 : 5+4+3+2+1 = 15 specifieke regels

♦ 7, 8, 9, … : 21, 28, 36, … specifieke regels

• Onze empirische studie : proefpersonen uit de A-conditie van Kaminski‟s basisexperiment pasten voornamelijk de specifieke regels toe

• Wellicht leidt een A-instructiedomein in de stijl van Kaminski voor cyclische groepen van orde 4 of meer niet tot succesvol leren of succesvolle transfer

n a b c

n n a b c

a a b c n

b b c n a

c c n a b

VLEKHO-HONIM

5. Enkele andere elementen van kritiek

• Transfer in experimenten van Kaminski is

♦ nabije transfer (voor de A-conditie)

♦ onmiddellijke transfer ( op lange termijn)

♦ uitgelokte transfer ( spontaan)

… transfer in een echte onderwijssituatie!

• Concrete instructiefase goede contextrijke

wiskundeles:

♦ erg gekunstelde contexten

♦ geen abstraheringsfase

♦ de regels zijn niet functioneel (je gebruikt voorkennis i.p.v.

regels) en worden dus niet geleerd

♦ …

VLEKHO-HONIM

Een empirische studie door De Bock et al.

VLEKHO-HONIM

Methode

• Subjecten: 130 bachelorsstudenten in de pedagogische wetenschapen

• Twee fasen (1) instructiefase: studie en toets

(2) transferfase: presentatie en toets

• Vier experimentele condities

(A = abstract, C = concreet) ♦ AA, CA, AC, and CC

♦ AA and CA: “Kaminski condities”

♦ AC and CC: belangrijke toevoegingen door ons

VLEKHO-HONIM

Methode

Operationalizering van de domeinen

• A-instructie: kleitabletten van archeologische site

• A-transfer: kinderspel

• C-instructie: maatbekers

• C-transfer: pizza‟s

(stukken pizza die zich op dezelfde manier gedragen als de maatbekers)

VLEKHO-HONIM

Methode

VLEKHO-HONIM

Methode

VLEKHO-HONIM

Methode

VLEKHO-HONIM

Methode

VLEKHO-HONIM

Methode

In alle condities:

Juist voordat de toets (op het einde van de instructiefase) werd afgenomen, werd een samenvatting van de regels gepresenteerd.

VLEKHO-HONIM

Methode

VLEKHO-HONIM

Methode

Toets op het einde van de instructiefase bestond uit 24 „isomorfe‟ meerkeuzevragen

VLEKHO-HONIM

Methode

VLEKHO-HONIM

Methode

VLEKHO-HONIM

Methode

Tweede belangrijk verschilpunt met Kaminski‟s procedure:

Open vraag op het einde van de instructiefase

Bijv., na de “concrete” instructie:

Wat komt er op de plaats van het vraagteken?

Leg zo precies als mogelijk uit hoe je dit gevonden hebt.

?

VLEKHO-HONIM

Methode

Of na de abstracte instructie:

Wat komt er op de plaats van het vraagteken?

Leg zo precies als mogelijk uit hoe je dit gevonden hebt.

Volledige experiment ♦ individueel

♦ twee fasen onmiddellijk na elkaar

♦ eigen tempo

♦ computer

?

VLEKHO-HONIM

Methode - Analyse

• Scores op instructie- en transfertest: statistische analyse (ANOVA + Tukey HSD) na verwijdering van een aantal „outliers‟ (volgens eenzelfde procedure als Kaminski)

• Verklaringen „open vraag‟:

scoringssystem ontwikkeld en toegepast op de data door twee onafhankelijke beoordelaars.

VLEKHO-HONIM

Methode - Analyse

Scoringssysteem

• Analyse-eenheid = verklaring van een deelnemer

• Vier hoofdcategorieën: ♦ G (Groep)

♦ M (Modulo)

♦ R (Regels)

♦ N (Niet)

• Subcategorieën: ♦ G1, G2, G3, G4

♦ M1, M2

• Scores: 2, 1 of 0

VLEKHO-HONIM

Methode - Analyse

Scoringssysteem

• 2 = formulering op algemeen niveau

Voorbeelden

♦ “volgorde doet er niet toe”

♦ “als je een vlag combineert met een ander symbool dan krijg je altijd dat andere symbool”

♦ “2 + 2 = 4 – 3 = 1”

• 1 = ondubbelzinnige toepassing • 0 = anders

VLEKHO-HONIM

Resultaten – Kwantitatieve resultaten

• Instructietoets: AC < CA, CC

• Transfertoets: CA < AA, AC, CC en AC < CC

Conditie

Gemiddelde en standaarddeviatie van

de toetsscores (Max = 24)

Instructietoets Transfertoets

AA (N = 23) 17.1 (3.9) 18.1 (3.8)

AC (N = 30) 15.3 (3.5) 17.4 (4.2)

CA (N = 28) 18.5 (2.9) 12.0 (4.3)

CC (N = 24) 18.3 (3.5) 20.2 (2.4)

VLEKHO-HONIM

Resultaten – Kwantitatieve resultaten

• Kaminski bevestigd (transfertoets: AA > CA)

• Omgekeerde geldt ook (transfertoets: CC > AC)

• Ondanks AC < CX (instructietoets), AC = AA (transfertoets): studenten lijken “modulo 3 rekenen” te “leren” met weinig of geen hulp van de instructieconditie

VLEKHO-HONIM

Resultaten – Kwalitatieve resultaten

• Letterlijk herhalen van combinatieregels

• Formuleringen van groepseigenschappen op algemeen niveau komen nauwelijks voor

(ondanks het feit dat expliciet werd gevraagd om “zo precies als mogelijk” te verklaren)

Instructie-domein

Score

G M R N

G1 G2 G3 G4 M1 M2

A (N = 66)

2 0 6 0 0 0 0 – –

1 16 43 0 3 0 0 11

0 50 17 66 63 66 66 4 55

62

VLEKHO-HONIM

Resultaten – Kwalitatieve resultaten

• Toepassing van “modulo 3” rekenen door ongeveer de helft van de deelnemers (geen expliciet doel van instructieomgeving!)

• In sommige gevallen: zonder referentie naar de context

• …

Instructie

domein Score

G M R N

G1 G2 G3 G4 M1 M2

C (N = 52)

2 0 0 0 0 7 0 – –

1 13 7 0 2 22 5 5 14

0 39 45 52 50 23 47 47 38

VLEKHO-HONIM

Resultaten – Kwalitatieve resultaten

• …

• Pure herhalingen van combinatieregels komen zelden voor

• Enkele spontane toepassingen van groepseigenschappen (hoewel minder dan in de A-instructiegroepen)

Instructie

domein Score

G M R N

G1 G2 G3 G4 M1 M2

C (N = 52)

2 0 0 0 0 7 0 – –

1 13 7 0 2 22 5 5 14

0 39 45 52 50 23 47 47 38

VLEKHO-HONIM

Belangrijkste besluiten Onze resultaten bevestigen die van Kaminski:

Transfer naar een nieuw “abstract” domein wordt

bevorderd door een abstract, eerder dan een concreet

instructiedomein

Maar…

• Transfer naar een nieuw “concreet” domein wordt ook

bevorderd door een concreet, eerder dan door een

abstract instructiedomein

• Ernstige twijfels over wat de studenten werkelijk leerden

uit de abstracte instructieomgeving

(groepseigenschappen vs. formeel leren toepassen van

combinatieregels)

• Sommige studenten bereikten een hoger

abstractieniveau vanuit de concrete instructieomgeving.

VLEKHO-HONIM

Algemene discussie

VLEKHO-HONIM

Algemene discussie

• Onwijs om de resultaten van Kaminski te extrapoleren naar het gehele wiskundeonderwijs.

• Zelfs een extrapolatie naar commutatieve groepen van orde 4 is problematisch…

• Een wiskundig begrip vatten heeft ook een epistemologische betekenis (waar komt het vandaan en waaraan ontleent het zijn „kracht‟?).

Noch de abstracte, noch de concrete representaties van Kaminski‟s (en onze) studie werpen enig licht op deze fundamentele kwestie…

VLEKHO-HONIM