walter orlando gonzales caicedo · pdf fileespinoza ramos, e. (2002). matemática...
Post on 11-Feb-2018
224 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 07
FACULTAD DE :
ESCUELA PROFESIONAL DE :
DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo CICLO: I
ASIGNATURA : Lógico Matemática FECHA:
TEMAS: Ecuaciones cuadráticas, discriminante, relación entre los coeficientes y raíces de una ecuación de segundo
grado. Ecuaciones de grado mayor que 2, ecuaciones Bicuadradas, ecuaciones recíprocas, ecuaciones racionales y ecuaciones irracionales
TIEMPO: 08 horas académicas.
COMPETENCIA:
Resuelve y aplica operaciones matemáticas, relacionadas a ecuaciones cuadráticas así como su aplicación en el campo práctico de la vida cotidiana.
CAPACIDADES:
Diferencia una ecuación de una inecuación. Calcula el discriminante de una ecuación Plantea y resuelve problemas de su especialidad, que requieren de las ecuaciones cuadráticas. Grafica e interpreta una función cuadrática y de grado superior.
ACTITUDES:
RESPONSABILIDAD: Manifiesta compromiso e identificación en su trabajo académico. PUNTUALIDAD: Revela respeto a los demás y a si mismo asistiendo puntualmente a las clases. PARTICIPACIÓN: Muestra disposición a enfrentarse a situaciones problemáticas novedosas. Participa activamente
en el desarrollo de las clases.
E
V
A
L
U
A
C
I
Ó
N
MOMENTOS O FASES
DESCRIPCIÓN DETALLADA DE ESTRATEGIAS Y METODOLOGÍA
MEDIOS Y MATERIALES
TIEMPO
EVALUACIÓN
INDICADORES
INSTRUMENTO
Motivación y exploración
MOTIVACION:
(ANEXO Nº 01)
EXPLORACION: El docente presenta en la pizarra una lista de ejercicios relacionadas a operaciones con ecuaciones de segundo grado (Lluvia de ideas, Técnica interrogativa) El uso para seguir la
secuencia.
(ANEXO Nº 01)
Material Impreso.
Pizarra
Plumones
acrílicos
Mota
Palabra hablada.
50 min.
Interés por el tema, participación individual y en
grupo.
Observación espontánea. Intervención oral
Problematización
Se plantea las siguientes
interrogantes:
¿Serias capaz de
plantear ejercicios
con ecuaciones de
segundo grado?
¿Qué clase de
ecuaciones
observan en los
ejercicios
planteados?
¿Qué es un
Exposición oral
45 min.
Dadas las diferentes propiedades y operaciones que se realizan con ecuaciones de segundo grado, desarrollan los ejercicios
planteados. Participación activa
Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha de autoevaluación (ANEXO Nº 06)
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
discriminante?
¿Existe relación
entre los
coeficientes y las
raíces de la
ecuación de
segundo grado?
Construcción del conocimiento
Se forma 7 grupos.
Modulo de lógica
matemática
- (ANEXO Nº 03)
-
Los estudiantes
plantean sus
ejemplos con
ecuaciones
cuadráticas,
bicuadradas,
racionales e
irracionales.
Se realizan
indicaciones en la
pizarra sobre
conceptos básicos,
dadas en la hoja
técnica.
(ANEXO Nº 04)
Se realiza la
sistematización de
lo aprendido.
Los estudiantes
plantean y
desarrollan un
laboratorio con
ejercicios.
(ANEXO Nº 05)
Papelógrafo. Módulo lógico matemático (ANEXO Nº03) Textos auxiliares. cinta adhesiva
185 min.
Aplicación de la teoría en la solución de problemas específicos. A partir de los ejemplos establecidos en clase realizan problemas relacionas a su carrera. Trabaja en forma individual y grupal , comentan ,discuten
Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha de autoevaluación (ANEXO Nº 06)
Transferencia del conocimiento
L
Los estudiantes
resuelven los
ejercicios
planteados en su
módulo de trabajo.
Los estudiantes
participan
Hoja impresa Folder de trabajo.
120 min.
Aplica estrategias metacognitivas para representar la solución de los
Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Folder de trabajo.
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
anotando sus
respuestas en la
pizarra
Los estudiantes
elaboran
ejercicios referidos
a operaciones con
los diferentes tipos
de ecuaciones de
segundo grado
(Hoja de
información ,Grupo
de estudio ,
trabajo en equipo;
exposición del
problema
planteado.(ANEXO
Nº04)
Los alumnos
resuelven en
grupo una ficha de
trabajo:”Leo,
analizo y resuelvo”
( ANEXO Nº 03 )
que les permitirá
descubrir
procedimientos
para reconocer e
interpretar a las
proposiciones.
El docente destaca
los resultados a
través de la
evaluación del
trabajo realizado..
Los alumnos
desarrollan
ejercicios
propuestos del
modulo
correspondiente
Ecuaciones de
segundo grado.
ejercicios planteados. Presentación de trabajo individual o grupal
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
BIBLIOGRAFÍA Gonzales Caicedo, Walter Orlando y Otros. (2009). Modulo de Lógico Matemática. Lambayeque – Perú. Moisés, Lázaro. (2007). Matemática Básica Tomos I y II. Editorial Moshera. Perú. Venero Baldeon, Armando. Matemática Básica. Espinoza Ramos, E. (2002). Matemática Básica. Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú.
ANEXO Nº 01
Si usted quiere exportar productos agrarios y desea saber que dimensiones debe tener una caja cuyo volumen es 1500cm3, sabiendo que debe tener 5 cm de altura y de ancho cinco cm. más que de largo. Calcular la longitud y la anchura.
SOLUCION:
Sabemos que el volumen se representa por:
V= a.b.c
1500 = 5.x. (x + 5)
Pues, aquí se plantea una ecuación de segundo grado, es decir: Desarrollando queda 5x2 + 20x - 1500 = 0. Resolviendo la ecuación obtenemos x1 = -20 y x2 = 15. La primera solución (-20) no vale, por lo tanto la solución es x = 15 cm de largo. La caja mide: 5 x 15 x 20
ANEXO Nº 02
Recuerda: “Cuanto menos habla el hombre de sus virtudes, más lo apreciamos”. Emerson Objetivo : Lograr motivar a los estudiantes y reflexionar.
ANEXO Nº 03
USS. MODULO DE LÓGICO MATEMÁTICA
ECUACIÓNES DE SEGUNDO GRADO
1. CONCEPTO: Denominada también ECUACIÓN CUADRÁTICA, es aquella ecuación polinomial de una incógnita de la forma general:
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
ax2 + bx + c = 0; a 0
2. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:
Sea: ax2 + bx + c = 0; a 0 ...... (1)
Multiplicando por 4a la ecuación (1), tenemos:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 4a2x2 + 4abx = -4ac
Sumando b2 en ambos miembros, para formar en el primero un trinomio cuadrado perfecto:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac Luego:
(2ax + b)2 = b2 – 4ac Extrayendo raíz cuadrada, se tiene:
ac4bbax2 2
2ax + b = ac4b2
Despejando la incógnita x, resulta:
a2
ac4bbx
2
Que viene a ser la solución general de la ecuación cuadrática (1). Establecida por FRANCOISE VIETE en el siglo XVI.
3. DISCRIMINANTE O VARIANTE Se denomina así a la cantidad subradical de la solución general: b2 – 4ac, y se
le simboliza por la letra griega mayúscula « »; es decir:
ac4b2
4. RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
De la solución general, se obtienen:
a2
bx1 ó
a2
bx2
Para conocer los valores de estas raíces, a partir de la ecuación polinomial:
ax2 + bx + c = 0; a 0 Se reemplazan directamente los valores de los parámetros a, b y c. Pero. Si el polinomio cuadrático se puede factorizar fácilmente, entonces se realiza este procedimiento, obteniéndose dos factores lineales; para luego igualar a cero cada uno de éstos.
5. DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON COEFICIENTES REALES Tenemos: ax2 + bx + c = 0 La naturaleza de las raíces de la ecuación:
ax2 + bc + c; a, b, c R y a 0
Viene caracterizada por el valor que asume el discriminante , es decir:
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
CASO 1:
Si > 0, las raíces serán reales y diferentes. Ejemplo: Resolver: 3x2 – 5x +1 = 0
Solución: Cálculo del discriminante:
= (-5)2 – 4(3)(1) = 13 donde: > 0 Luego, reemplazando en la solución general:
X = )3(2
13)5(
De aquí: x1 = 6
135 ó x2 =
6
135
Las raíces son reales y diferentes.
CASO 2:
Si > 0, las raíces serán reales e iguales; esto es, una raíz real doble.
Ejemplo: Resolver: 4x2 – 12x + 9 = 0 Solución:
Análogamente: = (-12)2 – 4(4)(9)=0
En la solución general: x = )4(2
0)12(
De aquí: x1 = x2 = 2
3
CASO 3:
Si <0, las raíces serán imaginarias y conjugadas. Ejemplo: Resolver: x2 – 2x + 2=0 Solución:
De igual manera: = (-2)2 – 4(1)(2)=-4
Donde: < 0, y en la solución general:
X = )1(2
4)2(
De aquí x1 = 1 + i ó x2 = 1 - i Las cuales son imaginarias y conjugadas.
6. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON COEFICIENTES REALES Sean las funciones:
y = f(x) = ax2 + bx + c; a 0
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
y = g(x) = 0
Si: f(x) = g(x)...... ( ) Se obtiene la ecuación cuadrática:
ax2 + bx + c = 0; a 0
De la igualdad de funciones ( ), se deben calcular aquellos x (x1 y x2) para los cuales las ordenadas de ambas funciones (y1 y y2) son las mismas; es decir, geométricamente, hallar los puntos de intersección de las gráficas de estas funciones, como se muestra en la figura:
Donde y1 = y2 = 0 y x1 x2 Siendo las abcisas de los puntos de intersección (x1; 0) y (x2, 0) de las gráficas
de f y g, las raíces de la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0; a 0 Ejemplo Resolver gráficamente: 2x2 – x – 15 = 0 Solución: Tenemos la gráfica de la función cuadrática
y = f(x) = 2x2 – x – 15
Las abcisas de los puntos P y Q de intersección de la gráfica de F y el eje horizontal, nos representan las raíces o soluciones de la ecuación. Observar que; para:
Y
y =f(x)
y = g(x)
X
(x1,y1) (x2,y2)
Y
y =f(x)
F
P Q X
(-5/2,0) (3,0)
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
)0;3(Q
0;2
5P
:puntoslosgeneranSe
0Fy3x
02
5y
2
5x
)3(
7. INTERPRETACION GEOMÉTRICA DE LA DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA DE COEFICIENTES REALES.
En la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0; a 0 sabemos que la naturaleza de
sus raíces viene dada por el valor del discriminante « ». Según esto, geométricamente, se obtienen gráficamente lo siguiente:
CARACTERISTICAS DEL DESCRIMINANTE
COEFICIENTE PRINCIPAL
REPRESENTACIÓN GEOMETRICA
NATURALEZA DE LAS RAICES
> 0
a > 0 X1 X2 LOS RAÍCES SON
REALES Y DIFERENTES
X1 X2
a < 0 X1 X2
= 0
a > 0 X1 = X
2 LAS RAÍCES SON REALES E IGUALES X1 = X2 O UNA RAÍZ
REAL DOBLE a < 0
X1 = X2
< 0
a > 0 LAS RAÍCES SON
IMAGINARIAS Y CONJUGADAS
a < 0
OBSERVACION: Dada la ecuación cuadrática con coeficientes racionales:
ax2 + bx + c = 0; a 0
Si su discriminante es un número cuadrado perfecto, las raíces de dicha ecuación siempre serán racionales. Si no es así, serán irracionales y conjugados. Ejemplo: Resolver: 2x2 – x – 6 = 0 • Cálculo del discriminante:
= (-1)2 – 4(2)(-6)= 49 (cuadrado perfecto) Luego reemplazando en la solución general:
X = ;)2(2
49)1( de la cual se obtienen:
X1 = 2 ó x2 = -3/2 Las cuales son números racionales.
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
8. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA (Teoremas de Viéte) Si x1 y x2 son raíces de la ecuación cuadrática:
ax2 + bx + c = 0; a 0 Entonces, se verifica las siguientes propiedades: TEOREMA 1: Suma de Raíces
x1 + x2 = -a
b
TEOREMA 2: Producto de Raíces
x1 • x2 = a
c
TEOREMA 3: Diferencia de Raíces
X1 – x2 = a
Las anteriores propiedades se verifican en una ecuación cuadrática con coeficientes de naturaleza arbitraria (reales o complejos). Ejemplo: Si x1 y x2 son raíces de la ecuación cuadrática: 2x2 + 6x + 3 = 0 Se cumplen las relaciones de Viéte:
• x1 + x2 = –2
6= –3
• x1 • x2 = 2
3
Tenemos: = (6)2 – 4(2)(3)=12; entonces:
• x1 – x2 = 32
32
2
12
OBSERVACION: Propiedades auxiliares.
TEOREMA 4: (X1 + X2)2 + (X1 – X2)
2 = 2(X12 + X2
2) TEOREMA 5: (X1 + X2)
2 – (X1 – X2)2 = 4X1X2
9. FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA A PARTIR DE SUS
RAÍCES (Teorema Recíproco de Viéte). Demostración Inductiva: Sean x1 y x2 las raíces de cierta ecuación cuadrática de incógnita x; es decir:
x = x1 ó x = x2 Por transposición de términos, se tienen:
x – x1 = 0 ó x – x2 = 0 Los cuales se obtienen a partir de:
(x – x1) (x – x2) =0 Efectuando: x2 – (x1 + x2)x +x1 x2 = 0 Llamando
a: x1 + x2 = S y: x1 • x2 = P
Se obtiene: x2 – Sx + P = 0 ....... ( )
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
(A esta ecuación se le denomina canónica, normalizada u ordinaria, debido a que su coeficiente principal es la unidad). Ejemplo:
Formar una ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean 10
293 ó
10
293
Solución: Tenemos: • Asumiendo que dichos valores son x1 y x2 respectivamente. Calculemos S y
P por separado:
S = 5
3
10
6
10
293
10
293
P = 5
1
100
20
100
293
10
293
10
29322
Aplicando la fórmula “ ”, se tiene:
X2 - 05
1x
5
3
Que expresa con coeficientes enteros, resulta: 5x2 – 3x – 1 = 0
Ejemplo:
Construir una ecuación cuadrática que acepte como raíces a:
2
i3 ó (-1 + 2i)
Solución: Calculando S y P se tienen:
S = 2
i3+(-1+2i)=
2
i51
P = 2
i3•(-1 + 2i) =
2
i55
La ecuación formada, será:
x2 - 02
i55x
2
i51
La cual reduce a: 2x2 – (1 + 5i)x – 5 + 5i = 0
Siendo: i = 1 , la unidad imaginaria.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación:
x2 – 3x + 1 = 0 Calcular el valor de:
Q = x1 (x12 + 1) +x2 (x2
2 + 1) SOLUCIÓN: En la Ecuación: x2 – 3x + 1 = 0 Por propiedades: (I) x1 + x2 = 3 (II) x1 . x2 = 1
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
Elevando (I) al cubo
(x1+x2)3=33 x1
3+x23+3(x1 . x2)(x1+x2)=27
x13 + x2
3+3(1)(3) = 27 x1
3 + x23 = 18
En: Q = x1 (x1
2 + 1) +x2 (x22 + 1)
Q = (x13 + x1) + (x2
3 + x2) Q = (x1
3 + x23) + (x1+ x2)
Q = 18 +3 Q = 21
2. Calcular las raíces de: 33 x16x72 =2
SOLUCIÓN: Elevando al cubo:
333 x16x72 =23
72–x–16+x-3 3333 x16x72x16•x72 =8
56 - 3 3 )x16)(x72( • 2 = 8
48 = 6 3 2xx881152
Elevando al cubo: 512 = 1152 – 88x + x2 0 = x2 – 88x + 640
Luego:(x - 80) (x - 8) = 08x
80x
2
1
3. Resolver x en la ecuación:
cbax
1
c
1
ba
1
x
1
SOLUCIÓN: Transponiendo se tiene:
x
1
cbax
1
c
1
ba
1
Efectuando miembro a miembro:
)cbax(x
cbaxx
)ba(c
bac
)cbax(x
)cba(
)ba(c
cba
Simplificando:
)cbax(x
1
)ba(c
1
Entonces: x(x+a+b+c) = -c(a+b) x2 + (a+b+c)x + c(a+b)=0 Factorizando: (x+a+b)(x+c)=0 Luego:
x + a + b = 0 v x +c = 0
x1 = -a – b x2 = -c
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
ANEXO Nº04
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº07
I. RESOLVER CADA UNA DE LAS SIGUIENTES PROBLEMAS:
1. Resolver la ecuación: 2235x12x27x12x 22 . Indicando una raíz.
2. Calcular m, si las raíces de la ecuación: (m+1)x2 – 2mx + (m-3) = 0. Son iguales.
3. En la ecuación: bc
a1
b
xa
c
xa
bc
)a2x(x 2
Una de las raíces es.
4. Formar la ecuación de 2do. Grado cuyas raíces son:
m33
33x;
m33
33x 21
5. Indicar una de las raíces de x luego de resolver la ecuación: 9mx2 + 12(m+1)x + 8 = m3
6. Indicar la suma de las raíces que admite la ecuación: 2
5
x2
x6
x6
x2
7. Hallar m en: x2 + 2(m–1)x + (m-1)2 = 0 m>1 Si: 11
58
x
x
x
x
1
2
2
1 (x1 y x2 raíces
de la ecuación). 8. Siendo x1; x2 las raíces de la ecuación: x2 + 5x + 7 = 0. Determinar: E
= 32
21
22
31
xxxx
9. Formar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean 5 veces las raíces de la ecuación: 3x2–x+1 = 0
10. Si una de las raíces de x2 + ax + b = 0 es el cubo de la otra hallar: b[(b-1)2+4a2]
11. Determine p+1 tal que la ecuación en x, 2px2 +4px+5p=3x2+x+8 el producto de sus raíces sea igual a 2 veces su sumas.
12. Sea la ecuación ax2 – 8x + 6=0 encontrar el valor de “a” para que su
conjunto solución sea {00
3; rr }
13. Escr ib i r una ecuación de segundo grado cuyas soluc iones son: 3 y −2.
14. La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Hal la dichos números.
15. Dent ro de 11 años la edad de Pedro será la mi tad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.
II. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES
16. 25x2 - 1 = 0
17. x3 + 10x2 + 25x = 0
18. x3 + x2 - 6x = 0
19. x2 + 2x - 5 = 0 (sugerencia: puede escribirse como x2+2x+1-6=0)
20. x4 + x3 -9x2 - 9x = 0 21. x2 = 81 22. 14x2 - 28 = 0 23. (x + 6)(x - 6) = 13 24. (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0 25. (x + 11)(x - 11) = 23
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
26. x2 = 7x 27. 21x2 + 100 = - 5 28. 2x2 - 6x = 6x2 - 8x 29. (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 30. (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)
III. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES RACIONALES
31. Desarrollar:
Solución:
2
1 x
12x 12x2x
Luego: La soluc ión es:
A partir del ejemplo anterior desarrollar los siguientes ejercicios
32. 4x
1
2x
1
2x
12
33. 6
13x1
x
3
34. Hal la un número entero sabiendo que la suma con su
inverso es 26/5.
35. 09
28
4
322
2
x
x; Solución: x1=5, x2=-5, x3= 4, x4=-4
36. 32 33
xx
x
x ; Solución: x1= i, x2= -i,
IV. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES BICUADRADAS
Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar: ax4 + bx 2 + c = 0 Para resolver ecuaciones bicuadradas , efectuamos el cambio x 2 = t , x 4 = t 2 ; con lo que genera una ecuación de segundo grado con la incógni ta t : at 2 + bt + c = 0 Por cada valor posit ivo de t habrá dos valores de x:
Ejemplo: Solución:
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
Sea: Tenemos:
Entonces:
Luego:
OBSERVACIÓN: El mismo procedimiento podemos ut i l izar para resolver las ecuaciones del t ipo: ax6 + bx3 + c = 0 ax8 + bx4 + c = 0 ax1 0 + bx5 + c = 0
A partir del ejemplo anterior desarrollar los siguientes ejercicios
37. 06x7x 36
38. x4 − 10x2 + 9 = 0
39. 036x13x 34
40. x4 − 61x2 + 900 = 0 41. x4 − 25x2 + 144 = 0 42. x4 − 16x2 − 225 = 0
V. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES
IRRACIONALES Para la resoluc ión de ecuaciones i r rac ionales se debe tener en cuenta lo s iguiente: 1º Se aís la un radical en uno de los dos miembros, pasando al ot ro miembro e l resto de los términos, aunque tengan también radicales. 2º Se e levan a l cuadrado los dos miembros. 3º Se resuelve la ecuación obtenida. 4º Se comprueba si las soluciones obtenid as ver i f ican la ecuación inicial . Hay que tener en cuenta que a l e levar a l cuadrado una ecuación se obt iene otra que t iene las mismas soluc iones que la dada y, además las de la ecuación que se obt iene cambiando e l s igno de uno de los miembros de la ecuación. 5º Si la ecuación t iene var ios radicales, se repi ten las dos pr imeras fases del proceso hasta e l iminar los todos.
Ejemplo: Desarro l lar 1x3x2
Solución: 1º Ais lamos e l radical :
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
1x3x2
2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:
)1()32( 2 xx
1x2x3x2 2
3ºResolvemos la ecuación:
04x4x 2
Es decir :
0)2(x
4ºComprobamos:
1232.2
Luego: La ecuación t iene por soluc ión x = 2 .
A partir del ejemplo anterior desarrollar los siguientes ejercicios
43. 24xx
44. 1x3x2
45. x214x5
46. x2111x3
47. 64x1x2
48. 21311 x ; Solución: x= 2601
49. 11213 xx ; Solución: x1=1, x2= 5,
50. 4
144
x
xxx
; Solución: x= 5
top related