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Volumen de RevoluciónEjemplo

Se obtiene al hacer girar una región limitada alrededor deun eje. Por ejemplo, si la función: gira sobreel eje 0x:

1x)x(f 2

Sólidos de Revolución conocidos

ALGUNAS APLICACIONES

ALGUNAS APLICACIONES

Un sólido de revolución es una región del espacio generada porla rotación de una región plana en torno a un eje de rotación.Estudiaremos a continuación el problema del volumendeterminado por dichas regiones aplicando el METODO DE LOSDISCOS

MÉTODO DE DISCOS

Diferencial devolumen

∆xi

f(xi)

xi

y=f(x)

f(xi)

MÉTODO DE DISCOS

a xi b

f(xi)

MÉTODO DE DISCOS

Sea f una función continua en el intervalo[a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen delsólido obtenido al girar alrededor del eje X laregión limitada por la curva y= f(x), las rectasx=a, x=b y el eje X es:

giro alrededor del eje X

2

1

2

lim [ ( )]

[ ( )]

n

i in

i

b

a

V f x x

f x dx

Ejemplo 1:Calcule el volumen del sólido generado al rotaralrededor del eje X la región acotada por la curvay = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

9

Para obtener el volumen del sólido al girar la región R, alrededor deleje y, debemos dejar a x en función de y, sea por ejemplo la función:x=2/y y el intervalo:

giro alrededor del eje y

MÉTODO DE DISCOS

El volumen obtenido al girar la región limitada porla curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c,y = d (c < d), alrededor del eje y será igual a:

11

Ejemplo 2:Calcule el volumen del sólido de revolucióngenerado al rotar alrededor del eje Y la regiónlimitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0,y = 1.

y

Método de las arandelas

Cuando la región a girar está limitada por dosfunciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectasx=a y x=b.

Diferencial devolumen

f(xi)

x

y= f(x)

f(x)-g(x)

f(xi)g(xi)

xi

a bx

y= g(x)

TEOREMA

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] talesque f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumendel sólido generado al rotar alrededor del eje X laregión limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a yx=b será:

n

2 2

1

2 2

lim ([ ( )] [ ( )] )

([ ( )] [ ( )] )

n

i i in

i

b

a

V f x g x x

f x g x dx

Ejemplo 3: Encuentre el volumen del sólido de revolución generado algirar sobre el eje y el área delimitada por la curva y=x² y la recta y=2x

15

Ejemplo 4:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededordel eje X de la región acotada por la parábola y = x2 + 1 yla recta y = x + 3.

17

y = x2 + 1 ------ (1)

y = x + 3 --------(2)

Encontraremos los puntos de intersección de ambas curvas:

Igualando (1) y (2): x2 + 1 = x + 3 ; x2 - x - 2 = 0 ;

(x - 2)( x +1) = 0

Integraremos desde x= -1 hasta x=2

El método de loscasquetescasquetescilíndricos

El método de los casquetes cilíndricos

Es un método del cálculo integral que permiteevaluar volúmenes de sólidos de revolución.

En ciertas situaciones es el único método viable.

El método de las secciones transversales nosiempre es fácil de aplicar y a veces no puedeaplicarse en absoluto.

Planteamiento general

El volumen de uncasquete cilíndrico secalcula restando alvolumen del cilindroexterior el volumen delexterior el volumen delcilindro interior :

2 1

2 22 1

V V V

r h r h

2 1

2 22 1

2 22 1( )

V V V

r h r h

r r h

2 1

2 1 2 1

2 12 1

( )

( )( )

2 ( )2

2

r r h

r r r r h

r rr r h

rh r

El volumen de un casquete cilíndrico

2V rh r

V = (circunferencia)(altura)(grosor)V = (circunferencia)(altura)(grosor)

Para espesores lo suficientemente pequeños, el volumen seráigual a:

TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo [a, b].Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y lasrectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, elvolumen obtenido será:

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Un caso:

Hallar el volumen del sólido de revolución que se generaal hacer girar alrededor del eje y la región que estácomprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje xy las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.

Dividimos el intervalo [a, b]en n subintervalos todos delmismo ancho.

Sea xi* el punto medio delsubintervalo i-ésimo.

Un caso:

subintervalo i-ésimo.

Consideramos el rectánguloRi construido sobre elsubintervalo i-ésimo conuna altura de f (xi*).

Lo hacemos girar en tornodel eje y.

Se produce un casquetecilíndrico que tiene comovolumen:

Un caso:

volumen:

(2 *) ( *)i i iV x f x x

El método de los casquetes cilíndricos

Se ponen n casquetescilíndricos de éstos, losunos dentro de los otros.

Se suman todos susvolúmenes:

1 1

(2 *) ( *)n n

i i i

i i

V V x f x x

El método de los casquetes cilíndricos

La aproximación alvolumen del sólido serámejor entre más grandesea n, el número desea n, el número decasquetes cilíndricos.

Se puede mostrar que:

1

lim (2 *) ( *) 2 ( )n b

i in a

i

V x f x x x f x dx

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacergirar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante,entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.

Ejemplo 5.

Para calcular el volumense podría pensar enutilizar el método de las

El inicio del desarrollo:

utilizar el método de lassecciones transversales.

En este caso seríansecciones horizontales.

Pero…Las secciones transversalesson, en unas zonas discoscompletos y, en otras,arandelas, es decir, discoscon hueco.

y = −x3 + 4x2 − 3x + 1

Además es necesarioexpresar tanto el radio delos discos como el radiointerior y exterior de lasarandelas en función de lavariable y, lo que no es fácilde lograr en este caso.

En cambio…

El método de los casquetescilíndricos funciona muybien en este caso.

Consiste en dividir el sólidoConsiste en dividir el sólidode revolución en una seriede casquetes cilíndricos quese incrustan los unos dentrode los otros y en integrarluego los volúmenes deestos casquetes para obtenerel volumen total.

Dividimos el sólido derevolución en una seriede casquetes cilíndricosque se incrustan los unosdentro de los otros.

La altura de los casquetescilíndricos varía deacuerdo a la función:

f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1

La integral para el volumen es:

3

0

33 2

0

34 3 2

2 ( )

2 ( 4 3 1)

2 ( 4 3 )

x f x dx

x x x x dx

x x x x dx

0

35 24 3

0

2 ( 4 3 )

992

5 2 5

x x x x dx

x xx x

Ejercicio 6:Determine el volumen del sólido de revolucióngenerado al girar alrededor del eje Y la regiónlimitada por la curva y = 3x – x3, el eje y, y larecta y = 2.

37

Ejercicio 7:La región limitada por la curva y = x2, las rectasy = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3.Calcule el volumen generado.

38

y = -3

Cuando la región está delimitada por doscurvas

Hallar el volumen del sólido derevolución que se genera al hacergirar, alrededor del eje y, lagirar, alrededor del eje y, laregión que está delimitada por laparábola y = − x2 + 4x − 3, por la cúbica y = x3 − 6x2 + 12x − 5 y por las verticales x = 1 y x = 3.

En este caso, a diferencia delos ejemplos anteriores, haydos funciones involucradasque son:que son:

3 2

2

( ) 6 12 5

( ) 4 3

g x x x x

f x x x

Esta vez, los casquetes no sólovarían en cuanto a su radio y asu altura, sino que varíanademás en cuanto a su

La altura del casquetecilíndrico

además en cuanto a suubicación respecto del eje x:

Arriba: y = x3 − 6x2 + 12x − 5

Abajo: y = − x2 + 4x − 3

En este caso, un casquetecilíndrico de radio x tiene

La altura del casquetecilíndrico

cilíndrico de radio x tienecomo altura:

3 2 2

3 2

( ) ( )

( 6 12 5) ( 4 3)

5 8 2.

g x f x

x x x x x

x x x

La integral para el volumen es:

3 33 2

1 1

35 4 334 3 2 2

1

2 ( ) ( ) 2 5 8 2

5 82 5 8 2 2

5 4 3

x g x f x dx x x x x dx

x x xx x x x dx x

1

1

35 4 3 2

1

5 4 3

29212 75 160 60 .

30 15x x x x

Hallar el volumen del sólido de revolución que se produce al hacergirar alrededor de la recta vertical x = 1, la región que estácomprendida entre el eje x, la curva y = f (x) y las rectas verticalesx = 2, x = 3

La región gira alrededor de una vertical distinta al eje y

Lo especial de este ejemplo:

El radio de uncasquete cilíndricocualquiera, quetiene como altura f(x), es x − 1, y no (x), es x − 1, y no x como en loscasos anteriores,porque el sólidotiene como eje derotación a la rectax = 1.

En este caso, la integral delvolumen es:

3

22 ( 1) 2 2V x x x dx 2

2

2 ( 1) 2 2V x x x dx

3

2

2

3 32

2 2

2 ( 1) 2 2

4 ( 1) 2 ( 1) 2

V x x x dx

x dx x x x dx

La primera integral no tiene problema. Para evaluar lasegunda podemos hacer la sustitución u = x2 − 2x.

Por lo tanto, du = 2(x − 1)dx.

Los límites de integración: si x = 2, entonces u = 0 y si x =3, entonces u = 3. Así:

La integral del volumen es: