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7/25/2019 vigasdef.pdf
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Fórmulas de deformación de vigas www.vaxasoftware.com
Simbolo Magnitud Unidades
E·I Rigidez a flexión N·m2, Pa·m4
y Deflexión, deformación, flecha m
θ Pendiente, giro -
x Posición del punto de estudio (distancia desde el origen) m L Longitud de la viga (sin vano lateral) m
M Momento flector, flector, momento aplicado N·m
P Carga puntual, carga concentrada N
w Carga distribuida N/m
R Reacción N
V Esfuerzo cortante, cortante N
Viga simple apoyada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión )2(24
3230AB x Lx L EI
xw
y +−
−
=
EI
Lw y
384
5 4
0MAX
−= para
2
L x =
Pendiente )46(24
3230AB x Lx L
EI
w+−
−=θ
EI
Lw
24
3
0BA
−=−= θ θ
Momento )(2
0AB x L
xw M −=
8
20
MAX
Lw M = para
2
L x =
Cortante )2(2
0AB x L
wV −=
Reacciones2
0BA
Lw R R ==
7/25/2019 vigasdef.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/vigasdefpdf 2/25
Viga simple apoyada - Carga uniforme en la mitad del vano
Deflexión )16249(384
3230AC x Lx L
EI
xw y +−
−=
)17248(384
32230CB L x L Lx x
EI
Lw y −+−
−=
Pendiente )64729(384
3230AC x Lx L
EI w +−−=θ
)174824(384
220CB L Lx x
EI
Lw+−
−=θ
EI
wL
128
3 3
A
−=θ
EI
wL
384
7 3
B =θ
Momento )43(8
20AC x Lx
w M −= )(
8
20CB Lx L
w M −=
Cortante )83(8
0AC x L
wV −=
8
0CB
LwV
−=
AA RV = BB RV −=
Reacciones8
30
A
Lw R =
8
0B
Lw R =
Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial en un lado
Deflexión:
)4244(24
322222340AC
LxaLx xa La Laa LEI
xw y +−++−
−=
)264(24
322222
0CB x Lx xa x L La
LEI aw y +−++−−=
Pendiente:
)412644(24
322222340AC LxaLx xa La Laa
LEI
w+−++−
−=θ
)6124(24
2222
0CB x Lxa L
LEI
aw+−+
−=θ
Momento:
)2(2
220AC LxaLx xa
L
w M +−
−= )(
2
2
0CB x L
L
aw M −=
Cortante:
)22(2
20AC LxaLa
L
wV +−
−=
L
awV V V
2
2
0BCCB
−===
Reacciones )2(2
0A a L
L
aw R −=
L
aw R
2
2
0B =
7/25/2019 vigasdef.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/vigasdefpdf 3/25
Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial
Deflexión x EI
x R y α +=
6
3
AAC xa x
EI
w
EI
x R y α +−−= 40
3
ACD )(
246
L
x L
EI
x L R y
)(
6
)( 3
BDB
−+
−=
β
Pendiente: α θ += EI
x R
2
2A
AC α θ +−−= 30
2A
CD)(
62a x
EI
w
EI
x R
L EI
x L R β θ −
−−=
2
)( 2
BDB
Momento x R M AAC = 20ACD )(
2a x
w x R M −−=
)(BDB x L R M −=
Cortante ACAAC RV V V === )(0ACD a xw RV −−=
BBDDB RV V V −===
Reacciones )2(2
0A bc
L
bw R += )2(2
0B ba
L
bw R +=
Siendo:
LEI
ba L R Lc R EI Lbw
6
)(336 2
A
2
B
3
0 +−−−=
β α
EI
c R Lc Rba Rbwabw
24
812)(834 3
B
2
B
3
A
4
0
3
0 +−+−+= β
Viga simple apoyada - Cargas uniformes parciales dist intas a cada lado
Momento2
2
1AAC
xw x R M −=
)2(21
ACD a xaw
x R M −−= 2
)()(
2
2BDB
x Lw x L R M −
−−=
Cortante:
xw RV 1AAC −= aw RV 1ACD −= )(2BDB x Lw RV −+−=
Reacciones:
L
cwa Law R
2
)2( 2
21A
+−=
L
awc Lcw R
2
)2( 2
12B
+−=
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Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente en todo el vano
Deflexión )3107(360
42240AB x x L L
LEI
xw y +−
−=
EI
Lw y
4
0MAX 00652,0−= para x = 0,5193L
Pendiente )15307(360
42240AB x x L L
LEI w +−−=θ
EI
Lw
360
7 3
0A
−=θ
EI
Lw
45
3
0B =θ
Momento )(6
320AB x x L
L
w M −=
Cortante )3(6
220AB x L
L
wV −=
Reacciones
6
0A
Lw R =
6
2 0B
Lw R =
Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente hacia el centro
Deflexión 2220
AC )45(960
x L LEI
xw y −
−=
2220CB ))(45(
960
)( x L L
LEI
x Lw y −−
−−=
EI
Lw y
120
4
0MAX
−= para
2
L x =
Pendiente )4)(45(192
22220
AC x L x L LEI
w−−
−=
θ
))(4)()(45(192
22220CB x L L x L L
LEI
w−−−−=θ
EI
Lw
192
5 3
0BA
−=−= θ θ
Momento )43(12
320AC x x L
L
w M −=
))(43(12
)( 220CB x L L
L
x Lw M −−
−=
Cortante )4(4
220AC x L
LwV −= ))(4(
4220
CB x L L LwV −−−=
Reacciones4
0BA
Lw R R ==
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Viga simple apoyada - Carga senoidalmente dist ribuida
Deflexión L
x
EI
Lw y
π
senπ
4
4
0AB
−=
EI
Lw y
4
4
0MAX
π
−= para
2
L x =
Pendiente L
x
EI
Lw π
cosπ
3
30
AB−=θ
EI
Lw3
30
BAπ
−=−= θ θ
Momento L
x Lw M
π
senπ
2
2
0AB =
Cortante L
x LwV
π
cosπ
0AB =
π
0BA
LwV V =−=
Reaccionesπ
0BA
Lw R R ==
Viga simple apoyada - Carga puntual en el centro
Deflexión )43(48
22
AC x L EI
Px y −
−=
))(43(48
)( 22
CB x L L EI
x LP y −−
−−=
EI
PL y y
48
3
CMAX
−== para
2
L x =
Pendiente:
)4(16
22
AC x L EI
P −−=θ )384(16
22
CB L Lx x EI
P +−−=θ
EI
PL
16
2
BA =−= θ θ
Momento 2
AC
Px M =
2
)(CB
x LP M
−=
Cortante2
AAC
PV V ==
2BCB
PV V −
==
Reacciones
2
BA
P R R ==
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Viga simple apoyada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión )(6
222
AC xb L LEI
Pbx y −−
−=
[ ]222
CB )(6
)( x La L
LEI
x LPa y −−−
−−=
Pendiente:
)3(6
222
AC xb L LEI
Pb−−
−=θ [ ]222
CB )(36
x La L LEI
Pa−−−=θ
LEI
b LPb
6
)( 22
A
−−=θ )(
6
22
B a L LEI
Pa−=θ
Momento L
Pbx M =AC
L
x LPa M
)(CB
−=
Cortante L
PbV V == AAC
L
PaV V −
== BCB
Reacciones L
Pb
R =A L
Pa
R =B
Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
Deflexión )33(6
22
AC xaaL EI
Px y −−
−=
)33(6
22
CD a x Lx EI
Pa y −−
−=
[ ]22
DB )(336
)( x LaaL
EI
x LP y −−−
−−=
)43(24
22MAX a L
EI Pa y −−= para
2 L x =
Pendiente )(2
22
AC xaaL EI
P−−
−=θ )2(
2CD x L
EI
Pa−
−=θ
[ ]22
DB )(2
x LaaL EI
P−−−=θ
EI
aaLP
2
)( 2
BA
−−=−= θ θ
Momento Px M =AC Pa M =CD )(DB x LP M −=
Cortante PV =AC
0CD
=V PV −=DB
Reacciones P R R == BA
Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas asimétricamente
Momento x R M AAC = )(ACD a xP x R M −−=
)(BDB x L R M −=
Cortante AAC RV = P RV −= ACD BDB RV −=
Reacciones L
ba LP R
)(A
+−=
L
ab LP R
)(B
+−=
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Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales desiguales situadas asimétricamente
Momento x R M AAC = )(1ACD a xP x R M −−=
)(BDB x L R M −=
Cortante AAC RV = 1ACD P RV −= BDB RV −=
Reacciones L
bPa LP
R21
A
)( +−
= L
aPb LP
R12
B
)( +−
=
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado derecho
Deflexión )(6
220AB x L
LEI
x M y −
−=
Pendiente )3(6
220AB x L
LEI
M −
−=θ
EI
L M
6
0A
−
=θ EI
L M
3
0B =θ
Momento L
x M M 0
AB =
Cortante L
M V 0
AB =
Reacciones L
M R 0
A = L
M R 0
B
−=
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado izquierdo
Deflexión )32(6
220AB x Lx L
LEI x M y +−=
EI
L M y
39
2
0MAX = para L x ⎟
⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
3
33
Pendiente )362(6
220AB x Lx L
LEI
M +−=θ
EI
L M
3
0A =θ
EI
L M
6
0B
−=θ
Momento )(0AB x L
L
M M −
−=
Cortante L
M V 0
AB =
Reacciones L
M R 0
A = L
M R 0
B
−=
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Viga simple apoyada - Momento horario en el extremo izquierdo
Deflexión )32(6
220AB x Lx L
LEI
x M y +−
−=
EI
L M y
39
2
0MAX
−= para L x ⎟
⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ −=
3
33
Pendiente )362(6
220AB x Lx L
LEI
M +−
−=θ
EI
L M
3
0A
−=θ
EI
L M
6
0B =θ
Momento )(0AB x L
L
M M −=
Cortante L
M V 0
AB
−=
Reacciones L
M R 0A
−= L
M R 0B =
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el centro
Deflexión )4(24
220AC x L
LEI
x M y −
−=
))(4(24
)( 220CB x L L
LEI
x L M y −−
−=
Pendiente )12(
24
220AC x L
LEI
M −
−=θ
))(12(24
220CB L x L
LEI
M −−=θ
)3(6
220A b L
LEI
M −
−=θ )3(
6
220B a L
LEI
M +−=θ
Momento L
x M M 0
AC = )(0CB x L
L
M M −
−=
Cortante L
M V 0
AC = L
M V 0
CB =
Reacciones L
M
R0
A = L
M
R0
B
−
=
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Viga simple apoyada - Momento antihorario en cualquier punto
Deflexión )3(6
2220AC xb L
LEI
x M y −−
−=
))(3(6
)( 2220CB x La L
LEI
x L M y −−−
−=
Pendiente )33(6
2220AC xb L
LEI M −−−=θ
))(33(6
2220CB x La L
LEI
M −++−=θ
)3(6
220A b L
LEI
M −
−=θ )3(
6
220B a L
LEI
M +−=θ
Momento L
x M M 0
AC = )(0CB x L
L
M M −
−=
Cortante L
M V 0
AC = L
M V 0
CB =
Reacciones L
M R 0
A = L
M R 0
B−=
Viga simple apoyada - Dos momentos dis tintos antihorario + horario en los extremos
Deflexión [ ] L M M x M M LEI
x L x y )2()(
6
)(2121AB +−−
−−=
Pendiente:
[ ])2)(2()23)((
6
1 2
21
2
21AB L Lx M M Lx x M M
LEI
−+−−−=θ
Momento [ ]121AB )(1
LM x M M L
M −−=
Cortante L
M M V 21
AB
−=
Reacciones L
M M R 21
A
−=
L
M M R 12
B
−=
Viga simple apoyada - Dos momentos dis tintos antihorario en los extremos
Deflexión [ ] L M M x M M LEI
x L x y )2()(6
)(2121AB −−+−−=
Pendiente:
[ ])2)(2()23)((6
1 2
21
2
21AB L Lx M M Lx x M M LEI
−−−−+=θ
Momento [ ]121AB )(1
LM x M M L
M −+=
Cortante L
M M V 21
AB
+=
Reacciones L
M M
R21
A
+
= L
M M
R21
B
−−
=
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Viga simple apoyada - Dos momentos iguales horario + antihorario en los extremos
Deflexión )(2
0AB x L
EI
x M y −
−=
EI
L M y
8
2
0MAX
−= para
2
L x =
Pendiente )2(2
0AB x L
EI M −−=θ
EI L M
2
0BA −=−= θ θ
Momento 0AB M M =
Cortante 0AB =V
Reacciones 0BA == R R
Viga en voladizo - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión )64(
24
22340AB x L Lx x
EI
w y +−
−=
EI
Lw y y
8
4
0BMAX
−== para x = L
Pendiente )33(6
2230AB x L Lx x
EI
w+−
−=θ
EI
Lw
6
3
0B
−=θ
Momento 20
AB )(2
x Lw
M −−
= 2
2
0AMAX
Lw M M −
==
Cortante )(0AB x LwV −=
Reacciones Lw R 0A =
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
Deflexión )46(24
43220AC xax xa
EI
w y +−
−=
)4(24
3
0CB a x
EI
aw y −
−=
)4(24
3
0BMAX a L
EI
aw y y −
−==
Pendiente )33(6
3220AC xax xa EI
w
+−−
=θ
EI
aw
6
3
0BCCB
−=== θ θ θ
Momento 20
AC )(2
xaw
M −−
= 0BCCB === M M M
2
2
0AMAX
aw M M −
==
Cortante )(0AC xawV −= 0BCCB === V V V
Reacciones aw R 0A =
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Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado libre
Deflexión )233(12
2
0AC xa L
EI
bxw y −+
−=
)464(24
4322340CB a xa x L Lx x
EI
w y +−+−
−=
Pendiente )(2
0AC xa L
EI bxw −+−=θ
)33(6
32230CB a x L Lx x
EI
w−+−
−=θ
)(6
330B a L
EI
w−
−=θ
Momento )2(2
0AC xa L
bw M −+
−= 20
CB )(2
x Lw
M −−
=
Cortante bwV V V 0CAAC === )(0CB x LwV −=
Reacciones bw R0A
=
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial
Deflexión
)236(12
2
0AC xba
EI
bxw y −+
−=
)4)(6)(4(24
4322340CD a xa xba xba x
EI
w y +−+++−
−=
))(])([4(24
44330DB abaaba x
EI
w y ++−−+
−=
Pendiente )2(2
0AC xba
EI
bxw−+−=θ
))(3)(3(6
32230CD a xba xba x
EI
w−+++−
−=θ
))((6
330DB aba
EI
w−+
−=θ
Momento )22(2
0AC xba
bw M −+
−=
20CD )(
2
xbaw
M −+−
= 0BDDB === M M M
Cortante bwV V V 0CAAC === )(0CD xbawV −+=
0BDDB === V V V
Reacciones bw R 0A =
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Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado libre en todo el vano
Deflexión )1020(120
3232
0AB x x L L
LEI
xw y +−
−=
EI
Lw y
120
11 4
0MAX
−= para x = L
Pendiente )68(24
3230AB x x L L
LEI
xw +−−=θ
EI
Lw
8
3
0B
−=θ
Momento )32(6
3230AB x x L L
L
w M +−
−=
Cortante )(2
220AB x L
L
wV −=
Reacciones
2
0A
Lw R =
Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado empotrado en todo el vano
Deflexión )51010(120
32232
0AB x Lx x L L
LEI
xw y −+−
−=
EI
Lw y
30
4
0MAX = para x=L
Pendiente )464(24
32230AB x Lx x L L
LEI
xw−+−
−=θ
EI
Lw
24
3
0B
−=θ
Momento 30AB )(
6 x L
L
w M −
−=
Cortante 20AB )(
2 x L
L
wV −=
Reacciones2
0A
Lw R =
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Viga en voladizo - Carga cosenoidalmente decreciente hacia el lado libre en todo el vano
Deflexión ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−
−= 332333
4
0AB ππ348
2
π
cos48π3
x Lx L L
x L
EI
Lw y
)24π(3π
2 3
4
4
0MAX −
−=
EI
Lw y para x = L
Pendiente ⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −−−=
L
x L x Lx
EI
Lw
2
π
sen8ππ2π
2222
3
0ABθ
)8π(π
2
3
3
0B −
−=
EI
Lwθ
Momento ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
−=
L
x L x L
Lw M
2
π
cos2ππ
π
22
0AB
Cortante ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
L
x LwV
2
π
sen1π
2 0AB
Reacciones π
2 0
A
Lw
R =
Viga en voladizo - Carga puntual en el extremo libre
Deflexión )3(6
32
AB x Lx EI
P y −
−=
EI
PL y y
3
3
BMAX
−==
Pendiente )2(
2
2
AB x Lx
EI
P−
−=θ
EI
PL
2
2
BMAX
−==θ θ
Momento )(AB x LP M −−= PL M M −== AMAX
Cortante PV V V === BAAB
Reacciones P R =A
Viga en voladizo - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión
)3(6
32AC xax
EI P y −−= )3(
6
2
CB a x EI Pa y −−=
)3(6
2
BMAX a L EI
Pa y y −
−==
Pendiente )2(2
2
AC xax EI
P−
−=θ
EI
Pa
2
2
BCCB
−=== θ θ θ
Momento )(AC xaP M −−= 0BCCB === M M M
Pa M M −== AMAX
Cortante PV V V === CAAC 0BCCB === V V V
Reacciones P R =A
7/25/2019 vigasdef.pdf
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Viga en voladizo - Momento horario en el extremo libre
Deflexión
EI
x M y
2
2
0AB
−=
EI
L M y
2
2
0MAX
−= para x = L
Pendiente EI
x M 0AB
−=θ
Momento 0BAAB M M M M −===
Cortante 0BAAB === V V V
Reacciones 0A = R
Viga en voladizo - Momento horario en cualquier punto
Deflexión
EI x M y
2
2
0AC −= )2(
20
CB a x EI
a M y −−=
)2(2
0MAX a L
EI
a M y −
−= para x = L
Pendiente EI
x M 0AC
−=θ
EI
a M 0BCCB
−=== θ θ θ
Momento 0AAC M M M −== 0BCB == M M
Cortante 0CAAC === V V V 0BCCB === V V V
Reacciones 0A = R
Viga empotrada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión 22
0AB )(
24 x L
EI
xw y −
−=
Pendiente )23(12
220AB x Lx L
EI
xw+−
−=θ
Momento )66(12
220AB x Lx L
w M +−
−=
Cortante )2(2
0AB x L
wV −=
Reacciones2
0BA
Lw R R ==
7/25/2019 vigasdef.pdf
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Viga empotrada - Carga uniforme en la mitad del vano
Deflexión )124(24
AA
2
0
2
AC M x R xw EI
x y −−
−=
EI
Lx LR M LR M L
EI
x R x LR M y
6
)2(3)3(
6
)(3
BBBB2
3
B
2
BBCB
+−++
+−+
=
Pendiente )63(6
AA
2
0AC M x R xw EI
x−−
−=θ
[ ])2()(22
1BBBB
2
BCB LR M L x LR M x R EI
+++−−
=θ
Momento2
2
0AAAC
xw M x R M −+= BBCB )( M x L R M +−=
Cortante xw RV 0AAC −= BCB RV −=
Reacciones L
M M Lw R BA0A
83 −−=
L M M Lw R BA0
B8
−+=
Siendo192
11 2
0A
Lw M
−=
192
5 2
0B
Lw M
−=
Viga empotrada - Carga uniforme parcial en un lado
Deflexión )124(24
AA
2
0
2
AC M x R xw EI
x y −−
−=
EI
Lx LR M LR M L
EI x R x LR M y
6
)2(3)3(
6)(3
BBBB
2
3
B
2
BBCB
+−++
+−+=
Pendiente )63(6
AA
2
0AC M x R xw EI
x−−
−=θ
[ ])2()(22
1BBBB
2
BCB LR M L x LR M x R EI
+++−−
=θ
Momento2
2
0AAAC
xw M x R M −+= BBCB )( M x L R M +−=
Cortante xw RV 0AAC −= BCB RV −=
Reacciones L
M M
L
ab Lw R BA0
A2
)( −−
+=
L
M M
L
aw R BA
2
0B
2
−+=
Siendo )386(12
22
2
2
0A a La L
L
aw M +−
−=
)34(12 2
3
0B a L
L
aw M −
−=
7/25/2019 vigasdef.pdf
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Viga empotrada - Carga uniforme parcial
Deflexión )3(6
AA
2
AC x R M EI
x y +=
[ ]2
A
3
A
4
0CD 124)(24
1 x M x Ra xw
EI y −−−
−=
EI
Lx LR M LR M L
EI x R x LR M y
6
)2(3)3(
6)(3
BBBB
2
3B2BBDB
+−++
+−+=
Pendiente )2(2
AAAC x R M EI
x+=θ
[ ] x M x Ra xw EI
A
2
A
3
0CD 63)(6
1−−−
−=θ
[ ])2()(2
2
1BBBB
2
BDB LR M L x LR M x R
EI
+++−−
=θ
Momento x R M M AAAC += 2
)( 2
0AACD
a xw M x R M −
−+=
)(BBDB x L R M M −+=
Cortante AAC RV = )(0ACD a xw RV −−= BDB RV −=
Reacciones L
M M bbcw R
2
22)2( BA0A
+−+=
L
M M bbaw R
2
22)2( BA0B
−++=
Siendo [ ]22
2
0A )2)(36()362(24 bcbabc Lb L
bw M +++−−
−
=
[ ]22
2
0B )2)(36()362(
24babcba Lb
L
bw M +++−−
−=
Viga empotrada - Carga puntual en el centro
Deflexión )43(48
2
AC x L EI
Px y −
−= )4(
48
)( 2
CB L x EI
x LP y −
−−=
Pendiente )2(8
AC x L EI
Px−
−=θ )23(
8
22
CB x Lx L EI
P+−
−=θ
Momento )4(8
AC x LP M −−= )43(8
CB x LP M −=
Cortante2
AC
PV =
2CB
PV
−=
Reacciones2
BA
P R R ==
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Viga empotrada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión )33(6 3
22
AC bxaxaL EIL
xPb y −−
−=
)3(6
)(3
22
CB axaLbx EIL
x LPa y +−
−−=
Pendiente )32(2 3
2
AC bxaxaL EIL
xPb−−−=θ
[ ]2
3
2
CB )3(2
)( Lab x
EIL
x LPa−+
−=θ
Momento )3(3
2
AC bxaxaL L
xPb M −−
−=
)2( 2
3
2
CB bx LxbL L L
Pa M −−+=
Cortante )2(3
2
AC a L L
Pb
V +=
)2(3
2
CB b L L
Pa
V +
−=
Reacciones )2(3
2
A a L L
Pb R += )2(
3
2
B b L L
Pa R +=
Viga empotrada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
Deflexión )33(6
22
AC LxaaL EIL
Px y −−
−=
)33(6
22
CD
aL x Lx EIL
Pa y −−
−=
))(33(6
)( 22
DB x L LaaL EIL
x LP y −−−
−−=
Pendiente )22(2
2
AC LxaaL EIL
Px−−
−=θ )2(
2
2
CD x L EIL
Pa−
−=θ
[ ])(222
)( 2
DB x L LaaL EIL
x LP−−−
−=θ
Momento )( 2
AC aaL Lx L
P M +−=
LPa M
2
CD = )( 22DB a La Lx L
LP M +−−=
Cortante PV =AC 0CD =V PV −=DB
Reacciones P R R == BA
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Viga empotrada - Momento antihorario en el centro
Deflexión )2(8
2
0AC L x
LEI
x M y −=
)425(8
32320CB L x L x Lx
LEI
M y +−−
−=
Pendiente )3(4
0AC L x
LEI x M −=θ )4610(
8
220CB L x Lx
LEI M −−−=θ
Momento )6(4
0AC L x
L
M M −= )65(
4
0CB x L
L
M M −
−=
Cortante L
M V
2
3 0AB =
Reacciones L
M R
2
3 0A =
L
M R
2
3 0B
−=
Viga empotrada - Momento antihorario en cualquier punto
Deflexión:
)22(2 3
2
0AC bLaxaL
EI L
bx M y −−
−= )2(
2
)(3
2
0CB aLbx
EI L
x La M y −
−=
Pendiente:
)32(3
0AC bLaxaL
EI L
bx M −−
−=θ )3(
)( 2
3
0CB bx L
EI L
x La M −
−=θ
Momento:
)62(3
0AC bLaxaL
L
b M M −−
−= )46(
3
0CB aLbLbx
L
a M M −−=
Cortante30
AB 6 L
ab M V =
Reacciones3
0A
6
L
ab M R =
3
0B
6
L
ab M R
−=
Siendo )2(2
0A ba
L
b M M −
−= )2(
2
0B ab
L
a M M −=
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión )253(48
222
0
AB x Lx L EI
xw
y +−
−
=
Pendiente )8156(48
220AB x Lx L
EI
xw+−
−=θ
Momento )45(8
220AB x Lx L
w M +−
−=
Cortante )85(8
0AB x L
wV −=
Reacciones8
5 0A
Lw R =
8
3 0B
Lw R =
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Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
Deflexión:
EIL
b L x Law xa Lw x L L R y
48
)3)(()(2)(8 3
0
4
0
3
BAC
+−−−−−=
EIL
b L x Law x L L R y
48
)3)(()(8 3
0
3
B
CB
+−−−=
Pendiente:
EIL
b Law xa Lw x L L R
48
)3()(8)(24 3
0
3
0
2
BAC
++−+−−=θ
EIL
b Law x L L R
48
)3()(24 3
0
2
BCB
++−−=θ
Momento2
)()(2 2
0BAC
xaw x L R M
−−−= )(BCB x L R M −=
Cortante )(0BAC xaw RV −+−= BCB RV −=
Reacciones L
M ab Lw R2
2)( A0A −+=
L M aw R
22 A
2
0B +=
Siendo2
22
0A
8
)(
L
ab Lw M
+−=
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado apoyado
Deflexión )3(6
AA
2
AC M x R EI
x y +=
EIL
aabbL x Lbw
EIL x L Lw x L L R y
48
)63)((
24)()(4
22
0
4
0
3
BCB
++−−+
+−−−=
Pendiente )2(2
AAAC M x R EI
x+=θ
EIL
aabbLbw
EIL
x L Lw x L L R
48
)63(
6
)()(3 22
0
3
0
2
BCB
+++
−+−−=θ
Momento AAAC M x R M +=
2
)()(2 2
0BCB
x Lw x L R M
−−−=
Cortante AAC RV = )(0BCB x Lw RV −+−=
Reacciones L
M bw R
2
2 A
2
0A
−=
L
M bbaw R
2
2)2( A0B
++=
Siendo [ ]2
2
2
0A ))(2(
16ba Lb L
L
bw M −++
−=
7/25/2019 vigasdef.pdf
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Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial
Deflexión )3(6
AA
2
AC M x R EI
x y +=
[ ] EIL
babcbab Lb x Lbw
EI
c x Lw x L R y
96
)2)(2(3)2(32)(
24
)()(4
2220
4
0
3
BCD
++++−−−+
+−−−−
=
[ ] EIL
babcbab Lb x Lbw
EI
x L R y
96
)2)(2(3)2(32)(
6
)(
222
0
3
BDB
++++−−−+
+−
=
Pendiente )2(2
AAAC M x R EI
x+=θ
[ ] EIL
babcbab Lbbw
EI
c x Lw x L R
96
)2)(2(3)2(326
)()(3
222
0
3
0
2
B
CD
++++−+
+−−+−−
=θ
[ ] EIL
babcbab Lbbw
EI
x L R
96
)2)(2(3)2(32
2
)(
222
0
2
BDB
++++−+
+−−
=θ
Momento AAAC M x R M +=
2
)()(2 2
0B
CD
c x Lw x L R M
−−−−=
)(BDB x L R M −=
Cortante AAC RV = B0CD )( Rc x LwV −−−= BDB RV −=
Reacciones L
M bcbw R
2
2)2( A0A
−+=
L
M bbaw R
2
2)2( A0B
++=
Siendo[ ]
2
2
0A
16
)2)(22()2)(2(
L
bbabc Lbbabcw M
−+++++−=
7/25/2019 vigasdef.pdf
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Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en el centro
Deflexión:
)119(96
2
AC x L EI
Px y −
−= ))(53(
96
)( 22
CB x L L EI
x LP y −−
−−=
Pendiente:
)116(32
AC x L EI Px −−=θ )5104(
3222
CB x Lx L EI P +−−=θ
Momento )113(16
AC x LP
M −−
= )(16
5CB x L
P M −=
Cortante16
11AC
PV =
16
5CB
PV
−=
Reacciones16
11A
P R =
16
5B
P R =
Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión )333(12
2223
3
2
AC xb x L Lb L EIL
Pbx y +−−
−=
)))(2(3(12
)( 22
3
2
CB x Lb LbL EIL
x LPa y −+−
−−=
Pendiente )322(4
2223
3AC xb x L Lb L EIL
Pbx+−−
−=θ
)2242(4
2223
3
2
CB bx LxbLx x L L EIL
Pa++−−
−=θ
Momento:
)3(2
2223
3AC xb x L Lb L L
Pb M +−−
−= )2)((
2 3
2
CB b L x L L
Pa M +−=
Cortante )3(2
22
3AC b L L
PbV −= )2(
2 3
2
CB b L L
PaV +
−=
Reacciones )3(2
22
3A b L L
Pb R −= )2(
2 3
2
B b L L
Pa R +=
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Viga empotrada / apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas s imétricamente
Deflexión:
[ ])33(2))(233(12
2222
2
2
AC LaLa L x L LaLa EIL
Px y +−+−−−=
[ ]2
222
2
223
CD
12
2))((312
))(6))((3(
EIL
a L x La L LPa EIL
x L L x La LPa y
−−+−+
+−−−−−
=
[ ])(3))(233(12
)( 2222
2DB a LaL x L LaaL EIL
x LP y −+−−−
−−=
Pendiente:
[ ])33(4)32)(233(12
2222
2AC LaLa L x L LaLa EIL
Px+−+−−−=θ
[ ])()(4))((34
222
2CD a L L x L L x La L EIL
Pa+−−+−−−
−=θ
[ ])())(233(4
2222
2DB a LaL x L LaaL EIL
P−+−−−=θ
Momento [ ])332(332
2222
2AC aaL L xaL La L
P M −++−=
[ ]2
2CD 2))((32
L x La L L
Pa M −−−
−=
)233(2
)( 22
2DB LaaL L
x LP M −−
−−=
Cortante )332(
2
22
2AC aaL L
L
PV −+=
2CD
2
)(3
L
a LPaV
−=
)233(2
22
2DB LaaL L
PV −−=
Reacciones )332(2
22
2A aaL L L
P R −+=
)323(2
22
2B aL La L
P R −+=
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http://slidepdf.com/reader/full/vigasdefpdf 23/25
Viga empotrada / apoyada - Momento horario en cualquier punto
Deflexión: [ ]))((24
222
3
2
0AC b L x L Lb
EIL
x M y −−−
−=
[ ]))(3)((44
)( 223
3
0CB b L L x L L
EIL
x La M y +−−−−
−−=
Pendiente [ ]))(32(44
222
3
0AC b L x L Lb
EIL x M −−−−=θ
[ ])2)((344
23
3
0CB Lx xb L L
EIL
a M −+−
−=θ
Momento [ ]))(3(22
222
3
0AC b L x L Lb
L
M M −−−
−=
))((2
33
0CB x Lb L
L
a M M −+=
Cortante )(2
33
0AB b L
L
a M V +
−=
Reacciones )(2
33
0A b L
L
a M R +
−= )(
2
33
0B b L
L
a M R +=
Viga empotrada / apoyada - Momento horario en el lado apoyado
Deflexión EIL
x L x M y
4
)(2
0AB
−=
Pendiente EIL
x L x M
4
)32(0AB
−=θ
Momento L
x L M M 2
)3(0AB −=
Cortante L
M V
2
3 0AB
−=
Reacciones L
M R
2
3 0A
−=
L
M R
2
3 0B =
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Viga con vano lateral - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión )222(24
222232240AB xa La Lx x L L
LEI
xw y +−+−
−=
)464(24
3
1
2
11
23210BC xax xa L La
EI
xw y +−+−
−=
Pendiente )6246(24
222232240AB xa La Lx x L L
LEI w +−+−−=θ
)412124(24
3
1
2
11
2320BC xax xa L La
EI
w+−+−
−=θ
Momento )(2
220AB a Lx L
L
xw M −−= 2
10
BC )(2
xaw
M −−
=
Cortante )2(2
220AB a Lx L
L
wV −−= )( 10BC xawV −=
Reacciones )(2
220A a L
L
w R −= 20
B )(2
a L L
w R +=
Siendo L x x −=1
Viga con vano lateral - Carga uniforme sobre el saliente
Deflexión )(12
222
0AB x L
LEI
xaw y −=
)464(24
3
1
2
11
2210BC xax xa La
EI
xw y +−+
−=
Pendiente )3(12
222
0
AB
x L LEI
aw−=θ
)33(6
3
1
2
11
220BC xax xa La
EI
w+−+
−=θ
Momento L
xaw M
2
2
0AB
−= 2
10
BC )(2
xaw
M −−
=
Cortante L
awV
2
2
0AB
−= )( 10BC xawV −=
Reacciones L
aw R
2
2
0A
−=
L
aa Lw R
2
)2(0B
+=
Siendo L x x −=1
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Viga con vano lateral - Carga puntual en el extremo saliente
Deflexión )(6
22
AB x L LEI
Pax y −= )32(
6
2
111
BC xaxaL EI
Px y −+
−=
Pendiente )3(6
22
AB x L LEI
Pa−=θ )362(
6
2
11BC xaxaL EI
P−+
−=θ
Momento LPax M −=AB )( 1BC xaP M −−=
Cortante L
PaV
−=AB PV =BC
Reacciones L
Pa R
−=A
L
a LP R
)(B
+=
Siendo L x x −=1
Viga con vano lateral - Carga puntual entre los apoyos
Deflexión )(6
222
AC xb L LEI
Pbx y −−
−
=
)2(6
)( 22
CB xa Lx LEI
x LPa y −−
−−=
)(6
1BD a L
LEI
Pabx y +=
Pendiente )3(6
222
AC xb L LEI
Pb−−
−=θ
)362(6
222
CB xa Lx L LEI
Pa++−
−=θ
LEI
a LPab
6
)(BD
+=θ
Momento LPbx M =AC )(CB x L
LPa M −= 0BD = M
Cortante L
PbV =AC
L
PaV
−=CB 0BD =V
Reacciones L
Pb R =A
L
Pa R =B
Siendo L x x −=1
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