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Vectores Parte II

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March 14, 2019

Outline

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Representacion geometrica en R3

Descomposicion canonica en R3

Operaciones por componentesOperaciones por componentesAngulo entre vectoresProyeccion ortogonalProducto escalarCosenos directoresProblema: Determinar componentes de ~v

Representacion geometrica en R3

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Representacion geometrica en R3

3 / 24

Representacion geometrica en R3

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Un punto en el espacio esta determinado por tres coordenadas

P (a, b, c)

Representacion geometrica en R3

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Representacion geometrica en R3

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Plano horizontal z = c

Πz = {(x, y, z) : z = c}

Representacion geometrica en R3

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Representacion geometrica en R3

3 / 24

Plano vertical x = a

Πx = {(x, y, z) : x = a}

Representacion geometrica en R3

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Representacion geometrica en R3

3 / 24

Plano vertical y = b

Πy = {(x, y, z) : y = b}

Vectores en R3

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■ En R3 definimos segmento dirigido como lo hicimos en el plano, es unsegmento con un punto inicial y final

■ Cada segmento dirigido−−→AB en R3 esta caracterizado por su modulo

|−−→AB|, su direccion y sentido

■ Dos segmentos dirigidos en R3 son iguales si coinciden en modulo,direccion y sentido

Vectores en R3

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Como en el plano, un vector en R3 es un segmento dirigido junto con lanocion de igualdad

Vectores en R3

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Vectores en R3

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■ La suma y la multiplicacion por escalares para vectores en R3 se de-finen como en el caso de vectores en el plano y verifican las mismaspropiedades: suma conmutativa, asociativa, existe elemento neu-tro ~O, existen opuestos, homogeneidad del producto por escalares,propiedades distributivas

■ Vale la propiedad del paralelogramo: Las diagonales representan lasuma y la diferencia de los vectores de sus lados

Descomposicion canonica en R3

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Base canonica

Descomposicion canonica en R3

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Todo vector se puede descomponer como

~v = a~i+ b~j+ c~k, a, b, c ∈ R

Operaciones por componentes

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■ Si~v = a~i+ b~j+ c~k, a, b, c ∈ R

decimos que a, b y c son las componentes de ~v, y escribimos

~v = (a, b, c)

Operaciones por componentes

10 / 24

■ Si~v = a~i+ b~j+ c~k, a, b, c ∈ R

decimos que a, b y c son las componentes de ~v, y escribimos

~v = (a, b, c)

■ Ejemplos

~O = (0, 0, 0) ~i = (1, 0, 0) ~j = (0, 1, 0) ~k = (0, 0, 1)

Operaciones por componentes

10 / 24

■ Si~v = a~i+ b~j+ c~k, a, b, c ∈ R

decimos que a, b y c son las componentes de ~v, y escribimos

~v = (a, b, c)

■ Ejemplos

~O = (0, 0, 0) ~i = (1, 0, 0) ~j = (0, 1, 0) ~k = (0, 0, 1)

■ Si ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3), α ∈ R, entonces

~u+ ~v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)

α · ~v = (αu1, α u2, α u3)

Operaciones por componentes

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Operaciones por componentes

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Si ~v = (a, b, c) entonces

|~v| =√a2 + b2 + c2

Operaciones por componentes

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Los vectores no nulos ~u = (u1, u2, u3) y ~v = (v1, v2, v3) son paralelossi y solo si

u1

v1=

u2

v2=

u3

v3

(aca entendemos que si alguno de los denominadores es 0, el numeradortambien debe ser 0)

Angulo entre vectores

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Angulo entre vectores

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Llamamos angulo entre los vectores (no nulos) ~u =−→AC y ~v =

−−→AB

al angulo convexo BAC

Angulo entre vectores

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Angulo entre vectores

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Angulo entre vectores

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Si ~u y ~v son no nulos, entonces

■ (~u , ~v) = (~v , ~u)

Angulo entre vectores

15 / 24

Si ~u y ~v son no nulos, entonces

■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =

Angulo entre vectores

15 / 24

Si ~u y ~v son no nulos, entonces

■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■

(~u , ~−v

)=

Angulo entre vectores

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Si ~u y ~v son no nulos, entonces

■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■

(~u , ~−v

)=π − (~u , ~v)

Angulo entre vectores

15 / 24

Si ~u y ~v son no nulos, entonces

■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■

(~u , ~−v

)=π − (~u , ~v)

■ Si α < 0 entonces (~u , ~α · v) =

Angulo entre vectores

15 / 24

Si ~u y ~v son no nulos, entonces

■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■

(~u , ~−v

)=π − (~u , ~v)

■ Si α < 0 entonces (~u , ~α · v) =π − (~u , ~v)

Angulo entre vectores

15 / 24

Si ~u y ~v son no nulos, entonces

■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■

(~u , ~−v

)=π − (~u , ~v)

■ Si α < 0 entonces (~u , ~α · v) =π − (~u , ~v)■

(~−u , ~−v

)=

Angulo entre vectores

15 / 24

Si ~u y ~v son no nulos, entonces

■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■

(~u , ~−v

)=π − (~u , ~v)

■ Si α < 0 entonces (~u , ~α · v) =π − (~u , ~v)■

(~−u , ~−v

)=(~u , ~v)

Angulo entre vectores

15 / 24

Si ~u y ~v son no nulos, entonces

■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■

(~u , ~−v

)=π − (~u , ~v)

■ Si α < 0 entonces (~u , ~α · v) =π − (~u , ~v)■

(~−u , ~−v

)=(~u , ~v)

Proyeccion ortogonal

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Proyeccion ortogonal

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Dados los vectores ~u =−−→OU y ~v =

−−→OV 6= ~O, la proyeccion ortogonal

de ~u sobre ~v es el vector−−→OP , con P siendo el punto de interseccion

entre la recta←→OV y una recta perpendicular a esta que pasa por U .

escribimosproy~v~u =

−−→OP

Proyeccion ortogonal

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Dados los vectores ~u =−−→OU y ~v =

−−→OV 6= ~O, la proyeccion ortogonal

de ~u sobre ~v es el vector−−→OP , con P siendo el punto de interseccion

entre la recta←→OV y una recta perpendicular a esta que pasa por U .

escribimosproy~v~u =

−−→OP

Proyeccion ortogonal

16 / 24

Dados los vectores ~u =−−→OU y ~v =

−−→OV 6= ~O, la proyeccion ortogonal

de ~u sobre ~v es el vector−−→OP , con P siendo el punto de interseccion

entre la recta←→OV y una recta perpendicular a esta que pasa por U .

escribimosproy~v~u =

−−→OP

Proyeccion ortogonal

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Proyeccion ortogonal

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El numerop = |u| cos (~u,~v)

es la proyeccion escalar de ~u sobre ~v. Usando p podemos escribir

proy ~v~u = p~v0

Proyeccion ortogonal

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■ Si ~v 6= ~O, entonces proy ~v~u ‖ ~v para todo vector ~u

Proyeccion ortogonal

18 / 24

■ Si ~v 6= ~O, entonces proy ~v~u ‖ ~v para todo vector ~u■ ¿Para que vectores ~u, se tiene proy ~v~u = ~O?

Proyeccion ortogonal

18 / 24

■ Si ~v 6= ~O, entonces proy ~v~u ‖ ~v para todo vector ~u■ ¿Para que vectores ~u, se tiene proy ~v~u = ~O?■ ¿Como tienen que ser ~u y ~v para que proy ~v~u y ~v tengan el mismo

sentido?

Proyeccion ortogonal

18 / 24

■ Si ~v 6= ~O, entonces proy ~v~u ‖ ~v para todo vector ~u■ ¿Para que vectores ~u, se tiene proy ~v~u = ~O?■ ¿Como tienen que ser ~u y ~v para que proy ~v~u y ~v tengan el mismo

sentido?■ ¿Como tienen que ser ~u y ~v para que proy ~v~u y ~v tengan sentidos

opuestos?

Producto escalar

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Definimos producto escalar de dos vectores ~u y ~v como

~u× ~v =

{0 si ~u = ~O o ~v = ~O

|~u| |~v| cos (~u , ~v) si ~u 6= ~O y ~v 6= ~O

Producto escalar

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Definimos producto escalar de dos vectores ~u y ~v como

~u× ~v =

{0 si ~u = ~O o ~v = ~O

|~u| |~v| cos (~u , ~v) si ~u 6= ~O y ~v 6= ~O

■ ¿Cuando ~u× ~v > 0? ¿y cuando < 0?■ ¿Cuando es ~u× ~v = 0?

Producto escalar

19 / 24

Definimos producto escalar de dos vectores ~u y ~v como

~u× ~v =

{0 si ~u = ~O o ~v = ~O

|~u| |~v| cos (~u , ~v) si ~u 6= ~O y ~v 6= ~O

■ ¿Cuando ~u× ~v > 0? ¿y cuando < 0?■ ¿Cuando es ~u× ~v = 0?

Dos vectores ~u y ~v no nulos son perpendiculares si y solo si

~u× ~v = 0

Producto escalar

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Definimos producto escalar de dos vectores ~u y ~v como

~u× ~v =

{0 si ~u = ~O o ~v = ~O

|~u| |~v| cos (~u , ~v) si ~u 6= ~O y ~v 6= ~O

■ ¿Cuando ~u× ~v > 0? ¿y cuando < 0?■ ¿Cuando es ~u× ~v = 0?

Dos vectores ~u y ~v no nulos son perpendiculares si y solo si

~u× ~v = 0

■ Dado ~u, ¿que es ~u× ~u? ¿Cuando es ~u× ~u = 0?

Producto escalar

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Producto escalar

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Ademas

■ Si ~u y ~v no nulos, entonces ~u ⊥ ~v⇐⇒ ~u× ~v = 0■ Si ~v 6= ~O, entonces proy ~v~u = (~u× ~v0)~v0

■ La proyeccion escalar de ~u sobre ~v es p = ~u×~v|~v|

Producto escalar

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Producto escalar por componentes

Si ~u = (u1, u2, u3) y ~v = (v1, v2, v3), entonces

~u× ~v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Producto escalar

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Producto escalar por componentes

Si ~u = (u1, u2, u3) y ~v = (v1, v2, v3), entonces

~u× ~v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Como consecuencia, tambien es posible calcular el angulo entre dos vectorespor componentes, usando la formula

cos (~u , ~v) =~u× ~v

|~u| |~v|

Cosenos directores

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Angulos directores de ~v = (v1, v2): α =(~v ,~i

), β =

(~v ,~j

)

Notemos que

~v0 =

(v1

|~v|,v2

|~v|

)= (cosα, cosβ)

Decimos que cosα y cosβ son los cosenos directores de ~v

Cosenos directores

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Angulos directores de ~v = (v1, v2, v3)

α =(~v ,~i

), β =

(~v ,~j

), γ =

(~v , ~k

)

Notemos que

~v0 =

(v1

|~v|,v2

|~v|,v3

|~v|

)= (cosα, cosβ, cos γ)

Decimos que cosα, cosβ y cos γ son los cosenos directores de ~v

Problema: Determinar

componentes de ~v

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Problema: Determinar

componentes de ~v

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Problema: Determinar

componentes de ~v

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Problema: Determinar

componentes de ~v

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Si ~v =−−→AB, y O es un punto del plano o del espacio, entonces

~v = ~s−~r

con ~r =−→OA y ~s =

−−→OB.