variable aleatoria bidimensional
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Tema 3: VARIABLEALEATORIA BIDIMENSIONAL
Carlos Alberola López
Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación
Despacho 2D014
caralb@tel.uva.es, jcasasec@tel.uva.es,
http://www.lpi.tel.uva.es/sar
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Juego de dardos:
• Cada lanzamiento es unexperimento aleatorio.
• Los errores (respecto delcentro) en sentido horizontal
serían realizaciones de las VAX.
• Los errores (respecto delcentro) en sentido vertical
serían realizaciones de las VAY.
Concepto de VA bidimensional
• ¿Cuándo será mejor un jugador que otro? Cuando másfrecuentemente (probablemente) alcance mayor puntuación.
• Necesitamos pues herramientas bidimensionales ….
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Una modulación digital:
• Se envían símbolos duranteun tiempo T de la forma:
con
Un modelo real presenta ruido!!!
Concepto de VA bidimensional
• Diseño de regiones de decisión para minimizar probabilidad deerror: sectores angulares similares a la diana.
• Valor de A que garantiza una determinada calidad en el servicio.
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Concepto de VA bidimensional
X
Y
( )YX,
Pc: Como norma general no esconocida a partir delconocimiento exclusivo de P1 yP
2
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Caracterización de VA bidimensional
A) Función de distribución conjunta
x
y
x{ } x≤X
y
{ } y≤Y
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A) Función de distribución conjunta
x
y
{ } x≤X
y
{ } y≤Y { } 2S x ×≤X
x
Caracterización de VA bidimensional
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A) Función de distribución conjunta
x
y
{ } x≤X
{ } yS ≤× Y1
x
y
Caracterización de VA bidimensional
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A) Función de distribución conjunta
x
y
{ } x≤X
{ } yS ≤× Y1
{ } { } ySS x ≤××≤ YX 12 I
{ } { } y x ≤≤ YX I
x
y
Caracterización de VA bidimensional
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Función de distribución conjunta
• Se define como la probabilidad de la región anterior:
• Nótese que:
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• Es una función de probabilidad acumulada:
Función de distribución conjunta
{ } { }00 y x A ≤≤= YX I
{ } { }11 y x B ≤≤= YX I
( ) ( )1100 ,, y xF y xF XYXY
≤
pues:
B AC A B ⊂⇒= U
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( ) ( )
( ) ( ) DP AP
D AP BP D A B
+=
=⇒= UU
x
y
2 x
y
1 x
D
x
y
2 x
y
1 x
A
x
y
2 x
y
1 x
B
( ) ( ) ( ) AP BP DP −=
( ) ( ) ( ) y xF y xF DP ,, 12 XYXY
−=
Función de distribución: usos
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( ) ( ) ( ) ( ) DP AP BP E P −−=
( ) ( ) ( )2122 ,, y xF y xF E P XYXY
−=
Función de distribución: usos
2 x1 x
x
y
2 y
1 y
E
D x
y
2 x1 x
A
2 y
1
y
x
y
2 x1 x
B
2 y
1 y
( ) ( )( )1112 ,, y xF y xF XYXY
−−
( ) ( )
( ) ( ) ( ) E P DP AP
E D AP BP E D A B
++=
=⇒= UUUU
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B) Función de densidad de probabilidad
• La función de distribución es poco versátil, pues sólo permitehallar probabilidades de regiones con geometría muy sencilla.
• ¿Qué sucede si necesitamos calcular la probabilidad de una
región con geometría arbitraria?
x
y
( )
∑ii
RP
Caracterización de VA bidimensional
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B) Función de densidad de probabilidad
• La función de densidad se define de la forma
• Y la relación inversa es
• De forma que la probabilidad asociada a una región arbitraria Ddel plano es
No negativa
Volumenencerrado=1
Caracterización de VA bidimensional
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B) Función de densidad de probabilidad
• ¿Por qué recibe este nombre? Dado que se define
• se puede escribir de forma alternativa
Caracterización de VA bidimensional
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Caracterización de VA bidimensional
B) Función de densidad de probabilidad
• ¿Por qué recibe este nombre? Dado que se define
• se puede escribir de forma alternativa x x Δ+ x
x
y y y Δ+
y
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Ejercicio:
( ) ( ) xF xP XX −=> 1 ( ) ( ) y xF y xP ,1, XYYX −=>>¿ ?
¡¡NO!!
{ } { } y x y xS ≤≤>>= YXYX UU,
( ) { } { }( ) y x y xPSP ≤≤>>= YXYX UU,
( ) ( ) y xP y xP ≤≤+>>= YXYX U,1
( ) ( ) y xP y xP ≤≤−=>> YXYX U1,
( ) ( ) ( ) ( ) y xP yP xP y xP ≤≤−≤+≤=≤≤ YXYXYX IU
( ) ( ) ( )( ) y xF yF xF ,1XYYX
−+−=
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Funciones marginales• Las funciones de distribución o densidad de cada variable por
separado, en este contexto se denominan funciones marginales.
• A partir de las funciones de densidad o distribución conjuntasiempre se pueden obtener las marginales
X
Y( )YX,
• Recíproco, en general,
no es cierto
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Funciones de distribución marginales• Para obtener hay que definir el suceso a
partir del caso 2D. Para ello escribimos
• Es decir, que en el suceso compuesto la segunda variable no
suponga restricción alguna. Por ello
• De la misma forma
( ) xF X
( ) xP ≤X
( ) { }( )2S xP xP ×≤=≤ XX
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Funciones de densidad marginales• En este caso:
• Lo cual se puede escribir de forma compacta como
• con
( )∫ ∞−=
x
d dx
d α α φ
( ) ( )∫ ∞
∞−= dy y f ,α α φ
XY
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Funciones de densidad marginales• Para derivar bajo el signo integral acudimos a la regla:
• En nuestro caso tenemos:
• por lo que:
( ) ( ) ,∫ ∞−=
x
d
dx
d x f α α φ
X( ) ( )∫
∞
∞−= dy y f ,α α φ
XY
( ) ( ) ( )∫ ∞
∞−== dy y x f x x f ,
XYXφ
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Funciones de densidad marginales• Por tanto:
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Casos particulares:A) Dos variables discretas
Supongamos que nos preguntan:
con
( ) xP ≤X
( ) ( ) ( )C P BP AP ++= A B
C
222111 p p p ++=
{ } jiij y xP p === YX I
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Casos particulares:B) Una variable continua y una discreta
Supongamos que nos preguntan:
2 R1
R
( ) y xP ≤≤ YX , ( )21 R RP U=
{ } { } y x R ≤== YX I11
{ } { } y x R ≤== YX I22
( ) ( )21 RP RP +=
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( ) ( ) { } { }( ) { } { }( ) y xP y xP RP RP ≤=+≤==+ YXYX II 2121
( ) ( ) ( ) ( )2121, RP RP R RP y xP +==≤≤ UYX
( )( )
( )( )
2211
xP x yP xP x yP ==≤+==≤= XXYXXY
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∞− ∞−==+===
y y
Y d x f xPd x f xP τ τ τ τ 2211 XXXXY
Entonces:
Por lo que:
Es necesario pues conocer:
( )i xP =X
( )i
x y f =XY
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Casos particulares:C) Componentes relacionadas mediante ( )XY g=
Se puede obtener la funciónconjunta a través de cada unade las marginales:
( ) xg y >
( ) )(),( xF xP y xF XXY
X =≤=
( ) xg y <
( )( ) ( ))(),(11
ygF ygP y xF −−
=≤= XXY X
( )( )xg,x
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Casos particulares:Supongamos que las componentes están relacionadas mediante
una recta y nos piden la probabilidad de la región sombreada:
A
B C
D
R
( ))()(
)()(
DF C F
BF AF RP
XYXY
XYXY
−−+=
( ) xg y >
( ) xg y <
D
C B A ,,
( ) XXY 2== g
)0())0(()()( 1XXXYXY F gF C F BF === −
( )=−=
)()( DF AF RP XYXY ( )( ) =−
−
)1(5
1
XX F gF ( ) )1(2 / 5 XX F F −
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Funciones condicionadas
• Se plantea cómo incluir más información en lasfunciones de caracterización total de las variables
aleatorias una vez que se sabe que un determinadosuceso se ha verificado.
• A tales funciones se les denomina funcionescondicionadas, y se representan:
donde M es un suceso de probabilidad no nula.
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Funciones condicionadas
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Funciones condicionadas,marginales y conjuntas
• Existe una relación importante entre estas tres
funciones, tanto a nivel de función de distribución comoa nivel de función de densidad.
• Para la función de distribución, supongamos que elcondicionante es y calculemos lafunción . Así pues
• Por ello:
• Y de forma similar
{ } y M ≤= Y
( ) M xF X
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Funciones condicionadas,marginales y conjuntas
• Para la función de densidad, consideremos que el
condicionante es una franja de valores de la VA Y, asaber, { }21 y y M ≤<= Y
• Renombramos ahora para poder
acudir a cálculo diferencial:
⎩⎨⎧
+=
=
y y y
y y
Δ2
1
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• Teníamos que
• Y con el cambio de variables:
• Calculando el límite:
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• Repetimos la expresión:
• Y ahora derivando con respecto a x:
• Por lo que podemos escribir:
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Comentarios adicionales
• ¿Cómo es una función de densidad condicionada a laotra variable?
• Esta expresión permite construir muestras de una VA
bidimensional mediante ordenador:
( )
( )muestras
x
100x,1N~
0,1N~
⎭⎬⎫
=XY
Xx=randn(100,1)
y=x+randn(100,1)
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Teorema de la Probabilidad Total
• Nótese que podemos integrar estas expresiones yobtenemos las funciones marginales:
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Teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total
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Independencia de dos VAs
• Se dice que dos VAs son independientes si se verificaque los experimentos aleatorios de los que procedenson independientes. Esto trae consigo que:
con
• En particular si escogemospodemos afirmar que dos VAs son independientes si:
• O bien
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Independencia de dos VAs
• Vimos que de forma general podemos escribir
• Según hemos visto las variables son independientes sise verifica que
Por tanto si son independientes “el condicionante no
condiciona”
• Para el caso de las VAs discretas, la independencia setraduce en:
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• La comprobación de la “no independencia” es muysencilla e intuitiva. En particular
Independencia de dos VAs
Recorridos de VAs
dependientes entre sí!!!!!
( ) 0, 00 = y x f XY
pero( )
( )⎩⎨⎧
≠
≠
0
0
0
0
y f
x f
Y
X
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• Objetivo: obtener la caracterización de Z a partir de lade X e Y.
• Procedimiento: a partir de la definición de función dedistribución:
siendo
el procedimiento consiste en:
1. Identificar la región Dz
2. Realizar la integral
Transformación de VA 2D. Caso Z=g(X,Y)
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• Consideremos que . Obtengamosla función de distribución de la VA Z.
• Partimos de:
Transformación de VA 2D. Ejemplo
• Entonces:
• Para obtener la función dedensidad derivamos
( ) ( )∫ ∫
∞
∞−
−
∞−=
x z
z dxdy y x f DP ,XY
( )( ) ( )
dz
DdP
dz
zdF z f z== Z
Z
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• Por tanto:
• Hagamos el cambio de variable
• Entonces
Transformación de VA 2D. Ejemplo
( )( )
( )∫ ∫ ∞
∞−
−
∞−==
x z z dxdy y x f
dz
d
dz
DdP z f ,
XYZ
xt y −=
( ) ( )∫ ∫ ∞
∞− ∞−−=
z
dxdt xt x f dz
d z f ,
XYZ
( )∫ ∫ ∞−
∞
∞− ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡ −=z
dt dx xt x f dzd ,
XY
( )∫ ∞−=
z
dt t dz
d ϕ
( ) ( ) ( )∫ ∞
∞−−== dx x z x f z z f ,
XYZϕ
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• Nótese que si las VAs fuesen independientes, elresultado anteriormente obtenido:
• se escribiría
• Es decir
• Este resultado recibe el nombre de Teorema de la
Convolución (la función de densidad de la suma de 2VAs independientes es igual a la convolución de lasfunciones de densidad)
• Consultar tres ejemplos más en el libro.
Transformación de VA 2D. Ejemplo
( ) ( ) ( )∫ ∞
∞−−== dx x z x f z z f ,
XYZϕ
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∞
∞−−== dx x z f x f z z f
YXZϕ
( ) ( ) ( ) z f z f z f YXZ
∗=
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• Consideremos ahora que partimos de:
• El objetivo es obtener la función de densidad de lasVAs de destino como función de la función de densidadde las VAs de origen.
• Llegaremos a una expresión que será el TeoremaFundamental extendido a dos dimensiones.
Transformación de VA 2D. Dos funcionesde dos VAs
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• Para ello, escribimos
Transformación de VA 2D. Dos funcionesde dos VAs
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• Generalizando
• Y dado que:
Transformación de VA 2D. Dos funcionesde dos VAs
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• Entonces resulta la expresión del teorema:
• con:
Transformación de VA 2D. Dos funcionesde dos VAs
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• Solución: la expresión del teorema fundamental es:
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( ) ( ) ( ) y f x f y x f YXXY
=,
• Sólo hay una raíz del plano origen que se transforma en
una del plano destino (salvo para el (0,0), pero es unpunto aislado en el plano).
• Por ello, escribimos:
• Sustituyendo términos:
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• Hemos obtenido pues:
• Y dado que W=X
• Ahora hay que indicar en qué zona del plano (z,w) es
cierta la conclusión obtenida.
( ) x x
w z f 11
, ==ZW
( ) ww z f
1
, =ZW
x
y
1
1
0 w
z
1
1
0 w
10≤≤≤
w z
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• Consideremos ahora que partimos de:
es decir, de una transformación de 2 Vas.
• Supongamos que deseamos conocer su función de
densidad. Podemos emplear el teorema fundamentalhaciendo lo siguiente:
• Este procedimiento es el método de la VA auxiliar
Transformación de VA. Método de laVariable Auxiliar
( )w z f ,ZW ( ) ( )∫ ∞
∞−= dww z f z f ,ZWZ
(1)
(2) (3)
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Tenemos pues:
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Indep.
De forma que:
C i ió i l d VA 2D
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• De forma similar al caso 1D, si se tiene y
se desea entonces se puede escribir:
• En particular, si
Caracterización parcial de VA-2D
( ){ }Zh E
( )YXZ ,g=
( ) ZZ =h
C t i ió i l d VA 2D
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• Si ahora
Caracterización parcial de VA-2Dcba ++= YXZ
C t i ió i l d VA 2D
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• Variables discretas:
• Esperanzas condicionadas: úsese función de densidadcondicionada
Caracterización parcial de VA-2D
M t d VA 2D
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Momentos de una VA-2D
• Se dividen en
• No centrales:
• Centrales:
• Si las VAs son discretas:
M m t d VA 2D
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Momentos de una VA-2D
• Con nombre propio
• Correlación:
• Covarianza:
• Existe relación entre ellos:
• Coef. de correlación:
Momentos de una VA 2D
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Momentos de una VA-2D
• Variables ortogonales:
• Variables incorreladas:
• Independencia implica incorrelación:
• El recíproco no es cierto!!!!! (en general)
0=XY
R
0=XY
C
Momentos de una VA 2D
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Momentos de una VA-2D
• Variables incorreladas:
• Varianza de la suma es igual a suma de lasvarianzas:
• Variables ortogonales:
• Si las variables son ortogonales el mismorazonamiento aplica para el valor cuadrático mediode la suma.
0=XY
C
0=XY
R
Unas nociones sobre estimación
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Unas nociones sobre estimación
• Se trata de poder predecir lo que vale una variable (Y)una vez que se ha observado lo que vale la otra (X):
( )XY g=ˆ (estimador de Y)
Unas nociones sobre estimación
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Unas nociones sobre estimación
• Criterio de construcción de estimadores:minimizar elvalor cuadrático medio del error
• Veremos tres casos:
• Estimar mediante constante:
• Estimar mediante función lineal
• Estimador sin restricciones
YYε ˆ−= { } ( )2
2 ˆminmin YYε −= E E
( ) ag == XY
( ) bag +== XXY
( )XY g=ˆ
Unas nociones sobre estimación
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Unas nociones sobre estimación
• Estimar mediante constante
• Estimar mediante función lineal
• Estimador sin restricciones
{ }2min ε E a
( ) ag == XY { }Y E a =∗
{ }2,min ε E
ba
{ } { }XY
X
XY
E a E b
C
a∗∗
∗
−==
2σ ( ) bag +== XXY
( ){ }2min ε E
g( )XY g=ˆ ( ) { } ( )∫
∞
∞−=== dy x y yf x E g
YXYX
Unas nociones sobre estimación
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Unas nociones sobre estimación
• Es interesante ver que el coeficiente de correlación mideel grado de relación lineal entre las variables:
• VCM del error para estimador constante:
• VCM del error para estimador lineal
• Si ambos coinciden, ¿Por qué? Porque:
{ } 22
Yε σ = E
{ } ( )222 1XYY
ε ρ σ −= E
0=XY
ρ
{ } { }XY
X
XY
E a E b
C a
∗∗
∗
−=
=2σ
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