vallejos 1

V Congreso Chileno de Ingeniera Geotcnica

1. INTRODUCCIN. El termino hipoplasticidad fue introducido originalmente por Dafalias (1986) para toda aquella relacin constitutiva incremental en que se define, en contraste a la teora elastoplstica clsica, la tasa de las deformaciones plsticas sin necesidad de una superficie de potencial plstico. De acuerdo con esta definicin general de hipoplasticidad muchos modelos constitutivos pueden ser considerados hipoplsticos, aunque los conceptos fsicos de cada uno pueden ser distintos; por ejemplo, los modelos propuestos por Valanis et al. (1982), Kolymbas (1985), Wang et al. (1990), Bardet (1990) entre otros. En este trabajo se presentan las bases de la hipoplasticidad con la idea bsica desarrollada por Kolymbas (1985) en conjunto con la representacin dada por Gudehus (1996), Bauer (1996) y Von Wolffersdorff (1996), donde, contrario a la teora de la elastoplasticidad, no es necesario distinguir entre deformaciones elsticas y plsticas, y adems las superficies de fluencia y potencial plstico o reglas de endurecimiento no son necesarias. En este trabajo se presentan las bases de la formulacin matemtica de la teora hipoplstica, para posteriormente proponer algunas modificaciones que permiten que este modelo sea consistente con el concepto de Steady State y compatible con el estado pe al trmino de la consolidacin. En el paper acompaante Vallejos et al. (2004b) se presenta un anlisis comparativo entre resultados experimentales de ensayos en elementos con las simulaciones numricas de los modelos hipoplsticos sin y con modificaciones. A lo largo de este paper las componentes de tensiones de compresin y deformaciones de contraccin son negativas en concordancia con la convencin de la mecnica del continuo. Adems, todas las tensiones normales son siempre efectivas.

HIPOPLASTICIDAD APLICADA A MATERIALES GRANULARES (PARTE I) Javier Vallejos Massa Universidad de Chile, Santiago, Chile javalllej@ing.uchile.cl Ramn Verdugo Alvarado Universidad de Chile, Santiago, Chile rverdugo@ing.uchile.cl

RESUMEN. En este artculo primero se presenta en detalle el modelo constitutivo hipoplstico para materiales granulares desarrollado por Kolymbas, Gudehus y Bauer. En segundo lugar se presenta una serie de modificaciones que permiten darle mayor robustez al modelo al permitir que sea consistente con el concepto de Steady State o estado ltimo desarrollado a grandes deformaciones.

V Congreso Chileno de Ingeniera Geotcnica

2. ASPECTOS CUALITATIVOS DEL MODELO HIPOPLSTICO. En esta parte se presenta brevemente al modelo hipoplstico desarrollado por Gudehus (1996), Bauer (1996) y Von Wolffersdorff (1996), junto con sus principales caractersticas. El cual asume que los cambios de estados de un suelo granular no cohesivo estn dictados por el ndice de vacos actual, el estado tensional actual y por la parte simtrica del gradiente de velocidad del esqueleto granular. As, se considera la siguiente ecuacin evolutiva para cambios tensionales:

)D,T,e(HT ijijijij =o

(1)

Donde ijTo

denota la tasa co-rotacional del tensor de tensiones y ijH representa un tensor que es funcin del ndice de vacos actual e , del tensor de tensiones de Cauchy ijT y del tensor de velocidad de deformacin ijD . La funcin tensorial ijH se descompone en dos partes:

||D||)T,e(B)D,T(e,AT ijijijijijijij +=o

(2) En que )D,T(e,A ijijij es lineal en ijD , mientras que, el trmino ||D||)T,e(B ijijij es no lineal en ijD , e intenta modelar el comportamiento inelstico. Ambas funciones son homogneas

positivas en primer grado en ijD , es decir )D(T)D(T ijijijijoo = para todo 0> . Luego la Ec.

(2) es tasa independiente e incremental no lineal. En los modelos elastoplsticos la no linealidad con respecto a ijD se logra utilizando relaciones constitutivas diferentes para carga y descarga. Para que la Ec. (2) logre capturar la dependencia del comportamiento mecnico de los materiales granulares con la densidad, Wu y Bauer (1993) establecieron los trminos ef y df de picnotropa, encontrando a prueba y error, que la siguiente factorizacin de las funciones

ijA y ijB permitan incorporar el efecto de la densidad:

||D||)T(N)D,T(LT ijijijijijijij dee fff +=o

(3) Sin embargo, con esta factorizacin el ndice de vacos calculado para presiones extremadamente grandes poda volverse negativo. Para eliminar esta deficiencia Gudehus (1996) y Bauer (1996) rescribieron las ecuaciones hipoplsticas en trminos de tensiones adimensionales, )T(trTT ijijij = , y multiplicaron el lado derecho de la Ec. (3) por un trmino denominado barotropa bf , que permite que el modelo hipoplstico sea compatible con la lnea de compresin istropa para el estado ms suelto. Con esta modificacin el ndice de vacos permanece positivo para )T(tr ij . Luego, la ecuacin constitutiva hipoplstica toma la siguiente forma general:

[ ]||D||)T(N)D,T(LT ijijijijijijij deb fff +=o (4)

Para las funciones )D,T(L ijijij y )T(N ijij se utilizan los trminos tensoriales propuestos por Wu (1992), que estn dados por:

V Congreso Chileno de Ingeniera Geotcnica

ijklij1ij0ijijij T)DT(trBDB:)D,T(L += (5) 2*

ij32ij 2ijij TBTB:)T(N += (6)

en que ijij*ij 3

1TT = y los coeficientes 0B , 1B , 2B y 3B se obtienen correlacionando, para

el estado crtico ( 0T cij =o

y 0ec =& ), los trminos tensoriales con el criterio de falla de Matsuoka-Nakai, para lo cual se requiere el ngulo de friccin crtico c e imponer 1=ef y

1=df para el estado ltimo. El desarrollo de estas ecuaciones puede ser encontrado en Von Wolffersdorff (1996) o en Vallejos (2004a). Finalmente, la ecuacin evolutiva tensional hipoplstica queda dada por: [ ]||D||)TT(aFT)DT(traDF

)T(tr1T ij

*ijijijklij

2ij

22ij

ij +++= deb fffo

(7)

en que:

c

c

sin22)sin3( 3

a = (8)

++= tan

221

3costan22tan2tan

81F

22 (9)

( )( )[ ] 23 2 *ij

3 *ij

Ttr

Ttr63cos = ; ( )2 *ij *ij Ttr3 ||T||3tan == (10)

Como se mencion anteriormente, en la ecuacin constitutiva (7) la influencia del ndice de vacos actual e es tomado en cuenta mediante los factores de densidad df y ef . El primero de estos factores intenta combinar de manera adecuada a los trminos tensoriales

)D,T(L ijijij y ||D||)T(N ijijij , recordando que el trmino )D,T(L ijijij es lineal en ijD ,

mientras que, el trmino ||D||)T(N ijijij es no lineal en ijD , es decir, el propsito de este ltimo trmino es el de modelar deformaciones inelsticas. Resulta entonces razonable suponer que la ecuacin constitutiva para la mxima densificacin de sea aproximadamente lineal y elstica. Luego, es posible combinar los requerimientos 1=df para cee = y 0=df para dee = en una sola funcin. Estas condiciones son satisfechas por la funcin:

=

= e

dc

d ree

eedf (11)

donde de y ce , representan, respectivamente, a los ndice de vacos para los estado ms denso y crtico; y es una constante positiva adimensional: 10

V Congreso Chileno de Ingeniera Geotcnica

lograr escogiendo la siguiente funcin que relaciona el ndice de vacos actual con el ndice de vacos en estado crtico:

=eec

ef (12)

donde la constante , en general, excede por poco al valor de 1. Gudehus (1996) y Bauer (1996), proponen que las lneas caractersticas para los estados ms denso, de , y crtico, ce , disminuyan con la tensin media efectiva 3)T(trp ij= , de forma similar a como el ndice de vacos para el estado ms suelto, ie , disminuye en compresin istropa de acuerdo a las siguientes relaciones:

===

n

sdo

d

co

c

io

ihp3exp

ee

ee

ee

(13)

donde ioe , doe y coe denotan, respectivamente, a los ndices de vacos mximo, crtico y mnimo a cero tensin media. n es una constante adimensional y sh sirve como una escala intrnseca de presin. Las Ecs. (13) representan el rango posible de ndice de vacos dependiendo del nivel de la tensin media, es decir dci eee >> y por lo tanto, por la forma en que estn dadas estas ecuaciones, se cumple que dci eee para

V Congreso Chileno de Ingeniera Geotcnica

La relacin constitutiva hipoplstica presentada anteriormente requiere de la calibracin de ocho parmetros c , sh , n , doe , ioe , coe , y , para lo cual se requiere en estricto rigor una serie de nueve ensayos de laboratorio. En primera instancia se recomiendan: - los parmetros sh y n pueden ser determinados mediante ajuste de un ensayo

odomtrico para un estado inicial suelto, utilizando la Ec. (13); - c se puede determinar con tres ensayos triaxiales montonos no drenados con distintos

ndices de vacos iniciales. Adicionalmente, con un punto experimental ( ce , cp ) de estos ensayos es posible encontrar coe extrapolando con la Ec. (13);

- un ensayo triaxial drenado para una muestra inicialmente densa, que presente un peak de resistencia ( );

- un ensayo de compresin istropa para el estado ms suelto y un ensayo de corte cclico drenado de pequea amplitud a tensin media constante, los cuales permiten calcular, respectivamente, los parmetros ioe y doe , mediante extrapolacin con la Ec. (13);

- para el exponente es posible utilizar un punto de la lnea de compresin isotrpica para el estado ms suelto, mas otro punto de un ensayo de las mismas caractersticas pero en una muestra densa.

3. MODIFICACIONES PROPUESTAS AL MODELO HIPOPLASTICO. Como primera modificacin al modelo se propone representar a las tres lneas caractersticas de estado dadas por la Ec. (13), mediante ecuaciones de parmetros independientes, del mismo tipo que la utilizada por Li et al. (1998):

=

refo p

pee (15)

donde los parmetros oe , y se determinan mediante un ajuste de mnimos cuadrados en el plano ( ) refppe ; y refp es una tensin de normalizacin arbitraria que se escogi igual a 1 [MPa]. Otra modificacin es que, la lnea del estado ms denso alcanzada por corte cclico

de es reemplazada por la lnea de compresin istropa para el estado ms denso. La Fig. 2 presenta la comparacin de las nuevas ecuaciones tericas propuestas con resultados experimentales, donde se observa una excelente correlacin para un amplio rango de tensiones medias efectivas.

Figura 2: Comparacin entre resultados experimentales y ecuaciones tericas propuestas para las lneas caractersticas de estado. (Vallejos, 2004a)

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

Tensin media efectiva, p [MPa]

Indi

ce d

e va

cos

, e

0,0 2,0 4,0

( ) 3,0i p 143,0093,1e =

( ) 7,0c p 094,0934,0e =

( ) 3,0d p 027,0618,0e =

V Congreso Chileno de Ingeniera Geotcnica

Con este cambio de ecuaciones de las lneas caractersticas e imponiendo por simplicidad el factor ef igual a uno, se obtiene una nueva expresin analtica para el factor de barotropa:

1

dc

di21

ref

iji

ii

ref 3aeeee

a3p3

)T(tr)e1(

p3 i

+

+=bf (16)

Es importante notar que la tendencia general de las nuevas ecuaciones propuestas para las lneas caractersticas de estado, es muy diferente a la dada por Gudehus (1996) y Bauer (1996), tal como lo ilustra la Fig. 3, donde se observa que la tendencia de las nuevas ecuaciones propuestas es consistente con los resultados experimentales para altas presiones de Vesic et al. (1968) y Miura et al. (1984), que indican que los estados sueltos y densos convergen a un mismo ndice de vacos, y que para una presin suficientemente alta, el comportamiento del suelo es completamente contractivo, lo que queda reflejado en el plano

pe mediante el cruce que existe entre la lnea de Steady State y la lnea de consolidacin istropa para el estado ms denso (Verdugo et al., 1996).

Figura 3: Tendencia de las lneas caractersticas de estado para las ecuaciones propuestas. La segunda modificacin, comprende a la compatibilidad del modelo hipoplstico con el estado

pe al trmino de la consolidacin. Si bien, como se explic en la seccin 2, el factor de barotropa bf impone que la Ec. (7) coincida con la Ec. (13) para una compresin istropa para el estado ms suelto, se propone que este factor sea compatible con la lnea de compresin istropa correspondiente al estado pe al trmino de la consolidacin. Para incorporar de manera sencilla las infinitas lneas de compresin istropa que presenta un suelo granular, se necesita una tercera lnea experimental de compresin istropa, idealmente, posicionada en medio de las lneas de estado ms suelto y ms denso. Luego, utilizando la Ec. (15) y dejando fijo el parmetro 3,0i = , la pendiente de la curva de consolidacin istropa correspondiente al estado pe inicial se calcula mediante una interpolacin exponencial entre las lneas de estado ms suelto intermedio y ms denso, segn corresponda. La Fig. 4 presenta tres lneas experimentales de compresin istropa junto con una cuarta lnea a determinar para un estado inicial 00 pe , que se encuentra entre las lneas de estados ms suelto e intermedio. La pendiente de la lnea de compresin istropa k-esima y el ndice de vacos a tensin media nula al trmino de la consolidacin, quedan dados por:

( ) ( )

= )p(ee)p(e)p(e

lnexp)e( 0x0

0x0i

x

i

x0k;

i

ref

0k0ko p

pee

+= (17)

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

Tensin media efectiva, p [MPa]

Indi

ce d

e va

cos

, e

0,01 0,1 1 10 100

ie

ce

de

V Congreso Chileno de Ingeniera Geotcnica

Figura 4: Caso en que la lnea de compresin istropa a determinar se

encuentra entre las lneas de estados ms suelto e intermedio. Luego, la expresin para el factor de barotropa compatible con la lnea de compresin istropa k-esima correspondiente al estado 00 pe , al trmino de la consolidacin, queda dado por:

1

dc

dk21

ref

ijk

ik

ref 3aeeee

a3p3

)T(tr)e1(

p3 i

+

+=bf (18)

La tercera modificacin corresponde al parmetro del factor de picnotropa df . Si se considera un ensayo triaxial drenado en compresin, para una muestra dilatante, el exponente de la Ec. (11) puede ser despejado para el estado peak (Herle et al., 1999):

))ee()eeln((

)tan1(24)2K5)(K2(a

)tan1K(Ka)K(26ln

dcd

2ppp

ppp22

p

+++++

= (19) donde p es el ngulo de dilatancia, que es funcin de la razn de tensiones peak

( )p21p TTK = . En la Ec. (19) se deben evaluar todas las variables en el estado peak. Es decir, la razn de tensiones pK , el ndice de vacos pee = y las curvas caractersticas )p(e pd y

)p(e pc (Bauer, 1996). Sin embargo, Herle et al. (1999) evalan el parmetro , con p21p )TT(K = , 0ee = , )p(e 0d y )p(e 0c , es decir, en el estado al trmino de la consolidacin

istropa. La tabla 1 presenta los valores del parmetro calculados con la Ec. (19), para el estado peak y el estado inicial posterior a la consolidacin, utilizando las Ecs. (13) para las lneas caractersticas, para dos ensayos triaxiales drenados en compresin, en muestras de la arena de Toyoura preparadas mediante los mtodos de Moist Placement y Air Pluviation, respectivamente.

Tensin media efectiva, p [MPa]

Indi

ce d

e va

cos

, e

0p

0e

)p(e 0i

)p(e 0x

( ) 3,0i p 143,0093,1e =

( ) 3,0d p 027,0618,0e =

( ) 3,0x p 037,0829,0e =( ) 3,0kkok p ee =

Lnea de consolidacin istropa k-esima a determinar ( ke )

V Congreso Chileno de Ingeniera Geotcnica

Tabla 1: Valores del parmetro evaluados en distintos estados pe :

a) estado pe peak; b) estado pe inicial. (Vallejos, 2004a)

Estado inicial (a) evaluado en el estado

pe peak (b) evaluado en el estado

pe inicial 0e 0p pK pe pp pK 0e 0p [MPa] [MPa] [MPa]

0,831 0,1 (i) 3,422 0,850 0,181 0,589 3,422 0,831 0,100 0,297 0,658 0,02 (ii) 5,624 0,724 0,051 0,295 5,624 0,658 0,020 0,159

(i): Verdugo et al. (1996), (ii): Fukushima et al. (1984).

De esta tabla se observa claramente que el valor del parmetro , evaluado en el estado peak difiere notablemente del valor evaluado en el estado inicial. En la Fig. 5 se presentan los resultados de simulaciones de un ensayo triaxial en compresin, de acuerdo al modelo hipoplstico original, para los valores del parmetro evaluado en el estado peak y en el estado inicial, para 831,0e0 = y ]MPa[ 1,0p0 = .

Figura 5: Simulacin de un ensayo triaxial en compresin, con el modelo hipoplstico original: a) evaluado en el estado peak; b) evaluado en el estado inicial. (Vallejos, 2004a)

Este anlisis muestra que existe una incoherencia, la que es superada con la modificacin propuesta. Basndose en lo expuesto anteriormente, se decide dejar al parmetro como un Parmetro de ajuste, que es funcin del estado 00 pe al trmino de la consolidacin. Para que el parmetro funcione como una variable de estado general, es necesario relacionarlo con algn ndice o parmetro de estado. Con este propsito se escoge al ndice de estado

sI propuesto por Verdugo (1992) e Ishihara (1993), que esta definido por (para umbpp < ):

cumb

umbs ee

eeI

= (20) donde; e es el ndice de vacos actual de la muestra a una tensin media efectiva p , umbe es el ndice de vacos umbral para el cual los estados iniciales con umbee estn asociados con una resistencia residual nula en corte montono no drenado y ce es el ndice de vacos crtico que corresponde a la tensin media efectiva p .

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Razn de tensiones movilizada, K

Indi

ce d

e va

cos

, e

(a) 598,0=

=27,0

c 600.2p3exp98,0e

=27,0

d 600.2p3exp61,0e

Peak simulado

Estado peak experimental

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Razn de tensiones movilizada, K

Indi

ce d

e va

cos

, e

(b) 297,0=

=

27,0

c 600.2p3exp98,0e

=27,0

d 600.2p3exp61,0e

Estado peak experimental

Peak simulado

V Congreso Chileno de Ingeniera Geotcnica

La Fig. 6 presenta la variacin del parmetro , de mejor ajuste para el modelo hipoplstico modificado (Vallejos, 2004a), en funcin del parmetro de estado sI . Se han utilizado siete ensayos triaxiales drenados en compresin realizados en la arena de Toyoura en muestras preparadas mediante los mtodos de Moist Placement y Air Pluviation. El parmetro controla el ngulo de friccin peak y la dilatancia en funcin de la densidad y tensin media, con lo cual, la determinacin de este parmetro es dependiente de la fbrica.

Figura 6: Parmetro de mejor ajuste en funcin del ndice de estado sI . 4. CONCLUSIONES. Se han presentado las bases de un modelo hipoplstico orientado a reproducir la no linealidad y la dependencia mecnica de los materiales granulares con la densidad y presin. Para que el modelo hipoplstico sea consistente con el concepto de Steady State y compatible con el estado pe al trmino de la consolidacin se proponen modificaciones, que permiten que el modelo constitutivo cumpla con estas exigencias. Se propone utilizar como referencia tres lneas de compresin istropa (estados ms suelto, intermedio, ms denso) y la lnea de Steady State. Adicionalmente, se ha modificado el concepto del parmetro , dejndolo simplemente como una variable de ajuste. El paper acompaante Vallejos et al. (2004b) presenta comparaciones entre datos experimentales de ensayos en elementos con las simulaciones numricas de los modelos hipoplsticos sin y con modificaciones. 5. REFERENCIAS. Bardet, J.P. (1990). Hypoplastic model for Sand, Journal of Engineering Mechanics, Vol. 116,

pp. 1973-1994. Bauer, E. (1996). Calibration of a comprehensive Hypoplastic model for granular materials,

Soils and Foundations, JSSMFE, Vol. 36, No. 1, pp. 13-26. Dafalias, Y. F. (1986). Bounding surface plasticity. I: Mathematical foundation and

hipoplasticity, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 112, No. 9, pp. 966-987. Fukushima, S. and Tatsuoka, F. (1984). Strength and deformation characteristics of saturated

sand at extremely low pressures, Soils and Foundations, Vol. 24, No. 4, pp. 30-48. Gudehus, G. (1996). A comprehensive constitutive equation for granular materials, Soils and

Foundations, JSSMFE, Vol. 36, No. 1, pp. 1-12.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 10 20 30 40 50

Indice de estado, Is

Par

met

ro

de

mej

or a

just

e

971,0r

997,0I742,02

s

=+=

000,1r

1,0167,0I001,02

s

=+=

Valor estimado con la Ec. (19)

V Congreso Chileno de Ingeniera Geotcnica

Herle, I. and Gudehus, G. (1999). Determination of parameters of Hypoplastic constitutive

model from properties of grain assemblies, Mechanics of Cohesive-Frictional Materials and Structures, Vol. 4, pp. 461-486.

Ishihara, K. (1993). Liquefaction and flow failure during earthquakes, The 33rd Rankine

Lecture, Gotechnique, Vol. 43, No. 3, pp. 351-415. Kolymbas, D. (1985). Generalized hypoelastic constitutive equation, Proceedings of the

International Workshop on Constitutive Equations for Granular Non-cohesive Soils, Cleveland, A.A. Balkema Publishers, pp. 349-366.

Li, X.S. and Wang, Y. (1998). Linear representation of steady-state line for sands, Journal of

Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol. 124, No. 12, pp. 1215-1217. Miura, N., Murata, H. and Yasufuku, N. (1984). Stress-strain characteristics of sand in a

particle-crushing region, Soils and Foundations, Vol. 24, No. 1, pp. 77-89. Niemunis, A. (2003). Extended Hypoplastic Models for Soils, Heft 34, Institute of Foundations

and Ground Mechanics of the Ruhr University, Bochum. Valanis, K.C., Lee, C.F. (1982). Some Recent developments of the endochronic theory with

applications, Nuclear Engineering and Design, Vol. 69, pp. 327-344. Vallejos, J. A. (2004a). Modelacin del comportamiento montono y cclico de materiales

granulares mediante hipoplasticidad, Tesis para optar al ttulo de magster en ingeniera geotcnica, Departamento de Ingeniera Civil, Universidad de Chile, Chile.

Vallejos, J. y Verdugo, R. (2004b). Hipoplasticidad aplicada a materiales granulares (Parte II),

Quinto Congreso Chileno de Geotecnia, Universidad de Chile, Santiago, Chile. Vesic, A. and Clough, W. (1968). Behavior of granular materials under high stresses, Soil

Mechanics and Foundation Engineering Division, ASCE, Vol. 94, No. SM3, pp. 661-668. Verdugo, R. (1992). Characterization of sandy soils behavior under large deformation,

Doctoral Thesis, Department of Civil Engineering, University of Tokyo, Japan. Verdugo, R. and Ishihara, K. (1996). The steady state of sandy soils, Soils and Foundations,

JSSMFE, Vol. 36, No. 2, pp. 81-91. Von Wloffersdorff, P.A. (1996): A hypoplastic relation for granular materials with predefined

limit state surface, Mechanics of Cohesive-frictional Materials, Vol. 1, pp. 251-271. Wang, Z.L., Dafalias, Y. F., Shen, C.K. (1990). Bounding surface hipoplasticity model for

sand, Journal of Engineering Mechanics, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 116, No. 5, pp. 983-1001.

Wu, W. (1992). Hypoplasticity as a mathematical model for the mechanical behaviour of

granular materials, Publications series of the Institute of Soils Mechanics and Rock Mechanics, university of Karlsruhe, No. 129.

Wu, W. and Bauer (1993). A hypoplastic model for barotropy and pyknotropy of granular soils,

Proceedings of the International Workshop on Modern Approaches to Plasticity, Elsevier, pp. 225-245.